ESTADÍSTICA BÁSICA

Pamplona Universidad de

Centro de Educación Virtual y a Distancia

Programas de Educación a Distancia

Estadística Básica Yolanda Gallardo de Parada Aurora Inés Gáfaro Rojas Sandra Patricia Valero Ortega

Formando Colombianos de Bien Álvaro González Joves Rector

María Eugenia Velasco Espitia

Decana Facultad de Estudios Avanzados, Virtuales, a Distancia y Semiescolarizados

Luis Armando Portilla Granados Director Centro de Educación Virtual y a Distancia

Tabla de Contenido Presentación Introducción UNIDAD 1: Generalidades de la Estadística Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 1.1. DEFINICIÓN 1.1.1 Importancia 1.1.2 Población 1.1.3 Muestra 1.1.4 Métodos de Selección de una Muestra al Azar 1.1.5 Unidad Estadística 1.2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA – DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 1.2.1 Recolección de Datos 1.2.2 Intervalos 1.2.3 Amplitud 1.2.4 Frecuencia de Clase o Frecuencia Absoluta 1.2.5 Marca de Clase (X) 1.2.6 Frecuencia Relativa (Fr) 1.2.7 Frecuencia Acumulada (Fa) 1.2.8 Frecuencia Relativa Acumulada (Fra) Proceso de Comprensión y Análisis UNIDAD 2: Medidas de Tendencia Central Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 2.1 PRIMER CASO: CUANDO LOS DATOS NO ESTÁN AGRUPADOS 2.1.1 Media Aritmética 2.1.2 Mediana 2.1.3 Moda 2.2 SEGUNDO CASO: CUANDO LOS DATOS ESTÁN AGRUPADOS 2.2.1 Media Aritmética 2.2.2 Mediana 2.2.3 Moda Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 3: Medidas de Dispersión Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 3.1 DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA 3.2 VARIANZA 3.3 COEFICIENTE DE VARIACIÓN Proceso de Comprensión y Análisis UNIDAD 4: Medidas de Ubicación Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 4.1 CUARTILES, PERCENTILES Y DECILES 4.2 DIAGRAMAS DE CAJA Proceso de Comprensión y Análisis UNIDAD 5: Presentación de la Información Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 5.1 HISTOGRAMA 5.2 POLÍGONOS DE FRECUENCIA 5.3 OJIVAS 5.4 BARRAS 5.4.1 Barras Verticales 5.4.2 Barras Horizontales Proceso de Comprensión y Análisis ANEXO: Tablas BIBLIOGRAFÍA GENERAL

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Estadística Básica

Presentación La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y para las universidades públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: “Que la Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí”. La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes. La Universidad de Pamplona gestora de la educación y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones, y el Centro de Educación Virtual y a Distancia de la Universidad de Pamplona, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad universitaria e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Universidad, para contribuir colectivamente a la construcción del país que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza en el nuevo Estatuto Orgánico: Misión: Formar profesionales integrales que sean agentes generadores de cambios, promotores de la paz, la dignidad humana y el desarrollo nacional. Visión: La Universidad de Pamplona al finalizar la primera década del siglo XXI, deberá ser el primer centro de Educación Superior del Oriente Colombiano. Luis Armando Portilla Granados. Director CEVDUP

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Introducción La importancia que tiene la matemática en el desarrollo de los procesos intelectuales del hombre es notoria a través de su historia. Fue así como en la antigüedad el pensamiento matemático contribuyó a resolver problemas en tareas económicas y constructoras de diferentes pueblos, dio la base para revelar tos misterios del mundo, es decir, dar explicaciones razonables para alcanzar la verdad de los fenómenos que lo suceden. Contrariamente a los griegos, los hombres de la edad media utilizaron el contenido matemático como una simple rutina para disciplinar la mente. Sin embargo, a partir de los trabajos de Galileo, la matemática en la edad moderna ayudó a buscar explicaciones concretas de problemas que se daban en ingeniería, construcción y otras actividades prácticas del hombre. Por tal motivo, gracias al medio, las personas están rodeadas constantemente por un conjunto de experiencias, que manejan y manipulan de una manera sorprendente. Es decir, en cierta forma se está efectuando una serie de operaciones: recoge, organiza, analiza e interpreta esas informaciones mediante unas representaciones significativas para él y así se obtiene una serie de conclusiones razonables. Esta información que de cierta manera se manipula, se debe matematizar. Es decir, seguir un procedimiento para poder tabular la información, presentarla y así hacer el análisis respectivo para dar las conclusiones pertinentes al estudio que se está realizando. La Estadística es utilizada en casi todas las ramas de la ciencia moderna, así como en muchos otros campos de la actividad humana. Como dijo Salomón Fabricant “todo el mundo parece hoy coincidir en que la Estadística puede ser útil para comprender, evaluar y controlar el funcionamiento de la sociedad”. En nuestra sociedad, el progreso puede medirse mediante diversos índices numéricos, la estadística se utiliza para describir, manipular e interpretar estos números. Aún cuando los tipos de problemas a los cuales puede aplicarse la Estadística como herramienta fundamental para el análisis e interpretación de resultados son bastante heterogéneos, en muchos casos los pasos de una investigación estadística son los siguientes:



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Primera etapa: formulación del problema. Para investigar con éxito un problema dado, primero se tienen que crear conceptos precisos, formular preguntas claras e imponer limitaciones adecuadas al problema, tomando en cuenta el tiempo, dinero disponible y la habilidad de los investigadores. Segunda etapa: diseño del experimento. Nuestro deseo es obtener un máximo de información empleando un mínimo de costo y tiempo. Esto implica, entre otras cosas, que se debe determinar el tamaño de la muestra o la cantidad y tipo de datos que resolverán más eficientemente el problema. A la vez este tamaño será afectado por el método empleado para la selección de la muestra representativa. Con respecto a la representatividad de la muestra, se debe observar que no es fácil obtener selecciones que sean completamente aleatorias. Existe el peligro de que una selección pueda ser preferida en alguna forma. Se han propuesto varios métodos para vencer esta dificultad y se han usado en la práctica. Se considera este punto dentro del desarrollo del módulo. Tercera etapa: experimentación o recolección de datos. En general, ésta es la parte que más tiempo consume en toda investigación que sea realizada, ésta debe sujetarse a reglas estrictas. De hecho, cuanto menos opiniones impongamos, serán mejores los resultados. Cuarta etapa: tabulación y formulación de la respuesta. Al aplicar el método estadístico antes mencionado, se obtienen conclusiones a partir de la muestra, acerca de la población correspondiente. Es decir, se va a inferir sobre la muestra y se trata de sacar conclusiones para la población. Es esta etapa la que le da el objetivo final a la estadística, puesto que se van a tomar decisiones con base en los resultados obtenidos en el estudio descriptivo de la muestra. No existe una fórmula mágica ni única en estadística que tome en cuenta todas las situaciones prácticas concebibles. Por lo cual es necesario adquirir conocimientos generales de los métodos más importantes para hacer inferencias. En cada caso práctico debe situarse con cuidado la naturaleza del problema específico, para estar seguros de que será escogido el método más apropiado. Con el apoyo del computador los cálculos matemáticos se hacen más fáciles, por lo tanto se recomienda utilizar e integrar un software apropiado para tal fin. En la actualidad existen varios paquetes estadísticos sencillos de manejar, tales como el Statgraphics, Sas, Minitab, Spss. De común acuerdo con su Tutor se pueden desarrollar los ejercicios propuestos al final de cada tema, se puede utilizar calculadora y computador para facilidad de los cálculos. UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

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UNIDAD 1: Generalidades de la Estadística Núcleos Temáticos y Problemáticos • •

Definición Estadística Descriptiva – Distribución de Frecuencias

Proceso de Información 1.1

DEFINICIÓN

Al evolucionar las ciencias, pierden sus rasgos primitivos, se transforman, dividen y aún cambian de nombre. Como ciencia que es, la estadística ha sufrido igual proceso y para comprender su estado actual y su campo de actividades se necesita conocer algo de su historia. Se considera fundador de la estadística a Godofredo AchenwalL profesor y economista alemán (1719 - 1772) quien, siendo profesor de la universidad de Leipzig, escribió sobre el descubrimiento de una nueva ciencia que ¡lamo estadística (palabra derivada de Staat que significa gobierno) y que definió como “el conocimiento profundo de la situación respectiva y comparativa de cada estado” Achenwaü y sus seguidores estructuraron los métodos estadísticos que se orientaron a investigar, medir y comparar las riquezas de las naciones Lo anterior no significa que antes de los estudios de Godofredo Achenwaü, los estados no hubiesen efectuado inventarios de sus riquezas; estos invéntanos o censos se efectuaron desde la antigüedad. Se sabe que 2000 a 2500 años antes de Cristo, los chinos y los egipcios efectuaron censos que eran simples inventarios elementales Desde su creación la estadística se ha enriquecido continuamente con los aportes de matemáticos, filósofos y científicos. Además, en un principio se consideraba que la función de ¡a estadística era la descripción de las características de un grupo, de observar y describir el hecho En su origen la estadística era histórica: hoy en día, la estadística, además de ser descriptiva, es analítica, considerándose esta última como la función más


