Equilíbrio de um sóli do
Condições ondições de equilíbrio De acordo com as leis da Dinâmica clássica de Newton, um ponto material (corpo com dimensões desprezíveis em comparação com sua trajetória) permanec permanece e em equilí equilíbrio de translação, translação, com a 0, se FExteriores 0. Nesse caso, o ponto material está em repouso ou encontra-se em movimento retilíneo e uniforme. Para um corpo extenso essa condição não é suficiente. Imagine uma caixa colocada sobre o tampo horizontal de uma mesa. Essa caixa está em equilíbrio sob a ação das forças verticais P e N. Se lhe aplicarmos duas forças horizontais, de mesma intensidade e de sentidos opostos, a caixa permanecerá em equilíbrio de translação, mas pode adquirir uma aceleração angular, caso as forças horizontais não estejam na mesma linha de ação. O equilíbrio de um corpo de dimensões não desprezíveis (corpo extenso) exige mais que FExteriores 0. Um corpo rígido ou um sólido perfeito é um sistema no qual a distância entre duas quaisquer de suas partículas não se altera. Tal sistema, indeformável, é uma idealização, uma vez que todos os corpos sofrem O deformações. No entanto, para fins práticos, muitos corpos podem ser tratados como rígidos. Considerando uma chapa com um furo por onde passa um eixo horizontal no eixo O.
P
F
figura 1
Ao aplicarmos uma força F no ponto P do corpo, como na figura 1, este adquire um movimento de rotação, em torno do eixo O, no sentido anti-horário.
O
P
F
Se a força F no ponto P do corpo for aplicada como na figura 2, o sentido de rotação é horário.
figura 2
O momento de alavanca de F em relação ao eixo O é M r F (O momento é o produto vetorial entre r e F ).
O módulo de M é M r F sen .
A direção de M é perpendicular ao plano que contém
e F.
O sentido de M é dado pela regra da mão direita: Com o polegar na direção do eixo, os outros dedos indicam a rotação do corpo. O polegar indicará o sentido do momento da força. Ou ainda, se o corpo gira no sentido anti-horário: o momento sai. Se o corpo gira no sentido horário: o momento entra. Na figura 1, o momento aponta para fora do plano da folha e na figura 2 ele penetra na folha. Observe as representações
para fora e
para dentro.
A distância r sen , perpendicular do eixo de rotação à linha de ação da força F , chama-se braço de alavanca da força F . O momento de alavanca ou b r sen torque pode ser calculado pelo produto M F b
Adota-se o sinal +para os momentos de rotação anti-horário e o sinal – para os momentos que tendem a produzir rotação no sentido horário.
Podemos definir o momento ou torque de uma força F aplicada num eixo P, em relação a um eixo O é o produto entre a força e a distância b do eixo O à linha de ação da força, como ilustrado na figura 3. P M F b
F
b
O
O momento ou torque será positivo se o corpo girar no sentido anti-horário e negativo se o corpo girar no sentido horário.
figura 3
No Sistema Internacional, a unidade do momento de alavanca é o N . Um corpo extenso está em equilíbrio quando:
0 (equilíbrio de translação) (primeira condição de FExteriores equilíbrio) e MExteriores 0 (equilíbrio de rotação) (segunda condição de equilíbrio).
A segunda lei de Newton para a rotação de um corpo é MExt I , ou seja, a somatória dos momentos em relação a um eixo é igual ao produto do momento de inércia do corpo, em relação a esse eixo, pela aceleração angular d que ele adquire; com I r2 dm e . d
Teorema das três forças. Para que um corpo esteja em equilíbrio sob a ação exclusiva de três forças elas devem ser coplanares e suas linhas de ação devem ser concorrentes ou paralelas. A figura 4 mostra dois corpos que podem estar em equilíbrio.
figura 4
A figura 5 mostra dois corpos que não podem estar em equilíbrio.
figura 5
Tipos de equilíbrio Quando deslocamos o corpo ligeiramente da posição inicial e ele retorna para a posição de equilíbrio o equilíbrio é estável. .O .CG
Para um corpo pendurado, o equilíbrio é estável se o centro de gravidade do corpo estiver abaixo do eixo de suspensão, como na figura 6.
figura 6
Para uma esfera apoiada numa superfície côncava, o equilíbrio é estável, como na figura 7. figura 7
Quando deslocamos o corpo ligeiramente da posição inicial e ele afastase mais o equilíbrio é instável.
