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EPCAR - 2001 - Matemática

Provas anteriores da EPCAR - 2001 - Matemática 01. Assinale a alternativa FALSA. a) Z - N = conjunto dos números inteiros negativos b) Q - Z = conjunto dos números racionais não-inteiros c) Z+ ∩ Z- = Ø d) Z* = conjunto dos números inteiros não nulos. 02. Três candidatos ao 1° ano do CPCAR/2001 fizeram um cursinho preparatório intensivo. Sabendo-se que o candidato A teve aulas do dia 20/06 ao dia 05/07, o candidato B, do dia 30/06 ao dia 09/07 e o candidato C, do dia 01/07 ao dia 25/07, a opção que indica o número de dias em que pelo menos um candidato estava participando do cursinho é: a) 10 b) 16 c) 25 d) 36 03. Numa, prova de Matemática, havia dois problemas. Ao corrigi-la, o professor responsável determinou que não consideraria questões meio certas. Assim a cada prova só poderia ser atribuído zero, 5 ou 10. Dos alunos, 25 obtiveram nota 5, 10 alcançaram nota 10, 25 acertaram o segundo problema e 20 erraram o primeiro problema. O número de alunos que tiraram nota zero é: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 04. Seja o número m = 488a9b, onde "b" é o algarismo das unidades e "a" o algarismo das centenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, então a + b é igual a: a) 1 b) 7 c) 9 d) 16 05. Ao separar o total de suas figurinhas, em grupos de 12, 15 e 24, uma criança observou que sobravam sempre 7 figurinhas. Se o total de suas figurinhas está compreendido entre 240 e 360, pode-se afirmar que a soma dos algarismos significativos desse total é: a) 6 b) 9 c) 10 d) 13 06. Sabendo-se que os ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, tem-se que suas medidas valem: a) 40°, 60° e 80° b) 30°, 50° e 100° c) 20°, 40° e 120° d) 50°, 60° e 70° 07. Um ciclista parte da cidade A em direção a B, ao mesmo tempo em que outro parte de B em direção a A. A distância entre A e B é 120km. O primeiro desenvolve velocidade de 24km/h e o segundo, 16km/h. Assim, os ciclistas se encontram ao fim de: a) 1 hora b) 2 horas c) 3 horas d) 4 horas 08. Uma prova com 180 questões diferentes foi distribuída a 3 estudantes, A, B e C, de modo que cada estudante recebeu um bloco com 60 questões distintas. A apresentou 90% de acertos nas suas respostas; B respondeu corretamente a 70% do seu bloco e C errou 80% de suas questões. Desta forma, o número de questões não resolvidas da prova é de (não resolvidas são as questões que os estudantes não acertaram). a) 78 b) 72 c) 68 d) 80 09. Um carro foi vendido com 25% de ágio sobre o preço de tabela. Se o preço de venda atingiu R$15.000,00, o preço de tabela do carro era: a) R$11.000,00 b) R$11.250,00 c) R$12.000,00 d) R$12.500,00 10. Se gato e meio comem rato e meio em um minuto e meio, quantos gatos comem 60 ratos em 30 minutos? a) 3 b) 4 c) 3,5 d) 4,5 2 3 do que faltava e, do percurso. No segundo dia, voou 5 3 no 3° dia, completou a viagem voando 800km. O percurso total, em km, é um número: b) divisor de 103 c) múltiplo de 104 d) múltiplo de 20.103 a) divisor de 12.103

11. Uma aeronave voou no primeiro dia de uma viagem

12. Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um professor de 22 anos. Com isso, a média das idades dos professores diminui de 2 anos. A.idade, em anos, do professor que se aposentou é: a) 52 b) 54 c) 56 d) 58

1

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EPCAR - 2001 - Matemática 13. Dentre as identidades a seguir, marque a FALSA. 2

 4 −1 6 − 2 a)  − 2 + − 2 2 2

  = 0,81  

14. O valor da expressão

a) 10

b) 1

x

n 10 2

(10

c) 10

-x

b)

27 38.4 4 = 4 2 6.12

m −1

m +1

+ 10

-1

x

d)

− (−2) 2 − 3 − 27 =1 (−3 + 5) 0 − 2

c)

6

d)

1728 6

64

=

3

n   n +2  m 2 ) : 10 10 + 10 2   é:     

n m− −2 10 2

-x

15. Se 3 + 3 = 5 então 2,(9 +9 ) é igual a: a) 50 b) 46 c) 25 d) 23 16. Marque a alternativa FALSA x 2 = x somente se x ≥ 0

a)

c)

1

3

b)

a a2 a3 3

x 2 + 2x + 1 = x + 1, ∀x ∈ R

= a a , (a ∈ 12

7

R *+

 22  2 d)   +   3 3

)

a a a

−

1 2

=

5 6 6

17. Se Q(x) = x3 - x2 - mx + n, P(x) = x2 + x - 2 e Q(x) é divisível por P(x), então: a)

m =1 n

d) m2 - n2 ≠ 0

c) mn = m2

b) m - n = 2m

18. Dos gráficos abaixo, o único que representa uma função de imagem {y ∈ R / 1 ≤ y ≤ 4} e domínio {x ∈ R / 0 ≤ x < 3} é: a) b) c) d) y

y

y

y

4

4

4

4

1

1

1

1

0

3

x

0

3

x

0

3

x

0

3

x

19. Os alunos da EPCAr, ao enviarem uma encomenda para o Nordeste pelo correio, têm um custo C de 10 reais para um "peso" P de até 1kg. Para cada quilograma adicional ou fração de quilograma, o custo aumenta 30 centavos, A função que representa o custo de um pacote com "peso" P ≥ 1kg é: a) C = 10 + 0,3(P - 1) b) C = 10 + 3(P - 1) c) C = 10 + 0,3 P d) C = 10 + 3P y

20. Considerando que o gráfico representa uma função do 1º grau, é verdade que: 1

1 a) f(x) < 0 se − ≤ x ≤ 0 2 b) y cresce a medida que x decresce

c) f(x) = 0 quando x = 1 x

d) a reta passa pelo ponto (1, 3) −

1 2

21. Uma função quadrática tem o eixo dos y como eixo de simetria. A distância entre os zeros da função é de 4 unidades, e a função tem -5 como valor mínimo. Esta função é: 5 5 a) y = x2 - 5 b) y = x2 - 5x c) y = 5x2 - 20 d) y = 5x2 - 4x - 5 4 4 22. Dada a função real tal que g(x) = ax2 + bx + c sendo a > 0 e c < 0, conclui-se que o gráfico de g: a) é tangente ao eixo das abscissas. c) corta o eixo x em pontos de abscissas negativas. b) não intercepta o eixo das abscissas. d) corta o eixo x em pontos de abscissas de sinais contrários.

2


EPCAR - 2001 - Matemática 23. Na equação 4x2 - (2 + k)x + 3 = 0, onde a unidade é uma das raízes, tem-se para k um número: ' a) primo b) menor que 4 c) divisível por 2 d) maior que 5 24. Os números reais x tais que "o inverso de seu quadrado é igual ao inverso de sua soma com 2", constituem um subconjunto de R cujos elementos somados igualam a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 25. O maior valor inteiro de x para que a expressão (x3 - 5) seja menor, numericamente, que a expressão x3 - x2 + 5x - 5 é: a) 0 b) 1 c) 4 d) 5 26. Resolvendo em R a equação (1 + x)(1 - x) = 1 − x 2 , tem-se que o conjunto solução S: a) é subconjunto dos naturais. c) possui duas de suas raízes opostas. b) apresenta algum número irracional. d) tem raízes cujo produto é igual a 1. N

27. Na figura dada, OM é a bissetriz do ângulo AOB, ON é a bissetriz do ângulo BOC e OP é a bissetriz do ângulo COD. A soma PÔD + MÔN é igual a: a) 90°

b) 60°

c) 45°

C

B M

P

d) 30° D

O

m

28. Na figura dada, as retas m e n são paralelas. CO é bissetriz do ângulo ACB. Com base nisso, é correto afirmar que: a) α = x

b) α =

x 2

c) α = 3x

d) α =

A

n 2x

C

3x 2

x α

120º

B

O

A

29. Um polígono regular possui, a partir de cada um dos seus vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede, em graus: a) 140 b) 150 c) 155 d) 160 30. Um retângulo tem por dimensões 12cm e 7cm. Deseja-se aumentar igualmente as duas dimensões, de modo que a área do retângulo aumente 120cm2. A quantidade acrescida em cada lado do retângulo é um número: a) par

b) ímpar menor que 10

c) múltiplo de 10

d) primo maior que 10

31. Dado o triângulo ABC, obtusângulo em A conforme a figura abaixo e sabendo que a medida "a" do lado BC é um número inteiro, então, o conjunto solução dos possíveis valores de "a" é: C a 2 A

a) {8}

b) {5, 6, 7}

c) {7}

6

B

d) {5, 6, 7, 8}

32. Assinale, dentre as proposições seguintes, a verdadeira. a) Em qualquer triângulo, o baricentro pertence ao seu interior. b) Em qualquer triângulo, o circuncentro pertence ao seu interior. c) Duas semirretas de mesma origem são colineares. d) Num triângulo isósceles, o circuncentro coincide com o baricentro.

3


EPCAR - 2001 - Matemática 33. Sendo DEFG um quadrado inscrito no triângulo ABC, conforme se apresenta na figura, pode-se afirmar que a área do pentágono CDEFG, em cm2, mede:

C D

G

8cm

a) 24

b) 36

c) 38

d) 42 A

E

F 24cm

B

34. Dois pontos A e B estão situados numa mesma margem de um rio e distantes 100m um do outro. Um ponto C, situa-se na outra margem, de tal modo que os ângulos CAB e ACB medem 75º cada um. A largura desse rio, em m, é: A 4 B a) 50 3

b) 50

c) 100 3

d) 100 F

35. Na figura abaixo, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é: 3

a) 0,8

b) 1 ,4

c) 2.6

d) 3,2 E D

C

36. Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Se β = 150º e γ = 50º, então α é: γ

a) 15°

b) 30°

c) 35°

d) 45° B

β

α

A

C

37. De um ponto P exterior a uma circunferência, traçam-se uma secante PB de 32cm, que passa pelo seu centro, e uma tangente PT cujo comprimento é de 24cm. O comprimento dessa circunferência, em cm, é: a) 14π b) 12π c) 10π d) 8π 38. O apótema de um hexágono regular é igual à altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 4cm. A área do hexágono mede, em cm2: M T a) 4 3

b) 16 3

c) 18 3

d) 24 3

39. Na figura, O é o centro do círculo de raio r, AT é tangente ao círculo e MT é perpendicular a AT. Então, a área hachurada é: a)

r2 (9 3 − 4π) 24

b)

r2 (15 3 − 4π) 24

c)

r2 (6 3 − 4π) 24

d)

60º O

A

r2 (4 3 − 4π) 24

40. Um laboratório importa 50 litros de uma vacina concentrada. Em seguida dilui o medicamento em 670dm3 de água destilada, coloca-o em ampolas com capacidade de 2cm3 cada e depois são acondicionadas em caixas com 5000 ampolas cada uma. O número de caixas importadas é: a) ímpar b) primo c) múltiplo de 5 d). divisível por 6

4



Provas anteriores da EPCAR - 2002 - Matemática 01. Considere os conjuntos: A = {a ∈ Z* / a < 5} C = {c ∈ Z* / 2c2 - 8c = 0} B = {b ∈ Z / 1 < b < 5} D = {x ∈ Z / x é primo e x < 7} Se A ∩ E = {3} e B ∪ E = D ∪ C, então o conjunto E é igual a: a) {3} b) {3, 5} c) {3, 5, 7} d) (3, 4, 5} 02. No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é: a) 778 b) 658 c) 120 d) 131 03. Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por 3, tal que o algarismo das dezenas é metade do algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar, é correto afirmar que: a) n + 1 é divisível par 7 c) n + 2 é múltiplo de 10 b) n está entre 2000 e 3009 d) n apresenta 12 divisores positivos 1 dos aprovados foi selecionado para entrevista com psicólogos, que deverá ser feita 10 em 2 dias. Sabendo-se que 20 candidatos desistiram, não confirmando sua presença para a entrevista, os psicólogos observaram que, se cada um atendesse 9 por dia, deixariam 34 jovens sem atendimento.

04. No concurso CPCAR,

Para cumprir a meta em tempo hábil, cada um se dispôs, então, a atender 10 candidatos por dia. Com base nisso, é correto afirmar que o número de aprovados no concurso: a) é múltiplo de 600 c) é igual a 3400 b) é divisor de 720 d) está compreendido entre 1000 e 3000 05. Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua colméia nos seguintes grupos para exploração ambiental: um composto de 288 batedoras e outro de 360 engenheiras. Sendo você a abelha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em: a) 8 grupos de 81 abelhas c) 24 grupos de 27 abelhas b) 9 grupos de 72 abelhas d) 2 grupos de 324 abelhas 2 3 do que tem na bolsa. Gasta depois do resto em verduras e ain9 7 da lhe sobram R$8,00. Ela levava, em reais, ao sair de casa: a) 45,00 b) 36,00 c) 27,00 d) 18,00

06. Uma senhora vai à feira e gasta, em frutas,

07. Uma bola é abandonada de uma certa altura. Até que o movimento pare, a bola atinge o solo e volta a subir re1 petidas vezes. Em cada subida, alcança da altura em que se encontrava anteriormente. Se, depois do terceiro 2 choque com o solo, ela sobe 100cm, a altura em que foi abandonada a bola é, em metros, igual a: a) 0,8 b) 1 c) 8 d) 0,5 08. Em uma Escola, havia um percentual de 32% de alunos fumantes. Após uma campanha de conscientização sobre o risco que o cigarro traz à saúde, 3 em cada 11 dependentes do fumo deixaram o vício, ficando, assim, na Escola, 128 alunos fumantes. É correto afirmar que o número de alunos da Escola é igual a: a) 176 b) 374 c) 400 d) 550 09. Uma loja aumenta o preço de um determinado produto cujo valor é de R$600,00 para, em seguida, a título de "promoção", vendê-lo com "desconto" de 20% e obter, ainda, os mesmos R$600,00; então, o aumento percentual do preço será de: a) 20% b) 25% c) 30% d) 35%

5


EPCAR - 2002 - Matemática 10. Uma fábrica recebeu uma encomenda de 50 aviões. A fábrica montou os aviões em 5 dias, utilizando 6 robôs de mesmo rendimento, que trabalharam 8 horas por dia. Uma nova encomenda foi feita, desta vez 60 aviões. Nessa ocasião, um dos robôs não participou da montagem. Para atender o cliente, a fábrica trabalhou 12 horas por dia. O número de dias necessários para que a fábrica entregasse as duas encomendas foi: a) exatamente 10 b) mais de 10 c) entre 9 e 10 d) menos de 9 11. Um medicamento deve ser ingerido na quantidade de 3mg por quilograma da massa corporal. Não pode, contudo, exceder 200mg por dose ministrada. Cada gota, desse medicamento, contém 5mg do remédio. O número de gotas desse medicamento que deve ser prescrito por dose a um paciente de 80kg, é: a) 46 b) 40 c) 16 d) 80 5 − 3x = 0 é tal que: 2 c) 3 < x < 10 d) 12 < x < 18

12. O valor de x que é solução da equação 3x - 2(x - 5) a) -6 < x < 0

b) -12 < x < -8 0,666...

13. A diferença 8 a) -2

b)

- 90,5 é igual a:

2 -3

c) -2 2

d) 1

 (25.10 −6 ).0,000075   53 1,5   :  4  .(-0,0010)0 o valor encontrado é: 14. Ao se resolver a expressão numérica 3 10    10  a)

3

2

b)

6

3

c) 1

d) 0,1

x3 y , com x > 0 e y > 0, é igual a: y x

15. O inverso de

a)

3

xy 5

3

b)

y

x2y

6

c)

x

yx 5

3

d)

x

xy 2 y

2

1 1  16. Se  n +  = 3, então n3 + 3 vale: n n  a) 0

b) 3 3

c) 6 3

17. Simplificando a expressão

a) x - y

b) x + y

(

d)

10 3 3

  x  −2  1 −   .x 2   y   x− y

)

2

+ 2 xy

c) y - x

, com x > y > 0, obtém-se:

d) xy

18. O resto da divisão do polinômio p(x) = x4 - 2x3 + 2x2 - x + 1 por x + 1 é um número: a) ímpar menor que 5 b) par menor que 6 c) primo maior que 5 d) primo menor que 7 19. A equação x2 + px + q = 0 tem raízes reais opostas e não-nulas. Pode-se então afirmar que: a) p > 0 e q = 0 b) p < 0 e q = 0 c) p = 0 e q > 0 d) p = 0 e q < 0 20. A equação ax2 - 2bx + ab = 0 (b ≅ 0) admite raízes reais e iguais se, e somente se: b) b = 2a2 c) a = - b d) b2 = 2a a) b = a2 21. O produto das raízes da equação 7 + x 2 − 1 = x2 é: a) -50 b) -10 c) -5 d) 50 x − 2 y = 0 , então xy é igual a: 22. Se  2 3xy + y = 63 a) 18

6

b) 9

c) -9

d) -18


EPCAR - 2002 - Matemática 23. Dados os conjuntos A = {-l, 0, l, 2} e B = {0, l, 2, 3, 4} assinale dentre as relações seguintes, a alternativa que representa uma função de A em B. a) {(-1, 0), (0, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 4)} c) {(0, 1), (1,0), (2, 1), (2, 4)} b) {(-1, 1), (0, 1), (1,0), (1, 2)} d) {(-1, 1), (0,0), (1, 1), (2, 4)} 24. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna abaixo. Numa prova de matemática, um aluno deve responder a 60 itens do tipo verdadeiro ou falso. Para cada item respondido corretamente, o aluno vai ganhar 2 pontos e, para cada item que errar, vai perder 1 ponto. A nota do aluno é função do número de itens que ele acertar. Se o aluno obteve 30 pontos, ele acertou _____ itens. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 25. Um caixa automático de um banco só libera notas de R$5,00 e R$10,00. Uma pessoa retirou desse caixa a importância de R$65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$5,00 pelo número de notas de R$10,00 é igual a: a) 16 b) 25 c) 24 d) 21 26. Um botijão de gás contém 13kg de gás. Em média, é consumido, por dia 0,5kg do seu conteúdo. O esboço do gráfico que melhor expressa a massa y de gás no botijão, em função de x (dias de consumo) é: a) b) c) d) y

y

y

13

y

26 13

1 2

0

x

0

x

0

x

26

1

0

13

13

x

y

2

27. Considere o gráfico sabendo-se que x

I - é dado por f(x) = ax2

III

II - é dado por g(x) = bx2 III - é dado por h(x) = cx2 Com base nisso, tem-se necessariamente que: a) a bc c) a > b > c

II I x

d) ab < c

28. De dois cantos opostos do retângulo dado, de base 10 e altura 2x, retiram-se dois quadrados de lado x, conforme mostra a figura. A área máxima da figura hachurada é:

x 2x x x

a) 20

b) 50

c) 40

10

d) 70

29. No triângulo ABC da figura, a bissetriz do ângulo interno A forma com o lado AB um ângulo de 55º. O ângulo β agudo formado pelas retas suporte das alturas relativas aos vértices B e C é: B a) menor que 70° c) igual ao dobro de 25° b) o complemento de 20° d) o suplemento de 120º. 30. O gráfico, a seguir, representa o resultado de uma pesquisa sobre a preferência por conteúdo, na área de matemática, dos alunos do CPCAR. Sabendo-se que no gráfico o resultado por conteúdo é proporcional à área do setor que a representa, pode-se afirmar que o ângulo central do setor do conteúdo MATRIZ é de: a) 14º b) 57º36' c) 50°24' d) 60º12' 7

combinatória

A

C GEOMETRI ESPACIAL: 22% PROGRESSÕES: 6% COMBINATÓRIA: 47% MATRIZ: 14% FUNÇÃO: 11%

progressões função

matriz geometria espacial


EPCAR - 2002 - Matemática 31. Por um ponto P da base BC de um triângulo ABC, traça-se PQ e PR paralelos a AB e AC, respectivamente. Se AB = 6, AC = 10, BC = 8 e BP = 2, o perímetro do paralelogramo AQPR é: A

Q R

B

a) divisível por 3

b) divisor de 35

P

C

c) maior do que 40

d) múltiplo de 7

32. Num mapa, as cidades A, B e C são vértices de um triângulo retângulo e o ângulo reto está em A. A estrada AB tem 80km e a estrada BC tem 100km. Um rio impede a construção de uma estrada que liga diretamente a cidade A com a cidade C. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada BC para que ela seja a mais curta possível. Dessa forma, a menor distância, em km, que uma pessoa percorrerá se sair da cidade A e chegar à cidade C é: a) 84 b) 48 c) 36 d) 64 33. O reabastecimento em vôo é um procedimento que permite abastecer aviões de caça em pleno vôo a partir de uma mangueira distendida de uma aeronave tanque. Um avião A (tanque) e outro B (caça) ao término do procedimento descrito acima, em determinado ponto P, tomam rumos que diferem de um ângulo de 60°. A partir de P as velocidades dos aviões são constantes e iguais a VA = 400km/h e VB = 500km/h. Considerando que mantiveram os respectivos rumos, a distância, em km, entre eles após 2 horas de vôo é: a) 5200 21

b) 300 21

c) 200 21

B 60º

A

d) 100 21

34. AB = 20cm é um diâmetro de um círculo de centro O e T é um ponto da tangente ao círculo em A, tal que AT = AB . A reta determinada por O e T intercepta o círculo em C e D, tal que TC < TD O segmento TD mede: a) 10 5 - 10

b) 10 -

5

c) 10 5 + 10

d) 20 - 10 5

D

35. Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 15° com a horizontal. A 2km de B se encontra a projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600m de altura, conforme figura. Dados: cos15° ≅ 0,97 sen15° ≅ 0,26 tg15° ≅ 0,27 15º É correto afirmar que: B C a) não haverá colisão do avião com a serra. b) haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540m de altura. c) haverá colisão do avião com a serra em D. d) se o avião decolar 220m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra. 36. A área do losango ABCO da figura dada mede 24cm2 O lado do hexágono regular ABCDEF é, em cm, igual a: a) 4 4 3

b) 4 3

c) 4

d) 16 3 A

F

O

E

8

B

C

D


EPCAR - 2002 - Matemática 37. Considere dois círculos de raios (r) e (R) centrados em A e B, respectivamente, que são tangentes externamente e cujas retas tangentes comuns formam um ângulo de 60°. A razão entre as áreas do círculo maior e do menor é:

B r A

R

30º

a) 9

b) 3

c)

1 3

d)

1 9

38. Em torno de um campo de futebol, conforme figura, construiu-se uma pista de atletismo com 3 metros de largura, cujo preço por metro quadrado é de R$500,00. Sabendo-se que os arcos situados atrás das traves dos gols são semicírculos de mesma dimensão, o custo total desta construção que equivale à área hachurada, é: Dado: Considere π = 3,14 3m

40m

3m 100m

a) R$300.000,00

b) R$464.500,00

c) R$502.530,00

d) R$667.030,00

39. Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram moldados: um na forma de um quadrado, outro na forma de um triângulo equilátero e outro na forma de um círculo. Se Q, T e C são, respectivamente, as áreas das regiões limitadas por esses arames, então é verdade que: a) Q < T < C b) C < T < Q c) T < C < Q d) T < Q < C 40. Em condições ambiente, a densidade do mercúrio é de aproximadamente 13g/cm3. A massa desse metal, do qual um garimpeiro necessita para encher completamente um frasco de meio litro de capacidade é igual a: a) 260g b) 2,6kg c) 650g d) 6,5kg