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importante que realiza, ya que permite obtener conclusiones para un grupo mayor, denominado población, partiendo de una investigación realizada en un grupo menor, denominado muestra. Las siguientes son unas definiciones que ayudan a determinar el sentido de la estadística: Dicaonano de Webster “una rama de las matemáticas que trata de la recopilación, el análisis, la interpretación y la presentación de una gran cantidad de datos numéricos.' Kendall y Stuart “la estadística es la rama del método científico que traía de los datos reunidos al contar o medir las propiedades de alguna población”. Fraser “la estadística trata con métodos para obtener conclusiones a partir de los resultados de los experimentos o procesos." Al unir estas definiciones, se puede notar que a partir de la recopilación de datos se pueden hacer inferencias con respecto a resultados de experimentos. Es decir a partir de un conjunto de métodos, normas, reglas y de principios para observar, agrupar, describir, cuantificar y analizar el comportamiento de un grupo. Es entonces, un campo parcial de la Matemática aplicada a un conjunto de objetos que se asignan valores numéricos y luego estos se siguen elaborando matemáticamente. Matemáticamente los procedimientos estadísticos están muy desarrollados y asegurados en el plano de la teoría, por ejemplo, mediante la indicación de ámbitos dentro de los cuales puede suponerse o rechazarse una hipótesis. Se acostumbran a distinguir dos clases de Estadística, la descriptiva y la de inferencia. 1.1.1

Importancia

La teoría general de la estadística es aplicable a cualquier campo científico en el cual se hacen observaciones el estudio y aplicación de los métodos estadísticos son necesarios en todos (los campos del saber, sean estos de nivel técnico o científico). Es obvio que en cada campo se aplican o desarrollan procedimientos específicos, como aplicaciones particulares a variantes de la teoría general. Las primeras aplicaciones de la estadística fueron los asuntos de gobierno, luego las utilizaron las compañías de seguros y los empresarios de juegos de azar, después siguieron los comerciantes, los industriales, los educadores, etc.


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Es por tanto que las técnicas estadísticas se utilizan en casi todos los aspectos de la vida: •

Se diseñan encuestas para recoger información y así poder predecir algún suceso.

•

Los experimentos que se hacen para determinar el método apropiado para curar cierta enfermedad.

•

La duración, intensidad, extensión de las lluvias, tormentas o granizos, las Temperaturas, la intensidad y dirección del viento son variables aleatorias.

1.1.2

Población

Es el conjunto de elementos que se toma de referencia para el estudio que se desea investigar la ocurrencia de una característica o propiedad. Los elementos que integran la población pueden pertenecer a personas, objetos o cosas. Según sea el tamaño, la población puede considerarse como finita o infinita. Es población finita cuando el número de elementos que la componen es limitado; infinita cuando consta de infinitos elementos.

Ejemplo La población consistente en todas las tuercas producidas por una fábrica en un día específico, los estudiantes matriculados en un colegio, son poblaciones finitas; mientras que la determinada por todos los posibles resultados (caras, cruces) de sucesivas tiradas de una moneda, las personas que hoy y en el futuro subscriban un seguro de vida, las piezas fabricadas por una máquina, son poblaciones infinitas, cantidad de carros que transitan por un peaje en un tiempo determinado es finita pero si no se especifica este tiempo es entonces infinita. 1.1.3

Muestra

Se considera como muestra el subconjunto de elementos que pertenecen a la población objetivo sobre los cuales se recogerá la información necesaria, para tomar una decisión válida relativa a la población de estudio. Si una muestra es representativa de una población es posible inferir importantes conclusiones sobre la población a partir del análisis de la muestra. Las muestras pueden ser de dos tipos: probabilística o al azar, cuando cada uno de los elementos tiene la misma probabilidad de ser escogido y no probalística cuando se seleccionan los datos con determinado criterio o conveniencia del UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

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investigador; en estos casos, algunas unidades tienen mayor posibilidad que otras de ser seleccionadas, por tal razón no se puede determina la validez, ni la confianza que merecen dichos resultados. 1.1.4

Métodos de Selección de una Muestra al Azar

La clave de un procedimiento de muestreo es garantizar que la muestra sea representativa de la población, este muestreo puede ser probabilística o intencional Es probabilística cuando todos los elementos de la población tienen la misma posibilidad de ser elegidos. En cambio, intencional, es cuando el investigador selecciona bajo un criterio la muestra. La selección de esta muestra probabilística se puede realizar por medio de los siguientes métodos:

Azar Simple Este método de selección permite que todos los elementos que constituyen la población tengan la misma posibilidad de ser incluidos en la muestra. Este método es de gran importancia cuando la población no es grande o siendo grande, este se concentra en un área pequeña. También cuando las características que” se investiga presentan poca variabilidad o cuando la población facilita su enumeración para su selección. Ejemplo: en la fabrica T&T hay mil personas trabajando, 600 de las cuales son obreros, 250 son técnicos y 150 son profesionales Si se quiere seleccionar una muestra aleatoria simple de 200 personas, en este caso, la probabilidad de selección de cada persona es: n 200

P=

N

=

1000

= 0.2

Lo cual indica que el 20% de los obreros corresponden a 120 de los técnicos 50 y 30 profesionales.

Por Estratos Para el muestreo estratificado se divide la población en vanos grupos o estratos con el fin de dar representatividad a los distintos factores que integran la población del estudio, la condición de la estratificación es la presencia en cada estrato de las características que conforman la población.


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Este procesó de estratificación requiere que la población sea dividida en grupos homogéneos donde cada elemento tiene una característica tal que no le permite pertenecer a otro estrato. Para la selección de los elementos o unidades representantes de cada estrato se utiliza el método del muestreo aleatorio o al azar. Dentro de este muestreo encontramos casos tres especiales: •

Muestras de igual tamaño. En este tipo de muestreo debe seleccionarse un número igual de elementos en cada grupo mediante procedimiento al azar.

•

Muestreo proporcional. En este tipo el tamaño de muestra por estrato se escoge de tal forma que sea proporcional al tamaño poblacional del mismo.

•

Afinación óptima. Este método utiliza la mejor subdivisión posible de una muestra total, repartición en todos los estratos, considerando tanto la variación como el tamaño de cada estrato además se tiene en cuota el costo de la investigación.

Ejemplo: en el caso de la fabrica T&T se puede argumentar que obreros, técnicos y profesionales son importantes para establecer comparaciones y se decide escoger 80 de cada estrato. En este caso las probabilidades de selección serían, por estrato, las siguientes: Obreros Técnicos Profesionales

80/600= 0,133 80/250= 0,32 80/150= 0,53

Donde se puede apreciar que la probabilidad de selección no es igual para todas las personas, sino que depende del estrato en que éstas se encuentran y así un obrero tiene menor posibilidad de ser seleccionado que un profesional, simplemente porque estos últimos son menores.

Por Conglomerado Existen situaciones donde ni el muestreo aleatorio simple ni el estratificado son aplicables, ya que no se dispone de una lista con el numero de elementos de la población ni en los posibles estratos. En estos casos típicamente los elementos de la población se encuentran de manera natural agrupados en conglomerados, cuyo número si se conoce. Por ejemplo la población se distribuye en provincias, los habitantes de una ciudad en barrios, etc. Si se supone que cada uno de estos conglomerados es una muestra representativa de la población total respecto a la variable que se estudia, UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

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se puede seleccionar algunos de estos conglomerados al azar y dentro de ellos, analizar todos sus elementos o una muestra aleatoria simple. Ejemplo: se desea tomar una muestra de la población colombiana para estudiar la proporción de personas que están de acuerdo con la relaciones prematrimoniales; si se supone que la edad y el sexo pueden influir en la opinión, se debería tomar una muestra donde estas características sean las mismas que en la población base, lo que implica una muestra estratificada.

Sistematizada Una forma práctica para seleccionar la muestra es hacerla en forma sistemática, escogiendo una muestra de cada intervalo, donde el intervalo se calcula así: K= N/n; donde N es el tamaño de la población y n el de la muestra. Ejemplo: si se quiere tomar una muestra de 500 viviendas en un barrio que tiene 2000 viviendas, el intervalo de selección será: K= 2000 / 500 = 4. Para iniciar el proceso de selección sistemática se escoge al azar un número entre 1 y 4, a partir del número seleccionado y cada 4 viviendas se hace una escogencia, hasta completar la muestra. 1.1.5

Unidad Estadística

Una vez identificada la población y la muestra, se ubica la unidad estadística, o sea el objeto de la medición. La unidad estadística es el elemento del universo que reporta la información (observación) y sobre el cual se realiza un determinado estudio (análisis).

Dato Hace referencia a la observación particular, es decir, la información relacionada con las características de cosas existentes que pueden ser recogidos, anotados u observados

Variables Es una dimensión o una característica de una unidad de análisis, dimensión que adopta la forma de una clasificación. Una variable se puede representar por un símbolo X, Y, Z, V, x, h etc. que puede tomar un conjunto prefijado de valores; dichas variables pueden ser:


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•

Nominal: a veces conviene extender la noción de variable a entidades no numéricas: es decir que relacionan un carácter, un nombre, una cualidad. Por ejemplo, el color C de un arco iris es una variable que puede tomar los valores rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, violeta y rosado. Puede ser posible sustituir tales variables por entidades numéricas de la siguiente manera: denotando el rojo como 1, el anaranjado como 2 etc.

•

Ordinal: le asigna valores numéricos a los sujetos, de tal forma que los valores más altos se le asignan a los individuos que tienen más de la característica que se mide. Esto hace que necesariamente satisfaga la característica de diferenciación pero en adición introduce la posibilidad de ordenamiento. Por ejemplo, en una competencia ciclística se tiene en cuenta los cinco primeros puestos para la premiación.

