Elementos de Mecánica Cuántica - David S. Saxon.pdf

ELEMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA David S. Saxon Universidad de California, Los Angeles

I

SEGUNDA EDICIÓN

ED ITO RU LEA SO , S, A. MEXICO

vi

PREFACIO

ì

Se presentan d en to cincuenta problemas que son muy importantes pedagógicamente. Los problemas no son exclusivamente deJ tipo ilus trativo del material presentado en el texto; también sirven para am pliarlo. Un número importante sirve para ampliar el curso, señalando nuevos tópicos y nuevos puntos de vista. Muchos problemas son de masiado difíciles para que el estudiante los domine al primer intento. Se le aconseja que vuelva a intentarios a medida que vaya entendien do la teoría. Finalmente podrá resolver cualquiera de ellos. En el Apéndice III, se exponen respuestas y soluciones completas a cin:uenta problemas representativos. Alrededor de cuarenta ejercicios se sncuentran distribuidos en el libro. En general se refieren a ciertos Jetalles del texto, pero no todos son triviales. En UCLA, el material del texto se presenta en una secuencia de jos trimestres, pero el curso también se puede usar en un curso de un lemestre; cualquiera de las secciones marcadas con asterisco en la ta lla del contenido pueden omitirse sin afectar el desarrollo lógico del ■esto. Si se desea, también puede usarse el texto para un curso de un iflo, pero complementado con otro material. Las representaciones de ieisenberg y de interacción y, en general, la teoría de transformación, ion tópicos que surgen a la mente de inmediato. Respecto a las apli:aciones, los efectos Zeeman y Staik, las ondas de Bloch, los métolos de Hartree-Fock y Fermi-Thomas, moléculas simples y espín isoópico, son temas adecuados para escoger. El autor se ha beneficiado de numerosas críticas y sugerencias de :olegas y estudiantes. A todos ellos expresa su gratitud profunda y ispecialmente al Dr. Ronald Blum por su cuidadosa lectura de la edi:ión preliminar y del manuscrito final. E1 autor también agradecerá ¡omentarios adicionales así como el señalar las erratas y los errores, David S. Saxon Noviembre, 1967

I·'

contenido

I. LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIA CION 1. 2. 3. 4. 5. 6 . 7.

El fracaso de la física clásica........................................... Conceptos cuánticos........................................................ El aspecto ondulatorio de las p a rtíc u la s ...................... Magnitudes numéricas y dominio c u á n tic o .................. El aspecto corpuscular de las ondas................................ C om plem entareidad........................................................ El principio de correspondencia........ ...........................

1 3 5 13 14 17 17

U. FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACION 1. 2. 3.

La idea de función de estado; superposición de estados 19 Valores de expectación............................................. 25 Comparación entre las descripciones cuántica y clásica de un estado; paquetes de onda................................ 27

III. MOMENTO LINEAL 1. Funciones de estado que corresponden a un momento lineal definido................................................................ .... 30 2. Construcción de paquetes de onda por superposición . 32 3. Transformadas de Fourier; la función delta de Dirac. . 36 4/ Espacios de configuración y de momento lin e a l......... 39 5. Operadores de posición y de momento lin e a l..............40 6 . Relaciones de conm utación.............................................. 47 7. El principio de incertidum bre..........................................49

VIH

CONTENIDO

IV. MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA LIBRE 1. Movimiento de un paquete de ondas; velocidad de g r u p o ............................................................59 2. El requisito del principio de correspondencia..............62 3. Popagación del paquete de ondas de una partícula libre en el espacio de configuración......... ............................... 64 4. Propagación del paquete de ondas de una partícula libre en el espacio de momentos; el operador de energía. . . 6 6 5. Evolución en el tiempo de un paquete de ondas gausiano.............................................................. 6 8 6 . Ecuación de Schrödinger para la partícula libre............70 7. Conservación de la probabilidad..................................... 72 8 . Notación de D irac..............................................................76 9. Estados estacionarios......................................................... 78 10. Partícula en una caja......................................................... 80 11. Resumen.............................................................................. 83 V.

ECUACION DE SCHRÖDINGER 1. El requisito de la conservación de la probabilidad . . . . 90 2. Operadores hermitianos........................................................91 3. El requisito del principio de correspondencia................ 98 4. Ecuación de Schrödinger en el espacio de configuración y en el espacio de m om entos............................................1 0 1 5. Estados estacionarios......................................................... 104 6 . Autoftinciones y autovalores de operadores herm itianos..........................................................................108 7 Observables simultáneos y coiyuntos completos de o peradores..................................................................... Π 1 8. El principio de incertidum bre...........................................113 *9. Movimiento de paquetes de o n d a ................................... 118 10, Resumen; los postulados de la mecánica cuántica. . . . 119

/I. ESTADOS DE UNA PARTICULA EN UNA DIMENSION 1. Características generales....................................................124 2. Clasificación por simetría: el operador de paridad.. . .127 3. Estados ligados en un pozo c u a d ra d o ............................. 130 Para un curso de un semestre cualquiera de las secciones con asterisco puede omitirse sin eijudicai el desarrollo lógico (vei el prefacio).

CONTENIDO

4. *5. *6 . 7. 8 . *9.

*10.

ix

EI oscilador arm ónico.........................................................135 La representación del operador de creación....................147 Movimiento de un paquete de ondas en ei potencial del oscilador arm ónico................................. 154 Estados continuos en un pozo de potencial cuadrado................................................................................ 158 Estados del continuo; el flujo de probabilidad............... 163 Paso de un paquete de ondas a través de un p o te n c ia l......................................................................... 166 Solución numérica de la ecuación de S chrödinger.. . .169

v a METODOS APROXIMADOS 1. 2. 3. 4. 5. 6 .

La aproximación W K B ...................................................... 186 La aproximación de Rayleigh-Ritz................................. 196 Teoría de perturbación para estados estacionarios.. . .202 Matrices................................................................................. 215 Estados vecinos o degenerados........................................ 218 Teoría de perturbación dependiente del tie m p o ..........222

v n i . SISTEMAS DE PARTICULAS EN UNA DIMENSION 1. 2. 3.

*4. 5. . 7. 8 . 6

*9. 10.

F orm ulación....................................................................... 242 Dos partículas: coordenadas dei centro de m asa......... 245 Interacción de partículas en presencia de fuerzas externas u niform es............................................................. 249 Osciladores armónicos acoplados................. ....................251 Interacción débil de partículas en presencia de fuerzas externas.................................................................... 254 Partículas idénticas y degeneración de intercam bio.. .257 Sistema de dos partículas idénticas................................ 259 Sistemas de muchas part ículas, simetrización y el principio de exlusión de Pauli.................................... 261 Sistemas de tres partículas id énticas.............................. 266 Partículas idénticas interaccionando débilmente en presencia de fuerzas e x te rn a s...................................... 272

IX. MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES 1.

Formulación: movimiento de una partícula libre . . . .279

CONTENIDO

*2. 3. 4. 5.

Potenciales separables en coordenadas rectangulares. .283 Potencialescentrales;estadosdem om entoangular. . .286 Algunos ejem plos.............................................................. 297 El átomo de hid ró g en o .................................................... 304

MOMENTO ANGULAR Y ESPIN 1

.

2. *3. 4. *5.

Operadores del momento angular orbital y relaciones de co n m u tació n ............................................,318 Auto funciones y autovalores del momento an g u lar.. .322 Operadores de rotación y de translación....................... 334 Espín; los operadores de Pauli..........................................337 Adición del momento angular..........................................348

ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES 366 * 1 . El átomo de helio; la tabla periódica.................... * 2 . Teoría de la d isp ersió n ......................................... , . ,374 *3. Funciones de Green para la dispersión; 383 la aproximación de B orn......................................... 396 •4. Movimiento en un campo electromagnética . . . *5. Teoría del electrón de D irac................................ ......... 401 411 * 6 . Estados mixtos y matriz de densidad.................... APENDICES I. Cálculo de integrales de funciones gausianas................ 423 II. Referencias seleccionadas................................................ 426 III. Respuestas y soluciones a problemas seleccionados. . .429

"K ahora lector, afánate, porque siem

pre te ayudaremos en las dificultades, ya que no esperamos, como otros, que uses al arte de la adivinanza para des cubrir nuestro significado, pero no se remos indulgentes con tu holgazanería cuando lo único que se te exija sea tu atención; estarías m uy equivocado al imaginar que empezamos esta gran ta rea para no dejar nada a tu sagacidad o al efercicio de tu talento recorriendo estas páginas sin beneficio ni placer. Henry Fielding

I La naturaleza dual de la materia y la radiación 1.- EL FRACASO DE LA FISICA CLASICA » A finales del siglo XIX la mayor parte de los físicos pensaban que se había completado la descripción de la naturaleza y que solamente faltaba por desarrollar algunos detalles. Esta creencia se basaba en los logros espectaculares de la mecánica de Newton que, junto con la ley de gravitación y la electrodinámica de Maxwell, describían y prede cían las propiedades de sistemas macroscópicos cuyas dimensiones variaban desde el tamafio de un laboratorio al tamaño del cosmos. Sin embargo, al desarrollarse las técnicas experimentales para estudiar sistemas atómicos, surgieron dificultades que no podían explicarse con las leyes de la física clásica ni con sus conceptos. Las nuevas le yes y los nuevos conceptos que fueron necesarios desarrollar durante la primera cuarta parte del siglo XX fueron los de la mecánica cuán tica. Las difícultades que se encontraron fueron de diferentes tipos. En primer lugar se encontraron contradicciones con algunas de las pre dicciones del teorema de equipartición de la energía. La aplicación directa de este teorema conduce a resultados absurdos para el espec tro de radiación del cuerpo negro y a conclusiones erróneas para los calores específicos de sistemas materiales. En ambos casos, el resulta do empírico predice que sólo algunos de los grados de libertad del sis tema participan en los intercambios de energía que Uevan al equili brio estadístico. En segundo lugar, se encontraron dificultades para explicar la es* Una disCTiáón detallada de las bases históricas y experimentales de ta mecánica cuántica, se encuentran en las referencias del [ 1] al [5], en el apéndice II.

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LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACION

tructura y la existencia misma de los átomos, tomados como sistemas de partículas cargadas. Para tales sistemas, el equilibrio estático es im posible bajo fuerzas exclusivamente electromagnéticas, siendo tam bién imposible el equilibrio dinámico, por ejemplo en forma de un sistema solar en miniatura. Partículas en equilibrio dinámico están aceleradas y, clásicamente, cargas aceleradas radian energía, lo cual provoca el colapso de las órbitas independientemente de su naturale za. Pero, aunque se acepte la existencia de los átomos, subsiste el pro blema de explicar el espectro atómico, es decir, determinar las carac terísticas de la radiación causada por la aceleración de las cargas de un átomo al perturbar su configuración de equilibrio. Clásicamente se esperaría que dicho espectro consistiera de los armónicos correspon dientes a ciertas frecuencias fundamentales. Pero el espectro observa do satisface la ley de combinación de Ritz, la cual establece que las frecuencias del espectro se obtienen como diferencias de ciertas fre cuencias fundamentales y no como múltiplos. Una tercera clase de dificultades proviene del efecto fotoeléctrico. La fotoemisión de electrones de superficies iluminadas no puede expli carse clásicamente. La dificultad esencial es la siguiente: el número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la luz inci dente y por lo tanto a ¡a energía electromagnética que incide sobre la superficie, pero la energía transferida a los fotoelectrones no depende de la intensidad de la iluminación. Esta energía depende de la fre cuencia de la luz, creciendo linealmente con ella a partir de cierto va lor de umbral, característico de la superficie del material. Para fre cuencias menores que la del umbral no se emite ningún fotoelectrón aunque sea grande la energía electromagnética transmitida a la super ficie metálica. Por otra parte, para frecuencias mayores que la del umbral, aunque la fuente de luz sea débil, siempre se emiten fotoelec trones y siempre con la energía total apropiada a la frecuencia. Las explicaciones a estas dificultades comenzaron en 1901 cuando Planck supuso la existencia del cuanto de energía para poder obtener la modificación necesaria del teorema de equipartición. La conse cuencia de que la radiación electromagnética es de naturaleza cor puscular fue afirmada por Einstein en 1905 al explicar en forma di recta y simple las características de la emisión fotoeléctrica. También fue Einstein, dos años más tarde, el primero en explicar el comporta miento del calor específico de los sólidos a bajas temperaturas, cuan ti zando los modos de vibración del sólido de acuerdo con las reglas de Planck, La primera explicación del espectro y estructura atómicos se dió en 1913 cuando Bohr introdujo la idea revolucionaria de estado estacionario y estableció las condiciones cuánticas para su determina ción. Más tarde, estas condiciones fueron generalizadas por Sommer-

CONCEPTOS CUANTICOS

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feld y Wilson, y la teoría resultante explicó casi perfectamente el es pectro y estructura atómicos del hidrógeno. Sin embargo, la teoría de Bohr tropezó con dificultades muy serias al intentar estudiar proble mas más complejos. Por ejemplo, el átom o de helio fué imposible tra tado con esta teoría. La primera indicación para resolver estos pro blemas fué dada en 1924 cuando de Broglie sugirió que las partículas podrían exhibir un comportamiento ondulatorio, así como las ondas exhibían un comportamiento corpuscular. Siguiendo estas sugeren cias, Schrödinger estableció su famosa ecuación de onda en 1926. Heisenberg, poco antes, partiendo de un punto de vista diferente ha bía llegado a establecer resultados matemáticos equivalentes. Aproxi madamente al mismo tiempo, Uhlenbeck y Goudsmit introdujeron la idea de espín o giro del electrón, Pauli enunció su principio de exclu sión, y así, esencialmente, se había completado la formulación de la mecánica cuántica no relativista.

2. CONCEPTOS CUANTICOS Las leyes de la mecánica cuántica no pueden demostrarse, análoga mente a lo que sucede con las leyes de Newton y las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, se espera que estas leyes puedan deducirse, más o menos directamente, como consecuencias lógicas de ciertos ex perimentos seleccionados. Pero la descripción cuántica de la naturale za es demasiado abstracta para que esto sea posible: los conceptos bá sicos de la teoría cuántica están fuera del alcance de la experiencia diaria. Estos conceptos son los siguientes: Funciones de Estado. La descripción de un sistema se hace me diante la especificación de una función especial, llamada función de estado del sistema, la cual no puede observarse directamente. La in formación contenida en la función de estado es esencialmente esta dística o probabilística. Observables. La especificación o determinación de una función de estado es consecuencia de un conjunto de observaciones y medicio nes de las propiedades físicas o atributos del sistema estudiado. Pro piedades que pueden medirse, tales como enei^ía, mom ento lineal, momento angular y otras variables dinámicas, se llaman observables. Observaciones u observables se representan por objetos matemáticos abstractos llamados operadores. El proceso de observación exige que haya cierta interacción entre el instrumento de medida y el sistema observado. Clásicamente pue den suponerse estas interacciones tan pequeñas como se quiera. Ge-


eralmente se toman como infinitesimales, en cuyo caso el sistema 6 se perturba por la observación. Pero, a escala cuántica, la interaclón tiene características discretas y no puede disminuir indefmidalente sino hasta cierto límite. El acto de observar provoca en el sissma ciertas perturbaciones incontrolables e irreducibles. La observatón de la propiedad A provocará cambios incontrolables en otro obsryable B relacionado con A. La existencia de un lím ite absoluto paI una interacción o perturbación, permite dar a la idea de tamaño un Ignificado absoluto. Un sistema puede considerarse grande o pequeo, y tratarlo clásica o cuánticamente, dependiendo de que la interaclón dada pueda considerarse pequeña o no. La noción de que la observación precisa de una propiedad provoca ue una segunda propiedad {llamada complementaria de la primera) sa inobservable, es un concepto exclusivamente cuántico sin analoía en la física clásica. Las características de ser onda o partícula nos roporciona un ejemplo de un par de propiedades complementarias. ^ dualidad partícula-onda de sistemas cuánticos, es una afirmación el hecho de que tales sistemas pueden exhibir cualquiera de las dos aracterísticas dependiendo de las observaciones realizadas sobre el istema. Las variables dinámicas, posición y momento lineal, son un jemplo más cuantitativo de una pareja de observables compleménta los. Al observar la posición de una partícula, por ejemplo iluminánola, necesariamente se provocará una perturbación en su momento neal. Este resultado es consecuencia de la naturaleza corpuscular de 1 luz; la medida de la posición de una partícula exige que, por lo me es, un fotón choque con la partícula, siendo esta colisión la que Tovoca la perturbación. Consecuencia inmediata de esta relación enre medición y perturbación es que trayectorias precisas de partículas , 0 pueden definirse cuánticamente. La existencia de una trayectoria «finida implica el conocimiento de la posición y del mom ento lineal e la partícula en él mismo instante. Pero el conocimiento simultáeo de ambas propiedades no es posible, si la medición de una de lias provoca una perturbación incontrolable y apreciable en la otra, orno es el caso de sistemas cuánticos. Estas perturbaciones mutuas I inoertidumbres no son debidas a la técnica experimental; son conscuencias inevitables de la medición u observación. La existencia levitable de estos efectos para una pareja de variables complementalas fué enunciada por Heisenberg en su famoso principio de incerti'umbre. Más adelante se estudiarán estos hechos, pero ahora es conveniente mpezar el desarrollo de las leyes de la mecánica cuántica. El enfoque lue se va a seguir no es el histórico y se llevará a cabo en la forma siuiente. En el resto del capítulo se intentará hacer plausible algunas

EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTICULAS

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de las ideas de la mecánica cuántica, en particular las ideas de incer tidumbre y complementareidad. Se hará considerando algunos expe rimentos y observaciones, que resaltan la naturaleza dual de la mate ria y de la cual se concluye inmediatamente que las trayectorias pre cisas de partículas, como en la mecánica de Newton, no existen. Co mo consecuencia se presenta el problema de cómo caracterizar el es tado de movimiento de un sistema cuántico y de cómo describirlo. En el Capítulo II se resolverá este problema introduciendo función de estado de un sistema, discutiendo su interpretación probabilísti ca. En el Capítulo III se considerarán las propiedades generales de ob servables y de vwîahles dinánicas en mecánica cuántica y se obten drán reglas para encontrar sus representaciones abstractas como ope radores. En los Capítulos IV y V se completará la primera etapa de esta formulación al introducir la ecuación de Schrödinger, que go bierna el desenvolvimiento en el tiempo de sistemas cuánticos. Méto dos para resolver la ecuación de Schrödinger para el sistema más sim ple, el movimiento de una partícula en una dimensión, se discutirán en los Capítulos VI y VII. Unicamente hasta los cuatro capítulos fi nales se podrá tratar el problema general de sistemas de partículas in teraccionando en tres dimensiones, y así, encontrar la relación con el mundo real. En todo el desarrollo, siempre se usará el principio de que las predicciones cuánticas deben de corresponder a las prediccio nes de la física clásica en el límite adecuado. Este p rtttc^/o de corres pondencia jugará un papel muy im portante al determinar la forma de las ecuaciones en la mecánica cuántica. Se recalcarán las propiedades cuánticas de sistemas materiales. De bido a su complejidad, no se presentará ningún desarrollo sistemático de las propiedades cuánticas de campos electromagnéticos, aunque se harán plausibles algunas de sus propiedades cuánticas. '

3. EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTICULAS El experimento que mejor revela los elementos básicos de la des cripción cuántica de la naturaleza es la dispersión de un haz de elec trones por un cristal metálico, realizado por primera vez por Davisson y Germer en 1927. Este experimento fué diseñado principalmente para comprobar la predicción de de Broglie, según la cual, en analo‘ En la Secdón 5 de ests c ^ ítu lo se tecune a la naturaleza oorpusculai de la tuz p ú a ex plicar la tadiadón dcl cuerpo negro y la dispersión de Compton. No será sino hasta la Sec ción 6, Capítulo VII, en que se discutirá oUa vez la radiación, cuando su emisión y abw l· ción se presenten en forma eurístlca y semidásica. Finalmente, en la Sección 4, C ap itu b XI, se discutirá brevemente el movimiento de una partícula caigada en u n campo etecttomagnítico clásico.

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già a las propiedades corpusculares de la luz, perfectamente estable cidas, también puede asociarse a una partícula de mom ento lineal p una onda X que se llama longitud de onda de de Broglie expresada como, X

h¡p.

La constante h es la constante universal de Planck o el cuanto de acción. La hipótesis anterior fué consecuencia de que de Broglie tra tara de acomodar un número entero de semilongitudes de onda en una órbita de Bohr para entender la condición de cuantización de Bohr, aparentemente arbitraria. Pero Davisson y Germer observaron que electrones de momento lineal p, dispersados por un cristal, se dis tribuían en un patrón de difracción, exactamente como lo harían rayos-X de la misma longitud de onda dispersados por el mismo cris tal. Por lo tanto, se verificó cuantitativamente y directamente la hi pótesis de de Broglie. El cuanto de acción tiene dimensiones de mom ento lineal por lon gitud o lo que es lo mismo, de energía por tiempo, siendo su valor numérico. h = 6.625 X 10“^^ erg-sec. En la mayoría de las aplicaciones cuánticas resulta más convenien te usar la cantidad que se abreviará h y será denominada barra” . Su valor numérico es, h = hl 2 7 T = 1.054 X 10“^^ erg-sec.

En términos de ft , la relación de de Broghe puede escribirse como X = \ I 2 tt = h i p ,

donde se ha introducido la longitud de onda reducida K (lambda ba rra), que, físicamente, caracteriza mejor a la onda que la propia lon gitud de onda. También es conveniente definir el número de onda k (más bien el número de onda reducido), como el recíproco de X . En tonces, se puede escribir la relación de de Broglie como, p = hk.


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Reuniendo dichas relaciones en una sola expresión, finabnente, se tiene que,

p = h¡\ = lTTh¡\ = ft/X = hk.

(O

La hipótesis de de Broglie y el experimento de Davisson y Germer están en conflicto con la física clásica, porque se asignan a la misma entidad ambas propiedades, la de partícula y la de onda. La naturale za y las implicaciones de este conflicto pueden aclararse imaginando que el experimento se realiza con un haz de electrones tan débil que un solo electrón se dispersa por el cristal y se registra en cierto instan te de tiempo. En este evento, no se obtiene inicialmente un patrón de difracción; el electrón será dispersado en cierta dirección, aparente mente al azar. Sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, el nú mero de electrones dispersados aumenta a miles y a millones, obser vándose que mayor número de electrones se dispersan en ciertas di recciones preferentes, y así, se va formando el patrón de difracción. De ios resultados experimentales de Davisson y Germer pueden ob tenerse las conclusiones siguientes; (a) Los electrones poseen propiedades de partícula y de onda. La re lación cuantitativa entre ellas está expresada por la relación de de Broglie; ecuación (1). (b) No puede predecirse exactamente el comportamiento de un elec trón sino únicamente su comportamiento probable. (c) En mecánica cuántica no existen trayectorias definidas. (d) La probabilidad de observar a un electrón en una región dada, es proporcional a la intensidad de su campo ondulatorio asociado. (e) El principio de superposición se aplica a las ondas de de Broglie, tal como se aphca a las ondas electromagnéticas. Las conclusiones (a) y (b) no necesitan comentarios. La conclusión (c) se sigue de (b), debido a que, clásicamente, para condiciones ini ciales dadas, una partícula se mueve en una trayectoria única b ^ o la influencia de fuerzas especificadas. La conclusión (d) se obtiene del paralelismo entre los patrones de difracción para rayos-X y para elec trones, producidos por un determinado cristal. Por último, la conclu sión (e) se obtiene de que el patrón de difracción se produce por inter ferencia de ondas secundarias, generadas en cada átom o del cristal, o sea, por combinación lineal o superposición de estas ondas. Esta^ conclusiones forman el punto de partida de todo el desarro llo de la mecánica cuántica. Se ha llegado a ellas sin hacer referencia al tipo de interacción entre los electrones (o rayos-X) y los átomos del cristal, y sin estudiar las particularidades del patrón de difracción formado como resultado de esta interacción. Este argumento se basa

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totalm ente en el comportamiento de un cristal como una red de di fracción tridimensional, calibrada por la observación de sus efectos sobre rayos -X de propiedades conocidas. Sin embarco, es poco satis factorio, al menos pedagógicamente, llegar a dichas conclusiones sin explorar todos los detalles. Pero el entender estos detalles requiere conocer la interacción de un electrón con los átomos de un sólido cristalino, cuya interacción no puede comprenderse sin antes haber entendido la mecánica cuántica. Por esta razón, se considerará a con tinuación dos experimentos “ cruciales” , aunque idealizados, de los cuales se obtienen los mismos resultados en forma más o menos in mediata. Estos experimentos son versiones en una dimensión de la di fracción y de la dispersión, interviniendo en ellos los sistemas más simples. Sin embargo, los experimentos se realizan sólo en principio y no en la práctica. El primer experimento se muestra en la Figura l(a). Una partícula de carga positiva e y masa m se lanza con momento lineal p a lo largo del eje de un tubo, cuyas paredes se encuentran a potencial cero. Se parado infmitesimalmente y alineado con él, se encuentra un segundo tubo a un potencial m ayor Kq .

Primei tubo

Segundo tubo

y=o

y = Vn
£,-------------

«K, —

(b)

Figura 1. (a) El sistema de tubos, (b) la energía potencial U com o función de la distancia a lo laigo del ^ e del sistema de tubos. Por facilidad se ha supuesto que U varm discontinuamente. Una partícula clásica se refleja si su enei^ía es y se transmite si su energía es £ 2 .


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Se supone que la energía de la partícula es Ei = p^^}2m y q u e ^ i es menos que e Vq , como se muestra en la Fig. 1 (b). Clásicamente, la partícula se reflejará en la interfase regresando a lo largo del eje del primer tubo sin cambiar la magnitud de su mom ento lineal. Si se in crementa la energía hasta alcanzar el valor £ 2 , mayor que como también se muestra en la Fig. l(b), clásicamente se predice que el electrón se desacelera en la interfase y pasa al segundo tubo con mo mento linea! p tal que.

Para el caso en que la energía es E i , ios resultados de este experi m ento concuerdan con la predicción clásica, pero no en el caso en que la eneigía es £”2 . Para £ 2 mayor que e F o , la partícula no siempre se transmite sino que algunas veces se refleja. Sm embargo, cuando E j crece, la reflexión decrece, hasta que, prácticamente, la partícula nunca se refleja coincidiendo con la predicción clásica. Si se define el coeficiente de transmisión T como el número relativo de veces que la

Figura 2. Coeficientes de transmisión y reflexión oomo funciones de la eneigía en el sistema de tubos. Las líneas punteadas se refíeren a las predicciones clásicas.

partícula se transmite y el coeficiente de reflexión/? como el número relativo de veces que la partícula se refleja, entonces, /i + T = 1 y los resultados se muestran en la Figura 2. La predicción clásica está repre sentada por la línea punteada y el resultado experimental por la cur va continua, la cual no puede explicarse clásicamente. Hay que recal car que, en el intervalo de energía donde puede ocurrir la transmisión o la reflexión, no hay forma de predecir el comportamiento preciso de la partícula o asociarle una trayectoria bien definida. Lo único que se puede decir es que la partícula se refleja con probabilidad /i, o bien, que se transmite con probabilidades T = 1 - R . Otro experimento ideal pero más revelador de las conclusiones an teriores se logra al alinear, con el segundo tubo, un tercer tubo a po tencial cero. El potencial U se muestra en la Figura 3. La longitud del tubo intermedio es 2 a y el origen se ha colocado a la mitad de este

LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACION NATURAL

U

v = v„

e,

yô

V =Q 2a

Figura 3. Barrera de potencial cuadrada y repulsiva.

tubo. Un potencial como el de la Figura 3 se llama potencial cuadra do repulsivo; si Vq fuera negativo, sería atractivo. La teoría clásica predice que la partícula se refleja sí su enei^ía £ i es menor que b Vq y se transmite por encima de la barrera si su ener gía es E l excede a e^ o , como se muestra en la Figura 3. En ambos casos la interpretación es errónea si la barrera es lo suficientemente estrecha. Sin importar el signo de E - eV{¡, siempre que esta diferen cia no sea muy grande, una fracción de las partículas se transmite y una fracción se refleja. Definiendo los coeficientes de reflexión y transmisión como antes, el coeficiente de transmisión experimental como función de la energía se muestra en la Figura 4. La predicción clásica también se muestra en la figura. Estos resultados son sorprendentes. Particularmente notable es el hecho de que la partícula pueda transmitirse a través de la barrera cuando su energía no es suficiente para que la sobrepase, o sea, que la energía cinética sería negativa al encontrarse la partícula en el inte rior de la barrera. Clásicamente no se puede asociar un significado fí sico a una energía cinética negativa, y el movimiento en tal región re sulta imposible. Por lo tanto, se tiene la paradoja de que la partícula atraviesa dicha región prohibida y aparece del otro lado de la barrera. Este resultado se conoce como efecto túnel ya que la partícula tiene que atravesar la barrera de potencial. Por el mom ento sólo se recalca rá que la idea de trayectoria clásica pierde su significado cuando los efectos cuánücos son importantes.


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Figura 4. Coeficiente de transmisión para la barrera de potencial cuadrada y re pulsiva.

Es im portante estudiar las oscilaciones de] coeficiente de transmi sión. Si el primer máximo ocurre a una energía e por encima de la al tura de la barrera, el segundo máximo se observará a 4 « , el tercero a 9c , etc. Al repetir el experimento variando la anchura de la barre ra, se encuentra que el valor de € es inversamente proporcional al cuadrado de la anchura de la barrera. E ntonces, se concluye que la energía del máximo n-ésimo es tal que,'s/£'n - eV^ es proporcional a n¡a. Sí llamamos p al mom ento lineal de la partícula al pasar por encima de la barrera, el mom ento lineal Pn del máximo n-ésimo satis face la relación 2

n h « = * -— 2

p„

donde la constante de proporcionalidad resulta ser la constante de Planck. Dicho de otra manera, cuando la anchura de la barrera, 2a, es un múltiplo semientero de hjp, la transmisión alcanza su valor máxi mo de uno y el coeficiente de reflexión es cero resultando que la ba rra es perfectamente transparente únicamente para estos valores par ticulares. Este comportamiento es exactamente análogo al de la transmisión de la luz a través de una placa delgada de dieléctrico o de una pelícu la, cuando el coeficiente de reflexión se anula porque el espesor de la película es igual a un número entero de semilongitudes de onda. Por consiguiente lo que se observa es un fenómeno ondulatorio y explí

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citamente, existe una onda de longitud de onda X asociada a una par* tícula de momento lineal p , lo cual concuerda con la predicción de de Broglie y los resultados experimentales de Davisson y Germer. La explicación de las observaciones anteriores sería como sigue. A la partícula incidente en el primer tubo se le asocia una onda que se llamará onda de de Broglie y expresada como.

(2) Cuando esta onda choca con la primera cara de la barrera de po tencial, parte se transmite al interior de la barrera y parte se refleja. La onda transmitida al interior de la barrera tiene la forma

Parte de esta onda se transmite fuera de la barrera y parte se refleja en la segunda interfase. La onda reflejada llega a la primera interfase donde parte se transmite y parte se refleja, volviéndose a repetir el mismo proceso con la onda reflejada en la segunda interfase y así su cesivamente. Por lo tanto, la onda transmitida hada la derecha será una superposición de ondas múltiplemente reflejadas. La condición para que estas ondas interfieran constructivamente para dar un máxi mo en la transmisión es que la anchura de la barrera sea un múltiplo entero de semilongitudes de ondas. En esta explicación se encuentra implícita la idea de que las intensidades de las ondas transmitidas y reflejadas deben de asociarse con las probabilidades de transmisión y reflexión de la partícula. En esta interpretación no es esendal que la energía cinética sea ne gativa o que el mom ento lineal sea imaginario. Para un mom ento Uneal imaginario la longitud de onda de de Broghe también es imagina ria, y por lo tanto, las ondas correspondientes son ondas atenuadas y no ondas que se propagan. Estas ondas existen y pueden explicarse satisfactoriamente. El efecto túnel podría explicarse cualitativamente con estos argumentos. La onda que se transmite hacia el interior de la barrera resulta ser una onda atenuada. Llega a la segunda interfase con m enor am pütud, pero después de transmitirse se convierte de nuevo en una onda que se propaga. Si la barrera es ancha, la atenua ción es grande y la transmisión cae exponenciahnente a cero, lo cual concuerda con la observación, ’ * Un tn taraien to detallado se preaeinta en la Sección 7 del Capítulo VI.

MAGNITUDES NUMERICAS Y DOMÌNIO CUANTICO

13

4. MAGNITUDES NUMERICAS Y DOMINIO CUANTICO Es ilustrativo examinar las magnitudes de las ondas de de Broglie para algunos casos representativos: (a) Un electrón de energía E (en electrón voltios) iO-« F - '« cm

p

(b) Un protón de energía E (en electrón voltios) X a 5 X 1 0 - ’® E -*'* c m

(c) Una masa de un gramo moviéndose a una velocidad de un centí m etro por segundo X=

10

“®^ cm.

Estos números nos revelan por qué los efectos cuánticos sólo se manifiestan a nivel atómico. A nivel macroscópico todas las dimen siones son encones comparadas con las longitudes de onda de de Bro glie, por lo cual, las características ondulatorias no son détectables. En el dominio atóm ico y subatómico las dimensiones son compara bles con las longitudes de onda de de Broglie y, por lo tanto, las ca racterísticas ondulatorias predominan. Estos números también aclaran las dificultades para realizar en el laboratorio el experimento ideal con los tubos antes mencionados. Para simplificar se supuso que los potenciales cambiaban discontinua mente, aunque, en realidad cambian a lo largo de una distancia, pof ejemplo b, lo cual complica el análisis pero no cambian tas caracterís ticas cualitativas de los resultados. Sin embargo, la magnitud de los efectos cuánticos dependen crucialmente del tamaño de b. Los efec tos serán apreciables solamente si b es m enor que la longitud de onda o comparable con ella. Considerando el caso más favorable, el del electrón, se concluye que el espacio entre los tubos debe ser de unos cuantos anstroms, es decir, de unos cuantos diámetros atómicos. A escala atómica existen experimentos análogos a los menciorudos anteriormente. La emisión de electrones de un metal correspon dería al prim er experimento y el decaimiento nuclear de partículas, considerado como efecto túnel, correspondería al segundo. El paso de un electrón externo a través de un átomo correspondería al segundo experimento. Se observan resonancias en la transmisión, las cuales se conocen como efecto Ramsauer. En todos estos experimen tos intervienen sistemas físicos muy complejos cuyas propiedades no


eden entenderse sin antes haber comprendido perfectamente la canica cuántica. EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS Anteriormente se ha demostrado que las partículas clásicas tienen turaleza dual por exhibir propiedades ondulatorias. A continua■n, se describirán algunos experimentos que demuestran cómo las das electromagnéticas exhiben propiedades corpusculares. La primeindicación de este hecho provino de las propiedades espectrales de radiación de un absorbedor perfecto o cuerpo negro. Una buena roximación de él se puede obtener en la forma siguiente. Se toma recipiente construido de paredes opacas a la radiación electromagtica y que tenga un agujero infinitesimal en la superficie. La radiain que entra por el agujero tiene una probabilidad grande de no say así, el agujero se com porta como un cuerpo negro. El campo de Ilación en el interior del recipiente en equilibrio térmico con éste a rtperatura T, se puede considerar como la radiación de cuerpo ne>. Puede estudiarse experimentalmente examinando la radiación e escapa por el agujero infinitesimal. Su distribución espectral y isidad de volumen dependen solamente de la tem peratura y no de propiedades particulares de las paredes o de alguna otra causa. Dé lo a esta independencia, resulta que la radiación del cuerpo negro un fenómeno muy importante para entender el intercambio de írgía entre la materia y la radiación cuando se encuentran en equi no térmico. La física clásica no explica satisfactoriamente el especde esta radiación. El argumento es como sigue. El campo electromagnético en el interior de una cavidad puede scribirse completamente como una superposición de modos caracisticos de vibraciones armónicas del campo en la cavidad. La amtud de cada m odo es independiente y, en principio, puede ser asigda arbitrariamente. Cada modo representa un grado de libertad del ínpo de radiación y estos grados de libertad son de tipo vibracional : acuerdo al teorema de equipartición de la mecánica estadística sica, cada grado de libertad vibracional tiene la misma energía proídio k T en el equilibrio térmico. No es difícü demostrar que el núsro de modos en el intervalo de frecuencia entre p y (v + dv) es ir/c3)Fv2dv, donde V es el volumen de la cavidad. Entonces, se tiene el resultado paradójico de que el espectro de la densidad de srgía para el cuerpo negro es (,^7rjc‘i )kT v‘^ dv, lo cual significa e la densidad de radiación con frecuencia entre v y v -\-d v crece inTmidamente con el cuadrado de la frecuencia y que, por lo tanto, energía electromagnética total en la cavidad es infinita.

EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS

15

Ejercicio 1. Considerar una caja cúbica de volumen V con paredes perfectamente conductoras. (a) Demostrar que el número de m odos de vibración con fre cuencias entre v y v + dv está dado por (Stt/c^) Vv^ dv (referencia [3l). (b> ¿Se comportará esta caja como cuerpo negro a todas las frecuencias si tiene una partícula de polvo en su interior? ¿Cúales serán sus propiedades a frecuencias muy bâs? Este resultado clásico, conocido como la ley de Rayleigh-Jeans, no es totalm ente incorrecto; esta ley predice exactamente la parte del espectro correspondiente a bajas frecuencias. Para altas frecuencias el espectro observado es menos intenso que el predicho clásicamente y eventualmente tiende a cero exponencialmente. Se podría expresarlo de otra manera diciendo que no todos los grados de libertad asocia dos con ias frecuencias altas participan en el reparto de energía y que los correspondientes a las más altas no participan. El misterio de que algunos grados de libertad no participen fué explicado por primera vez por Planck cuando propuso que la energía de un m odo vibracional de frecuencia v podía tom ar únicamente va lores discretos y no podía variar continuamente como en mecánica clásica. ^ Supuso que la energía, partiendo de cero, podía crecer sólo por saltos iguales de magnitud proporcional a la frecuencia. La cons tante de proporcionalidad es precisamente la constante de Plank y la energía de un cuanto de frecuencia v, o frecuencia angular o», es E = /ii» = Aft)

(3 )

y entonces, la energía de un oscilador tendrá solamente los valores permitidos O, §,. . . . Es fácil ver que, por lo menos cualitativamente, la idea de Planck es correcta. Para modos de frecuencia suficientemente baja, los saltos de energía son muy pequeños comparados con las energías térmicas y, por lo tanto, el teorema de equipartición clásico no se modifica. Para modos cuyas frecuencias son suficientemente altas, los saltos de energía son grandes comparados con las energías térmicas, por lo cual estos modos no participan en el reparto de energía. Entonces, resulta que la energía promedio de un grado de libertad vibracional de fre cuencia V a temperatura T es, ’ Se está piesentando el aigumento desde un punto de vista moderno. Planck asoció caiacten'sticas cuánticas únicamente a osciladores materiales, los cuales introdujo para reprewntar las propiedades de las paredes de la câ, y no a U>s modos de vibración del carneo electro magnético. Einstein fué el primero que $e dió cuenta de que el campo de radiación también debía de estar cuantizado.

16


F=

ÎtvlkT^ I

=

___ ^«aiílrT_ I *

fA)

que recobra el valor clásico k T cuando h<ü}kT < 1 y es exponencial para fuajkT fe· 1. La densidad de energía de la radiación del cuerpo negro para frecuencias entre v y v + dv será entonces,

E{v)

=~

que es la ley de radiación de Plandc. Concuerda perfectamente con el experimento y resulta ser, históricamente, el primer m étodo para de terminar con mucha exactitud el valor de h. Ejercicio 2. (V erla referencia [3]). (a) Obtener la ecuación (4) y la ley de radiación de Planck, ecua ción (5). (b) LlamandoX« a la longitud de onda correspondiente al máxi mo del espectro del cuerpo n ^ r o , demostrar que = constante Oey de de^lazam iento de Wíen). (c) Demostrar que la energía total radiada por un cuerpo negro a temperatura T es proporcional a 7+ (ley de Stefan). Aunque Planck dió una solución completamente satisfactoria a las difícultades de la radiación del cuerpo negro, su trabajo atrajo poca a t e n c i ó n . F u é tomada seriamente en 1905 cuando Einstein aplicó la idea cuántica al fenómeno de la emisión fotoeléctrica, introdudendo explícitamente las propiedades corpusculares de la radiación electromagnética. Estas propiedades corpusculares se observan mejor sn el efecto Compton. Cuando rayos-X de frecuencia dada se disper tan por electrones libres en reposo, la frecuencia de los rayos-X dis persados decrece al crecer el ángulo de dispersión. Este efecto se desaibe con precisión considerando a los rayos-X como partículas reíaivistas de energía ñot y mom ento lineal ñ
onde X, = hjmc es la llamada longitud de onda de Compton, m es la lasa del electrón, -X es la longitud de onda de los rayos-X incidentes y E, U, Condon, en Phytics Today. VoL 15, No. 10. p. 37. Oct, 1962,

COMPLEMENTAREIDAD - EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

17

X'es la longitud de onda de los rayos-X dispersados a un ángulo 0 . La longitud de onda de Compton puede tomarse como una longitud fun damental asociada con una partícula de masa m. ¿Cuál es su valor nu mérico aproximado para un electrón, para un protón, para un mesón IT y para una bola de billar? (Ver la referencia [3]). 6

. COMPLEMENTAREIDAD

Como resultado de las consideraciones anteriores se ha establecido que, en la naturaleza, existe cierta simetría entre partículas y ondas, de la cual carece totalm ente la física clásica, en donde cierta entidad tiene exclusivamente una de estas características. Estas conclusiones llevan a grandes dificultades conceptuales. De alguna manera se tienen que reconciliar los conceptos clásicos de partícula y onda. En esta re conciliación interviene un principio que se conoce como principio de complementareidad, enunciado por primera vez por Bohr. La duali dad partícula-onda es uno de los muchos ejemplos de la complemen tareidad. La idea es la siguiente; los objetos en la naturaleza no son partícu las ni son ondas; un experimento o medición que resalte una de estas propiedades, lo hace necesariamente a expensas de la otra. Un experi mento diseñado para aislar o describir las propiedades de partícula, tales como la dispersión Compton o la observación de trayectorias, no proporciona información sobre los aspectos ondulatorios. Por Otra parte, un experimento diseñado para aislar las propiedades ondulato rias, por ejemplo la difracción, no proporciona información acerca de las propiedades corpusculares. Este conflicto se resuelve establecien do que estos aspectos irreconciliables no pueden, en principio, obser varse simultáneamente. Otros ejemplos de complementareidad pue den ser, la posición y el momento lineal de una partícula, la energía de un estado y el tiempo que dura dicho estado, la orientación angu lar de un sistema y su m om ento angular, etc. Ahora se puede estable cer en forma general el principio de complementareidad. La descrip ción cuántica de las propiedades de un sistema físico se expresa en términos de parejas de variables m utuamente complementarias. La precisión en la determinación de una de estas variables, necesariamen te implica una imprecisión en la determinación de la otra. 7. EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCU Hasta aquí la atención se ha concentrado en experimentos que no pueden explicarse mediante la mecánica clásica y que al mismo tiem po ponen de manifiesto ciertos aspectos de la mecánica cuántica. Sin

18

LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERU Y LA RADIACION

embargo, no hay que olvidar que existe un dominio enorme, el domi nio macroscópico, para el cual es válida la mecánica clásica. Enton ces, se tiene un requisito obvio que la mecánica cuántica debe satisfa cer; en el límite clásico apropiado la mecánica cuántica debe llegar a las mismas conclusiones a que llega la mecánica clásica. Matemática mente, este límite es aquél para el cual fi puede considerarse peque ña. Por ejemplo, para el campo electromagnético significa que el nú mero de cuantos en el campo es muy grande. Para partículas, signifi ca que la longitud de onda de de BrogUe es muy pequeña comparada con todas las otras dimensiories importantes del problema. Natural mente que los resultados de la mecánica cuántica son probabilísticos por naturaleza, mientras que los resultados de la mecánica clásica son completamente determinísticos. Por ello, en el límite clásico, las pro babilidades cuánticas deben de convertirse en certidumbres; las fluc tuaciones resultan despreciables. Este principio, o sea que en el límite clásico las predicciones de las leyes cuánticas deben de estar en correspondencia de uno a uno con las predicciones clásicas, se llama el principio de correspondencia. Sus requisitos son suficientemente rigurosos para que, partiendo de la idea de ondas de de BrogUe y su interpretación probabilística, las le yes de la mecánica cuántica puedan determinarse del principio de co rrespondencia, como se demostrará más adelante. Problema 1 . Calcular, con dos cifras significativas, las longitudes de onda de de Broglie siguientes: (a) Un electrón moviéndose a 10"? cm/seg. (b) Un neutrón ténníco a temperatura ambiente, es decir, un neutrón en equilibrio térmico a 300°K moviéndose con la energía térmica promedio. (c) Un protón de SOMeV. (d) Una pelota de golf de lOOgm. moviéndose a 30 metros/seg. Problema 2. Considerar un electrón y u n protón con la misma ener gía cinética T. Calcular la longitud de onda de de Broglie para cada uno, con una cifra significativa en los casos siguientes: (a) r = 3 0 e K . (b) r = 3 0 keV. (c) T= 3Q M eV. (d) 30 30,000 Afe K Nota: Con bastante exactitud, la energía en reposo de un electrón es 0.5 MeV, y la de un protón es de 1 GeF. La relación entre eneigía cinética, momento lineal y masa en reposo puede expresarse como

E = T + mc^ =

{pcV·

II Funciones de estado y su interpretación

1. LA roE A DE FUNCION DE ESTADO; SUPERPOSICION DE ESTADOS Las consideraciones que se han hecho en el capítulo anterior han conducido a la idea de que la descripción de cierto tipo de comporta miento de las partículas, requiere la introducción de las ondas de de Broglie. Estas ondas exhiben propiedades de interferencia y la inten sidad en una región dada está asociada con la probabilidad de encon trar a la partícula en esa región. A continuación se intentarán generalizar estas ideas y al mismo tiempo definirlas mejor. Para simplificar las características matemáti cas, se considerará el caso del movimiento de una partícula en una so la dimensión bajo la influencia de una fuerza externa determinada. Como primer paso se describirá el estado de movimiento en un ins tante de tiempo. En mecánica clásica, dicha descripción se establece especificando la posición y el momento lineal de la partícula en el instante de tiempo considerado. Las leyes de Newton suministran la receta para determinar la evolución del tiempo. Pero se ha recalcado que tal descripción no es válida en la mecánica cuántica, ya que las trayectorias de las partículas no están definidas con exactitud. Para poder empezar el estudio de la mecánica cuántica se hará la hipóte sis mínimá de que el estado de una partícula al tiempo t se describe completamente, o por lo menos tan completamente como sea posi ble, mediante una función <í( que se llamaré h función de estado de la partícula o del sistema.

20

FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACION

Entonces, se deben de contestar las preguntas siguientes: ( I ) ¿Cómo se eg>ecifica ? ¿O sea, cuáles son tas variables de las que depende? Es decir, cómo pueden deducirse de (2) ¿Cómo se interpreta ^ las propiedades de los observables de un sistema? (3) ¿Cómo evoluciona 0 en el tiempo? Es decir, determinar la ecuación de movimiento del sistema. A la primera pregunta se podría contestar suponiendo la hipótesis más sencilla posible, o sea que la función de estado de una partícula sin estructura* en una dimensión y en un instante dado í, puede expresarse como función de las coordenadas espacíales únicamente tp = tftiix), donde el índice t se refiere al instante en el cual es válida la descripción. Usando una notación más conveniente, se puede escribir »ít= O) siendo t, en este caso, un parámetro. La suposición de que debe de expresarse de esta forma para una partícula sin estructura, resulta correcta y significa que cualquier estado físico puede especificarse en términos de una 0 apropiada que tenga la forma de la ecuación ( 1 ). Surge ahora la pregunta siguiente. ¿C orreônde a afeún estado físi co una función ^ arbitrariamente escogida? La respuesta es negati va, Solamente ciertas clases de funciones de estado llamadas/fsícamente aceptables^ corresponden a estado físicos realizables. Por ejem plo, resulta que ij, corresponde a un estado físico si es univaluaday acotada, propiedades que se definirán más adelante. Respecto a la segunda pregunta, que es el tema principal de este capítulo, se necesita establecer un significado físico preciso para los aspectos probabilísticos de la función de estado de la mecánica cuán tica. La suposición más plausible y físicamente necesaria establece que la probabilidad de encontrar a una partícula en una región da da del espacio es grande cuando 0 sea grande y pequeña cuando sea pequeña. Ya que las probabilidades nunca pueden ser negativas y como ^ puede tomar valores positivos, n ^ ativ o s o nulos ( de he cho es compleja), la asociación más simple que se puede hacer es to mar la probabilidad relativa proporcional al valor absoluto cuadrado de »í», en analogía con la intensidad de u n campo ondulatorio ordi nario. Entonces, si P{x, t) dx es la probabilidad relativa de encon trar a la partícula al tiempo t en un volumen dx centrado e n x , se escribirá P U , / ) d jc = |«í.U, í)t* í/JC =

í) í i í 3= O,

* Por partícula sin estructura se entiende una masa puntual convencional. Pata una partícula con grados de libertad internos, como el espín, la descripción tendrá que ser modificada.

LA [DEA DE FUNCION DE ESTADO; SUPERPOSICION DE ESTADOS

21

donde \f>* es el complejo conjugado de lí». Se puede convertir la ex presión anterior a probabilidades absolutas t) dx escribiendo,

(2) o bien.

donde la integral se extiende a todo el e^ a c io . El hecho d e q u e p d x sea una probabilidad absoluta se sigue de que J pdx= l.

lo cual significa que la probabilidad de encontrar a una partícula en algún lugar del espacio tiene el valor uno. La cantidad p se llama la densidad de probabilidad. Si la densidad de probabilidad tiene algún significado, la Integral en el denom inador tiene que ser acotada. Por lo tanto, todas las funciones físicamente aceptables deben de cumplir la condición de ser cuadráticamente integrables.* De acuerdo con (2), p no cambia sí 0 se multiplica por un factor arbitrario independiente de las coordenadas, o sea, por un factor c{t) que podría ser complejo y en este sentido 0 está indeterminada por este factor. Es conveniente escoger este factor en tal forma que 1,

(3 )

que siempre se cumple para funciones de estado físicamente acepta bles. Esta condición se llama condición de normalización y las fun ciones de estado que la satisfacen se llaman normalizadas.Para fun ciones de estado normalizadas ií»*»ííserá la densidad de probabilidad, p(jc,/)

(4 )

puede interpretarse como la amplitud de probabilidad. El procedimiento para normalizar es el siguiente: sea una fun ción de estado físicamente aceptable. Se calcula / ^ * 0 dx, llamando al resultado M, que es un número real. Entonces, y

0

= Vm

’ Aunque esta condición es conecta, los físicos encuentran muy frecuentemente que es con veniente trabíyar con funciones de estado idealizadas que satisfacen condiciones más débiles oequivalentescom o,

e'’’'^'dx = M{a, t),

donde M es finita y a arbitrariamente pequeña pero no cero. Más adelante se verán algunos ejemplos.


22

define la normalización de la función de estado para S arbitra ria. Es necesario recalcar el hecho de que se normaliza por conve niencia y que no puede atribuirse ningún significado físico a la mag nitud numérica absoluta de una función de estado. Sólo magnitudes relativas son importantes. Dicho de otra manera, si una función de estado se incrementa en todas partes por un orden de magnitud, per manece inalterada físicamente. Este resultado está en contraposición con la física clásica. Por ejemplo, un incremento de la misma magni tud en la presión de una onda acústica, altera totalm ente las condi ciones físicas para cualquier observador. Es im portante entender con precisión la naturaleza de las cantida des probabilísticas que se han introducido. Se está considerando un sistema que consiste de una partícula moviéndose en una dimensión bajo la influencia de alguna fuerza externa prescrita. A continuación, se supone un conjunto de tales sistemas, idénticos entre sí y que sa tisfacen condiciones ii^ ia le s idénticas. Además, se supone que en algún instante t se h a n ^ e d id o las coordenadas de la partícula de cada sistema del conjunto. Los valores medidos no serán siempre tos mis mos, como lo serían clásicamente, sino que se distribuirán en cierto intervalo de valores. La cantidad p{x,t) dx será la fracción de sistemas en el conjunto para los cuales los valores medidos de las coordenadas se encuentran entre x y x -i- dx. Es necesario recalcar una propiedad im portante de las funciones de estado, o sea, la existencia de interferencia. La observación de esta propiedad dió lugar a la asociación de propiedades ondulatorias a las partículas, lo cual implica que si «(í, describe un estado posible del sis tem a y ^ 2 describe un segundo estado posible, entonces 03 =

-I- a2*}>2,

también describe un estado posible del sistema, donde a^ y a* son arbitrarias. Generalizando, se concluye que una superposición arbi traria de cualquier conjunto de funciones de estado posibles, también es una función de estado posible. Este resultado se llama el principio de mperposicvón. La aplicación de este principio es una de las hipó tesis básicas de la mecánica cuántica marcando perfectamente la dife rencia entre sus aspectos probabilísticos y los de ta mecánica estadís tica clásica. Para aclarar la relación entre interferencia y principio de superposi ción se podría calcular, por ejemplo, la densidad de probabilidad que corresponde a la superposición particular «((3 , definida anteriormente. Se tiene. 03*«í'3 =

+ | 0 2 l^»í'í*«í'2 +

LA IDEA DE FUNCION DE ESTADO; SUPERPOSICION DE ESTADOS

23

Los dos primeros términos son precisamente la suma de las probabili dades individuales para cada estado, multiplicado por un factor de peso indicando la proporción presente de cada estado en la superposi ción, exactamente como en el caso clásico. Los dos últimos términos son ios términos de interferencia. Estos términos no se expresan sólo en función de las probabilidades individuales asociadas con cada estado, sino que son propiedades de ambos estados simultáneamente. Sus signos están determinados por la fase relativa de y a^ 2 pudiendo ser positivos o negativos, lo cual corresponde a interferencia positiva o negativa en las probabilidades. Este resultado no debe pa sarse por alto, pues significa que un conjunto de estados, cada uno de los cuales describe independientemente algún evento con probabili dad finita, pueden combinarse en tal forma que el evento dado no pueda ocurrir. Un ejemplo interesante es el famoso experimento de la rendija do ble, en el cual se estudia el patrón de interferencia registrado en una pantalla opaca producido por un haz de partículas que incide sobre las rendijas. El experimento se muestra esquemáticamente en la Fi gura l(a). La primera pantalla contiene rendijas idénticas e n ^ y en 5 , pudiendo estar abiertas o cerradas cualquiera de ellas. Todo elec trón que pase por el sistema de rendijas se registra en la pantalla C. En la Figura 1(b) se muestra a la izquierda la distribución de partícu las cuando está abierta la rendija A o h B, y en la derecha se muestra

haz incidente de partículas

partículas transmitidas

pantalla con rendijas y B

pantalla de registro C (a>

ren d ía A o rendija A abiertas

rendías A y B abiertas (b)

Figura 1. £1 experimento de la rendga doble, (a) Esquema del dispositivo exk perimental, (b) Distribución de las partículas registrada en la pantalla C.

24

>^^ÎraiiiN li n 'lltA D O Y su interpretación

el resultado cuando están abiertas ambas rendijas, A y B. En el pri mer caso, se tiene el patrón típico de Fraunhofer y en el segundo, es te patrón está modulado por la interferencia y claramente no es la su perposición de las probabilidades individuales de transmisión a través de cada rendija. Para relacionarlo con el principio de superposición, sea función de estado de un electrón cuando A está abierta y B cerrada, «ft»cuando B está abierta y A cerrada y »(r^ficuando ambas ren dijas están abiertas. Sean p^, p» y pab las densidades de probabili dad correspondiente. Entonces, como buena aproximación se tiene que,

de donde se obtiene que P ab -

10/ iP + l'/'fiP -t- 0 /1 * 0 8 +

Y a que p 4 = ps, en contraste con el resultado clásico pab = Pa + p« = 2pA se tiene que, 2

donde SU) es la fase de

0

p^[l + eos 6 (jf)],

b relativa a

0

^,

0B=04f'®. El factor de fase S crece linealmente con la distancia al origen O a lo largo de la pantalla opaca C y los mínimos de interferencia ocurren cuando 8 es un múltiplo impar de «■. A quí se observa explícitamente cómo la superposición produce la interferencia. En particular, cuan do ambas rendijas están abiertas, la probabilidad de que un elec trón llegue a la pantalla en un mínim o de interferencia es cero, aun que la probabilidad de llegar al mismo punto de la pantalla sea finita cuando una sola rendija está abierta. Merece comentarse otro aspecto de este experimento. La natura leza corpuscular del electrón se manifiesta en el hecho de que un electrón es una entidad que puede localizarse. Cuando se detecta o se registra, en la forma que sea, siempre se observa como tal y nunca se observa parte de un electrón. Por lo tanto, un electrón que pasa por la primera pantalla, pasa por una de las dos rendías. Si pasa por la rendija A , ¿cómo puede conocer la existencia de la rendija B y ajustar su com portamiento para dar el resultado experimental correc to? La respuesta es que, en este aspecto, el electrón no está localiza do; también tiene atributos que están distribuidos en el espacio a se mejanza de una onda. O sea, exhibe ambas propiedades; partícula y onda. Los aspectos complementarios de esta dualidad se recalcan al

VALORES DE EXPECTACION

25

introducir un detector adicional que determine a través de cual de las dos rendijas pasa el electrón, Al hacerlo, se observa que cada elec trón pasa con seguridad a través de una de las rendijas, Pero el acto de observar, necesariamente provoca una interacción entre el aparato de medición y el electrón, lo cual acarrea una perturbación incontro lable que destruye la relación de fase necesaria para la interferencia. Se puede decir que al observar a través de cuál de las rendijas pasa el electrón, se le está obligando a actuar como partícula, la interferencia desparece y emeige el resultado clásico correspondiente, 2

- V a lo r e s d e e x p e c ta c ió n

Dada la interpretación probabilística de la función de estado /) falta mostrar cómo se obtiene información respecto al com porta m iento de una partícula. Recordando que pix, O se refiere a la dis tribución de los valores medidos de la coordenada de una partícula en un conjunto de sistemas, el valor promedio o valor de expectación de la posición será

{x) = f x p (x ,t) dx,

(5)

donde la integral cubre todo el espacio. Es preciso recalcar que esto se concluye porque f) dx es la fracción de los valores medidos de la posición que se encuentran entre x y x -i- t/x, Pero si se trata de alguna función de la posición de la partícula como f(x ), entonces p(x, í) dx es la fracción del ntimero de veces que el valor medido de f(x ) se encuentra entre f(x ) y f(x -j- dx). Entonces, usando la misma notación, se tiene que el promedio o valor de expectación es (/(x )) = ff(x)p(x,O dx.

(6 )

Por ejemplo, ú una partícula se mueve en un potencial K(x) y su densidad de probabilidad es p(x, t \ entonces, su energía puede calcularse según (6 ) usando /(x ) = Los valores de expectación se pueden expresar en términos de la función de estado tir(x, t) obteniendo que,

y si la función de estado está normalizada,

(f{x))

=

í^*(x,t)fum x,t)dx.

(8 )

26


Naturalmente que el orden de los factores en el integrando de ( 8 ) es irrelevante. Se podría e s c r i b i r o bien que son expresiones más sencillas que el insertar / entre y 0 . Pero se ha escogido es ta última forma por razones de conveniencia que se aclararán más adelante. Hasta aquí se ha visto cómo calcular el análogo cuántico de la posi ción de una partícula o de cualquier función de la posición. Queda por examinar en una dimensión la variable correspondiente al mo mento lineal. Una forma de proceder es como sfeue. Como ^ = tltix, t), en general, el valor de expectación de x es una función del tiempo (.v) = /{ /) , entonces, la cantidad m d{x)ldt puede calcularse si se co noce \t> como función del tiempo. Esta cantidad corresponderá al momento lineal, al menos en el límite clásico, aunque existen dos dificultades. La primera es fundamental pues se refiere al momento lineal como variable dinámica. Clásicamente, la existencia de una trayectoria asocia un significado preciso a la operación matemáti ca de calcular m dxjdt. En mecánica cuántica, no existen trayecto rias definidas y la cantidad d xjd t resulta indefinida y, por lo tanto, no tiene sentido hablar de p si está definida como m dxJdt, o sea, como una cantidad exclusivamente cinemática. Sin embargo, p debe tener un significado físico independiente de las trayectorias. Si se la considera como variable dinámica, en analogía con la variable de posición, es preciso dar un significado a su valor de expectación {p), siendo éste el sfeuiente objetivo.^ La s ^ u n d a dificultad es más bien de tipo práctico. Para calcular una cantidad como d(x)/dt, se necesita contestar a la pregunta ¿có mo evoluciona ^ en el tiempo? Todavía no se puede contestar a esta pregunta. Una vez que se entienda el mom ento lineal como va riable dinámica cuántica, se hará uso de los requisitos del principio de correspondencia
md{x) di

d ( p ) ___ / d V { x ) \

di

\

dx /

para establecer la dependencia en el tiempo de ta función de estado. * Clásicamente, la descripción que conádera la posición y el mom ento lineal como variables dinámicas del mismo t^ o , es la descripción haniUtoniana. Puede anticuarse que la fundón Hamiltonlana resultará muy im poitante en la formulación de las leyes cuánticas.

COMPARACION ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUANTICA Y CLASICA DE UN ESTADO ¡PAQUETES DE ONDA

3.

27

œ M PA RA CIO N ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUANTICA Y Y CLASICA DE UN ESTADO; PAQUETES DE ONDA

La discusióii anterior se ha alejado mucho de la fíáca clásica, en la cual se determina con precisión la posición y la velocidad de una par tícula en un instante dado y no una distribucón de probabilidad, y mucho menos una amplitud de probabilidad inobservable. Ya que la mecánica cuántica pretende ser más general que la mecánica clásica, a la cual incluye como caso particular, es preciso establecer cómo se puede recobrar la descripción clásica partiendo del concepto de una función de estado cuántica. Esta meta no es difícil. Una trayectoria clásica no es mas que cierta curva en el espacio que evoluciona de cierta manera en el tiempo. La función de estado cuántica tiene co mo dominio todo el espacio y el tiem po. Aunque sea una entidad esencialmente no localizable, puede usarse para describir una trayec toria si se escoge una función particular y localizada, por ejemplo, una que se anule en todas partes excepto en una vecindad infinitesi mal de la trayectoria. Estas funciones de estado localizadas se llaman paquetes de onda. Juegan un papel muy im portante en la explicación de muchos efec tos físicos y, naturalmente, en entender la relación entre la mecánica clásica y la cuántica. Un ejemplo de un paquete de ondas en un ins tante determinado sería la función gausiana,

= A exp [—(jT ~ x^yHL^].

(9)

La distribución de probabilidad relativa sería, |.4|2exp[-(jr-JCo)Ví-*],

(10)

de la cual se concluye que se tiene un estado localizado en la vecin dad del punto j: = jco y de dimensión L. Si L decrece, la función de estado está más localizada; el límite clásico de precisión absoluta co rresponde al límite en el cual L tiende a cero. La especificación de la función de estado en un cierto instante es análoga a la especificación clásica de la posición inicial de una par tícula. Si una parece más vaga y misteriosa que laotra se debe a que, en elcampo clásico, se fijan las condiciones iniciales a través de un contacto más directo y personal, por lo menos en la imaginación, como en el caso de tirar un objeto o poner a funcionar el mecanismo que dispara un'satéüte. En ambos puntos de vista la forma de esta blecer las condiciones iniciales es irrelevante para la evolución poste rior; únicamente se necesita conocer tas condiciones inicíales. Aun que todavía no se puede discutir cómo se puede preparar ínicialmen-

28


te un estado cuántico tîen definido, esto no es una dificultad pues únicamente se necesita conocer el estado inicial y no su origen. Dado un estado inicial, su evolución en el tiem po se detennina me diante las ecuaciones de movimiento, ya sean clásicas o cuánticas * Si se supone que después de integrar las ecuaciones de movimiento se obtiene la trayectoria

es tentador suponer que la forma adecuada que corresponda a la fun ción de probabilidad cuántica en el límite clásico sea, e x p í-U -/(/> m * } con l suficientemente pequeña. Esta expresión representa u n paque te de ondas de anchura moviéndose a lo largo de la trayectoria clá- ■ sica y de acuerdo a las ecuaciones de movimiento clásicas. Esta supo sición intuitiva puede verificarse en el caso especial del movimiento de una partícula libre. Para una partícula de masa m, partiendo del origen con momento lineal p«, clásicamente se tiene que, JT= p^ílm, y por lo tanto, se supone que la distribución de probabilidad cuántica podría estar dada por ei movimiento del paquete de ondas,

(1 1 ) El resultado correcto, obtenido en el Capítulo IV (ecuación IV-22), al integrar las ecuaciones de movimiento cuánticas, coincide con éste, excepto que la constante l queda reemplazada por la función en el tiempo

LU) = V I J T W ñ t ñ ^ ^ Entonces, el resultado correcto revela que el tamaño del paquete cre ce en el tiempo a partir de su valor inicial L, Pero, para partículas macroscópicas, el segundo término del radicando es de^reciable res* La posición y el momento lineal deben especificarse a m te i en el caso clásico. Ên mecánica cuántica, ambas m especificatse con precisión arbitraria. La información respecto al momento lineal esta impíicHamente contenida en la función de estado. Cómo obtener esta información será el objeto d«I capitulo siguiente.

PROBLEMAS

29

pecto a intervalos de tiempo com ológicos' y, por lo tanto, la ecua ción {1 1 ) no se devía apreciablemente del resultado correcto por lo que las apreciaciones intuitivas anteriores pueden considerarse correc tas. En el Capítulo IV se volverá a tratar este tema. Problema 1. Considerar que una partícula está descrita por el paquete gausiano, e x p [-U -

(a) C alculará si ^ está normalizada. Oo) Calcular (x>. (c) Calcular la desviación cuadrada media en la posición de la partícula, <(x - (x) f). (d) Suponer que la partícula se mueve en un potencial K{jf). Calcular (V) para V = mgjc; para V Ver Apéndice 1 para el cálculo de integrales gausianas. Problema 2, (a) Lo mismo que en el Problema 1, pero con la función de es tado, >Í>,=A ex p [((jc - Xü)lo] e x p [ - ( A - x,^VI2a^].

(b) Considerar la superposición de estados

= c , [»((, ± »í»] donde *¡j es el paquete de ondas del Problema 1, y el paquete ante rior. Calcular c-. Graficar y comparar la densidad de probabilidad pa ra los cuatro casos, y

‘ Esta conclusión se obtiene debido a que A es pequeña desde el puntode vista macroscópico.

I li Momento lineai

1. FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDEN A UN MOMENTO LINEAL DEFINIDO Una vez entendidas algunas de ias propiedades de las funciones de estado, es necesario comprender el mom ento lineal como variable dinámica cuántica. La solución la suministra la descripción dada por de Broglie para una partícula libre con momento lineal definido p. Se ha argüido que, de alguna manera, se asocia a la partícula una onda de longitud de onda reducida = ñ¡p. Esta relación indefinida se pue de concretar explícitamente suponiendo que, precisamente, la onda de de Broglie es la función de estado de la partícula. Por lo tanto se puede escribir que, t/lí(jf, t) = ex p [/(jrM ) " /W ]

o bien^ escribiendo X en función de p, ij>p(x, t ) = c x p [ i ( p x / ñ ) - i w ( p ) r ] .

(1 )

donde se ha puesto el índice p en ij»para es^jecificar que esta función de estado describe a una partícula que se mueve con momento lineal p definido y f()o. La frecuencia co de las ondas de de Broglie, todavía no recibe atención especial y al escribir la ecuación ( 1 ) se considera a
FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDEN A UN MOMENTO LINEAL DEFINIDO

31

fundamentada una vez entendida y aceptada la ecuación (l). Excep to por el espín y ei principio de exclusión, todo lo demás se obtiene del principio de correspondencia. La importancia de este resultado merece comentarse con algún de talle. Para empezar, hay que hacer notar que se ha escogido <í(p como una función exponencial compleja. Hay que elaborar esta selección con más detalle pues una onda viajera representada por una función trigonométrica, también puede representarse satisfactoriamente por una función exponencial. De hecho, todos los campos cláácos se representan por funciones reales, aunque se usa la notación compleja por conveniencia. Este hecho es esencial en la mecánica cuántica y puede justificarse de la siguiente forma; para una partícula libre to dos los puntos del espacio son físicamente equivalentes y la selección del origen es irrelevante ya que el sistema no puede depender de esta lelecclón. Se puede suponer que el o r^ e n se desplaza hacia la iz quierda una distancia arbitraria o sea, que se substituyen por jí -I- b. De la ecuación (1), >¡ij, queda multiplicada por un factor de fase que es constante y físicamente indetectable eí*’»"'. Por lo tanto, el estado K describe sin hacer niiûna referencia física ai origen. Este no sería •i caso si se usara una función trigonométrica para representar a»(»p· SU se usara la forma de la onda viajera más general posible dada por, ^ eos (pxlh — wt) + B sin {px¡h -
Merece comentarse otra propiedad de Esta función de estado correiônde a la falta total de localización en el e^ acio . La densi dad de probabilidad relativa es

lo cual significa que la partícula puede encontrarse en cualquier ele mento de volumen. Como consecuencia inmediata, la función de es tado n o es físicamente aceptable excepto en el sentido dado en U nota que sigue a la ecuación (II-3). Sin embargo, como (|ip sí co-

*Eit> lílimadóii puede Juttlfloui· oon «) ufumwto mát convendonil y qtdzái mfi «lato ét «xlfU que k ptobablMtd át modiitnr t U ptitíouU h^d«le»Mio d«b· m mota todo momtnto, £itft«awNVOlvetá>Uatw«nkMoojw7dMCtpítidoIV.

.niM

32

MOMENTO LINEAL

rresponde a un valor preciso del mom ento lineai p, esta función de estado es una idealizadón útil como se demuestra a continuación. 2. CONSTRUCaON DE PAQUETES DE ONDA POR SUPER POSICION A continuación se dará un ejemplo im portante y muy instructivo de la utilidad de estos estados idealizados, combinándolos para for mar un paquete de ondas, la más intuitiva y física de las funciones de estado. Este resultado se obtiene construyendo una superposición de estados de momento lineal i(tp. Ya que existe un continuo de valo res de p, la superposición resulta ser una intégrai en lugar de una su ma, escribiéndola como, exp[f(px/ft) - iw(p)/] dp

o =

(2 )

donde el factor 1 / V 2 ^ aparece por razones de conveniencia. En esta superposición, la amplitud de la función de estado de que corresponde al mom ento lineal p se escribe como 4>(p). Por el mo mento no se tomará en cuenta la dependencia en el tiempo de la función de estado o la relación entre y p. Unicamente se estudia rá la descripción del estado en un instante determinado, tomándolo como í = O por comodidad. Por lo tanto, en lugar de la ecuación (2 ) se tiene que, 1 V 2 ^ /_

dp.

(3)

donde

Ahora, podría ser útil dar un ejemplo, aunque sea puramente ma temático, para mostrar cómo se puede obtener un estado normaliza do y físicamente aceptable t/rU) por superposición de estados del momento lineal, inaceptables e idealizados exp [ípx/ft].Para particu larizar a un caso muy simple, sea ^ (p ) constante en un intervalo de anchura Ap a cada lado del momento lineal fijo Po e idénticamente cero fuera de este intervalo. Se escoge (p) como la distribución cuadrada.

O,

\p - /7o) « Ap \p - Poi > Ap,

(4 )

CONSTRUCCION DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICION

siendo c neai del que está centrada

33

una constante arbitraria. Esto significa que el mom ento li estado considerado no tiene valor numérico preciso sino distribuido uniformemente en una banda de anchura 2 Ap en p„, como se Uustra en la Figura 1.

P«

P0 + -1P

Figura 1. Distribucióii de m om entos de la ecuación (4). Al

escoger 0(p) de esta manera, (3) se convierte en.

i

c eÍPJC/Hdp

= \/hl2ir Ty factorizando el ténnino

] resulta (5)

♦U ) - c V Ü ii

Este ejemplo proporciona una función de estado que es una onda de de Broglie correspondiente al mom ento lineal p , modulada por el factor (1/jc) sen {Apxlh). Este factor convierte a ^(Jc) en una función normalizable y por lo tan to físicamente aceptable. Para exammar con más detalle el ejemplo, se normaliza 0 para obtener la constan te c en las ecuaciones (4) y (5). Se tiene

rj:

dx^ i h w r

IT J_„

sii^ l^pxth dx

y cambiando a la nueva variable u = Apjc/ft se obtiene que, |c | = 1 /V 2 À ^ ,

(6 )

34

MOMENTO LINEAL

donde se ha hecho uso del resultado, sin^«

du = 7T.

(7)

Para resumir, se puede decir que la distribución particular (4) propor ciona, por superposición, el paquete normalizado de la ecuación (5) si c satisface la ecuación ( 6 ). En el lím ite, cuando Ap tiende a cero, se recobra una onda de de Broglie pura de momento lineal po, o sea que. lim

Ap - O

= v A p h rñ

.

La aparición del factor significa que la amplitud de *(( es infi nitesimal, lo cual es una consecuencia del hecho de que la función de estado no puede normalizarse en este límite y por lo tanto no se puede tender al límite en la forma usual. Pero, si la dimensión física relevante del sistema considerado es L, entonces, únicamente se ne cesita considerar la función de estado en una región de esa dimensión. Como consecuencia, si ApLIh 1, el paquete de ondas normaliza do se desvía en forma indetectable deí estado puro de de Broglie. Es to significa que el límite anterior puede lograrse físicamente, o sea que Ap puede tomarse efectivamente como cero cuando sea mu cho menor que hlL. Este ejemplo ilustra la forma de utilizar esta dos puros de mom ento lineal, no físicos y no normalizables, como idealizaciones de verdaderos estados físicos. Volviendo al caso general, se necesita interpretar la amplitud 4>(p) que aparece en la superposición integral de la ecuación (3). Como ca so particular se puede tom ar la superposición únicamente de dos fun ciones de estado del momento lineal, o sea,

Claramente, esta combinación corresponde a un estado en el cual el momento lineal sería p, o p 2 , con amplitudes de probabilidad rela tivas Oi y flí respectivamente. El estado más general (3), es un es tado en el cual todos los momentos lineales están presentes con pro babilidad determinada por (p). Es natural suponer que 4>(p) es proporcional a la amplitud de probabilidad del mom ento lineal o a la amplitud de probabilidad en el espacio de momentos. Si p(p) es la densidad de probabilidad correspondiente, la probabilidad de que la partícula tenga un momento lineal entre p y p + dp será

CONSTRUCCION DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICION

35

dp

p(p) dp

dp

donde, como se indica, la integral se extiende a todo el espacio de momentos. Si está nonnalizada, f ^*(pm p) d p = i .

y por lo tanto (9)

p{ p) =

; donde (p) es conocida, análogamente al )cedimiento seguido en el espacio-jc o espacio de configuración, se ^Wene que, ( p ) = í p p i p ) dp = S <}>*(p)p<}>{p) dp,

JInterpretando a (p ) como el momento lineal promedio sobre un conl ^ n t o de sistemas igualmente preparados. En general, para una fun' ^ n / ( p ) del mom ento lineal, se tiene que

{f{p)) = f n p ) f ( p m p ) dp. Como ejemplo particular, el valor de expectación de la eneigía ciné tica es, 2m

2m

{p) d p.

Entonces el mom ento lineal p se trata en forma análoga a la coor denada X . Sin embargo, quedan todavía algunas preguntas por contMtar. Si se fya 4>(p), está determinada por la ecuación (3). Pmo también puede presentarse el problema inverso, fijar H x ) V determinar (p). Además, la relación única entre y ií»(jc) da d i por (3>, significa que si una de estas funciones está normalizada, no queda libertad para normalizar la otra. Por lo tanto, como una comprobación de la consistencia e interpretación de esta formulación, W debe exigir que al estar normalizada 4>(p) también debe de estar lo ^(x) y viceversa. En el ejemplo dado por las ecuaciones (4) y (5), se puede verificar que este requisito se cumple. Recordando que i|p(jí) está normalizada si Icj *= I/V2A/), de (4) se obtiene que,

36

MOMENTO LINEAL

í

fw+ip

^*4, àp =

oo-^v

í/p = 1 ,

y también está normaliz-ada. Naturalmente, es necesario demos trarlo en general y no únicamente para ejemplos particulares. Para contestar a estas preguntas y a otras semejantes se hará, a con tinuación, una breve digresión matemática sobre las propiedades de las integrales de Fourier, que así se llaman las integrales que tienen la forma de la ecuación (3). 3. TRANSFORMADAS DE FOURIER; LA FUNCION DELTA DE DIRAC ^ Una función /( ^ ) que sea celularmente continua en el intervalo ~ir ^ 0 7T, puede representarse por una serie de Fourier. AJ escri bir esta serie en forma exponencial se tiene que. AO) = 2 ^ ”

donde

r m

J -it

de

Substituyendo e por ‘irx/L se obtiene, f(x)

=¿

Ì 1 próximo paso será considerar el lím ite de estas expresiones cuando l tiende a infinito. Para ello se escribe, ka = nirlL

M. = A„+, -k „ = TTÍL por lo tanto,

= nák. ’ambién se escribe, A„ - ( i l D V ^ g { k „ ) = ( I / / . ) V ^ g ( n M ) . V erlas referencias del [6] al [13] en la lista dada en el Apéndice II.

TRANSFORMADAS DE FOURIER; LA FUNCION DELTA DE DIRAC

37

Reuniendo estas expresiones se tiene que, \íñ ¡ 2

= VTTÜ^

fí'

fix)

y haciendo que L - * ’^ , tal que AA^ O y hA A: ^ 1

fi x) =

se obtiene que,

s ( ¿ ) Í'*'^ í/^·

( 11 )

utilizando la definición elemental de integral como ei límite de una suma. La pareja de funciones/(x) y g { k \ relacionadas simétricamen te por dichas expresiones, se llaman transformadas de Fourier una de otra y las expresiones ( 1 1 ) se llaman representaciones integrales de Fourier. La ecuación (11) especifica cómo calcular/(Jc) si se conoce ^(fc) y viceversa. Como a f e c to interesante de dichas relaciones puede consi derarse una función arbitraria/(;c) suponiendo queg(fc) puede calcu larse de la segunda ecuación de (11). Substituyendo la expresión de ^(/í) en téiminos áef(x) en la primera ecuación, se obtiene que d k e Skx

fix ')

dx’.

donde jc ' es una variable muda de integración en la representación in tegral de g{k). Suponiendo válido el intercambio en el orden de inte gración, el resultado se pude escribir como, fix)=

J’°^dx'fix')S(x-x'),

(12)

donde se ha introducido la abreviación. S (jc-;r'>

e ^^-^‘^d¡i.

(13)

iS

MOMENTO LINEAL

La función S(jí - jc') la introdujo Dirac por primera vez y se llama la ûnción delta de Dirac.^ Ya q u e / ^ t) es arbitraria en un intervalo nuy amplio, la función delta tendrá propiedades muy particulares. Estas propiedades se obtienen de la ecuación ( 1 2 ); al integrar a todo íl espacio el producto de una función / por la función 8 , se obtiene x)mo resultado el valor d e / e n el punto donde el argumento de la 'unción 6 se anula. Dicho de otra manera, 6 (2 ) selecciona en la inte gración únicamente el valor de f(z) en el punto z = 0. El comportaTiíento d e /(z ) es irrelevante fuera de dicho punto, por lo cual se con cluye que 8 (z) se anula en todas partes excepto en el punto z = 0. En i = O resulta muy grande pero de tal forma que permanece integrable. Este último resultado se concluye explícitamente al escoger f i x) co710 constante, por lo cual, de la ecuación ( 1 2 ) se obtiene que. S ( x - x ’) d x ' = l .

(14)

;s decir, que la integral de una función 8 está normalizada a la uni d ad / Resumiendo, las propiedades básicas de la función 8 de Dirac están Jefinidas por las ecuaciones (14) y (12), siendo (13) su representa ción integral de Fourier. Algunas propiedades útiles son las siguien tes: (15)

S ( - jt) = 6(jf) o 5 (± ííJ r) = S (jc ),

ó{x^

(16)

a > 0

[ 0 { x - a ) -H 0 { x + a ) ]

(17)

^ Cambiando x - x' por z y k por y, la definición de la delta puede escribirse como, ■ dy.

S(i)

Esta expresión significa que, por ejemplo, en analogía con la ecuación (13) se tiene que,

=

íí«r.

* Una versión diferente puede construirse como agüe. Considérese la ecuación (12) para x fi* ja, por ejemplo, x ~ h y q u e /(x ) se altere por una cantidad arbllraria i)(^>en la vecindad in finitesimal de un punto cualquiera a 7 ^ b. El miembro izquierdo de la ecuación (12) no cam bia, permaneciendo igual a f{b) y, por lo tanto, la contribución adicional del miembro dere cho debe de ser cero. Esto implica que S(í» - * ) = O, i) # a ,lo cual concuerda con las con clusiones anteriores. Podría ayudar al lector a visualizar las propiedades de la fundón-S si se la considera como el límite de una función de buen comportamiento con un máximo bien definido como por ejemplo una función gausiana, que se discute en los problemas.

ESPACIOS DE CONFIGURACION Y DE MOMENTO LINEAL

,
j { x ) ------ =

df dx

,

39 ( 18 )

La demostración se dejará para los problemas. Finalmente, es útil mencionar el teorema de convolución. Si y ft (j:)son funciones arbitrarias, con transformadas de Fourier g,(A) y giik) respectivamente, este teorema establece que,

fÁ x ) fÁ x )d x =

j Á k ' ) g Á k - k ’) d k ' .

(19)

La demostración no es difícil y resulta ser un ejercicio instructivo en la manipulación de integrales de Fourier. Si se substituye/i(a) y fîx) por sus representaciones integrales de Fourier, resulta que

dx e-*>‘^M x )M x )

^ d k ' g,{k') e'“'^ X í dk" gîk")

Como en el miembro derecho la dependencia de x es explícita, inter cambiando el orden de integración y calculando primero la integral sobre x se obtiene que.

dx

dk' dk" g,ik')g,{k")

M x ) f 2 Íx) =

dx e

2v

El último factor es 8 {A" — k + k ’) de acuerdo con (13). Finalmente, calculando la integral sobre A:" se obtiene el resuhado. Como caso particular se tiene que,

f*{x)f{x) dx =

g*{k)g(k) dk.

(20)

Ejercicio 2. Demostrar'la ecuación (20). 4.

ESPACIOS DE CONFIGURACION Y DE MOMENTO LINEAL

Ahora, es posible establecer una relación precisa entre funciones de onda en el espacio de configuración «(»(x) y funciones (p) en el espacio de momentos. De la ecuación (3) se tiene que.

40

MOMENTO LINEAL

<Í
1 V SttA

.■

mientras que de la ecuación ( 1 1 ) se tiene que, (Íí{a:)

(21 )

dx.

Unicamente en un sistema de unidades en el cual ft = formada de Fourier de 4·. En general,

1

, «í»es la transr

4>{pth) = V ft if>{p)

es su transformada, siendo p/h = 2 n- ¡k = k donde k es el número de onda reducido. Con esta identificación, y h acien d o / = »(< y ^ =VK\, de la ecuación (2 0 ) se obtiene que, /

dx=^ ¡ ^*<í> dp

y se satisface la condición de que >íf y sean normalizables simultá neamente. Hasta aquí se han establecido dos representaciones equivalentes, o bien, dos formas de escribir una función de estado, una en el espacio de configuración y otra en el espacio de momentos. Ninguna de ellas contiene más información que la otra ni ninguna distinción especial. Juntas, permiten tratar la posición y el mom ento lineal sin ninguna preferencia como variables dinámicas.

5. OPERADORES DE POSICION Y DE MOMENTO LINEAL Dada una función de estado tíi(jc), ya se conoce cómo calcular valo res de expectación de cualquier función de la posición o de cualquier función de momento lineal. En el último caso, es necesario calcular la función de estado en el espacio de momentos, es decir, hacer la transformación al espacio de momentos. Claramente, el procedimien to es ineficiente y largo, por lo cual convendría desarrollar un m éto do para poder calcular valores de expectación del momento lineal directamente de i|»(a:). La técnica establecida hasta ahora no permite calcular valores de expectación de funciones mixtas de la posición y del mom ento lineal, como por ejemplo el momento angular. Para resolver este problema se parte de la ecuación, (/>) = / 4>*iP)PiP) dp. Usando la ecuación (21) se expresa
&n términos de ((((jc)

41

OPERADORES DE POSKION Y DE MOMENTO LINEAL

ÍP ) = ^

/ / / dpdxdx'

p ^(x) ^

(2 2 )

Como la dependencia de p es explícita se puede hacer primero ta in* legración sobre p. La integración resulta muy simple si se elimina el factor p en el integrando. Para elio se usa el hecho de que, (23) como se puede verificar fàcilmente hadendo la diferenciación indica da en el miembro derecho. Substituyendo este resultado en la ecua ción ( 2 2 ), se obtiene que, ) = ^

/ X / d p d x dx'

<¡,{x)

^

.

A continuación se integra por partes respecto a x . El término inte grado es proporcional al valor de ^(j:) en infinito y por lo tanto es cero para funciones de estado físicamente aceptables porque tales funciones se anulan en infinito. Entonces, el resultado de la integra ción por partes resulta ser, ; / / dp dx dx'

(P ) =

7

^

·

Ahora, es fácil integrar respecto a p obteniéndose que, ( p ) = J J d x dx'

S U ' - X)

de donde se obtiene finalmente que,

(p} = f d x r U ) j £ H x ) ^ También se puede calcular el valor de expectación de p" arbitraria. Usando la misma técnica, ( p " ) = f ( ^ * ( p ) p ”4 f ( p) d p

1 2vh

(24) para n

42

MOMENTO LINEAL

o bien,

(p'‘> = ^ Í Í S dpdx'dxrix')

^ U )(-f

(25)

donde, en el último paso, se ha usado la siguiente generalización de la ecuación (23):

^-ipxfñ

pH -

m

La integración por partes de la ecuación (25) respecto í x , repetida n veces, da como resultado ( P"> =

¿

/ / / d p dx' dx r i x ' )

'í'W ·

ya que el término integrado siempre se anula. De la integración sobre p resulta el factor Inh 6 (x ' - x ) y de la integración sobre x 'se obtie ne el resultado final,
^(jf) = / ííx

(27)

Para generalizar este resultado se considera una función que pueda desarrollarse en serie de potencias de p. Obviamente, al gene ralizar el argumento anterior, se puede escribir que, «í'*(jt)/(f j ^ ) ^ i x ) d x .

(28)

De este resultado se pretende obtener una conclusión im portante y fundamental, y por esta razón es necesario aclarar perfectamente su significado. Por hipótesis, f{p) puede expresarse en serie de po tencias de p como ñp)

=Xn

Entonces la ecuación (28) puede expresarse como,
donde cada término puede calcularse usando (27). Este procedimien to no es útil o práctico al tratar con funciones complicadas del mo m ento; sería mucho más sendllo transformar al espacio de momen tos. Además, en el caso de funciones que no puedan desarrollarse en

operadores de

POSICION Y DE MOMENTO LINEAL

43

serie de potencias, este último procedimiento es ei único m étodo a seguir. Por ahora, el tratam iento será más formal que práctico. La ecua ción (28) se puede escribir en la forma siguiente. iñ p) ) =

^*{.x)f{p)^{x) dx.

(29)

entendiéndose que el momento lineal p en el integrando debe de re emplazarse por el operador diferencial {ñ¡i)d/dx que opera sobre la función >}f{x)que se encuentra a su derecha. Esta substitución se pue de expresar en la forma siguiente; en el espacio de configuración, el momento lineal está representado por la operación de diferenciación multiplicada por A/í, (30) lo cual significa que, (31) y en general, (32) Este argumento parece establecer que la interpretación deí momen to lineal como operador diferencial en el espado de configuración es válida únicamente cuando se refiere al cálculo de valores de expecta ción, es decir, nada más en expresiones tales como (29). Esta inter pretación puede extenderse aceptando la ecuación (30) como una afirmación general, cuyo contenido operacional expresado por (31) y (32) es independiente del cálculo de valores de expectación. Esta ge neralización es conceptual pero muy útil, aunque es necesario recal car que no implica ninguna suposición física adicional. Este hecho se concluye debido a que todo observable o consecuencia medible de la mecánica cuántica, se expresan en términos de mtegrales sobre fun cionales cuadráticas de la función de estado, ilustrado por (29). Hasta ahora la atención se ha restringido a las propiedades del mo mento lineal en el espacio de configuración. Pero, ¿qué se puede de cir acerca de las propiedades de la posición en el espacio de momen tos? Calcando los argumentos expuestos anteriormente, se puede

44

MOMENTO LINEAL

demostrar que ta posición puede representarse en el espacio de mo mentos por el operador de diferenciación en dicho espacio multipUcado por (-A/O, o sea. (33)

i dp

Ejercicio 3. Partiendo de, ix) = !

dx

y usando la ecuación (3) para expresar »/»(x) en función de <í>(p), de ducir la ecuación (33).

Este resultado significa que, en completa analogía con el espacio de configuración, se puede escribir (34) y en general. (35) y, por lo tanto, en el espacio de momentos, {f(x)) = í

0*(p)/(^)<^(p) d p =

í

^*(p)/(-y^)<í*(p)

dp.

(36)

En forma general, se pueden establecer estos resultados diciendo que en mecánica cuántica las vm'iables dinámicas no son números sl· no que están representados por operadores que se aplican a funciones de estado. La forma particular de los operadores depende de la re presentación. En el espacio de configuración, la variable de posición es precisamente el número x, y la variable de mom ento lineal es el operador diferencial (30). Recíprocamente, la variable de posición en el espacio del momento lineal es el operador diferencial (33) y la variable del m om ento lineal es un número. Estos resultados se resu men en la Tabla L

OPERADORES DE POSICION Y DE MOMENTO LINEAL

45

Variable Dinámica Representación Posición Espacio de posición

Espacio de m omentos

je

Momento lineal k ± i dx

_ h ± i dp

P

TABLA l Representación de los operadores de posición y m om ento lineal.

Para la caracterización de las variables dinámicas bajo el punto de vista cuántico ha sido necesario introducir el concepto de operador. Estas entidades se encontrarán con mayor frecuencia en el desarrollo posterior de la teoría. Antes de proseguir es conveniente resumir sus propiedades más importantes. Cualquier regla o receta por la cual se cambia una función en otra, se llama una operación y la representación abstracta de este proceso se define como un operador. Simbólicamente se escribe como,

Af(x) = gix),

(37)

donde el operador A está definido sobre cierta clase de funciones si g está determinada para toda / e n esa clase. Puede parecer compUcado pero no es más que una formalización de lo que se acostumbra a ha cer. Quizás se aclare con los ejemplos de la Tabla IL Operación Multiplicación por 3 Multiplicación por Diferenciación Elevar al cuadrado Conjugación c o m p ila

Ecuación (3 7 ) A f-2f Af= Af=df!dx Af=fì

Representación simbólica A = 2 A - f A^dldx A = 1 A = ^.

TABLA n. Ejemplos de operaciones y operadores. Ei miembro izquierdo de la ecuación (37) se parece a u n producto aunque no lo es, pues sería un producto si A fuera un núm ero o una función de x, real o compleja. Además existen operadores perfecta mente bien ílefinidos aunque no tengan una representación conven cional o simbólica, como los dos últimos ejemplos de la Tabla IL Los operadores de la mecánica cuántica son operadores lineales, o sea, operadores tales que,

.1 ^

46

MOMENTO LINEAL A {f+ f^)--A j\+ A f,.

(38 )

Todos los operadores de la Tabla II son lineales excepto el de elevar al cuadrado. Que el operador de elevar al cuadrado no sea lineal se sigue del hecho de que, /! ( /.+ /.) -

+ 2 /./^ + //,

que es diferente de la operación,

Frecuentemente se tendrá que tratar con secuencias de operacio* nes, las cuales operan una después de la otra. Por ejemplo, se encon trarán casos en los cuales un operador B opera sobre una función y sobre el resultado opera el operador A. El resultado neto define el nuevo operador C. Entonces, se puede escribir que, (39) Se acostumbra omitir el paréntesis de la derecha y expresar esta rela ción en la forma,

Cf=ABf, que implica la relación entre operadores C = AB, donde a C se le llama el producto de y B, recalcando que el signifi cado de este producto está expresado por la ecuación (39). El cua drado de un operador es un caso especial del producto. Productos de más de dos operadores o potencias de operadores, se definen por la aplicación sucesiva de la regla del producto. Por ejemplo. C = AÂi

An

es el resultado de operar primero con A „ , después con /4„_, y así su cesivamente hasta llegar a operar con A i . Para dar algunos ejemplos concretos, sea A la multiplicación por y 5 la diferenciación respecto a x. Entonces,

dx

RELACIONES DE CONMUTACION

47

El orden de los operadores en un producto determina el orden en el cual estos operadores deben de operar. En general, el resultado de penderá de este orden, o sea que, AB # BA por lo que el álgebra de operadores es no conmutativa, contrastando con el álgebra de los números ordinarios que sí lo es. Para los opera dores anteriores A y B, B /í/=

que es diferente de ABf. Análogamente, si C es el operador de conju gación compleja, entonces, ACf = e ' ^ f * { x ) pero, CA f=e-'^f*{x).