9



Provas anteriores da EPCAR - 2003 - Matemática 01. De dois conjuntos A e B, sabe-se que: I - O número de elementos que pertencem a A ∪ B é 45; II - 40% desses elementos pertencem a ambos os conjuntos; III - O conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B. Então, o número de elementos de cada conjunto é: a) n(A) = 27 e n(B) = 18 c) n(A) = 35 e n(B) = 26 b) n(A) = 30 e n(B) = 21 d) n(A) = 36 e n(B) = 27 02. Numa turma de 31 alunos da EPCAr, foi aplicada uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos; a segunda, sobre funções e a terceira, sobre geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes nenhum tirou zero; 11 acertaram a segunda e a terceira questões; 15 acertaram a questão sobre conjuntos; 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana; e 7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções. É correto afirmar que o número de alunos com grau máximo igual a 10 foi: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 2 do minuto por hora. Acertando o mesmo ao meio-dia, pode-se dizer que, na manhã se3 guinte, ao marcar 6h, a hora exata será: 1 2 4 a) 5 horas b) 5 horas c) 5 horas d) 5 horas 5 5 5

03. Um relógio adianta

04. Seja um número m = 488a9b, onde "b" é o algarismo das unidades e "a", o algarismo das centenas. Sabe-se que m é divisível por 55, então o menor valor de a + b é igual a: a) 2 b) 7 c) 10 d) 13 05. A soma de dois números é 475 e, se dividirmos o maior por 16 e o menor por 3, encontramos resto zero e quocientes iguais. Encontre os dois números e selecione a opção INCORRETA. a) Um deles é quadrado perfeito. b) O maior divisor comum dos números é 75. c) O quociente do maior pelo menor é uma dízima periódica. d) O menor múltiplo não nulo comum aos números é 1200. 06. Um aluno da EPCAr, indagado sobre o número de exercícios de matemática que havia resolvido naquele dia respondeu: "Não sei, mas contando de 2 em 2 sobra um; contando de 3 em 3 sobra um; contando de 5 em 5 também sobra um; mas contando de 7 em 7 não sobra nenhum. O total de exercícios não chega a uma centena". Então, o número de exercícios resolvidos é tal que a soma de seus algarismos é igual a: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 07. Um candidato do CPCAR 2003, preparando-se para o teste de aptidão física, exercita-se numa esteira percorrendo 3,8km por dia. Para um treinamento menos cansativo, ele inicia correndo a uma velocidade de 12km/h e a cada 10 minutos ele reduz a velocidade pela metade. É correto afirmar que: a) o candidato completa o percurso de 3,8km em menos de 45 minutos. b) para percorrer a metade do percurso de 3,8km ele gasta mais de 10 minutos.' . c) após 30 minutos, a velocidade atingida é de 6km/h no mínimo. d) aos 40 minutos ele percorreu 3,5km exatamente. 08. Uma pessoa, dispondo de certo capital, fez as seguintes aplicações em um ano: 1º) aplicou 2/5 do capital em letras de câmbio, lucrando 30%; 2º) aplicou 1/5 do capital em fundos de investimento, perdendo 20%; 3º) aplicou o restante em caderneta de poupança e seu lucro nessa aplicação foi de 25%. Relativamente ao total aplicado, pode-se dizer que houve: a) lucro de 18% b) prejuízo de 14% c) lucro de 13% d) prejuízo de 13%

10


EPCAR - 2003 - Matemática 09. Escolha a alternativa FALSA. 1

a) 3

4 + 2 2 .3 4 − 2 2

= 2-1

c)

0,03.10 −30 + 0,3.10 −31 1 = 5 30.10 −32

3

  0,333.... 3 3 9    = 3 −1 2 b) 1 3 2

−1 d)  2 −1 + 2 2   

−2

= 12 2 − 8

1 1 − 3 3 b , obtém-se: 10. Se a e b são números reais não nulos, então, simplificando a expressão (a2b + ab2). a 1 1 − 2 2 a b 2 2 2 2 a) a + b b) a + ab + b c) a + b d) b - a 11. Um professor de Matemática propôs a seu aluno o seguinte problema: "Um número é tal que: I - multiplicado por 3/4, diminui de 5 unidades; II - dividido por 4/5, aumenta de 5 unidades; III - adicionando-se-lhe 10 unidades, obtém-se outro número que é 3/2 do número procurado." O aluno respondeu que o problema é impossível porque, embora os itens I e II fossem possíveis, o mesmo não se verifica em relação ao item III. Analisando a resposta do aluno, conclui-se que: a) acertou na resposta que deu. b) errou, porque o problema só se verifica em relação aos itens II e III. c) errou, porque o problema é possível. d) errou, porque o problema só é possível em relação aos itens I e III. 12. Sendo a e b raízes da equação x2 - 5 = mx e se (a + b) + (a.b) = 1, tem-se para m um número: a) primo maior que 3 b) ímpar negativo c) natural múltiplo de 3 d) irracional 13. Analise as proposições abaixo classificando-as em V (verdadeira) ou F (falsa). I - Considerando m ≤ -1 ou m ≥ 1, ao resolver a equação my2 - (1 + m2)y + m = 0 encontra-se y = m-1 ou y = m II - Existem dois valores reais distintos de x que satisfazem a equação 3 + III - A equação

Tem-se: a) V F V

2x 2 − 4x + 9 = 2x

x 4 −1 = 1 tem duas raízes reais cujo produto é -4 15 b) VVV

c) F F F

d) F V F

14. Na figur, associam-se 5 aviões A1, A2, A3, A4 e A5 a pontos num plano cartesiano ortogonal, cujas coordenadas são a quantidade de combustível consumido em litros e a distância percorrida pelos aviões em quilômetros. Com base nessas informações, marque a opção FALSA. a) A3 é o mais econômico. c) A2 é o menos econômico. 0 d) A5 é mais econômico do que A2 b) A3 e A4 têm o mesmo consumo.

km A3 A4 A5 A1 A2

15. Numa loja, dois vendedores foram contratados com um salário fixo de 500 reais, acrescido de uma comissão de vendas expressa por 10 reais por venda efetuada. Num mês em que se fez uma grande liquidação, o vendedor A recebeu 1860 reais e o vendedor B recebeu 1740 reais. Considerando v o total de vendas no referido mês, é FALSO afirmar que: a) a expressão matemática que representa cada salário é s(v) = 10(v + 50) b) o vendedor A realizou 12 vendas a mais que o vendedor B. c) os dois vendedores fizeram juntos 260 vendas. d) se eles tivessem recebido a metade do que receberam no mês da liquidação, eles teriam realizado juntos 180 vendas.

11


EPCAR - 2003 - Matemática 16. Considere a função g: R → R, definida por g(x) = bx2 + ax + c, abc ≠ 0. Analise as alternativas e marque a correta. a) Se b < 0 e c > 0, g NÃO possui raízes reais  a  b) Se Im = ]- ∞, 4] é o conjunto imagem de g, então g  − = 4  2b  c) o gráfico de g passa pela origem d) se a2 = 4bc, g possui raízes reais e distintas 17. Seja AÔB um ângulo e r uma reta do seu plano, que contém O, e situada na região não convexa. Sejam Ox e Oy as bissetrizes dos ângulos agudos que OA e OB forma com r. Se AÔB = 150°, xÔy mede: a) 145° b) 155° c) 165° d) 175° 18. Os lados de um triângulo são: 16 - x, 2x + 2 e x + 12. Sejam os conjuntos: 1 ≤ x ≤ 13 } 2 Dizemos que x é solução, se para todo x real, o triângulo existe. Com base nisso, pode-se afirmar que: a) não existem soluções em A b) x é a solução somente se x ∈ B A’ t A c) o triângulo existe para todo x ∈ C β d) D é o conjunto de todas as soluções do problema A = {x ∈ R / 10 < x < 15}, B = { x ∈ R / 0 < x < 15}, C = { x ∈ R / 5 < x < 10} e D = { x ∈ R /

20º

19. Observe as figuras, onde a reta t é tangente à circunferência em C’. Pode-se afirmar que α + β é igual a: a) 60° b) 66° c) 70° d) 74°

D

20º

70º α

B

C’ B’

116º

C

20. O diâmetro dos pneus das rodas de um carro mede, aproximadamente, 50cm. O número de voltas dadas pelas rodas desse carro, ao percorrer uma estrada de 300km, está mais próximo de: Dado: π = 3,14 a) 2.103 b) 2.105 c) 2.107 d) 2. 109 21. Na figura, onde r e s são retas paralelas e t é uma transversal, ficam determinados os ângulos não nulos, que têm r 7y − 4 e 3z. medidas em graus dadas pelas expressões 7x, x2 - 2x, 7y − 4 2 2 É correto afirmar que: 7x s a) x + y = z b) y < z < x c) y - x = z d) x < y < z 3z

22. O triângulo ABC, representado na figura, é retângulo em C. A

x2 - 2x t

D

B

E

C

Se CD ⊥ AB , DE ⊥ BC , DCA = 30° e AC = 4cm, a área do triângulo DEC, em cm2, é: a)

3 3 2

b) 3 3

c)

3 3 8

d)

3 4

23. Num quadrado ABCD de lado 3cm, os pontos P e Q dividem a diagonal AC , nessa ordem, em partes iguais. A distância de P ao vértice B é um número x que dividido por ( 5 + 1) resulta: a)

12

5+ 5 4

b)

5− 5 4

c)

5 4

d)

5 5 −5 4


EPCAR - 2003 - Matemática 24. Considere um triângulo ABC inscrito numa semicircunferência de centro O e raio r onde AC é o diâmetro, BM é perpendicular a AC e BÂC = α. A afirmativa ERRADA é: a) AB = 2rcosα

b) BC = 2rsenα

c) AM = 2rcos2α

d) BM = 4rsenαcosα

25. Um avião está voando em reta horizontal à altura 1 em relação a um observador O, situado na projeção horizontal da trajetória. No instante t0 é visto sob ângulo α de 30° e, no instante t1, sob ângulo β de 60°. 1 A distância percorrida entre os instantes t0 e t1, é: a)

3 3

b)

3 -1

c)

2 3 3

d)

β α

3 −1 2

O

?

26. O lado de um quadrado inscrito em um disco de raio R é a - b e o lado do triângulo equilátero inscrito no mesmo disco é a + b. b Então vale: a 7 a) 5 - 2 6 c) 5 + 2 6 b) d) 13 3 27. Nas figuras, os quadrados Q1, Q2, e Q3 têm lados com mesmo comprimento x e as circunferências em cada quadrado têm o mesmo diâmetro x1, x2, e x3, respectivamente. Sejam S1, S2, e S3 as áreas totais ocupadas pelo conjunto de circunferências em cada quadrado Q1, Q2, e Q3, respectivamente. Marque a alternativa correta. b) S1 < S2 c) S1 = S2 = S3 a) S3 > S1

Q3

Q2

Q1

d) S2 < S3

28. Considere uma semicircunferência de centro O, com diâmetro AB = 10m e as cordas AC e CB de comprimento iguais. Analise as alternativas e marque a opção INCORRETA. a) O ângulo C do triângulo ACB é igual a 90° b) Para ir de A até B, o caminho mais curto é passando pela semicircunferência do que pelas cordas AC e CB c) A área do triângulo ACB é 25m2 d) A área limitada pela corda AC e o arco AC é 6,25.(π - 2)m2 y

29. Observe a figura seguinte, sabendo-se que o raio do arco AB é igual a 1. A área do trapézio retângulo BCDE vale: a)

3 24

b)

3 18

c)

3 12

d)

3 6

A C D 30º 0

E B

x

30. Um aquário tem formato de um paralelepípedo retângulo com as arestas da base medindo 20cm e altura medindo 40cm. O aquário receberá uma quantidade de água equivalente a 80% de sua capacidade máxima. Para preparar a água para receber os peixes recomenda-se 1 gota de antifungo para cada 256ml de água. O número de gotas de antifungos necessário para a preparação desse aquário é: a) 50 b) 40 c) 30 d) 20

13



Provas anteriores da EPCAR - 2004 - Matemática 01. De um ponto O, tomado sobre uma reta AB (O entre A e B), traçam-se para um mesmo semi plano de AB, as semirretas ON, OP e OQ. Os ângulos AÔN, NÔP, PÔQ e QÔB medem, respectivamente, 80º - 3x, 5x - 14º, x e 4x + 9º. O complemento do menor ângulo é: r a) 68º b) 75º c) 78º d) 80º â 02. Considere as retas r e s (r // s) e os ângulos ê, î e â da figura: Pode-se afirmar que:

î

a) ê + î + â = 270º

b) ê + î + â = 180º

c) ê + î = â

d) ê + î = â + 90º.

ê s

03. Na figura I, α = β, AC = 10, BD = 21 e DC = x. Na figura II, MN // OP. Então a área da figura II é, em unidade de área, igual a: M

A

x+5

N

x

α β C

D

P

B FIGURA I

a) 24

b) 38

c) 42

2x + 2 FIGURA II

O

d) 55

04. O perímetro de um retângulo, medido em centímetros, é expresso pelo número 2p. Aumentando o comprimento x de 5cm e aumentando a largura y de 7cm, a área do retângulo aumentará de 133cm2. Neste caso, o problema C será possível desde que o número p esteja no intervalo real. a) 14 0 e p < 14 c) 12 < p < 35 d) 9,8 < P < 13,3. 05. Se o triângulo ABC da figura é equilátero de lado a, então a medida de OM em função de a e x é:

a)

3a − x 4

b)

8+4 3

c)

8x + 3a 8

d)

9 x − 3a 8

P 30º 30º

N

O A

30º M

B

x

06. Sabe-se que o triângulo EPC é equilátero e está inscrito num círculo de centro A e raio 8cm. A área, em cm2, do triângulo EPC é igual a: a) 16 3

b) 24 3

c) 48 3

d) 64 3

07. Considere o triângulo equilátero VAB inscrito numa circunferência de centro O. Seja t uma reta tangente à circunferência no ponto B, conforme a figura. V Analise as proposições: I - OB é perpendicular a t em B. α t II - α = γ III - θ é a metade do suplemento de β O Pode-se afirmar que: a) a) Somente I é correta. β θ b) I, II e III são corretas. A B γ c) II é falsa d) II e III são falsas. 08. Sejam os pontos A, B, C, D tomados nessa ordem sobre uma circunferência tais que AB e CD sejam, respectivamente, os lados do pentágono e pentadecágono regulares inscritos. As retas AD e BC formam um ângulo de: a) 20° b) 24° c) 36° d) 44°

14


EPCAR - 2004 - Matemática 09. Na figura, T é ponto de tangência, PQ e OS são secantes ao círculo de centro O e MS = 6cm. Se PN, PM e PT são respectivamente proporcionais a 1, 2 e 3, então a área do círculo vale, em cm2: a) 51,84π b) 70,56π c) 92,16π d) 104,04π

T P N O

M

Q S

10. O comprimento da circunferência de um círculo de raio R1 é igual ao comprimento de um arco de 30° da circunferência de um círculo de raio R2. Se a área do primeiro é igual a 2, então a área do segundo é: a) 288 b) 144 c) 72 d) 48 P

11. Os pontos EPC pertencem à circunferência de centro A e raio r = 2. A área da região hachurada, sabendo-se que o ângulo α mede rad e que a corda PC mede a)

1 π + 2 6

b) 1 +

π 3

8 + 4 3 , é igual a: c)

3+

π 3

d)

π 12

α

C

A E

3+

π 6

12. Em uma caixa, cuja base retangular tem dimensões 20mm e 3cm são colocados 0,0216kg de certo líquido. Se 2 cada 9dg desse líquido ocupa 1cm3 e se a caixa teve, dessa forma, de seu volume ocupado, é INCORRETO 3 afirmar que: a) a altura h, em cm, da caixa é tal que h ∈ [5, 6] . b) o nível do líquido em relação à base da caixa é de 40mm. c) na caixa ainda caberia 0,08kg do líquido. d) o volume total da caixa é 36cm3 13. Dados os conjuntos A, B e C tais que [A - (A ∩ B)] ∩ B = C, pode-se afirmar, necessariamente, que: a) C ⊄ ( AxB) b) n(A - B) < n(B) c) n(A ∩ C) > n(A ∪B) - n(B) d) n(B ∩ C) = n(C) 14. Se n2 = 608400 e n ∈ N, então (n - 1)2 será obtido mediante acréscimo de uma unidade a n2 e do resultado subtrai-se um número cuja soma dos seus algarismos é igual a: a) 12

b) 15

c) 10

e) 7

15. Numa avenida que mede 15750 metros, a partir do início, a cada 250m há uma parada de ônibus e a cada 225m uma de bonde. A quantidade de pontos comuns de parada de ônibus e bonde é dada por um número do intervalo: a) [41, 65] b) [66, 80] c) [26, 40] d) [0, 25] 16. A média aritmética de notas no 1º bimestre em matemática dos 100 alunos do CPCAR 2002 foi de 72,5. Retirando-se a nota de um desses alunos, encontrou-se a nova média aritmética 72,3. Sabendo que as notas variam entre 1 e 100 e que as cem notas obtidas não são todas iguais, pode-se afirmar que a nota retirada está no intervalo: a) [75, 80] b) [85, 90[ c) [90, 95[ d) [95, 100] 17. Uma pessoa aplica certa quantia em dinheiro a juros simples de 5% ao ano. No fim do primeiro ano, reúne o capital e os juros. Coloca

5 da nova quantia a juros simples de 4% ao ano e o restante também a juros simples 7

de 6% ao ano. Recebe, assim, R$672,00 de juros no final de 2 anos. Com base nisso, pode-se afirmar que o capital primitivo é um número cujo algarismo da centena é igual a: a) 7 b) 5 c) 3 d) 0

15


EPCAR - 2004 - Matemática 1 1 −2 −2 4  6,25x10

 18. O valor da expressão    6,4 x10 − 2

( (

a)

5

b)

5 5

c)

)

)

1 − 3

  

3

d)

é:

7

19. Duas cidades A e B distam 500km entre si. Uma tonelada de carvão custa R$3.000,00 em A e R$3.800,00 em B. Sabendo-se que o frete de uma tonelada de carvão custa R$6,00 por km vindo de A, R$5,00 por km vindo de B e que C é um ponto localizado entre A e B; a distância AC sobre a linha AB, distante de A, em que o carvão há de sair ao mesmo preço, quer venha de A, quer venha de B é em km, um número múltiplo de: a) 110

b) 100

c) 80

d) 70

20. Na figura abaixo estão representados os números reais 0, a, b e 1. É FALSO afirmar que: 1 1 a) > b) a.b < a a b

c)

b <1 a

d) a - b < 0

0 a

b

1

x + 2 y + k = 0 serão ambos negativos quando k for tal que: 21. Os valores de x e y no sistema  3x + 4 y + 11 = 0 a)

11 11
b)

11 11
 x 4 −1  22. Assinale a alternativa que corresponde à expressão 1 +  2  2 x   a)

x2 2

b)

x 4 −1 2x 2

c)

x2 +1 2

d) 3, 6 < k < 5, 2

c) 0,666... < k < 8,66...

d)

2

simplificada, onde x ≠ 0:

x2 1 + 2 2 2x

23. Dividindo-se P1 = x4 + 2x2 - 3 por P2 = x2 - 2x + 1, obtém-se P3 como resto da divisão. O valor numérico de P3 para x = 0 é: 1 − 2x a) -10 b) -8 c) -5 d) -2 24. Na equação x2 + kx + 36 = 0, de modo que entre as raízes x’ e x’’ exista a a reação k é um numero: a) negativo. b) primo.

c) par.

1 1 5 + = , o valor de x' x' ' 12

d) natural.

25. O número que expressa a medida da diagonal de um quadrado é a menor raiz positiva da equação definida por x 2 − 1 - 2x2 + 2 = 0. A área desse quadrado é, em unidade de área, igual a: a) 0,5 b) 1. c) 2. d) 2,5 26. Um grupo de alunos contratou uma empresa de turismo para uma excursão pelo preço de 6.000 reais. Na véspera, 5 deles desistiram. Então a parte de cada um dos restantes ficou aumentada de 40 reais. O valor que cada participante pagará, em reais, pelo passeio é um número: a) divisor de 500. b) divisor de 400. c) múltiplo de 12. d) múltiplo de 18. 27. Sejam A = {x, y} e B = {z, w, u}, e considerando as relações abaixo de A em B, assinale a alternativa que apresenta uma função de A em B. a) {(x, z), (y, w), (x, u)} b) {(x, z), (x, w), (x, u)} c) {(x, u), (y, z)} d) {(y, w)}

16


EPCAR - 2004 - Matemática 28. Utilizando o fato de a água congelar a 0° Celsius ou 32° Fahrenheit e ferver a 100° Celsius ou 212°. Fahrenheit, e sabendo que existe uma relação linear entre as duas escalas de temperaturas, conforme o gráfico abaixo, podese completar adequadamente a tabela abaixo com os seguintes valores aproximados ou exatos. Celsius -10º Fahrenheit 0º 68º

grau Fahrenheit 212º 32º grau Celcius 0º

a) -17,7º; 14°; 20°

100º

b) -32°; 42°; 168°

c) 32°; 90°; 100°

d) -18,8°; 50°; 112°

29. Analise os gráficos abaixo e faça a associação MAIS adequada. y

g(x) f(x)

h(x)

2

2

x

j(x)

(1) y = x2 + 2. (2) y = (x - 2)2 a) 1 → g(x); 3 → f(x); 4 → j(x) b) 3 → j(x); 4 → h(x); 5 → g(x) c) 2 → f(x); 3 → j(x); 5 → h(x) d) 1 → g(x); 2 → h(x); 3 → j(x)

(3) y = -x2

(4) y = x2 - 2

(5) y = (x + 2)2

30. Sabendo-se que o gráfico de uma função afim passa pelo vértice da parábola de equação y = x2 + 4x - 1 e pelo ponto (-1, 0), indique a soma dos elementos do par ordenado associado ao ponto de interseção do gráfico da função afim com a parábola, que pertence ao 1° quadrante. a) -7. b) -5. c) 13. d) 23.

