Enunturi Shortlist

Cuprins 1 Probleme avute ˆın atent¸ia comisiei, 2002 1.1 Clasa a IX-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Clasa a X-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4

2 Probleme avute ˆın atent¸ia comisiei, 2003 2.1 Clasa a IX-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Clasa a X-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 9


13 13 18

4 Probleme avute ˆın atent¸ia comisiei, 2005

23


25 25 27


31


33


35 35 36


37 37 38

1

2

CUPRINS

Capitolul 1

Probleme avute ˆın atent¸ia comisiei, 2002 1.1

Clasa a IX-a

1. Determinat¸i perechile (x, y) de numere ˆıntregi care satisfac: 2(x3 − xy + y 3 ) = 3(x2 + y 2 ). *** 2. S˘ a se arate c˘ a 5(a2 + b2 + c2 ) ≤ 6(a3 + b3 + c3 ) + 1, pentru orice numere reale nenegative a, b, c care satisfac relat¸ia a + b + c = 1. Mihai Piticari, Câmpulung Moldovenesc; Dan Popescu, Suceava 3. S˘ a se demonstreze c˘ a, pentru orice numere naturale nenule ¸si distincte dou˘a cˆ ate dou˘ a a1 , a2 , . . . , an are loc inegalitatea: a21 + a22 + . . . + a2n ≥

(a1 + a2 + . . . + an )2 n3 − n + . n 12

Mihai Piticari, Câmpulung Moldovenesc; Dan Popescu, Suceava 4. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ˆıncât a2 + b2 + c2 + 2abc = 1. S˘a se arate c˘ a: a+b+c ab + bc + ca ≤ . 2 Octavian Purcaru, Ploie¸sti 5. Fie A, B, C, D puncte distincte pe un cerc de centru O. Dac˘a exist˘a x, y ∈ R∗ astfel ca: −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ ||xOA + y OB|| = ||xOB + y OC|| = ||xOC + y OD|| = ||xOD + y OA|| 3

CAPITOLUL 1. PROBLEME AVUTE ÎN ATENT ¸ IA COMISIEI, 2002

4

s˘ a se arate c˘ a ABCD este p˘atrat. Manuela Prajea, Drobeta Turnu-Severin 6. Se consider˘ a mult¸imea parabolelor de forma y = ax2 + bx + c care intersecteaz˘a axele de coordonate ˆın trei puncte distincte. Dac˘a cele trei puncte determin˘a un triunghi dreptunghic, numim parabola pitagoric˘ a, iar dac˘a ele determin˘a un triunghi echilateral, respectiva parabola va fi numit˘a echilater˘ a. a) Determinat¸i ecuat¸iile generale ale acestor clase. b) Fiind dat˘ a o parabol˘a echilater˘a determinat¸i toate parabolele pitagorice ce au ˆın comun cu aceasta dou˘a dintre cele trei puncte de intersect¸ie cu axele. Adrian Ghioca, Sinaia 7. Ar˘ atat¸i c˘ a dac˘ a numerele strict pozitive a, b, c satisfac a + b + c = 1, atunci: 5

5

5

(ab) 4 + (bc) 4 + (ca) 4 <

1 . 4 Dinu Teodorescu

1.2

Clasa a X-a

1. Fie n ∈ N, n ≥ 3. Determinat¸i z ∈ C\R astfel ˆıncât z n ¸si (z + 1)n s˘a fie numere reale. Gheorghe Iurea, Ia¸si 2. Determinat¸i n ∈ N∗ astfel ˆıncât s˘a existe x1 , x2 , . . . , xn ∈ [0, ∞) cu proprietatea (1 + x1 )(1 + x2 ) · · · (1 + xn )(x1 + x2 + . . . + xn ) = 2n2 x1 x2 · · · xn . Dan S ¸ tefan Marinescu; V. Cornea, Hunedoara 3. Dac˘ a A, B sunt dou˘ a submult¸imi nevide arbitrare ale lui C, not˘am AB = {xy|x ∈ A, y ∈ B}. Fiind date numerele a ∈ C∗ ¸si n ∈ N∗ s˘a se determine mult¸imile X ⊆ C cu n elemente care satisfac proprietatea: XX ⊆ {a}X. Marcel T ¸ ena, Bucure¸sti 4. Dac˘ a a, b, c ∈ C distincte ¸si |a| = |b| = |c| = R iar k > 0, ar˘atat¸i c˘a: | − a + kb + kc| + | − b + kc + ka| + | − c + ka + kb| ≤ 3(k + 1)R. C˘ alin Burdu¸sel, Târgovi¸ste

1.2. CLASA A X-A

5

5. Fie a, b, c ∈ C cu |a| = |b| = |c| = 1. Se noteaz˘a Sm = |a+b|m +|b+c|m +|c+a|m . Dac˘ a exist˘ a p ∈ N∗ astfel ˆıncât S2p ≤ 3, atunci pentru orice n ∈ N avem Sn = 3. Marcel Chirit¸˘ a, Bucure¸sti 6. Fie tetraedrul ABCD, m, n, p, k > 0, iar M ∈ (AD), N ∈ (BD), P ∈ AM BN CP (CD), K ∈ (DG), cu = m, = n, = p, unde G este centrul MD ND PD de greutate al triunghiului ABC. S˘a se arate c˘a: K ∈ (M N P ) ⇔ m + n + p = 3k. Vasile Popa, Galat¸i 7. p S˘ a se arate c˘ a ¸sirul de numere pozitive (an )n≥1 ce satisface relat¸ia an+1 = 6 − 2a2n , pentru orice n ≥ 1, este constant. Laurent¸iu Panaitopol, Bucure¸sti 8. Se consider˘ a numerele complexe a, b, c distincte dou˘a câte dou˘a, astfel ˆıncât |a| = |b| = |c| = 1 ¸si |a − b|2 + |b − c|2 + |c − a|2 > 8. S˘a se arate c˘a |(a + b)(b + c)(c + a)| ≤ 1. Dan Nedeianu, Drobeta Turnu-Severin 9. Fie ABC un triunghi ¸si A1 ∈ (BC), B1 ∈ (CA), C1 ∈ (AB) astfel ˆıncât: AB + BA1 = AC + CA1 AB + AB1 = BC + CB1 AC + AC1 = BC + BC1 . S˘ a se arate c˘ a SABC ≥ 4SA1 B1 C1 . Marcel Chirit¸˘ a, Bucure¸sti

6


Capitolul 2


Clasa a IX-a

1 1 1 a b c 1. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive satisf˘acând + + ≥ + + . a b c b c a Demonstrat¸i c˘ a a2 b2 c2 + + ≥ ab + bc + ca. c a b Tudorel Lupu, Constant¸a 2. Determinat¸i numerele x, y, z ∈ [1/3, ∞) ¸stiind c˘a x + y + z ≤ 4,

√

3x − 1 +

p

3y − 1 +

√

√ 3z − 1 ≥ 3 3.

