UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ELECTROMAGNETISMO II CICLO I-2013
“Guías Circulares modos TE y TM”
Catedrático: Ing. José Miguel Hernández
Alumnos:
Fuentes Chicas Hector Mauricio
FC11023
Nestor Gabriel Vasquez Lopez
VL10008
Herrera Ruiz Nilson Eduardo
HR11046
OBJETIVOS General:
Indagar en el conocimiento de las líneas de transmisión circulares
Específicos:
Deducir las ecuaciones diferenciales a partir de las ecuaciones de Maxwell, que caracterizan a las guías circulares de transmisión de datos.
Presentar la solución de las ecuaciones diferenciales tomando en cuenta los valores en las fronteras y demás consideraciones particulares que se presentan en las guías circulares de transmisión de datos, llegando a un conjunto de ecuaciones útiles pare el diseño de las mismas.
Utilizar el conjunto de ecuaciones obtenidas en la aplicación practica de algunos problemas sobre guiás circulares, entendiendo así la manera de aplicarlas en el diseño transmisión de datos.
o el análisis análisis de la
INTRODUCCION El estudio de líneas de transmisión es imprescindible como ing eléctricos como telecomunicación.
con muchas aplicaciones
Las guías circulares que sirven como su nombre lo indica en la transmisión de datos; destacando sus características esenciales como las frecuencias de trabajo, propiedades físicas que hacen posible su trabajo. Mostrando el planteamiento de las ecuaciones teóricas generales y resolución matemática detallando algunas puntos de interés; también se presenta la solución de algunos ejercicios que están dentro del rango de este tipo de guía, con lo cual se entiende la aplicación práctica y el uso que formal que se le da a las características propias de ellas. Además se presentan los estándares utilizados de estas guías, hablando de dos principales, los cuales según sus siglas se puede denotar perfectamente todas las características esenciales y compararlas con otras, teniendo así ordenadas sistemáticamente cada una respecto al trabajo que se quiere implementar o en la aplicación donde serán instaladas.
1.0FORMULACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL A partir de las ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo, en coordenadas cilíndricas, dado que facilitan la descripción de las guías mencionadas.
Desarrollando la matriz para el primer rotacional:
De la cual obtenemos las siguientes ecuaciones para cada componente de H.
(1) (2) (3)
Desarrollando la matriz para el segundo rotacional:
De la cual obtenemos las siguientes ecuaciones para cada componente de E.
(4) (5) (6)
A partir de las ecuaciones anteriores determinaremos las ecuaciones diferenciales para cada modo de transmisión de las guías de ondas circulares.
1.1
Modo TE
Los modos TE tienen todo su campo eléctrico transversal a la dirección axial . Si se supone dependencia de los campos transversales en la forma
, entonces
y una componente
de las ecuaciones (1) a (6). El objetivo es obtener una ecuación diferencial en función solamente de
A partir de (1).
A partir de (2)
Tenemos:
Tenemos:
(7)
Sustituyendo (7) y (8) en (5) y (4) respectivamente:
Despejando
(9)
Despejando
(10)
(8)
. Despejando .
Las ecuaciones (9) y (10) satisfacen correctamente la ecuación (6). Solo nos queda la ecuación (3) por evaluar, utilizando (7) y (8):
Sustituyendo (9) y (10) en la ecuación anterior:
Ecuación diferencial Modo TE
(A)
1.2
Modo TM
De la misma forma que los modos TE, se utilizan las ecuaciones de (1) a (6) De (5)
1.
De (4) 2.
En (1) sust (7)
)
3.
De (2)
4.
De (9)
5.
De (10)
6.
De (6) sust (8) y (7)
7.
