Equations-Differentielle-Ordinaires

RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES LES PREMIERS PAS -OOOJEAN MACCARIO

polycopié destiné aux étudiants de 1ère année de Pharmacie de Chatenay Malabry – Université Paris Sud

RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES LES PREMIERS PAS 0 - Avant-propos 0.1 - Prérequis Ce document suppose une certaine pratique du calcul algébrique, du calcul différentiel et du calcul intégral. Les connaissances minimales sont les tables de dérivées et de primitives données par ailleurs.

0.2 - But du document Le but du document est de mettre à la disposition des étudiants un texte : - donnant de façon relativement succincte les méthodes de résolution des équations différentielles les plus simples, - et présentant dans un deuxième temps, sinon les démonstrations, au moins des  justifications des méthodes exposées. Ce document peut être lu de deux façons : soit en se limitant aux techniques, soit en poussant la curiosité un peu plus loin. Les exemples présentés dans chaque paragraphes ne sauraient être considérés comme des exercices. Ils ne sont destinés qu'à éclaircir le propos et s'ils facilitent la mémorisation des méthodes ils ne constituent pas un véritable entraînement. Pour cela on renvoie au polycopié d'exercices Certains des éléments exposés ne figurent pas dans les objectifs, ils ont été placés dans le document parce qu'ils semblaient s'y intégrer naturellement.

0.3 - Objectifs On souligne que les étudiant(e)s sont avant tout censé(e)s résoudre des équations différentielles, c'est-à-dire en calculer les solutions. Le choix de la méthode fait souvent partie du problème, mais lorsque une équation peut être traitée de plusieurs façons l'étudiant est libre de choisir celle qui lui convient et seule l'exactitude du résultat sera prise en compte. Le programme de la première année des études de Pharmacie est limité aux résolutions: - des équations différentielles linéaires du premier ordre avec et sans second membre, - des équations à variables séparées simples, - des équations différentielles du deuxième ordre linéaires à coefficients constants avec et sans second membre, - le cas avec second membre étant traité par identification, La méthode de Lagrange ne sera appliquée aux équations du deuxième ordre que dans des cas très simples et en rappelant la formule de l'équation de compatibilité. La résolution des systèmes d'équations différentielles ne fait pas partie de ce programme. Les objectifs détaillés sont présentés ailleurs.

0.4 - Plan du document Dans l'introduction on présente les définitions et le vocabulaire minimal. Les choix des méthodes reposent sur ces définitions, il convient donc de lire attentivement cette partie qui ne devrait d'ailleurs présenter aucune difficulté particulière. Eq Diff – JM –PHA 1A

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RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES LES PREMIERS PAS 0 - Avant-propos 0.1 - Prérequis Ce document suppose une certaine pratique du calcul algébrique, du calcul différentiel et du calcul intégral. Les connaissances minimales sont les tables de dérivées et de primitives données par ailleurs.

0.2 - But du document Le but du document est de mettre à la disposition des étudiants un texte : - donnant de façon relativement succincte les méthodes de résolution des équations différentielles les plus simples, - et présentant dans un deuxième temps, sinon les démonstrations, au moins des  justifications des méthodes exposées. Ce document peut être lu de deux façons : soit en se limitant aux techniques, soit en poussant la curiosité un peu plus loin. Les exemples présentés dans chaque paragraphes ne sauraient être considérés comme des exercices. Ils ne sont destinés qu'à éclaircir le propos et s'ils facilitent la mémorisation des méthodes ils ne constituent pas un véritable entraînement. Pour cela on renvoie au polycopié d'exercices Certains des éléments exposés ne figurent pas dans les objectifs, ils ont été placés dans le document parce qu'ils semblaient s'y intégrer naturellement.

0.3 - Objectifs On souligne que les étudiant(e)s sont avant tout censé(e)s résoudre des équations différentielles, c'est-à-dire en calculer les solutions. Le choix de la méthode fait souvent partie du problème, mais lorsque une équation peut être traitée de plusieurs façons l'étudiant est libre de choisir celle qui lui convient et seule l'exactitude du résultat sera prise en compte. Le programme de la première année des études de Pharmacie est limité aux résolutions: - des équations différentielles linéaires du premier ordre avec et sans second membre, - des équations à variables séparées simples, - des équations différentielles du deuxième ordre linéaires à coefficients constants avec et sans second membre, - le cas avec second membre étant traité par identification, La méthode de Lagrange ne sera appliquée aux équations du deuxième ordre que dans des cas très simples et en rappelant la formule de l'équation de compatibilité. La résolution des systèmes d'équations différentielles ne fait pas partie de ce programme. Les objectifs détaillés sont présentés ailleurs.

0.4 - Plan du document Dans l'introduction on présente les définitions et le vocabulaire minimal. Les choix des méthodes reposent sur ces définitions, il convient donc de lire attentivement cette partie qui ne devrait d'ailleurs présenter aucune difficulté particulière. Eq Diff – JM –PHA 1A

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On réalise ensuite la revue systématique des équations dans un ordre de difficulté en principe croissante, mais l'utilisateur constatera assez vite qu'il peut falloir de grand efforts pour résoudre une équation en apparence anodine. On passe des équations du premier ordre linéaire à celles du deuxième ordre, pour chaque ordre on traite d'abord les équations sans second membre puis avec un second membre. Pour le premier ordre on présente les équations à coefficients constants et à coefficients variables, les méthodes de résolution sont très voisines. Pour le deuxième ordre seules seront abordées les équations à coefficient constants; il n'existe pas de méthode générale de résolution des équations différentielles du deuxième ordre à coefficients variables. Au passage on traite deux extensions. D'abord, après les équations du premier  ordre, on expose la méthode de résolution des équations à variables séparées, qui n'est qu'une application de la méthode utilisée avec les équations du premier ordre. Ensuite, la résolution des systèmes d'équations différentielles est présentée en liaison avec les équations du deuxième ordre, car il s'agit de deux formulations équivalentes. A la fin du document, on trouvera un paragraphe qui élargit la présentation en direction d'abord d'un peu de théorie, ensuite des méthodes de résolution numériques des équations différentielles et enfin en évoquant les méthodes d'obtention des équations différentielles dans les sciences expérimentales.

1 - Introduction Une bonne connaissance du vocabulaire est essentielle, le choix des méthodes en dépend, il faudra donc aller au-delà de la simple connaissance livresque pour en avoir une bonne compréhension.

1.1 - Définition d'une équation différentielle Une équation différentielle est une équation qui met en jeu une fonction inconnue y, ses dérivées jusqu'à un ordre n donné, et, explicitement ou non, la variable x. La forme la plus générale qu'on peut donner est l'écriture F(x,y,y',y'',...,y(n)) = 0 On appelle solution, ou parfois intégrale, de l'équation toute fonction y(x) qui satisfait la relation identiquement, c'est-à-dire pour toute valeur de la variable x. Pour que l'équation mérite le qualificatif de différentielle, il est nécessaire d'y voir figurer au moins une dérivée comme dans x2 . y' - (3x + 2).y = 0 dont la solution, si elle n'est pas bien difficile à obtenir, n'est cependant pas évidente comme pour l'équation (non différentielle) : x2 - (3x + 2).y = 0 Par convention on continue à appeler équation différentielle une équation contenant une ou des dérivées mais pas la fonction elle-même, le cas limite étant la situation la plus simple de la forme y' = f(x) dont la résolution revient au "simple" calcul d'une primitive. La variable x n'est pas toujours explicitement présente, si elle est absente de l'écriture cela est dû à l'ellipse d'usage courant qui fait écrire y et y' au lieu de y(x) et y'(x), ainsi: y' + 3.y = 0 doit être lue comme y'(x) + 3.y(x) = 0 .

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Si l'équation différentielle et la fonction solution ne dépendent que d'une seule variable, l'équation différentielle porte le nom d'équation différentielle ordinaire pour la distinguer des équations différentielles impliquant des fonctions de plusieurs variables. Dans ce cas on doit voir figurer dans son écriture des dérivées partielles à la place des dérivées ordinaires, d'où le nom d'équations différentielles aux dérivées partielles qu'on leur donne, parfois abrégé en "équations différentielles partielles". Nous n'aborderons dans la suite que des équations différentielles ordinaires.

1.2 - Définitions et vocabulaire Ordre d'une équation On appelle ordre d'une équation l'ordre de dérivation le plus élevé qui y figure. La suite des dérivées n'a pas besoin d'être continue, ainsi les deux équations y'' + 3.y' + 5y = 0

et

y'' + 5.y = 0

sont toutes deux des équations du deuxième ordre. La définition précédente peut être mise en défaut par une écriture maladroite de l'équation qui ferait apparaître des ordres de dérivation superflus, comme par  exemple avec y'' + 3.y' + 5y = 0

et

y''' + 3.y'' + 5.y' = 0

La deuxième équation est évidemment réductible à la première en remplaçant y' par y, y'' par y',etc. Les deux équations sont donc des équations du deuxième ordre. Equation linéaire (sans second membre). On dit qu'une équation différentielle est linéaire si on peut la décomposer en une somme (algébrique) de termes ayant chacun la forme d'un produit dont l'un des facteurs est une fonction connue de x et l'autre facteur est la fonction y ou l'une de ses dérivées . Par  exemple a(x) . y'' + b(x) . y =0 est une équation linéaire (du deuxième ordre), alors que les équations, a(x).y'2 – y = 0 ou

y.y'' + 2 y' 2 = 0

qui contiennent des puissances ou des produits de y et/ou de ses dérivées, ne sont pas linéaires. On peut aussi dire que y, ou la dérivée, qui figure dans chaque terme, apparaît à la puissance unité. Une des propriétés essentielles des équations linéaires est que si une fonction y est solution, il en est de même pour toute fonction k.y déduite de y par multiplication par une constante. Plus généralement, si y1 et y2 sont deux solutions de l'équation, une combinaison linéaire de ces deux fonctions est aussi solution. Cette propriété sera mise à profit pour la résolution des équations linéaires du deuxième ordre. On pourra ainsi vérifier, par exemple, que les fonctions sin x et cos x sont des solutions de l'équation différentielle : y'' + y = 0 et qu'il en est de même de (A.sin x + B.cos x) pour des valeurs quelconques des constantes A et B. Equation avec second membre On désigne par second membre le terme, ou l'ensemble des termes, ne contenant ni y ni ses dérivées. Ceci veut dire qu'une équation avec second membre a la forme générale F(x,y,y',y'') = g(x) d'où son nom, à cette équation avec second membre correspond une équation sans second membre qui peut se mettre sous la forme F(x,y,y',y'') = 0

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Dans l'écriture d'une équation avec second membre, on doit donc pouvoir mettre en évidence un terme ne contenant ni y, ni ses dérivées. La distinction entre équation avec et sans second membre est importante car  elle conditionne le choix des méthodes de calcul. On commencera systématiquement par résoudre l'équation sans second membre associée. Avec les équations différentielles linéaires, qui font l'essentiel des équations du programme, il est particulièrement facile de reconnaître les équations sans ou avec second membre. En effet, les équations linéaires sans second membre admettent toutes la solution, dite triviale, y = 0. Si une équation linéaire est vérifiée par y =0 elle est sans second membre, sinon il en existe un. L'introduction de la solution triviale y=0 dans l'équation suffit à mettre ce second membre en évidence dans les rares cas où il n'est pas complètement évident. Equation linéaire à coefficients constants Dans ces équations la variable x n'est plus présente que dans un éventuel second membre, les coefficients en facteur de y et des dérivées sont des termes constants. Par  exemple les équations y' + 3 y = 0

et

y' + 3.y = sin x

sont des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants (la première sans, la seconde avec second membre); alors que les équations x.y' + y = 0

et x.y' + y = sin x

sont des équations à coefficients variables, en fait un seul coefficient.est variable, il s'agit du x en facteur de y' dans chacune des équations.

