OBJETIVO Resolver Resolver problemas problemas relacionados relacionados con los espacios espacios euclídeos euclídeos y hermíticos, hermíticos, utilizando utilizando matrices, matrices, determinantes determinantes,, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería.
CONTENIDO: 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
ESPACIOS EUCLIDEOS ESPACIOS HERMITICOS NORMA, DISTANCIA Y ANGULO ENTRE VECTORES BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES SUBESPACIO COMPLEMENTO ORTOGONAL, PROYECCIONES ORTOGONALES Y DISTANCIA A UN SUBESPACIO CUESTIONARIO
6.1 ESPACIOS EUCLIDEOS En esta sección se usarán como axiomas las propiedades más importantes importantes del producto interior interior euclidiano euclidiano para definir el concepto general de producto interior; luego se demostrará cómo los productos interiores se pueden utilizar para definir la desigualdad de Cauchy – Schwartz, la ortogonalidad, paralelismo y proyecciones entre vectores. Los espacios vectoriales que se estudiaron en el capítulo anterior resultan ser, en determinado sentido, más pobres en conceptos y propiedades que nuestro espacio corriente. En la teoría general de los espacios vectoriales no han quedado reflejados conceptos como la longitud de un segmento, la magnitud del ángulo y el producto interior que desempeñan un papel muy importante en la geometría. Por esto, si queremos que la teoría general abarque todas las propiedades más esenciales del espacio corriente, debemos introducir, además de las operaciones de adición de vectores y de multiplicación de los mismos por escalares, la operación producto interior. En este capítulo se estudiarán precisamente las propiedades de los vectores perteneciente pertenecientess a espacios espacios vectoriales vectoriales provistos provistos del producto producto interior. interior. El cuerpo cuerpo principal principal es de carácter carácter muy especial: es el cuerpo de los números reales en el caso de espacios euclídeos y es el cuerpo de los números complejos en el caso de espacios hermíticos. Tomemos en el espacio vectorial V un sistema de coordenadas formado por k cualesquiera vectores {e {e1, e2, ..., ek }, perpendiculares dos a dos, de longitud 1. Entonces todo vector u admite una representación única de la forma u = a1e1 + a2e2 + ... + ak ek donde a1, a2, ..., ak son las longitudes de las proyecciones del vector u sobre
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los ejes coordenados, tomados con signo adecuado. Si v = b1e1 + b2e2 + ... + bk ek es otro vector cualquiera, resulta entonces que el producto interior es v = a1b1 + a2b2 + ... + ak bk . u v El espacio vectorial V es real. Esto se expresa en que las proyecciones, las longitudes y los productos interiores de los vectores son números reales. DEFINICION 6.1.1 Si dos vectores u y v están dados mediante sus coordenadas rectangulares cartesianas, entonces el producto interior canónico de estos vectores es igual a la suma de los productos, realizados dos a dos, de las coordenadas correspondientes.
Nótese que el producto producto interior interior no define la multiplicación multiplicación de vectores vectores en el sentido sentido ordinario, es decir, el producto interior de dos vectores no es un vector sino un número real. EJEMPLO 6.1.1 Formando el producto interior de los vectores (Cos (Cos, Sen) y (Cos ( Cos, Sen), deducir la identidad trigonométrica Cos( Cos( - ) = CosCos + SenSen. SOLUCION Dado que u = (Cos, Sen) y v = (Cos, Sen), entonces realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: v = (Cos, Sen) (Cos (Cos, Sen) u v = CosCos + SenSen = Cos( Cos( - ). De esta manera hemos demostrado que Cos( Cos( - ) = CosCos + SenSen. EJEMPLO 6.1.2
Calcular u v v, siendo u = 2i 2i – 4 4 j + k y y v
1 0
(te2t i tC t Cosh2tj 2te
2t
k ) dt .
SOLUCION Integrando v, obtenemos: 1
(te i te
v
2t
0
1
0
2t
i tC t Cosh2tj 2te 2t k ) dt
dt j
1
1 0
tCosh2t dt dt k
1
1 0
2te 2t dt 1
(e2 1)i (e2 3e2 2) j (1 3e2 ) k .
4 8 2 Realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: 1 1 1 f g 2i 4 j k (e2 1)i (e2 3e2 2) j (1 3e2 )k 4 8 2
1
1
1
2
2
2
(e2 1) (e2 3e2 2) (1 3e2 ) 0 . EJEMPLO 6.1.3 En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a n, definimos el producto interior como n k k f g f g . k 0 n n
Calcular f f g g cuando f cuando f (t ) = t y g y g (t ) = at + b. b. SOLUCION k Haciendo que t , entonces: n JOE GARCIA ARCOS
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
los ejes coordenados, tomados con signo adecuado. Si v = b1e1 + b2e2 + ... + bk ek es otro vector cualquiera, resulta entonces que el producto interior es v = a1b1 + a2b2 + ... + ak bk . u v El espacio vectorial V es real. Esto se expresa en que las proyecciones, las longitudes y los productos interiores de los vectores son números reales. DEFINICION 6.1.1 Si dos vectores u y v están dados mediante sus coordenadas rectangulares cartesianas, entonces el producto interior canónico de estos vectores es igual a la suma de los productos, realizados dos a dos, de las coordenadas correspondientes.
Nótese que el producto producto interior interior no define la multiplicación multiplicación de vectores vectores en el sentido sentido ordinario, es decir, el producto interior de dos vectores no es un vector sino un número real. EJEMPLO 6.1.1 Formando el producto interior de los vectores (Cos (Cos, Sen) y (Cos ( Cos, Sen), deducir la identidad trigonométrica Cos( Cos( - ) = CosCos + SenSen. SOLUCION Dado que u = (Cos, Sen) y v = (Cos, Sen), entonces realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: v = (Cos, Sen) (Cos (Cos, Sen) u v = CosCos + SenSen = Cos( Cos( - ). De esta manera hemos demostrado que Cos( Cos( - ) = CosCos + SenSen. EJEMPLO 6.1.2
Calcular u v v, siendo u = 2i 2i – 4 4 j + k y y v
1 0
(te2t i tC t Cosh2tj 2te
2t
k ) dt .
SOLUCION Integrando v, obtenemos: 1
(te i te
v
2t
0
1
0
2t
i tC t Cosh2tj 2te 2t k ) dt
dt j
1
1 0
tCosh2t dt dt k
1
1 0
2te 2t dt 1
(e2 1)i (e2 3e2 2) j (1 3e2 ) k .
4 8 2 Realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: 1 1 1 f g 2i 4 j k (e2 1)i (e2 3e2 2) j (1 3e2 )k 4 8 2
1
1
1
2
2
2
(e2 1) (e2 3e2 2) (1 3e2 ) 0 . EJEMPLO 6.1.3 En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a n, definimos el producto interior como n k k f g f g . k 0 n n
Calcular f f g g cuando f cuando f (t ) = t y g y g (t ) = at + b. b. SOLUCION k Haciendo que t , entonces: n JOE GARCIA ARCOS
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1
1
t 0
t 0
f g f (t ) g (t) t( at b) a b . EJEMPLO 6.1.4 Encuentre la función producto interior f f g g en el espacio V, del conjunto de todas C las funciones de valor real continuas en ([-, ]), en donde
f g f ( x) g( x) dx : x
a.- f ( x) x) = Cosx, Cosx, g ( x) x) = x = x;; b.- f ( x) x) = e , g ( x) x) = Senx + Cosx; Cosx; c.- f ( x) x) = Cos4 Cos4 x, x, g ( x) x) = Senx; Senx; d.- f ( x) x) = e x, g ( x) x) = 1 – e x. SOLUCION
a.-
f g xCosxdx xCosxdx Cosx xSenx xSenx
b.-
f g e x ( Senx Senx Cosx)dx ex Senx Senx
c.-
d.-
0;
f g Cos4 xSenx xSenx dx
Cos3 x
f g (1 e )e dx e x
x
6
x
10
2
0 ;
Cos5 x
e2 x
0;
1 2e
2e3 e4 2e2
.
EJEMPLO 6.1.5 Encuentre la función producto interior f f g g en el espacio V, del conjunto de todas las funciones de valor real, definidas en C([0, 1]), en donde 1
f g f ( x) g( x) dx : 0
x
a.- f ( x) Sen
2
, g ( x ) Cos
x 2
1
b.- f ( x) x -
;
2
, g ( x)
1 2
- x -
1 2
.
SOLUCION a.-
b.-
1
f g Sen 0 f g
1
0
x 2
Cos
x 2
dx
Cosx 2
1
0
1
; 1
(2 x 1) 2 x 1 (2 x 1)3 1 1 x x dx 2 2 2 16 24 1
0
1 24
.
EJEMPLO 6.1.6 Encontrar f f g para cada uno de los siguientes pares de funciones en C([0, 1]) cuando la función producto interior está definida con respecto a la función peso h( x) x) = e x; por 1
f g f ( x) g( x) h( x) dx : 0
a.- f ( x) 1 2 x , g ( x) e x ; c.- f ( x ) Cos
x 2
b.- f ( x) e
2 Sen
x 2
, g ( x) e
2 Sen
3 x 2
;
, g ( x) 1 .
SOLUCION 1
1
a.-
f g 0 (1 2 x)e x ex dx 0 (1 2 x) dx x x2
b.-
f g 0 e 2 Sen
1
x 2
e
2 Sen
3x 2
e x dx
1 0
Sen
x 2
1 0
0 ;
Sen
3x 2
dx
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
Senx 2
Sen2x 4
1
0; 0
x x 2 2Cos Sen e x 1 x 2 2 c.- f g e x Cos dx 2 0 2 4
1
2e 4
2 4
.
0
EJEMPLO 6.1.7 Encuentre la función producto interior f f g g en el espacio V, del conjunto de todas las funciones de valor real continuas en C([-, ]), en donde
f g f ( x) g( x) dx : a.- f ( x) x) = Senmx, Senmx, g ( x) x) = Sennx, Sennx, m, n Z ; b.- f ( x) x) = Senmx, Senmx, g ( x) x) = Cosnx, Cosnx, m, n Z+; + c.- f ( x) x) = Cosmx, Cosmx, g ( x) x) = Cosnx, Cosnx, m, n Z . SOLUCION +
a.- f g
b.-
c.-
SenmxSenn ennx x dx SenmxS Sen(m n) mn
m n
f g SenmxC SenmxCosnxdx osnxdx f g CosmxCo CosmxCosnx snxdx dx
Sen(m n) mn
2(m n)
Sen( m n)
Sen(m n) x
2(n m) Sen(m n) x 2(m n)
m n
2( m n)
;
Cos(m n) x
Sen( m n)
Sen( m n) x
.
Cos( m n) x 2( m n) Sen( m n) x 2( m n)
0;
% CALCULO DEL PRODUCTO INTERIOR clc;clear; fprintf('\n PRODUCTO INTERIOR \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores : '); fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v end fprintf('EL PRODUCTO INTERIOR ES:\n') u*v'
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261
DEFINICION 6.1.2 Dado (V, , +, ) un espacio vectorial definido sobre los reales. Un producto interior en V es una función : V x V , que a cada par de vectores u, v en V le asocia un número real de forma tal que satisface los siguientes axiomas: 1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad: u > 0 cuando u y = 0. u u 2.- Para todo par de vectores vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad: v = v u u. u v 3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k , se cumple la homogeneidad: v = k u v v. ku v 4.- Para toda toda terna terna de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad: (v + w) = u v + u w w. u (v TEOREMA 6.1.1 Para todo trío de vectores u, v, w de n se cumple v) w = u w w + v w w. (u + v) DEMOSTRACION (u + v) v) w = w (u (u + v) v) axioma 2 = w u u + w v v axioma 4 = u w w + v w w axioma 2 TEOREMA 6.1.2 n Para todo par de vectores u, v de v de y para todo escalar real k se cumple kv = k u v v. u kv DEMOSTRACION kv = kv u u axioma 2 u kv = k v u u axioma 3 = k u v v axioma 2 TEOREMA 6.1.3 n Para todo u, de , entonces u = 0. DEMOSTRACION u - u u = u u = u u u - u u u = 0.
axioma 4
EJEMPLO 6.1.8 2 2 son funciones Determine cuáles de las siguientes funciones : x 2 producto producto interior interior en el espacio espacio vectorial vectorial : a.- u v v = a1b1 – a2b1 – a1b2 + 2a 2a2b2; b.- u v v = a1b1 – a2b1 + a1b2 - a2b2; v = 2a 2a1b1 + 2a 2a2b2; v = a1b1 – a2b1 + a1b2 + 2a 2a2b2. c.- u v d.- u v SOLUCION a.- Sean u = (a (a1, a2), v = (b (b1, b2), w = (c (c1, c2), entonces:
u u a1a1 a2a1 a1a 2 2a 2a 2 a12 2a 1a 2 2a 22 (a 1 a 2 ) 2 a 2 0 ; 2.- ku v ka1b1 ka2b1 ka1b2 2ka 2b2 k (a1b1 a 2b1 a 1b 2 2a 2b 2 ) k u v ; 3.- u v a1b1 a2b1 a1b2 2a 2b 2 b1a 1 b 2a 1 b 1a 2 2b 2a 2 v u ; 4.- u v w (a1 b1 )c1 (a2 b2 )c1 (a1 b1)c 2 2(a 2 b 2 )c 2 a1c1 b1c1 a2c1 b2c1 a1c 2 b1c 2 2a 2c 2 2b 2c 2 (a1c1 a2c1 a1c2 2a2c 2 ) (b1c1 b2c1 b1c 2 2b 2c 2 ) u w v w . 1.-
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b.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces:
1.-
u u a1a1 a2a1 a1a 2 a 2a 2 a12 a 22 .
a22 no necesariamente es mayor que cero. 2.- ku v ka1b1 ka2b1 ka1b2 ka 2b2 k (a1b1 a 2b1 a 1b 2 a 2b 2 ) k u v ; 3.- u v a1b1 a2b1 a1b2 a 2b 2 b1a 1 b 2a 1 b1a 2 b 2a 2 v u ; 4.- u v w (a1 b1 )c1 (a2 b2 )c1 (a1 b1 )c 2 (a 2 b 2 )c 2 a1c1 b1c1 a2c1 b2c1 a1c 2 b1c 2 a 2c 2 b 2c 2 (a1c1 a2c1 a1c2 a2c 2 ) (b1c1 b2c1 b1c 2 b 2c 2 ) u w v w . De esto se concluye que a12
Como no se cumple la primera y tercera propiedad, entonces no es producto interior. c.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces:
u u 2a1a1 2a2a 2 2a12 2a 22 0 ; 2.- ku v 2ka1b1 2ka2b2 k (2a1b1 2a 2b2 ) k u v ; 3.- u v 2a1b1 2a2b2 2b1a1 2b 2a 2 v u ; 4.- u v w 2(a1 b1 )c1 2(a2 b2 )c 2 2a1c1 2b1c1 2a 2c 2 2b 2c 2 (2a1c1 2a2c2 ) (2b1c1 2b2c 2 ) u w v w . 1.-
d.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces: 1.- u u = (a1, a2) (a1, a2) = a1a1 – a2a1 + a1a2 + 2a2a2 = a1a1 + 2a2a2 0 3.- u v = (a1, a2) (b1, b2) = a1b1 – a2b1 + a1b2 + 2a2b2 v u = (b1, b2) (a1, a2) = b1a1 – b2a1 + b1a2 + 2b2a2 Por lo tanto u v v u. Como la tercera propiedad no se cumple, entonces u v no es un producto interior. EJEMPLO 6.1.9 Determine cuáles de las siguientes funciones : C[-1,1] x C[-1,1] productos interiores en el espacio vectorial C([-1,1]): 1
a.-
f g f ( x )g( x) dx ;
c.-
f g (1 x2 ) f ( x) g( x) dx ; 1
1
1
son
1
b.-
f g 1 x2 f ( x) g( x) dx ;
d.-
f g xf ( x) g( x) dx . 1
1
SOLUCION a.- Para verificar si f g define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 2 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que f ( x) 0 para toda x, se tiene 1
f f f 2 (x) dx 0 1
con 1
f f f 2 (x) dx 0 1
sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1]. 2.- f g
1
3.- f g
f ( x) g ( x) dx
1 1
1
g( x) f ( x) dx g f . 1
1
f (x) g( x) dx 1
4.- f g h
1
1
1
f ( x) g( x) dx f g .
f ( x)[ g h]( x) dx
1
1
1
1
1
[ f ( x) g( x) f ( x) h( x)] dx 1
f ( x) g ( x) dx f ( x) h( x) dx f g f h . Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que f g es un JOE GARCIA ARCOS
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producto interior. b.- Para verificar si f g define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 2 2 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que x f ( x) 0 para toda x, se tiene 1
f f ( xf ( x)) 2 dx 0 1
con 1
f f ( xf ( x)) 2 dx 0 1
sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1]. 2.- f g
1
x
f ( x) g ( x) dx
2
1
3.- f g
1
x
2
1
1
x
4.- f g h
1
x g( x) f ( x) dx g f . 2
1
f ( x) g ( x) dx 2
1
1
x
2
1
f ( x)[ g h]( x) dx
1
1
1
1
f ( x) g( x) dx f g . 1
x [ f ( x) g( x) f ( x) h( x)] dx 2
1
x2 f ( x) g ( x) dx x2 f ( x) h( x) dx f g f h . Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que f g es un producto interior. c.- Para verificar si f g define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que (1 – x2) f 2( x) 0 para toda x, se tiene 1
f f (1 x 2 ) f 2 (x) dx 0 1
con 1
f f (1 x 2 ) f 2 (x) dx 0 1
sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1]. 2.- f g
1
1
(1 x ) f ( x) g( x) dx (1 x ) g( x) f ( x) dx g f .
