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Capítulo 29. Magnetismo y el campo magnético Campos magnéticos 29-1. Una espira rectangular tiene un área de 200 cm2 y el plano de la espira forma un ángulo de 41º con un campo magnético de 0.28 T. ¿Cuál es el flujo magnético que penetra la espira? A = 200 cm2 = 0.0200 m2; θ = 41º; B = 0.280 T

φ = BA sen θ = (0.280 T)(0.0200 m2) sen 41º; φ = 3.67 mWb 29-2. Una bobina de alambre de 30 cm de diámetro está en dirección perpendicular a un campo magnético de 0.6 T. Si la bobina gira hasta formar un ángulo de 60º con ese campo, ¿cómo cambiará el flujo? A=

π D2 4

=

π (0.30 m) 2 4

; A = 7.07 × 10–2 m2; Δφ = φf – φo

φ0 = BA sen 90º = (0.6 T)(0.0707 m 2 )(1); φ0 = 42.4 mWb

φ f = BA sen 60º = (0.6 T)(0.0707 m2 )(1); φ f = 36.7 mWb Δφ = φf – φo = 36.7 mWb – 42.4 mWb; Δφ = –5.68 mWb

29-3. Un campo horizontal constante de 0.5 T atraviesa una espira rectangular de 120 mm de largo y 70 mm de ancho. Determine cuál será el flujo magnético que atraviesa la espira cuando su plano forme los siguientes ángulos con el campo B: 0º, 30º, 60º y 90º. [Área = (0.12 m)(0.07 m) = 8.40 × 10–3 m2]

φ = BA sen θ; BA = (0.5 T)(8.4 × 10–3 m2) = 4.2 × 10–3 T m2 φ1 = (4.2 × 10–3 T m2) sen 0º = 0 Wb;

φ2 = (4.2 × 10–3 T m2) sen 30º = 2.10 mWb

φ3 = (4.2 × 10–3 T m2) sen 60º = 3.64 mWb; φ1 = (4.2 × 10–3 T m2) sen 90º = 4.20 mWb

438

Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 29

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29-4. Un flujo de 13.6 mWb pasa a través de una espira de alambre de 240 mm de diámetro. Encuentre la magnitud de la densidad de flujo magnético si el plano de la bobina es perpendicular al campo. A= B=

π D2 4

=

φ Asenθ

π (0.240 m) 2 4 =

; A = 4.52 × 10–2 m2; φ = BA sen θ

0.0136 Wb ; (4.52 × 10−2 m 2 )(1) B = 0.300 T

29-5. Un campo magnético de 50 μWb pasa a través de una espira perpendicular de alambre cuya área es 0.78 m2. ¿Cuál es la densidad de flujo magnético?

B=

φ Asenθ

=

50 × 10−6 Wb ; (0.78 m2 )(1) B = 64.1 μT

29-6. Una espira rectangular de 25 × 15 cm está orientada de manera que su plano forma un ángulo θ con un campo B de 0.6 T. ¿Cuál es el ángulo θ si el flujo magnético que enlaza con la espira es de 0.015 Wb? A = (0.25 m)(0.15 m) = 0.0375 m2; φ = 0.015 Wb

φ = BAsenθ ; senθ =

φ BA

=

0.015 Wb ; (0.6 T)(0.0375 m 2 )

θ = 41.8º

439



La fuerza sobre una carga en movimiento 29-7. Un protón (q = +1.6 × 10−19 C) es inyectado de derecha a izquierda en un campo B de 0.4 T dirigido hacia la parte superior de una hoja de papel. Si la velocidad del protón es de 2 × 106 m/s, ¿cuáles son la magnitud y el sentido de la fuerza magnética sobre el protón? Hacia dentro

