Capítulo 2
Espacios métricos 2.1. 2.1.
Definic Definición ión de espa espacio cio métr métrico ico
Definición Definición 9 (métrica). Una métrica en un conjunto M es una función d : M × M R, que asocia a cada par de elementos x, y ∈ M un número real d(x, y) llamado la distancia de x y y de x a a y y que satisface las siguientes propiedades ∈ ∈ x, , y , z M: M para cualesquiera x cualesquiera :
→
(1) d(x, x) = 0; (2) si x y , entonces d si x = y, entonces d (x, y) > 0; (3) d(x, y) = d ( y, x); (4) d(x, z ) ≤ d (x, y) + d( y, z ) De la (1) y (2) se deduce que la la distancia distancia es no negativa y que d (x, y) = 0 si, y sólo si, x = y . La (3) afirma que la distancia d (x, y) es una función simétrica en las variables x, y. La condición (4) es llamada desigualdad triangular ; su nombre nace por el hecho de que, en el plano euclidiano, la longitud de un lado del triángulo no supera a la suma de los otros dos. y x
z
y
d( x,z ) x,z )<
z
x d( x,z ) x,z )
y
z
d( x,z )= x,z )=d d( x,y )+ x,y )+d d( y,z ) y,z )
x
Figura 2.1: Desigualdad triangular en el plano
19
CAPÍTULO CAPÍTULO 2. ESPACIOS ESPACIOS MÉTRICOS MÉTRICOS
20
Definición 10 (espacio métrico) . Un espacio métrico es un par ( ( M, d) donde M es un conjunto y d d es una métrica en M en M..
métrico M””, cuando se sobrentiende cuál Diremos simplemente “el espacio métrico M d es la métrica “ ” que se está considerando. Los elementos de un espacio métrico pueden ser de diferente naturaleza: números, puntos, vectores, funciones, matrices etc. Pero en general los llamaremos puntos de M. Se comentarán ahora algunos ejemplos de espacios métricos. Ejemplo 2. La métrica “cero-uno”. Todo espacio métrico M se puede convertir en un espacio métrico definiendo la métrica d : M × M R por d(x, x) = 0 y d(x, y) = 1 si x = y .
→
Ejemplo 3. El conjunto de los números reales
R es un importante ejemplo de espacio métrico. La distancia entre dos puntos x, y ∈ R está dada por d(x, y) = |x − y| las propiedades de la definición 9 son propiedades elementales del valor absoluto. Ésta es llamada “métrica usual de R”. A menos que se especifique lo contrario, se considerará ésta métrica cuando se hable de R como espacio métrico.
Ejemplo Ejemplo 4. Este ejemplo generaliza el anterior. Los puntos de Rn son nuplas x = (x1 , . . . , xn ) donde cada una de las n coordenadas x i es un número real. Dados x = (x1 , . . . , xn ) y y = ( y1 , . . . , yn ), elementos de Rn , existen al
menos tres formas de definir la distancia: d(x, y) =
n
(x1 − y1 )2 + · · · + ( xn − yn )2 =
(xi − yi )
2
i=1
1/2
,
n
′
d (x, y) = | x1 − y1 | + · · · + |xn − yn
|x − y | y | = i
i
i=1
d ′′ (x, y) = m ax ´ {|x1 − y1 | , . . . , |xn − yn |} = ´ |xi − yi | . |} = max 1≤i≤n
R son métricas. Es bastante claro Las funciones d, d ′ , d ′′ : Rn × Rn que ellas cumplen (1),(2) y (3) de la definición 9. En virtud de las propiedades del valor absoluto, es mas o menos visible que d y d ′ verifican (4); también d verifica (4) y se verá más adelante como consecuencia del lema 2.1. La métrica d es llamada métrica euclidiana en honor a Euclides1
→
Ejemplo Ejemplo 5. Subespacio; métrica inducida. Si (M, d) es un espacio métrico, todo subconjunto S ⊆ M , se puede considerar, de una forma natural como un espacio espacio métrico: métrico: basta considerar considerar la restricción restricción de d a S × S, es decir, utilizar 1 Euclides
(en griego Eυκλǫιδησ, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del 300 a.C. (325 - 265 a. C.). Se le conoce como “El Padre de la Geometría”.
