x %
2 2
+
y a
y
2 =.
2
semieje menor* a % y c est,n ligados por la relaci-n*
ELIPSE Definición:
a
La elipse es el lugar geométrico geométrico de un punto que se mueve de modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijas (focos) se mantiene constante a “2a”
2
=
%
2
+
c
y =±
2
e=
c a
"
x'
c
# c
% !
<.
%
%
y'
L
x % a
L
Elementos
).
=
=.
2
directri&
Ecuaci Ecuación ón de la Elip Elipse se de ent entro ro '*+ '*+ ( y E#e $ocal Paralelo al E#e %
a c
eorema: y
a y
2.
F; F’ F’ : son son los los focos focos de la elipse i pse FF ’ : 2c V; V’ : son los o s vérti vértices ces de de la elipse i pse VV ’ : ej eje ma ma yo yo r = 2a 2a xx’ : la recta que pasa por los focos se llama eje focal C : p un un to to m ed ed io d el el s eg eg me me nt nto q ue ue une los focos se llama centro eje normal: yy’ eje menor: !!’ = 2" cuerda : ##’ 'i una cuerda pasa por cualquiera de los dos focos se le llama cuerda focal 'i la cuerda focal es perpendicular al eje focal la cuerda cuerda se llama lado recto Longitud del
2%
a
c
x
a
+
2
2
directrices
a
$ a
%
x
(y −1 )
y /± c
%
directri&
2
( x − /)
%
D
lado recto
directri&
D $
"
a
x
y
!
% (/0 1)
c
a
lado recto
directri&
%
a
La excentricidad est, dada por*
y
directri&
a
Las ecuaciones de las directrices “L”
Ecuaci Ecuación ón de una una Elips Elipsee con ent entro ro en el !ri"en y E#e $ocal el E#e %
a
%
(/0 1)
x
directri&
% a
a
x
x
La tangente a la elipse elipse a
% directri&
( x − /) a
x
2 2
+
y
2
%
2
x =±
a
a
+
(y −1 ) %
2
2 =.
x /±
-.
+
2
+( x . 0 y . )
x .x
a
a
c
Ecuaci Ecuación ón de la Elip Elipse se de ent entro ro '*+ '*+ ( y E#e $ocal Paralelo al E#e y
2
cualquier punto tiene por ecuaci-n
directrices*
=.
Las ecuaciones de las directrices
2
2
2
x
%
a
y directri&
a
a
% a
+(x.0 x2)
%
directri&
2
+
y .y %
2
y %
2 =
2
. en
de la curva
=.
eorema: y
c
L* directri&
1.
Rela Relaci ción ón ent entre re a, a, b y c +ara cada elipse “a” es la longitud del semiej semieje mayor mayor “b” la longitud longitud del
20
&.
Ecuaci Ecuación ón de una una Elips Elipsee de entr entro o en el ori"en '!: !( E#e $ocal el E#e y
% a
a %
x m .
05
Las ecuaciones de la tangente pendientes “m” a la elipse de ecuaci-n
x a
2
y
+
2
%
de
a) (6803) c) (640 3) e ) ( 68 0 . )
%) (80 .) d) (690 6.)
2
9
.
2
+%
:l centro de una eli pse es el punto (20 67) el vértice (620 67) y un foco (6.0 67) /allar la ecuaci-n de la elipse
;
a)
2
2
+
.4 y
2
25 x
−
25 y
−
−
.78
=
3
2
+
.4 y
2
+
25 x
− .25 y +
.24
=
3
8x
c) % m
x
.
x
− 1 )2 %
y − 1 = m( x − /) ± a m
7
=.
