ESOA_MASTR_U4

ESOA Matemática Aplicada a Sistemas de Tiempo Real

Unidad nº 4: INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION DE FUNCIONES

Profesor: Ing. Christian L. Galasso 1

ESOA ESOA

Unid Unidad ad nº 4: INTE INTERP RPOL OLAC ACIO ION N Y EXTR EXTRAP APOL OLAC ACIO ION N DE FUNC FUNCIO IONE NES S

MAST MASTR R



Concepto de interpolación y extrapolación



Tabla de diferencias. Funciones de puntos igualmente espaciados. Definición de primeras diferencias, segundas diferencias, etc.



Tabla general de diferencias. Formas de hallar una función aproximante.



Fórmula de Gregory-Newton hacia adelante.



Fórmula de Gregory-Newton hacia atrás.



Interpolación mediante trazadores (splines)

Bibliografía: 

Métodos numéricos para ingenieros. 5° Edición. Steven C. Chapra. Capítulo 18.



Tesis: Técnicas de Interpolación del Análisis Numérico. Luis Roberto Baessa Iunge. Universidad Francisco Marroquin. Guatemala.

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MAST MASTR R

Concepto de regresión, interpolación y extrapolación Dentro del ajuste de curvas existen dos procedimientos: uno llamado regresión y otro interpolación. La regresión se verá en detalle en la siguiente unidad. La interpolación se utiliza cuando se sabe que los datos son muy precisos, el procedimiento básico será colocar una curva o una serie de curvas que pasen por c/u de los puntos en forma directa. La extrapolación es el proceso de estimar un valor de f (x) que se encuentre fuera del dominio de los valores x0, x1, x2, … ,xn , que se usaron para interpolar y hallar la función aproximante. Esta técnica tiene el problema de que el error puede ser muy grande.

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MAST MASTR R

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Concepto de regresión, interpolación y extrapolación Con frecuencia encontraremos problemas donde se tiene que estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos. El método más común que se usa es la interpolación polinomial. Recordemos que la fórmula para un polinomio de n-ésimo grado es: 2

n

f  x  = a0 a1 x a 2 x ... an x

Dados n + 1 puntos, hay uno y sólo un polinomio de grado n que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir un polinomio de 1° grado) que une 2 puntos, véase figura a).

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Concepto de regresión, interpolación y extrapolación La interpolación polinomial consiste en determinar el polinomio único de nésimo grado que se ajuste a n + 1 puntos. Este polinomio, entonces, proporciona un fórmula para calcular valores intermedios. En la presente unidad veremos los polinomios de Newton y Lagrange. Interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas Existe un gran variedad de formas de expresar un interpolación polinomial. El polinomio de interpolación de Newton es una de las formas más populares y útiles. Antes de presentar la ecuación general, estudiaremos las versiones de primer y segundo grado: La interpolación lineal y la interpolación cuadrática.

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Interpolación lineal La forma más simple de interpolación es unir dos puntos por una línea recta. Dicha técnica, llamada interpolación lineal, se ilustra de manera gráfica a continuación. Utilizando triángulos semejantes obtenemos: f 1 ( x )−f ( x 0 ) x − x 0

=

f ( x 1 )−f ( x 0 ) x 1− x 0

Reordenando se obtiene:

f 1 ( x ) = f ( x 0 )+

f ( x 1 )−f ( x 0 ) x 1− x 0

( x − x 0 )

Que es la fórmula de la interpolación lineal.

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Interpolación lineal La notación f 1(x) designa que éste polinomio de interpolación es de 1° grado. El término [f (x1) - f (x0)] / (x1 – x0), es una aproximación en diferencia dividida finita a la primer derivada. En gral. cuanto menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación. Esto se debe a que , conforme el intervalo disminuye, una f continua estará mejor aproximada por una línea recta. Ejemplo 18.1: Estimar el valor del Ln 2, usando interpolación lineal entre 1 y 6. luego repita El procedimiento entre 1 y 4. Compare.

