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Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Departamento de F´ısica

Notas de Clase Electromagnetismo Nelson Pantoja Semestre B-2006

Índice General 1 Teor´ıa electromagnetica de Maxwell 1.1 El campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Los potenciales electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Electrost´ atica � y potencial eléctrico Φ . 2.1 Campo eléctrico E 2.2 El problema de contorno en electrostática. . 2.3 El método de las imagenes . . . . . . . . . . 2.4 Expansión en funciones ortogonales . . . . . 2.4.1 La ecuación de Laplace . . . . . . . . 2.4.2 La ecuación de Poisson. Funciones de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Green

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3 Expansi´ on Multipolar. Electrost´ atica en medios materiales 3.1 Expansión multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Expansión multipolar de la energ´ıa de una distribución de cargas campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Electrostática en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . .

. . . . en un . . . . . . . .

4 Magnetost´ atica � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Magnetostática. El campo B � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 El potencial vector A � � de algunas distribuciones de corriente 4.3 El potencial A y el campo B 4.4 Momentos magneticos de una distribución de corrientes localizadas 4.5 Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales . . . . . . . . 4.6 Problemas de contorno en magnetostática . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Uso del potencial vector A 4.6.2 Uso del potencial escalar magnético ΦM (J� ≡ �0) . . . . . . . � dado y J� ≡ �0) . . . . . . . . . . . 4.6.3 Ferromagnetos duros (M

3 3 5 7 7 10 13 16 16 24 30 30 33 34

. . . . . . . . .

37 37 39 40 43 45 47 48 48 48

5 Campos que var´ıan en el tiempo. Leyes de conservaci´ on � y la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Los potenciales Φ y A 5.2 Funciones de Green para la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 50 52 55

1

. . . . . . . . .

6 Ondas electromagneticas. Propagaci´ on 6.1 La ecuación de onda en medios materiales . . . . . . . . 6.2 Ondas planas en un medio no conductor . . . . . . . . . 6.3 Ondas electromagneticas en la interfaz entre dielectricos. 6.4 Ondas en un medio disipativo . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Ondas en un medio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . .

2

. . . . .

. . . . .

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57 57 58 60 63 64

Cap´ıtulo 1 Teor´ıa electromagnetica de Maxwell 1.1

El campo electromagnetico

La teor´ıa electromagnética de Maxwell es una teor´ıa clásica de campos, en la cual la interación electromagnética está mediada a través de campos que se suponen medibles en todo punto (�x, t) del espacio-tiempo. En regiones sin materia (en el vac´ıo) denotaremos por � x, t), � x, t) E(� B(� a los campos eléctrico y magnético respectivamente. En presencia de materia, a´ un cuando estos siguen siendo fundamentales, se suele introducir otros campos en la descripción de los fenómenos electromagneticos para tomar en cuenta el hecho de que la materia es susceptible de interactuar con los campos electromagneticos y modificarlos, cosa que haremos mas adelante. � x, t) y B(� � x, t) son campos vectoriales bajo rotaciones en 3 dimenLos campos E(� � x, t) → −E(−� � x, t). Por otro siones. Bajo inversión espacial �x → −�x se tiene que E(� � x, t) → B(−� � x, t) y se dice que B � es un campo pseudo-vectorial.1 lado, B(� � yB � pueden ser medidos usando la interacción entre part´ıculas carLos campos E Un vector es un objeto que transforma bajo transformaciones arbitrarias de coordenadas en la misma forma en que lo hace el vector �x 1

�

�

�x = xi eî = xi eî� ,

�

xi = ai xj

�

con aij =

�

∂xi . ∂xj

� = V i eî = V i� eî� con V i� = ai� V j entonces V � es un campo vectorial. Por otro lado, se dice que Si V j i � B = B eî es un campo pseudovectorial si sus componentes transforman de la forma �

�

B i = det|a|aij B j , donde det|a| es el determinante de los coeficientes de la transformación; si la transformación es una inversión o una rotaci´ on impropia entonces det|a| = −1. Un ejemplo familiar de pseudovector lo � =A �×B � ≡ εijk Ai Bj eî ; i, j, k = x, y, z; donde εijk es el tenemos en el producto vectorial en E3 , C simbolo totalmente antisimétrico de Levi-Civita.

3

gadas y el campo electromagnetico � � d 1 � + �v × B � , p� = q E dt c

(1.1)

p� = γm0�v ,

(1.2)

� v �− 12 γ ≡ 1 − ( )2 . (1.3) c El miembro derecho de (1.1) es la fuerza de Lorentz sobre una part´ıcula cargada de � yB � y puede utilizarse para definir carga q que se mueve bajo la acción de los campos E el campo electromagnetico. Por otro lado, los campos mismos evolucionan en el espaciotiempo con ecuaciones � · E(� � x, t) = 4πρ(�x, t), ∇

Ley de Gauss

1 � � � ×B � = −4π J(� � x, t), ∂t E(x, t) − ∇ c � · B(� � x, t) = 0, ∇

Ley de Ampere

� monopolos magnéticos

� × E(� � x, t) + 1 ∂t B(� � x, t) = �0, ∇ c

Ley de Faraday

(1.4) (1.5) (1.6) (1.7)

� x, t) son las densidades de carga y corriente, respectivamente, fuendonde ρ(�x, t) y J(� tes de los campos electromagnéticos. Las ecuaciones (1.4-1.5) se conocen como las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial. A primera vista parecer´ıa que partiendo de las ecuaciones de (1.4) a (1.7) junto con � + 1 J� × B, � f� = ρE c

(1.8)

generalización evidente de (1.1) con f� la densidad de fuerza de Lorentz, se podr´ıan cal� x, t) y los campos E(� � x, t) y B(� � x, t) cular las distribuciones de carga ρ(�x, t) y corriente J(� dadas las condiciones iniciales. Sin embargo, apartando la dificultad matemática, es todavia un problema abierto como los autocampos afectan el movimiento de las fuentes. De aqu´ı que nos limitaremos a algo menos ambicioso y calcularemos los campos producidos por una distribución de cargas y corrientes dada o la distribución de cargas y corrientes a partir de una configuración particular de los campos. Veamos a continuación algunas consecuencias importantes de las ecuaciones (1.41.7). De (1.5) se sigue que � � 1 � � � � � · J� ∇· ∂t E − ∇ × B = −4π ∇ (1.9) c 1 � � � · (∇ � × B) � = −4π ∇ � · J� ⇒ ∂t (∇ · E) − ∇ c 4

y usando la ecuación (1.4), se obtiene 1 � · J(� � x, t) = 0. ∂t ρ(�x, t) + ∇ c

(1.10)

La ecuación (1.10) se conoce como ecuación de continuidad y expresa la conservación de la carga. Usando el teorema de la divergencia se tiene � � � 1 3 3 � � d x ∂t ρ = − d x ∇ · J = − J� · d�s. c Ω Ω δΩ As´ı, si la distribuciones de carga y corriente están confinadas en alg´ un volumen, tomando Ω lo suficientemente grande la integral de superficie será cero y se tendrá � d Q = ∂t d3 x ρ = 0 → Q = const. dt Ω

1.2

Los potenciales electromagn´ eticos

Consideremos a continuación el ansatz � =∇ � × A, � B

(1.11)

� es un campo vectorial, entonces la ecuación (1.6) se verifica trivialmente. De donde A � en la forma (1.11). aqu´ı que busquemos soluciones a las ecuaciones de Maxwell con B No es sin embargo evidente que toda solución de (1.6) deba ser de la forma (1.11) y � depende de la topolog´ıa de la región en la cual se supone de hecho, la existencia de A válida (1.6). Por los momentos ignoremos estas dificultades. Sustituyendo (1.11) en (1.7) se tiene � ×E � + 1 ∂t ∇ � ×A � = �0 ∇ c y de aqu´ı que

� × (E � + 1 ∂t A) � = �0. ∇ c

(1.12)

A continuación, con

� + 1 ∂t A � = −∇Φ, � E c donde Φ(�x, t) es un campo escalar, es claro que (1.12) se satisface inmediatamente. De aqu´ı que si buscamos soluciones al sistema de ecuaciones (1.4-1.7) de la forma � x, t) = ∇ � × A(� � x, t), B(�

(1.13)

� x, t) = −∇Φ(� � x, t) − 1 ∂t A(� � x, t), E(� c

(1.14)

� habremos resuelto automaticamente las ecuaciones homogeneas (1.6) y (1.7). Φ y A se conocen como los potenciales escalar y vectorial, respectivamente. 5

Finalmente, sustituyendo (1.14) en (1.4) y (1.5) se tiene � � 1 1 1 � ·A � + ∂t Φ , ∆Φ − 2 ∂t ∂t Φ = −4πρ − ∂t ∇ c c c � � 1 1 � − ∂t ∂t A � = −4π J� + ∇ � ∇ � ·A � + ∂t Φ , ∆A c2 c

(1.15) (1.16)

� en ecuaciones que en principio determinan los potenciales electromagnéticos Φ y A � términos de la fuentes ρ y J.. � 0 , soluciones a (1.15) y (1.16) Ahora bien, supongase que hemos encotrado Φ0 y A y que por lo tanto �0 = ∇ � ×A �0 � 0 = −∇Φ � 0 − 1 ∂t A � 0. B E c Es fácil ver que los potenciales transformados

y

1 Φ ≡ Φ0 − ∂t χ c

(1.17)

�≡A � 0 + ∇χ � A

(1.18)

�0 y E � 0 , esto es reproducen los mismos B

� ×A �=∇ � × (A � 0 + ∇χ) � =∇ � ×A �0 + ∇ � × ∇χ � =B �0 ∇ y � − 1 ∂t A � = −∇Φ � 0 + 1∇ � (∂t χ) − 1 ∂t A � 0 − 1 ∂t (∇χ) � � 0 − 1 ∂t A �0 = E � 0. −∇Φ = −∇Φ c c c c c � ecuaciones (1.17) y (1.18), también satisfacen (1.15) y (1.16) (se Los nuevos Φ y A, propone como ejercicio). Hemos descubierto entonces una simetr´ıa o invariancia de la � yB � y las ecuaciones de movimiento (1.4) a teor´ıa electromagnética. Los campos E (1.7) son invariantes bajo las transformaciones 1 Φ → Φ − ∂t χ , c

�→A � + ∇χ. � A

Dichas transformaciones se conocen como transformaciones de calibre y se dice que la teor´ıa presenta invariancia de calibre. Este tipo de invariancia es de importancia fundamental en f´ısica y está intimamente ligada a la noción de interacción. Tenemos entonces que el campo electromagnetico viene descrito por toda una familia de potenciales que difieren entre s´ı por transformaciones de calibre.