Sust (11) y (12) en (13)
Ecuación diferencial Modo TM
(B)
2.0SOLUCION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Ahora es necesario trabajar con ecuaciones similares a (A) Y (B), pero en coordenadas polares. Después de resolverlas y aplicar las condiciones de frontera correspondientes a la geometría circular, se obtendrán las distribuciones de campo en el interior de la guía. Estas ecuaciones pueden ser resueltas por el método de separación de variables. La solución general contiene las funciones de Bessel de primera y segunda clase, de orden m: Jm(hp) y Nm(hp). A la función de Bessel de segunda clase también se le conoce como función de Neumann, y por ello se le denota por la letra N. Dicha solución general es:
Dónde: -
Ψ puede ser o ; A,B,C,D son constantes
Pero no es necesario utilizar las dos funciones, cualquiera de ellas es suficiente, según la referencia que se elija para el ángulo . Como se acostumbra a utilizar la función cos(m ), la solución final adopta la forma siguiente, ignorando por el momento el termino exponencial:
En donde Ao es una constante. Las condiciones de frontera impondrán los valores que pueda tomar h, según se trate de modos de propagación TM o TE. Cada valor de h a su vez, definirá el valor de la constante de propagación. Una vez conocida Hz ( para los modos TE) o Ez (para los modos TM),las demás componentes del campo se obtienen a partir de las mismas ecuaciones de Maxwell
Ecuaciones de Componentes
Recuérdese que Hz = 0 para los modos TM y Ez = 0 para los modos TE, así que las ecuaciones anteriores se simplifican notoriamente.
2.1. Los modos TE La componente de campo Hz de los modos TE se obtiene modificando la ecuación así:
De las ecuaciones de componentes en quedando:
se considera a Ez = 0, y se obtiene la condición de frontera
De modo que, como en general siguiente:
no puede valer cero, en la frontera debe cumplirse lo
Por definición la derivada de la función anterior vale cero en sus puntos máximos y mínimos, descartando discontinuidades. Cada una de esas raíces está asociada con un modo de propagación mn determinado. La siguiente tabla proporciona las primeras raíces de las derivadas de las 3 primeras funciones de Bessel.
n=1
n=2
n=3
m=0 3.832 7.016 10.173 m=1 1.841 5.331 8.536 m=2 3.054 6.706 9.969 Luego se obtiene que para los modos TE:
y la constante de propagación queda definida como:
2.2 Frecuencia de Corte
Ahora se deduce que habrá propagación en la guía a partir de la frecuencia en la que sea imaginaria pura. Dicha frecuencia de corte se obtiene igualando la ecuación de la constante de propagación a cero.
Que también puede escribirse como:
2.3 Los Modos TM En este caso Hz = 0, y Ez está dado por:
Ahora con la condición de frontera
, se obtiene:
Y las primeras raíces de la función para los modos TM son:
n=1
n=2
n=3
m=0 2.405 5.520 8.654 m=1 3.832 7.016 10.173 m=2 5.136 8.417 11.620 Siguiendo un razonamiento análogo a los modos TE, se llega a las ecuaciones:
Y cuya frecuencia de corte es:
2.4 Modo Dominante Primeras frecuencias:
Para el modo TM
Para el modo TE
Al compararlas se nota que la primer frecuencia de corte es menor para TE que para TM, por lo tanto, a TE, se le denomina el modo dominante en una guía circula