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Interpolación cuadrática En el ejemplo 18.1 el error resulta de querer aproximar una curva mediante una línea recta. En consecuencia, una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna curvatura a la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos, estos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (también conocido como polinomio cuadrático o parábola). Una forma conveniente de ello es: f 2  x  = b0b1  x − x 0 b2  x − x 0  x − x 1  2

f 2  x  = b0b1 x −b1 x 0 b2 x b2 x 0 x 1− b2 x x 0−b 2 x x 1 2

Agrupamos en términos: f 2  x  = a0 a1 x a 2 x ; donde

a0 = b0 −b1 x 0b 2 x 0 x 1 a1 = b1 −b2 x 0− b2 x 1 a2 = b2

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Interpolación cuadrática Se realiza el siguiente procedimiento para obtener los valores de los coeficientes: b0 = f  x 0  b1 =

f  x 1 −f  x 0  x 1− x 0 f  x 2 −f  x 1 

b2 =

x 2 − x 1

−

f  x 1 −f  x 0  x 1− x 0

x 2 − x 0

Ejemplo 18.2:

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Forma general de los polinomios de interpolación de Newton El análisis anterior (interpolación lineal, interpolación cuadrática, etc.) puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-ésimo grado a n + 1 puntos. El polinomio de n-ésimo grado es: f n  x  = b0 b1  x − x 0 b 2  x − x 0  x − x 1 ...bn  x − x 0  x − x 1  x − x 2  ...  x − x n− 1 

Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadráticas, los puntos asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b 0, b1, b2, …, bn. Para un polinomio de n-ésimo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)], [x2, f(x2)], ..., [xn, f(xn)].

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Forma general de los polinomios de interpolación de Newton Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes: b0 b1 b2 . . . bn

= f  x 0  = f [ x 1, x 0 ] = f [ x 2, x 1, x 0 ]

= f [ x n , x n −1 , ... , x 1, x 0 ]

Donde las evaluaciones de las funciones colocadas entre corchetes son diferencias divididas finitas.

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Forma general de los polinomios de interpolación de Newton Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representa como: f [ x 1, x 0 ] =

f  x 1 −f  x 0  x 1 − x 0

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa como: f  x 2 −f  x 1  f [ x 2, x 1, x 0 ] =

f [ x 2, x 1 ]−f [ x 1, x 0 ] x 2− x 0

=

x 2− x 1

−

f  x 1 −f  x 0  x 1 − x 0

x 2 − x 0

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Forma general de los polinomios de interpolación de Newton De forma similar, la n-ésima diferencia dividida finita es: f [ x n , x n− 1 , ... , x 1, x 0 ] =

f [ x n , x n− 1 , ... , x 2, x 1 ]−f [ x n −1 , x n− 2 , ... , x 1, x 0 ] x n − x 0

Si hacemos una representación gráfica podemos ver la naturaleza recursiva de las diferencias divididas finitas:

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Forma general de los polinomios de interpolación de Newton Estas diferencias sirven para obtener los coeficientes que luego se colocarán en la primera ecuación vista: f n  x  = b0 b1  x − x 0 b 2  x − x 0  x − x 1 ...bn  x − x 0  x − x 1  x − x 2  ...  x − x n− 1 

Obteniéndose así el polinomio de interpolación de n-ésimo grado: f n  x  = f  x 0 f [ x 1, x 0 ] x − x 0 f [ x 2, x 1, x 0 ] x − x 0  x − x 1  + ... + f [ x n , x n −1 , ... , x 1, x 0 ] x − x 0  x − x 1  x − x 2  ...  x − x n −1 

Este último se conoce como polinomio de interpolación de Newton de diferencias divididas. Debe observarse que no se requiere que los datos utilizados en la ecuación estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa estén en orden ascendente. Ejemplo 18.3:

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Diferencias progresivas La diferencia de una f se define como la resta de dos valores sucesivos:

 f  x  = f  x 1 −f  x  Esta fórmula asume que los valores están tabulados con una unidad de diferencia entre sí. Podemos generalizarla para cuando el tamaño de los intervalos es h:  h f  x  = f  x 1 −f  x  ; conh 0 Para calcular diferencias de orden superior usamos las de orden inferior. Para las segundas diferencias tenemos que:  2 f  x  =  [ f  x ]  2 f  x  =  [ f  x 1 −f  x ]  2 f  x  = [ f  x  2 −f  x 1 ]−[ f  x 1 −f  x ] 2  f  x  = f  x  2 −2 f  x 1 f  x  2

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2

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Diferencias progresivas Para las terceras diferencias tenemos que:

 3 f  x  =  [ 2 f  x ]  3 f  x  =  [ f  x 2 − 2 f  x 1 f  x ]  3 f  x  = [ f  x 3 − 2 f  x  2 f  x 1 ]−[ f  x  2 −2 f  x 1 f  x ]  3 f  x  = f  x 3 −3 f  x 2 3 f  x 1 −f  x  De esta forma se puede encontrar hasta la diferencia n-ésima.

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Diferencias progresivas Por lo general las diferencias se representan en una tabla de la siguiente forma: x

f (x)

0

f (0)

f (x) ∆f

1

∆2f

3 4

∆3f ∆2f

∆4f ∆3f

∆2f

(0)

(1)

(2)

f (3) ∆f

f (x)

(0)

(1)

f (2) ∆f

f (x)

(0)

f (1) ∆f

2

f (x)

(1)

(2)

(3)

f (4)

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(0)

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Diferencias progresivas Ejemplo: Construir la tabla de diferencias, basada en los valores 0, 1, 2, 3; de la función f (x) = x 3

x

f (x)

0

0

f (x)

f (x)

f (x)

1 1

1

6 7

2

8

6 12

19 3

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Diferencias regresivas Se puede definir un nuevo operador E tal que: E f  x  = f  x 1 

Esta fórmula asume que los valores están tabulados con una unidad de diferencia entre sí. Podemos generalizarla para cuando el tamaño de los intervalos es h: E h f  x  = f  x h  Usando este operador se observa que:

 f  x  = f  x 1 −f  x  = E f  x −f  x  En general se puede escribir:

 ≡E −1 y E ≡1 ; donde 1 es el operador identidad 20

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Diferencias regresivas Se puede definir un nuevo operador diferencias regresivas ∇ :

∇ f  x 

= f  x −f  x −1 

∇ ≡1 −E −1 ≡ E −1  E −1 ≡ E −1 x

f (x)

0

f (0)

f (x) ∇f

1

∇2f

3

∇3f ∇2f

∇4f ∇3f

∇2f

(3)

(3)

(3)

f (3) ∇f

f (x)

(2)

(2)

f (2) ∇f

f (x)

(1)

f (1) ∇f

2

f (x)

(4)

(4)

(4)

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(4)

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Fórmula progresiva de Newton - Gregory La fórmula más sencilla para la interpolación con intervalos iguales es la fórmula de diferencias progresivas de Newton o Newton - Gregory:







2 3 f  x n  = f  x  n  f  x  n  f  x  n  f  x ... 1 2 3

Para el cálculo se utilizan las diferencias de la diagonal superior de la tabla de diferencias finitas. Si se utiliza un polinomio de colocación para aproximar, la fórmula tendrá un número finito de términos. Si se hace 0 < n < 1 entonces la fórmula se reduce a:

   

f  x n  = f  x 

n

f x

1

f  x n  = f  x n [ f  x 1 − f  x ] f  x n  =  1−n  f  x n f  x 1 

Y esta última es la fórmula de interpolación lineal.