Por otra parte, para los operadores 5 y C definidos anteriormente, se concluye fácilmente que el orden de los operadores es indiferente y por lo tanto, BC = C B ,

Entonces, se dice que estos operadores conmutan entre sí o son mu tuamente conmutativos.

6

. RELACIONES DE CONMUTACION

Un aspecto im portante al considerar las variables dinámicas como operadores, es el hecho de que variables dinámicas indisfinguibles cla sicamente, pueden ser totalm ente diferentes en la física cuántica. Un ejemplo im portante son los productos xp y px. Clásicamente estos productos son idénticos, pero no lo son en la mecánica cuántica, lo cual se comprueba al operar cada producto sobre una función de es tado. En el espacio de configuración se tendría que, ,, .

y

A i/

ñ

eJift

MOMENTO LINEAL

londe se obtiene que,

(40 ) que 0 es arbitraría se concluye que la diferencia entre px y xp es »perador numérico h/i, i p x - x p ) = (p,x) = J -

a diferencia se llama el conmutador y se ha introducido una nota1 para representarlo. De modo que si A y B son operadores arbiios su conm utador se define como. (41)

i A, B) = A B - B A ^ - { B , A ) .

contraste con la multiplicación ordinaria, la multiplicación de va>le dinámicas en la mecánica cuántica es n o conmutativa, ís instructivo examinar el conm utador de p y x en el espacio de mentos. Se tiene que, d

,

"(” 7

ft,

h

dé

“ 7 '’ dp'

donde ( p , x ) 4 > ^ { p x - xp)4> = j .

que 4» es arbitraria también se concluye que, ( p , j f ) = fi/í.

lunque las expresiones para p y x dependen de la representación, com nutador es independiente de ella. La relación de conmutación I) puede tomarse como la relación fundamental entre las propietes de las variables dinámicas que representan a la posición y ¡al mentó lineal en la mecánica cuántica. La constante h interviene no la medida cuantitativa de la no conmutatividad. En el límite sico ft podría tomarse como cero, recobrándose entonces la contatividad.

49

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Es fácil generalizar la relación (40) a funciones de variables diná micas. Por ejemplo, se puede considerar [p, /(:c)] para f (x) arbitra ria. Se obtiene que, (4 2 )

que se comprueba fácilmente en el espacio de configuración. Análo gamente, (43) que se comprueba fácilmente en el espacio de momentos. Por otra parte,

[p,f{p)] =

= 0

(44)

de donde se concluye que, si/(x , p ) es un operador bien definido/ (45) y que. (4 6 )

Estas últimas expresiones son equivalentes a (4 7 )

en el espacio de configuración y a /{Jr,í') = / ( - T

(48)

en el espacio de momentos. 7. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE La propiedad no conmutativa de los operadores en mecánica cuán tica, de la cual se h’an estudiado algunos ejemplos, tiene un significa^ Por opeiadoi bien definido se entiende un opetadoi para el cual el orden de los elementos no ínm utativos en su desanollo en serie de potencias están especificados sin ambigüedad para cada término.

50

MOMENTO LINEAL

do preciso en función de observaciones y mediciones. La especifica ción de una función de estado particular, implica que el sistema estu diado ha sido preparado mediante una secuencia de observaciones. Medir el valor de una variable dinámica es equivalente a operar sobre la función de estado con el operador que representa a esta variable. En general, bajo el punto de vista cuántico, una medición provoca perturbaciones en el sistema observado. Por lo tanto, la medición de la propiedad A no proporciona necesariamente el mismo resultado si se lleva a cabo después de medir la propiedad 5 o se reaüza previa mente a ésta, ya que la perturbación provocada al medir B puede cau sar cambios en el valor de .4. En este caso, A y B no conmutarían, pero sí conmutarían si no hubiera interferencia. El principio de incertidumbre se refiere precisamente a la interfe rencia provocada por la observación. Más adelante se establecerá una relación general entre ta incertidumbre mutua de parejas de observa bles y su conmutador. Por ahora, se discutirá cualitativamente este principio al estudiar la determinación simultánea de las variables de posición y mom ento lineal. Al comienzo de este capítulo se aclaró que la función de estado «(>^1 definida por (1), que describe a una partícula con momento lineal definido, no contiene información acerca de la localización de la par tícula. Para describir a una partícula localizada fue necesario cons truir un paquete de ondas. De la forma de la ecuación (3), la cual representa dicho paquete, se deduce que el momento lineal no está definido con precisión sino que está distribuido en un intervalo de valores fijado por la estructura de 0(p). Este com portamiento, en el cual una de las variables (p o x ) está poco definida a cambio de que lo esté la otra, es un resultado general que se estudiará brevemente. Como ejemplos, se discutirán dos casos particulares de paquetes de ondas. (a) Paquete de Ondas Cuadrado. Como primer ejemplo se considederará el paquete de ondas cuadrado y normalizado deíínido por. 1x1 (49) =0

1x1 > L,

que es parte de una onda plana correspondiente al momento lineal p*, de longitud 2L y centrada en el orfeen. De acuerdo a la ecuación (21) se obtiene que.

i V il

dx


51

* (p ) = v w ï t » " l í p . - p w « ! Pí)~ P

(50)

o bien,

y además de que. (51) cuya gráfica se muestra en la Figura 2. Como se indica en la figura, ta

Figura 2, Distribución de momentos de un paquete de ondas cuadrado,

altura del máximo principal, centrado e n p « , es proporcional a i y la anchura es inversamente proporcional a El área bajo la curva es independiente de L y a proximadamente igual a uno. Entonces, un paquete de ondas que localiza a una partícula en un intervalo Ax = 2L localiza al mom ento lineal en un intervalo Ap = hvjL. Por lo tanto AjcA p es del orden de y es independiente de L. Para L grande, el m om ento lineal resulta estar bien definido y la localización espacial es muy pobre, y viceversa para L pequeña, pero de tal manera que la incertidumbre en x por la incertidumbre en p es siempre del orden de h. (b) Paquete de Ondas Gausiano. Como segundo ejemplo se consi derará el paquete de ondas gausiano, (52) h IL ^ y que está normalizado y describe a una partícula localizada en tom o al origen en un intervalo de longitud L y con mom ento lineal prome dio Po· Usando las técnicas del Apéndice I, resulta que este paquete está dado por. *Íi(jí:) = V 1/ L V ^ exp

0(p) = V £ ,/ftv ^ e x p [ - ( p - p o ) * L W ] ,

(53)

* La altura del tnixim o prindpal se obtiene tomando el li'mite de (51) cuando {p - Po) tien de a ceio. La anchura se obtiene localüuuido el primer oero de la función seno que se en cuentra al tom ar su argumento el valor de v .

52

MOMENTO LINEAL

que también es gausiano, de anchura inversamente a L. Además, el momento lineal se encuentra localizado en un intervalo de longitud h¡L centrado en po · De nuevo, el producto de las inoertidumbres es del orden de h.

Ejercicio 4. Calcular {x) y ip ) en el espacio de confûración y el de momentos para el paquete de ondas cuadrado (ecuaciones (49) y ( 5 0 » y p a ra e l paquete de ondas gausiano (ecuaciones (52)y (53)).

Se ha demostrado que la relación entre las anchuras de un paquete de ondas en el espacio de configuración y en el espacio de momentos son aproximadamente las mismas para los paquetes de onda cuadrado y gausiano. A continuación se comprobará que este resultado es ge neral, examinando un paquete de ondas general que puede escribirse como.

Mx) =/(-v)

(54)

Se supone que f (x) es real y que es una fiinción de x sin variaciones bruscas, de anchura L, centrada en el orên. También se supone que fp está normalizada, es decir que.

í: P(X ) d x = l. Se verifica fácilmente que para este paquete el valor de expectación del mom ento es PoEjercicio 5. Verificar que (p ) = p* para el paquete de ondas de la ecuación (54). De acuerdo a la ecuación (21), la función de estado en el espacio de momentos para este paquete de ondas es,

4>(p) Por hipótesis, / ( x ) es una función sin cambios bruscos, centrada en el origen en donde tiene su máximo y cuya anchura es L . Esto signifi ca que la contribución principal a la integral proviene del dominio


Ul

53

¿ . Entonces, si

{po ~ p ) el argumento de la exponencial es despreciable en el dominio de inte gración y 4 >ip) será aproximadamente constante y proporcional al área bajo la curva/(x). Al crecer (p« - p), la exponencial comienza a oscilar, llegando a oscilar rápidamente en el dominio efectivo de inte gración, resultando que la integral y por lo tanto son muy pequeñas. La frontera entre los dos com portamientos está fyada por,

ip o -p ) Llk = 1, que determina cuándo empieza la oscilación. En otras palabras, cuan do se satisface la condición anterior, 4>(p) comienza a decrecer rápi damente desde su valor máximo en p = po. La anchura del paquete de ondas en el espacio de momentos será aproximadamente, Ap = hlL. Pero la anchura en el espacio de configuración Ax es igual a L y por lo tanto, (55) si / (x) es una función sin cambios bruscos. También puede suponerse que /(x ) tiene cierta estructura, o sea, que tiene ciertos cambios bruscos. Entonces, (po - p) tiene que ser mayor que antes para que la exponencial oscile rápidamente dentro de la distancia que caracterice a dicha estructura y (p) comience a decrecer. Por lo tanto, la anchura Ap del paquete de ondas en el es pacio de momentos resulta mayor y la ecuación (55) representa el mejor resultado que se puede obtener, o sea que en general ApAx > ft.

(56)

Más adelante se definirá con precisión lo que se entiende por Ax y Ap y se obtendrá una desigualdad precisa. Por ahora, se considerarán dichas cantidades como una medición razonable de las anchuras de un paquete de ondas en ambos espacios. La interpretación física de esta relación matemática trivial es la si guiente. Si una partícula se encuentra localizada en cierta región Ax sin im portar el significado, entonces, su momento lineal se encuen-

54

MOMENTO LINEAL

tra localizado en Ajt), y viceversa. En otras palabras, la posición y el mom ento lineal de una partícula no pueden conocerse (determi narse o medirse) simultáneamente con precisión arbitraria, sino den tro de los límites fijados por (56), siendo ésta una versión matemáti ca no muy precisa del principio de incertidumbre, enunciado por Heisenberg. Este principio demuestra que las trayectorias clásicas no tienen un significado preciso en el dominio de la mecánica cuán tica. En general, la relación de incertidumbre se cumple entre parejas de variables dinámicas canónicamente conjugadas o complementarias. Como segundo ejemplo podría tomarse el siguiente: si se mide la energía de un sistema con incertidumbre el tiempo al cual se re fiere esta medición tendrá una incertidumbre Ai tal que. A£Aí > h.

(57)

Para medir la energía de un sistema con mayor precisión se emplea un tiempo mayor. Un aspecto importante de este resultado es la in formación que suministra acerca del decaimiento de estados excita dos. En particular, la vida media y la anchura en energía de estos estados están relacionados por la ecuación (57). Para un ejemplo, ver la Sección 3 del Capítulo VIL De la discusión anterior se concluye que las relaciones de incertidumbres se obtienen automáticamente en mecánica cuántica. Inter pretándolas como mediciones, estas relaciones son consecuencia de la transferencia incontrolable de energía y momento lineal que ine vitablemente ocurre durante el proceso de observación entre al apa rato de medición y el sistema cuyas propiedades se miden. Como ejemplo puede considerarse la determinación de la coordenada y de una partícula mediante una rendija (Figura 3). Si la rendija tiene abertura ¿ , = L, el patrón de difracción obtenido tendrá anchura angular $ - \jL ~ hlp^L = h!pa¡íy. La incertidumbre en la compo nente y del momento lineal es Ap„ = p« sin 0 -■ p«B. Por lo tanto Apu^y = h, de acuerdo con el principio de incertidumbre. Un segun do ejemplo consistiría en la localización de una partícula mediante un microscopio. Para localizar una partícula en una distancia Ax, la longitud de onda de la luz usada en la observación tiene que ser del orden d e* < Ajc. Entonces, el momento del fotón sería del orden de p > ft/Ax. La partícula se ve debido a que dispersa o absorbe el fo tón y el momento lineal transferido en el proceso de dispersión es del orden h¡£íX, según lo exige el principio de incertidumbre.’ ’ Paia una discusión detallada de éste y otros ejeiMplos, véase U RefeiencU [18].


55

p»· f

Figura 3. Localización de una partícula mediante una rendija.

Como se hizo notar anteriormente, es importante reconocer que el principio de incertidumbre es parte im portante de la mecánica cuán tica, así como consecuencia de ella. La violación a este principio nunca se presenta en mecánica cuántica, y si ésta es correcta en su forma actual, el principio de incertidumbre es una consecuencia ne cesaria. Este principio es muy útil para entender las propiedades cuánticas de un sistema. Para sistemas muy complicados, cuya solu ción exacta o completa no es posible obtener, el principio de incerti dumbre permite decidir si ciertos efectos existen o no. Como ejemplo se puede considerar el caso de una partícula confi nada por un potencial atractivo V(r) en una región de radio a. Para cada una de ais coordenadas, la incertidumbre en la posición es del orden de a y, por lo tanto, Ap = hja. Como el momento promedio es cero, este resultado es del orden del momento lineal y, por lo tan to, la energía cinética promedio de la partículano puede ser me nor que . La energía potencial promedio ( K ) es del orden de V{d). Entonces, la energía total E está dada aproximadamente por. E{ a) = { T ) + { V ) 2

nta^

Via).

(58)

Se observa en esta ecuación una competencia muy clara entre la ener gía cinética y la energía potencial, cuyo origen es cuántico. Si de crece, la energía potencial decrece para interacciones atractivas, pero la energía cinética siempre crece. Una estimación vaga de la energía mínima posible del sistema o energía del estado base, se obtiene dife-

56

MOMENTO LINEAL

rencìando la ecuación (58) respecto a a e igualando el resultado a ce ro. Como caso particular, se puede considerar el àtomo de hidrógeno donde el potencial de confinamiento es el potencial culombiano ( - e*/r). Entonces, la energía total es, £. ma^ a Se encuentra fácilmente que esta expresión tiene su valor mínimo en a = h^lme^ que es precisamente el radio de Bohr y la energía mínima será i—me*¡7^^) que corresponde al valor correcto de la energía del estado.' La sola existencia de un estado base explica la razón de que los átomos no sufran un colapso, como lo predeciría la mecánica clá sica. Debido a que la energía tiene un valor mínimo absoluto, el áto mo no puede perder energía por radiación o por otros mecanismos y el sistema es estable. Este ejemplo es muy instructivo. Se ha usado el principio de incer tidumbre para explicar la existencia de un estado base, estableciendo la existencia y estabilidad de los átomos, con lo cual se tiene un mé todo sencillo para estimar su energía, al menos para el átomo de hi drógeno. Entonces, se puede concluir que con el principio de incerti dumbre es posible identificar las características esenciales de un siste ma complejo, lo suficientemente complejo como para no poder si quiera formular el problema y menos resolverlo, sino hasta el Capítu lo IX. 2

Problema 1. (a) Considerar la función definida por, ¿ ( a:)

Calcular la integral y demostrar que A(x) tiene las propiedades de 8(x) cuando L (b) Considerar la función. oífcjr-OriJfl dk.

A(jr) = J„ j

Demostrar que A(j :) se comporta como 5(x) en el lím ite« ^ 0 . (c) Considerar la función A{x) = /le"·*'*"'*. Demostrar que si ^ se * La selección aparentemente casual de los fad otes numéiicos al estimar (T) y (V), los cua les están determinados por un factor de dos o más, han sido escogidos paia obtenei las íespuestas correctas pata el átomo de hidrógeno. Esta pequeña trampa no afecta para nada la naturaleza de los resultados.


57

escoge apropiadamente, A(x) se com porta como 6(Jt) cuando i»· >0. (d) Demostrar lo siguiente ; (1 )

h i-x )= b U ).

(2) dS{±íiA·) = S(jc), (3 ) (4 )

a > 0.

6 (jc * -« ^ )= ¡[S U -a )+ S (;t+ íi)]^ . n ^ ñ x ) 0 ' i x - a ) dx = ~ r ( a ) ,

donde el acento denota la diferenciación. Problema 2. Encontrar k representación en series de Fourier de las funciones siguientes en el intervalo —L < x < L : (a) A x i - x · (b) /U ) = W. (c) fix ) = \. (d) = En el caso (d) comparar el comportamiento de las amplitudes de ía serie de Fourier en el lím ite aL > l con el comportamiento de la transformada de Fourier de e Problema 3. Encontrar las transformadas de Fourier de las s i l e n t e s funciones: x , \x\<\ (a) / U ) = 0 , \x\ ^ i.

1^1 , )x| < 1 0 , kl ^ 1. 1 \x1, kl < f = 0 , \x\ ^ 1.

(b) f(x} = (c) f(x)

Problema 4. Considerar el paquete de ondas, = A e x p [-(ljíl/Z > ) + ip ^ lh ] .

(a) Normalizar tf>. (b) Calcular
58

MOMENTO LINEAL

(a) (b) (c) (d)

(P,A·*). ip\x).

ipKAx)].

[Problema 6. Los operadores A¡, A¡,...yAf, actúan sobre una función arbitraria >l>ix) en la forma siguiente; A , multiplica por A2 eleva 0 al cuadrado, A^ promedia »/»(Jc) en un intervalo 2 1 centrado en torno a x , ^ 4 subtituyex por x +a, A^ s u b titu y e x p o r - x ,y ^ e d iferencia «í»dos veces. (a) Escribir una expresión para ^ ,4 í(x ) en cada caso. (b) Determinar cuáles son lineales. (c) Determinar las parejas de operadores que conmuten. Problema 7. Usar el principio de incertidumbre para estimar la ener gía del estado base de los sistemas siguientes: (a) Una partícula en una caja de longitud L. (b) Un oscüador armónico de frecuencia clásica w . (c) Una partícula colocada sobre una mesa sometida a la grave dad. Problema 8. x<>y p« representan los valores de expectación de x y p para el estado «ôOc). Considerar el estado iÍí(jc) definido por + Jf). Demostrar que { x } y ( p ) s e anulan para este estado. ¿Viola este resul tado al principio de incertidumbre? Explicar. Problema 9. Una|partícula de masa m moviéndose en un potencial V{x) se encuentra en su estado base dado por »((p) es real y :uál sería el valor de ( jc)?

IV Movimiento de una partícula libre

l. MOVIMENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS; VELOCTOAD DE GRUPO Hasta ahora se ha estudiado la función de estado de un sistema a un tiempo t fijo, pero a continuación se discutirá la forma en que es tos paquetes varían como funciones del tiempo. En este capítulo se considerará el problema más sencillo, o sea, el movimiento de una partícula libre de influencias externas. Como punto de partida se re curre a la ecuación (2) del Capítulo III que establece una descripción general del paquete de ondas de una partícula libre como. V2Trft

dp,

<}>ÍP) ex p .

(1)

donde w(p) todavía es desconocida. Se supone que t/» es conocida en at í = O, cuyo valor inicial »(»(»(x) está dado por, 4>{p)

dp.

(2 )

Entonces, dada el problema será calcular »/»(x, t). Como paso preliminar se considerará el ejemplo de la propagación sin dispersión (como la propagación de la luz en el vacío), donde w es proporcional p¡h. La constante de proporcionalidad tiene dimen siones de velocidaá y se simbolizará por c. Por lo tanto, en este ejem plo, 0}

= c p l h = 2irc/X

60

MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA LIBRE

y la ecuación (1) resulta ser,

dp.

0 U ,/) =

Comparándola con la ecuación (2) se concluye que t) como fun ción de (Jc — cf) tiene la m iana forma que tí»«como función de x. Es decir que, /) = iíí„(jc - rí), y el paquete de ondas se desplaza hacia la derecha con velocidad c, sin distorsión, independientemente de su forma inicial.’ Volviendo al caso general de to(p) desconocida, no se podría calcu lar: nada si tníp) fuera arbitraria y se tuviera un paquete de ondas com pletamente arbitrario, aunque no se necesita particularizar mucho pa ra obtener propiedades esenciales. La primera suposición que puede hacerse es que 0(p) sea un paquete de ondas sin variaciones bruscas, definido en el espacio de momentos, centrado en p« y de anchura Ap. Para recalcar este comportamiento se escribe <^{p) en la forma ^(í>) = íf(p - Pu),

donde g es una función sin variaciones bruscas, que cae rápidamente a cero cuando su argumento excede en magnitud a Ap. Esto significa que la contribución principal a la integral de la ecuación (1) proviene de una región de anchura Ap en tom o al punto p«. En segundo lugar, se supone que w(p) es una función de p, sin va riaciones bruscas. Por esta razón, w se puede desarrollar en serie de Taylor en tom o a po, tü (p ) =
^

+· · ·

donde (1>0= «(po) ' El tratam iento de este problema como piapagación óptica se ha ^ p lific a d o considerable mente. También se debe de considerar el caso cuando y p tienen signos opuestos, u> — -e p fñ . En ó t^ c a , la propagación de un paquete de ondas, rto está determinado única mente p o i TamÚén se tiene cûe ^ a r dtl>ld t(pc, t - 0). Este hecho es consecuencia de que la ecuación de onda electiomagnetíca es de segundo orden en el tiempo.

MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS: VELOCIDAD DE GRUPO

61

día dpa ~ d prií' / Introduciendo la variable s =4 ) — como.

se puede escribir la ecuación (1 )

(ftU, r) = y u , /) exp

•
donde f {x, t) es la envolvente del paquete de ondas dada por, /U , O =

1

V ^ ttA j

IS

ds g i s ) exp

(j: —Vgt) —ias^t +

... (3)

Entonces, la ecuación (2) resulta ser ôix) = /o U ) do nde/o (x) será la envolvente inicial dada por, I

ds g{s) (4) \^ 2 irh . La contribución principal a estas integrales proviene de que s es menor en magnitud que Ap debido al comportamiento que se ha su puesto para g (í). Entonces, si f es lo suficientemente pequeño para que / o U ) = / U , í = 0) =

«(Ap)'*/ ^ I, puede depreciarse el término cuadrático en s en la exponencial de la ecuación (3), quedando la función envolvente,

ñ x , t) “

ds gis)

Comparándola con la ecuación (4) se nota que, con esta aproxima c ió n ,/tx , t) es la misma función de (x - V ) q u e / , lo e s d e x , o sea,

fix ,i) = / o ( j f - v„/). Por lo tanto, se ha demostrado que para t ,

(5) íq, donde

1 2 ® a(Ap)® iAp)*d^ldpo^

(6)

62


el paquete de ondas viaja sin distorsión con velocidad v„, donde Vj = háúildpo.

(7)

La cantidad se llama la velocidad de grupo de las ondas y represen ta la velocidad de propagación de un grupo de ondas, o sea, las que forman el paquete de ondas. Esta velocidad debe de compararse con la velocidad de fase, que es la velocidad con la que avanza la fase de una onda armónica pura y dada por Vp - Aío/p«. Para propagación sin dispersión, w es proporcional a p y las dos velocidades son iguales aunque en general son totalm ente diferentes. Es necesario recalcar que este resultado es válido sólo para tiempos pequeños comparados con definido por la ecuación (6). Cuando t excede a U, la exponencial comienza a oscilar rápidamente para s me nor que Ap. Cuando esto sucede, el dominio efectivo de integración en p se reduce en tamaño, produciendo un incremento correspon diente en la anchura del paquete de ondas en el espacio de configura ción, Este resultado significa que, en general, u n paquete de ondas viâ inicialmente sin distorsión con la velocidad de grupo Vg, que fi nalmente comienza a desparramarse en el espacio. Más adelante se darán algunos ejemplos. 2. EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA Para obtener la forma cuántica de o)(p) se usará el argumento si guiente. Un paquete de ondas bien definido en el espacio de configu ración se desplaza con la velocidad de grupo, Vg, por lo menos duran te tiempos cortos. En el límite clásico, esta limitación sobre el tiem po no es im portante, o sea, í« tiene que resultar muy grande compara do con los demás tiempos importantes. Suponiendo que se cumple esta condición se exê que, ^classica! Entonces, de la ecuación (7), _pn

dpo

m'

Integrando y suprimiendo el índice en p^, se obtiene, = £

=

(8)

que es la relación de Planck. En cierta forma se ha deducido la reía-

EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

63

ción de Planck como consecuencia de toda la formulación anterior y de su interpretación.^ Se observa que la ecuación (8) es arbitraria hasta una constante de Integración, la cual se ha tomado como cero. Está relacionado con el hecho de que se tiene la libertad de escoger el cero de la energía Implicando una libertad análoga en la selección de la frecuencia cuán tica. Unicamente tienen sentido físico diferencias en energía y por lo tanto también en frecuencias. * A continuación se examinará el tiempo íq para el cual un paquete de ondas cuántico empieza a desparramarse apredablemente. De las ecuaciones (6) y (8) se tiene que. Í0 = (Ap)*

(9)

Una forma instructiva de escribir esta expresión es hacer uso de la re lación de incertidumbre expresando Ap como fi/Ax, donde Ax es la extensión inicial del paquete de ondas. Entonces,

Imi A x y Para una partícula macroscópica, por ejemplo para una masa de un gramo, cuya posición está definida en 10“'· cms {1 miera), se tiene que, ío = 10‘* sec. La edad del universo es aproximadamente de 3 x 1 0 '^ años o bien de 10'® seg. Por lo tanto, el paquete de ondas de una partícula macros cópica no se desparrama durante un período comparable a la edad del universo. Este resultado establece que las trayectorias clásicas para sistemas macroscópicos no están en conflicto con la mecánica cuántica. Pero, por otra parte, para un electrón cuya posición está definida en 10"® cm., ío = 10“ '® sec,

y la descripción clásica carece de sentido. ^ Este a ig i^ e n to demuestra que la ecuadón (8) tiene que cumplirse en el dominio clááco. A nivel cuántico, se puede s u ^ n e r que además intervienen términos adicionales si su contri bución es despreciable en el Ifmite tís ic o . Sin e m b a lo , no es difícil demostrar por argu mentos dimensionales que para partículas libres no existen estos términos y que la ecuación (S) es única, excepto por una constante aditiva. ^ Anteriormente se vió que la amplitud absoluta de las andas cuántiicas no tiene significado fideo y abora se concluye que la frecuencia absoluta tampoco lo tiene. El contraste con Us ondas clásicas es sorprendente y to ta l


64

Es posible dar una interpretación física simple del tiempo to. La velocidad de grupo para la propagación de una onda de de Broglie es p/m. En un tiempo dos segmentos de un paquete de ondas que di fieran en mom ento lineal por una cantidad Ap/2, diferirán en distan cia recorrida por una cantidad de A p tjlm . Cuando esta distancia sea comparable con la anchura á x del paquete inicial, la anchura de éste empezará a crecer apreciablemente. Por lo tanto, los paquetes empie zan a desparramarse cuando el tiempo toma el valor to definido por,

Ap’ que es la ecuación (9), Este argumento impUca que cuando un pa quete de ondas empieza a desparramarse, lo hace con una rapidez li neal en el tiempo. Más adelante se comprobará este resultado. 3. PROPAGAaON DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PAR TICULA LIBRE EN EL ESPACIO DE CONFIGURACION Al identifwar
exp

ipx h

ip^í Intñi

(10)

que es una representación general de la función de estado dependien te del tiempo para la partícula Ubre. Si »(toOc) = 0(x, 0) está determi nada, también lo estará ^(p) de acuerdo con (III-21), o sea, mediante, 1

/ >

«

Ahora, se puede expresar ^ ( j:, /) en términos de su valor inicial subs tituyendo la expresión anterior en (10), dando como resultado que,

^(x, t)

1

lirti J J 'y p d x · iffo(x') exp

ip(x-x') h

2

ip^t mh

Como la dependencia en p es explícita, al invertir el orden de integra ción se puede escribir como.

M x ' , 0 ) K(x',x;t) dx',

( 11)

PROPAGACION DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTICULA LIBRE EN EL ESPACIO DE CONFIGURACION

, , 65

donde K está dada por,

l-nh

exp

ip(x — x') _ ip^t k Imh

(12)

Esta integral se puede calcular usando los métodos del Apéndice I, obteniendo que K { x \ x - , t) = V m l i l m h t ) exp [ i { x - x ' Y m í l h t ^ .

(13)

La ecuación (11) establece un resultado muy im portante, cuyo análisis se hará con cierto detalle. La función de estado inicial \ 0) especifica la amplitud de probabilidad de que la medición de la posi ción de la partícula resulte j : ' at í = 0. La función de estado »(»(x, /) especifica la amplitud correspondiente en x al tiempo t. La ecuación (11) establece cómo se encuentra esta últim a a partir de la función de estado inicial, mediante la función intermedia K. Esto implica que K puede interpretarse como la amplitud de probabilidad de que la partícula se propague al punto x durante el intervalo t, cuando originalmente se encontraba en x '. La función K se llama el propaga dor, y para este caso particular se llama el propagador de la partícula libre. Con esta interpretación, todo el proceso puede describirse de la siguiente manera: la amplitud inicial para encontrar la partícula a:', multiplicada por la amplitud de propagación de x ' a jc en el intervalo t y sumada sobre todas las x ', dará como resultado la amplitud para encontrar a la partícula en x. Este es el significado físico de la ecua ción (U ). Las propiedades generales del propagador de la partícula Ubre no son difíciles de establecer. De (12) o de ( 13) se deduce que, K{x',x\Qi) = h { x - x ' ) , lo cual significa que, para intervalos de tiem po infinitesimales, la amplitud de propagación a cualquier punto jc es despreciable excepto para puntos en la vecindad de x. Al pasar el tiempo, K se desparrama y las contribuciones provienen de intervalos (x - x O cada vez mayo res." Las ecuaciones (11) y (13) establecen una solución completa, ge neral y explícita del problema del movimiento cuántico de una par tícula libre. Es análoga al problema clásico correspondiente,

x = Xo + potim. * Hay que hacer notar que la amplitud es finita para puntos lejanos, aunque pequeña, aún para intervalos de tiempo cortos. Esto refleja el carácter no relativista del tratam iento. El propagador relativista se anula fuera del cono de luz.

66

MOVIMENTO DE UNA PARTICULA LIBRE

Si el Único interés fuera el estudio de la partícula Ubre, no habría na da más que decir. Sin embargo, la intención es establecer el camino para generalizaciones posteriores como el movimiento de una par tícula sometida a influencias externas. Cuánticamente, todavía falta dar el paso de la primera ley de Newton a la segunda. 4

PROPAGACION EN EL ESPACIO DE MOMENTOS DEL PA QUETE DE ONDAS DE UNA PARTICULA LIBRE; EL OPERA DOR DE EN ERG U

A continuación, se discutirá en el espacio de momentos la evolu ción en el tiempo del paquete de ondas de la partícula libre. Para es te propósito, se define !a dependencia temporal de las funciones de estado en el espacio de momentos /) escribiendo la generalización 1

t) =

dx.

(14)

Naturalmente t juega el papel de un parámetro, el cual se tomó como cero en la discusión anterior. Dicho de otra manera, <^{p) es sencilla mente t = 0 ) . Entonces, por el teorema integral de Fourier se tiene que, 1

(15)

V2ÏrÂ j ■ Comparando esta expresión con (10) se concluye que,

M p , í ) = 0 (/7)

t = 0)

(16)

y. p ( p , í) = |^ ( p , O P -

|
I = 0 ).

En otras palabras, únicamente cambia en el tiempo la/ase del paque te de ondas de la partícula Ubre en el espacio de momentos. den sidad de probabilidad es independiente del tiempo o estacionaria y, por lo tanto, el valor de expectación de cualquier función del mo m ento es también independiente del tiempo, resultado que no es sor prendente. Se están considerando estados de una partícula libre y, en este caso, clásicamente, el momento lineal es una constante de movimiento. Debido al principio de correspondencia, el momento lineal de una partícula libre también debe de ser una constante de

PROPAGACION DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTICULA LIBRE EN EL ESPACIO DE MOMENTOS; EL OPERADOR DE ENERGU

07

movimiento en la mecánica cuántica, y así ha resultado. Se ha recalcado que el valor de expectación de cualquier función del mom ento es sencillo para la partícula libre. Como ejemplo parti cular y muy importante, se puede tomar la energía £■, o sea p^¡2 m. Entonces, <£> = De la ecuación (16) se obtiene que,

y, por lo tanto, esta expresión puede escribirse como.

_ h d{p, i) i dt

dp.

Además, para cualquier función f (E \ sí el argumento anterior se ge neraliza, se puede escribir que,

=

dp.

(17)

Ya que ip,t) es una función de estado arbitraria para la partícula libre, se puede concluir que en el espacio de momentos la energía E puede representarse por el operador de diferenciación respecto al tiempo multiplicado por (-A //), o sea que. i. / dt'

(18)

¿Cuál sería la representación de E en el espacio de configuración? Ya que / participa sólo como parámetro respecto a la transformación entre los dos espacios, es claro que E tendrá la misma representación en ambos espacios. Este resultado se obtiene al expresar (p,t) y *(p,t) de la ecuación (17) en términos de »fr y tít* usando la ecua ción (14) y calculando la integral sobre p. Se obtiene inmediatamen te que. < /( £ ) ) =

¿)ifr(Ar,í) ¿JC.

Ejercicio 1. Deducir la ecuación (19) en la forma indicada.

(19)

68


5. EVOLUCION EN EL TIEMPO DE UN PAQUETE DE ONDAS GAUSIANO Antes de continuar con la discusión general, es útil examinar en detalle un ejemplo. Como caso particular se puede tom ar un paquete de ondas que inicialmente tenga forma gausiana. En particular, se considerará el paquete de ondas dado por la ecuación (III-52): lÍ»U,0) = íííg(jf)

(20 )

exp

V IV í

que describe a una partícula localizada inicialmente en tom o al ori gen, dentro de una distancia L y cuyo momento lineal tiene un valor de expectación igual a p^. Usando (11) y (13), y calculando la inte gral según los métodos del Apéndice I, se obtiene, -1^2

d Vn exp

'L(—x^¡2L^ + ipoxih — ipo illmh) ' L + ititjmL

(21)

siendo la densidad de probabilidad. - ílí

7T U * +

exp

(x-poílm)^

•( 22 )

Ejercicio 2. Considerar inicialmente el paquete de ondas gausiano definido en (20). (a) Obtener (21) (b) O b ten er(2 2 )d e (21) (c) Escribir <)>(p,t) (d) Calcular (E ) y su fluctuación ((E . Comparando la ecuación (22) con la expresión 1

se observa que en p(x, /) sólo hay dos cambios. En primer lugar, el centro del paquete de ondas se mueve con la velocidad de grupo p jm y en segundo lugar, la anchura del paquete crece con el tiempo. Lla mando a esta anchura L (í), se tiene que, L{t) = V U + h ^ t V m ^ L ^ .

Este resultado está completamente de acuerdo con las predicciones respecto a la propagación de paquetes de onda. Iniciahnente, el pa

69

EVOLUCION EN EL TIEMPO DE UN PAQUETE DE ONDAS GAUSIANO

quete de ondas no está distorsionado, pero empieza a desparramarse apreciablemente cuando ñtjmL^ es del orden de la unidad, que está de acuerdo con la ecuación (9). Además, cuando / resulta muy gran de, la anchura del paquete crece linealmente con la rapidez fi _ ^

mL

m '

resultado también predicho. El com portamiento de p{x,t) para un paquete de ondas gausiano se esboza en la Figura 1. Naturalmente que el área bajo la curva perma nece constante. ■s/vLf, (j, O

v/l

[.0

-*■= 0

x = p^ti/m

s= ptf./m

^

Figura 1. Paquete de ondas gausiano desparramándose en el tiempo

Este ejemplo se presta fácilmente para discutir el límite clásico. Los efectos cuánticos tienen que desaparecer al tomar ^ 0. En el presente ejemplo este resultado se obtiene inmediatamente, ya que en este límite la ecuación (22) se reduce a

p{x, O =

exp [ - U -

,

que describe el movimiento clásico de una partícula libre, cuyo mo mento inicial es precisamente Po pero cuya posición está distribuida en torno al origen de acuerdo a una gausiana de anchura L. La condi ción inicial clásica, para la cual posición y momento lineal están defi nidas con precisión, se logra tom ando con lo cual

que resulta ser la trayectoria clásica al expresar ésta en el lenguaje de densidades de probabilidad. Esta última expresión senciñamente es tablece que la probabilidad de encontrar a la partícula en cualquier punto es cero, excepto a lo largo de la trayectoria clásica, tal y como debe de ser. Es necesario añadir dos comentarios. El primero se refiere a los dos procesos de tom ar el límite de la expresión (22) para recobrar el


70

resultado clásico, siendo crucial el orden en que se ha procedido. ‘ En este ejemplo y en general, es importante obtener el límite clásico haciendo tender ft a cero, antes de fijar las condiciones inicíales de la descripción clásica. En segundo lugar, es necesario observar que el hacer tender ñ a cero, tiene significado para la densidad de probabili dad, pero no lo tiene para \3l función de estado, o por lo menos su sig nificado no es muy claro por ahora. Dicho de otra manera, la ampli tud de la función de estado está bien definida en el límite clásico, aunque por ahora, la fase no lo está. Este resultado no es sorpren dente puesto que sólo la primera se observa directamente. En el Ca pítulo VII, Sección 1, se presentará un análisis más sistemático del límite clásico y su significado para la fase, así como para la amplitud de la función de estado. 6. ECUACION DE SCHRÖDINGER PARA LA PARTICULA LIBRE AI estudiar la evolución en el tiempo de la función de estado de una partícula Ubre, se obtuvieron varias representaciones integrales equivalentes para t), pero ahora también se quiere obtener una representación diferencial que está motivada por la siguiente conside ración. Una representación integral es una caracterización global., necesita la especificación de u n a ^ n c tó « , el estado inicial, en todo el espacio en un instante dado. Con esta información se puede calcular la solución a un tiempo posterior. Es más común dar una caracteri zación local, en la cual la información de las propiedades del sistema en una vecindad infinitesimal del espacio-tiempo es suficiente para definir la solución. Esta descripción local se logra mediante ecuacio nes diferenciales. Se prefiere esta última descripción no sólo por cos tumbre sino porque las ecuaciones diferenciales dan un punto de vis ta poderoso e independiente que es indispensable al tratar problemas más compUcados que la partícula Ubre. La caracterización local que se busca se obtiene más fácilmente de la ecuación (10). Derivando bajo el símbolo de integración, se obtiene que, h d ^ j x , t) _ i

d t

1 V

I t t ^

j

M p ) 2 m exp

ipx _ i p h

h

2

mh

dp.

El mismo resultado se obtiene al calcular -ih^(2m)d'‘iifldx^ por dife renciación dentro del símbolo de integración. Se concluye que cual* El estudiante encontrará instructivo si invierte este orden, luciendo tender a cero, primero L y después A.

ECUACION DE SCHRÖDINGER PARA LA PARTICULA LIBRE

71

quier función f) definida por (10), y por lo tanto cualquier fünción de estado de partícula libre, satisface la ecuación diferencial p a^ cial. 2

m dx^

i (>t

(23)

La ecuación (10) es sencillamente una forma de escribir la solución general de (23), que es la ecuación de Schrödinger en el espacio de configuración para una partícula libre en una dimensión. La ecua ción es compleja explícitamente y de primer orden en el tiempo, no de segundo orden como en óptica. ‘ La interpretación de esta ecuación es muy sencilla y directa si se recuerda que en el espacio de configuración el operador del momento lineal es, „ =

^ A i íiX '

según la ecuación (111-30), y que el operador de energía es, / í/’ según (18). Entonces, la ecuación de Schrödinger será la ecuación de operadores. (24)

¿til

Clásicamente, para una partícula libre,

E = p-î2 m, y la ecuación cuántica correspondiente exige que al operar con el operador de energía E sobre la función de estado de una partícula li bre, se obtenga el mismo resultado que operando con el operador de enei^ía cinética p^!2m. Esta condición asegura que el valor de expec tación de cualquier función de la energía total sea el mismo que el va lor de exceptación de la misma función de la energía cinética, < / { £ ) ) = < /{ p * /2 m ) > ,

lo que al íliismo tiempo asegura que las condiciones del principio de correspondencia se satisfagan. ^ Estos aspectos se discutirán en la sección siguiente.

72


La ecuación de Schrödinger también puede escribirse en el espacio de momentos como, (25) que es más sencilla que la ecuación (24) porque p es un operador nu mérico en esta ecuación. Ya que las ecuaciones (24) y (25) tienen exactamente la misma forma, no es necesario identificar la represen tación y pueden escribirse simbólicamente, (26) donde se intenta dar la idea de que la representación no se especifica. En el espacio de configuración ^=(ft(x, t) y en el espacio de momen tos ^ = ^ ( p , /). La solución de la ecuación (25) es trivial e inmediata. La ecuación puede escribirse como.

i. M ——J sl di

2/«A’

y por lo tanto, <{>(p,r)

expt-ip*(/-/d)/2m ft],

donde to) es arbitraria. Esta solución se reconoce como una ge neralización obvia del resultado anterior aunque para tiempos arbi trarios iniciales La solución de la ecuación de Schrödinger en el espacio de configuración, donde es una ecuación diferencial parcial y no una ecuación diferencial ordinaria, es más complicada. Este pro blema se estudiará más adelante. 7. CONSERVACION DE LA PROBABILIDAD En el proceso de obtener las leyes de la mecánica cuántica se ha identificado a como la densidad de probabilidad, suponiendo que «Íí es normalizable. En particular se supone que, a un tiempo t es cogido arbitrariamente, se puede escoger lí» tal que.

>}ß*ix,

í) dx= Ì,

y análogamente para el espacio de momentos. La dependencia en el tiempo de las funciones de estado que aparecen en el integrando es-

CONSERVACION DE LA PROBABILIDAD

73

tan condicionadas por la ecuación de Schrödinger. Entonces, al im poner esta condición en un cierto instante, la misma condición se sa tisfará en el transcurso del tiempo. Al interpretar ^ como la ampli tud de probabilidad, la condición de normalización establece que la probabilidad de encontrar una partícula en algún lugar es la unidad. Es necesario comprobar que esta probabilidad permanece igual a uno al pasar el tiempo, es decir, la probabilidad se conserva. La demostración es inmediata. Al escribir,

Pit) se quiere demostrar que dP(dt es cero para cualquier solución arbitra ria de la ecuación de Schrödinger. Se obtiene que dP dt '

dx

dx.

De acuerdo con la ecuación de Schrödinger en el espacio de configu ración, ecuación (23), se tiene que.

Sí

2

m dx^ ’

2

m dx^

y conjugándola se obtiene, (>í Entonces,

^ = dt

r

'

r

A

2m =

A 2m

dx

dx

dx

ih Im

Debido a que ^ es nonnalizable, se amila en , y por lo tanto el miembro derecho se anula, de lo cual resulta que dP/dt es cero. Este hecho es crucial en toda la interpretación y es necesario recal car que la demostración fallaría si la ecuación de Schrodinzer no fue-

¿nik-#*Mriili

74


ra de primer orden en la derivada respecto al tiempo. Este resultado se hace más patente en el espacio de momentos, donde t) dp

P{í) =
dp

=

dp

/

= 0.

Si en lugar de la ecuación (25), la ecuación de Schrödinger fuera,

la demostración fallaría. Ejercicio 3. Si se interpreta como la densidad de probabilidad, demostrar que la probabilidad no se conserva necesariamente para la ecuación del tipo. \2mJ

Obtener la causa de esta dificultad teniendo en cuenta que toda solu ción de la ecuación de Schrödinger también es solución de la ecuar ción anterior. Se ha recalcado mucho la importancia de la conservación de la probabilidad que es consecuencia de la forma particular de la ecua ción de Schrödinger. Cuando se generalice el caso de la partícula li bre pasando al caso de una partícula bajo la influencia de fuerzas ex ternas, se invertirá el argumento, partiendo del requisito de que la generalización de la ecuación de Schrödinger tiene que ser construida de tal manera que se garantice la conservación de la probabihdad. Co mo se verá, ésta es una condición muy estricta y, por lo tanto, muy útil. Desde este punto de vista se podría preguntar cuál ha sido la razón de que al establecer las ecuaciones de la partícula libre, se haya llega do al resultado correcto. ¿Dónde estuvo el paso esencial? La respues ta, como se hizo notar al principio, se encuentra en el hecho de que

CONSERVACION DE LA PROBABILIDAD

75

se definieron estados de mom ento como exponenciales complejas y no como funciones trigonométricas reales, apropiadas a campos cláidcos. Al rastrear los argumentos, dicha definición lleva primero a la identificación de los operadores de energía y momento, y después a la ecuación de Schrödinger como una ecuadón diferencial de primer orden y explícitamente compleja. El hecho de que en la mecánica cuántica intervengan números complejos en forma tan esencial, se interpreta a menudo como una manifestación misteriosa de la diferencia entre las descripciones clá sica y cuántica. Sin embargo, quizás merezca la pena recalcar que, tanto en la mecánica clásica como en la mecánica cuántica, el uso de números complejos es más bien por razones de economía y conve niencia que por necesidad. La mecánica cuántica podría formularse únicamente en términos de funciones reales en la forma siguiente. Sea «í»! la parte real de lAy «í>2 su parte imaginaria, o sea. ^ donde <ír, y son reales. Con esta expresión para *í>, después de se parar la parte real y la parte imaginaria en la ecuación de Schrödinger (23),.ésta queda como,

2/n 3A*

2m

dt

dt '

que son un par de ecuaciones acopladas en y Claramente, toda relación obtenida y usada hasta ahora, puede desdoblarse en la misma forma. Como condición de normalización se obtiene, 1= /

dx

y como valor de expectación del momento,

y así sucesivamente.

Resumiendo, se puede decir que la mecánica

76 cuántica puede iw ilU h i IwiiUiJ· de estados reales de dos com ponentes. ^ Una descompoilclón aeintânte de cualquier campo clásico, en su parte real y su parte imaginaria, conduce a un par de ecuaciones dife renciales idénticas no acopladas, una para cada parte. Las partes real e imaginaria de campos clásicos son equivalentes y cualquiera puede utilizarse para caracterizar completamente al campo. En contraste, la mecánica cuántica requiere para su especificación de dos funciones relacionadas. Este es el contenido esencial al establecer que la ecua ción de Schrödinger es compleja intrínsecamente. 8. N O T A aO N DE DIRAC Hasta aquí, la formulación de la mecánica cuántica se ha desarro llado consistentemente en el espacio de configuración y en el de mo mentos, intentando presentar las leyes básicas en tal forma que sean independientes de la representación. Ahora, se introducirá una no tación debida a Dirac que permita escribir las ecuaciones indepen dientemente de la representación. La notación de Dirac es bastante más general de lo que se necesita por ahora, y de lo que el lector es tá preparado para entender. Se introducirán una o dos definiciones, generalizándolas posteriormente y añadiendo otras según se necesiten. Aquello« que estén famiüaiizados con la notación matrícial podrán daise cuenta que esta descripción no es tan incoovenieate ni engorrosa como parece. La introducción de matrices hüeta y matices columnas.

( : ■) · y de b m atriz dos-por-dos.

permite transcribir inmediatamente todos los resultados según la regla siguiente; sustituir i por Y en donde ^»atezca. Específicamente,

(3/ííJc) E —hy ( a /íl) , no alterándose la forma operacíonal de ta ecuación de S d tr^ in g e r. Nada de esto es sorpren· dente pues se verinca fácilmente que,

y* y únicamente se ha dado una alternativa para la designación convencional de V H como nú mero imaginario. Es instructivo conwarar esta teoría de dos componentes con la te o n a de dos componentes de Pauli pata el espm que se presenta en el C apítulo X.

77

NOTACION DE DIRAC

En primer lugar, se establece una forma de escribir el valor de expectaición independientemente de la representación. Sea una funr ción de estado arbitraria, definida en cualquier representación, y A un operador arbitrario. El valor de excectación de A en el estado se escribe como la expresión entre paréntesis.

En la representación de posición será,

t) dx,

{'1^1^ l'I' > = / y en la representación de momentos^

i>V\A\'lr) = f <¡,*{p,í)A
En el espacio de c o n f ^ r a d ó n se tiene que, O ^ ix, t ) d x

y análogamente para el espacio de momentos. En la notación presen te, la condición de normalizadón se escribe simplemente como. ( ^ ) ^ ) = 1. Si se desea, o bien se necesita,'espedficar en esta notación la lepiesentadón, se logra fácilmente escribiendo explídtam ente el aügamento de la áinción de estado. Así, en la representadón de posidón te puede escribir ( t) ¡Ah¡t{x, t ) ). Sin embargo, hay que notar que como factor a la izquierda se escribe '¥ y no La operacióii de coiyugaci^n compleja está implícita en la notación de Dirac. De esta manera, al escribir el valor de expectación como una i n t ^ a l , siempre hay que usar el complejo conjugado de la fu n d ó n de estado que se encuentra a la izquierda en el paréntesis.

78


9. ESTADOS ESTACIONARIOS Volviendo al problema de resolver la ecuación de Schrödinger (23) en el espacio de configuración, se usará el m étodo convencional de separación de variables. Se busca una solución particular en forma de producto tal como. (28) Substituyendo en la ecuación (23) se obtiene que,

^ /

TIm dx·^ '

dt

o sea. A L ■f T dt ' El miembro izquierdo depende únicamente de x , el miembro derecho depende únicamente de t, pero los dos tienen que ser iguales para to da x y í. Por lo tanto, cada uno debe de ser igual a una constante d, que se conoce como constante de separación. dT

^ ~~r~ —
(29)

;— a .

(30)

i T dt

y también.

Im ^ dx'^

La solución a la ecuación (29) es inmediata; 7( f) =

Por lo tanto, de la ecuación (28), (31) donde ií’a(>:) tiene que satisfacer (30) y donde el índice indica que se trata de la solución que corresponde a la constante de separación«. La interpretación de « es la siguiente. Considerando la función de estado (31) y suponiéndola normalizada, entonces, sin importar las características de a(x), se tiene que.

h 300 (

dt

dx = a.

ESTADOS ESTACIONARIOS

79

Análogamente, para cualquier función de la energía / (E) que pueda desarrollarse en serie de potencias, = /(« ), lo que significa que es un estado cuya eneigía / (£) tiene un valor preciso y numérico igual a a.* Para recordar este hecho, se sustituirá a por el número E, que es el valor numérico de la energía para el estado considerado. Se puede comparar esta notación con la definida ante riormente para los estados 0p, recordando que estos son estados en los cuales el mom ento tiene el valor numérico p. De todas maneras, esta notación es desafortunada, ya que el símbolo usado par el valor numérico es el mismo que el usado para el operador en otros contex tos. Sin embargo, es común hacerlo y la literatura no podría leerse si no se tuviera en cuenta esta ambigüedad. El lector no puede proce der a ciegas, sino que del texto debe de saber distinguir cuál es el ca so. Afortunadamente es fácil hacerlo. Ahora, se puede escribir la sohición como, f e U ./)

(32)

y la ecuación (30) como, 03) La ecuación (33), que ya no contiene el tiempo, se llama ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, en este caso para la partícula Ubre. Los estados iíí£(a:, f) tienen una propiedad muy importante. El va lor de expectación de cualquier operador A es independiente del tiempo, si A no depende explícitamente del tiempo. Por ejemplo, si A = fip , jf), entonces,< a!Alit/f}no cambia en el tiempo. Por esta ra zón, los estados se llaman estados estacionarios. Estos estados son soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo; son estados de energía definida. Cuánticamente, son estados bastan te! sencillos, aunque desde el punto de vista'clásico seaniestados complir cados, o por lo menos inapropiados. Esto es debido a que los valores de expectación d c x y p son independientes del tiempo, y por lo tan*

* Naturalmente, ésta es una condición suficiente sobre iffa.pero también puede demostraise que es condición necesaria de la forma s c ie n te : cualquier distribución estadística se deaeri· be en fonna dnica con un conjunto completo. Los presentes tienen Ja propiedad de que (£*> = «" = < £) "para toda n. Todas las fluctuaciones de £ en torno a a = ( £ ) » anulan y se sigue la conclusión.


80

to no hay ninguna liga con algún estado de movimiento clásico. Los estados clásicos serán, necesariamente, superposiciones de muchos es tados estacionarios. Finalmente, para completar la discusión, se exhibirán las solucio nes de la ecuación (33). Como se puede verificar fácihnente, se ob tiene que, ^(-v) = Por lo tanto.

iVlmEx

íEí

N otar que E tiene que ser positiva para que cialmente en un sentido o en otro. Pero ya que

' no crezca exponen

p = V2rti£, donde p es el valor numérico del momento correspondiente a la ener gía E, se puede escribir

ipx 'h

ip^t mh

2

E=pmrn,

donde los dos signos en el exponente exhiben los dos valores posibles del momento que corresponden a la energía E. Esta es una solución de la ecuación de Schrödinger (23) para cualquier valor positivo de E o, lo que es lo mismo, para cualquier valor de p, positivo o negativo. La solución general de la ecuación (23) es una superposición de estos estados estacionarios con amplitudes arbitrarias. La representación original (10) se reconoce como tal superposición. Por lo tanto, se ha demostrado que la ecuación (10) es una representación de la solución general de la ecuación (23). 10.

PARTICULA EN UNA CAJA

Como ejemplo del uso de la ecuación de Schrödinger se estudiarán los estados estacionarios de una partícula, restringida a moverse libre mente dentro de una caja (en una dimensión). Esta restricción signi fica que, fuera de la câ, la probabilidad de encontrar a la partícula es cero y, por lo tanto, ^ debe de anularse. Si 0 es continua, su com portam iento en el interior de la caja debe ser tal que se anule en las


81

paredes," Al fijar las paredes en x ^ O y x = L,se buscan soluciones de la ecuación de Schrödinger para la partícula libre, ecuación (33)> tales que, ^t-U = O) = 0^(,í = ¿ ) = O .

(34)

Anteriormente se obtuvo que, para una energía fija E,

La solución más general para una energía d a d a í”, será la combinación lineal, \j)g = A

+ B

Aplicando las condiciones a la frontera (34), se obtiene que,

^

ut! _|_ g

A + B= Q Q

obteniendo de la primera,

B^-A y de la segunda, sen V 2m £ L¡ñ = O, Esta ùltima condición no se satisface para valores arbitrarios de E, si no únicamente para los valores discretos de £■«tales que. « = 0, 1,2,. . . o bien,

En = 2 m U '

(35)

’ Ahora se puede demostrar que ifr tiene que ser continua. El problema bajo consideración en realidad no un probiema de partícula líbre, pues las paredes de la caja êrcen ftiMWs impulsivas sobre la partícula. En los siguientes dos c ^ itu lo s se discutirá el movimiento de una partíoila bajo la influencia de fuerzas externas. El caso de una partícula en una câ. puede considerarse como el caso lím ite del movimiento en un pozo de potencial cuadrado cuando el potencial se hace intinitamente profundo. Al considerar este caso, la continuidad y las condiciones a la frontera pueden verificarse.

82


Las funciones de estado estacionarias que corresponden a estos valo res, una vez normalizadas, son / /t7Tjr\ = V tJl senl

(36)

Entonces, se concluye que se obtienen soluciones únicamente si un número semientero de longitudes de onda de de Broglie, caben exac tamente en la caja. Para « = O la función de estado se anula y, por io tanto, el estado de energía más bajo será para « = I , = V ÍÍL s e n ( ^ ) E,=

En término de Ei , se puede escribir £„ como, Por lo tanto, se ha encontrado que, en contraste con la física clási ca, una partícula en una caja puede existir únicamente en un conjun to discreto de e s t a d o s A d e m á s , no existe un estado con energía cero, de acuerdo con los requisitos de! principio de incertidumbre. Una partícula en una c^ a no puede estar en reposo, siempre poseerá, por lo menos, un estado de movimiento mínimo. El espectro de energías permitido y sus funciones de onda corres pondientes, se muestran en la Figura 2, A pesar de que la separación entre estos niveles de energía crece con n, esta separación es infinite simal para todas las energías alcanzables de una partícula macroscópi ca. Por qem plo, para una partícula de un gramo en una caja de un centím etro de longitud, la energía del estado base es 5 x 10^®“ ergios, aproximadamente. Para n == 10^®, la energía de este estado es de 10’ ergios = un yulio O'oule) y para el estado n ~ 10'’^ su energía será aproximadamente de un millón de yulios. La distancia entre estados vecinos es de 10^^“ ergios aproximadamente en el primer caso y de 10“^' ergios en el último. Ambos son mucho mayores que el espacia do de 10*®® ergios en la vecindad del estado base, pero m uy pequeños e indetectables en la escala de energía macroscópica. Por otra parte, para un electrón en una caja de 2 10"*^ centímetros, £ 1 =10"'* er gios = 6 eV, que es aproximadamente igual a la separación observada en átomos. ” Resulta que el espectro de estados es discreto cuando el movimiento de una p ^ í c u la está m otado, esto es, cuando e stí restringido a una región fâ, Esendalm ente, u razón es la mis ma que en el presente (jemplo, o sea, la twcesidad de acomodar un número apropiado de longitudes de onda de de BtogUe en la región tratada.


83

Figura 2. Espectro de energía y funciones de estado para una partícula en un pozo cuadmdo. Al exhibir las funciones de estado, se usará la siguiente conven ción aquí y en todo lo que sigue. El eje espacial x para el «-ésimo estado, se di buja a una altura que represente a la energía En. La ordenada, medida desde el eje representa la amplitud de probabilidad i¡>„.

El capítulo se concluirá con una discusión de las propiedades de un paquete de ondas (estado dependiente del tiempo), para una par tícula en una câ. El estado más general, es una superposición arbi traria de un conjunto discreto de estados estacionarios.

donde En y to,

están dadas por las ecuaciones (35) y (36). Por lo tan (37)

que describe un estado en el cual, la energía de la partícula no está definida con precisión, pero puede tom ar cualquiera de los valores con cierta probabilidad, determinada por la participación del «-ésimo estado en la superposición. Dicho de otra manera, si H x, t) está nor malizada, una medición de la energía dará En con una probabilidad que será justamente ¡AJ^. Este resultado es muy im portante y, a continuación, se demostrará que es correcto. Las funciones de estado estacionarias que son funciones senoi dal de acuerdo con la ecuación (36), cumplen que.


84

Por brevedad se ha introducido el símbolo , la delta de Kronecker, que se define como la unidad cuando m es igual a « y cero cuando m es diferente de n. Cualquier conjunto de funciones que satisfaga una ecuación del tipo (38), esto es, que cada función en el conjunto esté normalizada y funciones diferentes en el conjunto sean ortogonales entre sí, se llama un conjunto ortonormal. Suponiendo que /) esté normalizada, f) d x = \ ,

y de la ecuación (37) se obtiene que, í (S Jo \

í

>

j

í/j:=

1,

' ffl

usando n como índice de suma para í) y m en la expresión para 4>(Ar, f). Intercambiando el orden en que se realizan las sumas y la in tegración, se obtiene que,
Usando la condición de ortonormalización (38) esta expresión se re duce a.

y, finahnente, la condición de normalización requiere que. (39) A continuación se calculará el valor de expectación de la energía. Se obtiene que t)

h d<}}(x, t) i dt

dx,

y usando (37), <>ír|£14.) = £ ( 2 /f

(a:)

Volviendo a usar la condición de ortonormalidad de tí>„ , se obtiene, ( 0 |£ |0 ) = 2 £ „ M J * .

(40)

^

) dx .


85

y Utilizando el mismo argumento, se concluye que para toda s, m y, por lo tanto, para cualquier función / (£^>, f(E ,,)\A jK

(41 )

Ya que /{ £) es arbitraria se concluye que, como se afirmó anterior mente, lit es un estado en el cual una medición de la energía dará el valor £■,„con probabilidad ¡AJ^. Dicho de otra manera, A,„ es la am plitud de probabilidad y lAJ'^ la probabilidad de que el sistema se en cuentre en su m-ésimo estado estacionario con energía £mal observar lo. Ahora, se supone que la función de estado de una partícula en una caja se fya en un cierto instante de tiempo que, por simplicidad, se tomará como f = 0. Llamando a este estado, se tiene que, / = 0) =«í»oU), donde se supone conocida *í»o(x). El comportamiento del sistema se puede ahora determinar, por lo menos formalmente. De la ecuación (37), para f = O, se tiene que, ti

Multiplicando esta expresión por»í>%(;ír) e integrando sobre toda la ca ja, se obtiene que. Jo n Debido a la ortogonalidad de un solo término ^„d ad o por, Am = j

■>J miembro el derecho se reduce a

ê„(x)*Í>oU) d x = (*¡fEj4 io) .

(42)

Para el estado inicial dado <í*o(x), la ecuación (42) resulta ser la ampli tud de probabilidad de que el sistema se encuentre en el m-ésimo es tado estacionario. La evolución del sistema en el tiempo puede estudiarse de la si guiente forma. 'La ecuación (42) se sustituye en (37) resultando que, = 2

(J^''

d x ' j ilf^Jx)

86


usando x 'para indicar la variable muda de integración en la expresión para las amplitudes A„. Este resultado se puede escribir como, A·; r) dx',

i/tí.í·, /) =

(43)

Jo

dónde K, que es el propagador para una partícula en una c^ a resulta ser

Kix'^xu) = X

(44)

Estos resultados deben de compararse con los resultados (11) y (12) para la partícula libre. La forma explícita de K es de cierto interés. De las ecuaciones (35) y (36) se obtiene que,

K{x' , x\ t ) ^ j ^

¿ s in íí=l

sin ^

exp [—ó['^77-A//2mí.^]. (45) ^

En el límite de ¿ ^ , la suma puede sustituirse por una integral y el parecido del resultado con el de la partícula libre no es difícil de apre ciar. Lamentablemente, no es posible obtener K en forma cerrada para una partícula en una caja. Sin embargo, en el límite clásico, es posi ble demostrar que un paquete de ondas se propaga sin distorsión y, como debe de ser, rebota sucesivamente en las paredes de la caja. Pero el álgebra es bastante tediosa y por ello no se explicará en de talle. 11. RESUMEN Un resumen del progreso realizado hasta aquí puede ser útil, por que se ha estado trafagando simultáneamente en dos niveles con ce ptualmente distintos. Superficialmente, el interés principal se ha refe rido al comportamiento de la partícula libre. Así, se ha formulado la ecuación de movimiento, o sea la ecuación de Schródinger, para esta partícula dando su solución general en términos del propagador de la partícula libre. El resultado se usó para aclarar las relaciones entre las soluciones clásica y cuántica. Se introdujo la técnica de separar ción de variables aplicándola al movimiento de una partícula en una caja. De nuevo se obtuvo una solución general. Sin embargo, el interés fundamental ha consistido en entender las características generales de la descripción cuántica de la naturaleza, a las cuales se recurrirá repetidamente en desarrollos posteriores. En

PROBLEMAS

87

tre éstos, destaca en importancia la identificación del operador de energía y la comprensión que se ha logrado de la importancia que tie ne la conservación de la probabilidad y el principio de corresponden cia al fijar la forma de las ecuaciones cuánticas. En el curso del análi sis se ha llegado a la noción de estado estacionario, la fundón de esta do cuántica más sencilla. Finalmente, se ha obtenido que para una partícula ligada, los estados estacionarios forman un conjunto discre to y ortonormal. Problema 1. (a) En aguas profundas, la velocidad.de fase es v« = V g xflir pa ra ondas de longitud de onda X. ¿Cuál es la velocidad de grupo de estas ondas? (b) La velocidad de fase de una onda electromagnética típica que se propaga en una guía de onda tiene la forma

donde c es la velocidad de la luz en el vacio y es cierta frecuencia característica. ¿Cuál es la velocidad de grupo de estas ondas? Notar que la velocidad de fase es mayor que c. ¿Viola esto la relatividad es pecial? ¿Cuál es la velocidad de grupo? Problema 2, Considerar que un paquete de ondas a í = O tiene la for ma, 0) (a) Normalizar (b) Calcular

0). 0) y

(,-ixi/í..

f). Comprobar que están normaliza

das. (c) Calcular {/>),discutir su dependencia en el tiempo. Hacerlo mismo para(p, í)P contra p, suponiendo que L > ñ/p« y que L < h¡po. Explicar la diferencia entre los dos casos usando el princi pio de incertidumbre. (e) Cdcular (jt) a í == O y a cualquier tiempo t > 0. (Sugeren cia; hacerlo en el espacio de momentos). Problema 3. Una partícula está confinada en una cíya de longitud L. (a) Calcular

88


(

ix \

^

( k

K )'

Discutir los resultados en cada caso. (b) El movimiento de una partícula en una caja es periódico con período T = 2L¡v, siendo v la velocidad de la partícula. El movimien to cuántico no exhibe esta periodicidad. Explicar cómo se obtiene el movimiento periódico clásico yendo al límite apropiado. (Este no es un problema trivial. Su solución exige, más que álgebra, razonamien to). Problema 4. Una partícula se encuentra en su estado base en una caja de longitud L. La pared de la caja que se encuentra en jc = L, cambia repentinamente a, (a) X - 2¿ ( b ) : c = 10¿ (c) X - 100¿ En cada caso, calcular la probabilidad de que la partícula se encuen tre en el estado base al crecer la caja. En cada caso, encontrar el es tado más probable que ocupará la partícula al crecer la caja. Expli car, (Sugerencia: ¿Cuál es la función de estado de la partícula en cada caso?). Problema 5. Una partícula se encuentra en su estado base en una ca ja de longitud L. Las paredes de la caja desaparecen repetinamente y la partícula puede moverse libremente. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el momento de la partícula se encuentre entre p y p + al desaparecer las paredes? (b) Graficar la densidad de probabilidad del momento en contra de p y discutir cualitativamente el resultado. ¿Qué se esperaría clási camente? (Sugerencia: ¿Cuál es la función de estado inicial de la partícula? (c) Calcular < r ) a í = 0 y a í > 0 , (Sugerencia: hacerlo en el es pacio de momentos). (d) Calcular lo mismo suponiendo que inicialmente ía partícula se encuentra en su centésimo estado. Problema 6, Una partícula en una caja se encuentra en el estado f)

[»Í'OÍJC, O +

donde «f»« es el estado base normalizado y tí», el primer estado excita do, también normalizado. Calcular(E), {x)y{p). Discutir la depen dencia en el tiempo de cada una de estas cantidades.

PROBLEMAS

89

Problema 7, Demostrar que en el caso de una partícula libre, para un paquete de ondas arbitrario, se cumple que <-V>, =

de acuerdo con el principio de correspondencia. Hacerlo, (a) en el espacio de momentos, usando la ecuación ( 16) y (b) en el espacio de configuración, usando las ecuaciones (11) y (12), o bien, usando (11) y (13).

V Ecuación de Schrödinger

En el capítulo anterior se obtuvieron las ecuaciones de movimien to cuánticas para una partícula libre. Estos resultados se generaliza rán al caso de una partícula moviéndose bajo la influencia de agentes externos. Unicamente se considerarán fuerzas conservativas y por lo tanto se pueden obtener de una función potencial V(x). Se demos trará que los requisitos impuestos por la conservación de la probabi lidad y el principio de correspondencia, esencialmente determinan la solución. Para empezar se considerará la conservación de la proba bilidad. 1. EL REQUISITO DE LA CONSERVACION DE LA PROBABI LIDAD En el análisis del movimiento de una partícula libre, se recalcó que la derivada a primer orden respecto al tiempo en la ecuación de Schrö dinger es esencial para la conservación de la probabilidad. Entonces, en la ecuación general que se busca, se supone que la derivada respec to al tiempo sea a primer orden. Por lo tanto, en el espacio de confi guración, se supone que la ecuación de Schrödinger tiene la forma,

(1) i dt donde H todavía es un operador desconocido. Naturalmente que, si se tiene una partícula libre, H resulta ser el operador de eneigía cine-

91

OPERADORES HERMITIANOS

tica p^l2m. También se supone que H es lineal para conservar el prin cipio de superposición. Para una función de estado ^ físicamente aceptable que satisfaga la ecuación (1), la conservación de la probabilidad exige que.

dP dt

d dt}

í)»í(U, í) d x = 0 .

Diferenciando se obtiene que

dx

di

y usando (1 ) para eliminar las derivadas respecto al tiempo se reduce a

dP dt = (í'M) El paréntesis en el primer término se usa para indicar que el operador H*, el complejo conjugado de H, opera sólo sobre la función y no sobre »ir. Si esta expresión se anula, se tiene que,

/ :

o bien,

dx.

dx

/:

(2 )

Ya que esta ecuación se cumple para todo tiempo, también tiene que cumplirse para *¡i arbitraria aunque aceptable, lo cual impone una res tricción sobre el operador H. Esta condición se llama condición de hermiticidad y cualquier operador que la satisfaga se llama operador hermitiano (llamado así en honor al matemático Hermite). Enton ces, se ha demostrado que H tiene que ser hermitiano.

2


Antes de seguir adelante es conveniente discutir brevemente las propiedades hermitianas y dar algunos ejemplos. Sea A un operador hermitiano,. Si A representa una cantidad física observable, su valor de expectación siempre debe ser real. Se tiene que,

{A )

= /:

dx

92

ECUAOon d e S C H R <3D IN G E R

y además, {A

«ÍUtíi)* d x = J ' “‘ (At{>)*^ í^^·

Si (/I >es real, estas dos expresiones t i e n ^ que ser samente la defínición de Jiermiticidad. * Entonces, que cualquier operador que represente ^ un hermitiano. La definición de hermiticidad se p iA ede que si >4 es hermitiano, y si y so r» dos tables, no necesariamente igUaJes, e n t o n c e s

ilx=

preci kdemostrado

dx-

La demostración parte de lafundón d e estado

que es una superposición arbitraria d e ción de hermiticidad se tiene qye, ^ iA^\*i>dx =

j

y

^

defini

^*A^dx

y substituyendo lí» se obtiene, l«il^ X

d x + |«s|! j (Ay¡>2 ) * ^ i dx + a , * a ^ ^ +

dx

dx

= l«.l^ f lííiM^, d x +

^

dx

■•'«ida* f ' {f z^ A ^ f d x .

Ya que ^ es un operador herm itiano, pñmer izquierdo es igual al primer térm ino d e j miembro êredio, y análoga mente para los segundos, f o r lo ta n to ^ hexp resiéí" ai^norse redu ce a a , * ü i [ f (A>l/,)*it>i d x - f

dx] =

’ El lectoi debe tener cmdado de no confundir < mente. Por definición, el segundo es,

(h *> que en general es totalm ente diferente.

v (J *i El ' ^ '*

anterior


93

donde ai y a. son arbitrarias y, en particular, su fase relativa es arbi traria. Esta igualdad se cumple independientemente de la fase relati va, por lo cual puede concluirse que cada expresión entre paréntesis se anula/ Esto completa la demostración. Por lo tanto, la ecuación (3) será la definición general de hermiticidad. La ecuación (3) puede escribirse en la notación de Dirac. La nota ción se puede generalizar escribiendo, (0il0£> = í

dx.

Como A >iii y A *f>2 son a su vez funciones de estado, usando la misma notación,

=í

¡0.J ) = / '

*A^ 2 dx

dx.

Entonces, si A es hermitiano, de la ecuación (3) se obtiene que,

=

(4)

como definición de hermiticidad en la notación de paréntesis de Dirac. Es necesario recalcar que al pasar de la notación de Dirac al lengua je de integrales siempre hay que tomar el complejo conjugado de la función de la izquierda. Es im portante el hecho de que únicamente operadores hermitianos tengan valores de expectación reales. Significa que el operador que representa a cualquier variable dinámica observable físicamente tiene que ser hermitiana. Es fácil comprobar que el mom ento y la posición de una partícula satisfacen este requisito. El primero es un número real en el espacio de m om entos y el segundo lo es en el espacio de configuración y los números reales son hermitianos. E jer cicio 1.

(a) Demostrar que p y x son hermitianos. En ambos casos de mostrarlo en el espado de c o n f^ ra c ió n y en el espacio de momen tos. (Sugerencia; integrar por partes en los casos no triviales). * Dicho de o tta manera, el miembto derecho es el co m p ilo conjugado del miembro izquieido, aunque la fase de cada miembro sea arbitraria ya que at y at son arbitrarias. Por lo tanto, la igualdad te cumple, si y sólo si cada miembro es igual a cero.

ECUACION DE SCHRÖDINGER

94

(b) Demostrar en la fonna más sencilla posible que cualquier función de p únicamente, real y arbitraria, es hermitiana y lo mismo p arax . (c) ¿Son hermitianos px, xp, (p,x) y ( p x + x p ) ? Basándose en los resultados, determinar el operador que represente al producto de la posición por el momento lineal. Las variables dinámicas que interesan por ahora son funciones de los operadores hermitianos, posición y momento. ¿Qué se puede de cir acerca de las propiedades de estas funciones de operadores hermitianos? Para estudiar el problema se examinarán algunos ejemplos. E>e la defínición de hermiticidad se sigue que la suma de operadores hermitianos es hermitiana, aunque si se considera el caso más general de una combinación arbitraria de operadores hermitianos A y

C = aA + C sería hermitiano si a y nota que

son números reales. Para concluir esto, se

= ( 0, |( a /í +/3B)4í,),

(6)

mientras que, ,

(7)

diferente a la anterior. La última ecuación se sigue de (ú^ííí,|«í»í) = a*{Aiíi¡\\(ii) = debido a que A es hermitiano. Un resultado análogo se obtiene para el término en B. Como segundo ejemplo se puede tomar el producto AB de dos operadores hermitianos. D = AB

y se tiene

(8)


95

Al operar con B sobre se obtiene una nueva función que se desig nará temporalmente como ^ 2 . Entonces,

En el último paso se ha usado la propiedad de que A es hermitiano. Expresando 2 como B ^ 2 ¡ se obtiene que,

= (A^,\Bilf2) . y tom ando ^ 1(1, como una nueva función <í>i, se puede escribir donde se ha usado el hecho de que B también es hermitiano. Final mente, expresando 0, como Ail>jy juntando todo se obtiene que, (ifr,|£>iíí2) = í*(),\ABiIí2 } = {BAilfi\i).

(9)

Por otra parte, se tiene que

^ {ABit>,\^2)^ (10) y por lo tanto D es hermitiano si ^ y 5 conmutan. Estos resultados aparentemente disconexos, pueden sistematizarse introduciendo el concepto de operador adjunto o hermitiano conju gado. Sea E un operador, no necesariamente hermitiano y el operador “ adjunto de E” o “£ daga” , definido por <»ír,|£t0a) - ( £i/(| |»/í2 )

(lia)

o bien por, = < Et(í»i|l/T2) para funciones arbitrarias »/
*£t(í(2 í¿r = /

dv .

mientras que la ecuación (11b) sería /

d x = í (Ef>¡Ji)*[¡f2 d x ,

y análogamente en el espacio de momentos. La segunda expresión no es más que el complejo conjugado de la primera, si las funciones

96


arbitrarias 0i y ií>2 se vuelven a etiquetar. Dicho de otra manera, el adjunto de un operador que actúa sobre una función en u n paréntesis de Dirac, es equivalente al mismo operador actuando sobre la otra función. En el lenguaje de integrales, la definición es una generaliza ción del concepto de integración por partes, en la cual, el símbolo de adjunto en un operador significa que el complejo conjugado del ope rador se transfiere de una función a la otra. El hecho de que las ecuaciones (1 la ) y (1 Ib) se cumplan para fun ciones arbitrarias y que sean aceptables establece, al menos formalmente, una definición completa del adjunto de un operador. Sin embargo, esta definición puede ser tan formal que parezca inútil, porque no contiene una receta clara para construir una representa ción explícita de £ t cuando se conoce E. Pero esta receta puede es tablecerse para aquellos operadores de interés, o sea, los operadores que se construyen a partir de operadores hermitianos. Además, la noción de adjunto permite dar una caracterización puramente opera cional de las propiedades de los operadores así construidos y de la hermiticidad. Para esta última propiedad, de la ecuación (4) se con cluye inmediatamente que todo operador hermitiano es su propio adjunto. Es decir que, /f=»T

(12)

si A es hermitiano. Por esta razón los operadores hermitianos suelen llamarse autoadjuntos o mtoconjugados. Si se tom a un operador como el operador C de la ecuación (5), de a'Tierdo con la definición y de la ecuación (7) se concluye que,

CH = a U + ^ * B , o sea que

( a A + ^ B ) Í = a*A + ¡3*B. En general, si X i es un conjunto de operadores hermitianos y conjunto de números, ( 2 « í / í i ) t = S a r/í,.

un (13)

Como caso particular, el adjunto de un operador numérico será su complejo conjugado, a t = a *, de modo que la conjugación hermitiana puede considerarse el análo go de la conjugación compleja, pero para el caso de operadores.


97

Como ejemplo de esta idea se nota que R + R'^ es hermitiano y tam bién lo es (/í - R t )//. Por ello, un operador arbitrario R siempre puede expresarse como la suma de dos operadores hermitianos escri biendo,

R = [ { R + R i MI] + / [ ( « - /?t)/2,·].

(14)

que es análogo a la forma usual de escribir números complejos en términos de dos números reales. Finalmente, considerando productos de operadores, la ecuación (9) muestra que, D i = BA. o lo que es lo mismo, {AB)i = BA. En general, el adjunto de un producto de cualquier número de opera dores hermitianos será sencillamente el producto escrito en orden inverso, {ABC

· · QR) i ^ RQ · · · CBA.

(15)

Las ecuaciones (13) y (15) son las reglas que se buscaban. Estable cen cómo construir adjuntos de sumas y productos de operadores y así de funciones arbitrarías de operadores que pueden expresarse en forma de series de potencias. Ejercicio 2, Suponer que A, R son operadores arbitrarios no necesariamente hermitianos. (a) Demostrar que {ABC...QR)f = R f Q i...C iB iA i (b) Demostrar que {aA -i- j8B)t = « M t + ^ * B i . (c) Demostrar que ú A y B son hermitianas, también lo son i ( A ^ ) , A B -\-BAyABA. (d) Demostrar que si A es hermitiano, también lo es A”. Con esta regla para construir adjuntos de operadores, la ecuación ( l l b ) significa que ( » í » , ) y (^ttí
jidwiáÉtti

Ü íU A C IO V D e SCHRÖDINGER

de Ul ecuaciones (13) y (15). Esencialmente, el símbolo no condiciona sobre cuál de las dos funciones se opera. Al evaluar esta expresión se tiene que hacer alguna elección pero se tiene la libertad de escogerla según convenga. 3. EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA Volviendo al problema principal de determ inare! operador hermi tiano / í de la ecuación (1), el principio de correspondencia exige que. (17) y que.

dV dx

(18)

4«>.

donde »í» es cualquier solución de la ecuación (1 >. La primera ecua ción expresa la relación clásica entre el momento lineal y la velocidad mientras que la segunda es precisamente la segunda ley de Newton. Como paso preliminar se examinará la expresión para un operador arbitrario A(p, x , t). Se tiene que

^*(x,t}A(p,x,í)ii)(x,t) dx

dt

^ 1 " TM*

dx.

Separando el término intermedio, que resulta ser el valor de expecta ción de y usando la ecuación (1) para eliminar las derivadas temporales en el resto de los términos, se obtiene

9A di Como consecuencia de la hermiticidad de H, resulta que el primer término en la integral es,

dx^

dx.

y por lo tanto, dA dt

dx.

EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

99

Escrita en esta forma, la integral se reconoce como el valor de expec tación del conmutador áeH y A, obteniendo en esta forma el impor tante resultado de que,

Vale la pena señalar que si A no depende expUatamente del tiempo, el primer término se anula y la variación en el tiempo está únicamen te determinada por el conm utador á t H y A . El primer término de termina la variación del operador A en el tiempo; el segundo término está generado exclusivamente por el cambio de h función de estado con el tiempo. Se ha recalcado que en estas condiciones es fundamental la depen dencia explícita en el tiempo del o p erad o r^ . Se acostumbra pensar que las variables dinámicas tales como posición y mom ento, son fun ciones del tiempo porque así se consideran en el dominio clásico. Sin embargo, en el caso cuántico los símbolos x y p se refieren a operodores que no varían en el tiempo; son operadores independientes del tiempo. Esto significa que, explícitamente, 1 = 0

dt

o.

y análogamente para cualquier operador en cuya determinación no intervenga el tiempo explícitam ente.’ En la aplicación de la ecuación (19) intervienen estos operadores de posición y mom ento independientes del tiempo. Conáderando primero a x se obtiene que,

(20 ) ^ En esta presentación de la mecánica cuántica la dependencia en el tiempo de los obseiv»· bles representados po t operadores, está contenida en la función de estado. Fué introducida por Schrödinger y se llama representación de Schrödinger. Una alternativa fué introducida por H eisenbe^ y es la llamada representación de Heisenberg. En ella, la función de estado es independiente del tiempo y toda la dependencia en el tiempo recae en los operadores di námicos a través de las ecuaciones de movinüento. Esta presentación se parece a la d esen » ción clásica. También son posibles versiones intermedias. Todas son equivalentes y cada una tiene su intervalo de simplicidad y utilidad. Se ha esragido la representación de Schittdinger porque es la más sencilla de manejar a nivel elemental.

.· iiir¡liíir¥PiriT»rií'

100


El miembro derecho puede escribirse de otra manera si se hace uso de las relaciones de conmutación obtenidas en el Capítulo III. Recor dando que. t

( I I I - 46 )

op

donde / es cualquier operador función de x y p, y por lo tanto la ecuación (20) se reduce a

BH dp

(21)

En esta forma, toda referencia a fi ha desaparecido y el paso al lími te clásico es inmediato, Al comparar con el requisito impuesto por el principio de correspondencia expresado en la ecuación (17) se de muestra que, por lo menos en el límite clásico, se tiene

dH

1 m

dp

Pero t¡f es una función de estado totalm ente arbitraria, aunque acep table, y por lo tanto este resultado impUca la ecuación de operadores siguiente:

£_ m

djj_

(22 )

' dp

Respecto al operador de momento p la ecuación (19) da como re sultado que. (23) Usando la relación de conmutación, (P ,/)

i dx'

( H I - 45)

se obtiene que

dH dx

(24)

El requisito impuesto por el principio de correspondencia expresado en la ecuación (18) demuestra que, por lo menos en el límite clásico, el resultado es,

ECUACION DE SCHRÖDINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACION Y EN EL ESPACIO DE MOMENTOS

101

dH dx

dV dx

lo cual implica la ecuación de operadores, dx

dx

(25)

Por lo tanto, las ecuaciones (22) y (25) expresan condiciones sobre H que tienen que cumplirse en el límite clásico. Se comprueba que estas condiciones sobre H, se satisfacen cuando, (26) El operador l í es la energía total del sistema expresado en térm i nos de las variables de posición y momento, reconociéndose como la junción hamiltonlana y las ecuaciones (21) y (24) como las ecuacio nes de movimiento en forma hamiltonlana.* Entonces, se concluye que el principio de correspondencia se satisface si el operador cuánti co H como función de las variables cuánticas p y x, es el mismo que el hamiltoniano clásico como función de las correspondientes varia bles clásicas. El operador H es hermitiano y se reduce a p*/2m para la partícula libre. Naturalmente que este argumento no impide la posibiUdad de que H pueda contener términos que se anulen en el límite clásico, pues sus efectos serían apredables sólo a nivel cuántico. Pero estos tér minos no aparecen en la ecuación (26), por lo cual H tiene su forma más simple consistente con el principio de correspondencia.^ 4.

ECUACION DE SCHRÖDINGER EN EL ESPACIO DE CONFI GURACION Y EN EL ESPACIO DE MOMENTOS

Se ha demostrado que en una dimensión la función de estado sa tisface la ecuación de Schrödinger (1), donde el operador hamilto niano H se expresa por la ecuadón (26). En el espacio de configura ción esta ecuación toma la forma. (2 7 )

■* Vet cualquÍMS de las Refeiendas [ l4 ] - [ IT], ¡ La ecuación (26) es correcta únicamente para paitíeulas sin espín. Para partículas con efr pin se necesitan ciertas modificaciones que se verán más adelánte.

102

ECUACION DE SCHRODINGER

¿Qué forma tiene esta ecuación en el espacio de momentos? Si F (x) puede desarrollarse en serie de potencias en x, de acuerdo a la receta general se tiene que. £: 2 in

(28)

J i'

Pero, en general, V (x) contiene términos de todo orden en x, lo cual equivale a una ecuación diferencial de orden infinito que no es muy útil. Un camino más adecuado consistiría en partir de la ecuación (27) y transformarla directamente al espacio de momentos y usar el teorema de convolución para calcular la transformada del producto F(x) i(( (x, /). De esta manera se obtiene la ecuación integral ,_

h

f) di

(29)

siendo W la transformada de K (x) dada por w( p ' ) =

I

vlirA J-OO

y( x)

dx.

(30)

La relación entre las ecuaciones (28) y (29) se puede encontrar si se desarrolla (p ~ p ’, t) en serie de potencias en p ' y se identifica el coeficiente de la derivada «-ésima de <í>(p, f) con el término «-ésimo de V(x) desarrollado en serie de potencias. De todas formas, a menos que el potencial sea una función muy especial, la ecuación en el espacio de momentos sería bastante más complicada que en el espacio de configuración. Por esto se estudia principalmente el último caso. La razón de las complicaciones en el espacio de momentos se debe a que el momento lineal ya no es una constante de movimiento como sucede para la partícula Ubre. La presencia de fuerzas externas significa que la función de estado con tiene una mezcla de estados puros del mom ento y esta superposición se representa explícitamente por la integral en (29). Ejercicio 3. Verificar la equivalencia de las ecuaciones (28) y (29) en la forma sugerida.

Es fácil concluir que la identificación, í di '

(31)

ECUACION DE SCHRODINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACION Y EN EL ESPACIO DE MOMENTOS

103

que fué obtenida anteriormente, sigue siendo válida para una partícu la que no sea libre. Evidentemente,

Por lo tanto, usando la ecuación ( 1),

(E) = j

(ÍJC= j

donde es cualquier solución aceptable de la ecuación de Schrödin ger y análogamente para cualquier función de E, lo cual comprueba la afirmación anterior. El requisito de que la enei^ía es una constan te de movimiento si el tiempo no interviene, se satisface automática mente, Esto se concluye si el operador A de la ecuación (19) se subs tituye por una función arbitraria de H. Se obtiene inmediatamente que. d { f { H) ) = 0, di ya que [ / / . / ( / / ) ] = o p ara/arb itraria. ecuación de Schrödinger (1) se puede escribir como, (32) donde el operador hamiltoniano H es el hamiltoniano clásico función de las variables dinámicas p y x, pero tomándolas como operadores cuánticos y donde E es el operador (31). Clásicamente,

y por lo tanto, la ecuación de Schrödinger exige que la función de es tado tenga la propiedad de que al operar sobre ella con el operador hamiltoniano H se obtenga el mismo resultado que al operar con el operador de la energía total E. Este hecho asegura que el valor de expectación de cualquier función de la energía total es exactamente el mismo que el valor de expectación de la misma fun dón del hamil toniano, requisito impuesto por el prindpio de correspondencia. Explídtam ente, donde ilf es cualquier solución de la ecuación de Schrödinger. La formulación de la mecánica cuántica es ahora más o menos completa, pero es necesario generalizarla a tres dimensiones y a siste*

104


mad de partículas. Ninguna de estas generalizaciones es difícil de lo grar, pero se pospondrá su realización. También se introducirá la idea de espín. El procedimiento particular que se ha seguido en la presente expo sición es una de las muchas posibiUdades para hacerlo. En este mo mento puede ser instructivo esbozar un procedimiento más directo que pueda considerarse com o una aproximación burda al desarrollo histórico. Partiendo de las relaciones de Planck y de de Broglie, la ecuación de Schrödinger para la partícula libre, puede escribirse rápi damente como ^ d '2nt (que es la ecuación para una onda de de Broglie exp [I ttíxIX] ). Para una partícula que se ¡nueva en un potencial

se puede argüir que, en general, ft" fft dx^

2

Pero de acuerdo con la relación de Planck, la dependencia temporal está dada por de donde, finalmente, la dependencia en el tiem po se puede escribir como, -1 1 ^ 2 ni dx'^ que no es mas que la ecuación de Schrödinger (27) en el espacio de configuración. Este resultado se puede usar para examinar la depen dencia temporal de los valores de expectación y entonces tender al lí mite clásico. En este esquema o presentación se requiere una demos tración de que se cumple el principio de correspondencia. Tal demos tración fue dada por primera vez por Ehrenfest y se conoce como teorema de Ehrenfest, En esta presentación se ha invertido la forma de razonamiento en mayor o m enor grado. 5. ESTADOS ESTACIONARIOS Como en el caso de la partícula libre, se puede construir un conjun to básico de soluciones de la ecuación de Schrödinger usando el mé


105

todo de separación de variables para aislar la dependencia en el tiem po, En esta forma, es posible obtener el conjunto de estados estacio narios, donde*í’£(x) es solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo 2

m

+ VU)

(Ííf = - ^

= E^t;(x).

(3 3 )

para la energía E. La solución general de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es una superposición arbitraria de estados es tacionarios. Estos estados pueden existir sólo para un conjunto dis creto de energías, para un conjunto continuo o bien una mezcla de ambos, según sea la forma de V (x). Sin embargo, esta superposición se puede escribir como. (34) pero aceptando que la ecuación (34) es simbólica. Si el espectro de los valores de la energía es continuo, la suma debe de substituirse por una integral. Si el especiro consiste de estados continuos y discretos, la superposición general consiste de una suma sobre los estados dis cretos y una integral sobre los estados continuos. No existe ninguna dificultad conceptual en este desarrollo, pero estos aspectos se pue den entender mejor si se consideran ejemplos particulares como se verá más adelante. Por ahora, la superposición general se tratará co mo si consistiera sólo de una suma de términos, porque es más senci llo manejarla algebraicamente. Para el estado general descrito por la ecuación (34), la energía del sistema no está definida con precisión pero puede tom ar cualquiera de los valores E con una probabilidad determinada por la amplitud del ¿'-ésimo estado en la superposición. Precisando más, si (JC, t) está normalizada, al medir la energía se obtiene E con probabilidad donde |Q |* es la probabilidad de que una medición de la ener gía del sistema revele que éste se encuentre en el estado £'-ésimo. Una demostración más general de estas afirmaciones se dará más ade lante. Ahora, se puede hacer la hipótesis fundamental de que cualquiera que sea la característica del espectro de energía, representa la totali dad de las energías físicamente posibles para el sistema estudiado. Esta hipótesis significa que el conjunto de funciones «í»* forma un conjunto completo en el sentido de que cualquier función de estado

a,

106


físicamente realizable debe de expresarse como una superposición de estados estacionarios. Es conveniente escoger estados estacionarios normalizados, y en general se escogerán de esta manera, o sea que,

(

=X

d x ^ \.

Se demostrará a continuación que estos estados también son ortogo nales, o sea que t/>£ forma un conjunto completo y ortonormal, donde

( 'í'f'I«/»f ) = X
(35)

1, £ = £ ' O, £ '· La demostración es la siguiente. Se tiene que, = E>Pe multiplicando por <í»t * e integrando, resulta que X

H\I/e dx

= EÍ

<¡)e ' * ^ i¡ dx.

(36)

Análogamente, ya que

o bien que,

que multiplicada por «í'£· e integrada resulta que /

(H>jfi;^)*'Ê d x = E ' f Ê*^k· d x .

Debido a que H es hermitiano, esta expresión puede escribirse como, X (/(£.*//

dx = E '

/ <ê *<í>e d x .

Comparándola con la ecuación (36) se concluye que, ( £ - £ ' ) X^^,*0^rf.í = O y por to tanto la integral se anula si que era lo que se quería demostrar. Es instructivo llevar a cabo la demostración en la notación de Dirac para ilustrar su uso. Partiendo de la ecuación (16) y debido a que H es hermitiano.


107

y de la ecuación de Schrödinger, de lo cual se concluye que. £'

E.

Puede suceder, y sucede en tres dimensiones, que existan más de un estado estacionario correspondientes a la misma energía E. Estos estados se llaman degenerados. Sean •í't·'”, »Í’e ^',...‘ el conjunto de es tados degenerados. La demostración no proporciona información so bre la ortogonalidad de los estados entre sí, y en general no lo son. Sin embargo, dichos estados degenerados siempre pueden escogerse de tal manera que sean ortogonales. Un procedimiento para hacerlo, es el llamado m étodo de ortogonalización de Schmidt que es el si guiente. Se supone que las funciones í no son ortogonales pero están normalizadas. Se define un nuevo conjunto Í í·;“,’ escribiendo.

donde los coeficientes son desconocidos hasta ahora. Estos coeficien tes se determinan sucesivamente exigiendo que el conjunto sea or tonormal. Entonces, se empieza por exigir que,

= 1, y estas dos ecuaciones determinan ttiy a^y por lo tanto tinuación se exige que,

A con

= 1, de donde resultan tres ecuaciones para determinar fci, b-¡ y fc;,. Este procedimiento se continúa hasta encontrar todas las funciones. Debido a gue el orden inicial de los estados degenerados es arbitra rlo, el conjunto de estados ortogonalizados no es único. De hecho, t La notación recalc^ el hecho de que se tiata de un grupo de estados, cuyos miembios tie· neo h miams energía E . Et» este giupo de estados degenerados, cada miembro está especifi cado por lot útdicei (I), (2), y así sucesivamente.

