EJERCICIOS PARA LA SECCIÓN 1.2 1.1
se toman ocho mediciones del diámetro interno de los anillos para los pistones del motor de un automóvil .Los datos (en mm) son: 74.001, 74.003, 74.015, 74.000, 74,005, 74.002, 74.005 y 74.004. construya un diagrama de puntos y haga comentarios con respecto a los datos.
Este diagrama es muy útil para saber cómo por ejemplo ubicar la posición de la media, También vemos que ay un valor de 74,015 que se encuentra un poco más lejos de los demás valores lo cual distorsiona el valor de la media aritmética. 1.2
En su obra Applied Life Data Analysis (Wiley, 1982). Wayne Nelson presenta el tiempo de ruptura de un fluido aislante entre electrodos a 34kV. Los tiempos, en minutos son los siguientes: 0, 19, 0.78, 0.96, 1.31, 2.78, 3.16, 4.15, 4.67, 4.85, 6.50, 7.35, 8.01, 8.27, 12.06, 31.75, 32.52, 33.91, 36.71, 72.89.costruya un diagrama de puntos para estos datos.
0 1.3
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
750
El ejemplar de enero de 1990 de Arizona Trend contiene un suplemento que describe los doce “mejores” campos de golf de Arizona, Estados Unidos. Los yardajes (longitud) de los campos son: 6981, 7099, 6930, 6992, 7518, 7100, 6935, 7518, 7013, 6800, 7041 y 6890.Construtya un diagrama de puntos para estos datos.
6800 6850 6900 6950 7000 7050 7100 7150 7200 7250 7300 7350 7400 7450 7500 7550 0 95 1.4
Un artículo del Journal of structural Engineering (Vol. 115. 1989) describa un experimento para probar la Resistencia de tubos circulares con tapas soldadas en los extremos. Los primeros resultados obtenidos (en kN) son los siguientes: 96, 96, 102, 102 102, 104, 104, 108, 126, 128, 140, 156, 160, 164 y 170. Construya un diagrama de puntos para estos datos.
95
100 105
110
115 120 125 130 135 140 95
145 150
155
160
165
117 0
1.5 Un artículo publicado en Human Fctors (junio 1989) presenta datos de acomodamiento visual (una función del movimiento del ojo) cuando se reconoce un patrón de manchas sobre la pantalla de un tubo de rayos catódicos de alta resolución. Los datos son: 36.45, 67.90, 38.77, 42.18, 26.72, 50.77, 39.30 y 49.71. Construya un diagrama de puntos para estos datos.
. 25
. . . . .. 30
35
40
45
50
. 55
60
65
70
1.6. Los datos siguientes son mediciones de intensidad solar directa (en watts/m 2) realizadas en distintos días en una localidad del sur de España: 562, 869, 708. 775, 704, 809, 856, 655, 806, 878, 909, 918, 558, 768, 870, 918, 940, 946, 661, 820, 898, 935, 952, 957, 693, 835, 905, 939, 955, 960, 498, 653, 730 y 753. Construya un histograma para estos datos.
MEDICIONES DE INTENSIDAD SOLAR DIRECTA 14 12 10 8 6 4 2 0 536.5
613.5
690.5
767.5
844.5
921.5
1.7. Un artículo publicado en Technometrics (Vol. 19, 1977, pág. 425) presenta los datos siguientes sobre el octanaje de varias mezclas de gasolinas: 88.5 94.7 84.3 90.1 89.0 89.8 91.6 90.3 90.0
87.7 91.1 86.7 93.4 96.1 89.6 90.4 91.6 90.7
83.4 91.0 88.2 88.5 93.3 87.4 91.1 90.5
86,7 94.2 90.8 90.1 91.8 88.4 92.6 93.7
87.5 87.8 88.3 89.2 92.3 88.9 89.8 92.7
91.5 89.9 98.8 88.3 90.4 91.2 90.6 92.2
88.6 88.3 94.2 85.3 90.1 89.3 91.1 92.2
100.3 87.6 92.7 87.9 93.0 94.4 90.4 91.2
96.5 84.3 93.2 88.6 88.7 92.7 89.3 91.0
93.3 86.7 91.0 90.9 89.9 91.8 89.7 92.2
Construya un diagrama de tallo y hoja en pantalla para estos datos. TALLO 83 84 86 87 88 89 90 91 92 93 94 10
HOJA 4 3 3 7 7 7 4 5 6 2 3 3 0 2 3 0 1 1 0 0 0 2 2 2 0 2 3 2 2 4 0.3
7 3 3 1 1 3 3 7
8 4 6 3 1 6 4
9 5 8 4 1 7 7
5 8 4 2 7
6 9 4 2 7
6 7 9 9 6 8 9 5 6 6 8 8
1.8. Los datos siguientes representan el número de ciclos transcurridos hasta que se presenta una falla en una prueba de piezas de aluminio sujetas a un esfuerzo alternamente repetido de 21 000 psi, a 18 ciclos por segundo: 1115 1310 1540 1502 1258 1315 1085
1567 1883 1203 1270 1015 845 1674
1223 375 2265 1910 1018 1452 1890
1782 1522 1792 1000 1820 1940 1120
1055 1764 1330 1608 1535 1781 1750
798 1020 865 2130 1421 1109 1481
1016 1102 1605 706 2215 785 885
2100 1594 2023 1315 1269 1260 1888
910 1730 1102 1578 758 1416 1560
1501 1238 990 1468 1512 1750 1642
a. Construya un diagrama de tallo y hoja en pantalla para visualizar estas datos b. ¿Existe evidencia de que una pieza “sobrevivirá” más allá de los 2000 ciclos? Justifique su respuesta.
