INTRODUCCIÓN A LAS ESPIRALES Las fuentes de donde procede la información que se expone a continuación son diversas, la mayor parte de los documentos tienen su origen en la wikipedia, los enlaces se han conservado, así que es posible llegar al origen. Sobre la espiral de rquímedes! La ruleta de Arquímedes "tambi#n espiral aritm#tica$, obtuvo su nombre del matem%tico siciliano rquímedes, quien vivió en el siglo &&& antes de 'risto. Se define como el lugar geom#trico de geom#trico de un punto movi#ndose a velocidad velocidad constante constante sobre una recta que recta que gira sobre un punto de origen fi(o a )elocidad ngular constante. ngular constante. *la recta se mantiene en un plano. +n coordenada coordenadass polares polares "r, "r, $ la l a espiral de rquímedes puede ser descrita por la ecuación siguiente-
siendo a y b nmeros reales. reales. 'uando el par%metro a cambia, la espiral gira, mientras que b controla la distancia en giros sucesivos. rquímedes describió rquímedes describió esta espiral en su libro De las Espirales. +sta curva se distingue de la espiral logarítmica por logarítmica por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separación constantes "iguales a 2πb si es medido en radianes$, mientras que en una espiral logarítmica la separación est% dada por una progresión geom#trica geom#trica.. /ay que notar que la espiral de rquímedes tiene dos bra0os, uno para 1 2 y otro para 3 2. Los dos bra0os est%n discretamente conectados en el origen y sólo se muestra uno de ellos en la gr%fica. 4omando la imagen refle(ada en el eje Y produciremos produciremos el otro bra0o. veces, el t#rmino es usado para un grupo m%s general de espirales.
La espiral normal ocurre cuando x 5 6. 7tras espirales que caen dentro del grupo incluyen la espiral hiperbólica, hiperbólica, la espiral de 8ermat, 8ermat , y el Lituus Lituus.. )irtualmente todas las espirales est%ticas que aparecen en la naturale0a son espirales logarítmicas, no de rquímedes. 9uchas espirales din%micas "como la espiral de :arker del :arker del viento solar, o el patrón producido por una rueda de 'atherine$ son del grupo de rquímedes.
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6 plicaciones = )#ase tambi#n > ?eferencias
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Alicaciones !editar"
9echanism of a scroll pump La espiral de rquímedes tiene una pl#tora de aplicaciones en el mundo real. 9uelles de compresión, hechos de dos espirales de rquímedes del mismo tamaAo intercaladas, son usadas para comprimir líquidos y gases. Los surcos de las primeras grabaciones para gramófonos "Bisco de vinilo$ forman una espiral de rquímedes, haciendo los surcos igualmente espaciados y maximi0ando el tiempo de grabación que podría acomodarse dentro de la grabación "aunque esto fue cambiado posteriormente para incrementar la cantidad del sonido$. :edirle a un paciente que dibu(e una espiral de rquímedes es una manera de cuantificar el temblor humano, esta información ayuda en el diagnóstico de enfermedades neurológicas. +stas espirales son tambi#n usadas en sistemas BL: de proyección para minimi0ar el +fecto de rco iris, que hace que pare0ca que se proyectan varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad se proyectan ciclos de ro(o, verde y a0ul r%pidamente. Cn m#todo para la 'uadratura del 'irculo, rela(ando las limitaciones estrictas en el uso de una regla y un comp%s en las pruebas geom#tricas de la Drecia antigua, hace uso de la +spiral de rquímedes. 4ambi#n existe un m#todo para trisecar %ngulos basados en el uso de esta espiral.
Espiral de Fermat De Wikipedia, la enciclopedia libre
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+spiral de 8ermat. La esiral de #ermat , denominada así en honor de :ierre de 8ermat y tambi#n conocida como esiral arab$lica , es una curva que responde a la siguiente ecuación-
+s un caso particular de la espiral de rquímedes.