17



Provas anteriores da EPCAR - 2005 - Matemática 01. Analise as afirmativas abaixo: I - Sejam A, B e C três conjuntos não vazios. Se A ⊂ B e C ∩ A ≠ ∅, então, (A ∩ C) ⊂ B. II - Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que A ∪ B = {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 8}, A - B = {1, 3, 6, 7} e B - A = {4, 8}, então A ∩ B = ∅. III - Dados os números reais x tais que: {x ∈ R / -1 < x ≤ 2}, {x ∈ R / x < 0} e {x ∈ / x ≥ 3}; então, a união de todos os números reais x é conjunto { x ∈ R / x ≤ -1 ou x ≥ 3}. É correto afirmar que: a) apenas II é verdadeira b) apenas I é falsa c) todas são falsas d) II e III são falsas 02. Se x for inteiro positivo, então x3 - x = x(x2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) será o produto de três números inteiros consecutivos. Daí se conclui que x3 - x será sempre: a) número primo. b) múltiplo de 5. c) divisível por 4. d) múltiplo de 6. 03. Se o mínimo múltiplo comum entre os inteiros a = 16 x 3k (k ≠ 0) e b = 2P x 21 for 672, então pode se concluir que: a) P é o divisor de 2P x 21 b) 3k é divisível por 2P c) Pk é múltiplo de 3 d) P - k = 4k 04. O número y = 2a x 3b x c2 é divisor de N = 15 x 20 x 6. Sabendo-se que y admite exatamente 36 divisores, é carreta concluir que: a) ab = c b) a + b = c c) a < b < c d) a - b = -l 05. Um retângulo, cujo perímetro é igual a 4,80m e tendo um dos lados medindo 15dm, deve ser totalmente dividido em pedaços quadrados com a maior área possível. A quantidade de quadrados assim obtida é um número cuja soma dos algarismos é: a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 2 do comprimento do passo 3 do segundo. Enquanto o primeiro dá 5 passos, o segundo dá 4 passos. Tendo o primeiro atleta percorrido 60km, pode-se dizer que o segundo terá percorrido:

06. Dois atletas iniciam, juntos, uma marcha. O comprimento do passo do primeiro é

a) 32km

b) 50km

c) 72km

d) 90km

07. Analise as afirmativas seguintes e classifique-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas. 2 ( ) Soma-se um número n ao numerador e ao denominador da fração e ela tem um aumento de 20%. Então 3 n é igual a 3. ( ) A diferença 80,666... - 90,5 é igual a 1. ( ) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3888 por n um cubo perfeito é 12. A sequência correta para essa classificação é: a) F, V, F b) F, V, V c) V. F, V. d) V, V, V. 08. Normas de segurança determinam que um certo tipo de avião deve levar, além do combustível suficiente para chegar ao seu destino, uma reserva para voar por mais 45 minutos. A velocidade média desse tipo de avião é de 200km/h e seu consumo é de 35 litros de combustível por hora de vôo. Com base nisso, pode-se dizer que a quantidade mínima de combustível, incluindo a reserva, necessária para uma viagem de 250km é, em litros, igual a: a) 43,75 b) 26,25 c) 68,25 d) 70 09. Numa loja de confecções, uma pessoa comprou calças, camisas, meias e jaquetas. Pelo preço normal da loja, o valor pago pelas mercadorias citadas acima corresponderia respectivamente a 20%, 15%, 15% e 50% do preço normal da loja. Em virtude de uma promoção, essa pessoa ganhou um desconto de 10% no preço das calças e 20% no preço das jaquetas. Pode-se dizer que o desconto obtido no valor total da compra foi de: a) 10% b) 12% c) 30% d) 88% ANULADA 10. A diferença entre dois capitais é de R$200,00, estando o maior aplicado a juros simples de 20% ao ano e o menor a juros simples de 30% ao ano. Sabendo-se que os dois capitais produzem os mesmos juros após 1852 dias, pode-se concluir que o capital maior é: Obs.: Considere um ano comercial igual a 360 dias. a) R$400,00 b) R$500,00 c) R$600,00 d) R$700,00

18


EPCAR - 2005 - Matemática 11. Dadas as sequências de números: I - a1 = 3 a2 = 12 a3 = 27 II - b1 = 1 b2 = 2 Pode-se afirmar que: a) os a são inversamente proporcionais aos b b) os a são diretamente proporcionais aos quadrados dos b c) os a são inversamente proporcionais aos quadrados dos b d) os a são diretamente proporcionais às raízes quadradas dos b

b3 = 3

12. Se x homens, trabalhando x horas por dia durante x dias, produzem x artigos, então, o número de dias necessário para que y homens, trabalhando y horas por dia produzam um número y de artigos é: a)

y2 x

b)

x2 y

c)

y3 x2

x2 y3

d)

13. Se a e b são dois números inteiros não nulos tais 4a + b = 2b - (3a - b), então, necessariamente, ocorre que: a) a é par e b é múltiplo de 7 c) a e b são números primos b) a é par e b é ímpar d) a é divisor de 2 e b é divisor de 7 14. Gastei tudo que tinha em 6 lojas. Em cada uma delas gastei um real a mais do que a metade do que tinha ao entrar nela. Com base nisso, pode-se afirmar que: a) inicialmente tinha 120 reais. c) gastei 8 reais na 4ª loja. b) ao entrar na 3ª loja tinha 16 reais. d) sobraram 4 reais ao sair da 4ª loja. 5x − 3 4 2 x 19x − 8 1 − + = − , pode-se afirmar que: 2 5 3 6 2 a) tem apenas uma solução e esta solução é um número par c) tem uma infinidade de soluções b) tem apenas uma solução e esta solução é um número ímpar d) não tem nenhuma solução

15. Com base na Igualdade

1  1  3  16. O valor da expressão   − 169 0,5 x128 7  x 0,002 é:  2  

a) -12,750x10-3

b) -12,750x10-6

c) 12,750x10-6

d) 12,750x10-3

17. Para que o número x satisfaça simultaneamente as desigualdades: 3x + 2 < 7 - 2x, 48x ≤ 3x + 10 e 11 - 2(x - 3) > 1 - 3(x - 5) é suficiente que: 2 2 2 ≤x<1 c) -1 < x < 1 d) -1 < x < a) -1 < x ≤ b) 9 9 9 18. Sendo

p uma fração irredutível, o número que se deve subtrair de seus termos para se obter o oposto do inverq

so dessa fração é: a) p + q

b) -(p + q)

c)

p2 + q2 p+q

d) -p

19. As raízes de ax2 + bx + c = 0 são r ou s, A equação cujas raízes são ar + b ou as + b é: b) x2 - bx + ac = 0 c) x2 + 3bx + ca + 2b2 = 0 d) x2 + 3bx - ca + 2b2 = 0 a) x2 - bx - ac = 0 20. Resolvendo-se a equação a) par

b) primo

x+4 + x−4 x+4 − x−4 c) divisar de 81

= 2 encontra-se um número: d) múltiplo de 7

21. "A natureza tem dado sinais de que o ser humano não tem sido benevolente com os recursos naturais - aumento da temperatura global, derretimento das geleiras e, recentemente, um novo alarme: a água potável está escasseando," - AMAE educando - agosto de 2003. O gráfico representa o consumo de água (em litros) registrado de uma residência, do dia 1° do mês de junho até o dia 30 do mesmo mês. Com base no gráfico, é correto afirmar que:

19


EPCAR - 2005 - Matemática a) No dia 20, o consumo de água correspondeu a mais de 27% do consumo do dia 30. b) O consumo de água sempre cresceu do dia 1º ao dia 15. c) No dia 20, o consumo de água foi o triplo do consumo do dia 10. d) Do dia 1º ao dia 10, o consumo aumentou o correspondente 1 do que aumentou do dia 20 para o dia 30. a 3

Consumo de água em litros 1800 1500 1000 500 0

1

10

15

20 30 Dias

22. Uma empresa produz quantidades x e y de dois modelos de camisas por hora, utilizando o mesmo processo de produção. A relação entre x e y é dada por (y - 2)(x - 3) = 48. As quantidades x e y que devem ser produzidas por hora de modo a se ter y = 2x são tais que: a) x >10 e y < 20 b) x > 20 e y < 10 c) x < 20 e y < 10 d) x < 10 e y < 20 23. Quatro semirretas AO, OB, OC e OD formam os ângulos adjacentes AÔB, BÔC, CÔD e DÔA, respectivamente proporcionais aos números 1, 2, 4 e 5. As bissetrizes de AÔB e CÔD formam um ângulo convexo de: a) 90º b) 120º c) 135º d) 150º 24. Em um círculo cujo comprimento da circunferência é igual a 6π são traçadas duas cordas AB e CD que medem 2 3 e 4 2 , respectivamente, e cujas retas suporte não se interceptam. Calculando a área do quadrilátero ABCD inscrito no círculo tem-se o número:

a) 5( 3 + 2 ) )

b) 5 3 + 2

c) 5 2 + 3

d) 5 3 - 2

25. Na figura, AB é um diâmetro do círculo, t é tangente ao círculo em B, AD = 25, CD = 9 e sen40° = 0,6. O valor da área hachurada (considerando π = 3,14) é uma dizima periódica cujo período é igual a: a) 2

b) 3

c) 4

C

D

B

A

d) 5 t

A

26. Na figura, MNPQ é um quadrado de lado m, a base BC do triângulo ABC mede a. A soma das áreas dos triângulos NQB e MPC é:

N

B

a) m(a + m)

b) 2m(a - m)

c) m(2a - m)

d)

P

M

Q

C

m (a + m) 2

27. Considere o triângulo ABC da figura, com AB = 12, AC = 8 e BC = 14. As bissetrizes interna e externa do ângulo correspondente ao vértice A encontram a reta suporte do lado oposto em D e E, respectivamente. O valor BE é igual a: B a) 25 b) 32 c) 42 d) 48

A

28. Considere o triângulo ABC, retângulo em B. Sabendo-se que AB = 4cm e a razão entre as áreas dos triângulos ABH e BCH é igual a 2, conclui-se que a medida AC, em cm, é igual a: a) 2 6

b) 2 3

c) 5

C

d) 3 A

20

B

H

C


EPCAR - 2005 - Matemática 29. O valor suplementar do ângulo α na figura, sabendo-se que â = 90°, bˆ = 40°, cˆ = 15° e t é tangente, é:

a) 160°

b) 168º

c) 155º

t

α

d) 135° cˆ

bˆ

â

30. No triângulo retângulo ABC da figura, sabe-se que BC = 2k, AM é mediana do lado BC, MB // AN e BN // AM, então, a área do quadrilátero AMBN é igual a: B

2

a) k

3

2

b) 4 k

3

k2 c) 2

M

k2 3 d) 2

30º C

21

N

A



Provas anteriores da EPCAR - 2006 - Matemática 01. Para uma turma de 80 alunos do CPCAR, foi aplicada uma prova de matemática valendo 9,0 pontos distribuídos igualmente em 3 questões sobre: 1ª) FUNÇÃO 2ª) GEOMETRIA 3ª) POLINÔMIOS Sabe-se que: 1 • apesar de 70% dos alunos terem acertado a questão sobre FUNÇAO, apenas da turma conseguiu nota 9,0; 10 • 20 alunos acertaram as questões sobre FUNÇÃO e GEOMETRIA; • 22 acertaram as questões sobre GEOMETRIA e POLINÔMIOS; e •. 18 acertaram as questões sobre FUNÇÃO e POLINÔMIOS. A turma estava completa nessa avaliação, ninguém tirou nota zero, no critério de correção não houve questões com acertos parciais e o número de acertos apenas em GEOMETRIA é o mesmo que o número de acertos apenas em POLINÔMIOS. Nessas condições, é correto afirmar que: a) o número de alunos que só acertaram a 2ª questão é o dobro do número de alunos que acertaram todas as questões. b) metade da turma só acertou uma questão. c) mais de 50% da turma errou a terceira questão. 3 d) apenas da turma atingiu a média maior ou igual a 5,0 4 02. Sejam os números inteiros MNPQ e NMPQ, onde M, N, P e Q são algarismos distintos e diferentes de zero e N > M. Sobre a diferença (NMPQ - MNPQ), pode-se afirmar que, necessariamente, será: a) ímpar. b) divisível por (M - N) c) sempre negativa. d) par menor que 800. 03. Três alunos A, B e C participam de uma gincana e uma das tarefas é uma corrida em uma pista circular. Eles gastam para esta corrida, respectivamente, 1,2 minutos, 1,5 minutos e 2 minutos para completarem uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo, os três alunos se encontram pela primeira vez no local de partida. Considerando os dados acima, assinale a alternativa correta. a) Na terceira vez que os três se encontrarem, o aluno menos veloz terá completado 12 voltas. b) O tempo que o aluno B gastou até que os três se encontra ram pela primeira vez foi de 4 minutos. c) No momento em que os três alunos se encontraram pela segunda vez, o aluno mais veloz gastou 15 minutos. d) A soma do número de voltas que os três alunos completaram quando se encontraram pela 2ª vez foi 24. 04. Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma x + y é: a) 36 b) 34 c) 30 d) 25 05. Dois jogadores, Antônio e Bernardo, em determinado jogo envolvendo 110 partidas, com 2 jogadores, fizeram um acordo e Antônio disse a Bernardo: 1 1 de do dobro de R$150,00. Entretanto, "Cada vez que eu perder, eu lhe pagarei um valor correspondente a 5 3 em cada vitória minha, quero que você me pague 50% a mais do valor que você receberia em cada vez que vencesse. No caso de haver empate, ninguém paga e ninguém recebe." Bernardo concordou e os dois deram início aos jogos. Após a realização da última partida, verificou-se que em 1 dos jogos houve empate. 11 É INCORRETO afirmar que: a) se não houve prejuízo para nenhum dos dois jogadores, Bernardo deve ter vencido 20 jogos a mais que Antônio. b) Antônio teve lucro se venceu pelo menos 31 partidas. c) se o número de vitórias dos dois fosse o mesmo e se não houvesse empates, Antônio teria lucrado R$550,00. d) se não tivesse ocorrido nenhum empate, os dois não teriam lucro nem prejuízo se Bernardo vencesse 22 partidas a mais que Antônio.

22


EPCAR - 2006 - Matemática 06. Um tear eletrônico, trabalhando 5 horas por dia, produz 1200 peças em 3 dias. O número de horas que deverá trabalhar no 8º dia para produzir 1840 peças, se o regime de trabalho fosse 3 horas diárias, seria um número do intervalo: a) [2,3[ b) [3,4[ c) [4,6[ d) [1,2[ 07. Dois sócios x e y que montaram uma firma e que têm retirada mensal de acordo com o capital inicial de cada um, combinaram que a soma das retiradas totalizaria R$5.000,00. Após 6 meses, y passou a receber por mês 1 a menos. Sabenmais 15% por ter adquirido algumas cotas de x que, consequentemente, passou a receber 10 1 do do-se que, mesmo após a mudança, o total da retira da mensal permaneceu e que x sempre economizou 12 que recebia, enquanto y sempre economizou 12,5%, é INCORRETO afirmar que: a) a economia mensal de ambos era a mesma nos primeiros 6 meses. b) x passou a receber menos de R$2.800,00 após 6 meses. c) a diferença entre as duas retiradas caiu para 40% com a mudança. d) a economia mensal de x diminuiu R$30,00 com a alteração das retiradas. 08. Uma torneira com funcionamento normal e sem interrupção gasta 12 horas e 30 minutos para encher um tanque em forma de paralelepípedo, cuja base mede 45dm por 500cm e cuja altura mede x metros. Após jorrar 1 da capacidade do tanque, a torneira apresenta um defeito que reduz a 3.600dal de água, que correspondem a 5 1 sua vazão em . 3 Considerando constante a vazão da torneira após o defeito, pode-se afirmar que o tempo gasto a mais para encher o tanque sem que a água entorne é: a) 18 horas e 45 minutos. b) 15 horas. c) 10 horas e 30 minutos. d) 5 horas. D B

09. A figura mostra um trecho de uma malha rodoviária de mão única. Dos veículos que passam por A, 45% viram à esquerda, dos veículos que passam por B, 35% viram à esquerda. Daqueles que trafegam por C, 30% dobram à esquerda. Qual é o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E? a) 57,50% b) 45,75% c) 38,60% d) 29,85%

A E C F

10. Um caminhão-tanque com capacidade para transportar V litros faz a distribuição de óleo em três fábricas: α, β e 3 5 γ. Partindo com o tanque cheio, deixou do total em α. Se em β deixou do que restou e em γ, os últimos 20 17 12.600 litros, então, pode-se afirmar que: a) V é tal que 16.000 < V < 20.000 b) a fábrica α recebeu, em litros, um valor divisível por 9 c) a fábrica β recebeu, em litros, um valor maior que 6.000 d) a soma das quantidades recebidas pelas fábricas α e β é, em litros, um valor V' tal que 9.000 < V' < 15.000 11. No conjunto dos reais, analise as proposições abaixo, classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas. 3

I-(

)

a a2 a3 3

)

−

1  −1 3 a 3

 

−

) Se

a 5c9 < 0, b ≠ 0 e a - c < 0, então a < 0 e c > 0 b 20

2

  1   = a6 , a > 0 1

( −a ) 3 A sequência correta é: a) F - V - F - V b) F - V - V - V

23

II - (

a a a

a III - (

= a 12 a 5 , a > 0

IV - (

a ) Se a = 99 e b = 33 , então   b 2

6

c) V - F - V - V

3

−12

9

= (0,111...)18

d) V - V - V - F


EPCAR - 2006 - Matemática 12. Na reta real abaixo estão representados os números reais a, b, c, d, zero e 1. d

c

0 a

b

1

Analise os itens abaixo, classificando-os em (V) verdadeiros ou (F) falsos. (01) a < bc

(03) 0 < ab < 1

d2 >

(04)

c2

(06) c + d - b < a

1 1 . >1 a b

(08)

A soma dos números associados aos itens verdadeiros é um número do intervalo: a) [1, 5] b) [6, 11] c) [12, 17] d) [18, 22] 13. Os valores de x para os quais é possível construir um triângulo, cujos lados medem x, 5 e 9 unidades de medidas são: a) todo x natural c) x ∈ R e x < 14 b) todo x natural menor que 14 d) x ∈ R e 4 < x < 14 14. Um condomínio tem uma despesa de R$1.200,00 por mês. Se três dos condôminos não pagam suas partes, os demais pagam um adicional de R$90,00 cada um. O valor que cada condômino paga quando todos participam do rateio é, em reais: a) 330,00 b) 240,00 c) 180,00 d) 150,00 15. Sejam m e n as raízes inteiras da equação x2 - qx + p = 0. Sabendo-se que mn . nm . mm . nn = 81, pode-se afirmar que: a) p é divisor de 4 b) m e n são ímpares. c) pq é inteiro negativo. d) q é múltiplo de 81 16. No gráfico abaixo, os pontos que estão destacados sobre as linhas contínuas representam os gols marcados e os pontos que estão destacados sobre as linhas tracejadas representam os gols sofridos por uma equipe de futebol nas 8 primeiras partidas de um determinado campeonato. Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 2 pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e zero ponto em caso de derrota, até a oitava partida a equipe terá acumulado: a) 5 pontos c) 7 pontos b) 6 pontos d) 8 pontos

número de gols 5 4 3 2 1 partidas 1ª

2ª

3ª 4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

17. Um ponto do plano cartesiano tem coordenadas (x + 3y, -x - y) ou (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, xy é igual a: a) - 8 b) - 6 c) 1 d) 9 18. Considerando as figuras, assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas. ( ) Na figura I, o raio vale 2 10 ( ) Na figura II, pode-se afirmar que β = 2α ( ) Na figura III, pode-se concluir que γ = 50° ( ) Com base nas figuras II e III, γ pode-se afirmar que se α = , então β 2 é um angulo reto. A sequência correta é: a) V - V - F - F b) F - F - F - F

24

I

II A

III

3

30º 4

r O

40º

8

β

70º γ

O = centro

B

E

α

AB = AC e CD = CE

c) V - V - V - F

C

s r // s D

d) V - F - F - V


EPCAR - 2006 - Matemática 19. Sabendo-se que o raio do círculo menor é r e do círculo maior é 2r, calcule a área hachurada da figura. r

r

O

a) πr2

b)

2πr 2 3

c)

πr 2 2

d) 2πr2

20. Na figura, o valor da tangente de α, sabendo-se que os quadriláteros são quadrados, é: a) 0,3

b) 0,5

c) 0,6

d) 0,7

α 9

6

x

21. Em um círculo de centro O e raio r, o prolongamento de uma corda AB que não contém o diâmetro é um segˆ E mede 20°, mento BC de comprimento igual a r. A reta CO corta o círculo em D e E (D entre O e C). Se AC então AÔE mede: a) 60° b) 45° c) 40° d) 30° 45º 30º 22. Um piloto de avião, a uma altura de 3100m em relação ao solo, avista o ponto mais alto de um edifício de 100m de altura nos instantes T1 e T2 sob os ângulos de 45° e 30°, respectivamente, conforme a figura: A distância percorrida pelo avião entre T1 e T2 é, em m, igual a: a) 3000(1 +

3)

b) 3000 3

c) 2190 3

d) 3000( 3 - 1)

23. É dado um triângulo ABC, retângulo, de hipotenusa "a" e catetos "b" e "c" (b < c). Pelo ponto M, médio da hipotenusa BC , traça-se MN perpendicular a BC (N ∈ AB ). O círculo circunscrito ao quadrilátero CAMN tem perímetro igual a: ANULADA a)

a 2π c

b)

2a 2 π ab

c)

a 2π 2c

d)

a 2π 2b

D

a) a área total das regiões M é (12 + 2 2 ) vezes a área de L. b) o raio R do canteiro mede mais de 6 metros. c) na área S = απm2, α ∈ [9, 10] 2 d) a área S corresponde a da área do canteiro C. 3

25

C α

24. Na figura, ABCD é um quadrado de lado "a". Por A e C traçam-se AM e CN a paralelos. Se a distância entre AM e CN é , então o seno de α vale: 5 a) 0,5 b) 0,6 c) 0,7 d) 0,8 25. A figura representa um canteiro "C" circular de raio R que será replantado e que receberá, ao centro, um círculo L de raio igual a 1 metro, onde serão plantados lírios. Tangentes a L e ao contorno do canteiro serão colocados 4 canteiros M de mesma área, também circulares, tangentes entre si, dois a dois, onde serão plantadas margaridas. A região hachurada deverá ser gramada e tem área S = απm2, onde α ∈ R. Com base nisso, é correto afirmar que:

M

A

N

B

M

M

L

M

M



Provas anteriores da EPCAR - 2007 - Matemática 01. Analise as sentenças abaixo marcando (V) para verdadeiro e (F) para falso. I - ( ) 1, 65 ∈ [(R ∪ N) - (R ∩ Q)] IV - ( ) Z ⊃ [Z ∪ N) - (R ∩ Z)] II - (

) 31,23459 ∈ [(Z ∪ Q) - { }]

III - ( ) N ⊂ [(R ∩ N) ∩ (Q ∩ Z)] A sequência correta é: a) V, F, V, F, V b) F, V, V, V, F

V-(

5  ) [(R ∪ Q) - (R ∩ Q)] ⊃ π, 2 ,  7 

c) V, V, F, V, V

d) F, F, V, F, F

02. Um número de três algarismos a, b e c, nessa ordem, (a > c) é tal que, quando se inverte a posição dos algarismos a e c e subtrai-se o novo número do original, encontra-se, na diferença, um número terminado em 4. Essa diferença é um número cuja soma dos algarismos é: a) 16 b) 17 c) 19 d) 18 03. Sabendo-se que a, b, c, d representam algarismos maiores que zero e que a b) . > c) . < ou . < d) . > ou . > b d b b d d b d b b d d b d b b d d

04. Três pedaços de arame têm comprimento 3,6dam, 4800cm e 0,72hm. Deseja-se cortá-lo em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais e sem que haja perda de material. Com base nisso, é INCORRETO afirmar que: a) os arames de comprimentos 4800cm e 0,72hm, após serem cortados, formam um conjunto de 10 pedaços de arame. b) o comprimento de cada pedaço de arame, após cortá-los, é 120dm. c) o menor número de pedaços de arame com a mesma medida é 12. d) o arame de comprimento 3,6dam será dividido em 3 partes iguais. 05. Assinale a alternativa correta: a) Se o conjunto dos múltiplos do número natural x é subconjunto do conjunto dos múltiplos do número natural y, então x não é múltiplo de y. b) Se x ∈ N, y ∈ N e x ≠ y ≠ 1 e se x e y são divisíveis por p, então p é o máximo divisor comum de x e y. c) O máximo divisor comum de dois números naturais divide o seu mínimo múltiplo comum. d) Se x e y são números primos, com x > y > 2, o máximo divisor comum de x e y é igual a x. 06. O produto de um número inteiro A de três algarismo por 3 é um número terminado em 721. A soma dos algarismos de A é: a) 15 b) 17 c) 16 d) 18 1 1 dos alunos tem menos de 14 anos, dos alunos tem idade de 14 a 3 4 17 anos, e os 80 alunos restantes têm mais de 18 anos. Com base nisso, pode-se afirmar que: a) a diferença entre o número de alunos com mais de 18 anos e o número de aluno com menos de 14 anos é o dobro de 16. b) a escola possui mais de 200 alunos no 1° ano do ensino médio. c) o total de alunos que tem de 14 a 17 anos é um número maior que 60. d) a escola possui 128 alunos com pelo menos 14 anos.

07. No 1° ano do ensino médio de uma escola

08. Analise as proposições, classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas e marque a sequencia CORRETA. I-(

II - (

)

0,0049

. 2,5.10 3 .3 − 0,001 .0,1555... = -0,0333...

) Sendo n ∈ N*, então

a) F, V, F

26

9.10

−6

b) V, F, V

( ) 3

III - (

)

3 3 9

3

1 3

.