108


existen muchos estados posibles aún en el caso más simple. En la práctica se usa este hecho para escoger el conjunto más conveniente para el problema estudiado. En lo futuro se supondrá que si existen estados degenerados, éstos han sido ortogonalizados de alguna ma nera. Existe otra propiedad muy importante de los estados estacionarios. Se llama la propiedad de cerradura. La cerradura es una propiedad matemática que determina si el conjunto es completo. Si ^ es una función arbitraria y aceptable puede desarrollarse en términos del conjunto completo tíif; como Mx) = X (37) £ De la ecuación (35),

Jx= (»Í'eI»/') ·

í‘í-;= /

(38)

Substituyendo esta expresión en la ecuación (37), después de inter cambiar el orden de suma e integración, se obtiene que = /

Jx-

Ya que títíx) es arbitraria, se concluye que,

J ^ ^ , : * { x ' H A x ) - ^ ( x - x ’)^

(39)

que es el resultado deseado. Cualquier conjunto completo de funcio nes satisface la condición (39). Recíprocamente, cualquier conjunto de funciones que satisfaga la condición de cerradura, es completo. 6. AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DE OPERADORES HERMITIANOS Los estados estacionarios son estados cuyas energías tienen valores precisos. También es de gran interés e importancia discutir estados para los cuales otras cantidades físicamente observables tienen valo res precisos como son el momento lineal o el momento angular. Si el observable estudiado está representado por el operador hermitiano A y
- rt"]tí(„U) í/.v = O,

lo cual significa que el operador con A sobre

(40)

es equivalente a muí-

AUTOFUNCIONES Y AUTO VALORES DE OPERADORES HERMITIANOS

109

tiplicarla por a , o sea que, (41) O aram ente es una condición suficiente para que la ecuación (40) se satisfaga; también puede demostrarse que es una condición necesaria. La cantidad a se llama el autovalor del operador ^ y <í»n la autofunción de A correspondiente al autovalor a. La ecuación (41) se llama ecuación de autovalores. En este lenguaje la función de estado esta cionaria «ííftíx) es la autofunción del operador hamiltoniano corres pondiente al autovalor de energía E. Los autovalores de A representan los valores posibles del observa ble representado por A. Cualquiera que sea la característica del es pectro de autovalores de un observable dado, se supondrá que contie ne la totalidad de los valores físicamente realizables del observable considerado. Enunciándolo matemáticamente, se supondrá que forma un conjunto completo. Repitiendo el aigumento de la última sección, reemplazando A por H y if>E por se encuentra inmediata mente que la ecuación que corresponde a la ecuación (35) es, = y la ecuación correspondiente a (39) es, 2 jr')iír„U) =

(42) - j ; ') .

(-4 3 ^

De hecho, las ecuaciones (35) y (39) pueden considerarse como ca sos particulares de las ecuaciones (42) y (43), Conforme a las suposiciones anteriores, cualquier función de esta do arbitraria t(((jf) que sea aceptable, puede expresarse en términos de <í»opor la superposición general,

^

(-4 4 ^

donde / <íí„*(jr)4'{jr) dx= <0„|«í(),

(45)

Las ecuaciones (44) y (45) pueden considerarse generalizaciones de las series (o mtegrales) de Fourier, El significado físico de los coeficientes c« del desarrollo, puede de terminarse como sigue. Si '(>(x) está normalizada, se tiene que, I = = ( 2

^

é.

110


y por lo tanto, usando la condición de ortonormalidad (42),

El valor de expectación de A será, 2

C „ .* C „ ( t í ’a ' M I ' í » « )

a,ú'

y como lita es una autofunción de A con autovalor a, = X ÚC„-*C„ a>{f* Volviendo a usar la condición de ortonormalidad, finalmente se obtie ne que, i>l)\A\\}l ) = 2 Y, usando exactamente los mismos argumentos, en general se tiene que, {tí>|/(^)|tí») = X /(
La ecuación (41) queda como,

y por lo tanto.

de acuerdo con la discusión anterior acerca de las fundones de estado que corresponden a un mom ento p definido. Ya que estos estados existen para todos los valores reales de p, el espectro es continuo y la superposición resulta una integral en lugar de una suma. Las autofunciones de los momentos no están normalizadas y el factor multiplica-

OBSERVABLES SIMULTANEOS Y CONJUNTOS COMPLETOS DE OPERADORES 1 1 1

tivo 1/V2irft se ha escogido para conservar la propiedad de cerradura (43), que resulta ser

dp =

/

- x')

O b ie n

I j Inh

dp= S(x - x') .

La condición de ortonormalidad (42) es.

dx^6(p-p') .

2Trñ

donde la S de Kronecker se ha sustituido por la función 5 de Dirac por ser p continuo. El desarrollo de una función de onda arbitraria como superposi ción de autofundones de momento, se expresa como una integral y la ecuación (44) se escribe como,

dp

»/'(jc) = /

donde los coeficientes del desarrollo Cp se consideran ahora como funciones continuas de p. Escribiendo Cp = <í»(p) para hacerlo explíci to y sustituyendo la forma explícita de se obtiene el resultado fa miliar. 1

V 2^ft

j

4>(p) í'**’·'"' dp.

y la ecuación (45) también resulta ser la expresión familiar, 1

Finalmente ¡<í>(p)l^ se interpreta como la densidad de probabilidad de que el mom ento tenga el valor p para un sistema en el estado \ft. De esta manera, otra vez se han obtenido las características de las repre sentaciones en el espacio de momentos, hablando físicamente, o de las transformadas de Fourier, hablando matemáticamente, partiendo de este punto de vista general. 7. OBSERVABLES SIMULTANEOS Y CONJUNTOS COMPLETOS DE OPERADORES Cuando se reaüza la observadón de algún sistema se obtiene un re sultado predso únicamente si el sistema se encuentra en un estado es-

112


pecial, es decir, si se encuentra en un autoestado del observable estu diado. Si el operador que representa al observable se simboliza por A , entonces, el autoestado «í»« que corresponde al autovalor a se defi nió por la ecuación (41),

Aip„ = Uili,,. La comprensión de esta ecuación ha sido la siguiente. Si el operador A que representa algún observable es conocido, es decir, si se cono cen los efectos que produce el operador al actuar sobre cualquier fun ción arbitraria aceptable, entonces, la ecuación (41) es una receta matemática precisa para construir los estados abstractos «/»„ cuyo ob servable tiene el valor preciso a. Esta apreciación del contenido físi co de tales ecuaciones cuánticas pueden reforzarse si estas ecuaciones también se interpretan como representaciones abstractas de los pro cesos físicos de medición, es decir, al operar sobre alguna función de estado con el operador A puede considerarse como equivalente a me dir el observable al cual corresponde A. Desde este punto de vista, la ecuación (41) es la afirmación directa de que ((»„ es el estado para el cual la medición del observable representado por A de siempre como resultado el valor a. La especificación completa de un estado cuántico, como la de un estado clásico, requiere cierto número de observaciones o medicio nes, cuyo número está determinado por los grados de libertad del sis tema, Como generalización inmediata de los resultados anteriores, se sigue que la medición simultánea de dos o más observables dará un resultado definido para cada uno, sólo si el sistema es autofunción si multánea de los dos operadores. Esto implica que tales observaciones simultáneas son independientes, o sea, las observaciones no interfie ren entre sí. Si éste es el caso, el orden en el cual se realizan las me diciones es irrelevante y los operadores que representan a los observa bles tienen que conmutar. Una demostración formal se da a conti nuación. Para empezar, se considera el caso particular de que solamente exis tan dos operadores A y 5 y sea el estado para el cual los observa bles representados por A y B tengan los valores precisos a y b. Este estado se llama una autofunción simultánea de ^ y definido por

Evidentemente, se tiene que,


113

y por lo tanto,

Si el conjunto »!>(,(, es completo, entonces cualauier estado arbitrario «Í» puede expresarse como superposición de 'í'«*. Esto significa que cuando (A, B) opera sobre un estado arbitrario el resultado es cero y, por lo tanto, como se quería demostrar (^4, 5 ) = 0. El estado tí»«* es degenerado respecto a a o a í> únicamente. Para una a dada las auto funciones de B con diferentes valores de 6, todas son degeneradas respecto al operador A viceversa. Por extensión de este argumento se puede concluir que un conjun to completo de autofu nerones simultáneas de u n conjunto de opera dores, pueden existir solamente si los operadores conm utan entre sí. Teniendo en cuenta la degeneración asociada con estas autofunciones simultáneas, se puede decir que un conjunto de operadores mutua mente ortogonales es completo si define en forma única un conjunto completo de estados. Por ejemplo, para una partícula sin estructura el operador de mom ento constituye en sí un conjunto completo y lo mismo sucede para el operador de la posición, pero en general no su cede así para el operador hamiltoniano. Junto con H, el conjunto de operadores que conm uta con H define las constantes de movimiento cuánticas. Como se verá, la mayoría de estas constantes, aunque no todas, son análogas a las constantes de movimiento clásicas. Es im portante recalcar que si y 5 conmutan, el presente análisis no implica de ninguna manera que una autofunción de A sea necesa riamente una autofunción de 5 y viceversa. Lo que se ha demostrado es la posibilidad de definir un conjunto simultáneo de autofunciones de operadores si éstos conmutan. Todo esto es obvio al expresarlo en términos de mediciones. La conmutatividad significa que observacio nes independientes que no interfieran son posibles, pero no que tales observaciones se lleven a cabo necesariamente.

8. PRINCIPIO DE BVCERTIDUMBRE Los observables toman valores precisos y definidos únicamente en sus autoestados. Para estados más generales, la observación propor ciona valores’que fluctúan respecto al promedio o valores de expecta ción, de una medición a la siguiente. Para un estado aceptable 0 y tin observable dado A, se define la incertidumbre AA como la medida cuantitativa de estas fluctuaciones. La incertídiunbre está definida

114


como la raíz cuadrada media de la desviación de los valores observa dos de A respecto al valor de expectación. Se escribe ’ i A A y = { ( A - i A } r ) = iA^) - { A ) \

(48)

donde todos los valores de expectación se toman respecto al estado que se supone normalizado por conveniencia. Sean A y B dos operadores hemitianos que representan a un par de observables. Si y 5 conmutan, existen estados para los cuales cada uno tiene valores definidos debido a que las observaciones no interfieren. Pero si j4 y S no conmutan, de modo que la medición de uno provoca una perturbación en la medición del otro, entonces, no pueden conocerse simultáneamente con precisión arbitraria. Esta incertidumbre m utua no es una cuestión de técnica experimenta! sino de principio, el principio de incertidumbre. Como enunciado preciso de! principio, se demostrará que para cualquier estado aceptable 4 », (49) donde todos los valores de expectación se toman respecto a 4 ». Ade más, se demostrará que la igualdad en la ecuación (49), indicando la incertidumbre mínima posible se cumple sólo para estados tales que,

[A-{Am = c[B-{B)]^

(50)

donde c es una constante, y al mismo tiempo, =

(51)

Para demostrar la afirmación anterior se consideran un par de fun ciones arbitrarias/ y g, las cuales cumplen la relación (52) ’ l a equivalencia de las dos expresiones dadas en (48) se logra elevando al cuadrado la pri mera. Entonces, ({.A - { / ! ) ) = ) = i ( A ^ - l A { A ) +

>.

A es algún número y al valor de expectación de cualquier número es el número mismo. En tonces, para toda n. { ( ( . A ) ”) ) ^ ".

Procediendo término a término,

( ( /(- (.^>)^> = iA^)-2{A)^+ {Ay = que era lo que se quería demostrar.


115

Debido a que el integrando nunca puede ser negativo, la igualdad se cumple sólo si el integrando es idénticamente cero, es decir si, (53) donde c es una constante arbitraria. Elevando al cuadrado el integrando de la ecuación (52) y combi nando los términos, después de algo de álgrebra se obtiene que, / f f * dx / g g * d x ^ í f g * d x / f * g

(54 )

dx,

que es la famosa deslealdad de Schwartz, en donde se substituyen / por F t¡/ y g por G >¡f dadas por,

FÂ~ Ya que y B son hermitianos y por ello tienen valores de expecta ción reales, F y G también son hermitianos. Por lo tanto, teniendo en cuenta la ecuación (48), la ecuación (54) resulta S

dx !

dx = / i ¡ ) F* G* ^ * d x f

O

dx

sea que, (A/Í)HAB)^ ^ I í ^*FG
La cantidad es compleja porque FG no es hermitiana. Para separarla en su parte real y parte imaginaria, se introduce la identidad,’

FG = ~{FG + G F ) + ^ y se obtiene (AAf {ABf

^

-h GFm +

.

(56)

Debido a que el primer térm ino de la derecha en la ecuación (56) es real y el segundo es imaginario, el miembro derecho resulta ser la su ma de los cuadrados, obteniéndose,

(A/í)HAB)^ ^ i |((Í-)FG -H GF|^)l*-h il(0|tF,G]|0)|*. (57) En el primer término aparece el valor de expectación del análogo cuántico de la variable dinámica clásica siendo el producto ú ^ A y B . * Ver la S«cción 2, en especial la ecuación (14) y también el Ejercicio 2, parte (c).

116


Este valor de expectación depende del estado y es posible anularlo. El segundo miembro, en el cual interviene el conmutador, con mu cha frecuencia puede ser independiente del estado porque, como ya se ha visto, el conm utador de operadores que representan a variables dinámicas, en ciertos casos, es un número. Por lo tanto, el contenido esencial de la ecuación (57) es que existe una limitación fundamental para la determinación simultánea de ^ y 5 fuera de nuestro control, porque siempre se tiene que cumplir que (58) y usando la ecuación (55), que es la ecuación (49). Además, la igualdad se cumple si y sólo si el primer término de la ecuación (57) se anula, que se reconoce como la ecuación (51), y si la ecuación (53) también se satisface simultá neamente. Recordando que / y son F >() y G respectivamente, es ta condición será que se reconoce como la ecuación (50). Como caso particular se puede tomar la posición y el momento. A

p.

B ^ X.

De la ecuación (49) se obtiene

que es precisamente la desigualdad prometida e.i la discusión de la Sección 7 del Capítulo IIL Además, (Ap)'^(Ax)^ tom a su valor míni mo h'-i4 Únicamente si el estado \l/ es tal que

( p - P„)^ = t (x —xn)^

(59)

y también que, < M ( p - P n ) U - j;«) + (j: - X «)(p - Pi>)|tí'> =

o,

(60)

donde se han usado las abreviaciones,

La función de estado definida por las ecuaciones (59) y (60) es el lla mado paquete de ondas de incertidumbre mínima. Para determinar

117

EL PRINCIPIO DEINCERTIDUMBRE

este estado se parte de la ecuadón (59) que es equivalente a

y por lo tanto,

iPaX Ìc{x-XoV h Ih Respecto a la ecuadón (60), la forma más sendlla sería la de conside rar la relación de conmutación entre p y x que permite escribir (p-/>o)(Jí-JCo) = 7 + (Jf-Jfo) (/>-/>«), y la ecuación (60) resulta ser

J

+ 2{^\{x ~ x^){p -

=0.

Usando la expresión (59), esta expresión puede escribirse como

por lo cual c —— 2 De donde se concluye que c es un número positivo e imaginario puro. Se puede escribir como, c ^ ih iu , y finalmente se obtiene que L* = 2

J (x ~ ;

dx dx

que se satisface para toda L. Por lo tanto, el paquete de ondas míni mo es una gausiana,

é =A e v o í^ ^ h

(^ -x o Y 2U-

que puede normalizarse esccêndoj4 apropiadamente.

i 18


>. MOVIMIENTO DE PAQUETES DE ONDA Se ha supuesto que las autofunciones de cualquier operador hermiiano A forman un conjunto completo que siempre pueden escogerse n tal forma que sean ortonormales. Esto significa que cualquier fun;¡ón de estado arbitraria t) puede expresarse como la superposi;ión

a londe son las autofunciones de A con autovalor a y donde [c„(t)|,^ !S la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado a al iempo t. Si f) se especifica para algún instante inicial í«, enton:es, debido a la ortonormalidad de
dx ! t„(f) se puede conocer iniciahnente. ¿Cómo cambia c„ en el tiem po? Este cambio está determinado por la ecuación de Schrödinger, ?ero no puede darse una receta general. Solamente s i A = H y a=E a descripción es sencilla. En este caso, C'fl(ío) = /

/ í’í-(ío) =

ío)

Ce

dx,

/ por lo tanto, dx.

c'e(í) Al substituirla en la superposición

E y como generaUzación de los resultados anteriores para la partícula libre, se obtiene que,

Mx,t) = / ilßix\io)K{x',x; í - í a ) dx',

(61)

donde el propagador K es K i x ' , x U - t o ) = ' ^ >P^*Íx ')<¡>e M

£

(^ 2 )

Como antes, se tiene que,

K ( x ' , x ; 0 ) = S { x - x ‘), donde, inicialmente, K se encuentra muy localizada pero al pasar el tiempo se va ensanchando.

RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUANTICA

119

Las ecuaciones (61) y (62) establecen una solución formal para el problema del movimiento de una partícula libre bajo la influencia de fuerzas externas que se expresa en términos de un coiyunto completo de autofunciones del hamiltoniano. Es necesario recalcar que la solu ción es formal porque, aunque estas funciones sean conocidas, la su ma infinita de (62) no se puede evaluar en forma cerrada excepto en casos especiales. En esta forma ha sido posible encontrar el propaga dor para la partícula libre, ecuación (IV-13), y más adelante se obten drá K para una partícula acelerada uniformemente y para el oscilador armónico. ’ Estos casos especiales por lo menos indican un camino hacia las características generales de los propagadores. Como se espe raba, K se puede obtener y es muy útil en el límite clásico. 10. RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUAN TICA Se puede dar un breve resumen en la forma de una lista de postula dos básicos que son los siguientes; (1) Todo estado de movimiento de un sistema físicamente realiza ble, está descrito por una función de estado 0, Las funciones de es tado físicamente aceptables son normalizables y univaluadas. Cual quier superposición de funciones de estado es una función de estado. (2) Las variables dinámicas se representan por operadores hermi tianos que actúan sobre funciones de estado. El espectro de autova lores de un operador, consiste en la totaUdad de valores físicamente reahzables del observable mencionado. Las autofunciones simultá neas de un conjunto completo de operadores que conmuten entre sí, es un conjunto único y completo de funciones de estado. Para una partícula sin estructura en una dimensión, la variable de posición es por sí misma un conjunto completo, y análogamente con el momen to, Estos dos operadores se caracterizan por la relación de conmuta ción ( p ,x ) = Ä/i. (3) La dependencia en el tiempo de una función de estado está re gida por la ecuación de Schrödinger, = Eî, donde H = p^Hm hF(x) es el operador hamiltoniano y donde, ' es el operador dy energía. (4) El valor de expectación de cualquier variable dinámica A , cuando el sistema se encuentra en un estado 0 , es< »I»\A I«;»). El valor * Para el primero, ver el Problema VI-8; el último se obtiene en el Capítulo VI, Sección 6.

120


de expectación se interpreta como el promedio de una serie de medi ciones de A, realizadas sobre un conjunto de sistemas idénticos, cada uno de los cuales se encuentra en el mismo estado <1/. Problema 1. Considerar u n operador j4 y sus autofunciones 4»«, defi nidas en el intervalo O ^ x £ y con las condiciones a la frontera = 0) = t/>a(x = £). (Estas condiciones se llaman condiciones a la frontera periódicas). Encontrar los autovalores y las autofunciones d e ^ para los siguientes casos:

(b) A = i- £ + k, donde k es real, positivo y fijo. (c) A = operador integral definido por Atli = i j En cada caso, demostrar si es completo.

((í(y) dy.

es hermitiana o no y si el conjunto

Problema 2. Considerar la ecuación de autovalores,

Aâix) = ÍHpJx) definida en el intervalo-L ^ x ^ L y bajo a las condiciones a la fron tera, =0. (a) Si = (d¡dxY, determinar los valores de n para los cuales A es hermitiana. (b) Encontrar las autofunciones de A que corresponden para a = O en los casos n = 3,4,5. Si existe dêneración para una n dada, usar el procedimiento de Schmidt para ortogonalizar los estados de generados. Problema 3. Expresar la dependencia en el tiempo de la función de estado para, (a) un sistema que es u n autoestado de su hamiltoniano con au tovalor /8, (b) un sistema que es una mezcla no determmada de un conjun to de autoestados de su hamiltoniano con autovalor ^ y n veces de generado. Problema 4. Encontrar el intervalo más pequeño de x en el cual senTrjí/Xft y cos^rv/x* son ortogonales. Determinar á en este mismo

RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUANTICA

intervalo son ortogonales sen ttxIxq y sen 2irx/x^, sen exp [iwx/xo] y sen vx/x^ y sen irx¡2xtt.

121 y

Problema 5. Sea <)>„ los estados estacionarios ortononnales de un sis tema con energía Al tiempo í = O la función de estado nonnalizada del sistema es 'l· =X S uponiendo^, y c„ conocidas, (a) escribir la función de estado del sistema para í > O, (b) calcular la probabilidad de que una medición de la energía al tiempo t dé el valor E„ (c) calcular el valor de expectación de la energía al tiempo t. Problema 6, A y B son dos operadores hermitianos. De los siguien tes operadores, (i) A B , (ii) A^, (üi) A B - B A , (iv) A B + B A , (v) A B A determinar cuáles (a) son hermitianos (b) tienen valores de expectación reales no-negatívos, (c) tienen valores de expectación i m í t a n o s puros, (d) son operadores numéricos. Problema 7. (a) ^ y B son operadores hermitianos, tales que >4* = = 2; obtener los autovalores de cada uno. (,}. Verificar la respuesta por cálculo di recto deí valor de expectación del conmutador. Problema 8. (a) Si ^ , 5 y C son operadores aibitrarios, demostrar que iA ,B C ) = (A ,B )C + B {A ,C ).

(b) Usar este resultado para obtener que,

I i AB} =

B) + (A

+ i <Í / / , ^) B) + I i A{ H, B) } .

Problema 9. Para un sistema descrito por el hamiltoniano f f = p^f2m + F(x), obtener una expreáón para df{j^f2m){dt. Discutir la rela ción entre este résultado y el teorema clásico del trabô-energía. Problema 10. Se ha afirmado que la relación de conmutación (p .x ) = hfi es fundamental. En el espacio de c o n ju ra c ió n , donde x es un

122


operador numérico, se ha representado p como el operador diferen cial,

^

_ñ d i dx'

que es consistente con la relación de conmutación. En forma gene ral, también se podría escribir

sin violar la relación de conmutación y donde f ( x ) es arbitraria. Si esto se hace, (a> encontrar ias nuevas autofunciones del mom ento ií»p, (b) expresar una función de estado arbitraria 0 (x) como super posición de estas autofunciones de momento, (c) verificar que ninguna propiedad físicamente observable del sistema depende de /(:v) y, por lo tanto, f (x) = O siempre es posible. Problema 11. Considerar el propagador K de la ecuación (62). (a) Demostrar que K satisface la ecuación integral

dx". (b) Interpretar esta ecuación como la variación en el tiempo de una función de estado de ío a f, y después de f, a íi. (c) La ecuación (6 1) se obtuvo de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y es equivalente a ella. Verificar este resulta do obteniendo la ecuación de Schrödinger de la ecuación (61 ). Supo ner que »í<£(x) son soluciones conocidas de H íie Íx ) = £ 'fe(x ) c o n II conocida. Problema 12. Sean 0n(x) los estados estacionarios ortonormales de un sistema con energía E. Sea 0) la función de estado normali zada del sistema al tiempo í = O y tal que una medición de la energía del sistema resulte E, con probabilidad i , E^ con probabilidad ^ y £ 3 , con probabilidad 5 . (a) Escribir la expresión más general posible para (x, 0) en tér minos de (x) y consistente con los datos. (b) Escribir una expresión para la función de estado 0 (x, í) al tiempo / > 0 . (c) Determinar cuál de las siguientes cantidades tienen valor de expectación que son independientes del tiempo cuando el sistema se entuentra en el estado íí»{x, í) de la parte (b):

RESUMEN; LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUANTICA

(i) posición {x} (ii) energía cinética, (iii) energía potencial V(x)

123

(iv) hamiltoniano H , / dV impulso y~ t

(d) Lo mismo que en (c) cuando el sistema se encuentra en uno de sus estados estacionarios ». Problema 13. Sea C el operador que cambia a una función en su com pleja conjugada,

Cijf = tp*, (a) Determinar si C es hermitiano o no. (b) Encontrar los autovalores de C, (c) Determinar si las autofunciones de C forman un conjunto completo y si son ortogonales. Explicar brevemente las respuestas. Problema 14. Demostrar que si el potencial K(x) cambia en una constante en todas partes, las funciones de estado estacionarias per manecen inalterables. ¿Qué se puede decir de los autovalores de energía? Problema 15. Demostrar que el valor de expectación del cuadrado de un operador hermitiano nunca puede ser negativo. Problema 16. (a) Usando el resultado dado en el problema 8, parte (b), en contrar una expresión para d¡dt Y> considerando un estado estacionario <í'£·, demostrar el llamado teorema del virial

(b) Encontrar el teorema del virial parala mecánica c/ás/cíi trans cribiendo la demostración al lenguaje clásico. Problema 17, (a) Encontrar una expresión para (Ajt)‘'(A7)* donde T = p^l2m es ei operador de energía cinética. (b) Encontrar una expresión para (Ap)*(A//)*; for (Ajf)*(A//)*. (c) ¿Porqué estos resultados son mucho menos interesantes y útiles que los obtenidos en el texto para las incertidumbres mutuas en X y p?

VI Estados de una partícula en una dimensión

1. CARACTERISTICAS GENERALES Los estados que se van a considerar conesptmden a los estados es tacionarios ÿe(x) de una partícula moviéndose en una dimensión. Es tos estados son soluciones de la ecuación de Schrödinger independi ente del tiempo H «(»kOc) = E V'íCc) que, escrita en el espacio de con figuración, resulta ser la ecuación diferencial de segundo orden.

2m dx^

(1)

Antes de estudiar las soluciones de esta ecuación para potenciales particulares, es conveniente discutir las características generales de éstas para un potencial de tipo general cuya forma se esboza en la Figura I. Al dibujar la figura, el cero de la energía se ha escogido en tal forma que V(x) se anule para x Al crecer x se supone que V (x) crece negativamente hasta algún valor m m im o Vt , después del cual crece y alcanza el valor cu an d o x ^ + o o .E ste potencial es su ficientemente general para los propósitos mencionados. Las propiedades de los estados de movimiento, clásicas y cuánti cas, están completamente determinadas por la energía. Se pueden distinguir cuatro regiones en la forma siguiente;

c a r a c t e r ís t ic a s

GENERALES

125

( 1) E > y¡, por ejemplo, £ , en la figura. (2) O < £ < y, /p o r ejemplo £ 2 en la figura. (3) F í < £■ < Ó, por ejemplo en la figura. (4) £ < V2 , por ejemplo en la figura. A continuación se examinan en este mismo orden. ( O í · > V , . En esta región la energía cinética E - F(x) siempre es positiva. Clásicamente existen dos estados de movimiento indepen dientes. En uno de ellos, la partícula se mueve hacia la derecha y en el otro la partícula se mueve hacia la izquierda. Cuánticamente tam bién existen dos estados de movimiento independientes, aunque más complicados, y corresponden a las dos soluciones independientes de la ecuación diferencial de segundo orden (1). Como la energía cinéti ca es positiva en todas partes, se concluye de la ecuación (1) que d^:^B¡dx^ y i(»E· tienen signos opuestos en todas partes. Por lo tanto, siempre es cóncava hacia el eje x, es decir, oscilatoria. Por consi guiente, ift£ está acotada pero se extiende a infinito por ambos lados.' Comparte estas propiedades con las autofunciones de mom ento y, como ellas, no son estrictamente aceptables físicamente. Estos esta dos, como , también representan idealizaciones m uy útiles de los cuales pueden construirse verdaderos estados físicos (paquetes de onda). Los dos estados cuánticos independientes no corresponden a un movimiento hacia la izquierda solamente o bien hacia la derecha; por ejemplo, una partícula incidente por la izquierda no necesaria mente continúa su movimiento indefinidamente sino que algunas ve ces se refleja. Por esta razón los estados son bastante complicados. Estos estados· se presentan para cualquier energía que sobrepase a Vi, concluyendo que el espectro de energía es continuo y doblemente degenerado en esta región. ‘ En la Figtua 1 la sohidón

ilustra este oomportamieMo.

126

ESTADOS DE UNA PARTICULA EN UNA DIMENSION

(2) O < £ ” < Fl . En esta re^ón la energía cinética es positiva a la izquierda de la intersección de £ y K(jc), y negativa a la derecha. El punto de intersección, donde E = F(x) y la energía cinética se anula, es el punto de vuelta clásico del movimiento. Clásicamente, una par tícula moviéndose hacia la derecha se refleja en el punto de vuelta y regresa hacia la izquierda; éste es el único tipo de movimiento. Cuán ticamente existen dos soluciones independientes de la ecuación de Schrödinger, pero sólo una es aceptable (aún como estado ideal). A la izquierda del punto de vuelta clásico, las soluciones de la ecuación (1) son oscilatorias. Pero a la derecha, donde d^\l»E¡dx^ tiene el mis mo signo que , las soluciones son convexas respecto al eje x, por lo cual, crecen sin lím ite o decrecen rápidamente a cero cuando x crece. La solución general de la ecuación (1 ) contiene una superposición ar bitraria de estos dos tipos de soluciones, pero sólo la solución que de crece a cero está permitida por los requisitos físicos. Una de estas so luciones, f e , se ilustra en la Fig. 1. Así, se puede concluir que e/es pectro es continuo y no degenerado en esta región. Las soluciones se parecen a las soluciones clásicas en el sentido de que una partícula siempre se refleja. (3) < £ < 0. En esta r ^ 6 n existen dos puntos de vuelta clási cos y entre ellos la energía cinética es positiva, siendo negativa en to do el resto. Clásicamente, el movimiento es periódico, ccai período determinado por la energía. Entonces, existe sólo un tipo de movi miento para una energía dada. Cuánticamente el movimiento es po sible únicamente si la energía tiene exactamente el valor apropiado que corresponde a uno del conjunto de valores propios que constitu yen un espectro discreto no degenerado. El argumento es el siguien te: la solución general de U ecuación ( I) contiene términos crecien tes y decrecientes en la región a la derecha del punto de vuelta dere cho y en la región a la izquierda del punto de vuelta izquierdo. Una solución físicamente aceptable tiene que decrecer a cero en ambas regiones. Se escoge aquella solución que tiene las propiedades desea das a la derecha, Uamindola ,^ b derecha, especificada en forma única. Pero a la izquierda, se escoge la solución que decrece a cero »íf'£,izq oscilan en la re gión entre los puntos de vuelta, pero en general no coincidirán suave mente en la reglón común de existencia, Al variar E, la curvatura de estas funciones se altera y la rapidez de oscilación varía, y por lo tan to , si E tiene exactamente el valor correcto, *|»E,izq y 'Í>E,dei pueden unirse suavemente. Podría decirse que este hecho corresponde a es coger E en tal forma que un miembro determinado de las ondas de de Broglie cabe exactamente entre los puntos de vuelta. (Ver la solu ción f e de la Figura 1). Los valores discretos de £ para los cuales se

iVréíMlAh·

CLASIFICACION POR SIMETRIA; EL OPERADOR DE PARIDAD

127

cumple lo anterior, son las energías permitidas. Debido a que la par tícula está confinada en una región finita, estos estados se llaman es tados ligados. Entonces, se puede concluir que el espectro de estados ligados en una dimensión es discreto y no degenerado. (4) E < V ^ . En esta región, la energía cinética es negativa en don dequiera y ningún movimiento clásico es posible. Tampoco pueden existir estados cuánticos debido a que las soluciones de la ecuación (1) son convexas respecto al eje x en dondequiera y, por lo tanto, crecen sin límite en un sentido o en otro. 2. CLASIFICACION POR SIMETRIA: EL OPERADOR DE PARI DAD La m ayor parte de los potenciales de interés en el dominio micros cópico describen interacciones entre parejas de partículas. Estos po tenciales son generalmente funciones simétricas de la posición y esta característica permite una simplificadón considerable en el análisis. Por ejemplo, se puede considerar el caso particular para el cual sea simétrico, y(x) = . (2) La simplificación mencionada es una consecuencia del hecho de que cuando V es simétrico también lo es el hamiltoniano H. Entonces, cuando H opera sobre cualquier función no cambia las propiedades de simetría de la función. Esto significa que la ecuación de Schródin ger puede separarse en dos ecuaciones independientes, una que con tiene funciones de estado simétricas y otra que contiene funciones de estado antisimétricas solamente. Este resultado se demostrará a con tinuación. Para este propósito se introduce un nuevo operador P, llamado operador de paridad, definido por,

PfU)=n-x), (3) donde f { x ) es arbitraria. Entonces, el operador de paridad simple mente cambia el signo de las coordenadas espaciales de la fiinción so bre la cual opera. El operador P es hermitiano, ya que para funciones aceptables y 0 2 se tíene que, ^, *\x)PÂx) dx

- í: ii-x) dx

/:

dx.

128


donde se ha cambiado la variable de integración de jc a -x ai pasar a la segunda línea. Para encontrar los autovalores y las autofunciones de este opera dor hermitiano, se buscan soluciones de la ecuación

Operando sobre esta ecuación con P se tiene que pero, para cualquier función/(Jc)

P-f{x) = PEP/ÍAr)] = Pf {-x) = f i x ) . Comparando las dos ecuaciones, a® = 1 y, por lo tanto, los autovalo res del operador de paridad son más o menos uno. Llamando y *lfa los autoestados correspondientes, se tiene que, = = (4) o lo que es lo mismo,

donde 0+ es cualquier función par y es cualquier función impar, además de que son ortogcmales. Se tiene el resultado curioso de un operador hermitiano con dos autovalores únicamente, cada uno de los cuates está infinitamente degenerado. Las autofunciones de P claramente forman un conjunto completo, ya que cualquier fundón áem pre puede expresarse como la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica. Se escribe,

f(x)=Mx)+fAx). lo n d e /+ está defirüda por fAx) y claramente es simétrica, mientras q u e / - defmida por, f-{x) es obviamente antisimétrica. Una forma interesante de escribir estas expresiones es la de substi tu ir / ( - j c ) p o r S e obtiene, /+ U ) = ^ = — /(X)

CLASinCACION POR SIMETRIA: EL OPERADOR DE PARIDAD

129

Las cantidades />, - ' 4 ^

(5)

se llama operadores de proyección: P+ proyecta la parte simétrica o par de un estado general, y P- proyecta la parte antisimétrica o im par. Además,

P^P_ = P . P ^ ^ O

(6)

P, + P- = \, que establece las propiedades generales de estos operadores de pro yección. En forma sucinta se tiene que, ^ /U )= /.W .

(7)

Ejercicio 1. Verificar las expresiones de (6) por substitución de la ecuación (5). Para concluir, lo único que se necesita recalcar es que P conmuta con el hamiltoniano si V(x) es simétrico porque,

PiHÎ,) = H i - x m - x ) = H{x),f,(-x) = HP^ . Además P^ conmuta con H y, por lo tanto, al operar sobre la ecua ción de Schródinger con P± se obtienen el par de ecuaciones indepen dientes

H^ e, - = E’Í»e, -· Este resultado establece que los estados estacionarios en un potencial simétrico se pueden clasificar de acuerdo a su parida, es dedr, siem pre se pueden escoger con simetría definida sin que por esto se pierda generalidad. Aún más, ya que los estados ligados en una dimensión no están degenerados, cada estado ligado en un potencial m é tr ic o tiene que ser par o impar.

130


3. ESTADOS UGADOS EN UN POZO CUADRADO Como ejemplo se estudiarán los estados ligados en uno de los po tenciales más sencillos, el pozo cuadrado. Este potencial se define como.

y(x) =

— k',,, O,

—a < X < a \x\ > a .

(9)

y se muestra en la Figura 2. Como F(x) es simétrico los estados liga dos tienen simetría definida, to cual simplifica mucho el álgebra. I Región III

X

Región II

1 =

Región I

1 1

—a

X

==

a

y =Q

V - - V,

Figura 2. El pozo de potencial cuadrado. Como se buscan estados ligados, la energía E tiene que ser negativa y es conveniente introducir la energía de ligadura € definida por c = -E ,

(10)

por lo cual la ecuación de Schrödinger resulta ser

01 ) En la región a la derecha de jc = a, llamada región 1 (ver Figura 2), K(jc) se anula y la ecuandón ( t 1) se reduce a

2rm dx^

fe = 0,

(12)

cuyas soluciones generales son tl>E ~ . Se escoge sólo la ex ponencial negativa porque la otra solución crece sin límite cuando jc tiene a infinito. Por lo tanto, en esta región tííg = C, e-v5Síí/íí Análogamente, en la región a la izquierda de también satisface la ecuación (12) y tiene la forma

Q 3) la región III 'Pe

ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO

Ψ

É-

— ,

III

oV¿me jTífí

131 (14)

apareciendo únicamente la exponencial positiva, ya que en caso con trarío i¡f crecería sin límite cuando x tendiera a menos infinito. Finalmente, en la región central entre x = —a y x = a ^ i & región II, donde F(jí) = —Vo, la ecuación <11 ) resulta ser

En esta región forma,

es oscilatoria y la solución general se expresa en la

eos {VlmiVo — e)xlk) + Cn*“’sin {V2m(í^n —€)x/h).

(15)

Entonces, la función de estado tiene forma diferente en cada región. Ya que V(x) es discontinua al pasar de una región a otra, la ecuación (11) establece que la segunda derivada de *lfB también es dis continua, pero >pB y su pendiente son continuas. Por lo tanto, se tie nen dos condiciones de ccnitinuidad que tienen que satisfacerse en la frontera entre las regiones, lo que proporciona cuatro ecuaciones li neales y homogéneas para los coeficientes C\,C\ilC\^'y Cm , Siestas ecuaciones tienen solución el detenninante formado por los coefi cientes tiene que anularse. Esta condición determina los valores per mitidos de €. Para reducir el álgebra se hace uso del hecho de que los estados li gados en un potencial simétrico tienen simetría definida; son pares o impares. A continuación se examinan estas dos posibilidades. Estados Pares;<í'£(x) = 0 b ( - x ) . Para los estados pares se obtiene q u e C iii= C| y C|,‘“*= 0 en la ecuación (15). Además, cualquier con dición de continuidad impuesta en jc = a se satisface automáticamen te en x = -a debido a la simetría. Solamente se necesitan aplicar estas condiciones en x = a. Al hacerlo, se obtiene : continuidad de *li = c„<+* CCS { V2 m( V^ - € ) aih)

C,

continuidad de dîdx C,

^ _ V2m{Vo _e)

{ V2 m( V^ - i) afh).

Tomando el cociente de la segunda ecuación entre la primera se obtie ne que, V e = V F o—€ tan ( V2m(l·'# —e) a/A) ,

(16)

BNUNADIMENSION 1^1 «ipectro de energía de los estados pares, ndente y sus raíces no pueden determinarse alUn procedimiento gráfico bastante sencillo y que una caracterización simple, seria el de grafícar el miem bro dtnciho y el miembro izquierdo de la ecuación (16) como fun dón de i ; las raíces serán los puntos de intersección de las dos cur va·. Este procedimiento se ilustra en la Figura 3. Ya que el miembro izquierdo resulta imaginario para e negativa y el miembro derecho es real> las raíces existen solamente para e positiva. Este resultado es consistente con lo que se esperaba, ya que e negativa o energía de li gadura negativa, significa que el estado no está ligado. Por otra parte, el miembro derecho resulta negativo para € > y permanece así, como se muestra en la figura y, por lo tanto, no existen estados con energía de ligadura que sobrepasen la profundidad del pozo > de acuerdo con lo esperado. Estas dos limitaciones significan que las

Figura 3. Solución gráfica de la ecuación (16), para las energías permitidas de los estados pares de una partícula en un pozo cuadrado. La curva continua repre senta el miembro derecho de la ecuación (1 6) y la curva discontinua el miembro izquierdo. Las intersecciones dan las energías permitidas. Para el valor escogido de F*existen dos energías. La energía del estado base €| y la del siguiente estado más alto De la figura se observa que el número de raíces y, por lo tanto, el nú mero de estados ügados pares, dependen del número de ceros del miembro derecho de la ecuación (16) cuando é s 0. Los ceros del miembro derecho ocurren cuando, í =

« = 0 ,1 ,2 .........

o sea, cuando € = K , e= V» -ir^h'Ûma^, etc. En la figura se ilustran dos ceros y, por lo tanto, existen dos estados. La energía del estado

ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO

133

más ligado es e, y la eneigía del otro estado es ¿3 . La razón de esco ger los índices de esta manera se aclarará más adelante. Al decrecer V», la curva que representa el miembro derecho de la ecuación (16) se desplaza hacia la izquierda, y cuando K« < existe un cero y un estado l^ ad o solamente. Análogamente, al crecer la curva se desplaza hacia la derecha y cuando V« ^ {2-nyh^l2má^, existen tres ce ros y tres estadas ligados, y así sucesivamente. Resumiendo, cuando, (17) existen n + 1 estados ligados pares. Es necesario recalcar que si V» es positiva siempre existirá, por Jo menos, un estado ligado. Estados Impares: ^ff(jc) = ~ ;c), Para estados impares, Cir, = -CE y Cii^'en la ecuación (15) tiene que anularse. De nuevo, cualquier condición de continuidad impuesta en jí = a se satisface automáticamente en x = - a por simetría. Procediendo en la misma forma que en el caso anterior, se encuentra que para estados impares, e está determinada por la ecuación

V i = - V f ^ ^ ctn ( V 2 m (r o -€ ) a/ft), que también se resuelve gráficamente como se ilustra en la Figura 4. Se ha usado el mismo valor de Va
Figura 4. Solución gráfica de la ecuactón (IS) para las energías permitidas de los estados impares de una partícula en un pozo cuadrado. La curva continua repre senta el miembro derecho de la ecuación (18) y la curva discontinua el miembro izquierdo. Las intersecciones dan las energías permitidas. La energía del estado impar más bô es «t y la del siguiente estado impar es

134

ESTADOS PE UNA PARTICULA EN UNA DIMENSION

et. Al comparar con la Figura 3 resulta que «, > e* > «^ > . Usando los mismos argumentos anteriores, se concluye que el número de es tados l ^ d o s impares es igual al número de ceros del miembro dere cho de la ecuación (18) para « ^ O, y que existen exactamente (n + 1 ) estados ligados impares cuando « K o< [{n+íUYh^l2maK

+

(19)

Sin embargo, no existen estados ligados impares si

(!)■

ft* 2ma*‘

(20)

Este resultado es muy im portante y se examinará al discutir proble mas tridimensionales. Los resultados se pueden resumir en la siguiente forma. Al crecer Vo desde cero, al principio sólo existe un estado ligado que es un es tado par. Al llegar al valor =

{e Y J L ·

aparece el primer estado impar. Cuando

K-- 2ma*’ aparece el segundo estado par. Cuando,

\ 2 ) 2ma*' aparece el segundo estado impar, y así sucesivamente. Para dada, el espectro consiste de estados pares e impares alternados, siendo par el estado más bajo o estado base, el siguiente es impar, y así sucesiva mente, dependiendo el número total de estados de la magnitud de Kft. En la Figura 5 se esboza el espectro y las funciones de estado pa ra el caso particular ilustrado en las Figuras 3 y 4, donde Vq tiene dos estados pares y dos estados impares. De la figura se puede adivi nar que cuando decrece, o sea que el pozo se hace menos profun do, el estado más alto es empujado hacia fuera, después el si guiente estado y así sucesivamente, coincidiendo con el análisis indi cado. Sin embargo, las ecuaciones (17), (19) y (20) son restricciones sobre y o y no sobre solamente, como se ha supuesto en la dis cusión por simplicidad. Un decrecimiento en , en sus efectos sobre la energía (pero n o sobre la función de estado), es indistinguible de un decrecimiento en . Si decrece gradualmente haciendo el po

EL OSCILADOR ARMONICO

135

zo más estrecho, también salen sucesivamente los estados más altos. Hay que notar que las funciones de estado se extienden más allá de las paredes del pozo, en lo que es la región prohibida clásicamente. De acuerdo con las ecuaciones (13) y (14), las fundones de onda de caen exponencialmente en esta región como . Por lo tan to, la distancia que penetran las funciones de estado está dada aproxi madamente por

h V 2 w€’ que es la distanda necesaria para que la exponendal decrezca a l¡e. Para los estados más bajos, donde e es grande, esta distancia es muy t>equeña y la función de estado también es muy pequeña en la fron tera. En el límite de un potendal infinitamente profundo, estos es tados se anulan en las fronteras y sus energías, medidas respecto al fondo del pozo, crecen como /i* de acuerdo con el análisis previo de los estados de una partícula Ubxe en una cí«a. Por otra parte, cuando e es pequeña, como por ejemplo en la Figura 5, la distancia h resulta muy grande y la partícula no se puede considerar totahnente confinada al interior del potencial, co mo se requiere clásicamente.

V=0

K= o

y ^ - V, Figura 5. Energías de los estados ligados y funciones de onda en un pozo cuadra do. Cada estado de energía más alto tiene un nodo más que el estado preceden te. 4. EL O S aL A D O R ARMONICO A continuadón se considerará el problema más im portante de la mecánica cuántica, el osdlador armónico. R eladonado a esta importan d a está su simplicidad; es uno de los dos o tres ejemplos no trivia les que se pueden resolver explídtam ente con toda generalidad. Se le dedicará la atención que merece.

■iMÈà

136

ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSION

La energía potencial de un oscilador armónico de frecuencia w puede escribirse en la foima, y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo será, (21)

De la discusión general de la Sección 1, se deduce que los estados del oscilador armónico tienen energía positiva, son discretos y no dege nerados. Estos estados se encontrarán mediante dos métodos dife rentes. El primero, es el m étodo de las series de potencias y el segun do, es el método de factorización. El Método de Serie de Potencias, Si se introduce la variable sin di mensiones y definida por y = Vmto/ft JC,

(22 )

la ecuación de Schrödinger resulta ser.

Cuando y tiende a infinito, el término en E es despreciable compara do con el ténnino en y* y se verifica fácilmente que >/'£■(>’) se compor ta como , multiplicado por algún factor algebraico. La solución físicamente aceptable contiene solamente el signo menos y, sin pérdi da de generalidad, se puede escribir (23) Substituyendo en la ecuación de Schrödinger, despúes de ciertas sim plificaciones, se obtiene que (24) Esta ecuación se resolverá desarrollando u en serie de potencias en y. Ya que el potencial del oscilador armónico es simétrico, los estados tienen paridad definida. Se considerarán por separado los estasos pa res y los impares. Estados Pares: u(y ) = u(-y). Se busca una solución en la forma de una serie de potencias. Ya que u es simétrica, únicamente potencias pares de y intervendrán y se puede escribir (25)

EL OSaLADOR ARMONKX)

l}t

Substituyendo en la ecuación (24) se obtiene que, ¿ 2 j (2 5 - 1) ^'*>'"'*■'’ + 2 ( ^ -

O

I - 4 í ) a * y * * = 0.

O

Substituyendo s por s + 1 en la primera suma, esta expresión s6 pue de escribir como, ¿

\ n s + 1) ( 2 i + t )«*+, + ( | ~ -

1-

« .] ) '* * = O ·

O El coefidente de cada potencia de y tiene que anularse por separado y, por lo tanto, se obtiene la relactón de recurrencia

4 s + í - (2Elh^) .. 2{s+ l)(2í-l- 1)

™

Dado el coeficiente a^, todos los coeficientes en el desarroDo pueden determinarse sucesivamente.’ Entonces,

y se obtiene una representación en serie para la solución simétrica de la ecuación (24). La forma de esta solución para y grande está deter minada por el com portamiento de a, para s grande. De la ecuación (26) se tiene que ^ = 1 , o, s

5^00.

Esta razón es exactamente la misma que la razón de los coeñcientes en el desarrollo en serie de potencias de la función exponendal. En tonces, cuando y^ tiende a infinito, u(y) diveiê como e“’, de donde, por la ecuación (23), <í>e(>') diverge como Esto no es una sor presa, ya que se argüyó que la solución general de la ecuación de Schrödinger se comporta com oí’-"*'^para^ grande. Como la solución general debe de contener términos de ambos signos, necesariamente ^ La importancia esencial de la tiansfonnación de la ecuadón (23) puede aclaiaise ^ o i a . El lector puede veiiflcar que si pero no u, se desaiioUa en serie de potencias, la fónnuhi de lecurreinda que se obtenga relaciona tres coercientes y po dos, como en la ecuación (26). Estas relaciones entie ties ténninos son, en general, muy dffíciles de resolver.

13 8

ESTADOS DE UNA PARTKULA EN UNA DIMENSION

domina la exponencial positiva. Esta catástrofe puede evitarse si la serie termina después de r términos. De la ecuación (26) se concluye que esta condición se cumple si y sólo si E tiene uno de los valores discretos, E = y

( 4 r + 1) = (2r + ^)ftí^,

r = 0, 1 , 2 , . .

ya que ür+i, y todas las a, siguientes se anulan. Entonces, se han obtenido un conjunto infinito de soluciones, una para cada valor del entero r. Estos estados simétricos, todavía n o normalizados, están dados explídtam ente por /■ = O,

E = A(o/2,

í “”''*

f = 1,

£ = 5W 2 ,

= «oí 1 - 2y*)

r=2,

£ = 9hw/2,

»1»*= «od -

(27) + | y^)

Antes de discutir estas soluciones, es conveniente considerar primero los estados impares. Estados Impares: «(>') = - u ( - y). Para este caso se expresa u co mo una serie en potencias impares de y, ú

Substituyendo en la ecuadón (24) y haciendo las mismas operadones que antes, se obtiene la relación de recurrencia, _

+ 3 — 2E/ft(o 2 { s + I ) ( 2 i + 3)

La solución también diverge excepto si la serie termina después de r términos y, por lo tanto, E sólo puede tomar los valores discretos, £ = (2/- + |)/íw ;

r = 0 , l , 2 .........

y las soludones correspondientes sin normalizar son, r = O,

£ = 3W 2,

r=\,

E = 7M 2,

= a^y

(28) «í»£ = Opy(I - § y") ·

Reuniendo todos estos resultados se concluye que el estado más bíyo es par y su energía es ft<ü/2, el siguiente estado es impar con


139

energía 3h« al estado con energía En, se escribe 'í'n (■«) = ^

(>’)

y = Vmw/A jr

(30)

Las funciones h»(y) son polinomios de grado n en potencias pares o impares de y según que n sea par o impar. Estos polinomios se lla man polinomios de Hermite, y los primeros son,* h^{y) = 1 / i 3 = 8 / - 12y

hi {y) =2y

h,= \(>y*-A^y^+\l

(31)

htiy) = - 2 h^ = I2y^ - lóOy“ + 120>-. Los primeros cuatro estados del oscilador armónico se muestran en la Figura 6. Como es usual, se nota que el número de nodos de la función de onda aumenta por uno al pasar de un nivel de energía al inmediato superior. Una característica curiosa del oscilador armónico es su simetría completa respecto al espacio de configuración y al de momentos. Ya que el operador hamiltoniano es 2m

2

^ La normalización de las funciones de estado se discutirá en la Sección 4 / 5 . * Ver la Referencia (7) para una lista más extensa.

(32)

140


n

= 3,

= lf¡w¡2

n = l,E, = 5ÍÜ./2

z

« = 1,£i = 3Í ü)/2 n

= O, £o -

fiü,/2

F igu n 6. Estados de energía y funciones de onda para el oscilador armónico.

a ecuación de Schrödinger^ en el espacio de momentos es idéntica i la del espacio de configuración si m se sustituye por 1/mítt*. En onces, es fácil comprobar que las funciones de estado en el espacio le momentos son.

(33)

ía gráfíca de estas funciones superpuesta sobre una gráfica de la

inercia cinética p^2m , tiene exactamente el mismo aspecto que la "igura 6. El Método de Factorización. El segundo m étodo, que se presenará a continuación, es un m étodo exclusivamente operacional para )btener los autoestados del oscilador armónico. Este procedimieno, introducido por Dirac, se llama el m étodo de factorización. Se introducen dos nuevos operadores que se definen en la siguiente brma. El primero llamado a, se expresa en la forma a = V/nft»/2A jt -I- / v T J lñ u a h p ,

(34)

F el segundo se define como eí adjunto del primero. Es el análogo leí complejo conjugado para operadores. De acuerdo con la ecua:ión (V-13) se expresa como ai =

X — i Vl/2/n
(35)

londe, como en el Capítulo V, se ha usado la daga para simbolizar el idjunto.

E L O S aL A D O R ARMONICO

141

Para referencia futura, a y a f se expresan en ténninos de la varia ble sin dimensiones y de la ecuación (30) como.

(36)

y análogamente, en el espacio de mom entos por

(37)

escrito en ténninos de la variable ^ de la ecuación (33). Además, co mo se puede verificar fácilmente,

. resultado obtenido al usar las em aciones (34) y (35) para expresar el miembro izquierdo en términos de x y p yllevando a cabo la multi plicación indicada. Reconociendo el térm ino entre paréntesis como el hamiltoniano y evaluando el conm utador se obtiene que, =

(38)

donde í f es el operador hamütoniano.’ En la misma forma se encuen tra que,

=

(39)

Restando la ecuación (39) de la ecuación (38), se obtiene que a y a t satisfacen la regla de conmutación { a ,a t) = l ,

(40)

mientras que sumando las dos ecuaciones resulta que,

aaf + aU = ~ H . ñcj

(41)

* El método lleva su nombre debido al hecho de que, excepto p oi una constante aditiva, el hamiltoniano ha sido JSittor&otfo e a u n producto de dos nuevos operadores 0 y a f .

142


La ecuación de Schrödinger puede entonces escribirse de tres ma neras completamente equivalentes, las que corresponden a las ecua ciones (38), (39) y (40); (42a)

(o o t-i)

(42b)

{aaf + ata) ^ e =

'I>e ·

(42c)

Como paso esencial para resolver la ecuación de Schrödinger, se demostrará que si se conoce para alguna E, a partir de ésta se pue de construir sucesivamente un conjunto infinito de soluciones. Para hacerlo se opera sobre la ecuación (42a) por la izquierda con a% o sea.

o bien

y sumando a cada miembro íitííf£· +

se obtiene que

a1fipE=^ hti}

atipe-

Comparando con la ecuación (42b) resulta que también es solu ción de la ecuación de Schrödinger, pero con el autovalor de energía E + fia>, o sea que,

at>¡iE = C^Ê+u>,

(43)

Donde C+ es una constante. Repitiendo este procedimiento, se pue de generar a partir de un estado dado una cadena infinita de estados igualmente espaciados con energías £ +h ú t , E + 2 h w , E -I-3Ä(o, y así sucesivamente. Ya que el operar con a t aumenta la energía por un paso, a t se llama el operador de ascenso o más comúnmente el operador de creación. También se puede demostrar que al dar 0^ se pueden construir su cesivamente estados de energía menor. Para hacerlo, se opera con a sobre la ecuación de Schrödinger (42b) encontrándose

(44)


143

por lo cual se puede escribir que,

aE= C-Ê-iu»· Por razones obvias el operador a se llama el operador de descenso, o bien, operador de aniquilación. La operación repetida con a extiende la cadena hacia abajo a partir de E en saltos de ha>. Pero la energía de un oscilador armónico nun ca puede ser negativa,* por lo cual, la cadena termina, llamando Eo a la energía del estado más bajo y >íto al autoestado correspondiente. Para £ = ¿"o la ecuación (44) resulta

Excepto si a«í»ose anula,esta ecuación establece que úfií»oes un autoestado con autovalor Eo — Aw, en contradicción con elhecho de que Eo es el estado más bajo. Por esto se concluye que »í
aô = O,

(46)

y de la ecuación (42b) se concluye que Eo tiene el valor

Eo = htol2. Suponiendo que se conoce , el resto de los estados del oscilador ar mónico pueden construirse por aplicación sucesiva de a t sobre incrementando la energía por saltos de hw. Para el «-ésimo estado se tiene que =

Ô

(47)

donde c„ es una constante de normalización y, como antes, se tiene que (« + ?) ftío. Para construir explícitamente en el espacio de configuración, se hace uso de la ecuación (36) y escribir la ecuación (46) en la forma forma 1

VI * Esto es c b to de la discusión de la Sección l . Este leniltado también se concluye del hecho de que el hamiltoniano del osciladot annóntoo es podtivo definido y así debe de ser su valor de expectación para cualquier estado.

144


que se resuelve fácilmente para dar

de acuerdo con el resultado ya establecido. Usando otra vez la ecua ción (36), la ecuación (47) resulta (48)

dyj

Como se demostrará posteriormente, resulta que c„ es la misma cons tante de normalización de la ecuación (30). Comparando este resul tado con aquella ecuación se encuentra que, (49) siendo una representación muy compacta y conveniente de los poli nomios de Hermite. Más adelante se dará una representación aún más sencilla y conveniente. Las ecuaciones (43) y (45) son muy útiles en muchas aplicaciones, pero es necesario calcular las constantes de proporcionalidad que apa recen en estas relaciones. De la ecuación (48) se tiene que. at»;»

fn+i

(50)

y usando la expresión explícita para c» dada por la ecuación (30), «T0„=

(51)

Ahora se puede considerar el caso más difícil de actuar con el opera dor de aniquilación a sobre tff„. Se obtendrá el resultado de dos for mas diferentes para ilustrar cómo se hace uso de estos operadores. La primera manera es inmediata y parte de la ecuación (47), de la cual se obtiene, al operar sobre ella con a,

Ô

flfo-

De la relación de conmutación fundamental, ecuación (40), se obtie ne que. (52)


145

Ejercicio 3. Demostrar este resultado usando la relación de conmu tación de ia ecuación (40). (Hay que señalar que la demostración también puede llevarse a cabo, trivialmente, con los métodos de la próxima sección). Como a aniquila a obtiene que,

el primer térm ino no da contribución y se

^ aV'~' (í»o = « Co Cn-i de donde, finalmente, usando la ecuación (30),

a*lf„ = V ñ

.

(53)

El segundo m étodo es menos directo. Se parte de la ecuación (42a) para el (« —l>ésimo estado, o sea p a ra £ = (/i — Arreglan do los términos, Pero, de la ecuación (51) de donde se concluye el resultado inmediatamente. Ejercido 4. Verificar la relación de conmutación de la ecuación (40) al operar con el conm utador sobre y usar las ecuaciones (51) y (53) para obtener el resultado. Ahora, el lector podría estar tentado en considerar que las técnicas algebraicas operacionales del método de factorizadón, son una forma de evitar el m étodo de solución, poco elegante, de las series de poten* cias. Hay que reconocer que este método establece una solución para el problema del oscilador armórtico que es completa e independiente de la representación. No sólo es completa sino que es mucho más conveniente que la representación en el espacio de configuración en la cual participan los polinomios de Hermite. Claramente las funcio nes de estado son expresiones muy sencillas al escribirlas en términos de y a t , y también lo son las variables dinámicas según las ecuacio nes (34) y (35). Por esto, los valores de expectación pueden calcular se fácilmente en el lenguaje de estos operadores. Como ejemplo, se discutirá brevemente la normalización de las autofunciones del osdla-

146


dor annónico. Para n arbitraria,

Pasando at" del segundo factor al primero y usando la definición de adjunto se obtiene que.

De acuerdo con la ecuación (52) y debido a que aií»* = O, a a t> o = MíJt"“'»(»o. Análogamente, usando este resultado se encuentra que,

naaV"'^« = n ( n — l)a t" “*ííío. y repitiendo el proceso n veces, a"at"íí>o = rt!ô, de donde «! (ôlô)· Por lo tanto, si 0« ^^tá normalizada también lo está de que,

a condición

u |í = Í£»l! de acuerdo con la ecuación (30). Como segundo ejemplo se calculará el valor de expectación de la energía cinética para el n-ésimo estado. Invirtiendo las ecuaciones (34) y (35) se obtiene que. Vzmtüft , . /7 = — 2¡— ( « - o t ) . >

y por lo tanto,

LA REPRESENTACION DEL OPERADOR DE CREACION

147

Al operar a® sobre «í»„ se obtiene el estado , anulándose el térmi no correspondiente porque los estados forman un conjunto ortonor mal. Análogamente, al operar sobre se obtiene ^ , + 2 y tampoco hay contribución. Por lo tanto, los únicos términos que contribuyen son,

^

^T

,

que es un medio del valor de expectación del hamiltoniano de acuer do con la ecuación (42c). Entonces,

de acuerdo con la relación clásica entre la energía cinética promedio y la energía total de un oscilador. Aunque no se reconozca como el hamiltoniano la combinación particular de operadores expuesta anteriormente, se puede hacer el cálculo fácilmente usando las ecuaciones (51) y (53). Se tiene que

afa^„ = V ñ y que. = Vn + 1

= (n+

de donde se sigue el resultado inmediatamente.^ Estos ejemplos ilustran el tipo de manipulaciones que se deben de llevar a cabo con los operadores de creación y aniquilación para calcu lar cantidades físicas de interés. En la próxima sección se desarrolla rá una nueva representación cuya álgebra resultará trivial.

5. LA REPRESENTACION DEL OPERADOR DE CREACION En la sección anterior se ha introducido una transformación de las variables dinámicas p y x a un nuevo conjunto de variables dinámicas a y a t que satisfacen la relación de conmutación (40). Se introduci rá ahora una nueva representación, la representación del operador de creación, efi la cual a t es un operador numérico y a es el operador ’ El lector puede apreciar mejor la simplicidad sorprendente de este m étodo de operadores ú intentara obtener la ecuación (49), o bien, las ecuaciones (30) y (31) en la representación del espacio de configuración.

148


de diferenciación en el espacio a t , ’ Naturalmente que a y a t son variables dinámicas clásicas muy especiales ya que son complejas y aunque surgen algunas complicaciones, éstas no resultan m uy serias. Para establecer la representación que se busca, primero se buscan las autofunciones del operador de creación en el espacio de confi guración. Usando la variable sin dimensiones y y la ecuación (36), se buscan las soluciones de, (54) donde a i es un número complejo. Los estados <í’o+ son estados para los cuales el operador de creación tiene el valor numérico a t Estos estados no son físicos porque a t no es un observable físico, pero se pueden usar para construir estados físicos. La solución de la ecua ción (54) es. El estado i es una función divergente de y claramente no es nor malizable. Esta solución se puede multiplicar p o r un factor arbitra rio, independiente de y , resultando que es conveniente hacerlo. Se multiplica por el factor por lo cual la solución a la ecuación (54) se escribe como, '/'«»(>’) = exp [>í*/2 - V2 ^ât -I- at*/2]. Entonces, el operador de aniquilación a tom a su forma más simple en el espacio a t que es consistente con la relación de conmutación (40), y dada por

a=

daf'

(55)

que se demostrará en breve.’ Una función de estado »(((x) se puede representar como superposi ción de autofunciones de at, como anteriormente se representaron funciones de estado como superposiciones de autofunciones del mo mento o autofunciones de energía (estados estacionarios). Al hacer esta superposición y ya que a t es complejo, se tiene la libertad de • La motivación para esta representadón proviene de que el conmutado! de of y a es el mis mo que el de p y * excepto por el factor ft/f. Que este factor sea imaginario tiene concecuendas im portantes que se verán más adelante. Sin embargo, este procedimiento es análogo al usado en las representadones del espacio de momentos y del de conflguradón. ' Ver el Problema 10 del Capítulo V paia una discusión del mismo problema respecto a la representadón del operador de momento en el espacio de configurodon.


149

usar la trayectoria de integración más conveniente en el plano com plejo at. Se escoge a lo largo del eje imaginario y se escribe, / ( a t ) exp [y^l2 — V2 j a t

-V-ot*/2]

d a t. (56)

Para aclarar el significado de esta expresión, se introduce una nueva variable real a al escribir,

«t = i a , por lo cual <íf(v) tom a la forma »(»(y) =

1

T“

f ( a ) exp [yV2

-

i V l y a - a^/2] da

o bien,

1"^ [/(«) e-«*'®]

4>(y)

da,

que es una representación de la integral de Fourier de 0(y) función d e /(a ) í "“*'®. Esta relación puede invertirse para dar, fia.)

e-"“'*=

r

-4 = *lf(y) Vu- J-«

é·*'^*«■rfy

(57) en

(58)

e introduciendo a t . /(at) = - ^ j

tp(y)

exp [~yV2 -I- V 2 y « t

— atV2] dy.

(59)

Debido a las propiedades conocidas de la integral de Fourier, estas expresiones demuestran que las autofunciones de af forman un con junto completo. El par de funciones »/»(y) y f ( a f ) son descripciones compfeíawenfc equivalentes de cualquier estado del oscilador armónico, la primera en el espacio de configuración y la segunda en el espacio del operador de creación. De acuerdo con las ecuaciones (56) y (59) cada una está definida si la otra lo está, y cada una de ellas contiene la misma infor mación. Por esto, se puede hablar de f i a t ) como la representación en el espacio de creación de una función de estado. Pero la normali zación en el espacio de configuración no lleva a la normalización en el espacio de creación, en el sentido usual, como se puede concluir de las ecuacionés (57) y (58) con la ayuda del teorema de convolución, ecuación (III-I9). De hecho, no se puede asociar un significado di recto a las integrales de normalización de la forma usual en el espacio de de creación. Esta característica, que es una consecuencia del ca


150

rácter no físico de ese espacio, no causa dificultades si todas las cues tiones sobre la normalización se pasan al espacio de configuración, y esto es lo que se hará.“ Ahora se puede verificar que en el espacio de creación el operador de aniquilación es el operador de diferenciación dado por la ecuación (55). Para hacerlo, se recuerda que de acuerdo con la ecuación (36) se tiene que,

i VI

■/»(y).

Por lo tanto, diferenciando bíuo el signo integral la ecuación (56) se obtiene que, Í«í'(>’) = — 7 =

í

iVlTr J-í*

■

k

/(« + ) { V I V —

e x p [v V 2 -

V i y a + t/t^ /2 ] d a t

¿„t.

L ·

Integrando por partes y debido a que el término integrado se anula, se obtiene que

- i = r fV27T J-i

dai

fiai)

ex p [>’V2 -

V I y íít + a iV l] da^.

En otras palabras, se establece que si/(íít) en el espacio de creación es equivalente a »;<(>') en el espacio de configuración, entonces, dfjda^ es equivalente a a^. Es decir, la representación de aijiiy) en el espacio de creación resulta ser df(af)/daf. Análogamente se puede obtener que la representación de g(a) >¡>(y) en el espacio de creación es già/da'^) /(at). Finalmente, se concluye que en el espacio de crea ción, el operador a está representado por d/dai, como se quería de mostrar. Las autofunciones en el espacio at, se pueden construir trivialmen te. De acuerdo a la ecuación (47), se pueden expresar en términos del estado base 0o (y) por 0„(y)

Co

«L as integrales de normalización se pueden definir introduciendo un segundo conjunto de funciones líia, tas autofunciones del operador de aniquilación a. Se puede demostrar que (|ijt y <((, forman lo que se llama conjunto de fundones bíortogonaks. Las propiedades m ^ tematicas de los conjuntos biortogonales son muy conocidas y solamente son un poco más complicadas que las propiedades familiares de los conjuntos ortononnales ordinarios.


15 1

donde c» son constantes de normalización y 0oO) es tal que, íí'í'o(r) = 0 . Entonces, en el espacio a t , fo donde f J a i ) es la representación de tít«0) en el espacio creación y donde/o(«t)es tal que,

afoiai) = 0. Debido a que a es el operador de diferenciación respecto a ai, /« es una constante cq y la función de estado del oscilador armónico en el espacio de creación correspondiente a la energía E „ = (n + í ) ho),

es el monomio

fn ia n =

(60)

que es mucho más simple que la gausiana multiplicada por los polino mios de Hermite como se encontró en el espacio de configuración (o de momentos). Usando la ecuación (56) se puede obtener una representación muy útil y elegante para las autofunciones del oscilador armónico. Esta representación es

r flt"exp[//2~ V2j-íit + atV2] í/«t.

(V27J· J-t»

(61)

Como primera demostración de la utilidad de estos resultados, se puede calcular la constante de normalización y como ejercicio se puede verificar que las son ortogonales entre sí. Según la discu sión anterior, es necesario normalizar en el espacio de configuración, por lo cual se considera. (y )

« ■• " ''í 'o

Recordando que «t" operando sobre la primera función bajo el signo de la conjugación compleja puede sustituirse por d" operando sobre la segunda función, según la definición de adjunto, se obtiene que, J

dy =

I

dy.


152

Expresando el factor (><) de la integral en términos de su representación en el espacio de creación y usando las ecuaciones (55) y (61), se obtiene

a'”aV'M y)

(V2^

Citó)·

’í(t" ex p [ / / 2 — V Z y a f + o tV 2 ] d a i

que claramente se anula para m > n. Por otra parte, si /« < « .s e obtiene el mismo resultado procediendo a la inversa, o sea transfirien do a t que opera sobre la segunda función en el integrando, a operar so bre la primera función como a. Se observa que el integrando se anula para m = n y que las funciones n son ortogonales. Finalmente si m = Mal efectuar las diferenciaciones a W M y ) =

c , 1 '“^ ex p [ y V 2 - V l y a f + «t®/2] d a i

/V2ff

y por lo tanto.

I

í/y =

Entonces, si las funciones

n!

|ií»o|*íív.

están normalizadas, se encuentra que,

como antes. Falta por determinar c« para lo cual se necesita normali zar en el espacios, /

í/jr= 1.

Al recordar que jt = Vh¡m
‘" " I

«!

}

'


1^3

que coincide con la ecuación (30). Como segundo ejemplo de la utilidad de la representación integral (61), se puede construir la Wsmaási función generadora de los polino mios de Hermite /i„Cy). I>e la ecuación (30), se tiene que, *«(>■)= 2"'^

^

y de la ecuación (61) se obtiene la representación integral, h„iy) =

1 '^ ( V2 íit)" exp [y^ - V2 oty + ai yi ] dat.

(62)

Multiplicando esta expresión por s^/n y sumando sobre n se obtiene que,

=

lt=0

'^

«=0 J -f*

-P

"'

- V I - t , + «tV2]

Intercambiando el orden de la suma y la integral, la suma puede lle varse a cabo obteniéndose y „tí

»'■

p exp [ f + V 2 a n s - y) + «t*/2] daf. iV 27rj-í»

Para calcular la integral, se sustituye a t por ia y después de com pletar el cuadrado en el exponente, se tiene que 2

„to

«1

V27T

r e x p [ - ^ [ « - / V 2 ( 5 - y ) ] * ] da J-~

y, finalmente, al calcular la integral gausiana, ¿ n -O

(63) ^

■

La cantidad a la izquierda se llama la función generadora de los poli nomios de Hermite porque estos polinomios se generan como coefi cientes en el desarrollo de la función en potencias de s, o sea,

h„{y) = Ejercicio 5. ta r a n = 0 ,1,2,3, verificar que hn(y), dada por ta ecua ción (31), se obtiene« de la ecuación (62); de la ecuación (63); de la ecuación (49).

154


6. MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTEN CIAL DEL OSCILADOR ARMONICO Ahora se va a considerar el movimiento de un paquete de ondas arbitrario moviéndose en el potencial del oscilador armónico. Para obtener la solución general es necesario calcular el propagador de la ecuación (V-61).

K (x\ jc; r - /„) = 2

.

E

en términos del cual

>¡){x\u)K(x',x\í- t^) dx'.

(64)

En particular, para el oscilador armónico es necesario encontrar,

K{x',χ■,^)^'2>P.*{x')
(65)

donde, por brevedad, se ha introducido el tiempo transcurrido finido como.

t

de ( 66 )

í - /«.

Antes de pasar adelante, es necesario recalcar una propiedad sorpren dente que, entre todos los sistemas cuánticos, solamente la posee el oscilador armónico. Debido a que los estados de energía están igual mente espaciados, el movimiento de un paquete de ondas es periódi co, Para ifr el período es el doble del período clásico y es exactamen te el período clásico para , Por esto, no importando las condi ciones iniciales, los paquetes de onda no se desparraman indefinida mente sino que aumentan y se reducen alternativamente. Este com portamiento se ilustrará más adelante. La expresión (65) para el propagador no es muy difícil de calcular en forma cerrada si se usa la representación del operador de creación. De la ecuación (61), en el espacio y, se tiene que.

K(y',y; r) =

X2nJ-idú r Ji'jf

r-'“

(qtttt')"

exp[-V2^yat - l · y' af ' ) Identificando, X

(« tot')"

+

[a t a t '

+ af'^)/2].

MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIAL DEL OSCILADOR ARMONICO

155

y sumando sobre n se tiene que,

X exp [—V2 (>’íít +

+ («t^ +

+ a ia f

. (6 7 )

Sustituyendo a t por una nueva variable ia y a t'p o r -¡/3, resulta que las integrales son del tipo gausiano. Usando los resultados del Apéndice 1 y expresando y y 'e n términos d e x y x ' , se obtiene que i-í ,

·,

^

j a '· - '— 7

Aí(jc , A·; t ) = Vmw/(7rft 2f sin

w t)

exp

f im<» (jc^ + a:'^) eos ít»T — ----’— ---------------i 2 sin üyr

(68) que es el resultado deseado,“ En esta expresión, el factor multiplicativo (2í sen wt)-*'* se inter preta como, (2/seníoT)^''" = í--'“^« (1 para que K exhiba la periodicidad mencionada. Como era obvio, de la ecuación (65) se observa que, (-l)'"/C (;r\;c;T ).

(69)

Además, de la ecuación (65) también se obtiene que, K(x',x;r+

£l>

}

=

(-,·)= "-+ · a : ( j c ' , - j r ; T ) .

(7 0 )

que este resultado también se obtiene de la ecuación (65) se puede concluir directamente. Se tiene que, K { x \ x \ T - \ - i2m + l)7r/tó)

= 2

exp [ - /( « + i)[otT-f (2m -I- 1)7t]]

= (-,·)*'"+! 2 >¡,„*ÍX’)^^{X){~Í)'> n “ El álgebra M puede verificar examinando la forma que toma el propagador para íu que en este limite el oscilador armónico se convierte en la partícula libre. Se obtiene *

de acuerdo con ia ecuación (IV-13).

O, ya

156


Recordando que â(x) es par para n par e impar para n impar, se puede escribir

K{x',x-,r+ (2m+ ])iTlm) = ( -/) " ’"+' '£ n K

íx\ - x ;t ),

de acuerdo con la ecuación (70). El significado de las ecuaciones (69) y (70) se puede entender de la siguiente forma. Usando la ecuación (64), de la ecuación (69) se ob tiene que, iít(jc,

+ 2m7T/(ü) = (— l)'"0(.ic, ío) *

(71)

mientras que de la ecuación (70) resulta que, ^ (jf,/o + ( 2 m + 1)7t/<ü) =

(72)

Ahora, supóngase que ^(x, fo) describe una partícula centrada en x« y moviéndose con momento promedio p*. Un ejemplo de tal paquete de ondas es lá expresión,

^(x,t^)=e*‘><^"^f(x~x^), donde / es real y alcanza su valor máximo cuando su argumento es cero. Después de u n intervalo de tiempo tt/ w, igual a un medio del período clásico, la ecuación (72) resolta ser i^ (jf,ío + iT /tó )= -/ e - ^ ^ ^ ^ A - x - X o ) , O sea que el paquete de ondas está centrado en j: = - jc« , no cambia su forma y se mueve con su momento promedio —p^. Después de un periodo 2 tt/úí , la ecuación (71) muestra que, ( í .( j f , /« +

Iwloi) =

A x - Xo),

de modo que el paquete de ondas ha vuelto a su posición original, sin . Enton cambiar de forma y con su mom ento promedio original ces, el movimiento continúa indefinidamente y bajo este punto de vista el paquete de ondas se mueve exactamente como !o haría una partícula clásica.*^ Como ejemplo especial se puede considerar un paquete de ondas gausiano inicialmente centrado en el origen y con un mom ento lineal promedio p#, Estas conclusiones no dependen de la forma particular escogida para un paquete de ondas aibitiaño.

f,);se aplican a

MOVIM lENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIAL DEL OSCILADOR ARMONICO exp

\ L \ / tt

+

, __ 157

ip,,xlti].

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (64) y calculando las inte grales gausianas, se encuentra que, |t|((A·. /)

~

ex p [-[.V -

{ p j m o y ) sín

],

(7 3 )

Vjr£.(T)

donde r = / — („ y eos- (jjT -I- (h(m
L = Vfi/mw entonces, de acuerdo con la ecuación (74), L {t)

= ¿ = Vft/mw

es constante. En otras palabras, la forma de este paquete de ondas es independiente del tiempo. Con esta selección de L, la forma del pa quete de ondas coincide con la autofunción del estado base. De hecho, si a una partícula en el estado base de un oscilador armónico se le puede comunicar un momento inicial p^, oscilará indefinida mente con la ampUtud y la frecuencia clásicas, y \a forma de su fun ción de estado permanecerá inalterable en el tiempo. Ejercicio 6. (a) Obtener la ecuación (68) de la ecuación (67) (b) Derivarla ecuación (73)

14i


7. ESTADOS CONTINUOS DE UN POZO DE POTENCIAL CUA* DRADO Hasta aquí sólo se han considerado estados ligados, primero en un pozo cuadrado y después en un oscilador armónico. En el oscilador armónico los estados ligados forman todo el espectro. Pero para ei pozo de potencial cuadrado también existe un conjunto continuo de estados con energía positiva que se examinará a continuación. Usando la misma notación que en la Sección 3 y con referencia a la Figura 2, se buscan soluciones de -A i ^ 2m dx^

(75)

donde.

Vix)

•-a < X < a

{ O ,

El pozo de potencial cuadrado tiene estados ligados únicamente para Fo > O {potenciales atractivos), pero existen estados continuos para Fo < O (potenciales repulsivos), y se considerarán ambos casos. No existe ninguna dificultad en construir las soluciones buscadas, pero sí existe una dificultad en interpretarlas. La naturaleza de esta dificultad es la que se explica a continuación. Para |-c| > a, en las re giones I y III de la Figura 2, la ecuación (75) tom a la forma (76) y por lo tanto las soluciones son oscilatorias. Pueden expresarse como combinaciones lineales de las ondas de de Broglie exp [±iV2mE xlñ ] . Estas soluciones se extienden hasta infinito y no son normalizables, por lo cual, los estados estacionarios no son físicamen te aceptables. Para obtener un estado físico verdadero es necesario construir un paquete de ondas como superposición de estos estados. Como ejemplo se considerará un paquete de ondas centrado en algún valor negativo de x que sea grande y viajando hacia el potencial con mom ento promedio p — V2mE. Este paquete de ondas viajará casi como el paquete de ondas de una partícula libre hasta que Úega a la región del potencial. Como resultado de la interacción con el poten cial, una fracción del paquete de ondas se transmitirá a través de las paredes del potencial y otra fracción se reflejará. En otras palabras, una partícula que incide sobre un potencial unas veces se transmite y

1 ESTADOS CONTINUOS EN UN POZO DE POTENCIAL CUADRADO

1

Otras se refleja.’’ En la región III, x < —a, aparecerá un paquete de ondas v irando hacia la izquierda además del paquete de ondas que viaja hacia la derecha. Pero, en la región I, jt > 0 , únicamente se en cuentra un paquete de ondas viajando hacia la derecha. Si se supone que la anchura del paquete de ondas inicial crece, co mo consecuencia, su anchura en el espacio de m om entos y la exten sión en energía se reducen. De hecho, si la anchura del paquete de ondas crece lo suficiente, la incertidumbre en la energía resulta infi nitesimal. Además, el tiempo requerido para que el paquete de ondas incidente complete su interacción con el potencial resulta cada vez mayor. Entonces, en el límite de un paquete de ondas m uy ancho, la descripción se reduce al de un estado estacionario, para el cual coex isten al mismo tiempo las ondas incidente, reflejada y transmitida. En el ejemplo discutido, se tiene que, Region l l l , j r < í i : Region I, A-> ü :

+ß

»írEU)=^ = c

donde A, B y C son las amphtudes de las ondas incidente, reflejada y transmitida respectivamente. Al escribir,

r = IC M I·,

el coeficiente de reflexión Ä es la probabilidad de que la partícula in cidente se refleje, y el coeficiente de transmisión T es la probabilidad de que la partícula se transm ita.” El cálculo de la función de onda del estado estacionario es un cálculo tedioso que se efectúa como sigue. En la región II, -a o c < a, que es la región en la cual el potencial es distinto de cero, la ecuación de Schrödinger (75) resulta ser,

^ + (£+!/.)♦.

= o,

y, por lo tanto, la solución general en esta región es, = í>, exp

+ K«) x/h] +

exp [—iV2m{E + ô) jr/ft], (79)

” Ver la Sección 10, en particular las Figuras 8-13, para iadescripcióti de la solución numérica del problema df un paquete de ondas incidiendo sobre un pozo de potencial cuadrado. Un con/unto de paquetes de ondas incidentes es equivalente a un haz de pMtículas inciden tes. Por esto, el siguiente lenguaje se usa para describir el estado caracterizado por la ecua ción (77); un haz de intensidad relativa o múo \A |‘ indde sobré un potencial El haz lefleja· do es de intensidad ) ß |’ = Äj^)* y el haz trarismitido es de intensidad |Ct> « TMI*.

«ümnii.

160


Como en el problema del estado ligado, y su pendiente son conti nuos e n j í = a y e n j c = - i 2 . Entonces, para x ^ ase obtiene que,

ikC e'*“= iK(b, e'^·"-

( 80)

í--'«")

y para x = -a,

A e-i''“ -I- B e·'"' = b, é'“·''" + f>2 f ik{A É--*“ - B

= iK(b, <·-'«'■ -

( 81)

,

en donde se han introducido los dos números de onda .

V 2^ (82)

VlmiE+V^).

De la ecuación (80), b, y b-¿ se pueden expresar en términos de C como,

.ííít’+Jf><7 y la ecuación (81 ) resulta ser A

-I- B

=

k(A

- B

= K

„ía+ííim c C.

Llamando r = C/<4 a la amplitud del coeficiente de transmisión, se obtiene que

eos 2A^íí

sen 2 /íí)

y finalmente, (8 3 ) eos ( i V l n H E + K )
sen ( 2 \ ^ 2 n , ( E + V J ü/fi )

.1

ESTADOS CONTINUOS EN UN POZO DE POTENCIAL CUADRADO

16l

Llamando p =B¡ A a la amplitud del coeficiente de refiexión, después de cierta álgebra se obtiene que, p= eos { 2 V 2 m { E + V^) uj h) -

s»" ( 2 V : , « ( £ + V„) al hi

(84) Considerando primero el caso de potenciales atractivos, sulta que. ^

,

' '

F« > O , re

[^-„^/4£(E+ F,)1sen^ { 2 V 2 m { E + V\ ) aj h) l + [ y ^ ^ l 4 E{ E+ Ko)]sen^ ( 2 V 2 m { E + V, ) í//ft)

'

1 + [F „V 4£(£+ f/<,)]sen^ (2V2nHE+ F«)

( 86 )

en donde se ha usado el resultado de que, {VEIiE+y„) + V { E + y J l E )

=4 +

___ E ( E + y„)

para simplificar las expresiones de los coeficientes de transmisión y reflexión. Como se puede comprobar R + T= L

(87)

de acuerdo a la interpretación dada. También, si 7" = 1 y /í = O, se obtienen resonancias cuando. 2

V 2 íh(£’ + y„) i,lh = UTT.

El momento lineal de la partícula en el interior del potencial es, p = V 2 w ( E + y„). Entonces, las resonancias tienen lugar cuando la anchura 2a del po tencial es un múltiplo semientero de la longitud de onda de de BrogUe hjp en el interior del potencial, resuhado que se estableció intui tivamente en el Capítulo I. De las ecuaciones (85) y (86) se puede concluir que cuando E es suficientemente grande comparado con V^,, el coeficiente de refle xión tiendt a cero y el de transmisión tiende a uno, resultado que se espera en el límite clásico. La aproximación a este límite es sorpren dentemente lenta. Si E es de igual magnitud que , la probabilidad de que una partícula incidente sea reflejada puede sobrepasar 10 por

162


ciento. Sin embargo, tiay que mencionar que para potenciales más realistas que el pozo cuadrado con sus discontinuidades poco físicas, la tendencia al resultado clásico es mucho más rápida.

Fjguia 7. Efecto túnel o penetración de una barrera. Ahora se puede considerar el caso más interesante de potenciales repulsivos < O . Si £ + l·'« > O, los resultados anteriores dados por las ecuaciones (85)_y (86) siguen siendo válidos. Pero si í + Vo<0, escribiendo V'o = —V, donde V representa la altura de la barrera de po* tendal, el caso bajo consideración es para E < l^como se ilustra en la Figura 7. De las ecuaciones (83) y (84) se encuentra que,

^ _ i Ii _

r^V4E(l·^-£)1senh" ( i V l m j V 1+

~ É) aih) E)]senh^ ( 2 V 2 m ( P ~ E) a¡h)

l + [K^/4£(F~ E)]senh* ( 2 V 2 m ( P - £) ath)'

(88)

(89)

y, naturalmente, la ecuación (87) sigue cumpliéndose. A quí se tiene un ejemplo del efecto túnel discutido en el Capítulo I. Existe una probabihdad finita de que la partícula se transmita a través de la re gión prohibida clásicamente, es decir, donde la energía cinética es ne gativa. Hay que hacer notar que si la barrera es lo suficientemente ancha o la energía cinética muy negativa, se tiene 2V2m( P - É) a l k > i. Entonces, como buena aproximación senh ( 2 V 2 m ( P - £ ) a/fi) - | exp [ 2 V 2 m ( F - £ ) aifi ] . En este caso el coeficiente de transmisión es la cantidad pequeña

ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD

T=

exp [ - 4 V 2 / « ( F —£ ) ¿¡¡ñ],

! 63

(90)

de inodo que la desviación del resultado clásico resulta despreciable. Dicho de otra manera, solamente si la barrera de potencial es muy es trecha y la energía potencial apenas negativa, el efecto túnel a través de la barrera resultará significativo. Hay que añadir una observación final. Se ha obtenido una solu ción de la ecuación de Schródinger que corresponde una partícula que incide sobre el potencial desde la izquierda. Se podría haber he cho exactamente lo mismo si la partícula hubiera incidido por la de recha. Esta libertad es el resultado de que existen dos soluciones hnealmente independientes para la ecuación de Schrödinger de segun do orden de acuerdo con la predicción anterior de que existe una de generación doble para los estados del continuo que se acaban de dis cutir. 8. ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD Los potenciales más importantes a nivel microscópico describen la interacción entre partículas y tienen la propiedad de

Es de interés discutir los estados en el continuo para tales potencia les. Por simplicidad, la discusión se restringirá al caso en que V(x) tiende a cero más rápidamente que jc“' cuando kl tiende a infinito.“ Bajo estas circunstancias no es difícil darse cuenta de que, para |jc1 suficientemente grande, la función de estado se puede expresar como combinación lineal de las ondas de de Broglie exp [± íV 2m £ xlh], co mo en el caso del pozo cuadrado. Además, se puede tom ar sin altera ciones la interpretación que se ha dado de las soluciones y se puede escribir JC-»· - 0 0 ,

^ -> +«., ^^(;c)

,

(91)

(92)

donde se han introducido explícitamente los coeficientes p y t . El conocüniento exacto de la forma de p y de t depende de las caracteis El caso en que V(x) decae exactamente como l / x es de mucha importancia, pero requiere un tratam iento espedal que por ahora está fuera del presente objetivo.

VKA PARTICULA KN UNA DIMENSION

f m u é 9 \ pOtinotllt p « o R ” lA>l*representa la probabilidad de que Ultl p tftíc u tt se refleje cuando llega al potencial desde infinito y T “ Irt“* representa la probabilidad de que se transmita. Si esta in terpretación es correcta también se exige que se cumpla la ecuación (87), R + T = 1, sin tener en cuenta la forma del potencial, A conti nuación se comprobará que éste es el caso. Para hacerlo, es necesario volver a la descripción de paquetes de onda, de la cual las soluciones estacionarias son el caso límite. Se designa (x, f) a la función de estado y se considera la probabilidad de encontrar a la partícula en una región fija del espacio pero arbitraria entre >> r = , ^ 2 8 un tiempo f , escogiendo x, < . Esta probabiUdad es. Pix,,

/) dx

/) =

(93)

y, como se indica, es una función del tiempo. Específicamente, a medida que el paquete de ondas recorre la región del espacio bajo consideración, se espera quePÍJv,, r)crezca desde un valor inicial despreciable hasta un valor cercano a la unidad y posteriormente de crecer prácticamente hasta cero. Se tiene

o bien, ya que tjt es una solución de la ecuación de Schrödinger 2 / h c».v-

i

di

se obtiene que, aP(-V|.-v.¿: f) di

-u:(

ñ- d-^ 2m dx^

2/ t l d x ’

ift

2m

dx

dx

dx

dx

dx.

Siendo el miembro derecho una diferencial exacta se obtiene. ---- - ‘ O Í

donde

--

=j{Xy, O

f),

(94)

ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD

165

La interpretación de este resultado es la siguiente. El cambio por unidad de tiempo de la probabilidad de encontrar a la partícula en el intervalo entren:, y x 2 , BPIdt, es la diferencia entre la probabilidad por unidad de tiempo de que la partícula entre en X i, j'ixtJ), y emerja en Xí, }
y, por lo tanto, se concluye de la definición (93) que P(.v,.a-2 ; f) es independiente del tiempo. Entonces, el miembro izquierdo de la ecuación (94) se anula y se concluye que, para jfi y arbitrarias, i(x¡) = /(xj) por lo cual j(x) es una constante, U· Para Ul -»■ i/ti (x) viene dada por (91) o (92) y se verifica fácilmente que, Mpvd-tpl^) = \A\h'{l-R) donde = V lm E jh es la velocidad clásica de la partícula. Ya que és tas tienen que ser iguales se concluye q\xtR + T=\ . La forma de io en cada región es la esperada, como lo demuestra el siguiente argumento. Para la región donde jt está dada por (92) y P(jf) = ífr¿-"'Í'E=MP|TP=MI'7', donde p(x) es la densidad de probabilidad. Entonces, el flujo de pro babilidad / es pv, como en hidrodinámica. Análogamente, para X ->· - 0 0 , El flujo de probabilidad resultante es la diferencia entre el flujo hacia la derecha \A\^v y el flujo independiente hacia la izquierda \A\^vR. '*Es útil com pam este resultado y su interpretación con el de la conservación de la carga. Sea Q (xi. atj; / ) la caiga neta entre los puntos x, y x.,de un alambre muy largo y sea I(x, t) la com ente eléctrica que fluye por el alambre calculóla en tomando la dircoción del flujo hacia las JCpositivas. Entonces, en un intervalo de tiempo S r, la caiga neta queentiaalalani' bre en X, e s/(x ,, 0 S/, y elq u e sale por Jfjes/(Xi, í) S í, Por lo tanto, el incremento neto en la caiga, 8Q , is , í) — / (Jt;. 0 ] 6 í, o sea

at que tiene la misma forma que la ecuación (94) y afirma la interpietación de / como una co rriente Qtrobabilidad).

166


Se observa que los términos de interferencia entre las ondas inciden tes y reflejadas se han cancelado completamente ( ¿por qué?).

9. PASO DE UN PAQUETE DE ONDAS A TRAVES DE UN POTEN Q A L Hasta aquí se han considerado las soluciones estacionarias no físi cas como el límite de paquetes de ondas muy anchos. Los argumen tos de este proceso límite fueron caruciales en la interpretación de las soluciones, pero son irrelevantes respecto a las propiedades matemáti cas de las soluciones. Independientemente de esta interpretación se tiene la libertad de considerar los estados estacionarios como estados idealizados a partir de los cuales se pueden construir, por superposi ción, estados físicos. La forma de hacerlo se exhibe a continuación. Ya que forma un conjunto completo, una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se puede escribir como, = S >l>EÍx)

dE,

(96)

donde ta integral se extiende a los estados del continuo y también de be de incluir a los estados discretos, si es que existen. El paquete de ondas que se quiere construir está centrado en x grande y negativa a t =0, por ejemplo en x= -jt„,y se mueve hacia la derecha con momen to promedio — V2mE ^. Para x grande y negativa, ^¡¡ está dado por la ecuación (91), Absorbiendo la amplitud arbitraria A e n /( £ ) , cuando jc —* - qo se tiene que. = S

+ PÍE)

f-**'"' dE.

(97)

Si se escoge/( £ ) como, /( £ ) = g { £ - £o)

(98)

donde g es máximo en £ = £o, se habrá construido el paquete de on das deseado ya que estas expresiones se reconocen como equivalen tes a las representaciones en el espacio de momentos de un paquete de ondas. El primer térm ino en la ecuación (97) representa el paque te de ondas inicial, partiendo de x = —a:« y moviéndose hacia ia dere cha. El segundo término inicialmente es despreciable, pero después de transcurrir el tiempo necesario para que el paquete se refleje, o sea, después de un tiempo del orden de (;>:o -i- jt, ) m/po , se obtiene un paquete de ondas reflejado en jr = j:, . Esto se puede verificar di rectamente, pero está garantizado por el principio de corresponden cia y se demostrará cómo usarlo para el paquete de ondas transmití-

PASO DE UN PAQUETE DE ONDAS A TRAVES DE UN POTENCIAL

167

do. En primer lugar se observa que al despreciar el segundo término de la ecuación (97), se tiene que, - //{ £ ) o bien que, 0) = ; g ( E ~ £(,)

dE

= h(x + Xo) donde h{x + to) es la envolvente del paquete inicia!, centrado en X = -Xq. Puede simplificarse de la forma siguiente. Ya q u e g (£ — £o) tiene su ináximo principal E - E o , sq introduce una variable nueva rj , escribiendo £ = £« + T). y al desarrollar en serie de Taylor se obtiene que,

VlmE = V 2 m (E o + 7)) = VlmEo + i V (2 m /^ ) rj + · · · = Po + — >)+■· · Po

.

Entonces, al despreciar el término de orden superior se obtiene que, /i(,v + jro) = S g(v) exp [)(/7í/p<,)i9 (x + Xo)/h] di}.