2.1. DEFINICI DEFINICIÓN ÓN DE ESPACIO ESPACIO MÉTRICO MÉTRICO
21
para los elementos de S, la misma distancia que ellos tenían como elementos de M . En este caso, S se llama subespacio de M y la métrica se dice inducida por la de M. Esta idea simple nos permite obtener una amplia variedad de ejemplos ejemplos de espacios espacios métricos, métricos, considerando considerando los distintos distintos subconjuntos subconjuntos de una espacio métrico dado. La métrica euclidiana d es más natural para consideraciones geométricas; sin embargo, d ′ y d ′′ son formalmente más simples en su definición y ya que son “equivalentes” en un sentido que se estudiará en el capítulo 3, es conveniente considerarlas a pesar de que su significado geométrico es un tanto artificial. Definición 11 (función acotada). Sea X Sea X un conjunto arbitrario. Una función real f : X R es llamada acotada si existe una constante K = K(f) > 0 tal X . que | f(x)| ≤ K para todo x todo x ∈ X.
→
Ejemplo 6. Un espacio de funciones. Denotamos por B (X; R) al conjunto de R. La suma, la diferencia y el producto de las funciones acotadas f : X
→
funciones acotadas es también acotada (de hecho más adelante veremos que es un espacio vectorial). Para dos elementos f, g de B (X; R) cualesquiera se define d(f, g) = sup |f(x) − g(x)| . x∈X
ésta es una métrica llamada métrica de la convergencia uniforme o métrica del supremo.
En el caso particular en que X es el intervalo [a, b ] ⊆ R. Dadas f, g : R acotadas, la distancia d(f, g) es la longitud máxima de los seg[a, b ] mentos verticales que unen el gráfico de g y f. Más concretamente, en el espacio métrico B ([ ([0, 1 ]; R), la distancia de la función f(x) = x a la función 2 g(x) = x es d(f, g) = 1 /4.
→
d( f,g f,g ) f g
Figura 2.2: Distancia del supremo Definición 12 (norma). Sea E Sea E un espacio vectorial real o complejo. Una norma en E es una función real · : E R que asocia a cada vector x ∈ E el número real x, llamado “la norma de x” y que satisface las siguientes λ : propiedades para cualesquiera x, cualesquiera x, y ∈ E y un escalar λ:
→
CAPÍTULO CAPÍTULO 2. ESPACIOS ESPACIOS MÉTRICOS MÉTRICOS
22 si x = 0 entonces x = 0 ; (1) si x
(2) λ · x = | = | λ| · x; (3) x + y ≤ x + y (desigualdad triangular); Ejemplo Ejemplo 7. Espacios Espacios vectoriale vectorialess normados normados. Un espacio vectorial normado es un par (E, ) donde E es un espacio vectorial y una norma en E. Se nombrará al espacio vectorial normado por E dejando sobrentendida la
norma. Un ejemplo de espacio vectorial normado es Rn , donde se pueden definir las siguientes tres normas para un vector x = (x1 , . . . , xn ): x =
′
x2i ; x =
|x | y x i
′′
´ |xi | = max
No es difícil observar que se satisfacen las propiedades de norma para estas funciones, funciones, excepto excepto quizá la desigualda desigualdad d triangular triangular para la primera, primera, ésta se muestra más adelante en el ejemplo 8. Otro ejemplo de espacio vectorial normado es B (X; R), definiendo f = supx∈X |f(x)|. Todo espacio vectorial normado (E, ) es un espacio métrico mediante la definición d(x, y) = x − y. Diremos que esta métrica es proveniente de o inducida por la norma . Por ejemplo, la métricas d, d ′ y d ′′ en Rn son inducid inducidas as por las normas normas , ′ y ′′ respectivam respectivamente. ente. Así mismo, mismo, la métrica del supremo en B (X : R) es inducida por la norma del supremo definida arriba y se puede escribir f − g en lugar de d(f, g). Las propiedades de la métrica inducida por la norma se deducen a partir de las propieda propiedades des de la norma; norma; como ejempl ejemploo veamos veamos la desigu desiguald aldad ad triangular: dados x,y,z ∈ ∈ E , d(x, z ) = x − z = (x − y) − ( y − z ) ≤ x − y + y − z = d (x, y) + d( y, z )
Definición 13 (producto interno). Sea E Sea E un espacio vectorial sobre el campo K ( R ó C ). Un producto interno es una función · , · : E × E : K, que asocia a cada par ordenado de vectores x, vectores x, y ∈ E el escalar x, y, llamado el producto interno de x de x por y por y,, y que satisface las siguientes propiedades para x, para x, x ′ , y ∈ E λ ∈ K arbitrarios: y λ
→
(1) x + x ′ , y = x, y + x ′ , y (aditividad en el primer factor); (2) λx,y = λ x, y (homogeneidad en el primer factor); (3) x, y = y, x (simetría conjugada); (4) x = 0
⇒ x, x > 0.