30 3

3

2

.

(

1 1

=

2 +1

)

2 −1

−1

(−1) n +1 = -0,5 (−1) 2 n − (−1) 2 n +1 c) F, V, V d) V, F, F Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca - Rio de Janeiro - Tel 39022608 - 94306166

EPCAR - 2007 - Matemática 09. Um trem percorre certa distância, com velocidade constante. Se a velocidade aumentasse 20km por hora, ele levaria 3 horas a menos, e, se diminuísse 20km por hora, ele precisaria de 5 horas a mais. A distância percorrida é um número cuja soma dos algarismos é: a) 5 b) 3 c) 6 d) 7 10. Um determinado carro popular custa, numa revendedora, R$22.500,00 à vista. Numa promoção para queima de estoque, que será realizada em dezembro de 2006, com R$6.500,00 de entrada, um comprador tem o valor restante facilitado em 36 prestações mensais, sendo que as prestações num mesmo ano são iguais e que a cada ano a prestação sofre um aumento de 10% relativamente à do ano anterior. Sabendo-se que a primeira prestação a ser paga no mês de janeiro em 2007 é de R$500,00, pode-se afirmar que: a) o valor total das prestações nos 36 meses é de R$19.860,00. b) o comprador desembolsará ao final do 2° ano, excluindo a entrada, um valor maior que R$12.800,00. c) o valor total a ser desembolsado na compra a prazo será de R$25.000,00. d) se o comprador adquirir o carro à vista e não optar pela promoção, economizará 17% do valor do carro à vista. 11. Ao desfazer uma sociedade, dois sócios A e B fizeram a retirada de suas partes que eram diretamente proporcionais a 1 e 3. O sócio A aplicou, então, o valor de sua retirada à taxa de 50% ao ano. Já o Sócio B aplicou a 2 sua parte à taxa de 25% ao ano e do montante que recebeu após 12 meses foi igual a 150.000 reais. Pode-se 3 afirmar que: a) o capital retirado pelo sócio A e o rendimento conseguido pelo sócio B são valores iguais. b) a diferença entre os rendimentos dos sócios A e B, após 12 meses, é, em milhares de reais, um número do intervalo [8, 15] c) a soma dos capitais retirados por A e B é igual ao montante que o sócio B conseguiu após 12 meses d) o rendimento obtido pelo sócio A é igual a 30% do rendimento do sócio B 12. A dá a B tantos reais quantos B possui e A dá a C tantos reais quantos C possui. Depois, B dá a A e a C tantos reais quantos cada um possui e C, finalmente, faz a mesma coisa. Se no final, terminam todos com 16 reais e sabendo que C começou com 50% de B mais um real, então A começou com: a) 24 reais b) 28 reais c) 26 reais d) 30 reais 13. Trinta operários trabalhando 8 horas por dia, constroem 36 casas em 6 meses. O número de dias que deverão ser trabalhados no último mês para que

2 dos operários, trabalhando 2 horas a mais por dia, construam 0,75 3

das casas considerando um mês igual a 30 dias, é: a) 10 b) 15 c) 12 d) 16 14. Uma loja colocou um CD à venda por R$28,00 a unidade. Como não atraiu muitos compradores, resolveu baixar o preço para um número inteiro de reais. Com isso, vendeu o restante do estoque que não era superior a 50 unidades por R$377,00. Com base nisso, o número n de unidades do CD restante no estoque é um número cuja soma dos algarismos vale: a) 6 b) 9 c) 15 d) 11  a y   y a   :   = -1. 15. Se a ≠ 0, então  + − a + y a −y a +y a −y a) para nenhum valor de y b) para todos, exceto dois valores de y c) só para dois valores de y d) para todos os valores de y 16. Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada alternativa abaixo: m −1 1 + 2 3 m −1 (m + 1) ( ) = (m - 1)(m + 1)-1 ∀m ≠ 1 e m ≠ -1 1 1 + (m − 1)2 (m + 1)2 27


( )

(

 a 42 )   a 0 ,3 

(

)


0 , 01

1  a −1   3+ 6

−2

.4 − 0 ,3

( )

=

1 ∀a ≠ 0 a

5 3 − 2 12 − 32 + 50 Tem-se então a sequência: a) V, F, V b) V, V, V

= 3 c) F, V, F

d) F, F, F

7 1 da metade do valor da herança que Carlos recebeu, ele adquiriu um lote. Com do restante ele li8 3 quidou suas dividas e o valor que sobrou foi dividido em partes iguais aplicadas como a seguir: a 1ª parte foi aplicada na poupança com rendimento de 0,5% ao mês; e a 2ª foi aplicada em ações onde, ao fim de 15 dias, ele havia perdido 40% do valor dessa aplicação. Ao fim dos 15 dias subsequentes, Carlos conseguiu recuperar 50% do que foi perdido, ficando com um capital equivalente a 48.000 reais na 2ª parte aplicada. Com base nisso, é INCORRETO afirmar que: a) Considere o mês de 30 dias, ao final do primeiro mês, a soma das partes aplicadas e seus rendimentos totalizavam 108.000 reais. b) O valor total dessa herança seria suficiente para comprar uma casa avaliada em 300.000 reais, caso não comprasse o lote nem liquidasse suas dívidas. c) o lote adquirido custou menos de 150.000 reais. d) o rendimento da poupança no primeiro mês foi superior a 200 reais.

17. Com os

18. As raízes da equação (2m + 1)x2 - (3m - l)x + m = 0 são medidas dos catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa 1. O valor de m é um número: a) ímpar b) par c) racional não inteiro d) irracional. 19. O gráfico representa, em milhares de toneladas, a produção de grãos no Brasil entre os anos de 1996 a 2005. Analisando o gráfico, observa-se que a produção: a) em 2001 teve acréscimo de 25% em relação ao ano anterior. b) foi crescente entre 1997 e 2000. c) teve média de 40 toneladas ao ano. d) a partir de 2001 foi decrescente.

mil toneladas 60

50 40 30 20 10 96

20. Nas figuras, o valor de α + β é: Dados: AM = AP P BM = BQ MP = MQ

97 98 99 00 01 02

03 04 05

ano

β

Q 15º 80º A

a) 25°

b) 30°

60º M

c) 40°

α

B

40º

d) 35°

21. Em um triângulo isósceles AOB, retângulo em O, de cateto igual a b, são dados os pontos P entre A e O e Q entre O e B de tal maneira que AP = PQ = QB = x. O valor de x é: a) 2b - b 2

28

b) 2b

c) 2b + b 2

d) b 2


EPCAR - 2007 - Matemática 22. Em um triângulo ABC, M e N são pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Duas retas paralelas passam por M e N e cortam o lado BC em Q e P, respectivamente. Se S é a área do triângulo ABC, então a soma das áreas dos triângulos BQM e CPN é igual a: S 3 S S a) b) S c) d) 4 4 3 2 23. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna abaixo. Considere duas cordas paralelas ao diâmetro de um semicírculo de raio 6, que determinam neste semicírculo arcos de 60° e 120°. A área compreendida entre essas cordas é ______ da área do semicírculo. 1 1 1 1 a) b) c) d) 3 9 6 4 24. Analise as alternativas abaixo e marque (V) para verdadeiro e (F) para falso. ( ) Num trapézio, cujos lados paralelos medem 4 e 6, as diagonais interceptam-se de tal modo que os menores segmentos determinados em cada uma delas medem 2 e 3. A medida da maior diagonal é 4,5. ( ) Dois lados opostos de um quadrado têm um aumento de 40% e os outros dois lados opostos têm um decréscimo de 40%. A área desse novo quadrilátero é 84% da área do quadrado original. ( ) Na figura tem-se BC = 4cm e AE = 8cm e AC // DE. Pode-se afirmar, então que a área do quadrilátero ABDE é 10 3 cm2 . A

F

E

30º B

A sequência correta é: a) F, V, F b) V, V, F

C

c) F, V, V

D

d). V, F, V

25. A embalagem de um tipo de óleo era uma lata cilíndrica de 40mm de altura e 12cm de diâmetro da base. O fabricante substitui essa embalagem por uma outra lata cilíndrica do mesmo material e com o mesmo volume da antiga. Sabendo-se que o diâmetro da nova embalagem é de 0,6dm e que a espessura do material das embalagens é desprezível, então, é INCORRETO afirmar que: Dado: π = 3,14 9 a) a capacidade das embalagens é de aproximadamente litros. 20 b) a altura da nova embalagem é 16cm c) a quantidade de material utilizada na fabricação da embalagem antiga é 37,68m2 d) o percentual de economia de material na fabricação da nova embalagem é 5%

29


EPCAR - 2001 solução- Matemática

Provas anteriores da EPCAR - 2001 solução - Matemática 01. C a) Z - N = tem em Z e não tem em N = {..., -3, -2, -1} inteiros negativos - VERDADEIRA b) Q - Z = tem em Q e não tem em Z = conjunto dos números racionais não-inteiros - VERDADEIRA c) Z+ ∩ Z- = {0} FALSA d) Z* = conjunto dos números inteiros não nulos - VERDADEIRA 02. D A dia 20/06 ao dia 05/07 B dia 30/06 ao dia 09/07 C dia 01/07 ao dia 25/07 Pelo menos um candidato dia 20/06 ao dia 25/07 De 20/06 a 30/06 - 30 - 20 + 1 = 11 dias De 1/07 a 25/07 - 25 - 1 + 1 = 25 11 + 25 = 36 dias 03. B acertou Q1 x

acertou Q2 y

z

x + z = 25 y = 10 x + y = 25 x + w = 20

logo: x = 15, y = 10, z = 10 e w = 5

errou as 2 - w

04. B divisível por 45 → divisível por 9 x 5. Logo terminará em zero ou 5 e a soma de seus algarismos será múltiplo de 9. m = 488a90 ou m = 488a95 4 + 8 + 8 + a + 9 + 0 = 29 + a 4 + 8 + 8 + a + 9 + 5 = 34 + a Em ambos os casos, o múltiplo de 9 mais próximo é o 36. Logo, a = 7 ou a = 2. Que em qualquer situação teremos que a + b = 7. 12, 15, 24 2 6 05. D Como sobram 7 figurinhas teremos o total como sendo múltiplo comum de 12, 15 e 24 mais 7.3 3 Os múltiplos comuns são 120, 240, 360, .... Entre 240 e 360 temos 247. 1 2 + 4 + 7 = 13 1

15 15 15 5 1

12 6 3 1 1

2 2 3 5 120

06. A Os ângulos são x, y e z que são diretamente proporcionais. Logo:

x y z = = 2 3 5

Pela propriedade das proporções teremos:

x y z x + y + z 180º = = = = 2 3 4 2+3+ 4 9

x y z = = = 20º 2 3 4

07. C velocidade é km:h, logo a distância será velocidade x tempo. x = 24t e 120 - x = 16t 120 - 24t = 16t → 16t + 24t = 120 → 40t = 120 → t = 3 horas 08. B O problema pede o número de questões erradas. 10 .60 = 6 erradas A acertou 90% → errou 10% → 100 80 C errou 80% → .60 = 48 erradas 100

x= 40º, y = 60º e z = 80º

Pela figura:

encontro 120 - x B

A x 120km

B acertou 70% → errou 30% →

30 .60 = 18 erradas 100

6 + 18 + 48 = 72 questões erradas

09. C Preço de tabela = x Foi vendido com 25% de ágio sobre o preço de tabela, ou seja: 125% do preço de tabela. 125 5 15000.4 x = 15000 → x = 15000 → x = → x = 12000 R$12000,00 100 4 5

1


EPCAR - 2001 solução- Matemática 10. A gatos

ratos

3 2

3 2

90

60

30.60

x

tempo (segundos)

DP

CUIDADO COM AS UNIDADES

DP - diretamente proporcional IP - inversamente proporcional

IP Os valores IP trocam de posição. Fica: gatos ratos tempo (segundos)

3 2

3 2

30.60

x

60

90

3 .60.90 x= 2 →x=3 3 .30.60 2

11. A dia

parte do percurso falta 3 2 1º 5 5 9+4 13 2 2 2 2 4 3 4  =1= 1-  +  =1do que falta → . = 2º 15 15 15 3 3 5 15  5 15  3º 800km completou 2 1 15 → 800, logo → 800:2 = 400 então → 400.15 = 6000 = 6.103 que é divisor de 12.103. 15 15 15 12. D A média aritmética é a soma de todas as idades dividida pelo número de professores. Logo: Idade do professor aposentado = x e teremos 17p + x = y e, saindo este professor e entrando o outro (22 anos), a média diminui em 2 anos, teremos 18 17p + 22 =y−2 18 17 p + x = 18y 17 p + x = 18y → subtraindo → x - 22 = 36 → x = 58 anos →   17 p + 22 = 18y − 36 17 p + 22 = 18( y − 2 13. A. 2

 4 −1 6 − 2 a)  − 2 + − 2 2 2

2

1  1   1 1 2 2 2     2  1 4 100 1 10  =  4 + 6  =  4 + 36  = 1 + .  = 1 + . =  .  = ≠ 0,81 FALSA  1 1 1 1     81  36 1  9   9       2 4  4 22  2 2

b)

33 27 3 8 .2 8 38 38.(2 2 ) 4 38.4 4 = VERDADEIRA = = = = 4 8 4 5 2 4 2 2 6.12 2.3.2 .3 2.3 2.3.(2 .3)

c)

− 4 − (−3) −4+3 −1 − (−2) 2 − 3 − 27 = = = = 1 VERDADEIRA 0 1− 2 −1 −1 (−3 + 5) − 2 6

d) Vamos fatorar o 1728 e o 64.

1728 6

64

6

=

2 6 .3 3 6

26

=

26 3 3 = 2

3 VERDADEIRA

14. C n 10 2

2

n  n n    n  10 m 10 m + 100.10 m  m m m 2 2 2  ( : 10 .101.10 2  = + 10.10 ) : 10 10 + 100.10  = 10 .   10 10      n n  1 101.10 m  m = 10-1 10 2 . : 10 .101.10 2  = 10 10  


EPCAR - 2001 solução- Matemática 15. B

( ) + (3 ) → (3 + 3 ) = 5 → (3 ) + 2.3 .3 + (3 ) (3 ) + 2.1 + (3 ) = 25 → (3 ) + (3 ) = 25 - 2 → (3 ) + (3 ) = 23 2

9x +9-x = 32x + 3-2x = 3 x x 2

−x 2

x

x 2

−x 2

−x 2

-x 2

x 2

2

x

x 2

-x

−x 2

= 25 →

−x 2

Logo 2.(9x +9-x) = 2.23 = 46 16. C

(− 2)2

a) Peguemos um exemplo com x < 0 →

 x, se x ≥ 0 x2 = x =  - x se x < 0

Ou: 3

b)

a a2 a3 3

c)

=

3

a a a

(x + 1)2

a

3

a 3 .a 4 a.a 2

a

4 = 2 ≠ x VERDADEIRA

=

a6 a7

= 3

6

= 3 4

a4 a3

a 7 .a 6 a 3 .a 4

6

=

12

a13 a

7

12

a 26

12

7

=

a

= 12 a19 = 12 a12 .a 7 =a 12 a 7 VERDADEIRA

→ mesmo raciocínio do item (a) FALSA

1

 22  2 d)   +   3 3

−

1 2

1

1

2 3 6 6 2 6 +3 6 5 6  2  2  3 2 + = + = =  +  = = 3 2 6 6 3 2 3 2

VERDADEIRA

17. B Se Q(x) é divisível por P(x), então o resto da divisão é zero. x3 - x2 - mx +n x2 + x - 2 (4 - m)x + 4 + n = 0 3 2 - x - x + 2x x - 2 4-m=0 e 4+n=0 -2x2 + (2 - m)x + n m = 4 e n = -4 2x + 4 Substituindo nas opções → b 2x2 + (4 - m)x + 4 + n → resto

18. C Na função, cada domínio tem uma única imagem. Tracemos linhas verticais em cada gráfico. Se cortar o gráfico uma única vez, é função. Cuidado com os intervalos do domínio e da imagem. a) b) c) d) y

y

y

y

4

4

4

4

1

1

1

1

0

3

x

0

3

x

0

3

x

0

3

x

As letras a e c são funções nos intervalos dados. Na questão, o domínio está aberto em 3. A resposta é c 19. A Substituindo nas opções, teremos que para P = 1, C = 10. As letras a e b satisfazem. Observemos que o aumento é de 30 centavos = 0,3. A resposta é a opção a 20. D O gráfico mostra o estudo do sinal da função. Pela inclinação (/) ela é crescente. Quando x cresce, y cresce. 1 + a) f(x) < 0 se x < − FALSA x 2 1 − b) y cresce a medida que x decresce FALSA 2 1 FALSA c) f(x) = 0 na raiz da função e a raiz é onde a reta corta o eixo x. A raiz é − 2 d) Vamos encontrar a equação da reta. Uma das formas de fazê-lo é: Vamos ver se (1, 3) pertence a reta. x y + = 1 → -2x + y = 1 → y = 2x + 1 3 = 2.1 + 1 → 3 = 3 SIM 1 1 − 2 VERDADEIRA

3


EPCAR - 2001 solução- Matemática 21. A De acordo com os dados, teremos o seguinte esboço gráfico da função: y −b xV = 0 → = 0 → b = 0 → y = ax2 + c 2a c = -5 2 é raiz, logo: 0 = a.22 - 5 → 4a - 5 = 0

4 -2

2

x

4a = 5 → a =

5 → 4

y=

5 2 x -5 4

-5

22. D a > 0 - concavidade para cima. c < 0 - corta o eixo y (ordenadas) abaixo do eixo x (abscissas) y

x

23. A Se 1 é raiz teremos: 4.12 - (2 + k).1 + 3 = 0 → 4 - 2 - k + 3 = 0 → k = 4 - 2 + 3 → k = 5 que é primo. 24. B 1 1 1± 3 1± 1+ 8 → x2 = x + 2 → x2 - x - 2 = 0 → x = →x= → x = 2 ou x = -1 → 2 - 1 = 1 = 2 x+2 2 2 x 25. C O maior valor inteiro de x para que a expressão x3 - 5 < x3 - x2 + 5x - 5 → x3 - 5 - x3 + x2 - 5x + 5 < 0 → x2 - 5x < 0 (inequação do segundo grau, logo teremos que estudar o sinal da função).

x2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 x = 0 ou x = 5 0
+ 0

+ -

5

26. C (1 + x)(1 - x) = 1 − x 2 → 1 - x2 =

( )

1 − x 2 → faremos 1 - x2 = a e teremos:

2

a = a → a2 = a → a2 = a → a2 - a= 0 → a(a - 1) = 0 → a = 0 ou a = 1 Daí: 1 - x2 = 1 → x = 0 1 - x2 = 0 → x = 1 ou x = -1

S = {-1, 0, 1}

27. A N C

B M

P

a

b

b

c c

a D

28. D

O

m

A

n 2x

C α 120º

4

A

α O

B

x

2x

2a + 2b + 2c = 180º (:2) a + b + c = 90º Pedido: PÔD + MÔN PÔD = a e MÔN = b + c PÔD + MÔN = 90º

Ver figura

ˆ = 120º Paralelas cortadas por transversal: B 2x + 120º = 180º → 2x = 60º → x = 30º 120º é externo do ∆ABC → x + 2α = 120º 30º + 2α = 120º → 2α = 90º → α = 45º Nas opções: α =

3x 3.30º = = 45º 2 2


EPCAR - 2001 solução- Matemática 29. B Número de diagonais que partem de cada vértice = dV = n - 3 n (n − 3) 360º Ângulo externo de um polígono regular = e = Número de diagonais de um polígono = D = 2 n Soma do ângulo interno (i) com o externo de um polígono regular = i + e = 180º Podemos ir a solução da questão: 6(6 − 3) 360º = 9 → dV = n - 3 → 9 = n - 3→ n = 12 → e = → e = 30º Dhexágono = 2 12 i + 30º = 180º → i = 150º 30. B Aumento = x àrea do retângulo = 12.7 = 84 Nova área = (12 + x).(7 + x), então (12 + x).(7 + x) = 84 + 120 Resolvendo: 84 + 19x + x2 = 84 + 120 → x2 + 19x -120 = 0 → x = x=

− 19 ± 19 2 − 4.1.(−120) 2.1

− 19 ± 29 − 19 ± 361 + 480 − 19 ± 841 →x= →x= → x = -24 (não serve) ou x = 5 2 2 2

31. C Pela condição de existência de um triângulo: 6 - 2 < x < 6 + 2 → 4 < x < 8 → x = {5, 6, 7} ATENÇÃO: O triângulo é obtusângulo e x é oposto ao maior ângulo. Logo, x é o maior lado → x = 7. 32. A Assinale, dentre as proposições seguintes, a verdadeira. a) O baricentro é o encontro das medianas, logo estará sempre no interior do triângulo. VERDADEIRA b) O circuncentro é o encontro das mediatrizes, logo poderá ser exterior ao triângulo. FALSA c) FALSA d) Num triângulo equilátero. FALSA, 33. D ∆ABC é semelhante ao ∆CDG

C

8−x x x = → 8 - x = → 24 - 3x = x → 4x = 24 8 24 3

8-x D

G

x

x=6

8cm

x

Àrea = àrea ∆CDG + área do DEFG =

6.2 + 62 2

6 + 36 = 42 A

E

F 24cm

B

34. B D

A 75º

∆BCD é retângulo em D O cateto oposto ao ângulo de 30º é a metade da hipotenusa

B 30º

AB = BC = 100

x 75º

e o cateto adjacente é o oposto vezes 3 , logo: x=

C

100 → x = 50 2

35. B A

4

B F

2

AD = BD . DE

3

9 = 5. DE → DE =

E D

5

Do ∆ABD retângulo em A → BD = 5 Do ∆ADE retângulo em E → c2 = a.m

C

9 = 1,8 5

EF EF EF EF

= BD - 2. DE = 5 - 2.1,8 = 5 - 3,6 = 1,4


EPCAR - 2001 solução- Matemática 36. C

γ

AD , AD , e AD são raios da circunferência. O ∆ABD e o ∆BCD são isósceles.