1.3 - Forme de la solution générale d'une équation différentielle Pour des raisons qui s'éclaireront dans la suite, parmi l'infinité de fonctions qui sont solutions d'une équation différentielle, on distingue deux catégories: les solutions générales et les solutions particulières. Le propre de la solution générale d'une équation d'ordre n est de contenir n constantes arbitraires On donnera plus loin - à la section 7) -quelques éclaircissements sur les aspects théoriques de cette propriété, pour l'instant elle sera admise comme une règle qui, comme beaucoup de règles, est observée avant d'être comprise. Par "constante arbitraire" il faut entendre que la fonction vérifie l'équation différentielle pour toutes les valeurs que l'on peut attribuer à la constante. Par exemple, la fonction y = C.e-3.x vérifie y' + 3.y = 0 pour toutes les valeurs de la constante C On peut proposer comme commentaire à cette propriété que la solution d'une équation différentielle, du premier ordre par exemple, est en quelque sorte obtenue par  une intégration qui ferait passer de y' à y, cette intégration introduisant une constante (arbitraire) d'intégration. Pour une équation différentielle d'ordre n, il faudrait passer de la dérivée y(n) à la fonction y par n intégrations successives qui introduiraient chacune une constante, d'où l'égalité entre le nombre de constantes et l'ordre de l'équation différentielle. Conséquence pratique importante : dans les exercices, et surtout à l'examen, on veillera à fournir une solution générale contenant le nombre prescrit de constantes arbitraires. Pour les équations du premier ordre LA constante sera produite lors d'une intégration, pour les équations du deuxième ordre les DEUX constantes seront posées a priori.

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1.4 - Equation et problème différentiels D'un point de vue mathématique, une équation différentielle admet donc une infinité de solutions. Pour un expérimentateur cela est inacceptable pour des applications pratiques, une trajectoire de satellite par exemple est unique, de même qu'est parfaitement définie la quantité d'antibiotique produite en une heure dans un fermenteur. L'unicité est obtenue en adjoignant des équations supplémentaires à l'équation différentielle. Ces équations vont permettre de donner des valeurs précises à nos constantes arbitraires et d'obtenir ainsi une fonction y(x) unique vérifiant simultanément l'équation différentielle et ces conditions annexes. Dans le cas des équations du premier ordre, il n'y a qu'une constante à déterminer, il suffit donc d'une seule équation supplémentaire. Dans la quasi-totalité des cas cette équation supplémentaire précise la valeur que doit prendre la fonction pour  une valeur donnée de la variable. Il s'agit donc d'une équation de la forme : y(x0) = y0 où x0 et y0 sont des quantités connues d'après le contexte expérimental. Le plus souvent on précise le point de départ de l'évolution de y(x), c'est-à-dire qu'on donne la condition sous la forme y(0) = y0 Cette forme étant la plus courante, on donne à ces équations supplémentaires le nom générique de conditions initiales. Dans le cas des équations différentielles du deuxième ordre il faut fournir deux équations supplémentaires, on les écrit souvent en précisant les valeurs initiales de la fonction et de sa dérivée première. L'ensemble équation différentielle et condition(s) supplémentaire(s) reçoit le nom de problème différentiel. Si on a des conditions initiales, le problème est en principe soluble sauf pour des choix caricaturaux du genre ln(0) = 0 qu'il est très facile de détecter. Dans la suite nous nous limiterons au cas des conditions initiales. Il faut cependant savoir que parfois, pour d'autres types de conditions que les conditions initiales, le problème différentiel n'a plus systématiquement une solution. Il peut en être ainsi lorsque, par exemple avec une équation du deuxième degré, on précise les valeurs de la solution y pour deux valeurs distinctes de la variable; on obtient alors des conditions dites "aux limites" de la forme y(x0) = y0 et y(x1) = y1 , pour  lesquelles on ne peut pas garantir l'existence d'une solution.pour n'importe quelles valeurs de y0 et y1.

2 - Les équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre 2.1 - Définition En fonction des définitions vues précédemment, seule est convenable la forme : a(x) . y' + b(x) . y = 0 où a(x) et b(x) désignent des fonctions quelconques, mais connues, de la variable x. Le cas particulier  a . y' + b . y = 0 où les coefficients a et b se réduisent à des constantes ne se traite pas différemment du cas général, la seule particularité de ce cas est la simplicité des calculs et la forme stéréotypée de la solution (on verra qu'il s'agit de fonctions exponentielles). Eq Diff – JM –PHA 1A

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On notera que, linéarité oblige, la fonction et sa dérivée figurent bien à la puissance unité dans l'équation.

2.2 - Principe de la méthode de résolution Une équation linéaire du premier ordre se résout en séparant les variables. On décompose la dérivée y' en ses deux parties dy et dx, puis on place tout ce qui dépend de y, dy compris, d'un coté du signe égale (ou égal?) et tout ce qui dépend de x de l'autre. La séparation des variables est immédiate en : dy b(x) . = – y a(x) dx L'intégration du membre de gauche donne un logarithme (évidemment népérien)

⌠ dy ⌡y

= ln(y) + cste

L'intégration du membre de droite, plus ou moins immédiate selon les les fonctions a(x) et b(x) rencontrée donne une fonction de x, . ⌠  – b(x) ⌡ a(x) dx

= F(x) + cste

La forme "résolue" de l'équation est donc ln(y) + cste = F(x) + cste Il est inutile de conserver les deux constantes arbitraires puisque une différence de constantes arbitraires est encore une constante arbitraire. On peut donc poser  ln(y) = F(x) + cste De là, en général en "descendant" du logarithme, on tire l'expression de y y = eF(x) + cste soit, en transformant ecste en une autre constante : C y = C . eF(x) Le passage de ln(y) à y transforme la constante additive d'intégration en une constante multiplicative, il faut savoir que si ce passage à une constante multiplicative est très fréquent, il n'est cependant pas systématique, pas plus d'ailleurs que la forme exponentielle de la solution qui peut n'être qu'une forme intermédiaire dans le calcul.

2.3 - Exemples Résolution de y' – x.y = 0 Cette équation est une illustration immédiate da la méthode exposée ci-dessus. La forme à variables séparées est dy y = x.dx L'intégration des deux membres conduit à x2 ln(y) = 2 + cste qui se transforme en

 x2  y(x) = C.exp 2     L'adjonction d'une condition initiale telle que y(0) = 1 permet de fixer la constante Eq Diff – JM –PHA 1A

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1 = y(0) = C.e0 = C Comme illustration d'une condition initiale "absurde" on peut proposer y(0) = 0 qui conduirait à C = 0 et donc à la solution triviale identiquement nulle.

Résolution de x.y' – y = 0 Cette équation, très simple également, montre que l'écriture finale peut ne pas contenir d'exponentielle. La forme à variables séparées est dy dx y = x qui s'intègre en ln(y) = ln(x) + cste et y prend en définitive la forme y(x) = C.x Toutes les solutions vérifient y(0) = 0 , ce n'est donc pas par une condition initiale, au sens strict du terme, qui peut constituer la condition supplémentaire permettant de déterminer la valeur de la constante arbitraire C. Les représentations graphiques des solutions de cette équation sont les droites passant par l'origine. Pour en choisir une il faut se donner un point autre que l'origine par où la droite doit passer, c'est-à-dire préciser la valeur de la fonction pour une valeur non nulle de x.

Résolution de x.y' – y.e x = 0 La séparation des variables donne dy ex . y = x dx Le second membre de cette équation n'a pas de forme primitive simple, on est donc contraint de laisser la solution sous la forme : x et ln(y(x)) = cste + ⌠  t . dt ⌡0 ou, ce qui ne change rien à la nature du problème de l'évaluation de y(x), sous la forme :

  x et   y(x) = C . exp ⌠  t . dt  ⌡0   2.4 - Cas particulier des coefficients constants Ce cas particulier est surtout remarquable par sa simplicité. La forme à variable séparée ne met en jeu que des coefficients constants. Avec des notations évidentes on a dy b . y = – a dx = k . dx La forme intégrée est ln(y) = k . x + cste et le calcul s'achève avec l'écriture de la solution sous la forme y = C.ek.x qui est la forme absolument générale de la solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et sans second membre (ouf!). La simplicité des calculs rend superflue la présentation d'exemples. Eq Diff – JM –PHA 1A

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3 - Les équations à variables séparées La méthode de résolution utilisée ci-dessus peut permettre de résoudre des équations plus compliquées : les équations à variables séparées dont les équations linéaires sans second membre ne sont en définitive qu'un cas particulier. Ces équations sont très diverses dans leur forme et ainsi que dans la forme de leurs solutions. On diagnostiquera leur caractère "à variables séparées" tout simplement en effectuant, avec succès, la séparation des variables. On trouvera dans ce qui est présenté ci-dessous de fortes ressemblances avec les calculs précédents.

3.1 - Définition Comme il a été dit : définition et méthode de résolution ne font qu'un. On appelle équation (différentielle) à variables séparées toute équation du premier ordre susceptible de se mettre sous la forme y'. f(y) = g(x) dy Par un simple jeu d'écriture où la dérivée y' est remplacée par  dx , on obtient l'équation : dy . f(y) = g(x) . dx qui mérite mieux le nom de "à variables séparées" puisque tout ce qui dépend de la fonction y est d'un coté du signe égale et tout ce qui dépend de la variable x de l'autre.

3.2 - Principe de la méthode de résolution La solution est obtenue par deux opérations à partir de la forme à variables séparées. La première opération est l'intégration de la forme à variable séparées

⌠  ⌡ dy . f(y)

=

⌠  ⌡ g(x) . dx

qui, appliquée sans finesse, donnerait F(y) + cste = G(x) + cste mais on sait qu'il est inutile de conserver les deux constantes d'intégration puisque cste– cste est encore une constante. On pose donc F(y) = G(x) + cste La deuxième étape est un calcul purement algébrique qui aboutira, si possible, à la forme conventionnelle d'écriture d'une fonction y = H(x) On reconnaît sans peine les étapes vues avec les équations linéaires, mais les calculs peuvent ici être plus difficiles, en particulier la primitive à calculer pour y n'est plus systématiquement un logarithme.

3.3 - Exemples Résolution de x2 . y' – y2 = 0 La séparation des variables donne dy dx = 2 2 y x Eq Diff – JM –PHA 1A

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qui s'écrit après intégration 1 1 = y x +K et que l'on transforme en x y(x) = K.x + 1 ou toute autre forme algébriquement équivalente comme par exemple y(x) =

1 1 K+ x

On notera la place curieuse de la constante arbitraire d'intégration.

Examen de y'. + y = sin x Cette équation n'est pas une équation à variables séparées, il est impossible de la mettre sous la forme prescrite. Il s'agit d'une équation différentielle avec second membre. On verra plus loin comment la résoudre.

Résolution de x.y' – y.sinx = 0 La forme à variables séparées est y . dy =

sin x . dx x

Le membre de droite n'a pas de fonction primitive simple, on est contraint de le laisser  sous la forme d'une primitive, ce qui donne : x sin t ln(y(x)) = ⌠  t . dt + cste ⌡0 ou encore x sin t .   ⌠  y(x) = C . exp   ⌡ t dt   0

3.4 - Commentaires Le dernier exemple, analogue à un autre vu avec les équations linéaires, montre qu'en fait la deuxième étape n'est pas toujours possible. Elle ne fait d'ailleurs pas partie de la résolution au sens strictement mathématique du terme. On considère en effet l'équation différentielle comme résolue quand on obtient une formulation pour y telle que: y = ⌠  ⌡ h(x).dx ou même telle que

⌠  ⌡ f(y).dy

=

⌠  ⌡ g(x).dx

Il est légitime de considérer l'équation comme résolue avec l'une ou l'autre de ces formules car il est alors possible de trouver la valeur prise par la fonction y pour toute valeur de la variable x ( quand la fonction y est définie pour la valeur en question). Mais on peut se convaincre que le calcul de cette valeur de y risque de demander largement plus d'efforts que la résolution de l'équation différentielle elle-même. Dans la pratique, il est convenu que l'on cherchera systématiquement à présenter la solution sous la forme habituelle y = une fonction de x Eq Diff – JM –PHA 1A

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Ne pas le faire est considéré au mieux comme un manque de courtoisie et en général comme une faute.