6

Cap´ıtulo 2 Electrost´ atica 2.1

� y potencial el´ Campo el´ ectrico E ectrico Φ

Nos restringiremos en este y el proximo cap´ıtulo a considerar distribuciones de carga y campos independientes del tiempo. En este caso las ecuaciones de Maxwell se reducen a � · E(� � x) = 4πρ(�x) ∇ (2.1) y

� × E(� � x) = �0. ∇

(2.2)

La ecuación (2.1) es la ley de Gauss en forma diferencial y puede llevarse a la forma integral usando el teorema de la divergencia. As´ı, integrando (2.1) sobre un volumen Ω se tiene � � 3 � � d x ∇ · E(�x) = 4π d3 x ρ(�x), (2.3) y con

Ω

Ω

�

Ω

se sigue que

�

� · E(� � x) = d x∇

∂Ω

3

� · d�s = 4π E

�

�

∂Ω

� · d�s, E

d3 x ρ(�x),

(2.4)

Ω

donde ∂Ω es la frontera del volumen Ω. Volviendo a las ecuaciones (2.1) y (2.2), la ecuación (2.2) se integra de manera � es derivable de un potencial inmediata si E � x) = −∇Φ(� � x) E(�

(2.5)

∆Φ(�x) = −4πρ(�x),

(2.6)

y de (2.5) y (2.1) se sigue que

que reconocemos como una ecuación de Poisson. Para ρ(�x) = 0, esto es, para el caso en el cual no hay distribuciones de carga en todo el espacio, el potencial escalar Φ(�x) satisface la ecuación de Laplace ∆Φ(�x) = 0. (2.7) 7

En problemas de electroestática que involucran distribuciones de carga localizadas sin condiciones de contorno para Φ, salvo la condición m´ınima Φ(�x) → 0 para |�x| → ∞, la solución general de (2.6) viene dada por � ρ(x�� ) Φ(�x) = d3 x� , (2.8) |�x − x�� | R3 como se puede verificar facilmente, � � � � 1 3 � ∆x Φ(�x) = d x ρ(x�� )∆x = d3 x� ρ(�x)(−4πδ(�x − x�� )) = −4πρ(�x). � � |�x − x |

Arriba hemos usado el hecho de que 1/|�x − x�� | es la función de Green para el operador ∆ en R3 , � � 1 ∆ = −4πδ 3 (�x − x�� ), (2.9) � � |�x − x | que satisface la condición 1/|�x − x�� | → 0,

|�x| → ∞

(2.10)

y δ es por supuesto la distribución δ de Dirac. La distribución δ de Dirac nos permite, por otro lado, describir distribuciones de carga tanto discretas como continuas. Por ejemplo, ρ(�x) =

N � i=1

qi δ(�x − �x� )

(2.11)

representa una distribución de N cargas puntuales qi localizadas a los puntos �xi . Si sustituimos (2.11) en (2.8) se tendrá � � N � x� ) 1 3 � ρ(� 3 � Φ(�x) = dx = d x qi δ(�x − �x�i ) |�x − �x� | |�x − �x� | i=1 � N N � δ(�x − �x�i ) � 1 = qi d3 x� = q (2.12) i �| |� x − � x |� x − � x | i i=1 i=1 que es obviamente el potencial creado en �x por N cargas puntuales qi localizadas en los puntos �xi . � x) se obtiene a partir de (2.5) de manera inmediata El campo eléctrico E(� � � � � 1 �x − �x� 3 � � � 3 � � � E(�x) = −∇x Φ(�x) = − d x ρ(�x )∇x = d x ρ(� x ) |�x − �x� | |�x − �x� |3 � � � N N � � �x − �x� qi �x − �xi 3 � = dx qi δ(�x − �xi ) = , (2.13) � 3 2 |� x − � x | |� x − � x | |� x − � x | i i i=1 i=1 y que reconocemos como el campo electroestático producido por N cargas puntuales qi localizadas en los puntos �xi . Veamos a continuación algunos ejemplos de distribuciones de carga continuas. 8

1. En coordenadas cilindricas (ρ, ϕ, z) una carga λ por unidad de longitud uniformemente distribuida sobre una superficie cilindrica de radio b. Tomando en cuenta las simetr´ıas de la distribución de cargas considerada se propone C ρ(�x) = δ(ρ − b), (2.14) r donde C es una constante a ser ajustada. A continuación, exigiendo � l � ∞ � 2π λl = dz dρ ρ dϕ ρ(�x) (2.15) 0

0

0

se encuentra C=

λ . 2π

2. En coordenadas esfericas (r, θ, ϕ), una carga Q uniformemente distribuida sobre una concha esferica de radio R. Se propone

C δ(r − R), r2

ρ(�x) = y exigiendo Q= se encuentra

�

(2.16)

d3 x ρ(�x)

C=

(2.17)

Q . 4π

3. En coordenadas cilindricas, una carga Q uniformemente distribuida sobre un disco circular plano de espesor despreciable y radio R. ρ(�x) =

Q δ(z)Θ(R − ρ). πR2

4. La misma distribución de cargas anterior pero en coordenadas esfericas. Partiendo de la expresión encontrada anteriormente y pasando a coordenadas esféricas se encuentra ρ(�x) =

C π δ(θ − )Θ(R − r), r sin θ 2

donde hemos usado δ(f (x)) =

� i

C=

1 δ(x − xi ) |f � (xi )|

y donde los xi son las raices de f (x), esto es, f (xi ) = 0.

9

Q , πR2

Cabe destacar que a´ un cuando el campo eléctrico es la cantidad f´ısicamente relevante en la descripción clásica que estamos considerando, el potencial escalar Φ(�x) admite una interpretación f´ısica interesante. Consideremos el trabajo hecho por un agente externo sobre una carga de prueba q al transportarla desde una punto A hasta un punto B a lo largo de una trayectoria ΓB atico A en presencia de un campo electroest´ � x). La fuerza que act´ E(� ua sobre la carga viene dada por � x) F� (�x) = q E(� y por lo tanto W =−

�

ΓB A

F� · d�l = −q

(2.18)

�

ΓB A

� · d�l E

(2.19)

(el - aparece porque estamos calculando el trabajo hecho en contra de la acción del campo) y de (2.5) se tiene � � � � W = −q (−∇Φ) · dl = q dΦ = q(ΦB − ΦA ), (2.20) ΓB A

ΓB A

lo que nos dice que qΦ puede interpretarce como la energ´ıa potencial de la carga q en � x). De (2.19) y (2.20) se desprende que presencia del campo electroestático E(� � � � � � · d�l = 0, E · dl = −(ΦB − ΦA ) ⇒ E (2.21) ΓB A

c

que es perfectamente consistente con lo que se obtiene del Teorema de Stokes � � � � � � � � � × (−∇Φ) � E · dl = ∇ × E · dl = − ∇ · d�s = 0. C

S

S

Se sigue entonces el resultado bien conocido de que las “fuerzas derivables de un potencial son conservativas “.

2.2

El problema de contorno en electrost´ atica.

En problemas de electrostática sin condiciones de contorno y con distribuciones de carga discretas o continuas, la solución general de (2.8) viene dada por � ρ(�x� ) Φ(�x) = d3 x� , |�x − �x� | R3 que reconocemos como el producto de convolución de la distribución de cargas ρ(�x) con la función de Green (2.9), donde ésta u ´ltima satisface las condiciones de contorno (2.10). En problemas de electrostática en una región finita del espacio, con o sin carga en su interior, y con condiciones de contorno prescritas sobre la superficie frontera de dicha región , el potencial electrostático viene dado por una expresión diferente 10

que contiene, además de la convolución de la distribución de cargas con la función de Green apropiada al problema de contorno, un termino que involucra a las condiciones de contorno espec´ıficas prescritas para el potencial. Dicha expresión puede ser deducida con facilidad empleando las denominadas identidades de Green. Las identidades de Green, arriba mencionadas, se obtienen facilmente a partir del teorema de la divergencia � � 3 � � d x∇ · V = V� · d�s. (2.22) Ω

∂Ω

� Sea V� = ϕ∇ψ, en cuyo caso � · V� = ∇ � · (ϕ∇ψ) � � · ∇ψ � ∇ = ϕ∆ψ + ∇ϕ y sustituyendo (2.23) en (2.22) se obtiene la primera identidad de Green, � � 3 � � � · d�s. d x (ϕ∆ψ + ∇ϕ · ∇ψ) = ϕ∇ψ Ω

(2.23)

(2.24)

∂Ω

Intercambiando ϕ y ψ y restando lo obtenido a (2.24) se obtiene la segunda identidad de Green, � � 3 � − ψ ∇ϕ) � · d�s. d x (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) = (ϕ∇ψ (2.25) Ω

∂Ω

La solución a la ecuación de Poisson en un volumen finito Ω ∆x� Φ(�x� ) = −4πρ(�x� ),

�x ∈ Ω,

con condiciones de contorno para Φ prescritas sobre la frontera ∂Ω de Ω se puede obtener usando (2.25). Supongamos que existe G(�x; �x� ), tal que ∆x� G(�x; �x� ) = −4πδ(�x − �x� ),

�x, x�� ∈ Ω.