B F = qvB⊥ = (1.6 × 10-19 C)(2 × 106 m/s)(0.4 T) F = 1.28 × 10–13 N, hacia dentro del papel

v Regla de la mano derecha

29-8. Una partícula alfa (+2e) se proyecta en un campo magnético de 0.12 T con una velocidad de 3.6 × 106 m/s. ¿Cuál es la fuerza magnética sobre la carga en el instante en que la dirección de su velocidad forma un ángulo de 35º con el flujo magnético? [q = 2 (1.6 × 10–19 C) = 3.2 × 10–19 C] F = qvB senθ = (3.2 × 10–19 C)(3.6 × 106 m/s)(0.12 T) sen 35º; F = 7.93 × 10–14 N 29-9. Un electrón se mueve a una velocidad de 5 × 105 m/s formando un ángulo de 60º al norte de un campo B dirigido al este. El electrón experimenta una fuerza de 3.2 × 10−18 N dirigido hacia dentro de la página. ¿Cuáles son la magnitud de B y la dirección de la velocidad? A fin de que la fuerza esté hacia ADENTRO del papel para una carga NEGATIVA, el ángulo de 60° debe estaral SE:

θ = 60º SE B=

N

B

−18

F 3.2 × 10 N = ; qvsenθ (1.6 × 10−19 C)(5 × 105 m/s)

600

E

v

B = 46.3 μT

440



29-10. Un protón (+1e) se mueve verticalmente hacia arriba a una velocidad de 4 × 106 m/s. Pasa a través de un campo magnético de 0.4 T dirigido a la derecha. ¿Cuáles son la magnitud y el sentido de la fuerza magnética?

v B

F = qvB⊥ = (1.6 × 10 −19 C)(4 × 106 m/s)(0.4 T) ;

F = 2.56 × 10–13 N, dirigido hacia dentro del papel

La fuerza es hacia dentro

29-11. Si un electrón sustituye al protón del problema 29-10, ¿cuáles serán la magnitud y el sentido de la fuerza magnética? La dirección de la fuerza magnética sobre un electrón es opuesta a la del protón, pero la magnitud de la fuerza no cambia, ya que la magnitud de la carga es la misma. Fe = 2.56 × 10–13 N, hacia afuera del papel

*29-12. Una partícula con carga q y masa m se proyecta hacia el interior de un campo B dirigido hacia dentro de la página. Si la partícula tiene una velocidad v, demuestre que será desviada y seguirá una trayectoria circular de radio igual a: R = mv qB . Dibuje un diagrama del movimiento, asumiendo una carga positiva que entra al campo B de izquierda a derecha. El campo magnético proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular.

FC =

mv 2 ; R

FB = qvB; R=

mv 2 = qvB , de lo cual: R mv qB

El diagrama muestra que la fuerza magnética es una fuerza centrípeta que actúa hacia el centro causando que la carga se mueva en un círculo a contra reloj del radio R.

441



*29-13. Un deuterón es una partícula nuclear formada por un protón y un neutrón unidos entre sí por fuerzas nucleares. La masa del deuterón es de 3.347 × 10−27 kg, y su carga es de +1e. Se ha observado que un deuterón proyectado dentro de un campo magnético cuya densidad de flujo es de 1.2 T viaja en una trayectoria circular de 300 mm de radio. ¿Cuál es la velocidad del deuterón? Véase el problema 29-12. mv 2 mv 2 qRB FC = ; FB = qvB; = qvB; v = R R m

qRB (1.6 × 10−19 C)(0.3 m)(1.2 T) v= = ; m 3.347 × 10−27 kg v = 1.72 × 107 m/s Nota: Esta velocidad, aproximadamente 6% de la velocidad de la luz, aún es lo suficientemente rápida para causar efectos significativos debidos a la relatividad (véase el capítulo 38).

