Modul 9
Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi Drs. Wahyu Widayat, M.Ec
PENDAHULUAN
D
alam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dan turunan kedua dari
suatu fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan titik maksimum atau minimum suatu fungsi. Modul ini menjelaskan penerapan turunan pertama untuk mendapatkan titik maksimum dan minimum suatu fungsi. Dalam ilmu ekonomi, konsep yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum sangat penting artinya. Contohnya, kehadiran produsen sebagai pelaku kegiatan ekonomi selalu dianggap ingin memaksimumkan memaksimumkan keuntungan, sedang untuk seorang konsumen dalam usaha untuk memenuhi kebutuhannya, selalu berusaha agar mendapatkan kepuasan yang maksimum. Hal ini berarti bahwa kita selalu akan dibawa ke arah ingin tahu mengenai
suatu fungsi yang menyangkut variabel-variabel variabel-variabel ekonomi, serta apakah fungsi itu mempunyai titik maksimum atau minimum. Turunan Turunan kedua suatu fungsi akan menjawab masalah itu karena turunan kedua dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu kurva melengkung ke atas atau ke bawah. Dengan mempelajari modul ini nda diharapkan dapat menggunakan konsep turunan pertama untuk mendapatkan titik maksimum atau minimum suatu fungsi. !e"ara khusus nda diharapkan mampu untuk# menjelaskan konsep turunan pertama dan turunan kedua suatu fungsi menghitung nilai maksimum dan minimum fungsi dengan menggunakan turunan pertama dan turunan kedua menghitung keuntungan produsen dengan menggunakan konsep turunan pertama dan turunan turunan kedua.
9.2
Matematika Ekonomi 1 ”
Kegiatan Belajar 1
Turunan Pertama dan Turunan Kedua Suatu Fungsi
P
ada modul ini akan dibahas, apakah suatu fungsi memiliki titik ekstrim
atau tidak. da tidaknya titik ekstrim dapat diketahui dengan melihat turunan pertama dan turunan turunan kedua fungsi tersebut. tersebut. Turunan Turunan kedua dari suatu suatu fungsi adalah turunan dari turunan pertama suatu fungsi. $aidah-kaidah yang digunakan untuk mendapatkan turunan kedua sama seperti waktu kita men"ari turunan pertama suatu fungsi. %ntuk memperoleh titik ekstrim dari suatu fungsi kita akan meninjau turunan pertama dan turunan turunan kedua dari fungsi fungsi itu. Mendapatkan Mendapatkan titik ekstrim ekstrim ini berguna untuk menggambar grafik grafik dari suatu fungsi. fungsi. Di samping samping itu juga dapat digunakan untuk menentukan persamaan-persamaan persamaan-persamaan yang dapat menggambarkan se"ara tepat hubungan-hubungan antarvariabel dalam ilmu ekonomi. A. TURUNAN PERTAMA PERTAMA
Turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mengetahui bagian fungsi yang menaik dan bagian yang menurun. $arena dapat mengetahui bagian-bagian kurva suatu fungsi yang menaik atau menurun, menurun, maka kita dapat pula mengetahui apakah fungsi tersebut mempunyai titik maksimum atau titik minimum. &ila fungsi tersebut mempunyai titik maksimum atau minimum maka selanjutnya dapat ditentukan letak titik maksimum atau titik minimum itu. *.
Misalkan sekarang ada suatu fungsi y ' ( - ) Turunan pertama dari fungsi adalah
dy
dx ' -*). +radien kurva di suatu titik ditunjukkan oleh nilai turunan pertama fungsi di titik tersebut. adi, seandainya akan dilihat gradien kurva f) pada suatu titik sembarang, katakanlah ) ' *, maka gradien di titik ) ' * adalah#
dy m ' dx ' -* *' - / bertanda negatif ” ESPA4112M!DUL 9
9.3
$arena gradien di titik ) ' * bertanda negatif, maka kurva di titik tersebut menurun. !ekarang bagaimana dengan gradien di titik ) ' -*. Dengan memasukkan ) ' -* ke dalam persamaan gradien dari fungsi itu, maka diperoleh m ' /. +radien di titik ) ' -* bertanda positif, maka dapat disimpulkan bahwa di titik itu kurva menaik. 0(
m'/
m ' -/
0'(1)
-2,3
*
-* 3
*
2,3
4
Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa untuk semua titik di sebelah kiri titik ) ' 3, fungsi f) menaik dan gradien yang dibuat di setiap titik akan bertanda positif. !edangkan !edangkan bagian kurva yang yang berada di sebelah sebelah kanan titik ) ' 3, fungsi f) menurun dan gradien yang dibuat di setiap titik bertanda negatif. 5enjelasan di atas akan diulangi lagi, dengan menggunakan simbol-simbol. ndaikan fungsi yang kita punyai adalah y ' f). Turunan pertama dari fungsi tersebut #
dy dx ' y6' f) Turunan pertama tersebut tersebut merupakan gradien fungsi y ' f) di titik ). $alau sekarang ditinjau satu titik saja, yaitu titik ) ' a, maka f6a merupakan gradien kurva y ' f) di titik ) ' a.
9.4
Matematika Ekonomi 1 ”
ika turunan pertama atau f6a bertanda positif, maka y ' f) merupakan fungsi yang menaik untuk ) ' a. &ila turunan pertama f6a bertanda negatif, maka y ' f) merupakan fungsi yang menurun untuk ) ' a. Contoh 9.1: *
f ) = 2) + 7 f ) = 8)
%ntuk nilai ) yang positif, f) merupakan fungsi yang menaik. %ntuk setiap ) 9 3, fungsi f6) 9 3, maka untuk setiap nilai ) yang negatif, f) merupakan fungsi yang menurun. Contoh 9.2: ) = )
2
*
6) = 2)
5ada kasus ini, semua nilai ) baik yang positif atau negatif akan memberikan nilai positif kepada f 6) . Dengan demikian maka f) merupakan fungsi menaik untuk semua ). Contoh 9.3: f ) 2
= ) − 2) − :
*
f 6)
= 2) − 8)
*
= 2)) − *
Di sini nda dapat melihat bahwa f 6) > 3 untuk ) 9 3 dan ) ; *, maka untuk setiap nilai ) 9 3 atau ) ; *, f ) menaik. kan tetapi untuk 3 9 ) 9 * akan diperoleh nilai f 6)
< 3 , jika f) akan menurun dalam interval 3 9 ) 9 *. &agaimanakah fungsi f) untuk ) ' a yang menyebabkan turunan pertama f) yaitu f6) ' 3< ika f) kontinu untuk ) ' a, maka f6a ' 3 dapat diartikan bahwa fungsi mempunyai titik ekstrim yaitu mungkin titik ” ESPA4112M!DUL 9
9.
