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Apunte preparado por el profesor Sr. Rosam el Sáez Espinoza con fines de docencia

Probabilidades

El concepto de probabilidad ocupa un lugar importante en el proceso de toma de decisión bajo incertidumbre, no importa el campo de la ciencia en que el problema es enfrentado. En muy pocas situaciones de toma de decisión la información perfecta está disponible, es decir, todos los factores u hechos necesarios. La probabilidad entra en el proceso desempeñando el papel de substituto para la certeza, substituto para el completo conocimiento. La probabilidad es especialmente significativa en el área de la inferencia estadística. Aquí la preocupación principal es obtener conclusiones o hacer inferencias provenientes de experimentos que implican incertidumbre. El concepto de la probabilidad permite generalizar la información obtenida de lo sabido (muestra) a lo desconocido (población), y agregar un alto grado de confianza en estas generalizaciones. Por lo tanto, la probabilidad es una de las herramientas más importantes de la inferencia estadística. La probabilidad es un número entre 0 y 1 y corresponde a una especificación de que tan frecuente es probable que ocurra un evento de interés particular entre un gran número de ensayos (situaciones en las que el evento puede suceder).

Antes de dar una definición más formal de probabilidad definiremos algunos términos de interés: Experimento: es cualquier proceso o actividad que genera observaciones. Según la naturaleza del experimento estos se clasifican en determinísticos y no determinísticos o aleatorios. Estos últimos serán la naturaleza de n uestro estudio.

Ejemplo 1: Suponga un experimento sencillo que consiste en soltar un plumón usado para escribir en el pizarrón. Si el interés es observar si este cae o no, cada uno de nosotros, incluso sin necesidad de realizar el experimento, sabemos que va a caer, incluso podemos hasta determinar el tiempo de caída de este. Hay un resultado totalmente determinístico. Sin embargo si nuestra observación se centra en ver hacia que parte va a quedar apuntando la tapa, tenemos muchos resultados posibles y obviamente uno y sólo uno va a ocurrir. Su resultado es no determinístico. dete rminístico. Espacio muestral: Sea E un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de E le l e llamamos espacio muestral y le denotaremos por Ω .

Ejemplo 2: Suponga el experimento que consiste en el lanzamiento de una moneda. Escribir el espacio muestral. Solución: Aquí vemos dos resultados posibles para este experimento Ω1 = {cara,sello,canto} y

Ω 2 = {cara,sello}

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La diferencia entre un espacio muestral y otro es qué consideramos un resultado posible, es decir, el conjunto de resultados posibles para un experimento es subjetivo. ¿Qué hacemos entonces?. Adecuar el espacio muestral a lo que consideramos el fin del experimento y de esta forma sabremos que es un resultado posible posible. En el ejemplo anterior, si nuestro fin es observar que resultado muestra la moneda, cada vez que caiga de canto se debe lanzar de nuevo. Una pregunta que deberíamos hacer ahora es: ¿Cómo se escriben los resultados? Para responder a dicha pregunta consideremos el experimento “elegir un mes de manera aleatoria”. Nuestra respuesta será indicando cada mes o numerando estos de 1 a 12. Ω1 = {enero,febrero,⋯,diciembre} Ω 2 = {1, 2, ⋯, 12} o Otra pregunta que debemos hacernos al momento de escribir los resultados es si estos son o no distinguibles. Por ejemplo, Suponga que efectuamos el experimento que consiste en el lanzamiento de dos monedas. Escribir Ω . Si las monedas son ambas de la misma denominación, por ejemplo de 500 pesos, entonces: Ω = {ambascara, ambassello,unacara y unasello} , es decir tres resultados posibles. Si consideramos el mismo ejemplo anterior pero distinguiendo el orden en que se tiran las monedas, entonces habrá cuatro resultados posibles: Ω = {(c,s),(s,c),(c,c),(s,s) } . Observe que en este ejemplo, las monedas eran no distinguibles pero de acuerdo a la naturaleza del experimento se volvieron distinguibles. Luego, al escribir el espacio muestral también deberemos tener presente si los resultados serán o no distinguibles. Ejercicio 1. Escriba el espacio muestral para el lanzamiento de dos monedas; una de $100 y otra de $500. Ejemplo 3: Suponga el experimento que consiste en observar a las 9:30 hrs., el número de bombas en servicio en una gasolinera con seis bombas. Solución:

Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ejercicio 2: Suponga que en una fábrica que produce máquinas para sellar al vacío, en un momento dado seleccionan tres de manera aleatoria para hacer secuencialmente, pruebas de calidad. Si denotamos por C cumple y por N no cumple, escriba el espacio muestral. Ejercicio 3: Suponga el experimento que consiste en que Ud. debe registrar la cantidad de días que llueve en un mes dado y la cantidad total de agua caída (en mm). Escribir el espacio muestral. 1 mes = 30 días

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Observación: Como Ud. se habrá dado cuenta el espacio muestral hace el papel de conjunto universo, de aquí que las siguientes definiciones estén relacionadas con teoría de conjuntos. Evento o suceso: Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Estos son denotados por letras mayúsculas tales como A, B, C, A1, A2, ...

Del ejemplo 3, escriba los siguientes eventos: i) El número de bombas en servicio es a lo menos 2. ii) El número de bombas en servicio es a lo sumo 3. iii) Hay un número par de bombas en servicio. iv) Hay más de cuatro bombas en servicio. Solución i) ii) A2 = {0, 1, 2, 3} iii) A3 = {2, 4, 6} A1 = {2, 3, 4, 5, 6} A4 = {5, 6} iv) Observación: De acuerdo a la definición de evento y de acuerdo a la teoría de conjuntos, Ω y Φ son eventos, llamados evento seguro y evento imposible respectivamente. Definición: Dos eventos A y B, cualesquiera de Ω son disjuntos o mutuamente excluyentes si y sólo si no tienen elementos comunes, es decir su intersección es vacía. A y B disjuntos ⇔ A ∩ B = φ

A fin de recordar la teoría de conjunto, definamos el siguiente experimento: Suponga que realizamos una encuesta a n estudiantes seleccionados al azar de esta casa de estudios y que vamos a observar algunos eventos de interés como son: “Si el estudiante estudia ingeniería”, “Si el estudiante fuma” y, “Si el estudiante es de otra ciudad”. Si analizamos nuestro experimento, observamos que tenemos muchas situaciones, a decir: que el estudiante estudie ingeniería, que fume y que sea de otra ciudad. Otro resultado que podemos encontrar, que el estudiante sea de ingeniería, que no fume y que es de otra ciudad, o que el estudiante fume y que no estudie ingeniería y que sea de esta ciudad. También podemos encontrar que el sea de ingeniería, no fume y sea de otra ciudad, etc. Para representar los resultados de la encuesta, podemos recurrir a los diagramas de Venn. Sean los conjuntos siguientes: Ω = { x / x esun estudiante encuestado deestacasadeestudio } A = {x ∈ Ω / x es estudiante deingeniería} B = {x ∈ Ω / x es estudiante que fuma} C = {x ∈ Ω / x es estudiante que vive en otra ciudad}

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Ω A

B

C

Algunos resultados pueden ser expresado en la figuras siguientes: a)

b)

Ω

Ω A

A

B

B

C

C

c)

d)

Ω A

B

C

Ω A

B

C

Ejercicio:4: Indique en palabras y escriba como operación de conjuntos lo observado en las siguientes figuras.

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Una de las definiciones importantes en el cálculo de probabilidades es la siguiente: Definición: Diremos que un evento ocurre si uno cualesquiera de sus elementos es el resultado del experimento.

De acuerdo a esta definición: A ∪ B es el evento que ocurre si el evento A ocurre o el evento B ocurre. A ∩ B es el evento que ocurre cuando los eventos A y B ocurren a la vez. A ∩ B c es el evento que ocurre cuando sólo el evento A ocurre y no B

Recordemos las propiedades de la teoría de conjunto: Unión A ∪ B =B ∪ A

Intersección A ∩ B =B ∩ A

Asociatividad

A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪C

A ∩ (B ∩C ) = ( A ∩ B ) ∩C

Distributiva

A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

Idempotentes Identidad De Complemento

A∪ A = A A∪∅ = A A ∪ Ac = Ω

De De Morgan

(A ∪ B)