.CG .O
Para um corpo pendurado, o equilíbrio é instável se o centro de gravidade do corpo estiver acima do eixo de suspensão, como na figura 8.
figura 8
Para uma esfera apoiada numa superfície convexa, o equilíbrio é instável, como na figura 9. figura 9
Quando deslocamos o corpo ligeiramente da posição inicial e ele permanece em equilíbrio em outra posição, o equilíbrio é indiferente.
.O
Para um corpo pendurado, o equilíbrio é indiferente se o centro de gravidade do corpo estiver no eixo de suspensão, como na figura 10.
figura 10
Para uma esfera apoiada numa superfície plana, o equilíbrio é indiferente, como na figura 11. figura 11
Representando a força peso O ponto de aplicação da força é importantíssimo na resolução de problemas, duas forças iguais em módulo e direção, mas com sentidos opostos causam um efeito diferente num corpo, se forem aplicadas em locais diferentes. Se as duas forças tiverem a mesma linha de ação, o corpo estará em equilíbrio, mas se elas não tiverem a mesma linha de ação, será aplicado um momento de alavanca ao corpo. O corpo rígido deve ter a força peso aplicada no centro de gravidade do corpo, considerando que a gravidade é a mesma em todo o corpo, o centro de gravidade coincide com o centro de massa. Para verificarmos isso, retomaremos a fórmula para cálculo do centro de massa: mx i i m1x1 m2x2 m3 x3 mx i i i xCM m1 m2 m3 mi mi i
Considerando que cada pequena parte do corpo tem uma força peso igual a mg , o momento de alavanca provocado por essa pequena parte será mg multiplicado pelo seu braço, ou mgx, se nomearmos essa pequena parte como parte 1 o momento de alavanca provocado por ela será mgx 1 1 , pois consideramos a aceleração da gravidade constante no corpo todo. Se a massa total do corpo for M e igualando o momento de alavanca provocado por todo o corpo com a soma do momento de alavanca provocado por cada parte do corpo, temos: MgxCG mgx 1 1 m2gx2 m3 gx3 mgx i i m1 m2 m3 mi gx CG g m1x1 m2 x2 m3 x3 mx i i
xCG
mx i i m1x1 m2x2 m3 x3 mx i i i xCG xCG xCM m m1 m2 m3 mi i i
O centro de gravidade e o centro de massa de um corpo estão localizados no mesmo ponto se a gravidade é uniforme em todo o corpo. Etapas para a resolução de problemas de corpo rígido em equilíbrio: Faça um diagrama mostrando as forças envolvidas e onde são o aplicadas, com os objetos separados. Só represente as forças nos corpos que estão sendo analisados no problema. Encontre os componentes da força. o Aplique a primeira condição de equilíbrio FExteriores 0 em todas as o direções abrangidas pelo problema, considerando o sinal de cada força. Escolher o eixo para o cálculo do momento de alavanca. Essa etapa o pode simplificar muito o problema, pois as forças que têm a linha de ação passando pelo eixo escolhido contribuem com momento de alavanca zero. Aplique a segunda condição de equilíbrio MExteriores 0 , o considerando o sinal de cada momento de alavanca. Resolva o sistema linear obtido. o Resultados negativos para as forças significam que o sentido correto da o força é o oposto ao adotado. Exemplo 1. Um pai com massa de 80,0 kg e sua filha de 30,0 kg brincam numa balança de massa 20,0 kg, conforme a figura 12 ao N lado. A balança tem comprimento total 4,00 m. A filha está a uma distância de
PP
PB
PF
figura 12
do 2 apoio e o pai está a uma distância d. Calcule (a) a força que o apoio exerce sobre a balança. E (b) a distância d para que a balança fique em equilíbrio.