%&ase tambi&n !editar" • •
coordenadas polares espiral
7btenido de Ehttp-FFes.wikipedia.orgFwikiF+spiralGdeG8ermatE
Espiral hiperbólica De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, bsqueda Cna espiral hiperbólica es una 'urva :lana trascendental, tambi#n conocida como esiral recíroca . Se define por la ecuación polar rθ 5 a, y es la inversa de la +spiral de rquímedes.
/yperbolic spiral for a5= 'omien0a en una distancia infinita del polo central "para comen0ando desde cero, r 5 aF comien0a desde el infinito$, y se enrolla cada ve0 m%s r%pidamente mientras se aproxima al polo central, la distancia de cualquier punto al polo, siguiendo la curva, es infinito. plicando la transformación desde el sistema de coordenadas polares-
conduce a la siguiente representación param#trica en 'oordenadas cartesianas-
donde el :ar%metro t es un equivalente de en las coordenadas polares. La espiral tiene una asíntota en y 5 a- cuando t se aproxima a cero, la ordenada se aproxima hacia a, mientras que la abscisa crece hasta el infinito-
La espiral de Arquímedes
La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. E s muy fácil reconocerla: la anchura de sus espiras es siempre la misma. Por eso se la conoce con el nombre de espiral uniforme. La naturaleza no es muy pródiga a la hora de mostrarnos este tipo de espiral, aunque la podemos reconocer en esta serpiente enrollada o en la trompa de una mariposa. o es e!tra"o esta e!tra"a lengua se llame espiritrompa. El hecho de que sea la espiral más sencilla de construir hace que aparezca como moti#o ornamental desde las $pocas más remotas. La encontramos ya en t%mulos mortuorios de la edad del bronce y en #asi&as griegas y etruscas.... La encontramos, en la cerámica popular, como moti#o decorati#o de muchos platos. Esto no es tan e!tra"o si pensamos la e!trema facilidad con la que se puede dibu&ar sobre el torno del alfarero. 'asta con ir desplazando el pincel en una dirección determinada, desde el centro hacia el borde, con una #elocidad constante. (e la conoce entre los matemáticos como Espiral de Arquímedes, ya que fue este notable físico y matemático griego el primero que, fascinado por su belleza, realizó un estudio profundo sobre las propiedades matemáticas de esta cur#a...en el siglo ))) antes de *risto en un escrito titulado Sobre las espirales.
+atemáticamente la espiral de rquímedes se define como el lugar geom$trico de un punto del plano que partiendo del e!tremo de una semirrecta se mue#e uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira tambi$n uniformemente sobre uno de sus e!tremos. En palabras del propio rquímedes: " Imaginaos una línea que gira con velocidad constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral" Es decir, es una cur#a mecánica. Para definirla necesitamos recurrir al mo#imiento. Es de hecho la primera cur#a mecánica de la historia.
(u ecuación en coordenadas polares es donde r es la distancia al origen, a una constante y theta es el ángulo girado.
¡¡ Eureka !!. ¡¡ Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo !! . (u famoso principio sobre los cuerpos sumergidos en un líquido: "Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arria igual al peso del fluido desalojado". (on frases de rquímedes y decididamente sus frases han pasado a la historia.
La historia de su muerte a manos de un soldado romano en la toma de su ciudad natal, (iracusa, por la flota de +arcelo y la frase que calmadamente le dirigió &usto antes de ser atra#esado por su espada mientras dibu&aba en la arena. -uizás una de sus espirales/, "no molestes a mis crculos" hacen de rquímedes uno de los sabios más populares de la historia. rquímedes se interesó por esta espiral al intentar resol#er un problema clásico: la trisección de un ángulo, utilizando solamente regla y compás. . unque hoy sabemos que es un problema irresoluble utilizando sólo una regla y un compás, rquímedes encontró una forma de di#idir un ángulo en tres partes iguales utilizando la espiral uniforme. 'asta hacer coincidir el #$rtice del ángulo con el origen de la espiral, di#idir el segmento que #a desde el origen al punto de corte de la espiral con el segundo lado del ángulo en tres partes iguales y trazar por esos puntos arcos de circunferencia hasta que corten a la espiral. (i unimos el origen con esos puntos de corte tendremos los tres ángulos que di#iden al original en tres partes iguales. Por desgracia para las matemáticas la espiral uniforme no se puede dibu&ar con regla y compás. +enos conocidos, pero más sorprendentes para los matemáticos, son sus resultados sobre la espiral uniforme, recogidos en su libro 0(obre las espirales0, en el que entre sus 12 proposiciones #arias se refieren a las áreas de las espirales. 3esultados tan comple&os como estos: "El rea arrida por el radio de la espiral en su primera revoluci#n es la tercera parte del rea del crculo cuyo radio es el radio final de esta revoluci#n..." "El rea arrida por el radio en la segunda vuelta es $ veces el rea de la primera vuelta". "El rea arrida en la segunda revoluci#n est en ra%#n &'() con el crculo cuyo radio es la posici#n final del radio vector" rquímedes #a mucho más allá y demuestra que las áreas de los sucesi#os anillos #ienen dadas por esta fórmula
donde 3n es el área barrida en la #uelta n.