Gheorghe F. Molea, Curtea de Arge¸s 3. S˘ a se rezolve ecuat¸ia

49 16 = x+ . x2 + 9 x Romeo Zamfir, Galat¸i

4. Determinat¸i numerele reale x1 , x2 , . . . , xn , n ≥ 2, dac˘a x1 (2004 − x2 ) = x2 (2004 − x3 ) = . . . = xn (2004 − x1 ) = 2003. Gheorghe Iurea, Ia¸si 7


8

5. Fie a1 , a2 , . . . , an numere reale astfel ˆıncât diferent¸a dintre oricare dou˘a dintre ele este un num˘ ar irat¸ional. Fie Ai = {ai + r|r ∈ Q}, i = 1, 2, . . . , n. S˘a se arate n [ c˘ a Ai 6= R\Q. i=1

Mihai Piticari 6. Fie a, b, c numere reale strict pozitive ¸si n ∈ N∗ . Comparat¸i numerele b c 3 a + + ¸si . na + b nb + c nc + a n+1 Marin Chirciu, Pite¸sti 7. Dac˘ a x, y, z, m, n > 0 ¸si x + y + z = 1, demonstrat¸i c˘a X

x4 3 ≥ . (mx + ny)(my + nx) (m + n)2 Marin Chirciu

8. Fie xi , yi ∈ (0, ∞), i = 1, 2, . . . , n, astfel ˆıncât

n X

xi =

i=1 n X n X i=1

x2i ≥ xi + yi

i=1

2

n X

yi . Demonstrat¸i c˘a

i=1

xi .

Gigel Buth, Satu Mare 9. S˘ a se arate c˘ a pentru orice num˘ar real pozitiv x avem: s r q p 2 2 x + x + x + x + x2 + x + . . . + x2 + x < x + 1, unde num˘ arul radicalilor este n. D.M. B˘ atinet¸u-Giurgiu 10. Aflat¸i solut¸iile reale ale sistemului de ecuat¸ii  √ √ 6 yz = 13  3 x + 2√ √ 3 y + 2 6 zx = 13 . √  √ 3 z + 2 6 xy = 13 Marin Chirciu

2.2. CLASA A X-A

9

11. Fie n ≥ 2 un num˘ ar natural. Calculat¸i minimul expresiei ab + bc + cd dup˘a toate scrierile n = a + b + c + d, cu a, b, c, d numere naturale nenule. V. Zidaru 12. S˘ a se determine funct¸iile f : Z → R care satisfac relat¸iile: a) f (x + 2003) ≤ f (x) + 2003; b) f (x + 1987) ≥ f (x) + 1987, ∀x ∈ Z. Dan Popescu, Suceava 13. Dac˘ a a, b, c sunt numere reale strict pozitive satisf˘acând abc = 1, demonstrat¸i inegalitatea a2 + b2 + c2 + 3 ≥ ab + bc + ca + a + b + c. Mircea Lascu, Marian Tetiva 14. Pe laturile triunghiului ABC se consider˘a punctele A1 ∈ (BC), B1 ∈ (CA), C1 ∈ (AB) care le ˆımpart ˆın acela¸si raport pozitiv neunitar. Fie {A2 } = BB1 ∩ CC1 , {B2 } = CC1 ∩ AA1 , {C2 } = AA1 ∩ BB1 . Ar˘atat¸i c˘a: a) Triunghiurile ABC ¸si A2 B2 C2 au acela¸si centru de greutate; −−→ −−→ −−→ b) Vectorii AA2 , BB2 , CC2 pot fi laturile unui triunghi. Nicolae Papacu, Slobozia 15. Fie ABCDE un pentagon convex ¸si P ∈ [DE]. Not˘am cu G1 , G2 , G3 , G4 , respectiv, centrele de greutate ale triunghiurilor ADE, AP B, ABC ¸si AP C. S˘a se arate c˘ a G1 G2 G3 G4 este un paralelogram dac˘a ¸si numai dac˘a P este mijlocul segmentului [DE]. Marian Ionescu, Pite¸sti

2.2

Clasa a X-a

1. Fie f ∈ C[X] polinomul f (X) = X 2003 + a2002 X 2002 + . . . + a1 X + a0 cu toate r˘ ad˘ acinile de modul 1. Dac˘a a0 6= 1, atunci num˘arul a2002 − a1 1 − a0 este real. Valentin Vornicu 2. Se consider˘ a mult¸imile An = {x ∈ R+ |1x + 2x + . . . + nx = (n + 1)x + (n + 2)x } ¸si B = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ A2002 . Câte elemente are B? Mariana Coad˘ a, Galat¸i

10

CAPITOLUL 2. PROBLEME AVUTE ÎN ATENT ¸ IA COMISIEI, 2003 3. Rezolvat¸i ecuat¸ia

2

5x + 3 x = 28. Romeo Zamfir, Galat¸i 4. Rezolvat¸i ecuat¸ia [2x ] + [3x ] = [6x ]. Nicolae Papacu, Slobozia 5. Rezolvat¸i ecuat¸ia (2x + 3x + 4x )(5x + 6x + 7x + 8x ) = (4x + 5x )(8x + 9x + 10x ). Nicolae Papacu 6. Fie ¸sirul de numere reale (an )n≥1 cu a1 = 1 astfel ca pentru orice num˘ar natural p(p + 1) , numerele am , am+1 , . . . , am+p+1 sunt ˆın progresie nenul p, notˆ and m = 2 aritmetic˘ a cu rat¸ia p. a) Calculat¸i a2003 . b) Exist˘ a n astfel ˆıncˆ at an = 2003? Nicolae Papacu 7. Ar˘ atat¸i c˘ a pentru orice n ≥ 2 natural, numerele xn = C0n − C3n + C6n − . . . , yn = C2n − C5n + C8n − . . . , verific˘ a x2n + yn2 ≥ 2 · 3n−2 . Marian Urs˘ arescu, Roman 8. Fie a, b, c numere strict pozitive, subunitare cu suma 1. Demonstrat¸i c˘a: X log2 c 9 ab ≥ . a+b 8 Tudorel Lupu, Constant¸a 9. Rezolvat¸i ecuat¸ia 3x

3

−1

1

+ 3 x = 4. Tudorel Lupu

10. Rezolvat¸i ˆın R sistemul de ecuat¸ii:  x  7 + 7y + 7z 3y − z 3  x 5 − z5

= 21 =2 . =4 Daniel Jinga, Pite¸sti

2.2. CLASA A X-A

11

11. Fie a, b, c numere strict pozitive satisf˘acând a3 + b3 + c3 = 1. Ar˘atat¸i c˘a X √ 3 loga ( 3bc) > 0.

12. Determinat¸i numerele x, y, z din (1, ∞) pentru care

X

xlogy z

I.V. Maftei X = x.