maksimum lokal atau titik minimum lokal. $ita mengatakan titik maksimum lokal atau titik minimum lokal karena mungkin saja terjadi dalam satu fungsi ada beberapa titik maksimum atau titik minimum. 5erhatikan gambar berikut ini#
f ) f)
a b
"
d
e
)
Misalnya untuk titik ) ' a diperoleh titik minimum. minimum. 5ada titik ) ' " dan ) ' d juga diperoleh titik titik minimum, minimum, sedang pada titik titik ) ' b dan ) ' d diperoleh titik maksimum. Titik ) ' e merupakan titik minimum di sekitar ) ' e, karena pada interval di di sekitar e, nilai nilai f) akan lebih besar daripada daripada fe. !atu fungsi bisa mengandung beberapa titik minimum dan maksimum. !e"ara umum kita dapat mengatakan bahwa# =ungsi f) mempunyai titik minimum lokal pada ) ' a bila fa lebih kecil dari setiap nilai f) untuk nilai ) sekitar a. =ungsi f) mempunyai titik maksimum lokal pada ) ' a bila fungsi fa lebih besar dari setiap nilai f) untuk nilai ) sekitar a. Titik maksimum maksimum lokal sering disebut dengan titik maksimum relatif dan dan titik minimum lokal disebut dengan titik minimum relatif . +ambar berikut menjelaskan tentang f) yang mempunyai titik maksimum atau minimum lokal.
9.!
Matematika Ekonomi 1 ”
+radien nol gradien negatif +radien positif gradien positif gradien nol
a
3
b
Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa untuk nilai ) ' a, turunan pertama fungsi di titik itu sama dengan nol atau f6a ' 3, artinya gradien fungsi di titik tersebut sama dengan nol dan f) di titik tersebut maksimum. +radien f) di sebelah kiri ) ' a bertanda positif dan setelah melalui titik ) ' a yaitu di sebelah kanannya, gradien berubah menjadi bertanda negatif. Demikian juga untuk ) ' b. Turunan pertama fungsi untuk ) ' b sama dengan nol atau f6b ' 3 artinya gradien fungsi di titik tersebut sama dengan nol. $arena gradien kurva di sebelah kiri ) ' b bertanda negatif dan kemudian setelah melampaui titik ) ' b, gradien kurva tandanya berubah menjadi positif, maka fungsi f) pada ) ' b minimum. minimum. !etiap fungsi f) dapat diselidiki apakah mempunyai titik-titik maksimum atau minimum dengan "ara# Men"ari nilai ) yang menyebabkan f6) ' 3. >ilai ) diperoleh dengan men"ari akar persamaan f6) ' 3. Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar ). &ila akar dari persamaan f6) ' 3 adalah a, maka perubahan tanda f6) f6) dari ? menjadi menjadi - pada ) ' a menunjukkan menunjukkan bahwa ada titik titik maksimum lokal di f) f) pada ) ' a. !ebaliknya, jika f6) tandanya berubah dari - menjadi ? pada ) ' a, maka ada titik minimum lokal di f) pada ) ' a. ika f6) tandanya tidak berubah pada ) ' a, maka titik maksimum atau minimum lokal pada fungsi f) tidak ada. ” ESPA4112M!DUL 9
9."
Contoh 9.4: Tentukan titik maksimum dan minimum lokal jika ada dari fungsi# 2
*
y ' *) ? 2) - 28) ? / Turunan pertama#
dy *
' 8) ? 8) - 28 ' 3
d) jadi,
*
8) ? 8) 1 28 '3 *
) ?)18 '3 ) ? 2) - * ' 3
)@ ' -2 dan )* ' *
%ntuk setiap ) 9-2 A
dy
; 3 d)
maksimum pada ) ' -2
%ntuk setiap -2 9 ) 9 * A
%ntuk setiap -2 9 ) 9 * A
dy
9 3 d)
dy
9 3 d)
minimum pada ) ' *.
%ntuk setiap ) ; * A
dy
; 3 d)
9.#
Matematika Ekonomi 1 ”
y
-2, B:
/
3
)
*, -/3
Contoh 9.5: 2
*
Tentukan titik maksimum dan minimum jika ada dari fungsi y = ) + () + 8
dy
= 3 d) *
2) + @B) = 3 2) ) + 8 = 3 )@ = − 8 ) * = 3
%ntuk setiap#
x< − 8, maka
%ntuk setiap# dx >3
dy
dy
dy dy <3
maksimum pada ) ' -8
− 8< x< 3, maka
<3
dx x> x>3, maka
>3
dx
dx
− 8< x<3, maka
” ESPA4112M!DUL 9
9.9
y
-8, @@/
2
*
y ' ) ? () ? 8
8
3
)
Contoh 9.6: Tentukan titik maksimum dan minimum lokal jika ada dari fungsi # y ' /) /
? 2)
dy
= @*) @*) =3
2
*
+
2
d)
) *
+
) 2 =3
*
) -@
+ ) =3
)@ = −@
) *
=3
) < − @, maka
dy <3
%ntuk setiap#
d) minimum pada ) ' -@
− @ < ) < 3, maka dy >3
d)
− @ < ) < 3, maka dy >3
%ntuk setiap#
d) tidak ada titik maksimum dan
dy
)> 3, maka
>3
d)
minimum.
9.
%$Matematika Ekonomi 1 ”
y 2
/
0 ' /) ? 2)
3, 3
)
-@, -@
Dari "ontoh di atas kita harus memperhatikan bahwa # Maksimum atau minimum lokal pada ) ' a, mengandung suatu pengertian bahwa f6) ' 3 bila f) merupakan merupakan fungsi kontinu pada ) ' a. f6)' 3 tidak selalu menunjukkan bahwa pada ) ' a terjadi maksimum lokal atau minimum lokal meskipun f) dan f6) kontinu di titik ) ' a. adi jika f) dan f6) kontinu di titik ) ' a, maka f6) ' 3 merupakan syarat yang diperlukan akan tetapi bukan merupakan syarat yang men"ukupi untuk maksimum lokal atau minimum lokal di titik ) ' a. Contoh 9.7:
f)
*
f) ' ( ) − *)
2
*
f6) '
@
2( ) − *)
* 2
/
*
f) ' () − *) 2
3
*
)
” ESPA4112M!DUL 9
9.$$
Di sini dapat dilihat bahwa f6) diskontinu pada ) ' *. Meskipun fungsi mempunyai titik minimum lokal pada ) ' *, akan tetapi turunan pertamanya tidak sama dengan nol atau f* ≠ 3 . Contoh 9.8: f) =− @ 2
)
2
*
f 6) = −) Di sini
f 6) = 3 untuk ) ' 3. kan tetapi, fungsi f) = − @ 2
) tidak
2
mempunyai maksimum atau minimum pada ) ' 3, karena tanda dari turunan pertama yaitu f 6) tidak mengalami mengalami perubahan di sekitar ) ' 3. %ntuk semua nilai ), f 6) bertanda negatif.