Solução: a) Fazendo que F Ext 0, temos: N PP PF PB 0 N mP g mF g mB g
N 80,0 9,80 30,0 9,80 20,0 9,80 N 1,27 103 N. b) Fazendo que MExt 0, e escolhendo o ponto de apoio da balança como pólo dos momentos, temos:
PF m g 30,0 4,00 d 0,750 m d F d 80,0 2 2 PP 2 mP g2 Exemplo 2: Um caminhão com massa de 1,00 104 kg passa por uma ponte com massa de 8,00 104 kg , conforme figura 13. Calcule as forças exercidas pelos apoios A e B, quando (a) o caminhão está sobre A, (b) o caminhão está sobre B, (c) o caminhão está a 15 m do ponto A. (d) faça um gráfico da força exercida pelo apoio A em função da posição do caminhão. PP d PF
0 d
figura 13
Solução: a) Quando o caminhão está sobre Aa força exercida pelo apoio no ponto A pode ser calculado usando MExt 0 e escolhendo o ponto B como pólo dos momentos: P x P x PP xP PC xC NA xA 0 NA P P C C xA m g xP mC g xC NA P xA 8,00 104 9,80 25,0 1,00 104 9,80 50,0 NA NA 4,90 105 N 50,0 Para calcular a força exercida pelo apoio no ponto B use MExt 0 e escolha o ponto A como pólo dos momentos: NB xB PP xP 0 NB
PP xP m g xP NA P xB xA
8,00 104 9,80 25,0 NA NA 3,92 105 N 50,0 b) Se o caminhão estiver no ponto B a força NA 3,92 105 N e a força NB 4,90 105 N , pois a situação é idêntica ao do item A. c) Para o caminhão distante 15,0 m do ponto A: Usando MExt 0, e escolha o ponto B como pólo dos momentos:
PP xP PC xC NA xA 0 NA NA
PP xP PC xC xA
mP g xP mC g xC xA
8,00 104 9,80 25,0 1,00 104 9,80 35,0 NA NA 4,61 105 N 50,0 Usando F Ext 0, temos: NA NB PC PP 0 NB PC P P NA NB mC g mP g NA NB 1,00 104 9,80 8,00 104 9,80 4,61 105 NB 4,21 105 N d) Para construir o gráfico use a segunda condição, com o pólo do momento m g xP mC g xC em B, a equação que relaciona NA e xC é NA P , assim: xA
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00 0
10
20
30
40
50
Exemplo 3. Uma cantoneira, de peso desprezível, sustenta um vaso de peso 20 N, como mostra a figura 14. A é uma articulação, que pode exercer força em qualquer direção. B é um rolete, que elimina eventual atrito. Determinar as forças exercidas nos eixos A e B da cantoneira.
figura 14
No vaso, conforme a figura 15, o módulo do peso P é igual ao módulo da força N aplicada pelo suporte no vaso.
O peso P tem, em relação ao eixo A, momento de alavanca horário, fazendo com que o rolete B comprima a parede vertical. A parede reage com força normal ao eixo B. figura 15
A força exercida pelo pino da articulação A na cantoneira tem componentes FAX para a esquerda e FAY para cima, permitindo equilibrar as forças, conforme a figura 16.
Fazendo que F Ext 0, temos: FB FAX 0 FAY N 0 como N 20 N FAY 20 N e FAX FB. figura figura 16 13
Fazendo MExt 0, e escolhendo o eixo A como pólo dos momentos, temos: FB 20 cm 20 N 10 cm 0 FB 10 N. Em notação de vetores unitários: FA 10 ˆi N 20 ˆj N FB 10 ˆi N
2 2 O módulo de FA é FA FAX FAY FA 22,4 N.
A direção de FA é dada por tg
F Y 20 tg 117. FX 10
Exemplo 4. Uma haste uniforme e homogênea, de peso 40 N e 2,0 m de comprimento, está articulada em sua extremidade A, sustentando um peso de 30 N à distância de 1,5 m do eixo A. Em sua extremidade B prende-se um fio até a parede vertical, como mostra a figura 17. Determine a tração no fio e a força exercida pela articulação A na haste.
