4.1 Un comerciante les compra radios a dos fabricantes así: Le compra 10.000 radios al fabricante A, quien produce el 8% de defectuosos y le compra 5.000 radios al fabricante B, quien produce el 4% de defectuosos. Se pide: a) ¿Si un cliente le compra un radio al comerc iante, cual es la probabilidad de que sea defectuoso? b) ¿Si se escoge un radio aleatoriamente y resulta defectuoso, cual es la probabilidad de que sea de A? a) Fabricante A
Fabricante B
Radios comprados 10000
Radios comprados 5000
Defectuoso 8%
Defectuoso 5%
A = 0.08 x 10000 = 800
B=0.04 x 5000 = 200
A+B= Total de radios defectuoso = 1000 P=Radios defectuosos/Total de radios P=1000/15000 = 0.0667
b) P=Radios defectuosos A/Total radios defectuosos P=800/1000 = 0.8
4.2 Resolver el problema anterior, aplicando la ley de la probabilidad total y la ley de Bayes. a) Ley de probabilidad total
=
10000
2000 = 0.0667 15000 10000 15000 5000
800
5000
b) Ley de Bayes
10000 800 10000 15000 = = 0.8 0.0667
4.3 Tres de 20 azulejos para enchape de baño son defectuosos. Si 4 de esos 20 se escogen aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que solo uno de los defectuosos sea seleccionado? Escoger 1 defectuoso de 3 existentes => 3C1 = 3 formas diferentes Escoger 3 buenos de 17 existentes => 17C3 = =
! !(−)!
= 680 formas diferentes
Por el Principio de la multiplicación -> 680x3 = 2040 formas diferentes de elegir 1 azulejo defectuoso y 3 buenos Combinaciones totales de los azulejos -> 20C4 = =
=
=
! !(−)!
= 4845 formas diferentes
= 0.421
4.4 Las probabilidades de que una familia aleatoriamente seleccionada en una encuesta realizada en una gran ciudad, posea un televisor a color, un televisor blanco y negro o ambos, son respectivamente: 0.87, 0.36 y 0.29. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia en esa ciudad posea un tipo o ambas clases de televisor?
Pc = 0.87 PBN = 0.36 ( ∩ ) = 0.29 ( ∪ ) = () + () ( ∩ ) ( ∪ ) = 0.87 + 0.36 029 = 0.94 Probabilidad de que sea a color o blanco y negro 94%
4.5 El gerente de personal de una planta industrial, asegura que, en el año de 1.996 entre un total de 400 empleados, 312 obtuvieron un ascenso, 248 incrementaron sus prestaciones de jubilación, 173 lograron ambos beneficios y 43 ningún beneficio. Explique por qué puede ser objetada esta afirmación.
Ascenso 173 Jubilacion 139
75 43
Esta afirmación puede ser objetada, ya que, si organizamos la información por medio de un diagrama y sumamos las cantidades, (139+173+75+43 = 430), nos podemos dar cuenta que el cálculo supera la c antidad de empleados estimados en esa fecha (400).
4.6 La probabilidad de que una persona que se detiene en una gasolinera solicite revisión de neumáticos es 0.12, la probabilidad de que pida revisión de aceite es 0.29 y la probabilidad de que pida ambas cosas es 0.07. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se detenga en una gasolinera, pida la revisión de neumáticos o de aceite? b) ¿ Cuál es la probabilidad de que no solicite la revisión de neumáticos ni de aceites? a) Probabilidad Neumáticos(N) = 0.12 Probabilidad Aceite(A) = 0.29 Probabilidad ambas cosas = 0.07
( ∪ ) = () + ( ) ( ∩ ) ( ∪ ) = 0.12 + 0.29 0.07 = 0.34 La probabilidad de que una persona pida revisión de neumáticos o de aceite es 34% b)
( ∪ ) = 1 ( ∪ ) ( ∪ ) = 1 0.34 = 0.66 La probabilidad de que no solicite revisión de neumáticos ni de aceites es de 66%
4.7 Si la probabilidad de que un sistema de comunicación, tenga alta fidelidad es 0.81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es 0.18, ¿cuál es la probabilidad de que un sistema que tuvo alta fidelidad, tenga también alta selectividad? Probabilidad alta fidelidad(A) = 0.81 Probabilidad alta fidelidad y alta selectividad = 0.18
=
( ∩ ) ()
=
0.18 0.81
= 0.2222
La probabilidad de que un sistema que tuvo alta fidelidad tenga alta selectividad es de aproximadamente 22.2%
4.8 El capataz de un grupo de 20 obreros, pide la opinión de dos de e llos seleccionados aleatoriamente sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la construcción. Si 12 están a favor y 8 están en contra, ¿cuál es la probabilidad de que los dos obreros elegidos por el c apataz estén en contra? Pa= Primero obrero en contra Pb= Segundo obrero en contra
( ∩ ) = ()() =
8
7
20 19
= 0.147
La probabilidad de que los obreros elegidos por el c apataz estén en contra es de aproximadamente 14.7% 4.9 Explique qué hay de erróneo en la siguiente información: “La probabilidad de que un ingeniero gane una licitación para la construcción de una carrete ra es 0.65, la probabilidad de que gane una licitación para la construcción de un puente es 0 .4 y la probabilidad de ganar ambas es 0.70”. La información es errónea, ya que, si aplicamos el cálculo de la probabilidad de ganar ambas
( ∩ ) = 0.650.4 = 0.26 no sería igual a la probabilidad dada por el ingeniero
4.10 Se sabe por experiencia que de cada 100 clientes que entran a un supermercado, 18 pagan con tarjeta débito. Si se seleccionan 12 clientes aleatoriamente uno tras otro, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno pagará con tarjeta débito? Probabilidad de que paguen con tarjeta debito = 18/100 = 0.18 No pagar con tarjeta debito = 0.82 Teniendo en cuenta que de los 12 c lientes puede que 0 paguen con tar jeta débito o que los 12 paguen con tarjeta, por lo tanto, tenemos 13 posibles resultados (0,1,2,3…12), pero como nos piden que al menos uno pague con tarjeta la probabilidad será:
= 1 (0.82 ) = 0.9076 La probabilidad de que al menos uno pague con tarjeta débito es de aproximadamente 90.7%