B

β

r

O ângulo (1) =

12 r

180º −β 180º −150º = = 15º 2 2

(1) + (2) = γ → 15º + (2) = 50º → (2) = 35º α = (2) = 35º

Dr α

A

C

37. A

2

PT = PA . PB → 242 = (32 - 2r).32 T P

24 32 - 2r

3 6

A r

r

B

24.24 24.24 → 32 - 2r = → 32 - 2r = 18 32 32

32 - 2r =

O

1

32

2r = 32 - 18 → 2r = 14 → r = 7 C = 2πr → C = 2π.7 → C = 14π

38. D O apótema do hexágono regular de lado l é

l 3 l 3 e a altura do triângulo equilátero de lado l é . Logo, o 2 2

lado do hexágono é 4cm. O hexágono regular de lado l é formado por 6 triângulos equiláteros de lado l, então sua área é: l2 3 3 3 6. = 3.16 = 3.8 3 = 24 3 = 3.42 4 2 2 39. A

OMTA é um trapézio retângulo com ângulos retos em T e A. A área pedida é igual a área do trapézio OMTA menos a área do setor circular 30º de 60º. r Da figura: TA é o cateto adjacente ao ângulo de 30º e MT o cateto oposto, 60º O A logo: r r r 3 MT = e TA = 2 2 rr 3   3r  r 3 r +    OA + MT TA 3r 2 3 2 2 2 2 =  =   = Área do trapézio OMTA = 2 2 8 2 1 1 πr 2 Área do setor circular de 60º = (360 : 60) da área do círculo = πr2 = 6 6 6 2 2 2 2 2 3r 3 πr 9r 3 − 4πr r = = 9 3 − 4π Pedido = 8 6 24 24 40. D 50 litros = 50dm3 → total = 50 + 670 = 720dm3 = 720000cm3 → 720000 : 2x5000 = 72 ( divisível por 6. M

T

(

)

(

6

)


EPCAR - 2002 solução - Matemática

Provas anteriores da EPCAR - 2002 solução - Matemática 01. B A = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} B = {2, 3, 4} D = {..., -5, -3, -2, 2, 3, 5} 2 C → 2c - 8c = 0 → 2c(c - 4) = 0 → c = 0 ou c = 4 → C = {4} Se A ∩ E = {3} e B ∪ E = {..., -5, -3, -2, 2, 3, 4, 5}. Se retirarmos deste conjunto os elementos de A menos o 3, teremos o conjunto E = {3, 5} 02. C Inglês 527 - x

Francês x

251 - x

321

Começamos sempre pela interseção. Como não foi dada → x 321 + 527 - x + x + 251 - x = 979 → -x = 979 - 1099 -x = -120 → x = 120

03. A Menor número natural n de 4 algarismos = xyzw → é divisível por 3 → x + y + z + w é múltiplo de 3. w O algarismo das dezenas é metade do algarismo das unidades → z = → w = 2z → w = 2.2x → w = 4x 2 E igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar → z = 2x x + y + 2x + 4x = M(3) → 7x + y = M(3). Como o número n é o menor, veremos para x = 1. 7 + y = M(3) → y = 9 - 7 (primeiro valor que dará y > 0) → y = 2 → z = 2.1 = 2 e w = 4.1 = 4 O número será = 1224. Analisando as opções, teremos a letra a. 04. A Candidatos atendidos = x Psicólogos = y Atendendo 9 por dia (são 2 dias), sobram 34 → 2.9y = x - 34 (*) Atendendo 10 por dia (são 2 dias), atingem a meta → 2.10y = x (**) . Dividindo (*) por (**) teremos: 9 x − 34 1 = → 9x = 10x - 340 → x = 340 (número de candidatos atendidos, que são 20 a menos de do total 10 x 10 de candidatos) Total = (340 + 20).10 = 3600 candidatos. 05. B Devemos achar o mdc(360, 288) pois os grupos terão menos abelhas que 360 e 288. 1 4 360 288 72 72 0

Teremos grupos com 72 abelhas. Número de grupo: 360 : 72 = 5 → 5 grupos de engenheiras 288 : 72 = 4 → 4 grupos de batedoras Total de 9 grupos com 72 abelhas

06. D 2 3 7 2 7 3 3 5 4 e sobrou → gastou . = → gastou + = → sobrou que corresponde a R$8,00. 9 9 9 9 9 9 7 9 9 1 9 Logo, → 8 : 4 = 2 → → 2 x 9 = R$18,00 9 9 Gastou

07. C Caiu de uma altura H → após o primeiro toque subiu até ceiro toque subiu até

H H → após o segundo toque subiu até → após o ter2 4

H H → = 100 → H = 800cm = 8m 8 8

08. D Número de alunos da escola = y 3 8 x = 128 → x = 128 → x = 176 11 11 32 y = 176 → y = 550 alunos 176 corresponde a 32% dos alunos da escola → 100

Número de fumantes = x → x -

1


EPCAR - 2002 solução - Matemática 09. B Com o aumento de y%, o produto passou a custar x. 80 x = 600 → x = 750 → R$150,00 de aumento 100

Com o desconto, o preço volta a R$600,00 e teremos y .600 = 150 → y = 25 100 10. C dias 5

aviões 50

robôs 6

horas/dia 8

60

5

12

x DP

dias

DP - diretamente proporcional IP - inversamente proporcional IP IP

x=

5

aviões 50

robôs 5

horas/dia 12

x

60

6

8

5.60.6.8 = 4,8 dias 50.5.12

Total de 9,8 dias

11. B Dose = peso x 3mg = 80 x 3 = 240mg que ultrapassa a dosagem máxima de 200mg. Número de gotas = 200 : 5 = 40. 12. A 3x - 2x + 10 -

5 − 3x 5 − 3x = 0 → x + 10 = 0 → 2x + 20 - (5 - 3x) = 0 → 2x + 20 - 5 + 3x = 0 → 5x + 15 = 0 2 2

13. D 2

1

6 2 5 1 0,666... = = e 0,5 = = . Teremos: 8 3 - 9 2 = 9 3 10 2

3

82 -

9 =

3

(2 )

3 2

-3=

3

2 6 - 3 = 22 - 3 = 1

14. C (25.10 −6 ).0,000075 ( 25.10 −6 ).75.10 −6 = 3 = 10 10 (-0,0010)0 = 1 53 1,5 10 4 −4 3 . 1 = =1 5 . 10 1 , 5 . Teremos: 5.10 −4 3 1,5 : 10 4 53 1,5

Vamos por parte:

3

3

52.3.52.10 −12 15 = 5.10 −4 3 = 5.10 −4 3 1,5 10 10

15. B x3 y = y x 3 3

3

y 3 2   x  =  x

y x3 = . x y3 3

6

x2 = y2

6

x    y

2

=

3

x = y

3 3

x que terá como inverso: y

3

y

3

x

, que racionalizando dará:

x2y x

16. A a3 + b3 = (a + b)(a2 + ab + b2) → n3 +

1 1  1  1  1 1    =  n +   n 2 − n. + 2  =  n +   n 2 − 1 + 2  3 n  n  n n   n  n 

1 1 e n2 + 2 n n 2 2 1 1 1 1 1 1 1   2 2 2  n +  = 3 → n + = 3 e  n +  = 3 → n + 2.n. + 2 = 3 → n + 2 + 2 = 3 → n + 2 = 1 n n n n n n n  

Teremos que encontrar n +

n3 +

2

1 = 3 .(1 - 1) = 0 n3


EPCAR - 2002 solução - Matemática 17. A   y 2  2  y2  2  x 2 − y2  2 1 −   .x 1 − 2 .x  .x  x2  x    x   ( x + y)( x − y)   =x-y = = = x+y x+y x+y x − 2 xy + y + 2 xy 18. C Usaremos o teorema do resto: x + 1 = 0 → x = -1 → p(-1) = resto p(-1) = (-1)4 - 2(-1)3 + 2(-1)2 - (-1) + 1 = 1 - 2(-1) + 2(1) + 1 + 1 = 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 7 19. D b p =0→ − =0→p=0 a 1 Teremos: x2 + q = 0 → x2 = -q → x = ± − q → q < 0 pois só teremos raiz real de um número positivo ou nulo.

Tem raízes reais opostas e não-nulas → soma das raízes (S) é zero. S = −

20. A Admite raízes reais e iguais → ∆ = 0 → ∆ = b2 - 4ac ( estas letras não tem nada com as do problema. ∆ = b2 - 4ac → (-2b)2 - 4.a.ab = 0 → 4b2 - 4a2b = 0 → 4b(b - a2) = 0 → b = 0 e b = a2, mas b ≠ 0. 21. B 2

x 2 − 1 = x2 - 7 →  x 2 − 1  = (x2 - 7)2 → x2 - 1 = x4 - 14x2 + 49 → x4 - 15x2 + 50 = 0 → x2 = y   15 ± 152 − 4.1.50 15 ± 5 15 ± 225 − 200 15 ± 25 = = = → y = 10 ou y = 5 2 .1 2 2 2 x = ± y → x = ± 10 ou x = ± 5 (que não serve pois fará a igualdade ficar negativa) NÃO ESQUEÇA DE FAZER A VERIFICAÇÃO QUANDO FOR EQUAÇÃO IRRACIONAL. Produto = - 10 . 10 = -10 22. A x = 2y → 3.2y.y + y2 = 63 → 6y2 + y2 = 63 → 7y2 = 63 → y2 = 9 → y = 3 ou y = -3 y = 3 teremos x = 6 e quando y = -3 teremos x = -6 que em qualquer situação, xy = 18 y2 - 15y + 50 = 0 → y =

23. D Para termos uma função de A em B, duas condições terão que ser satisfeitas, ao mesmo tempo. 1 - Todos os elementos de A terão que ser usados, ou seja: Domínio = A 2 - Cada elemento de A só poderá ter uma imagem que terá que pertencer a B. Sendo assim: letra d 24. C Acertou x Errou y x + y = 60 Somando teremos: 3x = 90 → x = 30  2 x − y = 30 25. D notas de R$5,00 = x notas de R$10,00 = y x y 10 x y = 10 + = +   →  Subtraindo teremos: y = 3 → x + 3 = 10 → x = 7 → Produto = 21  5x + 10 y = 65 x + 2 y = 13 26. B A função será: y = 13 - 0,5x → quando y = 0 teremos: 13 - 0,5x = 0 → 0,5x = 13 → x = 26. 27. A Teremos duas situações e faremos dois exemplos para cada uma, sendo y = ax2: Coeficiente de x2 > 0 Coeficiente de x2 < 0 II 2 I - y = 2x → x = 1 → y = 2 I - y = -2x2 → x = 1 → y = -2 x = -1 → y = 2 x = -1 → y = -2 2 → x = 1 → y = -4 II - y = 4x2 → x = 1 → y = 4 II y = -4x I x = -1 → y = 4 x = -1 → y = -4 Nota-se que quanto maior o a, Nota-se que quanto maior o a, menor a abertura maior a abertura

3

I II


EPCAR - 2002 solução - Matemática 28. B A área da figura hachurada é = 2x.10 - 2.x2 = -2x2 + 20x que é uma função do segundo grau como a < 0. 20 b 20 = − = Logo, terá um valor máximo no x do vértice e xV = − =5 2a 2(−2) 4 Então a área máxima será = -2.52 + 20.5 = -50 + 100 = 50 29. B D β

F

A

E

AG é bissetriz, BE e CF são as alturas A soma dos ângulos internos de um quadrilátero = 360º No quadrilátero AEDF teremos: Â + 90º + 90º + β = 360º Â = 110º - oposto pelo vértice 110º + 90º + 90º + β = 360º → 290º + β = 360º → β = 360º - 290º → β = 70º Das opções: 70º é o complemento de 20º

55º 55º

B

C

G

30. C

α .πr 2 360º Área do setor MATRIZ = 14% da área do círculo. Teremos: α 14 14 α 7.36º 252º 4 .πr 2 = .πr 2 → →α= → α = 50,4º → α = 50º + = →α= .60º → α = 50º24’ 100 360º 10 36º 5 5 10

Área do círculo = πr 2 e área do setor circular =

31.D No losango ARPQ, ângulos opostos congruentes e lados opostos iguais. Pelas paralelas aos lados encontramos os ângulos A e C. Pelo ângulo raso (180º) encontramos B (A + B + C = 180º)

A x y

O ∆ABC é semelhante ao ∆CPQ →

Q R

B

A 10 - x x A y C B 2 6 P C

AB BC AC 6 8 10 = = → = = y 6 10 −x PQ PC QC

4 6 = → 4y = 18 → y = 4,5 Perímetro = 2x + 2y = 9 + 5 = 14 y 3 10 4 = → 40 - 4x = 30 → 4x = 10 → x = 2,5 10 − x 3

32. A B

O ∆ABC é Pitagórico (3, 4 e 5) → 100 = 20x5, 80 = 20x4 e AC = 20x3 = 60 2

100 80

2

Ou BC = AB + AC

2

(Teorema de Pitágoras)

Pedido: AD + DC , onde AD é a altura do ∆ABC e DC é a projeção de AC sobre BC Altura x hipotenusa = produto dos catetos O quadrado do cateto = produto da sua projeção pela hipotenusa.

D

Teremos: AD x 100 = 60 x 80 → AD = 48 A

60

C

e

602 = DC x 100 → DC = 36

Logo: AD + DC = 48 + 36 = 84km

33. C Distância percorrida (d) = velocidade x tempo. Logo: dA = 400 x 2 = 800km e dB = 500 x 2 = 1000km. Formaremos o triângulo B Pela lei dos cossenos: x2 = 10002 + 8002 - 2.1000.800.cos60º 1 x2 = 1000000 + 640000 - 2.1000.800. 1000km 2 x2 = 1640000 - 800000 → x2 = 840000 → x = 60º

x

x = 2.102.

840000 → x =

2 2.21.10 4

21 → x = 200 21 km

800km A

4


EPCAR - 2002 solução - Matemática 34. C T

AB = 20 → AO = OB = 10 (raio), AT = 20 e CO = OD = 10 (raio) AT é tangente, então o ∆ATO é retângulo, com o ângulo reto em A.

C

2

2

O

A

2

2

2

Pelo Teorema de Pitágoras: TO = AT + AO → TO = 202 + 102 2

TO = 400 + 100 → TO = 500 → TO =

B

500 → TO = 10 5

Pedido: TD = TO + OD → TD = 10 5 + 10

D

35. B Para não haver colisão, x tem que ser menor que 600m Temos cateto oposto (x) e cateto adjacente (2000). Usaremos tangente. x cateto oposto → x = 2000.0,27 = tg15º = → 0,27 = cateto adjacente 2000 540m x < 600m. Haverá colisão. d) 220m antes → x = 2220.0,27 = 599,4m < 600m

D x 15º B

2000m

C

36. A

A

B

r r

F

O lado do hexágono regular inscrito é igual ao raio do círculo. Ver figura diagonal maior x diagonal menor AC x OB = ou Área do losango = 2 2 = 2 x a área do triângulo equilátero ABO A área do triângulo equilátero ABO = 12 12.4 48 3 r2 3 → r2 = (racionalizando) = 12 → r2 = 4 3 3. 3

r

O

C

r

48 3 → r2 = 16 3 → r = 16 3 = 4 3

r2 =

3 = 44 3

37. A B

R

30º Teremos: R+r A

30º

r

r A

B R-r T

R-r T r

Pedido:

Área do círculo maior πR 2 R2 = = Área do círculo menor πr 2 r2

No triângulo ABT,retângulo em T, teremos: A hipotenusa é igual ao dobro do cateto oposto. R + r = 2(R - r) → R + r = 2R - 2r → 2R - R = r + 2r → R = 3r

(3r ) = (3r ) = 9r 2 = 9 R2 = r2 r2 r2 r2 2

Pedido: =

2

38. C Da figura teremos 2 retângulos de dimensões 100m e 3m e duas regiões circulares entre dois semicírculos de raios 20m e 23m. Área dos retângulos = 2.100.3 = 600m2  π.232 − π.20 2   = 529π - 400π = 129π = 129.3,14 = 405,06m2 Área das regiões circulares = 2   2   Custo total = 1005,06.500 = 502530 Área total = 600 + 405,06 = 1005,06m2

5


EPCAR - 2002 solução - Matemática 39. D Se o comprimento do arame = x, teremos: lado do quadrado =

x x . lado do triângulo = e o comprimento da cir4 3

cunferência = x. Comprimento da circunferência = 2πr → 2πr = x → r =

x →→→ 2π

2

2

x2 x Q=   = 16 4

x x2   3 3 x2 3 3 = 9 T=   = 4 4 36

2

x2 x2  x  C = π.   = π. 2 = 4π 4π  2π  2 2 2 2 2 x x .2 x x x ,T= = eC= = Vamos arredondar: 3 = 2 e π = 3. Teremos: Q = 16 36 18 4.3 12 Numeradores iguais. A maior é a que tiver menor denominador. T < Q < C 40. D Pelo dado (13g/cm3) deduzimos que: densidade (d) = massa (m)/volume (V) →m = d.V Cuidado com as unidades. 1 litro = 1dm3 1 1 Transformando teremos: meio litro = dm3 = .1000cm3 = 500cm3 2 2 m = 13.500 = 6500g = 6,5kg

6



Provas anteriores da EPCAR - 2003 solução - Matemática 01. D I - A ∪ B = 45 40 II - A ∩ B = .45 = 18 A x 18 y B 100 III - n(A) = n(B) + 9

Da figura e do III → x + 18 = 18 + y + 9 → x = y + 9 x + 18 + y = 45 → y + 9 + y = 45 - 18 → 2y = 18 → y = 9 x = 9 + 9 → x = 18 n(A) = 18 + 18 = 36 e n(B) = 9 + 18 = 27

02. B conjuntos

Alunos que fizeram a prova: 31 - 2 = 29 Não teve nota zero → f = 0

funções b

a e f

c 1

7

a + b + c + d + e + 1 + 7 = 29 → a + b + c + d + e = 21 c + d = 11 e a + b + c + e = 15 Somando as duas teremos: a + b + c + d + e + c = 15 + 11 21 + c = 26 → c = 5

d geometria

03. D 2 .60 = 40 segundos → em 1 hora o relógio adianta 40 segundos. 3 De meio-dia às 6h, teremos 18 horas → 18.40 = 720 segundos = 720:60 = 12 minutos 48 4 4 A hora exata será = 6h - 12min = 5h48min → x.60 = 48 → x = = → 5 horas 60 5 5

1 minuto = 60 segundos →

04. A m é divisível por 55 → é múltiplo de 5 e 11. múltiplo de 5 e 11 → termina em 5 ou 0 → b = 5 ou b = 0 múltiplo de 5 e 11 → A diferença entre a soma dos termos de ordem par e ordem ímpar é 0 ou múltiplo de 11. (b + a + 8) - (9 + 8 + 4) = b + a + 8 - 21 = b + a - 13 Se b = 5 → 5 + a - 13 = a - 8 = 0 → a = 8 Se b = 0 → 0 + a - 13 = a - 13 = 0 → a = 13 - 11 → a = 2 ou a - 13 = 11 → a = 24 - 22 → a = 2. Note que a não pode ser 13 ou 24. Daí a subtração por 11 e 22 (múltiplos de 11). O menor valor de a + b = 0 + 2 = 2 05. B x + y = 475 16 y 475.3  + y = 475 → 16y + 3y = 475.3 → 19y = 475.3 → y = = 75 x y 16 y → 3 19 16 = 3 → x = 3 x = 475 - y → x = 475 - 75 → x = 400 400 75 2 a) 400 é quadrado perfeito. VERDADEIRA 200 75 2 b) 400 25

5 75 0

3 25 mdc

FALSA

400 16 1 3 c) = = 5 = 5 = 5,333... VERDADEIRA 75 3 3 9 d) Cálculo ao lado. VERDADEIRA 06. C Número de exercícios = x e x < 100 x é (múltiplo de 2) + 1 x é (múltiplo de 3) + 1 x é (múltiplo de 5) + 1 x é múltiplo de 7

1

100 50 25 25 5 1

75 75 75 25 5 1

2 2 3 5 5 1200

Vamos calcular o mmc(2, 3, 5) = 30. O número procurado poderá ser: 31, 61 ou 91. Destes três o número será o múltiplo de 7 → 91 Soma dos algarismos = 9 + 1 = 10


EPCAR - 2003 solução - Matemática 07. A tempo (minutos) - t 1 0 a 10 = da hora 6

velocidade (km/h) v

distância (km) = v x t 1 12. =2 6 1 6. =1 6 1 3. 0,5 6 3 1 1 . = = 0,25 2 6 4

12

10 a 20

6

20 a 30

3

30 a 40

3 2

TOTAL = 3,75km

08. A Ficou com: 52 16 50 118 x+ x+ x= x 100 100 100 100 18 = 18% Obteve um lucro de 100

130 2 . x= 100 5 80 1 2º) . x= 100 5

52 x 100 16 x 100 125 2 50 3 2 2 1 3º) Restante = 1 -  +  = 1 - = → . x= x 5 5 100 5 100 5 5

1º)

09. D

1

a) 3

4 + 2 2. 4 − 2 2

1

=

3

3

(4 + 2 2 )(. 4 − 2 2 )

3 3  3 3  . 32.9 0,333.... 3 9  9   =  b) 1 1 3 2 3 2

c)

=

3

1 1 1 = 3 = = 2-1 2 16 − 8 8

VERDADEIRA

3

 1 1  12 4 3  .3 . 3    = 3 = 1 = 3−1 2  = 3 1 1 1 3 2 3 2 3 2

VERDADEIRA

0,03.10 −30 + 0,3.10 −31 1 1 3.10 −32 + 3.10 −32 3.10−2.10−30 + 3.10−1.10 −31 6.10 −32 = = = = = − 32 − 32 − 32 −32 5 5 30.10 30.10 30.10 30.10 VERDADEIRA

−1 d)  2 −1 + 2 2   

2

−2

1 1  = + 1  2  2 2 

(

4−4 2   4 1− 2     2−4  =  −2   

−2

1  1 =  +  2 2

) = (− 2(1 − 2 ))  2

2



−2

 2 +2  =    2 2 

(

−2

2

(

)

  2 2   =  2 2 2 −2 =   2 +2 2 −2    2 +2

(

) (

)(

2

)

  =  

)

= 4 1 − 2 2 + 2 = 4 3 − 2 2 = 12 - 8 2 ≠ 12 2 − 8 FALSA

10. B

b3 − a 3 3 3 2 2 a 3 .b 3 = ab(a + b). b − a . a .b = b2 − a 2 a 3 .b 3 b 2 − a 2 a 2 .b 2 (b − a )(b 2 + ab + a 2 ) 1 . = b 2 + ab + a 2 = ab(a + b). (b − a )(b + a ) a.b 11. C 3 O número é x. I. x = x - 5 → 3x = 4(x - 5) → 3x = 4x - 20 → x = 20 4 4 5 II. x : = x + 5 → x . = x + 5 → 5x = 4(x + 5) → 5x = 4x + 20 → x = 20 5 4 3 III. x + 10 = x → 2(x + 10) = 3x → 2x + 20 = 3x → x = 20 2 1 1 − 3 3 b = ab(a + b). (a2b + ab2). a 1 1 − 2 2 a b

2


EPCAR - 2003 solução - Matemática 12. C coeficiente de x termo independente de x e ab = produto das raízes = coeficiente de x 2 coeficiente de x 2 x2 - 5 = mx → x2 - mx - 5 = 0 − ( − m) −5 a+b= = m e a.b = = -5 → m - 5 = 1 → m = 1 + 5 → m = 6 1 1 a + b = soma das raízes = −

13. A Analise as proposições abaixo classificando-as em V (verdadeira) ou F (falsa). I-y=

(1 + m 2 ) ± (1 + m 2 ) 2 − 4.m.m (1 + m 2 ) ± 1 + 2m 2 + m 4 − 4m 2 (1 + m 2 ) ± 1 − 2m 2 + m 4 = = = 2.m 2m 2m

(

)

2

(1 + m 2 ) ± 1 − m 2 (1 + m 2 ) ± (1 − m 2 ) , para 1- m2 ≥ 0 que dará a condição dada no problema e teremos: = = 2m 2m 2 1 (1 + m 2 ) + (1 − m 2 ) (1 + m 2 ) − (1 − m 2 ) 2m 2 = = =m VERDADEIRA y= = e y= 2m 2m m 2m 2m 2

2x 2 − 4x + 9 = 2x - 3 →  2 x 2 − 4 x + 9  = (2x - 3)2 → 2x2 - 4x + 9 = 4x2 - 12x + 9   2 2x - 8x = 0 → 2x(x - 4) = 0 → x = 0 ou x = 4. Verificando, teremos: x = 0 → 9 = -3 (F) e x = 2 → 2.16 − 4.4 + 9 = 2.4 - 3 → 32 − 16 + 9 = 5 → 5 = 5 (V) FALSA II -

2

4  x4 −1   = 12 → x − 1 = 1→ x4 - 1 = 15→ x4 = 16 → x = ± 4 16 → x = 2 ou x = -2 → 2(-2) = -4 III -   15  15   VERDADEIRA