os reconforta pensar que al igual que cada barco que cruza los mares rinde un homena&e a rquímedes el físico por su principio, que cada #ez que utilizamos una barra rígida para le#antar un gran peso le damos las gracias por sus leyes de la palanca, cada #ez que un ni"o hace un rollo de plastelina y lo en#uel#e sobre sí mismo y lo hace girar está realizando un sencillo pero a la #ez hermoso homena&e a rquímedes el matemático.
Espirales en la historia de las Matemáticas 0Había más imaginación en la cabeza de rquímedes que en la de Homero" 4oltaire
5no de los ob&eti#os fundamentales de las +atemáticas a lo largo de la historia ha sido y contin%a siendo interpretar el mundo que nos rodea. 6ecía 7alileo: " !l niverso es un libro escrito en el lengua#e de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras $iguras geométricas, sin las cuales es %umanamente imposible comprender una sola palabra& sin ellos sólo se conseguirá vagar por un oscuro laberinto" +ucho antes de que 7alileo 7alilei e!presara de manera tan rotunda una de las funciones de las matemáticas, muchos sabios se habían puesto a la tarea de e!plicar los fenómenos naturales ba&o la luz de la razón, con la poderosa herramienta de las matemáticas. 8 ante las innumerables manifestaciones naturales de las espirales, tanto de carácter orgánico como mecánico, estas cur#as no podía de&ar de llamar la atención de los matemáticos y ser ob&eto de su in#estigación. (in embargo, como su propia forma sugiere son cur#as esqui#as. o son cur#as geom$tricas estáticas como la circunferencia, las cónicas o las l%nulas. Para construirlas se necesitan recursos mecánicos, algo que crece o que se mue#e. Pero, -qu$ es una espiral/ La definición 0matemática0 sería esta: "son curvas planas que comienzan en un punto y cuya curvatura va disminuyendo progresivamente a medida que aumenta su radio de curvatura'" (i esta definición la ampliamos al espacio obtendremos unas cur#as espaciales parientes de las espirales, las h$lices cónicas. La forma en se produzca ese cambio de cur#atura y ese incremento del radio de cur#atura nos colocará ante diferentes tipos de espirales. En el fondo dos son los parámetros que #an a definir una espiral su radio en cada punto, la distancia al origen, y el ángulo girado hasta llegar a ese punto. La historia de las espirales dentro del mundo matemático ha sido, paradó&icamente una historia a saltos.