C˘ alin Burdu¸sel, Târgovi¸ste 13. Demonstrat¸i c˘ a pentru orice z1 , z2 , z3 ∈ C avem |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 ≥ Re(z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ). Traian T˘ amˆ aian, Carei 14. Rezolvat¸i ecuat¸ia 2

2

5x + 5x = 4x + 6x . Nicolae Dragomir 15. a) Se d˘ a ¸sirul cu termenul general an , n ≥ 3, dat de an + an−1 + 2an−2 = 0, a1 = 1, a2 = −1. Determinat¸i formula termenului general. b) Ar˘ atat¸i c˘ a pentru orice n ∈ N, ecuat¸ia x2 + 7y 2 = 2n are solut¸ii ˆın mult¸imea numerelor ˆıntregi. Nicolae Dragomir 16. Pentru n num˘ ar natural nenul, calculat¸i [ n2 ] X

Ckn − Ck−1 n

2

.

k=0

AMM 17. Fie n, k ∈ N∗ , k ≤ n ¸si M = {1, 2, . . . , n}. Pentru o submult¸ime cu k elemente a lui M , ordonat˘ a a1 < a2 < . . . < an , fie λA = max(ai+1 − ai ) ¸si lA = min(ai+1 − ai ). Calculat¸i X (λA + lA ). A⊆M, |A|=k

V. Zidaru

12


18. Pentru n natural consider˘am suma S a numerelor de 10n+1 cifre ce ˆın reprezentarea lor ˆın baza 10 nu cont¸in cifra 0. Calculat¸i restul ˆımp˘art¸irii num˘arului S la ˆımp˘ art¸irea prin 11. V. Zidaru 19. Fie z1 , z2 , z3 numere complexe + z2 + z3 6= 0. Se de acela¸ si modul nenul cu z1 z2 + z3 z3 + z1 z1 + z2 consider˘ a punctele A , B , C . z1 z2 z3 a) Determinat¸i centrul cercului circumscris triunghiului ABC; b) În ce condit¸ii este triunghiul echilateral? Florin Cˆ arjan, Bra¸sov 20. În triunghiul ABC fie M un punct interior ¸si fie da , db , dc ¸si respectiv ta , tb , tc distant¸ele de la M la laturile respectiv vârfurile triunghiului. Ar˘atat¸i c˘a X

da ≤

X

ta sin

A . 2 Nicolae St˘ aniloiu

21. Fie z1 , z2 , . . . , zn , n ≥ 4, numere complexe (nu neap˘arat distincte), pentru care |z1 | + |z2 | + . . . + |zn | = 1. Demonstrat¸i c˘ a se pot alege unele dintre acestea pentru care modulul sumei este strict mai mare decˆ at 1/4. Valentin Vornicu 22. Ar˘ atat¸i c˘ a patru numere pozitive a, b, c, d sunt ariile fet¸elor unui tetraedru dac˘a ¸si numai dac˘ a au loc toate inegalit˘a¸tile de tipul a < b + c + d. Dumitru Mihalache ¸si Marian Tetiva 23. Demonstrat¸i c˘ a pentru orice numere reale x, y, avem | cos x| + | cos y| + | cos(x + y)| ≥ 1. Stabilit¸i condit¸iile ˆın care are loc egalitatea. Dorin Arventiev, Constantin Caragea

Capitolul 3


Clasa a IX-a

1. Fie k, n1 , n2 , . . . , nk numere naturale impare, fie A = {(ni , nj ) | 1 ≤ i < j ≤ k} ¸si f : A → N definit˘ a prin n +n 1, dac˘a i 2 j este impar, f (ni , nj ) = 0, altfel. P S˘ a se arate c˘ a dac˘ aS= f (x) este num˘ar par, atunci 4 divide k − 1. x∈A

Romeo Zamfir 2. Fie numerele strict pozitive a, b astfel ca a + b = 1. Aflat¸i minimul expresiei 1 1 √ + √ . 1− a 1− b Ioan V. Maftei 3. [a)] Determinat¸i numerele naturale p pentru care n n+1 n+2 + + =n p p p oricare ar fi num˘ arul natural n. (b) (a) Determinat¸i numerele naturale nenule p, q, r pentru care n n+1 n+2 + + =n p q r 13

14

CAPITOLUL 3. PROBLEME AVUTE ÎN ATENT ¸ IA COMISIEI, 2004 pentru orice n num˘ar natural. Marius Burtea 4. Numerele pozitive a, b, c verific˘a abc = 1. Demonstrat¸i inegalitatea X Xa+b X1 ≥2 −3 . a+ c a (a se vedea problema asem˘an˘atoare de la baraj 2003-juniori) Gabriel Dospinescu 5. Fie a, b ∈ R ¸si f R → R strict cresc˘atoare. Determinat¸i funct¸iile g : [a, b] → [f (a), f (b)] ¸stiind c˘ a g(x) − g(y) ≥ |f (x) − f (y)|, pentru orice x, y ∈ [a, b]. C˘alin Burdu¸sel 6. Determinat¸i funct¸iile de gradul al doilea f (x) = ax2 + bx + c, cu f (0) ∈ Z ¸si care au proprietatea c˘ a n−1 1 > n2 − n + 1 ¸si f n + < n2 + n − 1, f n+ n n pentru o infinitate de numere naturale n. Cristinel Mortici 7. Pentru orice num˘ ar natural n ≥ 2 not˘am an = 2 + a2 a3 an Demonstrat¸i c˘ a 1+ + + ··· + < an−1 . 2 3 n

√1 2

+

√1 3

+ ··· +

√1 . n

Cristinel Mortici ∗

∗

8. [a)] Fie f : N → N o funct¸ie monoton˘a astfel ˆıncât pentru orice n ∈ N∗ avem f (f (n)) = n + f (2). Ar˘ atat¸i c˘ a f este cresc˘atoare. (b) (a) Determinat¸i funct¸ia f . Nicolae Papacu 9. Determinat¸i x, y ∈ N pentru care h x i 2x 3x h xy i + + + ··· + = 4. π π π π Marian Teler 10. [a)] Determinat¸i toate funct¸iile injective f : N∗ → N∗ care ˆındeplinesc condit¸ia: pentru orice n ∈ N∗ exist˘a i1 , i2 , . . . , i3n ∈ N∗ distincte astfel ˆıncât [f (i1 ) + f ◦ f (i1 )] + · · · + [f (i3n + f ◦ f (i3n )] = 3n(3n + 1).