D ad a L a x
2
+
.4 y
ec ua ci -n 2
−
5x
+
7 0 −
c) e ) ( 70 6 2) 2
+%
2
8
de .4 y
. 2
7 0
− .2 =
. 2
2
+
.4 y
2
−
7x
y
+
2
−
2
+ .4 y
25 x
+
2
−
+ .25 y + .;2 =
25 y
25 x
Dada 2
+ .;2 =
3
8x d)
3
+ .2 y + .92 =
la +
8x e)
3
2
elipse
− .53 =
3
2
3
− ..2 =
3
d)
−
8
=
2
7y
2
+
7y
2
2
2
2
+
+
7y
2
2
+
93 x
−
73 y
−
−
93 x
−
73 y
− .28 =
7y
93 x
−
23 x
−
.28
=
28 y
a) (30 4) c) (.0 ;) e ) ( 90 3 )
2
−
=
3
<
%)
c)
d)
e)
%) (30 5) d) (.0 8)
73 y
− .28 =
− .28 =
2
a)
733
+
73 y
2
8x
2 2 2 2 2
+
;y
+
5y
+
7y
+
9y
+
2 2 2 2 2
−
49
=
3
−
;2
=
3
−
94
=
3
−
2;
=
3
−
78
=
3
>alla la ecuaci-n de la elipse cuyos vértices son los puntos (70 3) (670 3) y cuyos focos son los puntos (90 3) y (690 3)
3
a)
;x
%)
;x
c)
;x
2 2 2
+
.4 y
+ .4 y + .4 y
2 2 2
− .;7 =
3
227
=
3
5x c)
− .94 =
3
−
9 /allar la ecuaci-n de la elipse
a) %)
2
2
2
+
5y
+
+
5y
2
2
2
− .5 x +
−
−
47 x 47 x
47 y
−
− .5 y −
−
.5 y
+
− .5 x +
47 y
+
48
=
3
2
2
−
4x
−
−
84
=
3
. 3 ? n a r co t ie ne l a f o rm a d e u na semielipse que tan anc/o es el arco a una altura de 4 m so%re la %ase si esta tiene 92 m de anc/o en la %ase y una altura de .2 m a)
5
c)
.2
9m
e)
.4
9m
9m
%)
4
d)
.8
9m
9m
.. :l tec/o en el pasillo de 23m de anc/o tiene la forma de una semielipse y tiene .5 m de altura en el centro y .2 m de altura en las paredes laterales encontrar la altura del tec/o a 7m de cualquier pared
x
Los vértices de una elipse son los puntos (.0 .) y (;0 .) y la excentricidad
es
5y
2
+
y
2
−
2x
−
7y
−
7
=
3
sa%iendo que su eje mayor es paralelo al eje de ordenadas y que es dos veces la longitud del eje menor siendo este la longitud igual al di,metro de la circunferencia
. 4
2
+
a) .94 m %) .74 m c) .84 m d) .44 m e ) . 2 4 m .2 >all ar el centro de una elipse que es concéntrica con la circunferencia
9
excentricidad es
+
−
2
e)
8 x + .43 y − .83 x − .53 y + 2 >allar la ecuaci-n de la elip se cuyos focos son los puntos (20 3) y (620 3) y su
92 y
+
/allar su
>alla uno de los focos de la siguiente
d ) ( 70 6. )
+
2
2
3
%) .=9 d) 9=7
elipse* .4 x
l a e l ip se
/allar uno de los vértic es de la elipse x
20
%)
25 x
a) 2=9 c) . =2 e) 7=;
/allar su centro
a) (.0 62)
−
excentricidad
PR!/LE0S PR!PES!S .