Fuerza sobre un conductor que conduce corriente 29-14. Un alambre de 1 mm de longitud conduce una corriente de 5.00 A en dirección perpendicular a un campo magnético B de 0.034 T. ¿Cuál es la fuerza magnética sobre el alambre? F = I B⊥ l= (5 A)(0.034 T)(1 m); F = 0.170 N

29-15. Un alambre largo conduce una corriente de 6 A en una dirección 35º al norte de un campo magnético de 0.04 T dirigido al este. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza sobre cada centímetro del alambre? I 350

F = Il B sen θ = (6 A)(0.040 T)(0.01 m)sen 35º

B

F = 1.38 × 10–3 N, hacia adentro del papel La fuerza es hacia dentro del papel, como se puede ver girando I dentro de B para avanzar hacia dentro un tornillo.

442



29-16. Un trozo de alambre de 12 cm conduce una corriente de 4.0 A formando un ángulo de 41º al norte de un campo B dirigido al este. ¿Cuál deberá ser la magnitud del campo B para que produzca una fuerza de 5 N sobre ese trozo de alambre? ¿Cuál es la dirección de la fuerza? B=

F 5.00 N = ; Ilsenθ (4.0 A)(0.12 m) sen 41º B = 15.9 T

La fuerza está dirigida hacia dentro, de acuerdo con la regla de la mano derecha.

29-17. Un trozo de alambre de 80 mm forma un ángulo de 53º al sur respecto a un campo B de 2.3 T dirigido al oeste. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la corriente en ese alambre si experimenta una fuerza de 2 N dirigida hacia fuera de la página? B = 2.30 T; l = 0.080 m; θ = 53º; F = 2.00 N

B

F 2.00 N = ; Blsenθ (2.3 T)(0.080 m)sen53º

530

I=

I

I = 13.6 A

La corriente debe ser dirigida 53° NE si I se vuelve dentro de B y produce una fuerza hacia fuera.

*29-18. La densidad lineal de cierto alambre es de 50.0 g/m. Un segmento de este alambre conduce una corriente de 30 A en dirección perpendicular al campo B. ¿Qué magnitud deberá tener el campo magnético para que el alambre quede suspendido, equilibrando su peso?

λ=

m ; m = λ l ; W = mg = λ l g; FB = W = λ l g ; FB = I lB l

λlg = IlB; B =

B

λg I

=

(0.050 kg/m)(9.8 m/s 2 ) ; 30 A B = 16.3 mT

443



Cálculo de campos magnéticos 29-19. ¿Cuál es la inducción magnética B en el aire en un punto localizado a 4 cm de un alambre largo que conduce una corriente de 6 A?

B=

μ0 I (4π x 10-7 T ⋅ m/A)(6 A) = ; 2π l 2π (0.04 m) B = 30.0 μT

29-20. Calcule la inducción magnética que existe en el aire a 8 mm de un alambre largo que conduce una corriente de 14.0 A.

B=

μ0 I (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(14 A) = ; 2π l 2π (0.008 m) B = 350 μT

29-21. Una bobina circular con 40 vueltas de alambre en el aire tiene 6 cm de radio y está en el mismo plano de la página. ¿Qué corriente deberá pasar por la bobina para producir una densidad de flujo de 2 mT en su centro? B=

I=

μ 0 NI 2r

;

I=

2rB μ0 N

2(0.06 m)(0.002 T) ; (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(40) I = 4.77 A

29-22. Si la dirección de la corriente en la bobina del problema 29-21 es en el sentido de las manecillas del reloj, ¿cuál es la dirección del campo magnético en el centro de la espira? I Si toma la espira con su mano derecha de modo que el pulgar apunte en la dirección de la corriente, se ve que el campo B debe estar dirigido hacia fuera del papel, en el centro de la espira.

