Bagian Kedua GD2211 IHG 2
GEOMETRI ELLIPSOID Dosen :
Kosasih Prijatna Wedyanto Kuntjoro Versi 2006
ELLIPS dan ELLIPSOID z
b
b
a
a x
x2 a
2
+
z2 b
2
=1
x2 + y2 a
2
+
z2 b
2
=1
y
Menggambar ellips secara grafis lingkaran berjari-jari a (sb. panjang) ellips
lingkaran berjari-jari b (sb. pendek)
ELLIPSOID Kutub Utara
b
Rotational Biaxial Ellipsoid
a
a
ekuator
Parameter-parameter bentuk dan dimensi ellipsoid : Sumbu pendek : b Sumbu panjang : a Pegepengan : f = (a-b)/a Kosasih Prijatna, 2005
ELLIPS dan ELLIPSOID F dan F’ masing-masing adalah titik fokus ellips.
n me rid ia
m er id i
an
Q
Eksentrisitas pertama : 2 2 2 a −b e = a2 Eksentrisitas kedua : 2
e' =
a 2 − b2 b2
FQ + F ′Q = konstan Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jumlah jarak yang tetap ke kedua titik fokusnya.
Hubungan antar parameter ellipsoid pegepengan
eksentrisitas pertama
a −b f = a
e2 =
a2 − b2
(1 − e )(1 + e′2 ) = 1
e =
e′2 1 + e′2
e'2 =
a2
2
2
eksentrisitas kedua
=2f − f 2 (1 − e 2 ) = 1 − 2 f + f 2
e′2 =
a 2 − b2
e2 1 − e2
f = 1 − 1 − e2
b2
Beberapa Ellipsoid Referensi Thn.
Nama
1830 1830 1841 1866 1907 1909 1927 1948 1960 1966 1967 1972 1980 1984
Airy Everest Bessel Clarke Helmert Hayford NAD-27 Krassovsky WGS-60 WGS-66 GRS-67 WGS-72 GRS-80 WGS-84
a (m) 6377563 6377276 6377397 6378206 6379200 6378388 6378206.4 6378245 6378165.0 6378145 6378160.0 6378135.0 6378137.0 6378137.0
b (m) 6356257 6356075 6356079 6356584 6356818 6356912 6356912 6356863 6356783.3 6356760 6356774.5 6356751 6356752 6356752
1/f 299.325 300.802 299.153 294.978 298.300 297.000 294.9786982 298.300 298.3 298.25 298.247167427 298.26 298.257222101 298.257223563 Kosasih Prijatna, 2005
BENTUK dan UKURAN BUMI PENAMPANG EKUATORIAL dari bumi (geoid global). Pada gambar ini, perbedaan dengan ellipsoid diperbesar sekitar 10000 kali; a adalah sumbu panjang ellipsoid referensi, Sekitar 6378 km.
Ref. Vanicek & Krakiwsky, 1986 Hasanuddin Z. Abidin, 2001
BENTUK dan UKURAN BUMI PENAMPANG MERIDIAN NOL dari bumi (geoid global). Pada gambar ini, perbedaan dengan ellipsoid diperbesar sekitar 10000 kali; a adalah sumbu panjang ellipsoid referensi, Sekitar 6357 km.