3.- f g
2
1
2
1
1
1
(1 x ) f ( x) g( x) dx (1 x ) f ( x) g( x) dx f g . 2
1
4.- f g h
2
1
1
1
(1 x ) f ( x)[ g h]( x) dx (1 x )[ f ( x) g( x) f ( x) h( x)] dx 2
1
2
1
1
1
1
1
(1 x2 ) f ( x) g( x) dx (1 x2 ) f ( x) h( x) dx f g f h . Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que f g es un producto interior. d.- Para verificar si f g define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 2 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que xf ( x) 0 para toda x, se tiene 1
f f x f 2 ( x) dx 0 1
con lo que no se cumple esta propiedad. Por lo tanto podemos decir que f g no es un producto interior. EJEMPLO 6.1.10 Determine cuáles de las siguientes funciones productos internos en el espacio vectorial :
:
(n, n) x
(n, n)
son
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
a.- AB = Det(AB); b.- AB = Tr(AB); c.- AB = Tr(ATB); d.- AB = Tr(ABT). SOLUCION a.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- A A = Det(AA) = Det(A)Det(A) 0; n 2.- k A B = Det(k AB) = k Det(AB) k Det(AB); 3.- A B = Det(AB) = Det(BA) = B A; 4.- A + B C = Det((A + B)C) = Det(AC + BC) Det(AC) + Det(BC). Por tanto, se puede concluir que A B no es un producto interior. b.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- A A = Tr(AA) = Tr(A2) 0; 2.- k A B = Tr(k AB) = k Tr(AB) = k A B; 3.- A B = Tr(AB) = Tr(BA) = B A; 4.- A + B C = Tr((A + B)C) = Tr(AC + BC) = Tr(AC) + Tr(BC) = A C + B C. Por tanto, se puede concluir que A B es un producto interior. c.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: T 1.- A A = Tr(A A) 0; 2.- k A B = Tr((k A)TB) = Tr(k ATB) = k Tr(ATB) = k A B; T T T T 3.- A B = Tr(A B) = Tr(A B) = Tr(B A) = B A; 4.- A + B C = Tr((A + B)TC) = Tr(ATC + BTC) = Tr(ATC) + Tr(BTC) = A C + B C. Por tanto, se puede concluir que A B es un producto interior. d.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- A A = Tr(AAT) 0; T T 2.- k A B = Tr(k AB ) = k Tr(AB ) = k A B; 3.- A B = Tr(ABT) = Tr(ABT)T = Tr(BAT) = Tr(ATB) = B A; T T T T T 4.- A (B + C) = Tr(A(B + C) ) = Tr(AB + AC ) = Tr(AB ) + Tr(AC ) = A B + A C. Por tanto, se puede concluir que A B es un producto interior. DEFINICION 6.1.3 Un espacio vectorial real (V, R , +, ) se denomina espacio vectorial euclídeo, si a todo par de vectores, u, v de V se le ha puesto en correspondencia un número real , llamado producto interior, considerándose cumplidos los siguientes axiomas: 1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad: u u > 0 cuando u y = 0. 2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad: u v = v u. 3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k , se cumple la homogeneidad: ku v = k u v. 4.- Para toda terna de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad: u (v + w) = u v + u w. EJEMPLO 6.1.11 Se da un espacio vectorial cuyos vectores son todos los sistemas posibles compuestos por 3 números positivos: u = (a1, a2, a3), v = (b1, b2, b3), w = (c1, c2, c3), .... La adición de los vectores y la multiplicación de un vector por un número están definidas por las igualdades
u + v = (a1b1, a2b2, a3b3), ku a1k , a2k , a3k . JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
265
¿Se puede hacer euclídeo este espacio al definir la función producto interno por la igualdad u v = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3? SOLUCION Vamos a comprobar el cumplimiento de los axiomas de los espacios euclídeos: 2 2 2 1.- u u = ln a1 + ln a2 + ln a3 0. 2.- u v = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3 u v = lnb1lna1 + lnb2lna2 + lnb3lna3 Es decir, u v = v u. 3.- ku v = lnak 1lnb1 + lnak 2lnb2 + lnak 3lnb3 = k lna1lnb1 + k lna2lnb2 + k lna3lnb3 = k (lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3) = k u v. 4.- u (v + w) = lna1ln(b1c1) + lna2ln(b2c2) + lna3ln(b3c3) = lna1lnb1 + lna1lnc1 + lna2lnb2 + lna2lnc2 + lna3lnb3 + lna3lnc3 = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3 + lna1lnc1 + lna2lnc2 + lna3lnc3 = u v + u w. Por cumplirse todos los axiomas de la definición, el espacio que se considera es euclídeo. EJEMPLO 6.1.12 ¿Es el conjunto de todos los vectores geométricos un espacio euclídeo si el producto interior de dos vectores se define como el producto de sus longitudes? SOLUCION El producto interior tiene la forma siguiente: u v u v , siendo u, v, w tres
vectores geométricos. Por tanto debemos probar los siguientes axiomas:
u u u u u 2 ; 2.- ku v ku v k u v k u v ; 3.- u v u v v u v u ; 4.- u v w u v w ( u v ) w u w v w . 1.-
Como no se cumplen los axiomas segundo y cuarto, no es espacio euclídeo.
TEOREMA 6.1.4 Dado (V, ) un espacio vectorial euclídeo, entonces para cualesquiera par de vectores, de V es válida la desigualdad de Cauchy - Schwartz: u v2 u u v v. La desigualdad de Cauchy - Schwartz se convierte en una igualdad si, y sólo si, los vectores, son colineales. DEMOSTRACION El teorema tiene lugar, a ciencia cierta, si v = , por lo cual convengamos en considerar que v . Examinemos un vector u – av, donde a es un número real arbitrario. Tenemos u - av u - av 0 u u - au v - av u + a2v v 0 u u - 2au v + a2v v 0 En el primer miembro de la desigualdad figura un producto interior de vectores iguales. Por esta razón el trinomio de segundo grado es no negativo, cualquiera que uv sea a, en particular, para a . De este modo, vv u u
2
uv vv
uv
uv
2
vv
2
vv
0
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266
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
u u
u u
uv vv
2
uv
2
vv
2
vv
uv
2
vv
2
v v
0
2
0
u u v v
uv
2
0
uv
2
u u vv .
EJEMPLO 6.1.13 Verifique que la función : (n, n) x (n, n) definida por A B = Tr(ABT), en el espacio vectorial (n, n), cumple la desigualdad de Cauchy Schwartz. SOLUCION 2 Debemos comprobar que se cumpleA B A A B B. Es decir: Tr(ABT)2 Tr(AAT)Tr(BBT) 2
n n n n n n 2 2 2 2 a b ... a b a ... a b ... bni 1i 1i 1i ni ni ni 1i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2
n n n n n n 2 b ji . a ji b ji a2ji j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 Por lo tanto podemos observar que se cumple la desigualdad.
DEFINICION 6.1.4 En un espacio vectorial euclídeo V se dice que un vector u es ortogonal a otro vector v, representado por u v, si u v = 0, siendo u y v vectores no nulos. DEFINICION 6.1.5 Dos vectores u y v de un espacio euclídeo V distintos de cero son paralelos, y se nota u v, si uno es múltiplo escalar del otro. Si u = kv con k > 0, entonces u y v tienen la misma dirección; si k < 0, entonces u y v tienen dirección opuesta.
Por analogía con los segmentos dirigidos, llamemos colineales dos vectores u y v de cualquier espacio vectorial, si o bien u = av o bien v = bu para ciertos escalares a y b. En virtud de la igualdad = 0u concluimos que los vectores u y v son colineales, a ciencia cierta, si por lo menos uno de ellos es nulo. TEOREMA 6.1.5 2 La desigualdad |u v| u uv v se convierte en una igualdad si, y sólo si, los vectores u y v son colineales. DEMOSTRACION Supongamos que los vectores u y v son colineales, entonces u = av. Hallamos u v2 = av v2 = a2v v2 u uv v = av avv v = a2v v2 La comparación de estas igualdades muestra que la afirmación tiene lugar. Supongamos ahora que para los vectores u y v se verifica la igualdad u v2 = u uv v Si v = , los vectores son colineales. Sin embargo, si v , entonces, al tomar uv a = y teniendo presente la ecuación anterior, obtenemos u - av u - av = 0. vv
En vista del axioma 1 de la definición, esto significa que u – av = es decir, los vectores u y v son colineales.
, o bien u = av,
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
267
En muchas aplicaciones se desea descomponer un vector u en una adición de dos sumandos, uno paralelo a un vector específico diferente de cero v y el otro perpendicular a v. Si u y v se colocan de modo que sus puntos iniciales coincidan en un punto Q, entonces es posible descomponer el vector u como sigue: Trazar una perpendicular desde la punta de u hasta la recta que pasa por v, y obtener el vector w que va de Q al pie de esta perpendicular. Luego, forma la diferencia u – w Como se puede ver en la figura, el vector w es paralelo a v, el vector u – v es perpendicular a v, y w + (u – w) = u.
El vector w se denomina proyección ortogonal de u sobre v, o algunas veces se le conoce como, componente vectorial de u a lo largo de v. Se denotará por Pr oyvu . El vector u – w se denomina componente vectorial de u ortogonal a v. Como se tiene u – w, este vector se puede escribir como u w u Pr oyvu . Sean w Pr oyv u y u w u Pr oyvu . Como w es paralelo a v, debe ser un múltiplo escalar de v, de modo que se puede escribir en la forma w = v. Así u = w + (u – w) = v + u – w Tomando el producto interior en ambos miembros de esta ecuación con v, se obtiene
u v v u w v v
2
u w v
Pero u - w v = 0, ya que u – w es perpendicular a v; de modo que se produce u v
v
2
Como Pr oyv u w v , se obtiene Pr oyv u
u v v
2
v
u v v v v
DEFINICION 6.1.6 Sean u y v vectores de un espacio euclídeo V, de modo que v Entonces, la proyección perpendicular de u sobre v está definida por u v Pr oyv u v. v v
.
EJEMPLO 6.1.14 2 2 Determine la proyección ortogonal de f ( x) = 2 + 3 x sobre g ( x) = 1 + 3 x – x . SOLUCION 2 2 Si f ( x) = a0 + a1 x + a2 x y g ( x) = b0 + b1 x + b2 x , entonces el producto interior canónico se establece por f g = a0b0 + a1b1 + a2b2. Para determinar la proyección f g g , es decir: ortogonal de f ( x) sobre g ( x), debemos utilizar Pr oy g f g g Pr oy g f
2 3 x 2 1 3 x x2 1 3 x x
2
1 3 x x
2
(1 3 x x2 )
23 1 9 1
(1 3 x x2 )
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268
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
1 11
(1 3 x x2 )
1 11
3 11
x
1 11
x2 .
EJEMPLO 6.1.15 Para todo par de vectores u, v de un espacio vectorial euclídeo V, los vectores v y u – Proyvu son ortogonales. SOLUCION Usaremos las propiedades correspondientes al producto interno real: uv u v u v v u Pr oyv u v u v v v v u v v v u v v v v v v
v u u v 0 . % CALCULO DE LA PROYECCION DE VECTORES clc;clear; fprintf('\n PROYECCION DE VECTORES \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores: '); fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v end fprintf('EL PRODUCTO INTERIOR ES:\n') numerador=u*v' denominador=v*v' fprintf('LA PROYECCION DEL VECTOR u SOBRE v ES:\n') w=((u*v')/(v*v')*v)
PROBLEMAS En los siguientes problemas, determine en cada 6.1.1 caso, si u v es un producto interior en n, si u v está definido por la fórmula que se da. En caso contrario, decir cuáles son los axiomas que no se cumplen: a.-
b.-
n
n
n
i 1
i 1
i 1
u v (ui vi )2 ui2 vi2 ; u v
n
ui vi ;
c.-
i 1
d.-
u v
n
u v i 1
2 2 i i
e.-
n
n
i 1
j 1
u v ui v j ; u v ui
2
n n n a.- ui vi ui2 vi2 ; i 1 i 1 i 1 2
n
;
6.1.3 Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestre las siguientes desigualdades:
vi .
i 1
6.1.2 Encuentre 5u - 2v 2u + 3v, dado que u u = - 10, u v = - 8 y v v = - 3.
n n n 1 b.- ui vi i ui2 i 1 i 1 i 1 i
vi2 .
6.1.4 Describa los vectores u que son ortogonales al vector (-2, 5). Verifique que éstos son los puntos de una recta que pasa por el origen. 2
6.1.5 Demuestre que la igualdad en la desigualdad triangular se tiene si y sólo si uno de los vectores es un múltiplo no negativo del otro vector. JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
2
6.1.6 Demuestre que en un producto interior puede ser dado por la fórmula u v au1v1 bu1v2 bu 2v1 cu 2v 2 2
si, y solamente si, a > 0 y ac > b simultáneamente. 6.1.7 ¿Forma el conjunto de todos los vectores geométricos un espacio euclídeo si el producto interior de dos vectores arbitrarios u y v se define como el producto de la longitud del vector u y la producción triplicada del vector v por el sentido del vector u? 6.1.8 En el espacio vectorial de todos los polinomios reales, determinar si f g es o no un producto interior cuando se define f g con la fórmula que se da: a.-
f g
1
b.-
f g
1
c.d.-
0
0
f ( x) g( x) dx ; f ( x) dx
g( x) dx ; 1
269
6.1.10 ¿Qué es el producto interior de dos vectores en ? ¿Cómo se ve la desigualdad de Cauchy-Schwarz para vectores en ? ¿En qué casos se tiene la igualdad en esta desigualdad para vectores en ? 6.1.11 Encuentre 2u + v 3u – 2v, dado que u u = 14, u v = 15 y v v = 11. 6.1.12 Sean u, v dos vectores en n y – u, -v sus inversos aditivos. Demuestre que: a.- Proy-uv = Proyuv; b.- Proyu(-v) = -Proyuv. Verifique este resultado con los vectores u = (2, -3), v = ( 3, 1). 6.1.13 Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar que si x1, x2, ..., xn son números reales cualesquiera, entonces 1
0
n
1
f g 0 f ´(x )g´(x) dx ; f g lim
1
t
t t 0
n
x
i
i 1
n
x
2 i
i 1
y que la igualdad se da si y sólo si todos los xi son iguales.
f ( x) g( x) dx .
6.1.9 Sean v, u1, u2, ..., uk , k + 1 vectores en . Si u = u1 + u2 + ... + uk . Demuestre que Proyvu = Proyvu1 + Proyvu2 + ... + Proyvuk Verifique este resultado con los vectores u1 = (1, 1), u2 = (3, -2), v = (2, 3).
6.2 ESPACIOS VECTORIALES HERMITICOS En esta sección se definirán productos interiores sobre espa cios vectoriales complejos usando como axiomas las propiedades del producto interior euclidiano sobre Cn. En este momento surge la necesidad de considerar vectores de proyecciones complejas. A primera vista parece natural tomar de nuevo la expresión del producto interior de vectores con coordenadas reales para el producto interior de vectores con coordenadas complejas a1, a2, ..., ak y b1, b2, ..., bk . En algunos casos se procede precisamente de este modo. El espacio que así resulta se denomina espacio vectorial hermítico. Por desgracia, el producto interior pierde entonces muchas propiedades importantes. Para evitar este inconveniente, en lugar de la expresión u v = a1b1 + a2b2 + ... + ak bk se toma como definición del producto interior de vectores complejos la expresión u v
a1 b1 a2 b2 ... ak bk
donde la raya superior significa que ha de pasarse a los números complejos conjugados. En el caso en que los vectores u y v sean reales, tenemos bi
bi y la
expresión del producto interior de vectores complejos coincide con la expresión del producto interior de vectores reales. Por consiguiente, la nueva definición es una generalización de la anterior.
JOE GARCIA ARCOS
270
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
DEFINICION 6.2.1 Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio vectorial hermítico, si a todo par de vectores, u, v de V se le ha puesto en correspondencia un número complejo , llamado producto interior, considerándose cumplidos los siguientes axiomas: 1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad: u u > 0 cuando u . 2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad: uv
v u .
3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar complejo k , se cumple la homogeneidad: ku v = k u v. 4.- Para todo trío de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad: u v + w = u v + u w.
El axioma u v
v u muestra que las propiedades del espacio vectorial
hermítico difieren, en general, de las propiedades del espacio vectorial euclídeo. No obstante, estas diferencias son de poca importancia. En todo caso, el espacio hermítico se aproxima más por sus propiedades al espacio euclídeo. En el caso en que el espacio vectorial está definido en los reales, el espacio hermítico se denomina espacio euclídeo. En este caso la expresión v u coincide con la expresión u v y el axioma 2 adquiere una forma más sencilla: u v = v u. Nótese también que en la definición de los espacios hermíticos no se exige que el espacio sea de dimensión finita. Por esto cabe hablar también de espacios hermíticos de dimensión infinita. Aun cuando algunas propiedades de los espacios hermíticos no dependen de la dimensión de los mismos, nos limitaremos a considerar, mientras que no se diga lo contrario, solamente espacios vectoriales de dimensión finita. TEOREMA 6.2.1 Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar complejo k se cumple u kv
k u v .
DEMOSTRACION Para demostrar este teorema, utilizamos los axiomas 2 y 3 de la definición de espacio hermítico:
u kv =
kv u
axioma 2
= k vu
axioma 3
= k u v
axioma 2
TEOREMA 6.2.2 Dado (V, ) un espacio vectorial hermítico, entonces para cualesquiera par de vectores, de V es válida la desigualdad de Cauchy - Schwartz: u v2 u u v v.
La demostración es análoga a la del caso real. EJEMPLO 6.2.1 Para todo par de vectores u, v de un espacio vectorial hermítico V, el vector v y u – Proyvu son ortogonales. JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
271
SOLUCION Usaremos las propiedades correspondientes al producto interno complejo:
v u Pr oyv u v u
u v u v u v v v v v u v v v u v v v v v v
v u u v v u v u 0 . EJEMPLO 6.2.2 Si u = (2, 4, 1 + i), v = (1 - i, 2, 3i), hallar un vector no nulo w de un espacio hermítico V, ortogonal simultáneamente a u y v. SOLUCION Debemos encontrar un vector w tal que u w = 0 y v w = 0. Es decir: u w = (2, 4, 1 + i) (a, b, c) = 2a + 4b + (1 - i)c = 0; v w = (1 – i, 2, 3i) (a, b, c) = (1 + i)a + 2b – 3ic = 0. Resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneo y obtenemos:
2 1 i
2 0 0
4 1 i 0 2
3i
Por lo tanto w = (5 – i, 3 – i, 2).