•

Intervalo: en adición a la clasificación y ordenamiento se introduce la posibilidad de establecer el ordenamiento con intervalos iguales. Por ejemplo, la medición de la temperatura la cual se puede hacer por medio de un termómetro en grados Fahrenheit.

•

Variable Continua: es la variable que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados. La estatura H de una persona que puede ser 1.62 cm, 1.65 cm, 1.80.

•

Variable Discreta: es la variable que solo puede tomar un determinado número de valores enteros. El número N de hijos en una familia puede ser O, 1, 2, 3.

1.2

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA - DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencia, es la disposición tabular de los datos por clases junto con las correspondientes frecuencias de clase. Para la elaboración de esta distribución si los datos son cuantitativos, hay que tener en cuenta los siguientes pasos: 1.2.1

Recolección de Datos

Es la base para cualquier estudio estadístico, es la toma de datos u observaciones; estos se llevan a cabo mediante la recopilación de los mismos sin ninguna ordenación de acuerdo a lo que se está investigando.


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Por ejemplo la empresa “Cuero Lindo” recopiló la información resultante de encuestar 60 establecimientos pequeños, para estudiar sus ventas semanales en miles de pesos, los resultados son: 40 22 28 19 24 28

17 33 28 35 20 11

26 24 33 23 31 34

10 20 22 28 29 39

26 28 25 22 18 10

21 14 29 15 19 25

18 30 29 34 11 17

27 25 29 13 23 21

16 29 21 16 20 34

38 37 32 26 24 18

Después de tener dicha información, se procede a ordenarla; es decir, colocar los datos numéricos en orden creciente o decreciente. Existe un tipo de ordenación y se hacen generalmente en una tabla de distribución de frecuencias. Para ello se debe encontrar inicialmente el rango de la distribución; que es la diferencia entre el mayor y el menor dato obtenido. Así: R = Dm - dm, donde

R = rango Dm = dato mayor dm = dato menor

R= 40 - 10 = 30 1.2.2

Intervalos

Al resumir grandes colecciones de datos es útil distribuidos en clases o categorías; en cuanto al número de clases el investigador es autónomo para escoger el número de intervalos para trabajar, sin embargo existe una fórmula que se utiliza como base o guía para indicar la cantidad de intervalos que se van a crear en la tabla de frecuencias. Esta fórmula esta determinada por: m = 1 + 3.33 log n; donde m = 1 + 3.33 log 60 = 6.92

m = número de intervalos n = tamaño de la muestra

Lo cual indica que se puede aproximar a 6 o 7 intervalos. En este caso se toman 6 intervalos, pero se agregan dos más que son: el intervalo menor que el dato menor y el intervalo mayor que el dato mayor; esto cuando se utiliza un programa de computador.


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1.2.3

Amplitud

El rango nos ayuda a determinar la amplitud o el tamaño de cada clase, siendo esta una constante para cada intervalo. La amplitud indica la distancia que debe tener cada clase. La amplitud se puede determinar como el cociente entre el rango y el número de intervalos. A = R / m; donde A = amplitud A = 30 / 6 = 5 miles de pesos Para formar los intervalos de clase, si es utilizando un programa estadístico, se parte del dato menor 10 y se le suma la amplitud, así, 10 + 5=15. Entonces el primer grupo esta comprendido entre 10 y 15 miles de pesos. El siguiente grupo será: 15 + 5 = 20, donde el intervalo estará entre 15 y 20 miles de pesos. En forma similar se crean los demás intervalos, incluyendo los intervalos menores a 10 miles de pesos y mayores a 40 miles de pesos. NÚMERO DE CLASES 1 2 3 4 5 6

INTERVALOS - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 40 -

Otra manera de formar los intervalos de clase es tomar un dato como medida de referencia, por ejemplo 5 (que indica $5000) o el dato menor y sumarle el valor de la amplitud: NÚMERO DE INTERVALOS INTERVALOS 1 5 - 10 2 10 - 15 3 15 - 20 4 20 - 25 5 25 - 30 6 30 - 35 7 35 - 40 UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

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1.2.4

Frecuencia de Clase o Frecuencia Absoluta

Se determina el número de individuos que pertenecen a cada clase. Como cada clase está formada por un intervalo, entonces se debe tomar como un intervalo abierto a izquierda y cerrado a derecha. Esto quiere decir, por ejemplo: que para hacer el conteo para determinar las frecuencias correspondientes al intervalo 20 25, van a estar los valores 21, 22, 23, 24 y 25. De igual manera los valores que van a estar entre 25 - 30 son 26, 27, 28, 29 y 30. Teniendo esto en cuenta, podemos utilizar el siguiente cuadro para realizar el conteo: Número de Establecimientos

Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40

F

/ ///// //////////// ///////////// ////////////// //////// //// TOTAL

2 5 12 14 15 8 4 60

Esta frecuencia significa; por ejemplo: que 12 establecimientos tienen ventas semanales entre $15000 y $20000; las mayores ventas están entre $25000 y $30000, las menores ventas presentadas son de $10000, etc. 1.2.5

Marca de Clase (X)

Es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene promediando el limite inferior y superior de cada clase. Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40

X 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5


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X=

5+10 2

= 7,5

Miles de pesos; esto quiere decir que el promedio del primer intervalo es de $7500. Otra manera de hallar la amplitud de un intervalo es encontrar la diferencia común entre marcas de clase sucesivas. Por ejemplo: 32,5 - 27,5 = 5 miles de pesos. 1.2.6

Frecuencia Relativa (Fr)

Es su frecuencia dividida por la frecuencia total de todas las clases y se expresa generalmente como un porcentaje. F Fr =  n La frecuencia relativa del primer intervalo es 0.0333. Este valor se obtuvo de la relación entre 2/60 = 0.0333; significa que el 3.33% de los establecimientos tienen ventas menores de $10000. Este porcentaje se obtiene al multiplicar por 100 el resultado obtenido. De igual manera, la frecuencia relativa del segundo intervalo es de 0.0833, que significa que el 8.33% de los establecimientos tienen ventas entre $10000 a $15000. 1.2.7

Frecuencia Acumulada (Fa)

Es la acumulación ascendente o descendente (de la primera a la última clase o viceversa) de frecuencias absolutas. La frecuencia acumulada descendente se obtiene de la siguiente manera: • • •

La primera frecuencia acumulada corresponde a la primera frecuencia absoluta. La segunda acumulada se obtiene sumando las dos primeras absolutas, es decir, 2+5 = 7. La tercera acumulada se obtiene de sumar 7 + 12 = 19 y así sucesivamente.

La frecuencia acumulada ascendente se obtiene así: se inicia por la frecuencia absoluta del último intervalo; en este caso 4. La siguiente es sumar esta frecuencia acumulada con la anterior: 4+8 = 12. La que sigue sería 4 + 8 = 12 y así sucesivamente.


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Intervalos

F

5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40

2 5 12 14 15 8 4

Fa 2 7 19 33 48 56 60

60 58 53 41 27 12 4

El significado de este cuadro es el siguiente: si tomamos el tercer grupo descendente, su frecuencia acumulada, significa que 19 establecimientos tienen ventas semanales entre $10000 y $20000 o inferiores a $20000. Y si tomamos el segundo grupo ascendente, quiere decir que 12 establecimientos tienen ventas semanales entre $30000 y $40000 o mayores a $30000. 1.2.8

Frecuencia Relativa Acumulada (Fra)

Es la acumulación sucesiva en forma ascendente o descendente de frecuencias relativas. La primera frecuencia relativa acumulada corresponde a la primera frecuencia relativa. La segunda, se obtiene sumando las dos primeras frecuencias relativas, es decir, 0,0333 + 0,0833 = 0,1167 y así sucesivamente. La frecuencia relativa acumulada ascendente se obtiene así: se inicia por la frecuencia relativa del último intervalo; en este caso 0,0667. La siguiente es sumar esta frecuencia acumulada con la anterior 0,0667 + 0,1333 = 0,2 y así sucesivamente. Intervalo

Fr

5 – 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40

0.0333 0.0833 0.2 0.2333 0.25 0.1333 0.0667

Fra 0.0333 0.1167 0.3167 0.55 0.8 0.9333 1

1 0.9666 0.8833 0.6833 0.45 0.2 0.0667

Si tomamos el grupo 5 descendente su acumulado es de 0.8, cuyo significado es que el 80% de los establecimientos tienen ventas semanales menores a $30000; si tomamos el grupo 4 ascendente su acumulado será del 0,6833, esto significa que el 68.33% de los establecimientos tienen ventas mayores a $20000 mil pesos.


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Intervalo

F

Fr

5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

2 5 12 14 15 8 4 60

0,0333 0,0833 0,2 0,2333 0,25 0,1333 0,0667 1,00

Fa 2 7 19 33 48 56 60

Fra 60 58 53 41 27 12 4

0,0333 0,1167 0,3167 0,55 0,8 0,9333 1

1 0,9666 0,8833 0,6833 0,45 0,2 0,0667

La tabla presenta el resumen de la clasificación de los 60 establecimientos analizados por los investigadores de la empresa Cuero Lindo, esto significa que se ha organizado la información.

Proceso de Comprensión y Análisis •

Decir de las siguientes variables cuáles son continuas y cuáles son discretas

− − − −

La altura de las personas La medida de la cantidad de lluvia caída en una localidad en un mes La edad de las personas, en años cumplidos El número de alumnos de cada curso de un colegio

•

Por qué es útil la estadística en el campo para el cual se está preparando.

•

“La Estadística estudia el comportamiento de fenómenos colectivos y nunca de una observación individual” comentar este principio.

