emel_ted_5929675

1

“Əməliyyatlar tətqiqi və riyazi modelləşdirmə” modelləşdirmə” kafedrası “Əməliyyatlar tətqiqi və oyunlar nəzəriyyəsi”

və

“Əməliyyatlar tətqiqinin riyazi üsulları” fənnlərindən mü hazirələr

2

MÜHAZİRƏ MÖVZULARI 1. Əməliyyatlar tədqiqinin predmeti və metodoloji əsasları 2. Oyunlar nəzəriyyəsi, düzducaqlı matris oyunlar  3. Matris oyunun qarışıq strategiyada həlli 4. Oyunlar nəzəriyyəsinin əsas teoremi 5. Optimal strategiyaların xassələri 6. Simmetrik matris oyunlar  7. 2x2 ölçülü matris oyunların analitik həlli 8. 2xn və mx2 şəkildə matris oyunların qrafik üsulla həlli həlli 9. Matris oyunların həlli üçün iterasiya üsulu 10.Xətti 10. Xətti proqramlaşdırma məsələləri (XPM).XPM –nin qoyuluşu, həllin əsas xassələri və xüsusiyyətləri 11.XPM 11. XPM –nin həndəsi təsviri və qrafik həlli 12.XPM-nin 12. XPM-nin həlli üçün simpleks üsul 13.XPM-nin 13. XPM-nin həlli üçün süni bazislər üsulu 14.Xətti 14. Xətti proqramlaşdırmada ikili məsələlər  15.İkikli 15.İkikli teoremlər  16.İkili 16.İkili simpleks üsul 17.Kəsr-xətti 17. Kəsr-xətti proqramlaşdırma məsələləri 18.Tamqiymətli 18. Tamqiymətli xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli üçün Homori üsulu 19.Tamqiymətli 19. Tamqiymətli xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli üçün budaqlar və sərhədlər üsulu 20. Nəqliyyat  Nəqliyyat məsələsinin qoyuluşu, əsas xüsusiyyətləri 21. Nəqliyyat  Nəqliyyat məsələsinin ikili məsələsi 22. Nəqliyyat  Nəqliyyat məsələsinin həlli üçün potensiallar üsulu 23.Parametrik 23. Parametrik xətti proqramlaşdırma məsələsi 24.Çoxkriteriyalı 24. Çoxkriteriyalı məsələlərin qoyuluşu və həll üsulları 25.Böyük 25. Böyük ölçülü məsələlərin həlli, dekompozisiya üsulu

2

MÜHAZİRƏ MÖVZULARI 1. Əməliyyatlar tədqiqinin predmeti və metodoloji əsasları 2. Oyunlar nəzəriyyəsi, düzducaqlı matris oyunlar  3. Matris oyunun qarışıq strategiyada həlli 4. Oyunlar nəzəriyyəsinin əsas teoremi 5. Optimal strategiyaların xassələri 6. Simmetrik matris oyunlar  7. 2x2 ölçülü matris oyunların analitik həlli 8. 2xn və mx2 şəkildə matris oyunların qrafik üsulla həlli həlli 9. Matris oyunların həlli üçün iterasiya üsulu 10.Xətti 10. Xətti proqramlaşdırma məsələləri (XPM).XPM –nin qoyuluşu, həllin əsas xassələri və xüsusiyyətləri 11.XPM 11. XPM –nin həndəsi təsviri və qrafik həlli 12.XPM-nin 12. XPM-nin həlli üçün simpleks üsul 13.XPM-nin 13. XPM-nin həlli üçün süni bazislər üsulu 14.Xətti 14. Xətti proqramlaşdırmada ikili məsələlər  15.İkikli 15.İkikli teoremlər  16.İkili 16.İkili simpleks üsul 17.Kəsr-xətti 17. Kəsr-xətti proqramlaşdırma məsələləri 18.Tamqiymətli 18. Tamqiymətli xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli üçün Homori üsulu 19.Tamqiymətli 19. Tamqiymətli xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli üçün budaqlar və sərhədlər üsulu 20. Nəqliyyat  Nəqliyyat məsələsinin qoyuluşu, əsas xüsusiyyətləri 21. Nəqliyyat  Nəqliyyat məsələsinin ikili məsələsi 22. Nəqliyyat  Nəqliyyat məsələsinin həlli üçün potensiallar üsulu 23.Parametrik 23. Parametrik xətti proqramlaşdırma məsələsi 24.Çoxkriteriyalı 24. Çoxkriteriyalı məsələlərin qoyuluşu və həll üsulları 25.Böyük 25. Böyük ölçülü məsələlərin həlli, dekompozisiya üsulu

3

26.Dinamik 26. Dinamik proqramlaşdırma məsələsinin qoyuluşu, Bellmanın optimallıq  prinsipi və rekurent münasibətləri 27.Dinamik 27. Dinamik proqramlaşdırmanın tətbiqləri 28.Ehtiyatların 28. Ehtiyatların idarə olunması məsələləri,model-1, model-2 29.Şəbəkənin 29. Şəbəkənin idarə olunması, onun zamana ğörə nizamlanması 30.Şəbəkənin 30. Şəbəkənin minimallaşdırılması və ən qısa marşrutun seçilməsi məsələləri 31.Ədəbiyyat 31. Ədəbiyyat

4

Əməliyyatlar tədqiqinin predmeti və metodoloji əsasları Əməliyyatların tədqiqi riyaziyyatın mühüm bir bölməsi olub, iqtisadiyyatın, istehsalatın və inzibati sturukturların idarə olunması üçün riyazi metodların işlədilməsindən ibarətdir. Ə.t. 30-cu illərin sonunda hərbi əməliyyatlarla əlaqədər olaraq böyük  Britaniyada yaradılmış qrup tərəfindən öyrənilib. 1935-ci ildə Almaniya tərəfindən gözlənilən hərbi əməliyyatların qarşısını almaq və strateji qərarlar qəbul etmək  üçün İngiltərədə Ruvye tərəfindən yaradılmış qrup tərəfindən öyrənilməyə   başlamışdır. Bu zaman hava hücumundan müdafiə, radiolokasiya sistemlərinin işləməsi üçün bu qrup fəaliyyətə başlamışdır. Əməliyyatların tədqiqi dedikdə müəyyən sistemlərin öyrənilməsi və onun təhlili üçün riyazi metodlardan istifadə etməklə müəyyən qərarların qəbul edilməsi nəzərdə tutulur. Əməliyyat—məqsədə catmağa yönəldilmiş idarəolunan istənilən tədbirdir.Əməliyyatın nəticəsi tədbirin görülməsi üsulundan,başqa sözlə müəyyən parametrlərin seçimindən asılıdır. Əməliyyatın

nəticəsi,yəni

parametrlərin

hər

bir

müəyyən

seçimi

həll

adlanır.Optimal həll elə həlldir ki ,bu və ya digər mülahizələrə görə başqa həllərə nəzərən üstün hesab olunur. Odur ki,əməliyyatlar tədqinin əsas məsələsi optimal həllərin qabaqcadan kəmiyyətcə əsaslandırılmasından ibarətdir. Əməliyyatlar tədqiqinin metodlarını tətbiq etmək məqsədi ilə

baxılan

sistemlərin riyazi modellərini qurmaq tələb olunur. Bu modellər texniki , iqtisadi və təşkilati sistemlər ola bilər.Model riyazi aparatın köməyi ilə əməliyyatın kifayət qədər dəqiq təsviridir. Riyazi aparat müxtəlif növ funksiyalardan ,tənliklərdən, tənliklər

sisteemindən

,bərabərsizliklərdən

və

s.

ibarət

ola

bilər.

Beləliklə, əməliyyatlar tədqiqinin əsas mahiyyəti 2 faktorla təyin olunur: I.

Elmi obyekt kimi müəyyən funksianal sistemlər öyrənilir.

II.

Müəyyən məqsədlər formalaşaraq onların reallaşması üçün metodlar  işlənir.

Ə.t. mərhələlər üzrə aparılır:

5

1. Baxılan sistemin identifikasiyası, yəni müəyyən müşahidələrin aparılması və  bu müşahidələrin aparılması üçün xüsusi metodların işlənməsi 2. Baxılan sistemin riyazi metodların qurulması 3. Riyazi metodlar əsasında modelin öyrənilməsi 4. Qurulmuş modelin adekvatlığı 5. Model nəticəsində alınan nəticələrin reallaşdırılması Öz məzmununa görə əməliyyatlar tədqiqinin məsələləri müəyyən siniflərə ayrıla bilər: Riyazi proqramlaşdırma,xüsusi halda xətti proqramlaşdırma ; Oyun məsələləri; Dinamik proqramlaşdırma məsələləri; Şəbəkənin planlaşdırılması və idarəsi məsələləri ; Ehtiyatların idarə olunması məsələləri ; Kütləvi xidmət məsələləri və sairə .

6

OYUNLAR NƏZƏRİYYƏSİ Oyun məsələləri və əsas anlayışları İnsan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində qərar qəbul edərkən bu qərarların qəbul edilməsi üçün baxılan şəraitin mühüm əhəmiyyəti var. Bu qərarı qəbul etmə “daha yaxşı” məqsədə çatmaq üçün düzgün variantların seçilməsini tələb edir. Konflint şəraitdə qərar qəbul etmə daha mürəkkəb və daha əhəmiyyətli olduğu üçün ayrıca bir bölmə kimi oyunlar nəzəriyyəsi öyrənilir. Oyun dedikdə müəyyən qayda və razılaşmaların sistemi nəzərdə tutulur. Oyunda iştirak edən tərəflər oyunçular adlanır. Hər bir oyunçunun qəbul etdiyi gediş onun strategiyasını müəyyənləşdirir. Oyunda iştirak edən tərəflərin sayı 2, 3 və nəhayət n sayda ola bilər. Əgər hər bir oyunçunun qəbul edəcəyi strategiyaların sayı sonlu olarsa, belə oyunlar sonlu, əks halda sonsuz oyunlar adlanır. Oyunun abstrakt təsvirini (I ,S i , H i ) I-oyunçuların çoxluğunu S-i-ninci oyunçunun strateji çoxluğunu H-i-ninci oyunçunun məqsədinin ifadə edir. Fərz edək ki,n şəxsin oyununa baxılır. Bu şəxslərin əldə etdiyi uduşlar uyğun olaraq , P 1 ,... P n olsun. Əgər hər bir gedişdə n

 P   0 i

i 1

olarsa ,onda belə oyunlara sıfır cəmli(antoqonist) oyunlar deyilir. İki şəxsin apardağı antaqonist oyunlara baxacağıq.

Düzbucaqlı matris oyunlar Baxılan

müxtəlif oyunlar içərisində iki şəxsin sıfır cəmli (antoqonist)

oyunları xüsusi yer tutur.Belə oyunlarda I oyunçu ilk m sayda müsbət tam

7

ədədlərdən hər hansı birini , II oyunçu isə I oyunçunun seçimindən xəbərdar  olmayaraq ilk n müsbət tam ədəddən birini seçir . Sonra bu 2ədəd müqayisə olunur və oyunun qaydasından asılı olaraq ,oyunçunun biri digərinə ödəniş verir. Belə oyunlar düzbucaqlı oyunlar adlanır. Düzbucaqlı oyuna misal göstərək  Tutaq kı, I oyunçu {1,2,3 } çoxluğundan , II oyunçu isə {1,2,3,4} çoxluğundan bir  ədəd seçir və I oyunçunun seçimi haqda məlumatı yoxdur . Seçimdən sonra II oyunçu I oyunçuya aşağıdakı cədvəllə təyin olunan məbləğ ödəyir.

1

2

3

4

1

2

1

10 11

2

0

-1

1

2

3

-3

-5

-1

1

Cədvəldən görünür ki ,əgər I oyunçu 1 ədədini II oyunçu isə 3 ədədini seçirsə , II oyunçu I oyunçuya 5) vahid ödəyir , yəni I oyunçu I oyunçuya 5 vahid ödəyir, yəni uduzur. Yuxarıdakı qayda ilə aparılan hər bir oyun üçün deyilənləri ümumiləşdirmək  olar. Tutaq ki , I oyunçu m strategiyaya malik olub {1,2,..m} ədədlərindən hər  hansı birini , II oyunçu isə n strategiyaya malik olub {1,2,..n} ədədlərindən hər  hansı birini seçə bilər . Əgər I oyunçu i-ci strategiyanı ,II oyunçu isə j-ninci strategiyasını seçirsə , onda I oyunçunun uduşu

a ij -ə bərabərdir (oyuna

münasibət I oyunçu tərəfindən baxılır) . Onda II oyunçunun uduşu (-a ij ) olar. Bu o deməkdir ki, II oyunçu a ij qədər uduzur. Aşağıdakı qayda ilə təyin olunan

8

 a11 .....a1n     a 21 ......a 2 n   A=   = (a ij ) i1,..m , j 1..n .......... .    a .......a    m1 mn 

(1)

matrisi oyunun ödəniş və ya uduş matrisi adlanır. (1) matrisi ilə təyin olunan oyunu nəzərdən keçirək . Əgər I oyunçu (P 1 ) 1 ədədini seçirsə ,onda o ən azı min a 1 j  j

qədər uduş əldə edəcəkdir. Ümumiyyətlə , əgər i (i=1,..m) ədədini seçirsə , ən azı min a ij  j

qədər uduş olacaqdır. Lakin i – ixtiyari seçildəyindən , xüsusi halda onu elə seçə  bilərik ki, max min a ij i

j

uduşunu əldə edər. Analoji qayda üzrə mühakimə aparsaq , II oyunçunun (P 2 ) əldə edəcəyi uduş max min(-a ij ) i

j

olacaqdır. Maksimum və minumum haqqındakı məlum faktlara əsasən aşağıdakını yaza  bilərik. max min(-a ij )= max (-max a ij )=-min max a ij  

j

i

j

i

j

(2) i

münasibətinə əsasən , P 2 oyunçusu elə seçim edə bilər ki, onun əldə etdiyi zəmanətli uduş - min max a ij  j

i

olacaq, nəticədə P 1 oyunçusunun

9

min max a ij  j

i

uduşundan çox uduş əldə etməsinə mane olacaqdır. Əgər  max min a ij =min max a ij =v i

j

j

(3)

i

şərti ödənərsə ,deməli P 1 oyunçusu v uduşunu əldə edə bilər , rəqibi isə onun vdən çox uduş əldə etməsinə mane ola bilər. Hər iki oyunçunun hər addımda düşünülməmiş hərəkət edəcəyini fərz etsək , onda P 1 oyunçusu v uduşunu, P 2 oyunçusu isə (-v) uduşunu əldə edəcəkdir. Tərif : (1) matris oyun üçün (3) şərti ödənərsə , onda deyirlər ki, baxılan oyunun xalis strategiyada həlli vardır. Əgər (3) şərti hər bir A matrisi üçün doğru olsaydı , onda düzbucaqlı oyunda optimal strategiyanı tapmaq asan olardı. Lakin elə matris göstərmək olar ki, onun üçün (3) şərti ödənməyə bilər . Misal üçün  a11 a12     a a   21 22 

matrisinə baxaq, beləki

a 11 = a22  1 , a 12  a 21  1 Onda

max min a ij =max[min a 1 j , min a 2 j ] = max(-1,-1)= -1 i

j

j

min max a ij =min [max a i1 ,max a i 2 ] = max (1,1) = 1 və maxmin aij  minmax aij (3) münasibətinin əhəmiyyətli olduğunu nəzərə alsaq , onun ödənilməsi üçün zəruri və kafi şərti tapaq.

Bunun üçün həqiqi dəyişənli funksiyalar 

nəzəriyyəsindən məlum olan aşağıdakı faktlardan istifadə edəcəyik. Teorem 1. Tutaq ki, A və B çoxluqlarında təyin olunmuş ikidəyişənli həqiqi f(x, y)funksiyası verilmişdir, x€A, y€, və max min f(x,y)

10 x€A y€B

min max f(x,y) y€B x€A

Kəmiyyətləri vardır. Onda max min f(x,y)≤min max f(x,y) (4) münasibəti ödənir. Tərif 2. Tutaq ki, f(x,y) x€A, y€I üçün təyin olumuş həqiqi funksiyadır. Əgər  ( x0 , y0 ),  x0 €A,  y0 €B, nöqtəsi üçün 1) f(x,  y0 )≤ f( x0 y0 ) , istənilən x€A üçün, 2) f( x0 ,  y0 )≤ f( x0 , y) , istənilən y€B üçün, Şərtləri ödənərsə, onda ( x0 ,  y0 ) nöqtəsi yəhərvari nöqtə adlanır. Teorem 2. Tutaq ki, f(x, y), x€A, y€I üçün təyin olunmuş həqiqi funksiyadır və max min f(x, y) min max f(x,y) Kəmiyyətləri vardır. Onda max min f(x , y)=min max f(x,y) x€A y€B

y€B x€A

münasibətinin ödənilməsi üçün zəruri və kafi şərt f(x,y) funksiyasının yəhərvari nöqtəyə malik olmasıdır. Digər tərəfdən, əgər ( x0 ,  y0 ) yəhərvari nöqtədirsə, onda f(x 0 , y 0 )=max min f(x,y)=min max f(x,y) (5) x€A y€B

y€B x€A

Qeyd edək ki, (1) şəklində verilmiş hər bir matrisə i=1,..,m ,j=1,..,n üçün təyin olunmuş və

f(i,j)=a ij

 bərabərliyi ilə verilən ikidəyişənli funksiya kimi baxmaq olar. Odur ki, A= 1,2,..., m , B= 1,2,..n qəbul etsək , yuxarıdakı faktlara əsasən aşağıdakı nəticələri alarıq  Nəticə 1. (mn ) ölçülü (1) matris oyunu üçün

11

max min a ij  min max a ij i j j i şərti ödənir.  Nəticə 2. max min aij =min max a ij şərtinin ödənilməsi üçün zəruri və kafi şərt A matrisinin yəhərvari nöqtəyə malik olmasıdır, yəni elə (i 0 ,  j0 ) tam ədədlər cütünün varlığıdır ki , a i  j

0 0

eyni zamanda həm sətrinin minimumu , həm də öz sütunun

maksimumu olmalıdır və a i  j = max min a ij =min max a ij

(6)

0 0

v 1 = max min a ij i j alarıq ki,

,

v 2 = min max a ij j i

işarə etsək ,nəticə1-ə əsasən

v 1  v2 v 1 oyunun aşağı qiyməti ,

v2

(7)

isə oyunu yuxarı qiyməti adlanır. Əgər  v1=v2

(8)

şərti ödənərsə , onda (1) matrisi ilə təyin olunan oyunun xalis strategiyada həlli vardır və oyunun xalis strategiyada həlli varsa , v1 = v2 =v ,

(9)

Burada v oyunun qiyməti adlanır. v1  v  v2 .