f x x
3
)
@
f x x= − x2 2
Dari "ontoh di atas kita mengetahui bahwa maksimum dan minimum lokal dapat pula terjadi pada suatu fungsi di titik ) ' a, meskipun f 6) tidak kontinu. adi jika f) merupakan fungsi yang kontinu pada ) ' a, tetapi turunan pertamanya tidak kontinu pada ) ' a, maka fa mungkin merupakan
9.$2
Matematika Ekonomi 1 ”
maksimum lokal atau minimm lokal meskipun f 6a ≠ 3 . Di sini peranan tanda dari turunan pertama fungsi untuk setiap nilai ) di sekitar ) ' a diperlukan untuk meneliti apakah terjadi maksimum atau minimum lokal pada ) ' a. !ekarang, untuk menentukan apakah suatu fungsi y ' f) mempunyai titik maksimum atau minimum lokal pada titik di mana f) kontinu akan tetapi f6) tidak kontinu adalah dengan "ara# Menentukan nilai ) yang menyebabkan f6) tidak kontinu dan f) kontinu. %ntuk setiap nilai a yang menyebabkan fungsi f) kontinu di titik ) ' a dan f6) tidak kontinu di titik ) ' a, diteliti apakah tanda f6) mengalami perubahan untuk berbagai berbagai nilai ) yang selalu bertambah bertambah mulai dari angka yang lebih ke"il dari a, sampai pada angka yang lebih besar dari a. ika f6) tandanya berubah dari ? menjadi - pada ) ' a, maka maksimum lokal terjadi pada ) 'a. ika f6) tandanya berubah dari - menjadi ? pada ) ' a, maka minimum lokal terjadi pada ) ' a. ika f6) tandanya tidak berubah pada ) ' a, maka pada ) ' a tidak terdapat maksimum atau minimum lokal. Contoh 9.9: *
2 Tentukan maksimum dan minimum relatif jika ada dari fungsi y ' )
*
dy −
@
') 2
2
d)
dy ' 3 untuk semua nilai )
d) ” ESPA4112M!DUL 9
9.$3
%ntuk nilai-nilai ) yang negatif dan mendekati 3 maka
dy
mendekati -∞ d)
dan untuk nilai-nilai ) yang positif dan mendekati 3, maka
dy
mendekati d)
∞.
adi
dy
diskontinu tak terhingga di titik ) ' 3. d)
ika ) 9 3, maka
dy
9 3 d)
maka minimum terjadi pada ) ' 3
ika ) ; 3, maka
dy
; 3 d)
y
*y=
2
) 2
*
3
B. TURUNAN KEDUA
Turunan kedua dari suatu fungsi merupakan turunan dari turunan pertama suatu fungsi. tau turunan kedua dari suatu fungsi adalah suatu fungsi yang
sudah diturunkan dua kali. Contoh 9.10: /
*
y ' ) - 2) ? :)
9.$4
Matematika Ekonomi 1 ”
Turunan pertama
dy
2
' /) - 8) ? : d)
d*y
*
*
Turunan kedua ' @* ) - 8 d) !imbol yang digunakan untuk menunjukkan turunan kedua adalah# *
d y *
*
, f ), f )) )), y66, D )y, *
d)
!alah satu dari simbol di atas dapat dipakai untuk menunjukkan turunan kedua dari suatu fungsi. Turunan kedua dari suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan bagian kurva yang lengkung ke atas dan bagian yang lengkung ke bawah. !elain itu, dengan turunan kedua kita bisa mengetahui apakah suatu fungsi mempunyai titik belok atau tidak. !eandainya fungsi y ' f) dievaluasi di titik ) ' a. Turunan pertama dari fungsi adalah y6 ' f6) dan turunan keduanya adalah y66' f66). $alau turunan pertama fungsi yaitu f6) menunjukkan gradien fungsi y ' f), maka turunan kedua fungsi yaitu f66) menunjukkan gradien fungsi y6' f6) dan f66a menunjukkan gradien y6' f6) di titik ) ' a. ika untuk ) ' a, turunan kedua f66a nilainya positif, maka y6' f6) merupakan fungsi yang menaik di ) ' a dan kurva y ' f) dikatakan lengkung ke atas membuka ke atas. !ebaliknya, jika turunan kedua f66a nilainya negatif, maka y6 ' f6a merupakan fungsi yang menurun dan kurva y ' f) dikatakan lengkung ke bawah membuka ke bawah. *
d y >3 *
d y <3
*
d)
*
d) 0 0
3
4 3 4
&engkung ke atas &engkung ke 'a(ah
” ESPA4112M!DUL 9
9.$
!e"ara geometris dapat dilihat bahwa pada ) ' a fungsi f) akan mempunyai suatu titik maksimum apabila f6a ' 3 dan f) lengkung ke bawah. &egitu pula f) akan mempunyai mempunyai suatu titik titik minimum pada ) ' a apabila apabila f6a ' 3 dan f) lengkung ke atas. Turunan keua tiak a!at igunakan untuk mengu"i semua "enis fungsi apakah mempunyai titik maksimum atau minimum. Hal itu karena dapat terjadi suatu fungsi bisa lengkung ke atas atau ke bawah di ) ' a dan pada f6a' 3.
Dari penjelasan di atas kita dapat menyimpulkan bahwa bila turunan kedua suatu fungsi di titik ) ' a yang lebih besar dari nol, maka diambil suatu kesimpulan bahwa kurva mempunyai lengkung ke atas. kan tetapi sebaliknya bila kurva memunyai lengkung ke atas, belum tentu turunan kedua fungsi di titik ) ' a lebih besar dari nol. Demikian pula untuk turunan kedua suatu fungsi di titik ) ' a lebih ke"il dari nol dapat disimpulkan bahwa kurva mempunyai lengkung ke bawah. kan tetapi kurva yang mempunyai lengkung ke bawah belum tentu turunan kedua fungsi tersebut di titik ) ' a lebih ke"il dari nol. Dengan menggunakan simbol, hal tersebut di atas dapat ditulis# f66a ; 3 lengkung ke atas membuka ke atas f66a 9 3
lengkung ke bawah membuka ke bawah
adi tes yang dapat dilakukan dengan menggunakan turunan kedua dapat disarikan sebagai berikut.
