Estadística

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INDUSTRIALES

Distribucions Continu!s

PRO"ESOR# PRO"ESOR#  Abraham Meneses

REALIZADO POR# Luis Gaetano C.I. 24.447.833

Noviembre 2014

Tabla de contenido INTR!"CCI#N.......................................................................................................ii 2.1

!I$TRI%"CI#N NRMAL...............................................................................1

2.2

!I$TRI%"CI#N %INMIAL A&R'IMA!A A LA NRMAL...........................3

2.3

!I$TRI%"CI#N !( &R%A%ILI!A! GAMMA..............................................)

2.4

!I$TRI%"CI#N !( &R%A%ILI!A! ('&N(NCIAL..................................7

2.)

!I$TRI%"CI#N !( &R%A%ILI!A! *(I%"LL............................................8

2.+

!I$TRI%"CI#N !( &R%A%ILI!A! %(TA...................................................,

CNCL"$IN($....................................................................................................12 %I%LIGRA-A........................................................................................................13

1

INTRODUCCIÓN

 A/ iua/ ue omo vimos en /os moe/os e /as istribuiones isretas enontraas rinia/mente or /os matem5tios6 tambin ha istribuiones ontinuas ua ama e a/iaiones es mu am/ia sobre too en e/ esarro//o  uti/i9ai:n e /as tnias esta;stias. La ama e estas istribuiones ontinuas es mu am/ia6 or /o ue nos en/a
Caa una e /as variab/es ontinuas se e
2

2.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL

La
 x − μ σ 

(. 2.1

!one

$ B a/or tii
B Meia e /a ob/ai:n B !esviai:n est5nar e /a ob/ai:n

E&ERCICIO DISTRI'UCI(N NORMAL (n un e=erimento e /aboratorio6 investiaores e /a %arr "niversit >Miami $hores6 -/oria? estuiaron /a raie9 on ue eri9os e mar iner;an astos marinos > Florida Scientist 6 veranoDotoEo e 1,,1?. Los eri9os6 esus e 48 horas sin a/imento6 reibieron hoFas e asto marino vere e ) m e /aro. $e etermin: ue e/ tiemo meio e inesti:n
1

est5nar
!) Ca/u/e /a robabi/ia e ue un eri9o e mar reuerir5 uatro horas o m5s ara inerir una hoFa e asto marino vere e ) m. b) Ca/u/e /a robabi/ia e ue un eri9o e mar reuerir5 entre os  tres horas ara inerir una hoFa e asto marino vere e ) m.

So*uci+n !atos  

B 2683 horas

 

B 067, horas

!) Ca/u/ar  P ( x > 4 )  z =

4 −2,83 0,79

≅

1,48

 As; ue  P ( x > 4 )= 1− P ( x > 1,48 ) !e auero a /a tab/a

 P ( x > 1 , 48 ) = 0,9306

 P ( x > 4 ) =1− 0,9306 =0,0694 .

"i,ur! -).)! 2

b) Ca/u/ar  P (2 < x < 3 )  z 1=

2 −2,83

 z 2=

0,79

3 −2,83 0,79

− 1,05

≅

≅

0,22

 P (2 ≤ x ≤ 3 )=0,5871 −0,1469=0,4402

"i,ur! -).)b 2.2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL APROXIMADA A LA NORMAL

(s un tio e istribui:n ue se aro=ima a /a istribui:n norma/ uano n es rane. (sta istribui:n est5 asoiaa a/ n@mero e vees ue aaree e/ sueso e un tota/ e n reetiiones e/ e=erimento6 /a variab/e re;roa orresone a/ ontar e/ n@mero e vees ue aaree e/ sueso ue se est5 busano. 3

(st5 aa or /a siuiente e=resi:n  z =

 x − μ σ 

!one  μ= np σ =√ np ( 1− p )

 Ambas euaiones se ueen
(. 2.2

$ieno

/ B &robabi/ia    

B Meia e /a ob/ai:n B !esviai:n est5nar e /a ob/ai:n

E&ERCICIO DISTRI'UCI(N 'INOMIAL APRO0IMADA A LA NORMAL "n e=amen tio test onsta e 38 reuntas a ontestar veraero o
So*uci+n

!atos

4

n B 38 1

P B

2

 μ=( 38 )

( )= 1 2

19

σ =√ 19 ( 1−0.5 )=3,08

 Antes e onseuir  P ( x ≥ 20 ) 6 aFustamos  x =19,5 .  z =

19,5 −19 3,08

≅

0,16

 P ( x ≥ 20 )=1− 0,5636 =0,4364

"i,ur! -)2.3 DISTRIBUCIÓN D PROBABILIDAD !AMMA

(s una istribui:n aeuaa ara moe/ar e/ omortamiento e variab/es a/eatorias ontinuas on asimetr;a ositiva. (s eir6 variab/es ue resentan una )

maor ensia e suesos a /a i9uiera e /a meia ue a /a ereha. $e sue/e uti/i9ar6 or eFem/o6 ara variab/es a/eatorias6 omo /a urai:n e /a via @ti/ e una omutaora. -ue rouesta or ar/ &earson. La <:rmu/a ara esta istribui:n ontiene os ar5metros

α 

 β . (/

rimero6 es onoio omo ar5metro e
∝

 x  P ( x < t )=∫ a

−1

− x

. e  β

 β . τ ( ∝ ) ∝

. dx

(. 2.3

!one τ  ( ∝ )=(∝ −1) !

