INTRODUCCIÓN A SIMULINK. Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Química y Ambiental Control de Procesos – Grupo 6 Manuel Alejandro Montero Suarez Cód. 244655 Mario Alejandro Garavito Sosa Cód. 244862 Jhonatan Gómez Ramírez Cód. 244724 Néstor Javier González Castro Cód. 243399 Andrés Niño Aparicio Cód. 244865 Noviembre 15 de 2012
1. INTRODUCCIÓN Simulink es la interface grafica de simulación de MATLAB. Permite el análisis y estudio de sistemas (de distintas disciplinas de la técnica) mediante la simulación de los modelos construidos en Simulink. La creación de estos modelos es sencilla e intuitiva, ya que se forman mediante la interconexión grafica de distintos bloques. Dentro del editor de modelos de Simulink se insertan bloques, se conectan y se parametrizan para su posterior simulación. En Simulink es posible crear y simular modelos mecánicos, eléctricos, electrónicos, aeronáuticos, etc. gracias a la gran variedad de bloques (blocksets) de los que dispone. Estos conjuntos de bloques se encuentran agrupados en la Simulink Library Browser, que se despliega al ejecutar Simulink. La librería principal de bloques se encuentra bajo la carpeta llamada Simulink y en ella aparecen los bloques agrupados en las siguientes categorías: Continuos, no lineales (Discontinuos), discretos, tablas, operaciones matemáticas, verificación de modelos, puertos y subsistemas, señales, dispositivos de salida (Sinks), generadores (Sources). Simulink es una herramienta ampliamente usada en el control de procesos, tanto a nivel académico como industrial. Su importancia y gran variedad de aplicaciones se desarrollarán a lo largo de este trabajo. Y además de esto, se entrará a desarrollar un ejercicio práctico para que, más allá de dar un curso completo en una clase sobre simulink, los compañeros y las compañeras queden motivados a seguir explorando esta maginifica aplicación.
2. RESUMEN El presente trabajo esboza de una manera muy amplia los principales usos y herramientas que se encuentran en la aplicación Simulink del programa MATLAB. Primero se habla sobre los
programas, contextualizando cuales son sus aplicaciones más comunes. Luego, se entra a explicar de una manera mas detallada de tallada y puntual a Simulink, desglosando las multiples funciones y opciones que tiene para desarrollar. Esta parte se hace acompañada de imágenes del programa para que sea más fácil el entender lo que se esta explicando. Finalmente se entra a resolver un ejercicio práctico con el programa para poder afianzar los conceptos que se habían abordado. Más que querer hacer un curso completo sobre simulink (lo cuál sería imposible en 2 horas), se desea dejar inquietudes y motivaciones para que los compañeros sigan explorando esta herramienta de tan importante utilidad.
3. INTRODUCCIÓN A SIMULINK 3.1. Acerca 3.1. Acerca de MATLAB.
Matlab es un programa de gran aceptación en ingeniería destinado a realizar cálculos técnicos científicos y de propósito general. En él se integran operaciones de calculo, visualización y programación, donde la interacción con el usuario emplea una notación matemática clásica. Los usos y aplicaciones típicos de Matlab son:
Matemáticas y cálculo.
Desarrollo de algoritmos.
Adquisición de datos.
Modelado, simulación y prototipado.
Análisis y procesado de datos.
Gráficos científicos y de ingeniería.
Desarrollo de aplicaciones.
Matlab consta de cinco partes fundamentales. 3.1.1.
Entorno de desarrollo: Se trata de un conjunto de utilidades que permiten el uso de
funciones Matlab y ficheros en general. Muchas de estas utilidades son interfaces graficas de usuario. Incluye el espacio de trabajo Matlab y la ventana de comandos. 3.1.2.
La librería de funciones matemáticas Matlab: Se trata de un amplio conjunto de
algoritmos de cálculo, comprendiendo las funciones mas elementales como la suma, senos y cosenos o la aritmética compleja, hasta funciones mas sofisticadas como la inversión de matrices, el calculo de auto valores, funciones de Bassel y transformadas rápidas de Fourier. 3.1.3.
Gráficos: Matlab dispone de un conjunto de utilidades destinadas a visualizar vectores
y matrices en forma de gráficos. Existe una gran cantidad de posibilidades para ajustar el aspecto de los gráficos, destacando la visualización tridimensional con opciones de iluminación y sombreado, y la posibilidad de crear animaciones.