figura 17
Fazendo que FExt 0, temos: FAX T 0 FAY P Q 0 FAY 40 N 30 N 0 FAY 70 N. e FAX T. Fazendo
MExt 0, e escolhendo o eixo A como pólo dos momentos, temos:
40 N 1,0 m cos 37 30 N 1,5 m cos 37 T 2,0 m sen 37 0 T 56 N FAX 56 N FA 56 ˆi N 70 ˆj N. Como você resolveria esse exercício se o fio formasse com a parede vertical um ângulo de 60, acima do eixo D? Resposta: T 36,9 N; FA 31,4 iˆ N 51,6 ˆj N. Exercícios 1. Uma família possui 4 membros, o pai tem massa de 100 kg, o filho tem massa de 40 kg, a mãe tem massa de 70 kg e a filha tem massa de 50 kg. Eles estão equilibrados numa gangorra de 10 metros com um apoio central. No lado esquerdo da gangorra estão o pai e o filho, o pai está a 2,0 m do apoio, o filho está a 3,0 m do apoio. No lado direito da gangorra estão a mãe e a filha, a mãe está a 4,0 m do apoio. (a) Qual é a distância entre a filha e o apoio para que a gangorra fique equilibrada? (b) qual o membro da família que provoca o maior torque (em módulo)? (c) Se a massa da mãe fosse de 80 kg, onde a filha poderia ficar, para equilibrar a balança?
Um objeto quadrado, rígido e de Peso desprezível é submetido à ação de três forças exercidas em vértices, distintos como é indicado na figura 18, em escala. (a) A primeira condição de equilíbrio é satisfeita? (b) A segunda condição de equiilíbrio é satisfeita? (c) Caso as duas respostas anteriores sejam não, poderia uma quarta força restaurar o equilíbrio do sistema? Em caso afirmativo, especifique o módulo, a direção, o sentido e o eixo de aplicação desta força. 2.
figura 18
Para quebrar diretamente uma noz é necessário aplicar uma força de 50 N. Determine a força F necessária para quebrar esta noz utilizando um quebra nozes, conforme é indicado na figura 19. 3.
figura 19
Na figura 20, um homem tenta retirar seu carro do atoleiro no acostamento de uma estrada; Ele prende firmemente a ponta de uma corda no para choque dianteiro e a outra ponta em um poste telefônico a 20 mde distância. Então, ele empurra transversalmente a corda no seu eixo central, com uma força de 560 N, deslocando o centro da corda de 40 cm em relação a sua posição primitiva. O carro está prestes a se mover. Que força a corda exerce no carro? (A corda distende-se um pouco sob tensão). 4.
figura 20
Uma corda presa a uma parede sem atrito segura uma esfera uniforme de peso 10 N e raio r 5,0 cm. A corda está fixada a uma distância L 10 cm acima do centro da esfera, conforme a figura 21. Determine: (a) a tração na corda e (b) a força exercida pela parede sobre a esfera. 5.
figura 21
Um nadador de 720 N está em pé na extremidade de um trampolim de 4,5 m e de massa desprezível. O trampolim está fixo em dois pedestais separados por uma distância de 1,5 m, conforme é indicado na figura 22. Calcule a tração (ou compressão) em cada um dos dois pedestais. 6.
figura 22
Duas esferas lisas, idênticas e uniformes, cada uma de peso P, repousam, como mostra a figura 23, no fundo de um recipiente retangular fixo. Determine, em termos de P, (a) as forças das superfícies do recipiente sobre cada esfera e (b) a força de uma esfera sobre a outra, se a linha que une os centros das esferas forma um ângulo de 45 com a horizontal. 7.
figura 23
A força F na figura 24 é suficiente para manter o bloco de m 840 kg e as roldanas de pesos desprezíveis em equilíbrio. Despreze o atrito. Calcule a tração T no cabo superior. 8.
figura 24
Quatro tijolos, cada qual com comprimento L, estão equilibrados um sobre o outro (veja a figura 25), de forma que cada tijolo se projeta além do tijolo colocado abaixo. Mostre que, para haver. equilíbrio, as maiores saliências L possíveis são: (a) o tijolo de cima se projeta a uma distância além do tijolo 2 L de baixo; (b) o segundo tijolo, a partir do topo, se projeta a uma distância 4 além da extremidade do terceiro tijolo; (c) o terceiro tijolo se projeta a uma L distância além do quarto e último tijolo. 6 9.
figura 25
O sistema indicado na figura 26 está em equilíbrio. Na extremidade da escora S existe um bloco de 225 kg. A massa da escora S é igual a 45 kg. Calcule: (a) a tração T no cabo; (b) a componente vertical e a componente horizontal da força exercida pelo pivô P sobre o solo. 10.