444



29-23. Un solenoide de 30 cm de longitud y 4 cm de diámetro tiene un devanado de 400 vueltas de alambre enrolladas estrechamente en un material no magnético. Si la corriente en el alambre es de 6 A, calcule la inducción magnética a lo largo del centro del solenoide. B=

μ0 NI l

=

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(400)(6 A) ; 0.300 m B = 10.1 mT

29-24. Una bobina circular con 60 vueltas tiene 75 mm de radio. ¿Qué corriente deberá existir en la bobina para que se produzca una densidad de flujo de 300 μT en el centro de la bobina? I=

2rB 2(0.075 m)(300 × 10−6T) = ; μ0 N (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(60) I = 0.597 A

*29-25. Una espira circular de 240 mm de diámetro conduce una corriente de 7.8 A. Si la sumerge en un medio de permeabilidad relativa de 2.0, ¿cuál será la inducción magnética en el centro? r = ½(240 mm) = 120 mm;

μ = 2μ0 = 8π × 10–7 T m/A B=

μ NI 2r

=

(8π × 10−7 T ⋅ m/A)(1)(7.8 A) ; 2(0.120 m) B = 81.7 μT

*29-26. Una espira circular de 50 mm de radio que se encuentra en el mismo plano que la página conduce una corriente de 15 A en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Está sumergida en un medio cuya permeabilidad relativa es de 3.0. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la inducción magnética en el centro de la espira?

B=

μ NI 2r

=

3(4π x 10-7 T ⋅ m/A)(1)(15 A) ; 2(0.050 m) B = 565 μT

445



Problemas adicionales 29-27. Una carga de +3 μC se proyectó con una velocidad de 5 × 105 m/s sobre el eje x positivo perpendicular a un campo B. Si la carga experimenta una fuerza ascendente de 6.0 ×10−3 N, ¿cuáles tendrán que ser la magnitud y la dirección del campo B? F v = 5 × 105 m/s

F = qvB sen θ;

F 6 × 10−3 N B= = qv (3 × 10−6 C)(5 × 105 m/s) B = 4.00 mT, dirigida hacia dentro La dirección por la regla de la mano derecha 29-28. Una carga desconocida se proyecta a una velocidad de 4 × 105 m/s de derecha a izquierda en un campo B de 0.4 T dirigido hacia fuera de la página. La fuerza perpendicular de 5 × 10−3 N hace que la partícula se mueva en círculo en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son la magnitud y el signo de la carga? Si la carga fuera positiva, la fuerza debiera ser hacia abajo por la regla de la mano derecha. Puesto que es hacia arriba, la carga debe ser negativa. La magnitud se encuentra de la forma siguiente: F = qvB sen θ; q =

F 5 × 10−3 N = ; q = 31.2 nC vB (4 × 105 m/s)(0.4 T)

F v

Por consiguiente, la carga es: q = –31.2 nC 29-29. Una carga de −8 nC se proyecta hacia arriba a 4 × 105 m/s en un campo B de 0.60 T dirigido hacia dentro de la página. El campo produce una fuerza (F = qvB), que también es una fuerza centrípeta (mv2/R). Esta fuerza hace que la carga negativa se mueva en un círculo de 20 cm de radio. ¿Cuál es la masa de la carga, y ésta se mueve en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario?

446



mv 2 qBR (8 × 10−9 )(0.6 T)(0.20 m) = qvB; m = = R v 4 × 105 m/s

v

m = 2.40 × 10–15 kg

F

Puesto que la carga es negativa, la fuerza magnética está a la izquierda y el movimiento es en sentido de las manecillas del reloj.

29-30. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo B 6 cm por arriba de un largo trozo de alambre que conduce una corriente de 9 A en dirección hacia fuera de la página? ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo B 6 cm debajo del alambre? Doblando los dedos alrededor del alambre con el pulgar apuntando hacia fuera se muestra que la dirección del campo B es a contra reloj alrededor del alambre. B1 =

μ0 I (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(9 A) = ; 2π l1 2π (0.06 m)

B1

B1 = 30 μT, a la izquierda B

B2 =

μ0 I (4π × 10 T ⋅ m/A)(9 A) = ; 2π l2 2π (0.06 m)

6 cm

−7

B1 = 30 μT, a la derecha

6 cm

B

B2

29-31. Un trozo de alambre de 24 cm de longitud forma un ángulo de 32º por encima de un campo horizontal B de 0.44 T sobre el eje x positivo. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la corriente necesaria para producir una fuerza de 4 mN dirigida hacia fuera de la página? La corriente debe ser de 32° hacia abajo y a la izquierda.