Propiedad Conmutatividad

c

A∩A = A A∩Ω = A A ∩ Ac = ∅ c

c

= A ∩B

(A ∩ B)

c

c

c

= A ∪B

Volviendo a la definición anterior, para determinar la ocurrencia de un conjunto, basta con conocer la cardinalidad de un evento. Así del ejemplo 3, el evento A 1 ocurre de 5 formas en cambio el evento A3 puede ocurrir de 3 formas. Un problema interesante que se presenta ahora es poder contar el número de elementos que tiene un conjunto. Este problema es totalmente resuelto cuando tenemos los elementos a la vista. Sin embargo esto no siempre es así, por ejemplo. Suponga que Ud. está cursando una asignatura en que el número total alumno es 30 y suponga que se debe seleccionar aleatoriamente 5 alumnos para que participen en un congreso con todos los gastos pagados. ¿Cuál es su posibilidad que sea seleccionado?. Responder esta pregunta requiere de la siguiente unidad. Técnicas de conteo: Definición: (Principio de suma) Si un proceso consta de dos operaciones O1 y O2, las que no pueden realizarse juntas ni en sucesión y suponga que la operación O1 puede realizarse de n formas y la operación O2 puede realizarse de m formas, entonces, la operación “O1 o O2” puede efectuarse de n+m formas. En la aplicación del principio de suma hay que cuidar que ninguna forma en O 1 se repita en O2. De ocurrir esto la operación “O 1 o O2” puede efectuarse de n+m-k formas, siendo k el número de coincidencias.

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Definición : (Principio de multiplicación o regla d el producto) Si un proceso consta de dos operaciones O1 y O2, y suponga que ambas pueden realizarse de manera conjunta o en sucesión. Si la operación O1 se puede realizar de n formas y una segunda operación O2 puede realizarse de m formas, entonces, ambas operaciones “O1 y O2” pueden efectuarse de nm formas.

En la aplicación de la regla del producto es posible aplicar una representación conocida como diagrama del árbol, que consiste en representar todas las posibilidades mediante ramas que nacen desde un vértice. Por ejemplo si una operación O1 se puede realizar de 4 formas y una operación O2 se puede realizar de 3 formas entonces la operación “O1 y O 2” se puede realizar de 12 formas, gráficamente: O1 O2

O2 O2

O2

Observación: Una extensión de estos principios a más operaciones se hace de manera natura a más de dos operaciones. Un esquema de ambas operaciones la podemos describir de la siguiente forma: n n

m

Principio de Multiplicación

m Principio de Suma

Ejemplo 4: Suponga que en el casino de la Universidad ofrecen como primer plato una sopa o entrada, como segundo plato ofrecen tres alternativas y por último puede ser un postre, café, té o agua de yerba, y suponga que todos los usuarios se sirven el menú completo. ¿Cuántos menús diferentes se pueden servir? Solución. Como el proceso consta de tres operaciones no excluyentes y en sucesión el número de menús diferentes puede hacerse de: 2 x 3 x 4 = 24 menús diferentes. Ejemplo 5: Suponga ha comprado un trozo de carne y para cocinarla busca algunas recetas, encontrando 5 formas de hacerla al jugo y 3 formas de hacerla al horno. ¿De cuántas formas puede cocinar su trozo de carne? Solución:

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Observe que ahora el proceso involucra dos operaciones excluyentes y tampoco se pueden hacer en sucesión, por lo que tenemos 5 + 3 =8 formas de cocinar el trozo de carne. Análisis combinatorio.

