ESTADISTICA
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REGRESION LINEAL SIMPLE
EJERCICIOS - REGRESIÓN REGRESIÓN LINEAL LINEAL SIMPLE 1.
En una muestra de 10 adultos se registraron las siguientes mediciones mediciones de edad en años (X) y la hipertensión arterial (HTA) (Y): X Y
38 120
42 124
43 135
46 138
48 135
50 140
54 143
60 150
65 160
67 170
a. Indique la tendencia y obtenga la línea recta de regresión de la HTA en función de la edad. ¿Qué opina Ud. del nivel de correlación entre las dos variables? b. Compruebe la idoneidad del modelo lineal de regresión. Si el modelo es apropiado pronostique la HTA de un adulto de 70 años. c. De seguir la tendencia, cuánto se espera aumente la HTA para el próximo año. PERSONAS EDAD(X) 1 38 2 42 3 43 4 46 5 48 6 50 7 54 8 60 9 65 10 67 ∑ 513
N= MEDIA DE X= MEDIA DE Y=
HTA(Y) 120 124 135 138 135 140 143 150 160 170 1415
XY 4560 5208 5805 6348 6480 7000 7722 9000 10400 11390 73913
XX 1444 1764 1849 2116 2304 2500 2916 3600 4225 4489 27207
YY 14400 15376 18225 19044 18225 19600 20449 22500 25600 28900 202319
10 51.3 141.5
a. Indique la tendencia y obtenga la línea recta de regresión de la HTA en función de la edad. ¿Qué opina Ud. del nivel de correlación entre las dos variables? Y=A+BX B= A =
1.4869 65.2214
Y=65.2214+1.4869X
1
ESTADISTICA
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REGRESION LINEAL SIMPLE Chart Title
y = 1.4869x + 65.221 R² = 0.9387
180 160 140 120
Series1
100 80
Linear (Series1)
60
Linear (Series1)
40 20 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
b. Compruebe la idoneidad del modelo lineal de regresión. Si el modelo es apropiado pronostique la HTA de un adulto de 70 años. COEFICIENTE DE COREELACION DE PIRSON r= COEFIECIENTE COVARIANZA =
0.9689 1323.5
r es positiva, indica que tiene una tendencia lineal positiva, a mayor X, mayor Y r = 0.9689 ˃0.60, POR LO TANTO LA RECTA DE REGRESION
ES CONFIABLEPARA PREDICIR SI X=70, ENTONCES Y= % VARIANZA TOTAL = % EXPLICADA POR LA RR= %VAR NO EXPLICADA=
169.305247 100% 94% 6%
c. de seguir la tendencia, cuánto se espera aumente la hta para el próximo año. la variación del siguiente año es
2
=1.5
ESTADISTICA 2.
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REGRESION LINEAL SIMPLE
Un estudio de mercado trata de averiguar si es efectiva la propaganda televisada de un producto que salió a la venta con relación al tiempo de publicidad (horas/semana). Se recopilaron datos a partir de la segunda semana de iniciada la publicidad resultando la tabla siguiente. No se pudo recopilar datos de la cuarta semana. Semana Tiempo de propaganda Venta del producto S/.
Semana 2 3 4 5 6 7 ∑ Total
2 20 300
3 25 310
Tiempo de Venta Propaganada del producto (X) (Y) 20 300 25 310 22 297 28 320 36 350 40 420 171 1997
4 22 -
5 28 320
6 36 350
XX
YY
400 625 484 784 1296 1600 5189
90000 96100 88209 102400 122500 176400 675609
7 40 420
XY 6000 7750 6534 8960 12600 16800 58644
n=6 Media X =28.5 Media Y =332.8 y = a + bx b=5.5 a=176.6
a. Es efectiva la publicidad del producto Y = 176.6 +5.5X COEFICIENTE DE CORRELACION DE PIRSON r= 0.9309 COEFIECIENTE COVARIANZA = 1729.5 r es positiva, indica que tiene una tendencia lineal positiva, a mayor X, mayor Y r = 0.9309 ˃0.60, por lo tanto la recta de regresion es confiable para predicir
b. En cuanto estimaría las ventas para la semana 4? Reemplazando datos ala ecuación 1 del cuadro anterior. 3
ESTADISTICA
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REGRESION LINEAL SIMPLE
hallamos la venta para la semana cuarta utilizando la formula siguiente: Media = Y Media= X (Y)= y (X)= x y - Y = b (x-X)…….. 1 Reemplazando datos ala ecuación 1 del cuadro anterior. m -(1700+)/6= b (22-28.5) Ahora calculamos la b. =
(6(52110+22) −171 (1700+))/ (6(5189) − (〖171) 〗^2)) = (21960−3)/1893 (6−1700− )/6=(21960−39)/1893(−6.5) (6−1700− )/2=(21960−39)/631(−6.5) 3155m-631*1700 = (2(21960)-78m) (-6.5m) 3155m-631*(1700) = -285480+507m 2648m = 787220 m = 297.3 = 297.