3.0ESTÁNDARES DE GUÍAS Existe una variedad de estándares de guías circulares. En el sistema EIA las guías se clasifican con las siglas WC seguidas de un número, así por ejemplo, las guías WC269 y WC205 tienen, respectivamente, un rango recomendado de frecuencias de 3.7 a 4.2 GHZ, y de 5.9 a 6.425 GHz. Estas frecuencias corresponden a la banda C; el límite inferior es mayor que la frecuencia de corte del modo dominante TE11, y el superior es menor que la frecuencia de corte del modo siguiente TM01. En la instalación de sistemas de microondas, la guía circular es útil en tramos verticales largos, además de que por ella es posible transmitir dos modos dominantes TE11 simultáneamente, con polarización cruzada. Dicha posibilidad de enviar por la misma guía informaciones diferentes en el mismo rango de frecuencias se debe a su propia geometría circular o propiedad de degeneración. La guía circular también puede emplearse en la construcción de uniones giratorias asociadas con las antenas de los radares, tales dispositivos puede girar a cientos de revoluciones por minuto, según su diseño y aplicación, y las pérdidas que introducen son bajas, inclusive hasta el orden de los 0.15dB. La siguiente tabla muestra algunos estándares para guías circulares (sistema IEC), sus frecuencias de corte y sus niveles teóricos de atenuación:
Designación Radio (mm) Fc TE11 (GHz) Fc TM01 (GHz) f(GHz) Atenuación (dB/m) C30 35.7 3.21 2.95 0.0184 2.46 30.5 2.88 3.76 3.45 0.0233 C35 C40 26.0 3.38 4.41 4.06 0.0297 22.2 3.95 5.16 4.74 0.0375 C48 19.0 4.61 6.02 5.53 0.0473 C56 16.3 5.40 7.05 6.48 0.0599 C65 13.9 6.32 8.26 7.59 0.0759 C76 11.9 7.37 9.63 8.85 0.0956 C89 C140 7.54 11.62 15.2 13.98 0.01893 3.56 24.60 32.2 29.54 0.05834 C290 Se observa, por ejemplo, que la guía C40 es equivalente a la guía WC269, en términos de frecuencia de trabajo, la nomenclatura del sistema IEC es más practica que la del sistema EIA, ya que por ejemplo, observando las frecuencias de corte de la tabla, la guía C40 se usa en “frecuencias cercanas” a los 4.0GHz y la guía C65 se emplea en “frecuencias cercanas” a los 6.5GH
CONCLUSIONES
El uso de las guías circulares es imprescindible en telecomunicaciones gracias a su dos modos de operación TM yTE mostrados cado uno con características particulares como es que pueden enviar dos líneas de datos a la vez gracias a su forma geométrica, con una atenuación baja y haciendo posible una eficiente transmisión de datos. Todas estas deducciones han sido posible gracias a las ecuaciones de Maxwell para campos magnéticos y eléctricos, debido a que estas guías utilizan estos principios para su posible funcionamiento en la industria de las telecomunicaciones.
BIBLIOGRAFÍA
Kraus, Electromagnetismo, McGraw Hill, Tercera Edición
Neri Vela, Rodolfo, Líneas de Transmisión, McGraw Hill, Primera Edición, México 1999
Anexos
Ejercicio 1.
El diámetro interno de una guía circular es de 6 cm. Determine cuál es el rango teórico de frecuencias en el que se puede transmitir sólo con el modo dominante. También calcule el valor de la impedancia de onda de este modo, evaluada en la frecuencia central del rango encontrado. Considere que dentro de la guía hay aire.
Ejercicio 2.
Diseñe una guía circular, con aire en su interior, que transmita el modo dominante exclusivamente en el rango de frecuencias de 6 a 10 GHz.
Ejercicio 3.
El diámetro interno de una guía circular rellena con polipropileno es de 5 cm. Determine el rango de frecuencias permisible para transmitir sólo en el modo dominante. De ese rango, elija la frecuencia central y calcule la constante de fase, la velocidad de fase, y la impedancia de onda.
Ejercicio 4
Una guía de ondas rectangular tiene dimensiones transversales interiores de 3 cm 2 cm. El dieléctrico es aire y la frecuencia de trabajo es de 10 GHz. (a) Diga cuántos modos se propagan a esa frecuencia, cuáles son y cuánto vale su frecuencia de corte correspondiente. (b) conocida la frecuencia de corte del modo dominante de esta guía rectangular, encuentre el diámetro interior que debería tener una guía circular con aire como dieléctrico, de tal manera que la frecuencia de corte del modo dominante de esta segunda guía sea igual a la del dominante de la rectangular. (c) Calcule el valor de la impedancia de onda para el modo dominante en ambos casos, a la frecuencia de operación de 10 GHz.