Ümumiyyətlə isə ,

(10)

Digər tərəfdən nəticə2-yə əsasən ,(1) matrisinin yəhərvari nöqtəsi varsa , onda uyğun oyunun xalis strategiyada həlli vardır. (6), (9) münasibətlərindən görünür ki,   bu halda oyunun qiyməti

v= ai  j

0 0

(i 0 ,  j0 ) –cütü isə optimal xalis strategiyaları

müəyyən edir. Alınan nəticələri misal üzərində izah edək  Misal 1.  8 6 2 8    A=  8 9 4 5  7 5 3 5    

matrisinin yəhərvari nöqtəsini təyin edək 

12

max min a ij =max 2,4,3  4 min max a ij =min 8,9,4,8  4   j i j a2,3= max min a ij =min max aij=4   j i j (i 0 ,  j0 )=(2,3);

a i  j =4 0 0

Misal 2.   3 4 2 5    A=  6 0 7  2   4 5 3 1    

matris oyunun aşağı və yuxarı qiymətlərini təyin edin v 1 = max min a ij =max=  3,2,9  2 , v 1  2 i

j

i

v 2 = min max a ij =min= 6,5,7,5  5  

j

i

, v2 5

j

Misal 3.  4 7 5    A=  3 6  1 matris oyunun qiymətini tapaq: 2 4 8     

v 1 = max min a ij =max= 4,1,2  4 , v 1  4 i

j

i

v 2 = min max a ij =min= 4,7,8  4

, v2 4

13

 

j

i

j

v= v 1  v2  4 Misal 4.   4  4  5  6      3  4  9  2  A=  6 7 8 9   7 3  9 5    

matris oyunun qiymətini və həllini təyin edin. v 1 = max min a ij =max=  5,9,9,9  5 , v 1  5 i

j

i

v 2 = min max a ij =min= 7,7,5,6  5  

j

i

v= v 1  v2  5

, v 2  5

j (i 0 ,  j0 )=(1,3)

Misal 5. A matrisinin elementləri a ij =i-j ,i=1,..,m ,j=1..,n münasibəti ilə təyin olunur. Uyğun matris oyunun xalis strategiyada həlli olduğunu göstərin və bu həlli tapın. v 1 = max min a ij =max min(i-j)=max(i-n)=m-n , i

j

i

j

i

v 2 = min max a ij =min max(i-j)= min (m-j)=m-n  

j

i

j

i

j

v1= v2 = amn olduğundan xalis strategiyada həll vardır . Matris oyunun qarışıq strategiyada həlli   1  1    1 1    

A= 

14

matris oyununa baxsaq, bu matrisin yəhərvari nöqtəsi olmadığından mövzu-2-də göstərilən qayda ilə oyunun optimal strategiyasını təyin etmək mümkün deyildir. Bu onu göstərir ki, bəzi konfliktli

vəziyyətlərdə oyunçuların elə xalis strategiyası tapmaq

mümkün deyildir ki, oyunçular üçün tarazlıq vəziyyətini təmin etsin. Lakin intuitiv mülahizələr optimal strategiyaların tapılması məsələsini hər bir xalis strategiyadan istifadə olunması tezliyinin seçilməsinə gətirir . Tutaq ki,  a11 .....a1n      a 21 .....a 2 n  A=  ..........     a .....a    m1 mn 

(1)

şəklində düzbucaqlı matris oyuna baxılır . I oyunçunun (P 1 ) qarışıq strategiyası elə m sayda həqiqi mənfi olmayan ədədlərin nizamlanmış (x 1 , x 2 ,... x m ) sisteminə deyilir ki,

m

 x

i

1

i 1

şərti ödənsin. Göründüyü kimi , hər bir x i komponenti P 1

oyunçusunun i-ci xalis

strategiyasını seçməsi tezliyi (ehtimalını) ifadə edir. Belə m-ölçülü vektorlar çoxluğunu , yəni qarışıq strategiyalar çoxluğunu S m ilə işarə edək  Analoji qaydada , II oyunçunun (P 2 ) qarışıq strategiyası elə n sayda həqiqi mənfi olmayan ədədlərinn nizamlanmış ( y1 ,.... y n ) sisteminə deyilir ki, n

 y

 j

=1

 j 1

şərti

ödənsin.

Belə n ölçülü vektorlar çoxluğunu , yəni II

oyunçunun qarışıq

strategiyalar çoxluğunu S n ilə işarə edək. Aydındır ki, P 1 üçün xalis strategiyası x k   1, xi  0, i  k  olduqda (x 1 , x2 ,... x m ) qarışıq strategiyasına ekvivalentdir.

15

Əgər P 1 oyunçusu X=(x 1 , x 2 ,... x m )

qarışıq strategiyasını , P 2

oyunçusu

Y=( y1 ,.... y n ) qarışıq strategiyasını seçərsə ,onda P 1 üçün uduşun riyazi gözləməsi (orta uduş) m

n

E(X,Y)=  aij xi y j

(2)

i 1  j 1

kimi təyin olunar. Əgər hər hansı bir   x *  S m ,  y *  S n və ixtiyari  x  S m ,  y  S n üçün  E  x, y *    E ( x * , y * )   E  x * , y 

(3)

münasibəti ödənərsə, onda  x * və  y * uyğun olaraq  P 1 və  P 2 oyunçuları üçün optimal qarışıq strategiyalar,  E  x * , y *  isə birinci oyunçu üçün oyunun qiyməti adlanır.Nizamlanmış

optimal strategiyalar cütü oyunun həlli ,yaxud strateji

 x * , y *

yəhərvari nöqtəsi adlanır. v1

 max min E  x, y 

(4)

v2

 min max E  x, y 

(5)

 xS m  yS n

 yS n  xS m

işarə edək.Əgər bu kəmiyyətlər varsa, və

v1

 v 2 şərti ödənərsə, onda Teorem1.2-yə

əsasən ,qarışıq strategiyalarda optimal həll vardır . Optimal həllin varlıq teoremi növbəti paraqrafda göstəriləcəkdir.

Oyunlar nəzəriyyəsinin əsas teoremi. Teorem:Hər bir sıfır cəmli (3.1) matris oyunun qarışıq strategiyalarda həlli var, yəni birinci oyunçunun elə

 x * ,

ikinci oyunçunun elə  y * strategiyası vardır ki,

aşağıdakı münasibət ödənir:  E  x, y *    E ( x * , y * )   E  x * , y 

İsbatı :oyunun matrisi

aij i 1, m  j 1, n

matrisi ilə təyin olunursa, onun bütün

elementlərinin müsbət olduğunu qəbul etmək olar.Həqiqətən , matrisin ən kiçik  elementi

a0

olarsa, onda bütün elementləri

a  a

qədər artırmaqla alınan yeni

matrisə uyğun olan oyunun uduş funksiyası üçün aşağıdakı münasibət doğru olar:

16  E ( x, y) 

m

n

 (a

m

ij

i 1  j 1

n

 a) xi y j  E ( x, y )  a xi y j  E ( x, y )  a i 1  j 1

funksiyası  E ( x, y ) funksiyasından sabitlə fərqləndiyindən onların yəhərvarı nöqtələri üst-üstə düşəcəkdir. Indi isə şərtlərinin əmsallarından düzələn matrisi baxılan oyunun matrisi ilə eyni , məhdudiyyət vektoru  B  (1,1,....,1) t  məqsəd funksiyasının əmsallarından düzələn vektoru

C   (1,1,....,1)

olan qarşılıqlı ikili məsələlərə baxaq: (C , v)  max

(1)

 Av   B

(2)

v0

(3)

(V , B )  min

(4)

VA  C 

(5)

V   0

(6)

və

Burada , v -n ölçülü sütun vector, V  -isə m ölçülü sətir vektordur. A matrisinin bütün elementləri müsbət olduğundan (1)-(3) məsələsinin mümkün həllər çoxluğu məhduddur. v  0 məsələnin planı olduğundan (2),(3) çoxluğu boş deyildir.Odur ki, (1)-(3) məsələsinin həlli vardır.birinci ikili teoremə əsasən (4)-(6) məsələsinin də həlli vardır və  (V * , B)

C , v *

Burada ,

v*

və V * uyğun məsələlərin həllidir. C və B vektorlarının seçilişinə

əsasən , n

m

u   v *

 j

 j 1

* i

i 1

(6) şərtinə əsasən V *  0 .Odur ki, (C , v * )  (v * , B ) 

n



u  j*

 j 1

m

1

i 1

v

  vi*   0

 x *

 vV *

 y *

 vv *

qəbul edək.(7),(3) və (6) şərtlərinə əsasən ,

(4.7)

17

 0 ;  y *  0 ;

 x *

 x v * , V * -qarşılıqlı

 y

1 ;

* i

*  j

1

ikili məsələlərin həlli olduğundan  vB

(4.8)

 x * A  vC 

(4.9)

 Ay *

(4.8) bərabərsizliyinin hər tərəfini m

 x

( x, B ) 

i

1

 I 1

şərtini ödəyən x vektoruna soldan vursaq, (4.10)

v

 xAy *

alarıq.(4.9) bərabərsizliyinin hər tərəfini n

 y

(C , y ) 

 j

1

 j 1

şərtini ödəyən y vektora vursaq, alarıq ki,  x * Ay

(4.11)

v

(4.10),(4.11) münasibətlərini müqayisə etsək,  v   x * Ay

 xAy *

Bu onu göstərir ki,  x * və  y * optimal strategiyalar, v isə baxılan oyunun qiymətidir. Beləliklə, teorem isbat olundu. Əsas teoremin isbatı gedişində A matrisli oyuna qarşı xətti proqramlaşdırma məsələsinin aşağıdakı qarşılıqlı ikili məsələləri qoyuldu: n

u

 j

 max

 j 1 n

a u ij

 j

 1, i  1, m

 j 1

u j

 0,  j  1, n

və m

v

i

 min

i 1 m

a v ij

i

 1,  j  1, n

i 1

vi

 0, i  1, m

18

Oyunun optimal strategiyalarının koordinatları  xi* və  y j* (i  1, m,  j  1, n) ilə ikili məsələlərin optimal həlləri (vi* və



u j* ) i  1, m,  j

 1, n  arasında aşağıdakı

münasibətlərin doğruluğu da göstərildi: *

 xi



*

vi* m

v

;  y  j  *

* i

i 1

u  j n

u

*  j

 j 1

Oyunun qiyməti isə

v

1



n

1 m

u v *

 j

 j 1

*

i

i 1

olar.

Optimal strategiyaların xassələri

Matris oyunların həllində optimal strategiyaların tapilması üçün istifadə olunan aşağıdakı xassələrini göstərək. Xassə1. Teorem 1. Tutaq ki, E(X,Y) m*n tərtibli matris oyunun uduşunun riyazi gözləməsi ,v isə oyunun qiymətidir. Onda X *  S m elementinin I oyunçunun optimal strategiyası olması üçün zəruri və kafi şərt , ixtiyari Y  S n üçün v   E ( X * , Y ) (5.1)   bərabərsizliyinin ödənməsidir. Anoloji qaydada , Y *  S n elementinin II oyunçunun optimal strategiyası olması üçün zəruri və kafi şərt , istənilən X S m üçün , E(X,Y*)≤v  bərabərsizliyinin ödənməsidir.

(5.2)

(

19

İsbatı . Zərurilik. Əgər X *  S m I oyunçunun optimal strategiyasıdırsa ,onda elə Y * S n vardır ki ,(X * , Y * ) cütlüyü E(X,Y) funksiyasının yəhərvarı nöqtəsidir və nəticədə ixtiyari y  S n üçün v=E(X * , Y * )  E ( X * , Y ) Deməli (5.1) ödənir. Kafilik . Fərz edək ki, (5.1) bərabərsizliyi ödənir . ixtiyari Y S n üçün v  E ( X * , Y ) (5.3) varlıq teoreminə əsasən elə (X ' , Y ' ) cütlüyü var ki, E(X,Y)  E(X ,Y)  E(X,Y) v –oyunun q iyməti olduğundan E(X,Y) = v. Bu onu göstərir ki, (X,Y) yəhərvari nöqtədir və X birinci oyunçunun optimal strategiyasıdır.Beləliklə , teoremin birinci hissəsi isbat olundu , ikinci hissəsi analoji qaydada isbat olunur. Xassə 2 Bu xassə oyunun qiymətinin tapılmasını elementar cəbri məsələyə gətirir. Bunun üçün aşagıdakı işarəmələri qəbul edək: E(i,Y) = E(Xi,Y) , Xi € Sm , i-ci komponenti 1-ə , digər komponentləri isə sıfra bərabərdir. Analoji qaydada, E(X,J) = E(X,Y j) ,   burada Y  j Sn və j-ci komponenti 1-ə, digər komponentləri isə sıfra  bərabərdir.Onda n

E(i,Y) =  a Y  j  j 1 ij

m

E(X,j)=  a  X i i 1 ij Aydındır ki,

20

E(X,Y) =

m

 E (i, Y ) X 

i

==

i 1

n

 E ( X  ,  j )Y  i

 J 

 j 1

Teorem 2 Tutaq ki, E(X,Y) mxn tərtibli matris oyunun uduşunun riyazi gözləməsi, v –həqiqi ədəd , X*,Y*-isə uygun olaraq S m, Sn çoxluqlarının elementləridir. Onda v ədədinin oyunun qiyməti , (X*,Y*) cütünün optimal olması üçün zəruri və kafi şərt 1≤ i≤ m və 1≤ j≤ n üçün E(i,Y*) ≤ v≤ E(X*,j) şərtlərinin ödənməsidir. Xassə 3 Tutaq ki, E(X,Y) matris oyunun uduşunun riyazi gözləməi, v isə oyunun qiymətidir.Onda,X* Sm elementinin birinci oyunçunun optimal strategiyası olması üçün zəruri və kafi şərt ,istənilən 1≤ j ≤ n üçün v ≤

E(X*,j)

münasibətinin ödənməsidir  Analoji qaydada, Y* Sm elementinin ikinci oyunçunun optimal strategiyası olması üçün zəruri və kafi şərt , ixtiyari 1≤ i≤ m üçün E(i,Y*) ≤ v münasibətinin ödənilməsidir. Xassə 4

E(X,Y) matris oyunun uduş funksiyasıdır, (X*,Y*) oyunun

həllidir. Onda maxE(i,Y*) = minE(X*,j) i

j

21

Xassə 5 Tutaq ki, E(X,Y) matris oyunun uduş funksiyası , v oyunun qiymətidir. X*=(x1* ,x2* , .... xm*) və Y*=(y1*,

....yn*) uygyn olaraq birinci və

ikinci oyunçunun optimal strategiyalarıdır.Onda E(i,Y* )  v münasibətinin ödəndiyi hər bir i üçün xi* = 0. Eyni zamanda v  E(X*,j) münasibətinin ödəndiyi hər bir j üçün y j* = 0  bərabərliyi dogrudur. Xassələrin isbatı üçün /

**/ ədəbiyyata baxın.

Dominantlıq (üstələmə) xassəsi. Matris oyunların reduksiyası.

Fərz edək ki , mxn ölçülü A = (aij ) matrisi verilmişdir, i = 1,2,.....,m və  j =1,2,...,n. Tərif 1. Fərz edək ki, verilmiş matrisin elementləri üçün aşagıdakı şərt ödənir: İxtiyari j üçün aij ≥ akj və heç olmasa bir j üçün aij  akj ,

22

onda deyilir ki, i- sətri k- sətrini üstələyir. Tərif 2 .Əğər A matrisində ixtiyari i üçün aij ≤ ail və heç olmasa bir i üçün aij  ail olarsa, onda deyilir ki, j- sütunu l -sütununu üstələyir. Aşağıdakı hökmlər doğrudur: Teorem 1. Tutaq ki, A matris oyunu verilmişdir və onun i1,i2 ,.....,ik  sətrləri üstələnir.Onda 1-ci oyunçu elə X optimal strateğiyasına malikdir ki, onun üçün xi1 = xi2= ...= xik  =0. Diğər tərəfdən,üstələnən sətirləri atdıqdan sonra alınan oyunun ixtiyari optimal strategiyası ilkin oyunun da optimal strategiyası olacaqdır  və hər iki oyunun qiyməti də eynidir. i Analoji teorem üstələnən sütunlar üçün də dogrudur. Bu teorem vasitəsi ilə ifadə olunan üstələmə xassəsi xalis strategiyalara aiddir. Aşagıdakı teorem isə teorem 1-in qarışıq strategiyalar üçün ümumiləşməsidir. Teorem 2. Tutaq ki, A matrisi ilə ifadə olunan oyunda hər hansı i-ci sətr  digər sətrlərin xətti qabarıq kombinasiyası tərəfindən üstələnir.Onda bu sətri atdıqdan sonra alınan matrisə (A) uygun oyunun qiyməti ilkin matris oyunun qiyməti ilə üst-üstə düşür,Digər tərəfdən, x A matrisinin optimal strategiyasıdırsa ,onda x=(x,x , ...x,0,x,.. ,x ) A matris oyunun optimal strategiyasidır. Analoji teorem hər hansı sütun digər sütunların xətti qabarıq kombinasiyası tərəfindən üstələndikə də dogrudur. Qeyd edək ki, teorem 1 və teorem 2 imkan verir ki, matris oyunun həlli kiçik  ölçülü matris oyunun həllinə gətirilsin.Buna matris oyunun reduksiyası deyilir.