3.
Un editor tomó una muestra de 7 libros, anotando el precio y el número de páginas respectivo, si los resultados: Nro. de Pago. Precio S/.
630 10
550 8
400 7
250 4
370 6
320 6
610 9
a. Obtenga el modelo de regresión lineal simple entre el precio y el número de páginas, con el fin de predecir precios. ¿Qué porcentaje de la varianza total de precios se explica por esta función?. b. Estime el precio de un libro de 300 páginas. Si a este libro se le incrementa 20 páginas en una segunda edición. En cuento se incrementaría su precio. c. Cuántas páginas debería tener un libro cuyo precio se estima en 12.27 soles.
N° DE 4
N° de Pagina
Precio S/. (Y)
XX
YY
XY
ESTADISTICA LIBROS
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REGRESION LINEAL SIMPLE
(X) 1 2 3 4 5 6 7
630 550 400 250 370 320 610 3130
∑ Total
10 396900 8 302500 7 160000 4 62500 6 136900 6 102400 9 372100 50 1533300
100 64 49 16 36 36 81 382
6300 4400 2800 1000 2220 1920 5490 24130
y = 0.0133x + 1.2157 R² = 0.9454
PRECIO 12 10 8 6 4 2 0
0
100
200
300
400
500
600
700
a. Obtenga el modelo de regresión lineal simple entre el precio y el número de páginas, con el Fin de predecir precio. ¿Qué porcentaje de la varianza total de precios se explica por esta función? Y = 1.216+0.01326X b. Estima el precio de un libro de 300 páginas. Si a este libro se le incrementa 20 paginas en una segunda edición. En cuanto se incrementara su precio.
COEFICIENTE DE CORRELACION DE PIRSON r= 0.9723 COEFIECIENTE COVARIANZA =1772.857143 r es positiva, indica que tiene una tendencia lineal positiva, a mayor X, mayor Y 5
ESTADISTICA
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REGRESION LINEAL SIMPLE
r = 0.9723 ˃0.60, por lo tanto la recta de regresion es confiablepara predicir SI X=300, ENTONCES Y=
5.19
Si incrementa en 20 paginas entonces seria 320 hojas, entonces x=320 y= 5.46 y ahora la diferencia es = 0.27 RPTA. % VARIANZA TOTAL = 100% % EXPLICADA POR LA RR =95% %VAR NO EXPLICADA= 5% c. Cuántas páginas debería tener un libro cuyo precio se estima en 12.27 soles. SI Y = 12.27, ENTONCES X= 833.93 4.
Una muestra de 5 varones adultos de quienes se observaron las estaturas (X en pies, pulgadas) y los pesos (Y en libras) ha dado los siguientes resultados: X Y
5´1´´ 125
5´2´´ 130
5´3´´ 140
5´4´´ 145
5´5´´ 160
a. Realice una regresión lineal y utilice los datos para verificar que la varianza total de Y es igual a la varianza residual más la varianza explicada por la recta de regresión. b. Usando la descomposición de la varianza calcule r 2 e interprete el resultado. Varones 1 2 3 4 5 ∑Total
Publicidad (X) Ventanas (Y) XX 0.039 125 0.001521 0.077 130 0.005929 0.116 140 0.013456 0.154 145 0.023716 0.193 160 0.037249 0.579 700 0.081871
Publicidad (X) 5´1´´= 0.0385 5´2´´= 0.077 5´3´´=0.1155 5´4´´=0.154 5´5´´= 0.1925 6
YY 15625 16900 19600 21025 25600 98750
XY 4.875 10.01 16.24 22.33 30.88 84.335
ESTADISTICA
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REGRESION LINEAL SIMPLE
0.579 1pies*pulg = 7.7*(10*-3) n=5 Media X =0.12 Media Y =140.0 y = a + bx b= 220.94 a=114.41
a. Realice una regresión lineal y utilice los datos para verificar que la varianza total de Y es igual a la varianza residual más la varianza explicada por la recta de regresión. Y = 114.41+ 220.94 X
PESO 120000
R² = 0.5332
100000 y = 220.94x - 114.41 80000 60000 40000 20000 0 0
1
2
3
4
5
Ventanas (Y)
XX
YY
XY
Linear (YY)
Linear (YY)
6
7
b. Usando la descomposición de la varianza calcule r 2 e interprete el resultado. COEFICIENTE DE CORRELACION DE PIRSON r= 0.982235323 COEFIECIENTE COVARIANZA =3.275 r es positiva, indica que tiene una tendencia lineal positiva, a mayor X, mayor Y r = 0.98224 ˃0.60, POR LO TANTO LA RECTA DE REGRESION ES
CONFIABLEPARA PREDICIR
r 2 =0.9648 7
ESTADISTICA
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REGRESION LINEAL SIMPLE
Una compañía de alimentos maneja una cadena de tiendas al menudeo. Para medir la eficiencia de las tiendas se estudió la relación del número de empleados (X) y el promedio del volumen de ventas mensuales (Y) en cientos de dólares para todas las tiendas durante el año pasado. La gráfica de los datos sugiere una relación lineal entre las variables. Se tiene la siguiente información:
5.