La espiral uniorme o de Arquímedes El primer paso de su estudio se remonta al siglo ))) a. de *. y su protagonista es el genial rquímedes. *on m$todos que se adelantan en #arios milenios a sus contemporáneos realiza el primer estudio intensi#o sobre la espiral más simple: la espiral uniforme. La dificultad de construirla de manera e!acta, &unto al hecho de no poder construirse con regla y compás hizo que los sabios griegos no le dedicasen toda la atención que se merecen. unque como en todo hay sus e!cepciones. Estas e!cepciones las constituyen !onón de Samos y sobre todo Arquímedes de Siracusa "#$%&#'# a( !() (in duda, al menos desde un punto de #ista matemático, la más simple es aquella en que el radio #aría de forma proporcional al ángulo girado. 8 a esta es a la que dedicó su atención rquímedes, a la espiral uniforme, que desde entonces lle#a su nombre. La espiral arquimediana. 6e rquímedes se conocen dos libros sobre la geometría plana, uno dedicado a la circunferencia, (e la medida del círculo , donde nos proporciona el salto a la fama del n%mero pi y una de sus apro!imaciones más usadas hasta nuestro días9 y otro dedicado a la espiral uniforme, (e las espirales. 5n libro complicado y de lectura difícil, donde rquímedes hace un profundo estudio e!hausti#o de la espiral uniforme. En $l demuestra las propiedades de las áreas de las diferentes espiras, utiliza la espiral para calcular la longitud de un arco de circunferencia, para cuadrar el círculo y para di#idir un ángulo en tres partes iguales. 5na cur#a que le permitió atacar dos de los tres problemas clásicos: la cuadratura del círculo y la trisección del
ángulo. Por desgracia para rquímedes, los griegos e!igían la resolución utilizando sólo regla y compás... y su cur#a, la espiral uniforme no se puede construir sólo con esos instrumentos.
Las espirales de Durero ay que esperar más de ;2 siglos para que, esta #ez un artista con grandes dotes matemáticas, lberto 6urero, en ;<1<, nos proporcione los m$todos para dibu&ar otro tipo más comple&o de espirales, las espirales basadas en el crecimiento gnómico, es decir, las que se obtienen la enca&ar de forma recurrente, figuras geom$tricas seme&antes y unir sus #$rtices. especial atención le #an a merecer las espirales relacionadas con la sucesión de =ibonacci y con el n%mero áureo. pesar de su gran amor por las matemáticas, como m uestra en su cuadro )elancolía, plagado de metáforas matemáticas, 6urero es fundamentalmente un pintor. Por eso su obra Instrucción sobre la medida con regla y compás de $iguras planas, no realiza un estudio teórico de las espirales y se limita a dar preceptos para su construcción. La influencia del mudo hel$nico, de la que 6urero está impregando, le impone una nue#a restricción: la utilización e!clusi#a de la regla y el compás. Por ello, se #a a limitar a in#estigar la representación apro!imada de la espiral no uniforme mediante arcos de circunferencias.
La espiral lo*arítmica o de +ernouilli Pero es más de un siglo más tarde, con la aparición y el desarrollo del cálculo diferencial e integral de e>ton y Leibniz, cuando el estudio de las cur#as #a a alcanzar su momento de gloria. 8 dentro de estas cur#as una muy especial y al mismo tiempo muy habitual en la naturaleza: la espiral equiangular, logarítmica o geom$trica. unque 6escartes y ?orricelli habían iniciado su estudio, les faltaba la potente herramienta del cálculo para poder rematarlo. Este honor la #a corresponder a @acob 'ernouilli en los albores del siglo A4))). 3en$ 6escartesB;
(u ecuación es de la forma donde a y b son constantes y e es el n%mero e H 1, I;212;21..., r el radio de posición de un punto y theta el ángulo girado. Es decir, el radio de posición en un punto no depende de forma lineal, uniformemente, del ángulo girado. (u dependencia es e!ponencial. (eg%n #ayamos girando alrededor del origen la cur#a se #a ir ale&ando del origen de forma cada #ez más rápida. =ue ?orricelli, utilizando m$todos seme&antes a rquímedes, quien primero logró calcular su longitud.
Pero, sin duda, al matemático al que cauti#ó el estudio de esta espiral fue a @acob 'ernouilli B;D
Espiral lo*arítmica De Wikipedia, la enciclopedia libre
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+spiral logarítmica "grado 62H$.
'orte de la concha de un nautilus donde se aprecian las c%maras formando aproximadamente una espiral logarítmica.