(99)

Para obtener el paquete de ondas transmitido cuando jc - » + 0 0 , se usa la ecuación (92), obteniendo que, <í»(x,/) = / / ( £ ) t ( £ ) e \ p [ i V 2 Í í ^ x l h - iEtlh] d E = e x p [/[p «(jr + jfo)

Eot]¡h] f g(r))T(E« + rj)

X exp [i[mlpQ (jt + jr«) - í] 17/ft] dj).

Recordando que |t|* =T, se escribe que. t( £ o+

>j) = V r ( £ o + >,)

y se supone que T(£) es una función de£· que varía lentamente, pero que S(£) no varía necesariamente de esta manera. En otras palabras, se hace la suposición de que la magnitud del coeficiente de transmi sión no cambia mucho cuando E varía poco, pero su fase cambia sig nifica tivaiiien te. Con esta superposición. TÍEo + 'n) ^ V7'(£o) exp [/5(£«> -I- ít, dÓldE^] = t{£o) ♦

y I ¡ f ( x, í ) =- t { £ o )

exp

[ í [ p o { j · + Xo) X

-

£ o í]/A ]/ g (rt)

ex p [ i[m ¡ p o {x -I- JCo) “ ^ + hdÓldEi,]'nl^] d i}.

■ rm

168

BITADOa DE UNA PARTICULA GM UNA DIMENSION

Al comparar con la ecuación (99) se encuentra que, para x H x , t ) * t{ £ o ) h

+,

x + x,-^(i-hdíiÍdE ^) X exp [í[po(Jí + ô) -

·

(100)

Con esta aproximación, el paquete transmitido no se distorsiona pero su amplitud se reduce en r(£ o ), el coeficiente de transmisión. El paquete aparece en la posición x al tiempo t dado por, r = — (a- -f jTo) + Po

dE^'

El primer término se reconoce como el tiempo empleado por una partícula libre de mom ento para viajar de —j:« a λ:. El segundo tér mino es el incremento en el tiempo introducido por las fuerzas que actúan sobre la partícula durante su paso a través del potencial Liamando a este incremento At se tiene que, ( 101)

Convendría recalcar que estos últimos resultados únicamente son aproximados en la naturaleza. Para obtener las ecuaciones (100) y (101) se han hécho dos suposiciones muy diferentes. La primera se refiere a que en los desarrollos de Taylor en to m o a £» los términos cuadráticos en η y de origen superior se han despreciado. Estos tér minos provocan que el paquete de ondas se desparrame análogamente al paquete de ondas de una partícula libre. La discusión del Capítulo rv muestra que el aumento en la anchura es despreciable si el paque te de ondas es suficientemente ancho. La segunda suposición se re fiere a que la mc^nitud del coeficiente de transmisión τ no cambia significativamente sobre la anchura en energía del paquete de ondas. Los términos que se desprecian en este caso, conducen a una distor sión del paquete de ondas, pero es despreciable si los paquetes de on das son suficientemente anchos. Aunque los paquetes de onda se desparramen a ^ o y sufran alguna distorsión, las características cuali tativas de los resultados no resultan m uy afectadas. Un paquete de ondas transmitido s i aparecerá y su retraso en el tiempo estará expre sado por la dependencia de b de la energía. Estas características for man el contenido esencial de las ecuaciones (100) y (101).

',ιΙΙΙΙΙϋίϋ·'

SOLUCION NtIMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER

169

10. S O L U aO N NUMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER Hasta aquí, todo el esfuerzo ha estado dirigido a encontrar solucio nes de la ecuación de Schrödinger por métodos analíticos. Pero, oo mo actuahnente se dispone de computadoras moderiias y rápidas, se ha vuelto relativamente fácil y rutinario obtener estas soluciones nu méricamente. Las ecuaciones diferenciales ordinarias que definen los estados estacionarios, pueden integrarse numéricamente en cuestión de segundos o fracciones de segundos, para los estados ligados y los estados continuc«, y también para funciones potenciales complica das. Sin embargo, ¡a ecuación diferencial parcial de Schrödinger de pendiente del tiempo^ es bastante más complicada y su solución, aun que posible, resulta ser un esfuerzo significativo aún para las compu tadoras más rápidad y mayores. Como resultado, la dependencia en el tiempo del movimiento de paquetes de onda todavía no se ha estu diado extensamente por m étodos numéricos y el conocimiento de los detalles de su com portamiento es semicuantitativo. La discu^ón de la última sección es tipica a este respecto. Esta situación ha mejorado mucho últimamente debido a la cons trucción de soluciones numéricas exactas para un paquete de ondas gausiano que incide sobre un pozo de potencial cuadrado ,*^ Los re sultados se muestran para diferentes circunstancias de la Figura 8 a la 13 .'® En las figuras 8, 9 y 10, un paquete de ondas incide sobre un potencial atractivo con profundidad y anchura fijas, cuyo com portam iento se estudia variando la eneigía promedio del paquete de ondas. Las figuras se explican por sí solas, consistiendo de una se cuencia de instantáneas que muestran el paquete aproximándose al pozo, interaccionando con él y generando paquetes reflejados y transmitidos. En la Figura 8 la energía promedio del paquete es la mitad de la profundidad del potencial atractivo; en la Figura 9 ésta energía es igual a la profundidad del pozo y en la F ^ u ra 10 es el do ble de la profundidad del pozo. De acuerdo con lo esperado, el pa quete reflejado decrece rápidamente en magnitud al crecer la eneigía ” A. Goldberg, H.M. Schey y J, L. Schwartz, “Computei'Gener&ted Motion F ic tu n i o f On«· Dimensional. Quantum Mechanical Transmission and Reflection Phenomena", Ametican Journal o f Physics, JJ, 177 (1967). “ En estas figuras, la envolvente de los p ^ u e te s de ondas está 4 i b i y ^ e n una escala u b ittar lia pata la denddad de probabilidad, mientras que el potend al está dibujado ml una « tc tlt independiente de la eneigía. La altura del paquete req>«cto a la magnitud del potencial no tiene ningún sígnlTicado. El pozo podría dibujaise un décimo más corto o diez vecei tnia l a r ^ , sin afectar el comportamiento exhibido del paquete de ondas.

170


y para la energía más alta se alcanza el límite clásico de reflexión. Las Figuras 11, 12 y 13 muestran el com portam iento de los pa quetes para el mismo conjunto de energías, pero incidiendo sobre un

Figura S. Paquete de ondas gausiano dispersado poi un pozo cuadrado. La ener gía promedio es la mitad de la profundidad del pozo. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER

171

potencial repulsivo o barrera. En estos casos, se pasa de una refle xión casi total para energías bajas a una transmisión casi total a ener gías altas, de acuerdo con el com portamiento clásico. El caso de energías intermedias, en et cual se forman paquetes transmitidos y re flejados, es interesante porque inesperadamente queda atrapado den-

Figura 9 . Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. La ener gía promedio es igual a la profundidad del pozo. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

i

172


tro del potencial una parte de los paquetes de ondas, como lo mues tra la Figura 12(b). Estos resultados exactos demuestran clara y explícitamente las afirmaciones anteriores respecto al com portamiento cualitativo de paquetes de ondas. Claramente es visible la formación de los paque tes reflejados y transmitidos, y que el paquete de ondas se desparra-

0

560

480

í

1 .

720

880

960

1040

1200

1520

A Figura 10. Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. La eneigm promedio es dos veces la profundidad del pozo. Los números represen tan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

SOLUCION NUMERKA DE LA ECUACION DE SCHRoDINGER

173

ma gradualmente al transcurrir el tiempo. Como se esperaba, este úl timo hecho es menos notorio para paquetes con energía alta que para paquetes con energía baja (¿por qué?). Sin embargo, los paquetes su fren un distorsión despreciable, por lo menos visualmente. Esto es bastante sorprendente al considerar la estructura fácilmente visible y muy complicada que se genera durante el período de interacción

kIN UNADIMENSION

e n ttt «t y ^ lte tm e U l. El incremento en tíempo asociado con. el ptM ÍW p kfU tt· t trivi» del potencial, aunque está presenteres d em itü d o piqutfio para que aparezca en la escala de tiempo de las fígurai. Este capítulo se puede concluir con algunas observaciones sobre loa m étodos más usados para integrar numéricamente ecuaciones di ferenciales, tales como la de Schrödinger.*® En primer lugar se con siderarán estados estacionarios, para los cuales se quiere resohfer la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que se escribe en la forma

*Í>+fix)^ = 0

( 102)

donde el punto sobre un símbolo significa diferenciación respecto a X y donde, (103) Se supone que f( x ) es una función conodda. Una solución numérica de la ecuación (102) Bonifica el conjunto de valores de ^ y ^ con exactitud prevista y dados en un conjunto discreto de puntos llamados puntos reticulares o puntos de la ma lla.^'' Estos puntos se toman equidistantes entre ellos, con espaciado e, escribiendo rt = O, ±1, ± 2 ,. . ..

(104)

Como se busca la solución de una ecuación diferencial de segundo or den, es necesario fyar dos constantes de integración para especificar la solución, tomándolas como los valores de ^ y en algún punto fijo que se escogerá por conveniencia el origen. El problema puede esta blecerse en la forma siguiente: dadas »í» (0) y 4 »(0), construir iíf(jit«) y »í» (;r„) en los puntos reticulares que sean de interés.^' Este proble'* P m una discusión geneial, ver la referenda [7] Capítulo 13 y la referenda [9], Capítulo 10. Paia la aplicación a la ecuación de Schiodiagei en el caso de estados ligados, ver R , S. Casvell. “ Improved Fortran Program for Single Particle Energy Levels and Wavefunctions in Nuclear Structure Calculations” , National Bureau o f Standards Technical Note 410, Superintenden o f Documents, U. S. Coverment Printing Office (1966). Para estados continuos ver M. A. McBcanoff, J. S. Nodvik, D. Cantor and D. S. Saxon, A Fortran Program fo r Elastic Scattering Analyses with the Nuclear Optical M odel University o f California Press (1961), especialmente ver pp. 24*29, y M. A. MeUcanoff, T, Sawada y J. Raynal, “Nucteai Optical Model Calculations”, en Methods o f Computational Physics, VoL 6, Academic Press (1966). Este ultimo hace una relación bastante completa y al día. Solamente if> y tp necesitan conádetarse porque todas las demás derivadas superiores se ex presan en términos de estas dos usando la ecuactón (102). *' Sl la normalización de la ñ in dó n de estado es arbitraria, solamente la n7ZÓn de iff(0) a i¿i(0) necesita espedflcarse.

" * 1 SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER

175

ma se puede resolver construyendo un par de ecuaciones de diferen cias para estas cantidades. Se considera la expresión

Figuia 12(a) · Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada. La energía promedio es igual a la altura de la barrera. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias. Notar el efecto de reso nancia, para el cual una parte de la distribudón de probabilidad permanece du· lante un tiempo largo en la región del potencial.

176


y se desarrolla en serie de Taylor el miembro derecho, obteniéndose = «/»(jt«) + ííP'Un) + Y ÍÍ>(Xn) + O(é^) ,

Figura 12(b) Detalles del decaimiento del estado resonante que se ve en la Figu ra 12(a). y usando la ecuación (102) se tiene que, + €\íí(jt„) - y fix„)>l>(xn) + 0(e » ).

(105)

Esta ecuación permite calcular »Íí(x „+i ) si son conocidas »/í(;fH)y «fí(Jí„). Se necesita una ecuación análoga para Se obtiene fácíhnente de la identidad, (i»(;c„+,) = *^(at„) + í " = Mx«) -

í"

J x„

^{x) dx f i x H ( x ) dx,

de donde ( 106)

Esto completa el formalismo, porque al dar ^ (0) y ^ (0), se usan (105) y (106) para calcular ^ ( e ) y i ^ ( e ) . El resultado permite calcu lar ^ ( 2« ) y tí» ( 2c ), recorriendo de esta manera el conjunto de pun-

SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER

1^ 7

tos reticulares. Evidentemente el error mínimo en t|
Figufa 13. Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada. La energía promedio es dos veces la altura de la barrera. Los números representan el tiempo de cada con ju ración en unidades arbitrarias.

..Élár

178


tegradón numérica que lleve a las ecuaciones (105) y (106).*“ Las expresiones que resultan son demadiado complicadas como para es cribirlas, pero son apropiadas para el cálculo de máquina y permiten el uso de valores mucho mayores que las expresiones dadas anterior mente para €. La construcción de soluciones numéricas para estados ligados y es tados continuos, siguen procedimientos diferentes y se tratan a con tinuación. Estados Ligados.^ En este caso, los autovalores desconocidos que se tienen que determinar son los valores discretos de la energía. Se procede en la siguiente forma. Se suponen autovalores de la energía en orden creciente £ „ , para « = 0, 1 ,2 , 3,... La solución maíemaíica de la ecuación de Schrödinger tiene la propiedad de que si £ < tí» no tiene nodos; si Et, < E < tiene un nodo, y así sucesiva mente. Entonces, los autovalores surgen por la aparición (desapari ción) de un nodo para valores infinitos de x, que a su vez están seña lados por el cambio de signo de la forma en que «í»diverge cuando E pasa por un autovalor. Por lo tanto, sencillamente se supone un valor de £ y se integra numéricamente desde el origen hasta que la solución empieza a diverger. Un incremento en £ incrementa la curvatura de y tiende a aum entar el número de nodos, e inversamente para un de cremento en £. Por íyustes apropiados en los valores que se han su puesto para la energía se pueden determinar los autovalores. Este comportamiento se ihistra en la Figura 14 para el estado base de un potencial simétrico. En la figura, las soluciones numéricas se mues tran esquemáticamente para varios valores de E. De la figura está d a rò que la verdadera energía del estado base se encuentra entre E,, y Ec, y está limitada p o r estos dos valores. Estados Continuos.^'' En este caso se buscan soluciones para algún valor dado de £ en el continuo. Estas soluciones se obtienen por in tegración a partir del o rên y uniendo suavemente la solución numé rica al comportamiento asintótico hacia una onda pura de de Broglie de las funciones de estado definidas por las ecuadones (91) y (92). El análisis se complica considerablemente por el hecho de que la fundón de estado es compleja y no real. Finalmente, se pueden hacer algunas observaciones sobre la solu ción de la ecuación dependiente del tiempo.*®^ Es necesario introdu” L aecu ad ó n (1 0 5 )e seq u iv alen t« au n ar« £ b tiap e2 o id aId e integiadón. 13 Casweil, op. cít. ” MeOunoff, et al, op. cit. “ C oldbe% Schey y Schwartz, op. d t.

1T9

Figura 14, Comportamiento esquemático de la solución de Schrödinger para W' rios valores de prueba de í en la vecindad de la energía d«l estado base El comportamiento de estas soluciones muestran que E» < f# < cir una malla o retícula en ia coordenada temporal tanto como en coordenada espacial. Entonces, el problema numérico es el siguienteDada 0 en cada punto reticular espacial para el tiempo t„, calcailaf 0 en cada punto reticular espacial / „+1 , partiendo del valor inicial de (Íí en / = 0. Hay que notar que en este caso se tiene que eg)eciff car una fiinción completa para defmir una solución, en contraste coi* el caso independiente del tiempo donde sólo se necesitan dos núme· ros tff (0) y ifr (0), El problema todavía se complica porque es nece· sario evitar inestabilidades*® numéricas y asegurar la conservación d® la probabilidad. Las ecuaciones que resultan, son ecuaciones en dif®· rencias de segundo orden en la coordenada espacial y de primeé orden en el tiempo, pero son largas y complejas, por lo cual no se eí* cribirán explícitamente. Problema 1. Obtener el espectro de energías y los autoestado» de una partícula en una caja, partiendo de los resultados para una p a f tícula en un pozo de potencial cuadrado de profundidad Vi, al paiaf al lím ite Ko «o. Verificar que los resultados son los mísmo» qu· los obtenidos directamente en el Capítulo IV, S u fren d a: MefUf todas las energías desde fondo del pozo antes de pioceder al límite. Problema 2. Si calcular: (a)

es el autoestado n-ésimo del oscilador armónico,

(C) («í'nlí'l'í'».). (»Í'JpN'Í'·.) ” Un esquema numérico se dice que es dtestable ú al tnincar y redonde« los erro»», éfto» ··

acumulaó de ta] manera que la solución numérica diverge de la satuclin v e td a ^ ta en feon* incontrolable.

180

ESTADOS DE UN A PARTICULA EN UN A DIMEN SION

(d) (e) Mx ^\^n> (0 (^ J p l'Ì'n ), Sugerencias; (1) Proceder en la representadón del espado de crea ción y usar la ortonormalidad de Ics estados del o s d l a d o r armònico. (2) Expresar x en términos de a y de a t , y análogamente para p. Observación: este problema no es d ifid l si se entiende lo que se hace. Problema 3. Un oscilador armònico simple de frecuencia ì·*, se en cuentra en su estado base. A ( = 0 la fuerza constante disminuye re pentinamente hasta un valor tal que la frecuencia resulta, 0, cal cular la probabilidad de que se encuentre entre p y p + dp. (d) Si se mide la energia de la partícula, calcularla probabilidad de que tenga el valor £„ = (n + 1/2)ft w . (Usar la representación inte grai de la ecuación (61) para resolverlo). Calcular el valor d e n para el cual esta probabilidad sea máxima. Discutir los resultados breve mente. Problema 4. Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadra do de anchura 2a y profundidad . Considerar el límite en el cual 2a tiende a cero y a infinito, en tal forma que su producto se aproxime al valor finito g. Considerando las soludones del pozo cua drado discutidas en el texto, demostrar que este potendal tiene exac tamente un estado ligado y que, (a) su eneigía de ligadura es e = g^m¡2h'^. (b) su autoestado normalizado es A continuación considerar los estados continuos. De las soluciones dadas en el texto, (c) encontrar la amplitud de los coeficientes de reflexión y transmisión y comprobar que la probabilidad se conserva. (d) Finabnente, ya que este potencial puede expresarse como una función delta, V(pc) = ^ g é ( x ) (¿porqué?), intentar deducir que la pendiente de tiene que ser discontinua al cruzar este potencial. En particular, demostrar que ^ es tal que. dlji _^ dx u+ dx __ Usar este resultado para obtener directamente las respuestas a las par tes (a), (b) y (c).

181

PROBLEMAS

Problema 5. Considerando los botes de una pelota de masa m, supo· ner, (1) que el movimiento es exactamente vertical, (2) que las coli siones con el piso son perfectamente elásticas y (3) que la fuerza de gravedad es uniforme. (a) Esbozar el potencial en el cual se mueve la pelota. Estable cer la ecuación de Schrödinger y dar las condiciones a la frontera sa tisfechas por ifi. (b) Demostrar que los estados estacionarios del sistema pueden expresarse como funciones Bessel de orden un tercio. (c) Encontrar la ecuación trascendente que determina las ener gías permitidas. Problema 6. Una partícula de masa m se mueve en un potencial atrac tivo = - Vo (a) Haciendo la substitución z = dem ostrar que los estados estacionarios pueden expresarse en términos de funciones Bessel. (b) Como los estados estacionarios pueden clasificarse de acuer do a sus paridades, encontrar la ecuación trascendente que detennina la energía de los estados ligados del sistema. (c) Conáderar los estados continuos E > O, Encontrar expre siones para las amplitudes de los coeficientes de reflexión y de trans misión. Verificar que la probabilidad se conserva. (d) Encontrar una expresión para el incremento en el tiempo Ai asociado con el paso d e,u n paquete de ondas a través del potencial,. Comparar los resultados con el que se esperaría clásicamente. Problema 7. Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadra do de profundidad K y anchura 2a. Considerar únicamente estado» continuos en el lím ite E > y^, y usar las soluciones obtenidas en el texto: (a) Demostrar que la amplitud del coeficiente de transmisión está dado por. t { £ )

-

e x p [ ir< ,

2a!h]

y calcular el incremento en el tiempo al pasar un paquete de ondas a través del potencial. ExpUcar los resultados. (b) Demostrar que para las ondas reflejadas.

p(E)

[exp t2í( V 2m £ + 2

VmjlEVaJK]- exp[2i VlmEalh]].

(c) Usando el mismo m étodo que el usado para obtener las ecua ciones (100) y (101), dem ostrar que existen dos contribuciones at pa

182


quete de ondas reflejado y calcular el tiempo de llegada a x = —Xt. Explicar los resultados. ProUema 8. Una partícula se mueve en un campo de fuerzas unifor me F. (a) Escribir la ecuación de Schrödinger en el espacio de momen tos. (b) Encontrar los estados estacionarios (c) Dado un paquete de ondas inicial 4>(p,t=Qi), encontrar Hacerlo, construyendo primero el propagador en el espacio de mo mentos p;í). (d) Usar los resultados para obtener una representación integral para si se da <(»0c,0). Determ inarsi el paquete de ondas se ace lera en la forma esperada. Problema 9. Un oscilador armónico se encuentra en el estado O =

[00 (-f, t) + 'Ptix* f ) ] ,

donde y son estados normalizados del oscilador armónico co rrespondiente al estado base y al primer estado excitado. Calcular (E), (x) y ( p ) y discutir la dependencia en el tiempo para cada uno. Problema 10. Calcular el flujo de probabilidad / (;c,í) para cada esta do del problema 9. Problema 11. (a) Demostrar que las funciones de onda de los estados estacio narios ligados siempre se pueden escoger como funciones re a l^ sin perder generalidad. (b) Demostrar que la corriente de probabilidad / ix,t) es cero para cualquier estado estacionario ligado. Problema 12. Una partícula de 10 gm. realiza un movimiento armó nico simple con frecuencia de 2 ciclos por segundo. Si se encuentra en el estado más bajo, calcular la incertidumbre en su posición y en su momento. Si la partícula efectúa el movimiento con una ampli tud de 10 cm., calcular su energía y el orden de magnitud de los nú meros cuánticos correspondientes a los estados de esta energía. Problema 13. Demostrar que una función de estado con paridad de finida en el espacio de configuración, tiene la misma paridad en el es*

183

PROBLEMAS

pació de momentos. ¿Cuáles son las propiedades explícitas del ope rador de paridad en el espacio de momentos? Problema 14. Un oscilador armónico de masa m, carga e y frecuen cia clásica se encuentra en su estado base en un campo eléctrico uniforme. Al tiempo í = O, el campo eléctrico repentinamente desa parece. (a) Usando las propiedades conocidas del propagador, encontrar una expresión cerrada y exacta para el estado del sistema a cualquier tiempo / > 0. Comparar los resultados con los del oscilador clásico. (b) Si las mediciones se hacen al tiempo / > O, calcular la proba bilidad de que el oscilador se encuentre en su n-ésimo estado. Sugerencia: Introducir un desplazamiento del origen para encontrar el estado inicial exacto. Problema 15. (a) Una partícula se mueve en un potencial V(x). Los estados es tacionarios (í»«· del sistema tienen las propiedades siguientes: ( i) El espectro es discreto para j? < O, y continuo para ^ 0. ( ii) Existe un número infinito numerable de estados ligados. Óü) Para cada estado ligado y para cada entero q.

Esbozar un potencial V (x) simple y suave que sea consistente con estas propiedades. Explicar brevemente los razonamientos. (b) Hacer lo mismo, pero en lugar de (ii) tom ar un número (pe queño) finito de estados ligados. (c) Lo mismo que en (c), pero cambiando la propiedad (üi) por; (iiia) el valor de expectación de x es cero para el estado base, pero crece m onotónicam ente con la energía de excitación (solamente esta dos ligados). (d) Supóngase que en el caso (b) la energía del estado base del sistema es £ o = - 2 eV y que = 4 X 10'*« cm*. Si la masa de la partícula es de 10 =^ gm, estimar la intensidad de K(x) en electrón voltios y su extensión en angstroms, o sea, dar una escala numérica aproximada para dibujar la parte (b). Sugerencia: usar el principio de incertidumbre para hacer las estimaciones. Problema 16. El hamiltoniano de una partícula puede expresarse en la forma j W = €, a*a + €í(a + d +) ,

(o, a+) = 1,

184


donde e, y cj son constantes. (a) Encontrar las energías de los estados estacionarios. (No se necesitan encontrar las funciones de estado correspondientes), (b) Lo mismo, excepto que el conm utador de a y a + es,

(a,a*) = g*, donde q es un número. Sugerencia; Teniendo en cuenta el oscilador armónico, introducir nuevos operadores de aniquilación y creación b y b ^ mediante,

b = aa + 13, y escoger las constantes « y

6+ = aa* + j8

acertadamente.

Problema 17. Tomar tír(jc,0 como una función de estado arbitraria correspondiente al oscilador armónico dependiente del tiempo. De mostrar que, (jf ), = (a:)o COS(i>t +

{p)t= {p)o costo/ —

mcú

sitito/

sintü/,

en correspondencia completa con las ecuaciones clásicas. Hacerlo en las dos formas siguientes: (a) Encontrando expresiones para d(p}¡dt y d{x)¡d t e integran do las ecuaciones acopladas que resultan. (b) Por cálculo directo de (x)t y (p)t, usando el propagador oscilador armónico para expresar 0(x, t) en términos de ^(x,í). Problema 18. (a) Sea tí»(jc,í) una función de estado arbitraria correspondiente a un oscilador armónico dependiente del tiempo. Demostrar que.

( a ) t= {a )o e -^ ‘,

, = (íít)«f*"'.

Hacerlo en las tres formas siguientes; i) Encontrando expresiones para dia}jdt y d{ai)/dt e inte grando las ecuaciones que resulten. ii) Calculando directamente , y ,, usando el p ro p ^ a dor dado en la ecuación (68) para expresar en térmi nos de »(»(x,0). üi) Por cálculo directo usando la ecuación (65) para el propaga dor.

PROBLEMAS

(b) Resolver el problema del oscilador clásico usando como varia bles dinámicas clásicas a y u t en lugar de x y p. Problema 19. Usando la r ^ l a dada por ías ecuaciones ( 105 ) y ( 106) para ia integración numérica, integrar la ecuación diferencial,

desdejf = cero hasta uno para los siguientes dos casos; (a) *|»<0)=0, ^ (0 ) = l (b) ^ ( 0 ) = 1 , »^(0)=0. En ambos casos usar un tam año reticular e = 0.2, Comparar los re sultados con las soluciones exactas.

VII Métodos aproximados

1. LA APROXIMACION WKB En el capítulo anterior se estudiaron las soluciones de la ecuación de Schródiíiger para el oscilador armónico y para el pozo de poten cial cuadrado. Son dos ejemplos de potenciales muy im portantes pa ra los cuales se pueden obtener soluciones exactas de las ecuaciones cuánticas. Aunque existen muchos potenciales de este tipo en una dimensión, en general se tratará con potenciales para los cuales no se pueden encontrar soluciones exactas’ Para poder tratar este tipo de problemas se estudiarán diferentes métodos de aproximación, cada uno con su dominio de validez. Para empezar se discutirá un m étodo para tratar potenciales que cambien muy lentamente en una longitud de onda de de Broglie. Para sistemas clásicos la longitud de onda se aproxima a cero, restric ción que siempre se satisface para potenciales que se pueden realizar físicamente. Principalmente, este m étodo lleva al límite clásico y, por ello, frecuentemente se llama la aproximación semiclásica. Sin embargo, más a m enudo se llama la aproximación WKB, debido a Wentzel, Kramers y Brillouin, que fueron los primeros que aplicaron el método a problemas cuánticos. Este tema es muy viejo para los matemáticos que lo estudiaron como soluciones asintóticas de las ecuaciones diferenciales y se origina en Stokes que inició estas técniI Se presenta más comunmente en tres dimensiones y en el estudio de sistemas de partículas en interacción. Como se verá más adelante, en ambos casos, el número de problemas que se pueden resohfer en forma exacta es muy limitado.

LA APROXIMACION WKB

137

cas en la mitad del siglo diecinueve. Estas técnicas fueron redeacubiertas por Wentzel, Kramers y BiiUouin y también, independiente mente, por Jeffries. Por ello, el m étodo algunas veces se llama la aproximación WKBJ, Para seguir adelante, se considera una partícula moviéndose en un potencial F (x ), por lo cual la ecuación de Schrödinger para estados estacionarios tiene la forma usual,

(1) y se quiere estudiar el límite para el cual ñ tienda a cero. Sin em bar go, no se puede proceder directamente con la ecuación (1) tal com o está escrita, ya que 4»e oscila tan rápidamente en este límite que el primer término da una contribución finita y no cero, como se espera ría, Para mostrar explícitamente este com portamiento se escribe *¡ie en la forma, (2)

que es un tipo de onda de de Broglie generalizada, con amplitud j40 c) y fase 5(x), que son funciones de la posición, todavía desconocidas.® Al diferenciar dos veces, la ecuación (2) resulta ser.

dx^

äx^

' dx dx

h

dx^

f i* \íÍ K :/

y substituyendo en la ecuación de Schrödinger, cancelando el factor común y reagrupando los términos, resulta la ecuación exacta no lineal.

Considerando a h como parámetro de pequeñez, el primer ténnino es del orden de la unidad, el segundo térm ino es del orden de Ay el últi mo del orden de A®. Provisionalmente se desprecia el término en A*, y se hacen cero por separado los otros dos términos, detemiinando de esta manera 5 y ^4. Del primero se obtiene, dx

■± V 2m (£ — V) = ± p (x )

’ EsU fonna puede paiecet muy especial, peto no se pieide gMeialídad al uiaila. Se han In troducido
188

METODOS APROXIMADOS

O bien,

5 U ) = ± X / . { j c ) dx.

(4)

Usando este resultado el segundo término tesulta^, O O bien, m ultiplicando p o r A y com binando los tén n in o s,

i

=0.

(5)

De la ecuación (2), = paraci y 5 reales. Entonces, esta última ecuación meramente establece la conservación de la probabili dad, ya que es equivalente a djfdx=Q, donde el flujo de probabilidad /, en la aproximación que se está considerando, se expresa como

j = pv =

pim = A ^plm.

De la ecuación (5) se obtiene,

A = clVp, donde c es una constante arbitraria y, por lo tanto, la solución apro ximada tiene la forma ,±f / p dx/ñ

donde

p = \/2m[E-y{x)]. Esta solución está expresada en términos de una integral indefinida. Puede expresarse en términos de una integral deflnida si se tom a el valor de en algún punto fyo x^. Al hacerlo se obtiene que. = >lfeîXo)

e \p

±i

J

p d xlh

.

(6)

La estructura del resultado WKB es fácil de entender. Ya se vió que la función de amplitud está determinada por el requisito de que la probabilidad se conserve. El factor de fase se interpreta de la si guiente forma. El cambio de fase de una onda de de Broglie de longitud de onda K al avanzar una distancia dx es * La ecuación (4) se reconoce fácilmente por el lector que esté familiarizado con la formula ción de la mecanica clásica de Hamilton-Jacobl (Referencia (14) ).

LA APROXIMACION WKB

189

Si la longitud de onda no es constante, pero cambia con la poación, entonces, la acumulación del desfasamiento para un avance finito es, S pdxlh.

de acuerdo con el resultado anterior, aunque este argumento se basa en la noción de una longitud de onda dependiente de la posición. Pe ro el concepto de longitud de onda pierde a i significado si la longitud de onda no es prácticamente constante en una distancia del orden de la longitud de onda reducida. Por lo tanto, se espera que la presente aproximación sea válida si la longitud de onda cambia por una frac ción muy pequeña sobre la distancia anterior. Esto es, se espera que 6A/A I, donde 5X = idMdx)\, y que (7)

dx

para que la aproximación WKB sea válida. Expresando ^ en términos de p, la desigualdad es equivalente a i dx

p dx^

I

( 8)

y expresando p en términos d c E y V,

i 2V2^

dx\

(9)

La ecuación (8) establece que el cambio fraccional del mom ento li neal debe de ser pequeño en una longitud de onda, pero la ecuación (9) establece que, en una longitud de onda, el cambio de la energía potencial debe de ser pequeño respecto a la energía cinética. O tra forma de establecer estas condiciones sería exigir que la longitud de onda sea pequeña comparada con la distancia sobre la que el momen to lineal cambia apreciablemente, o bien, sobre la cual el potendal cambia apreciablemente. Naturalmente, las ecuaciones (7), (8) y (9) son equivalentes y son diferentes formas de establecer la misma con dición. Aunque se han seguido argumentos clásicos para obtener la aproxi mación WKB, de la ecuación (9) se observa que, como beneficio adi cional, la aproximación también es válida en regiones prohibías clásicamente donde la energía cinética es negativa, a condición de que

190

METODOS APROXIMADOS

esta energía negativa sea suficientemente grande y cambie lentamen te. Por otra parte, en la vecindad de un punto de vuelta clásico don de £■= K, p = 0 y A = 00, la aproximación falla completamente. (Estos dos temas se volverán a tratar más adelante). Todavía faltaría establecer con mayor precisión la condición para la validez de la aproximación WKB. Para hacerlo, es conveniente vol ver a la ecuación exacta (3) que fué el punto de partida y tom ar en consideración el término despreciado“' en . Al incluir este térmi no, la función de fase S se determina mediante la ecuación, =

0

o bien, por

Æà dx^' A primera aproximación, el efecto del término pequeño en h'i se ob tiene desarrollando la raíz cuadrada,

dS , , , , , dÂ . ^ = ± [ p U ) + 5 ^ 3 ^ + ···]. aunque A, a este orden, todavía puede tomarse como proporcional a p~''^ . Entonces, se tiene que

dS ^ = ± [p + i h^p-''^dHp-^>'^)¡dx^] ax e integrando 5 = ± ^J p dx +

,

donde

dxp-^‘^ id^p-''Vdx^}. Al escoger los límites de integración de esta manera, en lugar de la ecuación (6) se tiene que.

Ê^{x)=>l>i:~ix„)

±> j^^p dxlh + áSlh

* El ténnino en se considera como un ténnino de cotiecctón en L· ex ptcáón para S. Tam bién puede considerarse como un término conectivo en .4. Se ha escogido el primero por que simplifica el análisis posterior, pero el resultado final es independiente de la selección que se haga.

LA APROXIMACION WKB

191

Por lo tanto, se concluye que la aproximación WKB es válida cuando \ASIh\ =

( 10)

~2 J., r

que es la condición precisa que se buscaba. Es necesario hacer notar que esta condición contiene algo más que el com portam iento local de p(x); tom a en cuenta el error acumulado en la función de fase S en todo el intervalo, desde el punto de referencia x» hasta el punto x donde se calcula la función de estado. Debido a que la ecuación (10) es complicada y difícil de interpre tar, se establecerá una cota aiperior aproximada para A5/ft que es más fácil de entender. Por inspección se tiene que. r-T

Ai h

iV p mtn

donde prnin es el valor mínimo de p sobre el dominio de integración. Si por simplicidad se supone que d^p-^‘'^liix'^ es m onótona en el inter valo de Xu a X , la integración se puede realizar inmediatamente y se obtiene que. A5 ^ ft ti 2V^în Ya que, \

dx

Jj.

dx

)

d p ~m dx

donde \dp-^<'^¡dx\^^^ es el valor máximo que alcanza \dp~'‘^ldx\ enéi intervalo de X(, a x, y se encuentra que AS A

^Pmin

dp-^<·^ dx majL

Pero si se supone que {d^p~'‘'^ídx'^)no es m onótona sino que cambia de signo q veces dentro del intervalo de integración, la contribución a |A5/fi| en cada subintervalo en el cual í / ^ f ’^^/í/jrêsmonotónica, está acotada por el doble del valor máximo alcanzado por \dp~'''îdx\ y, por lo tanto, ya que existen <7 + I de estos subintervalos A5 ñ

^Piala

dp-^>·^ dx max

192

METODOS APROXIMADOS

donde todavía significa ei valor m ayor de \dp~^^^ldx\ sobre todo el dominio de integración. Ya que

dp-^<·^ _ 1 1 dp ^ 1 dx max 2 pW2 ^ ma* 2

1

dx max »

se obtiene finalmente que, A5

dp í^mln dx

( g + l)fe _ L

y, por lo tanto, la aproximación WKB está garantizada a condición de que se cumpla que Í£ ± Í1 A _ L Pmin dx

l.

(8a)

Excepto por factores numéricos del orden de la unidad, esta expresión es la misma que la ecuación (8), y en la cual deben de usarse los valo res adecuados para el valor m ínim o de p y ei valor máximo de (dp/dx) en el intervalo adecuado. Hay que hacer notar que si el intervalo es suficientemente pequeño, resulta que esta distinción no es im portan te y la ecuación (8) es, esencialmente, la condición local correcta. A continuación se estudiarán algunos ejemplos de la aplicación de la aproximación WKB. En primer lugar se discutirá el caso de estados continuos y después el caso más interesante de estados discretos. En este último, se obtendrán las reglas de cuantización de Bohr. En el tratam iento de los estados continuos la atención se restringi rá al caso en el que el potencial se anule en infinito por lo menos tan rápidamente como x K También se supondrá que la partícula tiene una energía E que supera al potencial en todas partes, por lo cual no existen puntos de vuelta clásicos. En este caso, las dos soluciones in dependientes de la ecuación de Schrödinger están dadas por la ecua ción (6), y correônden a una partícula que v iê hacía la izquierda o hacía la derecha, sin reflexión. Esta última característica es una consecuencia de la suposición de que el potencial cambia muy lenta mente. En general, el coeficiente de reflexión será tanto más peque ño cuanto más lentamente cambíe el potencial y en el límite WKB la reflexión resultará despreciable, coincidiendo con el comportamiento clásico. Entonces, la amplitud del coeficiente de transmisión tiene magnitud uno, pero contiene un factor de fase 8 que se relaciona con el incremento en el tiempo asociado con el paso de una partícula a través del potencial. A continuación se obtendrán expresiones explí citas para T y para el incremento en el tiempo. Considerando que la partícula se mueve hacia la derecha, de la ecuación (6) se obtiene que.

LA APROXIMACION WKB

193

El punto de referencia jrg se fyarà a la izquierda en infinito; esta se lección permite fijar inmediatamente la forma de la onda incidente. En vista del com portamiento supuesto del potencial en infinito, V ) es despreciable si jc# se encuentra lo suficientemente lejano y el momento tom a el valor constante, = V lm E .

La función de estado en esta región es una onda pura de de Broglie y se tiene que, donde f( E) es la amplitud (arbitraria) de la onda incidente. La expre sión para tíiB(jt) puede escribirse en la forma exp

«ír£.(jr) = lim

Xg-* -»

P

p d x + y / 2 ^ X^!h

!

Para pasar al límite se observa que, V2mE Jo +

pJjt=V2m£x+

{p — V 2m £) dx.

Debido a que; {p - VlmE ) se anula más rápidamente que se pue de tom ar el límite y se obtiene para la función de estado WKB la ex presión,

Mx)=fiE)(^^^^y^

i(^j"jp-V2Íi^) dx+ Ví^x^h

.

Finalmente, haciendo tender x a infinito por la derecha, se tiene que = / ( £ ) exp í j "

(P

- VlmE ) dxlA

= t /( £ ) donde, como ya se anticipó, el coeficiente de transmisión t tiene la forma con. 8( £ )

(p - V 2 ^ ) dxlh = ^

( V £ ^ - V È ) dx.

Es necesario recordar que, de acuerdo con la ecuación (VI-101), el in cremento en el tiempo Ar asociado con el paso de una partícula a través de un potencial está dado por

194

METODOS APROXIMADOS

At = h dSIdE por lo cual, en la aproximación WKB, después de efectuar la diferen ciación indicada se obtiene que dx

f—

dx.

donde y(x) = V 2 (£ - y)¡m es la velocidad clásica dé una partícula con energía total E en un potencial F(x) y donde Vo = V 2£/m es la velocidad de una partícula libre con la misma energía. Entonces, se ha obtenido exactamente el mismo resultado clásico para la dife rencia entre el tiempo de llegada de una partícula libre de energía E y una partícula de la misma energía después de atravesar un potencial V. A continuación se considerarán los estados ligados de una partícu la en un potencial V(x). Se supone que para una energía dada los puntos de vuelta clásicos se encuentran en j:, y jtj , tom ando a i < . En el interior del potencial, no muy cerca de los puntos de vuelta, la aproximación WKB para las soluciones puede escribirse como una combinación lineal de ondas que viajan hacía la izquierda y hacía la derecha. Es conveniente escoger esta combinación lineal como sin [ ( / p ( x ) d x j h ) -I- 6 ] .

(II)

Ya que contiene dos constantes arbitrarias c y 6 , esta expresión es totalm ente general, A la derecha de Xz , pero no muy cerca, la so lución puede encontrarse con la aproximación WKB y es una función exponencial amortiguada; análogamente a la izquierda de Ningu na de estas soluciones WKB son válidas cerca de los puntos de vuelta, siendo el problema matemático básico el de unir las soluciones de un lado del punto de vuelta con las soluciones del otro lado. Este pro blema puede resolverse de varias formas y se puede dar una respuesta general. La respuest es fácil de entender, aunque los detalles de la de rivación son complicados y por ello se omitirán®. Para entender la respuesta es necesario recalcar que si la región prohibida clásicamente también lo fuera cuánticamente, la función de onda tendría que anu larse en cada punto de vuelta y esto podría lograrse colocando entre los puntos de vuelta exactamente un número semientero de longitu·' El procedimiento común es el siguiente; se supone que la solución WKB es válida excepto en un intervalo de longitud L en tom o al punto de vuelta. Si el potencial canibla con sufi ciente lentitud, se le puede considerar como lineal en ese intervalo y la ecuación de Schrö dinger se puede resolver en términos de funciones Bessel de orden un tercio. Esta solución puede unirse suavemente a la forma WKB en los extremos del intervalo. Para una discusión detallada vet la Refetencia [ 19].

LA APROXIMACION WKB

195

des de onda de de Broglie, o sea, anulando en cada punto de vuelta la función senoidal dé la ecuación ( I I ) . Pero, ya que la función de on da verdadera penetra un poco en la región prohibida, se encuentra que entre los puntos de vuelta se deben de colocar un número ligera mente menor que un número entero de semilongitudes de onda. E»· pecíficamente, en cada extremo resulta que la función de onda se com porta como si se anulara a 1/8 de longitud de onda en la región prohibida. Entonces, resulta que la condición para un estado ligado es que haya un número entero de semilongitudes de onda disminuida en 1/4 de una longitud de onda o en 1/2 de una semilongrtud de on da. Ya que el número de semilongitudes de onda en el intervalo en tre Jf, y es dx 2 , X/2 - - i . L · ’" ' ’'· se tiene que.

m_l_2 p dx, 2 h ir. O

m = 1,2,3,

bien, sustituyendo m por « +1,

J

p dx = 2 í p dx = (n j J'l ^

n — O, 1,2,.

( 12)

donde la integral de la izquierda es la integral convencional sobre un período del movimiento clásico y, por lo tanto, es dos veces la inte gral entre los puntos de vuelta®. Este resultado se reconoce como la versión modificada de la con dición de cuantización de Bohr, modificada por la inclusión de la eneigía del punto cero que proviene del térm ino adicional /i/2 en el miembro derecho. Es un progreso sobre la regla de Bohr y, además, se puede hacer una estimación sobre su dominio de aplicación. Ya que la aproximación WKB exige que la longitud de onda sea corta comparada con la distancia sobre la cual el potencial cambia aprecíablemente, la ecuación (12) se aplica con mejores resultados si el nú mero cuántico n crece y la longitud de onda correspondiente decrece. Al aplicar la ecuación (12) se tiene que. p = V 2 m (E ~ V )= p{E ,x),

donde los puntos de vuelta también dependen de la energía descono cida E. .Entonces, el miembro izquierdo es una función de £ y las so luciones de la ecuación (12) son las energías permitidas en la aproxi mación WKB. " La ecuación (12) está expresada en ténninos de A y no de ft.

196

METODOS APROXIMADOS

Como ejemplo, se pueden encontrar los autovalores de eneigía del oscilador armónico, para el cudXresulta que la ecuación (12) suminis tra los valores exactos para todos los estados. Se tiene que, p = V' 2 w( £ - ma » V/ 2 ) , y los puntos de vuelta ocurren en,

X = ±\ZlE¡tna) Entonces la ecuación (12) resulta r V2E/mai* ^-------------------------------- / ■ 1\ 2 I V 2m (£ —moy‘'X^¡2) dx = { n + . J-víbTSSs V 2/ Introduciendo la nueva variable $ mediante

X = w2E¡tñ<^ eos Ö se obtiene que, 4£ O

sin^ $ dß = InEju},

donde w.

de acuerdo con el resultado correcto para toda n. Aunque de la apro ximación WKB se obtiene la energía correcta, no se obtiene de ella la funpión de onda correcta. Para una comparación entre las funciones de estado correctas del oscilador armónico y las que se obtienen de la aproximación WKB ver el problema V IH 7. 2. LA APROXIMACION DE RAYLEIGH-RITZ Existe una diferencia significativa en el problema de obtener solu ciones aproximadas de la ecuación de Schrödinger para estados liga dos y para estados continuos. En el último caso, el problema consis te en encontrar funciones de estado estacionarias para valores de la energía en el continuo. En el primer caso, las energías discretas per mitidas también tienen que ser determinadas. A continuación se pre sentará un método variacional que optimiza la determinación aproxi mada de las energías permitidas para los estados discretos, por lo me nos para los estados más bajos. Esta técnica la iniciaron Rayleigh y Ritz a principios del siglo diecinueve y se originó en problemas clási cos de valores a la frontera.

LA APROXIMACION DE RAYLKICH-RITZ

197

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es ( 13)

para un sistema descrito por un hamiltoniano H. Multiplicando por »/»f;* e integrando a todo el espacio el resultado se puede escribir como, „4,

donde es conveniente suponer que fe no está noramalizada. Para autofunciones correctas de H, esta ecuación resulta una identidad, pero para los estados ligados que se están considerando E y son desconocidas. Sin embargo, se puede suponer una función aproxima da (f< para que substituida en (14) da p ara£ ”un valor aproximado E' . En otras palabras, para y >1^* físicamente aceptables se define £ "p o r £ ·.

■

Evidentemente E' se puede interpretar como el valor de expectación del hamiitoniano para el estado aproximado Ahora, se demostrará que el error en E' es de segundo orden res pecto a los errores en las funciones de estado, o bien, la energía es estacionaría respecto a variaciones arbitrarias e independientes de y respecto a los valores verdaderos. Para esto se necesita definir una clase de funciones ip que incluyan a las funciones verdaderas, lo cual se hace introduciendo la familia de funciones dependientes de un pa rámetro

= »í'f; + aip, que simplemente expresa a
donde a* y 4^*, Sin embargo, se puede señalar que las pro piedades estacionarias se cumplen aunque tí»* no sea el complejo con jugado de sino una función escogida en forma independiente. La ecuación (15) se puede escribir en ta forma, E '(a ,ß ) /

-l· ßx){Ê + a(f>) dx

= f

+ ß x ) H (!{,,.■+ a<{>) dx,

(16)

198

METODOS APROXIMADOS

donde, naturalmente, E \ a = O, ß = 0) =E. Diferenciando re ^ e c to a y haciendo a = = O, se obtiene que HE'

/ Ê*^B

rfjT + E

/ x«í(£ í/jf = / x H f p ü d x

o bien,

HE'

^ J

XÍMê -

;

cr.jí^ü

Finalmente, ya que obtiene que, AE' Aß

E ^ e) d x dx

satisface la ecuación (13) por definición, se = 0.

(17)

Análogamente, usando el carácter hermitiano de W, se encuentra que AE' = 0. (18) da a.ö-it Las ecuaciones (17) y (18) significan que E' tiene la forma £''(o£, j8) = £■ + térm inos cuadráticos y superiores en a y en ß y, por lo tanto, como se afirmó, los errores en la energía aproximada son de segundo orden respecto a los errores en la función de onda aproximada, si la energía se calcula usando la ecuación (15). Ejercicio 1. Obtener la ecuación (18). Recíprocamente, si se parte de la ecuación (15) y se exige que <(i y tít*sean tales que E' resulte estacionaria respecto a variaciones inde pendientes en estas funciones, se puede dem ostrar que »ft y i(f* tienen que ser autofunciones de H. En otras palabras, la ecuación (15) con siderada como una expresión estacionaria es enteramente equivalente a la ecuación de Schrödinger, o bien, en el lenguaje del cálculo de va riaciones, la ecuación de Schrödinger es la ecuación de Euler del pro blema variacional. Para usar estos resultados como un m étodo aproximado, el proce dimiento más simple es el de suponer una función físicamente razo nable *¡t como función de prueba. Entonces, el cálculo de £ "d a como resultado una estimación óptima de la eneigía correcta E. Procedien do sistemáticamente, se supone una función de prueba que depende explícitamente de un conjunto de parámetros, se calcula E ' como función de estos parámetros usando la ecuación (15) y, finalmente.

"Ti

LA APROXIMACrON DE RAYLEIGH-RITZ

199

se hace E' estacionaria diferenciándola respecto a cada parám etro e igualando a cero el resultado. Un valor aproximado para la energía se obtiene al encontrar la solución del conjunto de ecuaciones simultá neas que resultan para los parámetros desconocidos. Este valor es el mejor que se puede obtener con ía función de prueba escogida inidalmente. Más adelante se dará un ejemplo. La utilidad práctica de este esquema es debido ai hecho de que la energía del estado base calculada de esta manera es una cota superior a la energía verdadera del estado base. Aunque la ecuación <15) pro porciona un principio variacional para cualquier autoestado del ha miltoniano, proporciona un principio mínimo para el estado base. La demostración es sencilla. Cualquier fundón de prueba puede expresarse como una superposición del coiyunto completo de autoestados de H. Entonces, se puede escribir

y substituyendo en la ecuación (15) resulta que, S|c'el^ Si E„ es la energía del estado base, entonces, para cada término en la suma, resulta que E ^ E^y, por lo tanto,

E' ^ £„. Además, la igualdad se cumple solamente para = suponiendo que el estado base no es degenerado. Obviamente el principio del mínimo no es válido para estados más altos excepto si la función de prueba es ortogonal a todos los estados exactos más bofos. Para comprobar esta conclusión, se tom a el esta do n-ésimo con eneigía exacta £ » y se supone ortogonal a todas las *¡>e para E < En. Entonces, si ^ se expresa como superposición de es tados exactos, en la hipótesis no intervienen los ténninos f < £■«, y se tiene que

y, por lo tanto.

Esta condición de ortogonalidad, en general, es difícil de lograr p o ^ que se necesita conocer todas las fundones de estado exactas para

200

METODOS APROXIMADOS

E < E„ . Afortunadamente, en la práctica se pueden usar propieda des de simetría para asegurar esta ortogonalidad entre los estados más bajos. Por ejemplo, en un potencial simétrico los estados pares y los estados impares automáticamente son ortogonales entre sí. Por lo tanto, el estado par más bajo y el estado impar más bajo satisfacen un principio mínimo. En general, el mejor resultado que se puede obte ner es lograr que la función de prueba sea ortogonal a los estados co nocidos más b ^ o s aunque sean aproximados, pero el método pierde su validez a medida que crece el número cuántico de los estados. Ya que el método WKB da mejores resultados para números cuánticos grandes, los métodos variacional y WKB se complementan en cierta forma. El m étodo variacional exige que se introduzca a l^ n a función co mo función de prueba y se ha sugerido que dicha función sea física mente razonable. ¿Cómo se escoge esta función y qué significa “ físi camente razonable” ? Es difícil dar una respuesta precisa, pero quizás las siguientes observaciones sean de alguna ayuda. Para ello se consi dera el estado base de una partícula en un potencial simétrico. La función de onda del estado base no tiene nodos y, como todas las funciones de estados base, se anulan rápidamente a grandes distan cias. La función de prueba más simple es una función suave, centra da en el origen porque tiene que ser simétrica y que prácticamente se anule en una distancia característica. Esta distancia puede tratarse como un parámetro que se determina por variación. Un ejemplo que se utiliza con mucha frecuencia sería una gausiana.

Otros ejemplos con propiedades semejantes son, csch -l-ít')-"', etc. Se pueden construir funciones más generales multiplicando por polinomios cualquiera de estas funciones y determinando los coefi cientes por variación. Excepto en el caso en que se pueda usar una computadora, se usan funciones para las cuales se pueden calcular fá cilmente las integrales, pero con las características generales indicadas en los ejemplos anteriores. Para los estados excitados, también se introducen en la función de prueba el número correcto (y conocido), de nodos, la simetría co rrecta y el com portamiento general esperado. Para el primer estado excitado en un potencial simétrico, que es impar y tiene un nodo en el origen, cualquiera de las funciones citadas anteriormente multipli cada por X sería una función de prueba adecuada. Para el segundo es tado excitado, que es par y tiene dos nodos, cualquiera de las funcio nes anteriores podría usarse si se multiplica por el polinomÍo{A--jc^).

FilifrÉMUb,.

LA APROXIMACION DE RAYLEIGH-RITZ

201

La localización de los nodos e n x ^ i n h puede tratarse por variaciones considerando a b como parámetro variacional. En resumen, se construyen funciones de prueba que se puedan usar con cierta facilidad y que contengan todas las características ge nerales y específicas de las funciones exactas, o por lo menos tantas como sea posible. Como ejemplo, se usará el m étodo variacional para estimar la ener gía del estado base para el oscilador armónico. El uso de una gausiana daría el resultado correcto puesto que el estado base exacto es una gausiana. Por esto, sobre la región |j:| ^ se usará un polinomio con la forma general correcta y que se anule suavemente en los extremos. Para ]j:| > íí , se hará igual a cero la función de prueba y, naturalmen te, se determinará a por variaciones. En particular, se escoge la fun ción 0 = {(!'’ — X-)~, |.v | ^ (I, W ..., Recordando que el hamiltoniano del oscilador armónico es,

H=^

2m

+ \ nttirx'^ 2

la ecuación (15) resulta ser I

x'^\}f*^ iix

J

»íí*»ír Jx

Calculando la integral del denominador se obtiene

En la misma forma, el térm ino correspondiente a la energía potencial resulta ser ,,,,

,

256«'·

El término correspondiente a la energía cinética se calcula como sigue:

y ya que el primer término se anula,

202

METODOS APROXIMADOS

dx = ~

256a" 7-5-3‘

Reuniendo estos resultados se obtiene que Ä" 256d’ ^ 1

E'(a^) =

,

^ 2m 7T · 5e ·~-i3 + 2T "*« 77 II

256«' ■9-7-5

3

256íi»/9 · 7 · 5

Se observa que la energía cinética y la energía potencial rivalizan en importancia, hecho que se mencionó en la discusión cualitativa acei^ ca de las características de los estados ligados, usando el principio de incertidumbre. Si a* disminuye, la energía potencial decrece, pero la enei£Ía cinética se hace mayor debido al incremento en la localiza ción de la función de onda. El procedimiento variacional presenta explícitamente esta rivalidad en el presente caso. Si se diferencia E'respecto al parámetro variacional o* y se iguala a cero el resultado, se obtiene,

dE’ ^ 3 ft* , 1 — - = 0 = —:; ----¡ + ^ da^ 2 ma* 22 en donde, íj®= V33 A/mw

£'= ^ ftw V l2/n ,

Un error del 5 por ciento solamente y mayor que la verdadera ener gía del estado base, como se esperaba. Otros ejemplos se dejan para los problemas. 3. TEORIA DE PERTURBACION PARA ESTADOS ESTACIONA RIOS Ahora, se estudiará el método más importante para obtener solu ciones aproximadas de !a ecuación de Schródinger, un método basa do en la teoría de las perturbaciones. Este método se aplica a cual quier caso en el cual el hamiltoniano f f que describa al sistema estu diado no difiera mucho de un hamiltoniano //oque describa a un sis^ tema parecido pero más simple y cuyo conjunto de autofunciones y autovalores se conozcan exactamente. Estas circunstancias parecen demasiado especiales para tener alguna consecuencia, pero de hecho

TEORIA DE PERTURBACION PARA ESTADOS ESTACIONARIOS

203

se presentan muy a menudo, como se verá en las aplicaciones y debi do a este hecho el m étodo deriva su importancia práctica. En esta sección se discutirá el caso más simple, o sea, el caso en el cual los es tados son no degenerados, estacionarios y discretos. Se empieza por expresar el hamiltoniano perturbado H en térmi nos del no perturbado/fo escribiendo, sin perder generalidad, que // = A/ o +X/ / ' .

(20)

La cantidad H ' se llama el término de perturbación en el hamiltonia no. El parámetro sin dimensiones X, que es redundante, puede to marse como uno para el problema físico. Se introduce por conve niencia como un parámetro visible de pequeñez y que también permi te pasar gradualmente del problema físico al problema no perturba do, en forma bien definida, sencillamente haciendo tender A a cero. Se buscan las autofunciones y autovalores de H definidos por. (2 1 )

=(//<, + A//' ) »I»«

Los autovalores y autofunciones no perturbados son conocidos y es tán definidos en forma análoga, =

(22)

Se supone que y no son degenerados. Ahora, se puede hacer la suposición fundamental de que cuando X tiende a cero, el conjunto de eneigías £„ tiende hacia alguna (#>„en particular, y esta correspon dencia uno a im o se puede establecer explícitamente etiquetando los estados de tal forma que para cada n lim Ea X-0

(23)

lim X-0

Además, los estados perturbados desconocidos se expresan como una superposición del conjunto completo de estados no perturbados. Entonces, se tiene que =

(24) Ì

y como consecuencia de la ecuación (23), ìlio

^

(25)

'

Sustituyendo la superposición (24) en la ecuación (21 ) resulta que

^ i

= (Ho + k H' ) V i

i

\

T

Multiplicando por j , integrando y usando la ortonormalidad de

,

204

METODOS APROXIMADOS

se obtiene, para cada valor de j, Cjíi

(2 6 )

—&¡) = X 2

donde los números H'¡i, llamados elementos de matriz de // ', se defi nen como, í / ', = í

(27)

N otar que H'a = , ya q u e //'e s hermitiano. Para una n dada, se necesita resolver el conjunto de ecuaciones exactas (26), ima para cada ; donde <5^, X son desconocidas. Si este conjunto infinito de ecuaciones homogéneas tuviera solución, su determinante debería de anularse, de donde se obtendrían las autofunciones y autovalores exactos del problema. En la práctica no es posible llevar a cabo este procedimiento y se busca una solución aproximada para X pequeña. Las ecuaciones (23) y (25) establecen que, cuando X se aproxima a cero, £’„-»■ c«« ^ 1 y todas las Cj„ se acercan a cero. Separando los términos dominantes se puede escribir la ecuación (26) como j = n ·. c „ „ ( £ „ - < 5 „ ) = X c '„ „ //„ „ ' + X

/ / ; , ■ Ci„ i

j ^ n: C j„(£„-¿?j) =Kc„„Hj„’ + \ 2 ' I donde el acento en el símbolo de suma significa que el término i = n se omite, ya que este término se ha separado explícitamente. Divi diendo entre c„„, se obtiene que (28)

KH'Jn.

£ü l . í“««

(29)

Si la función de estado perturbada se normaliza, a estas ecuaciones se aííade la condición =1, o bien, I

(30)

\cjc, De la ecuación (29) se obtiene que cjjc„„ es del orden de x y, por lo tanto, en las tres ecuaciones (28), (29) y (30), los términos de la su ma contribuyen a orden X* y superior. Entonces, se puede escribir una serie de potencias en X para los autovalores E„ y para las funcio-

TEORIA DE PERTURBACTON PARA ESTADOS ESTACIONARIOS

205

nes de estado , usando un esquema de aproximaciones sucesivas en la forma siguiente. A orden cero, X = O, se obtiene la solución no y naturalmente Substituyen perturbada E„ =* 3„, Cj, ^ do el resultado a orden cero en el miembro derecho de las ecuaciones (28), (29) y (30) se obtiene la solución a primer orden en X, o sea, la solución a primer oden. Por lo tanto, £„=<©„ + XW'„„

<5«

&j

(31)

<32)

y usando estas expresiones para los coeficientes del desarrollo, se ob tiene de la ecuación (24) la función de estado a primer orden. +

<33)

Se observa que la expresión a primer orden para E„ depende única mente de la función de onda a orden cero ya que Este resultado se entiende fácilmente a partir del principio variadonal, porque la ecuación (31) es la aproximación de Rayleigh-Ritz pa ra E„ con !a función de prueba \¡f„ = De la ecuación (32), se dedu ce que una condición necesaria para poder aplicar el m étodo pertul· bativo para el estado n-ésimo es que para todos los valores de J 9^ t t , &s d ed r, que la diferencia entre lat enei^ías no perturbadas tiene que ser mucho mayor que el correa pondiente elemento de matriz del térm ino perturbativo en el hamll· toniano. Si se quiere continuar con el procedimiento, la aproxim adón a se gundo orden se puede obtener substituyendo los resultados a primer orden de las ecuaciones (31) y (32) en los miembros derechos de (27), (28) y (29). Unicamente se escribirá explídtam ente la aproxim adón a segundo orden para la energía, la cual viene dada por £ „ = éJ „ + X

+ X“ ' ¿

Debido a q u e //'e s hermitiano cribir en la forma,

£„ = &„ + \ H \ „ + X^ 2

(3 4 )

el resultado se puede es

(35)

206

METODOS APROXIMADOS

donde la energía es real, como tiene que serlo. N otar que únicamen te la aproximación a primer orden de y, por lo tanto, de se necesita para calcular esta expresión a segundo orden para la energía. Este resultado es una característica general; el conocimiento de la fiinción de onda a un cierto orden permite el cálculo de la energía a un orden superior." Continuando con este procedimiento, se pueden obtener correc ciones a orden superior, pero el álgebra resulta tediosa y los resulta dos resultan difíciles de calcular. El m étodo perturbativo es útil cuando converge rápidamente, de tal manera que los términos supe riores al segundo orden sean despreciables. En la práctica, se omite generalmente el térm ino a segundo orden a menos que el primer orden se anule idénticamente.® Una descripción física de las correcciones perturbativas es la si guiente; el término perturbativo en el hamiltoniano está generado por fuerzas que actúan sobre el sistema no perturbado y tienden a desviarlo de su configuración no perturbada. Debido a que se usa la función de estado no perturbada para calcular la energía a primer orden, se ha ignorado esta desviación y el sistema se trata como sí fuera rígido. El cálculo es análogo al cálculo clásico de la energía de interacción con un campo eléctrico externo de una distribución de carga determinada de antemano, o bien el de una distribución de ma sa dada en un campo gravitatorio externo. Ya que se utilizan funcio nes de estado perturbadas, el cálculo a segundo orden tom a en cuenta la distorsión del sistema debido a las fuerzas perturbativas, por lo me nos a primera aproximación. Los elementos de matriz //'j„ miden la intensidad de las fuerzas de distorsión, y la energía en el denomina d o r , „ —S i, mide la resistencia a la distorsión, o rigidez del sistema. Estas distorsiones son análogas a la polarización de una distribución de carga en un campo eléctrico externo y a la deformación producida sobre un cuerpo por un campo gravitatorio extemo. Los signos algebraicos en el desarrollo perturbativo para la energía, determinan si la energía del sistema crece o decrece como resultado de la perturbación. La corrección a primer orden puede tener cual quier signoj dependiendo únicamente del carácter atractivo o repulsi vo, en promedio, del término perturbativo; es negativo en el primer caso y positivo en el segundo. Respecto a los términos a segundo orden se acaba de argüir que surgen debido a los efectos de distorsión ' £1 resultado se concluye más fácilmente de la ecuacíón (28). Ya <ûe h multiplica la suma, » conclw e inmediatamente que ñ es de orden X*, lá e n e ig ia se iá d e o td e r * Para establecerlo en fonna general, se puede decir aue las correcciones de la teoría de per turbaciones se calculan al orden más bajo diferente de cero. Es muy rato que se anulen el primer orden y el segundo, y se necesiten términos a oiden superior.


207

o sea, debido al ajuste del sistema a la influencia de las fuerzas de per turbación. Pero, cualquier sistema responde a una fuerza perturbatíva deformándose a expensas de esta fuerza y, por lo tanto, decrecien do la energía potencial de interacción. Como consecuencia, se espera que la corrección a segundo orden baje la energía, comparada con su valor a primer orden. Sin embargo, no es posible especificar en gene ral las condiciones bajo las cuales se realizan estas conclusiones, ex cepto para el caso especial del estado base. Para este caso, la correc ción a segundo orden siempre baja la energía, sin im portar la caracte rística de la perturbación, lo cual se concluye inmediatamente de la ecuación (35). La energía del estado base es m enor que-Sj para toda j Q, por lo cual todo término de la suma, y por lo tanto el té ^ mino en la ecuación, es negativo. Resumiendo, bajo argumentos físicos se espera que la corrección a segundo orden b^'e la energía, aunque se ha demostrado este resultado nada más para el estado base. El com portam iento de los elementos de matriz que aprecen en la ecuación (35) dependen demasiado de los detalles del problema co mo para poder hacer generalizaciones muy amplias. Sin embargo, las propiedades de simetría del sistema sí tienen una influencia muy pro funda que es bastante fácil de determinar. Si el hamitoniano no per turbado A/o es simétrico, como en general lo es, y el término perturba tivo H ' tiene simetría defmida, par o impar, es fácil concluir que la mitad de los elementos de matriz de H ' son cero. El argumento se ba sa en el hecho de que los estados no perturbados tienen simetría defi nida cuando el hamiltoniano no perturbado es simétrico. S i// 'es par, todos los elementos de matriz entre estados de paridad opuesta se anulan automáticamente, (< ^ p a i | / / ' p a i l < ^ p )

“

'

parl<^ p a i ) — O,

(36)

Análogamente, si / / ' es impar, todos los elementos de matriz entre es tados de la misma paridad se anulan automáticamente. (37) Estas reglas tan generales son casos especiales de las llamadas reglas de selección en espectroscopia. Hay que observar que las reglas de selección para H ’ impar tienen como consecuencia que la correeción a primer orden pwa la energía se anula para todo estado.* * La importancia de este lesultado se puede jozgai partiendo del êm plo de un e te rn a ató mico o nuclear, perturbado por un campo electrico externo y uniform e. En este ejemplo íf» es par y / f ' e$ impar, por lo ctial se aplica la ecuación (37) y la corrección a primer orden d« la eneiigía del estado base se anula. En la energía s o existe un término lineal en el campo eléctrico aplicado, lo que significa que tales sistemas no poseen u s mom ento d ^ o la r eléctri co que sea permanente. Esto explica el resultado observado de que átom os y núcleos no po sean mom entos dipolares eléctricos. Para una discu^ón más detallada ver la Sección 3 d«l Capítulo VIII,

208

METODOS APROXIMADOS

Esta discusión se puede concluir con algunas observaciones sobre la convergencia de los resultados perturbativos. Ya se puntualizó que, para un estado dado n, el m étodo falla excepto sí para todos los valores de yV«, lo cual es una condición necesaria para la conveigencia pero no suficiente en vísta de las sumas infinitas que aparecen en las ecuaciones (33) y (34). Sin embargo, se puede esta blecer una condición suficiente para la convergencia, aunque no m uy rigurosa, encontrando una cota superior para la magnitud de la correc ción a segundo orden. Se parte de la ecuación (35) escribiendo una desigualdad que se obtiene sustituyendo cada térm ino en la suma por su valor absoluto. (38)

&n

Se introduce la expresión , que es la diferencia entre<^„y su ve cino más cercano, y sustituyendo cada denominador de la ecuación (38) por|A<5„|, lo cual aumenta la deagualdad, se obtiene que. 1

&n-&i donde se ha tom ado explícitamente la convención de que u n acento sobre el símbolo de suma significa que el térm ino i = w se omite. Su mando y restando este ténnino om itido, se obtiene que, 1

La suma de la derecha se puede calcular en la forma siguiente. De la definición de los elementos de matriz se tiene que,

= 2 / 4>n*(^’) t í ‘(x')iix') dx' J

dx.

Sumando sobre / y usando la propiedad de cerradura de 4>>se obtiene 2 \fi'm\^=S S ^ n*ix')H'(x') d ( x - x ' ) H'{x) ( e integrando sobre x ' se encuentra que

dxdx',

í Finalmente usando |

se obtiene

•*Paia una derivación de este n a ilta d o usando los m étodos del álgebra de matrices, ver la sección f í e n t e , ecuación (47) con j4 = B .


|A¿?„

209

(39)

es decir que la corrección a segundo orden de la energía de un estado dado es m enor en magnitud que la razón de la desviación cuadrada media del hamiltoniano perturbado, respecto a su promedio para el estado en cuestión, entre la energía de separación de ese estado y su vecino más próximo. Hay que aceptar que este resultado no es muy exacto, pero es simple y útil, como se verá más adelante. Como primer ejemplo del uso dé la teoría de perturbación, se pue de considerar el caso de un oscilador armónico con un fondo plano, provocado por una perturbación gausiana. Específicamente se escri be,

H = ^ + \ may^x^ + V 2m I y con X = 1, La corrección a primer orden para la energía del estado base, que es el valor de expectación de //'p a r a el estado base, se calcula fácilmen te dando como resultado,

2

\tt + mco/fi /

Hay que notar que para a moí/íi, o sea cuando el térm ino pertur bativo es prácticamente constante en el dominio del estado base, la energía crece por la cantidad V que es precisamente lo que debe de pasar cuando se suma al hamiltoniano un potencial constante de esa magnitud. También hay que observar que cuando a > m<ú¡h , o sea que la gausiana es estrecha, la corrección es pequeña aunque V sea comparable en magnitud a ftw. Por lo tanto, el resultado a primer orden parece satisfactorio en los límites de a grande y pequeña, para valores de V que no son pequeños necesariamente y también parece satisfactorio para todos los valores de a. Una forma de comprobar estas conjeturas sería la de calcular las correcciones a segundo orden, pero resultaría muy difícil de llevarlo a cabo y resulta más sencillo usar la cota superior a estas correcciones que proporciona la ecuación (39). Ya que se está tratando con el estado base, el térm ino a segun do orden tiene que ser negativo ( ¿por qué?) y, por lo tanto, después de un cálculo elemental se puede escribir el resultado en la forma

E ,=

no

METODOS APROXIMADOS

ionde €, la razón de la corrección de segundo orden a la corrección Je primer orden, se puede expresar como €«

A«

2 a + m bilkj

\ a

-I-

mcúlh/

[!uando a es pequeña, como es el caso de u n potencial aproximadanente constante, el miembro derecho es del orden de a^V¡h<ú y por lo tanto de^reciable, aunque se tengan valores apreciables de V¡ h<á. Por otra parte, cuando a. > m y, por lo tanto, no puede asegurarse que la serie perturbativa Mnveija a menos que V j t m < 1, contrario a lo que se esperaba. La irerdadera situación para a grande es la siguiente: la corrección a la ínergía es pequeña como ya se ha encontrado, pero la estimación a primer orden de esta corrección no es confiable a menos que F/fiw también sea pequeño. Como segundo ejemplo, y último, se puede considerar el caso de un oscilador anarmónico que, desde el punto de vista físico, es mu cho más interesante y está descrito por el hamiltoniano,

H

(40)

El hamiltoniano no perturbado se escribe como.

por lo cual, con X= 1,

Para obtener la energía a primer orden se tiene que calcular donde 4>n es la función de estado n-ésima del oscilador armónico, la cual, de la ecuación VI-47 viene dada por, Co De las ecuaciones (VI-34) y (VI-35), se puede escribir que. X =

v h j z ñ ü a (í> -t- a t ) ,

y X* es función de los operadores de aniquilación y creación. Recor dando que a t operando sobre un estado del oscilador armónico produ ce el siguiente estado más alto y a el siguiente estado más b ^ o , se concluye que al operar q veces sobre con a y4-íyveces con a t , en


211

cualquier secuencia, se obtiene el estado <^„+4 -*« · Debido a la ortogo* nalidad de las funciones la contribución diferente de cero al ele mento de matriz proviene de
JC* =

+ términos que no contribuyen ]. Considerando un térm ino típico, por ejemplo el primero, se tiene que, = (« + 2){« + 1)(<í>„!<í>„> = (« + 2>(« + 1), donde se ha usado el hecho de que, en la representación del operador de creación a = djdaf, o sea que el efecto de operar con a es equiva lente a diferenciar respecto a at. Por lo tanto, usando la misma técni ca con el resto de los ténninos, se obtiene inmediatamente que, + 2)(« -I- i) + (rt -I- 1)^ -I-I- « ( « -I- 1) -l·

-I- I) +

-I- « (/I — 1 )]

Finalmente, ya que

se obtiene que [l+2rt(«-H)]).

(4 1 )

La validez de esta aproximación requiere que el térm ino de correc ción sea pequeño comparado con la distancia entre estados, es decir que, [l-t-2n(n-l-l)]

^

I.

Por esto, el resultado es válido para b suficientemente grande, pero aunque b sea grande, la aproximación resulta peor a medida que n

212

METODOS APROXIMADOS

crece. Este resultado es de esperarse porque los estados altos se ex tienden a valores grandes de x y, para valores de :>c lo suficientemente grandes, la perturbación resulta enorme aunque b sea grande. Aunque la ecuación (41) proporciona una relación entre el térmi no perturbativo del hamiltoniano y las correcciones a los estados de energía, la detección experimental de la presencia de estos términos anarmónicos es posible debido al término cuadrático en . Se po dría ver con m ayor claridad escribiendo el resultado en la forma equivalente,

£„ = fi(ü) -f- So») {« + ^) -I- n^h 5
(42)

donde Por lo tanto, la perturbación anarmónica tiene dos efectos diferentes: primero, aumenta la frecuencia en Sío,“ , y segundo, aumenta la dis tancia entre los niveles al aumentar la energía. Los espectrocopistas observan este espaciado entre los niveles y este crecimiento sistemáti co refleja que se trata de un oscilador anarmónico. Para el experimentahsta, el problema de descifrar los datos es más complicado de lo que se ha indicado debido a que una perturbación cúbica produce exacta mente el mismo comportamiento cualitativo que la cuarta potencia. Es necesario recalcar que una perturbación cúbica contribuye sola mente a segundo orden ; la contribución a primer orden es cero ( ¿por qué?).*^ También resulta que esta corrección siempre es negativa pa ra todos los estados, lo cual ya se explicó por argumentos fíacos. Ahora se puede estudiar el caso más interesante, en el cual, la per turbación cuadrática tiene signo negativo. Se podrían usar todos los resultados anteriores sustituyendo por su negativo y, por ejemplo, la ecuación (42) resultaría 8(0 = — Sin embargo, es necesario aclarar en qué sentido los resultados perturbativos anteriores se pueden aplicar, y son éstas las consideracio nes que producen las características sorprendentes del problema. En la Figura 1 se grafica la e n e ^ ía potendal. (43) " Este coirim iento en frecuencia no tiene nada que ver con la alteración del periodo dásico del oscilador dependiente de la am plitud, como se observa claramentej)or la presencia de en la ei^resión para Se puede demostrar que el periodo d á a c o esta relacionado a la dis tancia entre niveles, pero no se continuará con este tema. » Para una discu^ón de anaimonicidades cúbicas y cuárticas, ver la pigtoa 13$ de la ReforencU [24].


213

y se observa inmediatamente que el espectro de energía exacto es continuo, el espectro no está acotado en ninguna dirección y que, por lo ta n to , el sistema no tiene estado base. Estas observaciones son válidas sin im portar lo pequeña que sea la perturbación en la vecin dad del origen. Entre otras cosas, esto significa que se ha violado la hipótesis fundamental de que los estados exactos y no perturbados se pueden poner en correspondencia uno a uno y que estos estados se aproxim an cuando la perturbación tiende a cero. Es claro que este resultado no es cierto para £" < O y para E > Vm, donde K« es el valor máximo alcanzado por el potencial, como se muestra en la Figura 1. En el caso en O < £ < Km existen dos tipos diferentes de estados: (1) Estados continuos para los cuales la partícula se encuentra caá exclusivamente fuera del pozo de potencial, por lo cual no se puede poner en correspondencia uno a uno con los estados no perturbados.

Figura 1. La fundón de enei^ía potencial F (x) para el oscilador annónico de la ecuación (4 3 ). El valor m áximo del potencial se denota por V^.

(2) Estados en los cuales la partícula se encuentra casi exclusiva mente dentro del pozo de potencial. Son éstos los estados que co rresponden a los estados discretos no perturbados y únicamente para estos estados es válida la aproximación perturbativa. Estos estados se llamarán estados metastables o quasi-acotados. Clásicamente, estos dos tipos de estados son totalm ente diferentes, pero cuánticamente no lo son. Debido al efecto túnel, una partícula que se encuentre fuera del pozo tiene una parte muy pequeña de su función de onda dentro del pozo. Recíprocamente, la función de es tado estaciónaria de una partícula que se encuentra dentro del pozo, tiene una parte muy pequeña de amplitud diferente de cero que se extiende fuera del pozo. Esto significa que la probabilidad de encon trar a la partícula en esta región es finita. Por lo tanto, si se tiene un

214

METODOS APROXIMADOS

conjunto numeroso de tales partículas, o se espera un tiempo sufi cientemente largo, se observarán partículas que emergen de la región interna. Lo que se tiene en este caso es una analogía del proceso de la radiactividades. Aunque la descripción del sistema anterior mediante estados esta cionarios revela sus principales características, es instructivo volverlo a examinar en términos de estados dependientes del tiempo. Para ello, se considera un paquete de ondas muy particular, aquél que se construye por superposición de los estados que se encuentran en la vecindad de uno de los estados quasi-ligados y que se construye de tal manera que la partícula se encuentre en el interior del pozo con absoluta certeza. Esta superposición de estados continuos se necesita para cancelar el final del estado quasi-ligado, que sin ello se extende ría a la región exterior. Esta superposición tiene una anchura carac terística y la rapidez con la que el paquete de ondas, debido al efecto túnel, emerge del interior y está gobernada por esta anchura. Dicho con mayor precisión, se observa que en un tiem po t tal que rA£/ftes deí orden de la unidad, las relaciones de fase que se han puesto en el paquete inicial se alteran radicalmente y el paquete co mienza a emerger de la región central. El tiempo t resulta ser la vida media del estado y está dada por T = hl A E .

Esta relación entre vida media y anchura en energía de un paquete de Ondas es muy general; como se ha establecido anteriormente no es más que otra manifestación del principio de incertidumbre. La carac terística por la cual el presente caso resulta tan especial, a diferencia de la situación en ei espacio hbre, es ía presencia del pozo de poten cial que hace posible construir un paquete de ondas confinado a un dominio muy pequeño y, por lo tanto, bien localizado en el espacio, además de que simultáneamente la energía se desparrama poquísimo. Desde este punto de vista, un estado estacionario verdaderamente 11· gado es el caso límite para el cual el dominio espacial es pequeño y la cantidad que se desparrama la energía es exactam ente cero. Cualquie ra de estos estados tiene una vida media infinita. N otar que en estos paquetes de onda la cantidad que se desparrama el momento lineal siempre es muy grande debido a la presencia del potencial, por lo que no existe ninguna violación a la relación de incertidumbre entre la posición y el momento. Finalmente, volviendo a la validez de la apücación de la teoría perturbativa, se ve que solamente para los estados quasi-ligados y quasiestacionarios se puede usar la teoría. Si la corrección para algún es tado no perturbado es pequeña, entonces, está garantizada que la an-

215

MATRICES

chura de ese estado es pequeña. En este sentido se puede decir que el análisis de la teoría perturbativa se aplica sin modificación y la ecuación (41) se apüca con negativa. 4. MATRICES En el desarrollo de la teoría de perturbación los elementas de ma triz del término perturbativo en el hamiltoniano juegan un papel muy im portante. A continuación se discutirá brevemente la representa ción de operadores por matrices y se expondrá los elementos del álge bra de matrices. Para iniciar este desarrollo se considera un operador A que opera sobre un conjunto completo de funciones ortonormales. El resul tado de esta operación será una nueva función que puede expresarse como superposición del conjunto completo, es decir, que (44) donde la notación intenta exhibir el hecho de que el coeficiente en la superposición depende del operador A y del estado sobre el cual opera. Debido a ia ortonormalidad de<^mse tiene que

í ™* A„ dx=i4>jA\4>„).

(45)

Este arreglo de números se llama matriz, y cualquier número en par ticular se llama elemento de la matriz o elemento de matriz. Este arreglo es totalmente equivalente al operador A en el sentido de que estos números definen completamente el efecto de operar con A so bre cualquier función arbitraria Esto se s i ^ e de que tal función siempre puede desarrollarse en térm inos del conjunto completo y y la ecuación (44) describe el resultado de operar sobre cada 0«.. Por lo tanto, la matriz con elementos Amn es una realización o representa ción del o p erad o r^ . Una forma conveniente de visualizar este aireíô es colocar los números en hileras y columnas conj4m„ como el número en la hilera m-ésima y en la columna n-ésima. Por esto, se puede escribir

! Au

A 12

Ain

A 2J

Ais.

A^n

imi

A fn2

A= (4é)

/

216

METODOS APROXIMADOS

Es necesario puntualizar que cualquier representación por matrices de un operador depende del conjunto de fiinciones n , o funciones base, que se usan para construir el conjunto de números · Si se usa un conjunto diferente, por ejemplo >se obtiene un nuevo con junto de elementos de matriz, pero la nueva matriz sigue representan do al mismo operador. Las transformaciones de una representadón a otra, forman un tema importante de estudio en mecánica cuántica.'® También se puede considerar el producto C de dos operadores A y 5,

C = AB. Se tiene que,

áx=í

dx.

Pero,

A B4>h — 2 s

t,k

por lo cual se tiene que, Cmn = S

X ».k

y, finalmente, ya que las funciones

son ortonormales, (47)

Esta regla para multiplicar matrices es fácil de recordar. Los elemen tos de matriz se escriben en el mismo orden que los operadores, don de ei primer índice del primer factor y el segundo del último foctor marcan el elemento de matriz del producto y la suma se tom a sobre el índice intermedio que es común. Dicho de otra manera, el elemen to de matriz mn del producto se obtiene multiplicando la hilera m-ésima de la primera matriz por la columna n-ésima de la segunda, ele mento por elemento. Notar que la multiplicación está definida úni camente si el número de elementos en las hileras de la primera matriz es ^ a l al número de elementos de las columnas en la segunda matriz. La generalización a un producto de más de dos matrices es trivial. Aplicando sucesivamente la ecuación (47) se obtiene inmediatamen te que, ” Ver Refetencia [19] o cualquiera de las Refeiencias [2 2 ]-[2 8 ],

MATRICES

{ABC · · · lí)„„ = '2

^ A C * . · · · /f,„.

217 (48)

Usando la representación de matrices se ve claramente que la mul tiplicación de operadores no es conmutativa, ya que de la regla gene ral se tiene que,

claramente diferente de (AB)„„ si se compara con la ecuación (47). De las defíniciones, se obtiene trivialmente que (/t + B)„„ = ( B + /()„„ = y, además, si dos matrices son ^ a l e s , entonces, cada elemento de la primera es igual al elemento correspondiente de la segunda. Entonces, se puede concluir que todas las relaciones que se cum plen entre operadores también se cumplen entre las matrices de la representación. Por ejemplo, si

(A, B) = C, entonces,

(A,B)„„ = (AB)„„- iBA)„„ = C^„, por lo que las matrices que representan a operadores que conmuten también conmutan. La representación por matrices del adjunto de un operador es fácil relacionarla con la representación por matrices del operador. Recor dando la definición de adjunto, ecuaciones (V-1 la, l Ib), se concluye inmediatamente que,

iA^)«,. = A„„*.

(49)

Introduciendo el símbolo A para la matriz transpuesta (■^)mn — A se concluye que la ecuación (49) puede escribirse como

A t = A*. que es independiente de la representación. Ejercicio 2.^ Deducir la ecuación (49). Se observa que para un operador hermitiano A=A t, de la ecuación (49) se obtiene el resultado encontrado anteriormente para el opera-

218

METODOS APROXIMADOS

dor hamiltoniano,

A ain

J

Per esto, los elementos d iô n ales de una matriz hermitiana son reales. Este resultado no es una sorpresa porque A„„ es el valor de expectación de A en el estado Una representación particularmente simple de un operador se ob tiene cuando se usa su conjunto completo de autofunciones como base. Entonces, si son las autofunciones de .4, se tiene inmediatamente que,

Amn~ . {50j O sea que, en la base formada por sus autofunciones, la representa ción por matrices de un operador es diagonal y sus elementos de ma triz son precisamente los autovalores del operador. Desde este punto de vista, el problema de encontrar los autovalores y autofunciones de un operador es equivalente al de transformar a una base en la cual la representación por matrices es diagonal. 5. ESTADOS VECINOS O DEGENERADOS El m étodo aproximado de la teoría de perturbación que se ha de sarrollado en la Sección 3 necesita para su aplicación que el elemento de m a triz //'„ jq u e conecta los estados n-ésimo y /-ésim o sea pequeño comparado con la separación de energía 3„ - &¡ entre los estados, para todos los valores de /. Ahora, se puede discutir la modificación que es necesaria hacer cuando esta condición no se cumple para al gún estado, como por ejemplo el í-ésimo. Un caso de mucha impor tancia es aquél para el cual los estados «-ésimo y /-ésimo son degene rados, Si < f ? „ - i no es grande comparado c o n //'„i, no se puede suponer con seguridad que la amplitud c,„ del estado /-ésimo sea pequeña y al analizar la ecuación (26), que es exacta, se tienen que tratar c«n y Ct» con la misma importancia. Los coeficientes c¡„ que quedan pueden considerarse pequeños y se puede escribir la ecuación (26) como.

(51)

Ííí|t.(

219

ESTADOS VECINOS o DEGENERADOS

De la últim a de estas ecuaciones se concluye que el miembro derecho de las dos primeras ecuaciones es del orden de X,® y, por lo tanto, puede despreciarse a primer orden. Con esta aproximación se tiene que,

donde el detenninante de este par de ecuaciones homogéneas en las incógnitas c„„ y tiene que anularse, (£ „ -

-

<

3

,

=

0.

y resolviendo esta ecuación se obtiene que,

3„+ 3 , + HH'„„ + H'n) 2 2

mientras que de la ecuación (43) resulta

\H ’,„

/c,„y \c „ J

ES-3„~K H \„

E^-& i-\H 'n

^

^

Se han obtenido dos energías de perturbación y dos estados que co rresponden a los signos más y menos en la ecuación (53). Este resul tado es debido a que se han tratado dos estados no perturbados, el í-ésimo y el «-ésimo, con la misma importancia y se ha determinado simultáneamente la energía a primer orden para cada uno. Suponien do que los estados no están degenerados, para poder determinar si es ta interpretación es conecta se puede tom ar X casi cero, por lo cual, el término en b ^ o el radical en la ecuación (53) se puede conside rar pequeño. Entonces, usando el signo más de la ecuación (53) ae obtiene que.

y usando el signo menos £„<->= < 3 ,+ X//'„

(í)

XW'.

220

METODOS APROXIMADOS

Por lo tanto, la primera expresión es el resultado a primer orden de la teoría de perturbación para el estado «-ésimo y la última lo mismo para el estado /-ésimo. Las características cualitativas de la ecuación (53) pueden aclararse más si se escribe la ecuación en la forma siguiente. En primer lugar se introduce el promedio de las energías a primer orden de los dos ni veles, A continuación, se introduce la separación relativa de las energías a primer orden,

Y la ecuación (53) se puede expresar como.

la cual muestra que los niveles están igualmente espaciados respecto al promedio a primer orden. Hay que notar que los términos a segun do orden siempre incrementan la separación relativa de los niveles y esta cantidad es mayor cuanto mayor sea la degeneración a primer orden, es decir, cuanto más pequeflo sea A. Esta tendencia general de los niveles vecinos a repelerse se ilustra en la Figura 2, donde se grafica E„"¡E como función de A. Se observa que la contribución a segundo orden proviene de la degeneración exacta y así resulta impo sible que niveles vecinos se crucen cuando la intensidad de la pertur bación se altera.

Figura 2. Energm a segundo orden de un par de estados degenerados vecinos co mo función de la separación relativa a primer orden A. La magnitud de la co nfección a segundo orden es la distancia entie las curvas continuas y las curvas punteadas. Por lo tanto, estas últimas son la energías obtenidas al despreciar co· rrecciónes a primer orden.

ESTADOSVECINOSODEGENERADOS

,

321

A continuación se va a tratar la situación en la cual los estados no perturbados tienen una degeneración exacta = 3 f , En este caso las ecuaciones (53) y (54) resultan, (53)

f \c j

_______________ « j a _________________ _ +

(56)

Hay que notar que la relación entre ías amplitudes ya no depende de X . Este resultado es consecuencia de la arbitrariedad inherente en cualquier especificación de un conjunto de estados degenerados. De bido a esta arbitrariedad, si no se tiene más información, no es posi ble establecer a priori una relación única entre estados perturbados y no perturbados. La ecuación (56) establece cuáles son las combina ciones lineales de los estados degenerados no perturbados que se tie nen que poner en correspondencia uno a uno con íos estados pertur bados y la respuesta depende del carácter de la perturbación. Como ejemplo específico se puede considerar el caso en que

En este caso se obtiene el resultado

Los estados degenerados originales están totalm ente mezclados ya que lc,„| = |c„„| , Este caso ocurre para una perturbación antisimétri ca que actúa sobre estados degenerados de paridad definida aunque opuesta. Por otra parte, si los estados /-ésimo y n-ésimo tienen la misma paridad, es fácil concluir q u e //|„ es cero si la perturbación es antisimétrica y los estados permanecen degenerados a primer orden. En este caso, se necesita un cálculo a segundo orden para encontrar el desdoblamiento de los niveles debido a la perturbación. Como segundo ejemplo, se puede considerar el caso en el cual, = O, por lo que los estados no están conectados a primer orden. En este caso, tos dos estados están descritos por

METODOS APROXIMADOS

222

= i E„=^ 3„ + k H ’i, ,

C(„ = 1,

y la degeneración no interviene en el análisis. Ejemplos de este tipo se presentan cuando la perturbación conmuta con el conjunto de operadores usados para definir los estados no perturbados. Dicho de otra manera, el análisis se reduce al de la teoría de perturbación con vencional cuando los estados no perturbados pueden especificarse mediante un conjunto de operadores en forma única, cada uno de los cuales conmuta con el término perturbativo. 6. TEORIA DE PERTURBACION DEPENDIENTE DEL TIEMPO Finalmente, se puede considerar el caso de un sistema en algún es tado inicial definido, sujeto a alguna fuerza externa dependiente del tiempo. Como ejemplo, se puede tom ar el caso de un átomo sobre el cual se ejerce una fuerza oscilatoria debido a una onda de luz que pasa a través de él. Se supondrá que la fuerza externa es lo suficien temente débil para que se pueda aplicar un método perturbativo. El hamiltoniano se escribe en la forma, H= (59) sin introducir el parámetro K . Ahora se buscan soluciones aproxima das de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo,

\_Ho + N ‘u m = - J ^ · y Llamando a las autofunciones y autovalores del hamiltonia no no perturbado, se puede expresar como la superposición,

= X n

(')

donde los coeficientes del desarrollo se toman como funciones del tiempo. Si H' fuero cero, los coeficientes «„serían proporcionales a 5 iu pérdida de generalidad, es conveniente escribir

por lo cual, =

4>Jx)

(60)

Por lo tanto, se tiene que « 0 =

(H o +

c

„

(

í

)

2 f„(/)

223

TEORIA DE PERTURBACION 0EPENP1ENT£ DEL TIEMPO

y h d\lt _ dc„ i J i ~ ~ i X ~di''f»«

^ cji)

,

por lo que la ecuación de Schrödinger resulta ser.

Multiplicando por 4>m* e integrando, se obtiene que para cada m

de fíi

i

c„(0.

(61)

Este conjunto simultáneo de ecuaciones diferenciales de primer orden y acopladas es exacto, y es completamente equivalente a la ecuación de Schrodmger dependiente del tiempo. Naturalmente, las condiciones iniciales tienen que especificarse. Se considerará u n i e r e n te el caso en el cual ^( / = o) = , o sea, el sistema se en cuentra en el estado inicial fc „o perturbado. Entonces, se tiene que,

perturbación es tan pequeña o los tiempos lo suficientemente cortos, como para considerar que todos los coefine^que* pequeños, exceptoEntonces, a primer orden se tiem - k:

(f\r.

m ^ k : ^Sm _ _ í u ’

d/ -

¿5 «

r.