2.1. DEFINICI DEFINICIÓN ÓN DE ESPACIO ESPACIO MÉTRICO MÉTRICO
23
La barra en la tercera propiedad indica la operación de conjugación compleja. En el caso de que E sea un espacio vectorial real ( K = R), se omite la barra (de hecho el conjugado de un real puro es el mismo real). Así mismo, la propiedad (4) afirma además que independientemente que el espacio vectorial se real o complejo, la expresión x, x es un número real no negativo para todo x ∈ E . A partir de las tres primeras propiedades se pueden deducir otras: x, y + y ′ = x, y + x, y ′
x,λy = λ x, y
y
0, y = 0
De esta forma vemos que e producto interno es lineal en el primer factor pero no en el segundo (en el caso complejo), en el segundo factor satisface homogeneidad conjugada, esto la aditividad y la homogeneidad esto se resu resume me en ocas ocasio ione ness diciendo que el producto interno es “lineal conjugado” en el segundo factor. Ejemplo 8. Espacios vectoriales con producto interno. Sea E un espacio vec-
torial con producto interno. El producto interno define una norma mediante la siguiente siguiente expresión: expresión: para cada x ∈ E , x = x, x . Las primeras dos propiedades de la norma son inmediatas a partir de las propiedades del producto interno. La tercera se deduce a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . De esta forma cada espacio vectorial con producto interno es también un espacio vectorial normado y en consecuencia, es un espacio métrico.
Lema 2.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) . Sea E Sea E un espacio vectorial con producto interno. Para todo x, todo x, y ∈ E se tiene: |x, y| ≤ x y
Caso real. Sean x, y ∈ E. Notemos primero que si x = 0 se tiene una igualdad obvia. Supongamos que x = 0, haciendo el escalar λ = 2 x, y / x , se puede verifica que si z = = y −λ·x, entonces z, x = 0. Utilizando éste último hecho y calculando el producto interno de y = z +λ·x por si mismo, se obtiene que y2 = z 2 + λ2 · x2. De aquí se deduce que λ2 x2 ≤ y2 . Pero λ2 x2 = x, y2 / x2 . Luego, x, y2 ≤ x2 · y2 lo que implica la Prueba:
desigualdad buscada. Caso complejo. Sean x, y ∈ E y λ ∈ C. Suponemos que x = 0 y y = 0. 2
x + λy = x + λy,x + λy = x, x + x,λy + λy,x + λy,λy 2
= x + λ x, y + x,λy + λλ y 2
2
2
= x + λ x, y + λ x, y + |λ| y 2
2
= x + 2Re(λ x, y) + | + |λ| y
2
2
Aquí Aquí debemo debemoss asumir asumir que x, y son lineal linealment mentee indepe independi ndiente entess y así, así, x + λy > 0; luego, 2 2 x2 + 2Re(λ x, y) + | + |λ| y > 0 para todo λ ∈
C
CAPÍTULO CAPÍTULO 2. ESPACIOS ESPACIOS MÉTRICOS MÉTRICOS
24
Por simplicidad, denotemos z = x, y; si z = 0, se tiene obviamente la de= 0 y hacemos sigualdad: 0 = z = x, y ≤ x y. Así que asumimos que z λ = t |zz| , con t ∈ R arbitrario, y se obtiene 2 2 + |λ| y 0 < x2 + 2Re(λ x, y) + |
2
zz tz y2 = x + 2Re t + |z | |z | 2 2
= x + 2t |z | + t2 y 2
2
2
= ( y )t2 + (2 |z |)t + (x )
La última expresión es un polinomio de coeficientes reales, en la variable real t y como es positivo para todo t ∈ R, no tiene raíces reales; por lo tanto, su discriminante es negativo, de allí que 2
2
(2 |z |)2 − 4 y x < 0
Recordando que z = = x, y, se tiene |x, y| < x y
Si x = αy , es decir, si x, y son linealmente dependientes, entonces 2
|x, y| = | = | αy,y| = | = | α | y = | α | y y = αy y = x y