2i 0 0
1 i
4
0
2i 1 3i
0 2i
1 5i 1 3i
0
.
0
EJEMPLO 6.2.3 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de un espacio hermítico V se cumple la siguiente identidad u v
2
u v
2
2u v 2u v .
SOLUCION Descomponemos || u + v ||2 y || u - v ||2 en función del producto interior: u v
uv
2
2
u vu v
u u
u vu v
u u
uv
uu
u v v u v v
u v v v ;
uu
u v v u v v
u v u v v v .
Restamos estas dos expresiones y obtenemos el resultado buscado: uv
2
uv
2
2u v 2u v .
EJEMPLO 6.2.4 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de un espacio hermítico V, la
suma u v u v es real. SOLUCION Del problema anterior tenemos: 2u v 2u v u v
2
u v
2
2
u v
2
.
De donde
u v u v
1
u v 2
Lo cual implica que u v u v es un número real.
.
EJEMPLO 6.2.5 Si u y v son vectores no nulos de un espacio hermítico V, demostrar que
2
u v u v || u || || v ||
2.
SOLUCION Sabemos que JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
272
(1) Cos( u, v)
u v || u || || v ||
v u
(2) Cos(v, u)
con
1
u v
u v
1 ;
|| u || || v ||
con
|| u || || v || || u || || v || Sumando estas dos expresiones, obtenemos: Cos (u, v) Cos(v, u) 2 Cos( u, v)
u v
1
|| u || || v ||
v u || u || || v ||
1 .
u v || u || || v||
v u u v || u || || v||
.
Donde 2Cos( u, v)
v u u v || u || || v ||
con
2 Lo cual demuestra la identidad.
u v u v || u || || v ||
2.
EJEMPLO 6.2.6 Definimos el ángulo formado por dos vectores no nulos u y v de un espacio hermítico V mediante la identidad 0 ArcCos
u v u v 2 || u || || v ||
.
SOLUCION En el problema anterior se demostró que
v u u v
2Cos(u, v) 2 Cos
|| u || || v ||
De donde Cos
v u u v
ArcCos
2 | | u || || v ||
v u u v 2 || u || || v ||
.
Con lo cual queda demostrada la identidad.
PROBLEMAS 6.2.1
Sean u = (a, b) y v = (c, d ). Demuestre que
u v 3ac 2bd define un producto interior sobre C . 2
6.2.2 Calcular
u v
usando el producto interior
u v 3ac 2bd :
3
a.- u = (2i, -i), v = (-i, 3i); b.- u = (1 + i, 1 - i), v = (1 – i, 1 + i); c.- u = (3i, -1 + 2i), v = (3i, -1 – 2i). 6.2.3 Sean u = (a, b) y v = (c, d ). Determine cuáles de las siguientes expresiones son productos interiores sobre C2. Para las que no lo sean, enumerar los axiomas que no se cumplen: a.-
u v 2ac iad iba 2bd ;
b.-
u v
c.-
u v ac bd ; u v 2ac iad iba 2bd .
d.-
a
2
c
2
6.2.4 Demuestre que en un espacio hermítico se cumple la siguiente identidad: 1 2 2 2 2 u v u v u v i u iv i u iv 4
b2
6.2.5 Sea C con el producto interior hermético. Demuestre que para todos los valores de el vector
u ei
i 3
,
1 3
,
tiene norma 1 y es ortogonal a 3
1
(1, i, 0) y a (0, i, -i). 6.2.6 Sea C3 con el producto interior hermético. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base {(i, i, i), (-i, i, 0), (i, 2i, i)} en una base ortonormal.
2
d ;
6.2.7 Sean u = (a, b) y v = (c, d ). Demuestre que
u v ac (1 i )ad (1 i )bc 3bd define un producto interior sobre C2. JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
273
u 6.2.8 Demuestre que si k es un número complejo y v es un producto interior sobre un espacio vectorial complejo, entonces: a.b.-
u kv u kv u u k u v k u v kk v v ; 0 u u k u v k u v kk v v .
6.2.9 Use el producto interior
A B a1b1 a2b2 a3b3 a 4b 4 para encontrar A B si i 1 i A 1 i i
6.2.14 Demuestre que si {v1, v2, …, vk } es una base ortonormal para un espacio V con producto interior complejo y si u y v son vectores cualesquiera en V, entonces
u w u v1 w v1 ... u vk w vk
3 2 3i . 1 4i
y B
6.2.10 Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3).
¿ u v u1 v1 u2 v2
6.2.13 Sea C con el producto interior hermético. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base {(0, 2i, i, 0), (i, -i, 0, 0), (i, 2i, 0, -i), (i, 0, i, i)} en una base ortonormal.
u3 v3 u 4 v4 define un producto
3
interior sobre C ? En caso de no serlo, enumerar los axiomas que no se cumplan. 4
6.2.11 Sea C con el producto interior hermético. Expresar w = (-i, 2i, 6i, 0) en la forma w = w1 + w2, donde el vector w1 está en el espacio W generado por u1 = (-i, 0, i, 2i) y u2 = (0, i, 0, i) y w2 es ortogonal a W. 3
6.2.12 Sea C con el producto interior hermético. Encontrar una base ortonormal para el subespacio generado por (0, i, 1 - i) y (-i, 0, 1 + i).
6.2.15 Demuestre que si f = f 1( x) + if 2( x) y g = g 1( x) + ig 2( x) son vectores en el espacio complejo C[a; b], entonces b
f g f1 (0) if 2 (0) g1(0) ig2 (0) dx a define un producto interior complejo sobre C[a; b]. 6.2.16 Sea V es espacio vectorial de las funciones con valores complejos de la variable real x, y sean f = f 1( x) + if 2( x) y g = g 1( x) + ig 2( x) son vectores en V. ¿La expresión
f g f1 (0) if 2 (0) g1(0) ig 2 (0) define un producto interior sobre V? En caso de no serlo, enumerar todos los axiomas que no se cumplan.
6.3 NORMA, DISTANCIA Y ANGULO ENTRE VECTORES En esta sección se definirá el concepto de longitud y distancia entre dos vectores y el ángulo entre dos vectores en un espacio con producto interior, y esta idea se usará para obtener algunas relaciones básicas entre vectores en un espacio con producto interior. La longitud de un vector u a menudo se denomina norma de u y se denota por u . De acuerdo con el teorema de Pitágoras se concluye que la norma de un vector u = (a, b) en el espacio bidimensional es u
a 2 b2 .
Sea u = (a, b, c) un vector en el espacio tridimensional. Usando la figura y dos aplicaciones del teorema de Pitágoras se obtiene u
2
(OR)2 ( RP)2 ( OQ) 2 ( OS) 2 ( RP) 2 a2 b2 c2
Así JOE GARCIA ARCOS
274
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
u
a 2 b2
c2 .
DEFINICION 6.3.1 Sea (V, ) un espacio vectorial euclídeo. Se define la norma o longitud del vector u de V, representada por, al número real no negativo u
u u .
De esta definición se ve directamente que el vector nulo es el único vector cuya longitud es igual a cero. Un vector de norma 1 se denomina vector unitario. DEFINICION 6.3.2 Un vector de V es un vector unitario si tiene magnitud 1. Dado cualquier vector distinto de cero u de V, un vector unitario con la misma dirección que u está dado por 1 u. u EJEMPLO 6.3.1 2 Dado p( x) = 2 – 3 x + 4 x un polinomio en 2. Determine || p ||. SOLUCION 2 2 Si p( x) = a0 + a1 x + a2 x y q( x) = b0 + b1 x + b2 x , entonces el producto interior canónico se establece por p q = a0b0 + a1b1 + a2b2. Por lo tanto
p
(2)(2) ( 3)( 3) (4)(4)
4 9 16
29 .
EJEMPLO 6.3.2
1 5
Sea la matriz A
0
3
9
7
. Use el producto interior canónico para determinar
A .
SOLUCION a b Si A d e
establece por
c
y f
a1 d1
B
b1
c1
e1
f 1
, entonces el producto interior canónico se
A B = aa1 + bb1 + cc1 + dd 1 + ee1 + ff 1. Por lo tanto A
(1)(1) (0)(0) (3)(3) (5)(5) (9)(9) (7)(7)
1 0 9 25 81 49 165 . EJEMPLO 6.3.3 x Sea f ( x) = e Senx una función definida en el intervalo - x . Determine || f ||. SOLUCION Como f ( x) está definida en el intervalo - x , entonces para poder determinar la norma de esta función debemos aplicar lo siguiente f
f 2 ( x) dx
e2 x Sen2 x dx
2e
e4 4
1
.
EJEMPLO 6.3.4
1 i 1
Sea la matriz A
2i 1 i
. Use el producto interior canónico para 2i 4
determinar A . SOLUCION El producto interior canónico se establece por JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
275
AB
a a1 bb1 c c1 d d1 e e1
f f1 .
Por lo tanto A
(1 i)(1 i) 2i( 2i) 4 4 1 1 (1 i)(1 i) (2 i)(2 i)
1 i 2 4i 2 16 1 1 i 2 4 i 2 30 . EJEMPLO 6.3.5 Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en 4. ¿Para qué valor de k los vectores u = ke1 + ke2 – e3 – ke4 y v = e1 – e2 + ke3 – e4 tienen igual longitud? SOLUCION Como el espacio vectorial es 4, entonces e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1), entonces u = (k , k , -1, -k ) y v = (1, -1, k , -1). Para que u y v tengan igual longitud, u
v . Es decir u v
(k , k , 1, k ) (k , k , 1, k ) (1, 1, k , 1) (1, 1, k , 1)
k2 k2
11 k2
1 k2
1
igualamos las dos ecuaciones 3k + 1 = k + 3 y obtenemos k = 1. 2
2
k2 3
TEOREMA 6.3.1 Sea (V, ) un espacio vectorial euclídeo. La norma, definida a partir de un producto interno en un espacio vectorial real V, tiene las siguientes propiedades: 1.- Para todo u V, || u || > 0 y || u || = 0 si y sólo si u = . Positividad. 2.- Para todo u V y para todo escalar real k , entonces ku k u .
Homogeneidad. 3.- Para todo u, v V, entonces || u + v || triangular. DEMOSTRACION 1.- Si u = (a1, a2, ..., ak ), entonces || u || =
|| u || + || v ||. Desigualdad
u u
a12 a22 ... ak 2 > 0
u u
Si u = (0, 0, ..., 0), entonces || u || = 2.-
ku
ku ku
k u ku
02 0 2
k ku u
... 02 0
k 2 u u
k
u u
k
u .
3.- || u + v || = u + v u + v = u u + v + v u + v = u u + 2u v + v v 2
u u + 2
u u
v v + v v
= || u ||2 + 2|| u || || v || + || v ||2 2 = (|| u || + || v ||) . Por lo tanto || u + v || || u || + || v ||. EJEMPLO 6.3.6 Sean los vectores u = (3, -2, 4) y v = (1, 9, 3) de 3. Verifique la desigualdad triangular con el producto interior definido por u v = a1b1 + 2a2b2 + 3a3b3 + a2b1 + a1b3 + 2a2b3. SOLUCION Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || u + v || || u || + || v ||. u
(3, 2, 4 )
(3, 2, 4 ) (3, 2, 4) JOE GARCIA ARCOS
276
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
v
3 3 2(2)( 2) 3 4 4 ( 2) 3 3 4 2 ( 2) 4 55 (1, 9, 3) (1, 9, 3) (1, 9, 3) 1 1 2 9 9 3 3 3 9 1 1 3 2 9 3 16 ; uv
(3, 2, 4) (1, 9, 3)
(4, 7 , 7) (4, 7 , 7)
(4, 7 , 7)
4 4 2 7 7 3 7 7 7 4 4 7 2 7 7 415 Por lo tanto 415 55 16 . EJEMPLO 6.3.7
1 2
3
Sean las matrices A
4
5
5 4
B
y 6
2 1
. Verifique la desigualdad
2
3
triangular utilizando el producto interior canónico. SOLUCION Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || A + B || || A || + || B ||. A
1 3 5 2 4 6
1 3 5 1 3 5 2 4 62 4 6
11 3 3 5 5 2 2 4 4 6 6 91 ; B
5 2 1 4 3 2
5 2 1 5 2 1 4 3 24 3 2
5 5 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 59 ; 1 3 5 5 2 1 6 5 6 A+B 2 4 6 4 3 2 6 7 8 6 6 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 246 . Por tanto 246 91 59 . EJEMPLO 6.3.8 Sean las funciones f ( x) = Senx y g ( x) = Cosx definidas en C[-; ]. Compruebe la desigualdad triangular. SOLUCION Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos f g f g . f
Senx Senx Senx
g
Cosx Cosx Cosx
f
g
Por tanto
2 2
Senx Cosx
2
;
Cos x dx 2
;
Sen x dx
Senx Cosx Senx Cosx
(Senx Cosx)
2
dx 2 ;
.
EJEMPLO 6.3.9 3 1 2i 2 i 2 i 1 i i y B . Verifique 4 3i 1 2 5i 1 3i 2 3i i
Sean las matrices A
la desigualdad triangular utilizando el producto interior canónico. SOLUCION Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || A + B || || A || + || B ||:
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
A
277
3 1 2i 2 i 4 3i 1 2 5i
3 1 2i 2 i 3 1 2i 2 i 4 3i 1 2 5i 4 3i 1 2 5i
(1 2i)(1 2i) (2 i)(2 i) (3)(3) (4 3i)(4 3i) ( 1)( 1) (2 5i)(2 5i) 1 4i 2 4 i 2 9 16 9i 2 1 5 25i 2 75 ; 2 i 1 i i 2 i 1 i i 2 i B 1 3i 2 3i i 1 3i 2 3i i 1 3i
1 i
i 2 3i i
(2 i)(2 i) (1 i)(1 i) ( i)(i ) (1 3i )(1 3i) (2 3i)(2 3i) (i)( i) 4 i 2 1 i 2 i 2 1 9i 2 4 9i 2 i 2 32 ; 3 2 i 1 i i 1 2i 2 i A+B 4 3i 1 2 5i 1 3i 2 3i i 3i 5 6i
9 i2
3 2i 1 3i
3 i
2 4i
9 4i 2 9 i 2 25 36i 2 1 9i 2 4 16i 2 2
Por tanto 2 31 75 32 .
31 ;
TEOREMA 6.3.2 2 2 2 Dos vectores son ortogonales si y sólo si || u + v || = || u || + || v || . DEMOSTRACION 2 || u + v || = u + v u + v = u u + u v + v u + v v = u u + 2u v + v v = u u + v v por definición de ortogonalidad = || u ||2 + || v ||2. % CALCULO DE LA NORMA DE UN VECTOR clc;clear; fprintf('\n NORMA DE UN VECTOR \n') col=input('Ingrese la dimension del vector: '); fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end %end fprintf('El VECTOR u es:\n') u end fprintf('LA NORMA DEL VECTOR u ES:\n') NORMA=sqrt(u*u')
DEFINICION 6.3.3 Un espacio vectorial V en el que hay definida una norma se denomina espacio vectorial normado.
Si P (a, b, c) y Q( x, y, z ) son dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la distancia d ( P , Q) entre los puntos es la norma de Q – P . Ya que Q – P = ( x – a, y – b, z – c) Es decir JOE GARCIA ARCOS
278
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
d ( P, Q) ( x a) 2 ( y b) 2
( z c) 2 .
DEFINICION 6.3.4 Se denomina distancia d (u, v) entre los vectores u y v de un espacio vectorial euclídeo, a la magnitud d (u, v) u v .
El hecho de disponer de una norma en un espacio vectorial implica que se puede dotar automáticamente a éste de estructura de espacio métrico; no se piense, sin embargo, que la única forma de obtener un espacio métrico es a partir de una norma; obsérvese, en este sentido, que para dotar a un conjunto de una métrica no se precisa que dicho conjunto tenga estructura algebraica alguna. Obsérvese nuevamente que esta definición hace perfecto sentido en cualquier espacio con producto interno. DEFINICION 6.3.5 Se denomina distancia d ( P , Q) entre los conjuntos P y Q de vectores de un mismo espacio la magnitud d ( P, Q) inf d ( P, Q) . uP , vQ
TEOREMA 6.3.3 Sea (V, ) un espacio vectorial euclídeo, la distancia d (u, v) entre los vectores u, v de V satisface los siguientes axiomas: 1.- Para todo u, v V, d (u, v) > 0 cuando u v y d (u, v) = 0 si y sólo si u = v. 2.- Para todo u, v V, d (u, v) = d (v, u). 3.- Para todo u, v, w V, d (u, v) d (u, w) + d (w, v). DEMOSTRACION 1.- Para todo u = (a1, a2, ..., ak ), v = (b1, b2, ..., bk ) V, donde ai bi, entonces
d (u, v) = || u – v || = =
(a1 b1 )2
u v u v
( a2 b2 ) 2 ... (ak bk ) 2 > 0
Para u = (a1, a2, ..., ak ), v = (b1, b2, ..., bk ) V, donde ai = bi, entonces d (u, v) = || u – v || =
u v u v =
(a1 b1 )2
(a2 b2 ) 2 ... (ak bk ) 2 = 0.
2.- d (u, v) = || u – v || = || -(v – u) || = | -1 | || v – u || = d (v, u). 3.- d (u, v) = || u – v || = || u – v + w – w || = || (u – w) + (w – v) || || u – w || + || w – v || = d (u, w) + d (w, v). EJEMPLO 6.3.10 Determine la distancia entre las funciones f ( x) = Senx y g ( x) = Cosx definidas en C[-; ]. SOLUCION Para determinar la distancia entre las funciones f ( x) y g ( x), debemos calcular d ( f , g ) = || f – g ||: f
g
Senx Cosx
Senx Cosx Senx Cosx
(Senx Cosx)
2
dx 2 .