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Fórmula progresiva de Newton - Gregory Ejemplo: Estimar f (2,5) dado f (1) = 1, f (2) = 8, f (3) = 27, f (4) = 64; usando la fórmula de diferencias progresivas de Newton – Gregory. Para comparar el resultado tenga en cuenta que f (x) = x 3, con lo que el resultado debería ser 2,5 3 = 15,625. x

f (x)

1

1

f (x)

f (x)

f (x)

7 2

8

12 19

3

27

6 18

37 4

64

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Fórmula progresiva de Newton - Gregory En rojo tenemos las diferencias progresivas y en verde las regresivas de Newton, el último elemento está en otro color para identificar que pertenece tanto a las progresivas como a las regresivas. Resolviendo el ejemplo por diferencias progresivas queda: f ( x + n ) = f ( x )+

n

1

Δ f ( x )+

f ( 2,5 ) = 1 +( 2,5 −1)Δ+

n

2

Δ 2 f ( x )+

( 2,5 −1 )( 2,5− 2 ) 2

n

3

Δ 3 f ( x )+ ...

( 2,5−1 )( 2,5 −2 )( 2,5−3 ) 3 Δ2 + Δ

6 ( 2,5 −1 )( 2,5 −2 ) ( 2,5 −1 )( 2,5 −2 )( 2,5 −3 ) f ( 2,5 ) = 1 +( 2,5 −1)( 7 )+ ( 12)+ ( 6) 2 6 f ( 2,5 ) = 1 + 1,5 ( 7)+ 0,375 ( 12 )+(−0,0625 )( 6 ) f ( 2,5 ) = 15,625

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Fórmula progresiva de Newton - Gregory La fórmula progresiva de Newton tiene varias formas equivalentes, la vista:







2 3 f  x n  = f  x  n  f  x  n  f  x  n  f  x ... 1 2 3

También puede encontrarse como: p  x  = f  x 0 f [ x 0, x 1 ] x − x 0 f [ x 0, x 1, x 2 ] x − x 0  x − x 1  + f [ x 0, x 1, x 2, x 3 ] x − x 0  x − x 1  x − x 2 ...

O como: p  x  = f  x 0 

 x − x 0 

 f  x 0 

 x − x 0  x − x 1 

h  x − x 0  x − x 1  x − x 2  3! h

3

2! h

2

2

 f  x 0  +

3

 f  x 0 ... 25

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Fórmula progresiva de Newton - Gregory Veamos el ejemplo anterior con la tabla formada de la siguiente forma, para poder usar la segunda forma vista de la fórmula: x

f (x)

1

1

f [x1,x0]

f [x2,x1,x0]

f [x3,x2,x1,x0]

7 2

8

6 19

3

27

1 9

37 4

64

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Fórmula progresiva de Newton - Gregory La fórmula de Newton nos queda: p  x  = f  x 0 f [ x 0, x 1 ] x − x 0 f [ x 0, x 1, x 2 ] x − x 0  x − x 1  + f [ x 0, x 1, x 2, x 3 ] x − x 0  x − x 1  x − x 2 ...

Reemplazando los valores de la tabla: p  x  = 17  2,5 −1 6  2,5 −1  2,5 −2 1  2,5−1  2,5− 2  2,5−3  p  x  = 15,625

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Fórmula regresiva de Newton - Gregory Analizaremos ahora la fórmula de diferencias regresivas de Newton:

 



 

2 3 f  x n  = f  x  n ∇ f  x  n 1 ∇ f  x  n 2 ∇ f  x ... 1 2 3

Para el cálculo se utilizan las diferencias de la diagonal inferior de la tabla de diferencias finitas. Para el ejemplo anterior tenemos que: x

f (x)

x0 = 1

1

f (x)

f (x)

f (x)

7 x1 = 2

8

12 19

x2 = 3

27

6 18

37 4

64

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Fórmula regresiva de Newton - Gregory En verde tenemos las diferencias regresivas Newton, el último elemento está en otro color para identificar que pertenece tanto a las progresivas como a las regresivas. Resolviendo el ejemplo anterior por diferencias regresivas queda:



f  x  n  = f  x 

f  x  =

n

1

 