3.1.4.
El interfaz de aplicación de Matlab (API): Consiste en una librería que permite escribir
programas ejecutables independientes en C y otros lenguajes, accediendo, mediante DLLs, a las utilizadas de cálculo matricial de Matlab.
3.2. Sobre Simulink.
Simulink es una herramienta de gran utilizad para la simulación de sistemas dinámicos. Principalmente, se trata de un entorno de trabajo grafico, en lo que se especifican las partes de un sistema y su interconexión en forma de diagrama de bloques. Se trata de una herramienta muy amplia que además se complementa con numerosos elementos opcionales. Además de las capacidades de simulación de las que esta dotado Simulink, conviene destacar que contiene cómodas utilidades de visualización y almacenamiento de resultados de simulación.
3.3. ¿Cómo se utiliza Simulink? 3.3.1.
Para acceder a la librería de Simulink se debe abrir inicialmente la ventana principal de Matlab (Matlab Command Window). En esta se puede ejecutar como el comando
“simulink” o hacer click en el símbolo correspondiente en la barra de herramientas en la parte superior de esta ventana. (Figura 1 )
Figura 1: Ventana principal de Matlab (Matlab Command Window)
3.3.2.
Al hacer lo anterior, aparecerá el listado de las librerías correspondientes a simulink, donde se podrá tener acceso a todos los bloques que brinda esta herramienta. (Figura 2)
Figura 2: Listado de librerías de Simulink
3.3.3.
Para abrir una nueva hoja de trabajo se deberá acceder a través de: FileNewModel, o hacer clic en el símbolo de “Hoja nueva”. (Figura 3).
Figura 3: Ambiente de simulación en Simulink.
3.3.4.
El arrastre de bloques se realiza seleccionando el icono del bloque con el botón izquierdo del ratón, y manteniendo este pulsado se desplazara el cursor hasta la ventana del modelo. (Figura 4)
Figura 4: Desplazamiento de bloques en la ventana del modelo.
En la figura 5, se presentan los bloques que brinda la librería de Simulink, en el control de
procesos, los bloques mas utilizados son: “Continuous, Math Operations, Sinks and Sources”.
Figura 5: Librería de Simulink.
3.3.5.
Librería “Continuous”: Esta librería es muy útil, ya que con esta se construyen las bases de los diseños dinámicos, uno de los bloques mas importantes de esta, es la
función “Transfer fcn” necesaria cuando los diseños de procesos se definen a partir de transformadas de LaPlace.
En la figura 6 se presenta los bloques pertenecientes a la librería “Continuous”, como ejemplo, es seleccionada la función mencionada anteriormente, y se desplaza a la ventana donde se realizara el modelo (figura 7)
Figura 6: Bloques pertenecientes a la librería “Continuous”
Cuando es desplazada el bloque de función de transferencia a la ventana donde se realizara el modelo, es necesario entonces caracterizar los bloques situados, para que el diseño funciones correctamente; entonces, en el bloque desplazado, se hace doble click para obtener una nueva ventana, mostrada a la derecha de la figura 7. En esta ventana, se definen entonces los c oeficientes de los polinomios del numerador y el denominador de la función de transferencia. Una vez configuradas las funciones de transferencia, estas se podrán conectar entre si con arreglo a la estructura de interconexión de bloque que se presentan posterior a la figura 7 .
Figura 7: Selección, desplazamiento y caracterización del bloque “Transfer fcn” a la ventana del modelo.
Conectar bloques (I): Para conectar las salidas de un bloque a la entrada de otro, hacer click con el botón izquierdo del ratón en el bloque origen. Pulsar y m antener la tecla CTRL y hacer de nuevo click sobre el bloque destino. Conectar bloques (II): También se puede extraer un cable de señal haciendo click en el saliente derecho del bloque origen y prolongar la señal (pulsando y manteniendo el botón izquierdo del ratón) hasta llegar a la parte izquierda del bloque destino. Bifurcar cables: Un cable de señal 8que lleva la salida de un bloque hacia otro bloque), puede bifurcarse para distribuir la señal a varios bloques pulsando con el botón derecho en cualquier punto del cable. 3.3.6.
Librería “Math Operations”: Con esta librería, se puede relacionar los bloques de la librería “Continuos”, en la figura 8, se presentan todos los bloques pertenecientes a la librería de operaciones matemáticas.
En la figura 9, se presenta de manera de ejemplo la forma de usar el bloque de suma, en el ejemplo visual que se ha venido desarrollando en el escrito.