EJEMPLO 6.3.11 Demostrar que entre todos los vectores u – v, donde u es un vector dado y v recorre el espacio dado V, tiene la longitud mínima el vector u – w, donde w es la proyección ortogonal de u sobre V. JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
279
SOLUCION Desarrollamos lo siguiente: uv
2
(u w) ( w v)
2
uw
donde la igualdad es posible sólo para v = w.
2
w v
2
u w
2
EJEMPLO 6.3.12 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de V, se cumple la identidad uv
2
u
2
v
2
u v u v .
SOLUCION Descomponiendo || u + v ||2 en función del producto interior, obtenemos: uv
2
u v u v u u u v v u v v u u u v u v u v u 2 v 2 u v u v .
Con esto queda demostrada la identidad propuesta.
EJEMPLO 6.3.13 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de V, se cumple la identidad 2 2 2 2 || u + v || + || u – v || = 2|| u || + 2|| v || SOLUCION Descomponiendo || u + v ||2 y || u – v ||2 en función del producto interior, obtenemos: 2 || u + v || = u + v u + v = u u + u v + v u + v v 2 2 = || u || + || v || + u v + v u 2 || u – v || = u - v u - v = u u - u v - v u + v v = || u ||2 + || v ||2 - u v - v u Sumamos estas dos expresiones 2 2 2 2 || u + v || + || u – v || = 2|| u || + 2|| v || . Con esto queda demostrada la identidad. TEOREMA 6.3.4 Sean u y v vectores de un espacio euclídeo V, de modo que v . Entonces u v d (u, Proyv u) < d (u, kv), k . v v
Sean u y v vectores distintos de cero. Por la desigualdad de Cauchy – Schwarz, tenemos |u v| || u || || v || - || u || || v || u v || u || || v || es decir, u v 1 -1 u v En consecuencia, podemos encontrar un ángulo en radianes, de manera que se cumpla lo siguiente. % CALCULO DE LA DISTANCIA ENTRE VECTORES clc;clear; fprintf('\n DISTANCIA ENTRE VECTORES \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores: fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col
');
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280
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v end w=v-u fprintf('LA DISTANCIA ENTRE LOS VECTORES ES:\n') d=sqrt(w*w.')
Sean u y v dos vectores diferentes de cero en el espacio tridimensional, y suponga que estos vectores se colocan de modo que sus puntos iniciales parten del origen. Por ángulo entre u y v se entiende el ángulo determinado por u y v que satisface 0 . Sean u = (a, b, c) y v = ( x, y, z ) dos vectores diferentes de cero. Si, como se muestra en la figura, es el ángulo entre u y v, entonces la ley de los cosenos da 2
v u u
2
v
2
u
2
2u v
u v
u
v u
v Cos
2 2
2
v
u 2
v Cos
2
Cos
u
v Cos
u v u
v
.
DEFINICION 6.3.6 Sean u y v dos vectores no nulos del espacio vectorial euclídeo V. Se denomina coseno del ángulo que forman los vectores u y v, representado por Cos(u, v), al número real que cumple la igualdad u v . 0 (u, v) . Cos( u, v) u v
Si (u, v) = 90°, decimos que u y v son ortogonales. Si entre los vectores u y v existe al menos uno no nulo, el ángulo formado por tales vectores se considera indeterminado. EJEMPLO 6.3.14 En el espacio de cuatro dimensiones se dan dos planos, engendrados por los vectores del sistema S y S1. Entre los ángulos formados por los vectores del primer plano con los vectores del segundo plano, hallar el mínimo: a.- S = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}, S1 = {(1, 1, 1, 1), (2, -2, 5, 2)}; b.- S = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}, S1 = {(1, 1, 1, 1), (1, -1, 1, -1)}. SOLUCION a.- La proyección del vector (t + 2r , t – 2r , t + 5r , t + 2r ) sobre el primer plano es (t + 2r , t – 2r , 0, 0). Por consiguiente Cos2
donde x b.-
2t 2
8r 2 2 x2 8 4t 2 14tr 37 r2 4 x2 14 x 37
t
. Esta expresión alcanza el máximo, igual a 8/9, para x = -4. r El ángulo formado por cualquier vector del segundo plano con su proyección JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
281
ortogonal sobre el primer plano queda invariante y es igual a /4.
EJEMPLO 6.3.15 Sea el espacio euclídeo V, cuyo producto interior está definido de forma usual. Determine el ángulo entre los vectores
u (1, 3, 5, ..., 2n 1)
y v = (1, 0, 0, ..., 0).
SOLUCION Aplicando la definición, obtenemos: Cos( u, v)
Por lo tanto
(1, 3, 5,..., 2n 1) (1, 0, 0,...,0)
1
||(1, 3, 5,..., 2n 1)||||(1, 0, 0,...,0)||
. n
1
(u, v) ArcCos . n
EJEMPLO 6.3.16 Sea S = {e1, e2, e3, e4} la base canónica de
4
. Determine el ángulo entre los vectores
u 7e1 5e2 3e3 2e4
y v 7e1 5e2 .
SOLUCION
, entonces u ( 7, 5, 3, 2)
4
Como S es la base canónica para
y
v ( 7 , 5, 0, 0) . Por la definición anterior: Cos( u, v)
( 7 , 5, 3, 2) ( 7 , 5, 0, 0) || ( 7 , 5, 3, 2) || || ( 7 , 5, 0, 0) ||
Por lo tanto (u, v) = 32,84 °.
12
17 12
12 17
.
EJEMPLO 6.3.17
La desigualdad
2
u v u v u
2 demuestra que siempre existe un único
v
ángulo en el intervalo 0 que satisface esta igualdad. Demostrar que 2 2 2 || u – v || = || u || + || v || - 2|| u |||| v ||Cos SOLUCION Sabemos que Cos( u, v) u v
2
u
u
u v u v 2 u
2
v
2
v
v
para
2
2
u v u v
2
2
u
u
u v u v u 2
v
v Cos(u, v) u
Con esto queda demostrada la identidad.
v
2
2
2 . Entonces:
( u v u v ) v
2
2
u
v Cos .
EJEMPLO 6.3.18 Tres vectores u, v, w de V satisfacen lo siguiente: || u || = || w || = 5, || v || = 1 y || u – v + w || = || u + v + w ||. Si el ángulo que forman u y v es /8, hallar el que forman v y w. SOLUCION Sabemos que
u v w
u v w
v w = - u v.
Como Cos( u, v)
entonces
u v u
v
y Cos( v, w)
v w v
w
u v 5Cos(u, v) y v w 5Cos(v, w) . JOE GARCIA ARCOS
282
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
De donde
5Cos(u, v) = -5Cos(v, w) Cos(u, v) = -Cos(v, w). 7 Como (u, v) = , entonces (v, w) = . 8 8 El coseno del ángulo que forman los vectores u y v está comprendido entre – 1 y 1, alcanzando estos valores extremos únicamente si u y v son linealmente dependientes. El hecho de que el producto interior sea cero, es una prueba para que dos vectores sean ortogonales. Esto motiva la definición de que dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto interior es cero. Como el producto interior de cualquier vector con el vector nulo es cero, se acostumbra decir que el vector nulo es ortogonal a cualquier otro vector. Si los vectores u y v son no nulos y es el ángulo entre ellos, entonces a.- es agudo, si y sólo si u v > 0. b.- es obtuso, si y sólo si u v < 0. c.- es /2, si y sólo si u v = 0. EJEMPLO 6.3.19 3 Si u = (3, -i, 2) y v = (1 + i, 1 – i, 2 + 3i), hallar un vector no nulo w de ortogonal simultáneamente a u y v. SOLUCION Como w pertenece a 3, entonces: u w = (3, -i, 2) (a, b, c) = 3a – ib + 2c = 0; v w = (1 + i, 1 - i, 2 + 3i) (a, b, c) = (1 + i)a + (1 – i)b + (2 + 3i)c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo, generado por las condiciones anotadas, obtenemos:
3 1 i
i 1 i
2 2 3i
0
3 0 0
2 i 2i 2 4 7i
Por lo tanto w = (2 + 2i, 6 – 22i, 8).
2i 2 0 0
0
0
1
0
2i 2
4 7i
0
.
EJEMPLO 6.3.20 Si u = (-1, 4, 3) y v = (2, 5, 1), hallar un vector no nulo w de V tal que sean ortogonales simultáneamente. SOLUCION Como w pertenece a 3, entonces: u w = (-1, 4, 3) (a, b, c) = -a + 4b + 3c = 0 v w = (2, 5, 1) (a, b, c) = 2a + 5b + c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo, generado por las condiciones anotadas, obtenemos:
1 2
4
1 0 0
3 0
5 1
Por lo tanto w = (-11, -7, 13).
4
3 0
13 7
13 0 0
0
11 0
13
7 0
.
EJEMPLO 6.3.21 Si u = (7, 4, 5) y v = (-3, 2, -1), hallar los escalares a y b tales que w = au + bv es un vector no nulo y que w y v sean ortogonales. SOLUCION Tenemos que w = a(7, 4, 5) + b(-3, 2, -1) = (7a - 3b, 4a + 2b, 5a - b) y w v = (7a - 3b, 4a + 2b, 5a - b) (-3, 2, -1) = 0, de donde JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
283
-3(7a - 3b) + 2(4a + 2b) – (5a - b) = 0
-18a + 14b = 0
b
9 7
a.
De donde
22 a, 46 a, 26 a , a 0. 7 7 7
w
EJEMPLO 6.3.22 Si u = (2, -2, 1) y v = (-1, 1, 2), hallar los vectores w y x de V tales que v, x sean ortogonales, w sea paralelo a v y u = w + x. SOLUCION Sabemos que v x = 0 (-1, 1, 2) (a, b, c) = -a + b + 2c = 0 a – b – 2c = 0; w = kv w = k (-1, 1, 2) = (-k , k , 2k ); u = w + x (2, -2, 1) = (-k , k , 2k ) + (a, b, c) = (a – k , b + k , c + 2k ) ak 2 a 2k
b k 2 c 2k 1
b 2 k . c 1 2k
Reemplazando los valores de a, b y c en la primera ecuación, obtenemos que 1 k . Este valor de k lo reemplazamos en w y x, donde: 3 1 1 1 2 w (2, 2, 1) , , ; 3 3 3 3 x (2 k ,
1 1 2 5 5 2 k , 1 2k ) 2 , 2 , 1 , , 3 3 3 3 3
5
.
3
EJEMPLO 6.3.23 En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a n, definimos el producto interior como n k k f g f g . k 0 n n
Hallar todos los polinomios g (t ) ortogonales a f (t ) = t . SOLUCION k 2 n Hacemos que g (t ) = a0 + a1t + a2t + ... + ant y t , entonces: n 1
1
t 0
t 0
f g f (t) g (t) ( a0 a1t a2 t 2 ... an t n )t a0 a1 a2 ... an 0 . De donde a0 = - (a1 + a2 + ... + an). Por lo tanto, el polinomio buscado tiene la forma siguiente: g (t ) = - (a1 + a2 + ... + an) + a1t + a2t 2 + ... + ant n. % CALCULO DEL ANGULO ENTRE VECTORES clc;clear; fprintf('\n ANGULO ENTRE VECTORES \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores: '); fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
284
%for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v fprintf('\n EL PRODUCTO INTERIOR ES:\n') p=u*v' fprintf('\n LAS NORMAS SON:\n') Norma1=sqrt(u*u') Norma2=sqrt(v*v') fprintf('EL ANGULO ENTRE LOS VECTORES ES:\n') d=(acos(p/(Norma1*Norma2)))*180/pi if (p>0) fprintf('El angulo es agudo\n') end if (p<0) fprintf('El angulo es obtuso\n') end if (p==0) fprintf('Los vectores son ortogonales\n') end
PROBLEMAS 6.3.1 u v
Supóngase que u, v y w son vectores tales que 3 , v w 5 , u w 6 , u 2 , v 2 ,
4 . Determine el valor de las siguientes expresiones: a.- u v v w ; b.- 3v 2 w 4u 3w ; c.- u v 3w 5v 2w ; d.- 3u 2v ; w
e.-
5w 2v ;
f.-
u 2v 3w .
6.3.2 Sea el espacio vectorial de todas las funciones polinómicas f de la forma f ( x) = a0 + a1 x + a2 x2 para toda x tal que 0 x 1. Aquí, a0, a1, a2 son escalares que sólo dependen de f y no de x. Demuestre que es un espacio tridimensional sobre . Verifíquese también que las funciones p( x) = 1, q( x) = x y r ( x) = x2 son una base de .
6.3.6 En el espacio n de polinomios de grado n con coeficientes reales, el producto interior de polinomios se determina por la fórmula p q a0b0 a1b1 ... a nbn . 2
2
Para los polinomios dados p( x) = 3 x + 2 x + 1, q( x) = - x + 2 x + 1, r ( x) = 3 x2 + 2 x + 5, s( x) = 3 x2 + 5 x + 2: a.- Hallar el polinomio f ( x) de grado 2 equidistante de p( x), q( x), r ( x), s( x); b.- Determinar la distancia entre f ( x) y cada uno de los polinomios p( x), q( x), r ( x), s( x); c.- Determine que todo polinomio de la forma f ( x) + m3 x3 n + … + mn x es también equidistante de p( x), q( x), r ( x), s( x) y determine su distancia hasta estos polinomios. 6.3.7 En el espacio vectorial real C(-1; 1), sea 1
f g 1 f ( x) g( x) dx . Considerar las tres funciones
6.3.3 Encontrar el ángulo entre una diagonal de un cubo y una de sus aristas.
f ( x) = 1, g ( x) = x y h( x) = 1 + x. Demostrar que dos de ellas son ortogonales, dos forman entre sí un ángulo /3, y dos forman entre sí un ángulo /6.
6.3.4 Calcular los ángulos internos del triángulo ABC, dado por las coordenadas de sus vértices: A = (1, 2, 1, 2), B = (3, 1, -1, 0), C = (1, 1, 0, 1).
6.3.8
6.3.5 En el espacio vectorial real C(1; e), definimos un producto interior por e
f g f ( x) g( x) l og x dx : 1 a.- Si f ( x) x , calcular f ; b.- Hallar un polinomio de primer grado g ( x) = a + bx que sea ortogonal a la función constante f ( x) = 1.
Pruébese que
1
f g f ( x) g( x) dx es un 0
producto interior de P. Hállese una función g de P tal que g 1 y g p g q 0 . 2
6.3.9 Sean u y v dos vectores en linealmente independientes. Demuestre que el único vector de 2 ortogonal a u y a v es el vector . ¿Ocurre lo mismo si los vectores son linealmente dependientes? ¿Es verdad esta 3 afirmación para vectores en el espacio ? JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
6.3.10 Trazar la circunferencia unitaria en producto interior dado: 1 1 a.- u v u1v1 u2 v2 ; 4 16 b.- u v 2u1v1 u2v2 ; c.-
1
1
9
4
285
2
usando el
u v u1v1 u2 v2 .
v
1 y
1;
b.- Dótese a V con un producto interior tal que un ángulo entre u y v sea /3.
En el espacio vectorial real C(1; 3) con producto 3 1 interior f g f ( x) g( x) dx , sea f ( x) , demostrar 1 x que el polinomio constante g más próximo a f es 1 g log3 . Calcular g f 2 para éste. 2 6.3.23
6.3.11 Calcular el ángulo formado por los vectores: a.- u = (2, 1, -1, 2), v = (3, -1, -2, 1); b.- u = (1, 2, 2, 3), v = (3, 1, 5, 4); c.- u = (1, 1, 1, 2), v = (3, 1, -1, 0). 6.3.12 Demuestre que si u es ortogonal a v y w, entonces u es ortogonal a v + w para escalares y cualesquiera. 6.3.13 Demuestre que u v
2
6.3.22 Sean V = , u = (1, 1) y v = (1, -1); a.- Dótese a V con un producto interior tal que u
u
6.3.24 En el espacio vectorial real C(0; 2) con producto
interior v sí y sólo si u y
v tienen la misma dirección. 6.3.14 Considere el cuadrilátero cuyos vértices son A = ( 1, -2, 2), B = (1, 4, 0), C = (-4, 1, 1), D = (-5, -5, 3). Demuestre que las diagonales AC y BD son ortogonales. 6.3.15 Sea u un vector no nulo. Determine un escalar a tal que au 1 . 6.3.16 Demuestre que los puntos A = (1, 1), B = (2, 3) y C = (5, -1) son los vértices de un triángulo rectángulo. 6.3.17 Encuéntrense los vectores unitarios que forman un ángulo de 2/3 con u = i – j. 6.3.18 En el espacio de las funciones integrables reales, supóngase que se define el producto interior por
f g
2 0
f ( x) g( x) dx , sea f ( x) = x. En el
espacio generado por p( x) = 1, q( x) = Cosx, r ( x) = Senx, hallar el polinomio trigonométrico más próximo a f ( x). 6.3.25 Sean a y b dos números reales no nulos. Demuestre que los cuatro vectores (a, b) 2 tienen la misma norma. Interprete geométricamente este hecho. 6.3.26 Sean a, b y c tres números reales no nulos. 3 Demuestre que los 8 vectores (a, b, c) tienen la misma norma. Interprete geométricamente este hecho. 6.3.27 ¿Qué es la norma de un vector u en ? ¿Cómo se ven las propiedades de la norma en este caso? 6.3.28 u
n
Sean u, v dos vectores en v
. Demuestre que
u v .
f ( x ) g( x) dx . Encuentre un polinomio de grado 2
6.3.29 Las cuatro diagonales de un cubo tienen la misma longitud.
ortogonal a 1 y a x. Encuentre un polinomio de grado 3 ortogonal a 1, a x y a x2. ¿Son ortogonales estos dos polinomios?
6.3.30 Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.
1
1
n 6.3.19 Sean u, v dos vectores ortogonales en , tales que u 2 , v 7 , u v 8 . Calcule u v .
n
6.3.20 Sean u, v dos vectores en . Demuestre que: + a.- u v si y sólo si u v u v ; b.- -u v
si y sólo si u v
+
u v ;
c.- u y v son dos vectores ortogonales si y sólo si uv uv .
