Elettrotecnica

Università degli Studi di Trieste Piazzale Europa 1, 34100 Trieste Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA INFORMATICA Anno Accademico 2003/2004

Elettrotecnica

Studente: Giorgio Davanzo [email protected]

Docente: Prof. Pastore

ELETTROTECNICA – I parte

1 di Giorgio DAVANZO

ELETTROSTATICA:

E’ lo studio degli effetti che hanno delle cariche elettriche in quiete nell’ambiente circostante. Costante di permittività del vuoto (o costante dielettrica): εo = 8,854⋅ 10−12 Legge di Coulomb: F = kQ1Q2/R 2 con k=1/4πεo . Vettorialmente ho F=aR  kQ1Q2/R 2 dove aR  = vettore unitario associato alla congiungente delle due cariche = R /|R  /|R |.|. Se F2 è la forza esercitata da Q 1 su Q 2 allora questa sarà attrattiva o repulsiva a seconda che le cariche siano di segno discorde o concorde; inoltre la forza di Coulomb è additiva per più cariche. Unità di carica: si misura in Coulomb [C], definiti come la quantità di carica che attraversa in un corrente una qualsiasi sezione di un filo nel quale circoli la corrente di 1 Ampere. e = carica elettrone = −1,602 ⋅ 10−19 C Campo elettrico: ogni carica Q1 crea un campo elettrico E 1 che viene analizzato tramite una seconda carica Q 2, detta carica esplorativa: E 1 = F12 / Q2 . Vettorialmente: E1 = F12 / Q2 = a12⋅ kQ1/R 2 è concorde alla forza. Il campo di N cariche puntiformi è E = Σn=1..NEn Vediamo ora alcuni campi: dipolo elettrico: il dopolo è formato da due cariche di segno opposto, q e –q, distanti d. Calcolo il • campo di un punto posto sull’asse di simmetria e distante R dall’asse del bipolo: la sua direzione è  perpendicolare all’asse di simmetria, rivolto verso la carica negativa ed E=k ⋅  p/R 3 dove p = momento col cubo della distanza perché perché allontanandosi allontanandosi le cariche tendono a del bipolo = d⋅ q Il campo decresce col confondersi come una sola carica nulla. linea di carica: è una linea infinita carica elettricamente con una densità • (C/m), ), che che avrà avrà sicu sicura rame ment ntee un camp campoo radi radial alee (se (se la di caric carica a ρL (C/m lunghezza è infinita). Inserisco il punto P in un sistema di coordinate cilindriche in cui il filo è l’asse z ed r la distanza punto-filo. Ora considero un tratto infinitesimale di filo dz, che contribuirà al campo con la carica ρLdzil vettore campo è normale al filo, ed E = ρ L / (2πεor) •  piano: sfrutto l’integrale precedente ricoprendo il piano con linee di carica E = ρs / 2εo dove ρ s è la densità superficiale di carica. NB: E non dipende dalla distanza doppio piano: due piani paralleli a distanza d, il secondo piano ha carica uguale e opposta  ρs e –ρs . Il • campo fuori dalle due lamine è nullo, all’interno E = ρs/εo . Linee di flusso: rappresentano il campo elettrico e sono così disegnate: • sono tangenti al campo elettrico in ogni punto • il numero di linee che attraversano una superficie di un’area unitaria è proporzionale all’intensità di E Esperimenti di Faraday: due sfere concentriche di metallo che non si toccano, di cui l’interna con carica Q e l’esterna scarica. Mette per poco tempo a terra la sfera esterna, e dopo la sfera ha una carica –Q. Secondo F. avveniva uno spostamento di cariche attraverso l’isolante detto  flusso elettrico = Ψ = Q Densità di flusso elettrico: a è il raggio della sfera interna, b della esterna. Sulla sfera interna Ψ è distribuito sulla superficie 4πa 2 la densità di flusso di spostamento (o d. di spostamento) è D = Q/(4πa 2) per la sfera interna, Q/(4πb2) per l’altra. Vettorialmente, allla distanza a
gaussiana subito all’interno della superficie del conduttore carico; se le cariche all’interno del conduttore sono in stato di quiete, allora E=0  il flusso che attraversa la superficie è nullola carica elettrica è nulla  tutta la carica è sulla superficie. Differenza di potenziale: è il lavoro fatto per spostare una carica unitaria positiva dal punto B al punto A.

Voglio spostare di dL dL una carica immersa in un campo elettrico E

devo

esercitare una forza opposta alla

2 ELETTROTECNICA – I parte forza esercitata dal campo sulla particella  F = – QE Q E ⋅ aL= componente della forza applicata sulla direzione aL di dL d LdW = – QE QE dLW = – Q ∫ [A..B] E ⋅ dL. Se il campo è uniforme si ottiene W= –QE –Q E ∫[A..B]dL= –  L=  –  QE LAB  non dipende dal percorso (si dimostra che ciò vale anche per campi non uniformi).Vediamo qualche es: • differenza di potenziale tra due punti A e B distanti r a e r b dalla carica Q: E=ar⋅ kQ/r 2 e dL=dr  ar VAB= – ∫[A..B] E ⋅ dL = kQ(1/r a – 1/r  b) • differenza di potenziale tra due punti a distanza ρ=a e ρ=b da una linea di carica: VAB=2kρLln  b/a Potenziale di una carica uniforme: stabiliamo un punto a potenziale 0 in ∞  ottengo un V assoluto, non definito dalla differenza: V = kq/r + C 1 (C1 può essere scelto per mettere a 0 V a qualsiasi distanza da Q) Superficie equipotenziale: superficie composta da tutti i punti aventi lo stesso potenziale non si compie lavoro spostando un punto lungo tale superficie. Per la carica puntiforme si tratta di sfere concentriche. Proprietà della differenza di potenziale: additività: se ho N cariche, V (r • ( r) = – ∫[∞..r [r – r – rn] per l’additività l’additività di E [∞..r] E dL = ∑n=1..N kQn / [r • E dL = 0  è conservativo 