Figura 8: Bloques de la librería “Math operations”.
En el cuadro derecho de la figura 9, se presenta la forma de como caracterizar el bloque de suma, ya que dependiendo del signo de las señales que entran al punto de suma, el diseño tendrá diferente respuesta.
Figura 9: Ejemplo de la forma de usar el bloque de suma de la librería “Math Operations”.
3.3.7.
Librería “Source”: Esta librería es usada para simular los cambios en la entrada de la señal, ya que presentan solamente salidas y ninguna entrada. En la figura 10, se presentan los diferentes bloques para esta librería.
Figura 10: Bloques de la librería “Source”.
Algunos bloques de esta librería son:
“Clock”: marcas de tiempo de la simulación. Útil para trazar graficas con los resultados.
“Sin”: Señal senoidal parametrizable. “Step”: Señal en escalón. “Constant”: Señal de valor constante. “Signal generator”: Permite elegir entre un conjunto de señales preferidas. “Random Number”: Generación de ruido blanco configurable. “From Workspace”: Señal generada a partir de una variable del espacio de trabajo de Matlab.
En el ejemplo básico, se usa entonces el bloque “Step” y “Constant”, el cuadro de configuración de estas, se presenta en la parte derecha de la figura 11.
En la caracterización del bloque “Step” es necesario definir el valor inicial y el valor final, de la función escalón, con el r espectivo tiempo de paso.
Figura 11: Caracterización del bloque “Step” de la librería “Source”.
3.3.8.
Librería “Sink”: Con esta librería, es posible obtener los resultados necesarios del proceso, mediante los bloques presentados en la figura 12.
Figura 12: Bloques de la librería “Sink”.
Estos bloques presentan entradas pero ninguna salida, conocidos en español como nodos sumideros. Algunos de estos bloques son:
“Scope”: Grafica 2D para visualizar las señales frente al tiempo durante la simulación. “XY Graph”: Grafica 2D par visualizar un grafico X-Y creado a partir de dos señales de entrada.
“To Workspace”: Almacena las muestras de la señala de entrada en una variable (Vector) del espacio de trabajo de Matlab.
Es entonces que después de caracterizar cada bloque, se hace click en el botón PLAY, presente en la parte superior de la ventana del modelo, para así obtener entonces la simulación final del proceso. En la figura 13, se presenta la señal graficada del proceso propuesto.
Figura 13: Simulación del proceso propuesto.
3.4. Ejemplo: 3.4.1.
Ejercicio: Típico lazo abierto de respuesta dinámica de sistemas de segundo orden:
Paso 1: Iniciar el entorno de Simulink, escribir “simulink” en la ventana de Matlab. Paso 2: Abrir una nueva hoja en simulink desde F ileNewModel. Paso 3: Arrastrar y soltar los bloques necesarios en la ventana de Simulink. Paso 4: Hacer doble click en cada bloque de las funciones de transferencia, y caracterizar cada uno de ellos.
Figura 14: Ejercicio 1, Caracterización de los bloques.
Paso 5: Conectar los bloques como se muestra a continuación:
Figura 15: Ejercicio 1, Paso 5, Conexión de bloques.
Paso 6: Establecer una simulación de 30 segundos desde el menú “simulation” ”Configuration parameters”.
Figura 16: Ejercicio 1, Paso 6, Configuración de parámetros.
Paso 7: Simular el proceso presionando el botón “Run” y para ver los resultados hacer doble click en el bloque “Scope”.
Figura 17: Ejercicio 1, Paso 7, Resultados de la simulación.
4.
EJERCICIO DE APLICACIÓN: 4.1. Proceso.
Figura 18: Diagrama del Proceso
4.2. Funciones de Transferencia:
En esta sección, se mostrará el procedimiento usado para el cálculo de las funciones de transferencia del proceso, de la válvula y del sensor transmisor. 4.2.1.