3.1. CLASA A IX-A

15

(b) (a) Fie g : N∗ → N∗ . Ar˘atat¸i c˘a exist˘a o funct¸ie F : N∗ → N∗ ce satisface condit¸ia: pentru orice n ∈ N∗ , exist˘a i1 , i2 , . . . , ig(n) ∈ N∗ distincte astfel ˆıncˆ at [f (i1 ) + f ◦ f (i1 )] + · · · + [f (ig(n) + f ◦ f (ig(n) )] = g(n)(g(n) + 1) dac˘ a ¸si numai dac˘ a g este surjectiv˘a. Alexandru Take 11. Dac˘ a a, b, c > 0 demonstrat¸i c˘a X

a 27 . ≥ bc(c + a) 2(a + b + c)2 Petre B˘atrânet¸u

12. Determinat¸i toate funct¸iile de gradul al doilea f (x) = ax2 + bx + c, cu a, b, c numere reale, a 6= 0, care transform˘a intervalele [0, 1] ¸si [4, 5] ˆın dou˘a intervale care au un singur punct comun ¸si a c˘aror reuniune este intervalul [1, 9]. Cristinel Mortici 13. Dac˘ a x, y, z, a, b, c, d sunt numere reale pozitive nenule, ar˘atat¸i c˘a xyz 1 √ ≤ , 4 (1 + ax)(x + by)(y + cz)(z + d) (1 + abcd)4 unde se consider˘ a c˘ a expresia are sens. Marin Chirciu 14. Dac˘ a a, b, c sunt numere pozitive, ar˘atat¸i c˘a X√ √ a(b3 + c3 ) ≥ 2 abc(a2 + b2 + c2 ). Marin Chirciu 15. G˘ asit¸i toate perechile (x, y) de numere reale, solut¸ii ale sistemului x4 + 2x3 − y =

√

1 3− , 4

√ 1 y 4 + 2y 3 − x = − 3 − . 4 Titu Andreescu

16. Fie a, b, c trei numere reale pozitive. S˘a se arate c˘a p √ √ √ √ abc( a + b + c) + (a + b + c)2 ≥ 4 3abc(a + b + c). Valentin Vornicu

16


17. S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘a a, b, c ∈ R, a2 + b2 + c2 = 9 atunci 3 min{a, b, c} ≤ 1 + abc. Virgil Nicula 18. Fie a, b, c numere reale strict pozitive pentru care 1 1 1 a b c + + ≥ + + . a b c b c a S˘ a se demonstreze inegalitatea a b c 3 + + ≥ . bc(b + c) ca(c + a) ab(a + b) 2 Tudorel ¸si Cezar Lupu √ 19. Fie p ∈ N∗ , q ∈ {p2 + 1, p2 + 2, . . . , p2 + 2p} ¸si xn = [(p + q)n ], pentru orice n ∈ N. S˘ a se arate c˘ a exist˘ a o biject¸ie ˆıntre {n ∈ N | xn este par} ¸si {n ∈ N | xn este impar}. Radu Miculescu 20. Determinat¸i mult¸imea S a numerelor naturale n nenule care ˆındeplinesc condit¸ia: pentru orice a, b ∈ R \ {0} exist˘a numerele reale x1 , x2 , . . . , xn astfel ˆıncât x1 + x2 + · · · + xn = a 1 1 1 x1 + x2 + xn = b. Mihai B˘alun˘a 21. Determinat¸i coordonatele vârfurilor triunghiului ABC ˆınscris ˆıntr-un cerc de centru O(1/2, −1/2) ¸stiind c˘a piciorul ˆın˘alt¸imii din A este H(1, 4), iar piciorul bisectoarei din A este D(−1, 2). Gabriel Popa 22. Fie A0 , B 0 , C 0 respectiv, puncte pe laturile (BC), (AC), (AB) ale unui triunghi ABC ¸si num˘ arul k, k ≥ 1 astfel ca 1 AC 0 ≤ ≤ k, k BC 0 Demonstrat¸i c˘ a

BA0 1 ≤ ≤ k, k CA0

CB 0 1 ≤ ≤ k. k AB 0

k max(A0 B 0 , A0 C 0 , B 0 C 0 ) ≤ . max(AB, AC, BC) k+1 Dan Ismailescu

3.1. CLASA A IX-A

17

23. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC pentru care exist˘a pe la−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ turile sale punctele M, N, P astfel ˆıncât 3AM = 2M B, 3BN = 2N C, 3CP = −→ 2P A iar OM ≡ ON ≡ OP . Ar˘ atat¸i c˘ a triunghiul ABC este echilateral. Marian Teler 24. Fie P un poligon convex. Pentru un punct M din interiorul poligonului, not˘am cu s(M ) suma distant¸elor de la M la laturile poligonului. Se ¸stie c˘a exist˘a trei puncte necoliniare A, B, C astfel ca s(A) = s(B) = s(C) = k. S˘ a se arate c˘ a s(M ) = k, pentru orice punct. Bogdan Enescu 25. Care sunt patrulaterele convexe pentru care exist˘a un punct ˆın planul lor cu proprietatea c˘ a orice dreapta ce trece prin punctul respectiv ˆımparte patrulaterul ˆın dou˘ a poligoane de arii egale? Gheorghe Iurea 26. Fie n un num˘ ar natural ¸si X1 , X2 , . . . , Xn mult¸imi disjuncte ˆın plan de cardinal n S cel put¸in n. Pentru X = Xi not˘am cu G centru de greutate al punctelor din i=1