•

Clasificar a que tipo de estadística pertenecen los siguientes ítems:

− − − − −

Realizar un inventario Determinar la demanda de un producto La posibilidad que llueva en una ciudad determinada El porcentaje de desempleo en una ciudad específica El promedio de las acciones vendidas en la bolsa de valores en una empresa en un mes determinado El aumento del índice de precios al consumidor en un mes específico El aumento del costo de vida en un mes específico El número de accidentes ocurridos en una ciudad determinada Las ventas de un almacén en un mes determinado

− − − −


17


−

El aumento de costos de producción con respecto al mismo mes del año anterior.

•

Dar un ejemplo donde se aplique la estadística en los siguientes campos:

− − − − − − − − −

Agricultura Biología Negocios Química Comunicaciones Finanzas Economía Educación Electrónica

•

Responder a los siguientes enunciados:

− − −

¿Qué significan las variaciones en los precios de los artículos al consumidor? ¿Cree que cualquier investigación requiere información estadística? ¿Cuáles son las funciones del Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE)?

•

Las calificaciones finales de 80 estudiantes son:

− − − − − − − − −

68 84 75 82 68 90 62 88

93 60 73 88 79 73 93 76

71 59 85 75 61 65 75 87

− − − − − − −

Educación Electrónica Medicina Física Mercadeo Ciencias políticas Psicología Medicina Física

78 66 72 63 78 95 62 74

82 75 94 77 69 74 68 60

79 60 95 75 61 89 78 96

83 71 79 62 67 97 78 85

57 73 80 65 75 71 65 76

88 78 62 76 53 74 86 67

Mercadeo Ciencias políticas Psicología Ingeniería Administración Producción Sociología

77 85 75 76 63 72 81 73

Hallar: − − − − − − −

La calificación más alta La calificación más baja El rango Las cinco notas más altas Las cinco notas más bajas La décima nota de mayor a menor La tabla de frecuencias utilizando 7 intervalos


18


− − − − − − •

Comprobar que la amplitud de los intervalos es de 6.29 El número de estudiantes de 79 o más El número de estudiantes con calificaciones por debajo de 71 El porcentaje de estudiantes con calificaciones mayores de 65 pero no superiores a 85. Cuál es el significado del 91.25%? Cuál es el significado del 33.75%? En una empresa se investigó una muestra de 56 empleados para determinar su salario mensual en miles de pesos. Los resultados fueron los siguientes: 987 1173 1330 1331 1240 984 1055

1176 1233 1024 1000 932 1234 1104

1233 985 1079 1032 1358 1324 1343

1248 1093 1690 1229 614 918 1202

944 1310 1262 1385 1022 1067 759

1105 824 956 1252 1404 1203 1024

1243 1185 816 972 1415 827 905

1109 1157 1220 1381 1303 1209 1490

−

Crear la tabla de frecuencias con siete intervalos y comprobar que su amplitud es de 153.71 e interpretar cada uno de los siguientes valores en la clasificación: X4 Fr6 Fa2 F5 Fra 4 n Fa 3 Fra 5 Fr 2

•

Responder:

− − − −

¿Cuántos empleados tienen un salario inferior a $1'382.000? ¿Qué porcentaje de empleados tienen un salario superior a $1'228.000? ¿Cuántos empleados tienen un salario entre $921.000 y $1'075.000? ¿Qué porcentaje de empleados tienen un salario entre $1'228.000 y $1'382.000?

•

En la tabla que sigue se recogen los pesos de 40 estudiantes varones de una universidad con precisión de 1 Kilo, construir una distribución de frecuencias con 5 intervalos y establecer las conclusiones más importantes. 69 82 75 66

72 84 73 80

62 63 86 72

74 69 71 67

78 88 73 71

73 81 67 75

79 99 76 78

70 77 70 72

73 82 67 64

68 74 76 72


19


•

La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencia de los salarios semanales de 65 empleados de la empresa P & R. SALARIOS $250.000 - $260.000 $260.000 - $270.000 $270.00 - $280.000 $280.000 - $290.000 $290.000 - $300.000 $300.000 - $310.000 $310.000 - $320.000 Total

NÚMERO DE EMPLEADOS 8 10 16 14 10 5 2 65

Determinar de la tabla de frecuencias: − − − − − − − −

El límite inferior de la sexta clase. El límite superior de la cuarta clase. La marca de clase o punto medio de la tercera clase. La anchura del quinto intervalo de clase. La frecuencia de la tercera clase. El intervalo de clase con máxima frecuencia. El porcentaje de empleados que cobran menos o igual de $280.000 a la semana. El porcentaje de empleados que cobran igual o menos de $300.000 pero al menos $260.000 por semana.

•

Si las marcas de clase en una distribución de frecuencias de pesos de estudiantes son 128, 137, 146, 155, 164, 173 y 182 libras. Hallar:

− −

La anchura del intervalo de clase. Los límites de clase, suponiendo que los pesos se midieron con 1 libra de precisión.

•

La menor de 150 medidas es 5,18 m y la mayor 7.44 m.

− −

Determinar un conjunto apropiado de intervalos de clase. Marcas de clase que puedan usarse para formar la distribución de frecuencia de esas medidas.

•

La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de las vidas medias de 400 válvulas de radio probadas en la empresa L & M.


20

Estadística Básica VIDA MEDIA (Horas) 300 - 400 400 - 500 500 - 600 600 - 700 700 - 800 800 - 900 900 - 1000 1000 - 1100 1100 - 1200 Total

NÚMERO DE TUBOS 14 46 58 76 68 62 48 22 6 400

Determinar de la tabla de frecuencias: − − − − − − − − −

El límite superior de la quinta clase. El límite inferior de la octava clase. La marca de clase de la séptima clase. La anchura de intervalos de clase. La frecuencia de la cuarta clase. La frecuencia relativa de la sexta clase. Porcentaje de tubos cuya vida media no pasa de 600 horas. Porcentaje de tubos cuya vida media es mayor de 900 horas. Porcentaje de tubos cuya vida media es de al menos 501 horas, pero menor o igual que 1000 horas.

•

Los diámetros internos de los tubos fabricados por una empresa se miden con precisión de milésima de pulgada. Si las marcas de clase de una distribución de frecuencias de esos diámetros vienen dadas por 0.321, 0.324, 0.327, 0.33, 0.333 y 0.336. Hallar la anchura del intervalo de clase y los límites de clase.

•

La tabla adjunta muestra los diámetros en centímetros de una muestra de 60 bolas de cojinete manufacturadas por una fábrica. Construir una distribución de frecuencias con intervalos de clase apropiados y establecer las conclusiones respectivas. 1.738 1.735 1.736 1.739 1.728 1.733 1.738 1.735 1.736 1.735

1.729 1.731 1.735 1.735 1.738 1.730 1.729 1.727 1.744 1.735

1.743 1.726 1.724 1.745 1.725 1.732 1.727 1.734 1.732 1.729

1.740 1.737 1.733 1.736 1.733 1.730 1.735 1.732 1.737 1.734

1.736 1.728 1.742 1.742 1.734 1.739 1.735 1.736 1.731 1.730

1.741 1.737 1.736 1.740 1.732 1.734 1.732 1.741 1.746 1.740


21


UNIDAD 2: Medidas de Tendencia Central Núcleos Temáticos y Problemáticos • •

Primer Caso: Cuando los Datos no Están Agrupados Segundo Caso: Cuando los Datos Están Agrupados

Proceso de Información Las medidas de centralización son valores que tienden a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud. Las medidas de centralización más usadas son: Media aritmética, mediana y moda. La media aritmética es la medida de tendencia central más conocida, es fácil de calcular, de gran estabilidad en el muestreo; se puede aplicar a variables de intervalos ya sean discretos o continuos. Esta medida se define como la suma de todos los valores observados dividido por el número de observaciones, es decir encontrar el promedio de los datos en estudio. La mediana se define como la medida de tendencia central que divide a cualquier distribución en dos partes iguales. Esta medida se puede aplicar a variables de intervalos (discretas y continuas) y variables ordinales. La moda de una distribución se define como el valor que presenta la mayor frecuencia, se usa con variables de intervalos nominales y ordinales. Es comúnmente utilizada como una medida de popularidad que refleja la tendencia de una opinión.


22


2.1

PRIMER CASO: CUANDO LOS DATOS NO ESTÁN AGRUPADOS

2.1.1

Media Aritmética

La media aritmética de un conjunto de n números x1, x2, X3..., Xn, se representa por x y se define como: n

X=

X1 + X2 + X3 + ……Xn

=

∑xi i=1

n

n Cuando los números x1, x2, x3,....xn, aparecen f1, f2, f3,..... fn veces, respectivamente, es decir, que sus frecuencias respectivas son f1, f2, f3,....fn, la media aritmética se puede calcular del modo siguiente: n

X=

f1X1 +f2X2 + f3X3 + ....+fnXn = f1+f2+f3+………+fn

∑fixi i=1 n

∑ fi i=1

En ocasiones, a cada uno de los números x1, x2, x3,....xn, se les asigna un peso determinado w1, w2, w3,....wn. En estos casos, se acostumbra a calcular la media aritmética ponderada del modo siguiente: n

X=

w1x1 +w2x2 + w3x3 + ....+wnnn ∑wixi w1+w2+w3+…..+wn

i=1 n

∑ wi i=1

Ejemplo •

Hallar la media aritmética del puntaje obtenido por 5 estudiantes en una prueba: 6, 4, 3, 7, 8.