Con esta desigualdad desigualdad se prueba prueba rápidamente rápidamente la desigualda desigualdad d triangular triangular para la norma inducida por el producto interno, en efecto: 2
2
2
x + y = x + y, x + y = x + y + 2Re(x, y) ≤ x2 + y2 + 2 |x, y| 2 2 ≤ x + y + 2 x · y = (x + y)2
2.2. 2.2. Bola Bolass y esf esfer eras as En un espacio métrico la noción de proximidad la proporciona el concepto de bola, más adelante veremos que en realidad, las bolas son conjuntos “básicos” de la topología. Definición Definición 14 (bola abierta, bola cerrada y esfera) . Sea a un punto de un r > 0 un número real positivo. espacio métrico M métrico M,, y r La bola abierta de centro a y radio r es el conjunto B(a; r) de los puntos a , es decir: de M de M que están a distancia menor que r que r de a,
B(a; r) = { x ∈ M : d (x, a) < r}
2.2. 2.2. BOLA BOLAS S Y ESFERAS ESFERAS
25
La bola cerrada de centro a centro a y radio r es el conjunto B[a; r ] de los puntos a , es decir: de M de M que están a distancia menor o igual a r a r de a, B[a; r ] = { x ∈ M : d (x, a) ≤ r } La esfera de centro a y radio r es el conjunto S(a; r) de los puntos de M a , es decir: que están a distancia r distancia r de a, S(a; r) = { x ∈ M : d (x, a) = r }
Si X es un subespacio del espacio métrico M , cada bola y esfera relativa al subespacio, es la intersección de la bola o esfera en M con X . Como notación, utilizaremos la letra que designa el subespacio como un subíndice: BX (a; r) = B (x; r) ∩ X;
BX [a; r ] = B [a; r ] ∩ X;
SX (a; r) = S (a; r) ∩ X
Aún cuando estos nombres son motivados por ese tipo de conjuntos en es conveniente resaltar que, dependiendo del espacio en estudio junto a su métrica, las bolas pueden tomar formas inesperadas. R3 ,
Ejemplo 9. Sea M dotado de la métrica cero-uno (ejemplo 2), entonces para todo a ∈ M, se tiene que B(a; r) = B[a; r ] = M para todo r > 1 y B(a; r) = B[a; r ] = {a} si r < 1. Así mismo, B(a; 1) = {a} y B[a; 1 ] = M. Finalmente, S(a; r) = ∅ si r = 1 y S(a; 1) = M \ { a}. Ejemplo Ejemplo 10 (bolas en R). En R con la métrica usual, la bola abierta de centro a y radio r > 0 es el intervalo abierto (a − r, a + r ), ya que la proposición |x − a| < r es equivalente a a − r < x < a + r. Análogamente, la bola cerrada B[a; r ] es el intervalo cerrado [ a − r, a + r ], mientras que la esfera S (a; r) consta sólo de los puntos a − r y a + r. Ejemplo 11. Una bola abierta B(a; r) en R2 con la métrica euclidiana es la parte interna de un círculo de centro a y radio r, pero con la métrica del máximo (ver ejemplo 4), es la parte interna de un cuadrado de centro en a y lados de longitud 2 r paralelos a los ejes. Y con la métrica de la suma es la parte interior de un cuadrado de centro en a con diagonales paralelas a los ejes y de longitud 2r.
Figura 2.3: Bolas abiertas en
R2
según la métrica utilizada.
CAPÍTULO CAPÍTULO 2. ESPACIOS ESPACIOS MÉTRICOS MÉTRICOS
26
Ejemplo 12. Sea f una función del espacio B ([ ([a, b ], R) (ver ejemplo 6). La R pertenezca a la bola condición para que una función acotada g : [a, b ] abierta B(f; r) es que g − f = supx∈[a,b] |g(x) − f(x)| < r; gráficamente se puede interpretar esa condición considerando una banda o faja de amplitud 2r alrededor del gráfico de f formada por los puntos (x, y) del plano R2 tales que x ∈ [ a, b ] y f(x) − r < y < f(x) + r como se muestra en la siguiente figura
→
g f r
O
a
Figura 2.4: Bolas abiertas en
b B ([ ([a, b ], R).