3.5 - Autres exemples Résolution de y' – y . x . sin x= 0 Cet exemple pour rappeler d'une part que les équations différentielles linéaires sont un cas particulier d'équations à variables séparées et d'autre part pour montrer, en rapprochant cet exemple de x.y' + y.sin x = 0 vu ci-dessus, que des "petites" modifications entraînent de grands changement dans les calculs. La séparation des variables donne dy y = x. sinx . dx Après intégration par partie du second membre, il vient ln(y(x)) = – x.cos x + sin x + K ou encore y(x) = C . exp ( – x.cos x + sin x )

Résolution de x.y' – y 2 = 0 Avec cet exemple on va voir que la méthode s'applique (parfois) à certaines équations différentielles non linéaires. Les variables se séparent en dy dx = x y2 L'intégration des deux membres est élémentaire et donne 1  – y = ln(x) + K qui se transforme en  –1 y(x) = K + ln(x) ou

1 y(x) = K + ln(1/x)

selon qu'on décide de faire porter le signe moins sur le dénominateur ou le numérateur. La constante K n'a pas la même valeur dans les deux équations.

Résolution de y'.y – e x/2 = 0 Cette équation est une pseudo-difficulté, en effet elle s'écrit y'.y = ex/2 y2 et on reconnait dans y'.y la dérivée de 2 . L'intégration des deux membres donne y2 x/2 + Kou 2 = 2.e

y2 x/2 + K ) 2 = 2.( e

et en définitive, parmi d'autres écritures possibles, on choisit : y(x) = ± 2.

ex/2 + K

La donnée d'une condition initiale permettra de déterminer la valeur de la constante arbitraire K. Cette condition, associée au contexte, fixera également le signe convenable.

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4 - Les équations différentielles linéaires du premier ordre avec second membre 4.1 - Définition Ce sont les équations différentielles linéaires du premier ordre qui contiennent un terme ne dépendant ni de y ni de y'. Elles sont toujours susceptibles de se mettre sous la forme a(x).y' + b(x) . y = g(x) où a(x), b(x) et g(x) sont des fonctions connues de x . Il est d'ailleurs vivement conseillé de ne faire démarrer le calcul qu'après s'être ramené à cette forme, car on commencera toujours par résoudre l'équation sans second membre associée, obtenue en annulant le second membre, c'est-à-dire a(x).y' + b(x) . y = 0

4.2 - Formulations du problème Pour fixer les idées, on prend l'exemple y' + y = sin x Pour trouver la solution de l'équation complète, on part du fait que l'on sait résoudre les équations sans second membre et donc, en particulier, celle que l'on déduit de l'équation complète, dite équation sans second membre associée, obtenue en annulant le second membre y' + y = 0 Si on connaît y(x), la solution de cette équation sans second membre (ici y(x) = C.e –x ), on peut présumer que la solution de l'équation complète doit en être assez voisine. On va voir deux méthodes pour passer de la solution générale de l'équation sans second membre (désignée dans la suite par ses initiales SGES2M) à la solution générale de l'équation avec second membre (SGEA2M). La première cherche à ajouter à la SGES2M une certaine fonction dite solution particulière de l'équation avec second membre (SPEA2M). Cette méthode, appelée méthode par identification ou méthode de recherche d'une solution particulière évite le calcul intégral, ce qui fait qu'on la considère souvent comme plus "simple". Elle ne fournit cependant pas systématiquement la solution. L'autre démarche, due à Lagrange mais aussi appelée méthode de variation de la constante, cherche une fonction par laquelle on multiplie la SGES2M pour obtenir la SGEA2M. On reste dans le cadre du calcul intégral pour obtenir la solution, avec les inconvénients que cela comporte, mais la méthode aboutit toujours à la solution.

4.3 - Recherche d'une solution particulière par identification 4.3.A - Principe Supposons connue y(x) la SGES2M, c'est par définition une fonction qui vérifie a(x).y' + b(x) . y = 0 et qui contient LA constante arbitraire. Ce dernier point est crucial. Si on veut transformer la SGES2M en la SGEA2M en lui ajoutant une fonction Y(x), il faut que l'on ait a(x).(y + Y)' + b(x) . (y + Y) = g(x) Eq Diff – JM –PHA 1A

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soit a(x).y' + b(x) . y + a(x).Y' + b(x).Y = g(x) donc, comme y(x) est la SGES2M,la relation devient a(x).Y' + b(x).Y = g(x) qui est l'équation différentielle que doit vérifier Y(x). On retrouve une forme identique à la précédente et ce n'est pas là que se trouve le bénéfice. Le bénéfice est que, dans la fonction Y(x), il n'est plus nécessaire de se préoccuper de LA constante arbitraire qui figure déjà dans la SGES2M . On est donc, pour Y(x), à la recherche d'une solution particulière de l'équation avec second membre (SPEA2M) . Le problème peut paraître à peine plus simple, et en général il ne l'est guère, sauf dans le cas d'équations simples où on peut faire la conjecture qu'il doit exister une solution particulière de l'équation avec second membre qui soit assez voisine du second membre lui-même. L'équation différentielle fournit ainsi elle même les indications nécessaires à sa résolution, la question étant alors de savoir  correctement interpréter ces indications.

4.3.B - Règles pour la recherche d'une solution particulière Une solution particulière peut être n'importe quelle fonction pourvu qu'elle "marche", c'est-à-dire qu'elle vérifie identiquement l'équation. Si on laisse de coté une recherche uniquement guidée par l'intuition ou la mémoire, il faut une procédure. Celle-ci consiste à copier le second membre d'une façon assez souple pour  pouvoir l'adapter, on détaillera la démarche dans les exemples. Cette démarche peut se formaliser en un ensembles de règles. Il en existe des répertoires parfois très étendus, l'option adoptée ici est de se limiter à un ensemble restreint de règles de base, dont la liste est donnée ci-dessous. tableau des règles second membre

forme a priori de la SPEA2M

polynôme x2 + 1

polynôme de même degré a.x2 + b.x + c

exponentielle e2.x

exponentielle de même coefficient a.e2.x

fonction trigonométrique sin OU cos sin 2x

fonctionS trigonométriqueS sin ET cos a.sin 2x + b.cos 2x

Sur les exemples présentés dans le tableau on peut voir qu'à chacune des formes de base du second membre correspond une forme obtenue en faisant appel à des coefficients indéterminés qui en généralise l'écriture. Ces coefficients seront déterminés par identification selon une procédure qui sera précisée dans la suite. Auparavant on peut faire les commentaires suivants sur ces règles. - le cas du polynôme est assez clair : une combinaison mettant en jeu un polynôme et ses dérivées est encore un polynôme de même degré. Il est donc raisonnable, au moins pour les équations à coefficients constants, de penser qu'il existe une solution ayant la forme d'un polynôme de ce degré; - il en est de même pour les exponentielles dont le coefficient en exposant reste inchangé dans les dérivations; - pour les fonctions trigonométriques par contre, si on introduisait dans la forme a priori de la SPEA2M que la seule fonction sinus par exemple, la dérivation ferait apparaître la fonction cos. Il faut donc en prévoir l'apparition en plaçant d'emblée dans la forme a priori le sin ET le cos. La précaution qui consiste à mettre d'emblée dans la forme a priori tous les termes qui risquent d'apparaître dans les calculs est ce qui permet à la méthode d'identification d'aboutir heureusement. On peut dire que cette précaution est en quelque Eq Diff – JM –PHA 1A

12

sorte une métarègle, c'est à dire une règle à laquelle doivent obéir toutes les autres règles. Dans le cas où le second membre est une combinaison de ces formes de base, on imitera la combinaison des formes a priori en essayant d'éviter les coefficients superflus. Par exemple, si on a le second membre e3.x + x2 somme d'une exponentielle et d'un polynôme du deuxième degré, on posera pour la forme a priori de la SPEA2M la somme des formes conseillées : a.e3.x + b.x2 + c.x + d Si, par contre, le second membre a la forme x2 . e3.x d'un produit d'une exponentielle et d'un polynôme, l'application rigide des règles pousserait à utiliser pour forme a priori le produit des formes a priori, c'est-à-dire A.e3.x . ( b.x2 + c.x + d) mais en développant cette expression, on se rend compte qu'en fait, le coefficient A n'apparaît nulle part seul. On a en effet A.b.e3.x .x2 + A.c.e3.x . x + A.d.e3.x qui n'est, un produit de coefficients étant encore un coefficient, qu'une façon maladroite d'écrire la relation B.e3.x .x2 + C.e3.x .x + D.e3.x = e3.x . ( B.x2 + C.x + D ) Cette forme est la forme appropriée qui contient le nombre, en principe, nécessaire et suffisant de coefficients. On peut aussi faire intervenir la métarègle "prévoir l'apparition de termes et les mettre d'abord dans la forme a priori". Ici le terme x 2.e3.x donne par dérivation un terme en x.e3.x (à un coefficient près), il faut donc le faire figurer dans l'écriture. Mais celui-ci, dérivé à son tour, donnera e3.x qu'il faut inclure à son tour. Ce passage en revue des termes attendus met donc en évidence les trois termes: x2.e3.x , x.e3.x et e3.x qui sont les trois termes de la forme a priori précédemment obtenue par l'application raisonnée des règles.

4.3.C - Mise en œuvre - Identification On va illustrer les étapes de la mise en œuvre sur un exemple. Soit à trouver la solution particulière de l'équation différentielle y'' + 2.y' + y = x2 + 1 La forme a priori sera un polynôme de degré deux. Conformément aux règles, on pose pour cette forme a priori le polynôme de degré deux le plus général: a.x2 + b.x + c On porte l'écriture choisie dans l'équation différentielle, c'est-à-dire qu'on y place les dérivées du polynôme. On obtient l'équation (2.a) + 2.(2.a.x + b) + (a.x2 + b.x + c) = x2 + 1 soit a.x2 + (4a + b).x + (2a + 2b + c) = x2 + 1 Cette égalité, vérifiée pour toutes les valeurs de la variable, est en fait une identité. En égalant les coefficients de chaque puissance de x , on produit autant d'équations que de coefficients : Eq Diff – JM –PHA 1A

13

coeff de x2 coeff de x terme constant

a 4.a + b 2.a + 2.b + c

= = =

1 0 1

La résolution de ce système ne soulève aucune difficulté, on obtient a b c

= = =

1 –4 7

La solution particulière de l'équation avec second membre que nous cherchons est donc SPEA2M = x2 – 4.x + 7 La solution générale de l'équation complète sera obtenue en additionnant les SGES2M et SPEA2M. Ici, où comme on l'a vu : SGES2M = e –x . (A.x + B) la solution générale de l'équation avec second membre est donc SGEA2M = y(x) = e –x . (A.x + B) + x2 – 4.x + 7 On a déjà signalé que la méthode par identification peut ne pas aboutir. Il y a deux façon caractéristique de la voir échouer : - ou bien on aboutit à une impossibilité mathématique comme sin x = 0 (on rappelle qu'il s'agit d'une identité, c'est-à-dire d'une égalité vraie pour toutes les valeurs de la variable), ceci est le signe d'une forme a priori inadéquate : il n'existe pas de solution particulière de la forme prescrite; - ou bien on obtient un nombre insuffisant d'équations, il s'agit alors d'une formulation maladroite de la forme a priori avec un nombre excessif de paramètres.