6+4+3+7+8 28 x =  =  =5,6 5 5 •

Este es el puntaje promedio de los 5 estudiantes

Hallar la media aritmética de los siguientes datos que representan las edades de 10 niños. 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 7.


23


3*6+4*4+2*3+1*7 47 x= =  = 4,7 3+4+2+1 10 El promedio de edad de los 10 niños es de 4 años, 7meses ó de 5años. •

Un estudiante ha obtenido las calificaciones siguientes: Asignatura Historia Química Física Matemática Biología Geología Dibujo Idioma filosofía

Nota 8 7 3 6 5 6 5 7 4

Peso 1 3 3 3 3 2 2 2 1

Calculando su nota media ponderada: 1*8 + 3*7 + 3*3 + 3*6 + 3*5 + 2*6 + 2*5 + 2*7 + 1*4

X=

1+3+3+3+3+2+2+2+1 111

X=

= 5,55

20 Por lo tanto el promedio de las notas del estudiante es de 5,55 2.1.2

Mediana

La mediana es una serie de datos ordenados en orden de magnitud, es el valor medio si el número de datos es impar o bien la media aritmética de los valores medios si el número de datos es par.

Ejemplo •

Hallar la mediana de los siguientes datos que corresponden a la venta de leche en un expendio durante los últimos 7 días:


24


27800 43850 27800

43850

54300 60500 54300

60800 54350

54350

73200

60500

60800

73200

Md = 54350. El precio de la venta de leche que se encuentra en la mitad de los precios es de $54350. •

Hallar el valor de la mediana para los siguientes puntajes de las pruebas ICFES: 304, 283,332, 344;295, 339. 283

295

Md =

304

332

304+332

339

344

= 318

2 El puntaje de las pruebas que se encuentra en la mitad es de 318. 2.1.3

Moda

La moda no puede ser única e incluso puede no existir.

Ejemplo •

En una encuesta realizada sobre los deportes que se practican en un grado determinado de un Colegio de Varones, se presentan los siguientes resultados: Deporte Basket Fútbol Voleibol Otros

Nº de Alumnos 10 18 5 4

La moda en este caso es el Fútbol, puesto que la mayoría de los alumnos lo prefieren. •

Se le ha preguntado a un grupo de personas acerca del color preferido por ellas y se obtuvo lo siguiente:


25


Color Blanco Gris Azul Negro Rojo Morado Café Vinotinto

Numero de Personas 4 8 9 4 3 2 8 8

Lo cual indica que los colores que pueden estar de moda son el gris, café y vinotinto. •

Hallar la moda de los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; como ningún número se repite más que los otros, por consiguiente no hay moda.

2.2

SEGUNDO CASO: CUANDO LOS DATOS ESTÁN AGRUPADOS

2.2.1

Media Aritmética n

X=

∑ xi f i i=1

n

Ejemplo •

Hallar la media aritmética de las ventas de los sesenta establecimientos: Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 0 60

X 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5

X*F 15 62.5 210 315 412.5 260 150 0 1425


26


X=

1425 = 23,7 = 24

60

Las ventas promedio de los sesenta establecimientos son de $24000. •

Hallar el valor promedio para la distribución correspondiente a las notas obtenidas por 40 estudiantes en una prueba estadística: Intervalos 10 - 19.6 19.6 - 29.2 29.2 - 38.8 38.8 - 48.4 48.4 - 58 58 - 67.6 Total

X=

F 10 3 7 7 5 8 40

X 14.8 24.4 34 43.6 53.2 62.8

X*F 148 73.2 238 305.2 266 502.4 1532.8

1532.8 40

= 38.3 = 38

El puntaje promedio de los 40 alumnos es de 38. 2.2.2

Mediana

Para hallarla cuando los datos están agrupados se siguen los siguientes pasos: • • •

Ubicar el intervalo donde quede la frecuencia correspondiente a la mitad del tamaño de la muestra. Encontrar el valor del límite real inferior del intervalo dónde está. Aplicar la siguiente fórmula:

Md = li +

n _ ∑Fa 2 F n/2

A; donde:

li :es el límite real inferior donde está la F n/2 ∑Fa es la sumatoria de frecuencias anteriores a n/2 F n/2 es la frecuencia donde está n/2 A es la amplitud del intervalo


27


Ejemplo •

Encontrar la mediana de las ventas de los sesenta establecimientos: Intervalos 5 - 10 10 – 15 15 – 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 TOTAL

F 2 5 12 14 15 8 4 60

$24.000 corresponde a la venta que está en la mitad. •

Encontrar la mediana de la distribución correspondiente a las notas obtenidas por 40 estudiantes en una prueba estadística

Intervalos 10 - 19.6 19.6 - 29.2 29.2 - 38.8 38.8 - 48.4 48.4 - 58 58 – 67.6 Total

F 10 3 7 7 5 8 40

La nota que está en la mitad en esta distribución es Moda. 2.2.3

Moda

Se debe ubicar el intervalo donde esté la mayor frecuencia, y después se aplica la siguiente fórmula:

•

Li es el límite real inferior donde está la moda.

•

, 1es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia inmediatamente anterior.


28


•

2 es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia inmediatamente posterior.

•

A es la amplitud del intervalo.

Ejemplo •

Encontrar la moda de las ventas de los sesenta establecimientos: Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

•

F 2 5 12 14 15 8 4 60

Encontrar la moda de la distribución correspondiente a las notas obtenidas por 40 estudiantes Intervalo 10-19.6 19.6-29.2 29.2-38.8 38.8-48.4 48.4-58 58-67.6 Total

F 10 3 7 7 5 8 40


Supóngase que en un viaje, un automovilista hace las siguientes compras de gasolina. 10 galones a $2500 c/u, 8 galones a $2550 c/u, 15 galones a $2600 c/u y 12 galones $2480 c/u. Cuál sería el costo medio por galón?.

•

La siguiente tabla muestra los salarios mensuales en miles de pesos de 144 empleados de una empresa:


29

Estadística Básica Salarios 540 - 607 607 - 674 674 - 741 741 - 808 808 - 875 875 - 942 942 - 1009 1009 - 1076 Total

F 6 19 36 24 26 19 10 4 144

−

Encontrar la media, la moda y la mediana.

•

Diez medidas del diámetro de un cilindro fueron anotadas por un científico como 3.88, 4.09, 3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 3.98, 4.03, 3.92 y 4.06 centímetros; hallar la media aritmética de tales medidas.

•

De entre 100 números: 20 son cuatros, 40 son cincos, 30 son seis y los restantes sietes. Hallar la media aritmética, la media y la moda.

•

De los 80 empleados de una empresa, 60 cobran $7000 a la hora y el resto $4000 a la hora. Hallar cuánto cobran la media por hora.

•

Usar la distribución de frecuencias para hallar la altura media, la altura que más se repite y la altura que se encuentra en la mitad de 100 estudiantes. Altura (m) 1.60 - 1.63 1.63 - 1.66 1.66 - 1.69 1.69 - 1.72 1.72 - 1.75 Total

•

F 5 18 42 27 8 100

Hallar la media, mediana y moda de los pesos de 40 estudiantes de la siguiente tabla: PESO (Lb) 118 - 126 126 – 134 134 – 142 142 – 150 150 - 158 158 - 166 166 - 174 Total

F 3 5 9 12 5 4 2 40


30


•

Los tipos de reacción de un individuo ante diversos estímulos, medidos por un psicólogo, fueron: 0.53, 0.46, 0.5, 0.49, 0.52, 0.53, 0.44 y 0.55 segundos respectivamente. Determinar su tiempo medio de reacción.

•

La siguiente tabla muestra la distribución de cargas máximas en toneladas cortas que soportan los cables producidos en cierta fábrica. Determinar la carga máxima media, la carga máxima que se repite y la carga que más se repite. Carga Máxima (Toneladas Cortas) 9.3 - 9.7 9.7 - 10.1 10.1 - 10.5 10.5 - 10.9 10.9 - 11.3 11.3 - 11.7 11.7 - 12.1 Total

F 2 5 12 17 14 6 4 60

•

La siguiente tabla muestra el número de bodas en Colombia para hombres y mujeres de distintos grupos de edad durante 1984.

−

Hallar la media, mediana y moda tanto para hombres como para mujeres, estableciendo las respectivas conclusiones. Edad (años) 15 - 19 19 - 23 23 - 27 27 - 31 31 - 35 35 - 39 39 - 43 43 - 47 47 - 51

Hombres (Miles) 121 2.441 5.930 6.587 11.788 9.049 8.749 5.786 2.581

Mujeres (Miles) 481 4.184 6.952 7.193 11.893 9.022 8.171 4.654 1.524


31


UNIDAD 3: Medidas de Dispersión Núcleos Temáticos y Problemáticos • • •

Desviación Estándar o Típica Varianza Coeficiente de Variación

Proceso de Información Las medidas de dispersión o variación dan idea de la separación de los datos numéricos alrededor de una medida de centralización. Las medidas de dispersión más utilizadas son: 3.1

DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA

Indica que tan dispersos están los datos con respecto a la media aritmética. Si los datos no están agrupados, la desviación estándar de una serie de números n. X1, x2, x3,.....xn está determinada por:

Si los datos están agrupados, la desviación estándar viene dada por:

Las anteriores fórmulas se utilizan cuando se trabaja con la población.


32


Si los datos están agrupados, la desviación estándar viene dada por:

Las anteriores fórmulas se utilizan cuando se trabaja con la muestra.

Ejemplo •

Hallar la desviación estándar del puntaje obtenido por 4 estudiantes en una prueba: 6 4, 3, 7. 8.