Definición: Cada una de las ordenaciones que pueden formarse tomando algunos o todos los elementos de un número de objetos se llama arreglo o variación. Definición: Las variaciones en las que entran todos los objetos, es decir, las diversas ordenaciones de todos los elementos, se llaman permutaciones. Definición: Dos permutaciones cualesquiera contienen los mismos elementos, sólo difieren en el orden en que los elementos están colocados. Definición: Cada uno de los grupos que pueden formarse tomando algunos o todos los elementos de un número de objetos de modo que dos cualquiera de ellos difieran en algún objeto se llama combinación. Para entender la diferencia entre permutación y combinación, consideremos el siguiente ejercicio. Escribir todas las permutaciones y combinaciones que podemos obtener con tres objetos seleccionado de un conjunto de cuatro. Si denotamos por a, b, c y d los cuatro objetos se tiene: Combinaciones abc abd acd bcd

abc abd acd bcd

Permutaciones acb cab cba bca adb dab dba bda adc dac dca cda bdc dbc dcb cdb

bac bad cad cbd

Observe que sólo tenemos cuatro combinaciones de tres objetos seleccionado de un conjunto de cuatro, en cambio, hay 24 permutaciones. Observe además que cada combinación da origen a 6 permutaciones. Definición: El número de permutaciones de n objetos distintos es n!. n! = n(n-1)(n-2) ... 2*1 (producto de los n primeros número naturales). 0! =1 Definición: El número de permutaciones de n objetos distintos, tomados de r a la vez, nPr, es: n ! n Pr = (n − r )! Definición: El número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son de una clase 1, n2 son de una clase 2, ..., nk son de una clase k, con n1+n2+...+nk = n, denotado por nPn1,n2,...,nk, es

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nPn 1 , n 2 ,..., n k =

n ! n 1! n 2 !...n k !

Definición: El número de combinaciones diferentes de n objetos tomados de r a la vez, nCr, es nCr =

n ! (n − r )! r !

Ahora que sabemos contar, volvamos al ejemplo de la selección de los 5 estudiantes desde un curso de 30. Una primera pregunta que debemos hacernos es, ¿interesa el orden en que los 5 estudiantes van a ser seleccionadas?. Si por ejemplo decidimos que el primer estudiante seleccionado sea el vocero del grupo, el segundo encargado del alojamiento, el tercero de la alimentación y el cuarto del transporte, entonces el orden es importante. En este caso el número de muestras posibles es dado por 30P5=17.100.720, de las cuales en 570.024 muestras Ud. aparecerá como vocero del grupo, en 589.680 muestras aparecerá como encargado del alojamiento, en 610.740 como encargado de la alimentación, en 633.360 aparecerá como encargado de transporte y en 657.720 no será encargado de nada, o sea, es posible que Ud. aparezca en 3.061.524 muestras. Ahora si no interesa el orden en que los alumnos son seleccionados, entonces habrá 30C5 = 142.506 muestras posibles, de las cuales Ud. podría aparecer en 23.751 muestras. Ejemplo 6: ¿Cuántos números diferentes de seis cifras pueden formarse con los nueve dígitos 1, 2, 3, …,9? Antes de responder observemos que ahora interesa el orden en que aparecen las cifras, luego la respuesta es 9P6 = 60.480 números ¿Cuántos comienzan con un número impar?. ¿Cuántos comienzan con 1?. ¿Cuántos terminan en 1? Ejemplo 7: ¿Cuántos números diferentes de seis cifras pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, …,9?. ¿Cuántos comienzan con un número impar?. ¿Cuántos comienzan con 1?. ¿Cuántos terminan en 1? Ejemplo 8: ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar con la palabra Ejemplo 9: Con 7 consonantes y 4 vocales ¿cuántas palabras (con o sin sentido) pueden formarse, conteniendo cada una 3 consonantes y 2 vocales?.

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Habiendo definido algunos elementos importantes daremos una definición formal de probabilidad. Como dijimos anteriormente, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que se asigna a un fenómeno como su posibilidad de ocurrir. Casi todos conocemos las leyes del azar relacionados con el lanzamiento de una moneda. Si alguien nos pregunta cuál es la probabilidad que una moneda muestre cara cuando esta es lanzada, la respuesta será

1 2

. Esta respuesta se basa en la

experiencia común que se tiene con las monedas, en que se supone que la moneda es legítima y que se lanza de manera legítima. Este es un ejemplo de probabilidad objetiva la cual tiene dos interpretaciones. La primera se basa en la simetría de los resultados que implica que resultados idénticos en los aspectos esenciales deben tener la misma probabilidad, por ejemplo en el lanzamiento de un dado, la probabilidad que caiga cualquiera de los números es

1 6

.