(2.26)

Partiendo de (2.25), escogiendo ψ = G, ϕ = Φ y a �x� como variable de integración se tendrá � � 3 � � � � � d x [−4πδ(�x − �x )Φ(�x ) + 4πρ(�x )G(�x; �x )] = (Φ(�x� )∂n� G(�x; �x� ) − G(�x; �x� )∂n� Φ(�x� ))da� , Ω

∂Ω

de donde se sigue que � � 1 3 � � � Φ(�x) = d x ρ(�x )G(�x; �x ) + [G(�x; �x� )∂n� Φ(�x� ) − Φ(�x� )∂n� G(�x; �x� )] da� , (2.27) 4π Ω ∂Ω � � Φ(�x� ) · d�s� = ∇ � � Φ(�x� ) · n donde hemos reescrito ∇ ˆ � da� = ∂n� Φ(�x� )da� . x x Como es sabido la solución a la ecuación de Poisson con Φ y ∂Φ especificados de ∂n manera arbitraria sobre ∂Ω no existe. Sin embargo, existen soluciones u ńicas para ∂Φ condiciones de Dirichlet (Φ se especifica sobre ∂Ω) o Neumann ( ∂n se especifica sobre ∂Ω). La libertad que se tiene en la definición de G, ecuación (2.32), nos permite hacer 11

que la integral de supeficie en (2.27) dependa solamente de las condiciones de contorno escogidas. As´ı para condiciones de Dirichlet exigiremos G(�x; �x� ) | ∂Ω = 0

(2.28)

y de (2.27) se tendrá �

�

1 Φ(�x) = d x ρ(�x ) G(�x; �x ) − 4π Ω 3 �

�

�

∂Ω

Φ(�x� ) ∂n� G da� . 1

Para condiciones de contorno de Neumann es conveniente hacer ∂n� G(�x; �x� ) | ∂Ω = −

(2.29)

4π , As

(2.30)

donde As es el área total de la superficie ∂Ω frontera de Ω. La solución viene en este caso dada por � � � 1 1 3 � � � � � � Φ(�x) = d x ρ(�x )G(�x; �x ) + ∂n� Φ(�x ) G(�x; �x ) da + Φ(�x� )da� . (2.31) 4π ∂Ω As ∂Ω Ω Notese que el u ´ltimo término es una constante igual al valor promedio del potencial sobre la superficie ∂Ω. Esta constante, por otro lado, es irrelevante toda vez que solo la diferencia de potencial admite interpretación f´ısica. Por u ´ltimo, de (2.9) se sigue que la solución elemental G(�x; �x� ) de (2.26) debe ser de la forma 1 G(�x; �x� ) = + F (�x, �x� ), (2.32) |�x − �x� | con ∆ F (�x, �x� ) = 0. (2.33) As´ı, puesto que |�x − x�� |−1 puede interpretarse como el potencial creado en �x por una carga unidad localizada en x�� , la función F (�x; �x� ) que aparece en (2.32), solución a la ecuación de Laplace en el interior de Ω, puede ser interpretada como el potencial de una distribución de cargas externa al volumen Ω y que se escoge de forma tal que se satisfaga (2.28) ó (2.30). Sobre la base de esta interpretación descansa el denominado método de las imagenes. 1

Note que �

Ω

y puesto que

d3 x∆x G(�x; �x� ) =

�

Ω

� · ∇G(� � x; �x� ) = d3 x∇

�

s

� x G(�x; �x� ) · n ∇ ˆ da =

∆x G(�x; �x� ) = −4πδ(�x − �x� )

es claro que no es posible escoger ∂n G = 0.

12

�

s

∂n Gda

2.3

El m´ etodo de las imagenes

La idea del método es tratar de llevar el problema de contorno en la región Ω a uno sin condiciones de contorno que sea equivalente en Ω. En el nuevo problema, el potencial deberá tomar sobre la frontera de Ω valores idénticos a los prescritos por las condiciones de contorno del problema original, para lo cual se colocan distribuciones de carga “imagen“ fuera de Ω. Es claro, esto va a ser posible solo en aquellos casos en los que la geometr´ıa del problema presente muchas simetr´ıas. Un ejemplo muy sencillo es el de una carga puntual localizada a una distancia a de un plano infinito conductor, tal que Φ sobre el plano sea cero. Es fácil ver que este problema es equivalente en la región de interes al problema de la carga original y una igual pero de signo contrario localizada en el punto imagen especular detras del plano conductor. En este caso se tiene, suponiendo que la superficie z = 0 define al plano conductor, q q Φ(�x) = − ˆ ˆ |�x − ak| |�x + ak| � � 1 1 = q � −� , (2.34) x2 + y 2 + (z − a)2 x2 + y 2 + (z + a)2

que obviamente satisface Φ|z=0 = 0. A partir del resultado anterior es fácil calcular la densidad de carga sobre el plano conductor. Para ello basta utilizar la ley de Gauss y el hecho de que el campo eléctrico sobre la superficie de un conductor es normal a la misma y que dentro del conductor es cero, de donde se desprende que � � � � 1 ∂Φ q z−a z+a σ(x, y) = − =− − + 4π ∂z z=0 4π (x2 + y 2 + (z − a)2 )3/2 (x2 + y 2 + (z + a)2 )3/2 z=0 q 2a = − (2.35) 2 4π (x + y 2 + a2 )3/2 Veámos a continuación un caso ligeramente más complicado. Consideremos el problema de una carga puntual q0 localizada en �x0 , de forma tal que el origen del sistema de referencia es a su vez es el centro de una esfera conductora de radio a < |x�0 | y sobre cuya superficie Φ = 0. Vamos a emplear el método de las imagenes. Por simetr´ıa es claro que la carga imagen q0� estará sobre la linea que une al origen con la carga q0 . Si q0 esta fuera de la esfera, �x�0 que es la posición de la carga imagen estará dentro de la esfera. El potencial debido a las cargas q0 y q0� en el punto �x será Φ(�x) =

q0 q0� + . |�x − �x0 | |�x − �x�0 |

(2.36)

Ahora, debemos fijar q0� y �x�0 de forma tal que Φ(|�x| = a) = 0. Para hacer esto más fácil reescribiremos Φ como Φ(�x) =

q0 q0� + |xˆ n − x0 n ˆ � | |xˆ n − x�0 n ˆ�| 13

(2.37)

donde x = |�x|, x0 = |x�0 | y x�0 = |x��0 |. Sobre la superficie |�x| = a se tendrá Φ(|�x = a|) =

q0 1 q0� 1 + , x0 � � � a |ˆ n− an ˆ | x0 |ˆ n − xa� n ˆ|

(2.38)

0

lo que nos lleva a escoger q0 q� = − 0� a x0

y |ˆ n−

x0 � a x0 a n ˆ | = |ˆ n� − � n ˆ| ⇒ = �. a x0 a x0

(2.39)

De aqu´ı que

a a2 q0 , x�0 = . (2.40) x0 x0 Una vez que la carga imagen ha sido encontrada, podemos entonces volver al problema original y calcular varias cosas interesantes. Por ejemplo la densidad de carga sobre la superficie conductora esférica viene dada por � � 1 − ( xa0 )2 1 ∂Φ q0 a σ=− |x=a = − , (2.41) 4π ∂x 4πa2 x0 (1 + ( xa0 )2 − 2 xa0 cos γ)3/2 q0� = −

donde

�x · �x0 . (2.42) x x0 También podemos calcular la fuerza que actua sobre q0 . La manera más sencilla es obviamente calcular la fuerza entre q0 y q0� que están separadas una distancia x0 − x�0 = 2 x0 (1 − xa2 ) 0 � �3 � � �2 �−2 2 q a a |F� | = 2 1− . (2.43) a x0 x0 cos γ =

Nótese también que es posible colocar una segunda carga q �� en el centro de la esfera sin destruir la equipotencial. La magnitud de q �� es arbitraria y puede ser ajustada para satisfacer condiciones de contorno diferentes a la homogénea. Por ejemplo si queremos que Φ|s = V entonces q �� = V a, si queremos que la carga total del conductor sea cero entonces q �� = −q � , etc. No es dificil darse cuenta (como fué sugerido antes) que el potencial debido a la carga unidad y su(s) imagen(es), escogida(s) de forma tal que se satisfagan condiciones de frontera homogeneas es justamente la función de Green apropiada al problema de Dirichlet. As´ı con q0 = 1 y �x0 = �x� , de (2.37) y (2.40) se tiene que G(�x, �x� ) =

1 a − ; � � |�x − �x | x |�x − xa�22 �x� |

|�x|, |x�� | > a,

(2.44)

satisface y la condición de contorno

∆x G(�x, �x� ) = −4πδ(�x − �x� ), � G(�x, �x� ) �|�x|=a = 0. 14

(2.45) (2.46)

G dada por (2.44) es la función de Green apropiada al problema de Dirichlet exterior a la esfera. Notese que a F (�x, �x� ) = − (2.47) 2 � x |�x − xa�2 �x� | 2

2

satisface ∆F = 0, ya que | xa�2 �x� | = |�ax� | = a |�xa� | < a . La solución al problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson involucra además de G a ∂G/∂n� . En este caso n ˆ � = −�x� /x� (ˆ n� es la normal externa al volumen de interes) � � ∂G ∂G ∂ 1 1 |S = − � |x� =a = − � − ∂ n� ∂x ∂ x (x2 + x�2 − 2xx� cos γ)1/2 ( x2ax2�2 + a2 − 2xx� cos γ)1/2 � x =a = − con

x 2 − a2 , a(x2 + a2 − 2ax cos γ)3/2

(2.48)

�x · �x� (2.49) xx� As´ı, la solución a la ecuación de Laplace para el exterior a una esfera con condiciones de Dirichlet viene dada por � 1 a(x2 − a2 ) Φ(�x) = dΩ� 2 Φ(a, θ� ϕ� ), (2.50) 4π (x + a2 − 2ax cos γ)3/2 cos γ =

donde y

cos γ = cos θ cos θ� + sin θ sin θ� cos (ϕ − ϕ� ).