f666 a ; 3 → titik minimum lokal pada ) ' a
ika f) dan f6) kontinu pada )
'a
f666a 9 3 → titik maksimum lokal pada ) ' a
dan
Maka jika
f6a ' 3
f666a ' 3 → tes tidak dapat dilakukan
Contoh 9.11: Tentukan titik maksimum dan minimum lokal jika ada dari fungsi#
@
2
*
y ' ) - *) - :) ? *
2
9.$!
dy
Matematika Ekonomi 1 ”
*
' ) - /) - : d)
' 3 jika * ) - /) - : ' 3
) - :) ? @ ' 3
)@ ' :
)* ' -@
*
d y ' *) - /
*
d)
%ntuk ) ' -@, maka *
d y
9 3, jadi maksimum pada ) ' -@
*
d)
%ntuk ) ' :, maka *
d y ; 3, jadi minimum pada ) ' :
d) *
+ambar fungsinya adalah
0
*
0= @
2
*
) − *) − :) + *
2
-@
:
)
Contoh 9.12: Dapatkan titik maksimum atau minimum lokal jika ada dari fungsi #
@
y ' )/
d)
2
')
/ dy ” ESPA4112M!DUL 9
9.$"
' 3 jika ) '3
d *y
' 2)* d)
*
d*y
%ntuk ) ' 3, maka
' 3 d)
*
adi pada ) ' 3 mungkin terdapat titik maksimum atau minimum atau mungkin tidak ada baik titik maksimum maupun titik minimum. Dengan menghitung di sekitar ) ' 3, maka#
%ntuk ) 9 3, maka
%ntuk ) ; 3, maka
dy
9 3 d)
0
dy
; 3 d)
@ y= @ * y=− 2 ) −@
0' @ /
x
pada ) ' 3, kurva minimum.
L A
*
*) − :) + *
/
) +@
% n 4
2 k e
9.$#
Matematika Ekonomi 1 ”
*
y = )) − 2
)
y = ) +@ /
y = ) − 2*) + /B Petunjuk Jawaan !at"han
@
2
*
@ y = ) − *) − :) + * 2
dy
*
= ) − /) − : = 3 d)
*
) − /) − : = 3 )@ = −@ )* = : dy <3 %ntuk setiap#
%ntuk setiap# d) ) < − @, maka dy >3
minimum pada ) ' :
d)
) < 3, maka dy >3
− @< ) < 3, maka dy
<3 d) maksimum pada ) ' -@
−@< ) < :, maka
d)
:,:@
y
3 )
− @,/ *
@
2
*
y = ) − *) − :) + * 2
2 2
@
” ESPA4112M!DUL 9
9.$9
* y = − @
) +@
dy = @
*
) +@
d)
%ntuk semua nilai ), berlaku dy
≠ 3 dan fungsi tidak kontinu pada
d)
) ' -@, jadi fungsi tidak memiliki titik maksimum atau minimum.
-@
3 )
y=− @
) +@
*
2
2. y = )) −2 atau y = ) −2)
dy
*
= 2) − 2= 3 d)
2) + @) − @ = 3 )@ = −@ )* = @
%ntuk setiap#
%ntuk setiap#
)<− @, maka
dy >3
)'@
d)
− @ < ) < 3, maka
maksimum pada ) ' -@ dy −@ < ) < :, maka dy <3
<3
dy
) < 3, maka
>3
d) d)
d) mini mum pada
9.2%
Matematika Ekonomi 1 ”
-@, *
*
y = )) − 2
3
@, *
/ y=
)
) +@
)
dy =
@
(
)
d) ) +@ *
%ntuk semua nilai ), dy ≠ 3 berarti y= ) tidak mempunyai titik
d) ) +@
maksimum ataupun minimum
: /
y = ) − 2*) + /B
dy 2
= /) − 2*= 3
d)
atau 2
) − B = 3 ) = *
d *y
*
=@*)* d)
*
untuk ) ' *, maka
dy
*
> 3 , jadi titik minimum pada ) ' *. d)
” ESPA4112M!DUL 9
9.2$
"AN#KUMAN
pabila kita meninjau suatu fungsi y = f ) di titik ) ' a, maka jika f 6a > 3 , maka f) merupakan fungsi yang menaik di titik ) ' a f 6a < 3 , maka f) merupakan funsi menurun di titik ) ' a. $alau f) kontinu di titik ) ' a dan f 6a ≠ 3 atau f 6) tidak kontinu di titik ) ' a, dan ternyata# f 6) tandanya berubah dari ? menjadi - di titik ) ' a, maka maksimum lokal terjadi di titik ) ' a. f 6) tandanya berubah dari - menjadi ? di titik ) ' a, maka minimum lokal terjadi di titik ) ' a. ". f 6) tidak mengalami perubahan tanda di titik ) ' a, maka titik ) ' a bukan merupakan titik maksimum atau minimum.
Turunan kedua suatu fungsi adalah turunan dari hasil penurunan pertama suatu fungsi. Turunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk melakukan tes terhadap suatu fungsi apakah fungsi tersebut mempunyai titik maksimum atau minimum. &ila f) dan f 6) kontinu pada ) ' a dan f 6a = 3 maka# titik ) ' a maksimum bila f 66a < 3 titik ) ' a minimum bila f 66a > 3 Tes tidak dapat dilakukan bila f 66a > 3 .
$ES %!"MA$&% 1 5ilihlah satu jawaban yang paling tepat 2
*
y = 3,: ) − 2) + /,:) + * ) ' @ terdapat titik maksimum ) ' * terdapat titik minimum ) ' @ terdapat titik maksimum ) ' 2 terdapat titik minimum ) ' 2 terdapat titik maksimum ) ' @ terdapat titik minimum ) ' * terdapat titik maksimum ) ' -* terdapat titik minimum
9.22
Matematika Ekonomi 1 ”
:
y = ) + : . tidak ada titik maksimum dan minimum ) ' : terdapat titik maksimum ) ' @ terdapat titik minimum ) ' * terdapat titik minimum ) ' -* terdapat titik maksimum ) ' @ terdapat titik maksimum ) ' -@ terdapat titik titik minimum minimum
2 y =
@
)
/
2
*
− /) + @3) −@3 /
) ' 3 titik minimum ) ' @
)'* titik maksimum &. )'3 titik minimum ) ' @3
)'* titik maksimum C. ) ' @3 titik minimum )'*
)'@ titik maksimum D. )'3 titik minimum ) ' @3 ) ' * titik maksimum maksimum Tentukan titik maksimum dan minimum serta titik belok jika ada dari fungsifungsi ini. / y=
@
*
) + 7 titik maksimum titik minimum tidak ada titik belok titik maksimum # 3, 7 titik minimum# tidak ada titik belok# tidak ada ” ESPA4112M!DUL 9
9.23
@
C. titik maksimum# 3,
7
titik minimum# tidak ada titik belok 3, 3
D. titik maksimum# @,
*
7
titik minimum# 3, @ titik belok# 3, 3 2
y = / + 2) − )
titik maksimum# 8, @ titik minimum @, -* titik belok 3, / titik maksimum# @, 8 titik minimum -@, * titik belok 3, / titik maksimum# -@, @ titik minimum 8, * titik belok /, 3 titik maksimum# @, 8 titik minimum -*, @ titik belok /, 3 Co"okkanlah jawaban nda dengan $un"i awaban Tes =ormatif @ yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. benar. $emudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan nda terhadap materi $egiatan &elajar @.