4.4 - Exemples Résolution de y' + y = sin x L'équation sans second membre associée dont il faut la solution générale est y' + y = 0 dont la forme à variables séparées est dy y = – 1.dx qui conduit à la solution générale de l'équation sans second membre SGES2M = C.e – x La forme a priori de la solution particulière de l'équation avec second membre doit incorporer le sin et le cos, on pose donc SPEA2M = a.sin x + b.cos x Son introduction dans l'équation fournit l'identité ( a.cos x – b.sin x) + (a.sin x + b.cos x) = sin x Après réarrangement des termes, il vient ( a + b ) . cos x + ( a – b ) . sin x = sin x et, en égalant les coefficients des fonctions sin et cos de part et d'autre du signe égale, on obtient le système coeff de cos x coeff de sin x

a+b a–b

qui admet les solutions 1 a= 2 Eq Diff – JM –PHA 1A

et

1 b=– 2 14

= =

0 1

La solution particulière de l'équation avec second membre est donc, en prenant soin de mettre le bon coefficient en face de la bonne fonction, SPEA2M =

sin x – cos x 2

et la solution générale de l'équation complète, somme des deux solutions, est sin x – cos x SGEA2M = SGES2M + SPEA2M = C.e – x + 2

Résolution de y' + y = x.sinx On ne revient pas sur la résolution de l'équation sans second membre associée qui est la même que précédemment. Cet exemple va nous permettre de présenter non seulement la mise en œuvre correcte mais aussi des mises en œuvre erronées. Commençons par le bon calcul. Le second membre est de la forme produit d'un polynôme du premier degré et d'une fonction trigonométrique. Les formes a priori sont respectivement a.x + b et

a.cos x + b.sin x

On a déjà dit que le produit sans précaution de ces fonctions produirait une forme avec un nombre excessif de coefficients. Mais ce produit contiendrait les fonctions x.cos x , x.sin x , cos x et sin x il faut, en conséquence, poser comme forme a priori Y = a.x.cos x + b.x.sin x + c.cos x + d.sin x dont la dérivée est Y' = a.cos x – a.x.sin x + b.sin x + b.x.cos x – c.sin x + d.cos x Son introduction dans l'équation différentielle avec second membre donne, après regroupement des termes : (a + b).x.cos x + (b – a).x.sin x + (a + c + d).cos x + (b – c + d).sin x = x.sin x L'identification des coefficients des fonctions de part et d'autre du signe égale donne le système coeff de x.cos x coeff de x.sin x coeff de cos x coeff de sin x

a+b b–a a+c+d b–c+d

= = = =

0 1 0 0

dont la résolution donne le jeu de coefficients a = – 1/2 , b = 1/2 , c = 1/2 et d = 0. Ces valeurs permettent l'écriture de la fonction solution particulière de l'équation avec second membre SPEA2M =

 –x.cos x + x.sin x + cos x 2

et de là, la solution générale de l'équation complète en lui ajoutant la solution générale de l'équation sans second membre déjà calculée à l'exercice précédent.  –x.cos x + x.sin x + cos x SGEA2M = SGES2M + SPEA2M = C.e – x + 2

Un choix erroné de la SPEA2M de y' + y = x.sinx La façon dont échoue l'identification après un choix incomplet de la forme a priori est instructif. Supposons qu'on ait limité la forme a priori aux seuls termes en x.cos x et x.sin x. La forme a priori est alors Eq Diff – JM –PHA 1A

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a.x.cos x + b.xsin x L'introduction de cette forme dans l'équation différentielle donne (a + b).x.cos x + (b – a).x.sin x + a.cos x + b.sin x = x.sin x qui conduit au système de quatre équations à deux inconnues coeff de x.cos x coeff de x.sin x coeff de cos x coeff de sin x

a+b b–a a b

= = = =

0 1 0 0

dont il est clair qu'il contient des équations incompatibles. On aura remarqué au passage que la dérivation de notre forme a priori fait apparaître des fonctions non "prévues", en violation de la métarègle.

Tentative de résolution de y'+ y = e -x Les règles données sont cependant insuffisantes, ici en effet l'application correcte des règles donne la forme a priori A.e – x dont l'introduction dans l'équation différentielle donne  –A.e – x + A.e – x = e – x 0 = e – x qui est une impossibilité car une exponentielle ne peut pas être identiquement nulle. L'échec est de la même nature que précédemment, il est dû au fait qu'il n'y a pas de solution particulière de la forme e – x . La différence avec le cas précédent est qu'il n'y pas application inexacte des règles. Le parti adopté dans ce document de ne fournir que des règles simples ne permet pas de trouver la forme a priori adéquate. Dans le cas où on échoue à trouver  une forme a priori convenable, on aura recours à la méthode générale : la méthode de Lagrange.

4.5 - Principe de la méthode de Lagrange (variation de la constante) 4.5.A - Principe Cette méthode suppose, comme la précédente, la résolution préalable de l'équation sans second membre associée, ce qui fournit la solution de forme générale y = C . eF(x) La méthode de Lagrange cherche un facteur par lequel multiplier cette solution (SGES2M) pour la transformer en la solution générale de l'équation complète, ou plus précisément par quelle fonction C(x) remplacer la constante C de l'écriture, d'où le nom de méthode de variation de la constante qu'on lui donne aussi. La forme C(x) . eF(x) portée dans l'équation différentielle va donner une équation en C'(x) de la forme C'(x) = une fonction connue de x La détermination de C(x) se résume ainsi à un "simple" calcul de primitive. On achève le calcul en multipliant la fonction C(x) obtenue par le facteur eF(x).

Eq Diff – JM –PHA 1A

16

4.5.B - Précautions et vérifications En cours de calcul on aura soin de vérifier que l'équation en C'(x) ne contient plus de C(x), c'est-à-dire qu'on obtient bien la forme la plus simple d'une équation différentielle. En d'autres termes, la fonction C(x) doit disparaître des calculs. Le calcul de C(x) introduit une constante arbitraire d'intégration, il faudra prendre garde qu'elle est LA constante arbitraire qui doit figurer dans la solution générale de l'équation complète. Son oubli aurait des conséquences définitivement graves sur la qualité du résultat.

4.6 - Exemples Résolution de y'+ y = e -x On rappelle que la solution générale de l'équation sans second membre est SGES2M = y(x) = C.e – x L'introduction de la forme C(x).e – x dans l'équation donne C'(x).e – x – C(x).e – x + C(x).e – x = e – x On constate la disparition des termes en C(x), il reste, après simplification par e – x C'(x) = 1 dont la solution évidente est : C(x) = x + K La forme de la solution générale de l'équation avec second membre est donc SGEA2M = C(x).e – x = (x + K) . e – x Dans cette forme on reconnaît d'une part K.e – x : la SGES2M, l'autre partie est donc la SPEA2M que nous n'avions pas obtenue tout à l'heure, on voit qu'il aurait fallu poser une forme a priori en x.e – x . On insiste encore sur le rôle de la constante d'intégration K, son oubli ne permettrait d'obtenir que la SPEA2M.

Résolution de y' + y = sin x L'équation sans second membre associée dont il faut la solution générale est y' + y = 0 a pour solution SGES2M = C.e – x On pose donc C(x).e – x dont l'introduction dans l'équation différentielle donne ( C'(x).e – x – C(x).e – x ) + C(x).e – x = sin x On assiste à la disparition habituelle de C(x) pour aboutir à C'(x) = ex.sin x On rappelle que le calcul de cette primitive se fait au moyen d'intégrations par parties de la fonction ex.sin x et de la fonction associée ex.cos x.

⌠  ⌡ ex.sin x . dx ⌠  ⌡ ex.cos x . dx

=

– ex.cos x

+

=

+ ex.sin x

–

⌠  ⌡ ex.cos x . dx ⌠  ⌡ ex.sin x . dx

La résolution de ce système donne deux primitives, la première est C(x), celle qui nous intéresse au premier chef  Eq Diff – JM –PHA 1A

17

C(x) = ⌠  ⌡ ex.sin x . dx =

ex.sin x – ex.cos x + K1 2

Pour mémoire l'autre est

⌠  ⌡ ex.cos x . dx

=

ex.sin x + ex.cos x + K2 2

On prendra garde de ne pas oublier l'introduction de la constante arbitraire, ici K1, en fin de calcul. La construction de la solution générale de l'équation avec second membre étant C(x).e –x ,on a

 ex.sin x – ex.cos x + K   1  2  

. e – x

qui, après développement, redonne sin x – cos x SGEA2M = y(x) = K1 . e – x + 2 forme que nous avions obtenue par la méthode de la solution particulière.

Résolution de y' + y = x.sin x L'introduction de C(x).e – x dans l'équation différentielle donne ici, tous calculs faits, C'(x) = x . ex.sin x Le calcul de la primitive de x . ex.sin x doit se réaliser par parties. Comme il est assez long, nous le détaillons ci-dessous. Dans le but d'appliquer la formule de l'intégration par parties

⌠  ⌡ u.dv

= u.v – ⌠  ⌡ v.du

nous posons u=x

dv = ex.sin x. dx

et

Le calcul de du = dx ne pose évidemment aucun problème. Par contre celui de v suppose l'intégration de ex.sin x. Nous venons de voir, dans l'exercice immédiatement précédent, qu'une primitive de cette fonction est

⌠  ⌡ ex.sin x . dx

=

ex.sin x – ex.cos x 2

On peut donc poser  x x x x x.sin x.dx = x.e .sin x – e .cos x – ⌠ e .sin x – e .cos x . dx C(x) = ⌠  x.e ⌡ 2 2

⌡

La dernière primitive est la demi-différence des primitives calculées à l'exemple précédent. Nous avions obtenu en cours de calcul

⌠  ⌡ ex.sin x . dx

=

– ex.cos x

+

⌠  ⌡ ex.cos x . dx

d'où il vient

⌠ ex.sin x – ex.cos x . dx 2 ⌡

=–

ex.cos x +K 2

et en définitive ex.sin x – ex.cos x ex.cos x C(x) = x. + +K 2 2 La construction de la solution générale de l'équation avec son second membre Eq Diff – JM –PHA 1A

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C(x).e –.x redonne la solution déjà obtenue, sans doute plus simplement, avec la recherche de la solution particulière. x.sin x – x.cos x + cos x SGEA2M = K.e – x + 2

4.7 - Justification de la méthode de Lagrange L'équation sans second membre associée a(x).y' + b(x).y = 0 a pour solution générale y(x) = C.eF(x) b(x) où F(x) est une primitive de – a(x) . ⌠  – b(x) ⌡ a(x) dx

= F(x) + cste

Par conséquent la dérivée est b(x) F'(x) = – a(x) Cette remarque étant faite, l'introduction dans l'équation complète a(x).y' + b(x).y = g(x) de la fonction C(x).eF(x) donne a(x).( C'(x).eF(x) + F'(x).C(x).eF(x)) + b(x).C(x).eF(x) = g(x) soit b(x) a(x).C'(x).eF(x) – a(x) . a(x) C(x).eF(x) + b(x).C(x).eF(x) = g(x) d'où la fonction C(x) disparaît, pour donner l'équation différentielle simplissime g(x) C'(x) = a(x) e –F(x)

4.8 - Commentaires sur le choix de la méthode Le choix entre méthode de Lagrange et recherche d'une solution particulière se fait sur une conjecture portant sur la difficulté relative des deux méthodes. Le lecteur  retire sans doute de ce qui précède que la méthode de Lagrange peut donner des calculs assez longs. La recherche de la solution particulière sera préférable dans les cas où on peut avoir une bonne chance de trouver une forme convenable de la forme a priori de la solution particulière. Cela sera probablement le cas - si l'équation est à coefficients constants, - si le second membre a une forme simple. Mais on peut, dans d'autres situations, avoir une réminiscence ou une intuition qui permette d'obtenir la forme convenable. Dans tous les cas où la recherche de la SPEA2M n'aboutit pas ou se développe d'une façon désavantageuse, on l'abandonnera au profit de la méthode de Lagrange, plus austère mais générale.

Eq Diff – JM –PHA 1A

19

5 - Equations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients constants sans second membre

5.1 - Définition La précision du titre restreint énormément le nombre de possibilités d'écriture, la seule forme possible est a.y'' + b.y' + c.y = 0 Le cas particulier b = 0 fait encore partie de la définition. Annuler le coefficient a renvoie aux équations différentielles du premier ordre, annuler le coefficient c également car  alors l'équation est une équation du premier ordre portant sur y' au lieu de y.

5.2 - Principe de la méthode de résolution La résolution des équations différentielles du second ordre linéaires à coefficients constants se fait en deux étapes dont aucune n'est une étape de calcul intégral. La première étape est la résolution d'une certaine équation algébrique du second degré : l'équation caractéristique. La seconde étape pose une forme a priori de la solution générale en fonction du nombre et de la nature des racines de l'équation caractéristique.