a. TALLO 03 07 08 09 10 11 12 13 14 15
HOJA 75 06 58 45 65 10 90 00 15 02 02 03 23 10 15 16 21 01 02
16 17 18 19 20 21 22
08 30 20 10 23 00 15
85 98 85 16 15 58 15 52 12
18 20 60 30 68 22
20 55 85 09 69 70 81 35 40 60 67 78 94
42 74 50 50 64 81 82 92 83 88 90 40 30 65
1.9 En la siguiente tabla, presenta el porcentaje de algodón es un material utilizado para la fabricación de camisas para caballeros: Construya un diagrama de tallo y hoja en pantalla para estos datos.
Solución: TALLO 32 33 34 35 36 37
HOJA 69817 16684681656 25772769760167656173 6104132049857 3288 163
1.10 Los datos siguientes representan el rendimiento de 90 lotes consecutivos de un sustrato cerámico, en el que se ha aplicado un recubrimiento metálico mediante un proceso de depositación por vapor, Construya un diagrama de tallo y hoja en pantalla para estos datos
TALLO 78 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
HOJA 3 69 0167 19016215 014141 1611744464 3367653 22863 161476 6041366015 4172 414 22117 13116734 1236 4381 83 0
1.11 Construya una distribución de frecuencias y un histograma para los datos de octanaje del ejercicio 1-7. Utilice 8 clases Sol: Distribución de frecuencias Marca de clase
Clase
Frecuencia
F. Acumulada
% de Frecuencia
% acumulado
83
85.6
84.3
4
4
4.88%
4.88%
85.6
87.8
86.7
8
12
9.76%
14.63%
87.8
90
88.9
23
35
28.05%
42.68%
90
92.2
91.1
28
63
34.15%
76.83%
92.2
94.4
93.3
14
77
17.07%
93.90%
94.4
96.6
95.5
3
80
3.66%
97.56%
96.6
98.8
97.7
1
81
1.22%
98.78%
98.8
100.6
99.7
1
82
1.22%
100.00%
Frecuencia
Histograma 30
120.00%
25
100.00%
20
80.00%
15
60.00%
10
40.00%
5
20.00%
0
0.00% 84.3
86.7
88.9
91.1
93.3
95.5
97.7
Frecuencia % acumulado
99.7
1.12 Construya una distribución de frecuencias y un histograma para los datos de falla del ejercicio 1-8
Sol: Distribución de frecuencias Clases 706 921.6 1137.2 1352.8 1568.4 1784 1999.6
921.6 1137.2 1352.8 1568.4 1784 1999.6 2215.2
F. Marca de Clase Frecuencia Acumulada 813.8 7 7 1029.4 9 16 1245 5 21 1460.6 9 30 1676.2 11 41 1891.8 4 45 2107.4 4 49
% %F acumulado 14.29% 14.29% 18.37% 32.65% 10.20% 42.86% 18.37% 61.22% 22.45% 83.67% 8.16% 91.84% 8.16% 100.00%
1-13) Construya una distribución de frecuencias y un histograma para los datos de contenido de algodón del ejercicio 1-9. DESARROLLO: Distribución de frecuencias Intervalo De clase (psi)
Conteo
Frecuencia
Frecuencia Relativa
[32 – 33>
Frecuencia Relativa acumulativa
IIIII I
6
0.0938
0.0938
[33 - 34>
IIIII IIIII I
11
0.1719
0.2657
[34 – 35>
IIIII IIIII IIIII IIIII I
21
0.3281
0.5938
[35 – 36>
IIIII IIIII IIII
14
0.2186
0.8124
[36 – 37>
IIIII II
7
0.1094
0.9218
[37 – 38>
IIIII
5
0.0782
1.0000
Histograma 25
Frecuencia
20 15 10
Frecuencia
5 0 32.999
33.999
34.999
35.999
36.999
37.999 y mayor...