2
5
son* 2
2
8x
2
2
+ .4 y
e)
La ecuaci-n de las tangentes de pendiente “m” a la elipse
(y
2
d)
a (/0 1)
x
a
.4 y
− .24 =
c)
;x
+
+
2
%)
;x
y
2
2
.4 y
Los focos de una eli pse son los puntos (90 5) y (90 2) y la longitud del eje menor es 5 /allar la ecuaci-n de la elipse
8x
%)
− /) 2
;x
+
a)
;x
eorema:
(x
e)
2
5x =
2
y = mx ± a m
%
;x
2
son*
a
d)
+
48
48 48
=
=
=
3
3 3
a) (.0 9) c) (.0 9) e ) ( 90 9 )
%) (20 7) d) (20 9)
.9 Los focos de una elipse son (20 2) y (50 2) la ecuaci-n de una tangente a la misma es* x @ 2y A 2. 30 /allar el eje mayor a)
43
%)
93
c)
23
d)
92
e)
27
05
. 7 D ad a
la
2
e cu ac i- n
de
la
e li ps e
2
1x + 7 y + 4 x − 5 y − 8 = 3 /allar el valor de “1” para que la elipse tenga excentricidad igual a .=2
a) . c) 9 e) 8
%) 2 d) 7
.8 ?na elipse con centro en el origen de c oo rd en ad as t ie ne u n f oc o e n 2 0 3 ) si el punto ( 9 0 9 ) pertenece a la elipse >allar una de las ecuaciones de las directrices de la elipse (7
x
a) x
+
2
+
e)
9 +
9 =
9
+
7 x
9 9
x
c) x
+
8
=
%)
3 3
=
=
3
d)
3
9
=
y que esta pasa por los focos de la elipse0 /allar el vértice de la par,%ola %) (70 .9) d) (90 .8)
.; Dado el foco (40 9) y la recta directri& (.0 .) @ t(6.0 .) de una par,%ola /allar el vértice de la par,%ola
20
2
%)
99 .; 0 2 2 28 .9 0 2 2 c) .< .8 0 7 7 29 .. 0 7 7 e) . 5 L os
f oc os
de
= ( − 40 2 )
"
2
d)
a) (620 .3) c) (690 .3) e ) ( 69 0 . 2) u na
e li pse
= ( 30 2 )
"
".
.< 'ea la elipse de focos
y
"2
"2
es el lado recto correspondiente a >allar el ,rea del cuadril,tero
intersecci-n de menor a)
.< 5 u
c)
.4 5 u
L".
2
es
2. 7 u
d)
.7 4 u
2
la
con el eje
%)
2 2
28 x
%)
28 x
c)
28 x
d)
28 x 28 x
2 2 2 2
+
2
+
+
7y
+
94 y
+
−
2 2
.4 y
733
=
3
−
833
=
3
−
233
=
3
2 2
− −
733 733
= =
a) (.30 .7) c) (50 .2) e ) ( .3 0 . 3)
3 3
22 'ea x @ 2y A 8 3 una directri& de la elipse que se encuentra en el primer cuadrante cuya excentricidad es .=2 y cuyo eje focal pasa por el origen0 una par,%ola cuyo lado recto coincide con el semieje mayor i&quierdo de la elipse que mide .3 8 de longitud y cuyo vértice es (/0 1) donde 9/ C 210 /allar el vértice de coordenadas enteras de la elipse a) (<0 .5) %) (.30 23) c) (..0 22) d) (.20 27) e ) ( .9 0 2 2)
%) (<0 .2) d) (..0 .8)
27 :l eje focal de la par,%ola es la recta cuya ecuaci-n es 2x A y A 7 3 el punto
( − 8 0.. − 2 8 ) pertenece a la directri& de la par,%ola y el punto
= (4 − 9
8 05 + 7 8 )
o es uno de los extremos del lado recto encontrar el radio de la circunferencia
+o que pasa por y cuyo centro es el vértice de la par,%ola a)
9
8 u
c)
8
8 u
28 Dada la elipse .4 x
%)
7
8 u
d)
4
8 u
8 u
e)
y
centro la longitud del eje menor es .2u y la excentricidad es 7=8 si LB
D
a)
2
29 La ecuaci-n de la recta que contiene a un lado recto de la elipse es 7x @ 9y A 4. 3 si el centro es el punto (80 ;) y el semeje menor mide 9u /allar las coordenadas de los vértices de la elipse
+
2. >allar la ecuaci-n de la elipse cuyo eje es paralelo al eje y la distancia entre sus focos es 4u y la excentricidad es 9=8 adem,s el centro de la elipse es el origen de coordenadas
e)
"3
d onde
%) (690 ..) d) (690 <)
s on *
%) 9 d) 2=9
"3 DL"2
2
x + y − .2 x + 2 y + .2 = 3 la recta 9x 6 7y @ 9 3 es tangente a la circunferencia y es directri& de una elipse0 si la elipse y la circunferencia no se cortan y la recta “L” divide al segmento que une los centros de la circunferencia y la elipse en ra&-n .*2 adem,s uno de los focos de la elipse se encuentra so%re el eje “y” /allar el centro de la elipse
de la elipse
a) 2 c) 7 e) 7=9
2
23 Dada la circunferencia de ecuaci- n
. 2 y el ,rea del rect,ngulo circunscrito a la elipse cuyos lados son paralelos a los
"2
2. 4 u
e)
2
2u
a) (80 .2) c) (.0 .2) e ) ( 20 . 7)
..