Función de Transferencia del proceso
Para poder establecer la función de transferencia para este sistema; se hace necesario plantear los balances de materia y energía. Esto se logra haciendo una reducción de la complejidad de los cálculos; la cual incluye asumir que la densidad y el volumen son constantes durante todo el proceso: Macumulada=Mentrante-Msaliente (4) La acumulación en el sistema no es tenida en cuenta ya que el tanque se encuentra operando en estado estacionario, y el término Macumulada es cancelado, teniendo que la masa que entra al sistema, es igual a la masa que sale para los dos flujos que intercambian calor en el equipo: w c1=w c2 (5)
W H1=W H2 (2)
El balance de energía en el sistema se realiza con el balance gene ral: E acumulada=E entra-E sale+E transferida (6)
Definiendo cada uno de los términos se tiene: - Acumulación
Eacumulada
dH dT
wH Prc H Pr
dt2 dt
H PrVH Pr c H Pr
dt2
dt (7)
- Energía Transferida
E transferid a - Energía entrante
E entra
UAT
T 2
(8)
w H Pr c H Pr t 1 t ref W vap H vapsat
(9)
- Energía saliente
E sale
w H Pr c H Pr t 2
t
ref
W vap H liqsat
(10)
El balance global de energía resultante al reem plazar los términos anteriores es:
H Pr V H Pr c H Pr
dt 2 dt
w H Pr c H Pr t 1 t ref t 2
t ref W vap
H
vapsat
H liqsat UA T T 2
(11)
Cancelando los términos correspondientes y separando variables en la ecuación tenemos:
dt 2 dt
w H Pr H Pr V H Pr c H Pr
t 1 t 2
vap H Pr V H Pr c H Pr
W vap
UA
H Pr V H Pr c H Pr T t 2
(12)
Esta ecuación diferencial ordinaria de primer orden o lineal describe el comportamiento del sistema bajo estudio; mostrando la forma en que cambia la temperatura de salida del ácido acético que se tiene en el tanque frente a un cambio en: el flujo de vapor de calentamiento, la temperatura del mismo y en la temperatura de entrada del ácido acético.
Realizando una linealización a la ecuación para obtener la respuesta en delta de temperatura de salida:
(13)
()
(14)
(15)
(16)
(17)
Ya con esta linealización, resulta la siguiente ec uación:
18)
Para cada causa se le puede asignar la correspondiente ganancia:
(19)
De esta forma se tiene el valor de la constante de tiempo y las ganancias: (20)
(21)
(22)
(23)
(24)
Puesto que el valor de la temperatura a la salida en el tiempo (0) de t 2 es igual a la temperatura de entrada, K4 es cero. Por último, es necesario aplicar transformada de Laplace; para obtener los valores de cada constante:
{ } {} { } (25)
(26)
(23)
(27)
(28) (29)
Lo cual es equivalente a:
()() ()
(30)
Resolviendo para cada término, se tiene la ecuación general con las funciones de t ransferencia:
Así, las funciones de transferencia obtenidas para el sistema serán: (32)
(31)
(33)
(34) G4(s) es cero puesto que K4 es cero. Con estas funciones de transferencia se obtienen los siguientes resultados del sistema: Donde Ci, son constantes propias del sistema:
C1
w H Pr H PrVH Pr cH Pr
(35); C2
vap
(36); C 3
H PrVH Pr cH Pr
UA H PrVH PrcH Pr
(37)
Debido a que solo se controlará la temperatura de salida del ácido, se halla es K 1 y el tiempo característico. Las otras variables son consideradas perturbaciones; y en este caso en especial; a la hora de realizar la simulación, se tomo como perturbación la temperatura de entrada del ácido t1.
CONSTANTES FUNCIONES TRANSFERENCIA 4,3 Τ K1
15,45
C1
1,92016866
C2
13,2911992
C3
89,888374
ρVC
172,444936
Tv-Tp
39,5555556
Q set
613142,554
Tabla 1: Constantes necesarias usadas para la función de transferencia del proceso
G P ( s) G1 ( s) 4.2.2.
K 1 s 1
15,45 4, 3s 1
(38)
Función de Transferencia de la Válvula
Se instalo una sola valvula para para el proceso de precalentamiento del acido propilico esta controla el flujo del vapor que calienta. Este vapor se introduce para elevar la temperatura del acido de 20ºC a 70ºC, para que el acido propilico no se caliente mas de lo pedido y evitar accidentes la valvula que se implementa para este proceso es una valvula de aire para abrir.