Tingkat penguasaan '
umlah awaban yang &enar
×@33 umlah !oal
rti tingkat penguasaan# (3 - @33 ' baik sekali B3 - B( ' baik 73 - 7( ' "ukup 9 73 ' kurang
9.24
Matematika Ekonomi 1 ”
pabila men"apai tingkat penguasaan B3 atau lebih, nda dapat meneruskan dengan $egiatan &elajar *. Bagus# ika masih di bawah B3, nda harus mengulangi materi $egiatan &elajar @, terutama bagian yang belum dikuasai. ” ESPA4112M!DUL 9
9.2
Kegiatan Belajar 2
Keuntungan Pr)dusen
D
alam teori ekonomi, seorang produsen dianggap memproduksi
barang-barang untuk berusaha mendapatkan keuntungan yang maksimum. $arena keuntungan maksimum yang menjadi tujuannya, maka ia akan menentukan tingkat output E yang dapat memberikan keuntungan yang maksimum. 5osisi di mana output yang dihasilkan telah memberikan keuntungan maksimum ini dikatakan sebagai posisi keseimbangan e#u"$"%"um. e#u"$"%"um. Disebut posisi keseimbangan karena pada posisi ini produsen tidak mempunyai ke"enderungan untuk merubah jumlah output dan harga output-nya. &ila &ila ia merubah merubah jumlah output output baik itu itu ditambah atau dikurangi, maka keuntungan totalnya justru akan menurun. $euntungan merupakan selisih antara seluruh penerimaan dan ongkosongkos yang harus dikeluarkan oleh produsen, atau se"ara matematika dapat ditulis sebagai#
π ' TF - TC di mana π ' keuntungan TF ' penerimaan TC ' biaya $euntungan yang diperoleh akan maksimum apabila dipenuhi syarat# d π ' 3 dE
*
*
d π 9 3 dE
!yarat pertama diperlukan untuk mendapatkan titik ekstrim yang mungkin berupa titik maksimum maksimum atau minimum atau atau mungkin juga titik titik belok. Dari Dari turunan pertama yang disamakan dengan nol ini kita bisa men"ari nilai E yaitu jumlah yang harus diproduksi agar keuntungan yang didapat maksimum. !yarat kedua digunakan untuk membuktikan bahwa pada jumlah E tersebut keuntungan memang maksimum atau kemungkinan ada yang lain.
9.2!
Matematika Ekonomi 1 ”
!yarat @# dπ dTF - TC
atau
'
'3
dE
dE
dTF dTC '3
dE
dE
Gleh karena MF '
dTF
dan
MC '
dTC
dE
dE
Maka MF - MC ' 3 atau MF ' MC
!yarat *#
*
d π
93
*
dE
dTF dTC
*
d π
d -
' dE
dE
*
dE
dE
*
*
d π ' dMF - dMC dE dE dE adi syarat kedua menghendaki agar#
dMF dMC 93 atau
dE
dE
dMF 9 dMC
dE
dE
Contoh 9.13: &ila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh persamaan TF ' @33E * /E dan biaya totalnya ditunjukkan oleh persamaan TC ' :3 ? *3E maka tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar supaya produsen memperoleh keuntungan yang maksimum. ' TF - TC
*
' @33E - /E - :3 ? *3E ” ESPA4112M!DUL 9
9.2"
*
@33E - /E - :3 - *3E *
B3E - /E 1 :3 akan maksimum bila#
dπ
' 3 ' B3 - BE dE
BE ' B3 E ' @3 d* π *
d π
' dB3 − BE
' -B
*
9 3 dE
dE *
dE
* π
93
&erapapun nilai E, turunan keduanya selalu bernilai negatif
. adi
*
d
dE
E ' @3 akan memberikan keuntungan yang maksimum. umlah tersebut di atas dapat juga di"ari dengan " ara sebagai berikut# $euntungan akan maksimum apabila# MF ' MC *
TF ' @33E - /E MF ' @33 - BE TC ' :3 ? *3E MC ' *3 MF ' MC @33 - BE ' *3 BE ' - B3 E ' @3
dMF 9 dMC dE
dE
dMF ' -B dE
9.2#
Matematika Ekonomi 1 ”
dMF ' 3 dC $arena - B 9 3 maka syarat ke * ini dipenuhi. adi keuntungan maksimum akan ter"apai bila E ' @3. !ekarang, bagaimanakah gambar grafik yang melukiskan hubungan maksimum seperti diuraikan di atas< %ntuk menggambarkan grafiknya, harus diingat bahwa untuk menggambarkan hubungan MF dan F serta TF harus dibedakan menurut pasarnya, yaitu apakah pengusaha beroperasi pada pasar persaingan sempurna sempurna atau pasar monopoli. monopoli. PA$AR M%N%P%&'
Dalam pasar monopoli grafik TF dan TC dapat dibuat dalam satu gambar, karena sumbu-sumbu yang digunakan sama, yaitu sumbu horisontal untuk jumlah output yang diproduksi dan sumbu tegak vertikal vertikal untuk jumlah jumlah rupiah yang dikeluarkan sebagai biaya atau yang diterima karena menjual barang. 5erhatikan gambar berikut ini #
Fp
TC
& TF
3
E@
E
$arena π ' TF - TC, maka gambar di atas dapat di"ari dengan mengurangkan kurva TF dengan kurva TC se"ara vertikal. $euntungan yang paling besar terjadi terjadi pada saat jumlah yang diproduksi diproduksi sebesar GE GE@. 5ada titik dan & garis singgung di kurva TF dan kurva TC mempunyai arah yang sama. 5adahal arah garis singgung di titik adalah turunan pertama TF atau
dTF
dan ini tidak lain adalah MF. dE
” ESPA4112M!DUL 9
9.29
Demikian pula di titik &. rah garis singgung merupakan turunan pertama TC atau dE
dTC
dan ini sama dengan MC. $arena kedua arah garis
singgung tersebut sama, maka hal tersebut juga berarti MF ' MC. adi & merupakan keuntungan maksimum yang diperoleh. $euntungan sebesar itu dapat juga ditunjukkan oleh grafik MC dan MF sebagai berikut#
Fp TF, TC
MC =
5@
& C 5*
C
D ' F G E* E@ MF E
$eadaan MF ' MC terjadi pada saat kurva MC memotong kurva MF. 5erpotongan antara MC dan MF terjadi di dua tempat yaitu di titik = dan C, pada tingkat output E @ dan E *. Titik mana yang harus dipilih< %ntuk memilih titik mana yang akan digunakan, kita harus melihat syarat yang kedua dari grafik di atas yaitu,
dMF
merupakan gradien fungsi MF dan
dMC
dE
dE
merupakan gradien fungsi MC, sehingga di kedua titik yaitu di titik = dan C, gradien MF dan gradien MC yang memenuhi hubungan pertidaksamaan di atas dE
dMF dMC 9
hanya terjadi di titik C.