I=

F 4 × 10-3 N = ; lBsenθ (0.24 m)(0.44 T)sen 32º I = 71.5 mA

447



*29-32. Un selector de velocidad es un dispositivo (figura 29-26) que aprovecha los campos cruzados E y B para elegir los iones que se mueven a una misma velocidad v. Los iones positivos de carga q son proyectados hacia los campos perpendiculares con distintas velocidades. Los iones que tienen velocidad suficiente para hacer que la fuerza magnética sea igual y opuesta a la fuerza eléctrica pasan a través de la rendija del fondo sin desviarse. Demuestre que la velocidad de esos iones se puede calcular a partir de

v = E B. La fuerza eléctrica (qE) debe equilibrar la fuerza magnética (qvB) para una desviación cero: qE = qvB;

v=

E B

29-33. ¿Cuál es la velocidad de los protones (+1e) inyectados en un selector de velocidad (véase el problema 29-32) si E = 3 × 105 V/m y B = 0.25 T? v=

E 3 × 105 V/m = ; B 0.25 T v = 1.20 × 106 m/s

*29-34. Un solo ion de Li7 cargado (+1e) se acelera a través de una diferencia de potencial de 500 V y después penetra en ángulos rectos en un campo magnético de 0.4 T. El radio de la trayectoria circular resultante es de 2.13 cm. ¿Cuál es la masa del ion de litio? Primero halle la velocidad de entrada a partir de consideraciones de energía: Trabajo = Δ(E.C.)

qV = ½ mv 2 ; v =

2qV mv 2 qBR ; y . = qvB; v = m R m

Ajuste v = v:

2qV qBR 2qV q 2 B 2 R 2 qB 2 R 2 = o = y m = m m m m2 2V m=

qB 2 R 2 (1.6 × 10−19C)(0.4 T) 2 (0.0213 m)2 = ; 2V 2(500 V) m = 1.16 × 10–26 kg

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*29-35. Un solo ion de sodio cargado (+1e) se mueve a través de un campo B a una velocidad de 4 × 104 m/s. ¿Cuál tendrá que ser la magnitud del campo B para que el ion describa una trayectoria circular de 200 mm de radio? (La masa de ion es 3.818 × 10−27 kg.)

mv 2 mv (3.818 × 10−27 kg)(4 × 104 m/s) = qvB; B = = ; R qR (1.6 × 10−19 C)(0.200 m) B = 4.77 mT

*29-36. Las secciones transversales de dos alambres paralelos se muestran en la figura 29-27, colocadas a 8 cm de distancia entre sí en el aire. El alambre de la izquierda conduce una corriente de 6 A hacia fuera de la página y el alambre de la derecha transporta una corriente de 4 A hacia dentro de la página. ¿Cuál es la inducción magnética resultante en el punto medio A ocasionada por ambos alambres? Aplicando la regla del pulgar derecho, ambos campos están HACIA ARRIBA.

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(6 A) B6 = = 30.0 μT, hacia arriba 2π (0.04 m) B4 =

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(4 A) = 20.0 μT, hacia arriba 2π (0.04 m) 6A

BR = 30 μT + 20 μT;

B6 B4

4 cm

4A

4 cm

B

A

BR = 50 μT, hacia arriba B

*29-37. ¿Cuál es el campo magnético resultante en el punto B situado 2 cm a la derecha del alambre que conduce 4 A? Encuentre los cambios debidos a cada alambre, y después súmelos como vectores en el punto 2 cm a la derecha.

