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ESTADISTICA I INTRODUCCION
CONCEPTOS BASICOS
Cuan Cuando do se habl habla a de Esta Estadí díst stic ica, a, se suel suele e pens pensar ar en conj conjun unto tos s de dato datos s numéricos presentados de forma ordenada y sistemática. Esta idea hace referencia a la acepción popular que existe sobre el término y que cada vez está más extendida. La Estadística es la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y pret preten ende de dar dar una una guía guía de acci acción ón en situ situac acio ione nes s prác prácti tica cas s que que entr entrañ añan an incertidumbre. Con el fin de ver de una manera más específica la forma con que trabaja esta ciencia, introduciremos los siguientes conceptos:
POBLACIÓN Es un conjunto de elementos de naturaleza cualquiera de los cuales estamos interesados en estudiar al menos una característica común y observable de dichos elementos en un determinado lugar y en un momento dado. Observación: La población en estudios debe estar definida sin ambigüedad de manera manera que no de lugar lugar a confusio confusiones. nes. Los elemento elementos s consideram consideramos os que se encuentran localizados en un determinado lugar o región geográfica y en un periodo de tiempo dado.
EJEMPLO El conjunto de de todos los estudiantes estudiantes matriculados matriculados en la UNI-IES en el presente año. Elementos: estudiantes. Características: sexo, Nº asignaturas que lleva, estatura, edad, año que lleva, turno, procedencia, etc.
VARIABLES Utilizaremos Utilizaremos variables variables como X, Y, Z, etc. para representar representar las características características de los elementos Existen básicamente 2 tipos de variables: Variables cualitativas: Son las que producen respuestas categóricas. (Atributos o modalidades) Variables cuantitativas: Son las que producen respuestas numéricas. (Valores) Si X representa la edad entonces X es cuantitativa. Si Y representa el sexo entonces Y es cualitativa.
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Las variable variables s cuantita cuantitativa tivas s pueden pueden conside considerars rarse e como como variable variables s discreta discretas s y variables continuas.
Variables discretas: Son aquellas cuyos valores posibles tienen interrupción ( esto es, se separan sin haber valores intermedios ) Por lo general provienen de un proceso de conteo. Si Z representa el número de asignaturas que lleva entonces Z es discreta. Variables Variables continuas continuas:: Son Son aquel quella las s cuyo cuyos s valo valore res s posi posibl bles es no tien tienen en interrupción. Por lo general provienen de un proceso de medición. Si X representa la estatura entonces X es contínua.
DATOS ESTADISTICOS Loa valores posibles de una característica X los denotaremos por x , mientras que los valores realmente observados de esa característica X , los llamaremos datos y los denotaremos por x i donde el valor del subíndice i nos indica que es la i-ésima observación de X. Con frecuencia usaremos el término población para referirnos a la totalidad de datos que podrían recopilarse en una situación dada. x1 , x2 , … , xN
PARAMETROS Es una medida que proviene de todos los datos de la población. Los parámetros son constantes que representan por lo general características de la población. Generalmente se representan por letras griegas. Por ejemplo, la media poblacional es un parámetro que se denota y define como N
μ=
x1 + x 2 + ... + x N N
∑ xi =
.
N
Si X representa la edad entonces µ representa la edad promedio
MUESTRA Es una parte de la población que se espera sea representativa de ella. Con frecuencia usaremos el término muestra para referirnos a los datos muestrales x1 , x2 , … , xn Población tamaño N X x1 x2 .
muestra tamaño n x1, x2,….xn
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Las variable variables s cuantita cuantitativa tivas s pueden pueden conside considerars rarse e como como variable variables s discreta discretas s y variables continuas.
Variables discretas: Son aquellas cuyos valores posibles tienen interrupción ( esto es, se separan sin haber valores intermedios ) Por lo general provienen de un proceso de conteo. Si Z representa el número de asignaturas que lleva entonces Z es discreta. Variables Variables continuas continuas:: Son Son aquel quella las s cuyo cuyos s valo valore res s posi posibl bles es no tien tienen en interrupción. Por lo general provienen de un proceso de medición. Si X representa la estatura entonces X es contínua.
DATOS ESTADISTICOS Loa valores posibles de una característica X los denotaremos por x , mientras que los valores realmente observados de esa característica X , los llamaremos datos y los denotaremos por x i donde el valor del subíndice i nos indica que es la i-ésima observación de X. Con frecuencia usaremos el término población para referirnos a la totalidad de datos que podrían recopilarse en una situación dada. x1 , x2 , … , xN
PARAMETROS Es una medida que proviene de todos los datos de la población. Los parámetros son constantes que representan por lo general características de la población. Generalmente se representan por letras griegas. Por ejemplo, la media poblacional es un parámetro que se denota y define como N
μ=
x1 + x 2 + ... + x N N
∑ xi =
.
N
Si X representa la edad entonces µ representa la edad promedio
MUESTRA Es una parte de la población que se espera sea representativa de ella. Con frecuencia usaremos el término muestra para referirnos a los datos muestrales x1 , x2 , … , xn Población tamaño N X x1 x2 .
muestra tamaño n x1, x2,….xn
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. xN
datos muestrales
ESTIMACION DE UN PARAMETRO Es una medida que proviene de los datos muestrales. Las estimaciones varían de una muestra a otra y representan características de las muestras. Por ejemplo, la media muestral de un conjunto de datos x 1 , x2 , … , xn se denota y define como n
x=
x 1 + x 2 + ... + x n n
∑ xi =
.
n
Si X repre represen senta ta la edad edad enton entonces ces x repr represe esent nta a la considera una estimación estimación o estimado de µ.
edad edad prom promed edio io y se
MUESTREO Y CENSO Como el fin de la Estadística es llegar a conocer un parámetro esto podemos lograrlo haciendo: Un muestreo: un examen sobre una parte de la población. Un Censo: un examen sobre toda la población.
¿QUE ES LA ESTADISTICA? ESTADISTICA?
La Estadística estudia los métodos y procedimientos para recopilar, organizar, presentar y analizar datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínsica de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones.
DIVISION DE LA ESTADISTICA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Es la parte arte de la esta estadí díst stic ica a que que estu estud dia los los méto método dos s de reco recopi pila laci ción ón,, organización, presentación y caracterización o análisis de un conjunto de datos.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL Estudia los métodos que hacen posible la estimación de un parámetro en base a datos muestrales.
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APLICACIONES DE LA ESTADISTICA A LA ECONOMIA, ADMINISTRACION DE EMPRESA Y LA CONTABILIDAD.
LA
Mostraremos como las técnicas estadísticas pueden servir al economista, al administrador de empresa y al contador para obtener un conocimiento amplio sobre su realidad económica y social. Es obvio que toda persona que se dedique al mundo de los negocios, industria, empresa, comercio, etc., necesita información sobre las características del ambiente en que realiza su actividad. Cualquier información cualitativa o cuantitativa debidamente tratada, puede servir para el conocimiento, desarrollo y control de los principales subsistemas funcionales de la empresa. Si analizamos algunos de estos subsistemas es posible encontrar ejemplos en los que la Estadística puede constituir un auténtico elemento de ayuda.
Recursos humanos Para la selección del personal los empresarios suelen usar cada vez con más frecuencia resultados obtenidos en test de aptitudes y conocimientos deseables en la persona a contratar. Las técnicas descriptivas son instrumentos adecuados para el tratamiento de las puntuaciones numéricas alcanzadas en dichos test.
Auditoria Uno de los nuevos instrumentos de que disponen los auditores de hoy, es el empleo de métodos de muestreo, a fin de reducir la cantidad de revisión detallada que se necesita. Suponga que una empresa tiene una cantidad muy grande de cuentas por cobrar. Un auditor puede utilizar algún método de muestreo estadístico para seleccionar una muestra de cuentas y a partir de ella estimar el saldo total de las cuentas. Si la cantidad que aparece en los libros de la empresa no cae dentro de los límites de la estimación, el auditor puede considerar la posibilidad de hacer un asiento de ajuste al valor en libros.
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Marketing Los estudios de mercado dirigidos al conocimiento de la demanda de productos, productos competidores, efectos de campañas publicitarias, etc., se llevan a cabo con regularidad en la empresa. Antes de sacar un producto al mercado se suele realizar una investigación al respecto mediante muestreo con objeto de obtener alguna información. Las técnicas estadísticas permiten en estas situaciones inferir valores de parámetros a partir de la información muestral. Por supuesto, a partir de una muestra no se puede conocer con exactitud y precisión las características de toda la población, siempre habrá un grado de incertidumbre sobre el verdadero valor del parámetro, el cual puede ser cuantificado en términos de probabilidad.
Producción En el proceso de fabricación de un producto intervienen innumerables factores (materias primas, maquinarias, obreros, etc.) que afectan a las características de calidad de ese producto. En muchas fábricas es corriente ver cómo los productos llegan a una banda transportadora en cuyo final hay una máquina empacadora que los envía al almacén. Entre la banda transportadora y la máquina de empacar suele haber un operario que observa atentamente los productos que llegan y ocasionalmente arroja alguno a un cesto cercano. Está eliminando productos defectuosos. Hoy día el control de calidad de la producción es básico para que los artículos producidos cumplan los requisitos de calidad establecidos por las normas tanto nacionales como internacionales. Los métodos estadísticos son una herramienta eficaz en esta área para mejorar los procesos de producción y reducir sus defectos.
Finanzas Resulta evidente que cualquier profesional de la empresa o los negocios debe adquirir una formación básica en estadística en un proceso de aprendizaje, que le permita moverse con soltura en el mundo que le rodea. Si ha de tomar decisiones en un entorno de fluctuaciones y riesgos, no bastará con entender la terminología estadística, necesitará conocerla lo suficiente como para aplicarla y hacer de ella una herramienta eficaz en el ejercicio de su actividad. Las decisiones de una empresa de invertir en nuevos productos, locales, maquinarias, etc.,vendrán condicionadas por los beneficios esperados del dinero. Para ello son de gran utilidad las técnicas de predicción, que constituyen una auténtica necesidad en el mundo de los negocios.
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TEMA 1 :
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
OBJETIVOS. 1. Conocer procedimientos para organizar datos en una distribución de frecuencias. 2. Construir e interpretar tablas y gráficas estadísticas. 3. Calcular e interpretar medidas de posición, dispersión, asimétria y apuntamiento de datos.
1.1 INTRODUCCION Este tema pretende introducir al estudiante en el manejo de datos numéricos, enseñarle a organizar y presentar datos obtenidos de un estudio mediante la construcción de tablas y gráficas estadísticas. También será de vital importancia poder condensar la información en medidas que la representen en forma clara, por tal razón, trataremos de encontrar valores para esas medidas (estadísticos o parámetros ) que logren sintetizar la información. Estas medidas expresarán la posición, dispersión, asimetría y forma de los datos. 1.2 RECOPILACIÓN DE DATOS Consiste en la utilización adecuada de técnicas que permitan recoger la información de la manera más eficiente. Los datos pueden ser recopilados de: a) Registros internos b) Publicaciones c) Encuestas Cuando a) y b) no son apropiados para el estudio que estamos haciendo utilizamos la encuesta, esto es, un instrumento que nos permite recopilar la información necesaria. La encuesta está limitada por factores: tiempo, dinero, recursos materiales y humanos disponibles. Se puede llevar a cabo por dos formas: a) Por muestreo b) Por censo. 1.3 ORGANIZACIÓN (RESUMEN) DE LOS DATOS Aquí la información se resume con el fin de facilitar su presentación y análisis posterior. 1.3.1 DATOS AGRUPADOS EN CLASES Introduciremos primero algunos conceptos:
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Un intervalo de clase o simplemente clase se denota y define como: Li ---- Ls : Más de Li hasta Ls donde Li el límite inferior y Ls es el límite superior de la clase.
Una clase de extremo abierto es la que no especifica uno de sus límites y la denotaremos así:
Hasta Ls Más de Li
Amplitud o tamaño de un intervalo de clase c = Ls – Li
Punto medio de un intervalo de clase o marca de clase j m j =
Li + Ls
j = 1, 2, ....., g
2
EJEMPLO 1.1 Los siguientes datos corresponden a consumos mensuales registrados (en cienes de córdobas) en 30 familias del barrio Costa Rica. Tabla 1.1 Datos originales de los consumos mensuales 24 21 25
16 17 14
26 13 29
31 20 20
17 30 26
25 24 15
17 19 27
23 22 21
23 21 22
19 18 23
18 23 29
19 23 30
19 23 31
Fuente: Encuesta realizada por INEC Organice los datos recopilados anteriormente en 5 clases 1.
Ordenar los datos 13 20 24
2.
14 20 24
15 21 25
16 21 25
17 21 26
17 22 26
17 22 27
Determinar el rango R = xmayor – xmenor = Dato mayor - Dato menor
3.
Determinar N° clases '' g '' y tamaño de clase ''c''.
R = 31 - 13 = 18
8
Si g es dado , c> 4.
18 5
c > pero cercano a
R g
= 3.6 tomaré C = 4
Escribir las clases.
El límite inferior de la primera clase debe ser un número menor y cercano al dato menor. El límite superior de la última clase debe ser mayor o igual, pero cercano, al dato mayor.
Tabla 1.2 Organización de los datos de la tabla 1.1 del ejemplo 1.1 N° familias 12 16 20 24 28
-------------------------------
16 20 24 28 32
4 8 10 5 3
Ls última clase = Li primera clase + gc Ls última clase = 12 + 5 ( 4 ) = 32
30 5. Contar los datos
1.4 PRESENTACION DE DATOS Una vez organizados los datos debemos presentarlos de una forma fácil de entender, esto es que podamos percibir fácilmente los hechos esenciales de la información. Los datos serán presentados en una tabla que contendrá básicamente : un título, un cuerpo y una fuente. También presentaremos los datos por gráficas, en las cuales tomaremos en el eje horizontal la característica de interés x y en el eje vertical las frecuencias. Debemos tener cuidado en la selección de las unidades en los ejes: Regla de los 3/4 La altura del punto correspondiente a la mayor frecuencia debe ser aproximadamente igual a los 3/4 del eje horizontal. 1.4.1 DATOS CUANTITATIVOS Cuando la característica de interés de los elementos sea una variable cuantitativa, se obtendrán de ella lo que llamaremos datos cuantitativos, que pueden ser presentados en tablas o gráficas. 1.4.1.1 DATOS REPETIDOS Cuando los datos están muy repetidos es útil contar el número de veces que se repite cada dato. Supongamos que f i representa la frecuencia conque se presenta el dato xi de una variable de interés X.
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Podemos presentar este conjunto de datos en lo que llamaremos una distribución de frecuencias de X, mediante una tabla o una gráfica.
TABLA DE FRECUENCIAS DE UNA VARIABLE DISCRETA EJEMPLO 1.2 Supongamos que los siguientes datos representan número de días de atraso en el pago de 10 cuentas de crédito. 1, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 0, 2
Si X representa el número de días de atraso en el pago de las cuentas, podemos presentar esta información en la siguiente tabla: Tabla 1.3 Título: Distribución de frecuencias del número de días de atraso en el pago de 10 cuentas de crédito. xi f i N° días N° cuentas
0 1 2 3
2 3 4 1 10
Fuente: BANPRO
GRAFICO DE FRECUENCIAS DE UNA VARIABLE DISCRETA EJEMPLO 1.3 Con los datos de la tabla 1.3 del ejemplo 1.2 obtenemos la siguiente figura.
f
5 4 3 2 1 0 -1
0
1
2
3
4
X
10
Figura 1.1 Distribución de frecuencias del número de dias de atraso en el pago de 10 cuentas de crédito.
1.4.1.2 DATOS AGRUPADOS EN CLASES Para presentar datos agrupados en clases necesitaremos introducir los siguientes conceptos: f j : frecuencia ( absoluta ) de la clase j. Número de datos en la clase j fa j : frecuencia acumulada hasta la clase j. Número de datos cuyos valores son inferiors o iguales al límite superior de la clase j . fa j = f 1 + f 2 + … + f j fr j : frecuencia relativa de la clase j. fr j =
f j
Proporción de datos que corresponde a la clase j .
j = 1 , 2 , … , g
n
fra j : frecuencia relativa acumulada hasta la clase j. inferiores o iguales al límite superior de la clase j . fra j
=
fa j
Proporción de datos cuyos valores son
j=1,2,…,g
n
Cuando los datos están agrupados en clases diremos que forman una distribución de frecuencias , la cual, puede ser presentada por una tabla estadística o una gráfica estadística.
TABLA DE FRECUENCIAS ( ABSOLUTAS, RELATIVAS, ACUMULADAS, RELATIVAS ACUMULADAS ) EJEMPLO 1.4 Con los datos de la tabla 1.2 del ejemplo 1.1 obtenemos la siguiente tabla. Tabla 1.4 TITULO : Distribuciones de frecuencias de los consumo mensuales de 30 familias del barrio Costa Rica. f j N° familias
Niveles de Consumo
fr j Prop. Familias
fa j N° familias hasta clase j
fra j Prop. familias hasta clase j
m j
12 --- 16 16 --- 20 20 --- 24 24 --- 28 28 --- 32
10 14 18 22 26 30 34
4 8 10 5 3
0.13 0.27 0.33 0.17 0.10
4 12 22 27 30
0.13 0.40 0.73 0.90 1.00
11
30
1.00
Conteste las siguientes preguntas : 1. ¿ Cuántas familias tienen un consumo entre 16 y 24 ? 2. ¿ Qué proporción de familias tienen un consumo entre 20 y 24 ? 3. ¿ Cuántas familias tienen un consumo inferior a o igual 28 ? 4. ¿ Qué proporción de familias tienen un consumo inferior o igual a 24
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS / HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Ubicamos en el eje horizontal los límites inferiores y superiores de cada clase. Dibujamos rectángulos tales que las longitudes de las bases correspondan a los tamaños de las clases y las alturas sean las correspondientes frecuencias de las clases.
EJEMPLO 1.5 Con datos de la tabla 1.4 del ejemplo 1.4 obtenemos la siguiente figura.
f
12 10 10 8 8 6
5 4
4
3
2 0
12
16
20
24
28
32
X
. Figura 1.2 Histrograma de frecuencias de los consumos mensuales de 30 familias del barrio Costa Rica.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS Se forman haciendo que cada marca de clase represente los datos de esa clase. Luego se toman las frecuencias correspondientes a cada marca de clase para después unir los puntos resultantes con
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segmentos. Algunos prolongan el polígono hasta las marcas de clase imaginarias inferior y superior inmediata
EJEMPLO 1.6 Con datos de la tabla 1.4 del ejemplo 1.4 se ha dibujado el polígono de frecuencias de los consumos mensuales de las 30 familias. Ver figura 1.3
f
12 10 8 6 4 2 0 10
14
18
22
26
30
34
X
Figura 1.3
POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS (OJIVA) / POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS (OJIVA PORCENTUAL) Ubicamos en el eje horizontal los límites superiores de todas las clases. Algunos prolongan el polígono hasta el límite superior imaginario de la clase imaginaria inferior inmediata EJEMPLO 1.7
13
Con datos de la tabla 1.4 del ejemplo 1.4 obtenemos la siguiente figura. fa
35 30 25 20 15 10 5 0 12
16
20
24
28
32
X
Figura 1.4 Polígono de frecuencias acumuladas ( Ojiva ) de los consumos mensuales de 30 familias del barrio Costa Rica.
1.4.1.3
DATOS RELACIONADOS CON EL TIEMPO
EJEMPLO 1.8 Tabla 1.5 Costo de la canasta básica en córdobas a nivel nacional durante el período 1991 – 2000. Años
1991 1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Costo
750
820
880
1100
1200
1350
1550
1600
1700
780
Fuente. Banco Central de Nicaragua.
GRAFICO DE LINEAS Consiste en un conjunto de líneas o segmentos de recta que muestran los cambios que experimenta una determinada variable, generalmente en función del tiempo. Las coordenadas se pueden graficar en el centro del período de tiempo.
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EJEMPLO 1.9 Con los datos de la tabla 1.5 del ejemplo 1.8 obtenemos la siguiente figura.
1800 1700 1600 1500 1400 t 1300 s o C 1200
1100 1000 900 800 700 1991
1992 1993
1994
1995 1996
1997
1998 1999
2000
Años
Figura 1.5 Gráfico de líneas del costo de la canasta básica en córdobas a nivel nacional durante el período 1991 – 2000. Observe que el costo de la canasta básica siempre crece durante el período 1991 – 2000, ocurriendo un crecimiento a un ritmo mayor a partir de 1995.
EJEMPLO 1.10 Tabla 1.6 Salario mínimo del sector industrial a nivel nacional para el período 1991 – 2000. Años Salarios
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 400
500
600
700
800
850
900
950
1999 2000 1000 1050
Fuente: Banco Central de Nicaragua.
COMPARACION DE GRAFICOS LINEALES Estos gráficos generalmente se utilizan para comparar aspectos contrapuestos tales como ingresos – gastos, exportación – importación, etc.
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EJEMPLO 1.11 Con los datos de la tabla 1.6 y 1.5 de los ejemplos 1.8 y 1.10 respectivamente obtenemos la siguiente figura. BRECHA ENT RE CANAST A BASICA Y SALARIO
1800 1700 1600 1500 1400 1300
o i r1200 a l 1100 a S1000 / o 900 t s 800 o C 700 600 500 400 300 1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Años
Cost o
Salario
Figura 1.6 Comparación del costo de la canasta básica y el salario mínimo del sector industrial para el período 1991 – 2000. Observe que el costo de la canasta básica siempre es mayor que el salario mínimo, ocurriendo la diferencia más pequeña de C$ 180 en el año 1994. De 1991 a 1994 el salario creció a un ritmo mayor que el costo de la canasta básica, pero de 1995 a 2000 el costo de la canasta básica creció a un ritmo mucho mayor que el salario. De la figura anterior podemos comentar que el aparato industrial nicaragüense tiene poco desarrollo.