Clase
1-14) Construya una distribución de frecuencias y un histograma para los datos de rendimiento del ejercicio 1-10. DESARROLLO: Distribución de frecuencias: Intervalo De clase (Psi) [78 – 80> [80 – 82> [82 – 84> [84 – 86> [86 – 88> [88 – 90> [90 – 92> [92 – 94> [94 – 96> [96 – 98]
Conteo
I IIIII I IIIII IIIII III IIIII IIIII IIIII II IIIII IIIII I IIIII IIIII IIII IIIII III IIIII IIIII III IIIII II
Frecuencia
Frecuencia Relativa
1 0 6 13 17 11 14 8 13
0.0111 0.0000 0.0667 0.1444 0.1889 0.1222 0.1556 0.0889 0.1444
Frecuencia Relativa Acumulativa 0.0111 0.0111 0.0778 0.2222 0.4111 0.5333 0.6889 0.7778 0.9222
7
0.0778
1.0000
Histograma 18 16
Frecuencia
14 12 10 8 Frecuencia
6 4 2 0
Clase
1-15) Construya una distribución de frecuencia y un histograma, para los datos de octanaje del ejercicio 1-7. DESARROLLO: Distribución de frecuencias: Intervalo De clase (Psi)
Conteo
Frecuencia
Frecuencia Relativa
Frecuencia Relativa Acumulativa
[83 – 85>
III
3
0.03659
0.03659
[85 – 87>
IIIII
5
0.06098
0.09757
[87 – 89> [89 – 91>
IIIII IIIII IIIII II IIIII IIIII IIIII IIIII III
17 23
0.20732 0.28049
0.30489 0.58538
[91 – 93> [93 – 95>
IIIII IIIII IIIII IIIII I IIIII IIIII
21 10
0.25610 0.12195
0.84148 0.96343
[95 – 97> [97 – 99>
I I
1 1
0.01219 0.01219
0.97562 0.98781
[99 – 101>
I
1
0.01219
1.00000
Histograma:
Histograma 25
Frecuencia
20 15 10
Frecuencia
5 0 84
86
88
90
92
94
96
98
100
Clase
1-16) Diagrama de Pareto. Suponga que se obtiene la siguiente información sobre defectos estructurales en las puertas de un automóvil: abolladuras, 4; picaduras, 4; partes ensambladas fuera de secuencia, 6; partes sub ajustadas, 21; falta de agujeros/ranuras, 8; partes no lubricadas, 5; partes fuera de contorno, 30 y partes con rebabas, 3. Construya un diagrama de Pareto e interprétela.