^

’

donde se ha conservado solamente el térm ino fc-ésimo en la suma de la derecha de la ecuación (61), pritnera de estas ecuaciones re sulta que, = exp [ - / £ / / V(/) d(¡ñ] - 1

I £

Despreciando la desviación de c* respecto de la unidad, ya que esta desviación contribuye con términos de orden superior al primero, de la segunda ecuación resulta ^ ^

d t,

(^2)

‘h Como primer ejemplo se supondrá que t í 'esindependiente del tiem po, excepto desde í=Ocuandola perturbación aparece repentinamen-

224

METODOS APROXIMADOS

hasta cuando desaparece al tiempo t también repentinamente. En tonces, se obtiene que que corresponde a un corrimiento en la energía, en concordancia con el resultado de la teoría de perturbación estacionaria a primer or den. Para las c„ se tiene que. E--«

- I

Cmil) = o bien, (63) Para estados no degenerados, si H '^ es bastante pequeño, entonces |e„ I * permanece pequeño para todo tiempo í. Sin embargo, es grande, la aproximación es válida solamente para t pequeño. Eri ambos casos, la interpretación del resultado es la siguiente. La canti dad es la probabilidad de encontrar al sistema en el estado n-ésimo no perturbado después de que ha ocurrido la perturbación si el sistema se encontraba inicialmente en el ^-ésimo estado no pertur bado. Desde este punto de vista, al actuar la perturbación durante el intervalo de tiempo de O a í, provoca transiciones entre estados no perturbados. A continuación se puede considerar el caso de estados degenerados o aproximadamente degenerados. Para = &k se tiene que (64) y, por lo tanto, la probabilidad de tranáción crece rápidamente con el tiempo y finalmente resulta del orden de la unidad. Este resultado es válido sin importar lo pequeño que sea H '^ . en tanto que no sea idénticamente igual a cero y la razón es fácil de entender partiendo de los resultados previos de la teoría de perturbación estacionaria. Como ya se estableció, cuando los estados ír-ésimoy m^ésimo están degenerados y H ’mu es diferente de cero, los estados perturbados son combinaciones lineales de los estados degenerados no perturbados con amplitudes relativas del orden de la unidad. El crecimiento de |c„ p refleja el intento decidido (pero sin éxito) del sistema de alcan zar la combinación lineal correcta como respuesta a la perturbación y, como c„ finalmente resulta comparable con la aproximación es válida sólo para tiempos pequeños. Sin embargo, resultados válidos para tiempos arbitrarios se pueden obtener tratando c* y Ck simul táneamente en la ecuación (61) y en ieualdad de condiciones. Las

TEORU DE PERTURBACION DEPENDIENTE DEL TIEMPO

225

ecuaciones acopladas que resultan son fáciles de resolver, pero los de talles se dejan para los problemas. Un aspecto de la ecuación (63) que es bastante sorprendente es el resultado de que Um]* inicialmente crece como . Se esperaría que la probabilidad de transición creciera linealmente con el tiempo, o sea, que el efecto de la perturbación se describiera en términos de la rapidez a la cual se inducen las transiciones. Claramente no es éste el caso de transiciones a un solo estado final degenerado, sino a un gru po denso de estados finales, como el continuo. Para entender la importanciai de este caso, se considera la probabilidad de transición P a un grupo de estos estados.

P=

X

lí'«. (r)|*=

X

(65)

La estructura de esta suma es muy interesante. Para / grande y fya, se puede considerar que el elemento de matriz H ‘„k varía muy lenta mente de término a término comparado con el resto del factor. En tonces, la cantidad como función de tiene un máximo muy bien definido en el punto como se muestra en la Figura 3, De la figura se observa claramente que, cuando t tiende a infinito, las transiciones ocurren con probabiUdad (preciable dentro de una ban da de estados cada vez más estrecha, con energía E centrada respecto a la energía del estado inicial ■ Este resultado expresa la conserva ción de la energía, ya que los estados finales que se pueblan aprecia blemente son los estados cuya energía difiere de la energía del estado final por una cantidad infinitesimal. Los efectos no conservativos de poner y quitar la interacción resultan despreciables si el tiempo em pleado entre los mismos es lo suficientemente grande. De la figura se nota que la anchura del máximo en la curva para la probabilidad de transición es inversamente proporcional a í, y la altu ra de la curva es proporcional a . Entonces P, que es proporcional

Figuro 3, Piobabilidad de transiciÓR contra la eneigía.

226

METODOS APROXIMADOS

al área b ^ o la curva, crece Unealmente con t. Para ver este resultado explícitamente y recordando que se supuso que los estados finales son densos, la suma de la ecuación (65) se convierte en una integral sobre un intervalo AE rodeando a 3 ^ , expresando el número de esta dos en el intervalo de energía entre E y E + dE como p{E) dE. En tonces PÍE) es la densidad de estado en £ ”y se obtiene que P . 4Í

,(£ )

donde significa el elemento de matriz entre el estado inicial y un estado final íípico en el intervalo AE. Despreciando la variación de p(E) y de )//',„*.!* en este intervalo, se obtiene que, s in n ( < g f - g)//2A] = 4p(E) \H’mk HaciendojT= (E — ¿?fc)í/2fi resulta que, P ^ jP iE )

|//'„ ,.|^ n "

^

dx.

Para /->■“ , se puede demostrar que la integral es igual a tt y por lo tanto,

P ^ ^ p i E ) I W 'J M ,

(66)

donde P es proporcional a í, como se esperaba. Introduciendo la ra pidez de transición como W = dP¡dt, se encuentra que.

W=^p{E)

(67)

Este es un resultado muy importante y útil. Debido a Fermi se acos tum bra llamarlo la regla de oro de la mecánica cuántica. En palabras, este resultado establece lo siguiente: el número de transiciones por unidad de tiempo de un estado inicial a un grupo denso de estados fi nales, que conservan la eneigía es 2 vfh veces la densidad de estados finales multiplicado por el cuadrado del valor absoluto del elemento de matriz que conecta el estado inicial con los estados finales. El dominio de validez de este resultado se determina mediante las siguientes consideraciones. En primer lugar, la probabilidad total P de que el sistema sufra alguna transición del estado inicial tiene que ser pequeña, P l.Por lo tanto, de la ecuación (66) se tiene que, ^ p ( E ) |// U P f t, (68) \ íl que sirve para restringir el intervalo de tiempo en el cual se aplica el resultado. Por otra parte, de los detalles de la derivación es claro que el intervalo de tiempo no puede ser muy corto. Recordando que la anchura es inversamente proporcional a t como se ve en la Figura 3,

TEORIA DE PERTURBACION DEPENDIENTE DEL TIEMPO

227

y designándola por «, se tiene que (69) También hay que recordar que el cálculo de la suma sobre los estados finales en la ecuación (64) supone que e es tan pequeña como para considerar que la densidad de estados y los elementos de matriz son constantes. Si €„ es una medida de la anchura máxima en la cual se justifica esta suposición, entonces, se tiene que s 1.

(70)

La única forma que, en general, las ecuaciones (68) y (70) se pueden satisfacer simultáneamente, es que sea pequeña. Entonces, resu miendo, no es sorprendente concluir que la regla de oro se aplique JÓlo a perturbaciones débiles. Merece comentarse otro a f e c t o de la ecuación (69). La cantidad e mide la incertidumbre en la energía de los estados finales a los cua les llega el sistema debido a la perturbación. El producto de esta in certidumbre por el tiempo durante el cual actúa la perturbación es del orden de ft , en concordancia con el principio de incertidumbre. Hasta aquí se han considerado perturbaciones independientes del tiempo, excepto mientras se pone o se quita. A continuación se ge neralizará al caso de una dependencia armónica en el tiempo, consi derando una perturbación de la forma H 'U ,í) =

(71)

que es del tipo que describe los efectos del campo de radiación elec tromagnético.“* De la ecuación (53) se concluye inmediatamente que todos los reailtados son válidos si 3^ — se substituye por — 3,„ + hoi. La ecuación (63) resulta =

. (72) ( — 3,u + ftw) Para que la notación quede clara, es necesario puntuahzar que el sig no superior en la ecuación (72) corresponde al signo superior en el exponente de la ecuación (71), y análogamente para los signos infe riores. Las transiciones del estado fc-ésimo al estado m-ésimo suceden con probabilidad apreciable solamente cuando, ¿^,„=

+

(73)

'·* En forma estricta, la dependencia armónica en el tiempo es trigonométrica, o M* ooi (u t S). Como consecuencia, tiene lugar una interferencia entre las componentei de fttouatisl· positiva y negativa de la perturbación, pero su contribución es despreciable pata l u tn a il· dones con probabilidad apreciable, es decir, cerca de la resonancia.

228

METODOS APROXIMADOS

lo cual significa que las transiciones se inducen de preferencia en sis temas que absorben o emiten un cuanto de energía ftw . En el pri mer caso se llama absorción de resonancia y en el segundo emisión es timulada o inducida. Si w es tal que se satisface la ecuación (73), y si A y m se refieren a estados discretos no degenerados, la probabilidad de transición que viene dada por la ecuación (64) crece duadráticamente con el tíempo como antes. El resultado es válido para tiempos suficientemente cortos, sin importar lo débil de la perturbación. Sin embargo, como en el caso de la perturbación independiente del tiem po, se pueden obtener resultados válidos para tiempos arbitrarios si se tratan y q con la misma importancia en la ecuación (61). Las ecuaciones que resultan son fáciles de resolver, pero los detalles del cálculo se dejan para los problemas. Si se consideran transiciones a un (o de un) conjunto denso de es tados degenerados en el continuo, la derivación de la ecuación (67) permanece inalterable, pero las energías de los estados inicial y final están relacionados por la ecuación (73). Todavía se puede hablar de conservación de energía en el proceso si se enriende que se refiere a la energía tota/ del sistema, la parte material más el campo de radia ción. Por esto, en la absorción, el sistema material absorbe un cuanto Ato a expensas del campo de radiación. En el proceso de emisión, el campo de radiación gana un cuanto a expensas del sistema material.'® Entendiéndolo así, la regla de oro y su interpretación quedan sin mo dificación. Es necesario puntualizar que, en este desarrollo, se ha considerado el campo electromagnético como una entidad estrictamente clásica. El hecho de que la emisión y la absorción estén cuanüzadas es una consecuencia automática de las propiedades cuánticas del sistema ma terial; no está directamente relacionado con las propiedades cuánticas del campo, pero sí es consistente con esas propiedades. Si esto últi mo se quiere tom ar en cuenta, las amplitudes del campo deben de considerarse como operadores que actúan sobre la función de estado que describe el campo. Estas amplitudes se pueden expresar en tér minos de variables de oscilador armónico para cada modo, y el estado del campo se puede caracterizar por el número de cuantos en cada uno. La energía del punto cero de estos osciladores armónicos juega un papel crucial en ia interacción de sistemas materiales con el campo electromagnético. Estas fluctuaciones del vacío, como se les llama, son responsables de la emisión espontánea, es decir, la emisión de ra diación por un sistema cuando no existe ningún campo de radiación externo presente. El tratamiento clásico, válido únicamente para nú'· Procetot de absorción y emisión m últales, donde intervienen dos o más fotones, se descri ben por cálculos de teoría de perturbación de segundo orden y orden superior.


239

meros cuánticos altos, no contiene ninguna referencia a las flu ctu é ciones del vacío y, por ello, no puede tratar la emisión espontánea.'· Se puede añadir, aunque sin demostrarlo, que la regla de oro tam bién se aplica a la descripción de transiciones inducidas a un estado final discreto y definido, partiendo de un estado inicial que es una mezcla densa de estados degenerados en el continuo. Este proceso es el inverso del proceso descrito anteriormente. Como ejemplo particular de la aplicación de la regla de oro se pue de considerar el caso de una partícula de carga e en su estado base en un potencial Kíjc) , que recibe luz de frecuencia ta , por lo cual salta al continuo. Esencialmente, este proceso es el de foto-ionización. Para llevar a cabo los cálculos se harán dos suposiciones. La primera de éstas se refiere a que se tomará la longitud de onda de la luz muy grande comparada con la dimensión del sistema. Esta es una suposi ción muy común y generalmente válida ya que, excepto en la región de rayos-X y menor, la longitud de onda es mucho mayor que ías di mensiones atómicas. Con esta suposición, el campo eléctrico 3 que actúa sobre la partícula puede tomarse como uniforme en el espacio, aunque armónico en el tiempo, y por esto la perturbación tom a ta forma, H ’ix,t) ^ H'(x)

= - e 3 x e“'*“',

(74)

que es precisamente la energía potencial instantánea de la partícula en ese campo*^. La segunda suposición se refiere a tom ar la frecuen cia w grande para que la energía del estado final E sea muy grande comparada con . Esta última suposición permite tratar el estado final de la partícula como un estado de partícula libre, es decir, como un estado de mom ento y energía bien definidos. Las únicas dificultades que se presentan en este cálculo provienen de calcular la densidad de estados finales puesto que se encuentran en el continuo, y de normalizar correctamente estos estados. Ambas se pueden resolver usando el truco de encerrar al sistema en una C£ua de longitud L muy grande y al final hacer tender L a infinito. Cuando el sistema se encuentra en esta caja, se puede obtener fácilmente un conjunto de estados discretos y normalizables, imponiendo condicio nes a la frontera apropiadas. Por gem plo, para una c ^ a real, la fun ción de onda tiene que anularse en las paredes.- Sin embargo, las fun ciones de estado definidas de esta manera no son estados de momen to lineal definido, aún en el límite d e £ , debido a que estados '«Para una discusión aemiclásicade la emisión e ^ o n tá n e a v e rla Referencia [23]. " Se han despreciado fuerzas magnéticas debido a que son del orden vfc raenote» que l u fuerzas eléctricas, donde v e$ la velocidad de la partícula. También se ha omitido el termino de frecuencia positiva porque solamente interésala absorción.

230

METODOS APROXIMADOS

nunca se anulan. Por esto, se recurre a una argucia puramente mate mática y no física, que es la condición peródica iftíAo + L) = * donde se supone que las paredes están en y en L. Por razones obvias, este requisito se llama condición a la frontera periódica. Ya que las autofunciones simultáneas de mom ento y energía para i iiñ se exige la partícula libre son ondas puras de de Broglie que ex p

[iVlmE (jf„ + D/í ]=

ex p

[iVlmExjñ]

y por lo tanto

V l m E L¡h = IniT,

« = O, ± 1, ±2,

Los estados normalizados serán (75) donde 2

nvh

(76)

A medida que L crece, el espaciado del espectro resulta cada vez me nor y, en el límite, los estados resultantes son los estados continuos de partícula libre con momento definido* Este es precisamente el hecho que motiva y justifica la introducción de las condiciones a la frontera periódicas. Para calcular la densidad de estadospíí·) hay que recordar que esta densidad se define como el número de estados con energía entre E y £■ + A£. De la ecuación (76), el número total de estados (£) con energía menor o igual que £ es 2« + 1, y expresando n en términos de E resulta que,

N{E) = ^ V l r i Æ + 1. Por lo tanto, N ( £ + A£) = ^

V l m i E + AE) + \ = / V

( £

Entonces, despreciando términos de orden superior, ÙN = N (£ + A£) - N{E)

= ^ V l m ! E

ÚxE,

) A£.


231

pero, por definición AA/ = p{E)AE y por lo tanto. (77) Falta escribir el elemento de matriz de la perturbación H'ix') defi nida por la ecuación (74), y para expresar explícitamente que está to mado entre el estado inicial y el final, se escribe H ’i^. El estado ini cial del problema es el estado base nomnaJizado ((»„(jt) con enetgía £o = ~ e , donde e es la eneigía de ligadura. El estado final será el estado normalizado de partícula libre definido por la ecuación (75), con energía E{ dada por £ / = £,( + Aío = ftw —€.

(7 8 )

Entonces, el elemento de matriz será,

y usando las ecuaciones (74) y (75), dx .

El factor que multiplica la intensidad del campo eléctrico es el ele mento de matriz del momento dipolar ex y H'¡f resulta ser el prome dio cuántico de la energía de un dipolo en un campo uniforme 3 . Entonces, la probabilidad de transición por unidad de tiempo re sulta ser

iV (79) Como se esperaba, la longitud de normalización L no interviene en el resultado final. La densidad de estados es proporcional a L pero, debido a la normalización de los estados continuos, el cuadrado del elemento de matriz es inversamente proporcional a L y el producto de ambos es independiente de la longitud de normalización. Por lo tanto, la ecuación (61) tal y como aparece es el límite alcanzado cuando L resulta infinito. Es de cierto interés calcular el elemento de matriz para un ejem plo, como sería el de una partícula en su estado base en un pozo de potencial cuadrado. Para simplificar el cálculo, se supondrá que la anchura del potencial es tan estrecha como para considerar que el estado base es el único estado ligado y, además, tan poco ligado que la función de estado se extienda muy lejos de las paredes del poten

METODOS APROXIMADOS

232

cial. Se tomará el límite para el cual la función de onda dentro del pozo cuadrado no contribuye en forma apreciable a la ecuación (61) y puede ignorarse. Extrapolando la función de onda exterior hasta el origen, se puede escribir que,

<¡fo(x) - (V2me/A*)‘'=‘ (80) donde € es la energía de ügadura. Esta función, que está normaliza da, se ilustra en la Figura 4, y se compara esquemáticamente con ia verdadera función de onda del estado base para un potencial es trecho.**

F^íira 4. La función de onda de la ecuación (80) comparada con la función de onda verdadera, para el estado base libado débilmente en un pozo de potencial cuadrado muy estrecho.

Con esta simplificación final se tiene que,

J

=

a: exp [—N/Í^{Vc]jr|—iV^/A-)/A] í/jf X

exp

+

( V 7 ~ i V E ^ ) x / h ] dx

[—

ro

X exp [y/2fñ(V7 + iV E f )x / ñ ] dx

________ I 1

(V ¿ -íV £ ^ )2 í l m e V'*

4i V

( V e + ¡ V e ,Y.

e^

2m Ef^ + €^’ Entonces, la ecuación (79) resulta ser I ftW

W=

m

'» La función de onda de la ecuación (80) se puede obtener haciendo tender 2« a cero y l·'» a infinito, pero en tal forma que ZaVt seaprox im eau n aco n stan te, por ejemplo es decir, el límite para el cual et pozo de potencial cuadrado se aproxime a ; 5 (x). La energía de liga dura K expresa en ténninos de ^ como « = m g ‘J2 hK que se puede verificar al tomar el límite de la ecuación ( V I - 16). Ver también el Problema 4 del Capítulo VI.


233

donde

E f= h
Sujeto a todas las simplificaciones que se han hecho, este resultado significa que si una onda electromagnética de frecuencia w y vectOT eléctrico 3 irradia un conjunto de N partículas, cada una de carga e y masa m en su estado base con energía de ligadura « que se encuen tra en un pozo de potencial cuadrado, entonces, el número de foto electrones producido por segundo con energía - « csNW, donde W viene dada por la expresión anterior. El ejemplo que se acaba de estudiar es totahnente análogo al cálcu lo de la foto-ionización de átomos o de la fotodesintegración (eléctri ca) de núcleos. El cálculo, aunque no es trivial, se ha hecho en una dimensión, pero el cálculo en tres dimensiones es Ugeramente más di fícil. Las diferencias entre tres dimensiones y una, estriba en la den sidad de estados. Pueden surgir otras diferencias si la estructura de la función de onda del estado base es diferente. La fotodesintegración (eléctrica) del deuterón aisla los efectos del cambio en la densidad de estados, ya que la función de onda del estado base del deuterón es la que, esencialmente, se ha usado en el cálculo. Entonces, resulta que la probabilidad de transición por segundo es proporcional a 2 energías altas en lugar de Por otra parte, la fotoionización del átomo de hidrógeno provoca un cambio en la función de onda del estado base que es la que corresponde a un potencial cu lombiano más que a un pozo cuadrado, con el resultado de que la probabilidad de transición decae mucho más rápidamente con la fre cuencia, siendo proporcional a . Como observación final, es necesario puntualizar la costumbre de escribir que es costumbre describir estos procesos en términos de la probabilidad de desintegración o ionización por fotón htcideníe más bien que en términos de probabilidad por unidad del tiempo. El nú mero de fotones por cm=¡ por segundo en un haz de luz de intensidad / es proporciona] a IjUat, donde / es proporcional al cuadrado del campo eléctrico Entonces, la probabilidad por fotón incidente por cm^ es decir la sección eficaz o sección, es proporcional a para la fotodesintegración del deuterón, y proporcional a <*'*/cü^'*para la fotoionización del átom o de hidrógeno.

Ì34

METODOS APROXIMADOS

Problema 1. Si la pared de un potencial infinito se considera como el Dunto de vuelta clásico, la función de onda se anula en el punto de Aielta; no se extiende un octavo de longitud de onda más allá del junto de vuelta. Entonces, la condición ( 12) se tiene que modificar. (a) ¿Cuál es la condición cuántica correcta para una partícula ;n una caja (paredes infinitas)? (b) Usar la aproximación WKB para encontrar los estados esta:ionarios y comparar con los resultados clásicos. Explicar. Gobierna 2. Considerar el movimiento de una pelota botando. To nar el movimiento como si fuera perfectamente vertical y las co lisió les de la pelota con el suelo como si fueran perfectamente elásticas, íl potencial se muestra en la Figura 5. (a) ¿Cuáles son las condiciones cuánticas correctas? (b) Usar la aproximación WKB para encontrar las energías de os estados estacionarios. (c) ¿Cuál es el orden de magnitud del número cuántico apropía lo al estado estacionario de una pelota de masa lOOgm. que cae de ina altura de un metro? V ^ mgx

Figura S. Enei^ía potencial de una pelota botando.

Problema 3. Aplicar el método variacional de Rayleigh-Ritz al osci* ador armónico para encontrar: (a) La energía del estado base si se usa como función de prueba ma gausiana cuya anchura varía. (b) La energía del primer estado excitado si se usa como fun;ión de onda de prueba, \x\ « a

O, •on como parámetro de variación. limo? Explicar,

|jc|

«.

¿Se aplica el principio del mí-

Problema 4. Aplicar el princio variacional de Rayleigh-Ritz a una >artícula en una caja de anchura!, para encontrar: (a) La energía del estado base usando un polinomio de segundo [rado como función de prueba.

PROBLEMAS

235

(b) La energía del estado base usando un polinomio de cuarto grado. (c) La energía del primer estado excitado usando el polinomio apropiado más simple como fundón de prueba. Nota: En cada caso escoger la función de prueba de tal manera que satisfaga las condiciones a la frontera correctas en las paredes. Problema 5. En física nuclear, con frecuencia se usa un potencial armónico cortado en jr = ± b , o sea i O,

|a:| h \x\ & b.

(a) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar las energías del estado base y del primer estado excitado. Como funciones de prueba usar el polinomio de la ecuación (19) del texto y el polinomio del Problema 3(b), considerando en cada caso como parámetro de variación. Escoger b tal que 6 > a. (b) Hacer lo mismo para el caso b = O, m ^

/I ±

1.

(c) Calcular los autovalores de energía a segundo orden. (d) Encontrar la solución exacta al problema. Sugerencia: in troducir un corrimiento del origen. Comparar con los resultados de la parte (c).

236

METODOS APROXIMADOS

Problema 7. (a) ¿Cuál es la matriz que representa a ia operación de multipli car por la unidad? Esta matriz se llama matriz unidad. ¿Qué se pue de decir de la multiplicación por un constante c? (b) Por las reglas de multiplicación de matrices, verificar que al multiplicar la matriz unidad por cualquier matriz, se obtiene el resul tado esperado. (c) Dadas las matrices dos-por-dos - a

^)-

-

u

1 )·

encontrar A \ B \ A - \ - B , A B y BA. Problema 8 . (a) Los elementos de matriz x„„, de x para el oscilador armónico se obtuvieron en el Problema 6(b). Usando las reglas de la multiplica ción de matrices, encontrar los elementos de matriz de . Verificar el resultado calculando directamente . (Ver Problema 2(b) del Capítulo VI). (b) Hacer lo mismo para p y (Ver Problema 2(c) del Capítu lo VI). (c) Usar los resultados obtenidos para verificar que

i p, x) Problema 9. Una partícula con energía E se mueve en un potencial y(x) = — r i-jT · cosh^ xlh (a) Suponiendo que £ > I Foí encontrar, con la mayor precisión que sea posible, las condiciones sobre Voy t> para que la aproxima ción WKB sea válida. (b) Bajo las condiciones obtenidas en (a), calcular el coeficiente de transmisión r(E) y ei incremento en tiem po asociado con el paso de una partícula de energía E a través del potencial. Problema 10. Considerar una perturbación H' independiente del tiempo excepto al ponerla a í = O y al quitarla al tiempo í. Suponer que los estados no perturbados «-ésimo y m-éámo están degenerados exactamente (a) Suponiendo que inicialmente el sistema se encuentra en el estado no perturbado «-ésimo, encontrar su comportamiento poste rior. Partir de la ecuación (61 ) y despreciar todos los estados excep to el par degenerado, pero tratar éstos sin ninguna aproximación. (b) Determinar bajo qué condiciones iniciales se encontrará el sistema en un estado estacionario sin que la perturbación induzca transiciones de primer orden.

237

pro blem a s

(c) Discutir la relación de estos resultados con los obtenidos en la teoría de perturbación estacionaria. Problema 11. Una partícula de masa m se coloca en una c£Ua de una dimensión, centrada en el origen, de anchura I L y colocada en pre sencia de un campo gravitatorio uniforme. El hamiltoniano del siste ma será, H

=

+

m gx,

\x\

^

L.

Estimar las energías permitidas del sistema usando: (a) La aproximación WKB.
Problema 12. Una partícula de masa m está confinada al interior del potencial triangular mostrado en la Figura 6. Por lo tanto, el hamiltoniano e s / / = ip'^j2 m) + Vix), donde F ( a:) = oo, jf < O = Icx,

JC > 0 .

Friura 6. Pozo de potencial triangular. (a) Estimar la energía del estado base usando el principio de in certidumbre, (b) Estimar la energía del estado base usando el método varia cional de Rayleigh-Ritz, Como función de prueba escoger O , JT O «(f(jc)

r * (jc* -

O

a^),

0 ^

X ^

a

METODOS APROXIMADOS

238

y considerar a como parámetro de variación, (c) Sugerir una función de prueba adecuada para los primeros estados excitados pero no llevar a cabo ningún cálculo. Justificar brevemente esta selección, ¿Satisface el primer estado excitado un principio m ínimo? ¿Por qué? Problema 13. La energía del estado base de un sistema se estima con el método de Rayleigh-Ritz y con la teoría de perturbación a segun do orden. El resultado de Rayleigh-Ritz es de -2 7 .1 eV y el de la teoría de perturbación es de —26.0 eV, ¿Cuál es el más cercano a la verdadera energía del estado base? Suponer que los números se han intercambiado. ¿Sería posible decidir cuál estimación es la mejor? Explicar eí razonamiento hecho. Problema 14. Una partícula de masa m se mueve en un potencial F(jc) = Vo(xfL)'^\ donde s es un entero positivo- {Se tendría un osci lador annónico para s = 1 y un pozo cuadrado para .v -*■ 30 . ) (a) Estimar la magnitud de la energía del estado base usando el principio de incertidumbre. (b) Estimar la energía del estado base usando el método de Ray leigh-Ritz utilizando las funciones de prueba (i)

exp [ - x - i 2 ( t '] eos 7tx¡ 2 í i ,

(ii)

O

,

X ^ a: >

a a.

Considerar a como parámetro de variación en ambos casos. ¿Cuál es la función de prueba que da mejores resultados para diferentes valo res de j? Discutir los resultados, (c) Demostrar que, en la aproximación WKB, la energía del n-ésimo estado se puede expresar en la forma

m donde k{s) es una cantidad sin dimensiones del orden de magnitud de la unidad para toda s. Encontrar una expresión explícita para k(s). Problema 15. Un oscilador armónico de masa m, carga e y frecuencia tu se encuentra en su estado base. (a) Un campo uniforme 3 se pone a í = O y se quita a i = t. Usando la teoría de perturbación dependiente del tiempo a primer orden, estimar la probabilidad de que el sistema se excite al estado n-ésimo. (b) Calcular lo mismo pero para un campo eléctrico que oscile senoidalmente, 3 = 3^ sen «»„í.

tS 0

problemas

Problema 16. Sean t/», y ií»i un par de estados ortonormales y degen^ lados correspondientes a algún sistema. Al tiempo í = O se pone una perturbación H ' y se quita al tiempo í = t. Suponer que el sistema se encuentra inicialmente en el astado ijt, . (a) Encontrar t) para t > t y encontrar la probabilidad de que ocurra una transición de 0, a Despreciar todos los demás es tados excepto el par degenerado. Por sencülez suponer que, = («ír,|/ / > , ) = €

(b) Comparar la probabilidad de transición obtenida con el resul tado que se obtendría al usar la teoría perturbativa dependiente del tiempo a primer orden y encontrar las condiciones precisas para la va lidez de esta última. Problema 17. El oscilador armónico se reduce al caso de la partícula libre cuando la frecuencia tiende a cero. Se comprueba fácilmente que el oscilador armónico resulta el de la partícula libre en este lími te. Sin embargo, no es fácil demostrar que las funciones de estado del oscilador armónico se reducen a las funciones de estado de la partícula libre. (a) Hacer tender w ^ O y « ^ ® en tal forma que E „ = (rt + y ) h(it

E

y estudiar la función de estado del oscilador en este límite. (Su gerencia: usar la representación integral de la ecuación (VI-61) y calcular la integral por el m étodo del punto silla). (b) Considerar la aproximación WKB para las funciones de esta do del oscilador armónico (no muy cerca de los puntos de vuelta). Demostrar que, para n grande, la función de estado difiere poco de un estado de partícula libre en la región central, (c) Demostrar que los estados WKB se reducen a estados correc tos de la partícula libre en el límite de frecuencia cero descrito en la parte (a). Notar que los puntos de vuelta en este límite resultan infi nitamente remotos. Problema 18. Un sistema con autoestados no perturbados y energías „y £ „ ,respectivamente, está sujeto a la perturbación dependiente del tiempo VTT T

240

METODOS APROXIMADOS

donde A es un operador independiente del tiempo. (a) Si el sistema se encuentra inicialmente (í = -oo ) en su esta do base <í»„, demostrar que, a primer orden, la am pütud de probabili dad de que el sistema a í = x se encuentre en el m-ésimo estado (m ^ 0) es

donde (b) El límite t*(£', — > 1 se llama el límite adiabático. Discutir el comportamiento del sistema en el limite adiabático cuan do pasa de menos a más infinito. ¿Por qué todas las probabilidades de transición tienden a cero en este límite? (c) Considerar el límite de una perturbación impulsiva t = 0. Demostrar que la probabilidad P de que el sistema, estando en el esta do base, sufra cualquier transición es

Sugerencia; Encontrar la probabilidad de transición al estado m-ésimo y sumar a todos los estados excitados usando los métodos del álgebra de matrices. (d) Demostrar que la perturbación impulsiva de la parte (c) es equivalente a / / '( / ) = /lS { r), (e) Integrar la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en un intervalo infinitesimal en tom o a / = O y demostrar que t) es discontinua en í = 0. En particular, demostrar que

y por lo tanto, que la solución exacta de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es, f < 0:

f > 0:

4r = X c*„,

c ,„ = < 0 ,j( l+ 2 ^ )

(l-2 x )l< í> .> ·

Si Ä es un operador, su inverso B~' se define, en caso de existir, como B ''B = B B ' = 1.

PROBLEMAS

24

Demostrar que esta solución se reduce al resultado de la teoría é perturbación a pnm er orden si la perturbación es lo suficíentemenh débil (O Verificar que S = I. Problema 19. Sean los estados estacionarios ligados de un sistemi cuya energía es £ escogiendo las funciones reales por convenien· cía (ver Problema V I-11), (a) Demostrar que, < >}f„\px\>li„) ^ hl2i

(b) Demostrar que, 2

{{«{'>HI*//,)

*

(c) Usando los resultados de (a) y (b), y de matnces, demostrar que,

métodos del álgebr»

2 i E , - E „ ) \ x J ^ = hV2m. [Este resultado es un ejemplo muy importante de lo que se llama regla de suma Su importancia proviene del hecho de que la prohabilidad para una transición dipolar entre Asestados «-ésimo y n-isimo es proporcional a Por lo tanto, estos elementos de m itriz son cantidades que se pueden medir directamente 1 (d) Verificar la regla de suma para el oscilador annónico, ca)(# lando directamente la suma. ’ ■■ Problema 20. En el Capítulo VI se demostró que un pozo cuadradfb atractivo tiene por lo menos un estado ligado, sin importar lo débU del potencial. Usar el método variacional del lâyleigh-Ritz para pròbar que es una propiedad general de cualquier potencial que sea pura mente atractivo. Para hacerlo, usar la función de prueba

y demostrar que a siempre se puede escogertalque E ' (a) sea negati va. (¿Por qué constituye una demostración?).

v ili Sistemas de partículas en una dimensión 1. FORMULACION Ahora ya se puede hacer la primera generalización importante en la formulación de las leyes de la mecánica cuántica. Los requisitos impuestos por el principio de correspondencia, llevaron a considerar al hamiltoniano como el operador que determina el desarrollo en el tiempo de un sistema que consiste de una sola partícula moviéndose en un campo de fuerzas extemo. Por argumentos análogos, se puede concluir que el operador hamiltoniano de un sistema de partículas, juega exactamente el mismo papel. Este resultado se demostrará a continuación. Si se considera un sistema de A partículas en interacción, cada una de las cuales puede también considerarse bajo la influencia de una fuerza externa, su hamiltoniano clásico será f ^ i p .............P a , x „ · · ■ , i=t

^

i=l

i>ain

donde p ?i 2 m^ es la energía cinética de la partícula í-ésima de masa y podría ser cualquier potencial extemo (como la grave dad) en el cual se moviera la partícula. Finalmente,

yi i(xt-Xi) - y}iiX}-Xi)

243

FORMULACION

es la energía potencial de interacción entre la partícula í-ésima en x¡ y la /-ésima en A:j, Como lo muestra la notación, esta interacción de pende solamente de la diferencia Xi - X j . La energía total de interac ción se obtiene sumando sobre todos los pares de partículas, y una forma explícita de escribir este término sería, 2

: Ui i< i

Al sumar sobre í y la condición de que i sea siempre menor que j asegura que cada pareja se cuenta una sola vez. Respecto a la descripción cuántica de estos sistemas, se pueden ha cer las siguientes suposiciones que son, en mayor o menor grado, ge neralizaciones obvias de la descripción de una sola partícula. (a) En el espacio de configuración, la función de estado del siste ma depende de la coordenada de cada partícula y del tiempo, (b) Suponiendo que ((»esté normalizada,

í dx dx^ ' ' dx,4

= 1,

(2)

la densidad de probabilidad absoluta en el espacio de configuración es I0 I*. Explícitamente, |0|* dx, dx^... dx^ es la probabilidad de que la partícula uno se encuentre entre x , y + dx^, la partícula dos entre y x^ + dx¡ y así sucesivamente, para todas las partícu las A. Entonces, se concluye que. p{-V|) = í dXi - · ·

JCa,. .

01“

(3)

es la densidad de probabilidad para la partícula uno solamente e independiente del comportamiento de las demás partículas. Por esto, p(x^) tiene el mismo significado y las mismas propiedades que la densidad de probabilidad de una sola partícula; también tienen que satisfacerse las leyes de conservación de la probabilidad. (c) Las variables dinámicas de cada partícula son operadores que satisfacen la ley normal de conmutación. Pero, ya que las variables dinámicas de partículas diferentes representan grados de libertad totalmente diferentes y, por lo tanto, observables que no interfie ren, las variables dinámicas de partículas diferentes conmutan entre sí. Entonces, se puede escribir que ♦ p j ] = [JCj, X} ] = 0

[Pi.

=-[û·

(4)

244

SISTEMAS DE PARTICULAS EN UNA DIMENSION

Específicamente, en el espacio de configuración las coordenadas Xj son números y los momentos vienen dados por, A ^ i dxi

Y en el espacio de momentos, los momentos p¡ son números y las coordenadas vienen expresadas por, fí H íi \ Jf( = r T (6) j dpi De estas suposiciones se concluye que la función de estado en el espacio de momentos<í>(Pí* Pa,· 0 es la transformada de Fourier ^-veces' y los valores de expectación se calculan en la forma usual,

Pi.................... = ........ ' T B r : · " ........... y la ecuación deSchrödinger tiene la forma general,

donde H es algún operador lineal y hemitiano. Se necesita, como an tes, que la ecuación sea de primer orden en el tiempo para que se cumpla la conservación de la probabilidad. Usando las ecuaciones (4), (5 ) y (6) se obtiene que [ p u f i X t , . . . , X a \ P ...............P

a)

] = J

^

[ / U , , ------- X a , P i --------

y, por argumentos análogos a los usados en el caso de una sola pai^ tícula (ver Sección 3 del Capítulo V), se encuentra que

‘ Específicamente, esto significa que 0 y * = CítA)-"^ f dp,

están lelacionadas poi

■ ■ ■ dp^
exp +PiXi + ■ ■ ■

y 0 = (2Trft)

/ d x, · · · dx

.........exp [ - i ( p iJt i + · · · +

1.

DOS PARTICULAS; COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

248

Asociando valores de expectación con variables clásicas según el prin cipio de correspondencia, se concluye que estas ecuaciones son las ecuaciones clásicas de movimiento en su forma hamiltoniana, si /T en la ecuación (7) es el operador hamiltoniano, es decir, que el hamilto· niano de la ecuación (1) se puede tom ar como una función de las va riables dinámicas cuánticas definidas por (4), (5) y (6).

2. DOS PARTICULAS; COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA Como primera aplicación de esta formulación general se conside ran dos partículas de masas m, y ma , que interaccionan entre sí me diante un potencial V(x, - x^) en ausencia de fuerzas externas. El hamiltoniano del sistema viene dado por,

y la ecuación de Schródinger en el espacio de configuración resulta ser, 2

+V{x,-X,)

m, dx,^

La forma de V sugiere que se use como una nueva coordenada la distancia entre las partículas y, por lo tanto, se introduce la trans formación JC= JCi - jci X = oíjr, + jSjti,

donde a y son parámetros. Naturalmente que X resultará ser la coordenada del centro de masa y resulta instructivo ver cómo se ob tiene. Se tiene que, a

dx

a _^dX

dxi

dx,dx

dXi

éx

d

d ^

+ i:---- TT,= — + ofdxi dX

dx

b

dX

^ dX’

por lo cual,

rtifdxi^

rtií

fi óx^

\/n,

nti) SX^

\mi

áxdX'

246


donde ti es la masa reducida del sistema y está expresada por

fi

r»!

m¿

(10)

« I + f«í

Para eliminar el término cruzado, se escoge ß como

mi y por lo tanto, 1 5* m, dx,^

nti dxt^

n dx^

nit

JL dX'^‘

La selección de a todavía es arbitraria; únicamente sirve para fijar la escala de la coordenada X. La selección más conveniente es clara mente aquella para la cual / / d x , d x ^ ^ ¡ í dx d X ,

lo cual exige que el jacobiano de la transformación sea la unidad. En tonces, l=

dx dxi

dx dx 2

dX dx,

dX dXi

-1 «

ntt ni.

y por lo tanto,

m. M'

m, mi + ni^

donde Ai=/«,+ mi es la masa total. Finalmente, ntiXi + nt2Xì X= X = Xi~Xi, M

( 11)

de donde se obtiene que ( 12 )

y la ecuación de Schrödinger resulta ser,

2il dx^

h‘‘ 2M ex^

-l'U .A ',.)—

(13) I

d i

Se puede dar otro método para obtener la ecuación de Schrödinger en el sistema de coordenadas del centro de masa, como se llaman las

DOS PARTICULAS: COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

247

coordenadas definidas por las ecuaciones (11) y (12). El hamiltonia no clásico de la ecuación (8), puede escribirse inmediatamente en las coordenadas del centro de masa en la forma familiar^ H=

(14)

donde

M

dX di

dx. + m·.. ' dt 'P j.. ^ (v/ÍI,

M dt

dx-i ^ = í>, + P.

Pt m2

También se pueden obtener los operadores cuánticos que correspon den a estos nuevos momentos y nuevas coordenadas. Se tiene que,

iPi + Pi),

M

y es fácil demostrar que. La transformación ác Pt,x „ Pi,x^z p, x, P, X deja las reglas de con mutación inalteradas; tal transformación se llama transformación ca nónica .* Partiendo de estas reglas de -conmutación, se puede escribir en el espacio de configuración que.

h ^ P =

i dx'

i

dX'

(15)

y la ecuación de Schrödinger en la forma de la ecuación (13) se obtie ne inmediatamente de la forma del hamiltoniano en las coordenadas del centro de masa, ecuación (14), El momento/* del centro de masa conmuta con H y, por lo tanto, es una constante de movimiento. Co mo en física clásica, el momento lineal total de un sistema aislado « conserva. Claramente, la ecuación de Schrödinger en las coordenadas del centro de masa es separable, lo cual es el objetivo principal de la trans♦

- Vet las Refeiencias [14] a la [17]. ’ Esta tiansformación es el análogo cuántico de una tratisfoimación canónica clásica, o set, una transformación que deja invariable la forma de las ecuaciones de Hamilton, Ver, por ejemplo, la Referencia [14],

248


formación. Entonces, escribiendo ( 16)

= x ( X , / ) 0 U , t)

se tiene que, 2M dX ^

i

dt

La constante de separación no es más que una constante aditiva en la energía total y puede hacerse igual a cero sin pérdida de generalidad, * por lo cual, la función de estado del centro de masa del sistema satis face la ecuación de Schrödinger de una partícula libre. 2

M dX^

i d t’

(17)

y puede tomarse como el paquete de ondas de una partícula libre en reposo o en movimiento uniforme; también puede considerarse como un autoestado del momento total, s e ^ n las drcunstancias. Ejercicio I. De las ecuaciones (14) y (16) verificar que, (^loial) (êtn) (^rel)) donde £ct>i y ^rei se refieren a la energía del centro de masa y a la energía del movimiento relativo. El movimiento relativo satisface la ecuación de Schrödinger equi valente a una sola partícula, 2w dx^

( d t'

(18)

cuyas soluciones han sido completamente investigadas. Por ejemplo, para una interacción cuadrática V(xj = fi
INTERACCION DE PARTICULAS EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS UNIFORMES

249

embargo, aún b ^ o el punto de vista clásico, la impenetrabilidad im plica un potencial de interacción que resulta definitivamente repulsi vo a distancias de separación pequeñas· Para tales potenciales, se anula el coeficiente de transmisión cuántico, lo que concuerda con el resultado clásico. Hasta aquí, la discusión se ha restringido a considerar una pareja de partículas en interacción. Pero, ¿qué pasa con sistemas aislados de tres o más partículas? Es fácil demostrar que, como en mecánica clásica, es posible separar el movimiento del centro de masa y que es te movimiento satisface las ecuaciones de movimiento de una partícula libre. Como en mecánica clásica, el movimiento interno es muy com plicado. Aunque se usara la aproximación más tosca, no sería útil en este mom ento continuar con este tema pues las técnicas usadas para analizar tales sistemas son demasiado complicadas. 3. INTERACCION DE PARTICULAS EN PRESENCIA DE FUER ZAS EXTERNAS UNIFORMES A continuación se generalizarán las consideraciones anteriores al caso en que se encuentren presentes fuerzas externas. B^jo estas cir cunstancias, la transformación a coordenadas del centro de masa no garantiza la simplificación del problema. Naturalmente que el movi miento del centro de masa está determinado por la fuerza externa neta sobre el sistema, tanto cuánticamente como clásicamente, pero esta fuerza neta depende, en general, de la configuración del sistema. Entonces, el movimiento del centro de masa y el movimiento interno están acoplados o bien, para decirlo de otra manera, la ecuación de Schrödinger no es separable en presencia de fuerzas externas arbitra rias. Sin embargo, debido a los argumentos anteriores, existe una si tuación excepcional para la cual la separación siempre es posible. Esta situación se presenta cuando las fuerzas externas son uniformes, porque entonces, la fuerza neta es independiente de la configuración. A continuación se estudiará este caso especial. Se consideran dos partíailas, cadg una sometida a una fuerza ex terna constante F, y respectivamente e interaccionando con un po tencial V{x, - at2 ).E 1 hamiltoniano del sistema será, // = ^

+ ^

+ Vix, - x^) - F,x, -

Transformando a las coordenadas del centro de masa y usando la ecuación (12) se obtiene inmediatamente que.

(F, + F.) X


250

y se observa que la ecuación de Schrödinger se puede separar fácil mente, obteniéndose para el movimiento del centro de masa la ecua ción, a* 2

x U .,) —

M

(19)

y para el movimiento interno, _

A! ^ lu,

+

F,

Como se esperaba, la ecuación (19) es la ecuación que rige el movi miento del centro de masa bajo la influencia sólo de la fuerza exter na. Sus soluciones son bastante complicadas, pero únicamente son la transcripción cuántica del movimiento bajo aceleración uniforme.® El término adicional que aparece en la ecuación (20) representa el efecto de la fuerza externa sobre el movimiento relativo entre las dos partículas. Si este término es pequeño comparado con el potencial de interacción, puede tratarse como perturbación en la forma usual. Por ejemplo, a primer orden, la energía se desplaza por una cantidad igual al valor de expectación de la fuerza externa. Pero, si F(x) es si métrico, los estados no perturbados tienen paridad definida por lo cual el valor de expectación se anula y el corrimiento en la energía es de segundo orden, o sea, proporcional al cuadrado de las fuerzas ex ternas efectivas. El caso especial de un potencial F(x) cuadrático en x es m uy sim ple, ya que el término perturbativo se puede hacer desaparecer me diante un cambio de origen (ver Capítulo VII, Problema 6). Enton ces, se tienen estados de oscilador armónico en los cuales eí mínimo de la energía potencial se desplaza del origen y la energía de cada es tado decrece en una cantidad constante, proporcional al cuadrado de la fuerza externa efectiva. Para dar a este ejemplo un significado físi co se le puede considerar como una molécula diatómica. Además, las fuerzas externas se podrían particularizar al caso en que la molécula se encuentre en un campo gravitatorio uniforme. En este caso, Fi - - m i g , F i = —ntig y el término correspondiente a la fuerza exter na en la ecuación (20) se anula, mientras que en la ecuación (19) re sulta ser (m, g = MgX. Por lo tanto, el movimiento interno no resulta afectado por el campo gravitatorio y el centro de masa resulta acelerado en la forma esperada. A continuación se considerará el caso de una fuerza externa produ cida por un campo eléctrico uniforme Si las partículas tienen car'V e r Problema VI-8,

OSCILADORES ARMONICOS ACOPLADOS

281

ga igual y opuesta, de magnitud e, entonces F t = - e S and F* = ^ A Entonces, la fuerza externa neta se anula ya que la molécula no tiene carga neta, y el movimiento del centro de masa resulta ser el de una partícula libre. El térm ino adicional en la ecuación (20) es¿Jex, que es precisamente la energía de un dipolo eléctrico de mom ento ex en un campo uniforme 3 . Recordando que el corrimiento en la energía es cuadrático en la fuerza externa, la energía del estado base de la molécula diatómica es de la forma £ = £ „ -ia

(21 )

donde a se expresa en términos de los parámetros del potencial del oscilador armónico. Este corrimiento en la energía es el de un dipolo inducido, de momento a en el campo & ; la cantidad « se llama la polarizabilidad eléctrica de la molécula. Pero, si el estado base del sistema no tuviera paridad definida, entonces, el corrimiento en la energía sería lineal en y no cuadrático. La energía del estado base tendría la forma que es la energía de un dipolo eléctrico permanente, de momento ¡te en un campo externo. De este ejemplo se concluye que si el estado base de un sistema tiene paridad definida, no tiene momento dipolar eléctrico permanente. Este es, con mucho, el caso más común en la naturaleza. Para tales sistemas, la acción de un campo eléctrico exter no distorsiona el astem a produciendo una separación de la carga pro porcional a la intensidad del campo eléctrico que se expresa en térmi no de la polarizabilidad. Es necesario aclarar que la polarizabilidad es una cantidad que se puede medir directamente, ya que la susceptibi lidad eléctrica de un gas se puede expresar en términos de la polariza bilidad eléctrica de las moléculas que lo constituyen. 4. OSCILADORES ARMONICOS ACOPLADOS Antes de seguir adelante, se estudiará un segundo ejemplo que se puede resolver exactamente, como es el de un par de osciladores armónicos acoplados. En particular, se puede considerar un hamilto niano de dos partículas de la forma®

H ■ P oi simplicidad ae ha escogido el caso particular en que los osciladores destcopladot ten gan la misma frecuencia.

>W·

252


Se verifica fácilmente que las coordenadas normales para este pro blema son precisamente las coordenadas relativas y del centro de ma sa de la ecuación (1 1 )/ Al usar estas coordenadas, el hamiltoniano se transforma a la forma separable.

ti =

+ Wreli

(23)

donde 1

2M

2

(24)

(25) y donde la frecuencia w se define como, (26)

-^ 4

Se observa que á el término de interacción es atractivo, fc > O ® > w , y para interacciones repulsivas A: < O se tiene que m . Si se llaman 4»;i,(A') a las autofunciones de oscilador armó nico de y Hnt respectivamente, con las energías (N + é)A(i) y (« + j) Ato , se obtiene para los estados estacionarios exactos que.

'ir^, = nix),

/V,« = 0 , l , 2 , .

(27)

+ (rt + i) fiw.

(28)

con energías. ^Nii ~

i

El espectro, que no es degenerado si 6> y w no son conmesurables, es una simple composición de dos espectros de oscilador armó nico. Sin embargo, depende de la magnitud relativa de 5> y w . En la Figura l(a) se muestra el espectro para interacciones atractivas dé biles, lo cual significa que O < Para este caso, es es Ugera mente m ayor que ti» y se obtiene un conjunto de estados bien separa dos: un estado base aislado, un par de estados excitados muy cerca nos, le siguen un triplete de estados excitados muy cercanos entre sí, y así sucesivamente. Para estados cuya repulsión es débil, aparece la misma estructura, pero el orden de los estados vecinos se invierte. En la figura l(b ) se muestra el espectro para el caso límite opuesto klfi > , o sea, cuando domina el término de interacción. En este caso el espectro consiste de un conjunto infinito de estados muy cer' Estos detalles se dejan paia los problemas.

253

OSCILADORES ARMONICOS ACOPLADOS Nn

Nn

03 12

H= 3

21

jV= 0, 1, 2 .

30

02

n = 1

H

N=Q,

20

01

I

10

\,2

n= 1 A* = 0, 1, 2.

—il))

00

(bi

(a)

F ig u ra i, (a) Espectro del oscilador acoplado para fuerzas atractivas débiles. To dos los estados cercanos tienen el espaciado común A ( íü — r dada tiene ei mismo espaciado ftw.

canos que se superponen, cuyo primer conjunto empieza en el estado base, el siguiente en el estado n = 1, el que sigue comienza en w = 2, y así sucesivamente. Aunque la función de estado es una función simple de las coorde nadas normales, es una función complicada como función de las coordenadas xt y d e las partículas, excepto para el estado base, el cual, correctamente normalizado resulta ser

X ex p

^í _

2fi -^1

2

^í ñ -*2

fi(B —g>) 2fi

(Jfi - Xt)^ ■

(29)

254


Entonces, los estados excitados consisten del mismo factor gausiano multiplicado por polinomios de grado (« + AO en jr, y x^. El problema dei oscilador acoplado tiene cierto interés intrínseco. Por ejemplo, el límite de interacción fuerte es un modelo muy crudo de los estados de una molécula diatómica fuertemente ligada en un cristal. Sin embargo, su principal interés resultaría ser una guía para aplicar métodos aproximados al estudio de las propiedades de un sis tema de partículas (Problema 9). A este respecto, se puede aclarar que la utilidad del problema del oscilador acoplado no está limitado al sistema de dos partículas que se ha estado anaUzando. Se pueden encontrar soluciones exactas para cualquier número de partículas® y más adelante se discutirá el caso de tres partículas. 5. INTERACCION DEBIL ENTRE PARTICULAS EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS Ahora, se puede volver al caso general y considerar fuerzas exter nas no uniformes donde, como ya se puntualizó anteriormente, el movimiento del centro de masa no puede separarse. Aún para el caso de un sistema de dos partículas, este problema es muy difícil y se res tringirá al caso en el cual las fuerzas externas dominan sobre las fuer zas internas, por lo que éstas se pueden considerar como una pertur bación. Por lo tanto, el problema se inicia discutiendo los estados no perturbados, que son los de un coiyunto de partículas sin interacción moviéndose en un campo de fuerzas externas. Se considerará en de talle solamente sistemas de dos partículas, pero también se menciona rán brevemente sistemas de muchas partículas. Se parte del hamiltoniano de dos partículas. +

= H A p „X i ) + H A p ^,X2). (31)

Para este sistema, las coordenadas del centro de masa son claramente irrelevantes, pues clásicamente consiste en dos partículas moviéndose independientemente. Al escribir, =«ííl(jCl,/)

(32)

la ecuación de Schrödinger resulta separable y se obtienen las dos ecuaciones de una sola partícula cada una, " Para el caso clásico ver las Referencias [ 14] a [ 17], Pata el caso cuántico ver I. Bloch y Y. Hsieh, Physical Review 96, 382 0 954); IttI. 205 (1956).

INTERACCION DEBIL DE PARTICULAS EN PRESENCU DE FUFRZASEXTERNAS

____

255

2/Mi 2íWí Los estados estacionarios del sistema resultan ser ei producto de los estados .

con enei^ía

Ejtm ~ "t" Eijnt donde y son las autofunciones ortonormales de H¡ y con autovalores £m y £*„· Un estado general arbitrario puede construirse como superposición de estos estados de partícula independiente. En particular, soluciones de la forma del producto (32) se pueden obte ner como producto de una superposición arbitraria de los estados de la partícula uno y de una superposición análoga de estados de la par tícula dos. Para este producto, de la ecuación (32) se tiene que, por lo cual las partículas no están correlacionadas y el desenvolvi m iento en el tiempo se realiza independientemente, como en el caso clásico. Sin embargo, hay que notar que es posible tener estados para los cuales no se cumple esta independencia completa. Para ello se consi dera inicialmente la función de estado arbitraria >tt{xuxs,t = 0 ) . La función de estado más general se puede expresar como = S

e x p I - Í ( E , „ -I- E i n i t l h ] ,

y por lo tanto, ya que y «i»*™ son ortonormales, al invertir y to mar r = O se tiene que, í·«™= / / 'KAi, Jíi, ( = 0) (j;i)»í^m* (a:í) dXi dXi. Si el estado iiúcial tiene la forma Âxι}*l·2 ix 2 ), entonces, í'nni se pue de expresar como el producto y la función de estado permane ce no correlacionada para todo tiempo. Pero si el estado inicial está correlacionado, por la razón que sea, entonces, estas correlaciones sin analogía clásica, persisten en la función de estado para todo tiempo. Estas correlaciones juegan un papel muy importante al determinar las propiedades de sistemas de partículas idénticas, como se verá más adelante. Ahora, ya se pueden considerar los efectos de las interacciones so bre los estados estacionarios, suponiendo que estos efectos son débi les comparados con las fuerzas externas. Llamando V(x, — jc*) al téi^ mino de interacción, el hamiltoniano tendrá la forma,

256


^

+ y{xt - X2 ) .

^

Tomando y{xi - x^) como una perturbación, los estados no pertur bados son el producto de los estados i/»«™= «Í»)„{jci)*í»2 b.(a:2 ) con eneigía = Etn + · Entonces, a primer orden se tiene que, (33)

= &am+ y a segundo orden. + <*..1 f’w,..) + 2 ' ífr donde los elementos de matriz están dados por £nni ~

~ ‘'M-

(34)

La generalización al caso de más de dos partículas es inmediata. Para un sistema de tres partículas Jos estados no perturbados son pro ductos de tres estados de partícula independiente y, como antes, para estos tres estados se tiene que,

= ¿^nnií ~

(ír3,(jC3) n+

+ £ j(.

Si la interacción m utua se puede escribir como, y ~ y I2ÍX i “ -'^3) +

entonces, a primer orden resulta que. El último término en esta expresión se reduce a una suma de térmi nos como los de la ecuación (33). Para demostrarlo, se puede consi derar como ejemplo y, 2 (x^ - Xi). Se tiene que,

y I2lntní) = / ü x , dx-, íyjf:,|ií(,„(.v,)|^ !<í'i,n(jr2) |- I«íf3í(-Vs)|^

- Xi) ■

La integración sobre X3 se puede calcular inmediatamente y, como está normalizada, el resultado será que como se esperaba es independiente de 1. En forma análoga, los otros dos términos dan como resultado únicamente contribuciones de dos partículas.

PARTICULAS IDENTICAS Y DEGENERACION DE INTERCAMBIO

257

Para A partículas se tienen productos de A estados de partícula in* dependiente y las correcciones perturbativas tendrán la forma de una suma de contribuciones de dos partículas. 6. PARTICULAS IDENTICAS Y DEGENERACION DE INTER CAMBIO Ahora se puede considerar el caso extremadamente importante de un sistema de partículas idénticas. Partículas idénticas siempre signi ficará que las partículas son completamente y absolutamente indis tinguibles, No se asocia ningún significado físico a la etiqueta de es tas partículas. Por esta razón, las coordenadas de todas las partículas idénticas intervienen en el hamiltoniano exactamente en la misma forma. Como ejemplo particular y simple, se puede considerar el ca so de dos partículas idénticas sin interacción y bajo la influencia de alguna fuerza externa. Cada partícula siente exactamente el mismo potencial y, por lo tanto, el hamiltoniano tiene la forma (35)

Entonces, las soluciones estacionarias son (36)

con energía

£n
En

»

(x) es una autofunción del hmiiltoniano común de una par

_

im +

con autovalor Pero si ^ y « son diferentes, este estado está dege nerado respecto al intercambio de las partículas, es decir, que el estado 0ÍB = «/»„(jfi)

(37)

tiene la misma energía que . Esta degeneración se llama degen«· ración de intercambio, que es una consecuencia de la invariancla #vidente del hamiltoniano de la ecuación (35) respecto a un intercambio de las coordenadas de las dos partículas. Este resultado se puede generalizar demostrando que la degenUl· ción de intercambio es una propiedad de las soluciones de la ecuiclöll de Schrödinger para cualquier sistema de partículas idéntica·» ibl Ifll·

258


portar sus interacciones mutuas ni qué tipo de fuerzas externas actúan sobre las partículas, y tampoco cuántas partículas forman el sistema. Para este propósito es conveniente introducir el llamado operador de intercambio = P ai, el cual intercambia las coordenadas de las par tículas uno y dos cuando opera sobre cualquier función de estas coordenadas.^ se define por (3 8 )

para / arbitraria. Análogamente, Pa intercambia las coordenadas de las partículas ; e /. Como ejemplos se tiene que

Pis

■ .,Jr^)

P i 2 p , i ñ x u X 2 , X i ,

■

■

. , X a )

........ jt^)

=

P , 2 f ( x s , X i , X i ................... X a )

= f{x3,xux2 ......... Xa), y así sucesivamente. Es necesario subrayar que, como lo demuestran estos ejemplos, el índice de una coordenada etiqueta a la partícula que se refiere a esa coordenada, y no el orden en el cual aparece una coordenada en la función de estado. El operador P^ conmuta con el hamiltoniano debido a la defíni ción de indistinguible. Entonces, si « Í í e ( j c i , . . . , X f ¡ ) e s unaautoiunción de H con autovalor E, también lo es Phê , ya que

Pii 'ê = Pjj // «í»£ = E Pii Entonces, estos estados están degenerados respecto al intercambio de las partículas i y /, excepto cuando F¡>e resulte ser un múltiplo de , como por ejemplo el estado de la ecuación (36) con n ^ q . Natu ralmente, las etiquetas / y / se refieren a cualquier par de partículas y la degeneración de intercambio ocurre cuando se intercambia cual· quier grupo de dos partículas idénticas. Para un sisteina de A par tículas, las soluciones de la ecuanción de Schrödinger pueden estar degeneradas a lo más A ! veces, que corresponde a las A ! permutacio nes del orden en el cual se pueden etiquetar las A partículas al escrl· bír la función de estado. Cualquier combinación lineal de los esta dos linealmente independientes formados del corounto completo de las A ! permutaciones, es una autofunción del hamiltoniano, y la for ma en que se clasifican estos estados en general no es fádl, como se verá más adelante. Para dos partículas el problema es trivial, y a con tinuación se estudiará este caso simple pero muy importante. ’ Las propiedades algebraicas de los operadores de intercambio se dejan para el Frobkm a I,

SISTEMA DE DOS PARTICULAS IDENTICAS

259

7. SISTEMAS DE DOS PARTICULAS IDENTICAS Para un estado de dos partículas, solamente se necesita tomar en cuenta el operador de intercambio . Evidentemente, el valor A*,** es la unidad y por lo tanto, al igual que el operador de paridad, los autovalores de son ±1, que corresponden a los estados simétricos o antisimétricos respecto al intercambio. Entonces, los estados de dos partículas siempre se pueden clasificar de acuerdo a su simetría respecto al intercambio. Como ejemplo particular, para los estados de partícula independiente de la ecuación (36) se obtienen los esta dos correlacionados (normalizados),

y, como se puede verificar fácilmente

Pn

=

En forma más general, si ((ieÍjti.Aí) es una autofunción de un hamil toniano de dos partículas con energía E, entonces, los estados simetrizados (no normalizados) que así se les llama, serán (40) si

no están simetrízados o antisimetrizados desde el inicio. La existencia de la simetría así construida parecería ser ta excep ción a juzgar por el ejemplo de la partícula independiente en donde se presenta para el caso especial den = q, ecuación (36). Sin embar go, para sistemas físicos reales que contienen interacciones, se demos trará que los verdaderos estados ligados de dos partículas exhibirán automáticamente estas propiedades de simetría. El argumento es muy simple. La función de estado simétrica se anula necesariamente cuan do JC, = y, por lo tanto, la probabilidad de encontrar a dos partícu las próximas una a otra es menor comparada con la misma probabili dad para un estado simétrico. La contribución del término de inter acción en el hamiltoniano, sin importar el signo, es entonces numéri camente mayor para los estados simétricos que para los estados anti simétricos. Por ello, se espera que los estados simétricos y antisimé tricos no formen parejas degeneradas excepto por accidente y, por lo tanto, el espectro de estados ligados consiste de un conjunto de estados discretos no degenerados. Ahora, simplemente se invierte el argumento. Si el espectro no es degenerado, olvidando los acci dentes, y sabiendo que todos los estados se pueden clasificar por su simetría respecto a intercambio, se puede concluir que los estados

260


verdaderos tienen simetría definida y, automáticamente, resultan estar simetrizados.’® La discusión de las propiedades de los estados de dos partículas independientes se puede aclarar considerando los siguientes ejemplos que se pueden resolver exactamente y que se trataron en las Seccio nes 3 y 4 para el caso de partículas distinguibles. (a) Fuerzas externas uniformes. En este caso las partículas pue den interaccionar arbitrariamente, pero las fuerzas externas están restringidas a ser uniformes. El hamiltoniano tiene la forma.

H=

Pi

2m

Pi

-i- -z-----h V( xj — X2 ) 4- Fx¡ + F x i . 2m

Como las partículas son idénticas, la fuerza externa F que actúa so bre cada partícula es la misma. Además, el potencial de interacción es necesariamente una función simétrica de su argumento (¿por qué?). Como consecuencia, de la ecuación (20) con mi = »ij = m y Fi = Fj = F , los estados correspondientes al movimiento relativo tie nen simetría definida respecto a la coordenada relativa jt = jr, —jt2 . Ya que los estados correspondientes al centro de masa son necesaria mente simétricos respecto al intercambio (¿por qué?), los estados del sistema están automáticamente simetrizados, de acuerdo con lo que se esperaba.

Ejercicio 2. Efectuar los detalles de los argumentos que conducen a la conclusión anterior.

(b) Osciladores armónicos acoplados. Este caso es más intere sante y se hará con cierto detalle. Para partículas idénticas, el hamil toniano de la ecuación (22) para osciladores acoplados resulta ser 1

1

(41)

La transformación al centro de masa toma la forma simple, "* Este argumento es muy parecido a la discusión del Capitulo VI respecto a la paridad de los estados en un potencial simétrico. En aquél caso se pudo demostrar que el espectro de esta dos ligados es siempre no degenerado y, por lo tanto, los estados ligados siempre se pueden cladficai de acuerdo a su simetría respecto á la paridad. En este caso, el argumento es nece sariamente cualitativo. De hecho la degeneración se presenta en casi todos los estados para el caso de la partícula independiente, o bien accidentalmente para el caso más real de partí culas bteraccionando. Es necesario puntualizar que para el caso real no se ha dado ninguna demostración, sino únicamente se han presentado argumentos plausibles.

SISTEMAS DE MUCHAS PARTICULAS, SIMETRlZACtON Y PRINCIPIO DE EXCLUSION DE PAULI V-

X) + JC»

X

2

’

^

261

(42)

y b ^ o esta transformación el ham ilto niano // resulta ser

=^

+

+^

+

(43)

precisamente como antes, con M = '2m and fi = mi l . También, como antes ^ S “n' = (O4* +I — = w*9 Hí----/i m

Los estados estacionarios son

) 4>niXl - X i ) ,

=

(44)

donde F.í(í>jv«=

(45)

y, por lo tanto, estos estados están automáticamente simetrízados, como seesperaba. El espectro para interacciones débiles es el de la Figura l(a) y para interacciones fuertes dominantes se tiene la Figura l(b). Hasta ahora podría parecer que, a pesar de lo que se esperaba, no resulta ninguna complicación cuando se consideran partículas idénti cas. Alcontrario, la descripción se simplifica debido a laspropieda des desimetría.Esta conclusión es válida para sistemas de dos par tículas. Surgen complicaciones im portantes solamente para sistemas de tres o más partículas, como se mostrarán a continuación. 8. SISTEMAS DE MUCHAS PARTICULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIO DE EXCLUSION DE PAULI Volviendo al estudio de las propiedades de un sistema A partículas idénticas, su hamiltoniano será = Í-I í S

+ 1-1 i

+ palK S

~

-

í^6)

donde K(jc) es el potencial externo común en donde se m u e v e n las partículas y V(jc, ~ jcj) = v(jfj - jf|) es el potencial de in te r a c c ió n pa

262


ra cada par de partículas. Para determinar las características de sime tría de los estados de este sistema es necesario examinar las propieda* des de los operadores de intercambio Pjj. Como se dyo anteriormen te, P¡j necesariamente conmuta con H para todo par de partículas y, por lo tanto, los estados del sistema pueden tener una degeneración A\ respecto al intercambio, que corresponde nA\ permutacionesdet orden en el cual se pueden caracterizar las A partículas al escribirlas en la función de estado. La clasificación de estos estados es compli cada debido a que los operadores/’íj y / ’u no conmutan. La simetría de la función de estado respecto al intercambio de las partículas / y /, y de las partículas / y /r no pueden especificarse arbitraria y simultá neamente. Entonces, se llega a la conclusión importante de que, en general, las soluciones de la ecuación de Schrödinger para un sistema de tres o más partículas idénticas no tienen simetría definida respec to al intercambio entre cada par de partículas. Sin embargo, existen dos estados excepcionales, ambos de impor tancia primordial en lo que sigue, que sí tienen simetría definida. Uno de estos estados es simétrico respecto al intercambio de cada par de partículas y se llama estado totalmente simétrico. El otro estado es antisimétrico respecto al intercambio y se llama totalmente antisi métrico. Ambos estados se construyen muy sencillamente a partir de los estados no simetrizados Llamando al primero y al segundo ^ , se pueden escribir simbólicamente como. =

2

......... Xa)

(47)

permutaciones

......... -f^)·

(48)

permutaciones

En cada caso ia suma corre sobre el conjunto completo de permuta ciones. Cualquier intercambio adicional únicamente revuelve estas permutaciones pero deja el estado simétrico inalterable. El índice r sobre el factor ( —1)'" en el estado antisimétrico es el número de inter cambios entre pares de partículas para llegar a una permutación dada. Es importante señalar que el signo de cada térm ino en la suma de pende de que el número de intercambio sea par o impar. Al intercam biar cualquier par de partículas en la función de estado totalmente antisimétrica, cambia r par a r impar y viceversa y, por lo tanto, cam bia el signo de como debe de ser. La propiedad fundamental de simetría de estos dos estados se puede resumir diciendo que, para todo par de partículas i y /, se tiene (49)

SISTEMAS DE MUCHAS PARTICULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIO DE EXCLUSION DE PAULI ,

263

Esta discusión de las propiedades de simetría de sistemas de mu* chas paiticulas ha demostrado que ios estados degenerados debido di intercambio, que pueden tener una degeneración de v4!, no poseen si metría definida con excepción del caso especial en que los estados estén totalm ente simetrízados o antisimetrizados” Afortunadamente, la naturaleza ha simplificado enormemente el problema pues no to das las A ! soluciones de la ecuación de Schrödinger se pueden realizar físicamente. Esta característica es de importancia primordial en la estructura de la materia y del mismo universo. Para establecer las condiciones de restricción impuestas por la na turaleza, se necesita mencionar que las partículas elementales poseen cierta estructura y necesitan de ciertas coordenadas internas para su especificación completa. La coordenada interna más importante en esta discusión es el mom ento angular interno, el espín o giro de una partícula, que se denotará por s. Más adelante se tratará este tema con cierto detalle; por ahora, únicamente se señalará que el momento angular de espín tiene una magnitud definida para cada tipo de par tícula. Estas magnitudes están cuantizadas y, en unidades de ft , so lamente pueden tom ar valores enteros o semienteros. Por ejemplo, los electrones, protones y neutrones tienen espín un medio, el fotón tiene espín uno y el mesón tt tiene espín cero. Pero, si ahora se esta blece que el intercambio de coordenadas significa intercambio de coordenadas internas (espín) y coordenadas externas, entonces, to dos los argumentos acerca de la degeneración por intercambio per manecen inalterables por la presencia del espín, y la degeneración X / todavía puede ocurrir. Entonces, la simplificación de la naturaleza establece que para un tipo dado de partícula solamente se observa uno solo de estos A ! estados. Específicamente, la función de estado de un sistema de partículas de espín entero siempre tiene que ser total· mente simétrica, y la función de estado de un sistema de partículas de espín semientero siempre tiene que ser totalmente antisimétrica. La primera está descrita por el estado particular de la ecuación (47) y la segunda por ia ecuación (48). El postulado de que la función de estado para partículas de espin semientero es totalmente antisimétrica no es más que una versión precisa y general del famoso principio de exclusión de Pauli, como se verá a continuación. Estas partículas satisfacen la estadística de Eermi-Dirac y actualmente reciben el nombre fermiones, y las par tículas de espín entero satisfacen la estadística de Bose-Einstein y se les llama tesones. Estas relaciones entre espín y estadística, y los "E n contraste con el caso de dos partículas, estos estados símetiiiados totalmente no ip a n · cen automáticamente. Tienen que ser construidos de acuerdo con las ecuaciones (47) y (48).

264


mismos postulados de simetría, se descubrieron empíricamente, pero ya se han deducido como consecuencia necesaria de las restricciones impuestas a las leyes cuánticas por los requisitos de invariancia relati vista. Una comprensión mejor de la estructura de las funciones de estado de las ecuaciones (47) y (48) se pueden obtener observando que, para sistemas sin interacción, una solución estacionaria del sistema de A partículas es sencillamente el producto de A funciones de estado de una sola partícula. Se observa que el estado totalmente antisimétrico se puede expresar como un determinante de estas funciones de una sola partícula que se llama determinante de Slater. El estado antisi métrico normalizado es, (jCl-íl) ^ mt {Xi, Si) ' · ■ 1

(Xí, Sí) · · ·

,

(50)

donde el aiûmento de las funciones de una sola partícula es para indicar que intervienen tanto las coordenadas espaciales como las coordenadas de espín. El producto de los elementos diagonales es el estado original no simetrizado y los otros términos generan el conjun to completo de permutaciones, cada una con su signo correcto. En este caso de partícula independiente se observa que una función de onda antisimetrizada se anula si dos partículas se encuentran en el mismo estado espacial y de espín, ya que entonces dos hileras del de terminante serían iguales. Por lo tanto, la versión elemental del prin cipio de PauH al establecer que dos partículas no pueden encontrarse en el mismo estado cuántico, es un caso especial del requisito general de antisimetrización. El estado simétrico no se puede escribir en forma tan elegante, pe ro se puede describir como una función de onda del tipo anterior en el cual el signo de todos los términos se toma positivo. Hay que notar que las funciones de onda simetrizadas, como las de la ecuación (50), son estados correlacionados, aunque se hayan formado de productos no correlacionados. Por ello, la probabilidad de que dos partículas tengan idénticas coordenadas espaciales y de es pín es cero en un estado antisimétrico. Estas correlaciones producen efectos importantes y son responsables, por ejemplo, del fenómeno del ferromagnetismo. La reducción de a un solo estado, es el final de la historia para partículas sin espín. Para dar un ejemplo particular y simple, se pue-

SISTEMAS DE MUCHAS PARTICULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIO DE EXCLUSION DE PAULI

.

26S

de considerar el sistema de dos partículas descrito por el hamiltonia no del oscilador acoplado de la ecuación (41), Para partículas sin e·pín, la función de estado es simétrica b ^ o intercambio y, de acuerdo con la ecuación (45), sólo estados con « par se logran físicamente. Esta conclusión significa que solamente la mitad de las soluciones matemáticas de la ecuación de Schrödinger son soluciones/¿s/car, por lo cual aparecen en el espectro de la Figura l(a) o de la Figura l(b). Para sistemas de tres o más partículas, la reducción en el número de estados es mucho mayor. El análisis de sistemas de muchas partícu las es mucho más difícü debido a que los estados no están símetrizados automáticamente, lo cual se ilustrará en breve para el caso de tres partículas. Para partículas con espín un medio, como los electrones, la situa ción es todavía mucho más difícil. La naturaleza de estas complica ciones adicionales, son debidas a que, excepto para efectos relativis tas, el hamiltoniano es independiente de las coordenadas de espín. Por ello, el espín de cada partícula conmuta con H y, por lo tanto, cada espín por separado es una constante de movimiento. Este re sultado introduce en las funciones de estado una nueva degenera ción, la cual puede expresarse por el hecho de que cualquier solución de la ecuación de Schrödinger independiente del espín, sigue siendo una solución al multiplicarla por una función arbitraria de las coor denadas de espín. Los requisitos de simetría son condiciones sobre la función de onda total y no sobre las coordenadas espaciales o de espín exclusivamente. Por lo tanto, existen muchas formas de lo grar la simetrización. En el caso más simple, el de un sistema de dos electrones, se puede construir una función de estado totalm ente anti simétrica, de dos maneras; como el producto de una función espacial simétrica y una función de espín antisimétrica, o bien, como el pro ducto de una función espacial antisimétríca por una función de espín simétrica. Como se discutirá en el capítulo X, el primero es un esta do de espín total cero, y el segundo, de espín total uno,'* Usando otra vez como ejemplo el oscilador acoplado, significa que para partí culas de espín semientero todos los estados se logran físicamente y el espectro es el de la Figura l(a) (o Figura (b) ), en su totalidad. E lt·· dos con n par son estados de espín cero (antisimétrico en los eipÍlMl)i y los de n impar son estados de espín uno (simétrico en los eiplneí^ Si se considera un sistema de tres electrones, se encuentra que oxlfr ten tres formas de construir una función de estado totalmente uitM · métrica. La primera es bastante simple. Es un estado de espín toUl 3/2, simétrico en ios espines y antisimétrico en las coordenadil e ip ·· ciales. Los otros dos, son estados de espín 1/2, ninguno de lo· 0U |^ Lo» estados atómicos del heHo son de este Upo. Ver el Capitulo XI,

266


tiene simetría definida respecto al intercambio espacial o al intercam bio de espín. Para resumir, se han estudiado ios estados de un sistema de A par tículas idénticas y se ha encontrado que las soluciones estacionarias más generales de la ecuación de Schrödinger están degeneradas A / veces. Sin mebargo, dependiendo del espín de la partícula, única mente se presentan ciertas combinaciones de estos estados. Para par tículas sin espín, los estados deben de ser totalmente simétricos res pecto al intercambio de cualquier par de partículas. Para partículas con espín un medio, la función de estado tiene que ser totalm ente antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas espaciales y de espín, para cualquier par de partículas. 9. SISTEMAS DE TRES PARTICULAS IDENTICAS Hasta aquí, la discusión del comportamiento de partículas idénti cas se ha limitado, por motivos ilustrativos, al caso de sistemas de dos partículas. Sin embaído, el caso de dos partículas es demasiado sim ple, pues aparecen los estados correctamente simetrizados en las coordenadas. Para ilustrar las nuevas características que aparecen cuando se considera más de dos partículas, a continuación se discu tirán las propiedades de sistemas de muchas partículas. La pregunta esencial es la siguiente: ¿cómo se pueden identificar los estados realizables físicamente de un sistema de muchas partícu las? Esto se lleva a cabo, por lo menos en principio, encontrando las soluciones de la ecuación de Schrödinger sin tener en cuenta la sime tría y, posteriormente, simetrizando el resultado de acuerdo con la ecuación (47) para partículas de espín cero y de acuerdo con la ecuación (48) para partículas de espín un medio. Se mostrará este procedimiento para un sistema de tres partículas idénticas que, por simplicidad se considerarán sin espín. Pero, el sistema de tres par tículas es suficientemente general como para exhibir las característi cas importantes de sistemas de muchas partículas y lo suficientemen te sencillo como para permitir que se obtengan explícitamente los detalles. Se empezará por considerar el sistema de tres partículas más sim ple, o sea el sistema en el cual las partículas no interaccionan entre sí.'* El hamiltoniano viene expresado por la ecuación (46) con P = o Se pueden expresar en forma de partícula independiente como =

Í=I

(.V, ).

(51)

Este es el caso más importante porque sirve como punto de partida para cálculos perturbativos. Ver Sección 10.

SISTEMAS DE TRES PARTICULAS IDENTICAS

267

donde el hamiitoniano común de una partícula es

y{x).

(52)

Llamando <Í>„a las autofunciones de Hs„ y E„ a los autovalores corres pondientes, los estados estacionarios se pueden expresar como el pro ducto (53) con energía = £« + £q + £'s*

(54)

Si ahora se considera un estado de intercambio que es degenerado como í · , 2 se tiene que

y análogamente para todos los demás. Debido a la forma de la fun ción de estado, una permutación de las coordenadas de las partículas únicamente permuta los índices de la función de estado. Por simpli cidad en la escritura, se omitirá el argumento de los estados cuando éste se tom e en el orden normal jti. jcj Los 3! = 6 estados de inter cambio degenerados se expresan como «í»*«,, ^¡¡m· Estos estados serán linealmente independientes o no, según que n, q y j se refieran a estados de una sola partícula o no. Para completar la descripción, se distinguirán tres casos. (a) « = q La función de estado es simétrica automáticamen te y los estados físicamente realizables son, = ÁX,)(í>n{xún(Xi)

(55)

con energía íîtnn — El estado base de sistema se encuentra necesariamente incluido en esta clase. (b) n = q s. De los seis estados permutados solamente tres son diferentes. Los estados totalmente simetrízados y, por lo tanto, los únicos estados físicamente realizables, son *í' n n / = r U V3

+ n>n+ •l'inn)

con energía = 2E« + £,.

(56)

268


El primer estado excitado del sistema está incluido necesariamente en esta clase. (c) « í¡f # s. En este caso interviene el conjunto degenerado de seis estados de intercambio. Los estados normalizados totalmente si metrizados, o sea, el único estado físicamente realizable, es + »íiflíB +

+ 'f'tB« + 'i'*««)

(57)

con energía + Eq + Ef Hay que observar que en los tres casos, el orden de los índices para los estados simetrizados no tiene importancia, es decir que, y análogamente para otra permutación. También hay que observar que la degeneración de los estados físicos depende sólo de la estruc tura del espectro de una sola partícula. Si más de una combinación (n,q,s) diferente da como resultado la misma energía, el estado está degenerado y en caso contrario no lo está. Esto completa la descripción para partículas sin espín. ¿Qué mo dificaciones aparecen para espín un medio? Se presenta una degene ración adicional debido a que existen dos orientaciones posibles del espín de la partícula. Llamando xi a la coordenada de espín y espa cial, y a los dos estados posibles del e s p í n s i el hamiltoniano es independiente del espín, los estados <^n·^y tienen la misma energía Las soluciones de la ecuación de Schrödinger que correôn den a la energía se pueden expresar en la forma (58) donde a, b y c son símbolos que pueden tom ar los valores más o me nos. El hecho de que a, í» y c no pueden ser todos diferentes, tiene consecuencias profundas para el sistema, como se demostrará a con tinuación. La función de estado totalm ente antisimétrica se puede expresar como el determinante de Slater, ecuación (50), <^»“(-*^3 ) (59)

V6 <^,'(jf3)

Se puede suponei que corresponden al espi'n hacia arriba o hacia abajo respecto a cierto eje de refetencia, como se discute en el Capítulo X.


269

De nuevo se distinguirán tres casos, (a) n = ^ = í. Debido a que a, 6 y c no pueden ser todos diferen tes, necesariamente dos renglones del determinante son iguales y el determinante se anula. Entonces, no existe ningún estado físico rea lizable de este tipo en el espectro, en concordancia con el principio de Pauli, (b) n = q 9 ^s. Si el determinante no se anula, se tiene que è = —a, y un estado típicam ente realizable se obtiene desarrollando el deter minando para obtener que. t'ita«

(60)

+ con energía = 2E„ + Es.

El estado base del sistema está incluido en esta calse de estados, cada uno de los cuales está doblemente degenerado. Estos estados no tie nen simetría definida respecto al intercambio espacial solamente o al espín únicamente; son antisimétricos respecto al intercambio simul táneo de ambos. (c) n ^ q ^ s. En este caso, existen estados físicamente alcanzables para cualquier combinación de a, 6 y c. Estos estados tienen de generación óctuple que corresponde a las ocho asignaciones posibles de ia, b, c) El estado más simple de este tipo es totalm ente simétri co en los espines y antisimétrico en las coordenadas espaciales. Un ejemplo es, («í-«/"")- =

^ +

(61)

Ejercicio 3. Encontrar el estado degenerado compañero del estado dado en la ecuación (60).

Como segundo ejemplo, se puede considerar un sistema de tres partículas con interacciones, que se puede resolver exactamente. Erta degeneración se reduce si ei hamiltoniano tiene términos que dependen del espín. Es pecíficamente, el estado con degeneración óctuple se divide en un estado cuádruple y dO) dobles.


270

Específicamente, se discutirá un sistema de tres osciladores acopla dos, descrito por el hamiltoniano.

-I-1 k ( x i - x ^ ) ^ + i k{x.¿ -

(62)

Se comprueba rápidamente que el siguiente conjunto de coordena d a s’®, constituye un conjunto de coordenadas nonnales para este problema. A" = ^ (jTi + í í H- ;tí) a:

(63)

= Jf, — j :2

y =xs-

Xi + X i

e inversamente. =^ + X X Jc, = A

2

3-

(64)

X3 = x + iy El significado físico de las coordenadas normales es claro; X es la coordenada del centro de masa, x es la coordenada relativa entre las partículas uno y dos, y y es la coordenada relativa de la partícula tres respecto al centro de masa de las partículas uno y dos. La in troducción de estas coordenadas transforma el hamiltoniano en la' forma separable, // =

2M

donde ( 66 )

m' *Los detalles subsecuentes se dejan paia los problemas.

(67)


271

y donde los nuevos momentos lineales vienen dados por,

P = pi + p2+pi Px = i
(68)

p. = í ( p . - e ^ ) · No es difícil demostrar que las relaciones de conmutación canóni cas se satisfacen, y las soluciones exactas de la ecuación de Schrödin ger son productos de estados de la forma

(69) con energías

Es»j.Ky~ 2 (w + 2(ü) + Nfiw + (/ij + ny)hw.

(70)

Las funciones ,v(>V),0„j.(A-)y son las autofunciones de oscila dor armónico correspondientes a las coordenadas norm ales X , x y y , La identificación de los estados físicamente realizables y del espectro de energías, se dejan para los problemas, pero se pueden hacer las si guientes observaciones. (1) Los estados asociados con el movimiento del centro de masa son simétricos respecto al intercambio y, por lo tanto, aparecen co mo un factor común en todas las funciones de estado simetrizadaji» por lo cual no intervienen en el proceso de simetrización. (2) El número máximo de estados degenerados respecto al cambio es tres y no seis.'^ . (3) Cuando es impar, no se pueden formar estados totallrient· simétricos, por lo cual estos estados no aparecerán en el espectro d · partículas sin espín. (4) En contraste con el ejemplo de partícula independiente, iM soluciones degeneradas debido al intercambio no son ortogonales ne cesariamente. Ejercicio 4. Verificar las afirmaciones anteriores. Esta sección se puede concluir con algunas observaciones respecto a las propiedades generales de sistemas de tres partículas. Sea " Sin embargo, existen degeneraciones adicionales debido a que los modos nonnalei x y y tienen la misma frecuencia.

272


Xi, Xs) una autofunción con energía E perteneciente a un hamiltonia no de tres partículas. El número máximo posible de estados lineal mente independientes, degenerados respecto al intercambio, es 3! = 6, aunque este número se reduce muy a menudo. Esta reducción está relacionada a propiedades de simetría que aparecen en desde el principio. En particular, si un autoestado es simétrico respecto al in tercambio de un par de partículas, solamente exhibirá una degenera ción triple respecto al intercambio. Además, si un estado tiene sime tría definida respecto a dos pares de partículas, automáticamente es un estado simetrizado totalmente y no exhibirá ninguna degenera ción de intercambio. Ejercicio 5. Demostrar las afirmaciones anteriores. 10.

PARTICULAS IDENTICAS INTERACCIONANDO DEBIL MENTE EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS

La discusión sobre sistemas de partículas idénticas se concentró en los requisitos de simetrización y en las consecuencias para los estados del sistema. Al hacerlo, se ha supuesto conocida la solución de la ecuación de Schrödinger para muchas partículas. A continuación se tratarán de construir estas soluciones para partículas en interacción en presencia de fuerzas externas, por lo menos aproximadamente. Naturalmente que el problema es muy difícil, pero se restringirá a la situación sencilla para ía cual las fuerzas externas dominan sobre las fuerzas internas, para que estas últimas puedan tratarse como una perturbación. También se restringirá el problema a tratar sistemas de dos partículas. Entonces, se considera el hamiltoniano H = H o+ y(x,~x,),

(71)

donde el hamiltoniano no perturbado tiene la forma de la ecuación (35) para partícula independiente,

2m

Im + y{x,) + y{x,)

y las soluciones no perturbadas de la ecuación (36), son »í»«™=

,

que corresponden a las energías no perturbadas,

+ E„.

PARTICULAS IDENTICAS INTERACCIONANDO DEBILMENTE EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS

273

Naturalmente que se tiene que tomar en cuenta la posible degenera ción de los estados no perturbados. Como ya se demostró, es fácil de obtenerlo en el caso de dos partículas porque los estados se pueden clasificar por su simetría respecto al intercambio. Se pueden distin guir dos casos. (a) Perturbación de un estado no degenerado. En este caso se considera el efecto de la interacción sobre un estado no degenerado y no perturbado, o sea, sobre un estado en el cual ambas partículas es tán en el mismo estado, como por ejemplo el estado base. La fun ción de estado no perturbado tiene la forma 4'nnUi.Jtí)

(72)

y es simétrica automáticamente. A primer orden se tiene,

E«n=&nn+i^„n\V\^nn). (73) (b) Perturbación de un estado degenerado.En este casose consi dera un estado perturbado que consiste en dos estados de una par tícula que son distintos. Se escogen las combinaciones simetrizadas, <+>:

:

1

I

(74)

(73)

siendo simétrica la primera y antisimétrica la segunda. El elemento de matriz de la perturbación que relaciona estos estados necesaria mente se anula, debido a que la interacción perturbativa conmuta con Pi2 . Entonces, se pueden usar los métodos de la teoría de p e^ turbación no degenerada, obteniéndose para el estado simétrico, f+>

(76)

y para el estado antisimétrico, (77) Los elementos de matriz de las ecuaciones (76) y (77) generalmente son muy diferentes, y los estados se desdoblan debido a la inter acción, Como es cero en jcj = y la interacción es más fuer te cuando las partículas están cercanas, el elemento de matriz para el estado antisimétrico es numéricamente menor que para el estado simétrico._ Naturalmente que el signo del elemento de matriz depende de que V sea atractiva o repulsiva. Es muy instructivo examinar la estructura de los elementos de matriz en las ecuaciones (76) y (77). Sustituyéndolas funciones no

274


perturbadas de las ecuaciones (74) y (75), se obtiene,

y

donde que es la llamada energía de interacción directa viene ex presada por, -/„« = / / y K„m

dx, dXi <í»„*(jc,)^„*(jca)(^(jc, -JC2)<í»„(jfi)íí>m(jC2)

(80)

energía de interacción de intercambio,

da por, /Íb»,= J· / dXi dxi ^„*{xiH,^*iXí)V{xt - xt)i4>^{Xi)^Mi), (81) y donde se ha supuesto que las fases de ((»„ y tfí», se pueden escoger de tal manera que sea real, lo cual siempre se puede hacer sin perder generalidad. El significado d e e s claro; la cantidad |t/i„(jfi)¡*jt/(m(A:2 )|^ es la probabilidad de que la partícula uno se encuentre en jt, y lapartícula dos en y, por lo tanto, que su energía de interacción sea F(;í, —jta) Como se esperaba intuitivamente, la integral resulta ser la energía de interacción promedio. La cantidad K„„ no tiene una interpretación simple. Parece ser una consecuencia de las correlaciones requeridas por la invariancia respecto al intercambio y no tiene analogía clásica. Es instructivo volver a obtener estos resultados, pero usando los métodos de la teoría de perturbación para estados degenerados, par tiendo de los estados no simetrízados y sin perturbación 0 B(-»î)>í'n.(jf2 ) y »(»m(j[,>t{i„(jCí), lo que se dejará como ejercicio. Ejercicio 6. Partiendo de los estados no perturbados iíf„(jfi)íífm(Jí2 ) y <í'in(jíi)«ífn(jcs) obtener las ecuaciones (78) y (79). ¿Por qué se tiene que usar la teoría perturbativa de estados degenerados? ¿Cuál es el efecto del espín y la estadística de las partículas? Co mo ya se estableció, para partículas de espín cero, únicamente pue den ocurrir estados espacialmente simétricos y, por lo tanto, se per mite únicamente la función de estado de la ecuación (74) con la energía a primer orden dada por la ecuación (78). Por ello, el espec tro sólo contiene alrededor de la mitad de estados de los que sp ob tendrían como soluciones matemáticas de la ecuación Schrödinger que se comportan correctamente. Para partículas con espín un me dio, ambos tipos de estados se encuentran en el espectro. El estado

PROBLEMAS

375

espacialmente simétrico está asociado con un estado de espín antisi* métrico (espín cero resulta de que los espines de las partículas son opuestos), y el estado especialmente antísimétríco está asociado con un estado espín simétrico (espín uno resulta de que los espines de las partículas estén alineados). Los estados atómicos del helio son un ejemplo excelente de un sistema de este tipo. Problema 1. Si Pa es el operador de intercambio para las partículas í-ésima y /-esima, verificar cada una de las afirmaciones siguientes: (a) Pii es hermitiano (b)/*ü^= 1. (c) El operador de proyección P ir para el intercambio es,

P ir = y tiene las propiedades.

Pm"

P ii

=

P i f Pii" = o

(d) Pjj y Pî conmutan si (i,;) y (fc, 1) se refieren a dos pares de partículas diferentes, pero P^ y P^¡ no conmutan para j Problema 2. (a) Considerar un sistema de ^ = 2N partículas idénticas. De mostrar que existen N{2N — 1) operadores de intercambio indepen dientes pero solamente N de ellos conmutan entre sí. Exhibir un conjunto completo de estos operadores que conmutan, (b> Suponer A = 2?V l , ¿Cuántos operadores de intercambio independiente existen y cuántos conmutan entre sí? Problema 3. (a) En una caja de anchura L se colocan dos partículas de masas 0.98m y l.02m sin interaccionar. Dibujar un diagrama de niveles de energía mostrando la primera media docena de los estados del siste ma. (b) Suponer que las partículas interaccionan débil y atractiva mente. Mostrar cualitativamente qué sucede con los estados del siste ma.

276


Problema 4. (a) En una caja de anchura L se colocan dos partículas idénticas de masa m que no interaccionan. Dibujar un diagrama de niveles de energía (a la misma escala que en eí Problema 3), mostrando la pri mera media docena de estados deí sistema. Para cada nivel indicar la degeneración de intercambio en caso de existir. (b) Lo mismo que ia parte (b) del Problema 3. (c) ¿Qué estados se observarán para partículas de espín cero y para partículas de espín un medio? Problema 5. Un sistema consiste de una partícula neutra y de una partícula de carga e. La interacción entre las partículas se describe por el poten cial, donde ^ es la masa reducida. (a) Encontrar la energía del estado base del sistema si se encuen tra en un campo eléctrico uniforme<^, dirigido a lo largo del eje x. (b) ¿Cuál es la polarizabilidad del sistema? (c) Describir el movimiento del centro de masa del sistema. Problema 6. Un sistema de dos partículas está descrito por el hamiltoniano,

"-

^

"·I

+>'■>

(a) Considerando el término gausiano de interacción como per turbación, obtener la enei^ía del estado base y del primer estado ex citado a primer orden. (b> Lo mismo, pero transformar primero a tas coordenadas clel centro de masa. (c) Usar la ecuación (Vll-39) para encontrar una cota superior para la corrección a segundo orden de la energía del estado base. Usar el resultado para determinar las condiciones bajo tas cuales el resulta do a primer orden es válido. (d) Suponer que el término de interacción es lo bastante fuerte como para dominar sobre los términos oscilatorios, por lo menos pa ra los estados bajos. Discutir el comportamiento del sistema con tan to detalle como sea posible. Problema 7. Lo mismo que el Problema 6, pero para partículas idén ticas sin espín.