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CONDUTTORI, DIELETTRICI e CAPACITÀ: Corrente elettrica: I = dQ/dt = ∫S J ⋅ dS dove S è la superficie di un filo in cui scorre un flusso di cariche, J il vettore densità di corrente. Cioè I=quanta carica passa attraverso una sezione S nell’unità di tempo. Si misura in Ampere [A]. Principio di conservazione delle cariche: le cariche possono essere separate in base al segno, ma non distrutte Equazione di continuità: prendiamo continuità:  prendiamo una superficie con tante cariche q da cui esce una corrente I = –ΔQ i/t  le cariche dentro la superficie diminuiscono S J ⋅ dS = –dQ = –dQi/dt Conduttori metallici: non hanno intervallo energetico tra la banda di conduzione e la banda di valenza. Sotto l’azione di un campo elettrico, gli elettroni si muovono liberamente ad una velocità di deriva vd  J=vdρv= σE σE dove σ è la conduttività (Siemens/metro), che è una funzione del metallo e della temperatura.  Resistività: ρ = 1 / σ Legge di Ohm:  prendiamo un conduttore cilindrico omogeneo in cui il campo e la densità di corrente sono uniformi; I = ∫S J ⋅ dS = JS. Vab= – E ⋅ L ba = E⋅ Lab = EL = L⋅ J/σ = L⋅ I/Sσ = I⋅ ρL/S  V = RI con R=ρL/S Effetto Joule: W=F⋅ L = QEL = QV ab; Potenza=P=dW/dt=V Potenza=P=dW/dt=VabdQ/dt=Vab⋅ I ma Vab=RIP=RI2=V2ab / R dove Vab è la differenza di potenziale agli estremi del cilindro: si dissipa energia sotto forma di calore. Potenza: su una resistenza in cui scorre scorre V con intensità intensità I, P = VI Materiali Mate riali diele dielettric ttrici: i: hann hannoo un gran grande de inte interv rval allo lo tra tra la band bandaa di cond conduz uzio ione ne e quel quella la di vale valenz nzaa  immagazzinano bene l’energia sotto forma di dipoli, che hanno carica complessiva Q  b detta carica vincolata vincolata . Con la legge di Gauss applicata su una superficie chiusa interna al dielettrico, a carica totale è Q T= S εoE ⋅ dS con QT=Q b+Q. +Q. Intr Introd oduc ucia iamo mo un nuov nuovoo vett vettor oree P detto  polarizzazione tale che Q b= –  SP⋅ dS  Q= S(εoE+P)⋅ dS Ora possiamo definire il vettore spostamento elettrico in termini più generali: D=εoE+P  Q= SD⋅ dS dove Q è la carica libera inclusa nel dielettrico. Relazione tra P ed E: non è sempre lineare, ma se lo è P= χ eεoE con χ e suscettibilità elettrica (dimensionale). Allora D = εoE + χ eεoE = (χ e + 1) εoE = εr εoE = εE εE dove εr  è la permittività relativa ed ε permittività assoluta Materiali semiconduttori: piccolo semiconduttori:  piccolo intervallo energetico tra le due bande  possono condurre se sollecitati da un campo elettrico intenso Capacità: prendiamo Capacità:  prendiamo due piastre infinite parallele, tra cui vi è un di elettro, con densità di carica ρ s e –ρs a distanza d. allora ΔV = –∫ dE⋅ dz ma E=ρs/ε  ΔV = dρ s/ε. Si dice capacità C=Q/ΔV (non dipende dalla forma delle piastre). Es.: per piastre ho due cerchi di raggio R e superficie S (se 2R>>d il campo magnetico è simile a quello di due piastre infinite): Q/ΔV=ερsS/(ρsd) = ε S/d Osservazione: se derivo nel tempo la definizione di capacità ho dQ/dt=CdV/dt  I = C dV/dt Energia accumulata: si accumula sotto forma di campo elettrico; supponiamo che all’inizio il condensatore fosse scarico e V o sia la differenza di potenziale finale. W = ∫ [0..t]Pdt = ∫[0..t]VIdt VIdt ma I = CdV CdV / dt  2 W=∫[0..t]CVdtdV/dt= ∫[0..Vo]VdV = ½CVo Vediamo alcune capacità: 

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3 cavo coassiale: lungo L, conduttore interno di raggio a ed uno esterno di raggio b, permittività ε. Q=ρ sL c = Q/ΔV = [2πε oL] / [ln(b/a)] 1 =kQ/r 2 C = 4πε/(1/ –  due sfere concentriche: raggio b>a, permittività ε. Con Gauss si ottiene E r =kQ/r  a –  / b)  sfera: C=4πεa

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MAGNETOSTATICA: Legge di Biot-Savart: sia H il vettore intensità di campo magnetico . Osserviamo una porzione di filo dL d L: il 3 campo magnetico di un punto P distante R (avente R (avente versore aR ) da dL dL è dH dHP= (I dL dL x R) / 4πR  = (IdL (IdLxaR )/4πR  )/4πR 2 La legge è anche detta  Legge di Ampere per l’elemento l’elemento di corrente e non è verificabile sperimentalmente. H si misura in [A/m]. I è corrente continua densità di carica costante  SJ dS = 0. Versione integrale della legge di Biot-Savart: Assumiamo come sorgente il percorso chiuso la corrente totale è nulla  H = S(IdL (IdLxaR )/4πR  )/4πR 2 . Ad esempio per un filo infinito si può pensare ad un ritorno del filo infinitamente lontanousare la formula integrale. Legge circuitale di Ampere: LH dL=I L=I e si definisce positiva la corrente che scorre nella direzione di avanzamento si una vite avvitata nel senso del percorso della linea chiusa. NB: la corrente I non varia non dipende dalla forma della superficie chiusa.  Esempi notevoli: campo magnetico di un filo:  prendo un percorso circolare di raggio ρ normale al filo; con la legge di • Biot-Savart capisco che esiste solo la componente H φ del campo  H dL=∫[0..2π]Hφρdφ=Hφρ∫[0..2π]dφ=I  Hφ = I / 2πρ • cavo coassiale: raggi a e b, lungo d. Prendiamo un percorso chiuso: se a<ρ
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FORZE MAGNETICHE e MATERIALI: Sperimentalmente si nota che una particella di carica Q, in movimento alla velocità v in un campo magnetico B risente della forza F=Qv =QvxB. Il vettore accelerazione creato dal campo magnetico è perpendicolare alla velocità  non ne cambia il modulo se il campo magnetico è costante l’Ec della particella non cambia Equazione della forza di Lorentz: è la forza combinata di un campo elettrico e uno magnetico, F=q( E + vxB) Effetto Hall: i lievi spostamenti degli elettroni in un filo causano una V normale a filo e campo magnetico. Per un conduttore rettilineo lungo L cale F=I LxB LxB e F = BILsinθ con θ l’angolo tra L e B. Per i circuiti chiusi F = –I B x dL dL = (se B è costante) = –IB –I B dL = –I = –IB Bx0=0 Momento del dipolo magnetico di una spira piana: m = IS dove S è un vettore normale alla spira di lunghezza pari all’area della spira stessa. In un circuito chiuso il campo genera una forza nulla: non è nulla però la forza che agisce sulle componenti del circuito, che origina una coppia: T = IS I S x B = m x B cioè la coppia agisce in modo da allineare la spira con il campo magnetico esterno (lo stesso per un dipolo: T = p x E) Materiali magnetici: il comportamento magnetico è dovuto sia al campo degli elettroni attorno ai nuclei che al campo dovuto alla rotazione degli elettroni su se stessi (spin). Abbiamo: •   Materiali diamagnetici: Il campo B risultante dall’applicazione di un campo esterno è leggermente inferiore al campo applicato. es: idrogeno, elio, oro, silicio •  Materiali paramagnetici: il campo B risultante dall’applicazione di un campo esterno è leggermente superiore al campo applicato. es: potassio, ossigeno, terre rare 