35
120%
30
100%
25
80%
20 60% 15 10
frecuencia 40%
5
20%
0
0%
acumulado
EJERCICIOS PARA LA SECCIÓN 1.3 1.17 Un artículo publicado en el Journal of Aircrafi (1988) describa el cálculo de los coeficientes de arrastre para la superficie aerodinámica NASA0012. Para ello se utilizaron diferentes algoritmos computacionales con Mm = 0.7, obteniéndose los siguientes resultados (los coeficientes de arrastre están dados en unidades de conteos de arrastre; esto es, un conteo es equivalente a un coeficiente de arrastre de 0.0001): 79, 100, 74, 83, 81, 85, 82, 80 y 84. Calcule a. La medida muestral de estos datos. b. La mediana muestral. Solución: La media muestral es: 𝑛
∑ 𝑥 𝑋̅ = 1 𝑖 𝑛
79+100+74+83+81+85+82+80+84 𝑋̅ = 9
̅ =83.1111111 𝑿 La mediana muestral: Primeramente ordenamos los datos de menor a mayor. 𝑥1 =74
𝑥6 = 83
𝑥2 = 79
𝑥7 = 84
𝑥3 = 80
𝑥8 = 85
𝑥4 =, 81
𝑥9 = 100
𝑥5 = 82 Sabemos que el número de datos con los que contamos es: 𝑛 = 9 ; Debido a que el número de datos es impar usamos la siguiente formula: 𝑀𝑒 = 𝑥(𝑛+1) 2
𝑴𝒆 = 𝒙(𝟓) = 𝟖𝟐
;
𝑛+1 2
=
9+1 2
=5
1.18 Las siguientes mediciones corresponden a las temperaturas de un horno registrado de lotes sucesivos de un proceso de fabricación de semiconductores (las unidades son °F): 953, 950, 948, 955, 951, 949, 957, 954, 955. a. La media muestral de estos datos. b. La mediana muestral de estos datos. c. ¿En cuánto puede incrementarse la mayor medición de temperatura sin que cambie la mediana muestral? Solución: Para calcular la media muestral usamos la siguiente formula: 𝑛
∑ 𝑥 𝑋̅ = 1𝑛 𝑖
953+950+948+955+951+949++957+954+955 𝑋̅ = 9
̅ = 952.444444 𝑿 Para calcular la mediana muestral de estos datos primeramente procedemos a ordenarlos: 𝑥1 = 948
𝑥5 = 953
𝑥2 = 949
𝑥6 = 954
𝑥3 = 950
𝑥7 = 955
𝑥4 = 951
𝑥8 = 957
El número de datos: 𝑛 = 8 Es un número impar utilizamos la siguiente formula 𝑀𝑒 = 𝑀𝑒 =
𝑥 𝑛 +𝑥 𝑛 ( ) ( +1) 2 2 2
; 𝑥(𝑛) = 𝑥(8) = 𝑥(4) = 951 2
2
; 𝑥(𝑛+1) = 𝑥(8+1) = 𝑥(5) = 953 2
2
951+953 2
𝑴𝒆 = 𝟗𝟓𝟐 Para responder a la pregunta c. cuando nosotros calculamos la mediana muestral no consideramos los valor de los datos que están en los extremos sino en la cantidad de datos; es por ello que no ay un límite de incremento para el valor máximo; porque no influye en el cálculo de la mediana, pero si en el cálculo de la media.
1.19. Considere las mediciones realizadas en los anillos para pistones del ejercicio 11- Encuentre la media y la mediana muéstrales de esos datos. LOS DATOS ORDENADOS: 74.000, 74.001, 74.002, 74.003, 74.004, 74.005, 74.005, 74.015
MEDIA ̅= 𝑿
74.000 + 74.001 + 74.002 + 74.003 + 74.004 + 74.005 + 74.005 + 74.015 8 𝑋̅ = 74.004375
MEDIANA 74.000, 74.001, 74.002, 74.003, 74.004, 74.005, 74.005, 74.015 𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟑 + 𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟒 𝟐 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 = 𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟑𝟓
𝐋𝐚 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚𝐧𝐚 𝐬𝐞𝐫𝐢𝐚 =
1.20. Considere las mediciones realizadas en los anillos para pistones del ejercicio 11. Suponga que se elimina la observación más grande (74.015 mm). Calcule la media y la mediana muestrales para los datos restantes. Compare sus resultados con los obtenidos en el ejercicio 1-19, donde se emplean las ocho mediciones LOS DATOS ORDENADOS: 74.000, 74.001, 74.002, 74.003, 74.004, 74.005, 74.005
MEDIA ̅= 𝑿
74.000 + 74.001 + 74.002 + 74.003 + 74.004 + 74.005 + 74.005 7 ̅ = 74.00285714 ≈ 74.003 𝑿
MEDIANA 74.000, 74.001, 74.002, 74.003, 74.004, 74.005, 74.005 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 = 𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟑
1.21 Encuentre la media, la mediana y la moda para las dimensiones de los campos del golf de Arizona dadas en el ejercicio 1-3 Solución: LOS DATOS ORDENADOS: 6800 6890 6930 6935 6981 6992 7013 7041 7099 7100 7518 7518
MEDIA
̅ 𝑿 =
6800 + 6890 + 6930 + 6935 + 6981 + 6992 + 7013 + 7041 + 7099 + 7100 + 7518 + 7518 12 𝑋̅ = 7068.0833
MEDIANA 6800 6890 6930 6935 6981 6992 7013 7041 7099 7100 7518 7518
𝟔𝟗𝟗𝟐 + 𝟕𝟎𝟏𝟑 𝟐 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 = 𝟕𝟎𝟎𝟐.