277

PROBLEMAS

Problema 8. Considerar el hamiltoniano de oscilador armónico aco plado de la ecuación (41) para dos partículas idénticas. (a) Demostrar que una transformación a las coordenadas del centro de masa lleva a la ecuación (43) y, por lo tanto, a las soluciones dadas en la ecuación (44), (b) Encontrar las soluciones clásicas al problema y describir los modos normales en los casos límite de interacción débil y fuerte. (c) Para partículas sin espín, esbozar el espectro correspondiente a la Figura I(a) y a la Figura l(b). Problema 9. Un sistema de dos partículas sin espín está descrito por el hamiltoniano de oscilador acoplado de la ecuación (41). (a) Considerando pequeño el término de interacción, usar teoría de perturbación a primer orden para estimar la energía del estado ba se y del primer estado excitado. (b) Lo mismo, pero tratando el hamiltoniano como sigue: elevar al cuadrado el término de interacción y reunir términos semejantes. El hamiltoniano resulta, W= ^

+

^

- kXiXi,

donde

Tomar ahora el término {—kXiXi) como ténnino perturbativo. (c) Usar la ecuación {VII-39) para encontrar una cota superior para la corrección a segundo orden del resultado a primer orden del estado base. Hacerlo para el método perturbativo de la parte (a) o bien de la parte (b) según el que parezca más fácil, (d) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar la energía del estado base, usando como función de prueba un producto de gausianas con anchura variable. En todos los casos, comparar los resulta dos con el resultado exacto dado en el texto. Problema 10. Considerar tres partículas idénticas descritas por el ha miltoniano de oscilador armónico acoplado a la ecuación (62). (a) Demostrar que la transformación a las coordenadas norma les de la ecuación (63) da como resultado el hamiltoniano de la ecua ción (65). (b) Encontrar las soluciones clásicas al problema y describir los modos normales en los límites de interacción fuerte y débil.

278


(c) Demostrar que los momentos de la ecuación (68) y ias coor denadas de ia ecuación (63) satisfacen ias relaciones canónicas de conmutación. (d) Esbozar el espectro de energía para ios límites de interacción fuerte y débil, si« tener en cuenta la simetrización. Dar las degene raciones de los primeros estados. (e) ¿Cuáles de estos estados se pueden alcanzar físicamente para partículas sin espín? Problema H , Un sistema de tres partículas idénticas sin espín está descrito por el hamiltoniano de oscilador annónico de la ecuación (62). (a) Considerando pequeño el término de interacción, estimar la enei^ía del estado base y del primer estado excitado. (b) Hacer lo mismo, pero elevando al cuadrado los términos de interacción, reuniendo términos semejantes y tratando la cantidad (— k) (jCiXj + + jcijcs) como el término perturbativo. (Ver el Pro blema 9(b) ). (c) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superior para la corrección a segundo orden del resultado a primer orden. Ha cerlo para el método perturbativo de la parte (a) o bien de la parte (b), según ei que parezca más fácil. (d) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar la energía del estado base, usando como función de prueba un producto de gausia nas de anchura variable. En todos los casos, comparar los resultados con los resultados exactos dados en el texto. Problema 12. Cuatro partículas idénticas están descritas por el ha miltoniano.

H=

ix,) (-1

donde

(a) Encontrar las autofunciones y energías del sistema, sin tener en cuenta la simetrización. (b) Dar la degeneración de los cuatro estados más bajos, inclu yendo la degeneración de intercambio. (c) Lo mismo, pero para los estados físicamente realizables de partículas sin espín. (d) ¿Cuál es el estado base para partículas de espín un medio y cuál su degeneración?

IX Movimiento en tres dimensiones

i. FORMULACION: MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA LI BRE Hasta aquí se ha considerado únicamente por sencillez el movi miento en una dimensión. A continuación se generalizará el trata miento a tres dimensiones. No surge ninguna dificultad conceptual, pero los aspectos matemáticos son bastante más complicados. Al considerar el movimiento de una partícula de masa m en un potencial extem o l^(r), don de r es la posición de la partícula respecto a un origen conveniente, el hamiltoniano para este sistema es, =

( 1)

donde p es el vector de momento hneal de la partícula. Introducien do un conjunto de vectores unitarios éj., y ^ lo largo de los ejes de coordenadas, se tiene que, r = xéj. + yé^ + zé^ . ^ ^ . (2) P = Pxej, + p„e„ + A menudo es conveniente usar índices numéricos para identificar las componentes de los vectores, y en adelante también se escribirá

280

MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

la ecuación (2) en la forma equivalente r = Xié, + Xîêt + P = P i^ i +

donde los índices 1, 2 y 3 representarán a las componentes x, y y z respectivamente. Diferentes componentes espaciales del movimiento representan grados de libertad diferentes, por lo cual conmutan. Las relaciones generales de conmutación se pueden escribir en forma compacta como. (Pi. Pj) = Ui. ^j) = Ö (4) (P i, -ïj) = y S í j .

En particular, en el espacio de configuración, las coordenadas son números y A A

i dx ’

h d i dy ’

h d i dz'

e introduciendo el operador

dz'

(5)

se escribe brevemente que. A_

P = y V .

La función de estado <ír(r, t) = 0{jí, y, z, t) de Schródinger dependiente del tiempo.

Htft = E*¡>,

(6) satisface ia ecuación (7)

donde

y donde, en el espacio de configuración, el operador hamiitoniano viene dado por 1

FORMULACION: MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA LIBRE

281

O bien, usando (5),

H =-^V ^+ V ir).

(8)

El operador V * se llama operador laplaciano o simplemente el laplaciano, y la ecuación de Schrödinger en el espacio de configuración s© escribe como, <9, Las soluciones estacionarias se escriben como, ^ E ( r , t ) = < (> c{ r)

(1 0 )

y se obtiene inmediatamente la ecuación de Schrödinger indepen diente del tiempo, - £ v + ,.( r )

«ÍTeír) = E»ítE(r).

(II)

El hecho de que se obtenga una ecuación diferencial parcial y no una ecuación diferencial ordinaria como en una dimensión, refleja el aumento en la complejidad matemática para el problema en tres dimensiones. Antes de pasar a considerar las soluciones de la ecuación (11), es necesario observar que para funciones de estado normalizadas, es la densidad de probabilidad en el espacio ordinario tridimensional y los valores de expectación se definen como,

donde el símbolo rfV representa al elemento de volumen tridimen sional. El flujo de probabilidad o densidad de corriente se defme como j = ¿ 7 ( « f '* V ^ - W * ) ,

(12)

que es una generalización obvia de la ecuación (VI-95). No et dlfídt comprobar que la probabilidad se conserva. Finalmente, es conveniente recalcar que las anteriores ecuidOIIN no sólo se aplican al movimiento de una partícula en un potenolll externo, sino también al movimiento relativo de un par de purtíoulu aisladas en interacción (después de separar el movimiento del OintfO de masa). En el últim o caso, la coordenada r es la distancia enttt iM partículas, Vir) es el potencial de interacción, p su momento nlltllVO y m la masa reducida.

282


En general, las soluciones de la ecuación (11) son muy complicadas y únicamente se pueden obtener exacta y explícitamente en unos po cos casos. El caso más simple de todos es el de una partícula libre, cuando V(r) es cero. Las soluciones para la partícula libre son preci samente las ondas de de Broglie viajando en alguna dirección y se puede verificar fácilmente que son «írp(r) = í·'"''"' = ex p [ i i p j j c +

+ p ^ z ) l h]

(13)

E = p^l2m,

donde, como lo indica la notación, son estados con el vector de mo mento lineal p definido. Estos estados tienen una degeneración infi nita porque existen un número infinito de orientaciones posibles del vector mom ento para una energía fíja£. Los estados de momento lineal forman un conjunto completo, y por lo tanto cualquier función de estado puede expresarse como una superposición de estas funciones. Entonces, se tiene la representa ción de Fourier en tres dimensiones. / ] = / / / í/Pj· ^P» áp: exp [ i i p ^ x + p^ y + p , z ) l h ] o bien, brevemente

T

— iTTñf

(14)

En esta expresión O representa la amplitud de probabilidad en el espacio de momentos, y puede expresarse en función de »/»(r, /) por la inversión (15) Entonces, las ecuaciones (14) y (15) son las generalizaciones a tres di mensiones de los resultados en una dimensión. Como en el caso de una dimensión discutido en el Capítulo IV, la ecuación de Schródinger para la partícula libre se resuelve trivialmen te en el espacio de momentos. La función de estado ^ (p , / ) satisface la ecuación diferencial ordinaria.

con la solución general.

(^(p, /) = if>{p, to) exp [- ipHt - to)i2mh].

POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES

283

Este resultado constituye la solución completa en el espacio de mo mentos al problema del movimiento de un paquete de ondas de par· tícula libre arbitrario. La solución correspondiente en el espacio de configuración se expresa en términos del propagador tridimensional de la partícula Ubre, que es una generalización inmediata de la expre sión en una dimensión, dada por la ecuación (IV-13). Los detalles se dejan para los problemas.

2. POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES El problema tridimensional más simple es aquél en el cual el poten cial tiene la forma particular (16) ya que en este caso la ecuación de Schrödinger es separable en coor denadas rectangulares, como se demuestra a continuación. La ecua ción estacionaria de Schrödinger para este potencial tiene la forma a*

+ Vi(x) -H

a"

2m dy^ + vAy)

+ VÁi) y, escribiendo,

se obtiene para cada factor que

h'^ a* 2m dXi^ +

V i(X i)

Entonces, los estados se pueden expresar como una simple combina ción de estados de una dimensión,* Como primer ejemplo se tom arán los estados que se obtienen en una caja rectangular de lados L „ L 2 y L· respectivamente. Tomando el origen ert una esquina de la caja, para que i/íg se anule en las paredes, El movimiento de wna partícula libie puede considerarse como el caso particular en »1 cu«1 los potenciales V
284


las soluciones estacionarias serían. V ^ s in í^ s in ^ s in ^ , £-2 ^3 donde

«.= 1 ,2 ,3 ...,

el volumen de la c ^ a y = £n

Entonces, el espectro es bastante complicado y no tiene regularidades especiales para i i , Lj y La generales. Para una caja cúbica de lado L el resultado es más simple, ya que en este caso

El estado más bajo se presenta para «i = = «a = I , y su eneigía es E^^ = . El siguiente estado ocurre cuando una de las «, es igual a dos y las demás son iguales. Este estado está degenerado tres veces y su energía es = 2£«. El tercer estado ocurre cuando dos de las n-, son iguales a dos y ia que queda es igual a uno. También está degenerado tres veces y su energía es 3£o. Esta regu laridad se rompe con el cuatro estado, que ocurre cuando una de las n¡ es igual a tres y las otras dos igual a la unidad. Este estado tiene energía I lft% ^2m£^= WEJ^ , y posee degeneración triple. El quinto estado tiene energía 4 £o y no está degenerado; ocurre para «i = «a = « 3 = 2.E1 sexto estado tiene energía 14£o/3 , su degeneración es séxtuple y corresponde a las permutaciones de los números cuánticos 1, 2 y 3. Continuando de esta manera, el espectro que se obtiene se muestra en la Figura l. También tiene interés el considerar condiciones a la frontera pe riódicas para la c^ a cúbica, es decir, que tiene que tomar el mis mo valor sobre cualquier par de paredes opuestas de la câ. Para este caso.

donde. /ij = 0 , ± t , ± 2 .........

(17)

Calculando el número total de estados N(E) con energía menor o igual a £ , se puede encontrar la densidad de estados p{E) en la mis-

POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES

Energía

285

Números cuánticos (miKíH,) Degeneración

6£o

411,414,144

I7f,/3

322,232,223

14f„/3

321,312,231,213,123,132

4£„ 11£0/3

222

6

311,131,113

3£,

2 2 1 ,2 1 2 ,1 2 2

2E,

2 1 1 ,1 21,112

III

OL Figura Energías, numeres cuánticos y degeneraciones de los estados de una partícula en una caja cúbica de lado L. La energía ¿i del estado base es 2mL^. ma forma que se procedió para una dimensión. No es difícul demos trar que.

m P (E )-¡^y V É .

(18)

que es un resultado muy simple y muy importante. Ejercicio 1. (a) Obtener la ecuación (18). (b) Construir una figura análoga a la Figura 1 para los estados de la ecuación (17). Como segundo ejemplo se considerará el oscilador armónico tridi mensional e isotrópico que se describe por el potencial

y ir)

^ mw‘(x'^ + y* + 2 ®).

Este potencial tiene la forma de la ecuación (16) y las soluciones es tacionarias de la ecuación de Schrödinger se pueden expresar como.

286


£«,B,n.= («1 + «2 + «3 + I ) fttó

(19)

donde »í<„j(A-j) es la función de estado estacionaria del oscilador arniónico en una dimensión. El estado base, con eneigía 3ftw/2 , no está degenerado, pero el resto de los estados lo están, creciendo a) crecer su energía. Por ejemplo, el primer estado excitado tiene energía 5Aü) /2 y degeneración triple (una Wj puede ser uno y las otras dos ce ro) el segundo estado excitado tiene energía 7 /2 ftw y la degeneración es séxtuple una «j puede ser dos y las otras pueden tom ar el valor dos, o bien, dos pueden valer uno y la que queda valer cero. Se puede de mostrar que el estado de energía (n -l- 3/2)í<.i está degenerado [(« + 1) (« -I- 2)/2] veces, o sea el número de veces q u e n se puede expresar como la suma de tres enteros no n a tiv o s . Ejercicio 2. Demostrar que el estado del oscilador armónico tridimen sional con energía (n -i- 3 /2 )Aíu tiene degeneración [(« -t-1)(« -l- 2)/2]

3. POTENCIALES ANGULAR

CENTRALES;

ESTADOS DE

MOMENTO

A continuación se considerará el caso im portante del movimiento en un potencial esféricamente simétrico, como es el caso del poten cial culombiano entre cargas puntuales o del potencial gravitatorio entre masas puntuales. Estos potenciales dependen únicamente de la magnitud del radiovector a un punto fijo, el cual se tomará como ori gen. Para describir el movimiento en un potencial de este tipo, es conveniente introducir coordenadas en féricas r, $ , ^ , que se defi nen como sigue. Si se considera un punto P de coordenadas x, y, z en un sistema rectangular derecho, el vector de desplazamiento de es te punto P respecto al origen es T =

éxX + éuy + é¡z,

donde y son vectores unitarios a lo largo de los ejesx, y, z respectivamente. Como se ilustra en la Figura 2, 0 se define como el ángulo entre r y el eje z, y (í> se define como el ángulo formado por la proyección del vector r en el plano jc-y y el eje x midiendo este án gulo en el sentido de las manecillas de un reloj si se mira hacia la par te positiva del eje z. El ángulo if> varía de cero a 27t y de cero a tt . La coordenada radial r es la magnitud de r y varía de cero a infinito.

POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

F

igure

2«7

2. Spherical coordinate system.

De la Figura 2 se obtienen las relaciones entre las coordenadas rectan gulares de í* y sus coordenadas esféricas. El resultado es, JC= r sentì cos

r=

y ^ r sentì sin

tan <}>- ylx

z = r eos $

eos » = zlVx^ + y^ + zK

(20 )

El sistema de coordenadas definido de esta manera es ortogonal, y se puede demostrar que el elemento de volumen es,

dr sentì dtì d<{>. El elemento de área sobre la esfera unidad o ángulo sólido, simboli zado por d í l , será .

sentì

d,

(21 )

por lo cual,

é^r = r" dr dSi.

(22 )

Y la ecuación de Schrödinger

ÈL 2m

Eifi£

(2Î)

se puede escribir en coordenadas esféricas, expresando el opertdorl^ placíano en estas coordenadas. De la ecuación (20) M obtltM que, d xz +■ dx dx dr dx de dx di)) r dr risentì d6


288

, a , eos 0 eos <í» a sen a = sentì CCS fp — + — —---- ^ ^ ---------^ t t , 5r r atì r sen y expresiones análogas para a/Sy y para

Recordando que,

y sustituyendo las expresiones anteriores, la ecuación (23) resulta ser -A iriA Imlr^ di- \

dr }

+ - J — ± fsin send \

1

.

dB }

r*sen^ 6 a<í>^ +

=

(24)

que es la ecuación de Schródinger en coordenadas esféricas.® A pesar de su apariencia complicada, esta ecuación es separable como se de mostrará a continuación. Se empieza por separar las coordenadas radial y rectangular escri biendo M r , ).

(25)

Se multiplica por-2/íi/^/fi* y se obtiene, 1 ^d( s e n e ^ ) - H. 1 sene 90 \ A$/ sen'^ e

= -j3

(26) (27)

donde jS es la constante de separación. De estas ecuaciones, se puede separar la primera si se escribe,

Y{0,,}>} = e{em 4> ). y se multiplica por sen^ 0, obteniéndose, 1

4>

,-a ‘

(28)

(29)

donde a* es la segunda constante de separación. Es necesario recal car el hecho de que las ecuaciones angulares son independientes del ’ Pata la obtención de expiesiones del operador laplaoiano en sistemas de coordenadas curvi líneas, vei la Referencia [7].

POTENCULES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

289

potencial V(r) y de la energia E. Entonces, las funciones angulares son funciones universales que aparecerán para cualquier potencial central y resulta que, como se demostrará en un momento, la ecua ción (26) define estados de momento angular definido. Aceptando temporalmente esta afirmación y recordando que el momento angu lar es una constante de movimiento para un potencial central, este resultado no es sorprendente. Unicamente expresa el hecho de que los estados en un potencial central dependen de un conjunto univer sal de funciones que caracterizan a los estados de mom ento angular del sistema. Como se afirmó, se demostrará que la ecuación (26) define estados de mom ento angular definido. Hay que recordar que, respecto a al gún punto fgo que se tomará como origen, el momento angular clási co L se define como, L= rxp. (30) Cuánticamente, L se considera como la misma función de las va riables dinámicas cuánticas y, por lo tanto, es un operador vectorial. En el espacio de configuración sus componentes rectangulares son. í-í = iypz - zPv) =

l h ,( Ò dx

U = (jfpi, - yPi

_

dy)

(31)

d\ dz)

(32)

h( 5 i V -^ T x)'

(33)

No es difícil demostrar que en coordenadas esféricas estas componen tes rectangulares resultan ser L , - - f ( s e n * ^ + cM «cos4,i

(34) (35)

^

=

t A. i 34>

(36)

y por lo tanto, sen 6 de ....... d$ ' sen“ ù Entonces, la ecuación (26) es equivalente a

.

(37)

290

MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES U Y = ^h^Y

(38)

y, como se quería demostrar, Y define un estado cuy 3 . magnitud del momento angular tiene un valor definido, precisamente V jS ft. La discusióndetallada delmom ento angular yde sus propiedades se pos pondrá hasta elCapítulo X, Sin embargo, antes de seguiradelante, es conveniente examinar brevemente la orientación del vector de mo mento angular. Ya que = (ft//)a/3<^, la ecuación (28) es equivalen* te a =

(3 9 )

Este resultado significa que Y = G<1> también es una autofunción de Lz con autovalor ah. Entonces, los estados Y de momento angular son estados para los cuales la magnitud del vector del mom ento angu lar y su proyección sobre el eje z están fijas, determinando j8 la mag nitud y a la proyección Debido al análisis anterior, la forma del laplaciano en coordenadas esféricas, y como consecuencia ta del operador de la energía cinética, resulta ser _ h'^ 2m 2m 2m donde tiene la forma (37). Se puede dar una derivación directa e instructiva de este resultado, derivación en la cual el m om ento angu lar aparece desde el principio y no hasta el final en forma misteriosa. Para ello se parte de la identidad vectorial (A X B) · (C X D) = ( A* C) ( B* D) - ( A * D ) ( B · C) ,

(41)

que se comprueba fácilmente escribiendo los cuatro vectores en com ponentes rectangulares y expresando cada lado explícitamente. En esta identidad vectorial se hace la identificación A = C = r, B= D=p. y para el caso clásico resulta que, =

(r·p)^

(43)

Al multiplicar por (l/2mr^) se obtiene una expresión parecida a la ecuación (40). La ecuación (42) también se puede aplicar a la mecá nica cuántica, si se mantiene el orden de los operadores r y p que no * Como se verá más adelante resulta que la orienlación del vector del momento angular no se puede especificar con mayor precisión cuánticamente, y esta falta de precisión no es mas que una manifestación del principio de inoertidumbre.

POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

Ifl

conmutan. Al escoger el orden ABCD resulta la ecuación vectork (r X p)^ = que se puede escribir como 2 îPsXiPsf.j i.j

^

S

-

donde los términos de la derecha se han escrito en componente» lec tangulares manteniendo el orden. Usando la relación de conmutación PjjCí = jTjPj + J 8,j, de la primera suma se obtiene Y ^ X iP iX iP i = X i.j i.í

x?p¡^ + 7 E ' i .j

îP>

h = rV + j r * p , y de la segunda s

X iP ) X j P i =

í,j

2

3A î^íP iP i +

r · P

i ,i

ih = yXiP¡XiPi + ^ T » p i.j ' = ( r · p)=^ + ^

r · p.

Entonces, U

=

fipi

-

( r

.

p ) 2

_

_

( r

·

p ) ,

{AA

que difiere del resultado clásico únicamente por el término piO|Ü cional a fi. Como paso final se observa que, ,;fín ( r · p)^ +

7

(r · p) = -

Por consiguiente, al multiplicar la ecuación <44) por la izquierda p( j/r* y despejar se obtiene la expresión (4!

que se reconoce como la ecuación (40) excepto por el factor comú l/2m . El primer término en la ecuación (45) se reconoce como (

294


da (£), momento angular (/) y componente z del mom ento angu lar í'm). Antes de considerar las soluciones de la ecuación (49) para poten ciales particulares, es necesario señalar algunas propiedades generales de los estados estacionarios. La primera observación se refiere a la degeneración de los estados. La función R ei depende de l pero no de m. Entonces, para cada valor permitido de m para una l dada, se obtiene una autofunción que corresponde a la misma energía. Ya que m puede tom ar valores enteros d e-/ a /, existen{2/ + Dvalores de m y, por lo tanto, los estados en un potencial central están degenera dos (2/ + 1) veces. El número m mide la proyección de L sobre el eje z y está determinado principalmente por la orientación del vector de mom ento angular. La degeneración en cuestión es consecuencia del hecho de que el hamiltoniano es independiente de esta orientación cuando el potencial es esféricamente simétrico. La segunda observación se refiere a la paridad de los estados. Co mo se recordará, el operador de paridad cambia el signo de todas las coordenadas. Entonces, por defínición, para /a rb itraria, PfU ,y,x)

~y, - z ) .

Recurriendo a la ecuación (20) o a la Figura 1, se obtiene que en co ordenadas esféricas, y en particular

e, <í>)=Rm{r) Y r i w - 0,±'rr). Recordando que P î^) es una función par o impar de eos $ según que (/ - tm|) sea par o impar, se concluye que / ’ "{#) tiene paridad (_ y ej factor en , tiene paridad ( - I ) ". Entonces, PÊ,n.ir, e, 4>) =

0, ,f>),

(51)

y los estados tienen paridad definida. La paridad es par o impar, se gún que l sea par o impar, y no depende en absoluto de m. Finalmente, se puede señalar la relación entre la ecuación radial (49) y la ecuanción para estados estacionarios en una dimensión. Si se tom a la combinación del potencial y{r) más el término centrí fugo / ( / + IW Ilm r^com o equivalente al potencial efectivo í>(r) = V{r) + i ( i + m ^ Imr^ ’

(52)

entonces, la ecuación radial tiene un parecido muy estrecho con el movimiento en una dimensión. Este parecido es más estrecho si la

POTENCÍALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

ÍíS

parte radial de la función onda Rg¡ se escribe en la forma

(53)

R .M que sustituida en la ecuación (49) da como resultado

Im dr^

V{r) +

ft^/(/+ 1)1 Uei — EUei , 2mr^

(54)

Esta expresión es más simple que la ecuación (49) y, lo que es más importante, es idéntica en la forma a la ecuación estacionaria de Schrödinger en una dimensión para el movimiento en el potencial efectivo V. Sin embaído, la ecuación (54) tiene significado únicamen te para valores positivos de la coordenada r y, además si Ä£i(r) está acostada en el origen, entonces, de acuerdo con la ecuación (53) se tiene que «^,{r = 0 ) = 0 .

(55)

De este resultado se concluye que las soluciones de la ecuación radial son las mismas que las soluciones para estados impares del problema en una dimensión en el potencial simétrico P = V^dx!) + ft*/ (/4-l)/jc*, ya que estos estados impares se anulan en el origen. En una dimensión, los estados pares no satisfacen la ecuación (55) y por lo tanto no aparecen en el espectro. En consecuencia, todas las técnicas que se usaron en una dimensión, se pueden aplicar al movimiento en tres dimensiones. Además, para una l dada, los es tados radiales son únicos; existe una y sólo una autofunción radial

Figura 3. Gráfica del potencial radial efectivo K{r) + /(/ + I)íl*/2mr*part los primeros valores de (, en el caso de un potencial repulsivo. Sólo aparecen ci tados continuos de energía positiva E. Para E dada, ocurre uno de estos estados para cada valor de í.

296

MOVIMIENTO EN TRES DÍMENSIONES

simultánea de £ y / para estados continuos como para estados li gados. Sin embargo, siempre se pueden encontrar en el continuo autoestados de cualquier energía para todo valor de /, por lo cual, los estados continuos en tres dimensiones tienen degeneración infi nita que corresponde al conjunto infinito de valores de /. Además, puede ocurrir que en la parte discreta del espectro, estados de l diferente tengan la misma eneigía. La degeneración introducida de esta manera, que se suma a la degeneración intrínseca de (2/ -l- 1) discutida anteriormente para cada estado de / dada, se llama gene ralmente degeneración accidental Esta nomenclatura en ocasiones es inapropiada, ya que este tipo de degeneración no siempre es acci dental sino consecuencia de simetrías adicionales en el hamiltonia no que se añaden a la simetría esférica que se ha supuesto para V(r). Más adelante se presentarán algunos ejemplos que ilustren este com portamiento. Las observaciones anteriores se pueden aclarar observando las fi guras. La Figura 3 muestra el efecto del potencial centrífugo cuando V(r) es repulsivo en todas partes. Cuando / crece, eí potencial efecti vo se vuelve más repulsivo y el espectro consiste exclusivamente de estados continuos con energía positiva. Para cualquier energía positi va dada, existe un estado radial para cada valor de /. En la Figura 4

F ig u ra 4 . Gráfica del potendal radial efectivo V = V (r) + /(/ + l)A^/2mr*para los primeros valores de 7, en el caso de un potencial atractivo. Para energías p o sitivas com o E„ el espectro es continuo para toda /, El espectro es discreto para valores de / que corresponden a estados ligados de energía negativa, tales com o

E,.

ALGUNOS EJEMPLOS

m

se presenta el caso más complicado e interesante de un potendll atractivo. Para energías positivas la situación es la misma que p8I· potenciales repulsivos; el espectro es continuo para todo valor de /. El espectro de los estados ligados con energía negativa y discreta dfr* penden, naturalmente, del com portamiento detallado del potencial y ir). En el ejemplo ilustrado estos estados pueden existir para valo res de l iguales a O, 1 y 2, pero para / ^ 3 no existen estados ligado debido a que V es repulsivo para tales estados. El estado ligado más bajo para una Ì dada, no tiene nodos radiales, el primer estado exci tado tiene uno y así sucesivamente. Este com portamiento se ilustra en la Figura 5, mostrando el espec tro para / == O y / = 1. En el ejemplo escogido, el cual corresponde a un potencial de corto alcance y poco profundo, resulta que existen tres estados con / = O y dos con / = 1. Cuando el potencial es pro fundo y de alcance laiô, como el potencial culombiano, resulta que para cada 1 existe un número infinito de estados ligados discretos. Este problema se estudiará más adelante.

F ^ r a 5. Estados discretos para / = O y / = 1 en e i potencial atractivo d« la W gura 4 . En el je m p lo mostrado existen tres estados Ugados para / = Oy do· p ·^ / = 1. La función radial Uei = riíei también se muestra para cada estado. S l u n a de las energías permitidas para l = 1 coincide con una de las enei^íai p i l l / = O, se tendría un ejemplo de degeneración accidental. Como se sefUló en «1 tex to , estas degeneraciones se presentan com o consecuencia de las piopledadei de simetría del hamiltoniano.

4. ALGUNOS EJEMPLOS

Para ilustrar el movimiento en potenciales esféricamente simétricos se puéden considerar algunos ejemplos. (a) Estados esféricamente simétricos (/ = 0). Para estados esfé camente simétricos, o sea, estados con / = O y por lo tanto con mo m ento angular cero, la ecuación (54) se reduce a

298


+ y(>·) Mfio= Etten, 2m dr^ donde M£*(r) satisface la condición a la frontera, =

=

0.

Este problema es exactamente equivalente al de encontrar los estados impares que caracterizan al movimiento en una dimensión correspon diente al potencial simétrico = Vir). La situación es simple debido a la ausencia de complicaciones asocia das con el potencial centrífugo. Como primer ejemplo se puede considerar el caso de un pozo de potencial esférico. Este ejemplo es muy importante porque propor ciona una descripción bastante buena de la interacción de corto al cance entre el neutrón y el protón en el deuterón. Este potencial se describe como

yir)=-Vü, K(r)=0 .

r a.

Y el potencial correspondiente en una dimensión es

v(x)=-y^, =0

!x| ^ a ,

|jc| > «,

o sea un pozo cuadrado simétrico de anchura 2a. En el Capítulo VI se consideró este problema en detalle y, entre otros resultados, se encontró que se presentan estados ligados cuando

2ma^ Resulta que el deuterón tiene sólo un estado ligado y está débilmente ligado. Entonces, V<, excede a este valor por una cantidad muy paqueña. Se sabe que el alcance de las fuerzas nucleares es de 1.9 x 10"*® aproximadamente. Si se acepta este valor para a, la profundidad del potencial se puede estimar y resulta ser alrededor de 40 Mev. Es in teresante hacer notar que un ejemplo tan simple proporciona el pri mer valor confiable para la intensidad de las fuerías nucleares. (b) Oscilador armónico. Como segundo ejemplo se considerará el oscilador tridimensional isotrópico. Este probiema se estudió en coordenadas rectangulares pero es instructivo volver a examinar el

ALGUNOS EJEMPLOS

problema en coordenadas esféricas. Los estados / = O son los estadOI impares del oscilador aimónìco en una dimensión y tienen enerj|íi· 3ñ(t>/2 , Ihoiíl , \\h
donde el estado n-ésimo estaba degenerado [(« + 2)(« + l)/2]- veces. Entonces, el estado n-ésimo contiene entre sus [ (n -I- 2) (n -f- l ) / 2 ] miembros, exactamente un estado esféricamente simétrico si n es par y ninguno si n es impar. Es posible demostrar que los estados de mo mento angular más altos aparecen en el espectro en la forma siguien te: p a r a / = 1, las energías permitidas son, 5/2 ftw, 9/2 Äw,...;para / = 2, las energías permitidas son 7 ftm±í><.io = / ( r ) r r ' ( e , <#.) <í-ooi=/{/-)K,«(0, 0 ) , donde

y ,z ) s e define en la ecuaci6n(19). Id e n tific a rlo y


300

por sustitución verificar que satisface la ecuación de Schrödinger radial.

Degeneración

Figuni 6 . Estados del oscflador armónico tridimensional clasificados de acuerdo con ei m om ento angular. También se indica la degeneración de cada estado.

(c) Movimiento de una partícula Hbre. Los estados de una par tícula Ubre en coordenadas rectangulares ya se discutieron anterior mente encontrándose que son autofunciones simultáneas del hamilto niano y del mom ento lineal. Sin embargo, en coordenadas esféricas se obtuvieron estados que son autofunciones simultáneas de H y del mom ento angular, es decir, tienen valores definidos de £ , / y m. Las funciones radiales son soluciones de la ecuación (49) con V{r) igual a cero. Satisfacen la ecuación 1

d ( dr\

/ ( / + 1)

dR^Ä dr }

(56)

donde

k^=2m£lh^.

(57)

Estas soluciones también pueden obtenerse de la ecuación (54) que, para una partícula líbre, pueden escribirse en la forma Ei+

(58)

donde tiEt = rREi Para el caso / = 0 y recordando que «^((r) tiene que anularse en el origen, de la ecuación (58) se obtiene que «£0

~ sen kr

ALGUNOS EJEMPLOS

301

y por lo tanto, „

senA:r

Para / diferente de cero la situación es más complicada, pero resulta que las soluciones de la ecuación (56) son un coiyunto de funciones muy bien estudiadas que se pueden definir como sigue: © '( I La función ji(kr) se llam a/unció« de Bessel esférica de orden /. En términos de estas funciones excepto por una constante multiplicati va, los estados radiales de la partícula libre son

R eM =J(i.kr),

k = Vlm Eíh,

(60)

que claramente se reduce a la solución correcta para / = O . No es di fícil demostrar que las funciones definidas por la ecuación (59) son soluciones de la ecuación (46) para valores generales de / ‘ Se puede constm ii una demostración simple por inducción en la fonna siguiente. La ecua ción (59) es totalm ente equivalente a la relación de recurrencia

-•‘''-(reí)

(59a)

que expresa Á+i en términos de j |. La equivalencia se establece partiendo de la expresión conocida para / , y aplicando la relación de recurrencia t veces. Pata demostrar que Ja ecua ción (59) define ü s soluciones de la ecuación (56), es sufíciente demostrar que si jV, es una solución p ^ a / = / » , entonces, el miembro derecho de la ecuación (59a) necesariamente es una sohidón para f + 1. Para este propósito se define

Siikr) en términos del cual la ecuación (59a) resulta ser (59b) Entonces, se ha demostrado que el miembro derecho de la ecuadón (59b) satisface la misma ecuadón diferencial que el miembro izquierdo, de donde se sigue el resultado. Como orientación, se puede señalar que la ecuadón (56) es una forma de la eoiación de Bessel Se puede demostrar que JííftO “

i kr),

donde Jy
liiál

302


De la ecuación (59), las primeras funciones de Bessel esféricas son,

sen kr

joikr) h ikr)

kr kr = s&n (kry

j2Íkr) =

eos kr kr

(61)

£1 s e n / : r - | ^ eos kr. kr

[ ik r y

y son suficientes para ilustrar la estructura general de estas funciones como polinomios en (l/Ar) multiplicando funciones trigonométricas. De la ecuación (59) es fácil obtener explícitamente el comportamien to de M kr) cuando r es muy pequeño y también cuando r es muy grande. En el primer caso, desarrollando (sen kr)/kr en serie de po tencias en kr, el primer ténnino que contribuye en esta serie es (kr)^ y por lo tanto, 2'/! ikr)‘ (21+ 1)!

(62)

En el último caso, el término dominante es el térm ino inversamente proporcional a/·, y se encuentra que,

Ji(kr)

s e n j k r - ln/2) kr

(63)

Entonces, las soluciones a distancias grandes del origen son ondas es féricas. Sin embargo, cerca del origen la barrera centrífuga domina y la función de onda disminuye cuando l crece. Ejercicio 4. Obtener las ecuaciones (62) y (63) de la ecuación (59). Como ejemplo de estados de una partícula libre con momento angular definido, se pueden considerar los estados de una partícula confinada en una caja esférica de radio a. La función de onda tiene que anularse en las paredes de la esfera, por lo cual, el espectro de las energías permitidas se determina por las ecuaciones trascendentes

Mk a ) = 0 ,

/ = 0 , 1 , 2 , . . ..

Para / = O, de la ecuación (61) se obtiene que esta expresión se redu ce a sen fea = O, lo que significa que ka es un múltiplo entero de tt. Para / = 1 la situación no es tan simple pues se tiene que resolver nu méricamente la ecuación tan ka = ka.

m

ALGUNOS EJEMPLOS

Evidentemente, las ecuaciones resultan cada vez más complicadas al crecer /, y no se discutirán en este texto. Falta por discutir un aspecto muy interesante e im portante de es tos resultados. En la Sección 1 se encontró que tos estados estaciona rios de una partícula libre se pueden escribir como ondas de de Bro glie expresadas por la ecuación (13) con vector de mom ento p , orien tado arbitrariamente pero definido. Al escribir p = kkñp , donde ta ser,

es un vector unitario a lo largo de p, la ecuación (13) resul (64)

Sin embaído, se acaba de demostrar que para cualquier / y m,

>l>Ei«=Mkr)Yrie,)

(65)

es también üna función de estado para la partícula libre con la misma eneigía. Estas dos representaciones son complementarias; la primera describe estados estacionarios con momento lineal bien definido pero mom ento angular mal definido y la segunda, describe estados con mom ento angular bien definido pero con momento lineal mal defini do. Clásicamente ambos estados de la partícula libre están definidos con precisión. En mecánica cuántica el resultado se presenta en for m a diferente como consecuencia directa de la no conmutatívidad de ios operadores del mom ento lineal y angular. Las representaciones de las ecuaciones (64) y (65) son completas en el sentido de que un estado arbitrario de la partícula libre con energía E se puede expresar como una superposición de cualquiera de ellas. Entonces, cada una se puede expresar en términos de la otra. Usando las propiedades comunes de los armónicos esféricos y de las funciones de Bessel, se puede demostrar® que 4»p(r) = 477 2

(ÍÍP,

0, <^),

(66)

donde y definen la orientación angular de p de la misma ma nera que e y definen la orientación de r . En vista de la ortonor malidad de los armónicos esféricos, también se puede obtener,

0, 4>) =

j

0p)iAp(r) díl„,

(67)

donde d íl^~ sen'^p rftfp es el elemento de ángulo sólido e nt or no at vector unitario «p que define la dirección de p. Para una energía *Fui b obtMción ds U «cuición (66) w puede conniltai, pot templo, taRefeiencii (22), Capítulo DC, Stoolon 9.

304


detemiinada, la ecuación (66) expresa un estado de momento lineal p como superposición de todos los estados de momento angular, y la ecuación (67) expresa un estado de mom ento angular definido como la superposición de todas las orientaciones del momento lineal Un caso especial y muy im portante de la ecuación (66) se presen ta cuando ñp se encuentra a lo largo del eje z, el eje polar del sistema de coordenadas esféricas, o sea «p = O . Ya que.

substituyendo las formas explícitas de

y de

se obtiene que

= 2 ''(2/ + 1) Mkr) P, (eos $) ,

(68)

í=0

donde se ha hecho uso de la ecuación (47),

Yr^

=

Poicos 6).

con Pi (costì) el polinomio de Legendre ordinario. Debido a que se ha escogido el momento lineal a lo largo del eje z, la componente z del momento angular es cero y se obtiene que la superposición de la ecuación (51 ) contiene solamente estados con m igual a cero. 5. EL ATOMO DE HIDROGENO En lo que queda del capítulo se obtendrán los estados estaciona rios de un sistema que consiste de un solo electrón y un núcleo ató mico solamente con la interacción electrostática. Llamando e a la carga electrónica y considerando un núcleo de número atómico Z y por lo tanto de carga Ze, el potencial electrostático será.

Para Z = 1 este sistema es el átomo de hidrógeno, para Z = 2 es el he lio ionizado una vez, para Z = 3 es el litio ionizado dos veces, y asi sucesivamente. Estos sistemas se llaman hidrogénicos debido a su si militud con el átom o de hidrógeno. Es necesario señalar que se ha es crito el potencial culombiano correspondiente a un núcleo puntual de carga, siendo una aproximación excelente en la escala de distan* cias atómicas.

305

EL ATOMO DE HIDROGENO

Para un estado de mom ento angular l es necesario resolver la ecua ción radial, EL

Im

ár^

+

Ze* f

/(/+

Ue, — EUeí .

(69)

En esta expresión m es la masa reducida del sistema dada por m donde es la masa del electrón y m„ la masa del núcleo. La masa m difiere de la masa en menos de una parte por mil, y las mediciones del espectro atómico son tan precisas que pueden detectar el efecto de la masa reducida. Es conveniente usar una coordenada sin dimensiones y y una ene^ gía de ligadura sin dimensiones W escribiendo,

r=

me í y

(70)

me“ W, Ih^ y la ecuación (52) tom a la forma más sencilla. E = -

Mi _

dy"^

(71)

y*

.

siendo ésta la ecuación que se resolverá por el método de series de potencias. Se observa que para valores suficientemente grandes de y, el paréntesis en la ecuación (71) difiere ligeramente de W. Entoncei, el com portamiento asintótico de ue, está dominado por el factorexponencial Físicamente sólo es válido el signo negativo, por lo cual, M.í=v„(y)

(72)

Substituyendo en la ecuación (71) se obtiene. dv.E l

dy^

/ ( / + [)

dy

2Z

»'e( = 0.

(73)

Ahora, se necesita determinar el comportamiento de Vgi cerca del orÍ* gen. Con este propósito se escribe,

Vei - f y substituyendo en la ecuación (73) se obtiene que, J (.v - i)y>-^-2V¡V s r - ^ - l { l + l ) r - * + 2Zy*-' = 0


306

o bien, 5(5 - 1) - í ( / + l) + 2>(Z - V ÍF) = 0. El último ténnino es despreciable cuando y es pequeña, por lo cual s es tal que, 5 (s-l) = /(/+l) o bien, j = / + I,

—l.

Ya que Vei tiene que estar acotada en el orfeen, únicamente está per mitido el primero y se tiene que. Por lo tanto, se busca una solución en serie de potencias de la forma. (74) que al sustituir en la ecuación (73) resulta <í=0

- I V W 2 c j q + l + l) r + ' - ' ¿ € ^ { 1 + l)y’'*>-* + 2 Z '2 C^y'‘*>= 0 fl=0 «-0 y reuniendo términos se puede escribir que, ¿

( 2 / + i) ] y ^ '- ‘ =

2

y c^[Vw{q + i+ i) - z ] y * ‘.

0 -0

Igualando los coeficientes de las mismas potencias de y, se obtiene in mediatamente que, V iy(, + t + i ) - z (75) U i + t ) ( g - m + 2 ) '·■ Esta fórmula de recurrencia permite la determinación sucesiva de to dos los coeficientes del desarrollo en términos Co , que es una cons tante multiplicativa arbitraria, y proporciona una solución de la ecua ción de Schrödinger como serie de potencias. Además, el comporta miento correcto de esta solución en el origen está garantizado, pero todavía se tiene que examinar su comportamiento en infinito, el cual está determinado por las propiedades de la serie para q grande. De la ecuación (75) se obtiene que. t‘a+1


t».

£a± i _ C,

2VW q

Esta razón es la misma que la obtenida para los términos sucesivo· en el desarrollo de la función exponencial y, por lo tanto, para > v«í está dominada por el factor exponencia! . Significa que Uei = divelle en infinito como y la solución general no es admisible físicamente. Este comportamiento no resulta ser una sorpresa ya que, como ae demostró anteriormente, Um se com porta en infinito como Entonces, cualquier solución general consiste de una combinación 11" neal de exponenciales crecientes y decrecientes y, necesariamente, la exponencial creciente domina como ya se ha encontrado. Esta difi cultad se puede eliminar si la serie se trunca, lo cual significa que e». y todos los coeficientes c, siguientes se anulan. Se obtendrá este re sultado si W es tal que,

V w = Zl{n' + l), o sea, que la energía de ligadura dei átom o es tal que. n'í

in' + i y '

« ' = 1 , 2 , 3 .........

(76)

el cual define el espectro de los estados ligados discretos. El número n 'n o puede tomar el valor cero ya que la función de onda es idéntica mente cero si Cq se anula. Para valores dados de « ' y /, según la ecuación (74), vei es un polí· nomio de grado « ' - 1 multiplicado por el factor y . Estos polinCf* mios se conocen como los polinomios asociados de Laguerre^ y lé simbolizan por . Para poderlos escribir en forma compacta M ' introduce primero el polinomio de Laguerre ordinario ¿*(^), defini do por

=

(77)

Entonces, el polinomio asociado de Laguerre se expresa como,

=

Uiz).

(78)

De estas expresiones se observa que í-*(z) es un polinomio de grado fc en c y un polinomio de grado k - q t n z . Se puede obtener otra ’ L u propiedad«· de los potinomiog se discuten en las Referencias [ 1 ] a [5 ].

308


expresión para estos polinomios en términos de una función genera dora apropiada; se puede demostrar que,

l-s

fc=0

·

y por la ecuación (78), (79)

i-T ^ ) Finalmente, se puede demostrar que,

^ í-c » - [ U - { z ) Y d z = i 2 k + \ - q ) ( / _ ^ ) ¡ ·

(80)

En términos de estos polinomios, resulta que, (2yV K v;), y no es difícil verificar, por sustitución directa, que esta expresión es una solución de la ecuación (68). De la ecuación (72) la función de onda radial se puede expresar como,

Rm = ’f

= y'

(8t)

(2yVÍÍVí)

y usando (80), los estados estacionarios normalizados son,

— <^n'(

'• 'c u , .(«' + Oa®.

0 ),

(82)

donde p z ( r t '

+

/ ) '

«0

3/ 1

V i r L 2 ( « '

( « +

' - ! ) !

/ ) t ( ^ '

+

1

(83)

2 0 ! ] ® J

y donde, al expresar y en ténninos de r, se ha introducido el radio de Bohr üa, definido por, «0 = me^

0.53 X I0-» cm.

(84)

Según las ecuaciones (70) y (76), la energía de estos estados es

E=~

ZV 1 2ao («' + /)“’

« ' = 1,2---

/ = 0 , 1 , 2 ..........

(85)

Se observa que la energía depende solamente de la suma del número cuántico radial n ' y del número cuántico Ì del mom ento angular. Es

309


conveniente y usual introducir ahora eí número cuántico prütcipaln definido por

n = n' + l,

(86)

en términos dei cual,

72^,2 que es la fórmula familiar de Bohr.* La función de estado también puede expresarse entérminos del número cuántico principal obte niéndose.

(ÌI)'

·

<**>

donde

{ n - l - 1)’. 112, (89) I «o ) 2n[{n + l)]r¡ Es im portante recordar que, de acuerdo con la ecuación (68), para una / dada, n puede tom ar únicamente los valores / + 1, / -i- 2,..., y para una n dada / únicamente puede tom ar los valores n — \ , n - 2,.,, 0. Las primeras funciones de estado normalizadas se escriben a conti nuación; n

J.

=

/ 7 \3/2 7^ \ ^-Zrf20ú Y m ,

I

E- = -

£9

1 4

La degeneración de los estados se puede encontrar en la forma si guiente. Para un número cuántico principal n y para una energía de ligadura / puede tom ar todos los valores desde cero hasta n — l. Para cada valor de l existe una degeneración {2/ -t- 1) y por lo tanto N, el número total de estados con energía E „, es N = " ¿ ( 2 / -I-1) = /I^ i-O ‘ Hay que obseivai que la energía es pioporctonal a Z ’ aunque la intensidad de U interacción sea proporcional a Z , Este resultado es debido a que el radio promedio del átomo para un estado de it dada es inversamente piopoicional a la in ten si^ d de la interacción y por lo tan to inversamente proporcional a Z , Debido a que la energía, de origen electrostático, e> pro· pordonal a la intensidad dividida entre el radio, se concluye la dependencia Z ‘.

il.

EN TRES DIMENSIONES

De nuevo se tiene aquí un ejemplo de degeneración “ accidental” que no es accidental. Aparece debido a que la ecuación de Schrödinger para un potencial culombiano es separable tanto en coordenadas pa rabólicas como en coordenadas esféricas. El espectro de un átomo hidrogénico se muestra en la Figura 7. La nomenclatura, que se rem onta a los primeros días de la espectrosco pia, establece que los estados con / = O se llaman estados-s con / = 1 estados:?), con l = 2 estados-J, con 1 = 3 estados-/, con / = 4 estados-g y así sucesivamente en orden alfabético para estados de l más alto. En la figura se observa cómo se juntan los estados cuando E se aproxima a cero, en contraste con el comportamiento de los estados para un pozo cuadrado. Este resultado es consecuencia del alcance P l = I

E n

d /= 2

n = 2

n = 1

F ^ r a 7 . El espectro hidrogénico.

grande de la interacción culombiana que provoca que existan infini tos estados discretos para cada valor de /. Entonces, se ha obtenido una solución exacta y completa para los estados ligados de un átomo hidrogénico (no relativista). Sin embar go, estos estados resultan demasiado complicados en general y sus comportamientos cualitativos no son fáciles de ver. Para una n dada, los estados más simples son los de momento angular máximo y los de máxima componente z, esto es, los estados »í'b,í-b-i,w=i.-i . Omitiendo los factores de normalización, las funciones de estado en este caso tienen la forma, = r"-'

sin"-* 0.

Para números cuánticos grandes n, estos estados están bien localiza dos en ángulo y en radio. En particular, la función de onda tiene un máximo bastante definido en el plano ecuatorial y en tom o al radio

PROBLEMAS

311

de Bohr nâJZ. Estos estados exhiben el comportamiento predicho por ]a teoría de Bohr, en el sentido de que están centrados respecto a las órbitas circulares de esa teoría y con bastante precisión para nú meros cuánticos suficientemente grandes. Ejercicio 5. Verificarlas afirmaciones anteriores para el estado

»-i

Problema 1. (a) Encontrar el propagador K{v, r';t para una partícula li bre en tres dimensiones. (b) Considerar un paquete de ondas que a f = O es una gausiana.

Encontrar .4 si el paquete de ondas está normalizado. (c) Demostrar que ^(r, í = 0) es un paquete de ondas de Incerti dumbre mínima. (d) Encontrar í). (e) Encontrar ^(p, t = 0), 0(p, í). (f) Encontrar 0. (g) Encontrar (p), 0. Nota; Todas las integrales se pueden escribir como productos de las integrales en una dimensión que ya se han tratado en el texto. Sin embargo, el problema puede resolverse más fácilmente en tres dimen siones directamente. Q ialquier procedimiento es aceptable. Problema 2. Usando los resultados del Capítulo VI para un oscila dor en una dimensión, (a) Encontrar el propagador para el oscilador tridimensional, (b) Discutir el movimiento de un paquete de ondas arbitrario en un oscilador tridimensional. Problema 3. (a) Calcular la polarizabilidad de un oscüador armónico tridi mensional que es isotrópico. (b) ¿Cuál es la degeneración de los estados para un oscilador tri dimensional colocado en un campo externo uniforme E = «^7 Problema 4. Como buena aproximación, el núcleo puede conildenU!» se como una esfera de radio R q< «<, cargada uniformemente. (a) ¿Cuál es el potencial electrostático entre un electrón y f t núcleo?

312


(b) Obtener una expresión para la corrección a primer orden ala energía del estado base de un átomo hidrogénico considerando finito el tamaño del núcleo. ¿Cuál es el orden de magnitud de esta correc ción, suponiendo q u e/ i „= {2Zy<^ x 10"*» cm? ¿Cómo depende de Z? (c) Hacer lo mismo para un átomo mesónico (i, o sea, para un sistema que consiste de un núcleo y un mesón negativo (La masa de un mesón es de 207 masas electrónicas aproximadamente). ¿Pa ra qué valores de Z, si es que existe, resulta inadecuada la teoría de perturbación a primer orden? (Las primeras estimaciones de tamaños nucleares se obtuvieron del análisis espectral de un átomo mesónico

Problema 5. Considerar un oscilador armónico anisotrópico descrito por el potencial, y ( x , y , z) = i m
(a) Encontrar los estados estacionarios usando coordenadas rec tangulares. ¿Cuál es la degeneración de los estados suponiendo que wi y son inconmensurables? (b) ¿Pueden ser los estados estacionarios autoestados de Z*? ¿Pueden serlo de L*? Explicar en cada caso.

Figura 8 . Movimiento de una partícula en una trayectoria circular.

Problema 6. Una partícula de masa JIf está restringida a moverse por un alambre circular de radio R colocado verticalmente. Suponer la

313

PROBLEMAS

fricción nula y despreciar la gravedad. El hamiltoniano del sistoma es / / = L// 2MR^. Ya que L, = (h/i) (dldtf>), la ecuación de Schiódlnger es, ft

_ “

h dtjf i dt '

0,

donde ^ es la coordenada angular de la partícula como se muestra en la Figura 8.
+ M gR sen.

Considerando el térm ino gravitatorio como perturbación, demostrar que la corrección a prim er orden a las se anula. Calcular la co rrección a segundo orden a la energía. y estados ligados en ^ , usando la aproximación WKB. ¿Para qué estados, en caso de existir, se pueden aplicar los resultados perturbativos de la parte (b)? Problema 7. Suponer que dos partículas idénticas á n espín se mufr ven sobre la trayectoria del problema anterior. Despreciar la grave^wt (a) Suponiendo que las partículas no interaccionan entre sí^re» solver la ecuación de Schrödinger para encontrar las energías permití· das y los autoestados de energía. En caso de existir, ¿cuáles son Iw degeneraciones de estos estados? (b) Suponer que las partículas interaccionan débilmente me diante el potencial + cos(0, - 0*)]. Usar teoría de perturbación para encontrar las correcciones a la energía no per turbada del estado base.

Probfema 8. Una partícula de masa M está restringida a moverse Hrbremente sobre la superficie de una esfera de radio R. (a) Resolver la ecuación de Schrödinger para las energías perm tidas y para los autoestados de energía.

314


(b) Clásicamente, la órbita de esta partícula se encuentra en un plano y, cinemáticamente, es equivalente al movimiento en la trayec toria circular del Problema 6, parte (a). Demostrar que, aproximada mente, esta equivalencia también se logra cuánticamente al conside rar estados de ¿».máximo para números cuánticos grandes. Problema 9, Un átomo de hidrógeno se coloca en un campo eléctri co uniforme dirigido a lo laiô del eje z. Despreciando el espín, el movimiento relativo del electrón y el protón se describe por el hamil toniano

2m

r

eaz.

(a) ¿Es una constante de movimiento? ¿LoesL, ? ¿Tienen paridad definida los estados? Explicar brevemente. (b) Considerando el ténnino del campo eléctrico como una per turbación, obtener una expresión para la corrección a segundo orden de la energía del estado base (¿por qué a segundo orden?). Incluir en la respuesta únicamente elementos de matriz diferentes de cero, sin calcular las integrales ni realizar las sumas. (c) Sugerir alguna función de prueba para hacer un cálculo varia cional tom ando en cuenta, lo mejor que sea posible, la distorsión del átom o causada por el campo eléctrico, sin efectuar ningún cálculo pe ro justificando la función de prueba escogida. Problema 10. Considerar los estados ligados de una partícula en un potencial esféricamente simétrico. Demostrar que si no existen de generaciones “ accidentales” <.í> y i p) se anulan para CMíiíg«íer estado estacionario. ¿Por qué falla la demostración si existen degene raciones accidentales? (Sugerencia: ¿qué se puede decir acerca de la paridad de los estados estacionarios?). Problema 11. El núcleo de (tritón) que consiste de un protón y dos neutrones es inestable. Por emisión beta decae a He* que consis te de dos protones y un neutrón. Suponer que cuando este proceso tiene lugar, sucede instantáneamente. Entonces, la interacción cu lombiana entre el elctrón atómico y el núcleo se dobla repentinamen te cuando el tritio (átomo de H^) decae por emisión beta en He+ ( He^ una vez ionizado). Si el átom o de tritio se encuentra en su esta do base al decaer, calcular la probabilidad de que el ión de He+ se en cuentre en su estado base inmediatamente después del decaimiento. Hacer el mismo cálculo si en el estado final el ión se encuentra en el estado 2s, en el estado 2p o en cualquier otro estado í.

PROBLEMAS

Problema 12. El campo gravitatorio es muy débil comparado con UH mteracciones electrostáticas. Este hecho se ilustra dramáticament· t i considerar un sistema de neutrones b^jo la sola influencia de ni á tn ^ ción gravitatoria. (a) Obtener expresiorjes para las energías de los estados ligftdoi y para el “radio de Bohr" de este sistema. (b) Estimar, a la potencia más cercana de diez, el valor numérico de la energia del estado base (en electrón voltios) y de! radio de Bohr (en cm., en años luz). Problema 13. Tres partículas idénticas sin interaccionar se descrlboi por el hamitoniano siguiente // = 2

(r.) :

1

(a) Encontrar las autofunciones y las energías del sistema, sin tener en cuenta la simetrización. (b) Dar la degeneración de los tres estados más bajos incluyendo la degeneración de intercambio. (c) Hacer lo mismo con partículas sin espín para estados realizar bles físicamente. (d) ¿Cuál es la energía del estado base para partículas con espílj un medio? ¿Cuál es la degeneración del estado base? ■. i Problema 14. Un sistema de dos partículas está descrito por el h «m t toniano

2m,

Im^

2

Considerar la interacción gausiana como perturbación y transfoj^í^ a las coordenadas del centro de masa. ^ (a) Encontrar la energía del estado base y de] prim er esttdó ítóp citado a primer orden. (b) Usar la ecuación (¥11-39) para encontrar una cota superior t la corrección a primer orden para la eneigía del estado base· (c) Usar una gausiana de anchura variable como función de prufr ba para el m étodo de Rayleigh-Ritz estimando la energía del estado base. Problema 15. Lo mismo que en el Problema 14 pero para partícul« idénticas sin espín. Problema 16. Un sistema de dos partículas está descrito por el hamll· toniano

316


1 1 1 Pi + 2 *í*·« “ '■2 )*· 2m, 2mg + 2 m¡ú)W + 2 (a) Encontrar las soluciones exactas transfomiando a las coorde nadas del centro de masa. (b) Esbozar el espectro en los límites de acoplamiento débil y fuerte k fjuú^ y k > pw*»*, respectivamente, donde /xcs la masa redu cida. (c) Hacer lo mismo para partículas idénticas sin espín.

Problema 17. Considerar el átomo de hidrógeno en el estado base. Suponer que por alguna causa la interacción culombiana se elimina a / = O y que el electrón se convierte en una partícula libre. Por simplicidad, tratar al protón como partícula con masa infinita. (a) Encontrar la probabilidad p(p, r)í/*p de que una medición del mom ento del electrón a cualquier tiempo r > 0 , da como resul tado un valor en el volumen elemental en tom o a p. ¿Cómo depende este resultado de í? ¿Cómo depende de la dirección de p ? Explicar. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de la energía del electrón dé un valor entre E y E + dE1 (c) Encontrar la probabilidad de que una medición de la posición del electrón a cualquier tiempo r > O dé como resultado un valor en el elemento de volumen rf®ren r. (Sugerencia: Usar el propagador de la partícula libre). Demostrar cualitativamente cómo cambia esta probabilidad con el tiempo, partiendo de í = 0. ExpUcar brevemente. (d) En contraste con las distribuciones de las partes (a), (b) y (c), una medición del momento angular del electrón siempre da un valor preciso y único. ¿Cuál es este único valor? Problema 18. Obtener una expresión para (^ |p · r|^> y, con siderando el estado estacionario , demostrar el teorema del virial

donde T es la energía cinética y K la energía potencial. Usar el teore ma del virial para demostrar que E = para el oscilador armónico y £ = ^ ( «í»£| ) para el átom o de hidrógeno. IôUem a 19. El neutrón y el protón interaccionan con una fuerza de alcance corto y fuerte. Aproximaciones razonables de estas fuer zas son: i) Tipo Yukawa: V(r) = r ii) Exponencial: V{r) = -

317

PROBLEMAS

iii)

Pozo cuadrado:

K(r) = |

-Vo,

O,

r < R

r>R.

(a) Usar el m étodo de Rayleigh-Ritz para encontrar una expre sión para la energía de ligadura e del estado base en los tres casos an teriores. Usar e"’''** como función de prueba.® (b) Tomando « = 2,2 MeV y R = 2 x 1 0 “*^ cm, encontrar Vêtl cada caso. Dibujar las tres interacciones en la misma gráfica. (c) Como comprobación de la exactitud del m étodo RayleighRitz, resolver exactamente el caso del pozo cuadrado, usando m éto dos gráficos para encontrar e para el caso particular del valor de Vo encontrado en la parte (b).

’ Se puedé llegar a un resultado mejor si se considera una función de prueba que contiene un parámetro de variación, tal como Sin embargo, las ecuaciones que resultui ton complicadas y en los tres casos es necesario resolverlas numéricamente. Hay que lefialat que el caso (ii) puede resolverse exactamente t¡n términos de las funciones Bessel. Ver lastefeten· cias [29], pp .218-220. También se discute en estas páginas el m étodo variacional.

i .thdi

X Momento angular y espín

1. OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITAL Y RELACIONES DE CONMUTACION Si en algún instante de tiempo una partícula sin estructura pasa, con mom ento lineal P , por un punto cuya posición respecto a un ori gen arbitrariamente escogido es r* entonces, su mom ento angular L respecto al origen es L= r

X

p

( 1)

y en componentes. = ypz - zPi> í-i» = ZPi -

(2 )

Lz =xpM~ypx· Las variables dinámicas cuánticas que les corresponde y que se llaman operadores del momento angular orbital se encuentran usando estas relaciones pero interpretando a r y a p como variables dinámicas cuánticas. Ya que el conm utador de X iy ^ anula para i ^ j , se comprueba fácilmente que L es hermitiano. Ejercido 1. Demostrar que L es hermitiano. Las relaciones de conmutación entre las componentes rectangula res de L se obtienen de la siguiente manera. Por ejemplo se tiene que.

OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITAL Y RELACIONES DE CONMUTACION

·

31

= {[yp, - ZP„], [zPx - xp^] ) = iyp,^ zP í) - {yp. , x pJ - U p „, zp ^) + ( zpu, xpt) · Si se considera el prim er término

(yp., zp^) = yp^zp;, - zp^^yPz. y debido a que y y Px conm utan entre sí y con sulta ser (ypz, zp^) = y p x i p ^ ,

z

y p¡, este término re

z) = ^ y p ^ ·

Análogamente, el últim o término resulta ser, izpv^xpz) = x p A z , Pí) = ~ j x p y . Pero como y, x y p , conmutan entre sí, el segundo término se anula, y como z, Py y p^ también conmutan entre sí, el tercer término se anula. Entonces, se obtiene (L^, L y ) = i h { x p ^ - y p ^ )

y reconociendo que el término entre paréntesis es L¡, se obtiene que, {L ^ ,L y)= ih L ,.

(3)

De la estructura de L, el resto de las relaciones de conmutación se obtienen inmediatamente por permutación cíclica de las coordena das, y se tiene que

(4)

y i-j) = iftí-v(5) Estas tres relaciones son equivalentes a la sola relación vectorial de conmutación li X L = f t L ,

(6)

que se puede verificar fácilmente escribiendo explícitamente las com ponentes rectangulares. La naturaleza del operador L se expresa ex plícitamente por la ecuación (6), ya que el producto vectorial de un vector numérico por sí mismo se anula. Recordando que existen autofunciones simultáneas de una colec ción de operadores únicamente si los operadores conmutan, enton ces, como las componentes rectangulares del vector de momento angular no conmutan, se puede concluir que no se puede definir un conjunto completo de estados cuyas componentes del vector de mo mento angular tengan un valor definido y preciso. Unicamente una

320

MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

sola componente de L se puede definir con precisión; las dos compo nentes perpendiculares que quedan son inciertas necesariamente. ' Sin embargo, como se puede escoger la orientación del sistema de coordenadas, se pueden seleccionar estados del mom ento angular de tal manera que la proyección de L sobre un eje arbitrario tenga un valor definido. Generalmente, a este eje se le llama eje de cuantiza ción (para el mom ento angular) y se tom a como el eje z en cuyo caso Lt tiene un valor definido, pero no lo tienen L , y Aunque se ha demostrado que la orientación del vector de mo m ento angular no puede especificarse completamente a nivel cuánti co, no se ha dicho nada acerca de su magnitud. A continuación se discutirá este tema. Para hacerlo se parte del cuadrado del operador del mom ento angular, l / = L ·L · = + L / + L /. (7) y se examinan las propiedades de conmutación de Z.* respecto a sus componentes rectangulares. Primero, se considerará (£,,, . Ya que el conm utador de ¿j, consigo mismo se anula, se tiene que Z.^) =

V

)

L/).

Desarrollando ambos lados se puede verificar fácilmente que, = (L^, L„)

L„)

y, por lo tanto, de la ecuación (3), (/,,, £,„*) =/ft(L,L„-^L„Z,,). Análogamente, usando la ecuación (5), (L^, L,*) = (L „ L,)L, + L,) = - ih {L^L, + L ,L „). Combinando estos resultados se obtiene que, (£,,, L * ) = 0 . De la misma forma se encuentra inmediatamente que, (L„, L^) = (í,„ L * ) = 0 o bien, brevemente, (L, í , * ) = 0 .

(8)

Entonces, se concluye que y cualquiera de sus componentes rec tangulares, por ejemplo L^, se pueden especificar simultáneamente y, además, y Lg forman un conjunto completo de operadores que ' Sin etnbatgo, los estados con momento angular idénticameníe cero no están descartados a pesai de que las tres componentes de L tengan un valor deflnido paia estos estados. No se violan las relaciones de conmutación porque cada lado de ta ecuación (6) se anula cuando se opcia sobre un estado de momento angular cero.

OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITAL Y RELACIONES DE CONMUTACION

331

conm utan para la especificación de estados de mom ento angular. Efr tos estados secaracterizan por la magnitud del mom ento angular y su proyección sobre un eje z orientado arbitrariamente, pero ambos tie nen valores definidos. Antes de pasar a construir explícitamente las autofunciones del momento angular, se consideran brevemente las propiedades del mo mento angular para un sistema de partículas. Para este sistema el mom ento angular es, L=

(9)

i

donde Lj es el m om ento angular de la partícula í-ésima dada por Lí = r, X P(. Evidentemente, ya que las variables dinámicas que se refieren a dife rentes partículas conmutan, se tiene que (Lí, L , ) = 0 ,

i^J,

de donde se obtiene que, L X L — ih L ,

lo mismo que para una sola partícula. Las conclusiones respecto al carácter general de los estados de mom ento angular de una sola par tícula, se aplican sin modificación al m om ento angular de un sistema de partículas. Ejercicio 2. Para el mom ento angular total de un sistema de partícu las, verificar la relación de conmutación vectorial. Característica importante de los sistemas de muchas partículas es el mom ento angular asociado con el movimiento del centro de masa que no es el momento angular total del sistema. Este resultado con trasta con el del mom ento lineal: el mom ento lineal total de un siste ma y el momento lineal de su centro de masa son idénticos. Como ejemplo, se considerará el caso más simple, como es el de un sistema de dos partículas. Transformando a las coordenadas relativas y del centro de masa, el m om ento angular del centro de masa es L*„ = R x P ,

(10)

y el m om ento angular del movimiento relativo,

Lr=rxp,

(II)

322


donde r = r, - r .

R - '” . r . + "■■■·=.

mj P-P .+ P ..

Por substitución directa se puede verificar fácilmente que el momen to angular total del sistema es la suma de los vectores de momento angular del movimiento relativo y el del centro de masa. Además, debido a que las coordenadas del centro de masa y relativa satisfa cen las reâs de conmutación usuales (canónicas), se obtiene inme diatamente que, Ijcm X Ltm —

hr X

(AL^

(12)

(Lr , Lem) = O· Como consecuencia, los estados de un sistema de dos partículas se pueden clasificar simultáneamente respecto al momento angular de suicentro de masa y al de su movimiento relativo, áendo cadauno for malmente idénticos a los estados de momento angular de una sola partícula. 2. AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR Para construir las autofunciones simultáneas y los autovalores co rrespondientes de y se usará el m étodo de factorización que utiliza únicamente las propiedades algebraicas de los operadores. El análisis es análogo al que se utilizó para el oscilador armónico aun que es un poco más complicado. Los operadores que juegan un papel análogo a los operadores a y «í, resultan ser L+ = Lx -l- iLÿ

(13)

L_ = Lj —i'L^. como se demostrará en un momento.* Llamando al autovalor de i* y ft« al de L^, y llamando Ya*, a las autofunciones simultáneas sin normalizar, se obtiene que * Por razones que se adataran en seguida, se llama eJ operador de ascenso para el momen to angular y se llama el operador de descenso. Notât que L - = (L + )t,

AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR

32l

=

(14)

=

(15)

Como L* —¿í* = Lj* + L„* y por lo tanto es un operador no negativo se tiene que r a" ^ )8. Pero Lj. y conmutan con L+ y L_ . Entonces, r/ =L

(16)

y, por lo tanto, también lo hacen

Y

,

(17)

es decir, que si es una autofunción de L*con autovalor también lo son las nuevas funciones L . . Si ahora se considera el conm utador entre ¿+ y se tiene que, { L ± , L i ) — ( L j ± i L ¡,, L ¡ )

= —ihL¡, ± í(/ft¿j) o bien,

L,L. = L A L , ± h ) .

(18)

Al operar sobre Yg^ con esta ecuación de operadores se tiene que,

L.U Yg'^^ L . { L , ± h ) Y ¿ ‘ y usando la ecuanción (15), L,UY^-=Ha±\)L^Y,«.

(19Í

Las ecuaciones (17) y (19) establecen que L± simultánea de L® y con autovalores y to, de acuerdo a la notación, se puede escribir,

es una autofunción ± l ). Por lo ta #

V * '.

ap>:

en donde la normalización se ha dejado sin especificar. Partiendo de un estado determinado Yg^ que es un autoestado da con autovalor ha , se observa que al operar repetidamente con se pueden construir sucesivamente autoestados de con autovalorei ft(a + 1), ft(a + 2) y así sucesivamente, los cuales son también autoestados de L* con autovalor A nálogam ente,poroperaciónrepeti da con ¿ - se pueden construir una sucesión de autoestados de Lt con autovalores h{a - 1), h ( a - 2 ) , y así sucesivamente, siendo cada esta do un autoestado de con el mismo autovalor Pero, ya que

324


L* - Li es un operador no negativo esta sucesión de estados no pue de continuar indefinidamente en cualquier sentido sino que tiene que terminar. Llamando ha, al autovalor más alto y (—Acf¡¡) al autovalor más bajo, de la ecuación ( 16) se tiene que, a,® ^ p. Además, ya que esta sucesión de estados necesariamente contiene un número entero de intervalos n, se tiene que, £K, +

«2 = « ; « = 0 , 1 , 2 , . . . .

(21)

En el extremo más alto se cumple que, = 0

(2 2 )

y en el extremo más bajo se tiene que, L_Ka"‘« = 0,

(23)

Estas condiciones se pueden usar para determinar los valores permitidos de « 1 . «ly 0. Para hacerlo se expresa en términos de L+, L ^ y L^. L+L. = ( U + iL^){L^-iLy) = L·/ + L / = L/ +

+ ñL^ ,

y por lo tanto, - ñL,

+ L/.

(24)

Análogamente, L_L+= V +

- fiL^,

de donde se obtiene la expresión equivalente, L* = L^L+ + A£,, + V .

(25)

Con L* en la forma dada por la ecuación (25) seopera sobre y's"'obte“ niéndose,

= L.L^Y^«' + (hL, + Z,,*) Ya“\ El primer término de la derecha se anula de acuerdo con la ecuación (22) y Yff“' es una autofunción simultánea de Z·® y de con autovalores y ftai según las ecuaciones (14) y (15). Entonces, cance lando el factor común A®, se tiene que j3 = a ,( « ,+ 1).

(26)


En la misma forma, operando sobre ción (24), se encuentra que.

325

con L* como en la ecua

/3 = a 2 ( aí + O,

(27)

de donde «i(ai + 1) = + 1), La única solución de esta ecuación que es consistente con la ecuación (21) es a, = oíí, y p o rlo tanto (28) donde l es entero o semientero, dependiendo de que n sea par o im par. En los dos casos, )8 = / ( / + I),

(29)

y los autovalores de varían de hl a —hl por saltos enteros de ft . Llamando hm a los autovalores de L¡ en lugar de fta ,m será entero o semientero dependiendo de / y tom a todos los valores desde l a -/ por incrementos enteros como se muestra en la Figura 1. Es fácil concluir que existen (2/ + 1) autoestados de para un valor dado de /. •m = I

■w = / -

■m = 2

■ m = 3/2

•m ~ \

•m =

. m= O

1/2

. m = -1/2

■ m = —I ■ m =

I

m = -3 /2

- 2

m= - / + I = - / + •m

I entero

I

m=

= -i / semientero

Figun 1. Valores de m para estados de momento angular l.

326

MOMENTO ANGULAR Y Eg-IN

De aquí en adelante K," será un autoestado del momento angular con autovalores simultáneos y , y donde sus ecuacio nes de autovalores son,

L^Yr = h ^ i i i + \ ) y r L ,Y r = hmYi”'.

(3 0 )

Por brevedad, estos estados se llaman estados de mom ento angular/ con componente z igual a m. Estos estados se pueden construir fá cilmente partiendo del estado más alto y operando sucesivamen te con el operador de descenso L_. Entonces, se puede escribir.

Yi’

(31)

el

donde c,"· son constantes de normalización y, como se recordará Y) se define por (32)

Los estados de momento angular también pueden obtenerse partien do del estado más b ^ o í 'r ' y operando sucesivamente con L+ . En ambos casos, usando las propiedades de los operadores de ascenso y descenso, se pueden construir explícitamente los estados y se pueden determinar sus propiedades principales. Dejando los detalles para el Ejercicio 3, los resultados serían;®

VM—

U+mV-(

U Y r = f t V l ( l + l ) - m ( m ± \ ) Y ^ -^ .

(33a)

(33b)

Ejercicio 3. (a) Demostrar que la ecuación (33b) se obtiene de la ecuación (33a) y, por lo tanto, estas dos ecuaciones son equivalentes. (b) Derivar la ecuación (33b) calculando directamente (¿■±>'(’"1 LiVi™), suponiendo que y,"* está normalizada. Sugerencia: demos trar primero que

’ Para una presentación completa y detallada ver la Referencia [221, egpeciabnente el Capí tulo X in V el Apéndice B,


337

y usar las ecuaciones (24) y (25). (c) Demostrar que las funciones Y r son ortogonales. Es importante señalar que todos los resultados obtenidos hasta aquí se han obtenido como consecuencia de la relación de conmuta ción del momento angular dada por la ecuadión (6). Se ha usado ta realización específica de L como la variable dinámica que correspon de al mom ento angular orbital, defmida por la ecuación (1), solamen te al establecer esta relación de conmutación. Los resultados son válidos para cualquier operador que satisfaga la ecuación (6), repre senten o no a un momento angular oréjía/. A pesar de esta generalización, se presenta en los resultados una característica inesperada; la aparición en el espectro de estados con mom ento angular semientero. Es necesario recordar que en el trata miento de los estados de momento angular orbital para una partícula que se mueve en un potencial central, se dedujo que estos estados de berían de tener momento angular entero para que pudieran cumplir la condición de ser funciones de estado univaluadas. Sin embargo, este requisito se aplicó con demasiado rigor, pues únicamente tienen que ser univaluadas las cantidades físicas observadas, pero estas can tidades siempre se expresan en térmmos de los valares de expectación y son funcionales de segundo grado de la función de estado del siste ma. Por ello, no puede existir una objeción a priori a una función de estado únicamente porque puede tom ar dos signos diferentes en un punto del espacio, pues el cuadrado de esta función es univaluada. Expresado de otra manera, se puede decir que no existe ningún significado físico relacionado con el signo absoluto de la función de estado. También hay que recordar que el problema de que la función de estado sea univaluada, se presentó en relación con las autofuncio nes e‘""* de Lz y con el hecho de que = O y ff>= 2n representan el mismo punto en el espacio. Entonces, el momento angular semiente ro y, por lo tanto, valores semienteros de m corresponden a la ambi güedad en el signo que se ^ n o ró anteriormente. Sin embargo, el sig no relativo entre dos funciones tiene significado físico, ya que los tér minos de interferencia dependen de la fase relativa. Como conse cuencia, el requisito de ser univaluada se violaría si algunas de las fun ciones de estado de un sistema tuvieran momento angular entero y otras semientero. Para aclarar lo anterior, se puede tom ar como un estado con mom ento angular entero y un estado con momen to angular semientero, y considerar la superposición de ambos para tenei el estado, ^ír(^ = tittir, 0, ) + (f(a(r, «, 0) .

328


Entonces, donde no es univaluada, por lo cual estas combinaciones están prohibidas. Basándose en esta discusión general y puramente formal, se puede concluir que, en principio, los estados de un sistema dado pueden te ner momento angular entero o semientero, pero únicamente uno u otro exclusivamente y nunca una mezcla de los dos. Este resultado significa que, aunque los estados de momento angular orbital pueden tener mom ento angular entero como ya se ha supuesto, existe la posi bilidad de que se presente el momento angular semientero, lo cual debe de examinarse. Para esta prueba puede usarse el átom o de hi drógeno, pero resulta que el suponer valores semienteros para el mo mento angular orbital no concuerda con el experimento. Entonces, valores semienteros del momento angular orbital tienen que ser eli minados/ Como se verá en breve, no es éste el caso para el momen to angular intrínseco o espín de una partícula. Ambas posibilidades para el espín se presentan en la naturaleza. Como se va a tratar con más de una clase de momentos angulares es conveniente introducir una notación apropiada que permita dis tinguirlos. Se continuará simbolizando por L al mom ento angular orbital y a sus autoestados por y,™ . El momento angular espinorial se simbolizará por S y sus autoestados por x," , o sea que Xs™está de finido por (34)

S , x r = hmx,”>. Flnabnente, se usará el símbolo J como símbolo genérico para el operador del mom ento angular, ya sea que se refiera al momento angular orbital o al espinorial. Sus autoestados, estarán simbolizados por Kj™, donde (35)

J , Y r = h m Y r· Para facilitar la escritura, en los tres casos se ha usado m como el número cuántico asociado con la componente z del mom ento angu lar. Cuando sea necesario distinguirlos, sencillamente se usarán índi ces, escribiendo /n,, o bien Wj dependiendo de las circunstancias. ‘ Para eliminar el momento angular orbital semientero se pueden dai argumentos diferentes al argumento empírico que se ha dado en el texto. En particular, surgen dificultades con et flujo de probabilidad para tales estados según J. M, Blatt y V. F. Weisskopf, TheoreticülNu clear Physcs, Wiley (152), Apéndice A.

AUTOFUNCIONES Y AUTOVALX)RES DEL MOMENTO ANGULAR

329

Es necesario recalcar que todos los operadores de mom ento angu lar satisfacen las mismas relaciones vectoriales de conmutación dadas por la ecuación (6) para L, S X S = /7i S

(36)

J X J = i7 iJ .

(3 7 )

para s y, para j , Sin embargo, existen ciertas diferencias entre el mom ento angular orbital y espinorial, ya que únicamente este último puede tom ar va lores semienteros. Se usará J para escribir las relaciones generales que sean válidas para todos, o sea, todas las expresiones escritas en térmi nos de J son válidas por igual para el momento anclar orbital y espi norial. Por otra parte, expresiones escritas en términos de L y S se gún el contexto, serán casos particulares de las relaciones generales o se referirán a propiedades especiales de una de ellas. Un ejemplo de esto último sería la representación del momento angular orbital en términos de armónicos esféricos; esta representación no enliste para el espín. Las ecuaciones (6) y (36) son ejemplos del primer caso; am bos soncasos particulares de la regla general deconmutación para el momento angular dada por la ecuación (37), Debido a que, en general, se estudiará el momento angular total de sistemas compuestos, el mom ento angular total tendrá contribucio nes orbitales y espinoriales y, por to tanto, exhibirá únicamente las propiedades compartidas por ambos. Precisamente para exhibir estas propiedades comunes se introduce Ì y el momento angular total de un sistema general se simbolizará por J . Como ya se ha recalcado, todos los resultados obtenidos hasta aquí se han derivado usando únicamente la relación vectorial de con mutación para el m om ento angular y, por lo tanto, son válidas para cualquier tipo de mom ento angular. Para referencia futura y para establecer explícitamente su generalidad, se pueden escribir los resul tados principales en términos de J .· y m=

j—

U + f

y m ^

. ----- j j

» ) , j

\í-m y i

(38a) !___ / /

- f i V j U + i) - m ( m ± l)

V+m y - j

(38b)

donde,

J^=J^±iJ„

(39a)

330


y (3 9 b )

Una característica interesante del operador del mom ento angular es que su proyección sobre el eje z siempre es menor que su magni tud; entonces, como se mencionó anteriormente, su orientación no está definida con precisión. Es ilustrativo discutir este comporta m iento en términos del principio de incertidumbre. De acuerdo con la ecuación (V-49), para cualquier pareja de operadores hermitianos Ay tiene que.

Esta relación se usa para exammar los efectos de la no conm utati vidad de las componentes rectangulares de J . Sin embargo, para cualquier estado Y/”, ~ < r r | r r " ' ) = o, y como Jj: y J„ son combinaciones lineales de y+ y 7 -,

{ Y ñ J A y n = {Yr ' \ j , \ Yr ) = Q. Por lo tanto, para dicho estado,

y de donde

Además, de acuerdo con el principio de incertidumbre.

La orientación de los ejes x y y es arbitraria, por lo cual se concluye que,

de donde la primera relación resulta ser.


331

y la segunda es.

Comparando estas expresiones se obtiene que,

y

iP)

tiene que ser siempre mayor que <7^*) , Por lo tanto,

{ p ) ^ < y / ) + ft|
+ l ) , se tiene que,

1) ^ KJ. ) l ( Kv . ) l + ft). De aquí se concluye que el valor máximo posible de {J;¡) e s ftjy no ftVjó'-t- 1) como lo sería si el mom ento angular estuviera orientado a lo largo del eje z. A estas características cuánticas del momento angular se les puede dar una interpretación geométrica muy simplificada. Para el estado Y i'” , el m omento angular J se puede visualizar como un vector de longitud V J u T T ) h sobre la superficie de un cono de altura mh en tom o al eje z, como se ilustra en la Figura 2. Todas las orienta-

v y a + i)ft

Figura 2. Interpretación geométrica de las propiedades del momento angular para el estado í'j” · ciones de J sobre la superficie del cono son igualmente probables. Entonces, ( ^ ) = = 0. Además, por el teorema de Pitágoras, (Vx*> -

=

( V } 0 ' + l ) A ) * - ( m f i ) * » [ j 0

+

1) - m * ]

ft»,

332

MOMENTO ANGULAR Y E S'IN

que es el resultado correcto como se demostró anteriormente. Para una ; dada, estados de diferente m corresponden a conos de diferen te altitud y abertura angular. E! cono de mom ento angular nunca puede cerrarse completamente, siendo su apertura más pequeña para m = / que corresponde a una abertura angular de e o s " '07Vy (y + I)), La orientación precisa de los vectores del mom ento angular clásico se recupera en el límite clásico de y 1, como debe de ser. Estas características se ilustran en la Figura 3, donde los conos de mom ento angular se dibujan a escala para los estados particulares de mom ento angular > = I y j —2. Falta exhibir los estados de mom ento angular orbital en el espacio de configuración y establecer la relación entre estos resultados y los m= I

m=O

m = -1

(«) j - 1 m= 2

m= 1

»1

=

0

m = -1

m = -2

(b) J = 2 Figuta 3. Representación geométrica de los estados de momento angular; = 2 y / = 2.


333

obtenidos en el Capítulo IX. Se parte de la ecuación (32). Recol· dando tas ecuaciones (34) y (35) del Capítulo IX, se concluye que en el espacio de configuración.

= - k e~" Escribiendo

«í») = /,(6 ) ?

la ecuación (32) resulta ser.

g= (/ctníi)/„ de donde se verifica fàcilmente que,

U e ) ~ (sene)', y, por lo tanto, r / = c,' fseníí)'^·''^. También se concluye que IKr' tiene exactamente la misma forma. Evaluando la integral de normalización se obtiene finalmente el re sultado, Yr' (e,
La fase de la constante de normalización no está determinada por la condición de normalización. La selección de esta fase arbitraria, que es la de la mayoría de los autores, se encuentra implícita en las ecua ciones (33). Para una discusión más amplia ver la referencia [22]. Ejercicio 4. Calculando la integración angular, verificar que Y r ' co mo se expresa arriba, está normalizada a la unidad. Estados con m # ± / se pueden obtener por operación sucesiva con sobre K r' y los reailtados pueden resumirse en la forma sen-™ e d'-'” 2< /! dicos $y~’" X

(1 - c o s ’ fl)'

334


o bien, ¿/(eos ^)'+® X d - C O S " e)'.

Ejercicio 5. Llevando a cabo las diferenciaciones indicadas, encon trar y,**, Vi-‘, ^ 2' ^ y.¡-\ y / y comparar con la Tabla L Capítulo IX.

3. OPERADORES DE ROTACION Y DE TRANSLACION Una relación interesante e informativa se puede establecer entre las transformaciones de rotación de tas coordenadas espaciales y el operador del mom ento angular orbital. Se puede considerar una ro* tación infinitesimal de las coordenadas por un ángulo 8<í» alrededor del eje z, y llamar al operador que induce esta transformación. El operador óR¡ actuando sobre cualquier función escalar f { r , 9 , ^ ) , está definido por, (40) Como es infinitesimal, se puede desarrollar el miembro derecho en serie de Taylor

f { r , e , ^ + b4>)=f{r,e,) + H ^ + y conservando los términos a primer orden se obtiene que, / ( r , 6,4> + ^ ) = {\ + H ¿ ) / ( ^ < í * ) ·

(41)

Comparando las ecuaciones (40) y (41) se obtiene que.

Pero,

y por lo tanto.

ÒR,= Ì

(42)

OPERADORES DE ROTACION Y DE TRANSLACION

391

que establece una relación profunda y fundamental entre las rotacío· nes espaciales y los operadores de mom ento angular. Este resultado se puede usar para generar una rotación por un ángulo finito en torno al eje z, que se puede obtener operando re petidamente con hR¡ . Al operador que corresponde a una rotación finita se le puede llamar /ïj(j8), y su acción sobre una función escalar arb itraria/se define como, Pero,

y escribiendo nS<}>= ^8 se tiene que,

Si se procede al límite, de la definición de la función exponencial se obtiene que,

R A ^) =

= S i i ^V A /

Se puede verificar que este resultado es correcto si se opera con RA/3) en la forma de serie de potencias sobre una función arbitraria/(r, Itì , 0) y se compara el resultado con la representación en serie de Taylor de fir, $ , ^ + En general, el operador flsíjS) que induce una rota ción por un ángulo (8 alrededor de una eje orientado a lo largo de un vector unitario n, resulta ser (43) y el operador de rotación infinitesimal correspondiente 6/?^ sería,

ÓR‘^ = 1 +iS0ft · L/A. De estos resultados se puede concluir que si el hamiltoniano H de un sistema conm uta con el operador L del momento angular, entonces, H necesariamente es invariante respecto a una rotación arbitraria de los ejes de coordenadas. Por lo tanto, desde este punto de vista, la conservación del momento angular como consecuencia de la conmu* tatividad de L· y H, implica que no existe un sistema de coordenadas preferido para el sistema, y el requisito dinámico de que el momento angular total se conserva para un sistema aislado, es equivalente al requisito puramente geométrico y más profundo de que el espacio es intrinsecamente isótropo.

336


La relación entre rotaciones espaciales y momento angular tam bién proporciona la interpretación geométrica de que diferentes componentes del mom ento angular no conmutan. Esta propiedad es una consecuencia directa e inmediata de que las rotaciones finitas alrededor de ^ es diferentes no conmutan. Por ejemplo, se verifica fácilmente que una rotación alrededor del eje Jt seguida por una rota ción alrededor del eje 7 da un resultado diferente al que se obtendría si estas dos rotaciones se llevan a cabo invirtiendo el orden. O tro resultado im portante que se deduce de estas consideraciones es una comprensión mejor de la degeneración (ZZ-H l) de los estados de momento angular / en un potencial central. Esta degeneración se presenta cuando el hamiltoniano es un invariante rotacional y es una consecuencia del hecho de que la selección del eje z es totalmente arbitraria, por lo cual no se asocia ningún significado físico a los autovalores de . Hay que señalar que si la isotropia del espacio se destruye de alguna manera para el sistema estudiado, la degeneración desaparece. Un ejemplo im portante es el desdoblamiento Zeeman de los estados atómicos en presencia de un campo magnético extemo. La dirección del campo magnético selecciona un eje espacial particu lar y el desdoblamiento es producido por la interacción del campo externo con los momentos magnéticos generados por el movimiento orbital de las cargas del sistema atómico y con cualquier momento magnético intrínseco que puedan poseer los elementos del sistema. A estas observaciones se puede añadir un hecho interesante. Si el espacio además de ser isotrópico es homogéneo, es decir, que no exis te un origen de coordenadas preferido, entonces, se espera que el sis tem a sea invariante frenta a una translación de coordenadas. Para es tudiar este resultado se define el operador de translación infinitesi mal Tfir definido como 7'6r/(r) = / ( r + ÒT) .

(44)

donde Tfir translada las coordenadas una cantidad Sr , Yaque 5r es infinitesimal, se desarrolla / ( r 8 r) en serie de Taylor /(r + 8r ) = / ( r ) - ^ 8r · y / ( r ) y usando p = ftV//, / ( r H- 5r) = ( 1 + /8 r · p /ft)/(r).

(4 5 )

Comparando (44) y (45) se obtiene que, i + í8 r · p/ft,

(46)

que relaciona las translaciones espaciales al momento lineal. Por argumentos análogos a los que se usaron para las rotaciones, el opera

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI

331

dor T a que induce una translación por una cantidad finita a está da do por 1

(47)

El requisito de que el mom ento lineal total de un sistema aislado M conserve, es equivalente al requisito geométrico de que el espacio es intrínsecamente homogéneo. Además, la conmutatividad de las dife rentes componentes del mom ento lineal es consecuencia de que los resultados fínales son independientes del orden de los desplazamien tos. Una translación neta siempre se puede expresar como la suma de sus componentes tomadas en cualquier orden. 4. ESPIN: LOS OPERADORES DE PAULI Hasta ahora se ha tratado principalmente con las propiedades det momento angular orbital, o sea, con el mom ento angular que depetv· de únicamente del estado de movimiento de una partícula y no co^ las características particulares de la partícula. A continuación se es tudiará una segunda clase de momento angular que se presenta en la naturaleza y que es un atributo intrínseco de ciertas partículas eic" mentales. Este momento angular intrínseco o espín, como se le IU7 ma, satisface las reglas de conmutación usuales para el momento angular, pero difiere del mom ento angular en la forma siguiente: (a) El espín es una propiedad específica de ciertos tipos de pai^ tículas y es independiente del estado de movimiento. El espín de una partícula se puede considerar como un grado de libertad intetno que, de alguna manera, está asociado con la estructura interna de láp partículas. 'I (b) El momento angular de espín puede tom ar valores enterp^ semienteros, pero exclusivamente uno de ellos para una | cierto tipo. (c) Para un tipo de partícula determinada, el espín tiei! magnitud fija e inmutable. Por ejemplo, las partículas que C( yen la materia, el electrón, el neutrón y el protón, todas tlehih'l un medio en unidades de ft , e igual lo tienen tos neutrino!^ muones, así como las antipartículas correspondientes. Loi tienen espín uno. Algunas partículas, como los piones y toi 0Í^ no tienen momento angular intrínseco, o sea, tienen espín ceiO. ' (d) El espín es una cantidad cuántica exclusivamente. En t i I W tido del principio de correspondencia, no existe límite clásico pIM i | espín. Dicho de otra manera, no se puede dar una descripción para los grados de libertad asociados con el espín.

338


Aunque el espín es una propiedad interna de las partículas elemen tales, tiene que acoplarse de alguna manera al mundo externo para que tenga significado físico. Este acoplamiento se presenta a varios niveles. Las interacciones juertes, que son las que predominan en fí sica nuclear, dependen principalmente del espín. También lo son las interacciones débiles que describen los procesos de decaimiento beta. En e! nivei familiar de las interacciones electromagnéticas, cualquier partícula cargada que posea espín tiene asociado un momento mag nético proporcional al vector de espín. Sin importar la naturaleza de estos acoplamientos, existen ciertas consecuencias generales debido a la existencia del espín. En primer lugar, la conexión entre espín y estadística discutida en el Capítulo VIII tiene importancia dominante en las propiedades termodinámicaestadísticas de la materia. En segundo lugar, a nivel cuántico, el mo mento angular de espín interviene crucialmente en el significado de las leyes de conservación del momento angular, tan crucialmente como interviene el mom ento angular orbital. Sin embargo, histórica mente, !a existencia del espín no se obtuvo de estas características generales, sino de efectos especiales del mom ento magnético del electrón en los estados atómicos. El más simple de estos efectos se refiere al desdoblamiento de los estados atómicos en un campo mag nético externo. Ya que la degeneración de un estado de momento angular total / es {lj + 1), se obtiene que el valor de j para un estado dado está determinado por el número de estados en los cuales se des dobla. El análisis sistemático y detallado de estos desdoblamientos Zeeman, como se les llama, llevaron a Goudsmit y a Uhlenbeck en 1925 a la conclusión de que el electrón posee un momento angular intrín seco de magnitud fija igual a un medio en unidades de h , que debe de añadirse al mom ento angular orbital para dar el momento angular to ta l/. Por ejemplo, un estado s {/= 0) de un átom o de hidrógeno se desdobla en dos componentes ya que y =1/ 2 para dicho estado. Un estado p ( i = i) se puede combinar de dos maneras con el espín. En una de ellas, el mom ento angular orbital y espinorial son parale los ( 7= 3 / 2) y en l ao t r as o n an t Í par al el o s ( y =I / 2 ) . El primero se des dobla en cuatro componentes y el segundo en dos, dando un total de seis componentes en lugar de tres, como se obtendría si el electrón no tuviera espín. Así se continúa para estados de momento angular más alto; para una l dada se presentan dos estados, j - I + \ / 2 y j = / - 1/2 , y el número total de estados en el espectro se dobla. Este análisis se refiere únicamente al átomo de hidrógeno, ya que para átomos que contienen más de un electrón, la descripción es bastante


$19

más complicada. A continuación se intentará desarrollar un fonnalismo para tratar con el espín, restringiendo la atención al caso más im portante, el de espín un medio. Como ya se estableció, la existencia del espín del electrón produce que los estados electrónicos de una sola partícula se doblen lo que corresponde a dos orientaciones posibles, y sólo dos, respecto a un eje escogido arbitrariamente. Este eje se escogerá como el eje z, y se establecerá una expresión general para una función de onda arbitraria de una sola partícula dependiente del espín tí»(r, espín). Esta función de onda será una combinación lineal de dos estados po sibles de espín; un estado para el cual la componente z del espín es +h¡l y otro en el cual esta componente es -ft/2 . Entonces, la super posición se escribe como, (í»(r, spin) =i(F+{r)x+ + »ít-(r)x_,

(48)

donde tí>»(r) se refiere a la dependencia de la función de estado y X+ y X- son las autofunciones del mom ento angular espinorial que co rresponden a espín hacia arriba y hacia abajo respectivamente.* Es tas funciones contienen toda la información acerca del espín. La densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en r con espín hacia arriba es >(»+* (r), y con espín hacia abajo es 0-* (r)i(r_ (r) de donde la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en r , independiente de su espín será . De aquí se sigue que ia integral de normalización para esta función se entiende como <^(r, espín)|«íí(r, espín)) = (.í»+{r)|^+{r)) + (ííí_(r)|^_{r)),

(49)

donde cada término de la derecha tiene su significado convencional como integral en el espacio de configuración. La ecuación (49) se obtiene de la ecuación (48) si se entiende que (<í'i(r)x±l'í<í(r))f^> = (^,(r)l\í»í(r))

(50)

y que las x - son ortonormales, = 1 (x +!x_> = = 0 . Puede ser de alguna ayuda el comparar esta forma de escribir la fundón de estado con la forma en la que se escribe un vector ordi nario A en términos de sus componentes,

\ = A ^ ^ + Ayé^ + A,é,, * En la nowclón de la ecuación (34) estas funciones son jíi«’'* / X iír''“respectivamente. Pa ra a h o m i eictltura, se han abreviado en una forma que es común en la literatura.