X ¸si pentru fiecare i = 1, 2, . . . , n cu Gi centrul de greutate al punctelor din Xi . Fie S suma p˘ atratelor distant¸elor de la G la punctele din X ¸si si suma p˘atratelor n n P P distant¸elor de la Gi la punctele din Xi . Dac˘a s = si ¸si d = GGi s˘a se i=1

i=1

arate c˘ a S ≥ s + d2 . Claudiu Raicu 27. Un triunghi ABC este echilateral dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a puncte M, N, P pe laturile (AB), (BC), (CA) respectiv, astfel ˆıncât triunghiurile ABC ¸si M N P au acela¸si centru de greutate ¸si acela¸si ortocentru. Marian Ionescu 28. Fie T = {∆ABC | 2ha = a}. Ar˘atat¸i c˘a a) T 6= ∅. b) T cont¸ine triunghiuri neisoscele. c) Dac˘ a ˆıntr-un triunghi ABC avem 2a2 = b2 + c2 , b2 − c2 = 2bc, atunci ∆ABC ∈ T . Alexandru Blaga


18

29. Demonstrat¸i c˘ a 3 9 1 + + + cot 9◦ − 3 tan 9◦ cot 27◦ − 3 tan 27◦ cot 81◦ − 3 tan 81◦ +

27 = 10 tan 9◦ . cot 243◦ − 3 tan 243◦ Titu Andreescu

30. Fie patrulaterul convex ABCD ˆın care AD m(∠BAC) = 2m(∠BDC).

=

DB, AC

=

CD,

S˘ a se arate c˘ a m(∠CBD) = 30◦ ¸si c˘a exist˘a x ∈ (0, 30◦ ) astfel ˆıncât m(∠A) = 60 + x, m(∠B) = 90 + x, m(∠C) = 150 − x. Virgil Nicula 31. Fie ABCD un patrulater ˆınscris ˆıntr-un cerc de centru O ¸si X un punct ˆın planul s˘ au. Se noteaz˘ a cu AH , BH , CH , DH , respectiv AG , BG , CG , DG simetricele punctului X fat¸˘ a de ortocentrele respectiv centrele de greutate ale triunghiurilor BCD, CDA, DAB, ABC. S˘ a se demonstreze c˘ a: 1) Dreptele AHA , BHB , CHC , DHD sunt concurente ˆıntr-un punct notat cu H. 2) Dreptele AAG , BBG , CCG , DDG sunt concurente ˆıntr-un punct notat cu G. 3) Punctele Y , H, G sunt colineare, unde Y este simetricul lui X fat¸˘a de O. Daniel V˘ac˘aret¸u 32. Demonstrat¸i c˘ a un patrulater ABCD este romb dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice punct M din plan avem 4(M A · M C + M B · M D) ≥ AC 2 + BD2 . Laurent¸iu Panaitopol

3.2

Clasa a X-a

1. Fie A = {1, 2, . . . , n}. Câte solut¸ii (X, Y, Z) cu |Z| > |Y | > |X| ≥ 2 are ecuat¸ia X ∪ Y ∪ Z = A. *** 2. Fie A, B, C mult¸imi de cardinal m, n, p respectiv âp ≥ m. Fie f : A → C o funct¸ie injectiv˘ a. În câte moduri poate fi scris˘a funct¸ia f ca f = g ◦ h unde h : A → B ¸si g : B → C? Cornel Berceanu

3.2. CLASA A X-A

19

3. Determinat¸i progresiile geometrice de numere naturale (an )n≥0 pentru care suma n X n ak k k=0

este p˘ atrat perfect pentru orice n natural. Lucian Dragomir 1

4. S˘ a se arate c˘ a ecuat¸ia 5x + 6 x + 7x+ merelor reale.

1 x

= 58 nu admite solut¸ii ˆımult¸imea nuMariana Coad˘ a

5. Fie k ≥ 1 natuarl ¸si a1 , a2 , . . . , ak , b1 , b2 , . . . , bk numere rat¸ionale având urm˘atoarea proprietate pentru orice numere irat¸ionale supraunitare x1 , x2 , . . . , xk exist˘a numere naturale nenule n1 , . . . , nk , m1 , . . . , mk â mk k a1 [xn1 1 ] + . . . + ak [xnnk ] = b1 [xm 1 ] + . . . + bk [xk ].

S˘ a se demonstreze c˘ a ai = bi pentru orice i = 1, 2, . . . , k. Gabriel Dospinescu 6. Dac˘ a p este un num˘ ar prim p ≥ 5 ¸si an =

n X p+k k=1

k

, atunci num˘arul

p−1 [X 2 ]

a2k

k=1

se divide prin p. Nicolae Papacu 7. Fie a, b, c ∈ (0, 1). S˘ a se determine numerele reale x, y, z pentru care 1 − ax 1 − by 1 − cy x+y+z = = = . 1−a 1−b 1−c 3 Manuela Prajea 8. Fie a ∈ (0, ∞) \ {1}. S˘ a se determine solut¸iile reale ale sistemului ax + loga y = aay = loga z = aaz + loga x = a. *** 9. Se consider˘ a numerele complexe z0 , z1 , . . . , zn−1 cu proprietatea c˘a pentru orice j, k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} avem Im((zj − zk )(zk+1 − zk )) = 0. S˘a se arate c˘a n−1 X

|zk+1 − zk−1 | ≥

k=0

n−1 X

|zk − zk−1 |,

k=0

unde se consider˘ a z−1 = zn−1 . C˘ alin Popescu

20


10. G˘ asit¸i toate perechile de numere complexe (z1 , z2 ) care satisfac simultan condit¸iile: a) |1 + z1 + z2 | = |1 + z1 | = 1; b) |z1 z2 (z1 + z2 )| = 2(|z1 | + |z2 |). Valentin Vornicu 11. S˘ a se rezolve ecuat¸ia 2x (ax + bx ) + x(ax + bx ) = (a + b)x + x(a + b) unde a, b ∈ (1, ∞), a 6= b. Dan Popescu 12. S˘ a se determine z ∈ C ¸stiind c˘a |1 + z 2n+1 | ≤ 1, pentru orice n ∈ N. Costel Chite¸s 13. Fie x, y, z numere strict astfel ca x + y + z =