Coeficiente de flujo de la valvula C v :
donde : F: flujo del vapor densidad relativa del vapor caida de presión máxima permitida
Densidad relativa respecto al aire
En algunas referencias como el libro de Kern la caida de presion permisible para vapor de agua es de 5 a 10 Psi entonces Con esto hallamos el coeficiente de flujo de la valvula
con este valor de coefiecinete de flujo y según los requerimientos de nuestro proceso encontermos que una valvula apropiada y que se acomoda es la STWOSR series de control electrico, el tamaño de valvula para un rango de apertura de 20% a 80% es de 24 pulgadas Para que nuestro proceso sea lineal la valvula a usar tiene que ser iso-porcentual asi que procedemos a hallar la ganancia iso-porcentual que esta dada por :
En donde
√
corresponde a al flujo de vapor asi esto sera :
es el parametro de rangeabilidad se toma con el valor de 50 tenemos
La función de transferencia viene dada por :
4.2.3.
Función de Transferencia del Sensor Transmisor de Temperatura
Teniendo en cuenta las condiciones de operación para este proceso, la selección de este instrumento estará sujeta al rango de temperaturas que debemos manejar; aproximadamente la mayor temperatura dentro del sistema, será para el vapor de calentamiento debido a que este es el medio de calentamiento puede alcanzar 90°C. El sensor debe ser construido con un material que no sea afectado por la temperatura del vapor y que tenga un intervalo bajo de temperatura que incluya la entrada del vapor al sistema; de igual manera, la temperatura debe incluir el valor de 70 °C a los que se requiere que salga el ácido propílico. El sensor de temperatura seleccionado será una termocupla de Platino de 100W| 0°C SITRANS T de SIEMENS, ya que permite un intervalo de temperaturas desde 0°C hasta 700 °C. Se ha decidido emplear un sensor con capacidad para medir temperatura mucho mayores para permitan su uso o en otras operaciones del proceso si es requerido, esta consideración permite contar con un sensor versátil para que en una posible modificación del proceso no se pierda la compra de este instrumento de medida.
El “sensor” consta de una sonda en Inox 304-316 de 9 mm de diámetro que puede ser acoplada a la tubería de salida del ácido propílico por medio de la unión roscada de la resistencia.
Figura 19 Sensor de Temperatura Seleccionado
Para la señal de salida de la termo-resistencia, debe tenerse en cuenta que es una señal eléctrica gracias a que el sensor viene equipado con un convertidor el cual transforma la diferencia de potencial generada en la resistencia por el gradiente de temperatura, en señal eléctrica. Dicho convertidor es análogo digital tipo SIEMENS ref. SITRANS T c ompatible con una salida de 4-20 mA. Para los sensores-transmisores; se escogió un sensor-transmisor de temperatura con un rango de temperatura de 0-700°C, y un rango de respuesta de 0 a 100. Debido a que el tiempo de respuesta del transmisor es despreciable; se tomó un valor de 0,10 s
Cálculo de la ganancia del transmisor: K
S E
En donde S es el rango de respuesta; mientras que E viene dado por el rango de temperatura del termopar. De esta forma, la ganancia es de:
K
100 0 700 0
0,143
De esta manera, la función de transferencia del transmisor:
GT 4.2.4.
0,143 0,1 s 1
Controlador
Para la selección del controlador, lo primero que se tiene en cuenta es el diseñado para el control de temperatura, es decir que se escogió un controlador que pudiese acoplarse con su termoresistencia para que interprete adecuadamente la señal que esta le transmita. De esta manera, se seleccionó un controlador diseñado para trabajar en conjunto con termo-resistencias de platino y con señales de 4 a 20 mA, que es el mismo intervalo de salida que presenta nuestra termoresistencia.
Tabla 2: Tipo de Controlador en Función de las características dinámicas a controlar
El controlador seleccionado es un controlador fabricado por el proveedor Eurotherm modelo 2132, que puede ser adaptado para funcionar en modo PID y también en modo P, PI o como OnOff. Los parámetros del controlador deben ser calculados de acuerdo a la operación en la cual se pretenda instalar, por lo tanto a este instrumento se le introducirán los parámetros que resulten de la sintonización en lazo cerrado en Matlab ® simulink. 4.2.5.
Análisis Dinámico del Proceso
Para el montaje del sistema en el simulador de MatLab, Simulink®; se modela inicialmente la respuesta en lazo abierto que permite una aproximación por debajo de los parámetros del controlador y analizar el sistema como una función de primer orden con tiempo muerto; luego se procede a hacer esta misma simulación pero en lazo cerrado.
Lazo Abierto
Ajustando la simulación para que opere en lazo abierto se genera la gráfica 1, que corresponde a la curva de respuesta de la temperatura en el tiempo ante la perturbación establecida en la
simulación. En el eje Y se encuentra la temperatura en °C, mientras que el eje X representa el tiempo en segundos.