Simmetrik matris oyunlar .

23

Tərif. Verilmiş A=(aij)

i

 1, m

 j

 1, m matrisinin elementlərini ixtiyari i

və j üçün aij=-a ji şərtini ödəyərsə, onda belə matris çəp simmetrik matris adlanır.

Çəp simmetrik

matrisə uyğu olan oyun

simmetrik matris üçün aii = 0

i

simmetrik oyun adlanır.

Çəp

 1, m  , A=-At  şərti doğrudur.

Teorem . Simmetrik matris oyunun qiyməti sıfra bərabərdir. Və x*  birinci oyunçunun optimal strategiyasıdırsa, onda bu eyni zamnada ikinci oyunçunun da optimal strategiyasıdır. Başqa sözlə, hər iki oyunçunun optimal strategiyaları üst –  üstə düşür. Isbatı: əvvəlcə göstərək ki, E(x, x) = 0 şərti ödənir. t  t  t  t  = - (x A x )  - x A x = - E(x, x) E(x,x) = x A xt = - x At  xt = -( x A x )

Sonuncu münasibətdən isə E(x,x) = 0 oldugu alınır. Tutaq ki, x*   birinci oyunçunun optimal strategiyasıdır. y* ikinci oyunçunun optimal strategiyasıdır,yəni E (x, y*) ≤ E (x*, y*) ≤ E (x*, y) münasibəti

ödənir. Onda x = y*

yazsaq,

x Sm , y  Sm

E (x*, y*) = E (x*, x*) = 0.

Bərabərsizliyin sol tərəfində x = y* yazaq. Onda alarıq ki, 0 = E (y*, y*) ≤ E (x*, y*). E (x*, y*) = v = 0. x* birinci oyunçunun optimal strategiyasıdırsa, onda aşağıdakı münasibət doğrudur: v ≤ E (x*, j)

 j

 1, m

Bu yazılış o deməkdir ki, x* A ≥ 0, v = 0. Onda –(x* At) j ≥ 0 və ya (Ax*t) j ≤ 0 . Sonuncu şərt onu göstərir ki, IV xassəyə əsasən x * eyni zamanda ikinci oyunçunun da optimal strategiyasıdır. Matris oyunun simmetrikləşdirilməsi .Tutaq ki, ixtiyari A = (aij) i=1, ...,m,   j=1,..,n

matrisinə uyğun oyun məsələsinə baxılır. A matrisi vasitəsi ilə aşağıdakı

şəkildə matris quraq: A

  0  t     A  1  

 A

0

1

 1   1 0  

(1)

Bu A matrisinə uyğun oyun simmetrik oyundur, çünki A matrisi çəp simmetrikdir.

24

(1) simmetrik oyunun həllini

( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ,z) kimi işarə etsək,onda

matrisinə uyğun oyunda 1-ci oyunçunun optimal strategiyası

xi =

 xi

i=1,...,n ,

 

2-ci oyunçunun optimal strategiyası isə

y j =

 y j

j=1,....,m

 

münasibətlərindən tapılar, oyunun qiyməti isə

v=

 z   

kimi təyin ounar, beləki

  

m

 y  j 1

 j

A

25

26

2×2 ölçülü matris oyunun analitik yolla həlli Tutaq ki,

 a11

a12 )

a21

a22

matrisinə uygun oyun məsələsinə baxılər.Fərz edək ki, xalis strategıyada həll yoxdur.Onda optimal qarışıq strategiyaları uygun olaraq (x , 1-x) və (y , 1-y) ilə işarə etsək, komponentlərin hər biri müsbət olmalıdır. Optimal qarışıq strategiyaların xassəsinə əsasən 1-ci oyunçu üçün aşagıdakı münasibətlər  ödənməlidir  a11 x+a21(1-x) = v a12 x+ a22 (1-x) = v

,

 burada v oyunun qiymətidir. Tənliklər sisteminin həllindən alınır ki,

x1 = x* =

 a 21 a11  a 22  a12  a 21

x2 = 1-x* =

 a12 a11  a 22  a12  a 21

a 22

a11

Analoji qaydada y1= y* =

 a12 a11  a 22  a12  a 21

y2= 1-y* =

v=

a 22

 a21 a11  a 22  a12  a 2111 a11

 a12 a 21 a11  a 22  a12  a 21 a11 a 22

.

27

2×n və m×2 şəkilli matris oyunlarının qrafik üsulla həlli I hala baxaq. Tutaq ki, 2×n ölçülü matris oyununa baxılır.Bu oyunun matrisi aşağıdakı kimi olar:  a11 a12 . . . a1n    . . . a a a 2 n    21 22

A=  Ikinci oyunçunun

xalis strategiyalarına uyğun

birnci oyunçunun uduşu

aşağıdakı kimi hesablanar: II oyunçunun xalis srategiyaları

I oyunçunun uduşu.

1

a11 x+ a21(1 - x)

2

a21 x+ a22(1 - x)

.

.

.

.

.

.

 N

a1n x+ a2n(1 - x)

z = (a11 – a21) x + a21

(1)

z = (a12 – a22) x + a22

(2)

.................... z = (a1n – a2n) x + a2n

(n)

Göründüyü kimi, bu uduş funksiyaları x dəyişəninin xətti funksiyasıdır və 0≤ x ≤ 1. Bu funksiyaların qrafikini müstəvi üzərində təsvir etsək 

28

y a12 a1n a22 a11 M

a1n x 1

Analoji qayda üzrə alınan bütün uduş funksiyalarının qrafiklərini müstəvi üzərində qurmaq olar. Birinci oyunçu maxmin siyasətini yerinə yetirdiyindən əvvəlcə qurulmuş bu düz xətt parçalarının aşağıdakı qurşayanını təyin edib bu bu qurşayanın maksimal nöqtəsini tapırıq. Bunu M ilə işarə edək. Həmin nöqtənin absisi I oyunçunun optimal strategiyasının I komponentini , həmin nöqtənin ordinatı isə oyunun qiymətini verəcəkdir. II oyunçunun optimal strategiyasını təyin etmək üçün tapılmış M nöqtəsinin formalaşmasında iştirak etməyən düz xətt   parçalarına uyğun II oyunçunun

strategiyalarının sütunları nəzərdən atılır. Bu

qayda üzrə II oyunçunun optimal strategiyalarının tapılması sütunlarının sayı az olan

matrislə əvəz olunur.

Bu qayda üzrə

həmin II oyunçunun

optimal

strategiyası analitik və ya digər üsullarla tapıla bilər. II hala baxaq. (m×2) Bu halda matrisin forması belə olacaq.  a11 a12   a 21 a 22  . . .   a m1 a m 2

       

Bu halda I oyunçunun xalis strategiyalarına uyğun uduş funksiyası aşağıdakı kimi olur. z = a11+ a12(1-y)= (a11 –a12 )y+ a12

29

z = a21+ a22(1-y)= (a21 –a22 )y+ a22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

z = am1+ am2(1-y)= (am1 –am2 )y+ am2 Göründüyü kimi, bu uduş funksiyaları da y dəyişəninin xətti funksiyasıdır  və 0 ≤ y ≤ 1 ödənməlidir. Yenə də iki ölçülü halda müstəvi üzərində alınan xətti funksiyaların qrafikini quraq.

z a31

am2

am1 a32

 N a11

a22 a21

a12

y 1

II oyunçunun siyasəti minmax olduğundan alınmış düz xətt parçalarının yuxarı qurşayanını tapıb bu qurşayanın ən aşağı nöqtəsini tapmaq lazımdır. Bu nöqtənin absisi II oyunçunun optimal strategiyasının I komponentini verəcək, ordinatı is baxılan oyunun qiymətinə bərabər olacaq. I oyunçunun optimal strategiyasını təyin etmək üçün isə tapılmış nöqtənin formalaşmasında iştirak  etməyən sətirlər atılır və alınan kiçik ölçülü matris oyunun həlli məlum üsullardan  birinin tətbiqi ilə tapılır.

30

Matris oyunlarn həlli üçün iterasiya üsulu. (Braun üsulu) Bu üsul ilk dəfə Braun tərəfindən

işlənmiş və Robinson tərəfindən

əsaslandırılmışdır. Fərz edək ki, A matrisi ilə təyin olunmuş oyun məsələsinə  baxılır və bu oyun çox sayda təkrar olunur. Hər bir oyunçu isə oyunun gedişində rəqibinin seçdiyi strategiyanı yadda saxlamaqla öz strategiyasını elə seçir ki, nəticədə uduşu daha yaxşı olsun. Hər dəfə oyun təkrar olunduqca seçilən strategiyalar əvvəlki gedişlərdə seçilən strategiyalardan asılı olur. Iterasiya üsulunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, oyunun gedişi zamanı hər bir oyunçu sanki təcrübə toplayır və rəqibinin özünü necə aparacağını əvvəlcədən hiss edir. Oyun   bərpa olunarkən oyunçu digər oyunçunun əvvəlki seçiminə arxalanaraq özünə sərfəli olan strategiyanı qəbul edir.İterasiya üsulunu aşağıdakı misal üzərində izah edək və sonra ümumiləşmə aparaq.  B1  B2  B3

 2  1

 A  

0 3   A1  3  3   A2

Qeyd edək ki, baxılan oyun məsələsinin xalis strategiyada həlli yoxdur. Fərz edək ki, müəyyənlik üçün ilk gedişi I oyunçu edir və A1 strategiyasını seçir. Onun əldə etdiyi uduş ( 2, 0 , 3) – dür. II oyunçu elə strategiya seçir ki, birinci oyunçunu uduşu minimal olsun. Odur ki, ikinci xalis strategiyanı seçir. Yəni B2 –  ni. Əldə etdiyi uduş (0, 3) ilə təyin olunur. Növbəti gedişdə I oyunçu elə strategiya seçəcək ki, artıq II oyunçu B2 – ni seçmişsə, əldə etdiyi uduş maksimal olsun. Buna görə də 3 - ü seçəcək. Odur ki, 2 xalis strategiyasını seçəcək. Bu halda əldə etdiyi uduşlar (1, 3, -3) olacaqdır. Növbəti addımda II oyunçu elə strategiya seçir ki, I oyunçunun iki gedişdə seçdiyi ümumi gedişlərin cəmi minimal olsun (3, 3, 0). Odur ki, II oyunçunun gedişi B3 (3, -3) olacaqdır. I oyunçu növbəti gedişdə elə xalis strategiya seçməlidir ki, II oyunçunu əvvəldən seçdiyi B2, B3 gedişində əldə etdiyi uduşların cəmi maksimal olsunş (3, 0). Bu halda I oyunçu A1 strategiyasını seçəcək. Ona uyğun olan xalis strategiya (2, 0, 3) olacaqdır. Proses bu qayda ilə

31

davam etdirilir. Prosesi bu qayda üzrə davam etdirməklə

alınan nəticələri

aşağıdakı cədvəldə yazaq.  

N

i

1

B B2

B3

v*(n)

k

A1

A2

v*(n)

V(n)

1

1

2

0

3

0

2

0

3

3

1,5

2

2

3

3

0

0

3

3

0

1,5

0,75

3

1

5

3

3

1

2

3

3

1,0

1,0

4

1

7

3

6

0,75

2

3

6

1,5

1,12

5

2

8

6

3

0,6

3

6

3

1,2

0,9

6

1

10

6

6

1

2

6

6

1

1

7

1

12

6

9

0,86

2

6

9

1,4

1,15

8

2

13

9

6

0,75

3

9

6

1,13

0,93

9

1

15

9

9

1,0

2

9

9

1,0

1,0

10

1

17

9

12

0,9

2

9

12

1,2

1,05

Cədvəli təsvir edək. I sütun n – ci addımın sıra sayını , yəni oyunçuların ardıcıl gedişləri cütünü göstərir. II sütun I oyunçunun i nömrəli strategiyasını göstərir. III sütün II oyunçunun B1 srategiyasını seçdikdə I oyunçunun ilk n addımda toplanan ümumi uduşunu göstərir. IV sütun II oyunçu B2 strategiyasını seçdikdə I oyunçunun ilkn n addımda topladığı ümumi uduşu göstərir. V sütun II oyunçu B3 strategiyasını seçdikdə I oyunçunun ilk n addımda topladığı uduşu göstərir. VI sütun I oyunçunun ilk n addımda topladığı minimal uduşun bu addımların sayına olan nisbətinə bərabər minimal orta uduşu müəyyən edir. VII sütun II oyunçu tərəfindən seçilən k – cı strategiyanın nömrəsidir. VIII sütun I oyunçunun A1 strategiyasına uyğun olan ilk n addımda topladığı ümumi uduşdur. IX sütun I oyunçunun A2 strategiyasına uyğun ilk n addımda topladığı ümumi uduşdur.

32

X sütun I oyunçunun ilk n addımda topladığı maksimal uduşun bu uduşun sayına olan nisbətinə bərabər maksimal orta uduşdur. XI sütun I oyunçunun minimal və maksimal orta uduşunun ədədi ortasıdır. Baxılan matrisin ölçüsü böyük olduqca sütunun sayı da çoxalacaqdır. Bu cədvələ əsasən, oyunun təqribi qiyməti ixtiyari addımdan sonra təyin edilə bilər. Yuxarıda təsvir olunan üsulun hər bir n – ci addımında oyunçular tərəfindən idarə olunan xalis strategiyaların seçim sayının nəzərə alsaq, onda hər bir gediş üçün optimal strategiyaları təyin etmək olar. Onda j – ci addımda x(j) = ( x 1i , x i2 ) y(j) = ( y 1 j , y  j2 ,  j3 ) ,

j = 1, 2, . . .

optimal strategiyalar ardıcıllığını alarıq. Göstərmək olar ki, əgər I oyunçunun yeganə optimal strategiyası varsa, onda iterasiya vasitəsilə qurulmuş ardıcıllıq həmin optimal strategiyaya yığılır. əgər I oyunçunun optimal strategiyası yeganə olmazsa, onda

qurulmuş iterasiyalar 

ardıcıllığı yığılmaya da bilər. Lakin bu ardıcıllıqdan yığılan alt ardıcıllıq ayırmaq olar ki, həmin optimal strategiyaya yığılar. Analoji mühakimə II oyunçu üçün də doğrudur. Bütün hallarda oyunun qiyməti yeganədir.