(2.51)

dΩ� = sin θ� dθ� dϕ� .

(2.52)

Por u ´ltimo consideremos un problema que involucra cargas imagenes no puntuales. Sean dos l´ıneas cargadas infinitas y paralelas, con cargas λ y −λ por unidad de longitud. El potencial en un punto cualquiera viene dado por � � � � � x2 + y 2 � � ϕ(x, y) = −2λ [ln r1 − ln r2 ] = −2λ ln � � (2.53) �. 2 2 � (x + 2d) + y � Es claro las superficies equipotenciales del problema vienen dadas por � � � � � x2 + y 2 � � �� = C = const. � (x + 2d)2 + y 2 �

(2.54)

La superficie equipotencial C = 1 es el plano perpendicular a la l´ınea que une a las dos cargas y pasa justo a mitad de camino entre ambas. En general, las superficies equipotenciales tienen por ecuación para C �= 1 � �2 � �2 2dC 2 2dC 2 x− +y = , (2.55) 1 − C2 1 − C2 15

que es claro la ecuación de un cilindro en R3 , con eje en el punto de coordenadas � � 2dC 2 ,0 (2.56) 1 − C2 y radio

2dC . (2.57) 1 − C2 Es posible entonces resolver problemas que involucran conductores cilindricos valiendonos del ejemplo citado. Por ejemplo, podemos atacar el problema de un plano y un cilindro conductores cuya disposición es la indicada por las l´ıneas punteadas de la figura.

2.4

Expansi´ on en funciones ortogonales

La representación de soluciones a los problemas de contorno para las ecuaciones de Laplace y de Poisson como una expansión en funciones ortogonales es una técnica ampliamente usada, dependiendo la escogencia del conjunto ortogonal de las simetrias del problema particular. La manera más sencilla de obtener estas expansiones para las soluciones a la ecuación de Laplace consiste en usar el método de separación de variables.

2.4.1

La ecuaci´ on de Laplace

La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cartesianas Como un primer ejemplo consideremos el caso en el cual Ω es la región con forma de paralelep´ıpedo, localizada como se indica en la figura, con dimensiones (a, b, c) en las direcciones (x, y, z). Todas las superficies del paralelep´ıpedo están a potencial cero, excepto la superficie z = c que se encuentra a potencial V (x, y). Queremos encontrar el potencial en su interior suponiendo que no hay cargas en el mismo. El problema que nos ocupa consiste entonces en encontrar Φ solución al problema de contorno para la ecuación de Laplace ∆Φ = 0,

0 < x < a,

0 < y < b,

Φ(0, y, z) = Φ(a, y, z) = 0, Φ(x, 0, z) = Φ(x, b, z) = 0, Φ(x, y, 0) = 0, Φ(x, y, c) = V (x, y),

0 < z < c;

0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ x ≤ a,

0 ≤ z ≤ c; 0 ≤ z ≤ c; 0 ≤ y ≤ b;

(2.58)

(2.59)

La ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas viene dada por ∆Φ = ∂x2 Φ + ∂y2 Φ + ∂z2 Φ = 0.

16

(2.60)

Proponiendo una solución de la forma Φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z),

(2.61)

se tiene Y (y)Z(z)

d2 X(x) d2 Y (y) d2 Z(z) + X(x)Z(z) + X(x)Y (y) =0 dx2 dy 2 dz 2

y dividiendo entre (2.61) 1 d2 X(x) 1 d2 Y (y) 1 d2 Z(z) + + = 0. X(x) dx2 Y (y) dy 2 Z(z) dz 2

(2.62)

De (2.62) se desprende que 1 d2 X(x) = α; X(x) dx2

(2.63)

1 d2 Y (y) = β; Y (y) dy 2

(2.64)

1 d2 Z(z) = −(α + β), Z(z) dz 2

(2.65)

donde hasta ahora α y β son arbitrarias. Por otro lado, de las condiciones de contorno homogéneas se sigue que Φ(0, y, z) = Φ(a, y, z) = 0 , 0 ≤ y ≤ b , 0 ≤ z ≤ c

⇒ X(0) = X(a) = 0,

(2.66)

Φ(x, 0, z) = Φ(x, b, z) = 0 , 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ z ≤ c

⇒ Y (0) = Y (b) = 0.

(2.67)

As´ı, (2.63,2.66) definen un problema de autovalores con autofunciones Xn (x) = sin y autovalores α=−

� nπ �2

nπx a

(2.68)

, n = 1, 2, . . . (2.69) a De la misma manera, el problema (2.64,2.67) admite como u ńicas soluciones las autofunciones mπy Ym (y) = sin (2.70) b con autovalores � mπ �2 β=− , m = 1, 2, . . . (2.71) b Ahora, de la condición de contorno Φ(x, y, 0) = 0 se sigue que Z(0) = 0 y de aqu´ı que la solución de (2.65) venga dada por �� nπ 2 � mπ �2 Znm (z) = sinh + z (2.72) a b 17

La solución de (2.60) y que satisface las condiciones de contorno homogéneas es por superposición �� ∞ � ∞ � nπ 2 mπ 2 �1/2 nπx mπy Φ(x, y, z) = amn sinh ( ) + ( ) z sin sin . (2.73) a b a b n=1 m=1 Por u ´ltimo, de la condición de frontera no homogénea Φ(x, y, c) = V (x, y) se desprende que �� ∞ � nπ 2 mπ 2 �1/2 nπx mπx V (x, y) = amn sinh ( ) + ( ) c sin sin , (2.74) a b a b n,m=1 de donde se sigue que los coeficientes de la serie son los coeficientes de la expansión de V (x, y) en la serie de Fourier doble �� nπ 2 mπ 2 �1/2 2 a nπx 2 b mπy amn sinh ( ) + ( ) c = dx sin dy sin V (x, y) a b a 0 a b 0 b y de aqu´ı que amn =

ab sinh

��

4 ( nπ )2 + ( mπ )2 a b

�1/2

c

�

�

a

0

nπx dx sin a

�

b

dy sin

0

mπy V (x, y). b

(2.75)

Si la caja rectangular tiene condiciones de contorno no homogéneas sobre las seis caras, la solución para el potencial en el interior del paralelepipedo será la superposición lineal de las soluciones a los seis problemas, equivalentes a (2.73) (2.75), en los cuales solo una de las caras tiene una condición de contorno no-homogénea. El potencial electrostático con una distribución de cargas en el interior de la caja y con condiciones de contorno sobre su superficie requiere la construcción de la función de Green apropiada, cuestión que atacaremos después de discutir la ecuación de Laplace en coordenadas esfericas y cilindricas. Adelantaremos sin embargo que (2.70) y (2.75) son equivalentes a la integral de superficie que aparece en la solución al problema de contorno para la ecuación de Poisson en términos de la función de Green. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esfericas Consideremos a continuación el problema de encontrar el potencial electrostático en el interior de una esfera de radio a, sin cargas en su interior y con el potencial especificado sobre su superficie. En este caso, el potencial Φ viene dado por la solución al problema interior de Dirichlet con simetria esferica para la ecuación de Laplace ∆Φ =

1 1 1 ∂r (r2 ∂r Φ) + 2 ∂θ (sin θ∂θ Φ) + 2 2 ∂ϕ ∂ϕ Φ = 0 2 r r sin θ r sin θ 0 ≤ r < a,

0 < θ < π,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

Φ(a, θ, ϕ) = f (θ, ϕ). 18

(2.76)

(2.77)

Se propone una solución de la forma Φ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ)

(2.78)

y sustituyendo (2.78) en (2.76) se tiene � � 1 d 2d 1 Y (θ, ϕ) Y (θ, ϕ) 2 [r R(r)] + R(r) 2 ∂θ (sin θ ∂θ Y (θ, ϕ)) + ∂ϕ ∂ϕ = 0. r dr dr r sin θ sin θ Dividiendo la expresión anterior entre (2.78) y multiplicando por r2 � � � � 1 d 2d 1 Y (θ, ϕ) r R(r) + ∂θ (sin θ ∂θ Y (θ, ϕ)) + ∂ϕ ∂ϕ = 0, R(r) dr dr Y (θ, ϕ) sin θ de donde se sigue que

� � d 2d r R(r) = λR(r) dr dr

y

1 1 ∂θ (sin θ ∂θ Y (θ, ϕ)) + ∂ϕ ∂ϕ Y (θ, ϕ) = −λY (θ, ϕ), sin θ sin2 θ donde λ es una constante se separación. A continuación, proponiendo una solución para (2.80) de la forma Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Ψ(ϕ),

(2.79)

(2.80)

(2.81)

se tiene 1 d Ψ(ϕ) sin θ dθ

�

dΘ(θ) sin θ dθ

�

+ Θ(θ)

1 d2 Ψ(ϕ) = −λΘ(θ)Ψ(ϕ) sin2 θ dϕ2

de donde se sigue que d sin θ dθ y

�

dΘ(θ) sin θ dθ

�

+ λ sin2 θΘ(θ) = m2 Θ(θ)

d2 Ψ(ϕ) + m2 Ψ(ϕ) = 0, 2 dϕ

(2.82)

(2.83)

donde m2 es otra constante de separación. La solución general de (2.83) es Ψ(ϕ) = A eimϕ + B e−imϕ

(2.84)

y exigiendo Ψ(ϕ) = Ψ(ϕ + 2π),

Ψ� (ϕ) = Ψ� (ϕ + 2π),

(2.85)

se tendrá Ψ(ϕ) = c eimϕ ,

con m = 0, ±1, ±2, . . . 19

(2.86)

Ahora, puesto que la ecuación (2.79) es del tipo de Euler, la solución debe ser de la forma R(r) ∝ rl (2.87) y sustituyendo (2.87) en (2.79) se tiene

l(l + 1) − λ = 0.