Discuta el contenido geométrico de estos resultados. 6.3.21 Demuestre que si u y v son vectores en un espacio V con producto interior, entonces u v u v .
v
n
3,
u
1 , u v 5 ? ¿Existen vectores u, v
n
que u
¿Existen vectores u, v
tales que
6.3.31
tales
3 , v 1, u v 5 ? n
6.3.32 Sean u, v dos vectores ortogonales en R , tales que u 5 , v 3 . Calcule u v , u v . 6.3.33 Sea S = {u, v} un conjunto ortogonal de vectores n unitarios en . Demuestre que el ángulo entre el vector u y el vector u + v es de /4. Discuta el contenido geométrico de este resultado cuando n = 2. ¿Vale el resultado si los vectores u y v no son unitarios? JOE GARCIA ARCOS
286
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
6.3.34 Demuestre que si u y v son vectores en un espacio con producto interior tal que u 1 y v 1 , entonces
u v 1 .
6.3.46 u
Demuestre que si el cuerpo de escalares es real y v , entonces u – v y u + v son ortogonales y
recíprocamente.
6.3.35 Sean u y v dos vectores en
n
tales que u
v .
Demuestre que los vectores u + v y u – v son ortogonales. ¿Vale la afirmación recíproca? 6.3.36 Los vectores u y v de Suponiendo que u 3 y
forman un ángulo de /3. v 4 . Calcule: u v,
n
u v y u v . 6.3.37 Dados los vectores u, v y w, entonces: a.- Demuestre que u x (v x w) = u wv - u vw; b.- Encuentre un ejemplo para el que u x (v x w) (u x v) x w.
6.3.47 Sean u, v y w vectores no nulos, cada uno ortogonal a los otros dos. Demuestre que, para cualquier vector z , existen escalares únicos a, b y c tales que z = au + bv + cw. 6.3.48 Demuestre que u x v
u
v sí y sólo si u y v
son ortogonales. 6.3.49 Sean u y v vectores no nulos. Demuestre que el vector 1 v u u v u v
biseca el ángulo entre u y v. (Demuestre que este vector forma el mismo ángulo con u que con v.)
6.3.38 Cada pareja de vectores u, v y w en n forma un ángulo de /3. Suponga que u 1 , v 2 , w 3 .
n tales que 6.3.50 Sean u y v dos vectores no nulos en u v u v . Demuestre que el ángulo entre u y v
Calcule u v w .
es de /3. ¿Cuál es el ángulo entre u y u – v, y entre v y u – v? Discuta el contenido geométrico en el caso n = 2.
6.3.39 Los vértices de un triángulo son A = (-1, 4), B = (-6, 6), C = (3, 8). Determine las coordenadas de los puntos medios de sus lados.
6.3.51 Las cuatro diagonales de un paralelepípedo se cortan en un punto y se bisecan mutuamente.
6.3.40 Los puntos medios de los lados de un triángulo son P = (2, -1), Q = (-1, 4) y R = (-2, 2). Determinar los vértices del triángulo. 6.3.41 Sean u y v vectores en un espacio V con producto interior. Demuestre que u v u v sí y sólo si u y v
son ortogonales.
3 6.3.52 Si u y v son vectores diferentes de cero en R , entonces se cumplen las siguientes igualdades: a.- u x v es ortogonal tanto a u como a v; b.- El ángulo entre u y v está dado por u x v u v Sen ;
c.- u y v son paralelos sí y sólo si u x v = ; d.- El paralelogramo cuyos lados adyacentes son u y v tiene un área igual a u x v .
6.3.42 Demuestre que f ( x) 1 x2
y g ( x) 2 x 1 x2
son ortogonales en C[-1; 1]. 6.3.43 Demuestre que en un triángulo arbitrario de un espacio euclídeo, la longitud de cada lado no es menor que la magnitud absoluta de la diferencia entre las longitudes de los otros dos lados. 6.3.44 Demuestre que en un paralelogramo arbitrario de un espacio euclídeo, la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados. 6.3.45 Calcular los ángulos internos del triángulo ABC, dado por las coordenadas de sus vértices: A = (1, 2, 1, 2), B = (3, 1, -1, 0), C = (1, 1, 0, 1).
6.3.53 Demuestre que los puntos A = (2, 2), B = (-1, 6), C = (-5, 3) y D = (-2, -1) son los vértices de un cuadrado. 6.3.54 La recta que pasa por uno de los vértices de un paralelogramo y el punto medio de uno de los lados opuestos divide a una de las diagonales en la razón 1:2. 6.3.55
Sean x = ( x1, x2, ..., xn), y = ( y1, y2, ..., yn) dos 1 n vectores en . Demuestre que el punto p ( x y) es 2 un punto equidistante de x e y (es decir, d( x, p) = d( y, p)), el cual se encuentra sobre el segmento que une a x con y (para ver esto, nótese que los vectores u = x – p, v = y – p, son linealmente dependientes). Se dice que p es el punto medio del segmento xy. Determine el punto medio del segmento xy en cada uno de los siguientes casos: a.- x = (1, 4, 5), y = (4, 8, -4); JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
287
n
b.- x = (4, 7, -1), y = (4, 6, -3); c.- x = (-3, -4, 5), y = (3, 5, 7).
6.3.61 Sean u y v dos vectores no nulos en tales que u u v . Demuestre que el ángulo entre los vectores
6.3.56 Considere las rectas L1 = {( x, y) / ( x, y) = (0, b1) + t (1, m1), t } L2 = {( x, y) / ( x, y) = (0, b2) + t (1, m2), t } con los vectores v1 = (1, m1) y v2 = (1, m2) que son paralelos a L1 y L2 respectivamente. Demuestre, partiendo de la fórmula para el ángulo entre dos vectores, que el ángulo (0 ) entre L1 y L2 es m m ArcTan 2 1 . 1 m2 m1
u y v es el mismo que el ángulo entre los vectores u y u – v. Discuta el contenido geométrico en el caso n = 2. 3 6.3.62 Sea u = (2, -3, 5). Determine el vector v sabiendo que es linealmente dependiente con u, que
v
positiva del eje z es agudo.
6.3.57 Calcule la distancia entre las dos líneas paralelas dadas: a.- 3 x – 4 y + 5 = 0, 3 x – 4 y – 5 = 0; b.- 2 x – y – 5 = 0, 4 x – 2 y – 10 = 0. 6.3.58 Use el concepto de proyección de un vector sobre otro para demostrar que la distancia del punto P( x0, y0) a la recta A x + B y + C = 0 viene dada por la fórmula Ax0 By0 C . d A2 B2 6.3.59 Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí. (Un rombo es un paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud.) 6.3.60 Demuestre la identidad de Lagrange: u xv
2
u
2
v
2
25 , y que el ángulo que forma v con la parte
u v 2 .
6.3.63 Considere la recta A x + B y + C = 0, la cual dista d unidades del origen. Demuestre que la recta paralela a la recta dada, que dista también d unidades del origen y que resulta ser simétrica respecto del origen de la recta dada, es A x + B y – C = 0. 6.3.64 Demuestre que el triángulo cuyos vértices son A, B y C es isósceles. Determine sus ángulos internos: a.- A = (1, 1), B = (4, 3), C = (1/2, 5); b.- A = (1, 2, 1), B = (3, -1, 7), C = (7, 4, -2). 6.3.65 Si u, v y w son vectores en y un escalar, entonces se cumplen las siguientes igualdades: a.- u x v = - (v x u); b.- u x (v + w) = (u x v) + (u x w); c.- (u x v) = u x v = u x v; d.- u x = x u = ; e.- u x u = ; f.- u (v x w) = (u x v) w.
6.4 BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES En esta sección se mostrará un proceso para obtener una base ortonormal. En muchos problemas con espacios vectoriales, quien resuelve el problema puede elegir cualquier base que juzgue conveniente para el espacio vectorial. En espacios con producto interior, la solución de un problema a menudo se simplifica bastante al elegir una base en la que los vectores sean ortogonales entre sí. Si V es un espacio vectorial, el concepto de ortogonalidad coincide con el de perpendicularidad. Por esta razón la ortogonalidad puede ser considerada como una generalización del concepto de perpendicularidad. DEFINICION 6.4.1 Un conjunto S de vectores en un espacio vectorial V con producto interno se dice que es ortogonal si o bien consiste en un solo vector o bien sus vectores son ortogonales dos a dos.
La relación de ortogonalidad es simétrica: si el vector u es ortogonal al vector v, el vector v es ortogonal al vector u. Es obvio que el vector nulo es ortogonal a cualquier vector del espacio y es el único que posee esta propiedad. DEFINICION 6.4.2 Dos conjuntos de vectores S1 y S2, de un espacio vectorial euclídeo V, se dicen ortogonales, si todo vector de S1 es ortogonal a todo vector de S2. JOE GARCIA ARCOS
288
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
TEOREMA 6.4.1 Para que el vector u sea ortogonal al subespacio U, es necesario y suficiente que sea ortogonal respecto de todos los vectores de una base cualquiera del subespacio U. DEMOSTRACION Fijemos la base S = {u1, u2, ..., uk } del subespacio U. Si u es perpendicular a U, entonces u es ortogonal a todos los vectores de U y, en particular, a los vectores u1, u2, ..., uk . Sea ahora, u ui = 0 para todo i N. Elijamos un vector arbitrario v U y descompongámoslo según los vectores de la base. Si v = a1u1 + a2u2 + ... + ak uk para ciertos números a1, a2, ..., ak , entonces u v = u a1u1 + a2u2 + ... + ak uk = a1u u1 + a2u u2 + ... + ak u uk = 0 Esto significa que u U. TEOREMA 6.4.2 Si S = {v1, v2, ..., vk } es un conjunto ortogonal de vectores diferentes del nulo en un espacio vectorial V, entonces S es linealmente independiente. DEMOSTRACION Sea S un sistema ortogonal de vectores no nulos y sea a1v1 + a2v2 + ... + ak vk = . Multiplicando esta igualdad escalarmente por vi, obtenemos a1v1 vi + a2v2 vi + … + aivi vi + … + ak vk vi = donde aivi vi = 0 ya que debido a la ortogonalidad del sistema todos los demás términos se anulan. Pero vi ; por consiguiente, vi vi 0 y entonces resulta que ai = 0 que es lo que se quería demostrar.
Supongamos que n es la dimensión del espacio vectorial V. La aseveración anterior muestra que todo sistema ortogonal de vectores no nulos V no puede contener más de n vectores. Si en V existen n vectores no nulos ortogonales, ellos constituyen una base ortogonal del espacio vectorial V. Podemos decir que en V siempre existe una base de esta índole. TEOREMA 6.4.3 Sea un espacio vectorial V de dimensión n, entonces cualquier conjunto de n vectores ortogonales es una base de V. EJEMPLO 6.4.1 Demuestre que el conjunto ortogonal S
1 1 2 1 2 1, 0, 1 , , 2, , , , 2 2 9 9 9
es una base de 3. SOLUCION Se puede observar que el conjunto S consta de tres vectores diferentes de cero y no coplanares. Entonces podemos demostrar que forman una base para 3: a(1, 0, -1) + b( ½, 2, ½) + c(2/9, -1/9, 2/9) = (0, 0, 0); (a + b/2 + 2c/9, 2b – c/9, - a + b/2 + 2c/9) = (0, 0, 0) a 1 b 2 c 0 2 9 1 2b c 0 9 1 2 a 2 b 9 c 0 Sabemos que un sistema de ecuaciones homogéneo tiene solución única si y sólo si el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es diferente de cero, es decir JOE GARCIA ARCOS
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1
1
2
2
9 1
0
2
1
1
9 2
0.
2 9 Por lo tanto a = b = c = 0 y S es linealmente independiente y como S genera todo 3 3 , entonces S es base para . DEFINICION 6.4.3 Una base {w1, w2, ..., wk } para un subespacio U de V es ortonormal si los vectores wi son unitarios y mutuamente perpendiculares.
Es obvio que normalizando vectores ortogonales no nulos obtenemos de nuevo vectores ortogonales. Por lo tanto, al normalizar los vectores de una base ortogonal del espacio, obtendremos una base ortonormal de este espacio. DEFINICION 6.4.4 Se dice que un vector v de V es ortogonal a un conjunto S1 de vectores, si v es ortogonal a todos los vectores de S1. TEOREMA 6.4.4 Sea V un espacio vectorial euclídeo. Si los subconjuntos S1, S2 de V son ortogonales, entonces también son ortogonales los subespacios U y W, engendrados por S1 y S2. DEMOSTRACION Sean u U y v W, esto es u = a1u1 + a2u2 + ... + anun y v = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm para ciertos vectores {u1, u2, ..., un} de S1, {v1, v2, ..., vm} de S2 y a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bm números reales; entonces u v = a1u1 + a2u2 + ... + anun b1v1 + b2v2 + ... + bmvm = a1b1u1 v1 + a2b2u2 v2 + ... + anbmun vm = 0. TEOREMA 6.4.5 Si dos subespacios vectoriales U, W de V son ortogonales, entonces son independientes, es decir, su suma es directa. DEMOSTRACION Tenemos que demostrar que su suma es directa; esto es si fuese u U W, por ser u U y u W, tendría que ser u u y, por tanto, u = . TEOREMA 6.4.6 Para que dos subespacios sean ortogonales, es necesario y suficiente que todo vector de cualquier base de un subespacio sea ortogonal a todos los vectores de cualquier base de otro subespacio.
Puesto que cualquier sistema que contiene sólo un vector es ortogonal, de aquí se deduce, en particular, que en todo espacio vectorial existe una base ortonormal. TEOREMA 6.4.7 Sea {u1, u2, ..., uk } una base de un espacio con producto interior V. Sea {v1, v2, ..., vk } donde los vi están dados de la siguiente manera: v1 = u1 u v v2 u2 2 1 v1 v1 v1
. . . JOE GARCIA ARCOS
290
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
vk
uk
uk v1 u v uk vk 1 v1 k 2 v2 ... v1 v1 v2 v2 vk 1 vk 1
v k 1 .
Entonces {v1, v2, ..., vk } es una base ortogonal de V. Sea wi
vi vi
.
Entonces el conjunto {w1, w2, ..., wk } es una base ortonormal de V. Estas ecuaciones resumen el llamado proceso de Gram – Schmidt para encontrar un conjunto ortonormal a partir de un conjunto linealmente independiente. DEMOSTRACION Supongamos que {u1, u2, ..., uk } es un conjunto linealmente independiente En el espacio vectorial V; deduzcamos un proceso para construir un conjunto ortonormal de vectores {w1, w2, ..., wk }. Primero elegimos uno cualquiera de los ui, digamos u1 y tomamos v1 = u1, donde v w1 1 . v1 Ahora elegimos otro de los ui, digamos u2 y consideremos su proyección en v1, es u v decir, consideramos el vector u 2 1 v1 . Si los vectores fueran los vectores v1 v1 geométricos ordinarios, la relación entre u1, u2 y v1 sería como lo muestra la figura
El vector v2 está definido por v2
u2
u2 v1 v1 v1
v1
y podemos comprobar que v2 es ortogonal a v1. En efecto, u v v2 v1 = u2 v1 - 2 1 v1 v1 = u2 v1 - u2 v1 = 0. v1 v1 Para obtener un vector unitario ortogonal w1, hacemos v w2 2 . v2 El vector w2 no puede ser cero, ya que, por su definición, esto implicaría que u2 y v1 son linealmente independientes. Una vez encontrado v1 y v2, elegimos u3 y formamos su proyección en el subespacio de V generado por v1 y v2. Por definición, este es el vector u3 v1 u3 v2 v v1 v2 . v1 v1 v2 v2 Definimos v3 restando esta proyección a u3 u3 v1 u3 v2 v3 u3 v1 v2 . v1 v1 v2 v2 Como antes, podemos verificar que v3 es ortogonal a v1 y v2. En efecto
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
v3 v1 = u3 v1 -
291
u3 v1 v1 v1
v1 v1
u3 v2 v2 v2
v2 v1 = u3 v1 - u3 v1 = 0
Análogamente
v3 v2 = u3 v2 -
u3 v1 v1 v1
v1 v2 -
u3 v2 v2 v2
v2 v2 = u3 v2 - u3 v2 = 0
En la figura se muestran estos vectores. Definimos w3 por w3
v3 v3
.
Nuevamente, v3 = implicaría la dependencia lineal de u3, v1 y v2. Pero como el subespacio generado por v1 y v2 es igual al generado por u1 y u2, esto implicaría la dependencia lineal de los ui. Procediendo de esta manera, calculamos sucesivamente v1, v2, ..., vk . Para encontrar vk , escribimos u v u v u v vk uk k 1 v1 k 2 v2 ... k k 1 v k 1 v1 v1 v2 v2 vk 1 vk 1 de donde wk
vk vk
.
Como anteriormente, podemos verificar que vk es ortogonal a v1, v2, ..., vk-1.
EJEMPLO 6.4.2 Supongamos que V es el plano generado por v1 = (1, 0, 0, 0) y v2 = (1, 1, 0, 0) y W es la recta generada por w1 = (0, 0, 4, 5). Encontrar, un w2 de tal manera que el plano W generado por w1 y w2 continúe siendo ortogonal a V. Encontrar un v3 de tal manera que el subespacio tridimensional generado por v1, v2 y v3, sea ortogonal a la recta original W. SOLUCION Para que el plano W sea ortogonal a plano V, debe cumplir las siguientes condiciones: (a, b, c, d ) (1, 0, 0, 0) = 0 a = 0; (a, b, c, d ) (1, 1, 0, 0) = 0 a + b = 0. De estas dos condiciones, obtenemos que a = b = 0: (a, b, c, d ) = (0, 0, c, d ) = c(0, 0, 1, 0) + d (0, 0, 0, 1). Por tanto el vector buscado es: w2 = (0, 0, 1, 0) o w2 = (0, 0, 1, 0). Para que el subespacio generado por {v1, v2, v3} sea ortogonal a la recta W, debe cumplir la siguiente condición: JOE GARCIA ARCOS
292
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
( x, y, z , t ) (0, 0, 4, 5) = 0
4 z + 5t = 0
5 z t . 4
Es decir:
( x, y, z, t ) x, y,
4t 4 , t x(1, 0, 0, 0) y(0, 1, 0, 0) t 0, 0, , 1 . 5 5
Siendo v3 = (0, 0, -4, 5) el vector buscado.