5.2.A - L'équation caractéristique L'équation caractéristique est l'équation du second degré ayant les mêmes coefficients que l'équation différentielle, c'est-à-dire a.r 2 + b.r + c. = 0 On la déduit de l'équation différentielle à l'aide des correspondances à y''

on fait correspondre r2 

à y'

on fait correspondre r1  = r 

ày

on fait correspondre r0  = 1

A chaque dérivation correspond donc une puissance de même rang. On notera que la fonction y elle-même est considérée comme dérivée zéro fois et on se souviendra que r 0 =1.

5.2.B - Les solutions types La suite du calcul repose sur le nombre et la nature des racines de l'équation caractéristique, ou, ce qui revient au même sur la valeur du discriminant ∆ de l'équation caractéristique

∆ = b2 – 4.a.c ∆>0 L'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes r 1 =

  –b +

b2 – 4.a.c 2.a

et

  –b – b2 – 4.a.c r 2 = 2.a

La solution générale de l'équation sans second membre est de la forme : y(x) = A.er 1.x + B.er 2.x Eq Diff – JM –PHA 1A

20

où A et B sont les constantes arbitraires qu'on déterminera éventuellement à l'aide des conditions initiales. ∆=0 L'équation caractéristique a une racine réelle double, donnée par la formule  –b r = 2.a La solution générale de l'équation sans second membre est de la forme : y(x) = A.x.er.x + B.er.x = (A.x + B) . er.x où A et B sont les constantes arbitraires qu'on déterminera éventuellement à l'aide des conditions initiales. ∆<0 L'équation caractéristique a deux racines distinctes, mais elles sont complexes conjuguées. Elles ont pour parties réelle Re(r)=α et imaginaire Im(r)=β les quantités :  –b Re(r) = α = 2.a

Im(r) = β =

et

4.a.c – b2 2.a

La solution générale de l'équation sans second membre est de la forme : y(x) = eα.x ( A.sin β.x + B.cos β.x ) où A et B sont les constantes arbitraires qu'on déterminera éventuellement à l'aide des conditions initiales.

5.3 - Exemples Résolution de y'' + 3.y' + 2.y = 0 L'équation caractéristique r 2 + 3.r + 2 = 0 se factorise en (r + 1).(r + 2) = 0. Des racines r 1 = –1 et r 2 = –2, on déduit la solution générale de l'équation différentielle y(x) = A.e – x + B.e –2.x Si on ajoute les conditions initiales y(0) = y'(0) = 1, on en déduit le système permettant de calculer A et B A+B A + 2.B

= =

1 –1

qui admet la solution A = 3 et B = –2 . La solution de l'équation différentielle qui vérifie les conditions initiales est donc y(x) = 3.e – x – 2.e –2.x

Résolution de y'' + 2.y' + y = 0 L'équation caractéristique r 2 + 2.r + 1 = 0 admet la racine double r = –1, la solution générale de l'équation différentielle est y(x) = (A.x + B) . e – x Si on ajoute les conditions initiales y(0) = y'(0) = 1, on en déduit le système permettant de calculer A et B B A–B Eq Diff – JM –PHA 1A

21

= =

1 1

qui admet la solution A = 2 et B = 1 . La solution de l'équation différentielle qui vérifie les conditions initiales est donc y(x) = ( 2.x + 1) . e – x

Résolution de y'' + y = 0 L'équation caractéristique r 2 + 1 = 0 admet les racines imaginaires pures conjuguées r 1 = –i et r 2 = +i, c'est à dire que la partie réelle des racines est nulle, donc α = 0 et β = 1. La solution générale de l'équation différentielle peut s'écrire y(x) = (A.sin x + B.cos x) Si on ajoute les conditions initiales y(0) = y'(0) = 1, on obtient directement les valeurs des coefficients y'(0) = A y (0) = B

A B

= =

1 1

La solution de l'équation différentielle qui vérifie les conditions initiales est donc y(x) = sin x + cos x

Résolution de y'' + 2.y' + 2.y = 0 Les racines imaginaires conjuguées de l'équation caractéristique sont telles que

α = –1 et

β=1

et la solution générale de l'équation différentielle y = e – x . ( A.cos x + B.sin x ) Si on ajoute les conditions initiales y(0) = y'(0) = 1, on obtient le système A

=

1

B–A

=

1

dont la solution A = 1 et B = 2 permet d'écrire la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale: y(x) = e – x . ( cos x + 2.sin x )

5.4 - Justification de la méthode de résolution Trouver la solution de l'équation différentielle c'est trouver une fonction a) qui vérifie l'équation, b) qui contienne deux constantes arbitraires qui lui permettent de vérifier n'importe quelles conditions initiales, par exemple de la forme y(0) = y0

et

y'(0) = y'0

Pour résoudre ce problème on va d'abord chercher (et trouver) deux solutions particulières de l'équation (sans second membre) : y1 et y2 . Grâce au caractère linéaire de l'équation, toutes les combinaisons linéaires de ces deux solutions particulières seront également solutions de l'équation différentielle. Si on les combine à l'aide de deux constantes arbitraires A et B, on obtient des fonctions de la forme A.y1 + B.y2 Eq Diff – JM –PHA 1A

22

Il reste à vérifier que l'on peut, avec une telle combinaison linéaire, satisfaire n'importe quelles conditions initiales.

5.4.A - Les conditions initiales et le Wronskien Cela revient à dire que pour n'importe quelles valeurs de y0 et y'0, on sait calculer les valeurs convenables des constantes A et B. Ou encore que le système déduit des conditions initiales y0

=

A.y1(0)

+

B.y2(0)

y'0

=

A.y'1(0)

+

B.y'2(0)

Pour qu'un tel système admette une solution unique en A et B, il faut et suffit que le déterminant du système soit non nul, c'est-à-dire y1(0) . y'2(0) – y2(0) . y'1(0)

0

Notre choix de conditions strictement initiales, c'est-à-dire pour x=0, peut être gênant . Dans telle ou telle application, on peut avoir besoin de préciser la valeur de la fonction et de sa dérivée pour une autre valeur de la variable que zéro. Pour prévoir tous les cas, c'est-à-dire pour que des conditions de la forme y(x) = y0

et

y'(x) = y'0

puissent être satisfaites pour une valeur x quelconque de la variable et plus seulement à l'origine, nous allons exiger que le système y0

=

A.y1(x)

+

B.y2(x)

y'0

=

A.y'1(x)

+

B.y'2(x)

ait une solution unique pour toutes les valeurs de x, d'où la condition portant maintenant sur l'ensemble des valeurs possibles du déterminant du système y1(x) . y'2(x) – y2(x) . y'1(x)

0

Ce déterminant, qui est donc une fonction de x, porte le nom de wronskien, d'après le nom du mathématicien polonais qui en a proposé l'usage. Notre problème prend maintenant la forme: trouver deux solutions particulières de l'équation différentielle dont le wronskien n'est jamais nul.

5.4.B - Les solutions exponentielles et l'équation caractéristique La recherche de ces solutions particulières se fait parmi les fonctions exponentielles. Si on injecte dans l'équation différentielle une exponentielle er.x on obtient, après les dérivations nécessaires, a. (r 2.er.x) + b. (r.er.x) + c.er.x = 0 Comme une exponentielle n'est jamais nulle, on peut diviser les deux membres de l'équation par er.x ce qui conduit à : a.r 2 + b.r + c = 0 qui est l'équation caractéristique. Selon la valeur de son discriminant, cette équation a deux racines réelles, une racine réelle double ou deux racines complexes. On se limitera au où les coefficients a,b et c sont réels, les racines complexes sont alors conjuguées, c'est-à-dire ont la même partie réelle et des parties imaginaires de signes opposés. On passe en revue les trois cas possibles.

Eq Diff – JM –PHA 1A

23

5.4.C - Les solutions types ∆<0 L'existence de deux racines réelles distinctes, r 1 et r 2, permet d'obtenir deux solutions particulières. Pour qu'elles soient acceptables il faut que leur wronskien soit non nul. Ce wronskien a pour expression er 1.x   det   r 1.er 1.x

er 2.x    = r 2.er 2.x.er 1.x – r 1.er 1.x.er 2.x = (r 1 –r 2).er 1.x.er 2.x r 2.er 2.x 

quantité qui n'est jamais nulle puisque, par hypothèse r 1 ≠ r 2 . Le couple de solutions particulières y1 = er 1.x et y2 = er 2.x permet donc la construction de la solution générale de l'équation sans second membre sous la forme d'une combinaison linéaire de ces solutions particulières, c'est-à-dire sous la forme : y(x) = A.er 1.x + B.er 2.x

∆=0 On ne dispose ici que de la seule racine double r = –b/(2.a) de l'équation caractéristique et donc d'une seule solution particulière y1 = er.x . Il faut faire une conjecture supplémentaire pour en trouver une autre. La conjecture est de poser  y2 = x.er.x pour laquelle il faut vérifier deux points importants. Le premier est que cette fonction y2 est solution de l'équation différentielle, c'est-à-dire porter dans cette équation les dérivées y'2

=

r.x.er.x + er.x

y''2

=

r 2.x.er.x + 2.r.er.x

ce qui donne la relation a(r 2.x.er.x + 2.r.er.x ) + b.(r.x.er.x + er.x) + x.er.x qui, après réarrangement des termes, devient x.er.x. ( a.r 2 + b.r + c) + er.x. ( 2.a.r + b) La première parenthèse contient l'équation caractéristique, elle est donc nulle car r est sa racine. La seconde parenthèse est également nulle car r est racine double est par  conséquent égal à –b/(2.a) . Le second point est que le couple de solutions particulières r.x y1 = e et y2 = x.er.x est convenable, c'est-à-dire que son wronskien est différent de zéro. Celui-ci est égal à

  er.x  r.er.x

det 

x.er.x   = r.e2.r.x – r.e2.r.x + e2.r.x = e2.r.x r.x.er.x + er.x 

Il n'est donc jamais nul et les deux solutions particulières sont convenables. La solution générale de l'équation différentielle peut se mettre sous la forme d'une combinaison linéaire de ces deux solutions particulières y(x) = A.x.er.x + B.er.x = (A.x. + B ) . er.x

∆<0 Dans ce cas on retrouve deux racines distinctes, complexes conjuguées, c'est à dire r 1 = α +i.β

et

r 2 =

α – i.β

où b

α = – 2.a Eq Diff – JM –PHA 1A

et

β= 24

4.a.c – b2 2.a

Les deux solutions particulières y1 = er 1.x et y2 = er 2.x constituent bien un couple admissible (de wronskien non nul) comme on pourra le vérifier et la solution générale de l'équation pourrait s'écrire, en remplaçant les racines par leurs expressions : y(x) = eα.x . ( A.e+i.β.x + B.e –i.β.x ) Cette forme n'est cependant pas très commode à cause de la présence d'exponentielles et de constantes complexes dans une expression qui est, le plus souvent dans nos applications, destinée à décrire un phénomène physique ou chimique qui s'exprime en valeurs réelles. Pour arriver à une forme plus "simple" on fait intervenir la formule de Moivre e+i.β.x = cos(β.x) + i.sin(β.x) qui permet de transformer l'écriture précédente en y(x) = eα.x . [(A+B).cos(β.x) + i.(A–B).sin(β.x) ] Sachant qu'une combinaison de constantes, même complexes, arbitraires est encore une constante arbitraire, la forme à utiliser de la solution générale : y(x) = eα.x .( A.cos(β.x) + B.sin(β.x) ) Dans cette écriture, on voit en fait apparaître deux "nouvelles" solutions particulières eα.x.cos(β.x) et eα.x.sin(β.x) et deux nouvelles constantes arbitraires (en général réelles dans cette écriture). Les fonctions sont a) solutions de l'équation différentielle et b) leur wronskien est bien non nul. On laisse la curiosité du lecteur le pousser à entreprendre ce calcul, un peu long mais sans difficulté.

5.5 - Retour sur deux exemples Nous reprenons deux exemples pour montrer comment, dans le cas ∆<0, mettre en œuvre les conditions initiales sur la forme imaginaire de la solution de l'équation différentielle et que l'on obtient des solutions réelles avec ces formes.