ejes de la elipse de 53 u >allar el par,metro p de la par,%ola cuyo vértice es el centro de al elipse y cuyo foco es
3
.4 'e tiene una elipse de excentric idad igual a .=2 cuyos extremos del eje menor son los puntos (90 .8) y (.90 8) dada una par,%ola cuyo eje cuyo eje focal coincide con el eje menor de la elipse si la distancia del vértice a la p ar ,% ol a a l p un to ( 6; 0 2 8) e s
.3
a)
29 0 2
2
+
2
:. −
cuya ecuaci-n es
7; − 92 x
−
87 y
=
"3
:2
es una elipse cuyo centro es el extremo derec/o dele eje menor de la elipse
:.
uno de cuyos focos
:. es el vértice inferior de la elipse y que pasa por el vértice superior de la :
. dar como respuesta el eje elipse transverso
a) . 7 u %) . 4 u c) 2 3 u d) . 2 u e) .3 u 24 'ea la elipse cuyo centro es el punto (30 69) uno de cuyos vértices es (270 7)
05
3
y cuyos lados rectos miden 92
%) (6220 6.2) d) (6270 6.3)
2; 'ea la elipse : con centro en el origen de coordenadas y eje mayor so%re el
". "2 eje x sean y sus focos y p un punto de la elipse /allar el ,rea del tri,ngulo formado por la directri& correspondiente al foco de la a%scisa "2 positiva la recta tangente y la recta normal de la elipse en el punto + ".
si +(2 9)0 +
"2
+
"2
43 adem,s
es paralelo al eje y
a)
73 u
c)
87 u
e)
78 u
2
%) d)
48 u
2 2
2
9 =9 "(70 7) y la excentricidad de una elipse /allar el ,rea del tri,ngulo equil,tero con %ase en la directri& de la elipse y vértice el punto #
.2
27
c)
9 u
9 u 94
75
e)
2
+ y 2 = . y la recta tangente a la
2
a( %
a)
a( %
%)
%( a
c)
a( %
d)
%( %
2 2 2
2
−
E2 2c
'e cumple la siguientes relaciones* ".
"2
!. !2
− .)
+"2 6 +". 2a
2)
".
!.
+
− .)
−
!2 %
2a
7)
E.
"2
7)
−
2a
%
Gráficamente:
elipse y mx @ % siendo a y b datos calcular “m”
=
2a
E. E2 = 2%
". "2
=
2c
La relaci-n entre* a % y c es*
Eement!":
c2 a2 @ %2
L $2
LD
:
9 . ? n a r co t ie ne l a f o rm a d e u na semileipse tiene 75 pies de anc/o en la %ase y una altura de 23 pies que tan anc/o es el arco a una altura de .3 pies so%re la %ase
4
%)
5 9 pies
.2
c)
2
LF
L $.
LD
.
E*centrici+a+:
E. L" !2
"2 :
#
!.
E2
.4
d)
2
(90 2)
−
27
2
−
;2
=
3
.
L" LF
9 pies
la
+ .4 y
a) 78 c) 9 e) 78
2
2
d)
e li ps e 2
−
94 x
de +
94
e cua ci -n =
>allar la longitud del lado recto
2
9 u
9 pies
9 pies
9 2 D ad a 2
!. ! 2 ". "2 L D y LD
%)
9 pies
23
e)
2
2
9 u
9 u
a)
2< :ncontrar una ecuaci-n de la recta tangente a la elipse 7x
:s el lugar geométrico de un punto (+) que se mueve en un plano de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (". y "2) llamados focos es siempre igual a una constante positiva (2a)
'e representa por “e” y se define asG*
".
e =
B
c a
como*
25 Dado el centro # (20 2) y un foco
a)
ax
e) 94 u
2
a) x @ y A 8 3 %) 7x @ 9y A.5 3 c) 8x A 9y A < 3 d) 2x A 8y @7 3 e) 2x @ 9y A .2 3 93 'e tiene la ecuaci-n de la elipse
en el punto
%) 7 d) 98
LA HIPÉRBOLA Definición
3
*
: je tr an sv er so
*
' eg me nt o f oc al
*
Directri&
*
:je focal
*
:je normal
*
a
. Luego* e C .