dE
adi jumlah output yang memberikan keuntungan yang maksimum adalah GE@. &erapakah keuntungan yang diperoleh< 5ada tingkat output sebanyak GE@, konsumen hanya bersedia membayar sebesar G5@ untuk setiap unitnya, sehingga penerimaan produsen dari penjualannya adalah#
9.3%
Matematika Ekonomi 1 ”
TF ' 5.E ' G5@ ) GE@ atau sama dengan luas segi empat GE@5@. &iaya per unit yang dikeluarkan untuk memproduksi barang tersebut ditunjukkan oleh kurva biaya rata- rata C. 5ada jumlah output sebanyak GE@, biaya rata-ratanya adalah E @& atau G5* dan jumlah biaya total adalah GE@ ) G5* atau luas segi empat GE @&5*. $euntungan yang diperoleh produsen adalah luas luas segi empat GE@5@ dikurangi luas segi empat GE @&5* atau sama dengan luas segi empat 5*5@& yaitu bagian yang diarsir. Contoh 9.14: !eorang monopolis
menghadapi
fungsi
permintaan
*
5 = *8 − *E − /E . %ntuk menghasilkan barang-barang tersebut, fungsi biaya rata-ratanya rata-ratanya ditunjukkan oleh oleh persamaan C ' E ? B. &erapa tingkat tingkat harga yang ditetapkan oleh monopolis tersebut dan berapakah keuntungan yang diperolehnya< *
=ungsi permintaan# 5 = *8 − *E − /E 5enerimaan total# TF ' 5.E *
2
' *8E 1 *E 1 /E =ungsi biaya rata-rata# C ' E ? B &iaya total# TC ' C.E *
E ? BE $euntungan# ' TF 1 TC *
2
*
2
*
*8E 1 *E 1 /E 1 E ? BE @BE 1 2E 1 /E
$euntungan akan maksimum bila#
dπ
= 3 dE *
= @B − 8E − @*E = 3 ” ESPA4112M!DUL 9
9.3$
atau
*
@*E ? 8E 1 @B ' 3 $edua ruas dibagi 8, maka#
*
*E ? E 1 2 '3
*E ? 2E 1 @ '3
E@ '@
E* '− 2
*
>ilai E* '− 2 tidak digunakan karena jumlah yang bertanda minus tidak
*
mempunyai arti pada masalah ini. !yarat kedua yang harus dipenuhi adalah# * π <
d
*
3 dE
d*π
*
= − 8 − */E dE
untuk E ' @, maka
d*π
*
< 3 dE
adi E ' @, akan memberikan π yang maksimum 5ada E ' @, harga yang ditetapkan adalah# 5 ' *8 1 *@ 1 /@ ' *3 $euntungan yang akan didapat adalah# *
2
' @B@ 1 2@ 1 /@ ' @@
*
9.32
Matematika Ekonomi 1 ”
Hasil tersebut di atas dapat pula di"ari dengan "ara sebagai berikut# $euntungan maksimum diperoleh bila dipenuhi syarat#
MF ' MC MF ' dTF dE *
*8 1 /E 1 @*E
MC '
dTC
dE
' *E ? B adi,
*
*8 - /E 1 @*E ' *E ? B *
@*E ? 8E 1 @B '3 atau
*
*E ? E 1 2 '3
*E ? 2E 1 @ ' 3
E'@ *
dMF < dMC
dE dE
dMF
= − / − */E dE
%ntuk E ' @, maka
dMF
= − *B dE
dMC = * dE
adi karena untuk E ' @,
dMF dMC <
, maka π maksimum untuk E ' @. dE dE
$emudian untuk mendapatkan harga dan jumlah keuntungan digunakan "ara seperti sebelumnya. ” ESPA4112M!DUL 9
9.33
PA$AR PER$A'N(AN $EMPURNA
!eperti diketahui, dalam pasar persaingan sempurna kurva TF merupakan garis lurus. Dalam gambar yang menyajikan kurva TF dapat pula digunakan untuk menggambarkan kurva TC, sehingga gambarnya menjadi seperti berikut ini#
Fp TF
π
TC
3
E*
E@
E
Meskipun gambarnya berbeda dengan pasar monopoli, akan tetapi syarat keuntungan agar maksimum tetap sama, yakni gradien TF harus sama dengan gradien TC. 5ada gambar di atas, gradien TF sama dengan gradien MF terjadi di dua tempat yaitu pada tingkat output GE@ dan GE*. kan tetapi jika diperhatikan, diperhatikan, pada tingkat output output sebesar GE* GE* penerimaan total lebih ke"il dari biaya total. rtinya, rtinya, pada tingkat output sebesar GE* produsen akan menderita kerugian yang maksimum. 5rodusen hanya akan mendapatkan keuntungan yang maksimum jika output yang diproduksi adalah sebesar GE@.