B6 =

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(6 A) = 12.0 μT, hacia arriba 2π (0.10 m)

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(4 A) = 40.0 μT, hacia abajo 2π (0.04 m) 6A BR = 12 μT – 40 μT; B4 = B

8 cm

B6

4A 2 cm

BR = 28 μT, hacia abajo B

B4

449



*29-38. Dos alambres paralelos (véase la figura 29-28) por los cuales circulan las corrientes I1 e I2 están separados por una distancia d. Demuestre que la fuerza por unidad de longitud F/l que cada alambre ejerce sobre el otro se calcula mediante la ecuación siguiente: F μI 1 I 2 = l 2πd

El alambre 1 se encuentra en un campo magnético creado por la corriente del alambre 2. Así, la fuerza en el alambre 1 debida a su propia corriente se puede calcular con: F1 = I1 B2l1 y B2 =

μ I2 ⎛ μI ⎞ ; F1 = I1 ⎜ 2 ⎟ l1 (Fuerza en el alambre 1 debido a B2) 2π d ⎝ 2π d ⎠

El mismo resultado se podría obtener considerando la fuerza en el alambre 2 debida a B, Así: F μ I1 I 2 = 2π d l

*29-39. Dos alambres tendidos en un plano horizontal conducen corrientes paralelas de 15 A cada uno y están separados 200 mm en el aire. Si ambas corrientes se dirigen a la derecha, ¿cuáles son la magnitud y la dirección de la densidad de flujo en un punto intermedio entre los alambres? I1 = 15 A

Las magnitudes de los campos B en el punto medio son las mismas, pero Bsuperior es hacia dentro y Binferior es hacia fuera, d

de modo que Bneta = 0. Bpuntomedio = 0

I2 = 15 A

B

*29-40. ¿Cuál es la fuerza por unidad de longitud que ejerce cada uno de los alambres del problema 29-39 sobre el otro? ¿Es de atracción o de repulsión?

F μ0 I1 I 2 (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(15 A)(15 A) = = ; l 2π d 2π (0.200 m) F = 2.25 × 10 −4 N/m, atracción l

I1 = 15 A d

F

atracción

I2 = 15 A

La fuerza en el alambre superior debida a Binferior es hacia abajo. La fuerza en el alambre inferior es hacia arriba.

450



*29-41. Un solenoide de 20 cm de longitud y 220 vueltas conduce una corriente de bobina de 5 A. ¿Cuál tendrá que ser la permeabilidad relativa del núcleo para producir una inducción magnética de 0.2 T en el centro de la bobina? B=

μ NI L

;μ=

BL (0.2 T)(0.20 m) = ; NI (220)(5 A)

μ = 3.64 × 10 –5 T⋅m/A μr =

μ 3.64 × 10−5T ⋅ m/A = ; μ0 4π × 10−7 T ⋅ m/A μr = 28.9

*29-42. Un trozo de alambre de 1 m está fijo e inmovilizado y conduce una corriente de 6 A en dirección norte. Otro trozo de alambre de 1 m se localiza 2 cm arriba del alambre fijo. Si el alambre superior tiene una masa de 40 g, ¿cuáles tendrán que ser la magnitud y la dirección de la corriente en dicho alambre superior para que su peso quede equilibrado por la fuerza magnética debida al campo del alambre fijo?

F

F = mg = (0.04 kg)(9.8 m/s2) = 0.00392 N; F μ0 I1 I 2 = 2π d l I1 =

2 cm

2π dF 2π (0.02 m)(0.00392 N) ; I1 = 65.3 A = μ o I 2l (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(6 A)(1 m)

I1 = ? mg

I2 = 6 A, norte

La dirección de I1 debe ser hacia el sur (izquierda) para producir una fuerza hacia arriba. I1 = 65.3 A, sur

451



*29-43. ¿Cuál es el campo magnético resultante en el punto C de la figura 29-27?

μ0 I 4 (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(4 A) B4 = = = 10.0 μ T ; 2π d 2π (0.08 m) B6 =

μ0 I 4 (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(6 A) = = 15.0 μ T ; 2π d 2π (0.08 m)

B6 600

Las reglas de la mano derecha dan las direcciones de B4 y B6 como se muestra.