L
L
"2
!2
#
!.
".
#entro
!. y !2 ". y "2
*
!értices
*
"ocos
LB ::' E. E2
*
Lado recto
*
c
a
L!n,it-+ +e La+! Rect! 2
L $ y L $ *$sGntotas . 2 #
c
#u er da fo cal *
: je c on ju ga do
B
B
2
LB
=
L' B' = 2
% a
Di"tancia entre a" Recta" Directrice"
RELA#IO$E% &'$DA(E$)ALE% De la siguiente /ipér%ola*
20
05
LD
LD
2
"2
K
.
#
D
D
". 1
DD'
=
=
2a e
!2
"2
2
a 2c
2a2 c
!.
#
o
−
(y − 1) 2 %2
=.
>
%
∨
a
=
#
:s una /ipér%ola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje
%
∨
a
<
a
( x − /) 2
y
2
%
2
=
a2
.
2
K
a
2
−
ax 2
LD
>
%
x
%2
−
(y − 1) 2 %2
+
xy 2
+ dx + ey + f =
K
!.
".
&!rma Or+inaria
:s una /ipér%ola con centro en (/01) y cuyo eje focal es paralelo al eje
20
&!rma Genera
−
( x − /) 2 %2
=
.
I%tenemos*
=
%
a
∨
<
3
:s una /ipér%ola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje MK”
3r4ficamente:
<
3
∧
$dem,s* D :0 "
#>3 ∈
B
E1em6!: #
'e tiene la ecuaci- n can-nica de una /ipér%ola*
E1e &!ca Parae! a E1e “3”
&!rma #anónica:
'iendo* $
!.
!2
2
%
Llamada tam%ién rectangular es aquella /ipér%ola donde la longitud del eje transverso es igual a la longitud del eje conjugado
".
$dem,s* d e0 f ∈ B
A
Hr,ficamente*
%
HIPÉRBOLA E4'IL)ERA
$ la ve& tiene tres formas*
B
<
.
Hr,ficamente*
.
J I
=
:s una /ipér%ola con centro en (/01) y cuyo eje focal es paralelo al eje 3
=.
1
!2
a
∨
:liminando los denominadores ordenando términos y /aciendo cam%io de varia%les
&!rma Or+inaria
siendo* a C 3 y c 30
"2
%
'i desarrollamos la ecuaci-n*
( y − 1) 2 a2
2
a
∨
B
:liminando los denominadores ordenando términos y /aciendo cam%io de varia%les*
Hr,ficamente* LD
2
&!rma Genera
'u ecuaci-n es*
−
2
=
$x2 @ #y2 @ Dx @ :y @ " 3
%
'i desarrollamos la ecuaci-n*
2
y
a
∨
Donde se puede cumplir que*
a
&!rma #anónica
2
J LD
%
Donde se puede cumplir que*
$ la ve& tiene tres formas*
x
!2
>
.
"2
E1e &!ca Parae! a E1e “”
a
LD
'u ecuaci-n es*
( x − /) 2 a2
A
a
!.
#
J
'u ecuaci-n es*
E#'A#I.$ DE LA HIPÉRBOLA
Donde se puede cumplir que*
I
".
/
'e clasifica en*
/
".
K
"2 o
J
/
Donde se puede cumplir que*
(y − 1)2 a2
−
( x − /) 2 %2
x
2
a
2
−
y
2
%
2
=.
+ara que esta /ipér%ola sea equil,tera se de%e cumplir* a %
=.
Beempla&ando queda
05
x a
2
y
−
2
%
2 2
'i*
=.
−
B
Dada la /ipér%ola*
Q3P
x
.4
Dos /ipér%olas son conjugadas cuando la longitud del eje transverso de una es idéntica a la longitud del eje conjugado del otro
Gráficamente: L $
y
−
y
2
2
<
=
N
−
x2 .4
7< y
=.