EJEMPLO 6.4.3 ¿Porqué el plano x + 2 y + z = 0 y cada plano x + 2 y + z = k es ortogonal a la recta generada por (1, 2, 1)? SOLUCION La base del plano x + 2 y + z = 0 es B = {(-2, 1, 0), (-1, 0, 1)}. Como estos vectores son ortogonales al vector (1, 2, 1): (-2, 1, 0) (1, 2, 1) = -2 + 2 + 0 = 0; (-1, 0, 1) (1, 2, 1) = -1 + 0 + 1 = 0. Entonces concluimos que el plano dado que pasa por el origen es ortogonal a la recta. Además como el plano x + 2 y + z = 0 es paralelo a los planos x + 2 y + z = k , entonces el plano x + 2 y + z = k también es ortogonal a la recta. EJEMPLO 6.4.4 3 Encontrar una base ortogonal para , partiendo del vector (1, 1, -1). SOLUCION Si u = (1, 1, -1) y v = (a, b, c), entonces: u v = 0 (1, 1, -1) (a, b, c) = a + b – c = 0 a + b – c = 0. Si a = - b + c, entonces: (a, b, c) = (-b + c, b, c) = b(-1, 1, 0) + c(1, 0, 1). Como estos vectores son ortogonales al vector (1, 1, -1), entonces la base ortogonal buscada es: {(1, 1, -1), (-1, 1, 0), (1, 0, 1)}. EJEMPLO 6.4.5 Sean u1, u2, ..., un vectores mutuamente perpendiculares, y tales que ui
0 para
todo i. Sea u un elemento de V, y sea i la componente de u a lo largo de ui. Sean 1, 2, ..., n números. Entonces u
n
n
u
u k uk
k k
k 1
k 1
SOLUCION
Se sabe que u
n
u
k k
es perpendicular a cada uno de los ui, i = 1, 2, ..., n. Por
k 1
tanto, es perpendicular a cualquier combinación lineal de u1, u2, ..., un. Ahora u
2
n
u
k k
n
n
k 1
k 1
2
u k uk (k k )uk
k 1
u
2
n
u
k k
k 1
2
n
(
k
k )uk
k 1
Por el teorema de Pitágoras. Esto prueba que u
2
n
u
k k
k 1
u
2
n
u
k k
.
k 1
EJEMPLO 6.4.6 Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en 4. Normalizar el vector 3 2 u = e1Sen + e2Sen Cos + e3SenCos + e4Cos. JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
293
SOLUCION 3 2 Como el vector u = (Sen , Sen Cos, SenCos, Cos), entonces u || u ||
(Sen3, Sen2 Cos , SenCos, Cos) Sen6 Sen4 Cos2 Sen2 Cos2 Cos2 (Sen3, Sen2 Cos, SenCos, Cos)
1
(Sen3, Sen2 Cos, SenCos , Cos ) . EJEMPLO 6.4.7 Demuestre que el conjunto S
2 2 6 6 6 3 3 3 , 0, , , , , , , 2 6 3 6 3 3 3 2
es base ortonormal de 3. SOLUCION Primero demostraremos que los vectores del conjunto S son ortogonales tomados de dos en dos:
2 2 6 6 6 12 12 0 0 , 0, , , 2 6 3 6 12 12 2 2 2 3 3 3 6 6 0 0 , 0, , , 2 3 3 3 6 6 2 6 6 6 3 3 3 18 18 18 0 , , , , 6 3 6 3 3 3 18 9 18
Además, cada vector debe tener longitud 1:
2 2 , 0, 2 2
2 2 2 2 1 1 0 1 , 0, , 0, 2 2 2 2 2 2
6 6 6 , , 6 3 6
6 6 6 6 6 6 1 2 1 1 , , , , 6 3 6 6 3 6 6 3 6
3 3
,
3 3
,
3 3
3 3
,
3 3
,
3 3
3 3
,
3 3
,
3 3
1 3
1
1
3
3
1
Por consiguiente, S es un conjunto ortonormal. Dado que los tres vectores no son coplanares, se sabe que generan a 3. EJEMPLO 6.4.8 4 Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en . ¿Para qué valor de k la base constituida por los vectores u1 = ke1 + e2 + e3 + e4, u2 = e1 + ke2 + e3 + e4 u3 = e1 + e2 + ke3 + e4, u4 = e1 + e2 + e3 + ke4 es ortogonal? Normalizar esta base. SOLUCION Los vectores son u1 = (k , 1, 1, 1), u2 = (1, k , 1, 1), u3 = (1, 1, k , 1), u4 = (1, 1, 1, k ), entonces para encontrar el valor del parámetro k , de tal forma que los vectores sean ortogonales, procedemos de la siguiente manera: u1 u2 = 2k + 2 = 0; u1 u3 = 2k + 2 = 0; u1 u4 = 2k + 2 = 0; u2 u3 = 2k + 2 = 0; u2 u4 = 2k + 2 = 0; u3 u4 = 2k + 2 = 0; Como la ecuación 2k + 2 = 0 es común en todos los productos interiores, la solución JOE GARCIA ARCOS
294
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
es k = -1. Los vectores son los siguientes: u1 = (-1, 1, 1, 1), u2 = (1, -1, 1, 1), u3 = (1, 1, -1, 1), u4 = (1, 1, 1, -1). A continuación, cada vector lo dividimos para su correspondiente norma para normalizar cada uno de los vectores. Es decir: u1 (1,1,1, 1) 1 1 1 1 , , , ; || u1 || 2 2 2 12 12 12 12 2 u2 (1, 1, 1,1) 1 1 1 1 , , , ; || u2 || 2 2 2 12 12 12 12 2 (1,1, 1, 1)
1 1 1 1 , , , ; || u3 || 2 2 2 12 12 12 12 2 u4 (1,1, 1, 1) 1 1 1 1 , , , . 2 2 2 2 || u4 || 2 2 2 2 1 1 1 1 u3
EJEMPLO 6.4.9 Demuestre que dado cualquier vector u de longitud 1, entonces existe una base ortonormal con u como primer elemento. SOLUCION Ya que el conjunto {u} es linealmente independiente, se puede extender hasta una base con u como primer elemento. Ahora bien, cuando se aplica el proceso de ortonormalización, el primer vector, siendo de longitud 1, no se cambia y se convierte en el primer vector de una base ortonormal. EJEMPLO 6.4.10 Aplique el proceso de ortonormalización a la base S = {(1, 0, -1), (1, 2, 0), (0, 1, 1)}. SOLUCION Aplicando el teorema correspondiente, obtenemos: v1 = u1 = (1, 0, -1). u2 v1 (1, 2, 0) (1, 0, 1) v2 u2 v1 (1, 2, 0) (1, 0, 1) v1 v1 (1, 0, 1) (1, 0, 1) 1 1 1 (1, 2, 0) (1, 0, 1) , 2, . 2 2 2 u3 v1 u3 v2 v3 u3 v1 v2 v1 v1 v2 v2
1 1 (0, 1, 1) , 2, 2 2
(0,1,1) (1, 0, 1) 1 , 2, 1 (1, 0, 1) (1, 0, 1) (1, 0, 1) 1 , 2, 1 1 , 2, 1 2 2 2 2 2 2 1 5 1 1 2 1 2 (0,1, 1) (1, 0, 1) , 2, , , . 2 92 2 9 9 9 2 v 1 2 w1 1 (1, 0, 1) , 0, ; 2 v1 2 2 v 1 1 1 2 2 2 2 w2 2 , 2, , , ; v2 2 6 3 6 9 2 (0,1, 1)
2 w3
v3 v3
1 7
2, 1, 2 2 7 , 9 9 9 7
7 2 7 , . 7 7
81 JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
295
Por tanto S´´
2 2 2 2 2 2 7 7 2 7 2 , 0, , , , , , , 2 6 3 6 7 7 7 2
es base ortonormal de
3
.
EJEMPLO 6.4.11 2 Encuentre una base ortonormal para los polinomios de la forma ax + (a + b) x + 2b. SOLUCION Una posible base para este subespacio se determina de la siguiente manera: (a, a + b, 2b) = a(1, 1, 0) + b(0, 1, 2) Base U = {(1, 1, 0), (0, 1, 2)}. Ortogonalizamos esta base: v1 = (1, 1, 0); (0,1, 2) (1, 1, 0) 1 1 1 v2 (0,1, 2) (1, 1, 0) (0,1, 2) (1, 1, 0) , , 2 . (1, 1, 0) (1,1, 0) 2 2 2 Por tanto la base ortogonal está formada por los siguientes vectores:
1 1 (1, 1, 0), , , 2 . 2 2 Normalizando cada uno de estos elementos, encontramos la base o rtonormal:
1 1 1, 1, 4 . (1, 1, 0 ), 10 2 EJEMPLO 6.4.12 Encuéntrese en 3 una base, que conste de dos vectores unitarios ortogonales entre sí, para el subespacio compuesto de todos los puntos ( x, y, z ) para los que se verifica que x + y + z = 0. SOLUCION Como x + y + z = 0, entonces x = - y – z : ( x, y, z ) = (- y – z , y, z ) = y(-1, 1, 0) + z (-1, 0 1). Por tanto {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)} es base de U. Ortogonalizando, obtenemos: v1 = (-1, 1, 0); (1, 0,1) ( 1,1, 0) v2 (1, 0,1) (1,1, 0) (1,1, 0) ( 1,1, 0) 1 1 1 (1, 0,1) ( 1,1, 0) , , 1 . 2 2 2
La base ortogonal esta formada por los vectores:
1 1 (1,1, 0), , , 1 . 2 2 Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal:
1 1 (1, 1, 2) . (1, 1, 0), 6 2 EJEMPLO 6.4.13
k 1 k , r , ¿Para qué valores de k y r la base constituida por los vectores u , 3 3 1 k , r , k y w r , k , 1 k es ortonormal? 3 3 3 3
v
SOLUCION Para encontrar el valor de los parámetros k y r , de tal forma que los vectores u, v y w sean ortonormales, se procede de la siguiente manera: JOE GARCIA ARCOS
296
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
u v 0
k , 1 k , 3 3
1 k , r , k k 2 k r 0 k 2 – k – 3r = 3 9 9 3 3
r
0;
u w 0
k , 1 k , 3 3
r r ,
k 1 k , 3 3
k2 9
k
r
9
3
0 k 2 – k – 3r
= 0;
v w 0
1 k , r , k r , k , 1 k k 2 k r 0 k 2 – k – 3r = 3 3 3 3 9 9 3 0;
u
1
k , 1 k , 3 3
r 2
k , 1 k , 3 3
k 1 k , r r , 3 3
1
2
2k – 2k + 9r = 8; v
1
1 k , r, k 3 3 2
1 k , r , k 1 k , r , k 1 3 3 3 3 2
2k – 2k + 9r = 8; u
1
r, k , 1 k 3 3 2
r , k , 1 k r , k , 1 k 1 3 3 3 3 2
2k – 2k + 9r = 8. De todas estas condiciones, obtenemos únicamente dos ecuaciones:
k 2 k 3r 0 . 2 2k 2k 9r 2 8 Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos:
2 k 1 2 r 1 , k 1 3 2 1 i 15 . k 3 2 r 4 , 2 3 1 i 15 k 4 2 Por lo tanto los valores de k y r son k = 2, r
2 3
y k = -1, r
2 3
.
EJEMPLO 6.4.14 Considerar el plano dado implícitamente por la ecuación x + y + z = 0 en el espacio 3 euclidiano de tres dimensiones . Construir una base ortonormal en la siguiente forma: seleccionar una base ortonormal para el subespacio formada por puntos del plano y luego calcular un tercer vector unitario y ortogonal al plano. SOLUCION Dado el plano x + y + z = 0, entonces x = - y – z : ( x, y, z ) = (- y – z , y, z ) = y(-1, 1, 0) + z (-1, 0 1). Por tanto {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)} es base de U. Ortogonalizando, obtenemos: v1 = (-1, 1, 0); (1, 0,1) ( 1,1, 0) v2 (1, 0,1) (1,1, 0) (1,1, 0) ( 1,1, 0) 1 1 1 (1, 0,1) ( 1,1, 0) , , 1 . 2 2 2
La base ortogonal esta formada por los vectores:
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
297
1 1 (1, 1, 0), , ,1 . 2 2 Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal:
1 1 (1, 1, 2) . (1, 1, 0), 6 2 Para encontrar el tercer vector, realizamos las siguientes operaciones:
w u 0 w v 0 w
(a, b, c)
(a, b, c)
1
(a, b, c)
1 6
1 2
(1,
(1, 1, 0)
1, 2)
a b 2
a b 2c 6
( a, b, c) ( a, b, c)
0 a – b = 0; 0 a + b – 2c = 0;
1 a2 + b2 + c2 = 1.
Como a = b, entonces c = b. Por lo tanto, reemplazando estos valores en la ecuación a2 + b2 + c2 = 1, obtenemos el tercer vector:
1
,
1
,
. 3
1
3 3 De esta manera la base buscada tiene la siguiente forma:
1 1 1 (1, 1, 2), (1, 1, 1) . (1, 1, 0), 6 3 2 EJEMPLO 6.4.15 Considérese el subespacio de 4 generado por los vectores u1 = (1, 0, 1, 0) y u2 = (1, -1, 1, -1), para construir una base ortonormal v1, v2 para el subespacio y luego construir una base ortonormal para 4 que contenga a v1 y v2. SOLUCION Dados los vectores u1 = (1, 0, 1, 0) y u2 = (1, -1, 1, -1), ortogonalizamos y luego normalizamos cada uno de estos vectores: v1 = (1, 0, 1, 0); (1, 1,1, 1) (1, 0,1, 0) v2 (1, 1, 1, 1) (1, 0,1, 0) (1, 0,1, 0) (1, 0,1, 0) (1, 1,1, 1) (1, 0,1, 0) (0, 1, 0, 1) .
La base ortogonal esta formada por los vectores:
(1, 0,1, 0), (0, 1, 0, 1) . Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal: 1 1 (0, 1, 0, 1) . (1, 0,1, 0), 2 2
Para construir la base ortonormal para las siguientes condiciones: (a, b, c, d ) (a, b, c, d ) ( x, y, z, t )
1 2
1 2
(1, 0,1, 0)
(0, 1, 0, 1)
4
, tomamos un vector (a, b, c, d ) que cumpla
0 0
( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
ac 2
0 a + c = 0;
b d 2
0 b + d = 0;
1 x2 + y2 + z 2 + t 2 = 1. 2
2
Como a = -c y b = -d , entonces reemplazando estos valores en la ecuación x + y + z 2 + t 2 = 1, obtenemos el tercer vector: 1 (0, 1, 0,1) . 2 Para encontrar el cuarto vector hacemos que c = -a y d = -b, reemplazando estos JOE GARCIA ARCOS
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valores en la ecuación x + y + z + t = 1, obtenemos el vector: 1 (1, 0, 1, 0) . 2 De esta manera hemos encontrado la base de 4: 1 1 1 1 (0, 1, 0, 1), (0, 1, 0,1), (1, 0, 1, 0) . (1, 0,1, 0), 2 2 2 2
Un sistema de vectores e1, e2, ..., en considerados en un orden determinado ha sido llamado sistema de coordenadas de un espacio vectorial V, si e1, e2, ..., en forman una base del espacio vectorial V. Si e1, e2, ..., en es una base ortonormal, también el sistema de coordenadas se denomina ortonormal. TEOREMA 6.4.8 Cualquier sistema ortonormalizado de vectores w1, w2, ..., wk puede ser completado hasta obtener una base ortonormalizada de este espacio. EJEMPLO 6.4.16 Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en 4. Hallar un vector normalizado que sea ortogonal a los vectores u = 3e1 – e2 – e3 – e4, v = e1 - 3e2 + e3 + e4 y w = e1 + e2 - 3e3 + e4. SOLUCION Como u = (3, -1, -1, -1), v = (1, -3, 1, 1) y w = (1, 1, -3, 1), debemos encontrar un vector unitario z que sea ortogonal a u, v y w, es decir: (3, 1, 1, 1)
(1, 3,1,1)
(1,1, 3,1)
(a, b, c, d ) a2
b2 c 2 d 2
(a, b, c, d ) a2
b2 c2 d 2 (a, b, c, d )
3a b c d
0
0 0
a
2
b2 c2 d 2
a 3b c d a2
b2 c2 d 2
a b 3c d
0
0 0
a 2 b 2 c2 d 2 a 2 b2 c2 d 2 Estas operaciones generan el siguiente sistema de ecuaciones homogéneas 3a b c d 0
a 3b c d 0 a b 3c d 0
Por eliminación gaussiana, tenemos a = b = c = d . Por lo tanto una posible solución particular es (1, 1, 1, 1) y el vector buscado es (1, 1,1,1) 1 1 1 1 z , , , . 2 2 2 12 12 12 12 2
PROBLEMAS 6.4.1 Dados los vectores u = (1, -1, 2, -1), v = (-2, 2, 3, 2), w = (1, 2, 0, 1) y x = (1, 0, 0, 1). Encuentre una base ortonormal con respecto al producto interior canónico y luego determine el vector de coordenadas de y = (-1, 1, -1, 1) con respecto a la base. n
6.4.17 Sea S = {u1, u2, ..., un} una base de . Demuestre n que el único vector v ortogonal a todos y cada uno de los vectores de S es el vector .
n
6.4.12 Sea V un subespacio r -dimensional de tal que r < n. Demuestre que cualquier vector u en n puede expresarse de manera única en la forma u = v + w, donde v está en V y w es ortogonal a todo vector en V. 6.4.11 Sea S = {u1, u2, ..., uk } un conjunto ortogonal de k vectores en n. Demuestre que si k > n, entonces alguno de los vectores de este conjunto es el vector . JOE GARCIA ARCOS
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299
6.4.2 Para cualquier subespacio U de dimensión m 1 en un espacio vectorial V de dimensión n (m < n), demostrar que V tiene una base ortonormal formada de m vectores en U y n – m vectores ortogonales a todos los vectores en U.