340


donde éj-, «1, y son vectores unitarios ortonormales. pondencia con la ecuación (49) se tiene que,

En corres

Una función de estado dependiente del espín puede considerarse co mo una función de dos componentes, una componente por cada orientación del espín y con los estados espinoriales como vecto res unitarios. El siguiente paso será encontrar las propiedades de los estados es pinoriales y del operador del momento angular espinorial S que actúa sobre estos estados. Naturalmente que S tiene que satisfacer ías reglas de conmutación usuales para el momento angular de la ecuación (36), S X S = /ftS, y X+ y X -, definidos como los autoestados correspondientes a las componentes z del espín -l- h¡2 y —h¡2, deben de satisfacer las rela ciones.

( 52)

Además, como ambos son estados de espín total A/2 se tiene que,

= h ( i +\ )

=

De la Ecuación (48), para una función de estado perfectamente arbi traria 0(r, espín) se tiene que, espín) = T espín) , o sea, en contraste con el caso de un momento angular orbital, un operador exclusivamente numérico, =

es ( 53)

También, Xi

4 X i’

y, por lo tanto, Sz^ también es un operador exclusivamente numérico lo que se deduce por el mismo argumento. Pero S / , S»,* y 5^* son variables dinámicas totalm ente equivalentes y deben de compartir es ta propiedad, por lo cual S 2= 5 2 = —

(5 4 )


m

que claramente es consistente con la ecuación (53). Las ecuaciones (53) y (54) significan que para el mom ento angutu espinorial no existe ninguna caracterización diferencial del operadoi en ninguna representación. Esta conclusión no entraña ningún pro· blema, pues un operador está completamente definido por los resut tados que se obtienen cuando opera sobre un estado arbitrario. Es tos resultados se han dado para S® y y falta especificarlos para S j y S„ , En lugar de tratar con estos últimos operadores, es mál conveniente tratar con los operadores de ascenso y descenso S+ y 5-i definidos por,

S^ = S^±iS^.

(35)

Aplicando la relación general completa, ecuación (38 b), se obtiení inmediatamente para el caso bajo consideración j = \ y m = ;

S+x- = Ax +

5+x+ = 0

(56) e invirtiendo la ecuación (55), ^

5.rX+= 2 c

5vX + = -2 X -

^jcX -

n 2X

(37) 5 í ,X - = - - 2

X+ ·

Se comprueba fácilmente queSj:*y son operadores numéricos qu< satisfacen la ecuación (54) y !as relaciones de conmutación correctá*;

Ejercicio 6. ^■ ot (a) Obtener la ecuación (57) partiendo de la ecuación ( 3 8 b ) . ! (b) Tomando S^, S„ yS^definidas por las ecuaciones (52) y ( S n demostrar que se satisfacen la ecuación (54) y la relación de conmu< tación vectorial (36). Demostrarlo permitiendo que los operadOÍW espinoriales actúen sobre el estado espinorial arbitrario de la ecuaclóti (48).

El álgebra de los operadores de espín un medio es poco usual, co· mo ya se ha visto, principalmente como consecuencia de la ecuaciór (54), Esta álgebra puede desarrollarse todavía un poco más. De It ecuación (56) se obtiene inmediatamente que 5i* = 0 . Entonces usando la ecuación (55), O = ( S , ± i5 v )* = 5^* -

± H S ^ S y + S ^S ^ )

342

O bien, ya que


= ft 74.

SxS¡, +

: 0.

La misma relación se cumple entre cualquier par de componentes di ferentes, ya que todas las componentes de S son dinámicamente equivalentes. Este tipo de expresión, que es análogo ai conm utador excepto por el signo más en lugar del signo menos, se conoce como anticonmutador. El anticonmutador para cualquier pareja de opera dores se define como, (58)

Sustituyendo las variables x, y y z áe las componentes de S por índi ces numéricos, las relaciones de anticonmutación para espín un me dio se pueden escribir como. (59)

Usando este resultado importante, se pueden simplificar las relacio nes de conmutación. Con i , j y k t n orden cíclico se tiene que, —SjSi = iñSic y como Si y Sj anticonmutan.

SiSj — 2

*

(60)

o bien, multiplicando por S* por la izquierda o por la derecha, StSiSk = S k S iS i= ih V » ,

(61)

donde, para recalcar, i, ; y fc se toman en orden cíclico. La ecuación (60) es útil debido a las siguientes razones. Considé rese un operador totalm ente arbitrario pero dependiente del espín y que contiene un término en las componentes de S a la «-ésima potencia. Las ecuaciones (54) y (60) aseguran que este término siempre puede reducirse a un término independiente del espin o a un término lineal en el espín. Para aclarar este resultado se pueden dar los ejemplos siguientes:

(-!) 16 *■

349

ESPIN; LOS OPERA DORES DE PAULI

En la primera línea se ha sustituido por ( —iA/2)5j., en la se gunda S / por h^¡4 y en la tercera S,S„ por {ih¡2)S,.

(2) iñt ‘ 32' En la primera línea se ha sustituido por M®/8 según la ecuación (61) y en la segunda S / por ft^/4 . Ya que cualquier po· tencia de los operadores de espín se puede reducir como se ha indi cado, se concluye que el operador espinorial A más general, se puede expresar como una función lineal del espín, esto es, A = A( ¡ +

A

t S x A

(62)

y S x ,

donde los A¡ son operadores arbitrarios independientes del espín del tipo que se han estado tratando. También se puede demostrar que el operador espinorial está com pletamente especificado por las ecuaciones (52) y (57), Se puede hacer calculando el resultado de operar con el operador arí>iírario A, ecuación (62), sobre un estado arWfrarío \¡t , ecuación (48). Se obtie ne que,

Ai)>= Ao (tí'+x+ + <Í>-X-) + |/4i(ií(+x- + 0-X +) + -‘ ~A 2 (<Í)+X-- tí»-x +) +

1

>i3(\í'+x+-»í'-x-)

y, reuniendo términos, >10= ÂQ + Â3^\li++~iAi~iA3)\lf.

x+ (63)

X-· Por ejemplo, el valor de expectación de A es. iMA\»tf) = (*lt+\Aa + Â3\itf+) +

I

- iA^l^-} (64)

+ { i t > - \ A o - ^ A i \ ^ . } + j {>ít-\At + íîl«í'+)·

Algunas aplicaciones específicas de estos resultados se dan a conti nuación. (1) El o p erad o r^ de la ecuación (62) podría ser,

344


/4 = n · S ,

donde ri es un vector unitario arbitrario con componentes regulares rii, Oy y riz. Entonces, de acuerdo con la ecuación (64), el valor de ex pectación del momento angular espinorial a lo laiô del eje n es («í»|ii · S|t/<) = rt* I [(0+|«í'+) + 1

+ /«„)

+ 1 ( r t j ; - í H ( , ) (»íí+jíí»-).

(65)

El último término es el complejo coiyugado del segundo, por lo cual el resultado es real. En el caso especial en el cual 4'+ o sea cero, que corresponde a un estado ^ con espín hacia arriba o hacia abajo, respecto al eje z, el resultado sería, ( < í í i | n - S | 0 . ) = ± n , fi/2. (2) Como ejemplo similar, pero más im portante y más complica do, se puede tomar ^ = L · S, donde L es el operador del mom ento angular orbital. Se obtiene que, ( 0|L · + 1 (0-|L+|»A+) + 1

(66)

Si es un estado cuya componente z del momento angular orbital es mÄ, los últimos dos términos contribuyen solamente si <(<- contie ne estados con componente z del momento angular igual a (m -l-1)A. (3) Como último ejemplo se puede considerar un estado de la forma especial, 0(/·, spin) = < ^ ( r ) ( a x + - I - / 3 X - ) ,

|«|^-H |)8|* = 1,

(67)

=

Para el operador general A se obtiene que, i MA \ ^ } =

(« ß* + a * ß ) ^ A ^ + Ha ß * - a*ß)

+ (W ^-|Î^)|-43}|0)·

(68)

Y para el operador del primer ejemplo /4 = A · S se obtiene el resul tado,

94$

ESPIN; LOS OPERA DORES DE PAULI

<0|h · S| 0) = {«^(a/3* + a*fi) +

+ /t,

- a ·^ )

(69)

Otras aplicaciones se dejan para los problemas. Es útil tener una realización explícita de los operadores espinoria les aunque, como lo demuestran los ejemplos anteriores, no es nece sario hacerlo. Sepuede hacer usando una representación matricial y notando que, debido a que se tienen sólo dos estados de espín, úni camente se necesitan matrices dos por dos. De la definición de los elementos de matriz de un operador, la componente í-ésima de S se puede escribir como.

Lx>s elementos de matriz se calculan fácilmente usando las ecuaciones (52) y (57). Por ejemplo, = o = < x _ | 5 J x _) (x+|S.tlx-> = | = < x - 15.rIx+>,

y análogamente para

y S*; entonces. ^0 2\ ^ 1

1 0

^0

—/ 0

fI I

0 -1

2' 2

(70)

Usando las reglas de la multiplicación de matrices, es fácil comprobar que las componentes de S satisfacen tas relaciones que se obtuvieron anteriormente. Ejercicio 7. Usar las reglas de multiplicación de matrices para de m ostrar que Sj. , S„y S*, definidas por la ecuación (70), satisfacen tas ecuaciones (54), (59) y (60). Aunque en todo el análisis anterior se ha usado S , es conveniente eliminar todos los factores ft/2 que aparecen en este análisis. Para

346


ello se introduce un operador sin dimensiones llamado operador de fou/i definido por cr = + o-„e„ + o-A y se escribe, S =

(71)

| a .

Usando todos los resultados anteriores se obtiene que.

o·/·· (T/ = o-,*= l (T X(T ·

■ 2/(7

(o-j, (7j)+ :

‘2Ô.J

(72)

/o-ft o'iO'jO·* ' ■i. y la representación matrícial de a será

— a i) -(r¿ ) -(¿-Î)

(73)

Se concluye fácilmente que a , , o-„, y la matriz unidad forman un conjunto completo de matrices dos por dos en ei sentido de que cualquier matriz dos por dos se puede expresar en términos de ellas (¿por qué?). Esta afirmación es una versión más clara que la ante rior, en la cual se afirmaba que un operador arbitrario dependiente del espín siempre puede expresarse como una función lineal del espfn. (¿Por qué son equivalentes estas dos afirmaciones?). Esta representación matrícial de los operadores espinoriales sugie re una representación similar para las funciones de estado de dos componentes en la teoría. En particular, las funciones espinoriales X+ y X- se pueden representar por mafr/ces co/um«ú!® definidas por por

Estas definiciones son consistentes, pues se puede verificar que las ecuaciones (52) y (57) se cumplen cuando se consideran como ecua ciones entre matrices. Los detalles se dejan para los ejercicios. También se introducen los adjuntos de estas matrices que son las matrices renglón.

X,f=0

0 ).

x^t=(0

1).

' A estas matiicea columna también se les llama vectores columna o simplemente vectores.


de acuerdo con la definición general de adjunto de una matriz, ecmp ción (V IM 9), y de acuerdo con las reglas usuales de la multípUcfr ción de matrices, x+tx+ = x - t x - = 1 y x+tx^ = x - t x + = o, Se observa que estas relaciones son precisamente equivalentes a las expresiones definidas en la ecuación (51) como paréntesis de Dirac, Comparando se obtiene que,
={^[)'

Sin embargo, a las expresiones en términos de paréntesis de Dirac en las que intervienen funciones espaciales y espinoriales, falta darles el significado de la ecuación (50).^ Ejercicio 8. Verificar que las ecuaciones (52) y (57) se cumplen cuando se consideran como ecuaciones entre matrices. Es conveniente hacer algunas observaciones finales. Se ha introdu cido el espín en forma ad hoc como una necesidad empírica, más o menos como se hizo históricamente. La teoría de dos componentes de Pauli se originó a partir de estas bases empíricas. Sin embargo, se puede mencionar que todas estas características, sin ninguna suposi ción ad hoc, fueron obtenidas por Dirac en 1930. Partiendo de un electrón sin estructura, Dirac construyó una versión relativista de la ecuación de Schrödinger de la cual se obtuvieron las propiedades es’ Estas ideas se pueden aplicar con la misma facilidad a la repiesentación de funciones de eitado convencionales ^(r}. La función <(í se puede considerar como una superposición d« al gún coiOunto completo de funciones base ortononnales . Los coeficientes de esta super posición, por ejemplo Cm-f deflnen completamenta a la cual se puede repiesentai como una matriz columna de dlmen«lón infínita con Cm como el elemento m-ésimo. Al ex p ieu r operadores como fflatrlcet en 1« misma base, cualquier relación que se cumpla en la descrip ción convenctotukl U m biin w cumple cuando se cotisideia oomo relaciones matricialei.

348


pínoriales del electrón como una de sus consecuencias. También pre dijo la existencia del positrón. En el próximo capítulo se discutirá la ecuación de Dirac y cómo se obtuvieron estos resultados. Se ha discutido ampliamente el e ^ í n un medio y la forma de tratar partículas sin espín, pero no se ha dicho nada acerca de otros espines como por ejemplo, el espín uno. Ya que para espín uno existen tres orientaciones, la función de estado que describe a una partícula de espín uno tendrá tres componentes. El álgebra correspondiente, aun que inmediata resulta más complicada y no se intentará desarrollarla. 5. A D iaO N DEL MOMENTO ANGULAR Considérese un sistema de muchas partículas que está aislado. Su momento angular total se puede expresar como (74) donde L, es el momento angular orbital y S¡ es el momento angular espinorial de la partícula i-ésima, en caso de existir. Como el mo mento angular de un sistema aislado se conserva, los estados de tai sistema siempre se pueden escribir como autofunciones simultáneas de y J í con autovalores j { j + l)ft* y mh . Pero frecuentemente sucede que el sistema se puede descomponer en subsistemas que no interaccionan entre sí, dentro de cierta aproximación. En esta apro ximación, se puede discutir el sistema en términos del mom ento an gular de sus partes, ideas que son muy familiares en física clááca. Así, el mom ento angular del sistema solar puede considerarse como compuesto de un número de elementos diferentes; el mom ento angu lar orbital de cada planeta en su movimiento en to m o al Sol, el mo mento angular de las diferentes lunas en tom o a los planetas corres pondientes y, finalmente, el momento angular de todos estos objetos y del Sol, debido al movimiento giratorio de cada uno en torno a su eje. A primera aproximación, todos ellos están desacoplados y se conservan por separado, lo cual proporciona una descripción adecua da para el comportamiento a corto plazo del sistema solar. El com portamiento a largo plazo requiere un tratam iento más preciso que tom e en cuenta las interacciones mutuas entre los diferentes momen tos angulares. Los momentos angulares individuales ya no se conser van por separado, sino únicamente el total para todo el sistema. Lo im portante es encontrar una descripción cuántica del momento angular total de un sistema como composición de los momentos an gulares de los subsistemas. Se supone que éstos interaccionan débil· mente para que los efectos de las interacciones se puedan tratar por los métodos de la teoría perturbativa. Entonces, se busca un conjunto

ADICION DEL MOMENTO ANGULAR

apropiado de estados no perturbados, estados de momento anfUlMi' definido para cada subsistema y de mom ento angular total para tOdo el conjunto. El proceso clásico de combinar momentos angularei M completamente trivial; simplemente se tom a la suma vectorial en It forma usual. Sin embargo, cuánticamente, este proceso es complicado debido a que ninguno de losvectores de mom ento angular está orienta do con precisión. De hecho, se tienen que sumar vectores que se en« cuentran sobre conos, como se ilustra en las Figuras2 y 3, con abertura angular, alturas y orientaciones variables, y formar una resultante que se encuentra sobre dicho cono. No se intentará dar una respuesta com pleta, sino únicamente enumerar los estados de momento angular to* tal que se pueden lograr al componer estados de momento angular defi nido. No se intentará construir estos estados en forma explícita, ex cepto por uno o dos casos especiales.® El problema de enumerar los estados de mom ento a n c la r que se pueden tener, tan simple para sistemas clásicos, no es trivial en me cánica cuántica. Como se verá más adelante, la respuesta, que se lla ma teorema de la adición vectorial del momento angular es la siguien te: cuando un sistema de momento angular Ji se combina con un sistema de mom ento angular ^ mom ento angular total / tiene un valor máximo de jt y mínimo de lî —J í \ . Los otros valores posibles de / se encuentran entre estos dos extremos, distinguiéndose entre ellos por pasos enteros de uno a otro. El conjunto completo de estas posibilidades será ( / 1 + /e), (Jí + 7s —0‘i + Jt — 2),..., U'i - ji\· Además para cada valor de / el estado con componente 2 defmida es único. Pero estos estados únicos son tales que, en general, ías com ponentes de y, y U no tienen valor definidos por separado. Es te resultado es consecuencia directa de la incertidumbre cuántica en la orientación de los vectores del momento angular y de aquí resulta la complicación para construir estos estados. Para confirm ar estas afirmaciones, se puede considerar un sistema com puesto de dos subsistemas sin interacción. Llamando Ji y Ja a los m om entos angulares de los susbsistemas y y XH
* Para una discusión completa ver la Refetencia [22], Para un tratam iento más breve ver las Referencias t;!4] y [25], ® Brevemente,

·

Oí + Ji)

-i

ÍJi - / ! ( .

en analogía con la regla dei triangulo pata vectores clásicos A y B. A -I- S

\A + B¡ ^ ¡A -

350


(7 6 )

JizXi^=

Los estados del sistema completo se pueden expresar como pro ductos de estas funciones. Se buscan estados compuestos que son autofunciones simultáneas de J * = ( J , + J 2 ) ^ y de 7* y también de y o sea, se buscan estad oscuyosm o m ento sangu laresjiy/i se su man para dar un estado de momento angular / y componente z igual a m. Llamando a esta función de estado compuesta, se tiene que, (77) que es la superposición más general de funciones producto que a su vez es autofunción simultánea de /i* y de Las constantes C se llaman coeficientes de Clebsch-Gordan y pueden determinarse por la condición de que sea autofunción simultánea de/ ®y d e J z . Para verificar el teorema de adición vectorial se enumerarán los valo res permitidos d e / y de m. Respecto a m la respuesta es inmediata porque Jz = J u + V ope rando con y, sobre la ecuación (77) se tiene que, ffi = /«i + m*.

(78)

lo cual significa que ta suma doble de (77) se reduce inmediatamente a una sola aama. También establece que el valor máximo posible de m es jt que se alcanza cuando m ^yrih tengan sus valores máxi mos de i, y h respectivamente, “ y además que el valor máximo de i es 7max = /i + h· Considérese un sistema en el cual m es jx + h —‘i. Este estado se puede formar de dos maneras linealmente indepen dientes; una, en la que /«, es igual a y /n* es A — 1, y la otra en la cual ntt es yi - 1 y m;, es igual a A·*' ^ Una de estas combinaciones tiene que pertenecer al estado = j\ + jt que ya fue identifica do, pero una segunda combinación (ortogonal) también existe y tieDebido a que hay un solo estado de este tipo en la supeipoúdón (77), este estado se deter mina Inmediatamente como + y también el estado con /n = — (j , +

X ítíf

(79)

), (80)

Estos estados son los únicos que siempre se pueden construir Inmediatamente, " Estos dos estado linealmente independientes son

Xj,j,

y

X ji.j·-· .


ne que estar asociada con el e s t a d o / + Í 2 - 1 . Pasando ft eitldM con m = 7 , + j í - 2, existirán tres estados linealmente independí·»· tes. Dos de ellos tienen que estar asociados con los estados de mo* mentó angular total identificados anteriormente, y el tercero esttAl asociado a un estado con mom ento angular } = y, + Á - 2. Se con tinúa de esta manera decreciendo ; por pasos enteros hasta que se han cubierto todas las combinaciones y ; alcanza su valor mínimo Jmin ~ U*1 “ A l·

No es difícil comprobar que en esta enumeración se han incluido todos los estados posibles. El argumento es el siguiente. La degenera ción del primer subsistema es ( 2 j, + 1 ) , la del segundo es {2jt + Oy^ por lo tanto, deben de existir (2y, + 1)(2A + I) estados linealmente independientes en cualquier representación. Se puede calcular a con tinuación el número total de estados en la representación (y,/n). La degeneración de un estado con mom ento angular/ es l j + 1 y, por lo tanto, suponiendo que J t ^ j ^ se tiene que, {2 7 , + 1 ){2 7 , + 1)

(2j+l). j-ii-Ji

Se puede calcular la suma escribiéndola en orden inverso, sumándola a la original y dividiendo entre dos. El primer término de cada su mando es 2 ( 2 7 ) + Oque también lo es para cada par de términos. Co mo existen (27*2 + 1 ) términos en total, se obtiene el resultado de seado. Entonces, se han verificado las reglas establecidas anteriormente para la adición de momentos angulares. Estas reglas son equivalentes a las de los vectores ordinarios pero suplementadas por las condicio nes cuánticas usuales para los estados de momento angular. Las mis mas reglas se pueden aphcar para sumar más de dos m om entos angu lares. Para hacerlo, se suman dos de ellos y al resultado se le suma el tercero y así sucesivamente. Existen muchos ejemplos importantes de la adición de momentos angulares. En uno de estos el hamiltoniano es, aproximadamente, in dependiente del espín, por lo cual el mom ento angular orbital total de todas las partículas y el mom ento angular espinorial total forman dos sistemas independientes. El primero se describe en términos de estados de un mom ento angular L y el segundo por estados de un mom ento angular S . Estos dos momentos angulares se acoplan por fuerzas débiles dependientes del espín para formar estados de mo* m entó angular total definido. Este esquema se llama acoplamiento Russell-Saunders o L-S y se aplica a estados atómicos en la primera parte de la tabla periódica. En el otro extremo se encuentra la clase de problemas para los que la interacción entre partículas individuales

(5 2


jueden despreciarse pero no las fuerzas dependientes del espín. En íste caso, cada partícula se describe por un estado de m om ento anguar total / y el sistema, como conjunto, se describe por la suma de es:os estados individuales. Este esquema se llama acomplamiento j - j y le aplica a los estados atómicos en la última parte de la tabla periódi:a y también a estados nucleares en la aproximación del modelo de :apas. Ahora se puede dar un ejemplo de la adición del mom ento angular, ie encontrarán los estados de espín total para dos partículas con es)ín un medio. Este ejemplo es el más sencillo posible, pero de modo [ue todos los detalles se puedan presentar. Sea S, el operador de es)ín para la primera partícula y S 2 el de la segunda partícula. Sea f los estados de espín correspondientes. De acuerdo con la ecua:ión (77), el estado espinorial más general posible de un sistema de los partículas se puede escribir como la superposición de ;2 · ^ + I) (2 ' 4 + I) = 4 estados espinoriales compuestos, = C™++X, +X2+ + C,m+-Xi+X2_ +

X,-Xs(81)

'om o se está hablando de estados puros de espín, los autovalores del nomento angular espinorial se han llamado s en lugar de / y los estalos compuestos espinoriales se han abreviado como X s * . También, >or conveniencia, los índices Wi y en la suma (77) se han sustjtui10 por los signos más y menos. Finalmente, la suma se ha escrito ex¡lícitamente porque contiene sólo cuatro términos. Ahora se buscan las cuatro combinaciones lineales particulares que on autoestados simultáneos del espín total y de su componente z. 11 operador del espín total es S = Sl + S2

(o-i + íTs)

o-.

(82)

r tos estados que se buscan son aquellos para los cuales, •^^X,n. = -í(í + (83)

>bien, en términos de los operadores de Pauii, o'“x™. = 4 í ( í - l - l) x ™

o-iX™ = 2otx,„.

(84)

£$tos estados se identifican fácilmente con la ayuda del teorema de a adición. De acuerdo con este teorema, dos partículas de espín un


3S3

medio se pueden combinar para dar solamente espín uno y espín cfr ro. Los estados de mom ento angular máximo y | m j máximo siempre se pueden construir en forma trivial, y están dados por las ecuacio nes (79) y (80). Para este caso, son Jos estados con s = = ± I , por lo cual se obtiene inmediatamente que, Xll

+ (85)

Xi,-i = X i-X í-·

Los dos estados que faltan, ambos con m = O, son combinacio nes lineales de X i + X s - y de X 1- X 2 +. ¿Qué combinación lineal de dos estados corresponde a s = l , m = O el miembro que falta del con junto de tres subestados s = 1? Observando que cada estado de 5 = 1 identificado por la ecuación (85) es simétrico respecto al intercambio de los espines de las partículas uno y dos, se sigue que el estado bus cado también debe de ser simétrico. Entonces, debidamente norma lizado, ei estado es Xio = : ^

(Xi + X i - + X 1 - X 2 +) ■

(8 6 )

Evidentemente, el estado faltante que tiene J y m = Oes una combina ción lineal análoga pero ortogonal al de la ecuación (86) y, por lo tanto, es el estado antisimétrico Xoo = ^ / 2 ( X i + X s - ~ X 1- X 2 + ) '

(8 ^ )

Ejercicio 9. Verificar la afirmación de que el estado / = 1, m = O tie ne que ser simétrico porque los estados j = 1,/n = ± lio son. Hacerlo considerando una rotación del eje de cuantización y demostrando que el operador de rotación apropiado es simétrico en los espines de las partículas. No es difícil comprobar que los estados que se acaban de encon trar son autofunciones simultáneas de S'^ y o de a·^ y cji). De acuerdo con la ecuación (84) se tiene que demostrar que para los es tados 5 = 1 , o-*Xm = 8x.„

m = l,0 ,-l

<88)

y para los estados 5 = 0,
«»>

354


Las ecuaciones en a, son triviales pero las ecuaciones en a·^ no lo son. Se pueden simplificar observando que, cr^ = {o-, + o-j)* = cr,=* + o-j* + 2a-,

(Tí

y, debido a que o·,* = ctj* = 3, cr^ = 6 + 2tr,

at.

Comparándolas con las ecuaciones (88) y (89) se obtiene que o-i · da la unidad cuando opera sobre un estado con s = 1 y menos tres cuando opera sobre un estado de j = O . Este resultado se obtiene fácilmente, pero se dejarán los detalles para los problemas. Recapitulando, con la ayuda del teorema de la adición vectorial se ha construido explícitamente el estado espinorial llamado tríplete con 5 = l y m = l , 0 , - l , y e l estado singulete con s ~ m = 0. Se encontró que el primero es simétrico respecto al intercambio de espi nes y el segundo es a n t i s i m é t r i c o . L a s funciones de estado nor malizadas y sus propiedades se resumen en la Tabla L Triplete

Singulete

s= 1 o·* = 8, (Ti · (Tj = 1 m = l : Xi,, «> = 0

Í = 0 = 0 , ( 7 , · (7i = - 3

= Xi+)c¡+

: Xi.o =

(Xn-Xí_ + x , - x s + )

"< = 0 ; X*.»

m= -l

, ^ { X i +X í - - X i - X 2 + )

: x ,._ , =

Xo.e 6s antisimétrica Xi.n. es simétrica ____________ respecto at respecto al aiintercambio intercambio al intercambio________________ intercambio respecto Tabla I. Estados espinoriales normalizados para dos partículas de espín un me dio.

Como segundo ejemplo, muy importante, se puede considerar la adición del momento angular orbital y espinorial para el caso de es pín un medio. Unicamente se darán los resultados, dejando los de talles para el Ejercicio 10. Para un momento angular orbital / O , hay dos estados con mom ento angular to ta l; = / ± i , de acuerdo con el teorema de la adición vectorial. Estos estados, a los cuales se les llamará se deñnen como, " Esta conclusión comprueba la afirmación del Capítulo VIII de que los estados antisimétricos de dos partículas pueden clasificarse como el producto de un estado espinorial antisimé trico (singulete) por un estado espacial simétrico, o bien, como el producto de un estado es pinorial simétrico (triplete) por un estado espacial antiam étrico.


3Sf

= A^/(V + Se expresan en térm inos de las autofunciones estados espinoriales por,

[V / +

de i* y

m + 1ií»i„x+ + V / - m

y de los

x_]

(90)

y por,

j■= l/ - - ,· m i = m + ^

^ 2 / + 1~ ^

+ V / + m + 1 0t . „ . nx-] ·

(91)

En la ecuación (90), m tom a todos los valores enteros entre — (/ +1) y /, y en la ecuación (91) tom a los valores enteros entre - l y l - 1. La importancia de este ejemplo proviene de la existencia de la lla mada fiierza espín-órbita. Para un electrón que se mueve en un po tencial central y ( r ) , esta interacción está representada en el hamilto niano por el término,

donde L es el operador de mom ento angular del electrón y 5 su ope rador espinorial. Este término, cuyo origen es relativista, es conse cuencia del hecho de que el campo magnético producido por una partícula cargada en movimiento interacciona con su momento mag nético espinorial. Un hamiltoniano que contenga este término con muta con J^, Jz y U pero no con L¡. Entonces, los estados de mo mento angular son precisamente los de las ecuaciones (90) y (91). Esta relación se puede hacer explícita observando que J ^ = ( L + S)^ = L^ + 2L·■S + S ^ de donde se obtiene que para una partícula de espín un medio,

356


y por lo tanto las autofunciones simultáneas de J ^ y L* son también autofunciones deL · S, es decir, (L-S)

=

Para j = / + 4 ,L S tiene autovalor th^l2, y para autovalor - ( /+ 1) h^l2.

y=/-4

tiene

Ejercicio 10. Obviamente, las funciones de las ecuaciones (90) y (91) son autofunciones de L'^ yJ¡. Usar la ecuación (66) para veri ficar que son autofunciones simultáneas de L · S y por lo tanto de

Ahora, se puede tom ar un sistema, como el átomo de hidrógeno, descrito por el hamiltoniano, ^ ~ 2 ^ + í^(r) + / / sptrmrbli· Este hamiltoniano es separable en un producto de funciones radial y angular de la forma,

spin) = R¡i Usando los resultados obtenidos anteriormente para los autovalores de L S.la función de onda radial R¡, satisface la ecuación AL

di

2mr·^
dR,\

r

i{l+\w ,

d r ) ^ >

2mr^ =

/

dy

1 ^ c^r

dr

R il (93)

donde la línea superior dentro de los paréntesis se refiere al estado / = l + y la inferior al estado j ^ l Naturalmente, que el término espín-órbita está ausente para estados s (í = 0 ) , por lo cual la ecuación (93), que es exacta, se apHca solamente para / # O . La perturbación provocada por este término es responsable de la estruc tura fina de los estados atómicos, y en el dominio nuclear la existen cia de una interacción espín-órbita fuerte es esencial para la explica ción de las estructuras de los núcleos en el modelo de capas. En el caso atómico donde este término generalmente es pequeño, se puede tom ar como buena aproximación la teoría de perturbación a primer orden para la contribución a la energía. Un estado de un electrón con l dada se desdobla en un doblete, cuyo corrimiento en la energía es.

PROBLEMAS

?!flí m: A£ = - J L ·

Cf)«'·

1 ).

Entonces, la energía de separación de los dos estados es

La separación de las famosas líneas D del sodio, es un ejemplo del desdoblamiento producido por la interacción espín-órbita. Problema I. (a) Calcular la energía del estado base del átomo de hidrógeno suponiendo momento angular semientero. Comparar la energía de ionización con el valor experimental. (b) ¿Cuáles son las autofunciones del estado base? Problema 2. Para el oscilador armónico isotrópico en tres dimensio nes, encontrar la energía del estado base y la autofunción correspon diente, suponiendo mom ento angular orbital semientero. Problema 3. Econtrar las relaciones de conmutación de L j, L„, L,, L* con p ^ , p y , p t , p ' \ y con j:, y, z, Problema 4. Considerar el movimiento de una partícula en un cam po central Vir), Sea ^ „ ( í· ) la autofunción del hamiltoniano que co rresponde al mom ento angular total / y componente z en unidades de ft. Demostrar que, es una autofunción de H que corresponde a la misma energía £ y al mismo momento angular total l, sin im portar el valor de /3 ni la orientación de ñ . ¿También es 0 ' una autofunción de ? Explicar. Problema 5. (a) Suponer que n es un vector unitario orientado arbitrariam te. Llamar l,m,n a los cosenos directores respecto a los ejes x,y,i, .respectivamente. Demostrar que,

In

/ -—im\ im'^

358


donde cr es el operador (vector) de Pauli. Verificar que (n ■<7 )·^ = 1, sin im portar la orientación de n. (b) El estado de espín un medio más general es la superposición, X = Í/+X+ + íí-x^

|«+P +

= l,

donde son las autofunciones de con autovalores ± 1. Usar el resultado de la parte (a) para encontrar los valores de a+ y a_ si x es la autofunción de ñ · cr. (Sugerencia: los autovalores de (n · o-)son ± 1 . ¿Porqué?). (c) El resultado de la parte (b) proporciona los estados espinorales referidos a un eje arbitrario y no al eje z. Suponer un electíón que tiene su espín orientado a lo largo del eje x positivo. ¿Cuál es su función de espín? ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de la componente z del espín dé el valor +1/2? Problema 6. (a) Debido a que (L,, <¡>) = fi/í y ya que O ^ <}>^ es finita necesariamente para cualquier estado, explicar cómo es posible tener estados de L¡= mh definida sin violar el principio de incerti dumbre de la ecuación (V-49). (Sugerencia: la ecuación (V-49) se cumple para operadores hermitianos únicamente. ¿Para qué clase de funciones «(<í>) , es hermitiano?). (b) Considerar el paquete de ondas,

UW =

2

exp [ - (0 -

00

+ 2í77)*/2t*] .

,í= -®

Demostrar que para cualquier función periódica

d4> =

fi4>)

(c) ¿Cuál es la probabilidad pm de que una medición de Lj para el paquete de ondas u{4>) dé como resultado m hl (d) Graficando |m(^)P contra y pm contra m, discutir las incertidumbres en 0 y . Problema 7. Sea el operador de translación, RniÑ el operador de rotación, P el operador de paridad y Pu el operador de intercambio. Determinar cuáles son las parejas que conmutan: (I) (ii) « í ( i 8 ) , / í s ( r ) ; (iii) fis(j8),/í|,,(j8); (iv) P, r „ : (V) P, P,J. ¿CXiál debe de ser la relación entre n y a si Ta y R'ni.0) conmutan?

359

PROBLEMAS

Problema 8, Considerar un sistema de dos partículas idénticas sin espín. Demostrar que el momento angular orbital del movimiento relativo sólo puede ser par ( / = O, 2, 4,. . . ), Problema 9. Demostrar por cálculo directo que los estados triplete del espín de dos partículas de espín un medio son, ·

o·! Xtm = Xi«;

m = i, o, -

y para el estado singulete,

o-f '

Xoo = -3x«o·

Problema 10. Encontrar donde y X>imi se dan en las ecuaciones (75) y (76) y donde J = Ji + Ja - Sugerencia:

Jl

"I"

2 i·

Problema 11. La función de estado de un electrón es 4- = /i(r)

r,« ( ^ , 0 ) x , + ^

(0,<í>)x-

(a) Demostrar directamente que la componente z del momento angular total del electrón es 1/2 y que el electrón tiene momento angular orbital igual a uno. (b) ¿CXiál es la densidad de probabilidad de encontrar al elec trón con espín hacia arriba en r, ? ¿Cuál será la probabilidad de encontrarlo con espín hacia abajo? (c) Demostrar que la densidad de probabilidad de encontrar al electrón en r, 6, , , independientemente del espín es esféricamen te simétrica, o sea, independiente de 0 y de 4>Problema 12. Escribir la función de estado más general en el espacio de configuración consistente con las condiciones: (a) Una partícula en una dimensión con mom ento lineal p defi nido. (b) Una partícula en una dimensión con mom ento lineal p de signo no especificado. (c) Una partícula en tres dimensiones con mom ento lineal vecto rial p definido. (d) Una partícula en tres dimensiones con momento lineal de magnitud p sin especificar dirección.

1

,

360


(e) Una partícula con momento angular definido / y m como componente z. (f) Una partícula con momento angular definido / pero con componente z no especificada. (g) Una partícula con mom ento angular total no definido pero con componente z definida tw. Problema 13. Escribir las constantes de movimiento para cada uno de los casos siguientes (considerar únicamente las variables dinámi cas: energía, componentes del mom ento lineal, componentes del mom ento angular, el cuadrado del momento angular y paridad): (a) Una partícula libre. (b) Una partícula en un campo centraL (c) Una partícula en una caja cúbica. (d) Una partícula en una caja esférica, (e) Una partícula en una c^ja cilindrica cuyo eje está orientado a lo largo del eje z. (f) Una partícula en una caja de forma irregular. (g) Una partícula cac ad a en un campo eléctrico uniforme en la dirección z. (h) Una partícula cargada en un campo électrico variable en el tiempo pero espacialmente uniforme y en la dirección z. Problema 14. (a) Demostrar que un operador A que conmute con L ^ y también conmuta con (b) Suponer que A conmute con i / y conL^^. ¿Se puede lle gar a conclusiones análogas respecto a su conm utador con L?'i Problema 15. (a) Sea ^ un operador vectorial independiente del espin. De mostrar que, {
(b) Tomando ñ como un vector unitario arbitrario y ^ ( r ) u n a función de la posición independiente del espín, demostrar que

= eos + ia· · ñ sin 0 . Problema 16. El operador más general dependiente del espín u n me dio es lineal en el espín. Convertir los siguientes operadores a funcio nes lineales (a) (b) (1 + Wj,-H (c) (o-, +
PROBLEMAS

Problema 17. Como el inverso de un operador A se define de Ift guíente manera, ‘

= A A - ' = i, reducir a formas lineales las expresiones siguientes: (a) a , - ' (b) (2 + 0 ·^)-' (c) ( l + (Tj. + ÍCTJ,)-*(d) (2 + (7,)~‘ (2 + o-„) (e) (2 + tr„){2 + tr^)-' {f)¿Tiene(l+ - - > ' > / ( r ) = / ( r + a).

(b) Tomar »ít(r, /) como una solución de la ecuación de Schrö dinger para una partícula moviéndose en un potencial y(r). Demos trar que í'*“·'*'* iíi(r, í) es una solución de la ecuación de Schrödinger para el movimiento en un potencial F (r + a). Problema 19. Considerar la transformación de un sistema de coorde nadas 5 a un sistema de coordenadas 5 'q u e corresponde a un cambio de origen r' = r - a .

r y r ' sólo son diferentes etiquetas de coordenadas para el mismo punto físico en el espacio como se muestra en la Figwa 4. Sea 0 (r, O la función de estado en 5 y 0 ' ( r ' , r ) en S ’ . Demostrar que esta

Figura 4. Transformación de coordenadas que corresponde a un cambio de oil· gen. Las coordenadas de /*son, r en iS*y r'en 5'.

362


transformación puede inducirse por el operador de translación T„ de la ecuación (47) de acuerdo con

r i r \ 0 = T.^(r',t) y que, como debe de ser (¿por qué?), ( M r , í ) k | 0 ( r , / ) ) = (tí>'(r', í ) | r ' + a | 0 ' ( r ' , f) )■

Además, demostrar que p' = p y que OP = l0(p, í)p. (¿porqué?). ¿Es <^'(p , í ) =<í»(p,/)? Probiema 20. Considerar una transformación en la cual un sistema físico aislado se desplaza una distancia constante a , manteniendo fijo el origen de coordenadas. Una parte del sistema originalmente en r ' se ha transladado al punto r donde, r = r ' -I-a.

Como se ilustra en la Figura 5, en contraste con el cambio de origen discutido en el Problema 19, cada punto en el espacio retiene su eti-

Fûra 5. Transformación de r'a r, para un sistema físico aislado que correspon de a una translación uniforme a respecto a su origen fijo.

queta en esta transformación. Sea0 ' (r O la función de estado antes de aplicarse la translación y 0(r, r) la función después de la transfor mación. Demostrar que se cumplen todas las conclusiones del Pro

PROBLEMAS

blema 19 y, por lo tanto, es indiferente que se translade el sistema fí" sico respecto al origen o que se translade el origen (en sentido opu«íto ) respecto al sistema físico. Problema 21. Demostrar que el operador que induce una translación Pq en el espacio de momentos es Tp, = (94) Problema 22. Considerar una transformación de Galileo'^ entre el sistema 5 y el sistema de coordenadas 5 'que se mueven con veloci dad relativa constante v. Clásicamente, r' = r - v /

(95a)

p' = p - í f i v ,

(95b)

y la forma de las ecuaciones de movimiento clásicas es exactamente la misma al expresarlas en cualquier de las coordenadas. Ningún sis tema de coordenadas tiene preferencia y, por lo tanto, el concepto de reposo absoluto no tiene significado en un sistema que cumple con la mecánica de Newton. El mismo resultado es válido en la me cánica cuántica (¿por qué?). ¿Cómo se puede demostrar este hecho? Sea «ír(r, f) la función de estado en 5" y sea »/»'(r',/) la función de es tado correspondiente en 5 '. Entonces, si ^ es una solución de la ecuación de Schródinger +nr) *“ V - ·r ^.......... 2m se tienen que satisfacer las condiciones siguientes: (i) í) es solución de la ecuación, 0 ' ( r ' , / ) = ( - ^ ^ + c ) 0 ' { r ' , / ) , (9'6)

en donde se ha permitido la posibilidad de que haya una constante aditiva en la energía c, que no puede eliminarse porque es indetectable y, por lo tanto, no tiene consecuen cias físicas. (ii) El valor de expectación de cualquier función de las coorde nadas se tiene que transformar según la ecuación (95a), (<íí(r, í ) l / ( r ) | 0 ( r , / )) = <«fr'(r', f ) | / ( r ' + ví)]tí''(r', í ) > .

(97)

(iii)^ El valor de expectación de cualquier función del momento se tiene que transformar según la ecuación (95b), '=‘Un tratam iento detallado, desde un punto de vista diferente al desarrollado aquí, m en cuentra en la Referencia [29], pp. 174-177. Ver también las Referencias [21], [22] y [28].

■ -Vi.l

364


< Ψ ( γ , / ) | / ( ρ ) | Ψ ( γ ,

i)>

=

< Ψ ( γ ' , / ) | / ( ρ '

+ /« ν) |ψ( Γ',/) > .

( 9 8 )

(a) Debido a la ecuación (95a), se podría escribir Ψ'(γ', t) = Ψ(γ' + vi,/).

( 9 9 )

Sin embargo, demostrar que esta expresión no satisface ninguna de las condiciones (i) o (íü), ecuaciones (96) y (98). (b) Para saber cuál es el error en la ecuación (99), hay que obser var que corresponde a la expresión, 0 ' ( r ' , í) = f-'···'""* 0 ( r ' , í ) , o sea que 0 ' se genera sólo por la transformación espacial de la transformación de Galileo, omitiendo la translación en el momento. Entonces, debido a la ecuación (94), se sugiere la transformación combinada. Ψ'( γ ' ,/ )

í*”·'’'"' Φ( γ ' , 0 = ί-""ν·"Μψ^^' + ν / , ί) .

( 100)

Demostrar que esta expresión sí satisface las tres condiciones y calcu lar la constante aditiva en la energía, (c) Las translaciones en el espacio de momentos y en el espacio de configuración no conmutan. Demostrar que si el par de transfor maciones que llevan a la ecuación (100) se aplican en orden inverso, la nueva función satisface las tres condiciones, pero se altera la cons tante en la energía. (d) Ni (b) ni (c) son totalm ente satisfactorias, pues cada urm im pone un orden arbitrario y antinatural de las dos translaciones simul táneas e inseparables que forman la translación de Galileo de la ecua ción (95). Para resolver este problema se considera la transformación total formada por una secuencia de transformaciones infinitesimales generadas por incrementos en la velocidad Sv. Demostrar que trans formaciones infinitesimales en el espacio de configuración y en el de momentos son conmutativas. Integrando estas transformaciones in finitesimales combinadas, demostrar que se obtiene la transforma ción combinada simultánea y simétrica ψ '(Γ',0 = ί

-

*

0( r ' , í )

( 101)

(e) Para calcular (101) usar el siguiente teorema que se enuncia sin demostración.'^ Si /I y S son dos operadores y su conmutador La demostración se e n cu ^ U a en la Refetencia (29), p, 145,

365

PROBLEMAS

iA,B) es un número a , entonces exp [A + (—y a ) . Usando este resultado demostrar que, <íí'(r',í) = exp

= e x p ^ e x p 5 exp * ( r '+«,<),

(102)

y que la constante aditiva en la energía es cero. (f) Demostrar que, para un sistema de partículas, la transforma ción de Galileo será la que se ha encontrado con m sustituida por la masa total del sistema y r y p sustituidas por las variables dinámi cas del centro de masa R y P . (g) En un sistema aislado, cuyo centro de masa se mueve como partícula libre, examinar la forma particular que tom a la función de estado para las transformaciones discutidas anteriormente. Problema 23. Un átom o de hidrógeno en su estado base se mueve con velocidad v a lo largo del eje z en el sistema de coordenadas del laboratorio. Si repentinamente el protón se deja en reposo por algún tipo de colisión, calcular la probabilidad de que el átom o de hidróge no permanezca en su estado base. (Por sencillez, tomar la masa del electrón despreciable respecto a la masa del protón). Usar los resul tados del Problema 22 para obtener el estado inicial del sistema.

XI Algunas aplicaciones y otras generalizaciones

1. EL ATOMO DE HELIO; LA TABLA PERIODICA El estudio de átomos del tipo helio, proporciona un ejemplo exce lente de ta aplicación de tas técnicas y de las ideas de la mecánica cuántica. Un átomo del tipo helio es un sistema que consiste de dos electrones interaccionando con un núcleo de carga Ze. Para simplifi car, se despreciará el movimiento del núcleo, o sea se considera al núcleo como si tuviera masa infinita. Para empezar, también se des preciarán todas tas interacciones que dependan del espín. Entonces, el sistema se reduce a un par de electrones moviéndose en et poten cial culombiano det núcleo e interaccionando electrostáticamente en tre sí. Suponiendo et núcleo en et origen, el hamiltoniano será, I

tin

Im

Ze^ r,

Ze^ jri-ril’

<0

donde r, y son tas coordenadas de los dos electrones, como se in dica en la Figura I, y Pi y p* son tos momentos respectivos. Et últi mo ténnino en ta expresión para H, que describe ta interacción electrón-electrón, es el responsable por las complicaciones del problema. Aunque los efectos de este ténnino decrecen al crecer Z, en general, no es pequeño. Sin embargo, se comenzará por tratarlo como una

EL ATOMO DE H E L IO ; LA TABLA PERIODICA

361

Figura 1, Sistema de coordenadas para un átomo tipo helio. perturbación y más adelante se usará el m étodo variacional de Ray leigh-Ritz para obtener un resultado mejor. Al despreciar la interacción electrón-electrón, eí hamiltoniano no perturbado es separable y, por lo tanto, la función de onda del estado base es el producto de funciones de onda hidrogénicas. Entonces, se tiene que, 00(^! t ^2 ) —0 1 0 0 l)0too{^2) t

(2)

donde. 3/í

0 ioo{í·)

V«*/

(3)

con flo el radio de Bohr. La energía no perturbada del estado base es el doble de la energía hidrogénica de! estado base,

&o = - 2

ZV*

(4)

y la corrección a primer orden de la energía, AEt, , será.

Esta expresión se reconoce como la energía de interacción de dos dis tribuciones de carga superpuestas, esféricamente simétricas y cuya densidad de carga es

P = e 0io«*{/·), siendo fácil dar una estimación razonable de la magnitud de AE^, Ca da distribución de carga tiene una caiga total e y se extiende a una región espacial de radio a JZ aproximadamente, según la ecuación (3). Entonces, excepto por un factor numérico del orden de uno, la energía de interacción AEd es e^(iaJZ) = Zé^¡ao. La característica ¿nportante de este resultado es su lineatidad en Z en lugar de ser cua drática como lo es la energía no perturbada. Por esta razón decrece la importancia de la interacción electrón-electrón at crecer Z.

368

ALGUNAS APLICACIONES Y O TRAS GENERALIZACIONES

El valor del factor númerico en la expresión para se puede obtener usando técnicas electrostáticas elementales. Un procedimien to más general sería hacer uso de un desarrollo muy familiar en la teoría del potencial y que no se demostrará aquí. Este desarrollo es,

Lé r '+1 Pí(cos e ) ,

í-o

Til

(6)

2 ; ^ híteos e),

5= r,.

donde O es el ángulo entre n y r * : contribuye únicamente el térmi no esféricamente simétrico (J = 0) debido a la ortogonalidad de los polinomios de Legendre, y la integral que resulta no es difícil de calcular. Por cualquier método la energía será, Air

5 8 flo ’

de modo que el factor numérico por el cual hay que multiplicar la es timación anterior es 5/8. La expresión a primer orden para la ener gía será, (7) flo ^ ^0 Este resultado y la energía no perturbada se dan en la Tabla I para los elementos desde el helio (Z = 2) hasta el carbono (Z = 6) cuatro veces ionizado. Las energías observadas también se encuentran en la Tabla I, de lo cual se concluye que los resultados son muy buenos considerando las aproximaciones hechas. Este cálculo se puede medorar mucho si se usa el método variacio nal. Un error fundamental en el cálculo de la teoría de perturbación a primer orden es debido a que ninguno de los electrones se mueve en el campo del núcleo exclusivamente, sino que cada uno está escu dado en cierta forma por el otro. Este hecho se puede tomar en cuenta aproximadamente suponiendo como función de prueba para cada electrón una función de onda hidrogénica apropiada a un núcleo de caiga Z ' e en lugar deZ e, y determinando Z 'p o r variaciones. En tonces, se tiene que para el primer electrón. (8)

y análogamente para el segundo. Después de un cálculo largo pero directo, se obtiene £ .(Z ')— £ ( 2 Z Z ' - 2 — 5 f ) .

m

EL ATOMO DE HELIO; LA TABLA PERIODICA

que, naturalmente, se reduce a la ecuación (7) para Z' = Z (¿por qué?). Haciendo d E ^ d Z ' igual a cero se obtiene que. Z ' = Z - 5/16,

(9)

donde Ea = -

Z

( 10)

\6)

que es más bajo que el resultado de la teoría de perturbación a pri^ mer orden, ecuación (7), y por consiguiente más exacto. Este resul tado es exactamente el resultado que se obtendría si cada electrón se moviera independientemente en el campo de un núcleo de carga (Z — 5/16)c. Los resultados variacionales también aparecen en la Ta bla I y son muy cercanos a los valores observados. Energías del estado base (eF ) Elemento

No perturbado

Primer orden

Variacional

Experimental

He

108.24

74.42

77,09

78.62

Li*

2 43 .5 4

192,80

195.47

197.14

Be·^*

432.96

365.31

367.98

369.96

676.50

591.94

594.6

594.6

97 4 ,1 6

872.69

875.4

876,2

Tabla I. Energías de ligadura observadas y calculadas para átonios tipo helio gún Pauling y Wilson, Referencia [ 20 ] ),

(se

Ahora se presenta el problema mucho más difícil de tratar los esta dos excitados de los átomos tipo helio, que se discutirá solamente con la teoría de perturbación. Del resultado no perturbado se con cluye que, excepto para estados excitados muy altos, nada más se ne cesita considerar el caso en el cual un electrón permanece en su estar do más bajo ( ¿por qué?). Un estado no perturbado, simetrizado y no muy excitado tiene la forma r*)

1 [<#»l(K>(î)<í*ním(''a) — ^ l o o í ^ í ) 0 n í i t i ( < ‘l ) J »

(1 O

donde se etiquetan los estados por los números cuánticos sólo del electrón, ya que son los únicos que cambian de un estado a otro. Co mo el estado base del electrón no tiene mom ento angular orbital, el mom ento angular orbital del estado 4>bi», es / y su componente z es m. Para el hamiltoniano independiente del espín que se está conaide-

370

ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

rando, el mom ento angular orbital total y su componente z, son constantes de movimiento exactas. Entonces, la clasificación de los estados será exacta dentro de esta aproximación independiente del espín, aunque las estimaciones de las energías sean poco exactas. Como los estados de / y m diferentes no están acoplados por la perturbación, la corrección a primer orden de la energía de los esta dos de la ecuación (11) se pueden calcular usando la teoría de per turbación no degenerada. De los resultados del Capítulo VIII se sabe que, a este orden, las energías perturbadas tienen la forma

Eai —

+ Jnt ±

( 12)

independientes de m y donde el signo positivo se refiere a estados si métricos y el signo negativo a estados antisimétricos. La energía de Coulomb es

(rt) y

|ri - Til

, la energía de intercambio está expresada como. =

//

k i - r.

Estas integrales no se calcularán aquí. Evidentemente cada una es precisamente la cantidad familiar Ze*/«o , excepto por factores nu méricos que decrecen al crecer n. Finalmente, para completar la descripción es necesario incluir el espín. Ya que los electrones son partículas idénticas de espín un me dio, satisfacen el principio de exclusión. Entonces, los estados espa ciales simétricos deben de estar multiplicados por estados espinoriales antisimétricos o singuletes, y los estados espaciales antisimétricos multiplicados por estados espinoriales simétricos o tripletes. Como consecuencia, el espín de cualquiera de los electrones puede alterarse, invirtiéndose al ocurrir una transición entre cualquier estado de la se rie singulete y cualquiera de la serie triplete, llamándoseles de esta inanera a este coiyunto de estados. Casi nunca se presenta este tipo de transición bajo condiciones normales, por lo cual estas series son prácticamente independientes. Históricamente tuvieron origen dife rente, por lo cual tuvieron nombres diferentes, llamando para-helio a los estados singulete y orto-helio a los estados triplete. Aunque no se ha intentado calcular las integrales J y K , sq nota que J es claramente positiva y K también tiene que ser positiva. Esto último se sigue de que la interacción electrostática media de los elec trones en el estado espacial antisimétrico, tiene que ser menor que en los estados espaciales simétricos debido a las correlaciones impuestas

E L ATOMO DE H ELIO ; LA TABLA PERIODICA

por la simetría, presentándose de esta manera a condición de qiM K tenga el mismo signo que J. Entonces, Jos estados triplete se encUMí tran más a b ^ o que los estados singulete correspondientes, to cualM un ejemplo de una regla general conocida como regla de Hund, q u t dice que los estados de espin más alto son los estados que se encutn· tran más bajos. Juntando todas estas conclusiones, se pueden exhibir las caractfr Tísticas principales del espectro de helio. Esquemáticamente se exhi> ben en la Figura 2. En esta figura, se tiene la conffeuración no peiV turbada con la designación espectroscópica común de los estados y la configuración electrónica. ¡

ET i

—

€ii +

Jn

+

\s2 p -

1í2í-

(

K i,

\s2p-

x:

’S,

V

En =

ií2i £20

£¡0 —8io + Jm +

£21

+ Jll —Ktl

'A... ’S, = £¡0 + ./jo ^ Km

Estados triplete (ortohelio)

Estados singulete (parahelio)

:

Figura 2 . Espectro del helio.

La diferencia en el signo de la contribución a la energía de intei^ cambio Kî para los estados triplete y singulete, se pueden expresar en una forma interesante y sugestiva. Recordando que cr, ■
372


Hasta ahora se han despreciado todas las interacciones dependien tes del espín, en particular la interacción espín-órbita que es la do minante. Cuando se incluye este término en el hamiltoniano, resul tan las modificaciones siguientes: (1) U, ya no son constantes de movimiento exactas, aunque y J , sí lo son. Entonces, los estados no sólo son estados singulete y triplete exclusivamente, sino que ocurren transiciones débiles (aproximadamente) entre la serie “ singulete” y “ triplete” . Se llaman líneas de intercombinación. (2) Para una l dada, los estados “ triplete” se desdoblan en tres componentes j = l+ 1, l, I — 1. Aunque esta clasificación de estados es aproximada, la interacción espín-órbita es débil, el desdoblamiento es pequeño y la aproximación es buena. Esta sección se puede concluir con algunas observaciones breves acerca de la tabla periódica.' Se considerará la descripción de un átom o en la aproximación de partícula independiente, donde se su pone que cada electrón se mueve en el potencial culombiano del nú cleo y en el campo electrostático promedio de los demás electrones. Además se supone que este campo promedio es esféricamente simé trico. Si se desprecian las fuerzas de espín-órbita, se puede asignar a cada electrón un número cuántico principal n y números cuánticos de momento angular / y m, en analogía con los estados hídrogénicos. Naturalmente que la energía no depende de m, pero cada nivel carac terizado por una /, tiene degeneración {21 + l ). Además, si se toman en cuenta las dos orientaciones posibles del espín del electrón, la de generación total es 2(2/ -f- 1). Para estados hidrogénicos, la energía depende solamente de n y no de /, siendo una consecuencia de las propiedades especiales del potencial culombiano. Pero la interacción electrostática promedio entre los electrones altera la dependencia ra dial de la energía potencial en la cual se mueve cada electrón, e intro duce una dependencia de /. Específicamente, los estados de menor l para una cierta n tienen la energía más baja. Esta conclusión se obtiene de que al disminuir el momento angular, la barrera centrífuga es menos efectiva y aumenta la probabilidad de encontrar al electrón cerca del núcleo donde el potencial nuclear culombiano es fuerte además de ser atractivo. La energía de los estados para una n y l dadas depende de la carga nuclear Ze, y gradualmente disminuyen cuando Z crece de un elemento al siguiente. El estado base de un elemento es aquél en el cual los Z electrones ocupan el conjunto de estados de partícula independiente más bajo ' P m un tiatam iento detallado ver J. C. Slater, Quantum Theory o f A tom ic Structure, Vols. 1 y 2, McCraw-HlU (1960). Paia una discusión elemental ver, G. P, Hatnwell y W. E. Stepheas, A tom ic Pftysics, McGiaw-Hill (1955).

EL ATOMO DE HELIO; LA TABLA P tR lO D IC A

m

posible que sea consistente con el principio de exclusión de Pauli. En general, los estados se ocupan en orden creciente de « y en orden crfr ciente de / para cada «. Un estado d e « y / dadas, contiene 2(2/ + 1) electrones, cada uno con la misma energía. Estos estados se llaman capas y los electrones en la misma capa se llaman electrones equiva lentes. Las configuraciones de los estados base de los átomos, se pue den obtener en gran medida del ordenamiento de estas capas según ta energía. Si se usa ta notación espectroscópica común, en ta cual el número cuántico principal tiene su valor numérico y / se denota por una letra, el orden de los estados observados empíricamente será l í , 2 í , 2 p , 3 j-, 3 p , [4í-, 3 (/] , 4 p , [5 í , 4 í/ ] , 5p, [ 6 í,4 / ,5 í/ ] ,6 p , [ 7 5 ,5 /,W ].

Ya se ha mencionado que estos estados aparecen en orden crecien te de « y /. Sin embargo, para valores más grandes de l, el incremen to de la energía con / es más pequeño que el incremento con «, y los estados aparecen en orden inverso. Por ejemplo, las capas 5s{n = 5, / = 0) y 5p(n = 5, / = 1) tienen energías más bajas que la capa 4 / (« = 4 , 1 = 3). Análogamente, las capas 6s y 6p tienen energías menores que Sf. Los paréntesis encierran capas donde esta compen sación es casi exacta, de modo que dos o más capas tienen casi la mis ma energía. La forma de ocupar estos estados es bastante complica da pues hay que tom ar en cuenta ta importancia relativa de las capas. ocupación de la capa 3d es responsable por los primeros elemen tos de transición, o sea, el grupo del hierro, y la ocupación de la capa 4d produce el grupo del paladio. Al ocupar los catorce estados 4 / se obtienen las tierras raras y la de los estados 5 / el grupo del actinio. La configuración electrónica del estado base de un átomo se espe cifica por el número de electrones en cada capa que, convencional mente, se pone como índice superior en la designación de la capa. Entonces, usando el orden de tas capas mencionado, se pueden escri bir los ejemplos siguientes: z = 1,

H : Is

Z = 2,

He: li"

Z = 3,

Li : 1s"2i

Z = 4,

Be :

Z = 5,

B : ls'2s^2p

374


Z = 11,

Na:

Z = 36.

Kr: Xs'ns^lp^snpHs^^dôAp^

Para el último ejemplo se tendría que Kr tiene dos electrones en su capa Is, dos en su capa Is , 6 en su capa 2p, y así hasta tener 6 en su capa 4p. Esta notación es redundante puesto que la ocupación de las capas no se necesita escribir explícitamente; únicamente se necesita aclarar la ocupación parcial en la última capa para especificar la con figuración. Por ello se usa la abreviación 3s para ei Na, 4p* para el Kr, 5í/*" para el Hg (Z = 80), 5s4cf® para el Rh (Z = 45) o SsMrf'“ para el Pd (Z = 46) . Este último ejemplo ilustra la naturaleza complicada y la importancia relativa entre los estados 5s y 4
ry(r) =

O,

(14)

con lo cual existirán estados continuos para todas las energías, £ 2= 0. Hay que notar que la condición (14) elimina el potencial culombia no. Más adelante se examinará este caso especial. Como consecuencia inmediata de la ecuación (14) se obtiene que para valores grandes de r el potencial l'(r) resulta despreciable y la ecuación de Schrödinger se reduce a la de una partícula libre. Enton ces, la función de estado p a ra r grande se compone de estados de par tícula libre. En el Capítulo IX se obtuvieron dos descripciones de estos estados, una en términos de autofunciones del mom ento lineal y otra, en términos de autofunciones del mom ento angular orbital.

T EO RIA DE LA DISPERSION

37!

Ambas intervienen en la descripción de los estados que se buscan sl estos estados tienen significado físico. Para poder entender el significado físico del problema, es necesario volver por un mom ento a una descripción independiente del tiempo. Se tom a un paquete de ondas en el cual las partículas se encuentran muy separadas inicialmente, y se aproximan con mom ento relativo promedio p. Al transcurrir el tiempo, las partículas se aproximan, interaccionan y se separan en diferentes direcciones pero con la mis ma magnitud del mom ento relativo promedio, si la energía se conser va. Si el paquete resulta lo suficientemente ancho, la extensión en energía puede hacerse infinitesimal. Además, el tiempo necesario pa ra que el paquete de ondas complete su interacción con el potencial resulta mayor. Entonces, en el lím ite de un paquete de ondas infini tamente ancho, el momento y la energía se pueden definir con preci sión y los paquetes de onda incidente y dispersado coexisten en el tiempo. En este límite, que corresponde a ún a descripción estaciona ria, la onda incidente «^mc resulta ser un autoestado del momento lineal. —pivrik = e,lk-r (1 5 ) donde se ha usado el vector de onda k = p/ft . Por otra parte, la onda dispersada «(»se, que sale de la vecindad del origen, en donde ha ocurrido la interacción que la produce, ten drá la forma de una onda esférica viajera saliente. Entonces, a gran des distancias, cuando r tiende a infinito a lo largo de una dirección ñ , se tiene que giprll^ (16) ■ f i n) h r-»"=o, tí»sc (ñ/·) =“ /( íi) donde à es un vector unitario a lo largo de la dirección del radio vector r. Juntando las ecuaciones (15) y (16), el campo completo para r grande tiene la forma, 0 (n ,r ) -

- 1 - /( 0 )

(1 7 )

Las coordenadas usadas en esta expresión se muestran en la Figura 3, que también exhibe la onda plana incidente y la onda esférica dispersada. El lenguaje del análisis subsecuente se simplificará considerable mente si se supone que una de las partículas tiene masa infinita y se encuentra en reposo. A esta partícula se le llama la partícula blanco. Entonces, los estados describen a una sola partícula inci diendo sobre una partícula blanco y dispersada por ésta. Se supon drá que el problema se presenta de esta manera.

376


Figura 3. Las ondas mcidente y dispersada de la ecuación (17)

La cantidad / ( ñ ) se liama amplitud de dispersión. Es la ampli tud de probabilidad de que la partícula incidente emerja a lo largo de la dirección n como resultado de la colisión. Para expresar esta idea en forma más cuantitativa, se nota que el flujo de probabili dad de la onda incidente normalizado a la unidad es,

Usando la misma normalización, el flujo de probabilidad de la onda esférica saliente es.

Pero, la probabilidad por segundo de que la partícula atraviese el elemento de superficie dS después de la colisión es !«■ dS ■Si dS se en cuentra a una distancia r del origen, entonces · dS = £ 1 / ( 6 ) p 5 - ^ =

m' m ya que ñ - dS = r^ tííl, donde dCl es el ángulo sólido subtendido en el origen por dS. Finalmente, la probabilidad d
jsc

d S

iJincI

= l/(n)i^ d a .

(18)

La cantidad tiene dimensiones de área y se llama la sección efi caz diferencial para la dispersión en el elemento de ángulo sólido d ü en n. La cantidad |/(ñ)|^, que simbólicamente se puede escribir

TEO RIA DE LA DISPERSION

como dcridíl, se llama sección eficaz diferencial, o bien, simplementé sección diferencial. '^ i La razón para llamar a estas probabilidades relativas “ seccione! eficaces” o simplemente “ secciones” es la siguiente. Si se piensa en el flujo de probabilidad uniforme ji„o de la onda incidente, entonces úfcr es el área efectiva transversal en la región de interacción que inte^ cepta el flujo de probabilidad de Ja onda incidente y la transfiere al ángulo sólido dü. Quizás sea más claro si no se piensa en una sola partícula incidente y en una sola partícula blanco, sino más bien en un haz de partículas incidentes sobre un conjunto de partículas blan co. Entonces, si el flujo de partículas incidentes es J por cm*y por segundo y si el número de partículas blanco es N, el número de partí culas dN que emergen por segundo en dCl es

dN =JNdt r = JN\fin)\^ dSl,

(19)

de donde cada partícula blanco tiene un área efectiva da para inter ceptar una partícula incidente y dispersarla en t / í t . La cantidad dN es una cantidad que se observa experimentalmente y la observación de secciones y su dependencia de la energía y dirección es la princi pal fuente de información sobre ías interacciones entre partículas ele mentales. No es mucha la información pues lo que se puede concluir acerca de las interacciones se obtiene a partir de las secciones obser vadas. En la mayor parte de la discusión anterior se ha tratado la partícu la blanco como si tuviera masa infinita, pero no se presentan dificul tades serias si la masa de la partícula blanco se tom a en cuenta. Se pueden aplicar todos los resultados obtenidos hasta ahora pero te niendo en cuanta que las ecuaciones se refieren a las coordenadas del centro de masa y no a las coordenadas del laboratorio. Falta proporcionar un m étodo para calcular amplitudes de disper sión y secciones, pero restringiendo la atención a potenciales esféri camente simétricos y considerando estados de momento angular defini· ‘ Es ínstiuctivo comparar esta desîpción cuántica de las ondas de probabilidad incidentei y dispersadas, con la descripción clásica en ténninos de tiayectorias. Hay que recordar que la sección clásica se define como el número de partículas desviadas en íííl por unidwl de tiem po y por unidad de flujo incidente, en completa analogía con la definición cuántica. b i ^ se puede íerordar (jue paia un potencial esféricamente simétrico, el ángulo de desvia ción de una partícula clasica de energía dada depende solamente del^ á m e t r o dé impacto y por lo^tanto, únicamente de su mom ento angular. Entonces, el analisis clásico se hace to mando estados de momento angular d e b id o . Como se vera en un mom ento, el tníU tli cuántico de tales potenciales también se trata de la misma manera aunque se pletde 1· letacíón precisa y directa entre el momento a n c la r y los ángulos de desviación. Una preienti* ción detallada de la teoría de la dispersión clásica se encuentra en la Referencia f I5j; «1 tema también se trata más biebemente en la Referencia [14].

378


do l. Entonces, la parte radial de la función de onda R eí satisface la ecuación (IX-49),

V{r)

R k, = ER E i -

(20)

Si V (r)fuera cero, estas funciones radiales serían las funciones Jtikr) de la partícula libre que, de acuerdo con la ecuación (IX-63), p ar ar grande toman la forma sen(/:r-/7r/2) kr Ya que V (r) resulta despreciable para r grande, la presencia del poten cial no puede alterar la forma funcional pero sí podría alterar la/ose de la función senoidal. Entonces se tiene que,

R El

s e n { k r ~ t n ¡ 2 + Sj) kr

(2 1 )

La cantidad S, = 8, (E) se llama el desfasamiento de la onda parcial l-ésima. Se puede calcular resolviendo la ecuación radial para R eí y examinando la forma asintótica de la solución p a ra r grande. Una vez determinadas las S ,, el propósito final es el de expresar la amplitud de dispersión y la sección en térm inos de los desfasamientos. Esta expresión se logra formando la superposición de ondas par ciales

y escogiendo los coeficientes C|„ de tal manera que tenga ta forma de la ecuación (17) cuando r resulte muy grande. Si se escoge el eje z a lo largo de la dirección de incidencia, el término que corresponde a la onda plana incidente en la ecuación (17) se puede expresar en tér minos de ondas esféricas usando la ecuación (IX-68) como,

i‘ (21+ \)j,(kr)P, (eos 9), J-o de donde no es muy difícil demostrar que, = O

Ct„ = V4Tr(2t+ 1)

,

íw

O

m=0.

TEORIA DE LA DISPERSION

(ver, por ejemplo Referencia [24} ), Con este resultado se o b tt ll|| que. 00

oí*'·

.

donde = 7 2 V^M27TT)

■1-0

sin

(e)

(22) ( 2/ + 1) e‘®ísin 0,P,{0).

= Í-O

Para una energía determinada E, la amplitud de dispersión depende únicamente del ángulo entre la dirección incidente y la dirección de dispersión, y está completamente determinada una vez conocidos los desfasamientos 6 j. Las magnitudes de S, están relacionadas con la intensidad del potencial de interacción en forma bastante complica da. Pero si no existe interacción, con lo cual las partículas se mueven libremente, por definición se anulan los desfasamientos y se observa que la amplitud de dispersión y ta sección también se anulan. La sección diferencial d a - mide la probabilidad de que una partícu la sea dispersada hacia un ángulo sólido infinitesimal d ü . También es de interés considerar la sección total o-, que mide la probabilidad de que una partícula sea dispersada en cualquier elemento de ángulo só lido, De la definición se obtiene que, d
d ii

=¡ \m \

|/(^)|* sin

0 d 0 d

(23)

y haciendo uso de la primera forma de la ecuación (22) y de la ortonormalidad de ^,(0) se obtiene que. 4iT ^X (2/+ l)sen=

(24)

« i-0

El hecho de que exista una probabilidad definida, proporcional a la sección total o·, para que una partícula se disperse en cualquier di rección, significa que el flujo de probabilidad decrece a lo largo de la dirección de incidencia para que la probabilidad se conserve. Este de crecimiento se logra mediante la interferencia entre la función de esr tado incidente y la amplitud de dispersión en la dirección hacia ade lante. ' Este argumento implica la existencia de una relación general entre la sección total y la amplitud de dispersión hacia adelante. Para establecer esta relación es necesario examinar la amplitud de disper sión hacia a d e la n te /( í = 0). Recordando que para toda /,

380


P, { d - 0 ) = 1, de la ecuación (22) se obtiene que, /( 0 = O) = ~ y ( 2/ + 1) e'îsend, ^ 1=0 = ~ V ( 2 / + 1) e o s S ,s e n S , + - 2

( 2 / + l)se n ^ 6 ,.

k Como el segundo término es proporcional a la sección total, la rela ción que se busca se puede expresar en la forma * (=0

0- = ^

lmf(0Ô).

(2 5)

Entonces, se puede decir que la sección total
i{i+ \w ^' Si se desprecia el uno respecto a / se obtiene una expresión más simple, / = Afo, V 2 ^ /A .

T EO R IA DE LA DISPERSION

Si el alcance efectivo de la interacción es ü , se espera que n f llltt muy pequeña cuando / exceda apreciablemente a /m** *■ kR, poi^ que las partículas no se acercarían lo suficiente como para que hayt interacción. Entonces, el número de términos que contribuyen a U suma sobre tos desfasamientos de las ondas parciales es del orden de kR, lo cual significa que para altas energías, cuando kR ^ 1, partíci* pan muchos desfasamientos en la sección y resulta una función que varía rápidamente con el ángulo. Sin embargo, a energías bâs kR < l, solamente el desfasamiento de la onda S o l = O difiere apreciablemente de cero y la dispersión es isotrópica. Esta sección se concluirá con algunas observaciones sobre el caso particular del potencial culombiano que viola la ecuación (14). Por ello, los estados del continuo no se reducen a la ecuación (17) para r grande y resultan más complicados. Analizando elproblema se pue den encontrar la amplitud de dispersión y la sección. Si se usan coo^ denadas parabólicas se puede obtener una solución completa y exacta y la amplitud de dispersión se puede escribir en forma cerrada, áendo el único caso conocidopara el cual se puede hacer, Específicamente, se encuentra que si dos partículas de masa reducida m, con cargas Z¡e y Zê respectivamente, inciden una sobre otra con momento re lativo fik, la amplitud para la dispersión de Coulomb por un ángulo $ respecto a la dirección incidente es

fe W = “ 2ks^n^$j2

f

donde el parámetro culombiano i} es y donde el factor de fase jS es tal que, í^«» = r ( l + i i ) ) / r ( l -IT,). La función T se llama función gamd^ y es una generalización de la función factorial, y está defmida como r(j' + 1) = J

í'-'jc*' dx.

Cuando v es un entero se puede comprobar fácihnente que F(v +1 )= v !. El parámetro culombiano íj se expresa frecuentemente en térm i nos de la velocidad relativa v de las partículas,

T) = ZiZte^lhv = *Pot qem plo, ver la Referencia [8].

382


donde la constante de la estructura fina a que no tiene dimensiones es, « = 1^ =1/137. Cabe señalar que la expresión que se ha dado para la amplitud de dis persión culombiana es la que corresponde a la interacción repulsiva entre dos cargas similares. Para dos cargas de signos opuestos i) cam bia de signo, lo cual significa que f c se substituye por el negativo de su complejo conjutado. La sección diferencial para dispersión culombiana se obtiene en la forma usual a partir de la amplitud de dispersión y está dada por

da dü

=

l/c l* =

4A* sin* $12

sin* $12

Esta expresión concuerda exactamente con el-resultado clásico para la dispersión de cargas puntuales, obtenido por Rutherford en 1911, y llamada la sección de Rutherford. No se puede dar ninguna expli cación de esta correspondencia única entre la sección clásica y cuán tica. Sin embergo, es importante observar que esta conespondencia ocurre debido a que la magnitud de la amplitud de dispersión no contiene a A y tampoco la contiene d
da($) dSÍ

da{TT —6) dii

Cuánticamente se tienen que combinar las amplitudes de dispersión y no las secciones, con el signo relativo determinado por la simetría de las funciones de estado. Para partículas sin espín por ejemplo, partículas (a) la función de onda total tiene que ser simétrica, por lo que las amplitudes de dispersión se suman con el mismo signo,

PUNCIONES D E G RE E N ; APROXIMACION DE BORN

^ = l/W + /(ir-d )|S Para partículas de espín un medio (por ejemplo electrones o pl nes), la fundón de onda tiene que ser antisimétrica en las coofdl das espaciales y espinoriales juntas. El estado simétrico espadil combina con el estado espinorial de singulete y el estado antisilÉlf trico espacial se combina con el estado espinorial de triplete. E lp fii mero tiene peso estadístico uno y el último lo tiene igual a tres. Eli· tonces, para partículas de espín un medio no polarizadas, ^'

\m

+ f i n - e ) \ ^ + 1 |/{tf) - f i 7 T - e ) \ K

En ambos casos los resultados contienen términos de interferefr cia que dependen de la fase relativa de la amplitud de diversión en $ y en w - , y los cuales son de estructura cuántica.·* Para dispersión culombiana de partículas idénticas después de substituir fe de la ecuación (26), estas expresiones resultan ser las s i l e n t e s : espín cero

d i T _ ( Z,Z^é^V [· 1 dSl \ 2mv* ) Isen^ fl/2

1 eos" 012

2cos (T|f/ttan"g/2) sen^ 012 eos* $12

espín un medio da _ ( ZtZê^y f 1 d ü \ 2mv^ ) [seiV $¡2

1 cosinin tan" 0/2) eos* 012 sen® 012 eos* 6/2 J '

En cada caso, los primeros dos términos dan el resultado clásico; el último término es el término de interferencia cuántico. Naturalmen te que el ténnino de interferencia tiene que desaparecer en el límite clásico, y es interesante examinar cómo desaparece. Cuando ft tien de a cero v crece sin límite y el término de interferencia oscila rápi damente. Si ía energía o el ángulo de observación se desparraman por una cantiddad infinitesimal, entonces, provoca que eí promedio de este término sea cero y por lo tanto resulta inobservable.

3. FUNaONES DE GREEN PARA LA DISPERSION; LA APROXIMACION DE BORN En la sección anterior se estableció un tratam iento formal de la teoría de la dispersión. Se introdujo la ampütud de dispersión y en términos-de eUa se definió una cantidad que se puede medir experi mentalmente, la sección. Para el caso especial de potencíales esféri* Estos efectos no son pequefíoa. Pot ejemplo, a 90° la sección d í r / í í n es dos veces el lesiiltado clásico para partículas á n espín y la mitad del resultado clásico para partículas de espín un medio.

384


camente simétricos se estableció un m étodo para calcular esta canti dad, el m étodo de las ondas parciales. El cálculo requiere de la solu ción del conjunto de ecuaciones radiales (20). Estas ecuaciones son tan complicadas, aún para la interacción más simple, que no se inten tó discutir sus propiedades.^ Como resultado, no se pudo presentar una descripción cualitativa del carácter general de los procesos cuán ticos de dispersión. En esta sección se corregirá este defecto presentando un método de aproximación introducido por primera vez por Bom. La aproxl· mación de Bom no es más que teoría de perturbación aplicada a es tados continuos y está restringida a interacciones suficientemente débiles.* A pesar de esto es una guía indispensable para la dispersión y sirve como la norma respecto a la cual todo se refiere. La aproximación de Bom se obtendrá mediante dos métodos to talmente diferentes. En el primero se obtiene una ecuación integral exacta para la función de estado mediante la función de Green para la partícula libre. En el segundo m étodo se tom a el proceso de dis persión como una transición, inducida por el potencial de interacción entre estados de momentos inicial y final definidos y, así, usar los métodos de la teoría de perturbación dependiente del tiempo. (a) Método de la función de Green.^ Se busca una solución de la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo que se escribe en la forma

2m iV^ + k ^ ) ^ { r ) = ^ V { r H i r )

(27)

donde

siendo k el número de onda de la partícula libre para la eneigía E. Se supone que £ > O y que rV(r) se anula en infinito de acuerdo con la ecuación (14). La solución que se busca está sujeta a las condiciones a la frontera dadas por ta ecuación (17) para r grande, que se repeti rán por conveniencia; /likr ^(r) = e“‘- ^ + / ( h ) V , ’ En la práctica, estas ecuaciones se resuelven casi exclusivamente por métodos numéricos con la ayuda de comtnitadoras digitates rápidas. Ver Sección 10, Capitulo VI. * Pero no está restringida a interacciones esféricamente simétricas. Contrasta con el método de las ondas pardales que resulta completamente intratable para interacciones no esféricas, excepto en casos muy especiales, ’ Fara una discusión general de la fundón de Oreen ver la Referencias [6}a [13).

FUNCIONES DE GREEN; APROXIMACION DE BORN

donde r = fir La ecuación integral que se obtiene para <í((r) incorpora estas OOIÍ· diciones a la frontera al usar la función de Creen G {r,r' ) = í? (r',r)* definida como la onda saliente pura, solución de la ecuación inhomo génea (V* + A ^ ) C ( r , r ' ) = - 6 ( r - r ' ) .

(28)

En esta expresión 8{r —r ' ) e s la función 8 de Dirac, que se puede to m ar como el producto de tres funciones 8 en una dimensión, 5 ( r - r ’) = 8 ( x - x ' ) H y - y ' ) H z - z ' ) y tal que, / S ( r - r ' ) < / V ' = l.

Entonces, la función de Green se puede tom ar como la función de onda en el punto r generada por una fuente puntual en r ' , Posponiendo la construcción de G por un momento, se observa que cualquier función ilf que satisfaga la ecuación integral =

f G( r, r ' ) F (r ' ) 4-(r') d^r' (29) " Jall space en una solución de la ecuación de Schrödinger (27) que satisface automáticamente las condiciones a la frontera de la ecuación (17). Se obtiene que t¡>es una solución al operar sobre la ecuación (29) con (V® + Este operador anula el primer término a la derecha y cuan do opera sobre G bajo el signo de integración se obtiene la función 5 de Dirac de acuerdo con la ecuación (28). Entonces, (V^ + Jt*) C( r, r ' ) K(r') 0 ( r ' ) d^r',

= ~ j 8 { r - r ' ) V( r ' ) 4>(r') d^r',

= ^ V ( r ) Hr), que es la ecuación (27). La ecuación (17) se satisface porque G con tiene sólo ondas salientes en r generadas por una fuente puntual en r ' , por lo cual la integral a la derecha de la ecuación (29) es simple mente una superposición de estas ondas salientes y, por lo tanto, to m a la forma requerida para r grande. En breve se demostrará este a f e c to explícitamente.

386


El siguiente paso es la obtención de G. Se parte de la relación, 47T${r),

(3 0 )

que es la transcripción en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales de la expresión culombiana para el potencial electrostático de una carga puntual. El potencial electrostático 4> generado por una densi dad de carga p está dado por la ecuación de Poisson = — 4np.

El potencial de una carga puntual de intensidad unidad es 1/r y su densidad de carga p es S ( r ) ; inmediatamente se obtiene la ecuación (30).® Si ahora se usa la identidad. g ik r

7*— = r

oikr V * - - Jt*

se obtiene que.

= -47T8(r)

= -4 irS (r), donde al pasar a la última línea se ha usado la propiedad de la fun ción S, g(r)8(r) = g(0)S(r) para g(r) arbitraria. Finalmente, corriendo el origen al punto r ' se obtiene que, ,íWr-r'l 4 iT - |r- r'|

=- S ( r - r ' ) ,

y comparando con la ecuación (27) resulta que, jíWr-r'l

G(r,r') =

4írlr-r'l

(3 1 )

Al substituir esta expresión explícita para la función de Green en la ecuación (29), se obtiene la ecuación integral exacta. ^(r)

,ík*r_

m

J

|7 — i7 |-^ '(r')« í< (r ') d ^ r ' .

(3 2 )

"U n análisis directo de la ecuación (30) pennite evitar el recunir a la electrostática. El la placiano de l/r se anula para f O, lo cual se obtiene llevando a cabo las diferenciaciones di rectamente. Al integrar la ecuación (30) sobre un volumen infinitesimal Que contenga el ori gen se obtiene - 4™· para el miembro derecho y se obtiene el mismo resultado para el miem bro izquierdo después de aplicar el teorema de Green (ley de Gauss). Ver la Referencia [18). en particular las pp. 543-4.

FUNCIONES DE G R E E N ; APROXIMACION DE BORN

Ahora se puede encontrar una expresión para la amplitud de dllM persión haciendo tender r = Ar a infinito. Bajo estas condícionei, ' >' „ik \r~ r'\

« ífclnr-r!l

¿ ikr

|r -r 'l

|6f - r ' |

r

£------- = 1 ---------- = 1 ----+

.

^

/

1 \

—I

V /’

en donde se ha desarrollado |r —r '| en una serie de Taylor según / i ( r - r ' ) = /i(r) - r ' ■V/i(r) + · · ·. Entonces, después de substituir este resultado en la ecuación (32) se encuentra que para r grande,

que es de la forma exigida por la ecuación (17). Además, al compa rarla con esta ecuación, la amplitud de dispersión resulta ser /(ñ ) =

I

K(r).ír(r)

(33)

donde se ha suprimido el acento sobre las variables de integración. También esta expresión es exacta para cualquier potencial K(r). La aproximación de Bom se obtiene inmediatamente si se observa que al ser V(r) lo suficientemente pequeña *, entonces, el segundo térm ino de la ecuación (32) es una corrección pequeña al término de la onda incidente. Entonces, se puede resolver la ecuación (32) en forma iterativa, análogamente a lo que se hizo en la teoría perturbativa. La solución a orden cero es la onda incidente, la solu ción a primer orden se obtiene substituyendo *1» en la integral por su expresión a orden cero, la solución a segundo orden se obtiene substituyendo la solución a primer orden, y así sucesivamente. El resultado es una serie en potencias crecientes del potencial de inter acción que se supondrá convergente si F es suficientemente pequeño. El proceso no se llevará a cabo más allá del primer paso. Consideran do únicamente la expresión para la amplitud de dispersión que se ob tiene de la ecuación (33) al substituir ((»(r) por ia expresión a orden cero ' , se encuentra que, " '2 ^ ¡

(34)

donde se ha introducido la dirección de incidencia no escribiendo It = K k. La cantidad /[(n* —n) = ¿ k es el cambio en el vector del * Más adelante se discutirá el significado de esta condición.

388

algunas

APLÍCACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

número de onda entre la dirección incidente y la dirección de disper sión y, en esta aproximación, la amplitud de dispersión es proporcio nal a ia transformada de Fourier del potencial con Ak como variable de transformación. La naturaleza cuántica de este resultado es clara; a la dispersión por un ángulo dado contribuye la función potencial en todo punto del espacio y no el potencial a io largo de una trayectoria localizada, como lo sería en el caso clásico. Es instructivo escribir la ecuación (34) en términos de los momen tos en lugar del número de onda. Arreglando los términos se tiene que.

(35)

donde se ha introducido el momento inicial Pj y el m om ento final p/ escribiendo Pí = hkño = pño

P f—ñkn = ph y donde p = VlmE.

Entonces, /(n) es proporcional al elemento de matriz de V entre los estados de momentos inicial y final no perturbados (partícula libre). Por lo tanto la sección diferencial (36) es proporcional al cuadrado de este elemento de matriz, por lo cual tiene la forma de una probabilidad de transición. A continuación se demostrará que este resultado se puede obtener directamente usando los métodos convencionales de la teoría de perturbación dependiente del tiempo. (b) Método de la Teoría de Perturbación. Ahora se considera el potencial de interacción como una perturbación que induce transicio nes entre un estado de momento inicial definido : p, y un coryunto denso de estados cuya energía final se conserva, es decir, estados con mom ento final p¡ = pn. Según la regla de oro de la teoría de pertur bación dependiente del tiempo, ecuación (VII-37), la rapidez de tran sición será

FUNCIONES DE GREEN; APROXIMACION DE BORN

389

w=^p{E)\y,,\\ donde p(E) es la densidad de estados finales y V¡j es el elemento de matriz entre el estado inicial y un estado final tipíco.'®En este caso se está tratando con estados en el continuo, no físicos e idealizados, con mom ento lineal definido y adoptándose el artificio de usar con diciones a la frontera periódica en un cubo de lado L lo que permitirá normalizar correctamente estos estados y calcular su densidad. Con esta convención, los estados de mom ento lineal se escriben como, =

(37)

que evidentemente están correctamente normalizadas sobre el volu men de periodicidad L*. Entonces, se obtiene inmediatamente que

Si varía lentamente sobre todos los estados fínales que conser van energía, no es necesario que varíe lentamente como se supuso al obtener la regla de oro. Dicho de otra manera, el requisito de que represente el elemento de matriz a un estado final típico no tiene significado si se permite que p/ cubra todas las direcciones. Enton ces, es necesario restringir P/ a un intervalo infinitesimal de orienta ciones en torno a alguna dirección dada ñ , es decir, se tiene que en contrar en un ángulo sólido infinitesimal díl en tom o a ñ . Significa que p (E) se interpreta como la densidad de esa fracción particular de estados con energía entre E y E + dE que tienen mom ento en d S l . Para simbolizar este resultado, se puede llamar dp{E) a la densidad relativa y a la rapidez de transición, por lo cual, usando la ecua ción (38) se obtiene que

=

I^

■

(39)

Debido a que la distribución de los estados de mom ento lineal para una partícula libre es isotrópica en el espacio de momentos, dp se puede expresar fácilmente en términos de la densidad p de todos los estados; precisamente es p multiplicada por la razón ^Í1 entre 4jr , o sea . í/a '"El significado preciso de la palabra típico con referencia a los estados finales se a d a ia ii más adelante.

390

a l g u n a s a p l ic a c io n e s y o t r a s

GENERALIZACIONES

De acuerdo con la ecuación (IX-18),

entonces,

y usando la ecuación (39) se obtiene que,

dü. o sea la probabilidad por unidad de tiempo para una transición del estado inicial a cualquier estado final con momento orientado dentro del ángulo sólido díl. Dicho de otra manera, dW es la probabilidad por unidad de tiempo de que ocurra una dispersión en díl. Recor dando la definición de sección diferencial do-, ecuación (18), este re sultado no es más que donde Und es la magnitud del flujo de probabilidad incidente, U«el=;^l0incl" = ; ¿ 3 . debido a la ecuación de normalización (36). Entonces, finalmente

dtr = ^ d W = ^ ,

\y\

dCl,

en concordancia con la ecuación (36). La utilidad y sencillez de la aproximación de Bom se ilustra mejor con algunos ejemplos. Como primer ejemplo y debido a su impor tancia, se estudiará con cierto detalle el llamado potencial de YuAawa,“ ~rJR (40) La constante y« se llama la intensidad del potencial de Yukawa, y R es el llamado alcance. Substituyendo en la ecuación (34) se tiene que, m y^R (41) " E l i>otencial de Yukawa es de importancia esencial en las interacciones nucleón-nucleón. También se usa frecuentemente para describir ufl potencial culombiano escudado (ver el Pro blema 8).

FUNCIONES DE GREEN ; APROXIMACION DE BORN

La integración se calcula fácilmente si se escoge el eje polar a lo llfÜ " de (ñrt - ñ) como se ilustra en la Figura 4. Llamando al ántulo tre (ño - ñ) y r , se tiene que, a~rm j\ít) = dr sen OI dt» ¿Tvn^

í ¡

Jo

Jo

Por ser el integrando independiente del ángulo azimutal, la integra ción sobre este ángulo es 2tt. La integración sobre m también se pue* de hacer fácilmente dando,

m V^R -----^ /(«w)1 = = —ih^k •lo - n| ImVnR'^ ( _________ I

\] + k m H Í i ^ - ñ y ) Este resultado se puede expresar inmediatamente en términos del ángulo de dispersión 6, que es el ángulo entre ñ« y íi, como se mues tra en la Figura 4. Se obtiene que, (ñ o

~ ¿ ) ^

=

4

sin ^

012

,

Figura 4 , Sistema de coordenadas para la integración de la ecuación (40). y e s c r i b i e n d o / ( ñ ) c o m o / ( 0 ) , se t ie n e q u e ,

ñO)

" (1 + 4fe^fi-sen^ í)/2)-‘ .

(42)

y ta sección diferencial será,

dodíl

. *1

|/(fl)|^=

) ' ( 1 + 4/t*«^sen^ 0l2r^.

(43)

392


Finalmente, ía sección total se obtiene integrando la sección diferen cial sobre todo el ángulo sólido, como en la ecuación (23). Llevando a cabo la integración se encuentra que'"

\

M i +4k^R^j '

(44)

Se observa que a energías suficientemente bajas 1, la ecua ción (43) muestra que la dispersión es isotrópica, lo que concuerda con las predicciones anteriores en términos de las propiedades de los desfasamientos 8,. (üuando kR crece, la sección se va concentrando Iiacia adelante y, cuando 4k^R^ ^ 1, la dispersión está principalmente confinada en un dominio angular pequeño 0 < IfkR, que se llama el pico de difracción principal Este comportamiento se ilustra en la Figura 5. Como lo muestra la figura, la dispersión hacia adelante resulta ser independiente de la energía para la aproximación de Bom, mientras que la sección total decrece al crecer la energía, inversamen te a la energía de acuerdo con la ecuación (44).

Rgura 5. Sección diferencial para et potencial de Yukawa para diferentes valores de kR, según la aproximación de Etom, ecuación (43), Todas estas características son bastante generales, distinguiéndose únicamente por los detalles al pasar de un potencial a otro. Para ob servar este hecho explícitamente se puede considerar como segundo ejemplo un potencial gausiano ;

V{r)=

(45)

Suprimiendo los detalles se obtiene que. (46) “ La integral $e lleva a cabo fácilmente introduciendo la variable de i n t ^ a d ó n ^ = (1 - eos

B) = 2«n^ e/2.