X=

•

5.6

Hallar la desviación estándar de las edades de 10 niños: 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 7.


33


•

Hallar la desviación estándar de las ventas de los sesenta establecimientos x = 24. Intervalos 5 – 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

3.2

F 2 5 12 14 15 8 4 60

X 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5

(X-x)2 F 544.5 661.25 507 31.5 183.75 578 729 3235

VARIANZA

Esta es la medida de variación más importante, ya que se obtiene a partir de la media aritmética de una distribución. La varianza señala la distancia promedio de cualquier observación en el conjunto de datos. La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación típica. La varianza es una medida de dispersión, en la cual, las unidades son los cuadrados de las unidades de los datos, es decir, pesos cuadrados, personas cuadradas, etc., y por esto no son expresiones fáciles de interpretar. Si los datos no están agrupados, la varianza de una serie de números n: x1, x2, x3........ Xn está determinada por:

Si los datos están agrupados, la varianza viene dada por:


34


Ejemplo •

Hallar la varianza del puntaje de 5 estudiantes: 6, 4, 3, 7, 8.

•

Hallar la varianza de las edades de 10 niños: 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 3, 3. 7.

X = 4.7

18.1 S2 =  = 1.81 10 •

Hallar la varianza de las ventas de los sesenta establecimientos: X = 24 Intervalos 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 - 35 35 - 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 60

X 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5

(X-x)2 F 544.5 661.25 507 31.5 183.75 578 729 3235


35


3235 S2 =  = 53.9 60 3.3

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Esta medida relaciona la desviación estándar y la media, para expresar la variación de la desviación con respecto a la media aritmética. Este coeficiente de variación se acostumbra expresarlo en porcentaje. S La fórmula que se utiliza es: cv =  * 100 X El coeficiente de variación es una medida muy utilizada en control de calidad. Para estos casos, generalmente existen especificaciones que limitan el coeficiente de variación. También nos sirve para determinar la homogeneidad de la información, es decir, si el coeficiente de variación es pequeño la información es homogénea y si el coeficiente de variación es grande la información es heterogénea.

Ejemplo •

Hallar el coeficiente de variación de 6, 4, 3, 7, 8 X = 5.6 S = 1.34 Cv = 23.9% Este porcentaje indica cómo se distribuye la desviación estándar con respecto a la media a través de los datos.

•

Hallar el coeficiente de variación de las ventas de los sesenta establecimientos y obtener conclusiones. X = 24

S = 7.3

7.3 Cv =  *100 24 Cv = 30.42%. De aquí se puede decir que las ventas de los sesenta establecimientos son homogéneas.


36


•

Si el trabajador A produce por hora 40 tornillos en promedio, con desviación de 5 tornillos y el trabajador B produce 180 tornillos en promedio con desviación de 15, ¿cuál de los trabajadores presenta menor variabilidad?

5 CVA =  *100 = 12.5% para el operador A 40 15 CVB =  *100 = 9.4% Para el operador B 180 Esto significa que el operador B, quien tiene mayor desviación en la producción, presenta menor variación, porque la media de producción para el operador B es mucho mayor que la del operador A.


Hallar la desviación estándar y la varianza de los puntos obtenidos asignados a 8 niños en un juego: 12, 6, 7, 3, 15, 10 18 y 5.

•

Hallar la desviación estándar y la varianza en la compra de cremas dentales: $9.345, $3.850, $8.235, $8.000, $9.578, $8.560, $9.234, y 18.456.

•

Hallar la desviación estándar de las alturas de los estudiantes de acuerdo a la siguiente tabla: Altura (m) 1.60 – 1.63 1.63 – 1.66 1.66 – 1.69 1.69 – 1.72 1.72 – 1.75 Total

•

F 5 18 42 27 8 100

Hallar la desviación estándar de la distribución de salarios de la siguiente tabla: SALARIOS $250.000 - $260.000 $260.000 - $270.000 $270.000 - $280.000 $280.000 - $290.000

NÚM. EMPLEADOS 8 10 16 14


37

Estadística Básica SALARIOS $290.000 - $300.000 $300.000 - $310.000 $310.000 - $320.000 Total

•

NÚM. EMPLEADOS 10 5 2 65

La siguiente tabla muestra los cocientes de inteligencia (lQ) de 480 niños de una escuela elemental. Hallar la desviación estándar: F 4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 11 5 2

X 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126

•

Un fabricante de tubos de televisión produce dos tipos de tubos A y B, que tienen vidas medias respectivas: xA = 1495 horas y xB = 1875 horas y desviación típica de SA = 280 horas y SB = 310 horas. ¿Qué tipo de tubo tiene mayor dispersión?

•

En un examen final de Estadística, la puntuación media de 150 estudiantes fue de 78 y la desviación estándar 8. En Álgebra la media fue de 73 y la desviación estándar 7.6. ¿En qué materia fue mayor la dispersión?.

•

Hallar la desviación estándar y el coeficiente de variación para los datos de la siguiente tabla: Carga Máxima (Toneladas Cortas) 9.3 - 9.7 9.7 – 10.1 10.1 - 10.5 10.5 - 10.9

F 2 5 12 17


38

Estadística Básica Carga Máxima (Toneladas Cortas) 10.9 - 11.3 11.3 - 11.7 11.7 - 12.1 Total

F 14 6 4 60


39


UNIDAD 4: Medidas de Ubicación Núcleos Temáticos y Problemáticos • •

Cuartiles, Percentiles y Deciles Diagramas de Caja

Proceso de Información 4.1

CUARTILES, PERCENTILES, DECILES

Si un conjunto de datos está ordenado por magnitud, el valor central que divide al conjunto en dos mitades iguales, es la mediana. Extendiendo esa idea, se puede pensar en aquellos valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales, (cuartiles) esos valores denotados Q1 Q2 y Q3, llamados primer, segundo y tercer cuartil respectivamente. El Q2 coincide con la mediana. Análogamente, los valores que dividen a los datos en 10 partes iguales se llaman deciles y se denotan por D1 D2,...D9. El D5 coincide con la mediana. Y los valores que dividen a los datos en 100 partes iguales se llaman percentiles, denotados por P1 P2,.....P99. El P50 coincide con la mediana.


40


Si los datos no están agrupados, se deben ordenar en forma ascendente o descendente y ubicar el dato que esté en la posición n * p :donde, q q = 4, 10, 100 p = Número a la ubicación al que se desea referir n = Total de datos

Ejemplo •

Con los siguientes datos ubicar el que corresponde a:

− − −

Al primer cuartil Al tercer decil Al percentil 80 12 3 n*p

8 4

5 5

10 6

11 8

4 10

6 11

3 12

8*1

Q1 =  = = 2 q 4 El dato que está en el primer cuartil es 4, ya que está en la segunda posición. n*p

8*3

D3 =  =  = 2.4 ≈ 2 q 10 El dato que está en el tercer decil es 4, ya que está en la segunda posición. P80

n*p 8 * 80 =  =  = 6.4 ≈ 6 q 100

El dato que está en el percentil 80 es 10, ya que este valor está en la sexta posición. Cuando los datos están agrupados, utilizamos la misma fórmula de la mediana y reemplazamos donde esté n/2 por n * p; el límite inferior es donde está la F (n*p)/q q


41


Donde U hace referencia a la medida de ubicación, li es el limite inferior donde está F(n*p)/q

Ejemplo •

En las ventas de los sesenta establecimientos encontrar:

− − −

El primer, segundo y tercer cuartil El primer, quinto y el sexto decil El percentil doce, cincuenta y ochenta

Para encontrar estas medidas, primero hay que encontrar intervalo correspondiente a esta posición.

n*p

para ubicar el

q

El Primer, Segundo y Tercer Cuartil Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 60

n = 60 p=1 q=4 n*p = 60*1 = 15 q 4 Li= 15 ∑Fa = 7 F (n*p)/q = 12 A=5 De donde el 25% de las ventas de los 60 establecimientos es de $18000 o menos.

Intervalo 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 60

n = 60 p=2 q=4 n*p = 60*2 = 30 q 4 Li= 20 ∑Fa = 19 F (n*p)/q = 14 A=5


42


Donde el 50% de las ventas de los 60 establecimientos es de $24000 o menos.

Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 60

n = 60 p=3 q=4 n*p = 60*3 = 45 q 4 Li= 25 ∑Fa = 33 F (n*p)/q = 15 A=5 Por lo tanto el 75% de las ventas de los 60 establecimientos es de $29000 o menos

El Primer, Quinto y el Sexto Decil Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 60

n = 60 p=1 q = 10 n*p = 60*1 = 6 q 10 Li= 10 ∑Fa = 2 F (n*p)/q = 5 A=5

El 10% de las ventas es de $9000 o menos.


43


Intervalos 5 – 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 60


El 50% de las ventas es de $24000 o menos Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 60


Y el 60% de las ventas es de $26000 o menos.

El Percentil Doce, Cincuenta y Ochenta Intervalo 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 60

n = 60 p = 12 q = 100 n*p = 60*12 = 7.2 = 7 q 100 Li= 10 ∑Fa = 2 F (n*p)/q = 5 A=5


44


P12= 10+

60*12  -2 100  5

5 = 15.2 ≈ 15

Por lo tanto el 12% de las ventas de los sesenta establecimientos es de $15000 o menos. Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

P50= 20+

F 2 5 12 14 15 8 4 60

n = 60 p = 50 q = 100 n*p = 60*50 = 30 q 100 Li= 20 ∑Fa = 19 F (n*p)/q = 14 A=5

60*50  -19 5 = 23.9 ≈ 24 100  14

El 50% de las ventas de los sesenta establecimientos es de $24000 o menos. Intervalo 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 60

n = 60 p = 80 q = 100 n*p = 60*80 = 48 q 100 Li= 25 ∑Fa = 33 F (n*p)/q = 15 A=5

Y el 80% de los establecimientos tienen ventas de $30.000 o menos.