33

Xətti proqramlaşdırma məsələləri Xətti proqramlaşdırma məsələsinin qoyuluşu , həllin əsas Xətti

proqramlaşdırma

xassələri və xüsusiyyətləri məsələsi

riyazi

proqramlaşdırma

məsələsinin xüsusi bir bölməsidir. XPM – in qoyuluşu aşağıdakı kimidir. z = c1x1+ c2x2+ . . . +c nxn → max

(1)

a11 x1 + a12 x2+ . . . + a 1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2+ . . . + a 2n xn = b2

(2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2+ . . . + a mn xn = bm

 xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , n

(3)

Burada z məqsəd funksiyası olub, göründüyü kimi , xətti formadır. (2) , ( 3) şərtləri məhdudiyyət şərtlərini ifadə edir. Məsələ elə x = ( x1, x2, . . . , xn)t  R n vektorunu tapmaqdan ibarətdir ki, (2, 3) məhdudiyyət şərtlərini ödəsin və məqsəd funksiyasına maksimal qiymət versin. XPM – in (1) – (3) şəkli onun kanonik  şəkli adlanır.Əgər (2) şərtlərində bərabərliklər bərabərsizliklərlə əvəz olunarsa, alınan məsələ xətti proqramlaşdırma məsələsinin standart şəkli adlanır. Ümumiliyi   pozmadan fərz etmək olar ki, bi i = 1, 2, . . . , m ədədləri mənfi deyildir. Eyni zamanda, (2) məhdudiyyət şərtləri bərabərliklə deyil, bərabərsizliklər şəklində verilərsə, onda əlavə dəyişənlər daxil etməklə həmin bərabərsizlikləri bərabərlik  şəklinə gətirmək olar. Əgər XPM – in

dəyişənlərindən bəziləri (3) şərtini

ödəməzsə, onda hər bir mənfi dəyişəni xk  = x k  + x k  şəklində ifadə etməklə (3) münasibətlərini təmin etmək olar. Əgər məqsəd funksiyasının minimallaşdırılması tələb olunarsa, onda məqsəd

funksiyasının

34

  bütün əmsallarını əks işarə ilə

yazmaqla həmin məsələni maksimallaşdırma

məsələsinə gətirmək olar. (2) və (3) məhdudiyyət şərtlərini ödəyən X çoxluğu mümkün həllər çoxluğu adlanır. Təbii ki, (1)- (3) məsələsinin həlliu mümkün həllər çoxluğunda axtarılır. Baxılan (1) – (3) məsələsinin vektor və ya matris şəklini aşağıdakı kimi yazmaq olar. c = ( c1, c2, . . . , cn)  a11 a12 . . . a1n     . . . a a a 2n  A =  21 22 . . . . . . .   a a . . . a    m1 m 2 mn 

 b = ( b1, b2, . . . , bn)t işarə edək. Onda məsələnin matris şəklində yazılışı aşağıdakı kimi olacaqdır. z = cx → max

(1’)

Ax = b

(2’)

x ≥0

(3’)

 a11     a A1 =  21  ,  . . .  a m1 

 a12     a A2 =  22  , . . . , An =  . . .   a m 2 

 a11      a 21   . . .    a m1 

işarə edək. Mümkün həllər çoxluğunun hər bir elementi məsələnin planı və ya mümkün həlli adlanır. Əgər Ai vektorlarını A1x1 + A2 x2 + . . . + An xn = b

(4)

ayrılışında müsbət əmsallarla daxil olursa və müsbət əmsallarla daxil olan Ai –  lərin sayı m – ə bərabərdirsə, belə mümkün həll dayaq həll adlanır. Əgər (4) ayrılışında xətti asılı olmayan vektorların sayı düz m sayda olarsa, onda belə dayaq həll cırlaşmayan dayaq həll adlanır. Əks halda isə dayaq həll cırlaşan adlanır. Göründüyü kimi,(2) və (3) şərtlərinin ifadə etdiyi mümkün həllər çoxluğu qabarıq

çoxüzlüdür və bu qabarıq çoxüzlü eyni zamanda təpə nöqtələrinə

malikdir ki, bu təpə nöqtələri onun künc nöqtələri də adlanır. Ümumiyyətlə, qabarıq çoxluğun künc nöqtələri dedikdə, elə nöqtələr nəzərdə tutulur ki, onu

35

  bu qabarıq çoxluğun ixtiyari iki nöqtəsinin xətti qabarıq kombinasiyası şəklində göstərmək mümkün olmasın. Xətti proqramlaşdırmanın ümumi nəzəriyyəsindən məlumdur ki, XPM – nin həlli bu künc nöqtələrinin heç olmazsa, birində alınır. Əgər iki künc nöqtəsində optimal həll alınırsa, onda bu nöqtələrin ixtiyari xətti qabarıq kombinasiyası da optimal həll olacaqdır. Hər bir künc nöqtəsini xarakterizə edən əlamət ondan

ibarətdir ki, bu

künc

nöqtəsi dayaq həllə

uyğundur. Odur ki, künc nöqtəsi xətti asılı olmayan A1,A2,...,An vektorlarının

(4) ayrılışındakə müsbət əmsallarından ibarətdir. XPM –nin həlli elə künc nöqtəsini təyin etməkdən ibarətdir ki, baxılan məqsəd funksiyası həmin nöqtədə maksimal qiymət almış olsun. XPM – nin həlli

künc nöqtələrinin tədqiqinə

gətirilir.

XPM – nin həndəsi təsviri və qrafik həlli. Ikiölçülü halda standart şəkildə qoyulmuş XPM – nə baxaq: z = c 1x1+ c2x2 → max

(1)

a11 x1 + a12 x2 ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 ≤ b2

(2)

. . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 ≤ bm

 xi ≥ 0 i = 1; 2

(3)

Bəzi xüsusi hallarda ikidən artıq dəyişənləri olan halda da XPM – ni ’

ikiölçülü hala gətirib onu həll etmək olar.Aydindır ki, (2 ) məhdudiyyət şərtlərinin hər biri müstəvi üzərində bir yarımmüstəvi təyin edir. Bu yarımmüstəvilərin kəsişməsi müstəvi üzərində müəyyən bir qabarıq çoxbucaqlıdır. Fərz edək ki, bu qabarıq çoxbucaqlı məhduddur. Bildiyimiz kimi, alınan bu qabarıq çoxbucaqlı məhdud olduğundan məqsəd funksiyasının optimal

36

həlli təpə nöqtələrindən heç olmazsa, birində alınacaqdır. Məqsəd funksiyasının səviyyə xətləri belə bir münasibətlə təyin olunur. c1x1+ c2x2 = const

(4)

Eyni zamanda məlumdur ki, (1) –xətti funksiyasını maksimallaşdırmaq tələb olunduğundan məqsəd funksiyasının artma

istiqaməti onun qradiyenti

istiqamətindədir, yəni grad z = (c1, c2) vektoru istiqamətindədir. Odur ki, məqsəd funksiyasının qradiyentini tapmaqla

və bu qradiyenti

ikiölçülü koordinat sistemində təsvir etməklə məqsəd funksiyasının

artma

istiqamətini təyin etmiş olacağıq. (4) düz xəttini özünə paralel, qradiyentə isə   perpendikulyar hərəkət etdirsək , mümkün həllər çoxluğunu kəsməklə hər hansı  bir sonuncu təpə nöqtəsindən (künc nöqtəsindən ) keçib onu tərk edəcəkdir. Həmin sonuncu künc nöqtəsi baxılan məsələnin optimal həllini verəcəkdir.Bu nöqtənin koordinatlarını məhdudiyyət şərtlərinə uygun düz xətlərin kəsişməsi kimi tapmaq olar.Alınan koordinatları məqsəd funksiyasında yerinə yazmaqla onun maksimal qiyməti təyin edilmiş olacaqdır. Qeyd edək ki, məqsəd funksiyasının minimum qiymətinin tapılması tələb olunarsa, (4) düz xətti qradiyentin əksi istiqamətində hərəkət etdirilməlidir.Digər tərəfdən, mümkün həllər çoxluğundan asılı olaraq,  baxılan məsələnin həlli olmaya da bilər.

XPM – nin həlli üçün simpleks üsul. Qeyd etdiyimiz kimi, XPM – ni həll etmək üçün onun künc nöqtələrini tədqiq etmək lazımdır. Hər bir künc nöqtəyə isə dayaq plan uyğun gəldiyindən onda bu dayaq planların tapılması XPM – nin həlli üçün əsas şərtdir. Belə dayaq   planların sayı optimallıq

Cnm

olacaqdır. Simpleks üsul

şərtini ödəyən

bu dayaq

həllər içərisindən

həllə yaxın olanları seçməyə imkan

verir. Daha

doğrusu, Simpleks üsul bir dayaq plandan digərinə elə keçidi təmin edir ki, məqsəd funksiyasının qiyməti , maksimallaşdırma məsələsinə baxılırsa, onun artımını , minimallaşdırma məsələsinə baxılırsa, onun azalmasını təmin etmiş olur. Matris şəklində olan XPM - ə baxaq:

37

z = Cx → max

(1)

Ax = b

(2)

x≥0

(3)

Bəzən dayaq plan , yaxud dayaq həllə bazis plan da deyilir. Fərz edək ki, XB x vektorunun bazis həllə uyğun olan koordinatlarından, X N isə uyğun olmayan koordinatlarından ibarətdir. A matrisinin bazisə uyğun olan

vektorlarından

düzəldilmiş matrisi B ilə işarə edək. N ilə isə bazis olmayan A matrisinin vektor  sütunlarından düzəldilmiş matrisi işarə edək. Beləliklə,

A matrisi

B

və N

olmaqla, iki alt matrisdən ibarət olur. A = [B, N] . uyğun olaraq (2) məhdudiyyət şərti BXB + NX N = b

(4)

şəklində olar. Onda hər bir künc nöqtəsi (XB, 0, 0, . . . , 0 ) kimi təyin edilir. B matrisinin sütunları bir – birindən xətti asılı olmadığından B-1 tərs matrisi vardır. X N = 0 XB = B-1 b Onda künc nöqtələri

(B-1  b, 0) şəklində təyin olunur. Bazis , yaxud bazis

olmayan dəyişənlərə uyğun məqsəd funksiyasının əmsallarını da iki hissəyə ayıraq: C = (CB, C N). Onda Z = CBXB + C NX N

(5)

olacaqdır. (4) münasibətindən XB –ni təyin edək. XB = B-1  b – B-1 NX N . bu ifadəni (5) məqsəd funksiyasında nəzərə alaq. Z = CBB-1 b – CBB-1 NX N + C NX N = CBB-1 b – (CBB-1  N – C N)X N Sonuncu münasibətdən görünür ki, (B-1 b, 0) optimal həllin olması üçün CBB-1  N – C N ≥ 0

(6)

şərti ödənməlidir. (6) şərti optimallıq şərtinin matris formada yazılışını ifadə edir. Indi isə Simpleks alqoritmin tətbiqi qaydasını göstərək. Tutaq ki, bazis həll əvvəlcədən təyin olunub və məhdudiyyət şərtləri belə verilmişdir. a11 x1 + a12 x2+ . . . + a1n xn + xn+1= b1 a21 x1 + a22 x2+ . . . + a2n xn + xn+2= b2

(2)

38

. . . . . . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2+ . . . + amn xn + xn+m= bm

Buradan görünür ki, ilk bazis dəyişənlər olaraq, XB = (xn+1, . . . , xn+m) vektorunu götürmək olar. Onda ilk bazis həll olaraq XB = (b1, b2, . . . , bm) götürülür. X = ( 0,  . . .,0 ,b1, b2, . . . , bm) n

isə alınmış ilk dayaq həll olur. Simpleks alqoritmi tətbiq etmək üçün əvvəlcə Simpleks cədvəl aşağıdakı şəkildə qurulur. Birinci mərhələ: verilmiş məsələnin məhdudiyyət şərtlərinə və məqsəd funksiyasına uyğun olaraq Simpleks cədvəl qurulur. Fərz olunur ki, məhdudiyyət şərtləri elə verilmişdir ki, bazisi təyin etmək mümkündür. Belə bazisin vahid vektordan ibarət alt matris olduğunu qəbul edək. Bu bazisə uyğun olan bazis dəyişənləri təyin edib cədvəlin birinci sütununda yazaq. İkinci mərhələ: z sətrin mənfi əmsalları içərisində modulca ən böyük olan seçilir. Məqsəd

maksimallaşdırma məsələsinə baxdığımızdan z sətrin bütün

elementlərinin optimallığa əsasən, müsbətliyini təmin etməkdən ibarətdir. Seçilmiş həmin sütun istiqamətləndirici sütun adlanır. Bazis

Sərbəst

dəyişənlər 

x2 x1

xn+1

....

xn

xn+1

. a11

a12

....

.... xn+2

a1n

1

.

xn+2

a21

a22

....

xn+m

0 . . ..

.

hədlər  0

b1

0

b2

. a2n

0

1 . . ..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn+m

am1

am2

....

amn

0

0

0

1

bm

.

39

z

-c1

-c2

....

-cn

0

.

0 . . ..

0

0

..

Belə ki, həmin sütuna uyğun olan dəyişən növbəti addımda bazis dəyişənlər  sırasına keçəcək. Sərbəst hədlər sütununda yerləşən elementləri istiqamətləndirici sütunun hər bir elementinə ( yalnız müsbət ) olan nisbətlərini təyin edirik. Bu müsbətlər içərisində ən kiçiyini seçib, həmin nisbətə uyğun gələn sətirdəki bazis dəyişən növbəti addımda bazis dəyişənlər sırasından çıxarılacaqdır. Üçüncü

mərhələ:

seçilmiş

sətir

istiqamətləndirici

sətir

adlanır.

Istiqamətləndirici sətir və sütunun kəsişməsində yerləşən element isə həlledici element adlanır. İstiqamətləndirici sətrin bütün elementləri həlledici elementə   bölünür. Həlledici elementin yerinə 1 yazılır. İstiqamətləndirici sütunun yerdə qalan elementləri isə sıfra bərabər götürülür. Simpleks cədvəlin digər bütün elementləri Qauss – Jordan çevirməsi vasitəsilə təyin edilir. air a11  ai1a1r  a ir 

Digər elementləri təyin etmək qaydası ondan ibarətdir ki, həlledici element həmin elementə vurulur, alınan hasildəən təpələri həlledici elementdə və bu elementdə olan vizual qurulmuş düzbucaqlının digər iki təpə nöqtəsinin hasili çıxılır və həlledici elementə bölünür.

Bu çevirmədən sonra alınan bütün

elementlər yeni bazis dəyişəni nəzərə almaqla ikinci cədvəldə yazılır. Dördüncü mərhələ. Alınan yeni Simpleks elementləri yenidn optimallıq şərtinə yoxlanır.

cədvəldə

axırıncı z

sətrin

Əgər bütün elementlər mənfi

deyilsə, proses dayandırılır və optimal həll sonuncu sütunda yazılmış olur. Belə ki, bazis dəyişənlər sırasına daxil olmayan komponentlər sıfra bərabər götürülür. Əgər z sətrin elementləri

arasında mənfi olanı varsa, onda sonuncu cədvələ I

cədvəl kimi baxmaqla proses yenidən təkrarlanır. Misal.

z = 3x1 – 2x2 → max 2x1 + 3x2 + x3 = 2  –4 x1+ x2 + x4 =1

40

x1, x2, x3, x4 ≥ 0 x1

x2

x3

x4

 bi

x3

2

3

1

0

2

x4

-4

1

0

1

1

z

-3

2

0

0

0

x1

x2

x3

x4

 bi

x3

2

3 2

1 2

0

1

x4

0

7

2

1

5

z

0

13 2

3 2

0

3

(1, 0, 0, 5) zmax = 3

XPM – nin həlli üçün süni bazislər üsulu Bu üsul verilmiş ilkin XPM – nin qoyuluşunda ilk dayaq həlli (bazisi) tapmaq çətin olduqda tətbiq edilir. Fərz edək ki, məsələ aşağıdakı kimi verilib: z = c 1x1+ c2x2+ . . . +cnxn → max

(1)

a11 x1 + a12 x2+ . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2+ . . . + a2n xn = b2

(2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2+ . . . + amn xn = bm

 xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , n

(3)

41

Süni bazislər üsulunu tətbiq etmək üçün (2) məhdudiyyət şərtlərinin

sol

tərəfinə xn+1, . . . , xn+m dəyişənləri əlavə olunur. Lakin bu dəyişənlər (2) məhdudiyyət şərtlərinin ödənməsi üçün sonda sıfra çevrilməlidir. çevrilməlid ir. Bu şərti təmin etmək üçün aşağıdakı məqsəd funksiyasına baxılır.  z = c1x1+ c2x2+

. . . +cnxn  – M (xn+1 + . . . + xn+m) → max

(1’)

Burada M kifayət qədər böyük müsbət ədəddir. a11 x1 + a12 x2+ . . . + a1n xn + xn+1= b1

(2’)

a21 x1 + a22 x2+ . . . + a2n xn + xn+2= b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2+ . . . + amn xn + xn+m= bm  xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , n+m

(3’)

(1’) – (3’) (3’) məsələsinə genişlənmiş XPM deyilir. Odur ki, (1) – (3) məsələsinin həlli genişlənmiş (1’) – (3’) məsələsinə gətirilir. Sonuncu məsələ üçün bazisi təyin etmək mümkündür və əvvəlki mövzuda verilmiş Simpleks üsulun köməyilə bu məsələni həll etmək olar. Qeyd edək ki, məqsəd funksiyasının minimallaşdırılması məsələsinə  baxılarsa, (1) ifadəsində M-qarşısında müsbət işarə olmalıdır.

Xətti proqramlaşdırmada ikili məsələlər . Fərz edək ki, kanonik şəkildə verilmiş verilmiş XPM – nə baxılır.

z = c1x1+ c2x2+ . . . +c nxn → max

(1)

a11 x1 + a12 x2+ . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2+ . . . + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2+ . . . + amn xn = bm

(2)

42

 xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , n

(3)

Bu məsələnin verilən parametrlərini aşağıdakı cədvəldə yazaq: c1

c2

a11

a12

a 21

a 22

.

.

a m1

am 2

 x1

 x 2

... ... ... ... ... ...

cn a1n

b1

 y1

a 2n

b2

 y 2

.

...

...

a mn

bm  y m

 x n

Ikili məsələni daxil etmək üçün (2) məhdudiyyət şərtlərinin sayı qədər  əlavə yeni y1, y2, . . . , ym dəyişənlərini daxil edək.bu cədvələ əsasən, ilkin məsələnin qurulmasına

uyğun olaraq ikili məsələni aşağıdakı kimi təyin edə

 bilərik  ω = b1y1 + b2y2 + . . . + bmym → min

(4)

a11 y1 + a21 y2+ . . . + am1 ym ≥ c1 a12 y1 + a22 y2+ . . . + am2 ym ≥ c2

(5)

. . . . . . . . . . . . . . . . . a1n y1 + a2m y2+ . . . + amn ym ≥ cn

yi i=1,m hər hansı bir formada verilmiş ilkin məsələnin qarşılıqlı ikili məsələsini qurmaq üçün üçün aşağıdakı cədvəldən istifadə etmək etmək olar. İlkin məsələ

İkili məsələ

Məqsəd funksiyası → max

Mədsəd funksiyası → min

Məhdudiyyət şərtləri A

Məhdudiyyət şərtləri At

i – nci məhd. şərti ≤ 0

yi ≥ 0

i – nci məhd. şərti = 0

yi şərt qoyulmur 

x j ≥ 0

j – ci məhd. şərti ≥ 0

x j şərt qoyulmayıb

 j – ci məhd. məhd. şərti = 0

Qarşılıqlı ikili məsələlərin iqtiadi mənaları .