 

∇ f  x  n 1 ∇ 2 f  x  n 2 ∇ 3 f  x ... 2

3

 x − x 3   x − x 3  x − x 2  2 f  x 3  ∇ f  x  ∇ f  x  + 2 h

2! h

 x − x 3  x − x 2  x − x 1  3! h

3

∇ 3 f  x 

 2,5 −4  2,5−3 

f  2,5  = f  x 3  2,5 −4 

2

 2,5− 4  2,5 −3  2,5 −2  3  2  29

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Fórmula regresiva de Newton - Gregory

 2,5− 4  2,5− 3 

f  2,5  = 64  2,5 − 4  37 

2

 2,5 −4  2,5 −3  2,5− 2  18   6 6

f  2,5  = 64 −1,5  37 0,375  18 0,0625  6  f  2,5  = 15,625

Llegamos al mismo resultado que obtuvimos las veces anteriores.

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Fórmulas de Newton - Gregory Ejemplo: Use las fórmulas de interpolación progresiva y regresiva de Newton – Gregory para obtener el valor de la siguiente función en 2,5; sabiendo el valor de la misma en los puntos 1, 2, 3 y 4; f (x) = ln x x

f (x)

1

0

f (x)

f (x)

f (x)

0,69315 2

0,69315

-0,2877 0,4055

3

1,0986

0,1699 -0,1178

0,288 4

1,3863

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Polinomios de interpolación de Lagrange El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas y se representa de manera concisa como: f n  x  =

n

∑=

i 0

Li  x  f  x i  ; donde Li  x  =

x − x j

n

∏=

j 0 j ≠ i

x i − x j

Donde el primer signo indica sumatoria y el segundo indica productoria. Veamos ahora, como ejemplo la versión lineal (n = 1): x − x 1 x − x 0 f 1  x  = f  x 0  f  x 1  x 0− x 1 x 1− x 0 La versión de segundo grado es: f 2  x  =

 x − x 1  x − x 2   x − x 0  x − x 2   x − x 0  x − x 1  f  x 0  f  x 1  f  x 2   x 0 − x 1  x 0− x 2   x 1− x 0  x 1− x 2   x 2 − x 0  x 2 − x 1  32

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MASTR

Polinomios de interpolación de Lagrange La Ec. 18.20se obtiene de manera directa del polinomio de Newton:

Ejemplo 18.6:

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Coeficientes de un polinomio de interpolación Aunque el polinomio de Newton y de Lagrange son adecuados para determinar valores intermedios entre puntos, no ofrecen un polinomio adecuado de la forma convencional n

2

f  x  = a0 a1 x a 2 x ... an x

Un método directo para calcular los coeficientes: a0, a1, a2, ..., an ; de este polinomio se basa en el hecho de que se requieren n + 1 puntos para determinar los n + 1 coeficientes. Así se utiliza un sistema de ecuaciones lineales algebraicas para calcular las an . Por ejemplo, supongamos que se desea calcular los coeficientes de una parábola: 2

f  x  = a0 a1 x a 2 x

Se requieren tres puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)].

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Coeficientes de un polinomio de interpolación Cada uno se sustituye en las siguientes ecuaciones: 2

f  x 0  = a0a1 x 0a2 x 0 2

f  x 1  = a0a1 x 1a 2 x 1 2

f  x 2  = a0a1 x 2a2 x 2

De esta manera, las x son los datos conocidos y las a son las incógnitas. Como hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, se puede resolver el sistema usando algún método de eliminación. Advertencia: Sistemas de ecuaciones formados de la manera vista están notoriamente mal condicionados. Ya sea que se resuelvan por un método de eliminación o por otro, los coeficientes resultantes pueden ser bastante inexactos, en particular para n grandes. En resumen si el interés está en determinar un punto intermedio, emplee Newton o Lagrange y si lo que se busca es la ecuación, limítese a polinomios de grado menor y verifique sus 35 resultados.