La segunda interpretación es la probabilidad como frecuencia relativa la que se basa en la experiencia histórica en situaciones idénticas. Cuando la probabilidad se basa en la experiencia personal o en el grado de creencia que se tenga respecto de la ocurrencia de un evento, esta se denomina probabilidad subjetiva. Probabilidad como frecuencia relativa. Suponga que un experimento es repetido N veces bajo las mismas condiciones. Si A es un evento de este experimento, el que ocurre n(A) veces en estas N repeticiones del experimento, se define la probabilidad del evento A, P(A), mediante P ( A) =

n( A) N

si N → ∞

Del ejemplo de la selección de los 5 alumnos, ¿cuál es la probabilidad que Ud. sea seleccionado para asistir al congreso?. Sea A el evento que indica que en la selección de cinco alumnos Ud. es uno de los integrantes. Si interesa el orden:

P(A) =

3.061.524 = 0.179 17.100.720

Interpretación: La probabilidad que Ud. integre la muestra de tamaño 5 es de un 18%. Esto también puede ser interpretado de la siguiente forma: Hay un 18% de las muestras en la Ud. será uno de los integrantes.

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Si no interesa el orden: P(A) =

23.751 = 0.167 142.506

Interpretación: La probabilidad que Ud. integre la muestra de tamaño 5 es de un 17%. Esto también puede ser interpretado de la siguiente forma: Hay un 17% de las muestras en la Ud. será uno de los integrantes. Un concepto más formal de probabilidad es a través de un desarrollo axiomático. Definición: Se llama probabilidad a una función de conjunto, real valuada, definida sobre la clase de todos los subconjuntos del espacio muestral Ω , tal que, a un subconjunto cualquiera A de Ω asocia un número, denotado por P(A), llamado probabilidad de A y que debe satisfacer los siguientes axiomas: Ax1.- P( Ω ) = 1 Ax2.- P(A) ≥ 0 Ax3.- P(UAi ) =

∑

P(Ai) para toda sucesión disjunta de eventos A1, A2, …..

i =1

Dado los tres axiomas podemos dar las siguientes consecuencias: Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω a) P( Φ ) =0 b) P(Ac)= 1 – P(A) donde Ac es el complemento del evento A bajo Ω . c) P(Ac ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B) d) P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) e) Si A ⊆ B entonces P(A) ≤ P(B) f) P(A) = P(A1) + P(A2) +…+ P(Ak) donde A1, A2,…, Ak forman una partición del conjunto A, es decir: k

-

A= U Ai

-

Ai ∩ A j = Φ

i =1

∀i ≠ j n

Ejemplo 10: Sean A0 , A1,⋯, An n eventos disjuntos dos a dos tales que ∪ Ai = Ω . i =1

 n    i Muestre que si P ( Ai ) =  n  , 2

n

i = 0, 1, ⋯, n , entonces

∑ P( A ) = 1 i

i =0

43


5

Ejemplo 11: Sean

A1, A2 ,⋯, A5 5 eventos disjuntos dos a dos tales que ∪ Ai = Ω . i =1

Encuentre el valor de k tal que la ley

P ( Ai ) =

i , k

i = 1, ⋯,5 define una ley de

probabilidad. Ejemplo 12: La probabilidad que un estudiante A apruebe la asignatura de probabilidades en un examen es de 0.75; la probabilidad que un estudiante B apruebe la asignatura de probabilidades en un examen es de 0.45 y la probabilidad que ambos aprueben es de 0.35. Calcular la probabilidad que : a) Al menos uno de ellos apruebe. b) Ninguno de ellos apruebe. c) Sólo uno de ellos apruebe Ejemplo 13: Tres caballos A, B, y C intervienen en una carrera; A tiene el doble de posibilidad de ganar que B, y B el doble de ganar que C. ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar? ¿Cuál es la probabilidad que el caballo B o C ganen? ,

Ejemplo 14: Sean dos artículos escogidos al azar de un grupo de 12 de los cuales 4 son defectuosos. Sea A evento, dos artículos son defectuosos y sea B evento, dos artículos no defectuosos. Obtener P(A) y P(B). Ejemplo 15: Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos claros. Hallar la probabilidad que una persona escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos claros. 3