B4

C

8 cm

B4 = 15 μT, 60 NE; B6 = 10 μT, 60º NO

600

8 cm

0

B

B

6A

Bx = (10 μT) cos 60º – (15 μT) cos 60º = –2.50 μT

600 4 cm By = (10 μT) sen 60º + (15 μT) sen 60º = 21.65 μT B = ( −2.5)B26+ (21.65) 2 B

B

B = 21.8 μT tan θ =

21.65 μ T ; −2.5 μ T

600

8 cm

θ = 96.6º

6A

600 4 cm

4A

600 4 cm B4

600

C

8 cm 600 4 cm

4A

Problemas para la reflexión crítica *29-44. Un campo magnético de 0.4 T se dirige hacia dentro de la página. Se inyectan tres partículas al campo en dirección ascendente, cada una con una velocidad de 5 × 105 m/s. Se observa que la partícula 1 se mueve en la dirección de las manecillas del reloj formando un círculo de 30 cm de radio; que la partícula 2 se sigue desplazando en línea recta, y que la partícula 3 se mueve en sentido contrario al de las manecillas del reloj, en un círculo de 40 cm de radio. ¿Cuáles son la magnitud y el signo de la carga por unidad de masa (q/m) para cada una de las partículas?

452



La partícula 1 tiene una fuerza hacia la derecha en la entrada. Su carga es por consiguiente, negativa. La partícula 3 tiene una fuerza hacia la izquierda y por consiguiente es positiva. La partícula 3 tiene carga cero (no es desviada). mv 2 = qvB; R

q v = en cada caso. m RB

Partícula 1:

q v 5 × 105 m/s = = ; m RB (0.30 m)(0.4 T) q = −4.17 × 106 C/kg m

Partícula 3:

q v 5 × 105 m/s = = ; m RB (0.40 m)(0.4 T)

3 2 1

q = +3.12 × 106 C/kg m

La partícula2 tiene una carga y un cociente q/m cero (no hay desviación). *29-45. Una corriente de 4.0 A fluye a través de las bobinas circulares de un solenoide en dirección contraria a la de las manecillas del reloj cuando se observa a lo largo del eje x positivo, el cual está alineado con el núcleo de aire del solenoide. ¿Cuál es la dirección del campo B a lo largo del eje central? ¿Cuántas vueltas por metro de longitud se requieren para producir un campo B de 0.28 T? Si el núcleo de aire se sustituye por un material cuya permeabilidad relativa sea de 150, ¿cuánta corriente se necesitaría para producir el mismo campo de 0.28 T anterior? Al asir la bobina del lado cercano con el pulgar apuntando hacia arriba, muestra el campo en el centro que está dirigido a la izquierda (negativo). B=

n=

μ NI L

= μ nI , donde n =

I ; L

B 0.28 T = μ L (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(4 A) n = 55,000 vueltas/m

453



μ = μrμo = 150(4π × 10–7 T m/A) = 1.88 × 10–4 T m/A I=

B 0.28 T ; = -4 μ n (1.88 × 10 T ⋅ m/A)(55 000 vueltas/m)

I = 27.0 mA

*29-46. El plano de una espira de 50 cm de largo y 25 cm de ancho que conduce corriente es paralelo a un campo B de 0.3 T que se dirige a lo largo del eje x positivo. Los segmentos de 50 cm son paralelos al campo y los segmentos de 25 cm son perpendiculares. Cuando se mira desde arriba, la corriente de 6 A se mueve en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de la espira. Haga un dibujo en el cual muestre las direcciones del campo B y las direcciones de las corrientes en cada segmento de alambre. (a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que actúa en cada segmento del alambre? (b) ¿Cuál es el momento de torsión resultante sobre la espira que conduce la corriente? z Visto desde La vista desde arriba se muestra a la derecha: arriba I B A Las fuerzas en los segmentos AB y CD son, cada una ,igual a cero, ya que I es paralela a B.