45


4.2

DIAGRAMAS DE CAJA

Es una representación del diagrama de una distribución construida para mostrar sus características principales y señalar los posibles datos atípicos, es decir, aquellas observaciones que parecen ser distintas de las demás. Su principal utilidad es para depurar información puesto que se pueden eliminar los datos de mayor variación en los extremos. Un diagrama de caja se construye así: •

Ordenar los datos de la muestra y obtener el valor mínimo, el máximo y los tres cuartiles Q1, Q2, Q3, localizándolos en una recta numérica utilizando una escala adecuada.

•

Dibujar un rectángulo cuyos extremos son Q1 y Q3.

•

Calcular unos limites admisibles superior e inferior que van a servir para identificar los valores atípicos. Estos límites se calculan con : Li = Q1-1.5

Q3 – Q1 

2

Li = Q3 +1.5

Q3 – Q1 

2

•

Considerar como valores atípicos los situados fuera del intervalo (li, Ls).

•

Dibujar una línea que vaya desde cada extremo del rectángulo central hasta el valor más alejado no atípico, es decir, que está dentro del intervalo (li, ls).

•

Identificar todos los datos que están fuera del intervalo (li, ls) marcándolos como atípicos.

Ejemplo: Los siguientes datos muestran el número de días con aire contaminado en 2001 y 2002 en varias ciudades colombianas: A B C D E F G H I

2001 248 208 113 128 106 118 60 79 55

2002 221 171 131 89 101 33 63 56


46

Estadística Básica 2001 47 88 47 58 82 33

J K L M N O

2002 54 55 69 59 48 16

Construir el diagrama de cajas correspondiente a la tabla dada.

Para 2001 El primer paso es ordenar la información de mayor a menor: 33 47 47 55 58 60 79 82 88 106 113 118 128 208 248 Luego se encuentran los tres cuartiles:

15*1 Q1 = = 3.75 ≈ 4 4 15*2 Q2 = = 7.5 ≈ 8 4

El 25% de ciudades tienen 55 días o menos de contaminación o el 25% de las ciudades de EEUU tienen entre 33 y 55 días de contaminación.

El 50% de ciudades tienen 82 días o menos de contaminación

15*3 Q3 =  = 11.25 ≈ 11 4

El 75% de ciudades tienen 113 días o menos de contaminación.

Por tanto los límites admisibles son: Li = 55 – 1,5

Ls = 113 + 1,5

113 – 55  2 113 - 55  2

= 11,5

= 156,5


47


Como todos los valores son superiores al límite inferior, la línea inferior del diagrama de caja deberá llegar hasta el valor mínimo y no hay atípicos en esta dirección.

2001

Este diagrama de caja, muestra que la mayor parte de las observaciones son menores que 113 y que el extremo superior de 248 está muy alejado del grupo principal de datos. Se ve con claridad la amplitud de los datos, que es la longitud del diagrama completo (248 - 33 = 215).

Para 2002 16 33 48 54 55 56 59 63 69 89 101 131 171 221 14*1 Q1= = 3.75 ≈ 4 4 14*2 Q2= = 7 4



14*3 Q3= = 10.5 ≈ 11 4


Li = 55 – 1,5

Ls = 101 + 1,5

101 - 55  2 101 - 55  2

= 20.5

= 135.5


48


2002

Estos diagramas de caja son muy eficaces cuando ellos se comparan conjuntos de datos.

2001

2002

Nótese como los datos tienden a concentrarse más y más hacia el extremo inferior de la escala, excepto el extremo alto, el cual permaneció alto durante los dos años.


En la siguiente tabla que relaciona las alturas de 100 estudiantes, determinar el primer, el segundo y tercer cuartil y realizar el gráfico correspondiente: Altura (m) 1.60 - 1.63 1.63 - 1.66 1.66 - 1.69 1.69 - 1.72 1.72 - 1.75 Total

•

F 5 18 42 27 8 100

Hallar en la siguiente tabla para los salarios en miles de pesos de 144 empleados de una empresa: UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

49


− − −

El primer cuartil El quinto y octavo decil El percentil 10 y el percentil 45 Salario 540 - 607 607 - 674 674 - 741 741 - 808 808 - 875 875 – 942 942 - 1009 1009 - 1076 Total

•

F 6 19 36 24 26 19 10 4 144

Encontrar el primer, segundo y tercer cuartil de la siguiente tabla que relaciona los pesos de 40 personas y realizar el gráfico correspondiente: Peso (Lb) 118 - 126 126 - 134 134 - 142 142 - 150 150 - 158 158 - 166 166 – 174 Total

F 3 5 9 12 5 4 2 40

•

Las siguientes son diez medidas del diámetro de un cilindro: 3.88, 4.09, 3.92, 3.97, 4.02 3.95, 3.98, 4.03, 3.92 y 4.06 centímetros. Hallar:

− − −

El primer y tercer cuartil El cuarto, el sexto y noveno decil El percentil 48 y el percentil 10

•

La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de las vidas medias de 400 válvulas de radio probadas en la empresa L & M. Encontrar:

− − −

El primer, segundo, tercer cuartil y su respectiva gráfica El segundo, cuarto y sexto decil. El cincuenta percentil. UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

50


Vida Media 300 – 400 400 - 500 500 - 600 600 - 700 700 - 800 800 - 900 900 - 1000 1000 - 1100 1100 - 1200 Total

Número de Tubos 14 46 58 76 68 62 48 22 6 400


51


UNIDAD 5: Presentación de la Información Núcleos Temáticos y Problemáticos • • • •

Histograma Polígonos de Frecuencia Ojivas Barras

Proceso de Información Una gráfica estadística es aquella en la cual se presentan los datos estadísticos en términos de magnitudes, para interpretarlos en forma visual. Presentar la información de la tabla de frecuencias por medio de gráficas sirve para reforzar las conclusiones que se determinan de esta tabla. Estas gráficas se pueden utilizar para: • •

Evaluar resultados de un proceso. Presentar resultados de una investigación.

Para la elaboración de un gráfico hay que tener en cuenta: •

Título: indica la descripción del contenido de la gráfica, es decir, indica el fenómeno de estudio. Por ejemplo, Producción de café en Colombia en el período 1995 - 1997.

•

Diagrama: es empleado para representar los datos mostrados en una gráfica; los diagramas pueden ser de varios tipos: líneas, barras, dimensiones y símbolos.


52


•

Escala: se aplica para saber la dimensión del fenómeno graficado. Se debe identificar en los ejes X y Y de un sistema de coordenadas. Las magnitudes en la ordenada o eje “Y” y las clasificaciones de los datos en las abscisas o eje “X”.

Existen varios tipos de gráficas para representar los datos estadísticos y al mismo tiempo sirven para reforzar las conclusiones dadas en la tabla de frecuencias. 5.1

HISTOGRAMA

Sirve para representar gráficamente una distribución de frecuencias. El gráfico se diseña trazando los intervalos sobre el eje X y las frecuencias absolutas sobre el eje Y. A partir del intervalo se traza la altura respectiva dada por la frecuencia absoluta. La empresa Cuero Lindo ha recopilado información sobre las ventas en miles de pesos de 60 almacenes. Estos datos son: VENTAS PARA SESENTA ESTABLECIMIENTOS (Miles de pesos) Intervalo 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 40 Total

F 2 5 12 14 15 8 4 0 60


53


Las ventas más frecuentes de los sesenta establecimientos están entre $25000 y $30000; $20000 y $25000. Y la menos frecuente está en $10000. 5.2

POLÍGONOS DE FRECUENCIAS

Es una curva que se traza a partir de los puntos medios de cada clase de amplitud; estos se unen por medio de una línea recta, la cual se diseña con base en los datos del histograma.


54


5.3

OJIVAS

Es el gráfico de una distribución de frecuencias acumuladas (relativa, absoluta) descendente o ascendente. Esta gráfica indica la forma como crece la información a través de los intervalos, se puede utilizar como medición de las variaciones de los grupos. El punto donde se cortan las dos ojivas es el punto central de la distribución es decir la mitad de la información.

5.4

BARRAS

Sirven básicamente para establecer las diferencias entre grupos individuales y pueden ser de dos tipos: 5.4.1

Barras Verticales

Se emplean para presentar datos clasificados cronológica o cuantitativamente:


55


Ejemplo: en la siguiente tabla se encuentra la información correspondiente a las ventas anuales de la empresa “El Retorno” durante el período de 1987 - 1996 (en millones de pesos). Años 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

5.4.2

Ventas 6 9 15 30 50 80 110 150 130 100

Barras Horizontales

Se emplean para dar datos clasificados geográfica y cualitativamente, indican la importancia de un atributo con respecto a los demás. Ejemplo: la siguiente información nos indica el número de profesionales egresados de distintas carreras en la ciudad de Bogotá en 2002: Carrera Ciencias Sociales Administración Ingenierías derecho

Número de profesionales 1100 800 500 700


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Segmentada Ejemplo: presenta una comparación de la magnitud relativa de ventas dentro de cada departamento y de las ventas totales por departamentos. La siguiente información corresponde a las ventas por departamentos al contado y a crédito en un almacén, se presenta en miles de pesos. Departamento Hombres Mujeres Niños Electrodomésticos

Contado 200 180 150 300

Crédito 120 110 90 210

Total 320 290 240 510

Agrupada Muestra las ventas por departamento en una empresa al contado y a crédito y permite hacer comparaciones entre departamentos y al interior de cada uno.