𝐋𝐚 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚𝐧𝐚 𝐬𝐞𝐫𝐢𝐚 =
MODA En este caso el valor que representa la moda es: 7518
1.22 Encuentre la media, la mediana muestrales de los datos de resistencia del ejercicio 1-4 Solución: LOS DATOS ORDENADOS: 96 96 102 102 102 104 104 108 126 126 128 128 140 156 160 160 164 170
MEDIA
̅ 𝑿 =
96 + 96 + 102 + 102 + 102 + 104 + 104 + 108 + 126 + 126 + 128 + 128 + 140 + 156 + 160 + 160 18 𝑋̅ = 126.2222
MEDIANA 96 96 102 102 102 104 104 108 126 126 128 128 140 156 160 160 164 170
𝟏𝟐𝟔 + 𝟏𝟐𝟔 𝟐 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 = 𝟏𝟐𝟔
𝐋𝐚 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚𝐧𝐚 𝐬𝐞𝐫𝐢𝐚 =
1-23) Los siguientes datos son las temperaturas de unión de los O-rings (en grados F), en cada prueba de lanzamiento o de un lanzamiento real, del motor del cohete del transbordador espacial: 84, 49, 61, 40, 83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 72, 73, 70, 57, 63, 70, 78, 52, 67, 75, 61, 70, 81, 76, 79, 75, 76, 58, 31. a) Calcule la media y mediana muestrales. Calculo de la media Como sabemos su fórmula:
Tenemos:
X= 2371/36 = 65.861F
Calculo de la mediana Por fórmula:
Tenemos:
X= (70 + 57)/2 = 63.5F
b) Encuentre los cuartiles inferiores y superiores de la temperatura. Cuartil inferior: q1= (60 + 61)/2 = 60.5F
Cuartil superior: q2= (75 +61)/2 = 68F
c) Encuentre los percentiles quinto y noveno de la temperatura. Por fórmula: K = (n+1/100)x Q ; sabemos que n= 36 y Q= 5, entonces: k= 1.85, k= 2, P5= X(2)
P5= X(1) + 0.85X(X(2) – X(1) ) P5= 54.25 K = (n+1/100)x Q ; sabemos que n= 36 y Q= 9, entonces: k= 3.33, k= 4, P9= X(4) P9= X(3) + 0.33X(X(4) – X(3) ) P(9)= 54.07
d) Elimine la observación más pequeña (31 °F) y vuelva a calcular lo que se pide en los inicios a), b) y c). Desarrollo: D – a) Calculo de la media Como sabemos su fórmula:
Tenemos:
X= 2340/35 = 66.857F
Calculo de la mediana Por fórmula:
Tenemos:
X= (70)/2 = 35F
D – b) Cuartil inferior: q1= (66 + 70)/2 = 68F
Cuartil superior: q2= (67 +75)/2 = 71F
D – c)
Encuentre los percentiles quinto y noveno de la temperatura. Por fórmula:
K = (n+1/100)x Q ; sabemos que n= 35 y Q= 5, entonces: k= 1.80, k= 2, P5= X(2) P5= X(1) + 0.85X(X(2) – X(1) ) P5= 56 K = (n+1/100)x Q ; sabemos que n= 35 y Q= 9, entonces: k= 3.24, k= 4, P9= X(4) P9= X(3) + 0.24X(X(4) – X(3) ) P(9)= 55.96 1-24) Considere los datos sobre tiempo de ruptura del ejercicio 1-2. a) Encuentre los cuartiles inferior y superior del tiempo de ruptura. Cuartil inferior: q1= (1.31 + 2.78)/2 = 2.045Kv 21.905Kv
Cuartil superior: q2= (12.06 +31.75)/2 =
b) Encuentre los percentiles 30 y 95 del tiempo de ruptura. Por fórmula: K = (n+1/100)x Q ; sabemos que n= 19 y Q= 30, entonces: k= 6, P30= X(6) P30= X(6) P30= 3.16Kv K = (n+1/100)x Q ; sabemos que n= 19 y Q= 95, entonces: k= 19, P95= X(19) P95= X(19) P(95)= 72.89Kv C Elimine la observación más grande (72.89) y vuelva a calcular las cantidades que se piden en los inicios a) y b). ¿Qué efecto tiene la eliminación de este punto? Desarrollo: C – a) Encuentre los cuartiles inferior y superior del tiempo de ruptura. Cuartil inferior: q1= (1.31 + 2.78)/2 = 2.045Kv C – b)
Cuartil superior: q2= (8.27 +12.06)/2 = 10.165Kv
Encuentre los percentiles 30 y 95 del tiempo de ruptura.