25 cm

+x

B

Las fuerzas en AC y BD son iguales y opuestas, como se muestra en la vista de frente, pero forman

D

C 50 cm

un par de torsión. La resultante es la suma de cada una.

Ient FAC = BilAC = (0.3 T)(6 A)(0.25 m) = 0.450 N

+y 25 cm

F

B F

+x

25 cm Isal

B

Vista frontal

FAC = 0.450 N, abajo; FBD = 0.450 N, arriba lCD l + FBD CD = (0.450 N)(0.25 m) + (0.450 N)(0.25 m) 2 2 τR = 0.225 N⋅m, a contra reloj del eje de las z.

τ R = FAC

454



*29-47. Considere los dos alambres de la figura 29-29, en que el punto indica que la corriente se dirige hacia fuera de la página y la cruz indica que la corriente se dirige hacia dentro. ¿Cuál es la densidad de flujo resultante en los puntos A, B y C? Primero considere el punto A. El campo debido a 5 A está dirigido hacia abajo en A y el campo debido a 8 A está dirigido hacia arriba.

B8 =

C

B5

−(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(5 A) B5 = = −50 μ T 2π (0.02 m)

θ

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(8 A) = +16 μ T 2π (0.10 m)

B8

6 cm

R

Fuera

5A A

BA = –50 μT + 16 μT; B

φ

2 cm

BA = –34 μT, hacia abajo

B8

6 cm

B8

Dentro

B5

8A

B

2 cm

θ

C

B

B5

Ahora considere el campo en el punto B:

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(5 A) (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(8 A) + BB = ; 2π (0.06 m) 2π (0.02 m)

B5

BB = +96.7 μT, hacia arriba B

tan θ =

6 cm ; θ = 36.9º ; R = (8 cm) 2 + (6 cm) 2 = 10 cm 8 cm

θ

B8

A C: Bx = B5 cos θ + B8 y By = + B5 sen θ

−(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(5 A) (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(8 A) cos 36.9º + Bx = ; Bx = 20.7 μT 2π (0.10 m) 2π (0.06 m) B

Bx =

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(5 A) sen36.9º = 8.00 μT; 2π (0.10 m) BR = 22.2 μT, 21.2º B

*29-48. Dos largos alambres paralelos A y B están fijos a una distancia de 10 cm entre sí, en el aire, y conducen corrientes 6 A y 4 A, en direcciones opuestas. (a) Determine la densidad de flujo neta en un punto intermedio entre los alambres. (b) ¿Cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud sobre un tercer alambre colocado en el punto medio entre A y B, que conduce una corriente de 2 A en la misma dirección que A?

455



Al aplicar una regla empírica, ambos campos están hacia ARRIBA.

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(6 A) B6 = = 24.0 μT, hacia arriba 2π (0.05 m) B4 =

(4π × 10−7 T ⋅ m/A)(4 A) = 16.0 μT, hacia arriba 2π (0.05 m)

B6 6A

5 cm

B4

4A

5 cm

B

A

BR = 24 μT + 16 μT; B

BR = 40 μT, hacia arriba B

Las corrientes en la misma dirección se atraen una a la otra. Las corrientes en dirección opuesta se repelen:

F μ0 I1 I 2 (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(6 A)(2 A) = = ; l 2π d 2π (0.05 m)

6A

5 cm

A

FAC = 48 μ N/m, hacia A ; l

2A

5 cm

4A B

F μ0 I1 I 2 (4π × 10−7 T ⋅ m/A)(4 A)(2 A) = = ; l 2π d 2π (0.05 m) FBC = 32 μ N/m, hacia A l

Por consiguiente, la fuerza resultante por unidad de longitud sobre el cable de 2 A es: 48 μN/m + 32 μN/m Resultante F/l = 80 μN/m, hacia A

456



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