Las funciones g pertenecientes a la bola abierta B(f; r) son todas aquellas funciones acotadas definidas en [a, b ] cuyo gráfico esta contenido en la faja alrededor de f (y que el supremo de |g(x) − f(x)| sea menor que r). Note que no es suficiente que el gráfico de g esté en la faja alrededor de f, por ejemplo si f : [0, 1 ] R es la función nula ( f ≡ 0) y g : [a, b ] R es la func funció ión n g(x) = rx si 0 ≤ x < 1 y g(1) = 0, el gráfico de g está conten contenido ido en una faja alrede alrededor dor de f de amplit amplitud ud 2r, pero g − f = / B (f; r). supx∈[a,b] |g(x) − f(x)| = r y por tanto g ∈
→
→
Ejemplo Ejemplo 13. Si M1 , . . . , Mn son espacios métricos, el producto cartesiano M = M 1 × · · · × Mn es un espacio métrico definiendo la métrica por d (x, y) = max ´ 1≤i≤n d(xi , yi ). Con esta métrica las bolas como en R2 (ver ejemplo 11) resultan ser productos cartesianos de bolas en los factores Mi :
B(a : r ) = B (a1 ; r) × · · · × B(an ; r), B[a; r ] = B [a1 ; r ] × · · · × B[an ; r ],
donde a = (a1 , . . . , an ).
M , Definición 15 (punto aislado) . Sea M un espacio métrico. Un punto a punto a ∈ M, se dice que es un punto aislado de M cuando él, como conjunto unitario, es M ; es decir, cuando existe un r > 0 tal que B una bola abierta en M; que B (a; r) = { a}.
Decir que un punto a ∈ M no es aislado, significa afirmar que para todo r > 0 existe un punto x ∈ M (distinto de a) a distancia menor que r de a ó 0 < d(x, a) < r.
2.2. 2.2. BOLA BOLAS S Y ESFERAS ESFERAS
Ejempl Ejemplo o 14. Sea
Z
27
= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } el conjunto de los números
enteros con la métrica inducida por la métrica usual en R. Todo punto en Z es aislado ya que para r = 1, si x está en B(n; 1), entonces n − 1 < x < n + 1 por tanto, x = n . Con la misma métrica inducida por la métrica usual en R, consideremos el conjunto P = { 0, 1, 3, . . . , 1/n,... }. En este conjunto, el 0 no es aislado en P. En efecto, para cualquier r > 0 existe un número natural n tal que nr > 1 (propiedad arquimediana lema 1.21). Entonces 0 < 1 /n < r, en consecuencia, 1/n pertenece a la bola B(0; r) y es diferente de su centro. Sin embargo, cualquier otro punto en P es aislado; en efecto, para un punto 1 /n de P el punto más cercano en este conjunto es 1 /(n + 1) con distancia 1 /n(n + 1) y si se toma r tal que 0 < r < 1 /n(n + 1), la bola abierta B(1/n; r) contiene un sólo a 1/n. De hecho, en el conjunto P = {1, 1/2, . . . , 1/n,... }, todo punto es aislado. Ejemplo Ejemplo 15. En un espacio vectorial normado no trivial, ningún punto es aislado. En efecto, dados a ∈ E y r > 0, la bola B(a; r) contiene vectores distintos de a. Tomemos un vector y = 0 y hacemos z = 2ry · y , que es un vector no nulo de norma r/2. Entonces, el vector x = a + z es tal que 0 < x − a < r, como se quería demostrar. Definición Definición 16 (espacio discreto) . Un espacio métrico M se llama discreto cuando todo punto de M de M es aislado. Un conjunto conjunto A de un espacio métrico se dice que es discreto si como subespacio es un espacio discreto.
Por ejemplo, un espacio con la métrica cero-uno es discreto. Así mismo, como se vio en el ejemplo 14, Z, y P = P \ { 0} son discretos. Proposición 2.2. Dados dos puntos a puntos a métrico M,, si r si r > 0 = b de un espacio métrico M y s > 0 son tales que r + s ≤ d(a, b), entonces las bolas B(a; r) y B(b; s) son disjuntas.
Figura 2.5: Propiedad de separación de puntos en un espacio métrico. Prueba: Si exis existe te algú algún n punto punto x en la intersección B(a; r) ∩ B (b; s), entonces, d(a, x) < r y d(x, b) < s por lo tanto,
d(a, b) ≤ d (a, x) + d(x, b) < r + s ≤ d (a, b)
lo cual es una contradicción.
28
CAPÍTULO CAPÍTULO 2. ESPACIOS ESPACIOS MÉTRICOS MÉTRICOS
Definición 17 (conjunto acotado) . Un conjunto A de un espacio métrico M se dice acotado si existe una constante K > 0 tal que para todo x, y ∈ A, se K . tiene que d que d (x, y) ≤ K. Definición 18 (diámetro). Si A Si A es es un conjunto acotado de un espacio métrico M se define el diámetro de A por:
diam(A) = sup {d(x, y) : x, y ∈ A } Si A Si A es un conjunto no acotado, se escribe diam(A) = para indicar que para todo K todo K > 0, existen elementos x elementos x K , yK e A tales que d que d (xK , yK ) > K.