1.4.2 DATOS CUALITATIVOS Cuando la característica de interés de los elementos sea una variable cualitativa, se obtendrán de ella lo que llamaremos datos cualitativos. En los fenómenos cualitativos, las respuestas categóricas se pueden clasificar en tablas o gráficas. EJEMPLO 1.12 Tabla 1.7 Importaciones realizadas por Nicaragua de 545.3 millones de dólares en bienes intermedios en el año 2000 según la actividad ecónomica. ACTIVIDAD ECONOMICA Agricultura
MONTO 78.7
% 14.4
ANGULO 52°
16
Industria Construcción
353.7 112.9
64.9 20.7
233° 75°
Total
545.3
100.0
360°
Fuente: Banco Central
GRAFICA DE PASTEL O SECTORES Se construyen en base a un círculo que representa el valor total de las distintas categorías en que se divide un atributo, dividido este círculo en tantos sectores circulares como categorías tenga el atributo. La magnitud del ángulo de los sectores se calcula con la siguiente fórmula: Valor de la categoría Angulo del sector =
x 360° Valor total de las categorías
EJEMPLO 1.13 Con los datos de la tabla 1.7 del ejemplo 1.12 obtenemos la siguiente figura.
21%
14% Agricultura Industria Construcción 65%
Figura 1.7 Gráfica de pastel que ilustra las importaciones realizadas por Nicaragua según la actividad ecónomica.
GRAFICA DE BARRAS Este gráfico está constituido por un conjunto de barras o rectángulos , separados por distancias iguales , cuyas alturas son el valor de los datos correspondientes al atributo que señalan sus bases. EJEMPLO 1.14
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Con los datos de la tabla 1.7 del ejemplo 1.12 obtenemos la siguiente figura.
353.7
400
o i c 300 a t r 200 o p 100 m I 0
112.9
78.7
Agricultura
Industria
Construcción
Actividad ecónomica
Figura 1.8 Gráfica de barras que ilustra las importaciones realizadas por Nicaragua según la actividad ecónomica.
EJEMPLO 1.15 Tabla 1.8 Precios promedios en dólares de los tres principales productos de consumo: frijol, pollo y leche a nivel centroamericano. PRODUCTOS Frijol Pollo Leche
Costa Rica
El Salvador
Guatemala
Honduras
Nicaragua
0.50 0.94 0.40
0.55 1.02 0.87
0.39 0.93 0.59
0.48 0.72 0.47
051 0.80 0.42
Fuente: Banco Central de Nicaragua, Septiembre de 2000
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EJEMPLO 1.16 Con los datos de la tabla 1.8 del ejemplo 1.15 obtenemos la siguiente figura.
s o i c e r P
1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 C.R.
E.S.
Frijol
G
Pollo
H
N
Leche
Figura 1.9 Gráfica de barras que ilustra los precios promedios en dólares de los tres principales productos de consumo: Frijol, Pollo y Leche. Observando el gráfico anterior conteste las siguientes preguntas: ¿ Cuál es el menor precio del pollo a nivel centroamericano ? ¿ Cuál el el mayor precio de la leche a nivel centroamericano ? ¿ En qué país centroamericano la leche tiene menor precio ? ¿ En qué país centroamericano el pollo tiene mayor precio ? ¿ En Guatemala qué producto tiene menor precio ? ¿En Nicaragua qué producto tiene mayor precio?
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1.5 CARACTERIZACION ( ANÁLISIS ) DE LOS DATOS Aquí el investigador trata de resumir la información disponible en algunas expresiones, esto es, valores o medidas que nos fijen el comportamiento global del fenómeno. El análisis de los datos consiste básicamente en la determinación de dos medidas que representan características de los datos.
• Medidas de posición Nos indican las posiciones o lugares alrededor de los cuales se distribuyen los datos. • Medidas de dispersión Nos informan sobre la variabilidad de los datos alrededor de las medidas de posición. Existen otras medidas que serán estudiadas posteriormente. Posición
Posición
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 x
Figura 1.10 Puntos sobre la recta real correspondientes a dos conjuntos de datos. ¿ Cómo se dispersan los datos y alrededor de qué posición lo hacen ?
1.5.1 MEDIDAS DE POSICION 1.5.1.1 MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL Son valores representativos que tienden a situarse en el centro de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. 1.5.1.1.1 LA MEDIA ARITMÉTICA DATOS NO AGRUPADOS EN CLASES Si x1, x2,..........,xn representan datos muestrales entonces su media muestral se denota y define así n
∑ xi .
x=
n
Si x1, x2,..........,x N representan todos los datos poblacionales entonces su media poblacional se denota y define así N
∑ xi μ=
.
N
20
EJEMPLO 1.17 Los siguientes datos representan saldos en miles de córdobas de 5 cuentas de ahorro. 20, 10, 15, 25, 20 Calcule el saldo promedio de las 5 cuentas Elementos: cuentas X : saldo n=5 x
=
20 + 10 + 15 + 25 + 20 5
=
90
= 18 (en miles de C$ )
5
Datos repetidos Si los datos forman una distribución de frecuencias de la variable X utilizaremos para la media muestral la siguiente fórmula:
∑ x f i i
x
=
.
n
EJEMPLO 1.18 Dada la distribución de frecuencias de la tabla 1.3 del ejemplo 1.2 , calcule el número promedio de días de atraso en el pago de las cuentas. Tabla 1.9 xi
f i
xif i
0 1 2 3
2 3 4 1
0 3 8 3
10
14
x
=
14 10
= 1.4 días
21
DATOS AGRUPADOS EN CLASES Si los los dato datoss repr repres esen enta tado doss por por la vari variab able le de inte interé réss X está estánn agru agrupa pado doss en “g “ clas clases es consideraremos que los valores de X serán las marcas de clase, motivo por el cual escribiremos: Para una muestra: g
∑m jf j x=
.
m j: marca de la clase j
n
f j: frecuencia de la clase j Para una población: g
∑m jf j μ=
.
N
EJEMPLO 1.19 La distribución de frecuencias de gastos en energía eléctrica en córdobas durante el mes de Julio en 50 casas del barrio la Primavera de Managua es dada por la siguiente tabla . Tabla 1.10 f j Gastos m j No. casas m jf j u j u jf j 75 ----- 100 100 ---- 125 125 ---- 150 150 ---- 175 175 ---- 200 200 ---- 225
87.5 112.5 137.5 162.5 187.5 212.5
4 8 15 13 7 3
35 0 90 0 2062.5 2112.5 1312.5 637.5
50
7375.0
-2 -1 0 1 2 3
-8 -8 0 13 14 9 20
Calcule el gasto promedio en energía eléctrica de las casas.
Método ordinario: x=
7375 = 147.50 50
Método por codificación: Usaremos una variable de codificación u j que sólo tomará valores enteros, enteros, de tal forma que a cada marca marca de clas clasee le corresp correspond onderá erá un entero entero.. La marca marca de clase clase qu quee teng tengaa asigna asignado do el 0 será será representada por m0. La fórmula que usaremos será la siguiente:
22 g
∑u jf j x = m0 + (
x = 137 .5 +
.
n
)c
20 ( 25) = 137 .5 +10 = 147.50 50
Coloque el código 0 a la marca de clase que Ud. quiera, luego calcule x PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA i. Todo Todo con conju junt ntoo de dat datos os tie tiene ne una una medi mediaa y es úni única ca.. ii. La suma algebraica algebraica de las desviaci desviaciones ones de un un conjunto conjunto de datos con con respecto respecto a su media media es cero. n
∑(x i − x) = 0 .
EJEMPLO 1.20 Comprobación de que la suma algebraica de las desviaciones de los números 1, 3, 5, 7 con respecto a su media es cero. Tabla 1.11 xi
xi - 4
1 3 5 7
-3 -1 1 3
16
0
x=
16 =4 4
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X
Figura 1.11 DESVENTAJAS DE LA LA MEDIA MEDIA ARITMÉTICA i. Es muy sensible a las observaciones extremas cuando éstas no están equilibradas en ambos lados. ii. Es inadecuada inadecuada si hay clases clases de extremo extremo abierto. abierto.
1.5.1.1.2 LA MEDIANA
23
Para datos que contienen valores extremos es recomendable utilizar la mediana porque ésta no es sensible a las observaciones extremas. La mediana es el valor que se encuentra en el centro de una secuencia ordenada de datos.
DATOS NO AGRUPADOS EN CLASES Si un conjunto de datos están ordenados según su magnitud en orden creciente o decreciente entonces la mediana la determinamos así: i. Si n es impar entonces la mediana es el valor central Posición:
n +1 2
ii. Si n es par la mediana es el promedio promedio de los dos valores valores centrales centrales
Posiciones:
n 2
y
n 2
+1
EJEMPLO 1.21 Consideremos el costo en córdobas de la canasta básica de 5 ciudades: 1300, 1000, 1100, 1350, 1200 Determine la mediana. El arreglo ordenado es: 1000, 1100, 1200, 1300, 1350 Me = 1200
Posición: 3
EJEMPLO 1.22 En 10 días un Banco tuvo 18, 13, 15, 12, 8, 3, 7, 14, 16 y 3 transacciones en moneda extranjera. Determine la mediana. El arreglo ordenado es: 3, 3, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 18 Me =
12 +13 2
NOTA: La mediana siempre existe y es única.
DATOS AGRUPADOS EN CLASES
Posiciones: 5 y 6
= 12.5
24
1. Identificar la clase mediana ( k ) Es la primera clase con una frecuencia acumulada ≥ n / 2 2. Aplicar la fórmula n − fa k −1 2 Me = Li k + ( )c f k
donde: fa k-1 es la frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase mediana. Lik es el límite inferior de la clase mediana. f k es la frecuencia de la clase mediana. n es el número de datos.
EJEMPLO 1.23 Dada la distribución de frecuencias de la tabla 1.10 del ejemplo 1.19, calcule el gasto mediano en energía eléctrica de las 50 casas. Gastos
75 ---- 100 100 ---- 125 125 ---- 150 150 ---- 175 175 ---- 200 200 ---- 225
f j No. casas
4 8 15 13 7 3
fa j 4 12 27 40 47 50
50 1.
n / 2 = 25
2.
Me
= 125 + (
La primera clase con una fa. ≥ 25 es k = 3 25 −12 13 ) 25 = 125 + ( 25) = 146 .6667 15 15
EJEMPLO 1.24 Los siguientes datos representan ventas anuales registradas en millones de córdobas en 80 tiendas
25
Tabla 1.12 Ventas anuales
N° tiendas
fa j
Hasta 10 10 ---- 20 20 ---- 30 30 ---- 40 40 ---- 50 Más de 50
8 18 32 15 6 1
8 26 58 73 79 80
80 Calcule la venta anual mediana de las tiendas. 1. 2.
n 2
= 40
Me = 20 + (
La primera clase con una fa 40 − 26 )10 32
= 20 +
≥ 40 es k = 3
140 = 20 + 4.375 = 24.375 32
1.5.1.1.3 LA MODA La moda de un conjunto de datos es aquel valor que se presenta con más frecuencia. La moda no es afectada por valores extremos. Sin embargo sólo se utiliza para propósitos descriptivos porque es más variable para distintas muestras que las demás medidas de posición. DATOS NO AGRUPADOS EN CLASES EJEMPLO 1.25 Los siguientes datos corresponden a ventas mensuales de una empresa registradas en millones de córdobas durante el año pasado. 100, 80, 150, 60, 100, 90, 130, 100, 90, 100, 120, 100 ¿Cuál fue la venta mensual modal de la empresa? Mo = 100 La moda puede no existir, incluso si existe puede no ser única.
EJEMPLO 1.26 60, 74, 82, 85, 90
La moda no existe
EJEMPLO 1.27 50, 60, 70, 60, 50, 40, 80, 50, 60, 45 Mo = 50 y Mo = 60
26
DATOS AGRUPADOS EN CLASES 1.
Identificar la clase modal ( k ) Es la clase con la más alta frecuencia.
2.
Aplicar la fórmula Mo = Lik + (
Δ1 )c Δ1 + Δ 2
donde: Lik es el límite inferior de la clase modal. ∆1 es la diferencia absoluta entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedente. ∆2 es la diferencia absoluta entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.
EJEMPLO 1.28 Dada la distribución de frecuencias de la tabla 1.10 del ejemplo 1.19, calcule el gasto modal en energía eléctrica de las 50 casas. GASTOS
75 ---- 100 100 ---- 125 125 ---- 150 150 ---- 175 175 ---- 200 200 ---- 225
f j No. casas
∆1 = 15 − 8 = 7
4 8 15 13 7 3
∆2 = 15 −13 = 2
50 1. La clase con la mayor frecuencia es la tercera, esto es, k = 3 2. Mo = 125 + (
7 7 +2
)25 = 125 + 19.4444 = 144.4444
1.5.1.2 MEDIDAS DE POSICION NO CENTRAL 1.5.1.2.1 PERCENTILES Son medidas que dividen a una distribución en cien partes iguales.
27
El percentil r, denotado por Pr , donde r = 1, 2, ........, 99 es el valor por debajo del cual queda el r% de los datos. DATOS AGRUPADOS EN CLASES 1. Identificar la clase que contiene al Pr (k) Es la primera clase con una frecuencia acumulada ≥
r n( ) 100
2. Aplicar la fórmula Pr
= Li k + (
n(
r ) − fa k −1 100 )c f k
donde n es el número de datos Lik es el límite inferior de la clase que contiene al Pr r n( ) 100
es el r% de n
f k es la frecuencia de la clase que contiene al Pr fak-1 es la frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase que contiene al Pr.
EJEMPLO 1.29 Dada la distribución de frecuencias de la tabla 1.10 del ejemplo 1.19, ¿ Por debajo de qué gasto en energía eléctrica está el 90% de las casas ? GASTOS
f j
fa
75 ----- 100 100 ----- 125 125 ----- 150 150 ----- 175 175 ----- 200 200 ----- 225
4 8 15 13 7 3
4 12 27 40 47 50
50 r
1.
n(
2
P90
= 50(
90
) = 45 La primera clase con una fa. ≥ 45 es k = 5 100 45 − 40 125 ) 25 = 175 + = 175 + ( = 175 + 17.8571 = 192.8571 7 7
100
)
¿ Por debajo de qué gasto en energía eléctrica está el 60% de las casas ?
1.5.2 MEDIDAS DE DISPERSION Considere que los siguientes puntos sobre la recta real son los correspondientes a dos conjuntos de datos.
28
Posición
Posición
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 X
Figura 1.12 ¿ Cómo se dispersan los datos y alrededor de qué posición lo hacen ? ¿ Qué conjunto de datos tendría la menor variación? Cuando la dispersión de los datos se considera pequeña en comparación a la magnitud de los datos decimos que la medida de posición es confiable, esto es, representativa de los datos.
1.5.2.1 LA VARIANZA , LA DESVIACION ESTANDAR Y EL COEFICIENTE DE VARIACION. DATOS NO AGRUPADOS EN CLASES Si x1, x2,..........,x N representan todos los datos poblacionales entonces su varianza poblacional se denota y define así N
∑ (x i − μ) σ2 =
2
.
N
La desviación estandar poblacional se denota y define así =
σ
2
σ
Si x1, x2,..........,xn representan datos muestrales entonces su varianza muestral se denota y define así Fórmula abreviada n
(∑ x i ) 2
n
∑ (x i − x) 2
s =
2
n
∑ xi
.
n −1
La desviación estándar muestral se denota y define así
s2 =
s
=
s
2
−
.
.
n
n −1
2
El coeficiente de variación es una medida relativa de dispersión. Se expresa como porcentaje y es útil cuando se compara la variabilidad de dos o más conjuntos de datos expresados en diferentes o iguales unidades de medición.
29
Para una muestra
CVmtra
=
s x
Para una población
(100)
CV pob =
σ μ
(100)
EJEMPLO 1.30 Los siguientes datos representan saldos en miles de córdobas de 5 cuentas de ahorro. 20, 10, 15, 25, 20 Determine: a) El saldo promedio de las cuentas b) La varianza y la desviación estandar de los saldos c) El coeficiente de variación (x i − x) 2
xi
a) b)
x2i
20 10 15 25 20
4 64 9 49 4
400 100 225 625 400
90
130
1750
x=
90
= 18 5 130 s2 = = 32 .50 4 (90) 2 1750 − 5 s2 = 4
=
1750 − 1620 4
=
130 4
= 32.50
⇒
s =
32,50 =5.7009
Tanto la varianza como la desviación estándar de un conjunto de datos son medidas de variabilidad de los datos alrededor de la media. La desviación estándar puede interpretarse como una desviación promedio de los datos alrededor de la media, en otras palabras, cuánto se alejan en promedio los datos de la media. Para el ejemlo 1.30, podemos decir que la desviación promedio de los saldos de las cuentas alrededor de C$ 18 es C$ 5.7009 o bien que los saldos se alejan en promedio C$ 5.7009 de la media. c)
CV =
5.7009 (100) = 31.6717% 18
Este valor no tendrá sentido a menos que lo comparemos con otro conjunto de cuentas. Consideremos otro conjunto de cuentas: xi 21 15
(x i − x) 2
xi2
2.25 56.25
441 225
30
a) b) c)
25 29
6.25 42.25
625 841
90
107.00
2132
90 = 22.50 4 (90) 2 2132 − 2 4 = 2132 − 2025 s = 3 3 5.9722 CV = (100) = 26.5431% 22.50 x=
=
107 3
= 35.6667
⇒
s
=
35.6667
= 5.9722
¿Qué conjunto de cuentas tiene el saldo más uniforme?
Datos repetidos Si los datos forman una distribución de frecuencias de la variable X, la varianza muestral se define así ∑(x i − x) 2
s =
2
f i
.
n −1
EJEMPLO 1.31 Para la distribución de frecuencias de la tabla 1.3 del ejemplo 1.2 , calcule la desviación estándar del número de días de atraso en el pago de las cuentas. Recordemos que x = 1.4 días.
− x) 2 f
xi
f i
0 1 2 3
2 3 4 1
3.92 0.48 1.44 2.56
10
8.40
s2
=
8.40 9
= 0.9333 ⇒
(x i
s
i
= 0.9661
¿ Cómo interpretaría este resultado ?
DATOS AGRUPADOS EN CLASES La varianza poblacional se denota y define como m j es la marca de la clase j g es en número de clases
31 g
∑(m j − μ) 2
2
f j
f j es la frecuencia de la clase j
.
σ =
N
La desviación estándar poblacional se denota y define como σ
=
2
σ
La varianza muestral se denota y define como Fórmula abreviada. g
g
∑(m j − X) 2
s =
2
g
f j
∑m
j
.
s2
n −1
=
( 2
f j
−
∑m f )
2
j j
.
.
n
n −1
La desviación estándar muestral se denota y define como s
=
s2
El coeficiente de variación se denota y define así Para una muestra
CV mtra
=
s x
Para una población
(100)
CV pob =
σ
(100)
µ
EJEMPLO 1.32 En la siguiente tabla se dan los rendimientos en qq / mz. obtenidos en 60 plantaciones de algodón. Tabla 1.13 Rendimientos N° Plantaciones 20 ---- 28 28 ---- 36 36 ---- 44 44 ---- 52 52 ---- 60
4 20 30 5 1 60
1. ¿Cuál es el rendimiento promedio de las 60 plantaciones? 2. ¿Cuál es la varianza y la desviación estandar del rendimiento de las plantaciones? 3. Calcule el coeficiente de variación. m j
f j
m jf j
m j2f j
32
24 32 40 48 56
1. 2.
x
s
2
s
3.
=
=
4 20 30 5 1
96 640 1200 240 56
230 4 20 4 80 4 8 0 00 1 1 520 3 13 6
60
2232
8 5 44 0
2232 60
= 37.20
85440 −
(2232) 2 60
59
=
40.8407
CV =
qq/mz.
=
85440 − 83030.4 59
= 6.3907qq/mz.
=
2409.6 59
= 40.8407
¿ Cómo interpretaría este resultado ?
6.3907 (100) = 17.1793% 37.20
Aplicando la otra fórmula −x) 2 f j
m j
f j
24 32 40 48 56
4 20 30 5 1
696.96 540.80 235.20 583.20 353.44
60
2409.60
s2 =
(m j
2409 .60 = 40.8407 59
EJERCICIO 1.1 Para la distribución de frecuencias de gastos de energía eléctrica en córdobas, del ejemplo 1.19, verifique que la desviación estándar del gasto de energía eléctrica eléctrica es s = C$ 32.73
1.5.3 MEDIDAS DE ASIMETRIA 1.5.3.1 RELACION ENTRE MEDIA , MEDIANA Y MODA. Las diferencias diferencias entre los valores valores de la media, media, la mediana mediana y la moda permiten permiten saber la forma forma de la distribución de frecuencias
33
DISTRIBUCIONES SIMETRICAS Si en una distribución de frecuencias, la media, la mediana y la moda coinciden entonces decimos que la distribución es simétrica. simétrica. Ver figura 1.13 20 15 15 10
10
10 5
5
5
0
Figura 1.13 DISTRIBUCIONES ASIMETRICAS Si los valores de la media , la mediana y la moda no coinciden entonces decimos que la distribución es asimétrica. Para distribuciones asimétricas unimodales las posiciones relativas de las tres medidas serán tales que la mediana estará siempre entre la media y la moda. Ver figuras 1.14 y 1.15
Distribución asimétrica a la izquierda o negativa. 40
34 28
30
25
20 20 10
15 5
7
0
Media
Me
Mo
Figura 1.14 La cola mayor se extiende extiende a la izquierda o dirección dirección negativa negativa y por tanto la media es la menor de las tres medidas. x < Me < Mo
Distribución asimétrica a la derecha o positiva.
34
50
40
40 30
33 28
26 18
20
10 5
10 0 Mo
Me
Media
Figura 1.15 La cola mayor se extiende a la derecha o dirección positiva motivo por el cual la media es la mayor de las tres medidas. Mo < Me < x RELACION EMPIRICA ENTRE LA MEDIA , LA MEDIANA Y LA MODA Para distribuciones moderadamente asimétricas la mediana se aleja aproximadamente de la media un tercio de la distancia entre la media y la moda.
x - Mo = 3 x - Me
⇒
Mo = 3Me - 2 x
EJEMPLO 1.33 Retomando los datos de la tabla 1.10 del ejemplo 1.19 tenemos que: x
=147.50
Me =146.6667
Mo =144.4444
Por lo tanto la distribución tiene una asimetría a la derecha. Verifiquemos ahora la relación empírica determinando la moda: Mo = 3 (146.6667) – 2 ( 147.50 ) = 440.0001 – 295 =145.0001 La difer diferenc encia ia puede puede deberse deberse a errore erroress de redon redonde deoo o bien bien a que la dist distri ribuc bució iónn no es tan tan moderamente asimétrica.