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il campo B risultante dall’applicazione di un campo esterno è molto superiore al campo applicato. es: ferro, nickel, cobalto. Isteresi: fenomeno dei materiali ferromagnetici: il valore del campo B interno è funzione delle precedenti variazioni del campo magnetico esterno. Vettore di magnetizzazione: M cioè il momento di dipolo magnetico per unità di volume Magnetizzazione: Magnetizzazione: B = μo (H + M). M). Considerando le correnti vincolate ad un materiale sottoposto ad un campo magnetico, M è tale che M dL = I b. Per materiali isotropici lineari si ha M=χ mH B=μo(H+χ  H+χ mH)= μoμr H=μ H=μH dove μr =1+χ  =1+χ m= permeabilità relativa e μ = permeabilità (diamagnetici μr <1, <1, paramagnetici μr >1 >1 e nei ferromagnetici cambia con il variare del campo). •

 Materiali ferromagnetici: ferromagnetici:

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CIRCUITI MAGNETICI: Potenziale magnetico scalare: VmAB = ∫[A..B]H dL e dipende dal percorso non è conservativo. Questo perché H dL=Itot=NI≠ 0(nell’equivalente elettrico era nullo) dove la I t è ottenuta pensando ad un conduttore  percorso da I avvolto in N spire lungo il percorso su cui si integra. Legge di Hopkinson: Vm=RΦ con R riluttanza misurata in [a.spire/Wb] (la legge è analoga alla legge di Ohm) Calcolo della riluttanza: di solito, nei conduttori isotropici e lineari elettrici di area S e lunghezza d R = d/μS Forza magnetomotrice: magnetomotrice: la sorgente di un flusso magnetico è una corrente passante in un circuito magnetico.  Nei materiali ferromagnetici, Vm = Vm,di elettro + Vm,materiale cioè si deve considerare la curva di magnetizzazione del materiale impiegato. Energia potenziale in un campo magnetico: WH = ½∫volB Hdv = (B= (B=μμH) = ½∫volμH2dv = ½∫ voldvB2/μ Flusso concatenato: in N spire, la corrente produce il flusso Φ. Il flusso concatenato è il flusso NΦ totale che attraversa tutte le spire della bobina. Induttanza: L = NΦ / I. Nel solenoide: L=μ on2sd nel cavo cavo coassiale: coassiale: L=(μ L=(μ od/2π)ln  b/a Mutua induttanza: avviene, ad esempio, quando due solenoidi sono abbastanza vicini da interagire tra loro. Siano 1 e 2 i due circuiti: allora M 12 = N2Φ12 / I1 e M21 = N1Φ21 / I2 dove Φ12 è il flusso prodotto dalla bobina 1 che si concatena con la bobina 2. Si dimostra, per motivi energetici, che M 12=M21 

LEGGI DI FARADAY: Un campo elettrico variabile produce un campo magnetico e viceversa. Inoltre un campo magnetico costante in moto relativo con una spira fissa produce un campo elettrico. Forza elettromotrice (tensione): fem = E dL e dipende dal percorso. Legge di Faraday: vale su un percorso chiuso; chiuso; fem = –dΦ/dt dove Φ è il flusso totale. Percorso di N spire: fem = – NdΦ/dt dove Φ è il flusso che passa attraverso ogni spira. E dL = – d/dt∫SBdS il segno degli integrali si ricava con la mano destra: le dita indicano il percorso della linea chiusa, il pollice la direzione di dS d S. Se il percorso e la superficie di integrazione sono stazionari, stazionari, allora E dL= – ∫S ( B/ t)dS t)dS. Il segno meno c’è perchè il flusso prodotto va a smorzare la variazione che l’ha creato. Corrente di spostamento: Un circuito con un condensatore alimentato a corrente continua è come un circuito aperto. Quando la corrente è alternata, i condensatori sono percorsi da corrente nonostante nessuna carica possa  passare oltre il di elettro. Si introduce allora la corrente di spostamento, che ha come intensità Jd = D/ t. Allora modifichiamo la legge circuitale di ampere: LH dL=I+I L=I+Id = I+∫SdS D/ t. 

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EQUAZIONI DI MAXWELL: Ds dS = ∫volρvdv (dal teorema di Gauss) • S B dS = 0 (legge di Gauss per il campo magnetico) • E dL= – ∫S ( B/ t)dS t)dS (dalle leggi di Faraday) • D/ t (sulle correnti di spostamento) spostamento) LH dL= I+∫SdS nei mezzi lineari: D=εE =εE e B=μH =μH •

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TEORIA DEI CIRCUITI: Energia immagazzinata da un condensatore: il circuito è formato da un generatore di tensione costante, un interruttore, una resistenza da 1Ω e un condensatore in serie. W c=∫[0..t]P(τ)dτ=∫[0..t]V(τ)i(τ)dτ ed i=CdV/dt 

ELETTROTECNICA – I parte

5 Wc=∫[0..t]V(τ)dτCdV(τ)/dτ Wc=∫[o..Vf]V(τ)CdV(τ)=½CVf 2=½QVf  è l’energia finale quando il condensatore è alla tensione Vf  Energia Energia immagazzi immagazzinata nata dall’indutt dall’induttanza anza:: un’i un’ind ndut utta tanz nzaa su cui cui scor scorre re la corr corren ente te i ha v=Ldi =Ldi/d /dtt  2 2 WL=∫[0..t]P(τ)dτ=∫[0..t]V(τ)i(τ)dτ=L∫[0..if]idi=½Lif  =½Φif  =½Φ /L (ricordo: Φ=Li) Leggi di Kirchhoff: 1. la somma somma algebric algebricaa delle corren correnti ti incident incidentii in un nodo nodo è nulla nulla 2. la somma somma algebr algebrica ica delle delle tension tensionii lungo lungo una maglia maglia è nulla nulla Conduttanze: G=1/R misurata in MHO Resistenze in serie: sono percorse dalla stessa stessa corrente corrente(per Ohm) V1=R 1i V2=R 2i e (per Khirchhoff) V=V1+V2=(R 1+R 2)iR eqeq = V/i = R 1+R 2 = G1G2/(G1+G2) Resistenze in parallelo: hanno in comune la tensione  i1=G1V e i2=G2V ; i=i1+i2 = (G1+G2)V Geq=G1+G2 = 1/R 1 + 1/R 2 R eqeq=1/Geq = R 1R 2/(R 1+R 2) Condensatori in serie: C1=q/V1 e C2=q/V2 C = Q/Vtot=Q/(v1+v2)=1/(V1/q+V2/q)1/C = 1/C1 + 1/C2 Condensatori in parallelo: q1+q2=q, V1=V2 c=q/V = (q1+q2)/V = q1/V + q2/V  C = C1 + C2 Partitore di corrente: ho due resistenze R 1 e R 2 in serie con ai capi V, voglio ricavare V 1 e V2: V1=V⋅ R 1/ (R 1+R 2)=V⋅ G2/(G1+G2). Con tre resistenze in serie: V 1=V⋅ R 1/(R 1+R 2+R 3) e così via Partitore di tensione: ho due resistenze R 1 e R 2 in parallelo con all’ingresso i. i 1=i⋅ G1/(G1+G2)=i⋅ R 2/(R 1+R 2). Con tre resistenze ho i 1=i⋅ G1/(G1+G2+G3) e così via Rendimento di tensione: 0≤ η=Perogata/Passorbita ≤ 1 serve per i generatori reali (cioè con all’interno una resistenza) Rendimento di corrente: analogo alla tensione. Caratteristica: in una rete a scala è l’inieme dei punti sul grafico V-I , ed è una retta per i bipoli lineari. V eq è la tensione a morsetti staccati (intersezione asse ascisse-retta). La pendenza Δi/Δv=G eq Bipoli lineari equivalenti: se hanno la stessa caratteristica Teorema di Thevenin: qualunque bipolo lineare può essere sostituito da un generatore reale di tensione equivalente in modo che una rete esterna non si accorga del cambiamento. Ottengo un generatore di tensione in serie con una resitenza. Operativamente: per calcolare la R eq azzero i generatori interni (  per quelli di tensione faccio un cortocircuito, quelli di corrente apro il circuito); La Veq è quella misurata ai morsetti. Teorema di Norton: come thevenin, solo che la resistenza è in parallelo. E’ possibile passare da un equivalente di Norton a quello di Thevenin: entrambi hanno la stessa resistenza (in serie con thevenin, parallelo con norton) e si applica V eq=R eqeqIeq Teorema di Millman: ho una rete così formata: tutti gli elementi sono in parallelo e sono resistenze (R 1…R K  )  , K), generatori di tensione (V S1…VSN) e di corrente (I S1…ISM). Gli unici elementi in serie sono altre resistenze (R 1… R  N) messe in serie con i generatori di tensione (una per generatore). Allora V  p=tensione in un punto di collegamento tra due elementi in serie= (∑I + ∑V Sn/R n) / (∑1/R n + ∑1/R k k ) Teorema di sovrapposizione degli effetti: ogni corrente in ogni parte di un circuito può essere espressa come la combinazione lineare di tutte le correnti create dai vari generatori. Operativamente: pongo a 0 tutti i generatori tranne uno e calcolo il suo contributo; ripeto così per tutti i generatori e sommo i contributi trovati. Analisi ai nodi: calcolo che differenza di potenziale arriva ad ogni nodo e faccio un sistema. Metodo della falsa posizione: sia Vs la tensione erogata da un generatore di corrente e I s quella erogata da un generatore di tensione. Per la sovrapposizione degli effetti, la tensione in un punto del circuito è V u = αV s+βIs devo quindi trovare α e β: per farlo assegno un valore qualunque ad V s ed Is, calcolando che V e I dovrei avere nei generatoricalcolo αe β Transitori del primo ordine: condensatori: ho un generatore che crea la tensione V s in serie con un condensatore ed una resistenza R s • messa tra loro. V c(t) = (Vc(0)−Vs)e−t/τc + Vs dove τc = costante di tempo = R sC induttanze: ho un generatore che crea la corrente I s in parallelo con una induttanza ed una resistenza R s • iL(t) = (iL(0)-Is) e−t/τL + Is con τL = GsL