4.0 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS. 1. El diámetro interno de una guía circular es de 6 cm. Determine cuál es el rango teórico de frecuencias en el que se puede transmitir sólo con el modo dominante. También calcule el valor de la impedancia de onda de este modo, evaluada en la frecuencia central del rango encontrado. Considere que dentro de la guía hay aire. Modo dominante en guías circulares: TE11. Del cual n=1,m=1.
a=3 cm : radio de la guía.
Denotando como Denotando como
las raíces para las cuales las raíces para las cuales
Frecuencia de corte del modo dominante TE 11:
De las tablas de la función de Bessel
Frecuencia de corte del siguiente modo TM 01 del cual m=0, n=1: De la función de Bessel
Rango de frecuencias:
Frecuencia central:
Cálculo de la impedancia de onda: Para modos TE
Fin de problema
2. Diseñe una guía circular, con aire en su interior, que transmita el modo dominante
exclusivamente en el rango de frecuencias de 6 a 10 GHz. Modo dominante entre 6GHz-10GHz Modo dominante TE11 Modo siguiente TM01
De la función de Bessel
Despejando a:
Frecuencia de corte del siguiente modo TM 01 del cual m=0, n=1: De la función de Bessel
Despejando a:
Rango de radios para trabajar en modo dominante:
Se escoge este rango de radios debido a que se garantiza que incluso trabajando a frecuencias que se acerquen por debajo de la frecuencia de corte (10GHz) del siguiente modo, este no llegará a aparecer. Fin del problema
3. El diámetro interno de una guía circular rellena con polipropileno es de 5 cm. Determine el rango de frecuencias permisible para transmitir sólo en el modo dominante. De ese rango, elija la frecuencia central y calcule la constante de fase, la velocidad de fase, y la impedancia de onda. Propileno:
Calculando velocidad de la onda en el material:
Modo dominante en guía circular: TE 11. Calculando respectiva frecuencia de corte.
Modo siguiente al dominante en guía circular: TM 01. Calculando respectiva frecuencia de corte.
Rango de frecuencias permisible: 2.32GHz < f < 3.02GHz Cálculo de frecuencia central:
Cálculo de Constante de fase:
Cálculo de velocidad de fase:
Cálculo de impedancia de onda: Para modos TE
Fin problema
4. Una guía de ondas rectangular tiene dimensiones transversales interiores de 3 cm
2 cm. El dieléctrico es aire y la frecuencia de trabajo es de 10 GHz. (a) Diga cuántos modos se propagan a esa frecuencia, cuáles son y cuánto vale su frecuencia de corte correspondiente. (b) conocida la frecuencia de corte del modo dominante de esta guía rectangular, encuentre el diámetro interior que debería tener una guía circular con aire como dieléctrico, de tal manera que la frecuencia de corte del modo dominante de esta segunda guía sea igual a la del dominante de la rectangular. (c) Calcule el valor de la impedancia de onda para el modo dominante en ambos casos, a la frecuencia de operación de 10 GHz. Dimensiones b x a; a=3cm b=2cm Encontrando frecuencias de corte de los primeros modos en la guía rectangular, para ver cuáles están por debajo de los 10GHz.
A partir de la ecuación anterior, llenamos la siguiente tabla:
Modo TE10 TE01 TE20 TE11, TM11 TE21, TM21 TE12, TM12 TE22, TM22
f c (GHz) 4.996 7.495 9.993 9.008 12.491 15.800 18.015
Modos presentes a una frecuencia de operación de 10GHz son los que poseen su frecuencia de corte inferior a la de operación. Calculando diámetro de una guía circular para tener la misma frecuencia de corte para el modo dominante en la guía rectangular.
Modo dominante en guía circular: TE11 De la función de Bessel
Despejando a:
Impedancia de onda para guía rectangular en el modo dominante (TE10 )
Impedancia de onda para guía circu lar en el modo dominante (TE11 )