43

İlkin məsələnin iqtisadi mənası: x j (j=1,...,n) (j=1,..., n) məhsullarının hər biindən nə qədər istehsal istehsal olunmalıdır ki, vahid məhsulun verilmiş c j (j=1, ....,n) qiymətlərində və b j (1,...,m) ehtiyatları daxilində ümumi məhsul buraxılışının dəyər ifadəsi maksimallaşsın. İkili məsələnin iqtisadi mənası: Ehtiyatlardan hər birinin qiyməti - y j (j=1,....,m) nə qədər olmalıdır ki, ehtiyatların verilmiş bi (i=1,...,m) miqdarında və vahid məhsulun c j (j=1,...,n) qiymətində çəkilən xərclər minimallaşsın. İkili teoremlər  Qarşılıqlı ikili məsələlər haqqında aşağıdakı teoremlər doğrudur: Teorem 1. fərz fərz edək ki, kanonik şəkildə verilmiş (1) – (3) başlanğıc məsələsi və (4) – (6) şəklində onun ikili məsələsi məsələsi verilmişdir. Əgər x* = (x ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (1) – (3) məsələsinin , y*= (y 1 , . . . , y m ) isə (4) – (6) məsələsinin optimal həlləridirsə, onda zmax (x) = ωmin(y) və ya z(x*) = ω(y*) Digər tərəfdən, baxılan məsələlərdən birinin məqsəd funksiyası qeyri –  məhduddursa, onda digərinin həlli yoxdur. Bu teorem aşağıdakı lemmaya əsaslanır: Lemma :Qarşılıqlı ikili məsələlərin ixtiyari mümkün həlləri üçün aşağıdakı münasibət doğrudur. z(x) ≤ ω (y)   burada x (1) – (3) məsələsinin, y isə (4) – (6) məsələsinin mümükün həllidir. Bu teorem I ikili teorem adlanır və onun iqtisadi mənası bundan ibarətdir  ibarətdir  ki, istehsal planı və ehtiyatların obyektiv qiymətləri yalnız və yalnız o zaman optimal olur ki, məhsul istehsalından alınan gəlir ehtiyatlara çəkilən xərclərə  bərabər olsun. II ikili teorem. Tutaq ki, x* və y* uyğun olaraq, (1) – (3) və (4) – (6) məsələsinin optimal həlləridir. Onda

44

(y*A j – c j) x  j = 0

j = 1, 2, . . . , n

(Ai x* – bi) y i = 0

i = 1, 2, . . . , m

şərtlərinin ödənməsi optimallıq üçün həm zəruri, həm də kafi şərtdir. Bu teormin mənası ondan ibarətdir ki, qarşılıqlı ikili məsələlərin hər hansı   birinin optimal həllinin sıfırdan fərqli müsbət komponentlərinə digər məsələninn optimal həllinin sıfır komponenti uyğun gəlir. III ikili teorem. Aydındır ki, baxılan XPM – nin ((1) – (3)) optimal həlli eyni zamanda məhdudiyyət şərtlərinin sağ tərəfində yerləşən b i i =1,m hədlərindən asılı olar. Ona görə də aşağıdakı teorem doğrudur. Teorem. Ikili (4) – (6) məsələsinin optimal həllinin komponentləri zmax(b1,  b2, . . . , bm)xətti funksiyasının uyğun arqumentlərə nəzərən xüsusi törəmələrinə  bərabərdir.  z max (b1 ,..., bm )   y i , bi

i

 1, m .

Bu teoremin iqtisadi mənası : Obyektiv şərtlənmiş qiymətlər (y j*) göstərir  ki, i-ci ehtiyatı 1 vahid artırsaq, məhsulun reallaşmasından alınan gəlirin dəyişməsi (pul vahidi ilə) nə qədər olacaqdır.

İkili simpleks üsul. Əvvəlki mövzularda ifadə olunmuş (1) – (30 şəkilli XPM – nə baxaq. Indiyə qədər fərz etmişdik ki, məhdudiyyət şərtlərinin sağ tərəfləri mənfi deyildir. Indi isə fərz edək ki, məhdudiyyət şərtlərinin sağ tərəfləri arasında heç olmasa, biri mənfidir. Bu halda Simpleks alqoritm yaramır. Sadəlik üçün fərz edək ki, uyğun   birinci Simpleks cədvəlin sonuncu z sətri müsbət elementlərdən ibarətdir, yəni optimallıq şərti ödənir. Lakin cədvəlin sağ birinci sütununda isə qeyd etdiyimiz kimi, heç olmasa, bir dənə mənfi ədəd olacaqdır. Bu halda ilk bazis həll (dayaq   plan) mümkün həll olmayacaqdır. Bu halda alqoritm ikili Simpleks alqoritm adlanır və aşağıdakı kimi tətbiq olunur.

45

Istiqamətləndirici sətir olaraq, mənfi sərbəst hədlər içərisindən mütləq qiymətcə ən böyük olanına uyğun sətir seçilir. Bu sətrə uyğun olan bazis dəyişən növbəti addımda

bazis dəyişənlər sırasıbdan

çıxarılacaqdır. Bundan sonra

növbəti addımda z sətrin elementləri istiqamətləndirici sətrin sıfır olmayan hədlərinə bölünməsindən alınan

nisbətlərə

və müsbət

baxılır.

Əgər 

maksimallaşdırma məsələsinə baxılırsa, mütləq qiymətcə ən kiçik olan nisbət seçilir. Həmin nisbətə uyğun olan sütun seçilir. Həmin nisbətə uyğun olan sütun istiqamətləndirici sütun kimi seçiləcək və bu sütuna uyğun gələn dəyişən bazis dəyişənlər sırasına keçəcəkdir. Əgər minimallaşdırma məsələsinə baxılarsa, onda nisbətlərin ən kiçiyi seçilir. Bundan sonra məlum Qauss – Jordan çevirməsi tətbiq olunmaqla Simpleks alqoritm tətbiq olunur. Əgər yeni Simpleks cədvəlin bazis həllər yerləşən sütununda mənfi ədəd olarsa, proses təkrar olunur. Əks halda proses dayandırılır və həll həm optimallıq şərtinin, həm də məhdudiyyət şərtlərinin ödəmiş olur.

Kəsr – xətti proqramlaşdırma məsələsi. (KXPM) Bəzi tətbiqi məsələlərin həllində məqsəd funksiyası kəsr – xətti funksiyalarla ifadə olunur. Odur ki, məhdudiyyət şərtləri xətti olmaqla KXPM aşağıdakı kimi qoyulur: n

 c  x  j

 z  

 j

 j 1 n

 d  x  j

→ max

 j

 j 1

a11 x1 + a12 x2+ . . . + a1n xn = b1

(1)

46

a21 x1 + a22 x2+ . . . + a2n xn = b2

(2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2+ . . . + amn xn = bm

 xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , n

Fərz olunur ki,

 d  x  j

 j

(3)

≠ 0. Ümumiyyətlə isə

 j

 d  x  j

 j

> 0.

 j

Göstərmək olar ki, XPM – də olduğu kimi KXPM – nin də optimal həlli mümkün həlləü çoxluğunun künc nöqtələrində alınır. KXPM – ni ikiölçülü halda qrafik həll edək. z=

c1 x1  c 2 x 2

→ max

d 1 x1  d 2 x 2

ai1 x1 + ai2 x2 ≤ bi

i=1,m

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

(4) (5) (6)

məsələni qrafik həll etmək üçün əvvəlcə (5) – (6) məhdudiyyət şərtlərinə uyğun

mümkün həllər

çoxluğu qurulur.

Bundan sonra kəsr xətti məqsəd

funksiyasının ifadəsindən istifadə edərək x2 dəyişəni x1 dəyişəni ilə ifadə olunur. c1 x1

 c 2 x 2   zd 1 x1  zd 2 x2  zd 1 x1

 x 2



 x2



 c1 x1

c2  zd 2  zd 1

 c1

c 2  zd 2

 x1

Göründüyü kimi , x2 dəyişəni x1 – dən xətti asılıdır. x2 = k x1 k  

 zd 1

(*)

 c1

c2  zd 2

K əmsalı z – dən asılıdır. k = k (z). Bundan z- ə görə törəmə tapaq.   d 1 (c2  zd 2 )  ( zd 1  c1 )d 2 = d 1c 2  c1 d 2 (c2  zd 2 ) 2 (c2  zd 2 ) 2

k  z 

(7)

Göründüyü kimi, k – dan z – ə nəzərən törəmə məsələnin verilənlərindən asılıdır.

47

I hal:



k  z  >

0. Əgər törəmə müsbətdirsə, bu onu göstərir ki, k z – ə nəzərən

artan funksiyadır. bu o deməkdir ki, məqsəd funksiyasının qiymətini artırmaq üçün k bucaq əmsalını artırmaq lazımdır. Bunun üçün x2 = kx1 düz xəttini saat əqrəbinin hərəkət istiqamətinin əksinə döndərmək lazımdır.

Bu düz xətti

döndərməklə mümkün həllər çoxluğunu kəsərək, onun hər hansı nöqtəsindən keçərək onu tərk edəcəkdir. Həmin təpə nöqtəsi məsələnin optimal həllinə uyğun gələcəkdir. II hal:

 < 0. Bu o deməkdir ki, k əmsalı z – in funksiyası kimi azalır. Bu

k  z 

halda (*) düz xətti saat əqrəbinin hərəkət istiqamətində döndərilir. Əgər bu düz xətt mümkün həllər çoxluğunun hər hansı təpə nöqtəsindən keçib onu tərk  edəcəksə, onda həmin təpə nöqtəsi optimal həllə uyğun gələcəkdir. Ümumi

şəkildə verilmiş

KXPM – ni həll etmək üçün onu

əvəzləmələr aparmaqla XPM – nə gətirmək lazımdır.

müəyyən

Bu əvəzləmələr 

aşağıdakılardır:    j d  j x j     xi   yi , i  1, n  n  d  j x j    j 1 1

  y0

(8)

Onda məqsəd funksiyası z=

n

 c  y  j

 j

→ max

(9)

 j 1

məhdudiyyət şərtlərinin hər tərəfini

1

ifadəsinə vurmaqla aşağıdakı

n

 d  x  j

 j

 j 1

kimi ifadələr alarıq. n

 a  y ij

 j

 bi y 0  0,

i

 1, m

(10)

 j 1

Alınmış bu məsələni XPM – nin hər hansı bir metodu ilə əvəzləmələrindən istifadə etməklə tapmaq olar. Məqsəd finksiyası

(8)

48 n

 c  y

z=

 j

→ max

 j

 j 1 n

 d  y  j

 j

=1

 j 1

məhdudiyyət şərtini də məhdudiyyət şərtlərinə əlavə edirik.

Tam qiymətli XPM. Homori üsulu. Tam qiymətli XPM – nin ümumi şəkli aşağıdakı kimidir. z=

n

 c  y  j

 j

→ max

(1)

 j 1

n

 a  x ij

 j

 bi ,

i

 1, m

(2)

 j 1

x j ≥ 0 . x j – tam qiymət alır. j = 1,n

(3)

(1) – (3) məsələsini həll etmək üçün əvvəlcə tam qiymətlilik şərti atılır. Alınan məsələ zəiflədilmiş

məhdudiyyət şərtli məsələ adlanır. Bu məsələni

  bildiyimiz Simpleks üsulu ilə həll olunur. Əgər nəticədə alınan həll tam qiymətli olarsa,

onda həll

(1) – (3) məsələsinin həlli olacaq. Əks halda həllin

komponentləri içərisində tam qiymətli ədədlər olmadıqda onda Homori üsulu adlanan aşağıdakı üsul tətbiq olunur. Bunun üçün alınmış sonuncu optimal həlli yerləşdiyi Simpleks cədvəl nəzərdən keçirilir. Fərz edək ki, bu cədvəl aşağıdakı şəkildədir. Baxılan cədvəldə son sütunda yerləşən ədədlər içərisində heç olmasa, biri tam qiymətli deyil. Tutaq ki, bu ədəd βi – dir. Onda cədvələ əsasən aşağıdakı münasibətləri yaza bilərik. xi = βi – 

n

    x ij

 j

(4)

 j  m 1

Sonrakı gediş üçün hər bir həqiqi ədədin tam və kəsr hissələri anlayışından istifadə edilir.

49

x1

x2

x3

...

xm

xm+1

...

xn

Bazis həll

x1

1

0

0

...

0

α1,m+1

...

α1,n

β1

x2

0

1

0

...

0

α2,m+1

...

α2,n

β2

.

.

.

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xm

0

0

0

...

1

αm,m+1

...

αm,n

βm

Z

0

0

0

...

0

+

+

+

zmax

Belə ki, hər bir həqiqi ədədi onun tam və kəsr hissəsi şəklində göstərmək  olar. a = [a]+ {a} 0 ≤ {a} <1

Bu anlayışdan istifadə edərək   ij    f ij ,   i    f i ,

0   f ij 0   f i

1

(5)

1

(4) – dən istifadə edərək və (5) işarələməsini nəzərə alaraq m

    x

xi –  [ β ]+ i

ij

 j

 f i – 

 j 1

n

  f   x ij

 j

≤ f i < 1

 j  m 1

Alınan münasibətin sol tərəfi tam qiymətlidir. Sağ tərəfin isə tam qiymətli olması üçün aşağıdakı münasibət ödənməlidir. f i – 

n

  f   x ij

 j

≤0

(6)

 j  m 1

(6) münasibətini kanonik şəklə gətirmək üçün Si – 

n

  f   x ij

 j

= – f i , S ≥ 0

(7)

 j  m 1

Alınmış (7) məhdudiyyət şərtini sonuncu Simpleks cədvələ əlavə bir sətir  kimi daxil etməklə məəsələnin həlliikili Simpleks üsulla davam etdirilir. Proses o vaxta qədər davam edir ki, bütün sonuncu sütun elementləri tam qiymət alsın.

50

Tam qiymətli məsələnin həlli üçün budaqlar və sərhədlər üsulu. Bu üsul da Homori üsulu kimi zəiflədilmiş məhdudiyyət şərtli məsələnin həllinə əsaslanır. Fərz edək ki, bu məsələnin həlli nəticəsində hər hansı bir x 0r  koordinatı tam qiymətli deyildir.

Onda

məsələnin [x 0r  ] < xr  < [x 0r  ] + 1

aralığında həlli olmayacaqdır. Məsələnin həlli xr  ≤ [x 0r  ]

(8)

xr  ≥ [x 0r ] + 1

(9)

olacaqdır. Odur ki, verilmiş məsələ iki alt məsələyə ayrılmış olur. I məsələ (8) məhdudiyyət şərtini , II məsələ isə (9) məhdudiyyət şərtini əlavə etməklə alınan XPM olur. Alınan bu iki məsələnin hər birini ayrılıqda həll edirik. Eyni mülahizələr bu müstəqil alt məsələlərə də tətbiq olunduqda alt məsələnin özü də yenidən iki məsələyə ayrılmış olur. Alt məsələlərin hər hansı birində tam qiymətli həll olmazsa, bu həllə uyğun məqsəd funksiyasının qiyməti

sərhəd

rolunu

oynayır. Belə ki, digər budaqlar üzrə alınmış optimal həllin də koordinatları tam qiymətli olub uyğun məqsəd funksiyasının qiyməti tapdığımız sərhəd qiymətdən kiçik olarsahəmin sərhəd qiymətinə uyğun həll baxılan məsələnin həlli olacaqdır. Əks halda, sərhəd qiyməti olaraq məqsəd funksiyasının böyük qiyməti və ona uyğun olan həll optimal həll kimi qəbul edilir. Qeyd. Verilmiş məsələnin məqsəd funksiyasının bütün əmsallarının tam ədədlər hesab etmək olar, onda məqsəd funksiyasının qiyməti də optimal həll üçün tam qiymətli olacaqdır. Aşağıdakı misala baxaq. z = 2x1 + 3x2 → max 5x1 + 7x2 ≤ 35 4x1 + 9x2 ≤ 36 x1 ,x2 ≥ 0, tam qiymətlər alır.

51

Tam qiymətlilik şərti atılarsa, baxılan məsələnin həllini qrafik üsulla tapmaq olar: x1 = 32 12 , x2 = 2 6 , z = 14 8 . 17

17

17

Hər iki dəyişən tam qiymətlər almadığından , ixtiyari birini budaqlanma prosesini aparmaq üşün seçmək olar. x2 dəyişəninin seçilməsi x22 və x2≥3 şərtləri ilə bağlı 2 altməsələ doğurur. Bu altməsələlər bütün mümkün olan tamqiymətli həlləri özündə saxlayır.Altməsələlərin hər biri ayrılıqda həll edilir, məqsəd funksiyasının maksimallaşdırılmasını nəzərdə saxlamaqla bütün dəyişənlər müsbət qiymətlər  alana qələr budaqlanma prosesi davam etdirilir.