figura 26
Na escada da figura 27, as pernas AC e CE têm cada uma 2,4 m e estão unidas por dobradiças em C (BD é uma barra que une as duas pernas, tem 0,75 m de comprimento e está a meia altura do solo. Um homem de 72 kg sobe 1,8 m ao longo da escada. Supondo que não haja atrito entre o pavimento 11.
e a escada, e desprezando o peso desta, determine: (a) a tração na barra e (b) as forças exercidas na escada pelo pavimento. (Sugestão. É conveniente isolar partes da escada e aplicar as condições de equilíbrio.)
figura 27
A figura 28 mostra uma alavanca em equilíbrio com peso desprezível articulada em O. Despreze os atritos na articulação. Determinar o peso P e a força da articulação O na barra, quando Q 1 200 N. 12.
figura 28
A estrutura ABC mostrada na figura 29 tem peso desprezível. Determinar a força aplicada pelo rolete B na estrutura e (b) a força aplicada pela articulação C na estrutura. P 200 N. 13. (a)
figura 29
Uma única força deve ser aplicada na barra AB para mantê-la em equilíbrio na posição indicada na figura 30. Despreza-se o peso da barra. (a) Quais são 14.
os componentes X e Y dessa força? (b) Qual é a tangente do ângulo que a força faz com a barra? Qual é sua intensidade? Onde se deve aplicá-la?
figura 30
Em um disco circular com 30 cm de diâmetro que gira em torno de um eixo horizontal, enrolou-se uma corda que passa pela roldana P, sem atrito. A corda está ligada a um corpo que pesa 240 N. Prende-se ao disco uma barra uniforme de 1,2 m de comprimento, com uma extremidade coincidindo com o centro do disco. O sistema está em equilíbrio e a barra está na horizontal. (a) Qual é o peso da barra? (b) Qual a nova direção de equilíbrio da mesma, quando se pendura um segundo corpo de 20 N, indicado pelas linhas tracejadas na figura 31? 15.
30 cm
figura 31
Uma escada de 10 m, de comprimento e peso de 400 N está encostada a uma parede vertical sem atrito. A extremidade inferior da escada encontra-se a 6 m da parede. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é 0,4. Um homem, com peso de 800 N, sobe lentamente a escada. (a) Qual é o valor máximo da força de atrito que o chão pode exercer sobre a escada? (b) Qual é o valor da força de atrito quando o homem desloca-se 3 m ao longo da escada? (c) Qual é o máximo deslocamento que o homem pode realizar ao longo da escada antes que a mesma comece a deslizar. 16.
Sobre uma ponte horizontal AB passa um rolo compressor, conforme a figura 32. O peso da viga é desprezível e ela é simplesmente apoiada nas extremidades A e B. A distância entre os apoios é 4,80 m. As rodas do rolo exercem nas vigas forças P 2,00 tf e Q 1,00 tf. A distância na horizontal entre os eixos é de c 1,20 m. Determinar a distância x da roda maior ao apoio A quando a reação de apoio em A for duas vezes mais intensa do que a reação de apoio em B. 17.
figura 32
O esquema da figura 33 representa uma grua rolante, as dimensões estão em cm. Sem a carga Q e o contrapeso C, a máquina tem peso P 35 tf e o baricentro é G, no plano vertical mediano dos trilhos. (a) Sem contrapeso, que carga Q faria a máquina tombar? (b) Determinar o contrapeso C para que se realize a iminência de tombamento com Q 15 tf . 18.
figura 33
Duas esferas idênticas, cada uma com peso P 50,0 kgf , estão apoiadas como mostra a figura 34. A reta que une os centros das esferas forma um ângulo 30 com o horizonte. As superfícies em contato são lisas. Determinar as forças de contato nos pontos A, B, C e D. 19.
figura 34
Resposta: R A 57,5 kgf R B 75,0 kgf R C RD 50,0 kgf Um cilindro de revolução homogêneo , mostrado na figura 35, de raio R 1,00 m e peso P 500 kgf, deve ser alçado sobre um obstáculo de altura h 0,50 m, tracionando-se horizontalmente um cabo enrolado no cilindro. Admitir aderência perfeita entre o cilindro e a borda do obstáculo. Na iminência do alçamento, determinar (a) a força T , no cabo e (b) a força F da borda do obstáculo. 20.
figura 35
Resposta: T 289 kgf; F 577 kgf, 60.