E1em6!:
x
+
y <
+ara o%tener las ecuaciones de las asGntotas de una /ipér%ola se procede de la siguiente manera*
x
a
a
I
'u conjugada ser,* 2
A%8$)O)A% DE '$A HIPÉRBOLA
F
2 2
−
y %
2 2
=
.
y
∧
%
2 2
−
x a
=
2
.
son conjugadas
c)
e) 9
−
.4 x
'e iguala a cero el primer miem%ro de la ecuaci-n
7
y
NF+O* #uadrado a
a 3
x
Del gr,fico anterio r a las asGntotas le /acemos rotar 78 de tal manera que coincidan con los ejes “x” e “y” quedando el gr,fico asG* y
x
;8 )
(30
±
848 )
=
;57
d)
>all ar la excentricid ad
a)
;
d)
2
2
−
y
2
=
%)
8
e)
..
28
2 2
PR!/LE0S PR!PES!S
c)
.78 y
2
d)
.77 y
2
e)
.7.y
>allar las ecuaciones de la asGntotas de la siguiente /ipér%ola
y
=±
a)
y y
=±
=±
c)
+ara o%tener la /ipér%ola conjugada de una /ipér%ola dada se cam%ia el signo del primer miem%ro de su ecuaci-n ordinaria
y
E1em6!:
y e)
2
−
78 y
2 8 x .8 8 .8
2
=
.53
8
%)
x
8 2 9
=±
9 x 2
=±
8 x 2
x d)
4
9
c)
>all ar la ecuaci-n de la /ip ér%ola que satisfaga la condici-n siguiente*
.77 y
J
$O)A:
xy 1
±
%)
a
.
#uya ecuaci-n es*
(30
a)
7x
6. 1
48 ) 248 )
Luego se expresa en factores cada factor igualado a cero representa a una asGntota
K
3
± ±
.77 y
.
a
(30 (30
(30
:je normal 27 focos
)ercer Pa"!:
!/SER5I67:
2
%)
x
'e expresa la ecuaci-n de la /ipér%ola en la forma ordinaria
%e,-n+! Pa"!:
Gráficamente:
20
2
Primer Pa"!:
2
O
61
>allar los focos de*
.
Dos /ipér%olas conjugadas tienen el mismo centro y las mimas asGntotas
Las /ipér%olas*
a
2
a) (30 3)
− y2 = a2
L $
∈
HIPÉRBOLA% #O$7'GADA%
Beduciendo* x2
1
2
2
−
28 x
−
28 x
2
−
24 x
2
−
28 x
2
−
29 x
2
±
.9 )
=
9;33
=
9433
=
9533
=
9433
=
9<33
>all ar la ecuaci-n de la /ip ér%ola que satisface la condici-n siguiente* #entro (30 3) un foco (50 3) un vertiente (40 3) a)
;x
2
%)
;x
2
c)
;x
2
d)
;x
2
e)
;x
2
2
−
−
2
−
2
−
2
−
2
=
28.
=
282
=
289
=
285
=
287
> al la r e l l ug ar g eo mé tr ic o d e l os puntos cuya diferencia de distancias a
05
los dos puntos fijos (30 9) y (30 69) sea igual a 8
;
a)
77y
2
%)
77y
2
c)
77y
2
d)
77y
2
e)
77y
2
−
.33 x
2
−
.33 x
2
−
.33 x
2
−
.33 x
2
−
.33 x
2
=
2;8
=
228
=
278
=
2.8
=
298
9
y
2 de la correspondiente a
−5 9
la recta a)
8y
2
%)
8y
2
c)
8y
d)
9y
2
e)
9y
2
7y
%)
2y
c)
7y
d)
9y
e) <
2
=3
−
7x
2
2
%)
.22 y
2
c)
.2.y
d)
.2.y
−
4x
2
−
9x
2
−
;x
2
−
7x
2
8y
2 2 2 2 2
−
x
−
x
−
x
−
x
−
x
2 2 2 2 2
=
a)
x
%)
x
c)
x
=
53
d)
x
=
53 53
=
53
..5
=
.53
=
.35 .3<
2
− .9 x −
.3 x
− ..x −
2 2 2
−
9y
−
9y
−
7y
−
9y
=
2
2
..x
=
5.