(2.88)

La solución general de (2.79) es entonces Rl (r) = D rl + E r−(l+1) .

(2.89)

Para resolver (2.82) es conveniente hacer el cambio x = cos θ con −1 ≤ x ≤ 1 y (2.82) se reescribe como � � � � d m2 2 dΘ (1 − x ) + l(l + 1) − Θ = 0, (2.90) dx dx 1 − x2 que reconocemos como la ecuación de Legendre generalizada. (2.90) admite como soluciones las conocidas funciones de Legendre Plm (x) de grado l y orden m, con |m| ≤ l, l entero ≥ 0. Nótese que (2.90) admite también como soluciones a las funciones de Legendre de segundo tipo Qm estas no estan acotadas en x = ±1 y de aqu´ı l (x), pero ´ que no sean consideradas. La solución de (2.90) es entonces Θ(θ) = Plm (cos θ).

(2.91)

La solución de (2.80) viene dada por �

2l + 1 (l − m)! Yl (θ, ϕ) = 4π (l + m)! m

�1/2 (−1)m eimϕ Plm (θ, ϕ) ,

� �∗ Ylm (θ, ϕ) = (−1)m Yl−m (θ, ϕ) ,

|m| ≤ l, m > 0 m < 0.

(2.92) (2.93)

Las funciones Ylm se conocen como los armonicos esfericos, donde el coeficiente de (2.92) se ha escogido de forma tal que dichas funciones sean ortonormales � 2π � π � ∗ m dϕ dθ sin θ Ylm (2.94) � (θ, ϕ) Yl (θ, ϕ) = δm,m� δl,l� . 0

0

y la solución a la ecuación de Laplace (2.76) viene dada entonces por ∞ � l � � � Φ(r, θ, ϕ) = Alm rl + Blm r−(l+1) Ylm (θ, ϕ).

(2.95)

l=0 m−l

Exigiendo que Φ(0, θ, ϕ) < ∞ tendremos que Blm = 0 y de (2.77) se desprende que f (θ, ϕ) =

∞ � l �

l=0 m=−l

20

Alm al Ylm (θ, ϕ).

(2.96)

Usando (2.94) se sigue que Alm

1 = l a

�

2π

dϕ

0

�

2π

0

dθ sin θ Ylm (θ, ϕ)∗ f (θ, ϕ)

(2.97)

y la solución al problema (2.76), (2.77) viene dada por �� ∞ � l �

�� r l m Φ(r, θ, ϕ) = dϕ dθ sin θ Yl (θ , ϕ ) f (θ , ϕ ) Yl (θ, ϕ). a 0 0 l=0 m=−l (2.98) Es conveniente resaltar el hecho de que, en general, la solución al problema de contorno en coordenadas esfericas puede ser dada como expansión en armonicos esfericos y potencias de r del tipo (2.95). Más adelante veremos la conexión entre (2.98) y la solución obtenida via funciones de Green. Para finalizar, consideremos el caso particularmente importante en el cual el problema presenta simetria azimutal y que llevado a nuestro problema particular se traduce en una condición de contorno de la forma 2π

�

�

π

�

�

�

m

� ∗

�

�

f (θ, ϕ) = g(θ). De (2.98) y (2.99) se tiene entonces �� l � ∞ π � � Φ(r, θ, ϕ) = dθ� sin θ� g(θ� ) l=0

0

m=−l

2π

(2.99)

�

m

∗

dϕ Yl (θ, ϕ)

0

��

� r �l a

Ylm (θ, ϕ) (2.100)

y usando (2.92) se tiene �

0

2π

�

m

�

�

dϕ Yl (θ , ϕ ) =

� �

(2l + 1) (l − m)! 4π (l + m)!

�1/2 �1/2

(1)

m

Plm (cos θ� )

�

2π

0

(2l + 1) (l − m)! (1)m Plm (cos θ� )2πδm0 4π (l + m)! � �1/2 2l + 1 = Pl (cos θ� )2πδm0 , 4π =

�

dϕ� eimϕ

(2.101)

con Pl0 = Pl y donde los Pl son los polinomios de Legendre, soluciones de (2.90) con m = 0. De (2.100) y (2.101) se desprende que Φ(r, θ, ϕ) =

∞ �� l=0

0

π

� 2l + 1 � r � dθ sin θ g(θ )Pl (cos θ ) Pl (cos θ). 2 a �

�

�

�

(2.102)

En general, para aquellos problemas con simetria azimutal el potencial vendrá dado como una expansión en polinomios de Legendre.

21

La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cilindricas Como un u ´ltimo ejemplo del uso de expansiones para representar potenciales en electroestática que satisfacen la ecuación de Laplace, consideremos el problema de determinar el potencial en el interior de una región cilindrica sin cargas en su interior y con los valores del potencial prescritos sobre la superficie de dicha región. Un problema t´ıpico viene dado por 1 1 ∆Φ(ρ, θ, z) = ∂ρ ∂ρ Φ + ∂ρ Φ + 2 ∂ϕ ∂ϕ Φ + ∂z ∂z Φ = 0, ρ ρ 0 ≤ ρ < a,

0 ≤ ϕ < 2π,

y las condiciones de contorno

Φ(a, ϕ, z) = 0, Φ(ρ, ϕ, l) = 0,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

Φ(ρ, ϕ, 0) = V (ρ, ϕ),

donde por consistencia V (a, ϕ) = 0. Proponiendo la solución de la forma

(2.103)

0≤z≤l 0≤z≤l

0 ≤ ρ ≤ a,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

Φ(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Q(ϕ)Z(z)

(2.104) (2.105)

(2.106)

y sustituyendo en (2.103) se tiene R�� + ρ−1 R� 1 Q�� Z �� + 2 =− =λ R ρ Q Z

(2.107)

de donde se desprende que Z �� + λZ = 0.

(2.108)

De la misma manera se tiene ρ2 R�� + ρR� Q�� − ρ2 λ = − =µ R Q y por lo tanto ρ2 R�� + ρR� − (λρ2 + µ)R = 0, Q�� + µ Q = 0.

(2.109) (2.110)

Ahora, puesto que ϕ = 0 y ϕ = 2π no son fronteras reales, imponemos condiciones de contorno periódicas Q(0) = Q(2π) ,

Q� (0) = Q� (2π).

(2.111)

As´ı, (2.110, 2.111) define un problema de autovalores con autofunciones y autovalores Qn (ϕ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ µ = n2 , n = 0, 1, 2 . . . 22

(2.112) (2.113)

Suponiendo λ = −β 2 con β > 0, la condición u(r, ϕ, �) = 0 implica que Z(�) = 0 y la solución de (2.108) apropiada viene dada por Z(z) = C sinh β(� − z).

(2.114)

A continuación, haciendo βρ = x en (2.109) se tiene d2 R 1 dR n2 + + (1 − )R = 0, dx2 x dx x2

(2.115)

que es la ecuación de Bessel de orden n y cuya solución general viene dada por Rn (x) = DJn (x) + ENn (x),

(2.116)

donde Jn y Nn son las funciones de Bessel de primer y segundo tipo (Nn se conoce también como la función de Neumann). Exigiendo que limρ→0 Φ(ρ, ϕ, z) < ∞ llegamos a la conclusión de que E = 0, ya que Nn no está acotada en el origen. Por otro lado, Φ(a, ϕ, z) = 0 implica que R(a) = 0 y de aqu´ı que Jn (βa) = 0, de donde se sigue que β = βnm = αnm /a, donde los {αnm } son las ra´ıces de Jn , esto es, Jn (αnm ) = 0. Por lo tanto se tendrá que Rn (ρ) = Jn (αnm ρ/a)

(2.117)

La solución de (2.103) que satisface las condiciones de contorno homogéneas que aparecen en (2.104) viene dada por � � ρ (� − z) Φ(ρ, ϕ, z) = Jn (αnm )[ anm cos nϕ + bnm sin nϕ ] sinh αnm (2.118) a a n=0 m=1 ∞ � ∞ �

y de la condición de contorno no homogénea se desprende que f (ρ, ϕ) =

∞ � ∞ �

n=0 m=1

Jn

�

� � r� � αnm [ anm cos nϕ + bnm sin nϕ ] sinh αnm , a a

(2.119)

que reconocemos como una serie de Fourier en ϕ y una serie de Fourier-Bessel en ρ para f (ρ, ϕ). Usando2 � a � ρ� � ρ � a� dρ ρJn αnm� Jn αnm = [Jn+1 (αnm )]2 δm� m , (2.120) a a 2 0 2

Las funciones Jn (αnm x) son las autofunciones del problema de autovalores � � d d n2 x u − u = λ x u, u(0) = u(1) = 0 dx dx x

2 asociadas a los autovalores λ = −αnm y de aqu´ı que sean ortogonales con peso x si están asociadas a autovalores diferentes.