Cna borrasca sobre &slandia. +l patrón que sigue es aproximadamente el de una espiral logarítmica. Cna esiral lo'arítmica , esiral equian'ular o esiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturale0a. 8ue descrita por primera ve0 por Bescartes y posteriormente investigada por Iakob Jernoulli, quien la llamó Spira mirabilis, Ela espiral maravillosaE, y quiso una grabada en su l%pida. :or desgracia, se grabó en su lugar una espiral de rquímedes.
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6 Befinición = :ropiedades > +spirales logarítmicas en la naturale0a
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@ )#ase tambi#n
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De(inici$n !editar" +n coordenadas polares "r , $ la curva puede escribirse como , de aquí el nombre ElogarítmicaE y en forma param#trica como
con nmeros reales positivos a y b. a es un factor de escala que determina el tamaAo de la espiral, mientras b controla cuan fuerte y en que dirección est% enrollada. :ara b 16 la espiral se expande con un incremento , y para b 36 se contrae. +n t#rminos de geometría diferencial la espiral puede definirse como una curva c(t) con un %ngulo constante K entre el radio y el vector tangente
Si K 5 2 la espiral logarítmica degenera en una línea recta. Si K 5 M F = la espiral logarítmica degenera en un círculo.
Proiedades !editar"
+spiral construida utili0ando rect%ngulos con la proporción %urea. ?esulta una aproximación a la espiral logarítmica. La espiral logarítmica se distingue de la espiral de rquímedes por el hecho de que las distancias entre su bra0os se incrementan en progresión geom#trica, mientras que en una espiral de rquímedes estas distancias son constantes. 'ualquier línea recta al origen cortar% a la espiral logarítmica en el mismo %ngulo K, que puede calcularse "en radianes$ como arctan"6Fln"b$$. +l grado de la espiral es el %ngulo "constante$ que la espiral hace con circunferencias centradas en el origen. :uede calcularse como arctan"ln" b$$. Cna espiral logarítmica de grado 2 " b 5 6$ es un círculoN el caso límite es una espiral logarítmica de grado O2 " b 5 2 or b 5 P$ es una línea recta desde el origen. 'omen0ando en un punto P y movi#ndose hacia dentro a lo largo de la espiral, hay que rodear el origen infinitas veces antes de alcan0arloN sin embargo, la distancia total de este camino es finita. +l primero en darse cuenta de esto fue 4orricelli incluso antes de que se invertara el c%lculo. La distancia total cubierta es r Fcos"K$, donde r es la distancia en línea recta desde P al origen. Se pueden construir espirales logarítmicas de grado 6Q,2>=>O utili0ando los nmeros de 8ibonacci o la proporción %urea.
Esirales lo'arítmicas en la naturale)a !editar" +l halcón se aproxima a su presa segn una espiral logarítmica- su me(or visión est% en %ngulo con su dirección de vueloN este %ngulo es el mismo del grado de la espiral. Los insectos se aproximan a la lu0 segn una espiral logarítmica porque acostumbran a volar con un %ngulo constante a la fuente luminosa. Rormalmente el Sol es la nica fuente de lu0 y volar de esta forma consiste pr%cticamente en seguir una línea recta.