1

1

Ejemplo 16: Sean A y B eventos con P(A) = , P(B)= Y P(A ∩ B)= . Hallar P(AUB), P(AC), P(BC), P(AC ∩ BC), P(ACU BC8), P(A ∩ B2C) y P(B ∩ AC).4 Ejemplo 17: Suponga que observamos un conjunto de 1100 objetos los que pueden ser clasificados de acuerdo a dos proveedores y a tres características; c1, c2 y c3. Suponga además que estos pueden ser ordenados en la siguiente tabla de doble entrada:

Característica Proveedor

c1

c2

c3

P1

132

85

300

P2

220

198

165

a) Si seleccionamos un objeto al azar de esta población ¿cuál es la probabilidad:

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i)

qué tenga la característica c3?

ii)

qué proceda del proveedor 1?

iii)

qué proceda del proveedor 2 o tenga la característica c2?

iv)

qué proceda del proveedor 2 y tenga la característica c1?

b) Si seleccionamos un objeto al azar y procede del proveedor 2 ¿Cuál es la probabilidad que tenga la característica c1? c) Si seleccionamos un objeto al azar y tiene la característica c2 ¿Cuál es la probabilidad que proceda del proveedor 2? Observemos que en la letra (b) y (c) el espacio muestral ha sido reducido a un conjunto más pequeño de interés como es en el primer caso, que el articulo seleccionado procede del proveedor 2, o en el segundo caso que se sabe que el articulo seleccionado tiene la característica c2, es decir, en ambos casos la probabilidad pedida está condicionada a la ocurrencia ya de un evento. Definición: Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω , se define la probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ha ocurrido, P(A/B) mediante la expresión:

(c.1)

P ( A∩ B) P ( A/ B) = P ( B)

si P(B) ≠ 0

Observe que en la expresión (c.1) participan tres términos, la probabilidad condicional P(A/B), la probabilidad conjunta de dos eventos P ( A ∩ B) y la probabilidad marginal P(B). De (c.1)

P ( A ∩ B) = P(A/B)P(B)

(c.2)

Así, es decir, la probabilidad conjunta de dos eventos es el producto de una probabilidad condicional y una probabilidad marginal. Análogamente se tiene que P ( A ∩ B) = P(B/A)P(A)

(c.3).

Las expresiones (c.2) y (c.3) se conocen como regla del producto para P ( A ∩ B) Del ejemplo anterior (pag 44): Letra b: Sea A: evento que el artículo seleccionado al azar tiene la característica c1 Sea B: evento que el artículo seleccionado al azar proviene del proveedor 2 Entonces de (c.1), P(A/B) =

220 583

= 0.38

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Respuesta: Hay un 38% de probabilidad que un artículo que proviene del proveedor 2 posea la característica c1. Letra c: Sea C: evento que el artículo seleccionado al azar proviene del proveedor 2. Sea D: evento que el artículo seleccionado al azar tiene la característica 2. Entonces de (c.1), P(C/D) =

198 283

= 0.70

Respuesta: Hay un 70% de probabilidad que un artículo que tiene la característica c2 provenga del operador 2. Ahora bien, si en la expresión (c.2), P(A/B) = P(A), entonces podemos ver que el evento B no influye en la ocurrencia del evento A, es decir, los eventos A y B son independientes. Definición: Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω . Se dice que los eventos A y B son independientes si y sólo si P ( A ∩ B) = P(A) P(B)

Observación: Si A y B son eventos independientes entonces: i)

A y Bc son eventos independientes

ii)

Ac y B son eventos independientes

iii)

Ac y Bc son eventos independientes

En resumen, para calcular la probabilidad conjunta entre los eventos A y B, existen tres formas: n( A ∩ B )  Como frecuencia relativa N   P ( A / B) P ( B)  P ( A ∩ B) =   bajo condición de dependencia P B A P A ( / ) ( )   P A P B bajo condición de independencia ( ) ( )  

(c.4)

Ejemplo 18 Suponga dos cajas A y B, en que la caja A contiene 8 artículos de los cuales 3 son defectuosos, y la caja B contiene 5 artículos de los cuales 2 son defectuosos. Si se escoge al azar un artículo de cada caja. i) ¿Cuál es la probabilidad que ambos artículos sean defectuosos? ¿Cuál es la probabilidad que un artículo sea defectuosos y el otro no? ii) Si un artículo es defectuoso y otro no ¿cuál es la probabilidad que el articulo iii) defectuoso proceda de la caja A?