1.5.3.2. COEFICIENTE DE ASIMETRIA DE PEARSON
35
Un indicador posible de la asimetría de una distribución es la diferencia ( x − Mo ) dividida por s, esto es, x − Mo s
Una medida adimensional,es decir, invariable ante cambios de escala y de origen. Pero como ( x − Mo) = 3(x − Me) consideraremos, para distribuciones moderamente asimétricas y en forma de campana, el siguiente indicador que llamaremos coeficiente de asimetría de Pearson. P
3(x
=
− Me)
para una muestra
s
P
=
3(μ
− Me)
para una población
σ
Apoyándonos en este coeficiente diremos que: Si P = 0 entonces la distribución es simétrica. Si P < 0 entonces la diatribución tiene asimetría negativa. Si P > 0 entonces la distribución tiene asimetría positiva.
EJEMPLO 1.34 Para la distribución de frecuencias de gastos de energía eléctrica en córdobas durante el mes de Julio en 50 casas del barrio la Primavera del ejemplo 1.19 tenemos que: P =
3(147 .50 −146 .6667 ) = 0.0764 32 .73
Por lo tanto la distribución tiene asimetría positiva.
1.5.3.3 MOMENTOS CON RESPECTO A LA MEDIA El momento de orden r de una variable X se denota y define como n
∑ (x i − x) m r =
r
,
.
r = 0, 1, 2, .........
n
Si los datos forman una distribución de frecuencias de la variable X, la expresión anterior es equivalente a: m r
=
∑ (x
i
− x) r f i
,
.
r = 0, 1, 2, .......
n
Dando valores a r tenemos: n
m0 = 1 ,
m1 = 0
¿Por qué?
, m2 =
n
−1 n
2
s
(x i − x) , m3 = ∑ .
1.5.3.4 COEFICIENTE DE ASIMETRIA DE FISHER El coeficiente de asimetría de Fisher se denota y define como:
n
3
f i
36
F
=
m s
para una muestra
3 3
F
m3
=
σ3
para una población
Hemos dividido m3 por s3 para que F sea un número sin dimensiones Apoyándonos en este coeficiente diremos que: Si F = 0 , la distribución es simétrica. Si F < 0 , la distribución tiene asimetría negativa. Si F > 0 , la distribución tiene asimetría positiva.
EJEMPLO 1.35 El número de empleados de 10 pequeñas empresas fue el siguiente: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ,5, 6 Calcular el coeficiente de asimetría de Fisher.
− x) 2 f
− x) 3 f
− x) 4 f i
xi
f i
xif i
2 3 4 5 6
1 2 4 2 1
2 6 16 10 6
4 2 0 2 4
-8 -2 0 2 8
16 2 0 2 16
10
40
12
0
36
x=
40 =4 10
m3
=
0 10
(x i
empleados
=0
F
=
s2
m
s
3 3
=
=
12 9
(x i
i
= 1.3333 ⇒
0 1.15473
=
0 1.5396
s
=0
i
(x i
= 1.1547 empleados Por lo tanto la distribución es simétrica.
La regla empírica En un conjunto de datos moderamente asimétricos aproximadamente el 67% de los datos (la mayoría de los datos) están comprendidos dentro de la distancia de una desviación estándar en torno a la media, y aproximadamente entre un 90% y 95% de los datos están comprendidos dentro de la distancia de dos desviaciones estándar en torno a la media. Para el ejemplo 1.35 podemos decir que aproximadamente un 67% de las pequeñas empresas (la mayoría de las pequeñas empresas) tienen un número de empleados que varían entre 4 – 1.1547 = 2.8453 empleados y 4 + 1.1547 = 5.1547 empleados. 1.5.4 MEDIDAS DE CURTOSIS
37
Una vez que la asimetría ha sido determinada, podremos preguntarnos si la distribución es más o menos apuntada. Este apuntamiento habrá que medirlo comparándolo con cierta distribución de frecuencias que consideramos normal.
1.5.4.1 COEFICIENTE DE APLASTAMIENTO DE FISHER Denotamos y definimos el coeficiente de Fisher como K =
m4 s
4
−3
para una muestra
K =
m4 σ
4
para una población
−3
donde m4 es el momento de cuarto orden y K es también una medida adimensional Atendiendo al valor de K se clasifican las distribucioes de frecuencias en:
Mesocúrtica: cuando K = 0 , es decir si es tan apuntada como la normal. Platicúrtica: cuando K < 0 , es decir es menos apuntada que la normal. Leptocúrtica: cuando K > 0 , es decir es más apuntada que la normal. Ver figura 1.16
EJEMPLO 1.36 Para el número de empleados de las 10 pequeñas empresas tenemos que K =
m s
4 4
−3 =
3 .6 1.1547 4
−3 =
3. 6 1.7778
− 3 = 2.0250 − 3 = −0.9750
La distribución es levemente platicúrtica. Leptocúrtica Mesocúrtica
Platicúrtica
Figura 1.16
EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEMA 1:ESTADISTICA DESCRIPTIVA
38
1. Escriba la letra correspondiente a la par de cada enunciado en el paréntesis. 1.1. Identifique cual es la muestra (M) y cual es la población (P). a) Se extrae 100 tornillos de los que produce determinada fábrica en un día determinado ( ) b) Obtenemos las calificaciones de todos los estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas ( ) c) Obtenemos la información de las horas trabajadas en un día por los obreros de la Zona Franca. ( ) d) Extraemos dos galones de gasolina de un tanque de 500 galones para que sean examinados ( ) 1.2. Señale con una A las series constituidas por datos cualitativos (o atributos) y con una V los datos cuantitativos. a) b) c) d) e) f) g) h)
Preferencia políticas (izquierda, derecha o centro). Marcas de galletas El peso en libras Velocidad en km/h Nivel educativo (primario, secundario, universitario) Número de empleados de una empresas. Años de antigüedad laboral. La clase social (bajo, media o alta)
( ( ( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) ) ) )
1.3. Señale cual de las siguientes variables son continuas ( C ) y cuales son discretas ( D ). a) b) c) d) e)
Cantidad de quintales de café cortados . ( ) Cantidad de cajas de fósforos en un determinado conteo físico ( ) Galones de gasolina consumidos por un automóvil en una semana ( ) Cantidad de camisas vendidas diariamente ( ) Tiempo de vida de los bombillos eléctricos ( )
2. Un cobrador de una empresa ha registrado el número de días que tarda en cobrar cada una de sus cuentas de créditos. Se han obtenido los siguientes 30 registros: 17 21 6 12 45
57 11 20 32 8
10 7 95 28 19
35 72 40 13 21
26 5 14 19 38
3 86 42 28 20
a) Construya una distribución de frecuencias que contenga 5 clases. b) Grafique el histograma, el polígono de frecuencias y la ojiva. c) Calcule la media aritmética, la mediana, la moda, la desviación estándar y el coeficiente de variación. Interprete los resultados.
39
3. La gran variedad de factores a considerar en la compra de una vivienda, lugar, precio, tasa de amortización, tipo de construcción y otros hacen que el tiempo que un comprador tarda en llegar a su decisión final sea muy variable. Los siguientes datos representan la duración de la búsqueda (en semanas) de 25 compradores de vivienda en cierta población. 15 5 11 9 12
17 3 10 15 1
7 19 4 6 2
15 10 8 2 13
20 3 13 8 4
a) Construya un histograma de frecuencias que contenga 6 clases. b) ¿Qué le dice a usted esta descripción gráfica acerca del tiempo de búsqueda que invierten los compradores de vivienda?
4. Los siguientes datos representan las declaraciones mensuales de impuestos sobre ventas (en miles de córdobas) que los 30 establecimientos comerciales de la ciudad A presentaron ante el correspondiente contralor. 9.0
10.3
11.1
9.6
14.5
13.0
6.7
11.0
8.4
10.3
13.0
11.2
7.3
5.3
12.5
8.0
11.8
8.7
10.6
9.5
11.1
10.2
9.9
9.8
11.6
15.1
12.5
14.0
8.6
5.3
a) Organice los datos anteriores en una distribución de frecuencias que contenga 5 clases. b) Grafique el histograma de frecuencias y la ojiva.
5.
La revisión de 8 documentos reveló el siguiente número de equivocaciones en cada uno: 2, 4, 2, 3, 2, 0, 1, a) b) c) d)
0
Determine: El número promedio de equivocaciones. El número mediano de equivocaciones. El número modal de equivocaciones. La desviación estándar del número de equivocaciones.
40
6. Una empresa industrial agrupó sus fábricas de acuerdo con el valor de la producción anual de cada una; se obtuvo la siguiente distribución: Producción (en millones de C$) 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 a) b) c) d) e)
No. de fábricas 7 10 11 9 8 7
Determine la producción anual promedio de las fábricas. Determine la desviación estándar de las producciones. Calcule el coeficiente de variación. ¿Por debajo de qué valor producen el 70% de las fábricas? Calcule el coeficiente de asimetría de Pearson y diga qué tipo de asimetría tiene la distribución
7. Durante un período de 15 años, los precios promedios de cierto producto fueron de C$ 125, con una desviación estándar de C$ 25. En un período posterior de 12 años, tuvieron un precio promedio de C$ 80 con una varianza de C$ 100. ¿En qué período hubo mayor estabilidad de precios?. 8. Los salarios por día en dólares de 5 obreros son dados a continuación: 2.50 3.90 3.20 4.20 y 3.70 a) Calcule la suma algebraica de las desviaciones de cada salario con respecto a la media aritmética. b) Calcule el salario mediano.
9. Dos países A y B venden la misma materia prima en el mercado mundial a los siguientes precio por kilogramo, en el transcurso de 6 meses: Mes 1 2 3 4 5 6
Cotizaciones en C$ por país A 4.9 5.0 2.6 4.5 2.3 4.1
B 2.9 3.8 3.0 3.5 3.7 5.0
Realice un análisis de los precios de este producto para ambos países. Sugerencia : Compare los coeficientes de variación y diga a qué país se le presentan condiciones de mercado más favorable.
41
10. La tabla siguiente muestra la distribución por edades de cabezas de familia en un país dado durante el año 2000. Edad de años Hasta 25 25 a 30 30 a 35 35 a 40 40 a 45 45 a 50 50 a 55 Más de 55
Número (en millones) 2.22 4.05 5.08 10.45 9.47 6.63 4.16 1.66
a) Determine la edad mediana y modal. b) ¿Por qué la mediana es una medida más adecuada que la media aritmética en este caso?
11. El contador de un almacén desea estimar el balance promedio, en dólares de las 10,000 cuentas de crédito que maneja el almacén. La distribución de frecuencias se representa en la tabla y fue construida a partir de una muestra de 100 cuentas seleccionadas al azar en los archivos de crédito del almacén. Balance de la Cuenta N° de cuentas 0 – 20 10 20 – 40 15 40 – 60 40 60 – 80 22 80 – 100 13 100 a) Grafique: Histograma, Polígono de frecuencias relativa, Polígono de frecuencia acumulada. b) Calcule: La media aritmética, La mediana, La moda La varianza, desviación estándar y coeficiente de variación. c) Calcule el coeficiente de asimetría de Pearson, y diga que tipo de asimetría tiene la distribución.
12. El resultado del ordeño de 100 vacas durante una semana computadas las cantidades diarias de leche obtenidas por cada vaca, fue agrupada según la siguiente distribución. Cantidad de litros semanales 60-62 62-64 64-66 66-68 68-70
Número de vacas 5 18 42 27 8
42
Calcule: 1. El rendimiento promedio semanal de leche por vaca. 2. El rendimiento mas frecuente. 3. La cantidad de leche por debajo de la cual produce el 80% de las vacas. 4. La desviación estándar del rendimiento semanal de leche. 5. Calcule el coeficiente de asimetría de Pearson, luego diga que tipo de asimetría tiene la distribución.
13. La tabla de distribución de frecuencia de la tasa de desempleo en una muestra de 20 grandes ciudades en 1999 se presenta a continuación. Tasa de desempleo 7.0-7.5 7.5-8.0 8.0-8.5 8.5-9.0 9.0-9.5 9.5-10
N° de ciudades 2 4 5 4 3 2 20
a) construya el histograma y el polígono de frecuencia acumuladas (ojiva ) b) calcule la media aritmética, la mediana, la moda, la desviación estándar y el coeficiente de variación. Interprete los resultados. 14. Se ha recogido el número de hoteles de lujo en 20 ciudades de un país, obteniéndose la siguiente tabla: N° de hoteles N° Ciudades
0 2
1 3
2 10
3 5
a) Represente gráficamente la distribución. b) Calcule el número promedio de hoteles y la desviación estándar del número de hoteles. c) Calcule el coeficiente de asimetría de Fisher y diga que tipo de asimetría tiene la distribución. d) Diga que tan apuntada es la distribución.
15. Los siguientes datos representan el número de interrupciones en 15 días de trabajo debidas a fallas mecánicas en una planta procesadora de alimentos: a) b) c) d)
3 0 5 1 3 1 3 2 2 0 2 1 2 4 3 Resuma los datos en una distribución de frecuencias. Calcule el número promedio de interrupciones y la desviación estándar del número de interrupciones. Calcule el coeficiente de asimetría de Fisher y diga que tipo de asimetría tiene la distribución. Calcule el coeficiente de aplastamiento de Fisher y diga que tan apuntada es la distribución.
43
16. Una autoridad urbana desea diseñar una gráfica que muestre a los contribuyentes que asiten a la próxima reunión, lo que sucede con el dinero que pagan por impuestos. El monto total recolectado es de C$ 2 millones (de córdobas). Los gastos fueron: C$ 440,000 para escuelas, C$ 1160,000 para caminos, C$ 320,000 para administración y C$ 80,000 para suministros. Una gráfica de sectores parece ideal para mostrar el porcentaje de los impuestos que se dedica a caminos, escuelas, administración y suministros. Convierta las cantidades totales a porcentajes del total general y represente los porcentajes en una gráfica de pastel. 17. En el Anuario Estadístico 1997 se señala que el valor total de todos los bienes y servicios producidos en Nicaragua, era de 21 mil millones de córdobas incluyendo todos los sectores de la economía. Sector económico
Porcentaje del PIB de Nic. En 1997
Primarios Secundarios Terciarios T
O
T
21.67 30.48 47.85 A
L
100.00
a) Construya una gráfica de barras. b) Construya una gráfica de pastel.
18. La siguiente tabla refleja el valor de las exportaciones e importaciones en millones de US $ realizadas por Nicaragua de 1993 a 1997. Años Concepto
1993
1994
1995
1996
1997
Exportaciones
452
412
305
257
295
Importaciones
807
826
892
761
824
a) Construya una gráfica de barras. b) Construya una gráfica lineal donde puedan compararse las exportaciones y las importaciones
44
TEMA 2. PROBABILIDADES OBJETIVOS. 1. Construir espacios muestrales y eventos asociados a un experimento aleatorio. 2. Interpretar el concepto de probabilidad de que ocurra un evento y describir los enfoques de probabilidad. 3. Calcular probabilidades aplicando las reglas de complemento, adición y multiplicación. 4. Calcular probabilidades aplicando los conceptos de probabilidad condicional, regla de la multiplicación e independencia de eventos. 5. Resolver problemas aplicando el teorema de Bayes.
2.1 INTRODUCCION Debido a l a tolerancia de varias formas de juegos para recreación de la nobleza de Francia e Inglaterra a mediados del XVII, se suscitó un interés intenso por los juegos de azar, lo cual permitió que matemáticos como Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Jacob Bernoulli, Abraham de Moire y Thomas Bayes desarrollaran la teoría de las probabilidades. Como vivimos en un mundo donde somos incapaces de pronosticar el futuro con absoluta certeza, la necesidad de sortear la incertidumbre nos lleva a estudiar la teoría de probabilidades para conocer las reglas que nos permitirán estudiar los fenómenos aleatorios. En la actualidad la teoría de la probabilidad constituye el fundamento de la Estadística Inferencial, una rama de la Estadística con importantes aplicaciones a situaciones en que interviene la incertidumbre. En tales circunstancias la Estadística Inferencial permitirá hacer estimaciones de parámetros basados en la información muestral. Ver aplicaciones de la Estadística en Auditoría, marketing y Control de calidad. Comenzaremos este tema estudiando la terminología que usaremos EXPERIMENTO ALEATORIO ( ) Es aquel que al repetirse bajo condiciones aproximadamente idénticas el resultado no es necesariamente el mismo. Podríamos decir que todos los juegos de azar son experimentos aleatorios
Lanzar un dado y observar el número de puntos que aparecen en la cara superior. Elegir al azar un naipe de la baraja común de 52 naipes. Lanzar una moneda y observar la cara superior.
La característica principal de estos experimentos es la existencia de incertidumbre en el resultado que se puede obtener al realizar el fenómeno. También existen otros experimentos que son considerados de naturaleza aleatoria:
EJEMPLO 2.1 ε1: Un contador revisa 10 facturas de una empresa. Luego cuenta el número de facturas con algún error en su valor total. EJEMPLO 2.2 ε2: De una lista formada por todas las cuentas de ahorro de un Banco, seleccionar al azar una y luego anotar su vida actual.
45
EL ESPACIO MUESTRAL ( S ) ASOCIADO A UN EXPERIMENTO Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. A cada elemento de este conjunto le llamaremos punto muestral. Para el ejemplo 2.1 S1 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } Aquí decimos que S1 es un espacio muestral discreto porque sus resultados están representados por valores que tienen interrupción. Para el ejemplo 2.2 Supongamos una vida máxima registrada en el Banco de 15 años
S2 = ( 0, 15 ] Aquí S2 es un espacio muestral contínuo porque sus resultados están representados por valores que no tienen interrupción, es decir , que entre dos resultados posibles siempre existe otro.
EVENTOS Un evento A respecto a espacio muestral S es un conjunto de resultados posibles del experimento, esto es, A ⊆ S
S A Figura 2.1 Para el ejemplo 2.1 Consideremos que el evento A representa “cuenta a lo más 3 facturas con algún error.” Entonces A = { 0, 1, 2, 3 } Decimos que un evento A ha ocurrido si el resultado del experimento es un elemento de A. ¿De cuántas maneras puede ocurrir un evento A?
Si #A representa el número de maneras que puede ocurrir el evento A, entonces #A = 4 NOTA. Si S tiene k elementos entonces hay 2k eventos respecto a S TIPOS DE EVENTOS
Evento imposible ( ) Es un evento que nunca ocurre. ⊂S Para el ejemplo 2.1 Supongamos que el evento F representa “cuenta 12 facturas con algún error” , entonces F =
46
Evento seguro (S ) Es un evento que siempre ocurre. Para el ejemplo 2.1 El evento S1 es un evento seguro.
Evento simple Es el que describe solamente una carácterística. Para el ejemplo 2.1 El evento A es simple.
Evento conjunto Es el que describe dos o más características. El evento conjunto de A y B denotado por A B ocurre cuando A y B ocurren juntos. Para el ejemplo 2.1 Supongamos que el evento B representa “cuenta un número impar de facturas con algún error”, esto es, B = { 1, 3, 5, 7, 9 } Entonces A∩B representa “cuenta a lo más 3 y un número impar de facturas con algún error.”
A B = { 1, 3 }
es un evento conjunto
y #(A B) = 2
S A
B A∩B
Figura 2.2
Evento unión El evento unión de A y B denotado por A B es aquel que ocurre si A ocurre ó B ocurre ó si ocurren ambos. Para el ejemplo 2.1 A B representa “cuenta a lo más 3 ó un número impar de facturas con algún error.”
A B = { 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9 }
y
#(A B) = 7
47
Evento complementario El evento complementario de A denotado por A’ es aquel que ocurre si A no ocurre.
S
A’ A
Figura 2.3 Para el ejemplo 2.1 A’ representará lo contrario de A, esto es, A’ representa “cuenta al menos 4 facturas con algún error.” A = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
NOTA: A∩A’ = φ
y
A∪A’ = S
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente , esto es, si A B= Para el ejemplo 2.2 Supogamos que el evento M representa “la cuenta tiene más de 3 años y 4 meses” y el evento R representa “ la cuenta tiene menos de 5 años.” Son los eventos M y R mutuamente excluyentes? No porque M∩R ≠ φ
EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS Los eventos A1, A2, ..........., An son colectivamente exhaustivos si A1 A2 ............ An = S Esto es, si por lo menos uno de ellos debe ocurrir durante un experimento. Para el ejemplo 2.2 Supongamos que el evento A1 representa “ la cuenta tiene menos de 1 año” y que el evento A2 representa “la cuenta tiene por lo menos 1 año.” Estos eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
2.2 ENFOQUES DE PROBABILIDAD El propósito de la teoría de probabilidad es asignar un número a cada evento A, el cual llamaremos probabilidad de que ocurra A y lo denotaremos así P(A) La probabilidad de cualquier evento indicará que tan factible es que ocurra el evento, entre mayor sea la probabilidad, más grande será la factibilidad de que ocurra el evento. Ahora estaremos interesados en cómo obtener P(A)
48
2.2.1 ENFOQUE DE PROBABILIDAD CLASICA A PRIORI Aquí suponemos que el experimento no se realiza y que además todos los resultados posibles del experimento se consideran igualmente probables. Según la historia es la manera más antigua de medir incertidumbre, teniendo su origen en los juegos de azar. Número de maneras que puede ocurrir A #A P(A) = = Número de resultados posibles del experimento #S EJEMPLO 2.3 Una empresa tiene 200 cuentas por cobrar de las cuales se sabe que 50 tienen un saldo menor que C$ 12000. Un auditor selecciona una al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que tenga un saldo menor que C$ 12000 ? Supongamos que el evento A representa que la cuenta tiene un saldo menor que C$12000.