14. B Coordenadas (x, y) → x = consumo e y = distância. Maior x, maior consumo e maior y, maior distância. Mais econômicos: A1 e A3 Menos econômicos: A2 e A4. 15. D a) s(v) = 10(v + 50) = 10v + 500 VERDADEIRA b) A → 1860 = 10v + 500 → 10v = 1360 → v = 136 vendas B → 1740 = 10v + 500 → 10v = 1240 → v = 124 vendas A - B = 136 - 124 = 12 VERDADEIRA c) A + B = 136 + 124 = 260 VERDADEIRA d) A → 1860 : 2 = 930 → 930 = 10v + 500 → 10v = 430 → v = 43 vendas B → 1740 : 2 = 870 → 870 = 10v + 500 → 10v = 370 → v = 37 vendas A + B = 43 - 37 = 80 FALSA 16. B ∆ = (coeficiente de x)2 - 4.(coeficiente de x2).(termo independente) = a) Não possui raízes reais → ∆ < 0 → ∆ = (+) - 4(-)(+) > 0 FALSA b) Se Im = ]- ∞, 4] → y do vértice (yV) = 4. yV =

− (a 2 − 4bc) −∆ =4 = 4b 4.coeficiente de x 2

2

a2 a2 a2 a2 a 2 − 2a 2 + 4bc  a   a   a  = b − + a − + c = b g− = + c = + c =      4b 2b 4b 4b 2 2b  2b   2b   2b  − a 2 + 4bc − (a 2 − 4bc) = = VERDADEIRA 4b 4b c) o gráfico de g passa pela origem se o termo independente (c) for igual a 0. Como abc ≠ 0, então a, b e c são diferentes de 0. FALSA d) g possui raízes reais e distintas se ∆ > 0 → a2 - 4bc = 4bc - 4bc = 0 FALSA =

3


EPCAR - 2003 solução - Matemática 17. C A X

B 150º

a a

Y

b b

O

Da figura → 150º + 2a + 2b = 180º → 2a + 2b = 30º a + b = 15º XÔY = 150º + a + b = 150º + 15º = 165º

18. C Condição de existência de um triângulo de lados a, b e c: a b − c . 16 - x > 2 x + 2 − ( x + 12)

16 - x < 2x + 2 + x + 12 -4x < - 2 (-1) 4x > 2 x>

16 - x > 2 x + 2 − x − 12

x − 10 < 16 - x

2 1 →x> 4 2

x ≥ 10 x - 10 < 16 - x 2x < 26 → x < 13 x ≥ 10 ∩ x < 13 = = 10 ≤ x < 13 x < 10 ∪ 10 ≤ x < 13 = x < 13 x < 10 -x + 10 < 16 - x 10 < 16 R R ∩ x < 10 = x < 10

x − 10, se x − 10 ≥ 0 → x ≥ 10 x − 10 =  − ( x − 10) = − x + 10 → x < 10

x < 13 ∩ x >

1 1 = < x < 13 ⊃ C 2 2

19. D ∩

∩

∩ ∩ CD + AB Da figura → CD = 20º.2 = 40º → 70º = → 40º + AB = 140º→ AB = 100º 2 ∩

∩

α=

A’

t β

∩

AB− CD 100º −40º = = 30º 2 2

20º ∩

∩

Da figura → B' X = 20º.2 = 40º → 64º =

B’

∩

∩ ∩ B' X + A ' C' → 40º + A ' C' = 128º→ A ' C' = 88º 2

64º

C’

116º X

∩

A ' C' 88º β= = = 44º 2 2

α + β = 30º + 44º = 74º

20. B Comprimento da circunferência (C) = 2πr = dπ (r = raio e d = diâmetro = 2r) C = 50π = 50.3,14 = 157cm = distância percorrida em uma volta. Distância percorrida = 300km = 300.105cm Número de voltas = 300.105cm : 157cm ≅ 1,91.105 ≅ 2.105 21. D Em duas paralelas cortadas por uma transversal temos ângulos agudos e obtusos. Ângulos de mesmo nome são iguais e de nomes diferentes somam 180º. x2 - 2x = 7x (agudos) 3z + 7x = 180º (agudo e obtuso) 7y − 4 = 180º (agudo e obtuso) 7x + 3z + 63º = 180º x2 - 9x = 0 → x(x - 9) = 0 2 3z = 117º x = 0 (não pode) e x = 9º 7y − 4 7y − 4 7.9 + = 180º → 63 + = 180º z = 39º 2 2 x = 9º y = 34º z = 39º 126º + 7y - 4 = 360 → 7y = 238º → y = 34º 22. A A

2 D

60º

2 3 4 30º 30º 3 60º B

4

E

3

C

Lembrete: No triângulo retângulo com ângulo de 30º o cateto oposto ao ângulo de 30º é a metade da hipotenusa e o adjacente é o oposto x 3 . O ∆ACD é retângulo em D. O ∆BED é retângulo em E. O ∆BCD é retângulo em D. O ∆ABC é retângulo em C. O ∆DEC é retângulo em E. Veja a figura. Pelo ângulo de 30º encontramos AD , DC , DE e EC Área do ∆DEC =

3. 3 2


EPCAR - 2003 solução - Matemática 23. B d = diagonal do quadrado = a 2 (a é o lado do quadrado) = 3 2 3

A

d 3 2 = = 3 3

B

45º x

d 3 P

2

( 2)

2

Pela lei dos cossenos: x2 = 32 + Q

x2 = 9 + 2 - 2.3. C

D

x

Pedido:

5 +1

2.

2 .cos45º

- 2.3.

2 → x2 = 9 + 2 - 6 → x2 = 5 → x = 5 2 5 5 5− 5 5− 5 5 −1 = = = 5 −1 4 5 +1 5 +1

(

=

)

24. D Observando a figura: O ∆ABC é retângulo em B (inscrito em um a semicircunferência) cateto adjacente AB → AB = 2rcosα VERDADEIRA = a) cosα = hipotenusa 2r b) senα =

cateto oposto BC → BC = 2rsenα = hipotenusa 2r

AM → AM = AB cosα = 2rcosα.cosα = 2rcos2α AB BM → BM = AB senα = 2rcosα.senα = 4rsenαcosα d) senα = AB

A

r

30º

1

D

1

1

β = 60º α = 30º

3 3 3− 3 2 3 = = 3 3 3

O

A

x

t1

R 2 +R 3 2

R 3-R 2 b R 3- 2 2 = = 2 a R 2 +R 3 2 27. C

(

)

Diâmetro = dobro do raio → r1 = Observando as figuras, teremos: x x (1) 3x1 = x → x1 = → r1 = 3 6 São 9 círculos 2

5

2R 3 - R 2 - R 3 2

3- 2 2 = ( 2 2+ 3 R 2+ 3

(

)

2

2

3)=

=

R 3-R 2 2 6 -3- 2 + 6 2 6 -5 = =5-2 6 2−3 −1

x1 x x , r2 = 2 e r3 = 3 Área S do círculo = πr2 2 2 2 (2) 4x2 = x → x2 =

x x → r2 = 4 8

São 16 círculos

x πx x =  = 9π 36 4 6 Então: S1 = S2 = S3

S = 9π 

.

→b=

B

t0

26. A O lado de um quadrado inscrito = R 2 e o lado do triângulo equilátero inscrito = R 3 a − b = R 2 R 2 +R 3 Teremos o seguinte sistema:  → 2a = R 2 + R 3 → a = 2 a + b = R 3 b=R 3 -a→b=R 3 -

C

FALSA

3

1 3 = ∆AOC → 1 = OA. 3 → OA = 3 3

M

O

VERDADEIRA

C

25. C Da figura temos: ∆OBD → OB = 1. 3 =

3 -

α

VERDADEIRA

c) cosα =

x = OB - OA =

B

2

x x → r2 = 5 10

São 25 círculos

x πx x =  = 16π 64 4 8

S = 16π 

(3) 5x3 = x → x3 =

2

2

2

x2 πx 2 x = 25π =  100 4  10 

S = 25π 


EPCAR - 2003 solução - Matemática 28. B a) O triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo de hipotenusa igual ao diÂmetro. Logo, o ângulo C do triângulo ACB é igual a 90° VERDADEIRA b) O triângulo ACB é retângulo isósceles → hipotenusa = cateto. 2 → 10 10 2 A 10 = x 2 → x = = =5 2 2 2

C x 45º 5

x

h

O

5

B

2πr = 5π ≅ 5.3,14 ≅ 15,7 2 Falsa 2 10.5 2 . 10h 10.x.sen 45 2 = 5.5 = 25 (h = 5 - ∆ isósceles) → Área = 5.5 = 25 ou Área = = c) Área = 2 2 2 VERDADEIRA área da circunferência πr 2 − área do triângulo − 25 25π − 50 25(π − 2 ) π.52 − 50 2 = = = 2 = = d) Área = 2 2 4 4 4 = 6,25.(π - 2) VERDADEIRA Para ir de A até B pelas cordas = 10 2 ≅ 10.1,4 ≅ 14 e pela semicircunferência =

29. A Área do trapézio =

(BC + DE ).EB

2 O cateto oposto ao ângulo de 30º DE é a metade da hipotenusa OD = 1 e o cateto adjacente OE é o oposto

( )

vezes

(

)

( )

3

1 3 3 2− 3 e OE = . Então: EB = 1 = 2 2 2 2 1 3 = No ∆OBC → OB = BC . 3 → 1 = BC . 3 → BC = 3 3  3 1 2− 3  2 3 +3 2− 3 4 3 −6+ 6−3 3      3 + 2 . 2  6 . 2 3   12 = =  Área do trapézio =  = 2 2 2 24 No ∆OED → DE =

OU Área do ∆OBC - Área do ∆OED = OB = 1 1 = BC . 3 → BC =

1 3 = 3 3

OB.BC OE.ED 2 2 1 OD = ED = 2 2 1 3 OE = . 3 = 2 2

3 3 1 1. . OB.BC OE.ED 3 - 2 2 = Área = = 2 2 2 2 3 3 4 3 −3 3 3 = = = 6 8 24 24

30. A Volume do paralelepípedo retângulo = produto de suas dimensões = 20.20.40 = 16000cm3. (1dm3 = 1 litro) 80 Será ocupado com 80% de sua capacidade. Logo: .16000 = 12800cm3 = 12,8dm3 = 12,8 litros = 12800ml 100 O número de gotas = 12800 : 256 = 50

6



Provas anteriores da EPCAR - 2004 solução - Matemática 01. B

80º - 3x + 5x - 14º + x + 4x + 9º = 180º -3x + 5x + x + 4x = 180º - 80º + 14º - 9º 7x = 105º → x = 15º Os ângulos são: 80º - 45º = 35º; 75º - 14º = 61º; 15º e 60º + 9º = 69º

P

N

5x - 14º Q x 80º - 3x 4x + 9º B A O

Complemento do menor = 90º - 15º = 75º

02. A r

Da figura, temos: î = 90º - â + 180º - ê â + ê + î = 270º

â

â 90º - â

90º - â î

180º - ê ê

03. B

180º - ê

s

A x(x + 21) = 100 → x2 + 21x - 100 = 0

− 21 ± 212 − 4.1.(−100) − 21 ± 441 + 400) = 2 .1 2  − 50 = −25 não pode − 21± 841 − 21± 29  2 = = =  2 2 8 = 4 → x = 4  2 x=

10 α α =β

C x

D

B

21

x 10 CD AC ∆ACD ~ ∆ABC → = → = 10 x + 21 AC BC (2 x + 2) + ( x + 5) 3x + 7 12 + 7 Área do trapézio = .x = .x = .4 = 38 2 2 2

04. A Retângulo II Retângulo I → 2p = 2x + 2y → p = x + y → y = p - x ou x = p - y comprimento = x + 5 largura = y + 7 comprimento = x largura = y Área = AII = (x + 5)(y + 7) e AII = AI + 133 Área = AI = xy Teremos: xy + 7x + 5y + 35 = xy + 133 → 7x + 5y = 133 - 35 → 7x + 5y = 98 → 7x + 5(p - x) = 98 98 − 5p 98 − 5p 7x + 5p - 5x = 98 → 5p + 2x = 98 → 2x = 98 - 5p → x = (x > 0) → >0 2 2 98 - 5p > 0 → -5p > -98 (-1) → 5p < 98 → p < 19,6 7 p − 98 7 p − 98 ou 7(p - y) + 5y = 98 → 7p - 7y + 5y = 98 → 7p - 2y = 98 → 2y = 7p - 98 → y = (y > 0) → >0 2 2 7p - 98 > 0 → 7p > 98 → p > 14 Que nos dará: 14 < P < 19,6 05. D C 60º P 30º 30º

N 60º

60º O A

30º M

B

x

MB = a - x (hipotenusa ∆NMB) a-x (cateto oposto a 30º). A partir daí, o mesmo raciocínio. NB = 2 a-x 2a - a + x a + x a+x = = → CP = CN = a 2 2 2 4 a+x 4a - a − x 3a − x 3a − x AP = a = = → AO = 4 4 4 8 3a − x 8x - 3a + x 9x - 3a = = OM = x 8 8 8

06. C O lado do triângulo equilátero inscrito = l = r 3 → l = 8 3 A área do triângulo equilátero = A =

14

( )

l2 3 8 3 = 4 4

2

3

=

64.3 3 = 48 3 4


EPCAR - 2004 solução - Matemática 07. B I - OB é o raio, que é perpendicular a tangente pelo ponto de tangência B. VERDADEIRA VERDADEIRA II - α e γ compreendem o mesmo arco AB, logo são iguais. 180º - β III - 2θ + β = 180º → 2θ = 180º - β → θ = . VERDADEIRA 2 08. B B D P

360º = 24º α 15

360º = 72º 5 C A

α=

72º −24º 48º = = 24º 2 2

09. C T

Teremos: PT = PM.PS → 9PN = 2 PN . 2PN + 6

(

)

r M

r 6

Q

)

9 PN = 2. 2PN + 6 → 9 PN = 4 PN + 12→ 5 PN = 12 → PN =

N O

(

2

2

P

Daí: PT = 3 PN → PT = 3. 2

36 12 → PT = 5 5 2

(

Teremos: PT = PN.PQ → PT = PN . PN + 2r

12 5

)

2

S

PN PM PT = = → PT = 3 PN 1 2 3 e PM = 2 PN

12  12 1296 144 24r  36   + 2r  → . = +   = 5 5 25 25 5  5   24r 1296 144 24r 1152 48 1152.5 = → = →r= = 25 25.24 5 25 5 25 5 2 2304  48  Área do círculo = πr2 = π.   = π = 92,16π 25  5 

10. A Círculo (1) → C1 = 2πR1 30º πR 2 Arco de 30º do círculo (2) → C2 = 2πR2 = 2 360º 6 Área = πR 12 = 2 → R 12 = π 2 πR 2 Teremos: 2πR1 = → R2 = 12R1 → R 22 = 144R12 Área do círculo (2) = πR 22 = π.144. = 288 6 π 11. B Área (A) = área do ∆ACP + área do setor circular AEP π 180º P α= rad = = 15º 2.2sen150 º 30º π 12 α 12 + π.22 = 2sen30º + = A= α C 2 2 360º 3 2α = 30º e 180º - 2α = 150º 2 2α 1 π π A + =1+ = 2. 2 E 3 3 2 180º- 2α

12. C 2 2 V = .6h = 4hcm3. 3 3 216 = 6cm 4h.9 = 216 → h = 4 .9

Dimensões da caixa: 20mm = 2cm, 3cm e hcm. Volume = V = 2.3.h = 6xcm3. Ocupou 9dg → 1cm3 216dg → 4hcm3 VERDADEIRA a) H = 6cm, logo h ∈ [5, 6] b) Volume ocupado = 2.3.x = 24 → x = 4cm = 40mm VERDADEIRA c) Massa total na caixa = 36.9 = 324dg. Sobra = 324dg - 216dg = 108dg = 0,0108 d) 2.3.6 = 36cm3 VERDADEIRA Massa do líquido = 0,0216kg = 216dg

15

FALSA


EPCAR - 2004 solução - Matemática 13. D Observando a figura, [A - (A ∩ B)] ∩ B = ∅. logo, C = ∅ A B n(B ∩ C) = 0 A - (A ∩ B) A ∩ B Das opções, teremos que  n(C) = 0 14. A (n - 1)2 = n2 - 2n + 1 = acréscimo de uma unidade a n2 e do resultado subtrai-se um número (2n) 2n = 2.

608400 = 2.

2 2.32.132.10 2 = 2.2.3.13.10 = 1560 → 1 + 5 + 6 + 0 = 12

6084.102 = 2.

15. D Pontos em comum leva ao mmc(250, 225) = 2250 Pontos comuns = 15750 : 2250 = 7

16. C

250, 125 125 125 25 5 1

225 225 75 25 5 1 1

2 3 3 5 5 5 2250

S soma das notas (S) = 72,5 → S = 72,5.100 = 7250. Retira-se anota x. = 100 100 S−x Nova média = = 72,3 → S - x = 72,3.99 → S - x = 72,3.99 → S - x = 7157,7 99 7250 - x = 7157,7 → x = → 7250 - 7157,7 → x = 92,3 Média aritmética =

17. D 105 C. 100 5 105 4 3 3 3 C = C a 4% ao ano por 2 anos → juros = 2. C Aplica . . C = 4 100 4 50 7 100 2 105 6 3 3 6 C= C a 6% ao ano por 2 anos → juros = 2. C Aplica o restante → . . C = 10 250 7 100 100 10 3 21 672.250 6 15 + 6 C + C = 672 → C = 672 → C = 672 → C = → C = 8000 250 250 50 250 21 Capital primitivo = C. Aplicado a 5% ao ano → Capital + juros =

18. A

   −1 −2  64.10 .10

( (

)

1 625.10 − 2.10 − 2 4

)

−

1 3

   

−

1 2

 =   6 −3  2 .10

( (

  1 −  3 

) )

1 54.10 − 4 4

1

−

1 2

 4. 1 − 4. 1   5 4 .10 4  =  −1 −1  − 3. 6.  2 3 .10 3 

−

1 2

5

−

1 2

1

1

 2 − 2.10.10  2  2− 2.10  2 =  =   = −1  5    5.10 

1

 1 2 1 1 2 2 1  2 2 .10   4 .100   25  2  =   =   = [5]2 =  =  5   5   5     

1  2 − 2.10 2  2

=  

 5.10 −1  =  −2   2 .10 

5

19. B A

x C

500 - x

B

Preço de A: 3000 + 6x Preço de B: 3800 + 5(500 - x) = 3800 + 2500 - 5x = 6300 - 5x

3000 + 6x = 6300 - 5x 11x = 3300 x = 300km de A

20. C Faremos com exemplos: a quanto menor o denominador, maior o número. 3 7 3 7 21 . = = 0,21 < a b) 10 10 100 a)

16

VERADEIRO VERADEIRO


EPCAR - 2004 solução - Matemática 7 7 10 7 c) 10 = . = (o numerador é maior que o denominador) > 1 FALSA 3 10 3 3 10 3 7 4 =<0 VERADEIRO d) 10 10 10 21. B x + 2 y + k = 0  x + 2 y = −k (−3) − 3x − 6 y = 3k 11 − 3k →  →  → -2y = 3k - 11 → 2y = 11 - 3k → y =  2 3x + 4 y + 11 = 0 3x + 4 y = −11 3x + 4 y = −11 11 − 3k x + 2y = -k → x = -2y - k → x = (-2). - k → x = -11 + 3k - k → x = 2k - 11 2 x e y são negativos. Teremos: 11 − 3k 11 < 0 → 11- 3k < 0 → -3k < -11 (-1) → 3k > 11 → k > e 2 3 11 11 11
x 8 + 2x 4 + 1 = 4x 4

(x

)

+1 4x 4

4

2

=

x4 +1 2x 2

23. B

x4 + ox3 + 2x2 + 0x - 3 x2 - 2x + 1 -x4 + 2x3 - x2 x2 + 2x + 5 3 2 2x + x + 0x - 3 -2x3 + 4x2 - 2x 5x2 - 2x - 3 -5x2 + 10x - 5

P3 8 x − 8 8 .0 − 8 −8 = = = = -8 1 − 2x 1 − 2x 1 − 2.0 1

8x - 8

24. A 5 x ' '+ x ' = → x '.x ' ' 12

−b −k soma das raízes   5 5 5 −k −k  a  = → = → = 5 → k = -15 → 1 = 36 36 3  c  12 12 12 produto das raízes   1 a

25. A 2

x 2 − 1 = 2x2 - 2 →  x 2 − 1  = (2x2 - 2)2   2 4 2 4 x - 1 = 4x - 8x + 4 → 4x - 9x2 + 5 = 0 x2 = y → x4 = y2 → 4y2 - 9y + 5 = 0

− (−9) ± (−9) 2 − 4.4.5 9 ± 81 − 80 →y= y= 2 .4 8 9 ±1 10 5 8 y= = ou y = = 1 →y= 8 8 4 8 Área do quadrado de lado l = l2 y x2 Área do quadrado de lado l = = 2 d 2 2 Diagonal do quadrado = d = l 2 → d2 = 2l2 → l2 = O menor y (1) positivo dará a menor raiz positiva. 2 1 d2 = 0,5 Teremos a área = e d = x → d2 = x2 Área do quadrado de lado l = 2 2

17


EPCAR - 2004 solução - Matemática 26. C Número de alunos = x.

Preço por aluno =

Saíram 5 alunos → teremos x - 5 alunos.