52

  Nəqliyyat məsələsi Məsələnin qoyuluşu: Fərz edək ki, n sayda məntəqədən m sayda məntəqəyə yük  daşınması tələb olunur.Bu məntəqələrə uyğun olaraq  A i  1, m (göndərən) və  B j  j  1, n (məhsul alan) işarə edək. Ai məntəqəsindən  B j məntəqəsinə göndərilən yükün miqdarını  xij ilə işarə edək.Vahid yükün daşınma xərcini isə cij ilə işarə edək. Ai məntəqəsinin ehtiyatını ai i  1, m ilə , B j məntəqəsinin tələbini isə b j ilə işarə edək.Onda ehtiyyat məsələsinin ümumi qoyuluşu aşağıdakı kimi olar: (1)  cij xij  min i

n

 x

ij

 ai , i  1, m

(2)

 b j ,  j  1, n

(3)

 j 1

m

 x

ij

i 1

 xij

 0 , i  1, m ,  j  1., n

(4)

Əgər  m



n

ai

i 1

  b j

(5)

 j 1

şərti ödənərsə, onda belə nəqliyyat məsələsi qapalı nəqliyyat məsələsi , yaxud balanslaşmış nəqliyyat məsələsi adlanır. Nəqliyyat məsələsinin bütün verilənləri cədvəl şəklində göstərilir:  B1  B2  Ai  B j . . . . . .  Bn Ehtiyat  A1 c11 c12 a1 . . . . . . c1n  A2 c21 c 22 a2 . . . . . . c2 n …… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  An cm1 cm2 am . . . . . . cmn m n b2 Tələb b1 . . . . . . bn a  b



i

i 1



 j

 j 1

Əgər baxılan məsələ qapalı məsələ isə onda (2),(3) bərabərlik şəklində yazılır.Əks halda , məsələ açıq nəqliyyat məsələsidirsə, onda fiktiv məntəqələr daxil etməklə belə məsələni qapalı məsələyə gətirmək olar.Əgər  m

n

 a  b i

i 1

 j

, i  1, m ,  j  1, n

 j 1

olarsa, onda fiktiv  Bn1 məntəqəsi daxil edilir. Onun tələbi nə bərabər götürülür və ci,n 1  0 qəbul edilir.Əgər 

 a  b i

 a  b i

 j

kəmiyyəti-

 j

olarsa , onda fiktiv  Am1 məntəqəsi daxil edilir.Onun ehtiyyatı  b j   ai götürülür və uyğun cm1, j  0 qəbul edilir.(2)-(3) məhdudiyyət şərtlərindən görünür  ki,əmsallardan düzəldilmiş matris 1 və 0 –lardan ibarətdir.(1)-(4) məsələsi xətti  prioqramlaşdırma məsələsinin xüsusi halıdır.Belə ki ,  xij dəyişənlərini yenidən nömrələsək , xətti proqramlaşdırma məsələsi alarıq.

53

Teorem :Qapalı nəqliyyat məsələsinin həmişə həlli vardır. Məhdudiyyət şərtlərinin sayı

mn

olduğundan və (5) şərtini də nəzərə alsaq, xət-

ti asılı olmayan vektorların sayı , başqa sözlə, bazis dəyişənlərin sayı dən çox olmaya-caqdır.Əgər bu say düz

m  n 1

m  n 1

-

sayda olarsa , onda belə bazis

həll cırlaşmayan bazis həll olacaqdır. Beləliklə , hər hansı bir yolla ilkin bazis həll tapılmışsa , onda nəqliyyat cədvəlinin

m  n 1

sayda xanası yüklənmiş , yəni

dolmuş olacaqdır,yerdə qalan xanalar isə boş xanalar olacaqdır. Ilk bazis həllin tapılması üçün aşağıdakı üsullar mövcuddur:

I üsul:Şimal-qərb üsulu.(dioqonal üsulu)Bu usual əsasən əvvəlcə nəqliyyat cədvəli-nin (1,1) indeksli xanası doldurulur.Bunun üçün

a1

və

b1

kəmiyyətləri

mü-qayisə olunur və kiçiyi həmin xanaya yazılır.Bu halda həmin xanaya

a1

yazılmışsa, onda birinci sətir dolmuş hesab olunur və növbəti addımda şaquli istiqa-mətdə aşağıya hərəkət edilir, yəni (2,1) indeksli xanaya baxılır. Əgər həmin xana-ya

b1

yazılmışsa, onda birinci sütun dol-muş hesab olunur və novbəti

addımda üfü-qi istiqamətdə hərəkət edərək  (1,2) xanasına ba-xılır.Uyğun xanaları doldurarkən

b1

 a1 fərqi a2 ilə və yaxud a1  b1 fərqi b2 ilə müqayi-sə

olunur.yenə də ən kiçiyi xanada yazılır.proses bu qayda ilə davam etdirilir və nəticədə

m  n 1

sayda xana dolmuş olur.

II üsul: Minimal dəyər üsulu.Əgər şimal-qərb üsulunda daşınma xərcləri nəzərə alınmır-dısa, minimal dəyər üsulunda bu xərclər nəzərə alınır.Belə ki, xanaların doldurulması mi-nimal dəyərlərə uyğun olan xanalardan başlanır.Ardıcıl olaraq minimal dəyərlərə uyğun olan xanalar tapılır və bu xanaların doldurulması şimalqərb üsulunda olduğu kimidir. III üsul: Fogelin aproksimasiya üsulu. Bu usual əsasən hər bir sütunda və sətirdə mini-mal dəyərlər arasındakı fərq tapılır , əlavə sütunda və sətirdə qeyd olunur.sətir  və sütunlar-da alınan bu fərqlər arasında ən böyüyü seçilir.bu fərqə uyğun sətir və yaxud sütun nəzər-dən keçirilir və minimal dəyərə uyğun xana

54

doldurulur.Doldurulma qaydası şimal-qərb üsulunda olduğu kimidir.Növbəti addımda yenidən boş qalan sətir və sütunlarda minimal dəyərlər arasındakı fərq tapılır və yenə də bunlar əlavə sətir və sütunlarda yazılır.Proses bu qayda ilə davam etdirilir. Yuxarıda göstərilən üsullardan optimal həllə daha yaxın olanı fogelin aproksimasiya üsuluna , sonra minimal dəyər üsuluna, daha sonra şimal-qərb üsuluna uyğun gəlir.

 Nəqliyyat məsələsinin ikili məsələsi

 Nəqliyyat məsələsinin ikili məsələsinin qurulma qaydası xətti proqramlaşdırma məsələsində olduğu kimidir: İkili məsələnin dəyişənlərini u1, u2,u3, …..um,v1,v2,…,vn işarə etsək,onda onun məhdudiyyət şərtləri ui + v j  cij

i=1,n , j=1,m ,

(6)

şəklində , məqsəd funksiyası isə ∑aiui

+

∑ b j v j

(7)

şəklində olar. İkİli məsələ (6) funksiyasının ( 7) şərtləri daxilində maksimallaşdırmaqdan ibarətdir.

 Nəqliyyat məsələsinin həlli üçün potensiallar üsulu.

55

Əvvəlki mövzuda baxılmış (1)-(4) nəqliyyat məsələsinin hər hansı bir dayaq həlli tapıl-dıqdan sonra bu həllin optimal həll olub-olmadığını göstərmək üçün aşağıdakı teoremdən istifadə olunur: Teorem:Tutaq ki,

 x *

 ( xij* ) , i  1, m ,  j  1, n kimi hər hansı bir dayaq həll

tapılmışdır. Onda elə  i  ,   j

  j

, i  1, m ,  j  1, n həqiqi ədədləri varsa ki,

  i  cij ,

 xij*

  i  cij ,

  j

münasibətləri ödənir, onda

 x *

(8)

0

 xij*

(9)

0

 ( xij* ) , i  1, m ,  j  1, n dayaq həlli həm də optimal

həlldir. Burada , ların sayı

 i -

i-ninci sətirin ,

mn

  j

- j-ninci sütunun potensialları adlanır.Bu potensial-

saydadır. Bu potensialları tapmaq üşün (6) münasibətindən istifadə

olunur. La-kin bu münasibətlərin sayı Potensialların ümumi sa-yı

mn

m  n 1

saydadır.(cırlaşmayan halda)

olduğundan həmin potensiallardan istənilən

 birinin qiy-mətini 0-a bərabər götür-mək olar. Baxılan teorem əsasında optimal həllin təyini potensiallar üsulunun mahiyyətini təşkil edir.Bu üsula görə əvvəlcə (6) münasibə-tindən potensialları  i ,

i

 1, m və

  j ,  j

 1, n potensialları

tapılır.Bu potensiallar tapıldıqdan sonra (7)-yə əsasən nəqliyyat cəd-vəlinin boş xanaları üçün

cij

kəmiyyətləri təyin edilir. cij

Əgər 

cij

 c ij  (  j   i )

kəmiyyətinin hamısı sıfırdan böyük olarsa, onda teoremə əsasən

tapılmış da-yaq həll optimal həlldir.Bu halda proses dayanır.Optimal həll və ona uyğun məqsəd funk-siyasının qiyməti təyin edilir.Əks halda,

cij

kəmiyyətləri

içərisində heç olmasa biri mənfi ədəddir.Belə ədədlər çox olduqda onların içərisində modulca ən kiçik olanı seçilir və hə-min boş xana qeyd olunur.Bundan sonra proses dövrə qurmaqla davam etdirilir. Nəqliyyat cədvəlində dövrə dedikdə ,  başlanğıcı hər hansı bir boş xanada , tərəfləri isə sətir və sütun-larda ,digər təpələri isə dolu xa-nalarda olmaqla qurulmuş qapalı sınıq xəttə deyilir. Seçil- miş boş xanaya nəzərən qapalı dövrə qurulur. Həmin boş xana müsbət işarələnir , digər tə-

56

 pələr isə mənfi müsbət işarələnir.Mənfi təpələrdə yerləşən mənfi yüklər müqayisə olunur və bu yüklərin minimum qiyməti tapılır. Tapılmış bu yük müsbət işarələnmiş xanalara əlavə olunur, mənfilərdən isə çıxılır. Nəticədə xanaların biri dolur , biri isə boşalır. Yüklə-rin bu cür yenidən paylanması nəticəsində yeni dayaq həll alınır və proses yenidən o vaxta qədər davam etdiriləcək ki,

cij

kəmiyyətlərinin heç biri mənfi olmasın. Cırlaşan hala baxaq:Əgər dayaq həll cırlaşandırsa, bu halda uyğun potensialların hamısını (6)-ya əsasən təyin etmək olmur.Bu halda ən çox xanası dolmuş olan sətir və sütunun po-tensialı sıfıra bərabər götürülür.Bundan sonra (6) münasibətinə əsasən mümkün olan po-tensiallar təyin edilir. Potensialları təyin edilməyən sətir  və sütunlara baxılır, minimal tari-fə malik olan sətir və ya sütunun potensialı ixtiyari seçilir və uyğun xana dolmuş hesab olunur.Bu xananın yükü sıfıra bərabər  götürü-lür və proses cırlaşmayan hala uyğun olaraq davam etdirilir.

Parametrik xətti proqramlaşdırma məsələsi.

Bəzi tətbiqi məsələlərin həllində xətti proqramlaşdırma məsələlərinin ilkin verilənləri hər hansı parametrdən asılı olur.Bu parametr məqsəd funksi-yasının əmsallarına , məhdu-diyyət şərtlərindəki dəyişənlərin əmsalları-na, sərbəst hədlərə daxil ola bilər.Bu parametr bu verilənlərə həm ayrı-lıqda , həm də eyni zamanda daxil ola bilər.məsələnin qoyuluşun-dan asılı olaraq alınan xətti proqramlaşdırma məsələsi simpleks alqoritmin köməyilə həll edilir. I hal:Tutaq ki, parametr yalnız məqsəd funksiyasının əmsallarına xətti daxildir. Əvvəl-cə xətti proqramlaşdırma məsələsi üçün simpleks alqoritmə uyğun ilkin və optimal həllə uyğun simpleks cədvəl nəzərdən keçirilir.  z   c B x B

 c N  x N   max

 Bx B  Nx N 

b

57  x B

 0 , x N   0

Burada ,  x B -bazis dəyişənlər,  x N  -isə bazis olmayan dəyişənlərdir. Bazis

 x B

 x N 

dəyişən

Sərbəst hədlər   b

 x B

 B

 N 

 z 

 c B

 c N  0

Cari bazisə və bazis dəyişənlərə uyğun simpleks cədvəl aşağıdakı kimi olur: Bazis

 x B

 x N 

dəyişən

Bazis həllər 

 x B

 E 

0

 B 1 N  c B B 1 Nc N 

 B 1b c B B 1b

Əgər məqsəd funksiyasının əmsalları t parametrindən asılı olarsa, (c B (t ), c N  (t ),    t     ) onda simpleks alqoritmin hər bir mərhələsində t parametri uy-

ğun olaraq məqsəd funksi-yasının əmsallarında iştirak edəcəkdir.Parametrik xətti  proqramlaşdırma məsələlərinin həlli t patametrinin hər hansı bir  t 0 qiyməti qeyd olunur.Parametrin bu qiymətində opti-mallıq şərti ödənənə qədər simpleks alqoritim tətbiq edilir.müəyyən mərhələdə optimallıq şərti ödənirsə, c B (t 0 ) B 1 N (t 0 )  c N  (t 0 )  0

şərti ödənilir.Bu halda

t 0 -a

(1)

uyğun olan optimal həlli təyin etmək olar.Həmin

tapılmış opti-mal həllin öz optimallığını saxladığı şərti təyin atmək üçün c B (t ) B 1 N (t )  c N  (t )  0

(2)

şərti ödənilir.alınan bu münasibət t-yə nəzərən bərabərsizliklər sisteminə ekvivalentdir.Bu sistemi həll etməklə hər hansı bir   1 ,  1  aralığı tapılır ki, bu aralıq özündə saxlamaqla

t 0

t 0 -ı

nöqtəsində tapılmış optimal həll t   1 ,  1 qiymətləri üçün

də optimal həll olacaqdır. Bundan sonra  1 ,  1 -ə daxil olmayan

t 1

nöqtəsi seçilir.

Bu nöqtədə (2) şərti ödənməyə-cəkdir və yenidən proses yəni , simpleks alqoritm o vaxta qədər davam etdiriləcəkdir ki, optimal həll alınsın.  z  sətrin elementlərinin

58

(2) şərtini ödəməsi şərti daxilində yeni  2 ,  2  aralığı tapılır.Bu aralıqda

t 1

nöqtə-

sində optimal olan həll həmin aralığa daxil olan para-metrin bütün qiymətləri üçün optimal həll olur.Proses bu qayda üzrə davam etdirilir. II hal: Bu halda fərz edək ki, parametr məhdudiyyət şərtlərinin sağ tərəfindəki sərbəst hədlərə daxildir.Bu halda həllin mümkünlük şərtininödənməsi üçün (3)

 B 1bt   0

şərti ödənməlidir.Yenə də I hala uyğun olaraq parametrin hər hansı bir qiyməti üçün opti-mal həll alınır, bu zaman (3) şərti də həmin şərtlərə daxil edilir.(3)-lə t  parametrinin o qiy-mətlər çoxluğu təyin edilir ki, həmin çoxluqda tapılmış həll yenə də öz gücündə qalır. III hal: t parametri məhdudiyyət şərtlərinin sol tərəfindəki dəyişənlərin əmsallarına daxil olur.Bu halda c B B 1 (t ) N (t )  c N  (t )  0  B 1 (t )b  0

şərtləri optimallıq üçün ödənməlidir.Həll metodu I və II hala uyğundur. IV hal: Bu hal yuxarıdakı 3 halın ümumiləşməsidir.Bu halda c B (t ) B 1 (t ) N (t )  c N  (t )  0  B 1 (t )b(t )  0

Şərtlərindən istifadə etməklə optimal həll parametrin müxtəlif qiymətləri üçün təyin edilir.

Çoxkriteriyalı məsələnin qoyulyşu və həll üsulları. Müəyyənlik şəraitində optimallaşdırma məsələlərinin həlli üçün qərarın qəbul edilməsi bir məqsəd funksiyası olduqda nisbətən asan olur. Məqsəd funksiyasının (kriteriyaların) sayı çox olduqda qərarın seçilməsi məsələsi çətinləşir.Fərz edək ki, m sayda  f 1  x ,  f 2  x ,...., f m  x 

(1)

59

funksiyaları verilib və bu funksiyaların

 x  X    E n

çoxluğundan elə həllini təyin

etmək la-zımdır ki, (1) məqsəd funksiyaları ən böyük qiymətini almış olsun.Bu hal- da məqsəd funksiyalarının sayı çox olduğundan qiymətləndirmə məsələsi yaxud hansı həllə üstünlük verilməsi məsələsi çətinləşir.Hər bir  x  X  həlli  y

 ( f 1  x ,  f 2  x ,....,  f m  x )

(2)

vektoru ilə qiymətləndirilirşOnda bütün qiymətləndirmələr çoxluğu aşağıdakı kimi təyin olunur: Y    y  E m  y

Məsələ

Y 

(3)

 ( f 1 ( x ),  f 2 ( x),...., f m ( x)), x  X 

çoxluğundan optimal qiymətləndirmənin seçilməsinə gətirilmiş olur.

Əgər kri-teriyalar bir-birinə nəzərən heç bir üstünlüyə malik deyilsə və (3) qiymətləndirmələr çox-luğunda  münasibətinin seçilməsinə gətirir.Əgər baxılan kriteriyalar üçün və  x, x '  X  olduqda  x ' -ə

 f i ( x)   f i ( x ' )

nəzərən “pis” deyildir. Əgər  

i

öz üstünlüyünə görə eynidir. Əgər    y i'

üçün i

üçün

olarsa, onda i-ninci kriteriya üçün  f i ( x)   f i ( x ' )  y i

olarsa, onda

 x '

həlləri

  yi' olarsa,harda ki,  y i   f i ( x) və

  f i ( x ' ) münasibəti ödənərsə və heç ol-masa bir  i üçün bu münasibət ciddi ödə-

nirsə , onda deyilir ki,

 x ' -ə

nəzərən üstündür.

Tərif: y *  Y  qiymətləndirməsi ən yaxşı qiymətləndirmə hesab olunur o zaman ki,  y üçün  y *   y münasibəti ödənsin və  y  Y  olsun.