P(A) =
Entonces
50 200
= 0.25
2.2.2 ENFOQUE DE PROBABILIDAD CLASICA A POSTERIORI (EMPIRICA) Aquí suponemos que el experimento se realizó un número n (suficientemente grande) de veces del cual se observó el número x veces que ocurrió el evento A. De manera que esta probabilidad puede verse como una frecuencia relativa observada del evento A obtenida de repetir el experimento un número grande de veces. Número de veces que ocurrió A
P( A ) =
x =
Número de veces que se repitió el experimento
n
EJEMPLO 2.4 La demanda de un artículo durante 360 días de cierto año ha sido la siguiente:
Tabla 2.1 N° artículos 1 2 3 4 5
N° días 100 40 90 50 80 360
Suponiendo que el comportamiento de la demanda para el próximo año será similar al anterior, ¿cuál es la probabilidad de que cierto día:
49
i)
la demanda sea de 4 artículos Supongamos que el evento A representa que la demanda es de 4 artículos P(A)
ii)
=
50 360
= 0.1389
la demanda sea de por lo menos 3 artículos Supongamos que el evento B representa que la demanda es de por los menos 3 artículos
P (B) =
220 360
= 0.6111
2.2.3 ENFOQUE DE PROBABILIDAD SUBJETIVA Se basa en una combinación de la experiencia, la opinión personal y el análisis de una situación en particular. Es útil cuando no se pueden utilizar los enfoques anteriores.
EJEMPLO 2.5 Suponga que un profesor de Estadística quiere determinar la probabilidad de que un determinado estudiante de su clase pase el primer parcial. Basado en lo que sabe del estudiante sobre: i) La disciplina que muestra en clase ii) Las preguntas que hace durante la clase iii) Las respuestas que da cuando se le pregunta iv) Las evaluaciones obtenidas en los sistemáticos v) El grado de interés o esfuerzo que muestra en comprenderle a la asignatura El profesor estima una probabilidad de 0.80 de que pase el primer parcial.
2.3 1.
REGLAS BASICAS DE PROBABILIDAD P (φ ) = 0
y
P(S)=1
0 ≤ P( A ) ≤ 1
2.
Para cualquier evento A,
3.
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes entonces P( A ∪ B ) = P( A) + P( B )
4.
Regla del complemento. P(A) + P( A’ ) = 1
⇒
P( A’ ) = 1 – P( A )
5. Regla de la adición. Sean A y B eventos cualesquiera P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )
50
EJEMPLO 2.6 Supongamos que para cierto día de negociaciones de una acción, los siguientes eventos: A representa que el precio se mantiene sin cambios B representa que el precio sube Consideremos que P(A) = 0.64 y P( B ) = 0.21 Cuál es la probabilidad de que: i) el precio cambie Supongamos que el evento A’ representa que el precio cambia
P( A’ ) = 1 – P( A ) = 1 – 0.64 = 0.36 ii)
el precio se mantiene sin cambios y el precio sube.
P( A B ) = P( φ ) = 0 iii)
P(A
el precio se mantiene sin cambios o el precio sube.
B ) = P( A ) + P( B ) = 0.64 + 0.21 = 0.85
EJEMPLO 2.7 En una ciudad se seleccionó una muestra de 500 personas para determinar diversas informaciones relacionadas con el comportamiento del consumidor. Entre las preguntas hechas, se encontraba “¿Prefiere comprar productos nacionales o importados? ”. De 240 hombres 104 contestaron que preferían productos nacionales. De 260 mujeres 36 preferían productos nacionales. 1) Elabore una tabla de contingencia ( o de clasificación cruzada ) Tabla 2.2 ( N ) Nacionales ( H ) Hombre ( M ) Mujer Total
( I ) Importados
Total
104 36
136 224
240 260
140
360
500
2) Se selecciona al azar un entrevistado, determinar la probabilidad de que: i)
sea mujer
P( M ) =
# M 260 = = 0.52 # S 500
51
ii)
sea hombre
P( H ) = 1 – P( M ) = 1 – 0.52 = 0.48 iii)
prefiera comprar productos importados
P( I ) = iv)
360 500
sea hombre y prefiera comprar productos importados
P( H I ) = v)
= 0.72
# ( H ∩ I ) # S
=
136 500
= 0.272
sea mujer o prefiera productos nacionales
P( M vi)
N)=
260 140 36 364 + − = = 0.728 500 500 500 500
sea hombre o mujer
P( H
vii)
sea hombre y mujer P(H∩ M ) = P( φ ) = 0
M ) = P( H ) + P( M ) = 0.48 + 0.52 = 1
2.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de que un evento A ocurra supuesto que otro evento B ha ocurrido se denota y define como: Probabilidad conjunta de A y B P(A | B)
=
P(A ∩B) P(B)
= Probabilidad marginal de B
Mide en cierto sentido la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B Si B es finito entonces
P(A | B)
= # (A ∩ B) #B
S B A
A∩B
Figura 2.4
52
EJEMPLO 2.8 Para el ejemplo 2.7 viii) Suponga que el entrevistado seleccionado es mujer, ¿ cuál es la probabilidad de que prefiera comprar productos nacionales 36
P( N M ) = P( N M ) = ix)
P(N ∩ M) P(M)
36 = 500 = = 0.1385 260
260
500 36
# (N ∩ M) = = 0.1385 #M 260
Suponga que el entrevistado seleccionado prefiere comprar productos importados , ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?
P( H I ) =
# (H ∩ I) 136 = = 0.3778 #I 360
2.4.1 REGLA DE LA MULTIPLICACION Sean A1 y A2 eventos Sabemos que P(A 2 | A1 ) =
P(A1 ∩ A 2 )
⇒
P(A1 )
P(A1
A2 )
∩
P(A1 )P(A 2 A1 )
=
La probabilidad de A1∩ A2 es igual a la probabilidad del primer evento A1 por la probabilidad del segundo evento A2 dado que el primer evento A1 ya ocurrió.
2.4.2 INDEPENDENCIA ESTADISTICA Dos eventos A1 y A2 son independientes si y sólo si P(A1 A2 ) = P( A1 )
ó
P(A2 A1 ) = P(A2)
Si dos eventos A1 y A2 son eventos independientes entonces según la regla de la multiplicación P( A1∩ A2 ) = P(A1 ) P(A2 )
EJEMPLO 2.9 Para el ejemplo 2.7 x)
Determinar si la preferencia por productos importados es estadísticamente independiente del evento ser hombre. Comprobemos si P( H ) = P( H I ) Sabemos que P( H ) = 0.48 independientes.
y que P( H
I ) = 0.3778
Luego H, I no son eventos
53
EJEMPLO 2.10 Durante un período específico , el 80% de las acciones ordinarias de una industria que tiene 10 acciones, han aumentado en valor comercial. Un inversionista selecciona aleatoriamente 2 de esas acciones: 1)
Elabore un árbol de probabilidad que describa gráficamente la secuencia de las dos selecciones
Consideremos los siguientes eventos: A: ha aumentado en valor , N: no ha aumentado en valor donde el subíndice indicará la posición secuencial de la acción. Como el 80% de 10 es 8, entonces hay 8 acciones que han aumentado en valor y 2 que no han aumentado en valor.
7/9
A2
( 8/10 )( 7/9 ) = 56/90 = 0.6222
2/9
N2
(8/10 )( 2/9 ) = 16/90 = 0.1778
8/9
A2
(2/10 )( 8/9 ) = 16/90 = 0.1778
1/9
N2
A1 8/10
2/10
N1
Figura 2.5 2) i
¿Cuál es la probabilidad de que: i)
ambas hayan aumentado en valor comercial ?
P( ambas hayan aumentado ) = P(A1∩ A2) = P( A1)P(A2 | A1 ) = ii ii)
8 7 56 ⋅ = = 0.6222 10 9 90
una haya aumentado en valor comercial ?
P( una haya aumentado ) = P( A1∩ N2 ) + P( N1∩ A2 ) = P(A1)P(N2 | A1) + P( N1)P( A2 | N1) Regla de la multiplicación. =
8
2
2 8
16
10 9
10 9
90
⋅ +
⋅ =
+
16 90
=
32 90
= 0.3556
54
2.5
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Supongamos un experimento aleatorio con su correspondiente espacio muestral S, decimos que los eventos A1 , A2 ,.........., An forman una partición del espacio muestral S, si se cumple que: i) ii)
Ai ∩ A j = φ para todo i ≠ j A1∪ A2 ∪ ..........∪ An = S
y que B es otro evento respecto a S. Entonces
P(B) = P(A1)P(BA1) + P(A2)P(BA2) + ......... + P(An)P(B | An) n
=
∑P(A )P(B A ) i
i
.
Cada vez que se realice el experimento aleatorio anterior podemos presentar mediante un árbol de probabilidad todos sus resultados posibles con sus correspondientes probabilidades.
P(B A1)
B
A1 B’
P(A1) P(A2)
P(B A2)
B
A2 B’ . . .
. .
P(An)
. . . P(B An
An)
B B’
Figura 2.6
2.6 TEOREMA DE BAYES Queremos saber ahora , cuál es la probabilidad de que Ai sea la causa de la ocurrencia de B. P(A i B)
=
P(A i )P(B A i ) n
∑P(A )P(B A ) i
.
i
=
P(A i )P(B A i ) P(B)
55
EJEMPLO 2.11 Un gerente de crédito clasifica las cuentas a su cargo en 3 tipos: Tipo 1: buen pagador Tipo 2: pagador atrasado Tipo 3: mal pagador De los archivos se estima que el 75%, 20% y 5% de las cuentas caen en las categorías 1, 2 y 3 respectivamente. Por experiencia en el trabajo el gerente considera que el 90% de los clientes con cuentas del tipo 1 tienen casa propia, mientras que el 50% de los clientes con cuentas del tipo 2 y el 20% de los clientes con cuentas del tipo 3 tienen casa propia. i) ¿ Cuál es la probabilidad de que una nueva aplicación de crédito corresponda a un cliente con casa propia ? ii) Suponga que la nueva aplicación corresponde a un cliente con casa propia, ¿ cuál es la probabilidad de que sea pagador atrasado? Consideremos los siguientes eventos: S: todas las cuentas a cargo del gerente A1: la cuenta es del tipo 1 A2 : la cuenta es del tipo 2 A3: la cuenta es del tipo 3 B: el cliente tiene casa propia.
A1, A2, A3 forman una partición de S
0.90
B
0.75(0.90) = 0.675
A1 0.10
B’
0.50
B
0.50
B’
0.75 0.20
0.20(0.50) = 0.100
A2 0.05 0.20
B
0.05(0.20) = 0.010
A3 0.80
B’ 0.785
Figura 2.7 i) P(B) = P(A1) P(BA1) + P(A2) P(BA2) + P(A3) P(BA3) = 0.75(0.90) + 0.20(0.50) + 0.05(0.20) = 0.785 ii)
P(A2 B) =
P ( A2 ) P ( B P ( B)
| A2 )
=
0.20(0.50) 0.785
= 0.1274
EJERCICIO 2.1 El departamento de crédito de una tienda informó que el 30% de sus ventas son en efectivo, el 30% se pagan con cheques y el 40% son al crédito. Se tiene información de que las compras por más de C$ 500 en efectivo, con cheques y al crédito son el 25%, 90% y 60% respectivamente Un persona acaba de decidir comprar un artículo cuyo precio es de C$ 800, ¿ cuál es la probabilidad de que pague con cheque ?
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EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEMA 2: PROBABILIDADES 1. Para cada una de las siguientes situaciones, indique cuál de los enfoques (clásico a priori, clásico empírico o subjetivo) sería más útil para determinar el valor de probabilidad adecuado. a) La probabilidad de que de un envío de 20 repuestos, del cual se sabe que 3 son defectuosos, un repuesto escogido aleatoriamente resulte defectuoso. b) La probabilidad de que haya una recesión el año entrante. c) La probabilidad de que la demanda de un artículo, que produce una empresa, sea de 400 unidades para el próximo mes. d) La probabilidad de que un liberal gane la siguiente elección presidencial en Nicaragua. e) La probabilidad de que el dólar se cotice a C$ 15 a finales de este año. f) La probabilidad de que al seleccionar al azar una persona de una clase, que tiene 20 mujeres y 8 hombres, el resultado sea una mujer. g) La probabilidad de que las ventas de un artículo que producen una fabrica suban debido al nuevo nombre.
2. Para cada uno de los siguientes casos, diga si los eventos que se crean son (i) mutuamente excluyentes, (ii) colectivamente exhaustivos. a) A los votantes registrados se les preguntó si son liberales o sandinistas. b) Los encuestados se clasificaron como propietarios de automóviles en las categorías norteamericano, europeo, japonés, ninguno. c) A las personas se les preguntó: “¿Actualmente vive en (i) un apartamento (ii) una casa?”. d) Un producto se clasificó como: (i) defectuoso (ii) no defectuoso. e) A las personas se les preguntó “ ¿tiene intención de comprar un televisor a colores en los siguientes seis meses ?” (i) si, (ii) no. f) un país obtuvo un crecimiento económico del (i) 5% al año (ii) 7% al año. g) Se clasificaron las ventas anuales en (i) a lo más cinco millones de córdobas (ii) de más de cinco a diez millones (iii) de más de diez millones. h) En un tipo de industria se clasifican las utilidades anuales en (i) entre uno y siete millones de córdobas (ii) de cinco millones o más. i) En una fábrica se clasifican las partes defectuosas de la producción en: (i) menos del 7%. (ii) más del 2%, (iii) igual al 5% de la producción. j) La situación económica de un país se describe: (i) crecimiento real del PIB del 3% anual, (ii) inflación 7% por año (iii) desempleo del 8% de la fuerza laboral.
3. Determine el valor de probabilidad aplicable a cada una de las siguientes situaciones: Luego diga qué enfoque utilizo. a) La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una cuenta por cobrar que está en mora, si el 5% de las cuentas están en mora.
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b) La probabilidad de que una sucursal de una cadena de restaurantes tenga éxito financiero. El presunto inversionista obtiene información sobre otras sucursales de la cadena, estudia el área donde se localizará la sucursal y considera el volumen de ventas necesario para el éxito financiero. Globalmente, el inversionista cree que hay un 80% de posibilidades de que la sucursal tenga éxito financiero y un 20% de lo contrario. c) La probabilidad de accidentes de trabajo en una industria determinada sobre una base anual. Una muestra al azar de 10 firmas que emplean un total de 8000 personas demostró que ocurrieron 400 accidentes de trabajo durante un período reciente de 12 meses.
4. La probabilidad de que una nueva política de mercadeo tenga éxito (S) se calculó en 0.60. la probabilidad de que los gastos para desarrollar la política de mercadeo puedan mantenerse dentro del presupuesto inicial (B) es 0.50. la probabilidad de que se logren los dos objetivos es 0.30. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se logre por lo menos uno de estos objetivos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la nueva política de mercado tenga éxito dado que el costo de desarrollo se mantuvo dentro del presupuesto inicial. c) ¿Son los eventos S y B estadísticamente independientes?
5. De 12 cuentas de un archivo, 4 contienen un error de procedimiento al contabilizar los saldos de las cuentas. Si un auditor selecciona aleatoriamente: a) una cuenta, ¿Cuál es la probabilidad de contenga error de procedimiento?. b) Dos cuentas (sin reposición), i) ¿ Cuál es la probabilidad de que ninguna cuenta contenga error de procedimiento ? Elabore un árbol de probabilidad para representar éste proceso secuencial de muestreo. ii) ¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta contenga error de procedimiento? c) Tres cuentas (sin reposición), ¿Cuál es la probabilidad de que todas contengan error de procedimiento?
6. De 100 personas que solicitaron empleo de operador de computadoras en una firma el año pasado, 40 tenían experiencia anterior (E), 30 tenían certificado ( C ), y 20 tenían experiencia anterior y certificado. a) Elabore un diagrama de Venn para describir gráficamente estos eventos. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante escogido aleatoriamente: i) Tenga experiencia o certificado. ii) No tenga certificado. iii) No tenga ni experiencia ni certificado. iv) Tenga certificado dado que tiene alguna experiencia anterior. c) Determine si la experiencia y el certificado son eventos independientes.
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7. En los datos recolectados en una encuesta sobre la satisfacción de los empleados de la empresa Omega realizada a una muestra de 400 empleados, los resultados con las categorías desglosadas en satisfecho y no satisfecho, y progresado y no progresado en la organización, se presentan en la siguiente tabla de contingencia: Satisfacción en el trabajo Satisfecho ( S ) No satisfecho ( S’ ) Totales
Avance Progresado ( P ) 194 14 208
No progresado ( P’ ) 162 30 192
Total 356 44 400
1) Determine la probabilidad de que un empleado seleccionado aleatoriamente: a) Esté satisfecho con su trabajo. b) No haya progresado en la organización. c) Está satisfecho con el trabajo o ha progresado en la organización. d) No está satisfecho y no ha progresado e) Está satisfecho con el trabajo dado que se sabe ha progresado en la organización. 2) ¿Estar satisfecho con el trabajo es independiente de haber progresado en la organización?. Explique.
8. En una gran área metropolitana se seleccionó una muestra de 500 encuestados para determinar información diversa respecto al comportamiento de los consumidores. Entre las preguntas formuladas estaba “¿disfruta comprar ropa ?”. De 240 hombres, 136 respondieron que sí. De las 260 mujeres, 44 respondieron que sí. a) Construya una tabla de contigencia para evaluar las probabilidades. b) Dé un ejemplo de: un evento simple, un evento conjunto. c) ¿Cuál es el complemento de “disfruta comprar ropa”?. d) ¿Cuál es la probabilidad que un encuestado elegido aleatoriamente: d.1. Sea hombre? d.2. Disfrute comprar ropa? d.3. Sea una mujer y disfrute comprar ropa? d.4. Sea un hombre y no disfrute comprar ropa? d.5. Sea una mujer o no disfrute comprar ropa’ e) Suponga que el encuestado elegido es un hombre. ¿Cuál es la probabilidad que no disfrute comprar ropa? f) ¿Disfrutar de comprar ropa y el sexo del individuo son estadísticamente independientes?. 9. El director de una gran agencia de empleo desea estudiar las diversas características de sus solicitantes de trabajo. Se ha seleccionado una muestra de 200 solicitantes para su análisis. Sesenta solicitantes habían tenido sus trabajos actuales durante al menos cinco años; ochenta de los solicitantes son graduados universitarios; 25 de los graduados universitarios duraron en sus trabajos al menos cinco años. a) ¿Cuál es la probabilidad que un solicitantes escogido aleatoriamente?. a.1. Sea un graduado universitario? a.2. Sea un graduado universitario y haya tenido su trabajo al actual menos de cinco años?. a.3. Sea un graduado universitario o haya tenido su trabajo actual al menos de cinco años?
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b) Dado que un empleado particular es un graduado universitario, ¿cuál es la probabilidad que haya durado en su trabajo menos de cinco años?. c) Determine si ser graduado universitario y haber durado en el trabajo al menos cinco años son estadísticamente independientes. Sugerencia: construya una tabla de contingencia.
10. Se han llevado acabo numerosos estudios intensivos de la planeación de los consumidores para la compra de bienes duraderos como televisores, refrigeradores, lavadora, etc. En uno de estos estudios se preguntó a 1000 individuos de una muestra aleatoriamente seleccionada si estaban planeando comprar una nueva televisión en los siguientes 12 meses. Un año después se entrevistó a las mismas personas para ver si realmente compraron una nueva T.V. la respuesta a ambas entrevistas se tabula de manera cruzada a continuación. Planearon ( P ) No planeando ( P’ ) Totales
Compraron ( C ) 200 100 300
No compraron (C’) 50 650 700
Totales 250 750 1000
a) Dé un ejemplo de un evento simple y de un evento conjunto. b) ¿Cuál es el complemento de “planea comprar”? c) si un individuo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que en el último año. c.1. Haya comprado una nueva T.V.?. c.2. No haya planeado comprar una nueva T.V.?. c.3. Haya planeado comprar y realmente haya comprado una nueva T.V.?. c.4. Haya planeado comprar o realmente no haya comprado una nueva T.V.?. d) si el entrevistado no planeo comprar una nueva T.V., ¿cuál es la probabilidad que no haya comprado una?. e) ¿Planear comprar una T.V. y realmente comprar una son eventos estadísticamente independientes?. Explique.
11. Se ha emprendido una encuesta para determinar si existe una relación entre el lugar de residencia y la propiedad de un automóvil. Se seleccionó una muestra aleatoria de 500 personas con los resultados mostrados a continuación: Propiedad de automóvil
Si ( S ) No ( N ) Totales
Ciudad (C) 90 110 200
Área de residencia Suburbio ( Su) Rural ( R ) 60 25 90 125 150 150
Totales 175 325 500
a) Si se selecciona aleatoriamente una persona, ¿cuál es la probabilidad que ésta. a.1. Posea un automóvil? a.2. Viva en suburbio? a.3. Posea un automóvil o viva en una ciudad?. a.4. Viva en el área rural y no posea un automóvil?
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b) Suponga que sabemos que la persona seleccionada vive en un suburbio, ¿cuál es la probabilidad que posea un automóvil? c) ¿Es el área de residencia estadísticamente independiente de si la persona posea un automóvil?. Explique.
12. Una compañía embotelladora de refrescos mantiene registros respecto al número de botellas inaceptables obtenidas de las máquinas de llenado y coronado. Basándose en datos anteriores, la probabilidad de que una botella proviniera de la máquina I y fuera inaceptable era de 0.01 y la probabilidad de que una botella proviniera de la máquina II y fuera inaceptable era 0.025. la mitad de las botellas se llena en la máquina I y la otra mitad se llena en la máquina II. a) Si se selecciona una botella de refresco al azar, ¿cuál es la probabilidad que: a.1. Sea una botella inaceptable? a.2. Haya sido llenada en la máquina II? a.3. Haya sido llenada en la máquina I y sea una botella aceptable? a.4. Haya sido llenada en la máquina II o sea una botella inaceptable? b) Suponga que sabemos que la botella fue llenada en la máquina I. ¿Cuál es la probabilidad de que sea inaceptable?. c) Suponga que sabemos que la botella es inaceptable. ¿Cuál es la probabilidad de que fue llenada en la máquina I? d) Explique la diferencia en las respuestas de b) y c).