=
59
=
52
2
2
=
2
c)
2 2 2
4
=
<
4y
= ±
a)
2
=
.3
%)
7.x
2
c)
73x
2
d)
7
2
7
2
2
−
94 y
2
−
7; y
2
−
94y
2
93y
2
−
asGntotas
=
.;49
=
.;4.
=
.;42
=
.;47
=
(x a)
2) <
+
2 −
(y
(x
+ .)
2 =
(y
2
d)
2
2
=
2 −
(y
+ .2 )
2) 9
+
9
2 =
2
=
2
−
.4 y
2
± ±
%)
y
−.= ±
−
94 x
2 9 7 9
2
9x
2 =
−
2
92 y
(x
− 8)
(x
− .)
.
7x
2
9x
2
−
y
2
−
y
2
−
y
2
y
2
7x
+
9y
−
25
=
3
−
7x
+
9y
−
24
=
3
7y
+
. = 30 9x
+
7y
−
;
=
3
a)
2
2
2
− .4 y
− .5 x +
92 y
− .8. =
3
2
− .4 y
− .3 x +
22 y
− .82 =
3
(x
− .4y
− ..x +
72y − .89
2
=
3
2
− .4y
2
− .3x + .2y − .87 =
3
− .5 x +
3
e)
+
2
d)
2)
2
− .4 y
2
92 y
− .8. =
.4 >all ar la ecuaci-n de la /ipér%ola de centro (30 3) un vértice en (90 3) y ecuaci-n de una asGntota
− 2)
−
7x
+
7y
−
74
=
3
−
7x
+
9y
−
24
=
3
−
7x
+
2y
−
2;
=
3
%) c)
2x
−
9y
7x
2
7x
2
c)
7x
2
d)
7x
2
a) %)
=
−
3
<9y
2
−
2
−
2
−
2
=
=
98
94
=
9;
=
95
2 2 e) 7 x − < y = 9< .; >all ar la ecuaci- n de la /ipér%ola conjugada a la del pro%lema .4
a)
20
−
−
28 ROué curva representa s ea dic/o lugarS
− .27
a) 2
−
d)
2x
2
c)
9
±
2
y
.77
x
9 ± (x 7 9
8x
−
%)
c) +.=
2
.8 >allar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancia a las rectas
2
. 9 > al la s l as c oo rd en ad as d e l as ecuaciones de las asGntotas de la /ipér%ola* 2
2x
e)
( y + .) 5
−
.3
y +.=
.;45
7) ;
+
5)
7 e) .7 Demostrar que lugar geométrico de los puntos cuyo producto de las pendientes de la recta que los unen con los puntos fijos (620.) y (902) es igual a 7 representa una /ipér%ola
.2 >allar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (640 67) y (20 67) sea igual a 4
>allar la ecuaci-n de la /ipér%ola de centro el origen eje real so%re el eje de
+ .2 )
y +.=
y
+
2
(x
y
94y
−
y −.=
5
−
2
a)
=
(y
−
4) .3
e)
;x
77x
2
<
+
d)
5.