6.4.8 Agregar a la matriz 1 1 1
6.4.3 Sea un espacio vectorial V de dimensión n, entonces cualquier conjunto de n vectores ortogonales es una base de V.
dos filas más, que sean ortogonales entre sí y ortogonales a las primeras tres filas.
6.4.4 Para que dos subespacios sean ortogonales, es necesario y suficiente que todo vector de cualquier base de un subespacio sea ortogonal a todos los vectores de cualquier base de otro subespacio. 6.4.5 Completar los siguientes sistemas de vectores hasta bases ortonormales:
11 2 2 2 14 1 , , , , , ; 5 15 3 15 15 3 1 1 1 1 1 1 1 1 b.- , , , , , , , . 2 2 2 2 2 2 2 2 a.-
6.4.6 Sea u1, u2, …, un una base ortonormal de un espacio euclídeo. Hallar la expresión del producto interior de los vectores arbitrarios u y v haciendo uso de sus coordenadas: a.- En la base 1u1, 2u2, …, nun, donde 1, 2, …, n son escalares no nulos; b.- En la base u1 + u2, u2, u3, …, un. 6.4.7 Describe los vectores u que son ortogonales al vector (-3, 4 , 3). Verifique que éste es un subespacio de 3 del tipo S = {( x, y, z ) / ax + by + cz = 0}. Más en general, demuestre que todo subespacio S de 3 como el anterior, es descrito como S = {u / u v = 0} para algún 3 v . 3
6.4.15 Escriba de manera vectorial cada una de las rectas dadas a continuación. Es decir, como un conjunto de 2 vectores ( x , y) tales que ( x, y) = (0, b) + t (1, m), t R , haciendo una gráfica en cada caso: a.- y = 5 x; b.- y = 2 x – 1; c.- y = - x + 5; d.- y = -3 x – 1; e.- y = x – 7. 6.4.16 Considere la recta L = {( x, y) / ( x, y) = (0, 3) + t (1, 2), t }. Verifique que (2, 7) L. ¿Significa esto que el vector (2, 7) se encuentra sobre la recta L? 6.4.18 Se sabe que todo conjunto ortogonal de n vectores n no nulos en es una base de este espacio. ¿Es cierta la afirmación recíproca? 6.4.13 Hallar un vector normalizado que sea ortogonal a los vectores (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3).
1 2
2
2 2 1
0
0
1
1
1
0
6.4.9 Mediante el proceso de ortogonalización, construir una base ortogonal del subespacio dado por el sistema de vectores: a.- (2, 3, -4, -6), (1, 8, -2, -16), (12, 5, -14, 5), (3, 11, 4, 7); b.- (1, 1, -1, -2), (-2, 1, 5, 11), (0, 3, 3, 7), (3, -3, -3, -9). 6.4.10 Para el sistema de ecuaciones 3 x y z u 0
x 2 y z u 0
hallar un sistema fundamental ortonormal de soluciones. 6.4.14 Sea {u1, u2, ..., uk } un subconjunto ortonormal n n de y sea u cualquier vector en . Demuestre que 2
u
k
u ui 2 . i 1
6.4.25 Sea {u1, u2, ..., un} una base ortonormal de Demuestre que u
2
u u1
2
u u2
para cualquier vector u en
2
... u un
n
.
2
n
.
6.4.26 Determine los números a0, b0, b1, c0, c1, c2 de modo que las funciones f ( x) = c0, g ( x) = b0 + b1 x, h( x) = 2 c0 + c1 x + c2 x formen un conjunto ortonormal sobre el intervalo – 1 x 1. 6.4.27 Demostrar que si las funciones f ( x), g ( x), h( x) forman un conjunto ortogonal sobre un intervalo a x b, entonces las funciones f (t + ), g (t + ), h(t + ), 0, forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo a b . t
6.4.28 Agregar a la matriz 3 1
1
1
1
2
1 1 1
1 2 3
2 1 2
dos filas más, que sean ortogonales entre sí y ortogonales a las primeras tres filas. 6.4.19 Mediante el proceso de ortonormalización, hallar una base ortogonal del espacio engendrado por los vectores (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0). JOE GARCIA ARCOS
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3
6.4.20 Considere la base canónica de . Determine la matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(2/3, 2/3, 1/3), (2/3, 1/3, -2/3), (1/3, 2/3, 2/3)} es una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S? 6.4.21 Hallar un vector normalizado que sea ortogonal a los vectores (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3). 6.4.22 Construir una base ortonormal del espacio, tomando como vectores de la base los vectores (1/2, 1/2, 1/2, 1/2) y (1/6, 1/6, 1/2, -5/6). 6.4.23 Considere la base canónica de 2. Determine la matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(½, ½, ½, ½), (½, ½, -½, -½), (½, -½, ½, -½), (½, -½, -½, ½)} es una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S? 6.4.30 Mediante el proceso de ortogonalización, hallar una base ortogonal del espacio engendrado por los vectores (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0).
6.4.29 Sea S = {(1, -1, 1), (1, 2, -2)} una base de un 3 subespacio de y sea u = (-1, -1, 3) un vector en el subespacio: a.- Exprese u como una combinación lineal de los vectores en S. Es decir, encuentre las coordenadas de u con respecto a S; b.- Aplique el proceso de ortonormalización de GramSchmidt para transformar S en un conjunto ortonormal; c.- Exprese u como una combinación lineal de los vectores de la base ortonormal. 6.4.24 Encuentre bases ortonormales para los subespacios 4 de C : a.- S = {( x, y, z , u) C4 / ix – y + z = 0}; 4 b.- S = {( x, y, z , u) C / x = iu, y = iz + iu}. 2
6.4.31 Considere la base canónica de . Determine la matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(3/5, 4/5), (-4/5, 3/5)} es una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S?
6.5 SUBESPACIO COMPLEMENTO ORTOGONAL, PROYECCIONES ORTOGONALES Y DISTANCIA A UN SUBESPACIO En esta sección se estudiarán varios problemas relacionados con el complemento ortogonal, proyecciones ortogonales y la distancia de un vector a un subespacio. Consideremos ahora un conjunto no vacío cualquiera S de vectores de un espacio vectorial V. El conjunto de todos los vectores del espacio V ortogonales a S se llama complemento ortogonal del conjunto S. DEFINICION 6.5.1 Sea V un espacio vectorial euclídeo y S es un subconjunto de V. El complemento ortogonal de S en V es definido y representado por el subespacio S = {v V / v w = 0, para cada w S}.
Si U es un subespacio de dimensión finita de V, la proyección ortogonal ProyU : V V es la única operación lineal donde ProyU(w) = w para todo W U, y ProyU(v) = para todo v U. TEOREMA 6.5.1 Dado V un espacio vectorial euclídeo, entonces U es un subespacio de V. DEMOSTRACION Si u y v pertenecen al complemento ortogonal U y w es un vector cualquiera de U, se tiene au + bv w = au w + bv w = 0. Por consiguiente, cualesquiera que sean a y b el vector au + bv está contenido en U y U es un subespacio vectorial. DEFINICION 6.5.2 La totalidad de todos los vectores ortogonales al subespacio U, se denomina complemento ortogonal del subespacio U y se representa por U. JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
301
Si U es un subespacio del espacio vectorial euclídeo V, su subespacio ortogonal U es tal que la suma de U y U es directa. El hecho de que en el espacio ordinario ocurra que U y U sean siempre subespacios suplementarios puede hacer suponer que ocurra también así en todo espacio vectorial euclídeo; sin embargo, en general, las cosas no ocurren de esta manera, aun cuando, si el espacio es de dimensión finita, se satisfaga que el subespacio ortogonal de un subespacio dado sea un subespacio suplementario suyo. TEOREMA 6.5.2 El espacio euclídeo V es la suma ortogonal de cualquier subespacio vectorial U de V y su complemento ortogonal U, es decir V = U U. DEMOSTRACION Sea u1, u2, ..., uk una base ortonormal del subespacio U y sea uk+1, uk+2, ..., un una base ortonormal del subespacio U. Para demostrar el teorema es suficiente ver que u1, u2, ..., uk , uk+1, uk+2, ..., un es una base del espacio vectorial V. Supongamos, por el contrario, que el sistema u1, u2, ..., un no es una base del espacio vectorial V. Entonces este sistema puede ser complementado hasta obtener una base ortonormal del espacio vectorial V. Sea u uno de los vectores complementarios. Puesto que u es ortogonal a todos los vectores u1, u2, ..., uk , el vector u está contenido en U. Por consiguiente, U contiene un sistema ortonormal y, por ende, linealmente independiente de vectores uk+1, uk+2, ..., un, u. Pero esto contradice a nuestra hipótesis de que uk+1, uk+2, ..., un es una base de U. TEOREMA 6.5.3 Si U es un subespacio de V, entonces DimU + DimU = n. Además, si {u1, u2, ..., uk } es una base de U y {uk+1, uk+2, ..., un} es una base de U , entonces {u1, u2, ..., uk , uk+1, uk+2, ..., un} es una base de V. DEMOSTRACION Si U = {}, entonces U = V y DimU + DimU = 0 + n = n. Para demostrar que {u1, u2, ..., uk , uk+1, uk+2, ..., un} es una base para U, basta probar que los n vectores son linealmente independientes. Supóngase que a1u1 + a2u2 + ... + ak uk + ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun = Sean u = a1u1 + a2u2 + ... + ak uk y v = ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun Tenemos entonces que u + v = , de donde u = - v. Por lo tanto, u y v son elementos de U U. Pero U U = {}. En consecuencia a1u1 + a2u2 + ... + ak uk = y ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun = Como u1, u2, ..., uk son linealmente independientes, entonces a1 = a2 = ... = ak = 0. De manera similar uk+1, uk+2, ..., un son linealmente independientes y por tanto, ak+1 = ak+2 = ... = an = 0. En consecuencia, u1, u2, ..., uk , uk+1, uk+2, ..., un son linealmente independientes y, en consecuencia, forman una base para V. TEOREMA 6.5.4 Supóngase que V es un espacio vectorial euclídeo y U es un subespacio de V de dimensión finita. Entonces la única proyección ortogonal es ProyU : V V. Sea S = {w1, w2, ..., wk } una base ortonormal de U. La proyección ortogonal ProyU se establece como ProyU(v) = v w1w1 + v w2w2 + ... + v wk wk . DEMOSTRACION Como S ={w1, w2, ..., wk } es una base ortonormal de U, un vector v se puede expresar como v = a1w1 + a2w2 + ... + ak wk . Para todo vector wi en S se tiene JOE GARCIA ARCOS
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
v wi = a1w1 + a2w2 + ... + ak wk wi = a1w1 wi + a2w2 wi + … + ak wk wi Como S es un conjunto ortonormal, entonces se cumple que wi wi = 1 y w j wi = 0 si i j. Por consiguiente, la expresión anterior se reduce a v wi = ai, con lo cual queda demostrado el teorema. 3
Sea U un plano que pasa por el origen de R , y sea u un punto arbitrario que no está en U. Entonces, si v indica la proyección perpendicular de u a U, la distancia de u a U se define como la longitud del vector u – v, como se muestra en la figura. Más aún, el vector v se caracteriza por la propiedad de que es el vector único en U tal que u – v es perpendicular a U. El vector v en la descomposición u = v + w se llamará proyección del vector u sobre el subespacio U; w, perpendicular trazada desde el vector u al subespacio U; el propio vector u, línea oblicua al subespacio U. DEFINICION 6.5.3 Se denomina ángulo entre el vector u y el subespacio U el menor de los ángulos formados por el vector u y los vectores de U.
Ahora se hace ver que el vector w, que es llamado la componente de u perpendicular a U, puede usarse para medir la distancia de u a U. Para hacerlo, sea z w cualquier vector en V tal que u – w pertenezca a U (puede imaginarse a z como un vector de U al punto u). Entonces, ya que z – w puede expresarse como la diferencia de dos vectores en U, también pertenece a U y, así, es ortogonal a w. Ahora se sigue, del 2 2 2 teorema pitagórico, que || z || = || w || + || z – w || y, luego, ya que || z – w || > 0, que || z || > || w ||. En otras palabras, de todos los vectores z en V tales que u – z pertenezca a U, w es aquél cuya longitud es la menor. Esto sirve para justificar la siguiente definición. Si U es un subespacio de dimensión finita de un espacio euclídeo V, y u es cualquier vector en V, entonces la distancia de u a U es la longitud de la componente de u perpendicular a U. En términos de una definición se puede describir la proyección perpendicular u – w de u sobre U como aquel punto en el cual U está más cercano a u, en el sentido de que si x es otro vector cualquiera en U, entonces || u – x || es mayor que || w ||. EJEMPLO 6.5.1
Dada la matriz
P
2 4
1
. Hallar el conjunto de todas las matrices M tales que
2
PM = MP y determine el complemento ortogonal. SOLUCION Para determinar el conjunto de matrices M para que cumpla PM = MP, debemos tomar una matriz M cuyos elementos sean variables y luego multiplicar por la izquierda y por la derecha de la igualdad a la matriz P, es decir
4b c 0 a d 0 4b c 0 2 1 a b a b 2 1 4 2 c d c d 4 2 a d 0 a d 0 4b c 0 S
a c
b
d
a d 0 4b c 0
0 Base S = 4
1
1 , 0 0
0
.
1
Aplicando la definición de complemento ortogonal, obtenemos
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
303
a c a c
b
0 1 b 4c 0 b = - 4c; d 4 0 b 1 0 a d 0 a = - d ; d 0 1 a b b 4c S . c d a d
EJEMPLO 6.5.2 Sea V un espacio vectorial con producto interior y sean U y W subespacios de V. Verifíquese lo siguiente: a.- Si U W entonces W U ; b.- Span(U ) = U ; c.- U (U ) ; d.- Si V es de dimensión finita, entonces U = (U ) ; e.- (U + W) = U W; f.- U + W (U W) . SOLUCION a.- Suponga que U W y que u W ; entonces u v = 0 para todo v W, luego para todo v U; por lo tanto, u U . b.- Por el inciso a), sabemos que Span(U ) U . Veremos también que U Span(U ). Si u es un elemento de Span(U), entonces u puede escribirse como combinación lineal de elementos de U, es decir u = a1u1 + a2u2 + ... + anun para algunos escalares a1, a2, ..., an y algunos vectores u1, u2, ..., un de U. Por tanto, si v U, tenemos que u v = a1u1 v + a2u2 v + ... + anun v = 0 y v pertenece a Span(U). c.- Si u U y v U, entonces u v = 0. Luego, si u U, u es ortogonal a todo elemento de U; por lo tanto, u (U). Con esto hemos visto que U (U). d.- Basta tener en cuenta que U (U ) y que ambos subespacios tienen la misma dimensión. e.- Por el inciso a), al estar U y W contenidos en U + W, se tiene que (U + W) U y (U + W) W, y en consecuencia (U + W) U W. Además, si u U W y v = v1 + v2 U + W con v1 U y v2 W, u v = u v1 + u v2 = 0, y u (U + W). f.- Del inciso a) se deduce que U ( U W) y W ( U W), luego, por la definición de subespacio suma, tenemos que U + W (U W). EJEMPLO 6.5.3 Demuestre que Span(S) = S. SOLUCION Ya que S es un subespacio que contiene a S, Span(S) S Span(S), S (Span(S)), S (Span(S)) = Span(S).
S . Sabemos que
EJEMPLO 6.5.4 Determinar la proyección ortogonal del vector u = (1, 2, 3) sobre el subespacio generado por el plano a + 2b – c = 0. SOLUCION Debemos encontrar la base ortonormal para el subespacio generado por a + 2b – c = 0. Es decir c = a + 2b y (a, b, c) = (a, b, a + 2b) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 2). Por lo tanto {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} forman una base para el subespacio. La base ortonormal la podemos encontrar utilizando el proceso de Gram – Schmidt; JOE GARCIA ARCOS
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
1 1 (1, 0,1), (1,1,1) 3 2 Por lo tanto la proyección ortogonal es ProyU v (1, 2, 3)
1 2
(1, 0, 1)
1 2
(1, 0, 1)
(1, 2, 3)
1 3
( 1, 1, 1)
1 3
( 1, 1, 1)
4 4 2 4 10 (1, 0, 1) (1, 1, 1) , , . 2 3 3 3 3 EJEMPLO 6.5.5 Si V es el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales definidos en el intervalo [-1; 1], encuentre el subespacio complemento ortogonal: a.- W = {1, t , t 2}; b.- W = {t + t 2, t 2 + t 3}. SOLUCION 2 a.- Tomamos un genérico de P2, a + bt + ct , tales que cumpla con las siguientes condiciones: 1 2(3a c) a bt ct 2 1 (a bt ct 2 )dt 0 3a + c = 0; 1 3 1 2b a bt ct 2 t (a bt ct 2 )t dt 0 b = 0; 1 3 1 2(5a 3c) a bt ct 2 t 2 (a bt ct 2 )t 2 dt 0 5a + 3c = 0. 1 15 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas, obtenemos que a = b = c = 0. Por lo tanto W = {}. 2 3 b.- Tomamos un genérico de P3, a + bt + ct + dt , tales que cumpla con las siguientes condiciones: 1 2(5a 5b 3c 3d ) a bt ct 2 dt 3 t t 2 (a bt ct 2 dt 3 )(t t 2 )dt 0 1 15 5a + 5b + 3c + 3d = 0;
1
a bt ct 2 dt 3 t 2 t 3 1 (a bt ct 2 dt 3 )(t 2 t 3 )dt
2(35a 21b 21c 15d )
105 35a + 21b + 21c + 15d = 0.