13. Consideremos el caso de un distribuidor de aparatos electrodomésticos que ha estado promoviendo cierto producto, por medio de una importante campaña publicitaria por televisión. Para evaluar la efectividad de la campaña, se pregunta a 600 clientes que visitaron la tienda, durante un período, si recuerdan el anuncio de la televisión se conservan los registros de las respuestas así como de la posible compra del producto en cuestión. Los resultados de este estudio se dan en la tabla siguiente: Anuncio de Televisión
Recuerda ( R )
No recuerda ( R’ )
Total
Compra ( C )
120
60
180
No compra ( C’ )
80
340
420
200
400
600
Producto
Total
1) Si se selecciona un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: a. Recuerde el anuncio? b. No recuerde al anuncio? c. Realice una compra o recuerde el anuncio? d. No recuerde el anuncio y realice una compra? 2) Dado el hecho de que el cliente realizó una compra, ¿cuál es la probabilidad de que haya recordado el anuncio?. 3) Si el cliente no recuerda el anuncio, ¿cuál es la probabilidad de que realice una compra?
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14. Una profesora ha estado enseñando Estadística durante muchos años. Sabe que el 80% de los estudiantes cumplen con los problemas asignados. Determinó que de los alumnos que hacen las tareas, 90% aprobarán el curso. De aquellos estudiantes que no realizan la tarea, 40% aprobarán. Miguel Sánchez tomó Estadística con la profesora y tuvo calificación aprobatoria ¿cuál es la probabilidad de que sí haya hecho las tareas?. 15. Un comprador de ropa de una gran tienda departamental compra anualmente 20% de las piezas a un fabricante A, 30% a un segundo fabricante B y el 50% restante a diversos proveedores. De la ropa comprada a A se vende el 80%; 75% de la de B y 90% de los restantes. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza que no se vendió al final de la temporada, provenga del fabricante B? 16. Martín Pérez, gerente del departamento de crédito de Epsilon, sabe que la compañía utiliza tres métodos para exhortar a pagar a las personas con cuentas morosas. De los datos que se tienen registrados, él sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente, 20% se les sugiere que paguen vía telefónica y el restante 10% se le envía una carta. Las probabilidades de recibir alguna cantidad de dinero debido a los pagos de una cuenta con estos tres métodos son 0.75, 0.60 y 0.65, respectivamente. El señor Pérez acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. ¿Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho: a) Personalmente? b) Por teléfono? c) Por correo? 17. El gerente de comercialización de una compañía fabricante de juguete está planeando introducir un nuevo juguete en el mercado. En el pasado, 40% de los juguetes introducidos por la compañía han tenido éxito y 60% no lo han tenido. Antes de que se comercialice el juguete, se lleva a cabo un estudio de mercado y se compila un informe, ya sea favorable o desfavorable. Anteriormente, 80% de los juguetes exitosos recibieron informes favorables y 30% de los juguetes no exitosos también recibieron informes favorables. a) Suponga que el estudio de mercado da un informe favorable sobre el nuevo juguete. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo juguete tenga éxito? b) ¿Qué proporción de los juguetes nuevos reciben informes favorables de estudios de mercado?. 18. Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por tres proveedores: el 45%de las piezas son compradas al primer proveedor resultando defectuoso el 1%. El segundo proveedor suministra el 30% de las piezas, y de ellas es defectuoso el 2%. Las restantes piezas provienen del tercer proveedor, siendo defectuoso el 3% de la mismas. En un control de recepción de artículos se selecciona una pieza al azar y es defectuosa. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el segundo proveedor.
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19. Un analista de una empresa manufacturera estima que la probabilidad de que una empresa competidora tenga planes para comenzar a fabricar equipo nuevo en los próximos tres años es de 0.30 y de 0.70 de que la empresa no tenga tales planes. Si la empresa de la competencia sí tiene esos planes, definitivamente se construirá una nueva instalación fabril. Si la empresa de la competencia no tiene esos planes, existe aún una probabilidad de 60% de que se construya la nueva instalación fabril por otras razones, a) Al utilizar E para la decisión de participar en el campo del equipo nuevo y F para la adición de una nueva instalación fabril, ilustre los eventos posibles mediante un diagrama de árbol. b) Suponga que la empresa de la competencia, de hecho, ha comenzado a trabajar en la nueva fábrica. Con esa información, ¿cuál es la probabilidad de que la empresa haya decidido ingresar al campo del nuevo equipo? 20. Ochenta por ciento de material de vinil que se recibe del vendedor A es de calidad excepcional, en tanto que solo cincuenta por ciento de material de vendedor B es de calidad excepcional. Sin embargo, la capacidad de fabricación del vendedor A es limitada y, por esa razón, solo cuarenta por ciento del vinil que la empresa adquiere proviene de este vendedor. El sesenta por ciento restante se compra al vendedor B. Se inspecciona un embarque de vinil que acaba de llegar y se encuentre que es de excepcional calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del vendedor A? 21. En cierta universidad, el 70% de los estudiante vienen de instituciones privadas y el 30% de instituciones estatales. Se sabe que el 25% de los estudiantes que vienen de instituciones privadas y el 10% que vienen de instituciones estatales poseen vehículo propio. a) Si se selecciona un alumno al azar de esta universidad, ¿cuál es la probabilidad de que tenga vehículo propio? b) Si el alumno seleccionado posee vehículo propio, ¿cuál es la probabilidad de que sea de los que vienen de instituciones estatales? c) Si el alumno seleccionado posee vehículo propio, ¿cuál es la probabilidad de que sea de los que vienen de instituciones privadas? 22. La constructora Cedro, S.A. trata de determinar si debería presentar licitación para la construcción de un nuevo centro comercial. En el pasado, la principal competidora de Cedro, la constructora Nardo, S.A. ha presentado licitaciones el 70% de las veces. Si Nardo no presenta licitación sobre un trabajo, la probabilidad de que Cedro lo obtenga es del 0.50; si Nardo presenta licitación, la probabilidad de que lo obtenga Cedro es de o.25. a) Si la constructora Cedro obtienen el trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que Nardo no haya presentado licitación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la constructora Cedro obtenga el trabajo?
63
TEMA 3 : DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS OBJETIVOS 1. Explicar el concepto de variable aleatoria y utilizarlo para definir eventos. 2. Construir la distribución de probabilidad y la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta. 3. Calcular e interpretar la esperanza y la varianza de una variable aleatoria discreta. 4. Conocer y aplicar las propiedades de la esperanza y la varianza de una variable aleatoria discreta. 5. Conocer los modelos probabilísticos más comunes de una variable aleatoria discreta: modelo Binomial, Hipergeométrico y de Poisson. 6. Aplicar el modelo probabilístico más adecuado, según las condiciones experimentales, a la resolución de problemas. 3.1 INTRODUCCION En el tema anterior utililizabamos letras como A, B, C, para representar eventos asociados a un experimento aleatorio y nos interesaba calcular, digamos P(A). Ahora utilizaremos variables aleatorias como X, Y, Z, para describir los eventos asociados al mismo experimento aleatorio, pero ahora el interés será calcular la probabilidad de que la variable aleatoria , digamos X, tome algún valor particular x. Por tanto, será de mucha utilidad práctica la construción de distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria X y la determinación de sus características principales. Más adelante estudiaremos algunas distribuciones clásicas de probabilidad de variables aleatorias discretas, que llamaremos modelos probabilísticos. Por ahora podemos iniciar con el concepto de variable aleatoria. VARIABLE ALEATORIA Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Una función X que signa a cada uno de los elementos w de S un número x, se llama variable aleatoria. X
S x
w
R
X (w) = x Figura 3.1
EJEMPLO 3.1 Una empresa tiene 100 cuentas por cobrar de las cuales 30 tienen su saldo incorrecto. Un auditor selecciona al azar y sin reposición 2 de dichas cuentas y luego registra el número de cuentas con saldos incorrectos.
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Definamos los eventos: C: la cuenta tiene su saldo correcto I: la cuenta tiene su saldo incorrecto.
S C2
C1 C2
Ι2
C1 I2
C2
I1 C2
I2
I1 I2
C1
I1
Figura 3.2 Como estamos interesados en registrar el número de cuentas que tienen su saldo incorrecto, es útil definir una variable aleatoria X que asigne a cada elemento de S su número de cuentas con saldo incorrecto, o bien de una manera más sencilla, que la variable aleatoria X represente el número de cuentas con saldos incorrectos.
X
S C1 C2
R 0
C1 I2 1 I1 C2 I1 I2
2
Figura 3.3
Así,
X ( C1 C2 ) = 0 ;
X ( C1 I2 ) = 1 ;
X ( I1 C2 ) = 1 ;
X ( I1 I2 ) = 2
El recorrido o rango de X es R X = { 0, 1, 2 } que será llamado conjunto de valores posibles de X.
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EJEMPLO 3.2 Registrar el tiempo que tarda un economista en revisar un documento de una empresa. Como el resultado del experimento es ya la característica numérica que queremos registrar entonces vamos a definir la variable aleatoria X como una función identidad que asigne a cada tiempo w posible que tarda en revisar el documento el mismo tiempo w, esto es,
X( w ) = w o bien de una manera más sencilla, que la variable aleatoria X represente el tiempo que tarda el economista en revisar el documento.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. X es una variable aleatoria discreta si su conjunto de valores posibles es finito o infinito numerable, esto es, si sus valores se pueden asociar a los enteros 1, 2, 3, . . . . Para el ejemplo 3.1, X es una variable aleatoria discreta porque su conjunto de valores posibles es finito. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. X es una variable aleatoria continúa si su conjunto de valores posibles es infinito no numerable, esto es, para dos elementos cualesquiera de este conjunto siempre existirá otro entre ellos. Para el ejemplo 3.2, X es una variable aleatoria continúa. Porque entre dos tiempos posibles siempre existirá otro. EVENTOS DEFINIDOS POR VARIABLES ALEATORIAS. El conjunto de todas los elementos w de S que tienen asignado (Según X) un mismo valor particular x, será un evento que denotaremos por X = x . Esto es, { w ∈ S | X( w ) = x } es equivalente a X = x. X
S w
x Figura 3.4
R
66
De manera análoga se definen los eventos
X < x ,
X > x
a < X < b , X ≤ x , X ≥ x , a ≤ X ≤ b , etc.
,
Para el ejemplo 3.1, consideremos los siguientes eventos: “Registra 1 cuenta con saldo incorrecto” es equivalente a { C I , I C } que también es equivalente a
X = 1 “Registrar 0 cuentas con saldos incorrectos” es equivalente a { CC } que también es equivalente a
X = 0. “Registra al menos una cuenta con saldo incorrecto es equivalente a { C I , I C , I I } que también es equivalente a X ≥ 1
Para el ejemplo 3.2 consideremos los eventos: “Tarda entre 2 y 4 horas” es equivalente a 2 < X < 4. “Tarda a lo sumo 3.5 horas” es equivalente a X ≤ 3.5
VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES Recordemos que dos eventos A y B son independientes si P( A | B ) = P( A ) Extendiendo esta idea, definimos que las variables aleatorias discretas X ,Y son independientes si Para cualquier xi , y j
,
P( Y = y j ) | X = xi ) = P( Y = y j )
y las variables aleatorias contínuas X, Y son independientes si Para cualquier x, y
,
P( Y ≤ y ) | X ≤ x ) = P( Y ≤ y )
Esto es, la ocurrencia del evento X ≤ x no afecta en nada a la ocurrencia del evento Y ≤ y La condición anterior también debe cumplirse para eventos expresados de cualquier otra forma.
67
3.2 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una función que asigna a cada valor posible xi un número f (xi ) = P ( X = x i ) llamado la probabilidad de xi tal que: i) ii)
f ( xi ) ≥ 0 ∑ f ( xi ) = 1
Nota: Para cualquier otro valor que no sea posible f ( x ) = 0 f
xi
R 0
1
Figura 3.5
EJEMPLO 3.3 Recordando que X representa el número de cuentas con saldos incorrectos en el ejemplo 3.1, construya la distribución de probabilidad de X. Arbol de probabilidad 69/99
C2
C1 C2
0
0.4879
30/99
I2
C1 I2
1
0.2121
70/99
C2
I1 C2
1
0.2121
29/99
I2
I1 I2
2
0.0879
C1 70/100
30/100
I1
Figura 3.6 Como los valores posibles de X son 0, 1, 2 tendremos:
f ( 0 ) = P ( X = 0 ) = 0.4879 f ( 1 ) = P ( X = 1 ) = 0.2121 + 0.2121 = 0.4242 f ( 2 ) = P ( X = 2 ) = 0.0879
68
La distribución de probabilidad de X podemos expresarla como: 1. Una tabla Tabla 3.1 xi
f (xi )
0 1 2
0.4879 0.4242 0.0879 1.0000
2. Una función matemática
0.4879 0.4242 f ( x ) = 0.0879 0
si
x= 0
si
x=1
si
x= 2
si
x es cualquier otro valor
3. Una gráfica. f(x)
0.6 0.4879
0.4242
0.4 0.2
0.0879 0 -1
0
1
2
3
x
Figura 3.7
3.3 FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. Sea f ( x ) la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X. La función de distribución acumulada de la variable aleatoria X se denota y define como:
69
= P(X≤ x) =
F(x)
∑f ( x
i
)
,
-∞< x
< ∞
x i ≤x
EJEMPLO 3.4 Construir la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X del ejemplo 3.1 Retomemos la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X del ejemplo 3.3 y observemos que valores toma F ( x ) cuando: x 0 , 0 x 1 , 1 x 2 y x 2 i)
Si x < 0 , F ( x ) = 0
ii)
Si 0 ≤ x < 1 , F ( x ) = f ( 0 ) = 0.4879 porque sólo hay un valor posible, que es el
porque no hay valores posibles menores o iguales que x
0, cuya probabilidad es 0.4879 iii)
Si 1 ≤ x < 2 , F ( x ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) = 0.4879 + 0.4242 = 0.9121
iv)
porque hay dos valores posibles, que son el 0 y el 1 cuyas, probabilidades son 0.4879 y 0.4242 respectivamente. Si x ≥ 2 , F ( x ) = f ( 0 ) + f ( 1 ) + f (2 ) = 0.4879 + 0.4242 + 0.0879 = 1 porque hay tres valores posibles, que son el 0, 1 y 2, cuyas probabilidades son 0.4879 , 0.4242 y 0.0879 respectivamente.
Los resultados anteriores podemos expresarlos como: 1. Una función matemática
0 0.4879 F(x) = 0.9121 1
<0 si 0 ≤ x < 1 si 1 ≤ x < 2 si x ≥ 2 si
x
2. Una gráfica
F(x)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0.9121
0.4879
0 -1
0
1
2
3
x
70
Figura 3.8 Algunas características de F ( x ) a) F ( x ) es siempre una función no decreciente. b) Lím F ( x ) = 1
y
x→ + ∞
Lím F ( x ) = 0 x→ - ∞
c)
P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
d)
f ( x ) = F ( x ) - F ( x – 1 ) si x es un número natural.
EJERCICIO 3.1 Las llegadas de clientes a un almacén durante 80 días escogidos aleatoriamente se presenta en la siguiente tabla. Tabla 3.2 No. Llegadas No. días 0 1 2 3
15 25 35 5 80
Si X representa el número de llegadas de clientes en un día. i)
Construya la distribución de probabilidad de X
ii)
¿Cuál es la probabilidad de que cierto día lleguen menos de 3 clientes.
iii)
Construya la función de distribución acumulada de X
iv)
¿Cuál es la probabilidad de que cierto día lleguen a lo sumo 2 clientes?.
3.4
ESPERANZA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
Con el propósito de resumir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X se calcularán sus principales características: la esperanza y la varianza de X. Sea f (xi ) una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X. La esperanza de X o valor esperado de X se denota y define como:
E(X) =
∑ xi f ( xi )
E ( X ) puede considerarse como una media aritmética ponderada (donde la ponderación de cada xi sería la probabilidad f(xi)) esto es la media que espero obtener de un gran número de observaciones independientes de X, motivo por el cual escribiremos.
71
E(X) =
X
( la media de X )
La varianza de X se denota y define como:
V (X) = E [ (X - µ X )2 ] =
∑ ( xi - µ X )2 f ( xi )
La varianza de X también se puede denotar como V( X ) =
X
El cálculo se puede simplificar utilizando la siguiente fórmula :
V (X) = E ( X2 ) - [ E ( X ) ]2
donde
E ( X2 ) =
∑ xi2 f ( xi )
La desviación estándar de X se denota y define como: X
=
V(X)
EJEMPLO 3.5 Un vendedor de computadoras tiene la oportunidad de trabajar con cierto comerciante. Supongamos que el vendedor ha evaluado las posibilidades de la venta semanal de la manera indicada abajo. Tabla 3.3 No. Computadoras Probabilidad 0 1 2 3 i) ii)
0.1 0.2 0.3 0.4
Determine el número de computadoras que espera vender por semana. Interprete el resultado. Determine la desviación estándar del número de computadoras que vende por semana. Interprete el resultado.
Hagamos que la variable aleatoria X represente el número de computadoras que podría vender por semana.
xi2 f( xi )
xi
f( xi )
xi f( xi )
0 1 2 3
0.1 0.2 0.3 0.4
0 0.2 0.6 1.2
0 0.2 1.2 3.6
1.0
2.0
5.0
E ( X ) = 2 computadoras y V ( X ) = 5 - [ 2 ]2 = 5 - 4 = 1 computadora2
72 X
V( X )
=
1
=1
computador a
Estos resultados se interpretan así: A medida que transcurran las semanas, el vendedor espera vender en promedio 2 computadoras y el número de computadoras que venderá por semana variará la mayor parte de las veces entre 1 y 3 computadoras.
EJEMPLO 3.6 Para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X del ejemplo 3.3 i)
Calcule el número esperado de cuentas con saldos incorrectos (interprete el resultado).
ii)
Calcule la varianza y la desviación estándar del número de cuentas con saldos incorrectos (interprete el resultado)
( xi -
)2 f ( xi )
xi2 f ( xi )
xi
f ( xi )
xi f ( xi )
0 1 2
0.4879 0.4242 0.0879
0 0.4242 0.1758
0.1756 0.0679 0.1723
0 0.4242 0.3516
1.0000
0.6000
0.4158
0.7758
X
i)
E(X) =
μX
= 0.6 cuentas con saldos incorrectos.
Este resultado podemos interpretarlo diciendo que a medida que el auditor vaya seleccionando 2 cuentas de las 100 muchas veces esperamos en promedio que 0 (ninguna) ó 1 cuenta con saldo incorrecto, pero un poco más 1 que ninguna. ii)
V(X)
=
X = 0.4158
⇒
X
= 0.6448
Este valor representa la variación de X alrededor de µ X. Esto quiere decir que el número de cuentas con saldos incorrectos variará entre 0 (ninguna) y 1 la mayor parte de las veces que el auditor seleccione 2 cuentas de las 100. Utilizando la otra fórmula tendremos que:
V ( X ) = 0.7758 - [ 0.6 ]2 = 0.4158 ⇒
X
= 0.6448
73
EJEMPLO 3.7 Un fabricante produce cierto artículo de tal modo que el 10% son defectuosos. Si se produce un artículo defectuoso, el fabricante pierde C$ 10, mientras que un artículo no defectuoso le produce una ganancia de C$ 50. Determine la ganancia esperada por artículo. Interprete el resultado. Supongamos que X representa la ganancia por artículo y que toma los valores – 10 si se produce un artículo defectuoso y 50 si se produce no defectuoso.
xi
f ( xi )
xi f (xi )
-10 50
0.10 0.90
-1 45 44
X
= E ( X ) = C$ 44
Este resultado se interpreta así: Cuando el fabricante produzca muchos artículos espera una ganancia promedio por artículo de C$ 44
EJERCICIO 3.2 Para la distribución de probabilidad de X del ejercicio 3.1 i) Calcule el número esperado de llegadas de clientes (interprete el resultado). ii) Calcule la varianza y la desviación estándar del número de llegadas de clientes (interprete el resultado). 3.4.1
PROPIEDADES DE LA ESPERANZA Y LA VARIANZA.
1) E (c ) = c
;
V(c) = 0
2) E ( c X ) = c E ( X )
; V ( c X ) = c2 V ( X )
3) E (a + b X ) = a + b E ( X ) ; V ( a + b X ) = b2 V ( X ) 4) Si X , Y son variables aleatorias cualesquiera E(X± Y) = E(X) ± E (Y) 5) Si X , Y son variables aleatorias independientes. V(X± Y) = V(X) + V(Y)
74
EJEMPLO 3.8 Para el ejemplo 3.5 considere las siguiente situaciones: 1) Si el comerciante le ofrece al vendedor una comisión de C$ 500 por computador vendido determine: i) El ingreso semanal esperado del vendedor. ii) Las desviación estándar del ingreso semanal. Interprete los resultados. Hagamos que la variable aleatoria Y represente al ingreso semanal del vendedor. Entonces Y = 500X Aplicando las propiedades de la esperanza y la varianza y recordando del ejemplo 3 que E ( X ) = 2 computadoras y que σ X = 1 computadora tenemos que: i)
E ( Y ) = 500 E ( X ) = 500 ( 2 ) = C$ 1000
ii)
V ( Y ) = 5002V ( X ) = 5002 ( 1 ) = 5002 Y
=
500 2
=
C$ 500
Por tanto a medida que transcurran las semanas, el vendedor espera tener un ingreso semanal promedio de C$ 1000 y su ingreso semanal variará la mayor parte de las veces entre C$ 500 y C$ 1500. 2) Si el comerciante le ofrece al vendedor pagarle C$ 800 fijos por semana más C$ 400 por computador vendidor, determine: i) ii)
El ingreso semanal promedio del vendedor. La desviación estándar del ingreso semanal Interprete los resultados
Hagamos que Y represente el ingreso semanal del vendedor Entonces Y = 800 + 400X Y
= E ( Y ) = E ( 800 + 400X ) = 800 + 400 E ( X ) = 800 + 400 ( 2 ) = C$ 1600
V ( Y ) = V ( 800 + 400X ) = 4002 V ( X ) = 4002 ( 1 ) = 4002 Y =
400 2 = C$ 400
¿Cómo interpretaría usted estos resultados?