∞
Ejemplo 16. Toda bola en un espacio métrico es un conjunto acotado y su
diámetro es menor o igual al doble de su radio (puede ser menor estricto). En efecto, para x, y elementos cualesquiera de B(a; r), se tiene que d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2 r. En Z con la métrica inducida por R, para cada a ∈ Z la bola B(a; 1) = { a} tiene diámetro 0. Ejemplo 17. Sin embargo, en un espacio vectorial normado no trivial, toda bola abierta de radio r tiene diámetro igual a 2 r. Ya hemos visto que el diámetro es menor o igual a 2r, veamos que si c es tal que 0 < c < 2 r, c no
es diámetro de la bola. Efectivamente, como se trata de un espacio vectorial normado, podemos considerar un vector no nulo y, con él construimos el vector x = t |yy| donde t es un número real tal que c < 2t < 2 r; x tiene norma t (que es menor que r), en consecuencia consecuencia,, los vectores a − x y a + x pertenecen a B(a; r) y la distancia entre ellos es: (a − x) − ( a + x) = 2 x = 2t > c. Luego, el diámetro de B (a; r) es mayor o igual a 2 r. De las dos desigualdades se tiene, que diam(B(a; r)) = 2 r. Ejemplo 18. Existen ejemplos de espacios métricos acotados. Bastaría con-
sidera siderarr en un espaci espacioo métric métricoo un subcon subconjun junto to acotad acotadoo y estudi estudiarl arloo como como espacio métrico con la métrica inducida. Ahora bien, un espacio vectorial normado no trivial nunca es acotado, en efecto, si V = 0 es un vector en un espacio vectorial normado E, para cualquier c > 0, el vector x = c |vv| tiene norma c y la distancia entre éste vector y 0 es v − 0 = v = c; luego, el conjunto de distancias entre elementos de E no está acotado superiormente.
Ejemplo Ejemplo 19. La unión de dos conjuntos acotados es acotada. Sean A, B subconjuntos acotados de un espacio métrico M, si alguno fuese vacío el resultado sería directo. Así, fijamos a ∈ A y b ∈ B ; para un par de elementos x, y de la unión A ∪ B tenemos tres posibilidades: (1) x ∈ A, y ∈ B , (2) x, y ∈ A y (3) x, y ∈ B . En el primer caso tenemos:
d(x, y) ≤ d (x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ diam(A) + d(a, b) + diam(B)
2.3. DISTANC DISTANCIA IA DE UN PUNTO A UN CONJUNTO CONJUNTO
29
en el segundo y tercer caso d(x, y) ≤ diam(A) + d (a, b) + diam(B). Luego, diam(A) + d(a, b) + diam(B) es una cota superior del conjunto de distancias entre elementos de A ∪ B. M definida en un Definición Definición 19 (función acotada) acotada). Una función f : X conjunto X conjunto X y a valores en un espacio métrico M métrico M,, se dice que es acotada si su rango o imagen f imagen f (X) es un conjunto acotado en M en M..
→
1 Ejemplo 20. La función f : R R, definida por f(x) = 1+x2 es acotada ya que su rango es el intervalo ( 0, 1 ]. Mientras que g : R R dada por g (x) = x 2 , no es acotada ya que su rango es g(R) = [0, + ).
→
∞
→
Ejemplo Ejemplo 21. Veamos ahora un contexto más general del ejemplo 6. Sea X un conjunto arbitrario y M un espacio métrico. Denotemos por B (X; M) el conjunto de las funciones acotadas f : X M. Para dos funciones f, g pertenecientes a B (X; M), el conjunto de distancias d(f(x), g(x)) cuando x recorre todo X, es un conjunto acotado de M, ya que, tanto el rango de f como el de g son conjuntos acotados y en consecuencia, es acotado el conjunto f(X) ∪ g(X) ⊆ M . De esta forma es válido definir la distancia entre las funciones f, g : X M
→
→
por: d(f, g) = sup d(f(x), g(x)). x∈X
ésta métrica en
B (X; M) se
le llama métrica del supremo ó métrica de la
convergencia uniforme
En el caso particular en que el espacio de llegada es además un espacio vectorial normado E , es posible definir la suma y la multiplicación por escalar de funciones acotadas que son operaciones cerradas; se verifica en esta situación que B (X; E) es un espacio vectorial normado, la métrica del supremo proviene de la norma del supremo: f = supx∈X |f(x)|.