9)
5 (x
+
%)
<3
( ± 40 3)
v ér ti ce s
e)
=
2
2
(x
y
2 2 e) x − 4 y = . .. >allar la ecuaci-n de la /ipér%ola de
..<
=
2
− ..x
9
.3 >allar la ecuaci-n de la /ipér%ola de centro el origen ejes so%re los ejes de coordenadas y que pase por los puntos (90 .) y (<0 8)
53
=
2
.2.y
=
>allar la ecuaci-n de la /ipér%ola de centro el origen eje real so%re el eje de coordenadas y longitud del lado recto 94 y distancia entre los focos igual a 27 a)
.23 y
a)
e)
> al la r e l l ug ar g eo mé tr ic o d e l os puntos cuya distancia al punto fijo (30 4)
sea igual a
5
2
coordenadas y excentricidad longitud del lado recto igual a .5
5y
2
−
7x
2
=
77
05
%)
2
c)
2
d)
2
2
e)
−
7x
2
−
7x
2
− −
7x
2
7x
2
=
92
=
7<
= =
5 y el ,ngulo entre las asGntotas es recto
98
c)
94
e)
.5 Di%ujar las /ipér%olas siguientes y /allar sus puntos de intersecci-n x
9x
2
2
−
−
2y
7y
2
2
x
+
5y
−
5
=
9x
+
.4 y
−
.5
+
+
9
a)
=
3
a)
(.0 3 ) ( −.0 8 ) ( −90 .) %)
(30 3 ) (.0 4 ) ( −20 2) ( c)
(.0 3) (90 9) ( −90 .) ( − d)
4
2
7
9
%)
7
2
2
+ 2y
2
= .5 y cuya excentricidad
a)
8x
%)
9x
c)
8x
d)
8x
e)
8x
2 2
−
7y
+
7y 7y
+
2 2
2 2
2
−
7y
+
7y
2
2
=
93
=
73 93
=
23
=
83
(.0 2) ( 20 7) ( − 20 .) ( 2 2 .< :n la /ipér%ola 8 x − 7 y = .53 se /a tomado un punto con la a%scisa igual a .3 Determinar su distancia a los focos de la /ipér%ola
a) < y 2. c) .3 y 22 e ) .. y 2 9
%) .3 y .3 d) .. y 23
23 Determinar la excentricidad de una /ipér%ola equil,tera 2 a) c) .2
e)
2
29 :n la /ipér%ola 47
a) 8 y 23 c) 2 y 23 e ) ; y 29
y
2
94
=.
%) 7 y 27 d) 4 y 22
27 :l semieje imaginario o normal de una /ipér%ola cuyos focos se /allar en el eje IJ es dos unidades mayor que su semieje real o focal0 una de la asGntotas pasa por el punto $(.30 .7) :scri%ir la ecuaci-n can-nica de esta /ipér%ola
y
9
a)
−
23 x
%)
2
2
28
x
2 =
83
−
y
2
7<
3
=.
2
y
−
con el eje real si la distancia de los
=.
2 vértices de la /ipér%ola a su centro de la distancia del foco al centro
2 =
d)
2
e)
x 2.
y .5
<
−
=
2
c)
2
d)
2
e)
−
x
%)
x
c)
x
d)
x
e)
x
2
y
=±
9
9) 2
−
22y
−
29 y 2
−
24y
2
−
28y
2
−
28 y 2
2 2 2 2
−
7y
−
8y
−
7y
−
7y
−
5y
2 2 2 2 2
9
arc tg
9
=
2
%)
9
arc tg
x
8
c)
8
arc tg
2
d)
228 223
=
293
x
=
222
.4
=
228
=
94
=
74
=
7<
=
245
=
28
2; Los focos de una /ipér%ola se /allan en el eje IJ >allar el ,ngulo agudo que cada una de las asGntotas forman
9
arc tg
4
e)
=
24 La r ecta x − .3 = 3 corta una /ipér%ola y su asGntota en los puntos $ y E respectivamente :scri%ir la ecuaci-n de esta /ipér%ola si la ordenada del punto E es igual a 8 y la longitud del segmento de dic/a recta situado dentro de la /ipér%ola es 5 a)
8
a)
<
25 Dos
vértices
2 +
y
9
2
arc tg
2
28 :scri%ir la ecuaci-n de una /ipér%ola si sus asGntotas se definen por las
%)
−
93
27
a)
se /a tomado un punto con la a%scisa igual a .2 >allar los radios focales de este punto
%) 7 d) 2
2. >allar la magnitud de los ejes de una /ipér%ola si la distancia focal es igual a
20
x
2
2.
$ (.30
=
x
−
8 ecuaciones y se sa%e que dic/a curva pasa por el punto
(.0 .) (.0 9 ) ( −20 .) ( e)
2
93
x
sea igual a .8 2
c)
29
d)
22 :scri%ir la ecuaci-n de una /ipér%ola que tenga focos comunes con la elipse x
3
29
y
de
la
elipse
2 =
<
.
se /allan en los focos de una /ipér%ola cuyos vértices se encuentran en los focos de la elipse dada :scri%ir la ecuaci-n de la /ipér%ola
2
%)
5x
2
c)
;x
2
d)
4x
2
2
a)
e)
−
8y
2
−
;y
2
−
4y
2
−
9y
2
;y
2
−
=
;9
=
99
=
89
=
79
=
49
7!S:
05
20
05