75
EJEMPLO 3.9 Un negociante posee dos restaurantes. Sean X , Y, que se suponen independientes entre sí, las ventas diarias de dichos restaurantes. El negociante ha reunido datos de ventas durante muchos años, y de acuerdo con sus registros, la media y la varianza de X son de C$ 5000 y C$ 100 respectivamente y la media y la varianza de Y son de C$ 7000 y C$ 200 respectivamente. Calcule para los dos restaurantes combinados.
i)
i)
La venta diaria promedio.
ii)
La desviación estándar de las ventas diarias.
Sea M: La venta diaria total. Entonces M = X + Y E(M)=E(X+Y)=E(X)+E(Y) = 5000 + 7000 = C$ 12000
ii)
V ( M ) = V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) = 100 + 200 = C$ 300 M
=
300
= C$ 17.3205
76
3.5 MODELOS PROBABILISTICOS 3.5.1 INTRODUCCION Hay situaciones en las cuales el cumplimiento de ciertas condiciones experimentales nos lleva a utilizar lo que llamaremos un modelo probabilístico, esto es , una distribución de probabilidad de una variable aleatoria definida por una expresión matemática Estos modelos tendrán un nombre y serán estudiados en esta tema. Para poder comprender estas expresiones matemáticas necesitaremos estudiar los siguientes conceptos: EL FACTORIAL DE UN NUMERO Sea n un número natural. El factorial de n se denota y define así n! = n ( n – 1 ) (n – 2 ) . . . . . . 1 Nota: 0! = 1 De manera que: 1! 2! 3! 4!
= 1 = 2 (1) = 2 = 3 (2) (1) = 6 = 4 (3) (2) (1) = 24
NUMERO DE COMBINACIONES DE x OBJETOS TOMADOS DE n El número de combinaciones de x objetos tomados de n se denota y define así
n n! x x!(n-x)! Para las siguientes situaciones tendremos que:
77
nnn 1, n, 1 n1o También podemos utilizar la siguiente fórmula simplificada
n n(-1) (n-x1)
donde (n – x + 1 ) es el último factor
x x!
De manera que
78
8 8! 8(7)65! 8(7)6 3 3!5 3(2)15! 3(2)1
56
Con la fórmula simplificada tendremos que
8 8(7)(6) = = 56 3 3(2)(1
porque 8 – 3 + 1 = 6 es el último factor
Para situaciones como las siguientes, escribiremos sin ningún cálculo
5 = 1 5
,
10 = 10 1
calculemos ahora
15 15(4)13(2)1 (0)9 7 7(6)5(4)3(2)1
6435
3.5.2 DISTRIBUCION BINOMIAL
,
4 = 1 0
79
INTRODUCCION La distribución binomial es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, que será aplicable cada vez que se suponga un proceso de Bernoulli. PROCESO DE BERNOULLI Es un proceso de muestreo, esto es, una muestra de tamaño n que resulta de repetir un mismo experimento aleatorio (que llamaremos ensayo) n veces y que cumple las siguientes condiciones: 1) Los resultados posibles de cada ensayo pueden clasificarse en dos eventos E y F mutuamente excluyentes y exhaustivos que llamaremos posteriormente éxito y fracaso respectivamente. 2) Las probabilidades de (E) y (F) permanecen constantes en todos los ensayos, es decir, el proceso es estacionario. 3) Cualquier serie de eventos E y F obtenidos de los n ensayos constituyen eventos independientes.
EL MODELO BINOMIAL Supongamos que estamos ante un proceso de Bernoulli con n ensayos donde uno de los dos eventos será el éxito y la probabilidad de que ocurra un éxito se representará por p. Estaremos interesados en una variable aleatoria X que representará el número de éxitos en la muestra, donde el objetivo principal será obtener una expresión matemática que defina a la distribución de probabilidad de X Puede demostrarse que la siguiente expresión matemática define una distribución de probabilidad de X llamada distribución binomial con parámetros n y p , o modelo binomial con parámetros n y p.
n x n-x
P X x)( p (1-p) , x 0,12 ,n
x donde x es un valor particular de X y 1 – p representa la probabilidad de un fracaso.
CARACTERISTICAS. 1. Cada vez que se especifica un grupo de parámetros n y p se produce una distribución binomial particular.
80
2.
La distribución es simétrica si p = 0.50
La distribución es asimétrica a la derecha si p < 0.50 y a la izquierda si p > 0.50. Cuando n crece y p se acerca a 0.50 la asimetría tiende a disminuir. 3.
La esperanza de X se obtiene así μ
4.
x
=
E ( X)
=
np
La varianza de X se obtiene así
V(X) = n p (1 – p) EJEMPLO 3.10 En un archivo hay 5 documentos de la empresa A y 15 documentos de la empresa B. Seleccionar al azar y con reposición 4 documentos anotando la empresa correspondiente de cada uno. Determine la probabilidad de que 3 sean de la empresa B.
Verificando la existencia de un proceso de Bernoulli. Aquí existe un proceso de muestreo que resulta de repetir el ensayo reposición un documento, n = 4 veces. Miremos ahora que condiciones cumple:
: seleccionar al azar y con
1. Cada ensayo tiene dos eventos mutuamente excluyentes y exhautivos:
A representa “es de la empresa A” B representa “es de la empresa B” 2. Las probabilidades de A y B permanecen constantes en el proceso porque las selecciones de los documentos se realizaron con reposición de una población finita. 3. Además cualquier serie de eventos A y B, obtenidos de los 4 ensayos, constituyen eventos independientes. Luego hay un proceso de Bernoulli con n = 4 ensayos.
Aplicando el modelo Binomial Observe para el proceso anterior con n = 4 ensayos, que el evento B ( es de la empresa B) será el éxito, y la probabilidad de que ocurra un éxito será p = P( B ) = 15 / 20 = 0.75 La variable aleatoria X representará el número de documentos de la empresa B en la muestra. La probabilidad de que X = 3 se obtiene aplicando un modelo binomial con parámetros n = 4 y p = 0.75
81
4 3 (XP 3)== (0.75) (0.25)= 4(0.4219)(0.25)= 0.4219 3 EJEMPLO 3.11 Debidos a las altas tasas de interés, una firma informa que 30% de sus cuentas por cobrar de otras firmas comerciales están vencidas. Un contador escoge aleatoriamente una muestra de 5 cuentas. Obtenga la expresión matemática que define a la distribución de probabilidad del número de 1. cuentas vencidas.
Verificando la existencia de un proceso de Bernoulli. Aquí existe un proceso de muestreo que resulta de repetir el ensayo : escoger aleatoriamente una cuenta por cobrar, n = 5 veces. Miremos ahora que condiciones cumple: 1. Cada ensayo tiene dos eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos:
V representa “está vencida” V’ representa “ no esta vencida” 2. Las probabilidades V y V’ permanecen constantes en el proceso porque las escogencias de las cuentas se realizaron sin reposición de una población considerada infinita. 3. Además cualquier serie de eventos V y V’, obtenidos de los 5 ensayos, constituyen eventos independientes. Luego hay un proceso de Bernoulli con n = 5 ensayos.
Aplicando el modelo Binomial. Observe para el proceso anterior con n = 5 ensayos, que el evento V será el éxito, y la probabilidad de que ocurra un éxito será p = P( V ) = 0.30. La variable aleatoria X representará el número de cuentas vencidas en la muestra La expresión matemática que definirá a la distribución de probabilidad de X será la correspondiente a un modelo binomial con parámetros n = 5 y p = 0.30. Esto es,
82
5 x 5x P(X = x) = (0.3 ) (07 ) , x = 0,12 ,n -
.
x
2.
Determine la probabilidad de que: a) 2 cuentas estén vencidas
5 2 3 P(X= 2) = ( 0.3 ) ( 0.7 ) = 10 ( 0. 9 ) ( 0.34 ) = 0.3 87 2 b) ninguna este vencida
5 0 5 P(X= 0) = (0.3 ) (0.7 ) = (1) (1)(0.1681) = 0.1681 0 c) al meno menoss una una este este ven venci cida da P(X 1) = 1 - P ( X =0) = 1 - 0.1681 = 0.8319 d) toda todass est esten en ven venci cidas das
83
5 5 0 P(X= 5) = (0.30 ) ( 0.70 ) = (1)(0. 024)(1) = 0. 024 5 EJEMPLO 3.12 La probabilidad de que un presunto cliente de un centro comercial escogido aleatoriamente haga una compra es 0.20. Un vendedor visita a 15 presuntos clientes. 1. Determ Determine ine la probabi probabilid lidad ad de de que: que: a) Haga me menos de 3 ventas.
Puede verificarse la existencia de un proceso de Bernoulli con n = 15 ensayos, y por tanto, aplicarse un modelo binomial Observe que el evento V ( hacer una venta ) será el éxito y que la probabilidad de que ocurra un éxito será p = P( V ) = 0.20 La variable aleatoria X representará el número de ventas realizadas en la la muestra y P(X<3) = P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) se obtiene aplicando aplicando un modelo binomial binomial con parámetros n = 15 y p = 0.20
84
15 0 15 P ( X = 0) = ( 0.20 ) ( 0.80 ) = ( 1 ) ( 1 ) ( 0.0352 ) = 0.0352 0 15 1 14 P ( X = 1) = ( 0.20 ) ( 0.80 ) = 15 ( 0.20 ) ( 0.0440 ) = 0.1319 1 15 2 13 P ( X = 2) = ( 0.20 ) ( 0.80 ) = 105 ( 0.04 ) ( 0.0550 ) = 0.2309 2 Luego b)
P(X
3 ) = 0.0352 + 0.1319 + 0.2309 = 0.3980
Haga al menos 3 ventas.
P(X ≥ 3) = 1 - [ P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2 )] = 1 - 0.3980 = 0.602 2. Determ Determine ine el número número esperado esperado de ventas ventas del vendedor vendedor y la desviac desviación ión estánda estándarr del número de ventas.
E ( X ) = np = 15 ( 0.20 ) = 3 ventas V ( X ) = np ( 1 – p ) = 15 ( 0.20) ( 0.80 ) = 2.4 Interpretar el resultado
⇒
X
=
2.4
= 1.5492
ventas
85
3.5.3 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Cuando estamos ante un proceso de muestreo con n ensayos que sólo cumple la primera condición del proceso de Bernoulli, significa que cada elemento se seleccionó sin reposición de una población finita de tamaño N, lo cual provocó un cambio sistemático en la probabilidad de un éxito y un fracaso a medida que se retiraron los elementos de la población. De manera que ahora no estaremos ante un proceso de Bernoulli, pero será de interés una variable aleatoria X que representará el número de éxitos en la muestra.
EL MODELO HIPERGEOMETRICO Puede demostrarse que la siguiente expresión matemática define una distribución de probabilidad de X llamada distribución hipergeométrica con parámetros n, N y A, o modelo hipergeométrico con parámetros n, N y A.
A N-A n-
xx
P(X x) == , x = 0,12 ,n N
n
86
donde
N representa el número de elementos en la población A representa el número de éxitos en la población N – A representa el número de fracasos en la población
n representa el número de elementos en la muestra x representa el número de éxitos en la muestra n – x representa el número de fracasos en la muestra
CARACTERISTICAS. Hagamos que
p =
A
represente la proporción de éxitos en la población y que
N
1 – p
representa la proporción de fracasos en la población. 1. Cada vez que se especifica un grupo de parámetros n, N, A se produce una distribución hipergeométrica particular. 2. La distribución es simétrica si p = 0.50 y asimétrica cuando P ≠ 0.50 La distribución es asimétrica a la derecha si p < 0.50 y a la izquierda si p > 0.50. Cuando n crece y p se acerca a 0.50 la asimetría tiende a disminuir. 3. La esperanza de X se obtiene así x
E (X)
np
4. La varianza de X se obtiene así V(X)
N -n = np( 1 - p ) N - 1
Lo cuál implica que
X
=
V(x)
EJEMPLO 3.12 Un gerente selecciona aleatoriamente 3 individuos de un grupo de 10 empleados para asignarlos a un estudio de clasificación de salarios. Suponga que 4 de los empleados trabajaron previamente en proyectos semejantes. 1. Determine la expresión matemática que define a la distribución de probabilidad del número de empleados con experiencia. Este es un proceso con n = 3 ensayos, que sólo cumple la primera condición de un proceso de Bernoulli porque los 3 empleados se seleccionaron al azar sin reposición de una población finita de tamaño N = 10.
87
Observe que el evento E (con experiencia) será el éxito y que por tanto tendremos que:
N representa el número de empleados del grupo. A representa el número de empleados con experiencia. N – A repreenta el número de empleados sin experiencia.
n representa el número de empleados en la muesta. x representa el número de empleados con experiencia en la muestra. n – x representa el número de empleados sin experiencia en la muestras. La variable aleatoria X representará el número de empleados con experiencia, y la expresión matemática que va a definir a la distribución de probabilidad de X, será la correspondiente a un modelo hipergeométrico con parámetros n = 3, N = 10 y A = 4. Esto es,
64 3 - P(X ) == , = 0,1 2,3 10 3 xx
x
x
88
2. Determine la probabilidad de que: a) dos tengan experiencia.
89
46 46 P( 2)X
3-22 2 1 6( ) 10 10 120 33
0.3
90
b) ninguno tenga experiencia.
91
46 46 P( 0)X
3-00 0 3 (1)20 10 10 120 33
0.167
92
c) a lo sumo 2 tienen experiencia
2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2)
P(X
4 6 1 2 4 ( 15 ) P(X = 1 ) = = = 0.50 10 120 3 Luego P ( X
2 ) = 0.1667 + 0.5000 + 0.3000 = 0.9667
3. Determine el número esperado de empleados con experiencia y la desviación estándar del número de empleados con experiencia. Como p =
A N
4 10
0.4
E( X ) = np = 3(0.4) = 1.20 empleados V( X ) = np (1 – p)
N - n N - 1
= 3(0.4)(0.6)( 7 / 9 ) = 0.56 ⇒
X
0.56
0.7483
empleados
93
LA DISTRIBUCION BINOMIAL COMO UNA APROXIMACION A LA DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA. Cuando el tamaño N de la población se considera muy grande en comparación al tamaño n de la muestra, el hecho de que el muestreo se efectúe sin reposición tiene poco efecto en la probabilidad de éxito de cada ensayo. Un método empírico conveniente es que se puede utilizar una distribución binomial con parámetros n y
p
=
A
como una aproximación de la distribución hipergeométrica cuando n
N
0.05
N, esto es, el tamaño de la muestra debe ser menor que el 5% del tamaño de la población. EJEMPLO 3.13 Un producto industrial particular se envía en lotes de 200. Como la prueba para determinar si un artículo está defectuoso es costosa, diseñó un plan de muestreo que recomienda muestrear 5 artículos de cada lote y rechazar el mismo si resulta más de un artículo defectuoso. Si se rechaza se prueba cada artículo del lote. Suponga que un lote contiene 8 artículos defectuosos. 1. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote? Aquí hay un proceso de muestreo con n = 5 ensayos que sólo cumple la primera condición de un proceso de Bernoulli porque el muestreo se hace sin reposición de una población finita. Observe que el evento D (sale defectuoso) es el éxito y que por tanto tendremos que: N : representa el número de artículos del lote. A : representa el número de artículos defectuosos en el lote. n : representa el número de artículos en la muestra. x : representa el número de artículos defectuosos en la muestra. Como la variable aleatoria X representa el número de artículos defectuosos en la muestra Entonces la distribución de probabilidad de X será la distribución hipergeométrica con n = 5 , N = 200 y A = 8. P (aceptar el lote) = P ( X
1 ) = P ( X = 0) + P(X = 1)
Miremos ahora la posibilidad de utilizar la distribución binomial como una aproximación de la hipergeométrica. n N
=
5 200
=
0.025
⇒
n
=
0.025 N
Esto es, el tamaño de la muestra es el 2.5% del tamaño de la población. Luego se cumple la relación empírica de que n Podemos utilizar una distribución binomial con parámetros n = 5 0.05 N. y p
A
8
N
200
0.04
como una aproximación de la distribución hipergeométrica con
parámetros n = 5, N = 200 y A = 8.
94
5 0 5 P ( X = 0 ) = ( 0.04 ) (0.96) = ( 1) ( 1 ) ( 0.8154 ) = 0
0.81.54
5 1 4 P ( X = 1 ) = ( 0.04 ) (0.96) = 1
0.1699
P(X ≤ 1) =
+
5 ( 0.04 ) ( 0.8493 ) =
=
0.8154 0.1699 0.9853
3.5.4 DISTRIBUCION DE POISSON Ahora estudiaremos un proceso semejante al proceso de Bernoulli en el cual los eventos ocurrirán en una porción muy pequeña que generalmente será de tiempo. PROCESO DE POISSON. Consideremos una unidad t de tiempo, longitud, superficie, volumen, etc. dividida en porciones ∆t muy pequeñas. Un proceso de muestreo resultante de la posible repetición de un mismo experimento aleatorio ( que llamaremos ensayo y cuyos resultados posibles serán llamados observaciones en la porción t ) será un proceso de Poisson si cumple las siguientes condiciones: 1) Las observaciones en cada porción ∆t pueden clasificarse en dos eventos E y F mutuamente excluyentes y exhaustivos que llamaremos éxito y fracaso respectivamente. 2) La probabilidad de que se produzca un éxito ( E ) es muy pequeño y permanece constante en cada porción ∆t. La probabilidad de que se produzan dos o más éxitos en una porción ∆t es tan reducida que podemos asignarle un valor cero. 3) La ocurrencia de un éxito ( E ) en la porción ∆t es independiente dela ocurrencia de otro éxito ( E ) en cualquier otra porción ∆t.
EL MODELO DE POISSON
95
En un proceso de Poisson estaremos interesados en una variable aleatoria X que representará el número de éxitos en la unidad de tiempo, superficie, volumen, etc. Supongamos que λ (lambda) representa el número promedio de éxitos en la unidad de tiempo, superficie, volumen, etc, y que este valor se conoce por experiencia. Entonces la distribución de probabilidad de X definida por la siguiente expresión matemática, será la distribución de Poisson con parámetros , o simplemente el modelo de Poisson con parámetro λ.
P( X
x)
x e- λ x!
λ
x = 0, 1, 2, …
,
e = 2.71828 …
CARACTERISTICAS. Cada vez que se especifica el parámetro se produce una distribuciónde Poisson particular. La distribución es siempre asimétrica a la derecha cuando (con su punto más alto en el centro) según aumenta .
es pequeña y se acercará a la simetría
La esperanza de X se obtiene así μ X = E(X) = λ
La varianza de X se obtiene así
V(X) = λ
⇒
σx
=
λ
EJEMPLO 3.14 Suponga que el número promedio de vehículos que llegan a un parqueo es de 10 por hora. ¿ Cuál es la probabilidad de qué en una hora determinada lleguen 4 vehículos ? Verificando la existencia de un proceso de Poisson. Consideremos la unidad de tiempo, una hora, dividida en porciones muy pequeñas de tiempo, digamos en segundos. 1) En cada segundo pueden observarse dos eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos:
E : llega un vehículo. F : no llega ninguno vehículo.
Suponga que E es el éxito y F el fracaso.
2) La probabilidad de que llegue un vehículo en un segundo es muy pequeña y permanecerá constante en cada segundo. Además la probabilidad de que lleguen 2 o más vehículos en un segundo es casi cero. 3) La llegada de un vehículo en un segundo es independiente de la llegada de otro vehículo en cualquier otro segundo.
96
Por lo tanto estamos ante un proceso de Poisson.
Aplicando el modelo de Poisson. En el proceso anterior tendremos que: X que representará el número de vehículos que llegan en una hora. representará el número promedio de vehículos que llegan en una hora. Sabemos por experiencia que = 10 y que la probabilidad de que X = 4 se va a obtener aplicando un modelo de Poisson con parámetro = 10 10 4 e P( X = 4 ) = 4!
−10
= 10000(0.00004540) = 0.4540 = 0.0189 24
24
EJEMPLO 3.15 Suponga que el número promedio de llamadas que llegan a una Central Telefónica es de 120 por hora. 1) Construya la expresión matemática que define a la distribución de probabilidad del número de llamadas que ocurren en 3 minutos. Podemos verificar la existencia de un proceso de Poisson. En este proceso tendremos que: representará el número de llamadas que ocurren en 3 minutos. X representará el número promediode llamadas que ocurren en 3 minutos. Entonces la expresión matemática que va a definir a la distribución de probabilidad de X, será la correspondiente a un modelo de Poisson con parámetro
= ( 120 ) ( 3 ) = 2 ( 3 ) = 6 60
Esto es, P(X
=x) =
6x e - 6
,
x!
x
= 0, 1, 2,
2) ¿Cuál es la probabilidad de que: i)
Se reciban 2 llamadas P(X
ii)
= 2) =
62 e- 6 2!
= 18
e- 6
= 18 ( 0.0025 ) = 0.0450
Se reciba una llamada o más P(X P(X
P(X
1) = 1 - P ( X = 0) = 0) =
60 e - 6 0!
=
( 1 ) e- 6 1
= e- 6 =
1 ) = 1 - 0.0025 = 0.9975
0.0025
97
EJEMPLO 3.16 En una fábrica han ocurrido accidentes a razón de una cada dos meses. Suponga que ocurrieron en forma independiente. 1. Determine la probabilidad de que: i) No haya accidente en determinado mes. Tenemos un proceso de Poisson en el cual. X representará el número de accidentes que ocurren cada mes. representara el número promedio de accidentes por mes.
Entonces vamos a utilizar un modelo de Poisson con
=
1 2
= 0.50 accidentes por mes
(0.5)0 e − 0.5 (1)e − 0.5 − 0.5 P( X = 0 ) = = =e = 0.6065 1 0!
ii)
hayan 4 accidentes en determinado trimestre
Utilizaremos un modelo de Poisson con P(X =4) =
( 1.5 )4 e- 1.5
=
1 (3) 2
=
= 1.5 accidentes
5.0625 ( 0.231 )
4!