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ELETTROTECNICA – II parte

di Giorgio DAVANZO

CORRENTE ALTERNATA:

è una corrente sinusoidale (così è più facile trasformarla con i trasformatori)con T=20ms, f=1/T=50Hz, ω=2πf=314rad/s Corrente alternata in circuiti lineari:  prendiamo due resistenze R 1 e R 2 in serie con un generatore di tensione Vs(t)=Vscos(ωt+φ) T=2π/ω. φ è la  fase.  fase. i(t)=Vs(t)/(R 1+R 2) = Vscos(ωt+φ)/(R 1+R 2). Partitore: Partitore: V2(t)= Vs(t)R 2/ (R 1+R 2)=R 2Vscos(ωt+φ)/(R 1+R 2)nei circuiti lineari tutti i V i(t) hanno la stessa ω. Per semplicità studiamo i circuiti a regime, cioè quando i transitori sono tutti esauriti. Fasori: V(t)=VMcos(ωt+φ). Consideriamo in un riferimento cartesiano un vettore V, detto fasore detto  fasore,, di lunghezza VM che ruoti attorno all’origine con velocità angolare ω in senso antiorario: la sua proiezione sull’asse delle y sarà appunto V(t). Definizioni: prendiamo fasori, a e b; si dice che • b è in ritardo rispetto ad a se φ b<φa , altrimenti si dice che b è in anticipo rispetto ad a se Δφ = 0° i vettori sono in  fase, se Δφ = 90° sono in quadratura , se Δφ = 180° sono in opposizione • Associazione con i numeri complessi: l’asse dei reali è l’asse delle x, quello immaginario le y. Ricordo Eulero: e jx=cosx+jsinx, cioè cosx=Re(e jx). Allora V(t)=Re(V Me j(ωt+φ))=Re(VMe jφ⋅ e jωt)=Re(V⋅ e jωt). In altre parole, la V(t) è la proiezione sull’asse reale del vettore Ve jωt. (per Eulero, |e jωt|=1 e quindi moltiplicare e jφ per e jωt non cambia la fase ma il modulo). In I n ogni circuito le variabili che cambiano sono solo V M e φ, non ω che è costante: in tal modo associando a ogni V(t) solo il fasore V elimino il tempo. V=VMe jφ Combinazioni lineari di fasori: X1(t)=X1Mcos(ωt+φ1) e X2(t)=X2Mcos(ωt+φ2); allora X1=X1Me jφ e X2=X2Me jφ X= λ 1X1 + λ 2X2 =λ 1X1Me jφ + λ 2 X2Me jφ . x(t)=Re{Xe jωt}=Re{[λ 1X1Me jφ + λ 2X2Me jφ ]e jωt}= Re{λ 1X1Me j(ωt+φ )} + Re{λ 2X2Me j(ωt+φ )} = λ 1X1Mcos(ωt+φ1)+λ 2X2Mcos(ωt+φ2) = λ 1x1(t) + λ 2x2(t) Derivazione: V’ = dVMe j(ωt+φ) / dt = jω V Me j(ωt+φ) = jω V Integrazione: ∫Vdt = ∫VMe j(ωt+φ)dt = (1/jω)VMe j(ωt+φ) = V / jω = -jV/ω ottien enee una una sinu sinuso soid idee ma con con velo veloci cità tà Prodotto: x⋅ y = ½ AxAycos(φx−φy) − ½ AxAycos(2ωt+φx+φy) si otti doppia va rappresentata in un altro piano di Gauss Quoziente: x/y = (Ax/Ay)cos(φx−φy) − (Ax/Ay)sin(φx−φy)ctg(ωt+φy) non è più una sinusoide, ma ha la stessa frequenza. Equilibrio in circuiti a regime variabile: variando la tensione il circuito risente delle variazione del c.magn.: assenza za di materi materiali ali ferrom ferromagn agneti etici, ci, la variaz variazion ionee di di corre corrent ntee gene genera ra ai capi capi •  Induttanza: in assen dell’induttanza una forza elettromotrice V L = -L di/dt Capacità: il condensatore si carica e si scarica continuamente, continuamente, se q è la carica all’istante t sulle armature • 1 del condensatore, V c = q/C = ( /C) ∫ i⋅ dt •  Resistenza: VR  = R ⋅ i in generale: applicando una tensione V ad un circuito RLC la somma delle tensioni impresse deve • essere uguale in ogni istante alla somma delle cadute di tensione, cioè V - Ldi/dt = ( 1/C) ∫ i⋅ dt + Ri Impedenza: Impedenza: V - jωLI = -j(1/ωC)I + R I  V={R + j[ωL-(1/ωC)]}I Z è il coefficiente per cui risulta moltiplicata la corrente: Z = R + j[ωL-(1/ωC)]. Allora V=Z I ; Z si misura in Ohm ed ha fase φ=arctg( X/R) Reattanza: X = Im(Z) = ωL - 1/ωC ; X si misura in Ohm Triangolo dell’impedenza: è un triangolo rettangolo r ettangolo con ipotenusa Z, cateti X e R con l’angolo φ opposto a X Reattanza induttiva: XL = ωL Reattanza capacitiva: XC = 1/ωC Operativamente: φ è l’angolo tra Ve I; allora V è pari a I ruotato di –φ e moltiplicandone la lunghezza per il modulo dell’impendenza. Analogamente, I è pari a V ruotato di φ e dividendone la lunghezza per il modulo dell’impendenza. Valore Efficace:  per una forma d’onda generica, V e=√[1/(t2-t1)]∫t1..t2[Vs(t)]2dt . Per la forma d’onda sinusoidale si ha V e=VM/√2. Allora Ie=Ve/R=(Vm/√2)/R = IM /√2. Nella rete domestica, 220V è il valore efficace delle tensione Ammettenza: Y = 1/Z  I = YV Conduttanza e suscettanza: Y = 1/Z = 1/(R+jX) = (R-jX)/(R 2+X2) = R/Z2 – jX/Z2 ; la conduttanza è G = R/ X2 e la suscettanza suscettanza è B = X / Z2 . Allora Y = G-jB Triangolo dell’amettenza: rettangolo, con Y ipotenusa, G e B cateti, φ angolo al vertice di B Corrente domestica:

1

1

2

2

1

2

2

1

2

ELETTROTECNICA – II parte CIRCUITI ELEMENTARI:

Resistenza pura: V=Z I, Z=R  V=R I. R è uno scalare I

è in fase con V; R ⋅ IMsinωt = VMsinωt IM=VM/

R i valori efficaci sono I = V/R  Induttanza pura: Z =  jωL con φ = arctg X/R = +π/2; I = V/ jX  jXL = -jV/XL  IM = VM/XL I = V/XL = V/(ωL); a regime, I è in ritardo di π/2 rispetto a V Capacità pura: Z = -j/(ωC) , φ = -π/2; I=jωC⋅ V I = V/Xc = VωC; a regime, I è in anticipo di π/2 rispetto a V Circuito seriale a costanti concentrate:

si concentrano le RLC in tre punti del circuito, collegati tra loro con conduttori ideali privi di resistenza, flussi concatenati e accoppiamenti capacitivi. VR =R I,VL= jωLI,Vc=−jI/(ωC) Le tre cadute di tensione saranno sfasate tra loro, e in ogni istante la tensione applicata alla serie sarà anticipo di π/2 su I, VR  in ritardo di π/2 su I . Lo V=VR +V +Vc+VL . Si vede che VR  e I sono in fase, VL è in anticipo schema è: VL è perpendicolare a I e parte dall’inizio; VR  è normale a VL partendo dalla sua fine; VC è normale a VL partendo dalla sua fine; V parte dall’inizio di I e termina alla fine di VC •  Nel caso in cui X L>XC il circuito è ohmico-induttivo e la corrente è in ritardo sulla tensione •  Nel caso in cui X L
(L1+L2)  non c’entra ω Impendenze in serie: serie: V = V 1 + V2 = Z1I + Z2I  Zeq = Z1 + Z2 = (R 1+R 2) + j(X1+X2) Impendenze in parallelo: parallelo: I = I 1 + I2 = Y1V + Y2V = (Y1+Y2)V Yeq=Y1+Y2=(G1+G2) + j(B1+B2) Generatori in parallelo: due generatori, ognuno con induttanza diversa, sono in parallelo: la formula di Millman dice Veq = (Y1V1 + Y2V2)/(Y1+Y2) Nella maglia circola la corrente Ie= (V1 –V2)/(Z1+Z2). I = I1 + I2 e I1 = +Ie + I Z2/(Z1+Z2) mentre I2 = -Ie + I Z1/(Z1+Z2)

CIRCUITI RISONANTI:

si prenda una R, L, C in serie; La corrente che vi circola è I = V/Z con φ=arctg X/R  nel caso in cui ωL = /ωC cioè ω2LC = 1 il circuito è in risonanza. Allora l’impedenza è pari alla resistenza, la corrente è in fase con la tensione (φ=0) e la corrente vale I = V/R. Allora se la resistenza è piccola la corrente  può essere molto elevata  VL e VC possono essere maggiori maggiori di V e originare un fenomeno di sovratensione. sovratensione. Si dice frequenza di risonanza f = ω o/(2π) = 1/(2π√(LC)) Circuiti risonanti in parallelo: R,L,C in parallelo; è in risonanza se B L=BC. Allora l’ammettanza del circuito è Y = GL + GC , la tensione è in fase con la corrente e la tensione vale V ab = I / (GL+GC). La frequenza di risonanza è f = [1/(2π√(LC))] ⋅ √[(R L2C – L) / (R C2C – L)] Risonatore reale in serie: ho un R, L, C e un generatore Vs . VR  = R VS/(R+jωL+1/(jωC)). Con valori unitari di Circuiti risonanti in serie: 1

VS:

VR /V /VS=R/(R R/(R+j +jωL ωL+1 +1/(j /(jωC ωC)) )) 1

1 + ( j / R ) L / C (ϖ LC − 1 /(ω LC ))

=

1 1 1 = = = 1 + jϖL / R + 1 /( jϖCR ) 1 + ( j / R )(ϖL − 1 /(ωC)) 1 + ( j / R ) L / C C / L (ϖL − 1 /(ωC))

ponendo ωo = 1/√(LC) e Q = 1 /  R√(LC). √(LC). Se ω varia

VR /V /Vs

/Vs| è una funzione; | VR /V

ha per grafico una campana centrata in ω o e di ampiezza massima 1, < VR /V /Vs ha per grafico una sinusoide che si /VS diventa un filtro azzera in ωo, che va da π/2 a –π/2 su un intervallo di ampiezza 2ω o. Se ω0, VR /V 1 1 Sostituendo si ha Q = /R √(L/L)√(LC) √(L/L)√(LC) = /R L/√(LC) L/√(LC) = ωoL/R = 1/(ωoCR). Inoltre a parità di ω o aumentando Q la campana si restringe e la R diventa sempre più piccola in rapporto alle impendenze. Frequenza di risonanza: è ωo, cioè quando le parti reattive di L e C si neutralizzano a vicenda Fattore di qualità: è Q, numero puro. Se Q 0 il risonatore reale tende a un risonatore ideale.