FUNCION ES DE G R E E N ; APROXIMACION DE BORN

y finalmente,

Ejercicio 1, Obtener las ecuaciones (46), (47) y (48). De nuevo se encuentra que la dispersión en la dirección hacia ade lante » = O es independiente de la energía y que la sección es inde pendiente del ángulo a b^jas energías, pero al crecer la energía se for ma un pico de difracción de anchura angular $ — 1IkR. Finalmente, también se encuentra que la sección decrece inversamente con la energía a energías altas. La explicación de estos resultados generales es la siguiente: Dispersión hacia adelante. De acuerdo con (34), la amplitud de dispersión hacía adelante, ñ = á*, es proporcional a la integral de vo lumen del potencial. Llamando /(O) a la amplitud de dispersión hacia adelante, se tiene que /(*>)---- ^

/ y(r) d^r.

<49)

Excepto por factores numéricos del orden de la unidad, según las ecuaciones (42) y (46) esta ecuación se puede expresar como, /(O )--^ ^ ^ ,

(50)

donde es la intensidad del potencial y ií su alcance. Dependencia angular. A energías bajas tales como kR ^ l, el factor potencial en el integrando de la ecuación (34) es del orden de uno sobre el dominio efectivo de integración, el cual es una esfera de radio R aproximadamente. Por lo tanto, para todos los ángulos, /(«)*/(0). de donde la sección es isotrópica a bajas energías y la sección total resulta sér, o - = 47t| / ( 0)|*

4íT

.

(51)

394


Al comparar con las ecuaciones (44) y (48) en el límite de energías bajas, se encuentra otra vez el resultado correcto, excepto por facto res numéricos del orden de la unidad, A continuación se considerará el límite opuesto en el cual la ener gía es tan alta que kR > l . En este caso, las oscilaciones del factor exponencial en el integrando de la ecuación (34) tienen que tomarse en cuenta. Este factor oscila más rápidamente a medida que aumen ta el ángulo, causando que la amplitud de dispersión disminuya brus camente al apartarse de la dirección hacia adelante. Esta disminu ción se presenta para ángulos tales que, A íí|ño-ft[ = 2* fisen 0 /2 = 1, debido a que para ángulos menores la exponencial se desvía poco de la unidad. Ya que fcR > 1 , esta relación se puede escribir como

$ = \lkR, y de esta manera se ha demostrado que la anchura de pico de difrac ción es del orden de l/kR. Sección total para energías altas. Este último resultado permite hacer una estimación rápida de la sección total a energías altas. Su característica esencial es que únicamente el pico de difracción princi pal contribuye apreciablemente a la dispersión, resultando que, c

== 2t!

AlkR

f\lkK

j

¡f(0)\Hene

\ f W $ de ^ - ^ in W k ^ R ^

y, finalmente, usando la ecuación (50) _

( mVoR^Y __n_ / k^R^'

(52)

en concordancia con el límite a energías altas de las ecuaciones (44) y (48), excepto por los factores numéricos usuales. Esta disccusión sobre la aproximación de Bom se puede concluir con ciertas observaciones acerca de su validez. La mayor parte de los tratamientos sobre este tema se basan en una consideración de la magnitud de la corrección de primer orden a la función de estado de onda plana de orden cero, pero resulta muy complicada.'^ Aquí se hará un análisis mucho más simple en el cual la sección total o- juega un papel muy importante. Dentro del espíritu de la teoría de per'■'Un tratam iento bastante completo se presenta en la Referencia [ Í8],

FUNCIONES DE G R E E N ; APROXIMACION DE BORN

395

turbación dependiente del tiempo la sección mide directamente la rapidez efectiva de las transiciones a partir del estado inicial. Esta cantidad debe de ser pequeña para que el tratam iento perturbativo sea válido. Expresándolo en forma cuantitativa, se tom a esta canti dad como la razón del flujo de probabilidad dispersado sobre el flujo máximo dispersado, o sea, la incidencia sobre, la sección geométrica del dispersor, ír/?".‘Êsta relación es sencillamente y por lo tan to la aproximación de Bom es válida si esta relación es pequeña, (53) A energías bajas, usando la ecuación (51), la condición será (54) y a energías altas, usando la ecuación (52), la condición se cumple cuando _I

1

(55)

Se observa que la condición para energía baja es mucho más fuerte que la condición para eneigía alta; cuando se satisface la ecuación (54), se satisface automáticamente la ecuación (55) porque contiene eJ factor que es pequeño a energías altas. Además, a energías suficientemente altas, la ecuación (55) siempre se puede satisfacer aunque no lo haga la ecuación (54). Por esta razón, la aproximación de Bom se considera principalmente una aproximación para energías altas y complementa el método de desfasamiento que, como se recor dará, resulta engorroso en el dominio de las energías altas. Las ecuaciones (54) y (55) no son condiciones rigurosas o precisas, como es evidente de la forma como se han obtenido. Sin embargo, se puede dar un argumento que quizás sirva para restaurar la confian za en su validez. Hay que recordar que la solución exacta a cualquier problema de dispersión satisface el teorema óptico de la ecuación (25 ), o- = ^ l m / ( 0 ) . La aproximación de Born nunca puede satisfacer este teorema ya que, como lo expresa la ecuación (49), la dispersión hacia adelante en la aproximación de Born siempre es real. Este resultado implica que '* Esta condición es máxima únicamente a energías altas. A energías bajas, ei máximo es mucho mayor debido a la difracción. Como resultado, esta estimación es muy conservativa.

396

ALGUNAS APLICACIONES V O TRAS GENERALIZACIONES

la aproximación de Born no es confiable a menos que la parte imagi naria de la amplitud de dispersión hacia adelante sea despreciable res pecto al valor total de la amplitud de dispersión hacia adelante. En tonces, es necesario tener una condición autoconsistente, I m / ( 0 ) < 1/(0) I o bien, multiplicando por 4«·/^ y usando el teorema óptico, o·

^ l/(0)[.

Usando las estimaciones dadas por ías ecuaciones (50) y (51) se obtiene que, a bajas energías. (56) Esta condición resulta más débil que la ecuación (54) debido a que el factor l /kR resulta muy pequeño en el límite de energías bajas. Pero a energías altas se obtiene que, 1.

(57)

que es la raíz cuadrada de la ecuación (55) excepto por factores nu méricos, y por lo tanto es una condición algo más fuerte. Entonces, resumiendo, el requisito de autoconsistencia y el requisi to de que la rapidez de transición total sean pequeñas, llevan a condi ciones equivalentes para la validez de la aproximación de Bom. Este resultado hace suponer que se han identificado las características fundamentales. Respecto a la aplicación de estas condiciones en la práctica, la guía más segura será la de usar la condición más restricti va en el dominio de las energías consideradas, 4. MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO Considérese una partícula de carga positiva e que se mueve en un campo electromagnético extem o descrito por el vector potencial A(r, í) y el potencial escalar 0 ( r , í). Se recuerda que en unidades gausianas las intensidades de los campos electromagnéticos y 5íí es tán dadas por (5 8 )

M O V M ffiN T O EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO

397

y el hamiltoniano clásico es, =

+

(59a)

donde V es cualquier potencial adicional que pueda estar presente,·· No es difícü verificar que las ecuaciones de Hamilton

dxt _ »H dt

dpi

dt

ajt,

proporcionan las ecuaciones de movimiento correctas m^

^

(V

X 5«) - VK.

(60)

Sin embargo, de la primera ecuación (59b),

dxi

eA,

y p no es el m om ento cinético pero sí es el momento canónico, o sea, la variable que corresponde al mom ento en el sentido de las ecuacio nes de Hamilton. Los potenciales e le c tro m ^ é tic o s no tienen un significado físico directo; únicamente lo tienen las intensidades de campo. Los poten ciales y 0 no están completamente definidos por la ecuación (58). La clase de transformaciones que dejan a y a invariables se lla man transformaciones de norma y están generadas por funciones es calares arbitrarias x de acuerdo con, A' = A - v x ,

=

+

(6 2 )

La selección de x determina la norma, pero ningún resultado físico depende de esta selección, o sea, de los potenciales A' y se ob tienen las mismas intensidades de campo, las mismas ecuaciones de movimiento, etc., que se obtendrían de A y . Hay que observar que el mom ento canónico depende de la norma, aunque la velocidad de la partícula no depende de ella como se puede observar de la ecua ción (60),' la cual no hace referencia a ninguna cantidad dependiente de la norma. ’* V « por ejemplo, Refetencia [14], especialmente el Capítulo I, Sección 5, y Capítulo VII, Sec5ción3, Ver también el Problema II .

398


Como de costumbre, el operador hamiltoniano se obtiene substitu yendo las variables dinámicas clásicas en el hamiltoniano clásico por los operadores cuánticos correspondientes. Entonces, la ecuación de Schródinger resulta ser

i dt

(63)

A pesar de la presencia del campo, la reglas de cormiutación entre p y r permanecen inalterables y siguen teniendo la forma usual, (Pf, JCj) = y « u . Entonces, en el espacio de configuración se tendría,

h P = 7V . Se nota que, en general p y A ( r , t) no conmutan y es necesario acla rar el significado del primer término en la ecuación (63). Específica mente, se tiene que entender que este término tiene la forma simetrizada. ( p _ ^ )

(p . a + A · p ) - h ÿ

(64)

en cuyo caso no es difícil concluir que es hermitiano. Se ha argüido que el potencia] vectorial y el potendal escalar no están completamente definidos y que pueden alterarse mediante una transfoimación de norma. Clásicamente esta transformación no afec ta a ningún resultado físico, y la misma conclusión debe de ser válida en el caso cuántico. Para ver este resultado se parte de la transforma ción de norma de la ecuación (62) y se tom a t) como la función de estado transformada, solución de la ecuación de Schródinger en la nueva norma.

2m

(p _ í K J

+ VH' = - 7

Substituyendo la ecuación (62) se obtiene, ¿ ( p + í V * - £ a)’

W

—

Comparando las ecuaciones (63) y (65) se obtiene que ^ y relacionadas por la expresión te m e

(6 5 ) están (66)

MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO

399

que se comprueba por substitución directa. Dicho de otra manera, la transformación de norma de la ecuación (62) se genera substitu yendo por ^ en la ecuación (63). Entonces, se concluye que la arbitrariedad en la definición de los potenciales electromagnéticos se refleja en la arbitrariedad de la/ase de la función de estado» la cual está determinada solamente por una función escalar indetectable ^x/Äc, siendo éste el signiñcado de la invariancia de norm a de la ecua ción Schrödinger.** Como ejemplo ilustrativo se puede considerar una partícula calca da en un campo magnético uniforme Para este caso, el vector potendal se puede escribir en la forma, A = ^ (5«Xr).

Se puede verificar fácilmente que se satisface la ecuación (58). Como p conmuta con este potencial vectorial, se puede escribir A · p + p ■ A = 2A · p y, por lo tanto,

i p - e k í c Y = p ^ - - ^ { ^ X r ) -p + ¿ ( 5 í á x r ) * . Pero, X

r)

·

p

=

'

(r

X

p)

=

· L,

donde L es el operador del mom ento angular orbital y la ecuación de Schrödinger resulta ser,

Imc

8mc*

. - f f .

(6 7 ,

El ténnino cuadrático en ^ se entiende fácilmente si se considera el movimiento de una partícula libre en un campo magnético. Clási camente, la trayectoria de este movimiento es una hélice acotada en el plano perpendicular a El término cuadrático en íXí en la ecua ción de Schrödinger es responsable por un confinamiento análogo de la función de estado respecto al movimiento, en el plano transversal. Además, es fácil demostrar que el movimiento en este plano es equi valente al movimiento armónico bidimensional.'^ Entonces, el tér mino cuadrático es esencial en la descripción de tales estados. Por otra parte, al discutir los estados ligados de una partícula en algún potencial de confinamiento V, la contribución del término cuadrátiVer el Problema 10, Capítulo V, para «na discusión de la indetectabilidad de un factor de fase como el mencionado. Ver Referencias [19] o [24].

400

a l g u n a s a p l ic a c io n e s y o t r a s

G E N E R A L IZ A aO N E S

generalmente es muy pequeña y casi siempre se puede despreciar. El término lineal en ^ en la ecuación de Schródinger describe ta interacción con un dipolo magnético de momento magnético CO

2mc

Si se desprecia el término cuadrático, es esféricamente simétri co y si se escoge el eje 2 a lo largo de , entonces, los estados esta cionarios se pueden clasificar como autofunciones simultáneas de i* y de £ ; , pero la energía depende de los autovalores de i » . Si se tiene un estado con eneigía en ausencia de un campo magnético, entonces, en presencia del campo se tiene que,

Entmi — Ent ~

eh Im e

donde el estado degenerado {2/ - I - 1) veces se desdobla en 2/ -1- 1 esta dos con eneigía de separación iguales,

A E = -^9 ^. 2 mc La cantidad eh¡2mc se llama magnetón de Bohr; es el momento magnético de una partícula con m om ento angular orbital unidad. Al número cuántico m, se le llama frecuentemente número cuántico magnético debido al papel que juega en la fórmula anterior. Es con veniente señalar que todas las ecuaciones se han escrito para una par tícula de carga positiva e. Para un electrón, e se tiene que substituir por -e en todas las expresiones. Para terminar, es conveniente mencionar los efectos del espín, aunque sea brevemente. Asociado con el espín existe un nom ento magnético que se puede escribir en la forma,

2

eh Slh. mc

(68)

La cantidad sin dimensiones g mide la razón del m om ento magnético en unidades de ehjlmc , al m om ento angular en unidades de h . Para el movimiento orbital g resulta ser la unidad. Para el momento magnético intrínseco del electrón, resulta que g tiene el valor dos. En cierto sentido, resulta que el mom ento angular espinorial es dos veces más efectivo para generar un momento m ^ é t i c o que et mo-

401

TEO RIA DEL ELECTRON DE DIRAC

m ento angular orbitai.*» La existencia del momento magnètico espinorial significa que el hamiltoniano tiene que ser suplementado con un término de energia magnetica Por ejemplo, para un electrón en un campo mag nético uniforme, el térm ino lineai en 9(>en el hamiltoniano tiene la forma, (At + M*pin)

(L + 2S)

( J + S) - 5( É ,

donde J es el mom ento angular total. El análisis de este término, que Ueva al llamado efecto Zeeman anómalo, es bastante más complicado que para el caso de una partícula sin espín y no se tratará aquí.*® 5. TEORIA DEL ELECTRON DE DIRAC

En esta sección se desarrollará una versión relativista de la ecua ción de Schrödinger para el movimiento del electrón. Para empezar, se considerará al electrón como partícula libre sin que haya ninguna fuerza externa actuando sobre él. Para este caso, el hamütoniano clásico relativista es, + (me*)*, donde m es la masa en reposo del electrón y p su mom ento lineal. Si p es el operador cuántico usual, se puede concluir que H no está bien definida debido al signo de la raíz cuadrada.“ Una forma de evitar esta dificultad fue sugerida por Klein y Gordon que consideraron la expresión

'* Es inteiesante mencionar valores g paia otras partículas, midiendo siempre tos momentos magnéUcos en las unidades naturales de eh¡lmc^ siendo m la masa de la partícula. Para el m ^ n n , g t i dos también, como para el electrón. Ambos casos están de acuerdo^ con las predicciones de Ja teoría de Dirac. Pero el momento magnético intrínseco del protón no es un niagnetón nuclear (g ^ 2} como se acostumbra llamarlo, sino 2.79 magnetones nucleares Oí = 5. 59), y el momento magnético del neutrón no es cero (como para el neutrino) sino - 1 . 91 magnetones nucleares, donde el signo negativo significa que es opuesto al espín. Es tos momentos m ^ é tic o s anomalos indican claramente la existencia de algún tipo de estruc tura para el protón y el neutrón. Estos temas son de m udto interés en la física de las partí culas elementales. “ Por qem plo, ver la Referencia 122]. " E n el espacio de configuración se tiene que desarrollar en serie de potencias la raiz cuadra da, por lo cual H es equivalente a un operador diferencial de orden infinito. Este hecho se puede evitar si se pasa al espacio de momentos, pero las ecuaciones que resultan son muy complicadas excepto para el caso especial de la partícula libre.

402


en lugar de

Esta ecuación es una ecuación relativisticamente correcta, pero debi do a la segunda derivada respecto al tiempo, la probabilidad no se conservasi t¡f se interpreta como una amplitud de probabilidad. Re sulta que esta ecuación, llamada ecuación de Klein-Gordon, se puede interpretar dentro de la teoría cuántica de los campos pero no se pue de aplicar al movimiento de una sola partícula. Este düema fue resuelto por Dirac usando el siguiente argumento. Si 0 se considera como una amplitud de probabilidad, entonces, en la ecuación de Schródinger sólo puede aparecer la primera derivada respecto al tiempo. Ya que relativisticamente las coordenadas espa ciales y la coordenada temporal son coordenadas del mismo tipo, las coordenadas espaciales en la ecuación de Schródinger también tienen que aparecer sólo linealmente. Entonces se escribe,

imponiendo que f í sea lineal en el momento, / / = [a '

p e -I-

(69)

y donde a y j3 se determinan por la condición // * = (pc)*+ (ntc*)*.

(70)

Se observa que Dirac impuso la condición de que

fí = V (p F Í^ T J m c ^ fuera una función lineal de p bien definida. Es claro que a y ^ no pueden ser números si las ecuaciones (69) y (70) se satisfacen, sino que tienen que ser operadores independientes de las coordenadas. Teniendo en cuenta las caractarísticas de a y de jS se tiene que, [ a · p e -I-

= ( / w ) * + (me*)®

y, conservando el orden de todos los factores, 2

+ X (“ íi®+ fiat)mc^p,c

? X

t

i

+ f i ^ m c ^ y = p ^ c ^ + (m e*)*.

Comparando términos se concluye que =

=

=

=

i o bien, 1

(71)

TEORIA DEL ELECTRON DE DIRAC

403

y además, (a ¡, a¡)+ = 0 ,

I ¥^j

(72)

( a „ 0 )+ = O.

Entonces, las cuatro matrices «.t, <** y fi anticonmutan entre s i y el cuadrado de cada una es igual a la unidad El álgebra de estos operadores de Dirac es idéntico al de los ope radores espinoriales de Pauli, excepto que los operadores de Dirac son cuatro. Ya que los operadores de Pauli, ju n to con la matriz uni dad, agotan el número de matrices independientes dos por dos, los cuatro operadores de Dirac no pueden representarse por matrices dos por dos. Matrices tres por tres tampoco los representan, pero las matrices que sí sirven son matrices cuatro por cuatro. Estas matrices no están totalm ente definidas por las relaciones de conmutación, pe ro la selección convencional es,

a, —

i8 =

(73) O O

a, =

O ^0 - I

que en notación compacta se escriben como,

(i -\)

Hl

o)·

(74)

donde cada elemento es una matriz dos por dos y o- es el operador eîn o rial de Pauli. Los operadores de Dirac coimiutan con todas las variables exter nas, tales como p y r , y por lo tanto deben de actuar sobre alguna clase de grados de libertad internos. Debido a la dimensionalidad de las matrices de CHrac, se debe de tomar a ^ como una función de

404


onda con cuatro componentes, llamada espinar. Esta función de cua tro componentes se escribirá como una matriz columna, o sea

(75)

sobreentendiendo que cuando una matriz arb itraria^ cuatro por cua tro, con elementos actúa sobre ^ , lo hace de acuerdo con las re glas de multiplicación de matrices, y dando como resultado otra ma triz columna. Escribiéndolo explícitamente, se tiene que

A^ =

Entonces,

(76)

a„

Por lo tanto, la ecuación de Dirac c[a · p +

0mc]

0 = - y

= £0

(77)

se entiende como una ecuación para estas matrices columna. E repre senta el operador de la energía total, incluyendo la energía en reposo de la partícula.


Se recuerda que si dos matrices son iguales, cada elemento d« Uf primera matriz es igual al elemento correspondiente de la segunda matriz. Entonces, la ecuación de Dirac es una forma compacta de cribir un coruunto de cuatro ecuaciones diferenciales lineales para las cuatro componentes de . Usando la ecuación (76), estas ecuacio nes se escriben explícitamente como

h =- 7

- iPyH4 +

(78)

cipx - ip v ) ^ + cp A í -

~ 7

c{Pí + íp„)«íti - CPA2 - wc=**í’4 = - 7 ^ ' Para resolver estas ecuaciones se toma un estado estacionario con mom ento lineal definido p y energía E, tom ando p a lo largo del eje z. Si este estado se escribe como ^

(79)

donde U es un espinor con componentes constantes,

t /3

la ecuación (78) se reduce a las ecuaciones algebraicas c p t/ 3 - (E -m c * )ty , =

0

~ c p U ^ - iE ~ m c ^ ) U 2 = 0

(80)

c p U , — ( £ + m c * ) t /3 = 0 - c p U t - ( E + m c^)U ^ = 0 .

Se verifica fácilmente que este sistema tiene solución si se cumple que,

E = ± V ( p c y + (mc^V.

(81)

406

MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO

Usando cualquiera de los signos se obtiene que U j

V3

E

+

m <^

^

pe

E — mc^ (8 2 )

E + mc^ pe

pe E — mc^

La ecuación (81) es la relación relativista correcta entre energía y momento y establece que es posible tener energía positiva y negati va. Por ahora se considerarán únicamente los estados de energía posi tiva, dejando para más adelante el problema de las energías negativas. De las expresiones (82) se nota que Ui y t / 3 son totalm ente inde pendientes de Ui y Ü4 . Este resultado significa que la solución se puede expresar como una combinación lineal arbitraria de dos esta dos independientes. Estos estados se pueden escribir como. C/ = a+X+

(83)

donde

x+ =

x~ =

(84)

Los coeficientes a+ y a_ son arbitrarios y, naturalmente, fJi y U3 están relacionados entre si por ta ecuación (82), como lo están y V,. Estos resultados muestran que estados de una energía dada E y momento lineal determinado, que en el caso presente se encuentra a lo largo del eje z, no son únicos sino que están doblemente degenera dos. Esto significa que H y p no forman un conjunto completo de operadores que conmutan sino que tienen que suplementarse por un operador adicional asociado con algún tipo de coordenada interna. Resulta que esta coordenada interna es el espín y el operador que falta es la componente del espín a lo largo de p , lo cual se demuestra a continuación. En primer lugar se define en cuatro componentes el análogo del operador de espín de Pauli escribiendo (85)


Esta notación significa, por ejemplo, que 'í

0

0 -1

0

0'

0

0

0

0

1

0

0

0

0

- u

y análogamente para las demás componentes. Entonces,

donde x - están expresadas mediante la ecuación (84). Ya que el operador de Dirac & tiene exactamente las mismas propiedades alge braicas que el operador o- de Pauli, se puede concluir que descri be un estado con el espí'n orientado a lo largo del eje positivo z y que X - describe un estado orientado a lo largo del eje negativo z. Como lo indica la notación, estos estados son los análogos espinoriales de los estados de dos componentes no relativistas que se discutieron en el Capítulo X. Esta relación se puede aclarar si se pasa al límite no relativista, para el cual E — mc^ < mc'^.

En este límite, se concluye de la ecuación (82) que í/j y resultan despreciables respecto a t/, y a t/a. Si se desprecian dichas compo nentes, los espinores de Dirac Xi se reducen a estados de dos com ponentes que son precisamente las representaciones usuales de los es tados espinoriales no relativistas y X- , y el operador de Dirac óse reduce al operador o-de Pauli. El argumento que se ha expuesto hace plausible que & esté relacio nado al momento angular interno del electrón pero no pretende ser una demostración. Es necesario observar que cuando los efectos rela tivistas son importantes, una función de estado que sea autoestado de H y p puede hacerse autoestado simultáneo de ta componente de d- a lo largo de p , pero no de las componentes perpendiculares. En otras palabras, únicamente la componente paralela de & conm uta c o n //. Entonces, relativisticamente, existe un acoplamiento entre grados de libertad internos y externos, pero la separación en “ interno” y “ ex terno” resulta que ya no está bien definida. En lugar de un argumento plausible, se puede dar una demostra ción en la siguiente forma. En primer lugar se tiene que examinar si el momento angular es una constante de movimiento. Para ello se

408


examinan las relaciones de conmutación entre cierta álgebra se encuentra que**,

1

, y H. Después de

(L,//)=ifií-(aXp), de donde se concluye que el momento angular orbital no se conserva. Este resultado no es una sorpresa puesto que el hamiltoniano de Di rac no es invariante frente a rotaciones espaciales solamente. Ahora, se puede examinar el conmutador de ó- y H. Después de cierta álge bra se obtiene que,

{ & , H ) = - 2 ic ( a x p ) , de donde se obtiene que J = L + (h/2)& es una constante de movi miento, [(L + | á - ) , / / ] = ( J , W ) = 0. Entonces, la cantidad J, que satisface el requisito de las relaciones de conmutación para momento angular, tiene que interpretarse como el momento angular total y (h! 2 )& como el operador que representa al mom ento angular intrínseco. Por lo tanto, la ecuación de Dirac tiene como consecuemcia que el electrón, o cualquier otra partícula que pueda describir, tiene automáticamente un mom ento angular es pinorial de un medio. Ya que las funciones de onda espinoriales tienen cuatro compo nentes, se tiene que ampliar la definición de valores de expectación y la de elementos de matriz. El significado de una expresión como ('í'l<^)es.

i=l donde y <í>i son las i-ésimas componentes de los estados espinoria les ^y. Las cantidades ( •í'díí'i ) tienen su significado usual. Así por ejemplo, en el espacio de configuración, = /lí»í*(r,

í) d^r.

Esta regla es todo lo que se necesita para calcular los elementos de matriz de un operador arbitrario en el espacio ordinario y en el espinorial, ya que siempre se puede escribir = <>íí|<#i')donde es el nuevo espinor obtenido al operar con A sobre <í>. Ahora se puede regresar al problema de los estados de energi'a ne gativa. De acuerdo con la ecuación (81), el espectro de energía de " Loi detalles se dejan para los problemas.


la partícula libre es un continuo desde más infinito hasta la W í en reposo de wc®. Bajo esta energía hay un espacio sin ningún elt(^ do que continúa hasta la energi'a-mc®. Para energías más negatlvu el espectro vuelve a ser continuo y se extiende hasta menos in fin ita Este espectro se muestra en la Figura 6. En cierto sentido este remi· tado no es diferente al espectro clásico, ya que también en el caso clásico son posibles formalmente soluciones de energía negativa. Continuo de energía positiva me-

0-

mc^

i .

No existen estados de partícula libre

Continuo de energía n a t i v a F ^ i a 6 . Espectro de las enei^ías permitidas para una partícula libre de Dirac.

Pero, clásicamente, no existe ninguna comunicación entre las partes de energía positiva y negativa en el espectro. Una partícula no pue de cambiar su estado de movimiento con eneigía positiva a un estado de movimiento con energí a negativa, porque para hacerlo tendn'a que pasar por un intervalo de energía en el cual el movimiento es imposi ble. La existencia de estos estados no causa ninguna dificultad clási camente; estos estados son inaccesibles y por lo tanto inobservables. Cuánticamente todo cambia; los cambios discontinuos son la re gla. Es posible que ocurran transiciones de estados de energía positi va a negativa liberando una cantidad enorme de energía; mayor que 2mc®. Ya que el espectro de energía negativa se extiende hasta infi nito, parecería que no se podría observar ninguna partícula de Dirac con energía positiva. Es decir, todos los electrones del Universo cae rían rápidamente al “ mar” de energía negativa, un mar suficiente m ente profundo para aceptarlos. Una forma de evitar esta dificultad sena la de eliminar los estados de energía negativa por ser inadmisibles físicamente, pero si se hace esto los estados de Dirac no form anan un conjunto completo®*. “ Este es un je m p lo , y muy im portante, en que las matemáticas foizaton la interpretación física en lugar de ser al reves. Mediante una interpretación física se ha concluido, correcta mente, que la totalidad de los estados fiocam ente admisibles tienwi que ser completos. Pero se deja la p re ^ n ta de cómo identificar todos los estados fiocam ente aceptables. Anterior mente se tomó esta identifícadón como un hecho y el resultado de que sean completos se consideró una consecuencia necesaria. Pero aun cuando la intuición respecto a los estados aceptables físicamente sean inadecuada, el requisito de que sea completo obliga a aceptar los estados de energía negativa.

10


irac mismo resolvió este problema postulando que en el estado nor ial del Universo todos los estados de energía negativa están comple mente ocupados. En estas condiciones, ei principio de exclusión •ohibe cualquier transición de un electrón en un estado de energía jsitiva a uno de energía negativa. Además, este conjunto vasto e innitamente denso de electrones en estados de energía negativa sería erte eléctricamente y mecánicamente, excepto por transiciones del ar negativo a estados de energía positiva. Esta transición requeriría la energía mayor que 2mc*. Esta energía enorme, no se produce oo condiciones normales y, de acuerdo con la experiencia, no se obrva partículas con energía negativa. Sin embargo, si se suministra suficiente energía para provocar una ansición del mar negativo a un estado de energi'a positiva, se obserin'a la aparición repentina de un electrón ordinario, que no se obseriba originalmente pues ocupaba un estado de energía negativa. Tamién se observaria un cambio repentino en las propiedades del mar ; energía negativa. Este mar ya no sería inerte eléctrica y mecánicaiCnte, ni tampoco inobservable, debido a que no estaría completaente lleno; un estado estaría desocupado. Este estado agujero, co0 se le llama, está asociado con la supresión de una carga negativa í energía negativa del estado inerte del Universo, que se podria llaar el vacío. La supresión de una carga negativa de energía negativa 11 vacío se puede interpretar como la aparición de una carga positi1 de energía positiva, llamada el positrón, totalm ente equivalente al ectrón excepto porque tiene carga opuesta. Se puede concluir que esta interpretación es razonable si se consieran los efectos de una fuerza electromagnética aplicada al mar de lergi'a negativa cuando este mar contiene un estado agujero. Los ectrones tenderían a moverse en el sentido de la fuerza aplicada y i favorecerían las transiciones al estado agujero que es el único dis:>nible en el mar. El agujero tenderíá a moverse en sentido opuesto los electrones, haciéndolo como si fuera un objeto aislado. La transición de un electrón de un estado de energía negativa a no de energía positiva, corresponde a la aparición repentina de un lectrón y un positrón en el mismo punto del espacio del tiempo, y í requiere una energía mínima de 2m c\ Este es el famoso fenómeD de ia producción de un par. El proceso inverso también es posi le, o sea cuando un electrón en estado de energía positiva pase a cupar un estado agujero. El fenómeno se conoce como la aniquilar !ón electrón-positrón, y ía energía se manifiesta como energía elec•omagnética, generalmente como un par de fotones. Hasta aquí se ha considerado únicamente el hamiltoniano de Dirac ara la partícula libre. Pero también se puede considerar que el elee-

ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

411

trón se mueve en un campo electromagnético extem o o en otro po tencial, en cuyo caso el hamiltoniano de Dirac se modifica en la for ma canónica H = c[o ; · (p — í- A /c ) ] -I-

+ e<í»+ V ,

donde A y 0 son los potenciales vectorial y escalar respectivamente y V es cualquiera otra interacción que puede estar presente. Si, por ejemplo, se resuelve esta ecuación para un electrón en un campo mag nético uniforme, la energía de interacción magnética resulta ser la de una partícula de espín un medio con un momento magnético de un magnetón de Bohr, lo cual coincide con ía observación. Como segun do ejemplo se podn'a calcular la solución a la ecuación de Dirac para los estados del átom o de hidrógeno, cuya concordancia con el expe rim ento es casi perfecta, mcluyendo las correcciones de la estructura fina“ . La teona del electrón de Dirac, partiendo únicamente de la masa y de la carga de éste, obtiene todas las propiedades intrinsecas del po sitrón así como de su existencia y de los fenómenos de aniquilación de un par y producción de éste. La discusión se ha limitado únicamente al electrón, pero cualquier partícula de espín un medio puede describirse por la ecuación de Di rac. Por ejemplo, muones y neutrinos se describen con la misma ecuación tom ando la masa en reposo apropiada. Sin embargo, los protones y los neutrones, como consecuencia de su momento magné tico anómalo, se describen por un hamiltoniano de Dirac con un tér mino adicional que se ajusta para dar el momento magnético obser vado. La producción de pares y su aniquilación, en la que intervie nen todas estas partículas y sus antipartículas, como se les llama, han sido observadas experimentalmente y concuerdan con las prediccio nes de la teorfa. 6. ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD En un sistema cuántico todo esto bien definido es una autofun ción simultánea de un conjunto de operadores. Si se expresa en tér“ Sin embargo, U ecuación de Dirac no proporciona el llamado corrimiento Lamb. Este pequeño corrimiento está generado por tas interacciones con las fluctuaciones del vacío de los campos electromagnéticos. Estas fluctuaciones dei campo, a sem ânza del movi miento del punto cero del oscilador armónico, son de origen estrictamente cuántico y DO aparecen en ningún tratam iento en el cual et campo electromagnético se considera como clt· sico, como es el presente tratamiento.

412

ALGUNAS APLICACÍONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

minos de observaciones, significa que si un estado se especifica co rrectamente, se tiene que hacer un coiyunto de mediciones que no interfieran entre si. Este tipo de estado se llama estado puro. La evolución en el tiempo de un estado puro está determinada por la ecuación de Schrödinger y esta evolución se puede predecir perfecta mente. La naturaleza estadística de la mecánica cuántica se mani fiesta en las distribuciones de los valores observados que se obtienen al efectuar mediciones sobre un conjunto de sistemas preparados idénticamente, encontrándose cada uno en el mismo estado puro. Hasta ahora se han tratado únicamente estados puros. Sin embarco, con mucha frecuencia, el conocimiento de los sistemas complicados no es completo y una descripción en términos de estados puros es imposible. Esta falta de conocimiento introduce un segundo elemen to estadístico que no es de origen cuántico y que es familiar en mecá nica estadística clásica. A continuación se mostrará brevemente có mo se pueden tratar cuánticamente estos estados mixtos. La desCTipción de un estado mixto requiere de la mezcla estadísti ca de todos los estados puros que sean consistentes con el conoci miento incompleto del problema. Se puede pensar como un conjun to de sistemas, cada uno de los cuales se encuentra en algún estado puro y suponer que un sistema del conjunto esté descrito por el esta do puro y que se puede expresar en ténninos de algún conjunto completo ortonormal. (87) Sea A un operador que represente algún observable arbitrario. En tonces,

2

C^C,*A„„,

(88)

donde A„^ son los elementos de matriz de

A^„=(iÍ>M\r.)· Promediando sobre el conjunto de sistemas como en mecánica esta dística, se obtiene que.

iA) = '2

C„C„*A,

(89)

n,m

donde una barra sobre una cantidad representa que se ha tomado un promedio. Los números A ,^ son fijos de m odo que el promedio de la derecha depende únicamente de C„ que aquí representan las varia

EffTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

bles estadísticas. Como A es arbitrario, el promedio de cualguíéf operador físico está determinado por el conocimiento de la cantldu}

=

|p„„|«l.

(90)

El operador />, con elementos Pm« se llama matriz de densidad, Conr tiene toda la información disponible del sistema, puesto que sí se conoce p , también se conoce la distribución de los valores medidos para cada medición que se haga sobre el sistema. Expresando la ecuación (89) en términos de p , se obtiene

< A ) = 2 PmnAnmn*m

Ya que el miembro derecho se puede interpretar como un producto de matrices, esta expresión se reduce a R >

=

X ( P ^ > mm

·

(91)

La suma de los elementos d iô n aies de una matriz se llama la traza de la matriz y se escribe como

donde (91) se puede expresar en forma independiente de la represen tación como, < T )= T r(p ^ ).

(92)

Entonces se ha logrado el principal objetivo, o sea, desarrollar una ca racterización adecuada de los estados mixtos. La matriz de densidad para tales estados juega el mismo papel que la función de estado para estados puros. Toda la información disponible está contenida en ella y cada una defme el estado que caracteriza. A continuación se desarrollarán algunas propiedades de la matriz de densidad. De la ecuación (90) se obtiene que p es hermitiana, Pm« = P»«*.

(93)

Este resultado se concluye de la independencia al promediar y de la conjugación compleja. Al igualar ^4 a la unidad en la ecuación (92) se obtiene q u e , ' T rp= l. o sea q u e

(94)

los elementos de la diagoníü de la matriz suman la unidad

414


Este resultado puede verificarse partiendo de la ecuación (90) ya que. Tr p =

m

= 2 C „C „^=l. m

También se observa que los elementos de la diagonal principal expresan la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado , por lo cual Pm» nunca puede ser negativo sino que tiene que encontrarse entre cero y la unidad. Si se considera una representa ción en la cual p es diagonal, entonces, los elementos de la diagonal serán los autovalores de /> y todos los autovalores de la matriz de den sidad se encontrarán entre cero y la unidad por lo cual p es un opera dor positivo definido y acotado. Supóngase que p está determinado inicialmente. ¿Qué se puede decir acerca de su evolución en el tiempo? Sea H el hamiltoniano del sistema y supóngase que C„, dada por la ecuación (87), es una fun ción del tiempo,

Ya que

satisface.

i dt' se encuentra que C„ satisface el conjunto de ecuaciones, fi dC„^ ^ 7 di

(95) i

y por lo tanto. (96) en donde, en el último paso, se ha usado el hecho de que H es hermi tiano. Multiplicando la ecuación (95) por y la ecuación (96) por C„ y restando se obtiene que,

Como las operaciones de diferenciación respecto al tiempo y la de promediar sobre el conjunto son independientes, se obtiene que,

ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

415

Finalmente, la evolución de p en el tiempo será,

-ff-(H .p).

(97)

de donde se obtiene que p es estacionaria si conmuta con el hamilto niano. Algunas de estas propiedades de p se pueden ilustrar con ejemplos sencillos. Como ejemplo se puede considerar un sistema que se en cuentra en un estado de energía definida E y momento angular defi nido l, pero orientado al azar. Entonces, cada uno de los 21 + 1 esta dos degenerados son igualmente probables. Estos 2 / + 1 estados for man un conjunto completo para el sistema, y en una representación que use estos estados, p es sencillamente la matriz unidad dividida entre (2/ + I } . Otro ejemplo podría ser el de una partícula sin pola rizar, con espín un medio. En la representación para la cual (r¡ es diagonal.

P

^ n i2 \Q

O \ m )'

que describe a un estado mixto en el cual el espín tiene la misma pro babilidad de encontrarse con espi'n hacia arriba o hacia abajo respec to a cualquier eje. En ambos casos la traza de p es la unidad y p es estacionaria. Un último ejemplo muy importante se refiere a u n sistema en equi librio térmico a la temperatura T. La probabilidad de que el sistema se encuentre en cierto estado está determinado por el factor de Boltzmann y por lo tanto,

p=l donde Z, la función de partición, se expresa como Z = Tr y la traza de p es la unidad. Ya que p es función sólo de H, conmuta con H y por lo tanto es estacionaria, como tiene que serlo en el equi librio. Todas Jas propiedades termodinámicas del sistema se determi nan en la forma usual en términos de la función de partición. Como conclusión se puede señalar que el formalismo de la matriz de densidad se puede aplicar a la descripción de estados puros y de estados mixtos. Si un estado es puro, todos los sistemas del conjunto se encuentran en el mismo estado y el promedio sobre el conjunto no tiene consecuencias. Entonces p„„ tim e ]a. forma producto P™ = C „ C / . (98)

416

a l g u n a s a p l ic a c io n e s y o t r a s g e n e r a l iz a c io n e s

Precisamente esta fonna es la que identifica a p como describiendo un estado puro. Para obtener una caracterización independiente de la representación, se observa que,

«♦ » y ya que la suma sobre jCd* es igual a la unidad, (p^ )jii»l ~ Pm» t O

sea, p^ — p para un estado puro. Como consecuencia (99)

T r p ^ = I,

que es una condición necesaria y suficiente para que el estado sea puro** .

Problema 1. Calcular la integral de la ecuación (5) para encontrar la corrección a primer orden a la enei^'a de átomos tipo helio usando teoria de perturbación. Problema 2. Usando la función de prueba de la ecuación (8) para un átomo tipo helio, obtener la ecuación (10). Problema 3. Considérese un átom o del tipo helio con Z = 1 , el íórt negativo del hidrógeno. Demostrar que de acuerdo con la estima ción variacional de la ecuación (10), el sistema es inestable respecto a la disociación por un valor algo menor que un eV. [El sistema H "es estable, pero se requiere un cálculo bastante más refinado para de mostrarlo que el que se obtiene de la ecuación (10).] Problema 4. (a) Considerando al protón como una masa infinita y despre ciando los términos dependientes del espín, demostrar que el hamil toniano para la molécula de hidrógeno es.

2m

2m

r,

r¡

R

+

r, —

—R|

|ri —R

ka -i- R

usando el sistema de coordenadas mostrado en la Figura 7. (b) Una función de prueba razonable para un cálculo de Ray leigh-Ritz podría ser la que supone que cada electrón es un estado ** Ver te Refetencia [22].

PROBLEMAS

-e

,

'■ i.rf

R Fûra 7. Sistema de coordenadas para la molécula de hidrógeno.

base hidrogénico 4>o respecto a su “ propio” núcleo. Basándose en es ta idea, demostrar que una función de prueba correctamente simetrizada es, r j ) = 0 o (í'i)0 o (''í) ±

+ R )0o(ri ~ R) ·

(c) Usando esta función de prueba demostrar que,

donde J y K son las intepales directas y de intercambio del hamilto niano total H, y donde a= X

R)<#»«(r, - R)

Al calcular las integrales, este resultado muestra que solamente el ca so simétrico conduce a un estado ligado, donde E+(R) tiene un mínimo cercano al valor exacto en el valor aproximado de JÌ. Ver la referencia [20]. Problema 5. Dibujar la razón de la sección diferencial cuántica a la sección diferencial clásica para la dispersión culombiana de electro nes por electrones para una energía de 100 electrón voltios en el centro de masa; también para partículas alfa sobre partículas alfa a 5 MeV. Problema 6. Usar la aproximación de Bom para encontrar la ampli tud de dispersión además de la sección total y diferencial para el po tencial exponencial Comparar el com portamiento a energi'a alta y b ^ a con el resultado predicho en el texto. Problema 7. Lo mismo que en el probiema 6 pero considerando un pozo de potencial cuadrado, t/ — í~ Va-, r
418


Problema 8. El efecto de pantalla de los electrones en un átomo neutral, modifica la interacción electrostática entre un átom o y una partícula incidente cargada. Una aproximación razonable a este efec to de pantalla del potencial culombiano es,

que en la forma es el mismo que el potencial de Yukawa. En esta expresión, Z es el número atómico del átomo, ze es la carga de la par tícula incidente y R es el radio atómico efectivo. (a) Demostrar que de la aproximación de Born se obtiene el re sultado exacto para la sección de R utherford en el límite de R . (b) Usando la aproximación de Bom estimar el intervalo angular para el cual la sección diferencial de dispersión de un potencial culombiano de este tipo difiere de la dispersión de R utherford en los casos siguientes: ( i) una partícula alfa de 5MeV dispersada por oro; ( ii) un protón de 1 Mev. dispersado por carbón; (üi) un electrón de 100 eV dispersado por carbón. Por facilidad tomar /i = 1A en todos los casos y suponer que todas las energías se toman en el sistema del centro de masa. Problema 9. (a) Para una energía de 5 MeV en el centro de masa, los desfasa mientos que describen la dispersión elástica de un neutrón por un nú cleo, tienen los valores siguientes: 6o = 32.5", S, = 8.6", 6* = 0.4". Suponiendo que todos los demás son despreciables, dibujar da/díl como función del ángulo de dispersión. ¿Cuál es la sección total
PROBLEMAS

sin espín y despreciar los términos cuadráticos en el campo magnéti co. ¿Está justificado esto último? Problema 11. Demostrar que el hamiltoniano clásico, ecuación (59a), lleva a ías ecuaciones de movimiento clásicas correctas, ecuación (60), Notar que

= ~

+ V (v ■ A ) - v

X ( V x A)

OÍ

y que, para cualquier vector B , V (B") = 2 ( B -V )B + 2 Bx (V

X

B).

Problema 12. Para la ecuación de Dirac y para la ecuación de Schrö dinger, demostrar que,

donde A es un operador (espinor) arbitrario. Problema 13. Una partícula que satisface la ecuación de Dirac se en cuentra en un estado arbitrario. Encontrar expresiones explícitas para (a)

(.v),
(b) ä M . dt '

dt

Problema 14. Demostrar por cálculo directo que J = L + ñ&¡2 con muta con el hamiltoniano de Dirac. Problema 15. (a) Partiendo de la ecuación (80) obtener la ecuación (83). (b) Encontrar la función de estado de Dirac para una partícula libre de masa en reposo m moviéndose a lo largo del eje x con mo mento p. Problema 16. (a) Se sabe que un sistema se encuentra en uno de sus tres esta dos. La probabilidad de encontrarse en el primero es de 1/2 y de encontrarse en el segundo es de 1/3. ¿Cuál es la matriz de densidad del sistema?

420

ALGUNAS APLK ACION ES Y O TRAS GENERALIZACIONES

(b) [)etenninar, en caso de que exista, cuál de las siguientes ma trices de densidad describe estados puros. 1 /2 4 \-i

/\ 2}

l(i 2 e**\ 5 U € - ‘* 4 }

Problema 17. El estado de un sistema está descrito por la matriz de densidad, /0.4

y

y

(a) x = ^ , y = 1 (b) Verificar si el sistema se encuentra en u n estado puro o no. Problema 18. (a) Se sabe que un sistema se encuentra en uno de dos estados. Demostrar que la matriz de densidad más general tiene la forma,

?=Tr(po-). Suponiendo que P se detennina experimentalmente, demostrar que p = ^{l-^P·o■). PtoUema 20. Recordando que la parte independiente del espín en el hamiltoniano de un electrón en un campo magnético 9Ó es,

M

2

eh
PROBLEMAS

42f

(a) Demostrar que el vector de polarización P (ver Problema 19) de un haz de electrones en este campo satisface la ecuación de movi miento ^

di

= -

P.

tnc

(b) Suponiendo que el campo magnético es uniforme, resolver esta ecuación de movimiento y discutir los resultados.

APENDICE I

Cálculo de integrales de funciones gausianas

1. LA INTEGRAL BASICA Se quiere calcular la integral

dx. Para llevar a cabo este cálculo, se tom a el cuadrado de esta expresión escribiéndola en la forma del producto / 2 —-* /o

dx

que es equivalente a la integral doble / 2— íO —

dx dy

Si se consideran x y y como coordenadas rectangulares en un plano, la integral doble se calcula fácilmente transformando a coordenadas polares/*, 0 . Se obtiene inmediatamente que. 12 — — tü

d4> O r dr

a -l· ib

y por lo tanto,

^ a + ib En el límite de a -* O, /(, = ^/írlib = Vtt/í»

.

424

APENDICES

Para a = O, la integral gausiana se puede tom ar como este límite. 2. INTEGRALES GAUSIANAS Se puede generalizar el resultado anterior considerando la integral ,-{a+iWjr>

dx.

para n entero. Se observa que ^2m+i

O,

debido a que la integral es impar, y además

Entonces,

da)

r ~ ^

\ a + ib

Un ejemplo sería. '’ " 1 ^

(■' + " » " = 2 Ü T 7 5 ) ' -

3. INTEGRALES GAUSIANAS GENERALIZADAS Finalmente, se puede considerar una integral de la forma y« = | " d o n d e « y ^ pueden ser complejas, pero donde la parte real de « tiene que ser mayor que cero. Para calcular la integral se completa el cuadrado en el exponente.

ax^ + Substituyendo x + 0l2a por una nueva variable, por ejemplo y, la in tegral se reduce a la forma considerada en la Sección 1 y se obtiene inmediatamente que.

CALCULO DE INTEGRALES QUE CONTIENEN FUNCIONES GAUMANAS

41#?

Este resultado también es válido para « imaginaria pura, si se consi dera como un limite. Si a = « + íí >, a > O, el límite se obtiene cuafr do a 0. Las integrales del tipo

se calculan por el m étodo de la Sección 2 y se obtienen inmediata mente las expresiones, J

Jlm+1

=

/ _

\

J ' i a m + i 3 ^ '" '* '* J q

‘)

= ( - 1)"""* y

ó"·/« ( - 1 ) ' 3a"·

Por ejemplo,

u

Ejercicio 1. / s se puede calcular por la receta anterior, pero también se puede obtener de la relación aA Verificar que ambos métodos conducen al mismo resultado. Demos trar que, en general. 'n +l

-IL . áj3

APENDICE II

Referencias seleccionadas

i. BASES HISTORICAS Y EXPERIMENTALES

1. G. Holton y D.H.D. Roller, Foundation o f Modem Physicd cience, Addison-Wesley (1958). Una introducción interesante pero xclusivamente elemental y descriptiva. 2. F.K. Richtmyer, E.H. Kennard y T. Lauritse, Introduction to iodem Physics, quinta edición, McGraw-Hill (1955). 3. R.M. Eisberg, Fundamentals o f Modern Physics, Wiley (1962). 4. M. Born, Atomic Physics, séptima edición, Blackie, Glasgow 1962). Un libro clásico sobre las bases y orígenes de la mecánica uántica. 5. R.B, Leighton, Principles o f Modern Physics, McGraw-Hill 1959),

¡. BASES MATEMATICAS 6. E.A. Kraut, Fundamentals o f Mathematical Physics, McGraw[ill(1967). 7. H. Margenau y G.M. Murphy, The Mathematics o f Physics and Chemistry, segunda edición. Van Nostrand (1956). 8. P. Dennery y A. Krzywicki, Mathematics for Physicists, Harper nd Row (1967). 9. J.S. Sokolnicoff y R.M. Redheffer, Mathematics o f Physics nd Modern Engineering, McGraw-Hill (1966). 10. D.J. Jackson, Mathematics for Quantum Mechanics, Benjamin 1962). 11. G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic ress(1966). 12. A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics (traucido por E.G. Straus), Academic Press (1949). Un libro clásico so re ecuaciones diferenciales y tópicos afines escrito para físicos.

REFERENCIAS SELECCIONADAS

13. P.W. Berg y J.L. McGregor, Elementary Partial DÍffer$nÍÍOÍ Equationsf Holden-Day 0966). C. MECANICA CLASICA 14. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addíson-Wesley (1950). Recalca aquellos aspectos de la mecánica clásica que son importantes para la mecánica cuántica. 15. J.B. Marion, Classical Mechanics o f Particles and Systems, Aca demic Press (1965), 16. R,A. Becker, Introduction to Theorical Mechanics, McGrawHill (1954). 17. J.C. Slater and N.H. Frank, Mechanics, McGraw-Hill (1947), D. MECANICA CUANTICA (ELEMENTAL) 18. D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall (1951). Tratamien to con motivación física y con énfasis sobre las relaciones entre los conceptos clásicos y cuánticos. 19. R. H, Dicke y J.P. Wittke, Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley (1960), 20. L, Pauiing y E.B. Wilson, Introduction to Quantem Mechanics, McGrav/-Hill(1935). 21. D. Park, Introduction to the Quantum Theory, McGraw-Hill (1964). E

MECANICA CUANTICA (AVANZADO)

22. A. Messiah, Quantum Mechanics (en dos volúmenes), NorthHolland, Amsterdam (1961). Un texto de fácil lectura y cuidadosa mente hecho. 23. L,I, Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill (1955). 24. L.D, Landau y E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Non-relativistic Theory, (traducido por J.B. Sykes y J.S. Bell), Addison-Wesley (1958). 25. A.S. Davydov, Quantum Mechanics (traducido por D. ter Haar), Addison-Wesley (1965). 26. G.L, Trigg, Quantum Mechanics, Van Nostrand (1964). 27. P.A.M. Dirac, Quantum Mechanics, cuarta edición, Oxford (1958). Un libro clásico. Ningún estudiante debe sentirse satisfecho sino lo ha leído y entendido. 28. P. Stehle, Quantum Mechanics, Holden-Day (1966).

428

A PEN DIC ES

29. D. ter Haar, editor. Selected Problems in Quantum Mechanics, Academic Press (1964), Una colección de problemas excelentes. La mayor parte de las soluciones están hechas en detalle. 30. J.D, Bjorken y S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, Me Graw-Hill (1964),

APENDICE III

Respuestas y soluciones a problemas seleccionados

CAPITULO I Problema 2. Después de encontrarp en términos de(T/mc^)se puede escribir, X=

+ 27'/mc^]-''^

donde = A/mc es la longitud de onda reducida de Compton de la partícula. De esta manera se encuentran, X (cm ) T

electrón 30 eV 30keV 30M eV 30G eV

4 X 10-» 10-·“ 7 X 10-*» 7 X 10-'«

protón 10-·» 4 X 1 0 -'“ 10-'^ 7 X 10-'«

A energías ultrarrelativistas T ^ me*, la longitud de onda de de Brog lie es aproximadamente ñ.c/T y es independiente de la masa de la par tícula. CAPITULO II Problema 1.

(a)

\A\ =

Problema 2.

(b)

|c^| = [2(1 ±

ü"*'*;

(b)

{x)

APENDICES

430

CAPITULO n i Problema 2. (a) - i k y 7T “

^

sin (íiíTJc/L) n

(b) — V 1 — ( —1)" € ^

inîxiL

ProUetna 3. gW =

^/¿(^)■

Problema 4. (a) ^ = t - ‘« (b) 0 ( p ) = (2

[(í» - PoF + ftVL*]-’

Problema 7. Las en e^ías del estado base son, aproximadamente, (a) hîmU (b) ftíü (c)

ik^mg^y<\ CAPITULO IV

Problema 1. (a) (b)

*'. = ^ V § = * 'i> /2

v„ = c V t — (¿)o/«)* « c

ProUema 3. (a)

<'Í'bJ p IV'e„) = 0

r e s p u e s t a s y s o l u c io n e s a

PROBLEMAS SELECCIONADO·

(b) Se considera un paquete de ondas inicial, centrado t n « « j con mom ento promedio pt, y descrito por j , / = 0) = / ( jf - jfo)

(Ij

Seggún las ecuaciones (IV-43) y (IV-45), la evolución en el tiempo (t· este estado es.

tmx X exp [—(/i*ir*ílr/2mL*].

(2)

Pero un estado de este tipo es exactamente periódico con período _

^ irh ’ aunque este período no tiene nada que ver con el período clásico (¿porqué). Es del orden de 10*^ segundos para un objeto macroscó pico en una caja macroscópica, A continuación se van a considerar los límites clásicos de las ecua ciones (1) y (2). Para poder tener órdenes de magnitud, se puede to mar una partícula de un gramo de masa en una caja de algunos centí metros de longitud. El momento inicial se tom a como un gm-cm/seg y su posición inicial se puede considerar definida por 10~“ cm. Este último dato significa que la función de amplitud / tiene su máximo centrado en ;c =x„ para el cual su argumento es cero, y cuya anchura es de 10“*. Como poM es del orden de 10*’ , se tiene que el factor ex ponencial en la ecuación (1) oscila alrededor de 1

TTñ

O)

Ahora se puede establecer fácilmente que la contribución principal proviene de valores de s que son pequeños. El factor im portante en el término 7j-ésimo de la ecuación (2) resulta ser, f(x ’- xJ

s in

—

~ ô)

^

(2ip^x '¡h -t- i n x '5/Z.)] .

432

APENDICES

El segundo término entre paréntesis oscila tan rápidamente sobre el paquete de ondas que se obtiene una contribución despreciable para todos los valores de s. El primer término oscila s¡íx n ¡L veces sobre la anchura ü x del paquete. Entonces, la región efectiva para la suma ÍS,

10^.

\s\ < TTÓiX

(4)

Para establecer la periodicidad clásica del movimiento, se necesita ixaminar las consecuencias de estos resultados únicamente para el Factor dependiente del tiempo en la exponencial y para cada término le la ecuación (2). Sustituyendo la ecuación (3), este factor para el :érmÍno «-ésimo resulta ser •

exp [ —in^tr^híllinL^] = exp

_

^ Im h

.

STTp^t _

‘ mL

. ' 2mL^

(5)

Pero de acuerdo con la ecuación (4), el ténnino cuadrático en s no upera a h tjm iA x Y =“ 10"** t en magnitud, y por lo tanto es despreiable en los intervalos de tiempo comparables a la edad del universo. Comparar este análisis con el que condujo a la ecuación (lV-9). Omtiendo el ténnino cuadrático se tiene que. exp [—

= exp

Imh

mL

(6)

intonces, excepto por el factor de fase exp —i , que multiilica a todo el paquete de ondas, por lo cual no tiene significado im)ortante (¿por qué?), la solución es periódica precisamente con e] )eríodo clásico.

y

2mL _ IL P»

V

le puede señalar, aunque sin demostración, que usando la ecuación S), sumando primero y después integrando, se puede calcular la cuación (2) en forma cenada sin hacer otra aproximación, dando omo resultado que el paquete de ondas viaja sin distorsión y rebota n las paredes en x = O y x = L. Resumiendo, el centro del paquete e ondas sin distorsión exhibe una forma periódica de diente de sié ra cuando se grafica contra /, en concordancia exacta con la solución lásica. Los detalles, que no son totalm ente triviales, se dejan como n ejercicio.

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS

Problema 5. Se supone, por generalidad, que la partícula se encuen tra en el estado n-ésimo en la caja cuando las paredes de ésta desapa^ recen. Entonces, como estado inicial se tiene que

V lfL sin nnxIL, O ,

0 ^ x ^ L en los demás casos

Después de que las paredes han desaparecido, se tiene que en el espa cio de momentos,

4f>(p,

=

donde 0)

dx.

La integral es elemental, y se tiene que. 1T¿ donde

p„ = niHilL = V2mE„. Para rt grande, la distribución en momento tiene un máximo defi nido en p = ± p„ , en concordancia con el resultado clásico.

CAPITULO V Problema 2. (a) A es hermitiana si y sólo si n es dos. (b) Para n = 3 , = x^{no normalizada). Para n = 4 , la au tofunción general es una cúbica en x. Pero la autofunción identifica da para « = 3 , llamada «/»,, automáticam ente es una autofunción para M = 4. Entonces se tiene un par de autofunciones degeneradas. La autofunción cúbica se puede hacer ortogonal a «í», determinando sus coeficientes, encontrando que el par degenerado ortogonal (no nor malizado) es.

Para n = 5 la autofunción general es cuártica e n x y y \tf¡ también son autofunciones. Escogiendo los coeficientes de la función cuárti ca .n tal forma que sea ortogonal a »í'i y a «(»i, se puede identificar un

434

W EN D IC ES

conjunto de tres autofunciones degeneradas tres veces y ortogonales que son

=

- f Í - V + } j U = { x ^ - ¿*) (j:* - y ) ·

Observar que, excepto para « = 3, estas autofunciones no son únicas. Por ejemplo, para n = 4, se puede escoger cualquier combinación li neal de ¿I y i¡>2 como nueva autofunción, llamada ifi, y usar la ortogonalización para encontrar una segunda combinación lineal indepen diente 5¡í. Análogamente para n = 5. Las autofunciones ortogonales particulares que se han exhibido arriba son las más fáciles de cons truir. Problema 6. (a) ii, iv, v;

(b) ü;

(c) üi;

(d) nmguna

Problema 10. (a) Las nuevas autofunciones del mom ento están definidas por

y por lo tanto, resultan ser

^í[px-o*x)VA donde

gM = J

dx.

Estos estados difieren por un factor de fase de los estados de momen to convencionales, que se denotan por para distinguirlos clara mente y expresándolos como


439

donde es la función de estado en la representación convencio nal. Es necesario recalcar que »í» y $ representan el mismo estado físico, o sea la que corresponde a la fiinción de estado del momento lineal <íf(p>). (c) En primer lugar se tiene que,

debido a que el factor e"'*·'»"' no interviene en el cálculo del miembro izquierdo. Además se tiene que,

porque

y los factores de fase en el miembro izquierdo se cancelan. Y final mente, tom ando en cuenta que no se altera la relación de conmuta ción, se concluye que (f{x, p)) da el mismo resultado en cualquier representación. Entonces, los valores de expectación de cualquier observable y de todos ellos son independientes de f, tal y como se quería demostrar. Problema 12. (a)

M (a) donde 8j

0) = tí», y=-H tfí - ^ +

son constantes arbitrarias. jíS t-íE tí/«

¿,iS3-iEiÍlñ

(c) iv (d) todos excepto v CAPITULO VI Problema 2. (a)

6o,

(c)

cero;

^

(2«^ + 2 « -I-1)

436

APENDICES

(d)

J í ^ K

Problema 3.

(a) (b) Considerando a o» arbitraria se pueden tratar ambos casos si multáneamente. Se tiene que,

Mx, t ) = S ix\0 ) K ( x \ x ; t ) dx', donde el propagador K está expresado por la ecuación (68). La inte gral es del tipo gausiano, y después de cierta álgebra se obtiene que í) = [eos ft>/+ {/íDo/(o) sin WOtJT* ' (uo eos (0 / + i(a sin
X exp

que se reduce al resultado correcto cuando o» = Para resulta la expresión a la cual se reduce la ecuación (73) para el caso particu lar de un paquete inicial gausiano en la parte (a). (c) Se tiene que. 1

í)

t) e-ipxm dx.

V2irfi

que es del tipo gausiano. Después de calcular la integral se encuentra que la densidad de probabilidad en el espacio de momentos es. |0 (P , í)l“

[cos^

< iií

+ (a)®/ftt(,*) sin^ ______ pVmficüQ cos^ */too^ ) sin* (üt _

X exp (d) de la cual se obtiene que,

Pts =

2 £i>(, +

(25)! w

2 * ® (5 !)*

Pís+i —o ■ usando la representación indicada de trivial también se puede verificar que,

+

íi> /

. Aunque no es un ejercicio


437

00

s-o Problema 4. (d) La ecuación de Schródinger es, 2

m dx^

Tomando a la función 6 como el lím ite de una función con un máxi mo muy definido, no es difícil concluir que es continua pero que dtpE/dx cambia dramáticamente sobre la anchura del potencial por una cantidad proporcional al área bajo el potencíaj. En el límite, dilfe/dx resulta discontiiiua. Para exhibir esta discontinuidad cuan titativamente, se íntegra la ecuación de Schródinger desde un punto a la izquierda del origen (0 _ ) hasta un punto a la derecha (0+), pero muy cercanos al origen, y después se considera e! lím ite cuando estos puntos se aproximan al origen (cada uno se aproxima al otro desde sus dominios). Se encuentra que. 2

m

d^B dl)>B dx ®+ dx

j—

0_ J

= O,

anulándose el miembro derecho ya que i/fg es continua. Entonces, la discontinuidad en la derivada de «Ae es, * dx

0

+

dx

La regla para resolver ta ecuación de Schródinger será !a águiente; a la región a la izquierda del origen x < O, se le llama región I, y a la re gión a la derecha del origen x > O, se le llama región II. El origen se excluye de cada región y en ambas regiones la ecuación de Schródin ger resulta la de una partícula libre. Entonces, escribiendo una solu ción general que satisfaga las condiciones a la frontera en infinito y a la derecha, la solución a la izquierda se puede fíjar al exigir que sea continua y que d^stdx tenga la discontinuidad correcta. A con tinuación se escriben las soluciones para estados ligados y continuos. (i) Estados ligados. E < 0 . Sí se escribe £' = —e , en la región II se tiene que, = A exp (— V2me/Ä* .í) , siendo la exponencial positiva inadmisible. Análogamente, en la re gión I, = B exp (V2mc/fi® j t )

438

APENDICES

siendo ahora inadmisible la exponencial negativa. La condición de que ft>E sea continua en el origen obliga a que A = B. La condición de discontinuidad sobre dt^sidx se puede satisfacer si e tiene el úni co valor, E = mg^l2 h^ , que es la energía de ligadura del único estado ligado para un poten cial de función S , de acuerdo con el resultado mencionado en la par te (a). La función de estado normalizada para el estado ligado es la que se establece en la parte (b). (ii) Estados Continuos. E > 0. Para construir una solución que corresponda al caso convencional de una onda incidiendo solamente por la parte izquierda con amplitud A , se toman en cada región las soluciones de la partícula libre.

Imponiendo las condiciones a la frontera en el origen, se obtiene in mediatamente que, C 1 I - ig V m llE ñ ^

^ \-Íg ^ m ¡ lE k ^ ' Como lo exige la conservación de la probabilidad

|p p + |t |* = l .

Problema 6. (a) Región I, x < 0 . Haciendo z = se obtiene una forma de la ecuación Bessel y, para la e n e ^ ía £ , la solución general se pue de expresar en la forma, = /47-y(ae*'“ ') -t- B J

,

donde

y = i V 2 ^ (2L/A) a = V2mñ(2L/ft). Región II, > 0. Haciendo z ■ P-Jp/Si. encuentra la solución general,

Condiciones a la frontera en x y dêldx .

, en ia misma forma se

0: Tienen que ser continuas V'e-

RESPUESTAS Y SO LU C IO N E·

(b) es real,

A

Estados ligados. E < 0 . Al e sc rib ir# "

tíi

(2 Llh ) ,

y=

en donde se ha escogido arbitrariamente el signo de laraÍE CU«dn
j (2 ) =

^

,

para z -» O (ver referencias [6] — ■[13] ), únicamente el término es admisible físicamente. Análogamente, también en la región II el único término físicamente admisible es Jr ■ Entonces, se tiene que

=AJy{aeî^‘-)

Son continuas en el origen 4»« Y d>j>E/dx, p o rlo cual se exige que

AJy(a) = BJy{a ) , y también ^

dJAa) da

j¡ dJy(a) da

Las soluciones serán A = B , dJy/da = 0, o bien, A - —B, /^{a) = O.Las primeras son pares y las segundas impares. Problema 8. (c) K ( p \ p ; t) =

6

{ p ~ p ' - Ft)

Problema 18. (a) Escribiendo a = b — —, íit = é t - —, se encuentra que H = €| - V /«i : (6t, />) = I. Al comparar con el oscilador annónico se encuentra que £„ = nci — , n = 0 , 1,2,. . . . CAPITULO V n Problema 3. (a) £(, = ftw/2 (exacto, ¿por qué? (b) £, = f f = 1.6 ftw

440

APENDICES

Problema 4. (a) £ = 5

, aproximadamente 1 % mayor que el valor co

rrecto ~ * 2 mL^ Problema 7.

— (] :)

¡)=-

Problema 9· (a) * > Imh Voi [2m ( £ - ^ 0 ) (b) 7 = í*“®', 8 (£) = - 2 V^bmlh Problema 15.

SS n^\

= 0,

Problema 16. (a) «Í»(í) = eos ^

»Íí, - ( sin

CAPITULO VIII

Problema 5. (a) ^ ft(o —donde m es la masa del elemento cargado. 2 ¿tfrtir (b) a = fie^lm'îí}^ (c) aceleración uniforme bajo la fuerza e& Problema 6. (a) A£ = (<í>io{jc,)<#>j(«(jfí)) H' \îo{x,)<)>2 o(xt))> donde <#»,o y <í>ío son las autofunciones del estado base para el oscilador armónico co rrespondiente a las partículas l y 2, reêctivam ente. Entonces,

j dxt j dx^

A £ = Vmim* exp VjWtfO*-·-ft/

’

I (»tiJCi* + majc,*) - (jci - jCí )*/íJ*^

RESPUESTAS V SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS

441

donde fi es la masa reducida ntiinJimi + m¡) (b) El resultado no cambia, pero el análisis es más simple. En las coordenadas del centro de masa, el hamiltoniano resulta ser,

î

*

y, por lo tanto, es separable. El problema se reduce al de una sola partícula, que es uno de los ejemplos discutidos en detalle en la Sec ción 3 del Capítulo VII.

Problema 12. (a)

= Epqn~

+ P + q + r+ s)h(i>,

donde p,q,r,s pueden tom ar todos tos valores enteros partiendo de cero y 0«(jí) es la n-ésima autofunción del oscilador armónico. (b) Al escribir p + q + r+ s — N se obtiene que, E ^ = i N + 2)htí>.

Entonces, la degeneración será el número de formas de combinar es tos cuatro números enteros no negativos para que siempre sumen N. Se puede demostrar que este número es (A^ -i- 1) (Af + 2) (A^ + 3)/6. Los cuatro primeros estados tienen degeneraciones 1,4,10 y 20 res pectivamente. La Tabla I exhibe los números cuánticos de estos esta dos degenerados, (c) Para partículas sin espín únicamente se pueden realizar físi camente los estados totalm ente simétricos bajo intercambio. El esta do base es simétrico automáticamente. Los cuatro estados para N = 1 forman un conjunto degenerado bajo intercambio y el único estado realizable sería una combinación simétrica de ellos. Para = 2, los estados en el grupo (a) son un conjunto degenerado bajo intercam bio, como también lo son los del grupo (b). Ya que estos dos grupos de estados son independientes, para N = 2 existen dos estados que se pueden realizar físicamente, la combinación simétrica de los estados del tipo (a) y la de los estados del tipo (b). ParaAf = 3 , po r u n a r g u mento análogo, existen tres estados que se pueden realizar físicamen te; las combinaciones simétricas de los estados degenerados bajo in tercambio de los tipos (a), (b) y (c) respectivamente,

442

APENDICES

N

pqrs

Degeneración

0000

0

1

1

4

IODO,

0100, 0010, 0001

10

2000, fllOO, (b) 0101,

0200, 0020, 0002 1010, 1001, 0110 0011

2

(a)

3000, 0300, 0030, 0003 1110, 1101, 1011, 0111 [2100, 2010, 2001, 1200, (c) 0210, 0201, 1020, 0120, l0021. 1002, 0102, 0012

(a) (b)

20

3

Tabla I. Números cuánticos y degeneraciones de los cuatro estados más bajos

(d) El estado base para partículas de espín 1/2 se identifica fácil mente usando el principio de exclusión de PaulL Es el estado N = 1 que corresponde a la combinación totalm ente antisimétrica de esta dos de una sola partícula en la cual dos partículas con espín opuesto se encuentran en el estado base y dos con espín opuesto se concen tran en el primer estado excitado. No está degenerado· CAPITULO IX Problema 3. (a) a = (b) el mismo resultado que si el campo fuera cero Problema 4.

Zel O

7 X 10-» Z ‘^'3 e V

Problema 6. (a)

=

/« = 0 , ± U ± 2 ,


#45

~ 2 MR^ (b)

A £J*> = 0

(c)

WKB;

E^-^-Vm-M gR

Problema 8. (a) ^,„=yr(í>,<í»)

Ei = kH{i +\ ) ¡ 2 MR·^ Problema 11. Probabilidad para el estado U ^0 .1 0 , para el estado 2 s = 0.25, para cualquier otro estado que no sea un estados, = 0. (Ver referencia [29], pp. 250-2). Problema ,

1 7 .

^

(a)

^

1

r

( - ’·!«*

» f r í P - - (27rA)3« J

. p

[

'

■ r

ft

1 /2o«V'* [1 + (pflo/ft)*]* p ( p ,

/) = 4 >^= ^ ¡ [ l + i paj hy]- * = p{p)

ps{E) = 2 M 2 mr >^ VÉp Í p = V 2 Ü ^ )

(b) Problema 19. (a)

Yukawa:

8

A* SfiR^

(b) Exponencial: € = al mismo ( [coincidencia!) (c)

Pozo cuadrado:

~ |

CAPITULO X Problema 1. (a) £ „ ( / = * ) = i £ , ( / = l ) (b)

= V r sine

. p^t ' 2mft d h

444

APENDICES

Problema 3. Algunos conmutadores típicos son los siguientes: =0; (L·χ,y) = ihz\ (L^, p„) = ifip;, Problema 7. Las parejas (i), (ii) y (v) conm utan; las otras no. ÍÍi(;3) comnutan sí y sólo si ñ y a son colineales.

y

Problema 11. (a)

J, = ( L , + S,) L,^ = hR{r) V m S,il>=^R(r) {VÍ 7 3 y . “ x + ~ V 2 / 3 y . > X-}

y por lo tanto,

(b) Densidad de probabilidad para espín hacia arriba: p+ = 4 | / í ( r ) p | r . l * . Densidad de probabilidad para espín hacia abajo: P _ = l l 7 í ( r ) | * | n ‘|*· (c) p+ + p _ = i | / i ( r ) | ^ (|í',1^ + 2|K.‘|*) 4TT

4ir

in*

Problema 13. (a) Todas son constantes de movimiento. (b) Excepto las componentes del mom ento lineal, todas son constantes de movimiento. (c) La energía y la paridad. (d) Lo mismo que en (b) (e) E y L, (f) Solamente E (g) E, Lz , Pr , Py (h) Lf, Px , Pj,, Problema 22, La probabilidad de que el átomo de hidrógeno perma nezca en su estado base es [1 + {mvaj l hyy*. (Ver Referencia [29], pp. 310-14).

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS

SELECCIONADOS

4 0

CAPITULO XI Problema 3. De acuerdo con la estimación variacional de ta ecuación (10), la energía de ligadura de H~ es IT _

>21 e* 256 ao'

Este resultado tiene que compararse con la energía del sistema diso ciado, un átom o de hidrógeno neutro más un electrón libre en infini to, La energía del estado base del sistema disociado es precisamente la energía de ligadura del átomo de hidrógeno, Entonces, en esta aproximación, el sistema es inestable a la disociación por tÍ* o sea de 0.7 eV aproximadamente. Naturalmente que el he cho de que el sistema H “sea estable, no viola el principio del mínimo para las energías del estado base ( ¿por qué?) Problema 7. Después de calcular la integral, la amplitud de disper sión en la aproximación de Bom para el pozo cuadrado se puede ex presar como

jÁ ^ k R sin 2kR sin I

*

donde y, es la función de Bessel esférica de orden uno (ver ecuación IX-61) dada por ., ,

sin z z*

eos z z ■

Entonces, la sección diferencial dajáíl = |/(ft) |* y la sección total es

( ImVgR^Y IT / , ____ t VA* / 2k^R^\ U^R^

sinAkR

sin* 2^«^ m *R *}'

Ahora se puede demostrar con relativa facilidad que el comporta miento a baja eneigía y a alta energía concuerda con lo esperado. (Ver Referencia [23] , pp. 168-9, para una discusión detallada). Problema 9. (a) o- = 2 X 10-“ cm* (b) o· y dirldü no se alteran (c) a· no cambia, pero dafáSl sí. (d) Número to tal dispersados por segundo ™ 4 x 10®; el número dispersado que llega al contador a 90“ es alrededor de seis por segundo.

APENDICES

446

Problema 10. Tomando el eje z a lo largo del campo magnético, la energía de un estado con número cuántico principal n, momen to angular total l y componente z igual a m, es

- - ( í ^ + 5xlO->»l,)eV. Los estados s no se afectan y los estados con / O se desdoblan en + 1 componentes igualmente espaciadas, cuya distancia en magni tud es de 5xlO-*eV aproximadamente. Considérese ahora el ténnino que se despreció (cuadrático) en 0 Ù , que se denotará por A . Ete acuerdo con la ecuación (67), 21

Ya que r es del orden de n*ao, donde n es el número cuántico princi pal, se tiene que. (A)

8mc®

n*.

Comparándolo con el desdoblamiento a primer orden resulta que

ieh&il2mc)

4ftc "

'

de donde se concluye que este ténnino es despreciable para casi to dos los números cuánticos de interés. Problema 13.

Para una partícula libre (H, p) = O y (H. x ) = TCotxde donde, co mo se esperaba,


447

pero,

Al notar que este resultado también se cumple para un electrón que no está libre sino que se mueve en un potencial estático, se concluye que c a juega el papel de un operador de velocidad en la teoría de Dirac. Debido a que los autovalores de cada componente de « son ± l, los autovalores del operador velocidad son ±c, lo que equivale a decir que una medición de la velocidad siempre da como resultado la magnitud de c. Este resultado paradójico se puede entender intuiti vamente en la siguiente forma. Una medición de la velocidad instan tánea impUca una medición precisa y absoluta de la posición en dos intervalos de tiempo separados infinitesimalmente. Pero, cualquier determinación precisa de la posición provoca una incertidumbre to tal en el momento, de modo que el momento promedio de las medi ciones resulta indefinidameAte grande. Entonces, la medición de la velocidad da siempre el resultado c. Para otra discusión ver la Refe rencia [30]. Problema 18. (a) O « a « 1,

Iy3| «e V a ( l - a)

(d) « = 2/3

^= 0

,

Indice Absorción de luz, 228 Adición del momento angulai, 348 - 357 Adjunto de un operador, 95 - 97 Algebra de matrices, 215 - 218 Amplitud de dispersión, 376, 387 Amplitud de probabilidad, 21,119,243,281 Conservación de la, 72-75,163-165 en el espacio de momentos, 3 5 ,2 4 4 , 282 para estados estacionarios, 84-83,105 Restricción impuesta por la, 90-91 Aniquilación y creación de pares, 410-411 Anticonm utadón, Relaciones de, 342, 346, 403 Anticonmutador, 342 Arfken, G„ 426 Armónicos esféricos, 292 Atomos hidrogénicos, 304 mesónicos mu, 311 tipo helio, 366-374 Autofunción radial, 293-297 Autofunciones y autovalores, 108-111 Autovalores de energía, para osciladores aco plados,-251,270 para panículas en una caja, 80-26, 283285 para el potencial delta 180,437 para el pozo exponencial, 181,438 para la partícula libre, 78-80 para el oscilador armónico, 138, 286 para el átomo de helio, 368-371 para átomos hidrogénicos, 308 - 309 en el pozo cuadrado, 130-135 en la aproximación WKB 186-196 Barrera de potencial {ver potencial de pozo cuadrado, efecto túnel) Bases, 202 - 215 B eck er,R ,A .,4 0 1 -4 2 7 Berg, P. W., 427

Bessel, funciones de, 302 Funciones de, esféricas 300 - 302 Bjorken, J.D., 428 Bohm, D„ 427 Bohr, Magnetón de, 400 Radio de, 308 - 309 Born, M„ 426 Botn, Aproximación de, 383 - 396 Validez de la aproximación de, 349-396 Bose-Einstein, Estadística de, 263 Bosones, 263 Campo electromagnético. Transformación de norma y, 397 Movimiento en el, 396 -4 0 1 Canónica,Transformación, 247 Cantor, D„ 174 Caswell, R. S-, 178 Cerradura, 107 -1 0 9 Clebsch-Gordan, Coeficientes de, 350 Configuración, Espacio de, 39-40,243 Compton. Efecto, 16 Longitud de onda, de 16 Conjunto completo de operadores que con mutan, 111-113,119 de autofunciones, 119,107 -109 Conjunto estadístico. Matriz de denudad pa ra un, 4 1 1 -4 1 6 Conmutador, 48 Constantes de movimiento, 67, 102 - 103, 247 -2 4 8 ,3 3 5 -336 Constante de estructura fina, 382 Coordenadas del centro de masa, 245 - 249 esféricas, 286 - 294 Relaciones de conmutación para el mo mento lineal y las, 47 - 49 Conelación en m eciiica cuántica, 254-257, 264 Correspondencia, Principio de, 17 -1 8

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INDICE

Restiieciones impuestas por el, 62-64, 98 ' 101_ Cuanto de acción, 5 Cuerpo negro, Radiación del, 14-16 Davisson y Germer, Experimento de, 5-8 Davydov, S. S., 427 Degeneración, 106-108,125-127 accidental, 296, 2 9 7 ,2 9 9 ,3 1 0 de intercambio, 258 para el átomo de hidrógeno, 310 para el campo central, 293 para la partícula en una caja, 284-285 para el oscilador armónico isótropo, 285 de Broglie, Ondas de, 12, 281 Longitud de onda de, 5 Dennary, P., 426 Densidad de estados, 225, 229-230, 285 Desfasamiento de dispersión, 378 en la transmisión a través de una barrera. Incremento en el tiempo asociado con el, 167 Aproximación WKB para el, 193 Deuterón, 298 Dicker, R. H„ 427 Dirac, P. A. M„ 427 Paréntesbde, 76,92-93, 97 Función delta de, 37-39,56 en tres dimensiones, 385 Ecuación de, 401 Dispersión, 374 Análisis del desfasamiento para la, 378381 Amplitud, de, 375, 387 en la aproximación de Born, 374-383 colombiana, 381 para partículas idénticas, 332, 383 Desarrollo en ondas parciales de la, 380 Ecuación integral para estados de, 386 Solución numérica de la, 169 -1 7 9 de paquetes de onda, 163-166, 374 DreU, S. D., 428 Ecuación de movimiento para la matriz de densidad,4l4 rara valores de expectación, 99,121 para funciones de estado (ver ecuación de Schrödinger) de Schrödinger dependiente del tiempo, (ver ecuadón de Schrödinger) en tres dimensiones, 279 independiente del tiempo, 79,105 radial, 293 para la partícula libre, 70 - 72 para el movimiento en un campo electro magnético, 398 para un sistema de partículas, 244

Efecto túnel. 1 1 ,1 6 2 -1 6 3 Ehrenfest, Teorema, de, 104 Eisberg, R. M„ 426 Emisión inducida de luz, 227-228 espontánea de luz, 228 Energía, Conservación de, 103 del punto cero, 139 Operador de, 195 Espacio de configuración, 39-40. 243; Espacio de configuración, 39-40. 243 de momentos, 34, 39, 243-245, 282 pata el oscilador armónico, 139-141 Propagador para aceleración uniforme en el, 182 Representación en el, 39-40, 244 Ecuación de Schrödinger en ei, 71, 101, 182 Espectro continuo, 125 discreto, 8 3,1 26 de energía, 8 3 ,105 ,125 para la partícula libre de Dirac, 409 Espín, 337 - 348 y la teoría de Dirac, 406 y estadística, 263 Adición de, 351-353 E spin ores, 403 - 405 Valores de expectación para, 407 Estadística de Bose-Einstein, 263 de Fermi-Dirac, 263 Estados antisimétricos, y principio de exclu sión, 2 6 1 -2 6 2 Estados base, 55 Estados continuos de la partícula libre, 30, 64-67,281. 300-303 en una dimensión, 125-126,158-165 y dispersión, 374 de momento lineal, 30, 281 como superposición de estados de mo mento angular, 303 y paquetes de onda, 32-35 de energía negativa de Dirac, 405, 409411 de la partícula libre en una dimensión, 59-80 estacionarios, 78-80,104-106 como conjunto ortogonal completo, 106 108 ligados, 83,126 Métodos numéricos para, 169-179 en la aproximación de Rayleigh-Ritz, 196-202 en la aproximación WKB, 194-196 quasiligados o quasi-estacionarios, 212215 Evolución en el tiempo de la matriz de den sidad, 414 de los valores de expectación 9 8 ,119

de funciones de estado, (ver ecuadón de Schròdingei) Factotizadón, Método de, para el momento angular, 322-330 del oadlador annónico, 140-147 Fermión, 263 Foiirici, Integrales de, 36-39 Series de, 36-37 Frank, N, H „ 427 F undón de onda de prueba, 199-201 de estado aceptable, 20 univaluadas, 292,327 Fundones de estados, 3 ,3 0-31,1 19 asociadas de Legendre, 292-293 NaturalcM compleja de las, 31, 71 -76 como autofunciones, 708-109 como superpoMción de estado estaciona rias, 83.105 para energía definida, 79, 81-83 de onda (ver Funciones de estado) Gauss, Integrales de fundones de, 423-425 Gausiano, Movimiento de un paquete, 68-70 Paquetes de ondas, para el oscilador ar monico, 156-157 Paquetes de onda, 51 para el poso cuadrado, 169-179 Potencial, 392 Giromagnetica, Razón (ver valor g) GoJdbers, A. I69n, 178n G oldstein,H .,427 Oreen, F u n d ó n de, 385-386 Grupo, Veloddad de, 62 Hamiltoniano en coordenadas del centro de masa, 247-248 en un campo electromagnético externo, 396-398,411 Operador, 100, 244,280-281 para sistemas de partículas idénticas, 257, 261 relativista, 401,411 HamweU, O. P., 372n, Heisenberg, Prindpio de incertidumbre de, (ver Principio de incertidumbre) Representadón de 99n Hermite, Polinomios de 139-144 Función generadora de los, 153 Representadón integral de los, 153 Hidrógeno, átomo de, 304 Autofunciones del, 309 Degeneradón del, 309 M oléóilade, 416 Niveles de energía del. 309 H oIton,G „426 Hsi h, Y„ 254n

para el m om m to M fllH í 1 para la* coo rden idtl y l l r 53,116 para ta energía y el tiempo, 54 ,1 1 4 Integral de intercambio, 27 4,370 Intercambio de partículas Idéntlou, 2ÍT Degeneración bajo el, 258 Operadores de, 257, 275 Sim euía bajo el, 259-266 Interferencia y principio de superporidón, 22

Invariancia bajo rotaciones, 336 bajo translaciones, 335 de Galileo, 36^365 de norma, 397 Inverso de un operador, 240n, 361 Jackson, J. D„ 427 Kennard, E. H,, 426 Klein-Gordon, Ecuadón de, 4014 02 Kraut. E. A„ 426 Kronecker, Símbolo de, la delta de, 83 ,1 0 6 Krzywicki, A , 426 Laguerre, Polinomios de, 307 Polinomios asociados, 306-307 Lamb, Corrimiento, 4 U n . Landau, L. D., 427 Lauritsen, T„ 426 Legendre, Desarrollo de una onda plana en polinomio de, 303 Pol¿iomios de, 292-293 Polinomios asociados de, 292-293 Leighton, R. B., 426 Lím ite clásico, 18,186 Lifshitz, E. M„ 427 Masa reducida, 246 Manético, Número cuántico, 400 Margenau, H., 426 Marión, J. B., 427 McGregor, J. L., 427 Matriz, Adjunto de una, 216-218 de densidad, 411-416 Ecuación de movimiento para la, 415 para estados puros, 415 de los operadores de espín, 343-344 de espín, 345 de tos espinores, 408 Elementos de, 204, 215 hermitiana, 217 Representación de operadores como, 215-216 Traza de una, 413

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INDICE

Transpuesta de una, 217 Medición de observables, 111 Melkanoff. M. A., 174n, 178n Método variacional {ver aproximación de Rayleigh-Rìte) Messiah, A , 427 Metastable, Estado, 212 Molécula diatómica, 251, 254,416 Momento angular, 289*292, 318-354 Adición de, 348-354 Autovalores del, 289-292, 322, 329 Conservación del, 335 intrinseco o espinorial, 336-348 o rb ital 289-296,318-322 Operadores de, 289-290, 318-320 Paridad de los estados de, 294 Relación entre estados de momento lineal deOnido y. Relaciones de conmutación para el, 318320 Relaciones de incertidumbre del, 330 Rotaciones y, 334-336 total, 321,329, 348-357 Momento dipolar electiico, 193n, 241, 251 inducido, 251 thagnético, 400 Movimiento relativo, 249 Murphy, G. M,, 426 Nodvik. I. S„ 173n Normalización, Condición de, 21 y aceptación física, 21 Número cuántico principal, 309 Observables, 3 simultáneos, 111-113 Conjunto completo de, 111-112, 119 como operadores hermitiano«, 91-93 Observaciones, 3 Como operadores hermitianos, (ver tam bién principio de incertidumbre). Ondas parciales, 303, 378-379 Operador adjunto 95-97 autoadjunto, 96 de aniquilación y creación, 140-142 de proyección para la paridad, 128 el intercambio, 275 de posición, 40-45, 243 Representación del, 147-153 Operadores, Algebra de, 45-47 Autofunciones orttônales de, 108-111 como variables dinámicas, 40-45, 91-93, 119 de ascenso y descenso para el momento angular, 322,331-333 del momento lineal, 4 0 4 5 ,2 4 3 , 279-280 como observables, 108-111

hermitianos, 91-93 para el oscilador armónico, 140-143 Optico, Teorema, 380 Ortogonalidad de autofunciones, 108-110 Oscilador armónico, 135-157 Autofunciones del, en el espacio de con figuración, en el espacio de a e a d ó n , 151 de momentos, 140 Movimiento de un paquete de ondas en un potencial de, 154-157 Propagador, del 155 (ver también oscilador anarmónico) Osciladores armónicos acoplados, 251-254, 260-261,269-272, 276-278 Paquetes de ondas 32, 50-53 de incertidumbre mínima, 117 como superposición, 32-35 Dispersión de, 163-178, 375 Ensanchamiento de, 28,62-64 Movimiento de, 118-119 para la partícula libre, 64-70 para el oscilador armónico, 154-157 y límite clásico 26-28,68-70 y velocidad de grupo, 59-62 Paridad, 127-129 de estados de momento angular, 294 y reglas de selección, 207 Park, D., 427 Partículas idénticas, 257-275 y degeneración de intercambio, 257-258 Dispersión de, 382-383 en una caja, 80-87, 284-285, 302 E ^ ín y estadística de, 263 y simetría de funciones de estado, 259^ 266 Pauli, Operadores de, 346 Teoría de dos componentes de, 347 Principio de exclusión de, 263-264 Pauiing, L„ 427 Penetración de bañeras, (ver efecto túnel) Periódicas, Condiciones a la frontera, 120, 229-231, 285 Planck, Constante de, 4-5 Polarización, Vector y matriz de densidad de, 420 Ecuación de m olim iento para el vector de, 421 Polarizabilidad, 251 del átomo de hidrógeno, 314 del oscilador isótropo, 311 Posición, Operador de, 40-45, 244 Potencial culombiano escudado, 418 central, 286-297 Dispersión por un, 378-381 centrífugo, (ver potendal radial efectivo)

l

INDICE

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magnético, 398 de fundó n delta, 180,437-438 para un sistema de partícula« en tres di radial efectivo, 294-297 mensiones, 281 Potencias, Método de serie de, Schawartz, J, L„ 169n, 178n, para el átomo de hidrógeno, 304-307 Desigualdad de, 115 para el osdlador annónico, 135-140 Pozo aladrado, Estados Ugados en un, 130- Sepaiadón de variables, 7 8, 290 Sección diferendal, 376 135 Estados continuos de un, 158-163 de Rutherford, 382 en tres dimenúones, 298 total, 379 Probabilidad, Densidad de, 90-91 Teorema de la, 380 en el espado de momentos, 35, 244 Simetría. Clasificación de estados por, 127Conservadón de la, 72-75,164-165 129, 259, 263 Restricdón impuesta por la, 90-91 Propiedades de, para partículas idénticas, Fhijo de, 164 259-275 Probabilística, Inteipretadón, 2 0 ,2 2 , 83-86 Simetrización de estados pata partículas Producción y aniquilación de pares, 410 idénticas, 265-272, 278 Propagador, 64-66.118-119, 122 Singulete, Estados, 354,370-371 para aceleración uniforme, 182,4 3 9 Slater, J. C , 372n, 427 para la partícula libre, 65, 311 Determínate de, 264 para el oscilador armónico, 154-155, 311 Sokolmikoff, A,, 426 para una partícula en una câ, 85 Sommerfeld, A,, 426 Punto de vuelu, 125-126 Stehle. P., 427 Ramsauer, Efecto, 13 Rayleigh-Ritz, Aproximación de, 196-202 y el oscilador armónico, 201-202 y átomos tipo helio, 367-369 y teoría de perturbación, 205 Cotas superiores en la aproxim adón de, 199-200 funciones de prueba para la, 200-201 Radiadón del cuerpo negro, 14-16 Raynal, S., I74n Rapidez de transidón, 226 Redheffer, R .M „4 2 7 Reflexión, Coefidente de, 8 -9,1 54,16 3 Regla del triángulo, 349n Richtmyer, F. Κ . , 426 Roller, D. H. D.. 426 Rotación, Operadores de, 334-335 Rotadones inflnitesimales, 335 Rutherfoid, Sección de, 382 Saxon, D. S., 174n Sawada, T„ 174n Schery,H. M. 169n, 178n. schiff, L. S., 427 Schmidt, Método de ortogonalización de, 107,120 Schrödinger, Ecuadón de, para la partícula Übre, 70-72 dependiente del tiempo, (ver ecuación de Schrödinger) en el espacio de momentos, 67,101 en tres dim enáones, 281 independiente del tiempo, 79,105 para el movimiento en un campo electro-

Tabla periódica, 372 Teoría cuántica vs. cuántica, 1-4, 8-14, 2629,69-70, 381-383 (ver también principio de corresponden cia) Teoría de perturbación, degenerada (ver teo ría de pertuibadón estacionaria y teoría dependiente del tiempo) a segundo orden, 205-206 C ota superior para la corrección a segun do orden en la, 208 estacionaria, 202-215, 218-222 Interpretadón física de la, 205-207 para estados degenerados o estados veci nos, 218-222 pata estados no degenerados, 224 para estados no degenerados a primer or den, 205 para la dispersión, 388-390 repentina, 239 para sistemas de partículas, 207 Regla de oto para la 226, 228 Validez de la, 224, 228 y reglas de selección, 207 Transformación de Galileo, 363-365 de norma y campo electromagnético, 397-399 y la ecuación de Schrödinger, 399 Transformaciones como operadores, 334-337 361-365 Translación, Operadores de, 336 Transmisión, Coeficiente de, 9-11 ,159,1 63 Triplete, Estados, 354, 370-371 Trigg, G. L„ 427

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Tiaza de una matriz, 413 Valor 400-401,401n. Valor de expectación, 24*26,119. 282 de la posición y el momento lineal, 4144 en el espacio espinorial, 343-345 de espinotes, 408 Ecuaciones de movimiento para, 98,121 Variables dinámicas como operadores, 3,434 5 ,6 7 ,9 1 -9 3 ,1 1 9 Variacional, Método, (ver aproximación Rayleigh-Ritz) Vector de polarización y matris de densidad 420,

Ecuación de movimiento para el, 421 Wibon, E. B., 427 iTittlce, J ,P „ 4 2 7 WKB, Aproximación, 186-196 para estados ligados, 194-196 para estados continuos, 192-193 Validez de la, 189-193 Yukawa, Potencial de, 390 Zeeman, Efecto, 3 38,4 0040 1

-Λ

Elementos de Mecánica Cuántica - David S. Saxon.pdf

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