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Interpolación mediante trazadores (splines) Antes se usaron polinomios de n-ésimo grado para interpolar entre n + 1 puntos que se tenían como datos. Por ejemplo de 8 puntos se puede obtener un polinomio de séptimo grado. Esta curva podría agrupar todas las curvas (al menos hasta la séptima derivada) sugeridas por los puntos. No obstante, hay casos donde estas f llevarían a resultados erróneos a causa de los errores de redondeo y los puntos lejanos. Un procedimiento alternativo consiste en colocar polinomios de grado inferior en subconjuntos de los datos. Tales polinomios conectores se denominan Trazadores o Splines . Por ejemplo, las curvas de tercer grado empleadas para unir c/par de datos se llaman trazadores cúbicos. Estas funciones se pueden construir de tal forma que las conexiones entre ecuaciones cúbicas adyacentes resulten visualmente suaves.

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Interpolación mediante trazadores lineales En la figura se puede apreciar un ejemplo de cuando Una interpolación mediante trazadores (en este caso Lineales) dan una mejor aproximación que un Polinomio de interpolación de grado superior. La unión más simple entre dos puntos es una línea Recta. Los trazadores de primer grado para un grupo De datos ordenados puede definirse como un Conjunto de f lineales. f  x  = f  x 0 m0  x − x 0  ; para x 0≤ x ≤ x 1 f  x  = f  x 1 m1  x − x 1  ; para x 1≤ x ≤ x 2 . . . f  x  = f  x m  x x  ; para x ≤ x ≤ x

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MASTR

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Interpolación mediante trazadores lineales

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ESOA


MASTR

Interpolación mediante trazadores lineales Donde mi es la pendiente de la línea recta que une los puntos: m i =

f  x i  1 −f  x i  x i 1 − x i

Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la f en cualquier punto entre x0 y xn localizando primero el intervalo dentro del cuál está el punto. Después se usa la ecuación adecuada para determinar el valor de la función dentro del intervalo. El método es obviamente idéntico al de la interpolación lineal. Ejemplo 18.8:

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Interpolación mediante trazadores lineales Una inspección visual de la figura indica que la principal desventaja de los trazadores de 1° grado es que no son suaves. En esencia los puntos donde se encuentran dos trazadores (llamado nodo), la pendiente cambia de forma abrupta. Formalmente, la primer derivada de la f es discontinua en esos puntos. Esta deficiencia se resuelve usando trazadores polinomiales de grado superior, que aseguren suavidad en los nodos al igualar las derivadas en esos puntos.

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Interpolación mediante trazadores cuadráticos Para asegurar que las derivadas m-ésimas sean continuas en los nodos, se debe emplear un trazador de un grado de al menos, m + 1. En la práctica se usan con mayor frecuencia polinomios de tercer grado o trazadores cúbicos que aseguran la primera y segunda derivadas continuas. Aunque las derivadas de tercer orden y mayores podrían ser discontinuas, por lo común no pueden detectarse en forma visual y se ignoran. En el presente curso veremos sólo hasta una introducción a los trazadores cuadráticos, los cuales nos permitirán ilustrar el concepto gral. de interpolación mediante trazadores el cuál puede extrapolarse para grados mayores. El objetivo de los trazadores cuadráticos es obtener un polinomio de segundo grado para c/intervalo entre los datos.

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Interpolación mediante trazadores cuadráticos De manera gral. el polinomio en c/intervalo se presenta como: 2

f i  x  = ai x bi x c i La figura nos ayuda a aclara la notación. Para n + 1 datos (i = 0, 1, 2, ..., n) Existen n intervalos y, en Consecuencia, 3n constantes Desconocidas (las a, b y c) por Evaluar, por lo tanto se requieren 3n ecuaciones o condiciones para Evaluar las incógnitas.

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