2.3. 2.3. Dist Distan anci cia a de un punto punto a un conju conjunt nto o Generalizando lo que significa en el plano R2 la distancia de un punto a a una recta, definida como la distancia de a a x0 el pié de la perpendicular a a la recta, que a su vez es el punto de la recta mas cercano a a. Entonces, se puede escribir d(a, x0 ) = ´ ınf {d(a, x) : x está en la recta }. Definición Definición 20 (distancia de un punto a un conjunto) . Sea M un espacio métrico, X un subconjunto de M y a un punto cualquiera de M. Se define la distancia del punto a punto a al conjunto X conjunto X como el número real:
d(a, X) := ınf ´ d(a, x) x∈X
CAPÍTULO CAPÍTULO 2. ESPACIOS ESPACIOS MÉTRICOS MÉTRICOS
30
El conjunto de distancias de arriba está acotado inferiormente por 0, por lo tanto, existe el ínfimo. Por una caracterización de ínfimo para probar que un número real d es la distancia de a a X, se deben verificar dos cosas: primero, que d es cota inferior de ese conjunto, es decir, d ≤ d(a, x) para todo x ∈ X ; segundo: que si d < c, entonces existe un elemento x c ∈ X tal que d ≤ d (a, xc ) < c. Ejemplo 22. Si X = { = { x1 , x2 , . . . , xn } es un conjunto finito, entonces la distancia d(a, X) es el menor de los números: d(a, x1 ), . . . , d(a, xn ). Ejemplo 23. Si un punto p pertenece al conjunto X, entonces d( p, X) = 0;
pero pueden existir puntos del espacio métrico, cuya distancia a un conjunto es cero sin que pertenezca al conjunto. Por ejemplo, para el intervalo abierto X = (a, b) se tiene que d(a, X) = d (b, X) = 0. En un espacio vectorial normado E, sea B = B(a; r) la bola de centro a y radio r > 0. para un elemento v ∈ E, se verifica que d( v, B) = 0 si, y sólo si, v pertenece a la bola cerrada B[a; r ]. En efecto, primero probemos el contrarecíproco del sentido directo. Sea z un vector no perteneciente a la bola cerrada cerrada B[a; r ], entonces, d(z, B) > r, en particular, z − a > r. Para un elemento arbitrario x de B, tenemos que x − a < r, por lo tanto, 0 < z − a − r < z − a − x − a < (z − a) − ( x − a) = z − x luego, z − a − r es cota inferior de las distancias de z a a elementos de B, es decir, d(z, B) > 0. Recíprocamente, si v ∈ B[a; r ], entonces v − a ≤ r. Hay dos posibilidades: primero que v − a < r en cuyo caso v ∈ B y d( v, B) = 0; segundo que a v − a = r . En esta caso consideramos el vector unitario u = = vv− = v−r a . −a Dado ε > 0, tomamos el escalar λ > 0 (real) tal que r − ε < λ < r que equivale a 0 < r − λ < ε. En este orden de ideas, construimos el vector y = a + λ · u y y obtenemos que d( y, a) = y − a = λ < r, es decir y ∈ B ; por otra parte, d( y, v) = v − y = v − a − λ · u = r · u − λ · u = r − λ < ε
En conclusión, dado ε > 0, existe y en B a distancia menor que ε de v; lo que implica que d( v, B) = 0. Proposición 2.3. Sea M un espacio métrico. Dados a, b ∈ M y M y un subconjunto M , X ⊆ M, M , se verifica: no vacío X vacío X de M,
d(a, X) − d(b, X) ≤ d (a, b).
Prueba: Por las propiedades conocidas del del valor absoluto, es suficiente mostrar que − d(a, b) ≤ d (a, X)− d(b, X) ≤ d (a, b). Ahora, por la definición 20 y la desigualdad triangular, para todo x ∈ X, d(a, X) ≤ d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x),de donde
d(a, X) − d(a, b) ≤ d (b, x)
para todo x ∈ X.
2.4. ISOMETRÍ ISOMETRÍAS AS
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Luego, d(a, X) − d(a, b) ≤ d (b, X), equivalentemente, d(a, X) − d(b, X) ≤ d (a, b).
La otra desigualdad se obtiene en forma similar. Ejercicio.
Corolario 2.4. Sean a Sean a,, b, x untos en M en M se tiene que
d(a, x) − d(b, x) ≤ d (a, b).