π . Ar˘atat¸i c˘a 2

(1 − sin x)(1 − cos y)(! − cos z) ≥ sin x sin y sin z. În ce caz avem egalitate? Ghorghe Sz¨ ol¨ osy 14. S˘ a se arate c˘ a ˆıntr-un tetraedru echifacial, centrul sferei ˆınscrise ˆıtetraedru coincide cu centrul de greutate al tetraedrului. Valentin Vornicu 15. S˘ a se arate c˘ a un tetraedru ce are muchiile ˆıprogresie aritmetic˘a ¸si perechile de muchii opuse sunt perpendiculare, este regulat. Mircea Becheanu 16. Spunem c˘ a un tetraedru este median dac˘a are proprietatea urm˘atoare: (P) Pentru orice vˆ arf al s˘au planul ce trece prin mijloacele muchiilor ce pornesc din acel vˆ arf este tangent la sfera ˆınscris˘a ˆıtetraedru. S˘ a se aret c˘ a un tetraedru este median dac˘a ¸si numai dac˘a este echifacial. Valentin Vornicu 17. Fie M un punct ˆıinteriorul tetraedrului ABCD ¸si fie A0 , B 0 , C 0 , D0 intersect¸iile dreptelor AM, BM, CM, DM cu planele opuse. S˘a se arate c˘a X

AM 2

X

1 ≥ 9. AA02 Andrei Chite¸s

3.2. CLASA A X-A

21

18. Demonstrat¸i c˘ a ˆıorice triunghi are loc inegalitatea r X√ X A B C sin A ≥ 2 cos sin sin . 2 2 2 Traian T˘ amˆ aian 19. Fie tetraedrul V ABC ˆıcare muchiile laterale V A, V B, V C sunt perpendiculare AM 3 AN 1 dou˘ a cˆ ate dou˘ a. Fie M ∈ (AB), N ∈ (BC) â = ¸si = . Dac˘a AB 4 AC √5 √ π atat¸i c˘ a m(V AB) = dac˘a ¸si numai dac˘a V M · V N = 2. V A = 5 ar˘ 4 C˘ alin Burdu¸sel 20. Fie ABCD un patrulater ˆınscris ˆıntr-un cerc de centru O ¸si fie P un punct BCD, CDA, DAB, ABC respectiv. a) S˘ a se demonstreze c˘a dreptele AHA , BHB , CHC , DHD sunt concurente ˆıntr-un punct notat cu H ¸si V OH =

1 (V OA + V OB + V OC + V OD). 2

b) S˘ a se demonstreze c˘ a expresia P A2 +P B 2 +P C 2 +P D2 −2P H2 este constant˘a. Daniel V˘ ac˘ aret¸u

22


Capitolul 4

Probleme avute ˆın atent¸ia comisiei, 2005

23

24


Capitolul 5


Clasa a IX-a

1. Fie n ∈ N, n ≥ 2 ¸si a1 , a2 , . . . , a2n , numere reale strict pozitive â a1 + a2 + . . . + a2n = s. Demonstrat¸i inegalitatea a1 an an+1 a2n + ... + + + ... + ≥ 1. s + an+1 − a1 s + a2n − an s − a1 − an+1 s + an − a2n Stabilit¸i cazurile de egalitate. Traian T˘ amˆ aian 2. Fie a, b, c numere reale strict pozitive â a2 + b2 + c2 = 3. S˘a se arate c˘a pentru orice numere reale strict pozitive x, y, z, avem √ x y z √ √ + + ≥ xy + yz + zx. a b c Marius Damian 3. Fie a, b, c numere pozitive aˆ abc = 1. Demonstrat¸i c˘a X 1 1 ≤ . a2 + 2b2 + 3 2 Mircea Lascu 4. O funct¸ie bijectiv˘ a f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} are proprietatea P dac˘a relat¸ia f (1) + . . . + f (n) g(k) = f (1) . . . + f (k) − n , n pentru orice k = 1, 2, . . . , n define¸ste o funct¸ie dac˘a ¸si numai dac˘a n este par. Emil Vasile 25

26

CAPITOLUL 5. PROBLEME AVUTE ÎN ATENT ¸ IA COMISIEI, 2006 5. Spunem c˘ a o funct¸ie f : [0, ∞) → [0, ∞) are proprietatea P dac˘a f (xf (y 2 )) = f (y)(f (f (x2 )), pentru orice x, y ∈ [0, ∞). a) S˘ a se arate c˘ a exist˘ a o infinitate de funct¸ii cu propeietatea P. b) S˘ a se arate c˘ a exist˘ a o unic˘a funct¸ie cu proprietatea P a c˘arei imagine cont¸ine un interval deschis centrat ˆı1. Coste Chite¸s ¸si Adrian Stoica 6. Rezolvat¸i ˆınumere ˆıntregi x, y ecuat¸ia q p x = y 2 − y 2 + x. Vasile Berinde 7. S˘ a se determine

1 √ 1 min n ∈ N > { n} < . 100 10

Dorin M˘ arghidan 1 1 1 8. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive â a + b + c ≥ + + . S˘a se arate a b c c˘ a 3 2 a+b+c≥ + . a + b + c abc Cezar Lupu ¸si Valentin Vornicu X1 9. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a, b, c sunt numere reale strict pozitive â ≤ 3, atunci a X

√

a2 + 1 ≥ 6. a2 − a + 1 I. V. Maftei

10. Fie a, b, c ∈ R ˆ a |ax2 + bx + x| ≤ 1, oricare ar fi x ∈ [−1, 1]. S˘a se arate c˘a dac˘ a α ∈ [0, 1], atunci α(1 + α)|b| + (10 − α2 )|c| ≤ 1 + α2 . Cˆ and are loc egalitatea? Dumitru Barac 11. S˘ a se determine triunghiului ABC cunoscând picioarele coordonatele vârfurilor 36 26 1 1 6 8 ˆın˘ alt¸imilor D , ; E , ; F , . 17 17 2 2 5 5 Gabriel Popa ¸si Paul Georgescu

5.2. CLASA A X-A

27

12. Se consider˘ a triunghiul ascut¸itunghic ABC având ortocentrul H ¸si ˆın˘alt¸imile AM , BN , CP . Fie Q ¸si R mijloacele segementelor BH respectiv CH ¸si not˘am U = M Q ∩ AB, V = M R ∩ AC, T = AH ∩ P N . S˘a se arate c˘a: MH TH a) = ; MA TA b) T este ortocentrul triunghiului U AV . Manule Prajea 13. Consider˘ am un triunghi ABC, punctul M al laturii BC perntru care

MB = MC

c(b + c) ¸si punctul N al laturii AM pentru care ∠BN M = ∠A. S˘a se arate c˘a b2 A ∠CN M = . 2 Virgil Nicula