3 ho un R, L, C e un generatore Is; ωo = 1/√(LC) e Q = R / (ω o L) /Is = 1/  L) si ha IR /I ELETTROTECNICA – II parte

Risonatore reale in parallelo:

(1+jQ(ω/ωo-ωo/ω)). Osservazioni: • •

=VS  si ha un cortocircuito (se ω=ω o) nel risonatore ideale in serie, se R 0, VR =V nel risonatore ideale in parallelo, se R 0 il generatore ideale e la resistenza spariscono

POTENZA:

P(t) P(t) = V(t)I (t)I(t (t)) = VMcos(ωt+φ)IMcos(ωt+φ)=(VMIM/2)⋅ [cos [cos (φV-φI)+cos(2ωt+φV+φI)]. )]. La  potenza attiva è la potenza media: P = [1/(t 2-t1)]∫t1..t2P(t)dt con t2-t1>>T/2; la parte sinusoidale dell’integrale si annulla perché è centrato sull’asse delle ascisse P=(VMIM/2)cos(φV-φI) [W]. resistenze: φV = φI P= VMIM/2 = V eIe • • condensatore: lo sfasamento è π/2 ( V è in ritardo su I)  φV-φI = -π/2  φV+φI = 2φ I-π/2 φV=φI-π/2 facendo la media, si ha P=0 induttore: lo sfasamento è –π/2 ( V è in anticipo su I)  φV-φI = π/2  φV+φI = 2φ I+π/2  φV=φI+π/2 • come nel condensatore ha media 0 Fattore di potenza: φ = φV - φI Potenza reattiva:  prendiamo la potenza complessa P c = VI* = |V||I|e j(φ -φ )= | V||I|cosφ + j| V||I|sinφ; La potenza reattiva è Q=Imm(P c) = |V||I|sinφ (la parte reale è la potenza attiva). Si misura in [VAR] • resistenze: sinφ=0 Q=0 condensatore: φ=-π/2 Q=-|V||I|; Ie=ωCVeQ=-ωCVe2=-ωCVM/2 • induttore: Q = ωLI e2 • Potenza apparente: Pa = |Pc| =VeIe ∈ R, non indica la potenza realmente dissipata dal bipolo perché manca l’informazione sullo sfasamento. Triangolo delle potenze: Pa è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti P a e Q, con φ angolo al vertice di Q Teorema di Bucherot: in un circuito comunque complesso, in regime sinusoidale isofrequenziale, la potenza attiva totale è pari alla somma delle singole potenze attive e la potenza reattiva è pari alla somma algebrica delle singole potenze reattive, assegnando segno positivo a quella di natura induttiva e negativo a quella di natura capacitiva. Rifasamento: se il carico di una linea di trasmissione è molto induttivo (cioè cosφ molto piccolo) a parità di   poten potenza za attiva attiva il caric caricoo scambi scambiaa con con il genera generator toree una grande grande potenz potenzaa reatti reattiva va impegn impegnand andoo la linea linea di trasmissione e il generatore. Si cerca di ridurre la Q senza intaccare la P a: la linea presenta già una induttanza e una resistenza in serie, e vi si inserisce un condensatore parallelo ad essi: così la corrente di linea è IL = I + IC. Se il condensatore ha capacità tale da assorbire una corrente pari alla componente reattiva della corrente di carico, la corrente di linea sarà pari alla componente attiva della corrente. Si tratta di calcolare il C necessario:  prima del rifasamento si ha P a=VaIcosφa e Qa=VaIsinφa=Patgφa. Dopo il rifasamento, per il teorema di Bucherot, le potenze saranno P t=Pa+Pc= VaIcosφa +0 = P a e Qt=Qa+Qc= Patgφa-VaICsinφC=Patgφa-ωCVa2. Secondo il triangolo delle potenze, tgφ t=Qt/Pt = (Patgφa-ωCVa2)/Pa C=Pa(tgφa-tgφt)/(ωVa2) Rendimento delle linee di trasmissione: siano Vp creato dal generatore, R L e XL proprio della linea, Zu e Va il carico. La potenza in partenza sarà P p=V pILcosφP ; le perdite di potenza in linea P L=R LIL2 ; la potenza all’arrivo Pa=VaILcosφ a . Per Bucherot, la potenza totale fornita dal generatore sarà P P=Pa+PL=Pa+R LIL2. Si definisce rendimento di linea η=P a/P p=Pa/(Pa+R LIL2). Sapendo η, si può quindi calcolare la resistenza della linea. Bipoli in serie con accoppiamento induttivo: sia una serie fatta da R 1-L1-L2-R 2, tra le induttanze c’è la mutua induttanza M. C è un punto tra L 1 e L2: Vac=R 1I+jωL1I+jωMI e Vcb=R 2I+jωL2I+jωMI allora Vab=Vac+Vcb= [(R 1+R 2)+jω(L1+L2+2M)]I. Quindi R e=R 1+R 2 Le=L1+L2+2M Bipoli in parallelo con accoppiamento induttivo: stesso circuito di prima ma in parallelo. Applicandoci la tensione Vab la corrente assorbita si divide nei due rami. Z1=R 1+jωL1 Le tensioni calcolate sui due rami con il metodo precedente sono uguali: V ab= R 1I+jωL1I+jωMI = R 2I+jωL2I+jωMI. Vab=Z1I1+ZMI2= Z2I2+ZMI1 2 Ze=Vab/I = (Z1Z2-ZM )/(Z1+Z2-2ZM) Quadripoli con accoppiamento induttivo: due circuiti RLC. Ze=Z1-ZM2/(Z1+Z2) Potenza Potenza attiva: attiva:

v

I

ELETTROTECNICA – III parte

1 di Giorgio DAVANZO

MUTUE INDUTTANZE:

sia una serie fatta da A R 1-L1-L2-R 2B, tra le induttanze c’è la mutua induttanza M>0, V ab è la tensione applicata agli estremi e I la corrente in circolo. ZAC=R 1+jωL1 e ZBC=R 2+jωL2. C è un punto tra L 1 e L2. La corr corren ente te pass passan ando do in L 2 indurrà, indurrà, come consegue conseguenza nza dell’accoppiamento mutuo M, una f.e.m. nell’induttanza L 1: allora Vac=R 1I+jωL1I+jωMI e, analogamente, Vcb=R 2I+jωL2I+jωMI. Allora Vab=Vac+Vcb= [(R 1+R 2)+jω(L1+L2+2M)]I. Quindi R e=R 1+R 2 e Le=L1+L2+2M. Se M<0, l’induttanza equivalente sarebbe stata L e=L1+L2-2M Bipoli in parallelo con accoppiamento induttivo: stesso circuito di prima ma in parallelo: R 1 in serie a L 1 messi in parallelo con R 2 in serie a L 2. Applicandoci la tensione V ab la corrente assorbita si divide nei due rami. Z1=R 1+jωL1 e Z2=R 2+jωL2; definiamo ZM=jωM. Le tensioni tensioni calcolate calcolate sui due rami con il metodo metodo preceden precedente te sono uguali: V ab= R 1I+jωL1I+jωMI = R 2I+jωL2I+jωMI. Vab=Z1I1+ZMI2= Z2I2+ZMI1 Ze=Vab/I = (Z1Z2ZM2)/(Z1+Z2-2ZM) Quadripoli con accoppiamento induttivo: due circuiti RLC seriali, uno con V 1 e l’altro con V 2. Trascorso il   per perio iodo do tran transi sito tori rioo dopo dopo l’ap l’appl plic icaz azio ione ne dell dellee tens tensio ioni ni,, le corr corren enti ti sono sono in regi regime me sinu sinuso soid idal alee V1=R 1I1+jωL1I1−jI1/(ωC1)+jωMI2 e V2 analogo. Indicando con Z1 e Z2 le reattanze equivalenti e con ZM=jωM, si ha V1=Z1I1+ZMI2 e V2=Z2I2+ZMI1. Ze=V1/I1 Ze=Z1-ZM2/(Z1+Z2) Bipoli in serie con accoppiamento induttivo:

TRASFORMATORI: Descrizione Descrizione del trasformatore: trasformatore: vi sono due spire avvolte su un nucleo laminato di materiale ferro-magnetico dette  primario e  secondario . Sul primario vi è una tensione sinusoidale V 1=VA1-VB1, mentre il secondario alimenta un carico ZC con la tensione V 2=VA2-VB1. Dividiamo le linee di flusso f lusso magnetico in tre classi:

1. linee di flusso flusso che si richiudono richiudono interamen interamente te sul ferro, disposte disposte prevale prevalenteme ntemente nte sulla linea linea mediana mediana del circuito magnetico 2. linee di di flusso che che si richiud richiudono ono in aria conca concatena tenandos ndosii solo con con il primario primario 3. linee di flusso flusso che si richiud richiudono ono in aria concate concatenand nandosi osi solo con con il secondario secondario Queste linee originano dei flussi: Flusso principale: Φ è formato dalle linee di tipo 1; è costante in ogni sezione S della trasformatore, e si concatena con le N 1 spire del primario e le N 2 del secondario Flusso di autoinduzione di dispersione primario: Φd1 , originato dalle linee di tipo 2; supponendo che Φ operi in regime di linearità  proporzionali alle correnti  Φd1=Ld1i1 con Ld1 coefficiente di autoind.di dispersione primario . Flusso di autoinduzione di dispersione secondario: Φd2 , originato dalle linee di tipo 3; Φ d2=Ld2i2 con Ld2 coefficiente di autoind. di dispersione secondario Visto che Φ d è localizzato in aria, che ha una elevata riluttanza, si possono trascurare le cadute di tensione magnetica del ferro riducendo gli effetti di una eventuale saturazione del campo si possono usare le relazioni linearii flussi complessivamente concatenati con primario e secondario sono Φ c1=N1Φ+Φd1=N1Φ+Ld1i1 e Φc2=N2Φ+Φd2=N2Φ+Ld2i2 materi riaale del nucle ucleoo si comp omporta orta lin linearm armente ente usiamo la legge di Equaz Eq uazion ionii intern interne: e: se il mate Hopkinson N1i1+N2i2 = RΦ con R riluttanza del tubo di flusso Φ≈nucleo trasformatore. R= l / μS μS , μ  permeabilità magnetica calcolata considerando la pendenza della retta che congiunge l’origine degli assi al  punto di lavoro sulla curva di isteresi determinato dalla tensione di alimentazione del primario. Usando Faraday si possono ricavare le cadute sugli avvolgimenti dovute al flusso completo e ai concatenati : ViΦ=dΦc1/dt= N1dΦ/ dt+Ld1di1/dt e V2Φ=dΦc2/dt= N2dΦ/dt+Ld2di2/dt. Le equazioni interne sono V1-V1Φ=R 1i1 e -V2-V2Φ=R 2i2 con R 1 e R 2 resistenze degli avvolgimenti. Se il carico zc è lineare, allora lo è anche il sistema trasformatore-carico, e se l’alimentazione è sinusoidale a frequenza ω, si possono usare i fasori scrivendo un insieme di equazioni: 1) V1 – jωN1Φ – jωLd1I1 = R 1I1 2) - jωN2Φ – jωLd2I2 = R 2I2 + V2 3) N1I1 + N2I2 = R Φ definiamo la Xd1=ωLd1 reattanza primaria e Xd2=ωLd2 reattanza secondaria . Allora le equazioni interne sono: 1) V1 = (R 1+jXd1)I1 + jωN1Φ 2) 0 = (R 2+jXd2)I2 + jωN2Φ + V2 3) N1I1 + N2I2 = R Φ Equazioni esterne: le equazioni interne sono 3 equazioni in 5 variabili complesse V1,V2,I1,I2,Φ cioè 10 variabili reali (9 se fissiamo arbitrariamente una fase). Ma le 3 equazioni complesse corrispondono a 6 •

•

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2 ELETTROTECNICA – III parte equazioni reali  per avere una sol.univoca servono altre 3 equazioni, cioè quelle di collegamento con l’esterno: 1) V1 = V1s 2-3) V2=zcI2  NB: la 1) usa solo il modulo, perché la sua fase è stata presa come riferimento. Sistema completo approssimato: approssimato: un buon trasformatore ha delle reattanze di dispersione e resistenze interne molto ridotte, perciò le equazioni si approssimano con 1) V1≈jωN1Φ 2)  – V2 = jωN2Φ V1/V2=N1/N2 con N1/  N2 rapporto spire o di trasformazione . Sempre approssimando e trascurando R Φ, di solito ridotto, si ha I 1/ I2=N2/N1. Usando i valori efficaci si ottiene potenza apparente=P a1=V1I1=V2I2=Pa2. Il nuovo sistema è: 1) V1 ≈ jωN1Φ 2) – V2 = jωN2Φ 3) N1I1+ N2I2 = 0 4) V1 = V1s 5) V2 = zcI2 TRIFASE:

E’ un sistema sistema per portare portare a distanza distanza potenza, potenza, in Italia Italia è a f=50Hz. Ci sono tre fili, ognuno ognuno con un generatore generatore (E1,E2,E3), uniti nel centro stella del generatore . Terna diretta o destrorsa:  prendiamo E1 come riferimento di fase, E2 è ruotato di 120° in senso orario, E3 di 120° in senso antiorario E1=220V E2=E1exp(-j2/3π) E3=E1exp(j2/3π) E1,E2,E3 sono dette tensioni stellate o di  fase. Vengono scelti questi valori di sfasamento perché così E1+E2+E3=0. Terna indiretta o sinistrorsa: come l’altra, ma si scambiano le due fasi: E2=E1exp(j2/3π) E3=E1exp(-j2/3π) Verifica del verso: cambiando il tipo di terna un motore collegato ad essa gira nel senso opposto si usa un motorino che gira: vedo da che parte ruota e so se ho attaccato bene i fili. Tensioni concatenate o di linea: sono le tensioni tra due fasi, si ricavano geometricamente: V12=E1exp(jπ/6)√3 V23=E2exp(jπ/6)√3 V31=E3exp(jπ/6)√3 per la terna destrorsa; per la terna sinistrorsa si ruota di –jπ/6 Carico Carico equilibra equilibrato: to: cerc cerchi hiam amoo il pote potenz nzia iale le Voo’: sono 3 rami  paralleliuso Millman: Millman: Voo’=(E1/Z1+E2/Z2+E3/Z3)/(1/Z1+1/Z2+1/Z3). Se V1 è il potenziale sul carico Z 1, nella maglia OO’1 ho E1=Voo’+V1  V1=E1-Voo’I1=V1/Z1=(E1-Voo’)/Z1 analogo per  I2 e I3. Essendo il carico equilibrato (Z1=Z2=Z3Voo’=0) ottengo una terna nuovamente equilatera sfasata di φ rispetto alle tensioni Ex: I1=E1/Z Vantaggi: se devo alimentare tre carichi alla stessa tensione mi servono 6 cavi (3 per il ritorno). Con la trifase elimino i ritornirisparmio! Carico squilibrato: I1=V1/Z1 = (E1 -Voo’)/Z1non ho più una terna di tensioni sui carichi e correnti equilatere. Trasformazione Trasformazione stella-triangolo: stella-triangolo: siano Z 1, Z2 e Z3 i carichi in stella e Z 12, Z31 e Z23 i carichi in triangolo. triangolostella: Z1=Z12Z31/Zs Z2=Z12Z23/Zs Z3=Z23Z31/Zs con Zs=Z12+Z23+Z31. stellatriangolo: Z12=Z1Z2/ZP Z23=Z2Z3/ZP Z31=Z3Z1/ZP con ZP = 1/(1/Z1+1/Z2+1/Z3). Caso particolare : tutti i carichi sono uguali  ZT=3ZS Correnti di linea nel Triangolo: per kirchoff, I1=I21+I31=V12/Z12+V13/Z13=V12/Z12-V31/Z13 (idem per I2 e I3) Introduzione Introduzione del Neutro: in laboratorio mi arriva la 3fase, come attacco qualcosa a 220? metto un carico Z tra 1 e 2 in modo che, passando al triangolo, questo sia in parallelo a Z 12. La stella iniziale è equilibrata (quindi stabile), l’altra no( un motore 3fase non andrebbe più): converto stella triangolo, aggiungo la Z e riconverto a stella. Soluzione: metto un cavo che collega O e O’, detto neutro: ora posso inserire la Z mettendola tra una fase e il neutro, che blocca la differenza di potenziale il centro del carico non si sposta. In un carico equilibrato (senza la Z) nel neutro non scorre corrente: Cavo di terra: è un cavo di sicurezza, vi passa corrente solo se c’è un guasto Massa: è il ritorno del circuito Potenza: la potenza complessa è P c = V1I1*+V2I2*+V3I3* (se c’è il neutro Vi=Ei). P=Re{P c} e Q=Im{P c}. Caso  particolare: carico equilibrato P=3E eIecosφ = (√3)V eIecosφ e Q=(√3)V eIesinφ Potenza istantanea su un carico equilibrato: su una linea P(t)=V eIecos(φv-φI)+VeIecos(2ωt+φV+φI). Posto φ=φV-φI si ha P(t)=P[1+cos(2ωt+2φ V)]+Qsin(2ωt+2φV). La potenza totale istantanea è P T(t)=P1(t)+P2(t)+P3(t)= 3Pla potenza totale istantanea è costante: mentre nei circuiti monofasi il flusso di energia da ciascun generatore al carico avviene ad un livello di potenza variabile nel tempo, nel sistema trifase simmetrico ed equilibrato le componenti fluttuanti delle potenze monofasi si compensano eliminandosi reciprocamente il carico assorbe potenza in modo costante. Teorema di equivalenza: equivalenza:  prendiamo un insieme di carichi Z 1,Z2,Z3: ha Pc= V1I1*+V2I2*+V3I3*. Cambiamo ora le imp impede edenze nze: Z 1’, Z2’, Z3’: Pc’= V1’I1*+V2’I2*+V3’I3*=(Vo’o’’+V1’)I1*+(Vo’o’’+V2’)I2*+(Vo’o’’+V3’)I3*=

3 Vo’o’’(I1*+I2*+I3*)+Pc = P c (perché I1*+I2*+I3*=0). Allora qualunque carico soddisfi i vincoli assorbe la stessa  potenza. ELETTROTECNICA – III parte

Strumenti di misura: Voltmetro: Voltmetro : ha una grande impedenza, si mette in parallelo • • Amperometro: ha una impedenza nulla (se ideale), si mette in serie • wattmetro: misura la potenza attiva, si mette in serie e in parallelo.

Se il sistema è squilibrato servono tre wattmetri. Per ricavare la Q si usa il triangolo delle potenze: P a*=EIe Q*=√(Pa*2-PW2)Q=3Q* e cosφ=P/Pa. Se il centro stella non è disponibile lo si crea con il wattmetro Inserzione Aron: sposta il centro stella su una fase  possiamo misurare lo stesso la  potenza attiva (T.di equivalenza) con soli due wattmetri; per i carichi equilibrati si  può ricavare anche P e Q, per quelli squilibrati solo P. La corrente di linea risulta sempre sfasata di (φ+π/6) rispetto alle relative tensioni di linea. I wattmetri allora indica indicano no P’=V P’=V12I1cos(φ+π/6)=VeIecos( cos(φ+ φ+π/ π/6) 6) e P’’= P’’=V VeIecos(φ-π/6 cos(φ-π/6). ). P’+P’’=V P’+P’’=VeIe[cos(φ+π/6)+cos(φ-π/6)]= VeIe√3cosφ = P = potenza attiva. P’’-P’=V eIesinφ=Q/√3Q=(P’’-P’)√3.   Per carichi squilibrati: per il t.di equivalenza posso spostare il centro stella in un punto qualunque: lo metto per esempio in E 2. Allora V2=0, V3=-V23 e V1=V12 ma questa è la stessa cosa che si fa con l’inserzione Aron mettendo il centro stella su una fase posso ancora misurare la potenza attiva. Confronto trifase-monofase: siano R le resistenze di ogni linea del trifase e anche del monofase.   Per il  trifase: Pu=3|V||I|cosφ e P L=3|I2|R  Per  Per il monofase: Pu=|V||I|cosφ e P L=2|I2|R Pu/PL|trifase=2Pu/PL|monofase Teorema di Aron: La potenza attiva di un qualunque sistema trifase a tre fili è sempre uguale alla somma dei  prodotti scalari delle correnti di linea per le corrispondenti tensioni stellate qualsiasi qualsiasi sia il centro stella fissato. Rifasamento del carico trifase:  prendiamo un carico ohmico-induttivo alimentato ad una tensione V a, che assorbe una potenza attiva P a con un cosφ a molto basso. Allora I L=Pa/(√3 Vacosφa). Le perdite in linea sono tanto più elevate tanto più basso è il cosφ a del caricolo si deve elevare all’arrivo a parità di potenza attiva assorbita mettendo una batteria di condensatori tale che, assorbendo una potenza attiva nulla ed una potenza reattiva di segno opposto a quella ohmico-induttiva, porti il cosφ a ad un valore cosφ L maggiore. Riassumendo si deve deve aver averee P L=Pa e QL=Qa-Qc=Patgφa-QcQc=Pa(tgφa-tgφL). Se i cond conden ensa sato tori ri sono sono conn connes essi si a stel stella la,, 2 2 2 2 Qc=3ωCλ Vf  =3ωCλ (V (VL/√3) =ωCλ VL Cλ =[P =[Pa(tgφa-tgφL)] / [ωVL ]. Se i condensatori sono connessi a triangolo, 2 C=[Pa(tgφa-tgφL)] / [3ωVL ] ⋅