E&ERCICIO DISTRI'UCI(N GAMMA Investiaores han esubierto ue e/ nive/ e reiente m5=imo >en mi//ones e ies @bios or seuno? urante un erioo e uatro aEos ara e/ R;o $usuehanna en Harrisbur6 &enns/vania6 siue aro=imaamente una istribui:n amma on

∝

=3    β =0.07 >Journal of Quality Technology 6 enero

e 1,8+?. !eterminar /a robabi/ia e reiente m5=imo urante un erioo menor a seis aEos ara e/ R;o $usuehanna.

So*uci+n

+

!atos

1 B 3  β

B 0.07

t B + horas e  x

3 −1

(¿ ¿ .

− x 0.07

)

( 0.07 )3 . ( 2 )

. dx

6

∫

 P ( x < 6 )= ¿ 0

e

(¿ ¿ 2

 x .

− x 0.07

)

( 0.07 )3 . ( 2)

. dx

6

∫

 P ( x < 6 )= ¿ 0

r ( ∝ ) = ( ∝ − 1 ) ! = ( 3 −1 ) ! = 2 ! = 2  P ( x < 6 )=1

2." DISTRIBUCIÓN D PROBABILIDAD XPONNCIAL

(ste moe/o sue/e uti/i9arse ara variab/es ue esriben e/ tiemo hasta ue se roue un eterminao sueso. (sta istribui:n6 rouesta or  Ga/ambos K5nos6 e
terreno e /os
∫

 P ( x > t )=

− x / β

e

a

(. 2.4

. dx

 β

E&ERCICIO DISTRI'UCI(N E0PONENCIAL La urai:n >en horas? e /a unia entra/ e roeso e ierto tio e miroomutaora es una variab/e a/eatoria e=onenia/ on ar5metro  β =1000

.

!etermine /a robabi/ia e ue una unia entra/ e roeso tena una urai:n e or /o menos 1)00 horas.

So*uci+n $ustituimos /os va/ores en /a euai:n 2.4 ∞

∫

 P ( x > 1500 ) =1−

1500

(  ) − x / 1000

e

1000

. dx

 tambin oemos esribir/a e/ siuiente moo 1500

 P ( x > 1500 ) =

∫ 0

 P ( x > 1500 ) =0.7769

8

(  ) − x / 1000

e

1000

. dx

2.# DISTRIBUCIÓN D PROBABILIDAD $IBULL

$e sue/e uti/i9ar Funto a /a istribui:n Gamma ara moe/ar /a istribui:n e /a urai:n >tiemo hasta
ar5metro α   es e/ ar5metro e
∫  β . ( x ) ( e b

 P ( x < t )=

∝

α − 1

− x α   β

). dx

(. 2.)

a

E&ERCICIO DISTRI'UCI(N 2EI'ULL Con base en un ran n@mero e ruebas6 un en aEos? antes e ue se neesite una rearai:n maor tiene una istribui:n e *eibu// on

∝

=2



 β =4 .

robabi/ia e ue se neesite una rearai:n antes e /os 2 aEos.

So*uci+n $e sustituen /os atos ue se oseen en /a euai:n 2.).

,

Ca/u/e /a

∫ 4 . ( x ) ( e 2

2

 P ( x < 10 )=

2−1

− x 3 4

) . dx

0

 P ( x < 10 )=

( x ) ( e ∫ 2 1

2

− x 3 4

). dx

0

 P ( x < 10 ) =0,6321

2.% DISTRIBUCIÓN D PROBABILIDAD BTA

(s una
∫

 P ( x > t )=

a

 x

α −1

(1 − x ) β−1 . dx B (α , β )

% se e=resa omo B=

τ ( α ) τ ( β ) τ ( α + β )

ueano entones

10

b

∫ τ τ  ( α ( α )+τ   β( β) ) ( x − ( 1 − x ) − ) . dx α  1

 P ( x > t )=

 β 1

(. 2.+

a

!one 0=1 α    β >¿  0 τ  ( ∝ )=(∝ −1) !

τ  ( β )=( β −1) !

E&ERCICIO DISTRI'UCI(N 'ETA Los sensores e in
α = β =2 .

Ca/u/e /a robabi/ia e ue m5s e 30  e /as seEa/es e in
So*uci+n $e sustituen /os atos en /a euai:n 2.+ 1

 P ( x > 0,30 )=

∫ τ τ ( 2(2)+τ (22)) ( x − ( 1− x ) − ) . dx 2 1

0.30

11

2

1

1

∫ τ  ( τ 2 )( 4τ ()2 ) ( x ( 1− x ) ) . dx

 P ( x > 0,30 )=

0,30

1

 P ( x > 0,30 )=

∫ ( 1()3! ()1! ) ! ( x ( 1− x ) ) . dx

0,30

1

 P ( x > 0,30 )=

∫ τ  ( τ 2 )( 4τ ()2 ) ( x ( 1− x ) ) . dx

0,30

1

 P ( x > 0,30 )=

∫ 6 x ( 1 − x ) . dx 0,30

1

 P ( x > 0,30 )=

∫ 6 x ( 1 − x ) . dx 0,30

 P ( x > 0,30 )=0,784

12

CONCLUSIONS

Las variab/es a/eatorias ontinuas son aue//as ue oseen
13

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e/

3

e

!iiembre

e

20146

e

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14