=
24
0.0471
2. ¿Cuantos accidentes espero en un año?
λ =
1 2
( 12 ) = 6 accidentes
LA DISTRIBUCION DE POISSON COMO UNA APROXIMACION DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Cuando en una distribución binomial n es grande y p es pequeño, los cálculos son bastante tediosos. Afortunadamente podemos utilizar el modelo de Poisson como una aproximación del modelo binomial haciendo = np. Una regla empírica conveniente es que tal aproximación se puede hacer cuando n 20 y p 0.05. EJEMPLO 16. Se sabe que el 1% de las cuentas de ahorro de un banco están desactivadas. Se selecciona aleatoriamente una muestra de 30 cuentas. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 cuentas esten desactivadas? Podríamos utilizar una distribución binomial con n = 30 y p = 0.01, pero como se cumple la regla empírica podemos usar la distribución de Poisson con = 30 ( 0.01 ) = 0.30 P(X =3) =
( 0.30 )
3
3!
e
- 0.3
=
0.027 (0.7408 ) 6
=
0.0033
98
Si hubieramos utilizado la distribución binomial con n = 30 y p = 0.01 tendriamos que
30 3 27 P(X 3)== (0. 1) (0.9 ) = 406 (0. 0 1)(0.7623)= 0. 031 3 De esta manera la diferencia entre la aproximación de Poisson y el valor de probabilidad binomial real es 0.0002.
EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEMA 3: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. 1. En la siguiente tabla se muestra el número de camionetas que se han solicitado por día a, una agencia que renta vehículos, en un período de 50 días. No. Camionetas 3 4 5 6 7
No. días 10 16 18 4 2 50
Si X representa el número de camionetas solicitadas por día. i) ii) iii) iv)
Construya la distribución de probabilidad de X y grafiquela. ¿Cuál es la probabilidad de que cierto día se solicitan entre 4 y 6 camionetas (incluyendo a 4 y 6) ¿Cuántas camionetas espero que sean solicitadas en un día? ¿ Calcule la desviación estándar de X e interprete el resultado
2. En la siguiente tabla se muestra el número de camiones disponibles por centro de 20 centros distribuidores de cierto artículo No. Camiones 1
No. centros 5
99
2 3 4
8 6 1 20
1) Si X representa el número de camiones disponibles por centro. Construya la distribución de probabilidad de X. Construya la función de distribución acumulada de X.
i) ii)
2) Suponga que un supervisor selecciona al azar el centro que visitará i) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 2 camiones disponibles? ii) ¿Cuántos camiones disponibles espera encontrar en el centro después de muchas visitas? iii) Determine la desviación estándar del número de camiones disponibles por centro. Interprete el resultado.
3. El número de revistas vendidas por día en una tienda durante 30 días se presenta en la siguiente tabla. No. Revistas 10 11 12 13 14
No. días 3 7 10 8 2
30 Si X representa el número de revistas vendidas por día. i) ii) iii) iv)
Construya la distribución de probabilidad de X y grafíquela. ¿Cuál es la probabilidad de que cierto día se vendan como máximo 12 revistas. ¿Cuántas revistas espero vender en un día ? Interprete el resultado. Calcule la desviación estándar de X e interprete el resultado.
4. Julio Martínez recibe un lote de 100 discos de clutch. El historial de la empresa muestra que el 10% de discos recibidos es defectuoso. Saquemos al azar 2 discos uno a uno de dicho lote (sin reposición) y anotemos el número de discos defectuosos. Si la variable aleatoria T representa el número de discos defectuosos en la muestra. a) Construya una distribución de probabilidad de T. b) Determine la esperanza y varianza de T. Interprete el resultado.
5. Un inversionista ha decidido invertir su dinero en tres acciones diferentes. En su búsqueda ha encontrado que tiene como alternativas, cinco acciones, de las cuales 2 son preferentes y 3 son
100
ordinarias. Si la variable aleatoria X representa el número de acciones preferentes que comprará y decide seleccionarlas al azar. a) Construya la distribución de probabilidad de X y grafíquela. b) Elabore la función de distribución acumulada y grafiquela.
6. Supongamos que la probabilidad de éxito de un proyecto es 0.90 y que dicho proyecto es repetido (independientemente uno de otro) hasta que el proyecto sea todo un éxito o bien haya sufrido 3 fracasos consecutivos. Si representamos por X el número de veces que es necesario repetir el proyecto. a) Construya una distribución de probabilidad de X. b) Construya una función de distribución acumulada de X. c) Cual es la probabilidad de que el proyecto sea repetido a lo sumo 2 veces.
7. Una empresa tiene 4 cuenta por pagar de las cuales una tiene un saldo mayor que C$ 10,000. Un contador selecciona al azar una cuenta después de la otra, sin reponerla, hasta registrar inclusive la que tiene un saldo mayor que C$ 10,000. ¿Cuántas cuentas espera seleccionar hasta registrar inclusive la que tiene un saldo mayor que C$ 10,000 ? Interpretar el resultado. 8. De 12 cuentas de un archivo, 4 contienen un error de procedimiento al contabilizar los saldos de las cuentas. Un auditor selecciona aleatoriamente dos de estas cuentas (sin reposición). Si X representa el número de cuentas con error de procedimiento en la muestra. a) Construya la distribución de probabilidad de X y grafíquela. b) Construya la función de distribución acumulada de X y gráfiquela.
9. Un vendedor ha descubierto que las probabilidades del número de ventas por día, se presentan de la siguiente manera: No. Ventas 1 2 3 4
Probabilidad 0.19 0.45 0.29 0.07
Si el vendedor obtiene una comisión de C$ 150 por venta determine: i) ii)
La ganancia diaria esperada del vendedor después de muchos días. La desviación estándar de la ganancia diaria. Interpretar el resultado
101
10. Un agente de ventas ha recibido una oferta de trabajo de una casa comercial que distribuye cocinas eléctricas. Suponga que X es la variable aleatoria que representa el número de cocinas vendidas en una semana y que la distribución de probabilidad de esas ventas es. x1
f ( xi )
0 1 2 3
0.30 0.35 0.25 0.10
Si la casa comercial ofrece al agente de ventas pagarle C$ 500 fijos por semana, más C$ 300 por cada cocina que venda, determine. a) El ingreso semanal esperado del agente de ventas después de muchas semanas. b) La desviación estándar del ingreso semanal del agente. Interpretar el resultado.
11. Una compañía tiene una sucursal en una ciudad con ventas diarias en córdobas representada por la variable aleatoria X y otra sucursal en otra ciudad con ventas diarias en córdobas representada por la variable aleatoria Y. Al analizar los registros de la compañía por largos períodos anteriores, se ha encontrado que la media y la varianza de X son C$ 4,500 y C$ 340 respectivamente, y la media y la varianza de Y son C$ 5,500 y C$ 300 respectivamente. Si la variable aleatoria Z representa el total de ventas diarias en ambas sucursales, determine:
a) µ Z b) σZ 12. Un vendedor de paraguas gana C$ 30 en días de lluvias; cuando hay días soleados (no lluvia) pierde C$ 6. La probabilidad de que un día sea lluvioso es de 40% ¿Que ganancia espera tener por día a largo plazo? 13. En una empresa de negocios una persona puede obtener ganancias diarias de $ 300 con una probabilidad 0.6 o experimentar una pérdida de $ 100 con probabilidad de 0.4. ¿Qué ganancia espera tener por día a largo plazo? 14. Se tienen dos granjas para la siembra de cierto cultivo. Se calcula que en la primera granja el cultivo en cuestión producirá una utilidad anual de $ 20,000 si tiene éxito, y una pérdida anual de $ 2,000 si no lo tiene. Se estima también que en la segunda granja el cultivo producirá una utilidad anual de $ 25,000 si tiene éxito, y una perdida anual de $ 5,000 si no lo tiene. Si la probabilidad de éxito en cada granja es ½. ¿En qué granja se debe sembrar el cultivo con el fin de elevar al máximo las utilidades esperadas? ¿Como se afectaría la decisión si la probabilidad fuera ¼ en vez de ½ ?
102
15. Si la probabilidad de que, en un momento dado, el precio del barril de petróleo en el Mercado Mundial se mantenga constante es 0.46; las probabilidades de que el precio aumente $ 0.50 ó $ 1.00 son respectivamente 0.17 y 0.23 y la probabilidad de que el precio disminuya $ 0.25 es 0.14, ¿Cuál es el aumento esperado en el precio del barril de petróleo? 16. Suponga que el 40% de los empleados de una gran firma están a favor de la representación sindical, y que se pide una respuesta anónima a una muestra aleatoria de 10 empleados. 1. 2. a) b) c)
Obtenga la expresión matemática que define la distribución de probabilidad del número de empleados a favor de la representación sindical. ¿Cuál es la probabilidad de que: Ninguno este a favor de la representación Sindical. Todos estén a favor de la representación Sindical. Menos de la mitad estén a favor de la representación Sindical.
17. La probabilidad de que un posible cliente haga una compra cuando un vendedor se comunique con él es 0.40. Si un vendedor selecciona aleatoriamente de un archivo 3 posibles clientes y se comunica con ellos. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor haga a) 3 ventas b) por lo menos 2 ventas 2. ¿Cuántas ventas espero que haga el vendedor a largo plazo? 3. Calcule la desviación estándar del número de ventas.
18. La probabilidad de que un empleado elegido al azar este participando en un programa de inversión en acciones de una compañía es 0.30. Si se eligen al azar 5 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de participantes sea a) Exactamente 3 empleados? b) Menos de 3 empleados? c) Por lo menos 4 empleados?
19. Un gerente de un banco sabe por experiencia que, en promedio, el 10% de los clientes de préstamos fallan en sus pagos. Un día el gerente autoriza 7 préstamos. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Ninguno falle en sus pagos? b) Uno falle en sus pagos? c) Al menos dos fallen en sus pagos?
103
2. ¿Cuántos clientes espero que fallen en sus pagos después de muchas autorizaciones de ese tipo. 3. Calcule la desviación estándar del número de clientes que fallan en sus pagos.
20. Con base en la experiencia anterior, el 15% de las facturas de una compañía que vende libros por correo están incorrectas. Si se selecciona una muestra aleatoria de 3 facturas actuales, 1. Obtenga la expresión matemática que define la distribución de probabilidad del número de facturas incorrectas. 2. ¿Cuál es la probabilidad de que: a a) dos facturas estén incorrectas? b) No más de dos facturas estén incorrectas?
21. Suponga que el 4% de todos los insectos expuestos a un insecticida en condiciones de laboratorio pudieron sobrevivir. 1. Si se expone una muestra de 5 insectos a este insecticida, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Sobrevivan los 5 insectos? b) No sobrevivan los 5 insectos? c) Sobreviva al menos un insecto? 2
Si se expone una muestra de 50 insectos al insecticida. a) ¿Cuántos espero que sobrevivan? b) Calcule la desviación estándar del número de insectos que sobrevivan
22. La probabilidad de que un vendedor de seguros efectúe la venta en su primer visita a un cliente nuevo es de 0.25. Si el vendedor va a visitar hoy a 3 nuevos clientes, 1. ¿Cuál es la probabilidad de que efectúe una venta a a) exactamente un cliente nuevo b) por lo menos dos clientes nuevos. 2. ¿ A cuántos clientes espera hacerle una venta después de muchos días ?
23. Un auditor del Departamento del Impuesto sobre la Renta está seleccionando una muestra de 6 declaraciones de impuestos de personas de una profesión particular, para una posible auditoría. Si dos o más de ellas indican deducciones “no autorizadas”, se auditará todo el grupo (población) de
104
100 declaraciones. ¿Cuál es la probabilidad de una auditoría más detallada si el porcentaje de declaraciones incorrectas es: a) 25 ? b) 30 ? c) Comente las diferencias en sus resultados dependiendo del porcentaje real de declaraciones incorrectas.
24. El cuerpo secretarial de un importante bufete de abogados contiene 25 secretarias, 10 de las cuales han estado con la firma más de 5 años. Si un ejecutivo selecciona al azar a 3 secretarias para asignarlas a un asunto nuevo, 1. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) ninguna tenga más de 5 años de experiencia. b) dos tengan más de 5 años de experiencia. 2. Escriba la expresión matemática que define la distribución de probabilidad del número de secretarias con más de 5 años de experiencia.
25. Un auditor esta analizando los documentos por pagar de una empresa comercial. En este momento hay 800 documentos firmados por esa empresa. Como el número de documentos es relativamente elevado, el auditor decide extraer una muestra de 8 documentos e investigarlos. La decisión de aprobar la cuenta o de seguir investigando depende del resultado de la nuestra. El auditor decide certificar las cuentas por pagar, si a lo más uno de los 8 documentos muestreados es erróneo, y continuar investigando si encuentra dos o más documentos erróneos. Si en realidad hay 16 documentos erróneos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el auditor certifique las cuentas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que decida continuar investigando? Sugerencia: Aproxime las probabilidades con una distribución binomial.
26. Se embarcan motores eléctricos pequeños en lotes de50. Antes de que tal cargamento sea aceptado, un inspector elige 5 motores y los inspecciona. Si ninguno de los motores probados es defectuoso, el lote es aceptado. Si se encuentra que uno o más son defectuosos, se inspecciona el cargamento completo. Suponiendo que en realidad hay 3 motores defectuosos en el lote. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea necesaria una inspección completa? 27. Un representante de ventas debe visitar 6 ciudades en un viaje. Suponga que existen 10 ciudades en el área geográfica a visitar, de las cuales 6 de ellas son mercados primarios para el producto en cuestión, mientras que las otras 4 constituyen mercados secundarios. Si el vendedor elige en forma aleatoria las 6 ciudades que va a visitar. 1. Determine la expresión matemática que define la distribución de probabilidad del número de ciudades que son mercados primarios. 2. ¿Cuál es la probabilidad de que:
105
a) cuatro de ellas resulten ser mercados primarios? b) todas sean mercados primarios?
28. En la Contraloría General de la República (CGR) hay 20 solicitudes para trabajar como auditor. Si se aprueban 10 solicitudes, ¿cuál es la probabilidad de qué se encuentren las 5 mejores de todas las solicitudes? 29. El número promedio de llamadas por minuto recibidas en un taller de servicio de televisión es de 1.2 1. Determine la expresión matemática que define la distribución de probabilidad del número de llamadas recibidas por minuto 2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado: a) se reciban menos de dos llamadas b) se reciban 4 llamadas 3. ¿Cuál es la probabilidad de que en 5 minutos dados. a) se reciban 2 llamadas b) al menos una llamadas
28. Los empleados de una oficina del Banco Central atienden como promedio120 personas en una hora de aglomeración. Si se sabe que como máximo estos empleados pueden atender 3 personas por minuto, ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado: a) no haya cola en la oficina? b) haya cola en la oficina? c) hayan 3 personas en la cola de la oficina?
29. Suponga que el número de defectos por yarda cuadrada de cierto tipo de tela tiene una distribución de probabilidad de Poisson. Según la experiencia de la fábrica, el número promedio de defectos es de 1.5. Calcular la probabilidad de que una yarda cuadrada tenga: a) Tres defectos o menos. b) Entre 3 y 5 defectos.
30. Una oficina policial del país Homicilandia reporta que en dicho país hay un número promedio de 2 homicidios diarios. 1. Construya la expresión matemática que define la distribución de probabilidad del número de homicidios diarios. 2. Determine la probabilidad de que en un día determinado haya: a) menos de 3 homicidios. b) Al menos 2 homicidios.
31. Desde el año 1998, la clausura de bancos por problemas financieros ha ocurrido a razón de 5.7 clausuras por año, en promedio. Suponga que el número de cierres X en un determinado período de tiempo tienen una distribución de probabilidad de Poisson.
106
a) Encuentre la probabilidad de que por lo menos tres bancos sean clausurados durante un año determinado. b) Encuentre la probabilidad de que ningún banco sea clausurado durante un período de 4 meses.
32. El conmutador telefónico de una empresa puede manejar un máximo de 5 llamadas por minuto. Si la experiencia indica que recibe un promedio de 120 llamadas por hora, encuentre la probabilidad de que en un determinado minuto el conmutador esté sobrecargado. 33. Se supone según la experiencia que el 2% de las facturas de una empresa que vende libros por correo están incorrectas. Si se selecciona una muestra aleatoria de 20 facturas, encuentre la probabilidad de que cuando menos una factura este incorrecta Sugerencia: Aproxime la probabilidad con una distribución de Poisson. 34. Para el ejercicio 21 suponga que se expone una muestra de 30 insectos al insecticida. ¿Cuál es la probabilidad aproximada, según la distribución de Poisson, de que a) sobreviva un insecto b) no sobreviva ninguno
107
TEMA 4 : DISTRIBUCION NORMAL OBJETIVOS. 1. Explicar la necesidad de introducir el concepto de función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria contínua. 2. Definir la distribución normal y explicar sus principales características. 3. Poder transformar cualquier distribución normal en distribución normal estándar. 4. Calcular probabilidades de eventos definidos por variables aleatorias que siguen una distribución normal. 5. Aplicar la distribución normal en la solución de problemas.
4.1 INTRODUCCION Si x1, x 2, … , xk son todos los valores admisibles de una variable aleatoria discreta X entonces cada valor xi contribuye con una cantidad f (xi) al total: k
∑f (x ) = 1 i
Cuando una variable aleatoria X es continua no tiene sentido hacer una suma de probabilidades en el sentido anterior ya que su conjunto de valores posibles es no numerable. En este caso, se generalizará el concepto de suma (∑ ) con el concepto de integral ( ∫ ). Por tanto, cuando la variable aleatoria sea contínua será necesario introducir el siguiente concepto que sustituya al de función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X continua. Es una función f : R → R integrable, que cumple las siguientes condiciones: ( x) ≥ 0
i)
f
ii)
∫ - ∞
+∞
f
( x ) d x =1
La probabilidad de que X tome un valor comprendido entre a y b será la siguiente área. P(a
b
≤ X ≤ b ) = ∫ a
f ( x ) d x
=A
Esto es, el área que existe entre la función, el eje x y las rectas x = a y x = b.
108
f(X)
A
a
b
X
Figura 4.1 No será interés hablar de la probabilidad de que X tome un valor particular a, ya que siempre tendremos que: P(X = a) = 0 Por esta razón, la probabilidad de que X tome un valor comprendido en un intervalo no se verá afectada por el hecho de que este sea abierto o cerrado en cualquiera de sus extremos: P(a≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) P(X ≤ a) = P ( X < a) P(X ≥ a) = P ( X > a) De todos los modelos probabilísticos contínuos que existen estudiaremos a continuación el más importante según sus aplicaciones a situaciones reales.
4.2
DISTRIBUCION NORMAL
Esta distribución es considerada la más importante por las siguientes razones: 1. Numerosos fenómenos contínuos parecen seguirla o se pueden aproximar mediante ella. 2. Se puede utilizar para aproximar distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas. 3. Proporciona la base para la Estadística Inferencial.
4.2.1 EL MODELO NORMAL Decimos que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución normal con parámetros y 2 , lo cual denotaremos por X N ( , 2 ), si la función de densidad de probabilidad de X está definida por:
f ( x )
=
σ
1 e 2 π
-
1 2
x - µ σ
2
,
-∞ e
CARACTERISTICAS.
=
<
x
<∞
2.71828
109
1. Es una familia de distribuciones normales de tal forma que cada vez que se especifican los parámetros y 2 se identifica al correspondiente miembro de la familia, esto es, se produce una distribución normal particular. 2. Los dos parámetros X, esto es
y
2
conciden con la media (esperanza) y la varianza respectivamente de
E(X) = V( X ) =
⇒
2
X
=
V( X )
3. Tiene forma de campana y el valor máximo de f ( x ) ocurre en x = . También tiene puntos de inflexión que ocurren en x = y x = +
-
+
X
Figura 4.2 4. La mediana y la moda coinciden con , y por lo tanto, es simétrica con respecto a P(X ≤
) = P(X ≥
) =
, así que
1 2
5. A medida que x aumenta o disminuye a partir de , f ( x ) decrece uniformemente, de tal forma que cuando x 0. Esto significa que el eje X es asíntota de la curva ± ∞ , f ( x ) normal, en otras palabras, que a medida que x se aleja de , en ambas direcciones, f ( x ) se acerca cada vez más al eje X, pero nunca llega a tocarlo. Formando de esta manera colas que se extienden indefinidamente en ambas direcciones. 6. La posición y forma de la campana dependerá respectivamente de los valores y . Esto quiere decir que le dará posición a la campana, mientras que le dará forma. Así que cuanto menor sea , mayor área habrá concentrada alrededor de y la curva será muy apuntada cerca de , y cuanto mayor sea , menor área habrá alrededor de y más aplastada será la curva.
B
110
A
C
1
2
Figura 4.3 En la figura 4.3 se dan tres funciones de densidad de probabilidad normales. Las funciones de densidad de probabilidad A y B tienen la misma media 1 pero diferentes desviaciones estándar. La desviación estándar de la función de densidad de probabilidad B es menor que la desviación estándar de la función de densidad de probabilidad de A, motivo por el cual aparece más apuntada . Por otra parte, las funciones de densidad de probabilidad A y C tienen la misma desviación estándar pero medias diferentes. Más aún, las funciones de densidad de probabilidad de B y C tienen diferentes medias y también diferentes desviaciones estándar.