23

de (2.119) se sigue � � � a � � ρ � 2π � a2 dρ ρJ0 α0m dϕf (ρ, ϕ) = a0m sinh α0m 2π [J1 (α0m )]2 , a 0 a 2 0 de donde obtenemos a0m =

1

�

� �

πa2 sinh α0m a [J1 (α0m )]2

�

a

dρ

0

�

� ρ� dϕ ρJ0 α0m f (ρ, ϕ). a

2π

0

(2.121)

De la misma manera obtenemos anm

2 = πa2 sinh (αnm �/a) [Jn+1 (αnm )]2

�

a

dρ

0

�

2π

0

� ρ� dϕ ρJn αnm cos nϕ f (ρ, ϕ) a (2.122)

y �

�

ρ� bnm dρ dϕ ρJn αnm sin nϕ f (ρ, ϕ). a 0 0 (2.123) En general, en problemas de electrostática con condiciones de contorno sobre superficies cilindricas es usual encontrar los potenciales como una expansión en terminos de funciones de Bessel. Es claro que la forma expl´ıcita de la expansión (2.118), apropiada para intervalos finitos en ρ, obedece a la condición de que el potencial se anule en z = 0, ∀ρ ∈ [0, a] y en ρ = a, ∀ z ∈ [0, �]. Por supuesto, para condiciones de contorno diferentes, la expansión tomará formas diferentes. Una expansión util para ρ ∈ [0, ∞) y z ≤ 0, tal que limz→∞ Φ = 0, viene dada por 2 = 2 πa sinh (αnm �/a) [Jn+1 (αnm )]2

Φ(r, ϕ, z) =

∞ � �

m=0

∞

a

2π

�

dk e−kz Jm (kr) [Am (k) sin mϕ + Bm (k) cos mϕ],

(2.124)

0

donde al igual que antes los coeficientes Am y Bm se determinan a partir de las condiciones de contorno espec´ıficas del problema.

2.4.2

La ecuaci´ on de Poisson. Funciones de Green

Ya antes habiamos encontrado que la solución a aquellos problemas de contorno con distribuciones de carga en la región de interés, esto es, a los problemas de contorno para la ecuación de Poisson, requiere el conocimiento de la función de Green apropiada. Si el problema de contorno para la ecuación de Laplace es separable en alg´ un sistema de coordenadas, hemos visto que su solución se puede obtener como una expansión en una base de funciones dada. Mostraremos que en el problema de contorno para la ecuación de Poisson es conveniente proponer una expansión para la función de Green en ese mismo conjunto base de funciones.

24

Expansi´ on de la funci´ on de Green en coordenadas esfericas Supongase que estamos interesados en encontrar la función de Green en coordenadas esfericas para el problema interior de Dirichlet ∆Φ = −4πρ(�x),

0 < r < a,

0 < θ < π,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

(2.125)

con la condición de contorno Φ(a, θ, ϕ) = V (θ, ϕ).

(2.126)

La función de Green buscada es la solución elemental del problema ∆r,θ,ϕ G(r, θ, ϕ, r� , θ� , ϕ� ) = −

r2

4π δ(r − r� )δ(θ − θ� )δ(ϕ − ϕ� ), sin θ

(2.127)

con G|r=0 = 0.

(2.128)

La solución de (2.127) y (2.128) es fácil de conseguir usando el hecho de que los armonicos esfericos son un conjunto ortogonal completo, con una relación de cierre dada por ∞ � l � 1 Ylm (θ� , ϕ� )∗ Ylm (θ, ϕ) = δ(θ − θ� )δ(ϕ − ϕ� ) (2.129) sin θ l=o m−l y de aqui que podamos proponer la expansión G(�x, �x� ) =

∞ � l �

Glm (r; r� , θ� , ϕ� )Ylm (θ, ϕ).

(2.130)

l=0 m=−l

Sustituyendo (2.130) y (2.129) en (2.127) � � ∞ � l � 1 d 2 l(l + 1) (r Glm ) − Glm Ylm (θ, ϕ) = 2 dr 2 r r l=0 m=−l

∞ � l � δ(r − r� ) m � � ∗ m −4π Yl (θ , ϕ ) Yl (θ, ϕ), r2 l=0 m=−l

(2.131)

donde hemos usado (2.80) y (2.88). Multiplicando (2.131) por Ylm (θ, ϕ)∗ sin θ e integrando en los ángulos θ y ϕ se tiene, usando la relación de ortogonalidad (2.94), � � l(l + 1) 4π 1 d 2 d r Glm − Glm = − 2 δ(r − r� )Ylm (θ� , ϕ� )∗ (2.132) 2 2 r dr dr r r y con Glm (r; r� , θ� , ϕ� ) = gl (r, r� ) Ylm (θ� , ϕ� )∗ 25

(2.133)

se tiene

d dr

�

d r gl dr 2

�

− l(l + 1)gl = −4πδ(r − r� ).

(2.134)

Por otro lado, de (2.128) se desprende que gl |r=a = 0

(2.135)

gl |r=0 < ∞.

(2.136)

y adicionalmente exigiremos que Se sigue que gl es la función de Green para el operador d/dr(r2 d/dr) − l(l + 1) que satisface las condiciones de contorno en dos puntos (2.135,2.136). La solución de (2.134) y (2.135,2.136) viene dada por � 4π l � �−(l+1) r r − a−(2l+1) r�l 2l + 1 � 4π �l � −(l+1) + Θ(r − r� ) r r − a−(2l+1) rl 2l + 1

gl (r, r� ) = Θ(r� − r)

o bien

(2.137)

� 4π l � −(l+1) l r< r> − a−(2l+1) r> , 2l + 1 donde r< ≡ min{r, r� } y r> ≡ max{r, r� }. De (2.130), (2.133) y (2.138) se sigue gl (r, r� ) =

�

G(�x, �x ) =

∞ � l � l=0

4π l Ylm (θ� , ϕ� )∗ Ylm (θ, ϕ) r< 2l + 1 m=−l

�

1 l+1 r>

l r> − 2l+1 a

(2.138)

�

.

(2.139)

A continuación veamos algunos ejemplos en los que es u ´til el empleo de (2.139). Consideremos el problema (2.76) con la condición de contorno (2.77), que ya fue resuelto (vease (2.98)). De acuerdo a (2.29) se tiene � 1 Φ(r, θ, ϕ) = − Φ(�x� ) ∂n� G da� 4π s � � 2π 1 2 π � ∂G � = − a dθ sin θ dϕ� V (θ� , ϕ� ) � (�x, �x� ) |r� =a 4π ∂r 0 0 y con r� |s = a = r> ,

� � ∞ � l � ∂G 4π (2l + 1) m � � ∗ m � � l |r� =a = − Yl (θ , ϕ ) Yl (θ , ϕ ) r ∂r� 2l + 1 al+2 l=0 m=−l

y por lo tanto Φ(r, θ, ϕ) =

�� ∞ � l � l=0 m=−l

0

π

dθ

�

�

0

�� r l m dϕ sin θ Yl (θ , ϕ ) V (θ , ϕ ) Yl (θ, ϕ), a (2.140)

2π

�

�

26

m

�

� ∗

�

�

que es la solución dada en (2.98). Veamos a continuación otra aplicación de (2.139). Consideremos el problema de encontrar el potencial electrostático Φ en el interior de una región esferica sobre cuya superficie imponemos Φ = 0 y en cuyo interior se encuentra un anillo de radio b y carga total Q uniformemente distribuida. La densidad de carga del anillo en coordenadas esféricas viene dada por ρ(�x) =

Q π δ(r − b)δ(θ − ) sin θ 2

2πb2

y de acuerdo a (2.29) � Φ(r, θ, ϕ) = d3 x� ρ(�x� )G(�x, �x� ) =

Ω ∞ �

l �

4π Ylm (θ, ϕ) 2l + 1 m=−l

l=0 2π

�

a

� �2

dr r

0

�

π

(2.141)

dθ� sin θ�

0

� � l r> Q π m � � ∗ l 1 � � dϕ δ(r − b)δ(θ − ) Yl (θ , ϕ ) r< − 2l+1 l+1 2πb2 sin θ� 2 a r> 0 � � � 2π ∞ � l l � r> 4π 1 π m l = Yl (θ, ϕ)r< − 2l+1 dϕ� Ylm ( , ϕ)∗ . l+1 2l + 1 a 2 r> 0 l=0 m=−l �

�

donde ahora r< ≡ min{r, b} y r> ≡ max{r, b}. Usando (2.101), finalmente obtenemos Φ(r, θ, ϕ) = Q

∞ � l=0

l Pl (0) r<

�

1 rl+1

l r> − 2l+1 a

�

Pl (cos θ).