Ref. Vanicek & Krakiwsky, 1986 Hasanuddin Z. Abidin, 2001
SISTEM KOORDINAT GEODETIK Z
Q
Kutub
el
• Besaran yang digunakan untuk mendefinisikan posisi titik pada sistem koordinat tersebut Y Koordinat kartesian :
ZQ
λQ
X
• Lokasi titik nol sistem koordinat • Orientasi sumbu-sumbu koordinat
hQ
gre enw ich
Pusat ellipsoid
Parameter sistem koordinat :
ϕQ XQ
YQ
lip s
oi d
XQ = (N + hQ ) cos ϕQ cos λQ YQ = (N + hQ ) cos ϕQ sin λ Q
ZQ = [N(1 − e 2 ) + hQ ] sin ϕQ
N = radius lengkung vertikal utama
(XQ , YQ , ZQ )
Koordinat geodetik : (ϕQ , λ Q ,hQ )
ϕ = lintang geodetik λ = bujur geodetik h = tinggi geodetik Hasanuddin Z. Abidin, 1997
LINTANG GEODETIK no
z
m
xQ
an i id er
x=
2
2
1 − e sin ϕ
ϕ = lintang geodetik
Q ϕ
a cos ϕ
rm al
zQ
90o+ϕ
x
z=
a (1 − e 2 ) sin ϕ 1 − e 2 sin 2 ϕ
dz = tan(90o + ϕ) = − cot ϕ dx
LINTANG REDUKSI z Q1 Q
a
a elli
pso id bo la
O
θ
ϕ Q2
b
θ = lintang reduksi
QQ2 b = Q1Q2 a x
x = OQ2 = a cos θ z = Q1Q2 = a sin θ
LINTANG GEOSENTRIK z Q
ψ = lintang geosentrik
r a
elli
pso id
ψ O
x
b
x = r cos ψ
z = r sin ψ r = x2 + z 2
Hubungan antar Lintang Berdasarkan hubungan sebagai berikut :
z tan ψ = x dapat diturunkan :
(
)
tan ψ = 1 − e 2 tan θ = 1 − e 2 tan ϕ tan θ = 1 − e 2 tan ϕ tan ϕ = 1 + e'2 tan θ
ϕ : lintang geodetik ψ : lintang reduksi θ : lintang geosentrik
RADIUS KELENGKUNGAN Dari kalkulus, kelengkungan sebuah kurva y = f (x) :
κ=
[
y′′
1 + ( y′)2
]
3
dy y′ = dx
2
y′′ =
• kurva dengan kelengkungan tinggi Î κ besar • kurva dengan kelengkungan kecil Î κ kecil Radius kurva di satu titik :
1 R= κ
Soal : Perlihatkan bahwa lingkaran yang berjari-jari R mempunyai kelengkungan κ = 1/R !
d2y dx 2
Irisan Normal pada Ellipsoid Bidang normal adalah sebuah bidang yang berimpit dengan garis normal ellipsoid di satu titik dan memotong permukaan ellipsoid. irisan normal
P
garis normal
ell
ips oid
Irisan normal adalah kurva yang dibentuk oleh perpotongan antara bidang normal dengan permukaan ellipsoid. Umumnya, radius kelengkungan irisan normal di satu titik pada permukaan ellipsoid tidak sama, tergantung orientasi dari bidang normalnya.
Radius kelengkungan irisan normal di setiap titik pada permukaan bola adalah sama, tak tergantung dari orientasi bidang normalnya.
Irisan Normal pada Ellipsoid Untuk mengetahui kelengkungan kurva irisan normal berdasarkan formula kalkulus, perlu diketahui terlebih dahulu model fungsi kurva tersebut. Fungsi kurva di setiap titik di permukaan ellipsoid dan di setiap orientasi adalah berbeda-beda. Untuk menentukan kelengkungan kurva di setiap titik dan pada berbagai orientasi dengan menggunakan formula kalkulus, terlebih dahulu fungsi kurva irisan normalnya harus diketahui Î tidak praktis ! Pada setiap titik ada nilai kelengkungan kurva minimum dan maksimum. Kelengkungan maksimum Î pada meridian Radius kelengkungan Î minimum Kelengkungan minimum Î
pada bidang normal yang tegak lurus terhadap meridian (vertikal utama) Radius kelengkungan Î maksimum
Irisan Normal pada Ellipsoid Radius lengkung meridian (M) : Minimum di ekuator Maksimum di kutub Radius lengkung vertikal utama (N) : Minimum di ekuator Maksimum di kutub Radius kelengkungan kurva irisan normal yang orientasinya di antara arah meridian dan irisan vertikal utama dapat ditentukan melalui formula Euler sebagai berikut :
R=
MN M sin 2 α + N cos 2 α
α = asimut
Radius Lengkung Meridian dz = − cot ϕ dx d 2z
1
2
(
dϕ 1 dx = = 2 2 dx 2 dϕ dx sin ϕ sin ϕ
ell ips oid
d z dx 2 3
dz 2 2 1 + dx M= d 2z dx 2
M=
=
2
2
)
3
− 1 − e sin ϕ 2 a sin 3 ϕ (1 − e 2 )
(
a 1 − e2
)
(1 − e2 sin 2 ϕ) 2 3
−1
Radius Lengkung Vertikal Utama
x
elli
elli
pso id
pso id
Menurut teorema Meusnier :
(
o
)
x = N sin 90 − ϕ = N cos ϕ
N=
(1 − e
a 2
2
)
1
sin ϕ 2
Perbandingan antara M dengan N
x
Pada umumnya :
N >M elli
pso id
Kecuali di kutub :
N =M
Perbandingan antara M dengan N Di ekuator (ϕ = 0o) :
(
M 0 = a 1 − e2
)
N0 = a Di kutub (ϕ = 90o atau ϕ = -90o) :
a2 M 90 = b a2 N 90 = b
M 90 > M 0
dan
N 90 > N 0
Soal : Hitung besaran-besaran di atas dengan menggunakan ellipsoid Bessel, GRS67, dan WGS84 !