4.2.2 LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR Si una variable aleatoria Z tiene una distribución normal con parámetros Z = 0 y Z = 1 entonces estamos en presencia de un miembro “muy honorable” de la familia, que llamaremos distribución normal estándar. La figura 4.4 ilustra esta distribución. Z = 1
Z
= 0
Figura 4.4
4.2.3 ESTANDARIZACION DE LA DISTRIBUCION NORMAL
Z
111
Cada vez que apliquemos una distribución normal a una situación dada será necesario identificar un miembro de la familia, esto es, una variable aleatoria X que tenga distribución normal con parámetros y , con el fin de poder calcular las probabilidades solicitadas. Lo anterior significa que cada situación o problemas tendría su propia distribución normal, lo cual resulta muy incómodo. Para evitar ese inconveniente convertiremos la variable aleatoria X que tiene distribución normal con media y desviación estándar a otra variable aleatoria Z que tenga distribución normal estándar, mediante la siguiente fórmula de transformación: X -
=
Z
Esto es, las diferencias X - µ expresadas en unidades de la desviación estándar. A Z le llamaremos variable aleatoria estandarizada y su función de densidad de probabilidad estará definida así: 1
f ( z )
=
σ
1 e 2 2π
Z2
-∞
,
<
z
<∞
El procedimiento de estandarización de una distribución normal puede apreciarse con el siguiente gráfico. Z
X
Z
= 0
Figura 4.5 En símbolos lo anterior puede escribirse así: X ~ N (
,
)
⇒
X -
=
Z ~ N ( 0 , 1 )
= 1
Z
112
4.2.4 LA FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA DE LA VARIABLE ALEATORIA Z Suponga que f ( s ) es la función de densidad de probabilidad de Z. La función de distribución acumulada de Z se denota y define como F(z)
z
= P ( Z ≤z ) = ∫ - ∞f ( s ) d s = A
Las figuras siguientes ilustran la función de distribución acumulada de Z.
A
0
z
Z
Figura 4.6
A
z
0
Z
Figura 4.7 Con el propósito de no recurrir a los métodos de integración numérica se ha elaborado una tabla para la función de distribución acumulada de Z, que nos permite leer directamente el valor de F ( z ) para cualquier valor z.
USO DE LA TABLA Note que la tabla consta de dos partes, una arriba, para los valores negativos de z y otra abajo para los valores positivos de z. Observe, para ambas partes de la tabla, que en el márgen izquierdo está el dígito unitario y una décima de z, mientras que en el margen superior se encuentran las centésimas de z. EJEMPLO 4.1 Encuentre P ( Z ≤ - 1.24 )
113
Aplicando la definición de función de distribución acumulada de Z tenemos que: P(Z
- 1.24
≤ - 1.24 ) = F ( - 1.24 ) = ∫ - ∞
f ( z ) d z
Para no calcular la integral definida anterior es que usaremos la tabla 1, que aparece en la página 111, de la siguiente manera: Bajamos sobre el márgen izquierdo o columna z, de la parte de arriba de la tabla, hasta encontrar -1.2, luego buscamos en el margen superior el 4. Ahora tracemos dos líneas imaginarias, una horizontal que pase por –1.2 y otra vertical que pasa por 4. En la intersección de las líneas anteriores encontraremos el valor 0.1075. De manera que F (-1.24 ) = 0.1075. La ilustración gráfica del resultado anterior es
0.1075
- 1.24
Z
0 Figura 4.8
4.2.5 COMO CALCULAR PROBABILIDADE DE EVENTOS DESCRITOS POR VARIABLES ALEATORIAS NORMALES. 2 Suponga que la variable aleatoria X tienen una distribución normal con parámetros y . Estamos interesados en calcular probabilidades de eventos de finidos por X. Según la forma en que se definan estos eventos, consideraremos los siguientes casos: Caso 1. El evento tiene la forma X < c donde c es un valor determinado, queremos calcular P ( X < c ). Lo primero que tenemos que hacer es estandarizar la variable aleatoria X y el valor c. Una ilustración gráfica sería la siguiente donde se ha sombreado el área que representa P ( X < c )
A x - µ
A
σ
c
X
=Z
0 Figura 4.9
El hecho anterior permitirá que:
1
c −µ
σ
Z
114
P(X
< c) = P(Z <
c −μ σ
)
c −μ = F = A σ
Esta área acumulada a la izquierda de
c - µ
podemos leerla directamente en la tabla
σ
Caso 2. El evento tiene la forma X > c donde c es un valor determinado, queremos calcular P ( X > c ). Una ilustración gráfica sería la siguiente donde se ha sombreado el área que representa P ( X > c ).
A
µ
c
X
Figura 4.10 Como la distribución normal es simétrica podemos escribir que: P(X > c) = 1 - P(X ≤ c) = A Esto es, el área acumulada a la derecha de c es igual a 1 menos el área acumulada a la izquierda de c. El área acumulada a la izquierda de c, esto es, P ( X < c ) se encuentra aplicando el Caso 1.
Caso 3. El evento tiene ahora la forma a < X < b donde a y b son valores determinados, queremos calcular P ( a < X b ). Una ilustración gráfica sería la siguiente donde se ha sombreado el área que representa P ( a < X < b ). A
a Figura 4.11
b
X
115
Aplicando diferencias de áreas acumuladas a la izquierda de b y a podemos escribir que: P(a
EJEMPLO 4.2 Suponga para cierta marca y modelo de computadora, que el tiempo de operación en forma efectiva (antes de la primera descompostura) sigue una distribución normal con una media de 350 horas y una desviación estándar de 50 horas.
1. ¿Cuál es la probabilidad de qué una computadora de esa marca y modelo opere efectivamente: i)
menos de 300 horas
Suponga que la variable aleatoria X representa el tiempo de operación en forma efectiva de las computadoras. Sabemos que X N (
= 350 ,
= 50 ) y que necesitamos calcular P ( X < 300 ).
Una ilustración gráfica de la estandarización de X y 300 se da a continuación donde se ha sombreado el área representada por P ( X < 300 ). = 50
A = 0.1587
A = 0.1587
300
= 350
X
-1
0
Z
Figura 4.12 Como el evento X < 300 corresponde al Caso 1, tenemos que:
P(X
<
300 ) =
P Z
<
300 - 350
50
=
P(Z
<
-1 )
=
F ( -1 )
116
ii) Por lo menos 280 horas. Aquí queremos calcular P ( X
280 ).
Una ilustración gráfica será la siguiente donde se ha sombreado el área representada por P ( X ≥ 280 ). A = 0.9192
280
X
= 350 Figura 4.13
Como el evento X P(X
280 corresponde al caso 2, tenemos que: 280 ) = 1 - P ( X < 280 )
donde según el caso 1,
P(X
280 )
P Z
280 - 350 50
= F ( - 1.40 ) = 0.0808 Luego P ( X ≥ 280 ) = 1 – 0.0808 = 0.9192. iii)
Entre 300 y 403 horas.
Ahora queremos calcular P ( 300 < X < 403 ) La ilustración gráfica de esta situación se da a continuación donde se ha sombreado el área que representa P ( 300 < X < 403 ).
A = 0.6967
117
300
= 350
403
X
Figura 4.14 Como el evento 300 < X < 403 corresponde al caso 3, tenemos que: P ( 300 < X < 403) = P ( X < 403) - P ( X < 300 )
donde según el caso 1,
P(X
<
403 ) = P
Z
<
403 - 350
50
Luego P ( 300 < X < 403 ) = 0.8554 - 0.1587 = 0.6967
2. Suponga que un momento dado se disponen de 500 computadoras de esa marca y modelo, ¿Cuántas espero que operen en formas efectiva después de 280 horas?. Como hay 500 computadoras espero 500 P ( X > 280 ) = 500 ( 0.9192 ) = 459.6 computadoras.
3. ¿En cuántas horas estarán descompuestas el 99% de esas computadoras? Recordemos que X representa el tiempo de operación en forma efectiva de las computadoras. Supongamos que “a” representa el máximo tiempo en horas que tarda en descomponerse el 99% de esas computadoras, entonces.
A = 0.99
µ = 350
a
Figura 4.15 P ( X ≤ a ) = 0.99 Estandarizando X y a obtenemos
P Z
≤
a - 350
50
El valor 2.33 se encuentra así:
=
P(Z
<
2.33 )
X
118
Buscamos en el cuerpo de la tabla 4.1 el valor más cercano a 0.99 que debe ser 0.9901, luego trace a partir de él una línea horizontal imaginaria hasta que toque el margen izquierdo de la tabla en 2.3 ; después trace una línea imaginaria vertical hasta que toque el márgen superior de la tabla en 3. Ahora si las áreas acumuladas a la izquierda de
debe cumplirse que:
a - 350
50
a - 350
y 2.33 son iguales, entonces
50
= 2.33
⇒
a = 350 + 2.33 (50) =350 + 116.5 =
466.5 horas
EJEMPLO 4.3 En la rama de la construcción está establecido por la ley un salario mínimo de C$ 12 por hora para los obreros. Si suponemos que los salarios en esta rama están distribuidos normalmente con una media de C$ 18 por hora y una desviación estándar de C$ 3. i) ¿Qué porcentaje de los obreros podrían iniciar un proceso de demanda por incumplimiento a la ley? Supongamos que la variable aleatoria X representa al salario de los obreros. Sabemos que X N ( = 18 , = 3 ). Cuando el salario X no llega al mínimo se puede iniciar un proceso de demanda, esto es, cuando X < 12. Por tanto calcularemos P ( X < 12). Una ilustración gráfica de la estandarización de X y 12 aparece a continuación donde se ha sombreado el área representada por P ( X < 12 ). =3 A = 0.0227
A = 0.0227
12
= 18
X
-2
0
Z
Figura 4.16 Como el evento X < 12 corresponde al caso 1, tenemos que:
P(X
<
12 )
=
P Z
<
12 - 18
3
El 2.27% de los obreros pueden iniciar un proceso de demanda
=
P(Z
<
-2 )
=
0.0227
119
ii) ¿Cuál es el menor salario que perciben los obreros que representan el 10% de los mejores remunerados? Suponga que c representa el menor salario que perciben el 10% de los mejores remunerados. Entonces P ( X ≥ c ) = 0.10 Como el evento X ≥ c corresponde al caso 2. 1 - P ( X < c ) = 0.10
P Z
Estandarizando X obtenemos
Luego
c - 18
3
P ( X < c ) = 0.90
<
c - 18
3
=
P(Z
<
1.28 )
= 1.28 ⇒ c = 18 + 1.28 (3) =
C$ 21.84
EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEMA 4: LA DISTRIBUCION NORMAL. 1. Determine el área situada bajo la curva normal estándar que se encuentra: a) b) c) d) e) f)
entre z = 0 y z = 0.94 entre z = -2.15 y z = 0 a la derecha de z = 0.92 a la derecha de z = - 0.93 a la izquierda de z = 0.84 a la izquierda de z = -0.35
2. Determine z si el área de la curva normal. a) b) c) d)
A la derecha de z es a la derecha de z es a la izquierda de z es a la derecha de z es
0.9983 0.7324 0.1314 0.2981
3. Las encuestas realizadas por una corporación financiera han revelado que la vida de una cuenta regular de ahorros abierta en uno de sus bancos tiene una distribución normal con un promedio de 26 meses y una desviación estándar de 8.2 meses. Si un depositante abre una cuenta en un banco que es miembro de esa corporación: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en esa cuenta haya todavía dinero después de 30 meses? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la cuenta haya sido cancelada antes de un año y medio?
4. La vida de un cierto tipo de tubo fluorescente está normalmente distribuida y su media es 1500 horas con una desviación estándar de 250. La UNAN colocará 1200 de ellos en el próximo año (en el mes de Enero). Se calcula que esos tubos trabajarán 6 horas diarias, con 105 días de inactividad
120
en el año. Para confeccionar el plan de piezas de repuesto del próximo año, ¿Qué cantidad de tubos habrá que tener de reserva para que se mantengan 1200 de ellos funcionando?
5. El número de días entre la facturación y el pago de las cuentas de crédito de un almacén tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 18 días y desviación estándar de 4 días. a) ¿Qué proporción de las cuentas serán pagadas. a.1. entre 12 y 18 días? a.2. en menos de 8 días? a.3. en 12 días o más. b) ¿En cuántos días estarán pagadas el 99.5% de las cuentas?
6. La empresa Consolidada de Conformación de Metales produce varillas de aluminio. Se conoce que según el proceso empleado se fabrican varillas cuyas longitudes son normalmente distribuidas con media población igual a 6.00 pulg y desviación estándar igual a 0.30 pulg. Si las especificaciones requeridas para las longitudes son desde 5.60 pulg hasta 6.50 pulg: a) ¿Qué proporción de las varillas son cortas? b) La empresa afirma que a lo sumo el 5% de las varillas resultan largas. ¿Es cierta dicha afirmación? Explique su respuesta.
7. El editor de una editorial calcula que transcurren en promedio 11 meses antes de terminar el proceso de publicación, desde la elaboración del manuscrito hasta terminar con el libro, con una desviación estándar de 2.4 meses. Piensa que la distribución normal describe bien los tiempos de publicación. De 19 libros que tendrá a su cargo este año, ¿ aproximadamente cuántos finalizarán el proceso en menos de un año ? 8. La duración de un determinado tipo de lavadora automática tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 3.1 años y una desviación estándar de 1.2 años. ¿ Qué proporción del total de unidades vendidas tendrá que ser reemplazado si la garantía es de un año.? 9. Suponga que el tiempo necesario para que germine una variedad de semillas de una planta está normalmente distribuido con una media de 15 días y desviación estándar de 4 días. a) ¿Qué proporción de las semillas deben germinar a.1. antes de 19 días? a.2. después de 23 días? b) ¿A los cuántos días deben haber germinado tres cuartas partes de las semillas?
10. Un análisis de duración de llamadas telefónicas locales hechas desde la oficina de una empresa muestra que el tiempo de llamadas es una variable aleatoria que tiene una distribución
121
aproximadamente normal con una media de 125.7 segundos y una desviación estándar de 30 segundos. ¿Qué porcentaje de estas llamadas. a) Es mayor que 3 minutos? b) Es cuando mucho, 2 minutos? c) Está entre 120 y 180 segundo?
11. La dirección de carreteras de un estado se encuentra conque su ingreso anual por cuotas esta normalmente distribuido con una media de 700000 dólares y una desviación de 50000. El gerente desea saber: a) La probabilidad de que queden cubiertos los gastos de operación del año próximo que ascienden a 680000 dólares. b) La probabilidad de que estos gastos queden cubiertos en los siguientes dos años (suponiendo que el monto de ingreso de un año sea independiente del año anterior). c) El monto del ingreso en el mejor 25% de los años.
12. En un estado hay x gasolineras cuyos ingresos son normalmente distribuidos con una media de 29000 dólares al año y una desviación estándar de 5100. Unas 189 gasolineras ganan entre 26000 y 31000 dólares al año. ¿Cuántas gasolineras hay en el estado?. 13. Supongamos que la vida útil de cierta marca de llanta de automóvil se distribuye aproximadamente normal con media y desviación estándar iguales a 32,000 y 1000 millas respectivamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta dure al menos 30,350 millas? b) Si una empresa ha tenido que reemplazar el 5% de las llantas vendidas, ¿Cuál fue la garantía utilizada?
14. La demanda semanal de artículos que produce una empresa es una variable aleatoria aproximadamente normal con una media de 20 artículos y una desviación estándar de 2 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que cierta semana la demanda sea: i) ii)
Como máximo 12 artículos? Como mínimo 20 artículos?
15. Una empresa de jabonería y perfumería usa una máquina para llenar cajas con polvo facial. En un informe del departamento de control estadístico de la calidad, se afirma que los pesos netos de las cajas están distribuidos normalmente con una media igual a 15 onzas y desviación estándar igual a 0.8 onzas. a) Se selecciona al azar una caja, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un peso neto mayor de 14.5 onzas?
122
b) Si cierto día la máquina llena 1500 cajas, ¿cuántas cajas tendrán pesos netos menores que 14.5 onzas?
16. En un curso de Estadística el 15% de los estudiantes, los mejores, recibieron un premio y el 10%, los peores, perdieron el curso. Suponiendo que las calificaciones del curso están distribuidas normalmente con una media de 76 y una desviación estándar de 15. i) ¿Cuál fue la calificación mínima para aprobar. ii) ¿Cuál fue la calificación mínima para ganar un premio.
17. Se estima que aproximadamente la demanda semanal de diesel en una gasolinera estará normalmente distribuida con una media de 1000 galones y una desviación estándar de 50 galones. La gasolinera se abastecerá de diesel una vez a la semana. ¿Cuál debe ser la capacidad de su tanque, si suponemos que la probabilidad de que se termine el diesel en una semana es 0.01.
Tabla 1
Función de distribución acumulada de Z ( Areas a la izquierda de z) z
0
-3.
.0013
-2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.0019 .0026 .0035 .0047 .0062
.0018 .0025 .0034 .0045 .0060
.0017 .0024 .0033 .0044 .0059
.0017 .0023 .0032 .0043 .0057
.0016 .0023 .0031 .0041 .0055
.0016 .0022 .0030 .0040 .0054
.0015 .0021 .0029 .0039 .0052
.0015 .0021 .0028 .0038 .0051
.0014 .0020 .0027 .0037 .0049
.0014 .0019 .0026 .0036 .0048
-2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0
.0082 .0107 .0139 .0179 .0227
.0080 .0104 .0136 .0174 .0222
.0078 .0102 .0132 .0170 .0217
.0075 .0099 .0129 .0166 .0212
.0073 .0096 .0125 .0162 .0207
.0071 .0094 .0122 .0158 .0202
.0069 .0091 .0119 .0154 .0197
.0068 .0089 .0116 .0150 .0192
.0066 .0087 .0113 .0146 .0188
.0064 .0084 .0110 .0143 .0183
-1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5
.0287 .0359 .0446 .0548 .0668
.0281 .0351 .0436 .0537 .0655
.0274 .0344 .0427 .0526 .0643
.0268 .0336 .0418 .0516 .0630
.0262 .0329 .0409 .0505 .0618
.0256 .0322 .0401 .0495 .0606
.0250 .0314 .0392 .0485 .0594
.0244 .0307 .0384 .0475 .0582
.0239 .0300 .0375 .0465 .0571
.0233 .0294 .0367 .0455 .0559
-1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0
.0808 .0968 .1151 .1357 .1587
.0793 .0951 .1131 .1335 .1562
.0778 .0934 .1112 .1314 .1539
.0764 .0918 .1093 .1292 .1515
.0749 .0901 .1075 .1271 .1492
.0735 .0885 .1056 .1251 .1469
.0721 .0869 .1038 .1230 .1446
.0708 .0853 .1020 .1210 .1423
.0694 .0838 .1003 .1190 .1401
.0681 .0823 .0985 .1170 .1379
-.9 -.8 -.7 -.6 -.5
.1841 .2119 .2420 .2743 .3085
.1814 .2090 .2389 .2709 .3050
.1788 .2061 .2358 .2676 .3015
.1762 .2033 .2326 .2643 .2981
.1736 .2005 .2297 .2611 .2946
.1711 .1977 .2266 .2578 .2912
.1685 .1949 .2236 .2546 .2877
.1660 .1921 .2206 .2514 .2843
.1635 .1894 .2177 .2483 .2810
.1611 .1867 .2148 .2451 .2776
-.4 -.3 -.2 -.1 -.0
.3446 .3821 .4207 .4602 .5000
.3409 .3783 .4168 .4562 .4960
.3372 .3745 .4129 .4522 .4920
.3336 .3707 .4090 .4483 .4880
.3300 .3669 .4052 .4443 .4840
.3264 .3632 .4013 .4404 .4801
.3228 .3594 .3974 .4364 .4761
.3192 .3557 .3936 .4325 .4721
.3156 .3520 .3897 .4286 .4681
.3121 .3483 .3859 .4247 .4641
123 .0 .1 .2 .3 .4
.5000 .5398 .5793 .6179 .6554
.5040 .5438 .5832 .6217 .6591
.5080 .5478 .5871 .6255 .6628
.5120 .5517 .5910 .6293 .6664
.5160 .5557 .5948 .6331 .6700
.5199 .5596 .5987 .6368 .6736
.5239 .5636 .6026 .6406 .6772
.5279 .5675 .6064 .6443 .6808
.5319 .5714 .6103 .6480 .6844
.5359 .5753 .6141 .6517 .6879
.5 .6 .7 .8 .9
.6915 .7257 .7580 .7881 .8159
.6950 .7291 .7611 .7910 .8186
.6985 .7324 .7642 .7939 .8212
.7019 .7357 .7673 .7967 .8238
.7054 .7389 .7704 .7995 .8264
.7088 .7422 .7734 .8023 .8289
.7123 .7454 .7764 .8051 .8315
.7157 .7486 .7794 .8079 .8340
.7190 .7517 .7823 .8106 .8365
.7224 .7549 .7852 .8133 .8389
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
.8413 .8643 .8849 .9032 .9192
.8438 .8665 .8869 .9049 .9207
.8461 .8686 .8888 .9066 .9222
.8485 .8708 .8907 .9082 .9236
.8508 .8729 .8925 .9099 .9251
.8531 .8749 .8944 .9115 .9265
.8554 .8770 .8962 .9131 .9279
.8577 .8790 .8980 .9147 .9292
.8599 .8810 .8997 .9162 .9306
.8621 .8830 .9015 .9177 .9319
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
.9332 .9452 .9554 .9641 .9713
.9345 .9463 .9564 .9649 .9719
.9357 .9474 .9573 .9656 .9726
.9370 .9484 .9582 .9664 .9732
.9382 .9495 .9591 .9671 .9738
.9394 .9505 .9599 .9678 .9744
.9406 .9515 .9608 .9686 .9750
.9418 .9525 .9616 .9693 .9756
.9429 .9535 .9625 .9700 .9761
.9441 .9545 .9633 .9706 .9767
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
.9773 .9821 .9861 .9893 .9918
.9778 .9826 .9864 .9896 .9920
.9783 .9830 .9868 .9898 .9922
.9788 .9834 .9871 .9901 .9925
.9793 .9838 .9875 .9904 .9927
.9798 .9842 .9878 .9906 .9929
.9803 .9846 .9881 .9909 .9931
.9808 .9850 .9884 .9911 .9932
.9812 .9854 .9887 .9913 .9934
.9817 .9857 .9890 .9916 .9936
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
.9938 .9953 .9965 .9974 .9981
.9940 .9955 .9966 .9975 .9982
.9941 .9956 .9967 .9976 .9982
.9943 .9957 .9968 .9977 .9983
.9945 .9959 .9969 .9977 .9984
.9946 .9960 .9970 .9978 .9984
.9948 .9961 .9971 .9979 .9985
.9949 .9962 .9972 .9979 .9985
.9951 .9963 .9973 .9980 .9986
.9952 .9964 .9974 .9981 .9986
3.
.9987
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