Résolution de y'' + y = 0 Les racines complexes conjuguées sont r 1 = –i et

r2  = +i

la solution générale de l'équation différentielle est y(x) = A.e+ i x + B.e – i x sa dérivée y'(x) = i.A.e+ i x – i.B.e – i x L'utilisation de conditions initiales telles que y(0) = y'(0) = 1 conduit au système 1 1

= =

A+B i.A – i.B

qui admet les solutions 1–i A= 2

et

B=

1+i 2

La solution vérifiant les conditions initiales est alors y(x) =

e+ i x + e – i x e+ i x – e – i x + 2 2.i

d'où, en appliquant la formule de Moivre : e+ i x = cos x + i.sin x, y(x) =

Eq Diff – JM –PHA 1A

2.cos x 2.i.sin x + = cos x + sin x 2 2.i 25

Résolution de y'' + 2.y' + 2.y = 0 Avec cette équation différentielle, la solution a la forme y(x) = e – x . (A.e+ i x + B.e – i x ) dont la dérivée est y'(x) = – e – x . (A.e+ i x + B.e – i x ) + e – x . (i.A.e+ i x – i.B.e – i x ) L'introduction d'une condition initiale telle que y(0) = y'(0) = 1 conduit au système 1 1

= =

A+B – (A + B) + i (A – B)

dont les solutions sont A=

1–2i 2

et

B=

1+2i 2

Ici aussi les parties imaginaires des coefficients vont disparaître. En effet en appliquant la formule de Moivre à 1–2i 1+2i y(x) = e – x .   2 .e+ i x + 2 .e – i x      on obtient, tout développement fait, y(x) = e –x . (cos x + 2.sin x )

5.6 - Lien avec les systèmes d'équations différentielles linéaires du premier ordre 5.6.A - Définition d'un système d'équations différentielles linéaires Un système d'équations différentielles est un groupe d'équations différentielles, portant sur plusieurs fonctions inconnues Yi,qui peut se mettre sous la forme dY1 dx = f 1(x,Y1,Y2,...,Yn) dY2 dx = f 2(x,Y1,Y2,...,Yn) .... dYn dx = f n(x,Y1,Y2,...,Yn) Le système est linéaire quand le sont toutes les équations différentielles qui le constituent. Nous ne nous intéresserons qu'aux systèmes de dimension 2, linéaires et à coefficients constants, c'est-à-dire aux systèmes qui ont la forme dY1 dx = a.Y1 + b.Y2 dY2 dx = c.Y1 + d.Y2 Nous allons voir qu'un tel système est équivalent à une équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants et réciproquement. Pour cela nous allons transformer une telle équation en un système et inversement. Auparavant on peut remarquer que le système peut se mettre sous une écriture matricielle d dx

Eq Diff – JM –PHA 1A

 Y1   Y2 

a b  =    c d 

26

 Y1   Y2 

5.6.B - Passage de l'équation au système Ce passage est en fait un simple jeu d'écriture. Le point de départ est l'équation différentielle a.y'' + b.y' + c.y = 0 On pose les changements d'inconnues Y1 = y et

Y2 = y'

ce qui a d'abord pour conséquence immédiate que Y'1 = Y2 qui est une première équation du système. L'autre est obtenue en portant les nouvelles inconnues dans l'équation différentielle, ce qui donne a.Y'2 + b.Y2 + c.Y1 = 0 La juxtaposition des deux relations fournit bien un système linéaire d'équations différentielles. dY1 dx dY2 dx

=

Y2

=

c b – a Y1 – a Y2

5.6.C - Passage du système à l'équation Dans ce sens le calcul est un peu plus long. Il faut d'abord choisir dans le système dY1 dx = a.Y1 + b.Y2 dY2 dx = c.Y1 + d.Y2 pour laquelle des deux fonctions inconnues on veut écrire l'équation du deuxième ordre. On choisit arbitrairement Y1. Il convient alors d'éliminer Y2 et Y'2 de l'écriture. De la première équation du système on tire (si b 0) Y2 =

Y'1 – a.Y1 b

Y'2 =

Y''1 – a.Y'1 b

et, en dérivant cette relation

Ces deux expressions, portées dans la deuxième équation du système, donnent Y''1 – a.Y'1 Y' – a.Y1 . 1 = c.Y + d 1 b b qui se réarrange en Y''1 – (a + d).Y'1 + (a.d – b.c).Y1 = 0 qui est la forme cherchée.

5.6.D - Les conditions initiales Il faut également adapter les éventuelles conditions initiales. Si l'on part de l'équation différentielle du deuxième ordre, la condition initiale est y(0) = y0 Eq Diff – JM –PHA 1A

et

y'(0) = y'0 27

ce qui donne immédiatement les valeurs initiales de Y1 et Y2 Y1(0) = y(0) = y0

et

Y2(0) = y'(0) = y'0

Si on part du système, la condition initiale donne les valeurs de Y1(0) et de Y2(0). Il ne reste alors à définir que la valeur initiale de Y'1(0) pour avoir la condition initiale de l'équation différentielle du deuxième ordre, ceci est facilement fait à l'aide de la première équation du système Y'1(0) = a.Y1(0) + b.Y2(0) En conclusion, la solution générale de l'équation différentielle ou les solutions générales du système différentiel doivent dépendre de deux constantes arbitraires.

5.6.E - Formes des solutions d'un système de deux équations différentielles De l'équivalence entre système et équation du deuxième ordre on peut inférer  que les solutions du système seraient de la forme A.er.x + B.es.x, mais si on pose, par  exemple, les formes Y1(x) = A.er.x + B.es.x Y2(x) = C.er.x + D.es.x on fait apparemment dépendre ces solutions de quatre constantes arbitraires. Pour  éliminer les constantes surnuméraires on porte ces expressions dans le système différentiel. Cela donne r.A.er.x + s.B.es.x = a.(A.er.x + B.es.x) + b.(C.er.x + D.es.x) r.C.er.x + s.D.es.x = c.(A.er.x + B.es.x) + d.(C.er.x + D.es.x) Comme il s'agit d'identité on peut poser l'égalité des coefficients des différentes exponentielles dans chaque équation. On en tire les quatre équations: r.A = a.A + b.C s.B = a.B + b.D r.C = c.A + d.C s.D = c.B + d.D ce qui semblerait fixer les quatre constantes. Serions nous maintenant sans constante arbitraire? Un examen plus approfondi des quatre équations montre qu'il s'agit en fait de deux systèmes de deux équations r.A r.C

= =

a.A + b.C c.A + d.C

s.B s.D

= =

a.B + b.D c.B + d.D

=

a b B    c d    .    D   

qui, mis sous forme matricielle, donnent A r.    C   

=

a b A    c d    .    C   

B s.    D   

où l'on peut voir  a) que les exposants des exponentielles sont les valeurs propres de la matrice du système. On peut facilement vérifier que l'équation caractéristique de la matrice a–r b 2 det    c d – r      = r  – (a + d).r + (a.d – b.c) = 0 coïncide avec l'équation caractéristique de l'équation du second degré équivalente au système. b) que les vecteurs de composantes (A,C) et (B,D) sont les vecteurs propres correspondants à ces valeurs propres. On sait que les vecteurs propres sont définis à une constante multiplicative près, avec une telle constante arbitraire par vecteur on Eq Diff – JM –PHA 1A

28

retrouve nos deux constantes arbitraires, mais sous une forme qui n'avait rien d'évident. Les fonctions Y1 et Y2 peuvent donc être définies comme suit

 Y1(x)   Y2(x) 

A  r.x B  s.x   = K1.  .e + K . 2  C   D  .e

Dans cette forme on reconnaîtra, les deux constantes arbitraires K1 et K2, les deux exponentielles ayant pour coefficients les valeurs propres de la matrice du système et enfin les deux vecteurs propres correspondants en facteur de ces exponentielles.

5.6 - Exemples de résolution de système d'équations différentielles Un système dégénéré - cas b = 0 Le système différentiel dY1 dx dY2 dx

=

a.Y1

=

c.Y1 + d.Y2

a son coefficient b égal à zéro, ce qui invalide le calcul qui nous avait permis de construire l'équation différentielle du deuxième ordre équivalente. Mais ce système est en fait très simple à résoudre en le traitant comme deux équations différentielles du premier ordre. La première des équations est élémentaire et donne la solution Y1(x) = C1.ea.x L'introduction de ce résultat dans la deuxième équation donne dY2 a.x + d.Y 2 dx = c.C1.e qui n'est autre qu'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre, cas considéré ici comme résolu.

Un système standard Soit à résoudre le système Y'1 = Y1 + Y2 Y'2 = Y1 – Y2 dont l'équation caractéristique 1–r 1 2 det     1 –1–r     = r  – 2 = 0 a pour racines r = 2 et

s=– 2

Si on a des conditions initiales, Y1(0) = Y2(0) = 1 par exemple, on peut traiter  le problème de deux façons. La première passe par la détermination des vecteurs propres la seconde en fait l'économie, mais comme elle nécessite des développements un peu plus longs les deux calculs sont à peu près équivalents.

Détermination des constantes arbitraires à l'aide des vecteurs propres Les vecteurs propres étant définis à un facteur près, on peut imposer que leur  première composante soit égale à 1. La détermination des vecteurs propres se fait alors avec l'équation Eq Diff – JM –PHA 1A

29

 1  1

1    1  –1  .  u  =

1  2 .    u 

±

qui admet pour solutions u = –1 ±

2

Si on se reporte à la forme des solutions établies plus haut, on peut poser 

 Y1(x)   Y2(x) 

1 = K1.     –1 +

  1   .e –    –1 – 2 

  .e 2 

2 .x + K . 2

2 .x

Avec les conditions initiales, on obtient les équations sur K1 et K2 1 –1

=

K1 + K2 K 1 . (1 –

=

2 ) + K2 . (1 +

2)

qui s'arrange en 1

=

2

=

K1 + K2 K1 – K2

et les solutions sont 1 K1 = 2 . ( 1 +

2)

1 K2 = 2 . ( 1 – 2)

et

Les solutions sont alors Y1(x)

=

Y2(x)

=

1 . e 2 .x + 1 . ( 1 – . 1 + 2 ( ) 2 2 1 . 2 .x + 1 . e – 2 .x 2 e 2

2) . e –

2 .x

Détermination directe des constantes arbitraires On pose la forme des solutions Y1(x) = A.e 2 .x + B.e – 2 .x Y2(x) = C.e 2 .x + D.e – 2 .x les quatres paramètre A, B, C et D sont déterminés à l'aide d'une part des conditions initiales qui donnent deux équations Y1(0) = 1 = A + B Y2(0) = 1 = C + D et d'autre part, le système différentiel évalué en x = 0 qui permet d'écrire Y'1(0) = Y1(0) + Y2(0) = 2 Y'2(0) = Y1(0) – Y2(0) = 0 d'où deux équation supplémentaires pour les paramètres 2 = A. 0 = C.

2 – B. 2 2 – D. 2

De ce double système, on tire 1 A = 2 . (1 +

1 2) ; B = 2 . ( 1 –

La forme de la solution obtenue en découle.

Eq Diff – JM –PHA 1A

30

1 2) et C = D = 2

6 - Equations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre 6.1 - Définition La forme générale de ces équations est a.y'' + b.y' + c.y = g(x) Leur résolution a, avec celle des équations du premier ordre, plus que des analogies. On y retrouve les mêmes méthodes : recherche d'une solution particulière et méthode de Lagrange ou variation DES constantes. Les calculs sont simplement un peu plus longs, surtout pour la méthode de Lagrange.