(2.142)

La solución en este caso viene dada como una expansión en potencias de r y polinomios de Legendre, cosa que hubiera podido ser adelantada al observar que el problema posee simetria azimutal. Expansi´ on de la funci´ on de Green en coordenadas cilindricas Veamos a continuación como obtener expansiones para la función de Green en coordenadas cilindricas. Como ejemplo, busquemos la función de Green del problema de contorno � � 1 1 4π ∂ρ ∂ρ + ∂ρ + 2 ∂ϕ ∂ϕ + ∂z ∂z G(ρ, ϕ, z; ρ� , ϕ� , z � ) = − δ(ρ − ρ� )δ(ϕ − ϕ� )δ(z − z � ); ρ ρ ρ (2.143) donde 0 < ρ, ρ� < a; 0 < ϕ, ϕ� < 2π y 0 < z, z � < �; con G|∂Ω = 0,

(2.144)

siendo ∂Ω la superficie de un cilindro de radio a y altura � con base en el plano XY . 27

Haciendo uso de ∞ ∞ 1 � −im(ϕ−ϕ� ) � 2 1 � � δ(ρ − ρ )δ(ϕ − ϕ ) = e J (αmn ρ) Jm (αmn ρ� ), � 2 m ρ 2π m=−∞ [J (α )] mn m n=1 (2.145) con 0 < ρ, ρ� < 1 y 0 < ϕ, ϕ� < 2π, donde Jm es la función de Bessel de orden m, J−m = (−1)m Jm y {αmn } son las raices de Jm , Jm (αmn ) = 0, se propone �

�

�

G(ρ, ϕ, z; ρ , ϕ , z ) =

∞ ∞ � �

ρ Gmn (z; ρ� , ϕ� , z � ) e−imϕ Jm (αmn ) a m=−∞ n=1

y de (2.143) se sigue � ∞ ∞ � 2 � � αmn d2 ρ − 2 Gmn + 2 Gmn e−imϕ Jm (αmn ) = a dz a m=−∞ n=1

esto es,

� ∞ ∞ 4π � � 2e−im(ϕ−ϕ ) ρ ρ� − J (α ) J (α )δ(z − z � ), m mn m mn � (α 2 2πa2 m=−∞ n=1 [Jm a a mn )]

1 d2 αmn 4 imϕ� ρ� � 2 � G − G = − e J (α mn mn m mn )[Jm (αmn )] δ(z − z ). dz 2 a2 a2 a Definiendo 1 ρ� � � Gmn (z; ρ� , ϕ� , z � ) = gmn (z; z � ) 2 eimϕ Jm (αmn )[Jm (αmn )]−2 a a tenemos que gmn satisface 2 d2 αmn � g (z; z ) − gmn = −4δ(z − z � ) mn 2 2 dz a y de las condiciones de contorno para G

⇒

G|z=0 = G|z=� = 0,

(2.146)

(2.147)

(2.148)

(2.149)

se sigue que gmn satisface a su vez las condiciones gmn |z=0 = gmn |z=� = 0. La solución elemental de (2.148) y (2.150) se encuentra viene dada por �α � 4a αmn mn � gmn (z; z ) = sinh( z< ) sinh (� − z> ) αmn sinh(αmn �/a) a a

(2.150)

(2.151)

Finalmente, tenemos que G(�x, �x� ) =

∞ ∞ � �

�

4a e−im(ϕ−ϕ ) ρ� ρ J (α )J (α ) m mn m mn 2 [J � (α 2 α sinh(α �/a)a )] a a mn mn mn m m=−∞ n=1 �α � �α � mn mn × sinh z< sinh (� − z> ) . (2.152) a a 28

Es conveniente se˜ nalar que (2.152) no es la u ńica expansión posible para la función de Green solución de (2.143) y (2.144). Por ejemplo, si utilizamos δ(ϕ − ϕ� ) =

∞ 1 � −im(ϕ−ϕ� ) e , 2π m=−∞

0 < ϕ, ϕ� < 2π;

(2.153)

y � ∞ � 1 nπz � 1� nπz nπz � nπz δ(z − z ) = + cos cos + sin sin , 2� � n=1 � � � � �

0 < z, z � < �;

(2.154) proponiendo una expansión para G en esa base de funciones y dejando por u ´ltimo la busqueda de la solución elemental en la variable ρ obtendremos � � ∞ ∞ � nπz � 4 � � im(ϕ−ϕ� ) nπz � Im (nπρ< /�) G(�x, �x ) = e sin sin � m=−∞ n=1 � � Im (nπa/�) � nπa nπρ> nπa nπρ> � × Im ( )Km ( ) − Km ( )Im ( ) , (2.155) � � � � �

donde

π m+1 (i) [Jm (im) + iNm (ix)], 2 son las funciones de Bessel modificadas, soluciones de � � d2 R 1 dR m2 + − 1 + 2 R = 0. dx2 x dx x Im (x) = (i)−m Jm (ix),

Km (x) =

29

(2.156)

Cap´ıtulo 3 Expansi´ on Multipolar. Electrost´ atica en medios materiales Este cap´ıtulo tiene dos objetivos principales: 1. La obtención de la expansión en multipolos de una distribución de cargas localizada 2. La derivación de las ecuaciones de la electroestática en una medio material

3.1

Expansi´ on multipolar

Una distribución de cargas localizada es por definición una densidad de carga ρ(�x) que se anula fuera de una región R (esto es, una distribución de soporte acotado). Es claro, cualquiera que sea la distribución localizada de cargas ρ(�x), siempre es posible proponer la expansión Φ(�x) =

∞ � l � l=0

4π Ylm (θ, ϕ) qlm 2l + 1 rl+1 m=−l

(3.1)

para el potencial electroestático en el exterior de la región R. El problema a resolver es la determinación de los coeficientes qlm en (3.1), que es claro, dependen de ρ(�x) ya que � ρ(�x) Φ(�x) = d3�x� . (3.2) |�x − �x� | Ahora bien,

∞ � l l � r< 1 4π m � � ∗ m = Y (θ , ϕ ) Y (θ, ϕ) l l+1 |�x − �x� | 2l + 1 l r> l=0 m=−l

(3.3)

como puede verse haciendo a → ∞ en (2.139) y con G(�x, �x� ) = |�x − �x� |−1 la función de Green para el problema de contorno con la u ńica condición lim|�x|→∞ G = 0. Puesto 30

que estamos interesados en el potencial fuera de R, r< = r� y r> = r, y se tendrá �∞ l � � � � �l � � 4π ρ(� x ) r Φ(�x) = d3 x� = d3 x� ρ(�x� ) (Ylm (θ� , ϕ� ))∗ Ylm (θ, ϕ) l+1 |�x − �x� | 2l + 1 r l=0 m=−l �� m ∞ � l � 4π Y (θ, ϕ) 3 � �l m � � ∗ = d x r (Yl (θ , ϕ )) ρ(�x) l l+1 (3.4) 2l + 1 r l=0 m=−l y de (3.4) y (3.1) se desprende qlm =

�

d3 x� r�l Ylm (θ� , ϕ� )∗ ρ(�x� ).

(3.5)

Los coeficientes qlm se conocen como los momentos multipolares de la distribución de cargas ρ(�x). Para facilitar la interpretación f´ısica de los mismos escribamos unos cuantos qlm en coordenadas cartesianas. As´ı � 1 1 q00 = √ d3 x� ρ(�x) = √ q, (3.6) 4π 4π donde q≡

�

d3 x� ρ(�x� )

(3.7)

es la carga total de ρ(�x). A q00 se le denomina término monopolar de la distribución ρ(�x). Por otro lado, para l = 1 se tiene � � � 3 3 q11 = − d3 x� (x� − iy � )ρ(�x� ) = − (px − ipy ), 8π 8π � � � 3 3 3 � � � q10 = d x z ρ(�x ) = pz , 4π 4π � � � 3 3 q1−1 = d3 x� (x� + iy � )ρ(�x� ) = (px + ipy ), 8π 8π donde p� ≡ define al momento dipolar Para l = 2 tenemos � � 1 15 q22 = 4 2π � � 15 q21 = − 8π � � 1 5 q20 = 2 4π

�

d3 x� �x� ρ(�x� ),

(3.8)

eléctrico de la distribución ρ(�x). 1 d x (x − iy ) ρ(�x ) = 12

�

15 (Q11 − 2iQ12 − Q22 ) 2π � 1 15 d3 x� z � (x� − iy � )ρ(�x� ) = − (Q13 − iQ23 ) 3 8π � 1 5 3 � �2 �2 � d x (3z − r )ρ(�x ) = Q33 , 2 4π 3 �

�

� 2

�

31

(3.9)

∗ con ql,−m = (−1)m qlm y donde hemos definido las cantidades � Qij ≡ d3 x� (3x�i x�j − r�2 δij )ρ(�x� ).

(3.10)

Al tensor (de traza nula) Q = Qij eî ⊗ eˆj ; i, j = x, y, z; con Qij dado por (3.10) se le conoce como el tensor momento cuadrupolar eléctrico. De lo anterior se desprende que los momentos multipolares qlm para un l dado son combinaciones lineales de los correspondientes multipolos en coordenadas cartesianas, en términos de los cuales se tiene � ρ(�x� ) Φ(�x) = d3 x� |�x − �x� | � � � � 1 � x 1 1 = d3 x� ρ(�x� ) + · �x� + (3x�i x�j − r�2 δij )xi xj + · · · |�x| |�x|3 2 |�x|5 i,j q p� · �x 1 � xi yj = + + Q + ··· (3.11) ij |�x| |�x|3 2 i,j |�x|5 con q, p� y Qij dados por (3.7), (3.8) y (3.10), respectivamente. A partir de (3.4) ó (3.11) es fácil obtener el campo eléctrico debido a un multipolo dado. Por ejemplo de (3.11) se tiene que el campo eléctrico en un punto �x debido a un dipolo p� localizado en el origen viene dado por � � p� · �x � � E(�x) = −∇ . |�x|3 Ahora

� � �� p� · �x pj xj δij 1 ∇ = ∂i = pj + pj xj ∂i 3 3/2 3/2 |�x| (xk xk ) (x − kxk ) (xk xk )3/2 i δij xi − 3pj xj , = pj 3/2 (xk xk ) (xk xk )5/2 (3.12)

de donde se sigue x − p� � x) = − p� + 3(�p · �x)�x = 3(�p · xˆ)ˆ E(� . 3 5 3 |�x| |�x| |�x|