Əgər belə kriteriya varsa, onu çoxkriteriyalı məsələnin optimal həlli kimi götürmək  olar, lakin belə  y * -lar həmişə mövcud olmaya da bilər.  y 0

 Y  qiyməti  münasibətinə nəzərən maksimal adlanır o zaman ki,  y   y 0

münasibətini ödəyən

 y

qiymətləndirməsi olmasın. Belə maksimal

qiymətləndirmələr çoxluğu Pareto çoxluğu , çoxluğun hər bir elementi isə Pareto mənada optimal qiymətləndirmə adlanır.  y 0  Y  qiyməti  münasibətinə nəzərən maksimal adlanır o zaman ki,  y   y 0 münasibətini ödəyən

 y

qiymətləndirməsi

olmasın. Belə maksi-mal qiymətləndirmələr çoxluğu Sleyter çoxluğu , çoxluğun hər bir elementi isə Sleyter mənada optimal qiymətləndirmə adlanır. Pareto optimal qiymətləndirmə effektiv , Sleyter mənada optimal qiymətləndirmə zəif ef-fektiv

60

qiymətləndirmə adlanır.Göstərmək olar ki, hər bir effektiv qiymətləndirmə eyni zamanda zəif effektiv qiymətləndirmədir.Bu o deməkdir ki,  P ( y ) Sleyter qiymətləndirmələr çoxluğuna daxildir:  P ( y)  S ( y)

Çoxkriteriyalı məsələlərin həlli aşağıdakı üsulların birinin köməyilə tapıla bilər: I.İdeal nöqtə üsulu; II.Ranqlaşdırma üsulu; III.Güzəşt üsulu; I üsul.İdeal nöqtə üsulu:Bu üsulu şərh etmək üçün aşağıdakı şəkildə qoyulmuş xətti  proq-ramlaşdırma məsələsinə baxaq:  z 2

 c 21 x1  c 22 x2  max

(1)

 z 2

 c 21 x1  c 22 x 2  max

(2)

 ai 2 x 2  bi , i  1, m

(3)

ai1 x1  x1

 0 ,  x 2  0

(4)

İdeal nöqtə üsulunu tətbiq etmək üçün (3),(4) şərtlərinə uyğun mümkün həllər  çoxluğu ta-pılır.Fərz edək ki, mümkün həllər çoxluğu şəkildə olduğu kimidir:

Məhdudiyyət şərtləri xətti olduğundan mümkün həllər çoxluğunun ( z 1 , z 2 )  parçasına inika-sı xətti qabarıq çoxluq verəcəkdir.İdeal nöqtə adətən əməliyyatşı tərəfindən verilmiş nöqtə götürülür.Əksər hallarda bu nöqtə  z 1 və  z 2 məqsəd funksiyalarının mümkün həllər çoxlu-ğundakı maksimal qiyməti seçilir. M ( z 1, max , z 2, max )

İdeal nöqtə üsulunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, Pareto çoxluğunda ideal nöqtəyə ən ya-xın olan nöqtəni tapmaq mümkün olsun.Odur ki, axtarılan nöqtəni N

61

ilə işarə etsək,  N ( z 10 , z 20 ) nöqtəsi  A2' A3' parçasına çəkilmiş perpendikulyarın  A2' A3' -lə kə-sişmə nöqtəsi ola-caqdır.Təbii ki, N nöqtəsinin

 A2'

,  A3' nöqtələrindən keçən

düz xətt üzərində olması şərti daxilində alırıq ki, ( z 10  z 1,max ) 2  ( z 20  z 2,max ) 2  min

məsələsi həll edilir. Beləliklə də şərti ekstremum məsələsi ideal nöqtə üsulunun tətbiqi nəticəsində axtarılan N nöqtəsinin tapılmasına imkan verir. II üsul.Ranqlaşdırma üsulu:Buüsula əsasən verilmiş çoxkriteriyalı məsələnin  bütün kriteriyaları əhəmiyyətlilik dərəcəsinə görə düzülür.Əgər kriteriyaların bu düzülüşü

 f 1 ( x),  f 2 ( x ),...., f n  x 

ardıcıllığına uyğun gəlirsə , əvvəlcə max f 1 ( x), x  X    f 1*

məsələsi həll edilir.  R1

  x :  f 1 ( x )   f 1* , x  X 

şərti ödənsin.Növbəti addımda max f 2  x  : x  R1    f 2*

məsələsi həll edilir və  R2

  x :  f 2  x    f 2* , x  R1

çoxluğu təyin edilir . Növbəti addımda

 f 3

məqsəd funksiyası  R2 çoxluğunda

maksimal-laşdırılır.Proses bu qayda üzrə davam etdirilir və nəticədə  X    R1

  R2  ....   R N 

alınır.Əksər hallarda bu ardıcıllıq bir neçə addımdan sonra qırılır.Bu o zaman baş verir ki,  Ri çoxluqlarından hər hansı biri yalnız bir nöqtədən ibarət olur.Bu zaman uyğun addımdan sonrakı çoxluqları təyin etməyə ehtiyac qalmır, eyni zamanda kriteriyaların optimallaşması məsələsi davam etmir.Bəzi hallarda  Ri çoxluqları olaraq optimala yaxın olan nöqtələr çox-luğu götürülür. III üsul .Güzəşt üsulu:Bu üsula əsasən də verilən kriteriyalar öz əhəmiyyətlilik  dərəcəsi-nə görə düzülür.Tutaq ki, bu düzülüş  f 1 ( x ),  f 2 ( x),...., f n  x ; x  X 

 belədir.Güzəşt üsuluna əsasən I addımda  f 1*

 max  f 1  x , x  X 

62

təyin edilir.II addımda I kriteriyanın maksimal qiymətinə gqzəşt edilir və məhdudiyyət şərtlərinə çoxluğunda

 f 2*

 f 1

 k 1 f 1* münasibəti daxil edilməklə yeni mümkün həllər 

 max  f 2  x  təyin edilir. . Növbəti addımda II kriteriyanın maksimal

qiymətinə uyğun güzəşt edilir.  f 2  k 2 f 2* məhdudiyyət şərti daxilində  f 3*

 max  f 3  x 

məsələsi həll edilir.Proses bu qayda ilə davam etdirilir.Burada

k 1 , k 2 ,..., k m 1

kəmiyyətləri əvvəlcədən verilmiş kəmiyyətlərdir və 0  k i  1 şərtini ödəyirlər.

Böyük ölçülü məsələlərin həlli. Dekompozisiya üsulu. Böyük ölçülü sistemlərin təhlili iqtisadi nöqtəyi nəzərdən əhəmiyyət kəsb edir. Belə ki, çoxlu sayda iqtisadi məsələlərin doğurduğu proqramlaşdırma məsələləri özündə çoxlu sayda sütunlar saxladığından simpleks üsulun bu məsələyə tətbiqi çətinliklər yaradır. Böyük ölçülü struktura malik olan sistemlər içərisində blok  struktura malik olan seçilir. Blok strukturu dedikdə ,sxematik olaraq , aşağıdakı sistemlər nəzərdə tutulur: Birləşdirici blok  1 2 . . .

m

63

Blok struktura malik olan sistemlər üçün xətti proqramlaşdırma məsələsi aşağıdakı şəkil-də qoyulur:  A1 X 1   A2 X 2

 ....   An X n  b0

  B1  D2 X 2   B2  D1 X 1

(1)

..................................................  Dm X m

  Bm

(2)

 0,  j  1, n

 X  j

 Z   C 1 X 1  C 2 X 2

Burada ,  A j ,  j  1, n sütun vektordur . B j

ölçülü ,  D j ,  j  1, n

r 0  m j

(3)

 .....  C n X n  max r  j  m j ölçülü

r  j -ölçülü,  B0 r 0 -ölçülü  j

tordur.(1) şərt-lərinin ümumi sayı

n

 r   j

matris,  X  j  m j olçülü

 1, n sütun , C  j m j ölçülü sətir vek-

,sütunlarının sayı isə

 j 1

m

m

 j

 j 1

qədərdir.Deməli, məhdudiyyət şərtlə-rinə uyğun olan matrisin ölçüsü

n

  j 1

m

r  j

  m j  j 1

olacaq.  D j X  j

(4)

 B j ,  j  1, n

 bloka uyğun məhdudiyyət şərtlərini nəzərdən keçirək.Baxılan münasibətlər xətti olduğun-dan onların ifadə etdiyi həllər çoxluğu qabarıq çoxluq olacaqdır.Onda bu qabarıq çoxluğun hər bir nöqtəsini onun künc nöqtələrinin qabarıq kombinasiyası kimi göstərmək olar. Uy-ğun künc nöqtəsini



 x1k 

ilə işarə edək. k   1, k  j  Onda hər 

 bir  x j nöqtəsini aşağıdakı şəkildə təsvir etmək olar.Belə ki, k  j

 x j

 k 

     x  j k   j

(5)

k 1

təsvir etrmək olar. k  j

  

k   j

 1,

  jk 

0

(6)

k 1

(1),(2) məhdudiyyət şərtlərinə uyğun mümkün həllər çoxluğunun hər bir elementi ayrı- ayrı bloklara uyğun olan künc nöqtələrin xətti kombinasiyası şəklində yaz

64

maq olar.Odur ki, (5),(6) ifadələrini (1)-(3)-də nəzərə alsaq , onda aşağıdakı məsələni almış olarıq: k 1





c1  x1  1k   .....  k 

k 1 k 1

  

k 

1



 c  x n

k  n

 nk 

 max

(7)

1

k 1 k 2

  

k 

2

1

(8)

k 1

................. k n

  

k  n

1

k 1



 x jk  , k   1, k  j ,  j

 1, n

(9) 

(7),(8),(9) münasibətləri yeni xətti proqramlaşdırma məsələsidir.  x jk , k   1, k  j ,  j  1, n ekstre-mal nöqtələri əvvəlcədən verilmiş kəmiyyətlərdir, bu ekstremal nöqtələr (5) münasibətləri vasitəsilə (4)-dən təyin edilir.Alınan yeni (7),(8),(9) məsələsi baş məsələ yaxud koordina-siyaedici məsələ adlanır.Bu məsələnin həlli modifikasiya olunmuş simpleks üsulun kömə-yilə təyin edilir. Beləliklə, blok struktura malik olan sistemlər üçün xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli iki mərhələdən ibarətdir: 1)Verilmiş (1)-(3) məsələsini (7)-(9) məsələsinə gətirmək; 2) Koordinasiyaedici məsələni həll etmək; Qeyd:Dantsiq Vulf üsulu həm də dekompozisiya üsulu adlanır.

Dinamik proqramlaşdırma məsələsinin qoyuluşu. Bellmanın optimal prinsipi.Rekurrent münasibətlər. Dinamik proqramlaşdırma metodu elə proseslərə tətbiq olunur ki,həmin prosesləri sonlu sayda mərhələlərin vasitəsilə ifadə etmək mümkündür.Belə çoxaddımlı pro-

65

seslər iqtisadi cəhətdən tədqiqinin həllində məsələdə ehtiyatların paylanması , vəsaitin bölüşdürülməsi ,avadanlığın dəyişdirilməsi, eyni zamanda kimyəvi texnoloji  proseslərin idarə olunmasında rast gəlinir. Dinamik proqramlaşdırma məsələsinin qoyuluşu aşağıdakı kimidir: Fərz edək ki, hər hansı bir system başlanğıc

S 0

vəziyyətindədir.Bu sistemi



S 

vəziyyətinə elə gətirmək tələb olunur ki, müəyyən bir effektivlik göstərişinə maksimallaşdırmaq və optimallaşdırmaq mümkün olsun.Tutaq ki,



S 0 -dan S -yə

gətiril-

məsi n sayda mərhələlər vasitəsilə baş verir.Hər mərhələdən sonra sistemin vəziyyəti

S 1 , S 2 ,..., S n 1 , S n

üçün sistemin

S i



 S  kimi təyin edilir.Sistemin vəziyyətini xarakterizə etmək 

vəziyyətindən

S i 1 -ə

keçidi  xi vasitəsilə həyata keçirilir.  xi idarəsi

müəyyən məhdudiyyət şərtlərini ödəyirsə, onda be-lə Ümumiyyətlə ,sistem  x0 , x1 ,..., x n 1

S 0

vəziyyətindən

S n

 xi

mümkün idarə adlanır.

vəziyyətinə keç-məsi ardıcıl olaraq

idarəetmələri vasitəsilə baş verir.Odur ki, x   x x0 , x1 ,..., xn 1  sistemin

idarəedici vektorudur.Sxematik olaraq, sistemi aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:  x0

 x1

 x 2

 xn 1 

 S 1  S 2  .....  S n 1  S n  S 

S 0

Baxılan sistemin effektivlik funksiyası hər addımdakı effektivlik funksiyalarının cəminə bərabərdir.Yəni,  Z  

n

 f  S  k 

k 1

, x k 1 

(1)

k 1

Burada,

 f k  S k 1 , x k 1  k 

addımının effektivlik göstəricisidir.Aşağıdakı şərtlər qəbul

edilir: 1.Sistemin hər addımdakı vəziyyəti özündən əvvəlki vəziyyətindən asılıdır.Odur  ki, S k 

  k  S k 1 , x k 1  , k   1, n

(2)

(2) tənliyi sistemin vəziyyətlər tənliyi adlanır. 2.Əks rabitə yoxdur.(sistemdə) 3.Məqsəd funksiyası və ya keyfiyyət göstəricisi additive funksiyadır.

66

Məsələ elə mümkün idarəetmələr ardıcıllığını tapmaqdan ibarətdir ki, (2) şərti daxilində (1) məqsəd funksiyası maksimallaşsın.Qoyulmuş məsələnin həlli Bellman tənliyindən verilmiş optimallıq prinsipinə əsaslanır.Optimallıq prinsipi aşağıdakılardan ibarətdir: Sistemin sonlu sayda addımdan sonra vəziyyətinin necə olduğundan asılı olmayaraq növbəti addımda seçilən idarə elə olmalıdır ki,bütün növbəti addımlarda seçilmiş optimal idarələrlə bir yerdə sistemin optimal uduşunu təmin etsin. Verilən prinsip əsasinda Bellmanın recurrent münasibətləri vəya qoyulmuş məsələnin həlli üçün hesablama sxemi aşağıdakı qaydada alınır: Baxılan vəziyyətlər içərisində yalnız sonuncu addımın nəticəsi özündən sonrakı vəziyyətə təsir göstərmir.Odur ki, n-inci addımı nəzərdən keçirək:  Z n* S n 1  

 f  S   , x   max   n

n 1

n 1

(3)

 xn 1

Alınan (3) məsələsi şərti ekstremum məsələsidir.Məsələnin həlli nəticəsində alırıq ki,  x n*1 S n 1  .İndi isə sonuncu iki addımdan ibarətdir, yəni n  1, n  2 addımlardan ibarət prose-sə baxaq.Onda ikiaddımlı proses kimi bu məsələnin həlli kimi təyin olunur:  Z n*1 S n1   max f n1 S n 2 , x n 2   Z n* S n 1   x n  2 

(4)

(4)-ün həlli  x n*2 S n 2  idarəedicisini verəcəkdir.Burada, S n 1

  n1 S n 2 , xn 2 

Prosesi bu qayda ilə davam etdirsək ,nəticədə alarıq:  Z n*k  S n k 1   max  f n k  S n  k 1 , x n k 1   Z n* k 1 S n k  , k   1, n  1  x n  k 1 

(5)

(5) –in həlli  x n k 1 S n k 1  optimal idarəsini təyin edir.Alınan (3) və (5) recurrent münasibətləri qoyulan məsələnin dinamik proqramlaşdırma üsulu ilə həllinin hesablama sxemini təşkil edir. Z 1* S 0  isə (1) məqsəd funksiyasının maksimal qiymətini ifadə edir.(3)-(5) recurrent münasibətləri ilə  xn*1 S n1 , xn*2 S n 2 ,....., x 0* S 0 

idarələr ardıcıllığı alınır.Alınan münasibətlərə görə optimal idarələrə uyğun vəziyyətlər (2)-əəsasən təyin edilir:

67 S 1

  1 S 0 , x * S 0 ,...................

S 1* , S 2* ,...., S n*



 S 

optimal vəziyyətləri alınacaq.