6000 x

Preço por aluno =

6000 ( o preço do passeio não mudou) x −5

6000 6000 + 40 → mmc = x. (x - 5) → 6000x = 6000(x - 5) +40.x.(x - 5) = x −5 x 6000x = 6000x - 30000 + 40(x2 - 5x) → 0 = -30000 + 40x2 - 200x (:40) → x2 - 5x - 750 = 0 − (−5) ± (−5) 2 − 4.1.(−750) 5 ± 55 5 ± 25 + 3000 5 ± 3025 x= →x= →x= →x= → x = 30 ou 2 .1 2 2 2 6000 6000 x = -25 (não podemos ter -25 alunos) → x = 30. Preço por aluno = = = 240. 30 − 5 25

27. C Função de A em B: I) D = A, ou seja, todos os elementos de A terão que ser usados. Eliminamos (b) e (d). II) A cada elemento de A corresponde um único em B, ou seja, cada domínio terá uma única imagem. Eliminamos (a). 28. A A reta F = aC + b passa pelos pontos (0, 32º) e (100º, 212º) 212º −32º 180º 9 9 9 9 ∆y a= = = = → F = C + b → 32º = .0º + b → b = 32º → F = C + 32º ∆x 100º −0º 100º 5 5 5 5 9 9 − 32º.5 → C = -17,7º F = 0º → 0º = C + 32º → C = -32º → C = 5 5 9 9 C = -10º → F = .(-10) + 32º → F = -18 + 32º → F = 14º 5 9 9 9 36º.5 F = 68º → 68º = C + 32º → C = 68º - 32º → C = 36º → C = → C = 20º 5 5 5 9 29. D (1) y = x2 + 2 → a > 0 (concavidade para cima), corta o y em 2 e x = ± − 2 (não tem raízes reais) → g(x) (2) y = (x - 2)2 → y = x2 - 4x + 4, a > 0 (concavidade para cima), corta o y em 4 e (x - 2)2 = 0 → x = 2 → h(x) (3) y = -x2 → a < 0 (concavidade para baixo), corta o y em 0 e x = 0 → j(x) (4) y = x2 - 2 → a > 0 (concavidade para cima), corta o y em -2 e x = ± 2 → nenhuma (5) y = (x + 2)2 → y = x2 + 4x + 4, a > 0 (concavidade para cima), corta o y em 4 e (x + 2)2 = 0 → x = -2 → nenhuma 30. D −∆ − [16 + 4] − 20 − [4 2 − 4.1.(−1)] = = = = -5 V(-2, -5) 4a 4 .1 4 4 5 ∆y 0 − (−5) Função afim: y = ax + b → V(-2, -5) ∈ y e (-1, 0) ∈ y → a = =5 = = ∆x − 1 − (−2) 1 y = 5x + b → 0 = 5.(-1) + b → 0 = -5 + b → b = 5 → y = 5x + 5 Interseção: x2 + 4x - 1 = 5x + 5 → x2 - x - 6 = 0

xV =

−b −4 = = -2 2a 2.1

yV =

− (−1) ± (−1) 2 − 4.1.(−6) 1± 5 1 ± 1 + 24 1 ± 25 →x= →x= →x= 2 .1 2 2 2 6 −4 x= =3ex= = -2. Como o ponto está no 1º quadrante → x = 3 2 2 y = 5.3 + 5 = 15 + 5 = 20 x + y = 3 + 20 = 23

x=

18



Provas anteriores da EPCAR - 2005 solução - Matemática 01. D I A⊂B

C∩A≠∅

A

C

B

(A ∩ C) = pintado ⊂ B VERDADEIRO

II A ∪ B = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8} A 1 3 6

7

4 8

2

0

B 2 5

III

-1

A ∩ B = {2 , 5} diferente de ∅ FALSA {x ∈ R / x ≤ 2 ou x ≥ 3}

3

FALSA

02. D x3 - x = x(x - 1)(x + 1) que são inteiros e consecutivos. São dois pares e um ímpar ou dois ímpares e um par e sempre teremos os fatores 2 e 3, logo o número será sempre múltiplo de 6. 03. D a = 24 x 3k, b = 2P x 3 x 7 e 672 = 25 x 3 x 7. O mmc = produto dos fatores comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes. Teremos k = 1 e p = 5. a) 25 x 21 = 32 x 21 que não é múltiplo de 5. FALSA b) 3k = 3 e 2P = 32 que não é divisor de 3 FALSA c) Pk = 5 que não é múltiplo de 3 FALSA d) P - k = 5 - 1 = 4 e 4k = 4 VERDADEIRA 04. B N =15 x 20 x 6 = 3 x 5 x 22 x 5 x 2 x 3 = 23 x 32 x 52. Como y é divisor de N → c = 5, a ≤ 3 e b ≤ 2. y = 2a x 3b x 52 → Número de divisores = soma-se 1 a cada expoente e multiplica-se este resultado. (a + 1)(b + 1)(2 + 1) = 36 → (a + 1)(b + 1).3 = 36 → (a + 1)(b + 1) = 12 a ≤ 3 b ≤ 2 (a + 1)(b + 1) = 12 1 1 2.2 = 4 ≠ 12 a=3 1 2 2.3 = 6 ≠ 12 b=2 c=5 2 1 3.2 = 6 ≠ 12 2 2 3.3 = 9 ≠ 12 a+b=c 3 1 4.2 = 8 ≠ 12 3 2 4.3 = 12 05. B Retângulo de dimensões x e y = 15. 4,80m = 48dm → 2x + 2y = 48 → x + y = 24 → x = 24 - 15 → x = 9 O maior lado possível é divisor de 48 e 15 3 3 Área do retângulo = 9.15 = 135 48 15 3 mdc 3 0 n (inteiro) quadrados → nl2 = 135 → n.32 = 135 → n = 135 : 9 → n = 15 → 1 + 5 = 6 06. C t = unidade de tempo T = tempo de marcha 1º atleta 5P 5P T 12 v1 = 1 → s1 = 1 .T = 60→ = t t t P1

P = passos P1 =

2 3 3 P P2 → P2 = P1 → 2 = 3 2 P1 2

2º atleta 4P2 4P v2 = → s1 = 2 .T t t

s1 = 4P2.

3 12 = 4. .12 = 72km P1 2

07. B Analise as afirmativas seguintes e classifique-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas. 120 2 4 2+n 4 ( F) . = → = → 5(2 + n) = 4(3 + n) → 10 + 5n = 12 + 4n → n = 2 100 3 5 3+ n 5 6

1

( ) ( ) 2

1

( V ) 8 9 - 9 2 = 2 3 3 - 32 2 = 22 - 3 = 4 - 3 = 1 A diferença 8 0,666... - 9 0,5 é igual a 1. ( V ) Observando a fatoração → 3888 = 24.35 que para ser um cubo perfeito falta 22.3 = 12

1

3888 1944 972 486 243 81 27 9 3 1

2 2 2 2 3 3 3 3 3


EPCAR - 2005 solução - Matemática 08. D Vai percorrer 250km con uma velocidade média de 200km/h. Observando as unidades, podemos encontrar o 250 5 5 espaço (e) tempo, pois vM = →t= = h = .60min = 75min tempo ( t ) 200 4 4 Quantidade mínima de combustível = (consumo em 45min) + (consumo em 75min) 35 litros 60min x 45min x=

35 litros y

45.35 105 = 60 4

y=

60min 75min

75.35 175 = 60 4

x+y=

105 175 280 + = = 70 litros 4 4 4

09. QUESTÃO ANULADA, pois o texto está confuso: “Pelo preço normal da loja, o valor pago pelas mercadorias citadas acima corresponderia respectivamente a 20%, 15%, 15% e 50% do preço normal da loja.” 10. C C1 - C2 = 200. Como os juros são iguais (j1 = j2) então o tempo de aplicação não importa. 20 1 30 3 1 3 2 C1 = C1 e j2 = C2 = C 2 → C1 = C 2 → C2 = C1 j1 = 100 5 100 10 5 10 3 2 C C1 - C1 = 200 → 1 = 200 → C1 = 600 3 3 11. B

3 12 27 = = → 3 ≠ 24 ≠ 81 FALSA 1 1 1 3 1 2 3 12 27 3 12 27 = → 3 = 3 = 3 VERDADEIRA b) 2 = 2 = 2 → = 1 4 9 1 2 3 3 12 27 3 12 27 c) = = → = = → 3 ≠ 48 ≠ 243 FALSA 1 1 1 1 1 1 1 4 9 12 2 2 32 3 12 27 d) = = → 3≠ 6 2 ≠9 3 FALSA 1 2 3 a)

12. B

dias x a

homens x y

horas x y

artigos x y

Setas diferentes indicam inversamente proporcionais, logo invertemos os valores.

dias x a

homens y x

horas y x

artigos x y

a=

x.x.x.y x2 = y.y.x y

13. A 4a + b = 2b - 3a + b → 4a + 3a = 2b + b - b → 7a = 2b → a = 14. C Tinha x para gastar gastou x x+2 +1= 1ª loja 2 2 x−2 x+2 +1= 2ª loja 4 4 x −6 x+2 +1= 3ª loja 8 8 2

2b b → a = 2. . 7 7

passou a ter x+2 x−2 = 2 2 x−2 x+2 2( x − 2) − ( x + 2) x −6 = = 2 4 4 4 x −6 x+2 2( x − 6) − ( x + 2) x − 14 = = 4 8 8 8

x-


x − 14 x+2 x − 14 + 1= 4ª loja 16 16 8 x − 30 x+2 x − 30 +1= 5ª loja 32 32 16 x − 62 x+2 x − 62 +1= 6ª loja 64 64 32 x − 126 Como gastou tudo: = 0 → x = 126 64 a) Tinha 126 reais c)

EPCAR - 2005 solução - Matemática x+2 2( x − 14) − ( x + 2) x − 30 = = 16 16 16 x+2 2( x − 30) − ( x + 2) x − 62 = = 32 32 32 x+2 2( x − 62) − ( x + 2) x − 126 = = 64 64 64

FALSA

126 + 2 128 = = 8 reais 16 16

126 + 2 128 = = 32 reais FALSA 4 4 126 − 30 96 = d) = 6 reais FALSA 16 16 b)

VERDADEIRA

15. D 15(5x - 3) - 4.6 + 10.2x = 5(19x - 8) - 15.1 → 75x - 45 - 24 + 20x = 95x - 40 - 15 14 75x + 20x - 95x = - 40 - 15 + 45 + 24 → 0x = 14 → x = que é impossível. 0 16. A 1 2  − 13 8 

( ) x (2 ) 0, 5

1 7 −7

 − 51 1 1 1 1 − 52  −3 −1  −3 −3 −3 −3  x 2 x10 =  − 13x 2  x 2 x10 =  − 13x  x 2 x10 =   x 2x10 = 4 x10 = 8 8 2 8        -3 = -12,75x10

17. QUESTÃO ANULADA POR NÃO TER A OPÇÃO CORRETA. 11 - 2(x - 3) > 1 - 3(x - 5) 3x + 2 < 7 - 2x 48x ≤ 3x + 10 5x < 5 11 - 2x + 6 > 1 - 3x + 15 45x ≤ 10 x<1 x>5 10 5 →x≤ ≅ 0,55 x≤ 45 9

A solução é o conjunto vazio, pois não há interseção entre os resultados.

18. C O número a subtrair é x. p−x q p2 + q 2 = − → p2 - px = -q2 + qx → px + qx = p2 + q2 → x(p + q) = p2 + q2 → x = q−x p p+q 19. B Equação I: ax2 + bx + c = 0 Soma das raízes = r + s = − Produto das raízes = r.s =

b → ar +as = -b a

c → c = ars a

20. B Racionalizando:

x+4 + x−4 x+4 − x−4

.

(

x+4+

Equação II: Ax2 + Bx + C = 0 ou x2 - Sx + P = 0 Soma das raízes (S) = ar + b + as + b = -b + 2b = b Produto das raízes (P) = (ar + b).(as + b) a2rs + arb + abs + b2 = aars + arb + abs + b2 ac + b(ar + as) + b2 = ac + b(-b) + b2 = ac x2 - bx + ac = 0

( x − 4) =

)

2

(

)( ( x + 4) − (

) ( x − 4)

x + 4 + 2. x + 4 . x − 4 + 2

2

x−4

)

2

=

x + 4 + 2. x 2 − 16  + x − 4 2x + 2. x 2 − 16  2. x + x 2 − 16  2      = x + x − 16 =  = = x + 4 − (x − 4 ) x + 4 − −x + 4 8 4 2 x + x 2 − 16 2 = 2 → x + x 2 − 16 = 8 → x 2 − 16 = 8 - x →  x 2 − 16  = (8 − x )   4 x2 - 16 = 64 - 16x + x2 → 16x = 80 → x = 5 (primo). Não esquecer a verificação, que pode ser feita apenas por observação.

Resolvendo:

3


EPCAR - 2005 solução - Matemática 21. A 27 .1800 = 486 < 500 VERDADEIRA 100 b) Do dia 10 ao dia 15 o consumo foi constante. FALSA c) Aconteceu o contrário. FALSA d) Do dia 1º ao dia 10, o consumo aumentou 1500 - 1000 = 500 a)

Do dia 20 ao dia 30, o consumo aumentou 1800 - 500 = 1300 →

1 .1300 ≠ 500 3

FALSA

22. D y = 2x → (2x - 2)(x - 3) = 48 → 2x2 - 6x - 2x + 6 = 48 → 2x2 - 8x - 42 = 0 → x2 - 4x - 21 = 0

− (−4) ± (−4) 2 − 4.1.(−21) − b ± b 2 − 4.a.c 4 ± 10 4 ± 16 + 84 4 ± 100 = = = = 2.a 2 .1 2 2 2 x = 7 ou x = -3 (impossível. Não se fabrica um número negativo de camisas). Então y = 14

x=

bissetriz

23. C

Pedido (P): P = x + y + z ou P = x + y + w 2x + 2y + z + w = 360º 2x z 2 y w 2 x + z + 2 y + w 360º = = = = = = 30º 1 2 4 5 1+ 2 + 4 + 5 12 2x z 2y w = 30º → x = 15º; = 30º → z = 60º; = 30º → y = 60º; = 30º → w = 150º 1 2 4 5 P = 15º + 60º + 60º = 135º ou P = 15º + 60º + 150º = 225º (não convexo)

B

A x x z wO y y

C

D bissetriz

24. A Comprimento da circunferência = 2πr = 6π → r = 3 1ª situação EC + FB .EF F A B = Área = 2. 3 3 2 2 2 C D = EC + FB .EF E

(

(

2 2

)

F

A

(OC) = (EC) + (OE) 9 = 8 + (OE ) (OE) = 1 → OE = 1 2

2

2

)

B

Área = 2.

3

3

)

OC = 3 e OB = 3 (são raios)

O

(

Teremos duas situações AB // CD : 2ª situação

(

2

2

2

2

D

2 2

E

2 2

C

EF = OF - OE =

(

)(

6

6 -1

2

2

2

2

(OB) = (FB) + (OF) 9 = 3 + (OF) → (OF) 2

2

2

2

EF = OF + OE =

)

(OC) = (EC) + (OE) 9 = 8 + (OE ) (OE) = 1 → OE = 1 2

2

= 6 → OF =

)

OC = 3 e OB = 3 (são raios)

O

2

2

2

= EC + FB .EF

2

(OB) = (FB) + (OF) 9 = 3 + (OF) → (OF)

(EC + FB).EF =

(

)(

= 6 → OF =

6

6 +1

)

Área = 2 2 + 3 . 6 − 1 = 2 12 - 2 2 + 18 - 3 =

Área = 2 2 + 3 . 6 + 1 = 2 12 + 2 2 + 18 + 3 =

= 4 3 - 2 2 +3 2 -

= 4 3 + 2 2 +3 2 +

3 =3 3 +

2

3 =5 3 +5 2 C

25. A 2

2

DB = AD . CD → DB = 25.9 → DB = 5.3 → DB = 15 α r ∆ABD é pitagórico → AB = 4.5 = 20. Então: r = 10 β α AC = AD - CD = 25 - 9 = 16 A r r O 15 3 senα = = = 0,6 → α = 40º e β + 2α = 180º → β = 100º 25 5 Área (A) = (área do arco AC de 100º) - (área do ∆AOC) α 100º 16.10.0,6 785 AC.AO.sen α A= .πr2 = .3,14.100 = - 48 = 87,222... - 48 = ---,222... 360º 360º 2 9 2 4

D

B t


EPCAR - 2005 solução - Matemática 26. D  BQ + CP  BQ.NP CP.MQ  + , com NP = MQ = m → m  2 2 2   Chamaremos: BP = x, CQ = y → BQ = x + m e CP = y + m

(área do ∆NQB) + (área do ∆MPC) =

x+m+y+m  x + y + 2m  Área = m  = m  . Temos que: x + m + y = a → x + y = a - m 2 2     m  a − m + 2m  a+m (a + m) Área = m  = m  = 2 2   2   27. C Teorema das bissetrizes (detalhe - o ângulo entre as bissetrizes é de 90º): A a b a b 12 Interna: = → = → não será necessário no problema. B 12 8 3 2 BI a Externa (mais próxima do menor dos lados não oposto ao ângulo): 8 BE 14 + c c 14 + c c b = → = → 2(14 + c) = 3c → 28 + 2c = 3c D 14 12 8 3 2 c C c = 28 E BE = 14 + 28 = 42

28. A Área ABH = 2 → Área ABH = 2. Área BCH Área BCH

Área ABH =

Área BCH = x → Área ABH = 2x

Área ABC

4x *** BH

AH =

Área ABC = 3x

AH.BH = 2x → AH . BH = 4x 2

4x AC.x = 16 → BH = **** 4 BH 2 AC.x = 6x → AC = 24 **** em * → AC . 4 AC = 2 6

** em *** → AC .

AC.BH = 3x → AC . BH = 6x * = 2

( )

2

No ∆ABC → AB = AC . AH → 16 = AC . AH **

( )

29. C ∩

t B

∩ BC α= . Encontraremos BC . 2

α

∩

â = 90° → AD = 180º

C

∩

bˆ = 40°→ AB = 2. bˆ = 80º

cˆ D

A

∩

∩

AB − CD cˆ = 15° → = 15º 2

bˆ

∩

â

∩

∩

∩

AB + BC + CD = 180º ∩

80º + BC + 50º = 180º ∩

BC = 50º 50º α= → α = 25º 2 180º - 25º = 155º

∩

80º - CD = 30º → CD = 50º

30. D

k

k M k 30º C

5

N

k k

k A

2k =k 2 AM = k (mediana relativa a hipotenusa) 2k BC = k (cateto oposto ao ângulo de 30º) = BA = 2 2 ∆ABM e ∆ABN são equiláteros e de mesma área. k2 3 k2 3 Área = 2. = 4 2 BM = MC =

B



Provas anteriores da EPCAR - 2006 solução - Matemática 01. C 1ª) função 2ª) geometria Total de alunos = 80 → a + b + c + d + e + f + g = 80 b c a 1 70 .80 → a + b + d + e = 56 e d = •a+b+d+e= .80 → d = 8 d 100 10 f e • b + d = 20 → b + 8 = 20 → b = 12 3ª) polinômios • d + f = 22 → 8 + f = 22 → f = 14 g • d + e = 18 → 8 + e = 18 → e = 10 a + b + d + e = 56 → a + 12 + 8 + 10 = 56 → a = 26 • O número de acertos apenas em GEOMETRIA é o mesmo que o número de acertos apenas em POLINÔMIOS c = g → 26 + 12 + c + 8 + 10 + 14 + c = 80 → 2c = 10 → c = g = 5 a) c = 2d → 5 = 2.8 → 5 = 16 FALSA b) a + c + g = 40 → 26 + 5 + 5 = 36 FALSA c) a + b + c > 40 → 26 + 12 + 5 > 40 → 43 > 40 VERDADEIRA 3 d) .80 = 60 → b + d + e + f = 60 → 12 + 8 + 10 + 14 = 60 → 44 = 60 FALSA 4 02. B (1000N + 100M + 10P + Q) - (1000M + 100N + 10P + Q) = 900N - 900M = 900(N - M) = -900(M - N) 03. D 72 , 90 , 120 36 45 60 18 45 30 9 45 15 3 15 5 1 5 5 1 1 1

2 2 2 3 3 5 360 segundos

Tempos em segundos: 1,2 x 60 = 72; 1,5 x 60 = 90 e 2 x 60 = 120 Ao lado, o mmc para determinarmos o tempo de encontro. Número de voltas no primeiro encontro: 1º - 360 : 72 = 5 voltas; 2º - 360 : 90 = 4 voltas e 1º - 360 : 120 = 3 voltas a) 3 x 5 = 15 FALSA b) 360 : 60 = 6 minutos FALSA c) 2 x 6 = 12 minutos FALSA d) 2( 5 + 4 + 3) = 24 VERDADEIRO

04. C x é divisor de 247 - 7 = 240 e de 315 - 3 = 312 → x máximo = mdc(312, 240) = 24 y é divisor de 167 - 5 = 162 e de 213 - 3 = 210 → y máximo = mdc(210, 162) = 6 x + y = 30 312 72

1 240 24

3 72 0

3 24

210 48

1 162 18

3 48 12

2 18 6

1 12 0

2 6

05. B Antônio: perde e paga

1 1 . .300 = 20 5 3

vence e recebe

150 .20 = 30 100

1 .110 = 10 jogadas e sobram 100 jogadas 11 Antônio ganhou A partidas e Bernardo B partidas → A + B = 100 Antônio recebeu 30A e Bernardo recebeu 20B a) se não houve prejuízo para nenhum dos dois jogadores → 30A = 20B e B = A + 20 → 30A = 20(A + 20) → 30A = 20A + 400 → 10A = 400 → A = 40 e B = 60 VERDADEIRA b) 30A > 20B → A = 31 e B = 100 - 31 = 69 → 30.31 > 20.69 → 930 > 1380 FALSA c) Antônio ganharia 30.55 = 1650 e Bernardo ganharia 20.55 = 1100 → 1650 - 1100 = 550 VERDADEIRA d) B = A + 22 → A + A + 22 = 110 → 2A = 88 → A = 44 e B = 66 → 30.44 = 20.66 → 1320 = 1320 VERDADEIRA Empate em

06. A

h/d 5 x

peças 1200 1840

dias 3 8

h/d 5 x

peças 1200 1840

dias 8 3

x=

5.1840.3 = 2,875 1200.8

Este valor é para cada um dos oito dias, inclusive o oitavo dia.

1


EPCAR - 2006 solução - Matemática 07. D x recebe a e y recebe b a + b = 5000 → a = 5000 - b * 115 23 9 23 9 Após 6 meses y recebe b = b e x recebe a → b + a = 5000 → 23b + 18a = 100000 ** 100 20 10 20 10 * em ** → 23b + 18(5000 - b) = 100000 → 23b + 90000 - 18b = 100000 → 5b = 10000 → b = 2000 e a = 3000 x recebe 3000 e y recebe 2000 1 125 a) x → .3000 = 250 e y → .2000 = 125.2 = 250 VERDADEIRA 12 1000 9 b) x passou a receber .3000 = 2700 VERDADEIRA 10 9 23 40 c) Antes: 3000 - 2000 = 1000. Depois: .3000 .2000 = 2700 - 2300 = 400. .1000 = 400 10 20 100 VERDADEIRA 1 1 9 .3000 = 250. Depois: . .3000 = 225 FALSA d) Antes: 12 12 10 08. D

h 12,5 x

V V 1 V 5

x.V =

1 V.12,5 → x = 2,5h 5

h 12,5

V V

vazão (y) y

h 12,5

x

4 V 5

2 y 3

x

Novo tempo para encher: 15 + 2,5 = 17,5h

V

y

V

2 y 3

4 V 5

y

4 12,5. V.y 5 x= = 15h 2 V. y 3

Tempo que levou a mais = 17,5 - 12,5 = 5h

D

09. B 35% de 45%

B A

45% 55% C

65 45 30 55 13 9 3 11 117 33 . + . = . + . = + = 100 100 100 100 20 20 10 20 400 200 65% de 45% 183 E 117 + 2 . 33 117 + 66 183 30% de 55% = = = = 4 = 45,75% 400 400 400 100

70% de 55%

F

10. B 3 17 5 17 1 V, restando V; em β deixou . V = V e em γ os últimos 12600 litros. 20 4 20 17 20 1  2  3 3+5  V  = 12600 → V - V = 12600 → Em γ teremos: V -  V + V  = 12600 → V -  4  5  20  20  3 V = 12600 → V = 21000 litros 5 3 1 .21000 = 3150 litros, que é divisível por 9. β = .21000 = 5250 litros α= 4 20

Em α deixou

2


EPCAR - 2006 solução - Matemática 11. A

a

I-( F )

3

3

a 4 .a 3

3

a 2 .a

a

a6 a7

=

4

a a

a 6 a 6 .a 7

=

3 4

3

4

a .a

=

3

a 6 a13 12

a

=

7

a12 a 26 12

a

7

= a 12 a19 ≠ a 12 a 5

a 5c9 < 0 → b20 > 0 (todo número elevado a expoente par é positivo) 20 b a - c < 0 → a < c e como a e c estão elevados a expoente negativo e pelo resultado pedido, somente um pode ser negativo. Como a < c, então a < 0 e c > 0. II - ( V ) Se

a III - ( F )

−

1  −1 3a 3

 

( −a )

−

   

2

1 3

−

=

1

a 3 .a

−

2 3

a

=

1

 1 3 −   a

3

−

3 3

1 − a

=

a −1 − 3 a −1

=

a −1 −a

−

1 3

= -a

 1 −1−  −   3

= -a

−1+

1 3

= -a

−

2 3

−12

−12

≠

1 a6

18   99  3   993  1  −36 18    = (3) e (0,111...) =   = 3− 2 IV - ( V ) Então a = 99 e b = 33 →  3  =     33 33 9       12. D A maneira mais simples é atribuir valores as incógnitas, respeitando suas posições: a = 0,3; b = 0,7; c = -2 e d = -5 (01) 0,3 < 0,7.(-2) → 0,3 < -2,4 FALSA (03) 0 < 0,3.0,7 < 1 → 0 < 0,21 < 1 VERDADEIRA 3

(04)

(− 5)2

>

(− 2)2

( )

3

→

25 >

18

= (3)

−36

4 VERDADEIRA

(06) -2 + (-5) - 0,7 < 0,3 → -2 - 5 - 0,7 < 0,3 → -7,7 < 0,3 VERDADEIRA 1 1 1 1 10 10 100 >1→ . >1→ . (08) . >1→ > 1 VERDADEIRA 3 7 0,3 0,7 3 7 21 10 10 13. D x < 5 + 9 → x < 14 e x > 9 - 5 → x > 4 Teremos: 4 < x < 14