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Ejemplo 19: Suponga que dos estudiantes, Juan y José son dos estudiantes de ingeniería de un curso de probabilidad en dos universidades distintas, que deben resolver un problema de probabilidades que está siendo aplicado, a la misma hora, en un test. Juan de acuerdo a lo aprendido en clases tiene un 35% de probabilidad de resolver el ejercicio y José un 45%. ¿Cuál es la probabilidad qué el ejercicio evaluado sea resuelto?. Solución 1:El ejercicio será resuelto si lo resuelve sólo Juan, sólo José o es resuelto por ambos. Sea A evento el problema es resuelto por Juan Sea B evento el problema es resuelto por José Sea S evento el problema es resuelto. P(S) = P(A ∩ Bc) + P(Ac ∩ B) + P(A ∩ B) De acuerdo al enunciado los eventos A y B son independientes puesto que si ellos lo resuelven totalmente incomunicados uno no influye sobre el otro, luego: P(S) = P(A)P(Bc) + P(Ac)P(B) + P(A)P(B) = 0.35(1-0.45)+(1-0.35)0.45 + 0.35*0.45 = 0.643 Respuesta: Hay una probabilidad de un 64.3% que el problema sea resuelto. Solución 2: Busque una segunda forma de resolver el ejercicio. Suponga ahora que el espacio muestral puede ser particionado por un conjunto de k eventos disjuntos A1, A2, …, Ak es decir: Ω = A1U A2U …U Ak

Ai ∩ A j = Φ

∀i ≠ j

Suponga además que estamos interesado en determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento B cualquiera de Ω . Esquemáticamente: A5

A1

A6

A2 B A4 A3 Ak

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De la figura observemos que el conjunto B puede ser reescrito como unión de los trocitos en que B se interfecta con algún A j, así B= (B ∩ A1)U(B ∩ A2)U…U(B ∩ Ak) Obviamente algunas intersecciones son vacías, luego P(B)= P((B ∩ A1)U(B ∩ A2)U…U(B ∩ Ak)) = P((B ∩ A1))+P((B ∩ A2))+…+P((B ∩ Ak)) = P(B/A1)P(A1) + P(B/A 2)P(A2) + …+ P(B/Ak)P(Ak)

por (c.4)

Expresión conocida como teorema de la probabilidad total para el evento B. Una pregunta interesante que surge aquí es, conocida la ocurrencia del evento B ¿cuál es la probabilidad que esta ocurrencia cause la ocurrencia del evento A j ? Esto es

P(A j / B) =

P ( A j ∩ B ) P ( B)

=

P ( B / A j ) P ( A j ) k

∑ P ( B / A ) P ( A ) i

i

i =1

Expresión conocida como regla de Bayes. Un poco de historia: Bayes, de origen inglés, fue ministro presbiteriano y un matemático competente. Consideró la forma en que podría probar la existencia de Dios examinando toda evidencia que el mundo aportaba acerca de él. En un intento por mostrar “que el fin principal de la Divina Providencia…es la felicidad de sus criaturas”, el reverendo Bayes utilizó las matemáticas para estudiar a Dios. Desafortunadamente, las implicaciones teológicas de sus hallazgos alarmaron tanto al buen reverendo Bayes que durante su vida se rehusó a permitir la publicación de su trabajo. Sin embargo, su obra trascendió y la teoría de decisiones moderna a menudo se conoce en su honor como teoría de decisiones bayesiana.