14. Fie ABC un triunghi ¸si I centrul cercului ˆınscris. Fie A1 , B1 , C1 respectiv centrele cercurilor ˆınscrise ˆıtriunghiurile IBC, ICA, IAB. Ar˘atat¸i c˘a AA1 , BB1 , CC1 sunt concurente. 15. Într-un campionat de fotbal se ˆınscriu 18 echipe. Fiecare echip˘a poaate s˘a joace cel mult un meci cu o alt˘a echip˘a. Spunem c˘a campionatul este bun dac˘a la sfˆ ar¸situl s˘ au oricum am alege 12 echipe din cele 18, exist˘a cel put¸in 6 meciuri disputate ˆıntre ele. Determinat¸i num˘ arul minim posibil de meciuri care se desf˘a¸soare˘a ˆıntr-un campionat bun. Valentin Vornicu

5.2

Clasa a X-a

1. Fie a, b, c trei numere strict pozitive â a + b + c ≥ a+b+c≥

1 1 1 + + . S˘a sa arate c˘a a b c

3 2 + . a + b + c abc Cezar Lupu ¸si Valentin Vornicu

2. Se dau numerele a1 , a2 , . . . , an ∈ {−1, 1} â a1 + a2 . . . + an = 0. Ar˘atat¸i c˘a exist˘ a k ∈ {1, 2, . . . , n} ˆ a k |a1 + 2a2 + . . . + kak | ≤ . 2 G. René

28

CAPITOLUL 5. PROBLEME AVUTE ÎN ATENT ¸ IA COMISIEI, 2006 3. Fie k ¸si n numere naturale nenule, n ≥ 2. Câte numere de kn cifre 0 ¸si 1 se pot forma pentru care dac˘ a apare cifra 0, ea apare ˆınum˘ar multiplu de k ¸si ˆısecvent¸e consecutive de lungime multiplu de k. Romant¸a ¸si Ioan Ghit¸˘ a n

4. Demonstrat¸i c˘ a num˘ arul (22n + 2n+m + 22m )! este divizibil cu (2n !)2 m 2m +2n−1 (2 !) , pentru orice n, m ∈ N∗ .

+2m−1

·

Dana Heuberger 5. Fie a ∈ N, a ≥ 2. Definim ¸sirul (xn )n≥0 prin relat¸iile x0 =

a2 a , x1 = (2a3 − 4a2 − a + 4) ¸si xn+1 − (4a2 − 2)xn + xn−1 = 0, 4 2

pentru n ≥ 1. S˘ a se arate c˘a nun˘arul 2xn − orice n ∈ N.

a2 − 2 este p˘atrat perfect pentru 2 S ¸ tefan Alexe

6. S˘ a se rezolve ecuat¸ia log3 2log3 (2

x

+1)

+ 1 = log2 (3x − 1). Cezar Lupu

7. Pentru p, n ∈ N∗ se consider˘a mumerele naturale x1 , x2 , . . . , xn . S˘a se arate c˘a: !p n n n n X X X X p−1 2 xi ≤ Cp1 xi2p−1 + Cp3 xi2p−3 + . . . + Cp2m+1 xi2p−2m−1 , i=1

i=1

i=1

i=1

p−1 . unde m = 2

Dumitru Barac 8. Aflat¸i numerele prime p ¸si numerele q naturale cu p ≤ q ≤ q 2 pentru care Cpq2 − Cqp = 1. Costel Chite¸s, Adrian Stoica 9. Fie A1 A2 A3 A4 un patrulater convex circumcritibil, cercul ˆınscris având raza r. a) Ar˘ atat¸i c˘ a exist˘ a cercurile Ci = (Ai , ri ), i = 1, 2, 3, 4 centrate ˆıAi ¸si tangente la C(Ai+1 , ri+1 ) (unde se consider˘a notat¸ia modulo 4, adoc˘a C5 = C1 ). b) Dac˘ a

4 X 1 4 = , ar˘ atat¸i c˘a patrulaterul este p˘atrat. r r i=1 i

***

5.2. CLASA A X-A

29

10. Fie d o dreapt˘ a dat˘ a ˆıspat¸iu. Pentru orice n puncte A1 , A2 , . . . , an nesituate pe d, figura format˘ a din reuniunea semiplanelor Sk = (dAk , 1 ≤ k ≤ n o vom numi n-evantai daçs m˘ asura unghiului diedru dintre oricare dou˘a semiplane Si ¸si Sj , 1 ≤ i < j ≤ n, este exprimat˘a printr-un num˘ar ˆıntreg nenul de grade. a) Demonstrat¸i c˘ a orice 91-evantai cont¸ine dou˘a semiplane care sau sunt ˆıprelungire sau sunt perpendiculare. b) Pentru fiecare 1 ≤ n ≤ 360, aflat¸i câte n-evantaie exist˘a cu proprietatea c˘a prientre semiplanele sale exist˘a dou˘a care sau sunt ˆıprelungire sau sunt peprendiculare (dou˘ a n-evantaie se consider˘a identice dac˘a ¸si numai dac˘a unul se obt¸ine din altul printr-o rotat¸ie ˆıjurul dreptei d). Cristinel Mortici 11. Dac˘ a a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi, iar R este raza cercului circumscris ¸si S aria, s˘ a se arate c˘a ˆıipoteza a2 + b2 + c2 = 4 avem 6R2 + S 2 ≥ 3. Vasile Cˆırtoaje 12. Fie ABC un triunghi ¸si P un punct interior. Not˘am ci r1 , r2 respectiv r3 razele cercurilor ˆınscrise ˆıtriunghiurile P BC, P CA ¸si P AB. Demonstrat¸i c˘a √ b c a + + ≥ 6(2 + 3). r1 r2 r3 G. René 13. Determinat¸i numerele complexe a, b, c care verific˘a relat¸iile a3 + b3 + c3 = 24, (a + b)(b + c)(c + a) = 64, |a + b| = |b + c| = |c + a|. Nicolae Mu¸suroaia 14. S˘ a se arate c˘ a ˆıntr-un triunghi oarecare ABC, cu nott¸iile consacrate, avem r 3R(ma + mb + mc ) . p≤ 2 Nicolae St˘ aniloiu

30


Capitolul 6


31

32


Capitolul 7


33

34


Capitolul 8


Clasa a IX-a

1. Fie numerele naturale nenule a1 , a2 , .., an+1 ¸si k, astfel ˆıncât a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an+1 . Demonstrat¸i inegalitatea a3 − a2 an+1 − an an+1 − a1 a2 − a1 + + ··· + +n−1≥ . k k k k Manea Cosmin, Petric˘ a Drago¸s, Pite¸sti 2. Demonstrat¸i c˘ a pentru orice num˘ar real x > 0 ¸si orice ˆıntreg n ∈ N∗ are loc inegalitatea r n √ X 2k − 1 n < . x + k2 x k=1

Dan Nedeianu, Dr. Tr. Severin 3. Determinat¸i ¸sirurile (an )n≥1 ¸si (bn )n≥1 , cu an ∈ {−1, 1} ¸si bn ∈ N, pentru fiecare n ∈ N∗ , ¸si cu proprietatea a1 b21 + a2 b22 + ... + an b2n = an

n(n + 1) 2

pentru orice n ∈ N∗ . Romant¸a ¸si Ioan Ghit¸˘ a, Blaj 35


36

1 + an , pentru 1 + a2n orice n ∈ N∗ . Ar˘ atat¸i c˘ a dac˘a a1 ∈ (0, 2), atunci |an+1 − 1| < 21n , pentru orice ∗ n∈N .