0
Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas, obtenemos que a b
10d 7
3c 5
29d 35
,
. Por lo tanto el subespacio complemento ortogonal es:
W
3c 29d 10d a bt ct 2 dt 3 P3 / a ,b . 5 35 7
La base de este subespacio se encuentra de la siguiente manera: 3c 29d , 10d , c, d c 3 , 0,1, 0 d 29 , 10 , 0,1 (a, b, c, d ) 5 35 7 . 7 5 35 Entonces la base es: {3 5t 2, 29 50t 5t 3} .
EJEMPLO 6.5.6 ¿Dónde está la proyección del vector (1, 1, 1) sobre el plano generado por los vectores (1, 0, 0) y (1, 1, 0)? SOLUCION Para encontrar la proyección del vector sobre el plano, tenemos que encontrar una base ortonormal del plano. Es decir: JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
305
v1 (1, 0, 0) ; v2
(1, 1, 0)
(1,1, 0) (1, 0, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) . (1, 0, 0) (1, 0, 0)
La base ortogonal es {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal, que es precisamente la base ortogonal. Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano : Proyu = (1, 1, 1) (1, 0, 0)(1, 0, 0) + (1, 1, 1) (0, 1, 0)(0, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0). Con este resultado podemos darnos cuenta que, la proyección del vector (1, 1, 1) sobre el plano , está ubicado en el plano XY. EJEMPLO 6.5.7 Encontrar la proyección del vector (1, 2, 3, 4) sobre el subespacio de R 4 generado por los vectores (1, 0, 1, 0) y (1, -1, 1, -1). SOLUCION Para encontrar la proyección del vector sobre el subespacio, tenemos que encontrar una base ortonormal del subespacio. Es decir: v1 (1, 0,1, 0) ; v2
(1, 1,1, 1) (1, 0,1, 0) (1, 0,1, 0) (1, 0,1, 0) (1, 0,1, 0) (1, 1,1, 1) (1, 0,1, 0) (0, 1, 0, 1) . (1, 1, 1, 1)
La base ortogonal es {(1, 0, 1, 0), (0, -1, 0, -1)}. Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal: 1 1 (0, 1, 0, 1) . (1, 0,1, 0), 2 2
Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano : ProyWu (1, 2 , 3, 4 )
1 2
(1, 0, 1, 0 )
1 2
(1, 0, 1, 0 )
(1, 2, 3, 4 )
1 2
(0, 1, 0, 1)
1 2
(0, 1, 0, 1)
2(1, 0,1, 0) 3(0, 1, 0, 1) (2, 3, 2, 3) . EJEMPLO 6.5.8 Encontrar la proyección del vector (1, 2, 3) sobre el plano dado implícitamente por x + y + z = 0. SOLUCION Para encontrar la proyección del vector sobre el subespacio, tenemos que encontrar una base ortonormal del subespacio. Es decir: v1 (1,1, 0) ; v2
(1, 0,1)
(1, 0,1) (1,1, 0) 1 1 1 ( 1, 1, 0) ( 1, 0,1) ( 1,1, 0) , ,1 (1, 1, 0) (1,1, 0) 2 2 2
La base ortogonal es
1 1 (1,1, 0), , ,1 . 2 2 Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal:
1 1 (1, 1, 0), (1, 1, 2) . 6 2 Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano :
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
Proy W u (1, 2, 3)
1 2
( 1, 1, 0)
1 2
( 1, 1, 0)
(1, 2, 3) 1
1
2
2
1 6
(1, 1, 2)
1 6
( 1, 1, 2)
(1, 1, 0) (1, 1, 2) ( 1, 0, 1) . EJEMPLO 6.5.9 Para cada uno de los subespacios W de R 4, escriba el vector u dado como una suma de un vector de W y otro de W: a.- W = {(a, b, c, d ) / a = b}, u = (1, 3, 1, 1); b.- W = {(a, b, c, d ) / a + b + c + d = 0}, u = (2, 1, 1, 0); c.- W = {(1, 3, 1, 1), (2, -1, 0, 1)}, u = (1, 3, 1, 0); d.- W = {(2, 1, -1, 0), (3, 1, 0, 1)}, u = (2, 1, 0, 1). SOLUCION a.- La base de W la encontramos de la siguiente manera: (a, b, c, d ) = (b, b, c, d ) = b(1, 1, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0) + d (0, 0, 0, 1) {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Ortonormalizamos esta base, obtenemos:
1 (1,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1) . 2 Encontramos el vector v = ProyWu W de la siguiente manera: 1 v (1, 3,1,1) (1,1, 0, 0)(1,1, 0, 0) (1, 3,1,1) (0, 0,1, 0)(0,0, 1, 0) 2 (1, 3,1,1) (0, 0, 0,1) (0, 0, 0,1)
2(1,1, 0, 0) (0, 0,1, 0) (0, 0, 0,1) (2, 2,1,1) . Sabemos que w = u – v W, de donde: w = (1, 3, 1, 1) – (2, 2, 1, 1) = (-1, 1, 0, 0). De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W . b.- La base de W la encontramos de la siguiente manera: (a, b, c, d ) = (- b – c – d , b, c, d ) = b(-1, 1, 0, 0) + c(-1, 0, 1, 0) + d (-1, 0, 0, 1) {(-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)}. Ortonormalizamos esta base, obtenemos:
1 1 1 (1, 1, 1, 3) . (1 ,1, 0, 0), (1, 1, 2, 0), 6 2 3 2 Encontramos el vector v = ProyWu W de la siguiente manera: 1 1 v (2,1,1, 0) (1,1, 0, 0)( 1,1, 0, 0) (2,1,1, 0) ( 1, 1, 2, 0)( 1, 1, 2, 0) 2 6 1 (2,1,1, 0) ( 1, 1, 1, 3)( 1, 1, 1, 3) 12 1 1 1 (1, 1, 0 , 0) (1, 1, 2, 0) ( 1, 1, 1, 3) (1, 0 , 0, 1) . 2 6 3 Sabemos que w = u – v W , de donde: w (2,1,1, 0) (1, 0, 0, 1) (1,1,1,1) . De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W . c.- Sabemos que W es base. Por lo tanto tenemos que encontrar la base ortonormal:
1 1 (1, 3,1,1), (2, 1, 0,1) . 6 2 3 Encontramos el vector v = ProyWu W de la siguiente manera: JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
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v
1 12 11
1
(1, 3,1, 0) (1, 3,1,1)(1, 3,1,1) (1, 3,1, 0) (2, 1, 0,1)(2, 1, 0,1)
6 1 7 35 11 3 (1, 3,1, 1) (2, 1, 0,1) , , , 12 6 12 12 12 4
Sabemos que w = u – v W, de donde: 7 35 , 11 , 3 5 , 1 , 1 , 3 . w (1, 3, 1, 0) , 12 12 12 4 12 12 12 4 De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W. d.- Sabemos que W es base. Por lo tanto tenemos que encontrar la base ortonormal:
1 1 (4, 1, 7, 6 ) . (2, 1, 1, 0 ), 102 6 Encontramos el vector v = ProyWu W de la siguiente manera: 1 1 v (2,1, 0,1) (2,1, 1, 0) (2,1, 1, 0) (2,1, 0,1) (4, 1, 7, 6)(4, 1, 7, 6) 6 102 5 13 37 12 1 13 (2,1, 1, 0) (4, 1, 7, 6) , , , 6 102 17 17 17 17
Sabemos que w = u – v W, de donde: 1 4 37 12 1 13 3 5 w (2,1, 0,1) , , , , , , . 17 17 17 17 17 17 17 17 De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W . EJEMPLO 6.5.10 Sea W el espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales 2a b c 3d 0
4a 4b 4c 8d 0 3a 3b 3c 6d 0
Escriba el vector (7, -4, -1, 2) como una suma de un vector en W y otro en W. SOLUCION La base de este subespacio es: {(0, -1, 1, 0), (-5, 7, 0, 1)} Ortonormalizando esta base, obtenemos:
1 1 (10, 7 , 7, 2) . (0, 1, 1, 0 ), 202 2 Encontramos el vector v = ProyWu W de la siguiente manera: 1 v (7, 4, 1, 2) (0, 1,1, 0)(0, 1,1, 0) 2 1 (7, 4, 1, 2) (10, 7, 7, 2)( 10, 7, 7, 2) 202 3 1 (0, 1, 1, 0) (10, 7, 7, 2) (5, 5, 2, 1) . 2 2 Sabemos que w = u – v W, de donde: w = (7, -4, -1, 2) – (5, -5, -2, -1) = (2, 1, 1, 3). De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W . EJEMPLO 6.5.11 Encuentre la proyección ortogonal de cada uno de los vectores siguientes en [-; ] sobre el subespacio indicado W, y calcular la distancia del vector al subespacio y el JOE GARCIA ARCOS
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
ángulo formado por el vector y el subespacio: 2 a.- f (t ) = t , W = {1, Cost , Sent }; b.- f (t ) = Cos t , W = {1, Cos2t }. SOLUCION a.- Para encontrar la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio W, debemos ortonormalizar la base del subespacio W:
1 Cost Cost dt 0 ; 1 Sent Sent dt 0 ;
Cost Sent CostSent dt 0 . La base ortogonal es: {1, Cost , Sent }. Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal: 1
1 1 Sent
dt
2 ;
Sen t dt
Sent Sent
2
f (t ) Proy W f (t)
t 1 2 Sent t 1 2 Sent
2( 2
2
;
1 1 1 ; , Cost , Sent . 2
La proyección ortogonal es: 1 1 1 Proy W f (t ) t dt 1 tCost dt Cost 2 1 2Sent . La distancia del vector al subespacio es:
Cos t dt
Cost Cost
Cost
tSent dt
Sent
(t 1 2Sent)
2
dt
3)
. 3 El ángulo formado por el vector y el subespacio es: t 1 2Sent ( f (t), Proy W f (t)) ArcCos t 1 2Sent
ArcCos
t (1 2Sent) dt t dt (1 2Sent) 2
2
2
ArcCos .
dt
b.- Para encontrar la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio W, debemos ortonormalizar la base del subespacio W:
1 Cos2t Cos2t dt 0 . La base ortogonal es: {1, Cos2t }. Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal: 1 Cos 2t
dt
1 1
Cos 2t Cos2t
1 2
1
,
Cos
2
2t dt
;
Cos2t .
La proyección ortogonal es: 1 1 Proy W f (t ) Cos2t dt 1 2 1 1 Cos2t Cos2t . 2 2 La distancia del vector al subespacio es:
2 ;
Cos2tCos2t dt Cos2t
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
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f (t ) Proy W f (t)
Cos2t Cos2t Cos2t Cos2t
0 dt 0 .
El ángulo formado por el vector y el subespacio es:
( f (t ), Proy W f (t )) ArcCos
Cos2 t Cos2 t Cos 2t
Cos2 t
ArcCos
Cos t dt 0. Cos t dt Cos t dt 4
4
4
PROBLEMAS 6.5.1 Sea W la recta en R cuya ecuación es y = 3 x. Encontrar una ecuación para W. vértices son: a.- A = (1, 4, 2), B = (3, -1, 2), C = (0, 6, 1); b.- A = (0, 2, 1), B = (-1, 3, -2), C = (1, -3, -2). 3
6.5.2 Sea W el plano en R cuya ecuación es 2 x – y – 2 z =0. Encuentre las ecuaciones paramétricas para W. 6.5.3 El subespacio U es la suma ortogonal de los subespacios U1 y U2. El vector u es ortogonal al subespacio U1. Demuestre que el ángulo formado por u y U es igual al ángulo comprendido entre u y U2. 3
6.5.4 Sea W la recta en R con ecuaciones paramétricas x = 2t , y = -5t , z = 4t , - < t < +. Determine una ecuación para W. 6.5.5 Sea {u1, u2, …, uk } una base para un subespacio W de V. Demuestre que W consta de todos los vectores en V que son ortogonales a todos los vectores básicos. 6.5.6 En cada uno de los incisos siguientes, encuentre el vector u, proyección del vector y sobre el vector x. Verifique en cada caso que el vector obtenido es ortogonal a y – u: a.- x = (3, -2, 1), y = ( 1, -1, 2); b.- x = (4, -5 7), y = (2, -2, 1); c.- x = (1, 1, 3), y = (4 ,1, 2). 4
6.5.7 Hallar el ángulo entre los vectores del espacio R , engendrado por los vectores u1, u2, …, um y el vector u: a.- u = (1, 3, -1, 3), u1 = (1, -1, 1, 1), u2 = (5, 1, -3, 3); b.- u = (2, 2, -1, 1), u1 = (1, -1, 1, 1), u2 = (-1, 2, 3, 1), u3 = (1, 0, 5, 3). 4
6.5.8 En el espacio R se dan dos planos, engendrados por los vectores u1, u2 y v1, v2. Entre los ángulos formados por los vectores del primer plano con los vectores del segundo plano, hallar el mínimo:
a.- u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0), v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (2, -2, 5, 2); b.- u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0), v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, -1, 1, -1). 6.5.9 Use el concepto de proyección de un vector sobre otro para calcular el área del triángulo cuyos 5 3 d.- u , 2 4
2 1 4 3 1 , , 3 5 5 7 7 8 7 e.- u , 4 5 3 2 2 3 1 S , , 1 4 2 3 1 2 3 f.- u , 4 5 1 2 3 4 4 S , , 7 8 1 2 6 g.- p(t ) 2t 2 3t 1 , S
S
0
;
11
1 ; 7
5 ; 7
4t 2 3t 1, 5t 2 11t 3 ;
h.- u = (-3, 0, -5, 9),
3 x 2 y z 2u 0 S 5 x 4 y 3 z 2u 0 . x 2 y 3 z 10u 0 3
6.1510 Sea v el vector de R cuyo punto inicial está en (1, -1, 5) y cuyo punto final está en (5, 4, -3). Encuentre la proyección del vector (2, 2, 1) sobre v. 6.5.11 Descomponer el vector u en una suma de dos vectores, uno de los cuales esté situado en el espacio engendrado por los vectores u1, u2, …, um y el otro sea ortogonal a este espacio a.- u = (5,2, -2, 2), u1 = (2, 1, 1, -1), u2 = (1, 1, 3, 0); JOE GARCIA ARCOS
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
b.- u = (-3, 5, 9, 3), u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2, -1, 1, 1), u3 = (2, -7, -1, -1). 6.5.12 Hallar la proyección ortogonal del vectoru sobre el subespacio generado por el conjunto S: a.- u = (14, -3, -6, -7), S = {(-3, 0, 7, 6), (1, 4, 3, 2), (2, 2, -2, -2)}; b.- u = (2, -5, 3, 4), S = {(1, 3, 3, 5), (1, 3, -5, -3), (1, -5, 3, -3)}; c.- u = (2, -1, 1, 2), S = {(6, -3, 2, 4), (6, -3, 4, 8), (4, -2, 1, 1)}; 6.5.13 Sea V el espacio vectorial de todas las funciones polinómicas definidas sobre el intervalo [-1; 1] y sea W el subespacio de V que consta de todas las funciones polinómicas impares. Encuentre W, donde 1
p q 1 p( x) q( x) dx .
6.5.15 En el espacio Pn de polinomios de grado n con coeficientes reales, el producto interior de polinomios se determina por la fórmula p q a0b0 a1b1 ... a nbn .
Hallar el complemento ortogonal: a.Del subespacio de todos los polinomios que satisfacen la condición p(1) = 0; b.- Del subespacio de todos los polinomios pares del espacio Pn. 6.5.16 La suma directa de los subespacios U y U engendra el espacio euclídeo V. Demostrar que esto es también correcto para sus complementos ortogonales, es
decir,
V
= U1 + U 2 .
6.5.17 Encuentre la base del complemento ortogonal del subespacio generado por el sistema de vectores del espacio R 4: {(1, 3, 0, 2), (3, 7, -1, 2), (2, 4, -1, 0)}
6.5.14 Demuestre que la suma de ángulos que un vector u forma con un subespacio arbitrario U y su complemento ortogonal U es igual a /2.
6.6 CUESTIONARIO Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 6.6.1 Un conjunto ortonormal de vectores es linealmente dependiente. 6.6.2 Una matriz cuadrada de orden n es unitaria si y sólo si sus filas constituyen un conjunto ortonormal. 6.6.3 El espacio euclídeo V es la suma directa de cualquier subespacio suyo y del complemento ortogonal de éste. 6.6.4 Sean U y W subespacios vectoriales de un espacio euclídeo V con la particularidad de que la dimensión de U es inferior a la de W; entonces en W habrá un vector no nulo, ortogonal a todos los vectores de U. 6.6.5 Cualquier sistema de vectores no nulos ortogonales de dos en dos es linealmente dependiente.
6.6.6 Sea U complemento ortogonal del subespacio U cada uno de los cuales es ortogonal a todos los vectores de U, entonces la suma de las dimensiones de U y U es igual a la dimensión del espacio vectorial que los genera. 6.6.7 Para que dos subespacios U y W sean recíprocamente ortogonales es necesario y suficiente que todos los vectores de uno sean ortogonales a todos los vectores del otro.
6.6.8 El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos otros lados con el producto duplicado de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos. 6.6.9 Entre todos los vectores del subespacio vectorial U el ángulo mínimo con el vector u dado lo forma la proyección ortogonal v del vector u sobre U. 6.6.10 El coseno del ángulo entre vectores, es superior por su valor absoluto a la unidad. 6.6.11 El cuadrado de la diagonal de un paralelogramondimensional es igual a suma de los cuadrados de sus aristas que salen de un mismo vértice. 6.6.12 Si V es un espacio unitario y si S es un conjunto de vectores diferentes de cero y perpendiculares entre sí, entonces el conjunto S el linealmente dependiente. 6.6.13 La representación del subespacio vectorial U del espacio V y de su complemento ortogonal U en una base ortonormal están relacionadas de la siguiente manera: los coeficientes del sistema linealmente independiente de ecuaciones lineales, que determina uno de esos subespacios, sirven de coordenadas de los vectores de la base del otro subespacio. JOE GARCIA ARCOS