Ejemplo 20: Una planta de ensamblado recibe sus reguladores de voltaje de tres proveedores diferentes; el 60% lo recibe del proveedor 1, 30% del proveedor 2 y 10% del proveedor 3. Se sabe además que el 95% de los regulares de voltaje del proveedor 1, 80% de los del proveedor 2 y 65% de los del proveedor 3 se desempeñan de acuerdo con las especificaciones. a) Si revisamos al azar un regulador de voltaje de esta planta ¿cuál es la probabilidad que se desempeñe de acuerdo con las especificaciones? b) Si seleccionamos al azar un regulador de voltaje y no se desempeña de acuerdo con las especificaciones ¿cuál es la probabilidad que haya sido suministrado por el proveedor 1?. c) Si seleccionamos al azar un regulador de voltaje y se desempeña de acuerdo con las especificaciones ¿cuál es la probabilidad que haya sido suministrado por el proveedor 3?.

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d) Si seleccionamos al azar un regulador de voltaje ¿cuál es la probabilidad que no se desempeñe de acuerdo con las especificaciones y haya sido suministrado por el proveedor 2? Ejemplo 21: Suponga que una máquina usada en la fabricación de piezas puede estar ajustada o desajustada. Cuando está ajustada produce un 1% de piezas defectuosas y cuando está desajustada un 10%. Se sabe que la probabilidad de desajuste de la máquina es de un 30%. a) Si se selecciona al azar una pieza producida por esta máquina y es buena ¿cuál es la probabilidad que la máquina haya estado desajustada?. b) Supongamos ahora que se eligen al azar 10 piezas independientes y todas son buenas ¿calcular la probabilidad que la máquina haya estado desajustada? Ejemplo 22: Un político demócrata de Estados Unidos ha llegado a la conclusión de que los cambios en el índice de desempleo en el estado que representa tendrían un efecto importante en las probabilidades de su partido para ganar o perder escaños en el senado estatal. Ha determinado que si el índice de desempleo aumenta 2% o más, las probabilidades de perder más de 10 escaños, perder entre seis y 10 escaños, ganar o perder cinco o menos escaños, ganar entre seis y 10 escaños, y ganar más de 10 escaños son de 0.25, 0.35, 0.15, 0.15 y 0.10, respectivamente. Si el índice de desempleo cambia en menos de 2%, las respectivas probabilidades son 0.10, 0.10, 0.15, 0.35 y 0.30. Si el índice de desempleo baja 2% o más, las probabilidades respectivas son 0.05, 0.10, 0.10, 0.40 y 0.35. En la actualidad, este político tiene la convicción de que la probabilidad de que el desempleo se eleve en 2% o más es de 0.25, de que cambie en menos de 2% es de 0,45, y de que disminuya en 2% o más es de 0.30. a) Si los demócratas ganan siete escaños, ¿cuál es la probabilidad de que el índice de desempleo haya bajado 2% o más. b) Si los demócratas pierden un escaño, ¿cuál es la probabilidad de que el índice de desempleo haya cambiado en menos del 2%?. Ejercicios complementarios Ejercicio 5: Suponga que en una caja hay 20 fichas de las cuales 6 son rojas, 5 son verdes y 9 amarillas. Si seleccionamos 3 fichas al azar una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad que: a) ¿La primera sea amarilla? b) La segunda sea roja dado que la primera fue amarilla. c) La segunda sea roja dado que la primera fue roja.? d) La tercera es verde dado que las dos primeras fueron verde.?

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e) La tercera es verde dado que primera fue roja y la segunda amarilla?. Ejercicio 6: Tomemos tres cajas según se indica: Caja 1: Contiene 10 lámparas de las cuales cuatro son defectuosas. Caja 2: Contiene 6 lámparas con una defectuosa. Caja 3: Contiene 8 lámparas con 3 defectuosas. Escogemos al azar una caja y luego sacamos al azar una lámpara ¿Cuál es la probabilidad que la lámpara sea defectuosa? Ejercicio 7: Suponga que tenemos dos urnas como sigue: La urna A contiene 5 fichas rojas y tres blancas. La urna B contiene una ficha roja y dos blancas. Se lanza un dado balanceado. Si aparece un 3 o un 6 se saca una ficha B y se pone en la urna A y luego se saca una ficha de la urna A, de lo contrario se saca una ficha de la urna A y se coloca en B para luego sacar una ficha de B. i) ¿Cuál es la probabilidad que ambas fichas sean rojas? ii) ¿Cuál es la probabilidad que las dos fichas sean blancas? iii)¿Cuál es la probabilidad que ambas fichas sean de distinto color?

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