4. Se consider˘ a un ¸sir (an )n≥1 de numere reale, definit prin an+1 =

Lucian Dragomir, Ot¸elu-Ro¸su 5. a) Dac˘ a a, b ∈ (0, ∞) ¸si ab = 1, ar˘atat¸i c˘a a2 b2 + ≥ 1. a+1 b+1 b) Fie a1 , a2 , ..., an ∈ (0, ∞), n ∈ N, n ≥ 2, astfel ˆıncât a1 a2 ...an = 1. Dac˘a a1 + a2 + ... + an = s, ar˘atat¸i c˘a a22 a2n a21 + + ... + ≥ 1. s + 1 − a1 s + 1 − a2 s + 1 − an Traian T˘ amˆıian, Carei, Satu Mare

8.2

Clasa a X-a

1. Fie a, b ∈ (1, ∞) astfel ˆıncât a · b = a + b. S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia: x[(b − 1)ax + (a − 1)bx − x − ab + 2] = (ax − 1)(bx − 1). Traian T˘ amˆıian, Carei, Satu Mare 2. (i) Într-un reper cartezian xOy se consider˘a punctele distincte A(cos x, sin x), B(cos y, sin y), C(cos z, sin z), x, y, z ∈ R. S˘ a se arate c˘ a 2

4S 2 = (sin(x − y) + sin(y − z) + sin(z − x)) , unde S este aria triunghiului ABC. (ii) Ar˘ atat¸i c˘ a dac˘ a a, b, c ∈ R cu a + b + c = 0, atunci √ 3 3 . | sin a + sin b + sin c| ≤ 2 Dan S ¸ tefan Marinescu, Viorel Cornea, Hunedoara 3. S˘ a se determine toate numerele naturale strict pozitive n astfel ˆıncât sistemul de ecuat¸ii  x + y + z = 3  x2 + y 2 + z 2 = 3   n x + yn + zn = 3 s˘ a aib˘ a unica solut¸ie x = y = z = 1 ˆın mult¸imea numerelor complexe. Cosmin Pohoat¸˘ a, CNI Tudor Vianu, Bucure¸sti

Capitolul 9


Clasa a IX-a

1. S˘ a se arate c˘ a numerele reale a, b satisfac relat¸ia (x + y + z)3 + a(x + y + z)(xy + yz + zx) + bxyz ≥ 0, ∀x, y, z ≥ 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘a r ≥ 0, s ≥ 0 astfel ˆıncât a = −4 + r, b = 9 − 9r + s. Dumitru Barac, Sibiu 2. Se consider˘ a un triunghi ABC ¸si un punct M ˆın interiorul s˘au. Se noteaz˘a cu D, E, F proiect¸iile lui M pe laturile BC, CA respectiv AB ¸si cu r lungimea razei cercului ˆınscris ˆın triunghi. S˘a se arate c˘a dac˘a BC CA AB AB + BC + CA + + = , MD ME MF r atunci dreptele AD, BE, CF sunt concurente. Lucian Dragomir, Ot¸elu-Ro¸su 3. În interiorul triunghiului ABC, cercul exˆınscris C(Ia ) corespunz˘ator laturii BC este tangent la dreptele BC, CA, respectiv AB ˆın D, E, F . Bisectoarea unghiului BIa C intersecteaz˘ a BC ˆın M , iar AM intersecteaz˘a EF ˆın P . S˘a se arate c˘a DP este bisectoarea unghiului F DE. Virgil Nicula, Bucure¸sti 4. S˘ a se arate c˘ a pentru orice numere reale x, y, z, t are loc p p x2 + xy + y 2 )(z 2 + zt + t2 ) + (y 2 − yz + z 2 )(x2 − xt + t2 ) ≥ (x + z)(y + t). S˘ a se precizeze ˆın ce condit¸ii are loc egalitatea. C˘ alin Burdu¸sel, Tˆ argovi¸ste 37


38

5. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a a, b, c sunt numere reale pozitive cu proprietatea c˘a abc = 1, atunci b c a (1 + a3 )(1 + b3 )(1 + c3 ) ≥ 2 1 + + + . a b c Dan Nedeianu, Dr. Tr. Severin 6. Ar˘ atat¸i c˘ a√ˆın orice triunghi neechilateral exist˘a o bisectoare strict mai mare √ decˆ at de 3/2 ori latura opus˘a ¸si una strict mai mic˘a decât 3/2 ori latura opusa. G. René, Otopeni

9.2

Clasa a X-a

1. Dac˘ a a, b, c ∈ C sunt toate de modul 1, ar˘atat¸i c˘a |a − b|2 + |a − c|2 − |b − c|2 ≥ −1. Dan Nedeianu, Dr. Tr. Severin 2. Fie a, b, c ∈ (0, 1) ¸si x, y, z ∈ (0, ∞) astfel ˆıncât a = (bc)x , b = (ca)y , c = (ab)z . S˘ a se arate c˘ a 1 1 1 + + ≤ 1. x+y+2 y+z+2 z+x+2 Cezar ¸si Tudorel Lupu, Constant¸a 3. Fie m, p ∈ N mai mari sau egale cu 3. Determinat¸i cel mai mic num˘ar natural n, astfel ˆıncˆ at orice submult¸ime cu n elemente a mult¸imii {1, 2, 3, ..., pm} s˘a cont¸in˘ a dou˘ a numere a c˘aror sum˘a s˘a se divid˘a cu p. Marin Ionescu, Marian Teler n , pentru orice n ∈ N∗ . xn Determinat¸i valorile lui n pentru care xn este num˘ar natural.

4. Consider˘ am ¸sirul definit prin x1 = 1 ¸si xn+1 = 1 +

Gheorghe Iurea, Ia¸si

Enunturi Shortlist

Recommend Documents