´ RECHERCHE RECHERCHE OP ERATIONNELLE MA/IN ´ ´ 2004 ETE
EPFL Institut Institu t de Math´ematiques ematiques J.-F J. -F.. Hˆ eche ech e
´ SERIE D’EXERCICES 18 Les ´enonc´ enon c´es es des s´eries erie s et leurs leur s corrig´ corr ig´es es ainsi ain si que les copies cop ies des pr´esentatio esent ations ns sont dispo dis ponib nibles les sur le site du cours : http://roso.epfl.ch/cours/ro/2003http://roso.epfl.ch/cours/ro/2003-2004 2004 Prob Pr obl` l` em e 1 eme a) Soit
A1 la
matrice mat rice g´en´ en´eratrice erat rice d’une d’u ne chaˆ chaˆıne de Markov `a temps continu. A1
−5 = 0
2 3 −2 2 0 −1
1
a1 ) Donner le graphe G1 repr´ rep r´esent es entat atif if asso as soci´ ci´e. e. a2 ) Classifi Cla ssifier er les ´etats etat s et la chaˆ chaˆıne. b) Soit G2 le graphe repr´esentatif esentatif d’une chaˆ chaˆıne de Markov `a temps continu. 5 1
3 3
2
3
2
1
4
4
b1 ) Donner Don ner la matrice mat rice g´en´ en´eratrice erat rice A2 as asso soci ci´´ee. ee . b2 ) Classifi Cla ssifier er les ´etats etat s et la chaˆ chaˆıne. Prob Pr obl` l` em e 2 eme Soit la chaˆ chaˆıne de Markov `a temps temp s continu conti nu d´efinie efin ie par la matrice matr ice g´en´ en´eratrice erat rice
A
−10 0 0 = 0 2 0
Le s Remarque. Les
4 −6 0 0 1 0
2 4 0 1 1 3 0 0 0 1 −5 4 0 0 −4 0 0 0
0 1 0 0 1 0
A
suivante.
´etats etat s du processu pro cessuss sont num´erot´ erot´es es de 1 `a 6.
a) Donner le graphe repr´esentatif esentatif de la chaˆ chaˆıne. b) Classifi Cla ssifier er com compl` pl`etement etem ent la chaˆ chaˆıne et ses ´etats. etat s. c) Donner la matrice de transition de la chaˆ chaˆıne de Markov Markov sous-jacente. sous-jacente. Remarque. Pour
le point suivant, suivant, il n’est pas demand´ e de faire les calculs num´ eriques, eriques, mais seulem seu lement ent d’exp d’ expli liqu quer er pr´ecis´ eci s´ement eme nt la d´emarche ema rche `a suivre. En particulier pr´ eciser eciser : – les modi m odification ficationss ´eventuelles eventuelles apport´ app ort´ees ees au processus proc essus ; 1
– les calculs matriciels `a effectuer (ainsi que les valeurs num´ eriques, si elles sont connues, des matrices intervenant dans ces calculs) ; – la d´emarche permettant d’obtenir la valeur cherch´ee `a partir des r´esultats pr´ec´edents. d) Si au temps t = 0 le processus se trouve dans l’´etat 1, combien de temps lui faudra-t-il, en moyenne, avant de se faire absorber ? D´eterminer ´egalement les probabilit´es d’ˆetre absorb´e par tel ou tel ´etat. Probl` eme 3 Soit
a) Compl´eter cette matrice afin d’en faire la matrice g´en´eratrice d’une chaˆıne de Markov `a temps continu. b) Classifier les ´etats de la chaˆıne ainsi cr´e´ee. c) Lorsque le processus arrive dans l’´etat 1, combien de temps en moyenne y reste-t-il? d) Lorsque le processus quitte l’´etat 1, quelle est la probabilit´e qu’il se d´eplace dans l’´etat 3? e) Si au temps t = 0 le processus est dans l’´ etat 3, quelle est la probabilit´ e qu’il ne l’ait pas quitt´e au temps t = 2? Probl` eme 4 Consid´erons un signal lumineux compos´e de deux ampoules, l’une verte et l’autre rouge. Ces ampoules ont une dur´ee de vie limit´ee et se cassent r´eguli`erement ce qui entraˆıne leur remplacement. Malheureusement celui-ci n’est pas instantan´e et le signal ne fonctionne plus correctement pendant ce d´elai de remplacement. La d´efaillance de l’ampoule verte n’est cependant pas consid´er´ee comme vraiment dangereuse contrairement `a celle de l’ampoule rouge qui correspond `a un ´etat de panne du signal. Si on suppose que les ampoules ont une dur´ ee de vie distribu´ ee selon une loi exponentielle de param`etre λ et que le temps s’´ ecoulant avant le remplacement d’une ou de plusieurs ampoules cass´ees est distribu´e selon une loi exponentielle de param`etre µ, d´eterminer : a) les ´etats du syst`eme ; b) le graphe de transitions et la matrice g´ en´ eratrice du processus ; c) la distribution invariante et la probabilit´ e de panne du signal. Afin d’am´eliorer la disponibilit´e du signal, on propose d’introduire une redondance dans le syst`eme en lui ajoutant une deuxi`eme ampoule rouge assurant le relais de la premi`ere lorsqu’elle se casse. ` partir de la description des ´etats de ce nouveau syst`eme donn´ee ci-dessous, d´eterminer d) A le graphe de transitions et la matrice g´en´eratrice du processus.
2
´ Etat 1 2 3 4 5 6
Description Toutes les ampoules fonctionnent L’ampoule verte est d´efectueuse La premi`ere ampoule rouge est d´ efectueuse L’ampoule verte et une ampoule rouge sont cass´ees Les deux ampoules rouges sont d´ e fectueuses Les trois ampoules sont cass´ees
La distribution invariante de ce signal redondant est ´egale `a : π1 = π2 =
λ2 µ(3λ + 2µ) π4 = (λ + µ)2(2λ + µ)2
µ
2λ + µ
λ2 µ π5 = (λ + µ)(2λ + µ)2
λµ
(λ + µ)(2λ + µ)
λ3 (4λ + 3µ) π6 = (λ + µ)2(2λ + µ)2
λµ π3 = (2λ + µ)2
e) D´eterminer sa probabilit´e de panne. f) Si le d´elai de remplacement moyen est d’un jour et la dur´ ee moyenne de vie des ampoules de ce deuxi`eme syst`eme de 3 mois, quelle doit ˆetre la dur´ee moyenne de vie des ampoules du signal sans redondance pour qu’il poss` ede la mˆeme probabilit´e de panne que le deuxi`eme syst`eme? Probl` eme 5 Soient X 1 et X 2 deux variables al´eatoires exponentielles, ind´ependantes, de param`etres respectifs λ1 et λ2 positifs. a) Montrer que Y = min{X 1 ,X 2 } est une variable al´eatoire exponentielle de param`etre λ 1 + λ2 . b) Montrer que P [X 1 ≤ X 2 ] = λ λ+λ 1