Dinamik proqramlaşdırmaüsulunun tətbiqləri. I.Vəsaitin (resursun) müəssisələr arasında bölüşdürülməsi məsələsi. Fərz edək ki,

S 0

həcmdə (miqdarda) vəsait n sayda müəssisələr arasında elə bölüş-

dürülməlidir ki, hər müəssisədən gələn gəlir   f k  x k  

k   1, n

olarsa, bütün müəssisə-

lərdən alınan gəlir maksimal olsun.Məsələnin riyazi qoyuluşunu aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:  Z  

n

 f   x k 

k 

(1)



k 1

n

 x

k 

(2)

 S 0

k 1

k   1, n  xk 

 0 ,  xk  -tam qiymət

(3)

Burada ,  x k  k-nıncı müəssisəyə ayrılan vəsaiti ifadə edir.Qoyulan məsələ

 f k 

funk-

siyaları kısilməz olduqda (xüsusi halda xətti olduqda) tam qiymətli riyazi proqramlaşdırma məsələsidir.Lakin iqtisadi məsələlərin həllində adətən bu funksiyalar müəyyən cədvəllər vasitəsilə verilir, həmin üsulları tətbiq etmək olmur.Odur ki, dinamik proqramlaşdırma üsulunun tətbiqi ilə yararlı olur.Məsələnin qoyuluşundan aydındır ki, vəsait ayrı-ayrımüəssisələr arasında bölüşdürülərkən vəziyyətlər tənliyi aşağıdakı kimi təyin ediləcəkdir: S k 

 S k 1  x x , k   1, n  1 S n

0

 Z n* S n 1   max  f n  x n  0  xn  S n 1

68





 Z n*k  S n k 1   max  f n  k   x n k    Z n* k 1 S n k   , k   1, n  1

II.Avadanlığın saxlanması , yaxud dəyişdirilməsi məsələsi. Bu məsələ müəyyən həcmdə avadanlıq fiziki və mənəvi cəhətdən köhnəlibsə , onların dəyişdirilməsi və yenisilə əvəz olunması, yaxud da müəyyən il üçün istismarda saxlanması ilə əlaqədar olaraq meydana çıxır. Tutaq ki, avadanlığın  N  N il üçün saxlanması yaxud dəyişdirilməsinin  planlaşdırılmasına baxılır.Əgər hər hansı avadanlışın yaşı t  isə , onda onun istifadə olunmasından alınan gəlir  r t  , istismar xərci u t  ,qalıq qiyməti isə  st  -dir.Yeni avadanlığın qiyməti isə  p -dir.  f n t  ilə planlaşdırıma periodunun sonuna

n

il

qaldıqda həmin avadanlığın istifadəsindən və yenisilə əvəz olunmasından alınan gəliri işarə edək.Onda

 f 1 t 

planlaşdırmanın sonuncu ilində t  yaşında olan

avadanlığın istifadəsindən əldə olunan gəliri işarə edək . Onda r t   ut  ilə həmin ilin əvvəlində avadanlığın saxlanmasından əldə olunan gəliri işarə etsək ,  st    p  r 0   u0

isə həmin avadanlığın dəyişdirilməsindən əldəedilən gəlir 

olacaqdır.Onda

 st   p  r 0  u0, deyi.ek   f 1 t   max r t   ut , saxlamaq Dinamik proqramlaşdırma üsulunun ümumi hesablaması sxeminə əsasən ,sonuncu n

ildə əldə olunan gəlir aşağıdakı kimi olacaqdır:  st    p  r 0  u 0   f n 1 1, deyismek   f n t   max  r t   ut    f n 1 t  1, saxlamaq n  1, N 

 f  N  t   planlaşdırmaperiodunda

əldə olunan gəlirdir.

III.Ehtiyatların  N  il üçün müəssisələr arasında paylanması məsələsi. Fərz edək ki, başlanğıcda

S 0

həcmdə olan ehtiyat iki müəssisə arasında  N  il

ərzində paylanır.Əgər I müəssisəyə ayrılan ehtiyat  x -dirsə , əldə olunan gəlir   f 1 ( x ) -ə

bərabərdir. İlin sonunda həmin müəssisəyə yenidən ayrılan ehtiyat

69 q1 ( x)   x -dir.II

mqəssəyə ayrılan ehtiyat

 bərabərdir.İlin sonunda

q 2  x    x

olarsa, alınan gəlir   f 2  x  -ə

mqəssisəyə qaytarılır.Hər iki ehtiyat toplanır və

yenidən müəssisələr arasında bölünür.Proses hər ilin başlanğıcında analoji qaydada təkrarlanır.Belə ki, sistemin k-inci ilin sonunda vəziyyəti

S k 

olarsa, onda

S k  S k 1  x k 

yaxud S  K 

 q1  xk    q 2 S k 1  x k  

kimi göstəriləcəkdir.Onda sonuncu ildə əldə olunan gəliri  Z n iləişarə etsək, *  Z  N  k  S  N  k 1   max f 1 ( x N  k  )   f 2 ( S  N  k 1  x N  k  )

 x N  k 

Bu münasibətlər vasitəsilə tapılan  Z 1* ( S 0 ) planlaşdırma periodu ərzində müəssisələrə ayrılan ehtiyatların ümumi gəliri ifadə edəcəkdir.

Ehtiyatların idarə olunması məsələləri Ehtiyatların idarə olunması məsələsi istehlak mallarının və eyni zamanda maddi resursların toplanması zamanı

meydana çıxan məsələdir.

ehtiyatların toplanmsı və istehlakçının tələblərinin ödənməsi

Maddi

müəyyən zaman

 periodu ərzində bu periodun başlanğıcında birdəfəlik və ya periodların ayrı – ayrı zaman anlarında toplanıb istehlakçıya çatdırıla bilər. Ehtiyatların idarə olunması məsələsi aşağıdakı suallara cavab verməlidir: 1.  bu ehtiyatları hansı zamanda yerləşdirməli. 2. yerləşdiriləcək ehtiyatın həcmini təyin etməli. Ehtiyatların idarə olunması məsələsi istehsalın elə həcmini təyin etməkdən ibarətdir ki, toplanan məhsul nəticəsində tələbat elə ödənilsin ki, bu zaman çəkilən xərclər minimal qiymət alsın. I model. Fərz edək ki, hər hansı bir müəssisə istehlakçının tələbatını T zaman  periodu ərzində ödəməlidir və ümimi tələbat R – dir. fərz olunur ki, tələbat olunan ehtiyat müəyyən partiyalarla istehsal olunur. Bu partiyaların həcmini q ilə işarə

70

edək və fərz edək ki, partiyalar müntəzəm istehsal olunur. Vahid məhsulun saxlanma xərcini C1 ilə, bir partiyanın istehsal xərcini isə Cs ilə işarə edək. Onda ehtiyatların toplanması və istehlakçıya

çatdırılma prosesini sxematik olaraq

aşağıdakı kimi təsvir etmək olar.

Burada ts ehtiyatların anbarda saxlanması müddətini

ifadə edir. Onda

 partiyaların ümumi sayı  R q qədər və ts = olacaqdır.

T   R q

=

Tq

(1)

 R q

Ehtiyatın ts müddətində orta səviyyəsi

ehtiyatların toplanması

2

olacaqdır. Əgər Q(q) ilə

və saxlanmasından alınan xərcləri işarə etsək, onda

aşağıdakıları yaza bilərik. q

 R

2

q

Q(q) = ( C1ts + Cs) Onda q

Tq

2

 R

Q(q) = ( C1

+ Cs)

 R q

=

C 1T 

2

q

 R

+ Cs

q

(2)

71

Ehtiyatların

idarə olunması məsələsinin mahiyyətinə uyğun olaraq, (2)

funksiyasının minimallaşdırmaq üçün Q’(q) = 0 şərtindən istifadə etsək, q* =

2 RC S 

(3)

TC 1

alarıq. Bu münasibəti (1) – də nəzərə alsaq, 

t S 

=

Tq 

(4)

 R

(3) – (4) ifadələrini (2) – də nəzərə alsaq,çəkilən xərcin minimal qiymətini təyin edə bilərik. II model. Bu modeldə cərimə halı nəzərdə tutulur. Fərz edək ki, vahid məhsulun cəriməsi C2 – yə bərabərdir. Baxılan modelil sxematik olaraq aşağıdakı kimi təsvir etmək olar.

Burada bir partiyanın həcmini q göstərir, S isə ehtiyatın səviyyəsini göstərir. Göründüyü kimi, ts zamanı ts = t1 + t2

(5)

dir. Burada t1 ehtiyatın tükəndiyi zamanı göstəriri, t2 isə sifarişin yerinə yetirilməsi mümkün olmadığı zamanı ifadə edir. Sxemdən göründüyü kimi, ştrixlənmiş üçbucaqlar oxşar olduqlarından aşağıdakı münasibəti yaza bilərik. t 1 t 2



S  q  S 

72 t S   t 1 t 1



q  S  S 

S 

(6)

 t S 

t 1

q

 t S   t 1 

t 2

q  S  q

t S 

(7)

Sifarişin yerinə yetirilməsinə çəkilən ümumi xərci Q(q,S) ilə işarə edək, onda çəkilən xərc üçün aşağıdakı ifadəni alarıq: (q  S )C 2  SC 1   R t 1  t 2  C S   2  2 q

Qq, s   

(8)

(8) funksiyasının minimal qiymətini təyin etmək üçün (6) və (7)-dən və (1)-dən istifadə etməklə alırıq:  S 2 C 1t S  q  S 2 C 2 t S   R S 2 C 1T  q  S 2 C 2T   R   C S      C S  Qq, s    2q 2q 2q q  2q  q Qq' ( q, S )  0 QS ' q, S   0

Bu münasibətdən istifadə edərək verilən (8)

Qq, S 

funksiyasının

q*

və

S *

ekstremal nöq-tələrini təyin etmək olar:

q* 

 s *



2 RC  s

C 1

TC 1

 C 2 C 2

2 RC  s TC 1

C 2 C 1

 C 2

Alınan bu ekstremal nöqtələri (8) -də nəzərə almaqla çəkilən xərc-lərin minimal qiymətini təyin edə bilərik.Alınan nəticələrin model 1-lə müqayisəsi göstərir ki, cərimə kifayət qədər böyük olduqda II model I modellə üst-üstə düşür.Bu onu göstərir ki, I model II modelin xüsusi halıdır.Eyni zamanda (1) ifadəsindən

73

istifadə etməklə ehtyatların optimal yerləşməsinin optimal müddətini təyin etmək  olar.

Şəbəkənin planlaşdırılması və idarə olunması məsələləri. İri həcmli kompleks işlərin və əməliyyatların tərtib olunması zamanı şəbəkə modellərindən istifadə olunur.Şəbəkə dedikdə çoxlu sayda əməliyyatların yerinə yetirilməsi ardıcıllığını idarə edən qrafiklər və ya qraflar deyilir.Hər bir şəbəkənin görüləcək işləri qrafikdə müəyyən oxlarla göstərilir və bu oxların sonu və başlanğıcı müəyyən bir hadisəni ifadə edir.Şəbəkədə əsas anlayışlar iş və hadisə terminləridir. İş anlayışı gediş mənada başa düşülür: 1)Həqiqi iş – müəyyən zaman və resurs sərfini tələb edir.Məsələn , müəyyən bir  məhsulun yığılması , hər hansı bir cihazın sınaqdan keçirilməsi və s. 2)Gözləmə - bu iş zaman sərfini tələb edir, lakin əmək və ehtiyat sərfini tələb etmir, məsələn rəngləmədən sonra quruma prosesi. 3)Fiktiv iş – (asılılıq) iki və ya daha artıq iş arasındakı məntiqi asılılığı ifadə edir. Bu iş nə zaman sərfini , nədə ki, ehtiyatların sərfini tələb etmir. Hadisə layihənin yerinə yetirilməsi üçün tələb olunan mərhələlərin başa çatdığı anları ifadə edir.Hadisə ayrıca bir işin və ya bir neçə işin yekun nəticəsi ola bilər. Hadisə ondan əvvəl gələn işlər yerinə yetirildikdə baş verir. Şəbəkə modelinin hadisələri içərisində iki hadisəni qeyd etmək lazımdır: 1)İlkin hadisə; 2)Yekun hadisə; İlkin hadisə elə hadisədir ki, ondan qabaq iş tələb olunur. Yekun hadisə elə hadisədir ki, ondan sonra iş yerinə yetirilmir.Şəbəkə modelində hadisələr müəyyən dairələr şəklində təsvir olunur və buna şəbəkənin təpə nöqtələri deyilir.İşlər isə müəyyən istiqamətlənmiş oxlar və ya qövslər vasitəsilə təsvir olunur.Hər bir şəbəkə modeli müəyyən xüsusiyyətləriözündə əks etdirir: 1)Şəbəkə modelində künc hadisələr olmamalıdır;

74

2)İlgək halı olmamalıdır; 3)Hər bir hadisə digər hadisə ilə ən çoxu bir ox ilə birləşdirilə bilər; 4)Şəbəkədə bir başlanğıc və bir yekun hadisə olmalıdır; Hər bir şəbəkənin zamana görə nizamlanması kompleks işlərin yerinə yetirilməsi etaplarını və ardıcıllığını elə nizamlayır ki, bu zaman hadisələr və işlər arasındakı əlaqə sadələşir. Şəbəkənin nizamlanması hadisə və işlərin elə yerləşdirilməsindən ibarətdir ki, istənilən işdən əvvəl gələn hadisə qrafın solunda yerləşsin və bu işi yekunlaşdıran hadisəyə nəzərən sıra nömrəsi kiçik olsun. Şəbəkənin nizamlanması üçün şəbəkə qrafiki şərti olaraq şaquli təbəqələrə (laylara) bölünür.Bu təbəqələr qırıq xətlərlə işarə olunur və rum rəqəmləri ilə nömrələnir.I təbəqədə başlanğıc hadisə (bu hadisəyə “0”-la işarə olunur) yerləşdirilir.Bu hadisə və ondan çıxan iş oxlar  fikrən nəzərdən atılır.II təbəqəyə giriş oxları olmayan hadisələr daxildir və onlardan çıxan oxlar yenə də nəzərdən atılır.Giriş oxları olmayan hadisələr III təbəqəyə yerləşdirilir.Bu qaydanı tətbiq etməklə növbəti təbəqələr ayrılır.Son hadisə yəni yekun hadisə axırıncı təbəqədə yerləşdirilir. Bundan sonra hadisələrin ilkin sıra nömrəsi dəyişdirilir və yerləşmə ardıcıllığına əsasən yenidən nömrələmə aparılır. Beləliklə, nizamlanmış qrafik alınacaq və bundan sonra oxlar üzərində uyğun işlərin yerinə yetirilməsi müddəti qeyd edilməlidir. Şəbəkə qrafikinin əsas anlayışlarından biri də yol anlayışıdır. Yol dedikdə, elə işlər ardıcıllığı nəzərdə tutulur ki, hər bir işin son hadisəsi ilə üst-üstə düşür.Tam yol –başlanğıc şəbəkənin ilk hadisəsilə sonu isə şəbəkənin yekun hadisəsilə üstüstə düşən istənilən yola deyilir.Şəbəkə qrafikində ən uzun davam edən yola böhran yolu və ya kritik yol deyilir. Bu yolda yerləşən hər bir iş və hadisə böhran iş və ya böhran hadisə adlanır.Şəbəkə qrafiki işlərin ardıcıllığı haqqında tam təsəvvür  versə də, hər zaman anında görüləcək işi kifayət qədər təyin etmir.Odur ki, şəbəkə qrafiki nizamlandıqdan sonra onu xətti diaqram ilə tamamlayırlar.Xətti diaqramı qurmaq üçün düzbucaqlı koordinat sistemi götürülur. Absis oxu zaman oxu , hadisələrin sıra nömrəsi isə ordinat oxu üzərində yerləşdirilir.Xətti diaqram tərtib etmək üçün hər bir iş zaman oxuna parallel olan parçalarla təsvir olunur.Bu parçanın uzunluğu həmin işin davametmə müddətinə bərabər götürülür.Fiktiv işlər davam-

75

etmə müddəti sıfıra bərabər olduğundan nöqtə ilə təsvir olunur. (i,  j ) işinin başlanğıc və sonu olan i,  j hadisələri təsvir olunan parçanın başlanğıc və sonunda yerləşdirilir.Parçalar bir-birinin üzərində i indeksinin artması ardıcıllığı ilə yerləşdirilir. Eyni bir  i indeksi üçün

 j

indeksinin artması sırası ilə yerləşdirilir.Xətti diaqram

əsasında böhran yolunu təyin etmək olar.Belə ki, kompleks işlərin böhran müddəti diaqramın bütün parçalarının sağ ucunun zaman oxu üzərindəki koordinatına paraleldir.Böhran yolunu təyin etmək üçün şəbəkənin yekun hadisəsi ilə üst-üstə düşən son hadisələrə uyğun iş-oxlar nəzərdən keçirilir.Sonra isə sağ ucu əvvəl baxılan  parçaların sol ucu isə bir şaquli xətt üzərində yerləşən parçalar seçilir.Analoji qayda üzrə davam edib böhran yolun iş-oxları təyin edilir.

Şəbəkənin minimallaşdırılması. Fərz edək ki, hər hansı bir şəbəkənin təpə nöqtələri arasındakı məsafə məlumdur. Bu təpə nöqtələrini bir-birilə elə əlaqələndirmək lazımdır ki,qapalı dövrə alınmamaq şərtilə onları birləşdirən tillərin uzunluqları cəmi minimal qiymət almış olsunBu məsələnin həlli üçün təpə nöqtələrindən hər hansı biri seçilir.Yerdə qalan təpə nöqtələri çoxluğu rabitəsiz çox-luq adlanır.Həmin rabitəsiz çoxluqdan seçilən nöq-təyə ən yaxın olan nöqtə seçilir və bu nöqtələr əlaqələndirlir.Alınan bu çoxluq rabi-təli , yerdə qalanları rabitəsiz çoxluq adlanır. Növbəti addımda rabitəli çoxluğa da-xil olan istənilən nöqtəyə rabitəsiz çoxluqdan ən ya-xın nöqtə seçilir.Beləliklə, rabitəsiz çoxluğa daxil olan nöqtələr rabitəli çoxluğa daxil ediləcək və rabitəli çoxlu-ğun nöqtələri arasındakı məsafələrin cəmi ən kiçik  olacaq.

Ən qısa marşrutun seçilməsi məsələsi. Fərz edək ki, başlanğıc məntəqədən sonuncu məntəqəyə müxtəlif məntəqələrdən keçməklə çatmaq lazımdır(ən qısa marşrut üzrə). Məntəqələrin sayı m-ə bərabərdir  və sonuncu məntəqənin sıra sayı da m-dir.Bu məsələnin həlli üçün alqoritm aşağıdakı qaydada qurulur.Fərz edək ki,

u j

birinci məntəqədən

qədər ən yaxın məsafəni ifadə edir. d ij qonşu i və

 j

 j  ci

məntəqə-yə

məntəqələri arasındakı mə-

76

safədir.Onda aydındır ki,

u1

 0 , u m  isə axtarılan məsafədir.Alqoritm aşağıdakı

münasibətlə təyin olunur: u j

 min u i  d ij i

Baxılan alqoritm dinamik proqramlaşdırma üsulunun optimallıq prinsipi əsasında təyin edilir.