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Las Gráficas de barras horizontales pueden presentarse de dos formas:

Circular o de Tortas Se utiliza para representar las variables y sirve para hacer notar las diferencias en las proporciones o porcentajes. Es efectiva para permitir las comparaciones cuando los segmentos son relativamente grandes. El proceso para realizar el diagrama consiste en una regla de tres para: Conocer el ángulo de cada sector, entonces se debe relacionar los 360° que tiene una circunferencia con el tamaño de la muestra y con cada una de sus frecuencias absolutas. 360° → n x Fi Así por ejemplo: 360° → 60 x 2 360°*2 x =  = 12° 60 360° → 60 x 5 5

360°*3 x =  = 18° 60

Donde 60 es la muestra de las ventas de los establecimientos; 2 es la frecuencia absoluta del primer intervalo.

Donde 60 es la muestra de las ventas de los establecimientos; 5 es la frecuencia absoluta del segundo intervalo.


58


Y para conocer el porcentaje que corresponde a cada parte, relacionando 100% con el tamaño de la muestra con la frecuencia absoluta. 100° n y Fi Así, por ejemplo: 100% y

60 2

Donde 60 es la muestra de las ventas de los establecimientos; 2 es la frecuencia absoluta del primer intervalo.

100*2 y=  = 3.3 ≈ 3% 60

Esto quiere decir que el 3% de los establecimientos tienen ventas entre $5000 y $10000.

Tallo y Hojas Se puede tener un cuadro más informativo que la tabla de recolección de datos si se hace un listado diferente. Se tienen los porcentajes invertidos por 15 industrias manufactureras en el control de contaminación de Colombia en 2001: UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

59


17 17 03

02 04 02

07 04 04

04 14 10

08 03 01

Para elaborar el diagrama de Tallos y Hojas hay que seguir los siguientes pasos: El dígito de la extrema izquierda de cada valor es el punto de partida adecuado para clasificar los datos en dos grupos. El O y 1 se usa para formar el tallo y se escribe en columna vertical. A continuación se escribe el segundo dígito como si fuera una hoja en el renglón adecuado del tallo, a la derecha de la barra vertical. O 1

3,2,4,2,7,4,4,4,8,3,1 7,7,4,0

Ya que la mayor parte de las observaciones tienen el cero como primer dígito, se puede alargar el tallo a dos categorías de O y dos de 1; en la que los segundos dígitos del O al 4 quedarán en el renglón superior y los dígitos del 5 al 9 en el inferior. Como es fácil de ordenar las observaciones en cualquier renglón, también se puede presentar la gráfica ordenada de tallo y hojas. O O 1 1

1,2,2,3,3,4,4,4,4 7,8 0,4 7,7

Ahora se ve con facilidad que las observaciones van de 01 a 17, que nueve de las 15 observaciones son de 4 o menos. Con el ejemplo que se ha venido trabajando; se puede elaborar este diagrama de tallos y hojas. En los siguientes datos los resultados son obtenidos en miles de pesos: 40 22 28 19 24 28

17 33 28 35 20 11

26 24 33 23 31 34

10 20 22 28 29 39

26 28 25 22 18 10

21 14 29 15 19 25

18 30 29 34 11 17

27 25 29 13 23 21

16 29 21 16 20 34

38 37 32 26 24 18


60


Presentación de los Datos en Forma de Tallo y Hojas 10,0,1,1,3,4 15,6,6,7,7,8,8,8,9,9 20,0,0,1,1,1,,2,2,2,3,3,4,4,4 25,5,5,6,6,6,7,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9 30,1,2,3,3,4,4,4 38,9 4O 4 Las presentaciones de tallo y hoja de más de dos dígitos se pueden elaborar de diversos modos. Los siguientes datos muestran el número de días con aire contaminado en el 2001 en varias ciudades de Colombia: Ciudad A B C D E F G H I J K L M N O

2001 248 208 113 128 106 118 60 79 55 47 88 47 58 82 33

Para construir una gráfica de tallo y hojas con los datos del 2001, los dígitos de las centenas y decenas formarán el tallo y las unidades serán las hojas. 03 04 05 06 07 08 09 10

3 7.7 5.8 0 9 28 6

11 3.8 12 8 13 14 15 16 17 18

19 20 8 21 22 23 24 8


61


Como esta gráfica es muy dispersa: centenas y las hojas los demás dígitos 0 0 1 1 2 2

hay que hacer que el tallo contenga las

33,47,47 55,58,60,79,82,88 06,13,18,28 08,48


La siguiente tabla muestra la población de alguna ciudad (en millones) en los años de 1882 – 2002. Representar estos datos en un diagrama de barras. AÑO 1882 1892 1902 1912 1922 1932 1942 1952 1962 1972 1982 1992 2002

•

POBLACIÓN (Millones) 31.4 39.8 50.2 62.9 76 92 105.7 122.8 131.7 151.1 179.3 203.3 226.5

La siguiente tabla muestra el número de sacos de trigo y maíz en la cooperativa PQR durante los años de 1992 – 2002: AÑO 1992 1993 1994 1995 1996

NÚMERO DE SACOS DE TRIGO 200 185 225 250 240

NÚMERO DE SACOS DE MAIZ 75 90 100 85 80


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Estadística Básica AÑO 1997 1998 1999 2000 2001 2002

NÚMERO DE SACOS DE TRIGO 195 210 225 250 230 235

NÚMERO DE SACOS DE MAIZ 110 110 105 95 110 100

Con referencia a la gráfica, determinar el año o años durante los cuales: − − − − − −

La producción de trigo fue mínima. La de maíz fue máxima. Se dio el mayor descenso en la producción de trigo. Decreció la producción de maíz respecto al año anterior y creció la de trigo. Se produjo idéntica cantidad de trigo La producción conjunta de trigo y maíz fue máxima.

•

Las áreas de algunos departamentos de Colombia (en miles de millas cuadradas) se recogen en la siguiente tabla. Representar estos datos en un gráfico de tortas y determinar las conclusiones más relevantes. DEPARTAMENTO Cundinamarca Antioquia Armenia Amazonas Meta Chocó Norte de Santander Total

•

ÁREA (miles de millas cuadradas) 11.7 10.4 1.9 9.4 3.3 6.9 7.9 51.5

En la siguiente tabla, se ven los números (en millones) de estudiantes de enseñanza elemental, media y superior en Colombia. Representar los datos, usando gráficos de barras y determinar algunas conclusiones. AÑO 1982 1987 1992 1997 2002

ELEMENTAL 32.4 35.5 37.1 33.8 30.6

MEDIA 10.2 13 14.7 15.7 14.6

SUPERIOR 3.6 5.7 7.4 9.7 10.2


63


•

•

La siguiente tabla muestra el estado civil de hombres y mujeres (de más de 18 años) en Colombia en 2001. Representar los datos mediante dos gráficos circulares y un gráfico de diseño propio. ESTADO CIVIL

HOMBRES (% total)

MUJERES (% total)

Soltero Casado Viudo Divorciado

25.1 66.7 2.4 5.8

18.4 61.3 12.4 7.9

Una fábrica de gaseosa proyecta lanzar al mercado un nuevo sabor, para lo cual se realiza un test de aceptación de dicho sabor, en una muestra de 32 personas. Se utiliza una escala de 30 para medir el grado de aceptación. Los puntos obtenidos fueron los siguientes: 19 24 28 30

24 19 27 19

26 18 22 26

31 19 17 27

18 21 19 28

17 32 21 21

22 31 22 24

21 26 24 26

Realizar la representación del esquema de tallos y hojas de esta información. •

Un artículo de revista titulado Amargo Panorama, habla acerca del café colombiano y muestra un gráfico de este tipo:


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¿Qué se puede decir de este gráfico?. •

En la sección de actualidad de una revista, hay un titular sobre “Los Derechos Humanos: una tortura”. Y muestra entre otras los siguientes gráficos:


65


De acuerdo a estas gráficas responder: − − −

¿Qué porcentaje de quejas están concluidas? ¿Qué significado tiene el valor 3794 en el gráfico de estado de las quejas? ¿Qué interpretación le puede dar al gráfico “quiénes se quejan”?


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ANEXO: Tablas



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BIBLIOGRAFÍA GENERAL BERNAL V. Miguel. Estadística Descriptiva: J. Elaboración y Presentación de Datos Universidad de Pamplona, 1987. GALLARDO, Yolanda. Pamplona. 1997.

Estadística:

Programa de Sicología Universidad de

MARTÍNEZ BENCARDINO, Ciro. Estadística Comercial. Bogotá: Norma, 1981. MORENO GARZÓN, Adonay. Serie aprender a investigar: información. Cali: ICFES, 1995.

Recolección de la

PARZEN, Emmanuel. Teoría Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones México: LIMUSA, 1991. PEÑA SÁNCHEZ, Damel. Estadística Modelos y Métodos I. Fundamentos. Madrid: Alianza editorial, 1986. PORTUS GOVINDEN. Lincoyán. Curso Práctico de Estadística. Bogotá: McGRAW - Hill, 1986. SPIEGEL Murria R. Estadística. Madrid: McGraw Hill, 1993.


ESTADÍSTICA BÁSICA

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