9.34
Matematika Ekonomi 1 ”
Hubungan antara MF dan MC dapat dilihat dalam grafik berikut ini# Fp
MC C & 5@
D ' F ' MF 5*
C 3 E* E@ E
Dalam pasar persaingan sempurna kurva permintaan yang merupakan garis horisontal itu berimpit dengan kurva penerimaan rata-rata F dan penerimaan marjinal marjinal MF. $eadaan MF ' MC terjadi pada perpotongan antara kurva MF dan kurva MC. 5ada diagram di atas perpotongan terjadi di dua tempat yaitu di titik dan &. Titik adalah titik yang dipilih karena pada titik potong ini
syarat
dMF dMC dipenuhi. dE dE 9
5ada titik & syarat kedua yaitu
dMF dMC tidak dipenuhi, dan pada dE dE 9
titik & ini jika diamati lebih lanjut ternyata biaya produksi rata-ratanya melebihi penerimaan rata-ratanya. $eadaan tersebut menunjukkan kerugian yang minimum. adi titik yang dipilih adalah titik dan pada titik tersebut produsen akan memproduksi barang sebanyak GE@. &iaya rata-rata yang harus dipikulnya adalah sebesar G5* per unitnya. !ehingga jika ia memproduksi sebanyak
GE@, biaya totalnya adalah GE @ ) G5* atau sama dengan luas segi empat GE@C5*. 5adahal harga penjualan per unit adalah G5@, sehingga penerimaan totalnya adalah GE × G5@ atau sama dengan luas segi empat GE @5@. $euntungan yang diperoleh adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total atau atau selisih antara antara luas segiempat segiempat GE@5@ dengan segiempat GE@C5* atau sama dengan luas segiempat 5*C5@ yaitu bagian grafik yang diarsir di atas. !uatu keadaan yang mungkin dapat terjadi adalah meskipun MC ' MF ter"apai, akan tetapi produsen tidak mendapat ” ESPA4112M!DUL 9
9.3
keuntungan melainkan kerugian. $asus seperti ini dapat digambarkan sebagai berikut#
Fp
MC
C
C
5* D ' F ' MF
5@
3
E@
E
Meskipun pada tingkat output GE@ syarat pertama dan kedua dipenuhi akan tetapi biaya rata-rata melebihi penerimaan rata-ratanya, sehingga penerimaan totalnya tidak dapat menutup biaya totalnya, dan produsen menderita kerugian sebesar luas segi empat 5 @C5*. $asus seperti ini dapat juga terjadi pada produsen yang berada berada di pasar monopoli. monopoli. Gleh sebab sebab itu syarat keuntungan maksimum harus ditambah lagi dengan syarat ketiga yaitu harga harus lebih besar dari biaya rata-ratanya atau se"ara matematis dapat ditulis# 5 ; C &ila syara ini tidak dipenuhi, maka produsen tidak akan memperoleh keuntungan yang maksimum melainkan kerugian )ang minimum. Contoh 9.15: 5ada pasar persaingan sempurna, biaya rata-rata yang dikeluarkan oleh produsen ditunjukkan ditunjukkan oleh persamaan#
C ' E
@
E
*
− *:E + :33 +
833
9.3!
Matematika Ekonomi 1 ”
&erapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh bila harga barang per unitnya adalah adalah 5 ' @33 &iaya rata-rata#
C ' @ *
E − *:E + :33 + 833
2 E
&iaya total#
@
2
*
TC ' E − *:E + :33E+ 833 2
&iaya marjinal# *
MC ' E 1 :3E ? :33 5enerimaan marjinal# MF ' 5 ' @33 $euntungan maksimum didapat bila# MF ' MC *
@33 ' E 1 :3E ? :33 atau E* 1 :3E ? /33 ' 3 E 1 @3E 1 /3 ' 3
E@ ' /3 E* ' @3
dMF < dMC dE dE
dMF = 3 dE
dMC
= *E − :3 dE
untuk E ' /3, maka
untuk E ' @3, maka
dMC
dMC
=23 dE
= − 23 dE
” ESPA4112M!DUL 9
9.3"
adi
dMF dMC
hanya untuk E ' /3 dE dE
<
5ada E ' /3, maka# TF ' /3 × @33 ' /.333
TC '
@
2
*
/3 − *:/3 + :33/3 + 833 2
@
*@.222 − /3.333+ *3.333+ 833 2
@
@.(22 2
TF 1 TC /.333 - @.(22
@
2 *.388 2
*
*
adi keuntungan yang didapat# π ' *.388 . 2
LA$&HAN %ntuk memperdalam pemahaman nda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut Dari pasangan kurva permintaan dan biaya rata-rata berikut ini tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh monopolis# 5 ' */ 1 7E C ' 8 1 E 5 ' @* 1 :E C ' /E ? 8
*
2 5 ' *8 1 *E 1 /E C ' E ? B
9.3#
Matematika Ekonomi 1 ”
&ila fungsi permintaan yang dihadapi oleh monopolis adalah 5 ' @* 1 /E dan *
biaya total yang dihadapi adalah TC ' BE 1 E , maka berapakah keuntungan maksimum yang didapat< 5ada pasar persaingan sempurna kurva biaya total ditunjukkan oleh
@
2
2
*
persamaan# TC = E − E + 23E +@* dan produsen menjual * barangnya Fp@3,33 per per unit. &erapakah &erapakah keuntungan maksimum maksimum yang diperoleh produsen< Petunjuk Jawaan !at"han @ 5 ' */ 1 7E TF ' */E 1 7E* C ' 8 1 E TC ' C.E 8E 1 E* ' TF - TC *
*
*/E 1 7E 1 8E 1 E *
*/E - 7E 1 8E ? E
*
*
-8E ? @BE maksimum bila#
dπ
= 3 = − @*E+@B dE
E' @B
= @,:
@*
*
d
π
= −@* , untuk E ' @,:, maka *
d π <3
*
dE
*
dE
adi π maksimum pada E ' @,: *
-8@,: ?@B@,: @2,: ? *7 @2,: adi keuntungannya ' @2,: ” ESPA4112M!DUL 9
9.39
*
*
5 ' @* 1 :E TF ' @*E 1 :E C ' /E ? 8 TC ' /E ? 8E TF 1 TC *
*
@*E 1 :E 1 /E 1 8E *
-(E ? 8E
π maksimum bila#
dπ
= 3 = − @BE + 8 dE
E'
8
<
@
@B 2
*
d π = −@B , maka untuk E untuk E = @ , *
d π <3 *
dE
*
dE
2
@
adi π maksimum pada E ' 2
@
@
*
' -( ? 8 2 -@ ? * @ adi keuntungannya ' @ *
2 5 ' *8 1 *E 1 /E *
2
TF ' *8E 1 *E 1 /E C ' E ? B *
TC ' E ? BE TF 1 TC *
2
*
*8E 1 *E 1 /E 1 E - BE
*
2
@BE - 2E - /E . maksimum bila#
dπ
*
= 3 = @B − 8E − @*E dE
atau *
*E ? E 1 2 ' 3
9.4%
Matematika Ekonomi 1 ”
*E ? 2E 1 @ ' 3 E@ ' @
E* ' −
2
*
E* tidak digunakan karena bertanda negatif *
@*E 1 /E 1 BE ? E
d*π
*
*
= − 8 − */E , dE
/E - 2E
untuk E ' @, maka untuk E =
@B@ 1 2@ 1 /@ @@
2
dπ
= 3 = / − 8E dE
2
E=
adi keuntungannya ' @@
*
d
*
TF ' @*E 1 /E TC ' BE 1 E
/
*
= 8 2
π =
*
− 8 , dE
untuk E ' * , maka
5 ' @* 1 /E *
*
d π <3
* −2
* * 2
*
2 ' /
$euntungan ' π
* π
d
< dE* 3
TF 1 TC
atau π maksimum pada E '
dE
π maksimum bila#
adi π maksimum pada E ' @ *
*
*
2
” ESPA4112M!DUL 9
9.4$
' B − / 2
/
5 ' @33 TF ' @33E TC ' * MF =
MC =
@
E
2
−
2
E
*
+ 23E + @*
dTF
= @33 dE
dTC
*
= E − 2E + 23 dE
π maksimum bila# MF ' MC *
*
@33 ' E 1 2E ? 23 E 1 2E 1 73 ' 3 E 1 @3E ? 7 ' 3 E @ ' @3 E * ' -7
dMF < dMC dE dE
dMF = 3 dE
dMC
= *E −2 dE
dMF dMC
%ntuk E ' @3, maka
<
dE dE
adi π maksimum.