Radius−radius lainnya Radius rata-rata Gauss :
1 RG = 2π
2π
∫ R dα =
NM
R : radius Euler
α : asimut
0
Radius rata-rata sumbu ellipsoid :
a+a+b Rm = 3 Radius bola (luas bola = luas ellipsoid) :
e 2 17 4 67 6 L = a 1 − − RL = e − e − ........ 4π 6 360 3024
2 luas bola : 4πRL L : luas ellipsoid
Radius bola (volume bola = volume ellipsoid) :
3 2
RV = a b
4 3 Volume bola : πRV 3
Volume ellipsoid :
4 2 πa b 3
Panjang Busur Meridian KU
ϕ +dϕ dSϕ M
O me
dϕ
M
panjang busur dSϕ :
ϕ
dSϕ = M dϕ panjang busur Sϕ : ϕ2
Sϕ =
n
dϕ
∫ M dϕ = a(1 − e ) ∫ W 3
ϕ1 rid ia
2
ϕ2
ϕ1 Bentuk integral eliptik !
dengan W = 1 − e 2 sin 2 ϕ
3
Integral di atas tidak dapat langsung diintegrasikan secara elementer. Salah satu solusinya adalah dengan terlebih dahulu menguraikan W-3 dengan menggunakan deret MacLaurin.
3
Panjang Busur Meridian Deret Taylor : ( x − xo ) 2 ( x − xo )3 f ( x) = f ( xo ) + ( x − xo ) f ′( xo ) + f ′′( xo ) + f ′′′( xo ) + ......... 2! 3!
Deret MacLaurin adalah bentuk khusus dari Deret Taylor, yaitu untuk xo= 0 : x2 x3 f ( x) = f (0) + x f ′(0) + f ′′(0) + f ′′′(0) + ......... 2! 3!
Contoh :
Uraian deret MacLaurin untuk f(x) = sin(x) x3 x5 x 7 x9 sin( x) = x − + − + − .......... 3! 5! 7! 9!
(x dalam radian)
Soal : Uraikan W-3 dengan menggunakan deret MacLaurin !
Panjang Busur Meridian Multiple angle formulas :
sin 2 x =
1 1 − cos 2 x 2 2
3 1 sin 3 x = sin x − sin 3 x 4 4 3 1 1 sin 4 x = − cos 2 x + cos 4 x 8 2 8 5 5 1 5 sin x = sin x − sin 3 x + sin 5 x 8 16 16 sin 6 x =
5 15 3 1 − cos 2 x + cos 4 x − cos 6 x 16 32 16 32
7 Soal : Tentukan pula sin x
sin 8 x
sin 9 x
……. !
Panjang Busur Meridian Apabila W -3 diuraikan dengan deret MacLaurin, diperoleh : 315 8 8 35 15 3 = 1 + e 2 sin 2 ϕ + e 4 sin 4 ϕ + e 6 sin 6 ϕ + e sin ϕ + ........... 3 128 16 8 2 W 1
Untuk mempermudah integrasi, gunakan multiple angle formulas : 1 W
3
= A − B cos 2ϕ + C cos 4ϕ − D cos 6ϕ + E cos 8ϕ − F cos 10ϕ + .............