Es posible definir la distancia entre dos conjuntos no vacíos. Definición 21 (distancia entre conjuntos) . Sea M Sea M un espacio métrico y ⊆ M subconjunto X, Y ⊆ subconjuntoss no vacíos. La distancia distancia entre X entre X y Y y Y se se define por
d(X, Y ) = ´ ınf {d(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.
Nótese que si X ∩ Y = ∅, entonces d(X, Y ) = 0, pero el recíproco es falso: si X = (− , 0) y Y = = (0, + ) se tiene que X ∩ Y = = ∅ pero d(X, Y ) = 0.
∞
2.4. 2.4.
∞
Isom Isomet etrí rías as
En esta sección se estudiarán algunos aspectos relacionados con funciones que preservan distancias definidas entre dos espacios métricos. Definición Definición 22 (inmersión isométrica) espacios métricos. métricos. Una isométrica). Sean M, N espacios N se llama inmersión isométrica si para todo x, y ∈ M, M , se función f : M verifica d(f(x), f( y)) = d (x, y).
→
Otra forma de referirse a estas funciones es llamarlas embebimiento isométrico, también se dice que son funciones que preservan distancias. En el caso de transformaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo, se les llama movimientos rígidos. Una inmersión isométrica f : M N siempre es inyectiva, pues si f(x) = f( y), entonces d(x, y) = d (f(x), f( y)) = 0 lo que implica que x = y .
→
Definición Definición 23 (isometría). Una isometría es una inmersión isométrica sobreyectiva.
La compuesta de dos isomerías y la inversa de una isomería son también isometrías. Consideremos una función inyectiva f : X M, donde X es un conjunto y M un espacio métrico. Haciendo d ′ (x, y) = d (f(x), f( y)) se define una métrica en X que es llamada métrica inducida por f. Ésta es la única métrica en X que convierte a f en una inmersión isométrica.
→
CAPÍTULO CAPÍTULO 2. ESPACIOS ESPACIOS MÉTRICOS MÉTRICOS
32
Ejemplo 24. Sea Rn con la métrica inducida por alguna norma cualquiera. Tomando a, u ∈ un vector unitario ( u = 1). La función f : R ∈ Rn siendo u un n R definida por f(t) = a + t · u es es una inmersión isométrica entre R y Rn . En efecto, para s, t ∈ R, se tiene d(f(s), f(t)) = f(s) − f(t) = (s − t) · u = |s − t| = d (s, t). Fijando a ∈ Rn , la aplicación g : Rn Rn definida por g(x) = x + a es una isometría. También h : Rn Rn definida por h (x) = −x es una
→
→
→
isometría.
Nos referiremos al siguiente ejemplo cuando estudiemos el tema de la completitud de un espacio métrico. Ejemplo Ejemplo 25. Mostraremos que un espacio métrico M = (M, d) puede ser inmerso isométricamente en el espacio vectorial normado E = B (M; R). En una primera instancia supondremos que M sea acotado. Entonces definimos una función ϕ : M B (M; R) asignando, a cada x ∈ M , ϕ(x) = d x donde dx : M R es la función “distancia al punto x”, es decir, dx ( y) = d(x, y) para todo y ∈ M . Siendo M un espacio acotado, dx es una función acotada, de modo que ϕ toma valores en B (M; R). La función ϕ preserva distancias ya que, por el corolario 2.4, para x, x ′ en M arbitrarios tenemos |dx ( y) − dx ( y)| ≤ d (x, x ′ ). Luego,
→
→
′
dx − dx = sup |dx ( y) − dx ( y)| ≤ d (x, x ′ ). ′
′
y∈M
En particular, para y = x ′ , se obtiene que |dx ( y) − dx ( y)| = d (x, x ′ ) (es cota superior y elemento del conjunto), por tanto, ′
d(ϕ(x), ϕ(x ′ )) = dx − dx = d (x, x ′ ) ′
lo que muestra que ϕ es una inmersión isométrica de M en B (M; R). En el caso en que M no sea acotado, fijamos un punto a ∈ M y definimos la aplicación ψ : M B (M; R) por ψ(x) = d x − da . Por el mismo argumento de arriba, se tiene que ψ(x) = dx − dx ≤ d (a, x), lo que afirma que ψ (x) es una función acotada (la imagen de ψ pertenece a B (M; R)). Además,
→
′
d( ψ(x), ψ(x ′ )) = ψ(x) − ψ(x ′ ) = (dx − da ) − ( dx − da ) ′
= dx − dx = d (x.x ′ ) ′
como se probó arriba. Luego, ψ es una inmersión isométrica de M en el espacio vectorial normado B (M; R).