Por fórmula: K = (n+1/100)x Q ; sabemos que n= 18 y Q= 30, entonces: k= 5.7, k= 6, P30= X(6) P30= X(5) + 0.7X(X(6) – X(5) ) P5= 3.046Kv K = (n+1/100)x Q ; sabemos que n= 19 y Q= 95, entonces: k= 18.05 P95= No se podría sacar el percentil 95, ya que el N=18. 1.25 Encuentre los cuartiles inferior y superior de los datos de yardaje de los campos de golf del ejercicio 1.3 6800, 6890., 6930, 6935, 6981,6992, 7013, 7041,7099, 7100, 7518, 7518, Solución: Xk = (n+1/100)x Q; ¿ C25; C75? Xk= (12+1)/100*25=3.25 𝐶25 = 𝑋3 + 0.25 ∗ (𝑋4 − 𝑋3 ) 𝑪𝟐𝟓 = 𝟔𝟗𝟑𝟏. 𝟐𝟓 Xk= (12+1)/100*75=9.75 𝐶25 = 𝑋9 + 0.75 ∗ (𝑋10 − 𝑋9 ) 𝑪𝟐𝟓 = 𝟕𝟎𝟗𝟗. 𝟕𝟓
EJERCICIOS PARA LA SECCIÓN 1.4 1.26 Considere los datos para los coeficientes de arrastre de la superficie acrodinámica de ejercicio 1-17. Calcule: a. La varianza muestral b. La desviación estándar muestral. Solución: Datos del ejercicio 1-17: 79, 100, 74, 83, 81, 85, 82, 80 y 84.
Para calcular la varianza muestral y la desviación estándar primeramente calcularemos la media(𝑋̅)
79+100+74+83+81+85+82+80+84 𝑋̅= =83.1111111 9
a. Sabemos que la varianza es: ̅̅̅̅2 𝑆 2 =∑𝑛 1 (𝑥𝑖 −𝑋) 𝑛−1
𝑆2 =
16.901 + 285.235 + 83.012 + 0.012 + 4.457 + 3.568 + 1.235 + 9.679 + 0.790 = 50.61 8
b. Ahora calculamos la desviación estándar muestral que vendría a ser: √𝑆 2 𝑆 = √50.61 = 7.11 1.27 La contaminación de una pastilla de silicio puede afectar de manera importante la calidad de la producción de circuitos integrados. De una muestra de 10 pastillas se obtienen las siguientes concentraciones de oxígeno: 3.15, 2.68, 4.31, 2.09, 3.82, 2.94, 3.47, 3.39, 2.81, 3.61. Calcule: a. La varianza muestral. b. La desviación estándar muestral. c. El rango de la muestra. Solución: Primeramente calculamos la media 𝑋̅= (3.15+2.68+4.31+2.09+3.82+ 2.94+ 3.47+ 3.39+ 2.81+ 3.61)/10=3.227
a. la varianza muestral es: ̅̅̅̅2 𝑆 2 =∑𝑛 1 (𝑥𝑖 −𝑋) 𝑛−1
𝑆2 =
0.005929+0.146689+0.173889+0.026569+0.059049+0.082369+0.351649+1.292769+1.172889+0.299209 9
𝑆 2 = 0.401223333 b. Ahora calculamos la desviación estándar muestral 𝑆 = √0.401223333 = 0.401223333 c. El rango de la muestra. Vendría a ser la diferencia entre el valor máximo menos el valor mínimo Donde: Valor máximo: 4.31 Valor mínimo: 2.09 R=4.31-2.09=2.22 1.28 Considere los datos para anillos de pistón, del ejercicio 1-1. Calcule: a. La varianza muestral. b. La desviación estándar muestral. c. El rango de la muestra. Solución: Primeramente calculamos la media 𝑋̅ =
74.001+, 74.003 + 74.015 + 74.000, +74,005 + 74.002 + 74.005 + 74.004 8
𝑋̅ =74.004375 a. La varianza muestral. ̅̅̅̅2 𝑆 2 =∑𝑛 1 (𝑥𝑖 −𝑋) 𝑛−1
𝑆 2 =1.51875000000E-04 b. La desviación estándar muestral.