Los bra0os de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. Ruestra propia galaxia, la )ía L%ctea, se cree que tiene cuatro bra0os espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 6= grados. Los bra0os de los ciclones tropicales, como los huracanes, tambi#n forman espirales logarítmicas. +n biología son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica. :or e(emplo, las telas de araAa y las conchas de molusco. La ra0ón es la siguiente- comien0a con una figura irregular F 2. umenta F 2 en un cierto factor para obtener F 6, y pon F 6 (unto a F 2, de forma que se toquen dos lados. hora aumenta F 6 en el mismo factor para obtener F =, y ponlo (unto a F 6 como antes. ?epitiendo este proceso se produce aproximadamente una espiral logarítmica cuyo grado est% determinado por el factor de expansión y el %ngulo con que las figuras son puesta una al lado de otra. +n mec%nica de suelos, la superficie de falla es el lugar geom#trico de los puntos en donde el suelo se rompe y permite un desli0amiento, al estar sometido a una cierta carga mayor a la que puede soportar. +stas superficies de falla, en muchos casos son iguales o aproximables a una espiral logarítmica. function dibujaEspiralArquimedes(a){ init(); for (i=0;i<=10*Mat!"#; i $= diferencial){ r = a*(i) % = r*Mat!cos(i); & = r*Mat!sin(i); dibuja"unto(%'&'); elocidad del punto en la l+nea! , elocidad an-ular de la l+nea sobre la que se apo&a! r =
w
θ
Bice AR*U+,EDES -....... ESi una línea recta que permanece fi(a en un extremo, se le hace girar en el plano con velocidad cte, hasta hacerla volver de nuevo a la posición de la que ha partido, y (unto con la recta que gira, se mueve un punto sobre la recta con velocidad cte comen0ando por el extremo fi(o, el punto describe en el plano una espiralE......... Cn e(emplo de esta espiral lo encontramos al enrollar una cuerda sobre si misma o tambi#n en la espiritrompa de una mariposa. 'omo es muy sencilla de construir aparece mucho en la cer%mica popular. 8ue rquímedes, físico y matem%tico griego, quien fascinado por su belle0a reali0ó un estudio profundo sobre las propiedades de esta curva, en el siglo &&& antes de '. en un escrito titulado E de las espiralesE. La característica de la espiral de Arquímedes es que entre dos espiras, la distancia es la misma, la expansión y la rotación tienen lugar a la misma velocidad, el vínculo entre ellas es lineal. Su ecuación expresada en coordenadas polares es TTTTTTT1 lgunos e(emplos de espirales uniformes, los encontramos en el arte barroco y en los capiteles (ónicos...
/ay una propiedad interesante que observó Arquímedes y que dice lo siguiente-
-El .rea de la esiral en su rimera /uelta es i'ual a la tercera arte del .rea del círculo que la en/uel/e-
'7RS4?C''&UR B+ +S:&?L+S B+ = , > V @ '+R4?7S
Si queremos ver distintas presentaciones de esta espiral, hay una p%gina web muy interesante, que permite cambiar los par%metros de la misma, y observar las distintas espirales resultantes, est% reali0ado en IavaN pulsando aquí se ver%....
La ecuación gen#rica de la espiral de rquimedes en coordenadas polares esr 5 aθ Bibu(a la curva. +n la p%gina http-FFwwwTgroups.dcs.stTand.ac.ukFWhistoryF'urvesF'urves.html encontrarás todo sobre las cur#as.
http-FFpersonalTdeT(all.webcindario.comFmathFcurvasGespiralGarquimedes.php
Esiral de Cornu 0clotoide1
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'urva que describe un móvil a velocidad costante cuando la curvatura de su trayectoria varía linealmente. :or ello se la utili0a para el tra0ado de vías de comunicación. !"ras e# la historia , pp.6=Q, =X2. $a recherche% &"r#er' ite et bie#.
!lotoide De Wikipedia, la enciclopedia libre
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Esiral de Cornu o clotoide " , y$5"! "t $, S "t $$. La espiral converge al centro de los dos remolinos extremos de la imagen, a medida que t tiende a m%s infinito y menos infinito. La clotoide, tambi#n denominada radioide de arcos o esiral de Corn2 en honor de 9arie lfred 'ornu, es una curva tangente al e(e de las abcisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. +s por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito. La expresión matem%tica usual es-
siendo Y el radio de curvatura s el desarrollo o arco ! la constante de la espiral
Parametri)aci$n !editar" La esiral de Cornu , tambi#n conocida como clotoide, es la curva cuyas ecuaciones param#tricas vienen dadas por S "t $ y ! "t $. :uesto que-
en esta parametri0ación el vector tangente tiene longitud unitdad y t es la longitud de arco medida a partir de "2,2$ "e incluyendo signo$, de lo que se deduce que la curva tiene longitud infinita.
La web del 9inisterio de +ducación, :olítica Social y Beportes dedicada a la formación expone gran cantidad de información relativa a las espirales , entre la que destacahttp-FFwww.formacion.pntic.mec.esFwebGespiralF La revista S&D9 en su nmero =6 hace un an%lisis de la construcción de espirales con 'abri.