Sehingga panjang busur meridian antara ϕ1 dan ϕ2 adalah : B C S ϕ = a (1 − e 2 ) A(ϕ 2 − ϕ1 ) − (sin 2ϕ 2 − sin 2ϕ1 ) + (sin 4ϕ 2 − sin 4ϕ1 ) 2 4
D E F ( ) ( ) − sin 6ϕ 2 − sin 6ϕ1 + sin 8ϕ2 − sin 8ϕ1 − (sin 10ϕ 2 − sin 10ϕ1 ) ] + ...... 6 8 10
Panjang Busur Meridian 3 45 175 6 11025 8 43659 10 A = 1 + e2 + e4 + e + e + e + .......... 4 64 256 16384 65536 3 15 525 6 2205 8 72765 10 B = e2 + e4 + e + e + e + ........... 4 16 512 2048 65536 C=
15 4 105 6 2205 8 10395 10 e + e + e + e + ............ 64 256 2048 16384
D=
35 6 315 8 31185 10 e + e + e + ............ 512 2048 131072
315 8 3465 10 E= e + e + ............ 16384 65536 F=
693 10 e + ............ 131072
Panjang Busur Paralel lingkaran paralel
KU
λ2 p
p ϕ O me
rid ia
KU
N
Sλ
λ2−λ1 p
pa ral
n
el
Radius lingkaran paralel :
p = N cos ϕ
Panjang busur paralel :
Sλ = (λ 2 − λ1 ) p = (λ 2 − λ1 ) N cos ϕ (λ2−λ1) dalam radian
λ1
Luas Permukaan Ellipsoid Luas elemen permukaan paralel
i an
dL
merid
M dϕ
N cos ϕ dλ
ϕ2
∫
ϕ1
L=
dL = MN cos ϕ dϕ dλ
λ 2 ϕ2
ϕ2
λ1 ϕ1
ϕ1
∫ ∫ MN cos ϕ dϕ dλ = (λ 2 − λ1 ) ∫ MN cos ϕ dϕ
b 2 sin ϕ 1 1 + e sin ϕ + ln MN cos ϕ dϕ = 2 2 2 1 − e sin ϕ 2e 1 − e sin ϕ
Luas setengah permukaan ellipsoid ( λ 2 − λ1 = 2π
ϕ2 ϕ1
ϕ1 = 0 ϕ2 = π 2 ) :
1 1 + e L0o −90o = πb + ln 1 − e2 2e 1 − e 2 1
Luas seluruh permukaan ellipsoid :
Lellipsoid = 2 L0o −90o
IRISAN NORMAL ∆ ′′
z
Umumnya, irisan normal dari arah P1 ke P2 tidak berimpit dengan irisan normal dari arah kebalikannya (P2 ke P1). Bidang normal di P1 : P1 – n1 – P2 Bidang normal di P2 : P2 – n2 – P1
zn =
ae 2 sin ϕ p
(1 − e
2
2
sin ϕ p
)
1/ 2
Bila kedua titik tidak terletak pada bujur dan lintang yang sama, maka :
z n1 < z n2
untuk
ϕ p1 < ϕ p2
z n1 > z n2
untuk
ϕ p1 > ϕ p2
IRISAN NORMAL Sudut perbedaan antara dua bidang normal (direct & inverse) dapat dihitung melalui persamaan sebagai berikut : 1 ∆ ′′ = ρ′′ e 2 σ 2 cos 2 ϕ m sin 2α p1 p2 4
ϕ p1 + ϕ p2 ϕm = 2
σ=
2 × jarak N p1 + N p2
Contoh : o o Kondisi maksimum (ϕ m = 0 dan α p1 p2 = 45 ) , jarak 200 km : C
∆′′ = 0.36′′
Arah pengukuran sudut-sudut segitiga maupun asimut di permukaan ellipsoid dari dua arah yang berbeda akan tidak konsisten ! Kenapa ?
A
B
Pada praktisnya (poligon dsb), keadaan tersebut dapat diabaikan.
Geodesik atau Garis Geodetik Geodesik adalah garis hubung terpendek antara dua titik di permukaan ellipsoid. Di setiap titik sepanjang geodesik, arah vektor radius berimpit dengan arah normal ellipsoid. Perbedaan antara jarak sepanjang irisan normal dengan jarak sepanjang geodesik (∆s) dapat dihitung melalui : ae 4 ∆s = sin 2 2α12 cos 4 ϕ m σ 5 360
Untuk jarak = 600 km, ∆s adalah sekitar 9x10-6 meter. (dalam praktis dapat diabaikan !)