n=100, ∑X=600, ∑Y=1600, ∑XY=13600, ∑X2=5200, ∑Y2=37700
a. Obtenga el modelo de regresión lineal simple para predecir las ventas a partir del número de empleados. ¿En cuánto se estiman las ventas para una tienda de 8 empleados? b. ¿Qué porcentaje de las varianzas de las ventas es explicada por la variabilidad del número de empleados? c. ¿Cuántos empleados tiene la tienda cuya venta promedio se estima en 1100 dólares. EMPLEADOS ∑
N. EMPL.(X) 600
P. VENT. (Y) 1600.00
XY
XX
YY
13600
5200
37700
VENTAS 80.00
y = 155.31x - 184.68 R² = 0.9813
70.00 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 1.54
1.56
1.58
1.6
1.62
1.64
1.66
N = 100 MEDIA DE X =6.000 MEDIA DE Y =16.000 Y=A+BX B =2.50 A =1.00 Y=2.50X-1.00 Covarianza COVxy=4000 coef. Correlación de Pearson r =0.9091 copef. De determinación r*r = 0.8264 r es positiva, indica que tiene un a tendencia lineal positiva, a mayor X, mayor Y
8
ESTADISTICA
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REGRESION LINEAL SIMPLE
r=0.9723>0.60, por lo tanto la recta de regresion es confiable para predecir.
a. Obtenga el modelo de regresión lineal simple para predecir las ventas a partir del número de empleados. ¿En cuánto se estiman las ventas para una tienda de 8 empleados? si, X=8, entonces Y=21.000 el precio incremento se le aumenta 20pag mas Y= 801.000
si, X=320, entonces
b. ¿Qué porcentaje de las varianzas de las ventas es explicada por la variabilidad del número de empleados? % varianza total= 100% % var. Explicada por la RR= 82.6% % var. No explicada= 17.4%
c. ¿Cuántos empleados tiene la tienda cuya venta promedio se estima en 1100 dólares. El número de empleados que tiene la tienda, si su venta promedio es 1100 dólares es: 440.4
Sea Y el índice de precios al consumidor, tomando como base al año 2000 (es decir 2000=100). Para los datos que siguen:
6.
Año Y
2001 106.0
2002 111.1
2003 117.2
2004 121.3
2005 125.2
2006 128.0
2007 132.6
a. Obtenga la recta de mínimos cuadrados que se ajuste a los datos. b. Realice la predicción del índice de precios para el año 2008, y compararlo con el valor verdadero (144.4). ¿En qué año podemos esperar que el índice de precios sea 150.57, suponiendo que las tendencias presentes continúen?. N
AÑO(X)
1 2 3 4 5 6 7
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 14028
∑
9
IND. CONS.(Y) 106.0 111.1 117.2 121.3 125.2 128.0 132.6 841.4
XY
XX
YY
212106 4004001 11236 222422.2 4008004 12343.21 234751.6 4012009 13735.84 243085.2 4016016 14713.69 251026 4020025 15675.04 256768 4024036 16384 266128.2 4028049 17582.76 1686287.2 28112140 101670.54
ESTADISTICA
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REGRESION LINEAL SIMPLE
INDICE DE PRECIOS 140.0 120.0 100.0 y = 4.3429x - 8582.9 R² = 0.9885
80.0 60.0 40.0 20.0 0.0 2000
N=
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
7
MEDIA DE X =2004.000 MEDIA DE Y =120.200 Y=A+BX B =4.3429 A =-8582.9 Y=4.33429X-8582.9 covarianza COVxy=121.6 coef. Correlación de Pearson r = 0.9942 copef. De determinación r*r =
0.9885
r es positiva, indica que tiene un a tendencia lineal positiva, a mayor X, mayor Y r=0.6337>0.60, por lo tanto la recta de regresión es confiable para predecir. si, Y=150.57, entonces X=2011 % varianza total
=100%
% var. Explicada por la RR =98.8% % var. No explicada =1.2%
10