Soma = 3 + 4 + 6 + 8 = 21

14. D Número de moradores = x Valor pago por cada um = y Arrecadação = xy = 1200 Número de moradores = x - 3 Valor pago por cada um = y + 90 Arrecadação = (x - 3)(y + 90) = 1200 Teremos: (x - 3)(y + 90) = xy → xy + 90x - 3y - 270 = xy → 90x - 3y = 270 → 30x - y = 90 → y = 30x - 90 Substituindo em xy = 1200 → x(30x - 90) = 1200 → 30x2 - 90x - 1200 = 0 → x2 - 3x - 40 = 0 − (−3) ± (−3) 2 − 4.1.(−40) 3 ± 13 3 ± 9 + 160 3 ± 169 → x = 8 ou x = -5 (não pode) = = = 2 .1 2 2 2 x = 8 → y = 30.8 - 90 = 240 - 90 = 150

x=

15. B mn + m . nm + n = 81 → (m . n)m + n = 81 → ProdutoSoma = 81 b c Soma = − = q Produto = =p pq = 81 → pq = 34 → p = 3 e q = 4 ou pq = 92 → p = 9 e q = 2, pois a a a soma e o produto de dois números inteiros é um inteiro. a) q é divisor de 4 FALSA b) O produto é ímpar, logo as raízes m e n são ímpares. VERDADEIRA c) p e q são positivos, logo p.q é positivo FALSA d) FALSA 16. C 1ª partida 2ª partida 1x2 3x1 0 ponto 2 pontos Total de pontos = 7 3

3ª partida 0x2 0 ponto

4ª partida 5x2 2 pontos

5ª partida 2x1 2 pontos


7ª partida 1x1 1ponto



EPCAR - 2006 solução - Matemática 17. A x + 3y = 4 + y → x + 2y = 4 *

** em * → −

2 -x - y = 2x + y → 3x = -2y → x = − y ** 3

x= −

2 y + 2y = 4 → -2y + 6y = 12 → 4y = 12→ y = 3 3

2 .3 → x = -2 3

xy = (-2)3 = -8

18. D I

II A

III

3

R-4

30º 4 O

8

30º 10º 10º 60º γ = 60º

R β = 3α α E 2α C αα

B 2α

O = centro

AB = AC e CD = CE

r

s r // s D

( V ) (R - 4)(R + 4) = 3.8 → R2 - 16 = 24 → R2 = 40 → R = 2 10 ( F ) Na figura II, pode-se afirmar que β = 3α ( F ) Na figura III, pode-se concluir que γ = 60° 60º = 30º e como β = 3α = 90º ( V )α= 2 19. A

Área da região ADE = Área da região AEC = Área da região DBF Área pedida = Área do setor AOB - Área do setor EOF No triângulo retângulo OBG, BG é o cateto oposto à hipotenusa e também é a metade dela, logo β = 30º → α = 60º 120º 120º 1 1 Área pedida = .π.(2r)2 .π.r2 = .π.4r2 - .π.r2 = πr2 360º 360º 3 3

D

B F r α β r r r G O

A E C

20. B tgα =

3 = 0,5 6

α 6

9-6=3

21. A B

A r β

α r

r

O

E

r 20º D

C

Pedido: α O ∆OBC é isósceles → β = 20º O arco AE = α e o arco BD = β → 20º =

α −β → α - β = 40º 2

α - 20º = 40º → α = 60º

22. A 3000 45º

3000 3 30º 3100 - 100 = 3000

4

- No triângulo retângulo com ângulo de 45º os catetos são iguais → 3000 - No triângulo retângulo com ângulo de 30º o cateto adjacente é igual ao oposto vezes 3 → 3000 3 - Solução = 3000 + 3000 3 = 3000(1 +

3)


EPCAR - 2006 solução - Matemática 23. ANULADA. Impossível inscrever um círculo no quadrilátero pedido. 24. B

C M

D

C

a 5

E y

α

A

β

α x

α N

E A

B

N

N

a β

B

a-x

Da figura ampliamos os triângulos AEN e BCN que são semelhantes. a y a 1 y 1 y Teremos: 5 = = → . = → → 5y = a - x → x = a - 5y a a−x 5 a a−x 5 a−x 2

a2 a2 a2 a E: x2 = y2 +   → (a - 5y)2 = y2 + → a2 - 10ay + 25y2 = y2 + → 24y2 - 10ay + a2 =0 25 25 25 5 24a 2 12a 2 24y2 - 10ay + = 0 → 12y2 - 5ay + = 0 → 300y2 - 125ay + 12a2 = 0 25 25 125a ± 15625a 2 − 14400a 2 ) − (−125a ) ± ( −125a ) 2 − 4.300.12a 2 ) 125a ± 1225a 2 ) = = = 2.300 600 600 125a ± 35a 125a + 35a 160a 4a 125a − 35a 90a 3a →y= = = ou y = = = = 600 600 600 15 600 600 20 4a 4a 4a a Para y = → x = a - 5. =a= − . Impossível (não existe segmento negativo) 15 15 3 3 3a 3a 3a a → x = a - 5. =a= . Estes são os valores de x e y. Para y = 20 20 4 4 3a y 3a 4 3 Pedido: senα = = 20 = . = = 0,6 a x 20 a 5 4 y=

25. C r M

r r r 1 L

1

r

M

Da figura teremos: R = 2r + 1 Do triângulo retângulo (se ligarmos os centros de dois círculos tangentes, o segmento passará pelo ponto de tangência), teremos: (2r)2 = (r + 1)2 + (r + 1)2 ou simplesmente 2r = (r + 1) 2 (hipotenusa do triângulo retângulo isósceles) Que ficará: 2r = r 2 + 2 → 2r - r 2 = 2 → r(2 - 2 ) = 2 2 2 2 2 +2 = 2 +1 2+ 2 → r = r= →r= 4−2 2− 2 2− 2

(

)

a) AM = π( 2 + 1)2 = π(2 + 2 2 + 1) = π(3 + 2 2 ). A área total das regiões M é 4π(3 + 2 2 ) = π(12 + 8 2 ) e AL = π.12 = π FALSA b) R = 2( 2 + 1) + 1 = 2 2 + 2 + 1 = 2 2 + 3 ≅ 5,8 FALSA 2 2 2 2 2 c) S = πR - 4πr - π.1 → S = π(2 2 + 3) - 4π( 2 + 1) - π = π(8 + 12 2 + 9) - 4π(2 + 2 2 + 1) - π S = 12 2 π + 17π - 4π (3 + 2 2 ) - π = 12 2 π + 17π - 12π - 8 2 π - π = (4 2 + 4)π ≅ 9,6 VERDAEIRA 2 d) .π(12 2 + 17) ≠ (4 2 + 4)π FALSA 3

5



Provas anteriores da EPCAR - 2007 solução - Matemática 01. B Analise as sentenças abaixo marcando (V) para verdadeiro e (F) para falso. 65 I - ( F ) 1, 65 = 1 + ∈ Q e [(R ∪ N) - (R ∩ Q)] = R - Q. Como 1, 65 ∉ R - Q (F) 99 II - ( V ) 31,23459 ∈ Q e [(Z ∪ Q) - { }] = Q - {} = Q (V) III - ( V ) [(R ∩ N) ∩ (Q ∩ Z)] = N ∩ Z = N e N ⊂ N (V) IV - ( V ) [Z ∪ N) - (R ∩ Z)] = Z - Z = {} = ∅ e Z ⊃ {} (V) 5 V - ( F ) [(R ∪ Q) - (R ∩ Q)] = R - Q = irracionais e não é irracional (F) 7 02. D abc = 100a + 10b + c 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = a-c=6 cba = 100c + 10b + a = 99a - 99c = 99(a - c) que termina em 4 99.6 = 594 → 5 + 9 + 4 = 18

03. C a b c d <1 e >1 Se c < d → 0 < < 1 e > 1 b a d c c a c c a → >1 FALSA b) . > → > 1 FALSA d b d d b a c c c a ou . < → < 1 ou < 1 VERDADEIRA b d d d b a c c c a ou . > → > 1 ou > 1 FALSA b d d d b

Se a b d b a c a c) . b d b a)

04. C Passaremos tudo para metro: 3,6dam = 36m, 4800cm = 48m e 0,72hm = 72m 2 1 3 mdc = 12m = 48 36 12 = 120dm Pedaços menores e iguais (mdc): 72 36 0 12 0

36 : 12 = 3 48 : 12 = 4 72 : 12 = 6

05. C mmc(x, y) = produto dos fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes. mdc(x, y) = produto dos fatores comuns elevados aos menores expoentes. mmc é múltiplo do mdc 06. C abc x 3 ...721

ab7 x 3 ...721

a07 x 3 ...721

907 x 3 2721

9 + 0 + 7 = 16

07. D menos de 14 = Número de alunos = x a) 80 - 64 = 16

x 3

de 14 a 17 =

x 4

mais de 18 (restante) = x -

x x = 3 4

192 192 12x − 4 x − 3x 5x = 64 = 48 = = 80 → x = 192 = 3 4 12 12 FALSA b) 192 alunos FALSA c) 48 FALSA d) 48 + 80 = 128 VERDADEIRA

08. D Analise as proposições, classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas e marque a sequencia CORRETA. I-( V ) 1 1

1

9.10 −6 49.10 − 4

. 25.10 2 .3 − 10 − 3 .

15 − 1 3.10 −3 3.10 −3 14 −1 14 = . 5 . 10 . 10 . .5.10. − 10−1 . − = = −2 −2 90 90 90 7.10 7.10

(

)

(

)

2

3.10 −3 1 14 2 1 1 3 1 .5.10. − 10 −1 . = - .10 − 3 − ( −2 ) +1+ ( −1) = - .10 −1 = ==−2 90 7.10 6 3 30 90 30

(

)

6


EPCAR - 2007 solução - Matemática −1 −1 (−1) = = = -0,5 (V) ímpar 1 − (−1) 2 (−1) − (−1) ímpar

II - ( F ) Se n é par:

Se n é ímpar:

par

1 1 (−1) par = = = 0,5 (F) par ímpar 1 − (−1) 2 (−1) − (−1)

1

 1 3 3 3 3    1 III - ( F )  1  . 2 . 39 09. B d = vt d = 80.15 d = 1200 1+2+0+0=3

33

1−

1 =3 2 −1

2 3.

d = (v + 20)(t - 3) d = vt - 3v + 20t - 60 d = d - 3v + 20t - 60 3v - 20t = -60

1 = 2 −1

1 33

2 −1

≠

2 +1

d = (v - 20)(t + 5) d = vt + 5v - 20t - 100 d = d + 5v - 20t - 100 -5v + 20t = -100

3v − 20t = −60  − 5v + 20 t = −100 -2v = -160 → v = 80

3.80 - 20t = -60 20t = 240 + 60 20t = 300 → t = 15 Voltando à 1ª coluna

10. A Prestações: 1º ano = 500

110 110 .500 = 550 3º ano = .550 = 605 100 100 2º ano = 550.12 = 6600 3º ano = 605.12 = 7260 6000 + 6600 + 7260 = 19.860,00

2º ano =

Pagou: 1º ano = 500.12 = 6000 11. B

x y x+y = = → 1 3 4 125 y = B → 1 ano = 100

A retirou x e B retirou y. x + y = M (montante). Aplicações: A → 1 ano =

150 3 x = x 100 2

x y M = = e y = 3x 1 3 4 5 y 4

2 5 5 . y = 150000 → y = 150000 → y = 180000 → 3x = 180000 → x = 60000 6 3 4 25 a) Capital retirado por A = 60000 e o rendimento conseguido por B = .180000 = 45000 FALSA 100 50 25 b) Diferença entre os rendimentos de A e B = .60000 = 30000 .180000 = 45000 - 90000 = 15000 100 100 VERDADEIRA 5 c) Capital retirado por A e B = 180000 + 60000 = 240000. Montante de B = .180000 = 225000 FALSA 4 50 30 25 d) Rendimento obtido por A = . .60000 = 30000 e .180000 = 13500 FALSA 100 100 100 12. C B B+2 +1= 2 2 1ª A-B-C B + B = 2B C + C = 2C 2ª 2(A - B - C) = 2A - 2B - 2C 2B - (A - B - C) - 2C = 3B - A - C 2.2C = 4C 4C - (2A - 2B - 2C) - (3B - A - C) 2(2A - 2B - 2C) = 4A - 4B - 4C 2(3B - A - C) = 6B - 2A - 2C 4C - 2A + 2B + 2C - 3B + A + C 4A - 4.(2C - 2) - 4C = 16 6.(2C - 2) - 2A - 2C = 16 7C - A - B = 16 4A - 8C + 8 - 4C = 16 12C - 12 - 2A - 2C = 16 3ª 7C - A - (2C - 2) = 16 4A - 12C = 8 → A - 3C = 2 10C - 2A = 28 → 5C - A = 14 5C - A + 2 = 16 A = 3C + 2 * A = 5C - 14 ** A = 5C - 14 *** * em ** → 5C - 14 = 3C + 2 → 2C = 16 → C = 8, A = 3.8 + 2 = 26 e B = 2.8 - 2 = 14. Conferindo em *** → A = 5.8 - 14 = 26 (certo) A

2

B = 2C - 2

C = 50% de B + 1 =


EPCAR - 2007 solução - Matemática 13. C dias 6 meses = 6.30 = 180

operários 30

h / dia 8

casas 36

x

2 .30 = 20 3

10

75 .36 = 27 100

dias 180 x

op 30 20

h/dia 8 10

casas 36 27

dias 180 x

op 20 30

h/dia 10 8

casas 36 27

180.30.8.27 = 162 dias 20.10.36 162 : 30 = 5 meses e 12 dias x=

14. D Fatorando 377 = 13.29.O preço é menor que 28. Logo o preço é R$13,00 e o número de CD é 29 → 2 + 9 = 11 15. B a + y ≠ 0 → y ≠ -a e a - y ≠ 0 → y ≠ a  a ( a − y ) + y (a + y )   y (a − y ) − a ( a + y )   a a  y   y  =  mmc nos dois = (a + y)(a − y) =   :    :  + −  (a + y )(a − y )   (a + y )(a − y )  a+y a−y a+y a−y a 2 + y2 a 2 − ay + ay + y 2 (a + y )(a − y ) = = -1 exceto para y = a e y = -a = . (a + y )(a − y ) ay − y 2 − a 2 − ay − ( y 2 + a 2 ) 16. B

( m − 1)(m − 1) + (m + 1) 2 m −1 1 m −1 1 3 ( ) + → = + − + mmc m 1 .( m 1 ) (m + 1)3 .(m − 1) (m + 1)3 m 2 − 1 = (m + 1)3 (m + 1)(m − 1) = ( V ) = 1 1 1 1 2 2 (m + 1)2 + (m − 1)2 + + → mmc = ( m − 1 ) . ( m + 1 ) (m − 1)2 (m + 1)2 (m − 1)2 (m + 1)2 (m − 1)2 (m + 1)2 m 2 − 2m + 1 + m 2 + 2m + 1 (m − 1) (m + 1) 2m 2 + 2 m −1 2m 2 + 2 m − 1 = . 2 = . = . 3 2 2 2 m + 1 m + 2m + 1 + m − 2 m + 1 m + 1 2m 2 + 2 (m + 1) .(m − 1) (m + 1) + (m − 1) m −1 = (m - 1)(m + 1)-1 m +1 2

2

=

( ) ( )

 a16 0,01 .4 ( V )  − 0,3  a 0,3

( V ) =

 a 

−2

 a 0,16 1  =  − 0, 09 .a 4   a 

3+ 6 5 3 − 2 2 2.3 − 2 4.2 + 52.2

−2

=

[

= a 0,16 − ( −0,09) .a 0, 25

]

−2

[

= a 0, 25 .a 0, 25

]

−2

[ ]

= a 0, 5

−2

= a-1 =

3+ 6 3+ 6 3+ 6 = = 3+ 2 5 3 −4 3 −4 2 +5 2 3+ 2

3 3 − 3 2 + 32.2 − 2 2.3 3 3 − 3 2 + 18 − 12 = 3 3 −3 2 +3 2 −2 3 = = 3− 2 1

(

1 a

)

3− 2 =

3

17. A 7 1 7 9 1 9 3 . x= x e sobrou x Dívidas = . x = x 2 16 16 16 16 8 3 7 3 10 6 3 xx=xx= x= x Restou então: x 16 16 16 16 8 1 3 3 Aplicação: 1ª parte = . x = x aplicada a 0,5% am 2 8 16 40 3  15 dias perdeu 100 . 16 x 60 3 3 1 40 3 2ª parte = nos 15 dias restantes: . x + . . x x aplicada:  60 3 16 2 100 16 100 16  sobrou . x  100 16 3x  6 2  3x 8 6 3 2 3 3x . +  = . x + . x = . = = 48000 → x = 320000 16  10 10  16 10 10 16 10 16 20

Herança = x

3

Lote =


EPCAR - 2007 solução - Matemática 100,5 3 a) . .320000 + 48000 = 100,5.3.200 + 48000 = 60300 + 48000 = 108300 FALSA 100 16 7 3 b) Lote = .320000 = 140000. Dívidas = .320000 = 60000 VERDADEIRA 16 16 c) Do item b VERDADEIRA d) DO item a, o rendimento foi de 300 VERDADEIRA 18. B As raízes são: u e v que são catetos → u2 + v2 = 12 → u2 + v2 = 1 u2 + v2 = (u + v)2 - 2uv = (soma das raízes - S)2 - 2(produto das raízes - P) 2

b 3m − 1 c m m 2m 9m 2 − 6m + 1  3m − 1  S= − = eP= = → =1→ =1  - 2. 2 a 2m + 1 a 2m + 1 2m + 1 2m + 1 (2m + 1)  2m + 1  9m2 - 6m + 1 - 2m(2m + 1) = (2m + 1)2 → 9m2 - 6m + 1 - 4m2 + 2m = 4m2 + 4m + 1 9m2 - 6m + 1 - 4m2 + 2m - 4m2 - 4m - 1 = 0 → m2 - 8m = 0 → m(m - 8) = 0 → m = 0 e m = 8 19. A a) em 2001 = 50 em 2000 = 40. Crescimento de 10.

x .40 = 10 → x = 25 100

Verdadeira

P

Figura I

b) foi constante entre 1998 e 2000 FALSA 60 − 20 40 c) = ≠ 40 FALSA 9 9 d) Entre 2001 e 2002 foi decrescente. FALSA

θ ρ ρ ω

Q

20. D Na figura I teremos: α + 60 = ω + ρ (ângulo externo) 80º θ 60º ω 2θ + 80 = 180 → 2θ = 100 → θ = 50º A M B 2ω = 60 (ângulo externo) → ω = 30º 2ρ + 180 - (θ + ω) = 180 → 2ρ + 180 - 80 = 180 → 2ρ = 80 → ρ = 40º α + 60 = 30 + 40 → α = 10º T Na figura II teremos: KL é diâmetro. Arco capaz de 90º. β O arco KT = 2.40 = 80º ∩

15º =

∩

∩

∩

N

K

L 15º

∩

LN + NT + KT = 180 → 50 + NT + 80 = 180 → NT = 50º ∩

NT 50 β= = = 25º 2 2

A

21. A

Figura II

∩

∩ ∩ KT − LN → 80 − LN = 30 → LN = 50º 2

∩

α

40º

α + β = 10 + 25 = 35º

x

Do triângulo retângulo isósceles POQ temos: x = (b − x ) 2

P

x = b 2 - x 2 → x + x 2 = b 2 → x(1 + 2 ) = b 2 b 2 b 2 2b − b 2 x= →x= 2 −1 = = 2b - b 2 2 −1 2 +1 2 +1

x

b-x

O b-x Q

(

B

x

)

A

22. A

x BC = 2 2 Área do ∆ABC = S → Área ∆BQM + Área ∆CPN = ??? a.h b.h Área ∆BQM = Área ∆CPN = 2 2 a.h b.h h Área ∆BQM + Área ∆CPN = + = (a + b) 2 2 2

M e N são pontos médios → MN // BC e MN = x/2

M h B

a

2h

N h P

Q

x/2

b C

x

4


EPCAR - 2007 solução - Matemática x h x x.h Da figura temos que a + b = Área ∆BQM + Área ∆CPN = . = 2 2 2 4 x .2 h x.h S S= = x.h → Área ∆BQM + Área ∆CPN = = 2 4 4 30º

23. A

A

x

B y

30º

π.36 πR 2 π.62 = = = 18π E D 2 2 2 30º Área da região x: Área do ∆ABC - Área do ∆CDE ˆ = 30º C ∆ABC é retângulo em A, BC = 6 e C 6 Cateto oposto a 30º = metade da hipotenusa e o cateto adjacente = oposto x 3 → AB = 3 e AC = 3 3 F

Área do semicírculo =

AB.AC 3.3 3 9 3 = = 2 2 2 ˆ ∆CDF é retângulo em D, CF = 6, C = 60º e Fˆ = 30º → CD = 3

Área do ∆ABC =

ˆ = 30º e CD = 3 → CD = DE . 3 → DE = 3 = 3 3 = ∆CDE é retângulo em D, CF = 6, C 3 3

3

CD.DE 3. 3 3 3 9 3 3 3 6 3 = = Área da região x = = =3 3 2 2 2 2 2 2 Área da região y: Área da região circular BCF - Área do ∆CEF 30 1 Área da região circular BCF = πR 2 = π.6 2 = 3π 360 12 ˆ ∆CDE é retângulo em D, CF = 6, C = 30º e DE = 3 → CE = 2 3 1 2 3 .6 . CE.CF.sen30º 2 =3 3 Área do ∆CEF = = Área da região y = 3π - 3 3 2 2 6π 1 Área da região entre as cordas = 2(x + y) = 2(3 3 + 3π - 3 3 ) = 2.3π = 6π = Razão = 18π 3 Área do ∆CDE =

A 24. C ( F ) AB // CD . Duas paralelas cortadas por uma transversal → α e β . Daí teremos o ∆ABE semelhante ao ∆CDE. a 6 b a 3 b a = = → = = → a = 3 e b = 4,5. 4 3 2 2 3 2 α A maior diagonal mede 3 + 4,5 = 7,5 D

β 3

4 E

α 2

B

b β

6

C

140 7 60 3 x= xe x= x 100 5 100 5 7 3 21 2 84 2 Área = x. x = x = x = 84% da área original Área = x2 5 5 25 100 BC.CF + AE . CF ( V ) Área = área do triângulo ABC + área do paralelogramo ACDE = 2 BC = 2 e AB é adjacente ao ângulo de 30º → AB = AC 3 = 2 3 AC é oposto ao ângulo de 30º → AC = 2 AB.AC 2 3 .2 = 3 = CF é a altura relativa a hipotenusa do triângulo ABC → AB . AC = BC . CF → CF = 4 BC

( V ) Quadrado original → lado x

Área =

5

Retângulo → lados

4. 3 + 8. 3 = 2 3 + 8 3 = 10 3 2


EPCAR - 2007 solução - Matemática 25. ANULADA Lata 1 - raio = r e altura = h altura = h = 40mm = 4cm diâmetro d = 2r = 12cm → r = 6cm V = área da base x h = πr2.h = 36π.4 = 144πcm3

Lata 2 - raio = R e altura = H V = 144πcm3 d = 2R = 0,6dm = 6cm → R = 3cm πR2.H = 144π → 9H = 144 → H = 16cm 9 a) V = 144πcm3 = 0,144.3.14 = 0,452dm3 = 0,452l ≅ (0,45) VERDADEIRA 20 b) a altura da nova embalagem é 16cm VERDADEIRA c) A área = área da base + área lateral = πr2 + 2πrh = π.62 + 2π.6.4 = 36π + 48π = 84π = 84.3,14 = 263,76cm2 que é diferente de 37,68m2 FALSA d) A área da nova embalagem = π.32 + 2π.3.16 = 9π + 96π = 105πcm2 não houve economia FALSA

6

epcar+01-07+issuu

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