𝑆 = √2.16964285714E − 05
𝑆 = 0.004657943
c. El rango de la muestra. Vendría a ser la diferencia entre el valor máximo menos el valor mínimo Donde: Valor máximo: 74.015 Valor mínimo: 74.000 R=0.015 1.29. Considere los datos para anillos de pistón, del ejercicio 1-1. Suponga que se elimina la observación más grande (74.015). Calcule la varianza muestral, la desviación estándar muestras y el rango de la muestra. Compare sus resultaos con los obtenidos en el ejercicio 1-28, donde se emplean las ocho mediciones. Para esta medición en particular, ¿cuán sensibles son la varianza muestral, la desviación estándar muestras y el rango de la muestra? LOS DATOS ORDENADOS: 74.000, 74.001, 74.002, 74.003, 74.004, 74.005, 74.005
varianza muestral: ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑠 = 𝑛−1 2
𝑠 2 = 3.833𝑥10−6
Desviación estándar: 𝒔=√
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛−1
𝒔 = 𝟏. 𝟗𝟓𝟕𝟖𝟗 𝒙 𝟏𝟎−𝟑
Rango: 𝑹 = 74.005 − 74.000 𝑅 = 0.005
1.30 Se toma una muestra de seis resistores y se mide su resistencia (en ohm). Los resultados son los siguientes: 𝑥1 = 45, 𝑥2 =38, 𝑥3 = 47, 𝑥4 = 41, 𝑥5 = 35 y 𝑥6 = 43. a. Calcule la varianza muestral y la desviación estándar muestral con el método de la ecuación 1-6. - varianza muestral:
𝑠2 =
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 𝑛 𝑛−1
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 −
𝑠2 =
10433 − 10333.5 5 𝑠 2 = 19.9
-
desviación estándar muestral:
𝑠 = √19.9 𝑠 = 4.460941605 ≈ 4.461 b. Calcule la varianza muestral y la desviación estándar muestral utilizando la definición de la ecuación 1-5. - varianza muestral: 𝑠2 =
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛−1
𝑠2 =
99.5 5
𝑠 2 = 19.9 -
Desviación estándar muestral: 𝑠 = √19.9
𝑠 = 4.460941605 ≈ 4.461 c. Reste 35 a cada una de las mediciones de resistencia originales, y calcule s 2 y s. compare sus resultados con los obtenidos en los incisos a) y b). 𝑥1 = 10, 𝑥2 = 3,𝑥3 = 12, 𝑥4 = 6, 𝑥5 = 0, 𝑥6 = 8 - varianza muestral: 𝑛
2
𝑠 = 𝑠2 =
2 (∑𝑖=1 𝑥𝑖 ) ∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 −
2
𝑛
𝑛−1 353−253.5 5
𝒔𝟐 = 𝟏𝟗. 𝟗
-
Desviación estándar muestral: 𝑠 = √19.9 𝑠 = 4.460941605 ≈ 4.461
Las respuestas son iguales a las obtenidas en a) y b) d. Si los valores de resistencia fueran 450,380, 470, 410, 350 y 430 ohms, ¿es posible utilizar los resultados de los incisos anteriores para hallar s2 y s? Si se podría utilizar pero solo a los resultados se le multiplicaría por 100 porque los valores están multiplicaos por 10. 1.31. Considere los datos sobre tiempos de ruptura, del ejercicio 1-2. Calcule: LOS TIEMPOS EN MINUTOS: 0.19, 0.78, 0.96, 1.31, 2.78, 3.16, 4.15, 4.67, 4.85, 6.50, 7.35, 8.01, 8.27, 12.06, 31.75, 32.52, 33.91, 36.71 y 72.89 a. La varianza muestral.