6.2 - Recherche d'une solution particulière par identification Le principe et les règles sont purement et simplement identiques à ceux vus avec les équations du premier ordre. Pour mémoire on pose une forme a priori pour la solution particulière, en s'inspirant du second membre de l'équation différentielle. Cette forme portée dans l'équation donne les équations d'identification avec lesquelles on précise la solution particulière de l'équation avec second membre. On retrouve la relation SGEA2M = SGES2M + SPEA2M

6.3 - Exemples Résolution de y'' + 3.y' + 2.y = 2.e 2.x L'équation sans second membre associée a pour équation caractéristique r 2 + 3.r + 2 = 0 qui admet deux racines réelles distinctes r 1 = –1 et r 2 = –2. La solution générale de l'équation sans second membre est donc SGES2M = y(x) = A . e – x + B . e –2.x La forme du second membre suggère l'essai de Y(x) = A.e2.x L'introduction de cette forme dans l'équation donne (4.A.e2.x) + 3.(2.A.e2.x) + 2.(A.e2.x) = 2.e2.x L'identification est immédiate et on obtient 1 A=6 Une solution particulière de l'équation avec second membre est donc 1 SPEA2M = 6 . e2.x et la solution générale de l'équation complète est 1 SGEA2M = SGES2M + SPEA2M = A.e – x + B.e –2.x + 6 . e2.x

Eq Diff – JM –PHA 1A

31

Résolution de y'' + 2.y' + 3.y = 2.x+1 L'équation sans second membre associée a pour équation caractéristique r 2 + 2.r + 3 = 0 qui admet deux racines complexes conjuguées r 1 =

  –2 +

4 – 12

et

2

r 1 =

  –2 –

4 – 12 2

soit encore

α = –1 et

β= 2

d'où la solution générale de l'équation sans second membre SGES2M = e – x . ( A.cos x. 2 + B . sin x. 2 ) La recherche de la solution particulière est indépendante de la résolution de l'équation sans second membre. Ici la forme a priori apparemment convenable est Y(x) = a.x + b Les dérivée successives de Y(x) sont Y'(x) = a

et Y''(x) = 0

Leur introduction dans l'équation fournit les équations d'identification coeff de x terme constant

3.a 2.a + 3.b

= =

2 1

dont la résolution donne la solution particulière de l'équation avec second membre 2 1 SPEA2M = 3 . x – 9 et la solution générale de l'équation complète est 2 1 SGEA2M = SGES2M + SPEA2M = e – x . ( A.cos x. 2 + B . sin x. 2 ) + 3 . x – 9

Résolution de y'' + 2.y' + 3.y = sin x L'équation sans second membre est résolue à l'exemple précédent. La forme appropriée de la solution particulière est Y(x) = A.sin x + B.cos x dont les dérivées sont Y'(x) = A.cos x – B.sin xet

Y''(x) = –A.sin x – B.cos x

Leur introduction dans l'équation différentielle donne (–A.sin x – B.cos x) + 2(A.cos x – B.sin x) + 3(A.sin x + B.cos x) = sin x Le regroupement des termes donne sin x .(2.A –2.B) + cos x . (2.A + 2.B) = sin x d'où les équations d'identification coeff de sin x coeff de cos x

2.A – 2.B 2.A + 2.B

= =

1 0

dont la résolution fournit la solution particulière de l'équation complète SPEA2M = Y(x) =

sin x – cos x 4

La solution générale de l'équation avec son second membre est obtenue comme d'habitude en sommant la SGES2M et la SPEA2M que l'on vient d'obtenir  sin x – cos x SGEA2M = e – x . ( A.cos x. 2 + B . sin x. 2 ) + 4 Eq Diff – JM –PHA 1A

32

Résolution de y'' + y = e x . sin x La solution générale de l'équation sans second membre est SGES2M = A.sin x + B.cos x En utilisant la meta-règle, on peut poser que la forme a priori à adopter pour la solution particulière de l'équation avec second membre doit contenir le second membre et ses dérivées. La dérivée première du second membre (ex . sin x)' = ex . sin x + ex . cos x fait apparaître la fonction ex. cos x, qu'il faut donc prévoir d'inclure dans la forme a priori. La fonction semble complète avec les deux termes Y(x) = A.ex . sin x + B.ex . cos x puisque la dérivée de l'un fait apparaître l'autre. Les dérivées de cette fonction sont Y'(x) = (A – B).ex . sin x + (A + B).ex . cos x Y''(x) = –2.B.ex . sin x + 2.A.e x . cos x L' introduction de Y(x) et Y''(x) dans l'équation donne (A – 2.B) .ex. sin x + (2.A + B).ex. cos x = ex.sin x d'où les équations d'identification coeff de ex. sin x coeff de ex. cos x

1 0

= =

A – 2.B 2.A + B

qui donnent sin x – 2.cos x SPEA2M == Y(x) = ex 5 La solution générale de l'équation avec second membre est donc sin x – 2.cos x SGEA2M = A.sin x + B.cos x + ex 5

Tentative de résolution de y'' – 2.y' + y = x.e x L'équation caractéristique de l'équation sans second membre associée r 2 – 2.r + 1 = (r – 1)2 = 0 admet la racine double r = +1 La solution générale de l'équation sans second membre est donc SGES2M = (A.x + B) . e x Le fait que cette solution générale contienne le terme x.ex va entraîner l'échec de la méthode par identification. L'application de la règle pour la forme a priori de la solution particulière de l'équation complète donne une forme identique à la SGES2M (A.x + B) . ex dont l'introduction dans l'équation complète conduit à l'impossibilité 0 = x.ex Cette impossibilité signifie qu'il n'y a pas de solution particulière de l'équation complète de la forme prescrite. Ceci n'a rien d'étonnant puisque cette forme est justement celle de la solution de l'équation sans second membre. Dans de tels cas on fera appel à la méthode de Lagrange qu'on trouvera cidessous appliquée à cet exemple. Eq Diff – JM –PHA 1A

33

Tentative de résolution de y'' + y = sin x Pour la même raison que précédemment (second membre égal à une solution de l'équation sans second membre) la forme a priori de la SPEA2M est inadéquate. La forme A.sinx + B.cos x donne, portée dans l'équation, l'impossibilité 0 = sin x Ici encore il est conseillé de passer à la méthode de Lagrange (voir ci-dessous).

6.4 - Méthode de Lagrange Avec les équations du premier ordre, la méthode de Lagrange était surtout utile dans le cas des équations à coefficients quelconques, avec les équations du deuxième ordre, où nous n'envisageons que les équations à coefficients constants, on aura moins l'occasion d'avoir recours à cette méthode Comme elle n'est pas une simple extension de la méthode du premier ordre nous la présentons en détail.

6.4.A - Principe Le principe est assez voisin de ce que nous avons vu avec les équations du premier ordre : remplacer les constantes arbitraires de la solution générale de l'équation avec second membre par des fonctions inconnues que l'on va chercher à déterminer. On pose donc y(x) = A(x).y1(x) + B(x).y2(x) où y1(x) et y2(x) sont les solutions particulières de l'équation sans second membre obtenues par l'intermédiaire de l'équation caractéristique, A(x) et B(x) ces fonctions inconnues. Cette forme portée dans l'équation différentielle va fournir une équation portant sur A(x) et B(x), ou plus exactement sur leur dérivées. Mais nous avons deux fonctions à déterminer et une seule équation ne saurait suffire. Il convient d'en rajouter une, celle qu'il est commode d'utiliser est A'(x).y1 + B'(x).y2 = 0 que l'on appelle équation arbitraire de compatibilité.

6.4.B - Mise en oeuvre L'équation de compatibilité intervient deux fois dans les calculs. Une première fois dans les calculs de dérivation qui surviennent quand on introduit la forme A(x).y1(x) + B(x).y2(x) dans l'équation différentielle. En effet y'(x)

=

A(x).y'1 + B(x).y'2 + A'(x).y1 + B'(x).y2

mais, à cause de l'équation de compatibilité, cette dérivée se simplifie en y'(x)

=

A(x).y'1 + B(x).y'2

et la dérivée seconde prend la forme y''(x)

=

A(x).y''1 + B(x).y''2 + A'(x).y'1 + B'(x).y'2

Cela, porté dans l'équation différentielle, donne a.{ A(x).y''1 + B(x).y''2 + A'(x).y'1 + B'(x).y'2} + b.{ A(x).y'1 + B(x).y'2} + c{ A(x).y1(x) + B(x).y2(x)} = g(x)

Eq Diff – JM –PHA 1A

34

Le regroupement des termes conduit à A(x) . { ay''1 + by'1 + cy1} + B(x) . { ay''2 + by'2 + cy2} + a. { A'.y'1 + B'.y'2}

= g(x)

où les deux premiers termes s'annulent puisque y1 et y2 sont des solutions particulières de l'équation sans second membre. On voit disparaître les fonctions A(x) et B(x) au profit de leur dérivée, exactement comme avec les équations du premier ordre. En définitive, en utilisant une nouvelle fois l'équation de compatibilité, on obtient le système d'équations g(x) a 0

=

A'.y'1 + B'.y'2

=

A'.y1 + B'.y2

Le déterminant de ce système n'est autre que le wronskien, qu'il est satisfaisant de retrouver ici car on peut assurer que le système a toujours la solution unique : y2 g(x) A'(x) = a . y' .y – y' .y 1 2 2 1

 – y1 g(x) B'(x) = a . y' .y – y' .y 1 2 2 1

et

L'intégration des deux seconds membres conduit aux formes cherchées pour A(x) et B(x). La multiplication de ces formes par les fonction y1(x) et y2(x) donne la solution de l'équation complète.

6.4.C - Commentaires On peut être gêné par le nom d' "équation arbitraire" de l'équation de compatibilité, elle n'est arbitraire que de parce que la formulation de l'équation différentielle ne la précise pas explicitement. Mais il est clair que la forme donnée à cette équation ne doit rien au hasard et qu'elle a été définie de façon à rendre le calcul des solutions possible - et relativement commode. On souligne, ici aussi, le rôle essentiel des constantes d'intégration dans le calcul donnant A(x) et B(x) à partir des expressions de A'(x) et B'(x). En effet si on note, pour les faire apparaître, A(x) = F(x) + K1

et

B(x) = G(x) + K2

la solution générale de l'équation complète est y(x) = F(x).y1 + K1.y1 + G(x).y2 + K2.y2 L'oubli de K1 et K2 serait catastrophique pour la qualité de la solution qui, limitée à y(x) = F(x).y1 + G(x).y2 et ne contenant pas les deux constantes arbitraires, ne serait qu'une solution particulière de l'équation avec second membre (SPEA2M).

6.5 - Exemples Résolution de y'' – 2.y' + y = x.e x La solution générale de l'équation sans second membre est SGES2M = (A.x + B) . e x Il convient de mettre en évidence les solutions particulières de l'équation sans second membre qui la composent, c'est-à-dire ici Eq Diff – JM –PHA 1A

35

y1(x) = x.ex

y2(x) = ex

et

Les dérivées de ces fonctions sont y'1(x) = (x + 1).ex

y'2(x) = ex

et

et leur wronskien y'1 y'2   (x + 1).ex det  y y   = det    1 2    x.ex

ex    = e2.x ex  

L'application de la méthode fait appel au système g(x) a A' y1 + B' y2 = 0

A' y'1 + B' y'2 = qui prend ici la forme

x.ex A' (x + 1).ex + B' ex = 1 x x A' x.e + B' e = 0 La résolution de ce système conduit aux relations A' = x

et

B'= –x2

de là on passe aux primitives évidentes x2 A = 2 + K1

 –x3 B = 3 + K2

et

et la solution générale de l'équation avec son second membre est, simplification faite, SGEA2M =

x3 + K .x + K  1 2 6

. ex

On y reconnaît la SGES2M, et par différence, la SPEA2M que nous n'avions pas su obtenir par identification x3 SPEA2M = 6 . ex

Résolution de y'' + y = sin x La SGES2M est A.sin x + B.cos x, construite avec les solutions particulières sin x

et

cos x

On laisse au lecteur le soin de vérifier que le wronskien de ces fonctions est égal à 1. Le système permettant la variation des constantes s'écrit ici A'.cos x A'.sin x

– +

B'.sin x B'.cos x

= =

sin x 0

d'où les expressions B' = – sin2 x

A' = sin x.cos x et dont les primitives sont  –1 A = 4 cos(2x) + K1

et

B=

sin 2x x – 2 + K2 4

La solution de l'équation complète est donc SGEA2M

=

 –1 1 x cos 2x . sin x + sin 2x . cos x – 4 4 2 cos x + K1 . sin x + K2 . cos x

Comme souvent avec les fonctions trigonométriques, une écriture apparemment compliquée est susceptible de simplifications spectaculaires. Ici on remarque que Eq Diff – JM –PHA 1A

36

sin 2x . cos x – cos 2x . sin x = sin(2x – x) = sin x La fonction s'écrit donc 1 x.cos x SGEA2M = 4 sin x – + K1 . sin x + K2.cos x 2 1 Mais on y trouve alors sin x en facteur de (K1 + 4 ) qui est une autre forme possible pour une constante arbitraire. En définitive la solution s'écrit SGEA2M = –

x.cos x + K1 . sin x + K2 . cos x 2

où se trouve en évidence la SPEA2M = –

x.cos x que la méthode par identification ne 2

nous avait pas permis de trouver.