Figura 20 Esquema del lazo abierto del proceso en Simulink
Figura 21 Respuesta en lazo abierto para el proceso
De la gráfica 1 se obtienen los parámetros necesarios para realizar la sintonización del controlador
-
Cálculo de la ganancia : La ganancia viene dada como
K
S E
En donde S es el cambio en la variable controlada. Es decir la respuesta dada por la temperatura de salida del ácido. Mientras que E es el cambio en este caso de la perturbación de la temperatura de entrada del ácido. K
-
70C 20C
(20 0)C
2.5
Cálculos del tiempo efectivo y tiempo muerto : Para la realización de estos cálculos se tuvo en cuenta el método del paso para lazo abierto; en donde el tiempo característico y el tiempo muerto vienen dados como:
1, 5(t2 t 1 )
t0 t 2
El t 1 , es el tiempo para el cual se alcanza la temperatura T 28% , la cual viene dada como: T28%
0, 283 S
T 1
en donde T 1 es la temperatura inicial a la cual entra el ácido (20°C) Así, remplazando los valores ya tenidos: (0,283 50) 20
T28%
34,15C
El tiempo leído de la gráfica para esta temperatura es de: t1 3, 5s El t 2 , es el tiempo para el cual se alcanza la temperatura T 63% , la cual viene dada como: T63% T63%
0,632 S
T 1
0, 632 50 20 51, 6C
El tiempo leído de la gráfica para esta temperatura es de:
t2
6, 5 s
Ya hallando estos dos tiempos, se calcula el tiempo caracte rístico y el tiempo muerto como viene dado en las ecuaciones 48 y 49:
1,5(6,5 3,5) t0
LAZO CERRADO
6, 5
4, 5
4,5 s 2s
Figura 22 Esquema del lazo cerrado del proceso en Simulink
Se realiza el lazo cerrado, para poder calcular la ganancia última y la frecuencia última mediante la simulación y suposición de un controlador proporcional. El primer valor con el que arrancamos será asumir la ganancia encontrada en lazo abierto y mirando la respuesta del sistema encontrar la ganancia ultima donde las oscilaciones sean sostenidas. En la gráfica 2 se muestra la curca de respuesta de la temperatura ante la misma perturbación tipo escalón.
Figura 23 Respuesta estable del proceso en lazo cerrado
Teniendo esta ganancia ultima y esta frecuencia ultima, se procede a leer de las tablas de Ziegler y Nichols, reemplazamos en las fórmulas para conocer el valor de los parámetros para un controlador PID.
Tabla 3 Parámetros Ziegler y Nichols para lazo cerrado
Donde Kc hace referencia a la ganancia ultima en % y T el periodo de oscilación (Tiempo); se calculan los demás parámetros remplazando para el controlador PID.
CONCLUSIONES
5.
Matlab es un programa de cálculo matemático muy flexible y potente, con códigos
programables y con posibilidades graficas para la presentación de los datos, por lo que se utiliza en muchos campos de la ciencia y la investigación como herramienta de cálculo matemático. Simulink es un entorno de programación visual, que funciona sobre el entorno de
programación MatLab, y que proporciona un entorno grafico que facilita enormemente el análisis, diseño y simulación de sistemas de control, electrónicos, etc. La herramienta de Simulink permitió aproximar el proceso de calentamiento de ácido
propílico a una función de primer orden con tiempo muerto. El análisis del modelo dinámico con Simulink para el proceso, permite modelar la situación
y conocer el comportamiento del sistema ante una perturbación Se logró sintonizar los parámetros del controlador para el ejemplo propuesto obteniendo
una respuesta estable para el lazo ce rrado (feed back loop)
6.
BIBLIOGRAFÍA
[1] ACOSTA RODRIGUEZ, JOSE ANGEL., Manual de I ntroducción a Simulink., Universidad de Sevilla., 2004.
[2] ARACIL, J., GOMEZ F., Introducción a MATLAB y Simulink., Regulación Automática., Curso 2006/2007.
[3]
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Recuperado: 01/11/2012
[4] http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?aux=Home., Recuperado: 02/11/2012 [5] CORRIPIO, A. B., SMITH, C. A., Control Automático de Procesos: Teoría y Práctica., Universidad del Sur de Florida y Universidad del Estado de Luisiana., Noriega Editores, Primera Edición, 1991, México.