𝑠2 = 𝑠2 =
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 𝑛 𝑛−1
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 −
10333.8964 − 3917.408021 18
𝑠 2 = 356.4715766 ≈ 356.472 b. La deviación estándar muestral. 𝑠 = √356.4715766 s = 18.88045488 ≈ 18.88 c. El rango de la muestra. 𝑹 = 72.89 − 0.19 𝑅 = 72.7 d. El rango intercuartílico. q1= 2.78, q2=6.50, q3=31.75
1.32 Construya un diagrama de caja para los datos de contaminación por oxígeno, del ejercicio 1-27.
DIAGRAMA DE CAJA
2.09
2.59
3.09
3.59
4.09
1.33 Construya un diagrama de caja para los datos de tiempo de ruptura. Del ejercicio 1-2. Calcule el rango muestral, la varianza muestral y la desviación estándar muestral
DIAGRAMA DE CAJA
0.19
10.19
20.19
30.19
40.19
50.19
60.19
70.19
LOS DATOS ORDENADOS: 0.19 0.78 0.96 1.31 2.78 3.16 4.15 4.67 4.85 6.50 7.35 8.01 8.27 12.06 31.75 32.52 33.91 36.71 72.89 Calculamos la media: 14.3589
VARIANZA MUESTRAL: 𝑠2 =
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛−1
𝑠 2 = 356.4716 𝑘𝑣
DESVIACION ESTANDAR: ∑𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝒔 = √ 𝑖=1 𝑛−1 𝑠 = 18.8805
RANGO: 𝑹 = 72.89 − 0.19 𝑅 = 72.7
1.34 Considere los datos sobre los O-ring del transbordador espacial, dado en el ejercicio 1-23
Calcule el recorrido muestral Calcule la varianza muestral y la desviación estándar muestral Construya un diagrama de caja para los dato
LOS DATOS ORDENADOS: 31 67 76
40 67 76
45 67 78
49 67 79
52 68 80
53 69 81
57 70 83
58 70 84
58 70
Calculamos la media: 65.8611
VARIANZA MUESTRAL: 𝑠2 =
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛−1
60 70
61 72
61 73
63 66 75 75
𝑠 2 = 147.8373
DESVIACION ESTANDAR: ∑𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝒔 = √ 𝑖=1 𝑛−1 𝑠 = 12.1588
RANGO: 𝑹 = 84 − 31 𝑅 = 53
DIAGRAMA DE CAJA
31
41
51
61
71
81
1-35) Un fabricante de gasolina investiga el “tiempo de arranque en frío” del motor de un automóvil. Para un vehículo de prueba obtiene los siguientes tiempos (en segundos) : 1.75, 1.92, 2.62, 2.35, 3.09, 3.15, 2.53, 1.91. Desarrollo: a) Calcule el rango muestral.
3.15 – 1.75 = 1.40
b) Calcule la varianza muestral y la desviación estándar muestral. Varianza muestral Por formula:
S2= (48.6554 – 46.6578)/7 = 0.2854
Desviación estándar Está dada por la raíz positiva de “S” S = 0.53422841
1 – 36) Un artículo presenta datos obtenidos de un experimento donde se investigó el efecto de varias variables de un proceso sobre la oxidación en fase de vapor del naftaleno. L a siguiente es una muestra del porcentaje de conversación de moles de naftaleno a anhídrido maleico: 4.2, 4.7, 5.0, 3.8, 3.6, 3.0, 5.1, 3.1, 3.8, 4.8, 4.0, 5.2, 4.3, 2.8, 2.0, 2.8, 3.3, 4.8, 5.0. Desarrollo: a) Calcule el rango muestral.
5.20 – 2.00 = 3.20
b) Calcule la varianza muestral y la desviación estándar muestral. Varianza muestral Por formula:
S2= (336.460– 320)/19 = 0.8663
Desviación estándar Está dada por la raíz positiva de “S” S = 0.93075238
1 – 37) Considere los datos del proceso químico que aparecen en el ejercicio 1-36. Calcule de nuevo el rango muestral, la varianza muestral y la desviación estándar muestral, pero antes reste 1.0 a cada observación. Compare sus resultados con los
obtenidos en el ejercicio 1-36. ¿Existe algo “especial” con respecto a la constante 1.0, o es posible seleccionar de manera arbitraria otra constante que produzca los mismos resultados? Desarrollo: a) Calcule el rango muestral.
4.20 – 1.00 = 3.20 b) Calcule la varianza muestral y la desviación estándar muestral. Varianza muestral Por formula:
S2= (196.460– 180)/19 = 0.8663
Desviación estándar Está dada por la raíz positiva de “S” S = 0.93075238 Existe similitud si se le resta 1.0 a todos los valores y si se le resta cualquier constante también.