%ntuk E ' -7, maka
dMF dMC >
adi π tidak maksimum.
dE dE
9.42
Matematika Ekonomi 1 ”
$euntungan pada E ' @3# TF - TC
@
@33@3 1 *
@
@.333 - 222
:3/ 2
@3
2
−
2
@3
*
+ 23@3 +@*
− @:3 + 233 +@* 2
*
"AN#KUMAN
5rodusen dalam memproduksi barang-barang akan mendapatkan keuntungan yang maksimum bila dipenuhi syarat# MF ' MC dMF < dMC dE dE 2 5 ; C
$ES %!"MA$&% 2 5ilihlah satu jawaban yang paling tepat @ &ila fungsi permintaan yang dihadapi oleh monopolis adalah *
5 = *8 −2E dan fungsi biaya totalnya adalah *
TC =2E + *E +@/ .
&erapakah jumlah output yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum< / 2
/
2 * !eorang produsen di pasar persaingan sempurna menjual barangnya seharga Fp (3,33 per unit. &iaya tetap total yang dikeluarkan sebesar Fp /33,33 dan *
biaya variabel totalnya totalnya adalah C = @,:E − 23E . &erapa ” ESPA4112M!DUL 9
9.43
unit barang yang harus dihasilkan agar keuntungan produsen maksimum< /3 2: / D. /: &iaya rata-rata yang harus dikeluarkan oleh seorang produsen di pasar *
8
monopoli ditunjukkan oleh persamaan C = *E − *3E + 7/+ . E =ungsi permintaan yang dihadapi adalah 5 + :E =:3 . &erapakah harga yang harus dikenakan pada barang yang dijual agar keuntungan yang didapat maksikum< *3 23 :3 D. *: &ila fungsi penerimaan total seorang produsen dinyatakan dalam *
persamaan# TF = − *E +@333E dan fungsi biaya totalnya adalah 2
*
TC = E − :(E + @2@:E − *333 . &erapakah keuntungan maksimum
produsen tersebut dan dan berapa jumlah jumlah yang harus diproduksi< diproduksi< E ' *: , π ' @8,(*: E ' 2: , π ' @:,**: E ' *: , π ' @7,(*: E ' 2: , π ' @7,(*:
=ungsi permintaan untuk suatu jenis barang tertentu adalah 5 ' *B 1 :E dan *
biaya total yang dihadapi seorang monopolis adalah TC = E + /E . Tentukan keuntungan maksimum produsen itu dan berapa jumlah yang diproduksi< E ' * , π ' */ E ' / , π ' *3 E ' * , π ' *3 E ' * , π ' @/
9.44
Matematika Ekonomi 1 ”
Co"okkanlah jawaban nda dengan $un"i awaban Tes =ormatif * yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. benar. $emudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan nda terhadap materi $egiatan &elajar *.
Tingkat penguasaan '
umlah awaban yang &enar
×@33 umlah !oal
rti tingkat penguasaan# (3 - @33 ' baik sekali B3 - B( ' baik 73 - 7( ' "ukup 9 73 ' kurang pabila men"apai tingkat penguasaan B3 atau lebih, nda dapat meneruskan dengan $egiatan &elajar 2. Bagus# ika masih di bawah B3, nda harus mengulangi materi $egiatan &elajar *, terutama bagian yang belum dikuasai. ” ESPA4112M!DUL 9
9.4
Kunci *a(a'an Tes F)rmati+ &e' (o%mat"f 1 @ & 0
2
@, / 3,* 2, * ) 3
*
0 3, :
*
y ' 3,:) 1 2) ? /,:) ? *
:
y ' ) ? :
9.4!
Matematika Ekonomi 1 ”
2 D y
@
/
2
*
y ' / ) − /) +@3) −@3
*, *
)
3, -@3
@3, -:@3
C & &e' (o%mat"f 2 C & D ” ESPA4112M!DUL 9
9.4"
Da+tar Pustaka &aldani, effrey, ames &radfield and Fobert Turner, @((8. )athemat"*a$ @((8. )athemat"*a$ +*onom"*', The Dryden 5ress, Har"ourt &ra"e College 5ublisher. Haeussler, Irnest =. and Fi"hard !. 5aul, @((8. -nt%odu*to%y -nt%odu*to%y )athemat"*a$ )athemat"*a$ na$y'"' fo% /u'"ne'' +*onom"*', +*onom"*', and &he !"fe and o*"a$ o*"a$ *"en*e', Iighth Idition, 5renti"e Hall Jnternational Jn".
Hoy, Hoy, Mi"hael, ohn Kivernois, Chris M"$enna, Fay Fees and Thanasis !tengos, @((8. )athemat"*' @((8. )athemat"*' fo% +*onom"*', ddison-Lesley +*onom"*', ddison-Lesley 5ublisher Kimited, a"ues, Jan, @((:. )athemat"*' @((:. )athemat"*' fo% +*onom"*' and /u'"ne'', !e"ond /u'"ne'', !e"ond Idition, ddison-Lesley 5ublishing Company. 5indy"k, Fobert ! and Daniel K Fubinfeld, @((B. )"*%oe*on @((B. )"*%oe*onom"*', om"*', =ourth =ourth Idition, 5renti"e Hall Jnternational Jn". 5rakin, Mi"hael and Fobin &ade, @((:. )ode%n @((:. )ode%n )a*%oe*onom"*', )a*%oe*onom"*', 5renti"e 5renti"e Hall Canada Jn" !"arborough Gntaro. !ilberberg, Iugene and Ling !uen, *33@. &he t%u*tu%e of +*onom"*' a )athemat"*a$ na$y'"', Jrwin M"+raw-Hill. Kembali ke Daftar Isi