7 - Quelques développements Les éléments qui suivent sont à considérer comme des éléments de culture générale. Ils diffèrent de ce qui précède tant par le niveau des calculs rencontrés que du point de vue adopté, l'intérêt portant maintenant moins sur la détermination d'une forme algébrique que sur la détermination de la valeur de la fonction. Pour une part ils reviennent sur le nombre de constantes arbitraires de la solution générale, pour une autre part ils donnent à grands traits des indications sur les résolutions approchées des équations. Le dernier paragraphe est une simple mention de l'existence de modèles différentiels.

7.1 - Sur les aspects théoriques Non seulement la solution générale d'une équation différentielle d'ordre n dépend de n constantes arbitraires mais la réciproque est vraie, c'est-à-dire que toute fonction dont l'expression contient n constantes arbitraires est solution d'une équation différentielle d'ordre n. Les démonstrations dans le cas général demandent des moyens assez abstraits, nous allons ici nous limiter aux ordres un ou deux, cela devrait suffire pour en dégager le principe.

7.1.A - Une fonction dépendant de constantes arbitraires Commençons par une fonction ne contenant qu'une constante. Par exemple, la fonction y = C.x On peut construire une relation de la forme F(x,y,C) identiquement nulle, ici cela donne tout simplement la relation F(x,y,C) = y – C.x = 0 On se convaincra que ce genre de modification de l'écriture est toujours possible et donc que si l'expression d'une fonction contient n constantes arbitraires y = f(x,C1 , C2 , C3 ,...,Cn) on peut trouver une relation identiquement nulle F(x,y,C1 , C2 , C3 , ..., Cn) = 0 C'est à l'aide de cette fonction F que l'on construit l'équation différentielle. Comme elle est constamment nulle, il en est de même de ses dérivées. En utilisant ses dérivées comme équations supplémentaires on peut éliminer les constantes de l'écriture de F, mais on y fait entrer les dérivées. Reprenons notre exemple à une constante : F(x,y,C) étant identiquement nulle, on a aussi (identiquement) Eq Diff – JM –PHA 1A

37

d dy dx F(x,y,C) = dx – C = 0 De là on tire que C = y' et en portant ce résultat dans F, il vient y – x.y' = 0 qui est l'équation différentielle vérifiée par la fonction y. Plus généralement, on éliminera les constantes à l'aide des dérivées successives de F. Il faudra autant de dérivées que de constantes. Mais la dérivée première de F contient y', la dérivée seconde y' et y'', etc. Cette dépendance n'est pas très facile à mettre en évidence. Par exemple, pour la dérivée première, on obtient l'équation dF F F = + . y' = 0 dx x y qui montre l'intervention de la dérivée y'. Annuler la dérivée seconde conduit à la relation

2F 2F 2F d2F 2 + F . y'' = 0 = + 2. . y' + . y' x y y dx2 x2 y2 qui met en jeu les dérivées y' et y''. Les n constantes seront donc remplacées par des expressions contenant les n dérivées. On aboutit ainsi à une équation différentielle d'ordre n.

7.1.B - Une équation différentielle On va se limiter ici à une équation du premier ordre. La méthode d'étude porte le nom de méthode d'Euler-Cauchy, elle est constructive, c'est-à-dire que la démonstration consiste à montrer comment on peut obtenir les valeurs de la fonction solution. Toute équation différentielle du premier ordre peut se mettre sous la forme y' = f(x,y) Pour calculer explicitement la valeur de sa solution, au moins de façon approximative, en un point x on peut procéder comme suit : - on fait d'abord intervenir la condition initiale y(0) = y0 - puis grâce à l'équation on calcule la dérivée de y(x) en 0 y'(0) = f(0,y0) - à l'aide du développement limité au terme d'ordre un y(h) ♠ y(0) + h.y'(0) et des deux valeurs précédentes, on passe à la valeur de y en un point voisin par  l'approximation y(h) ♠ y(0) + h.f(0,y0) - ce procédé se répète pour obtenir la valeur de y en x = 2.h avec y(2.h) ♠ y(h) + h.y'(h) ♠ y(h) + h.f(h,y(h)) - on poursuit, jusqu'à obtenir la valeur au point x désiré, par la relation de récurrence qui se déduit, au moins intuitivement, de ce qui précède y((k+1).h) = y(k.h) + h.f (h , y(k.h)) Dans cette construction on aura noté la nécessité d'une valeur de départ, elle est la constante arbitraire dont dépend la solution. Le procédé s'étend à des ordres quelconques. Si on dispose d'une équation du deuxième ordre, on la met d'abord sous la forme y'' = f(x,y,y') Eq Diff – JM –PHA 1A

38

Avec les conditions initiales y(0) = y0

et

y'(0) = y'0

on peut calculer la dérivée seconde en x = 0 y''(0) = f(0,y0,y'0) et, avec le développement limité, approcher les valeurs de y(h) et de y'(h) h2 y(h) ♠ y(0) + h . y'0 + 2 . f(0,y0,y'0) y'(h) ♠ y'0 + h . f(0,y0,y'0) Dans ce calcul on voit intervenir les deux valeurs y0 et y'0 qui sont les représentantes de constantes arbitraires. On admettra que ces résultats s'étendent à l'ordre n. Nous laisserons sans réponse la question de savoir si l'approximation tend vers la valeur exacte quand le pas h tend vers zéro. Il a été montré que pour des fonctions f(x,y,y',...) suffisamment "régulières", il faut entendre ne variant pas trop brusquement, le procédé converge effectivement vers la valeur théorique exacte de la solution.

7.2 - Sur les méthodes de résolution numérique Le procédé constructif d'Euler-Cauchy, appelé parfois méthode du polygone, est un procédé effectif de calcul. Mais si, sous les conditions de régularité déjà mentionnées, la convergence est sûre, elle peut d'une part être très lente et d'autre part être gravement perturbée par les inévitables erreurs d'arrondi. On a donc cherché à accélérer la convergence et à améliorer la stabilité (sensibilité aux arrondis) du procédé. Parmi les méthodes proposées pour cette amélioration, les plus utilisées sont sans doute des méthodes qu'on regroupe sous l'appellation de méthodes de RungeKutta du nom des promoteurs de leur première version.

7.2.A - Principe des méthodes - Etude de l'ordre deux Ces méthodes sont une extension astucieuse de la méthode d'Euler-Cauchy. On suppose la fonction connue en un point x0, il s'agit par exemple de la condition initiale. Le problème posé est celui de l'évaluation de y(x0 + h). Avec la méthode d'Euler-Cauchy nous avons utilisé le développement limité au premier ordre. Poussons le développement un cran plus loin h2 y(x0 + h) = y(x0) + h.y'(x0) + 2 . y''(x0) Chacun de ces termes peut être évalué, les deux premiers ne posent aucun problème : y(x0) = y0 est connu par hypothèse et y'(x0) est calculable, comme précédemment, par  l'intermédiaire de l'équation différentielle y'(x0) = f(x0,y0) La dérivée seconde peut être obtenue comme dérivée de la dérivée première, cette vérité évidente donne une formule qui l'est un peu moins dy' df(x,y) f(x,y) f(x,y) . dy y''(x) = dx = dx = + dx x y Comme il nous faut l'évaluer y'' en x0, en posant y'0 = f(x0,y0) = f 0 , on obtient l'approximation y''(x0) ♠

f 0 f 0 . f  + 0 x y

et, pour la variation k = y(x0 + h) – y(x0), on peut poser 

Eq Diff – JM –PHA 1A

39

f 0  h2  f 0 . f   k = y(x0 + h) – y(x0) = h.f 0 + 2 .  + 0 y  x  Nous allons maintenant chercher une autre approximation de k. Avec la méthode d'Euler-Cauchy nous avions fait une approximation de cet accroissement k par la quantité K1 = h . f(x0,y0) = h . f 0 Quelle pourrait être l'approximation si nous nous rapprochions de x0+ h , en nous plaçant en un point intermédiaire x0 + α.h par exemple? On aurait une formule du même genre K = h . f(x0+α.h, y) La valeur de y est indéterminée, mais on peut en faire une approximation par une quantité telle que y0 + β.K1 qui met en jeu une fraction β de l'accroissement K1 . Les deux paramètres α et β sont pour l'instant indéterminés, mais on peut écrire une deuxième approximation de l'accroissement y(x0+h) – y(x0) K2 = h . f( x0 + α.h , y0 + β.K1 ) L'idée suivante est de tenter d'améliorer les deux approximations K1 et K2 en les combinant, c'est-à-dire à poser  k ♠ µ1 . K1 + µ2 . K2 avec deux paramètres supplémentaires indéterminés µ1 et µ2 . Avant de passer à la détermination des quatre paramètres indéterminés α, β, µ1 et µ2 qui sont apparus en cours de calcul, on va trouver une approximation de K2 en fonction de quantités connues. En développant f comme une fonction de plusieurs variables, on a K2 ♠ h . f(x0,y0) + α.h2 .

f(x0,y0) f(x0,y0) + h . β.K1 . x y

ou encore, en condensant les notations et en remplaçant K1 par son expression K2

f 0

f 0

♠ h . f 0 + α . h2 . x + β . h2 . f 0 . y

La combinaison de K1 et K2 pour l'approximation de k donne alors la deuxième approximation k ♠ (µ1 + µ2) . h . f 0 + µ2 . α . h2 .

f 0 f 0 + µ2 . β . h2 . f 0 . x y

et l'identification de cette formule avec la première approximation de k donne le système

µ1 + µ2 = 1 µ2 . α = 1/2 µ2 . β = 1/2 de trois équations à quatre inconnues. Il nous reste un choix arbitraire à effectuer, il en est deux qui sont assez fréquents.

Choix µ1 = µ2 = 1/2 Ce choix fixe les valeurs de α et β à 1 . On a alors les formules K1 = h . f(x0,y0) K2 = h . f( x0+h , y0+K1) Eq Diff – JM –PHA 1A

40

et pour la valeur de y(x0+h) y(x0+h) = y(x0) +

K1 + K2 2

Choix µ1 = 0 et µ2 = 1 Ce choix fixe les valeurs α et β à 1/2 . On a alors les formules K1 = h . f(x0,y0) K1 h K2 = h . f( x0+ 2 , y0+ 2 ) et pour la valeur de y(x0+h) y(x0+h) = y(x0) + K2

7.2.B - Formules de Runge et de Kutta Les formules précédentes n'ont pas encore une précision suffisante pour  certaines applications, les utilisateurs pensent, en majorité, que les formules qui réalisent le meilleur compromis simplicité/précision sont les formules d'ordre 4, c'est-àdire qui exploitent les développements limités jusqu'au 4° ordre. On les trouvera sans démonstration ci-dessous (les calculs sont passablement longs).

Formules de Runge K1

=

h . f( x0 , y0 )

K2

=

K1 h h . f( x0 + 2 , y0 + 2 )

K3

=

K2 h h . f( x0 + 2 , y0 + 2 )

K4

=

h . f( x0 + h , y0 + K3 )

y(x0+h)

=

y(x0) +

K1

=

h . f( x0 , y0 )

K2

=

K1 h h . f( x0 + 3 , y0 + 3 )

K3

=

h . f( x0 +

K4

=

h . f( x0 + h , y0 + K1 – K2 + K3 )

y(x0+h)

=

y(x0) +

K1 + 2.K1 + 2.K1 + K1 6

Formules de Kutta

Eq Diff – JM –PHA 1A

K1 2.h , y – 0 3 3 + K2 )

K1 + 3.K1 + 3.K1 + K1 8

41