(3.13)

En particular, para un dipolo p� a lo largo del eje z el potencial en coordenadas esféricas viene dado por 1 � 4π Y m (θ, ϕ) Φ(�x) = q1m 1 2 3 r m=−1 y el campo eléctrico correspondiente es Er =

2p cos θ , r3

Eθ = 32

p sin θ , r3

Eϕ = 0,

cuya verificación se deja como ejercicio. Es necesario recalcar que los momentos multipolares qlm en (3.1) dependen de la elección del origen del sistema de coordenadas. Como un ejemplo trivial, considerese una carga puntual q localizada en (r0 , θ0 , ϕ0 ), la distribución de cargas viene dada por q ρ(�x) = 2 δ(r − r0 ) δ(θ − θ0 ) δ(ϕ − ϕ0 ). r0 sin θ0 y los momentos multipolares son en este caso qlm = q r0l Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ , obviamente no nulos ∀ l, m . Comentario: El campo eléctrico debido a un dipolo, (3.13), ha sido obtenido derivando el potencial en el sentido de la teor´ıa de funciones. De una derivación en el sentido de las distribuciones obtenemos x(�p · xˆ) − p� 4π � x) = 3ˆ E(� − p� δ(�x), |�x|3 3

expresión que sugiere que los dipolos pueden ser tratados como objetos puntuales. En efecto, un dipolo eléctrico con momento dipolar p�, localizado en �x0 , tiene asociada la distribución de cargas � x − �x0 ), ρ(�x) = −�p · ∇δ(� la cual, a través de (3.2), genera el potencial

Φ(�x) = p� · (�x − �x0 )/|�x − �x0 |3 asociado a un dipolo p� localizado en �x0 .

3.2

Expansi´ on multipolar de la energ´ıa de una distribuci´ on de cargas en un campo externo

Si una distribución localizada de cargas ρ(�x) se coloca en un potencial electroestático externo Φ(�x), la energ´ıa electroestática del sistema es � W = d3 x ρ(�x) Φ(�x). (3.14) Si el potencial Φ cambia levemente sobre la región R donde ρ(�x) tiene su soporte, entonces es posible expandir Φ en torno de alg´ un origen apropiado 1� � Φ(�x) = Φ(0) + �x · ∇Φ(0) + xi xj ∂i ∂j Φ(0) + · · · (3.15) 2 i,j 1� � = Φ(0) − �x · E(0) − xi xj ∂i Ej (0) · · · 2 i,j 1� � = Φ(0) − �x · E(0) − (3xi xj − r2 δij ) ∂i Ej (0) + · · · , 6 i,j 33

� ·E � = 0 ∀�x ∈ donde hemos usado el hecho de que ∇ / R y de aqu´ı que 1� � W = q Φ(0) − p� · E(0) − Qij ∂i Ej + · · · 6 i,j

(3.16)

expansión que muestra la forma caracteristica en la cual los momentos multipolares de una distribución de cargas localizada interactuan con un campo externo.

3.3

Electrost´ atica en medios materiales

Hasta el momento solo hemos considerado potenciales electrostáticos y campos en el vacio. Sin embargo es claro que si estamos interesados en el mismo problema pero esta vez en un medio material debemos entonces tomar en cuenta la respuesta eléctrica del medio. Lo anterior nos lleva a considerar el valor promedio de los campos sobre regiones macroscopicamente peque˜ nas pero microscopicamente grandes (si no el analisis clásico es deficiente) para obtener las ecuaciones de Maxwell apropiadas. Dentro del marco de un enfoque netamente clásico haremos a continuación una discusión muy elemental sobre la polarización de los medios materiales y la contribución de ésta al potencial y campo eléctricos. En primer lugar tenemos que la ecuación � ×E � = �0 ∇

(3.17)

sigue siendo valida, ya que la misma es independiente de las fuentes, lo que implica que el campo eléctrico es todavia derivable de un potencial Φ(�x). Por otro lado, la aplicación de un campo eléctrico a un medio constituido por un gran n´ umero de moleculas hará que la densidad de carga de las mismas se distorsione y sus momentos multipolares serán distintos de los presentes en el caso de campo aplicado nulo. Suponiendo que el momento multipolar molecular dominante con el campo aplicado sea el dipolar, se tendrá que el potencial dΦ en �x tiene entonces dos contribuciones. Una proveniente de la carga ρ(�x� )d3 x� contenida en el volumen d3 x� en torno del punto �x� y la otra generada por la configuración de momentos dipolares eléctricos localizados en ese mismo volumen (vease (3.11)) � � ρ(�x� ) (�x − �x� ) � � � dΦ(�x, �x ) = + P (�x ) · d3 x� , (3.18) |�x − �x� | |�x − �x� |3 donde P� (�x) es el momento dipolar por unidad de volumen y que denominaremos polarización eléctrica. De (3.18) se sigue que � � � ρ(�x� ) (�x − �x� ) 3 � � � Φ(�x) = dx + P (�x ) · |�x − �x� | |�x − �x� |2 � � � 1 � � � · P� (�x� ) , = d3 x� ρ(� x ) − ∇ (3.19) |�x − �x� | 34

donde hemos integrado por partes para llegar a la u ´ltima expresión y usado el hecho � de P es de soporte acotado. Nótese que (3.19) es la expresión del potencial creado por � · P� (�x). As´ı, con E(� � x) = −∇Φ(� � x) una distribución de cargas efectiva ρef. (�x) ≡ ρ(�x) − ∇ se tiene entonces � � � � � � ∇ · E(�x) = 4π ρ(�x) − ∇ · P (�x) . (3.20) � Definiendo el desplazamiento eléctrico D (3.20) se transforma en1

� x) ≡ E(� � x) + 4π P� (�x), D(�

(3.21)

� ·D � = 4πρ. ∇

(3.22)

Las ecuaciones (3.17) y (3.22) son las ecuaciones de Maxwell para la electroestática en medios materiales. De manera de obtener soluciones para los potenciales y/o campos electroestáticos � y E. � Sua partir de (3.17) y (3.22) es necesario dar relaciones constitutivas entre D poniendo que la respuesta del material al campo eléctrico aplicado es lineal y que el medio es isótropo, entonces � x), P� (�x) = χe (�x)E(� (3.23) donde χe es la suceptibilidad eléctrica del medio. As´ı se tendrá � x) = ε(�x)E(� � x), D(�

(3.24)

ε(�x) = 1 + 4πχe (�x)

(3.25)

donde es la denominada constante dieléctrica o permitividad eléctrica relativa. Si el medio no solo es isótropo si no también uniforme, χe y por lo tanto ε serán independientes de la posición. En caso de que el medio sea anisótropo, una generalización obvia de (3.24) es (suponiendo respuesta lineal) Di = εij Ej ,

(3.26)

donde las εij son las componentes del tensor permeabilidad eléctrica. Es conveniente hacer notar que en general ε depende de la estructura molecular y cristalina del material, de la densidad y la temperatura. Ahora, suponiendo el espacio lleno de diferentes medios, no necesariamente lineales en sus respuestas, debemos entonces encarar el problema de las condiciones de contorno � yD � en la interfaz entre medios. De (3.22) tenemos para E � � 3 � � = 4π d x∇ · D d3 x ρ V � V � ·n �1 − D � 2) · n = D ˆ da = (D ˆ 21 A, S

1

Si incluimos la densidad de momentos cuadrupolares eléctricos, se define entonces Di = Ei + 4π(Pi − ∂j Qij ).

35

donde n ˆ 21 es la normal a la superficie interfaz, dirigida del medio 2 al medio 1, se ha utilizado el teorema de la divergencia y la superficie gausiana S escogida tiene la forma de una cajita de p´ıldoras, cuya altura tiende a cero y con caras circulares paralelas a � tome el mismo la superficie y de área A lo suficientemente peque˜ na como para que D valor sobre toda la superficie de dichas caras. Por otro lado, si la densidad de carga es singular sobre la interfaz entonces � 4π ρd3 x = 4πσ A, V

donde σ es la densidad de carga superficial en la interfaz y de aqu´ı que �1 − D � 2) · n (D ˆ 21 = 4πσ.

(3.27)

De la misma manera podemos escoger convenientemente un contorno C rectangular y emplear el teorema de Stokes para determinar las discontinuidades de las componen� Con los lados de C perpendiculares a la superficie interfaz tes tangenciales de E. tendiendo a cero y los lados paralelos a la misma de longitud l se tiene � � � � � · d�l = (E �2 − E � 1 )|| l, 0= ∇×E·n ˆ da = E S

esto es,

C

�1 − E � 2 ) = 0. n ˆ 21 × (E

(3.28)

Las ecuaciones (3.27) y (3.28) nos dan las condiciones de contorno que deben satisfacer � yE � en la interfaz entre medios dieléctricos. D

36

Cap´ıtulo 4 Magnetost´ atica En las discusiones precedentes hemos estudiado algunos aspectos de la interacción entre distribuciones de carga estacionarias, el papel de éstas como fuentes de los campos electrostáticos y los problemas de contorno mas usuales asociados al potencial electrostático. Ahora volcaremos nuestra atención al estudio de los fenómenos magnéticos en estado estacionario.

4.1

� Magnetost´ atica. El campo B

� producido en �x por el elemento de corriente Como es sabido, el campo magnetico dB � � Idl de un hilo a través del cual fluye una corriente I (d�l� apunta en la dirección del flujo de corriente) viene dado por � = dB

1 �� x − �x� I dl × , c |�x − �x� |3

(4.1)

donde �x� es la posición del elemento de corriente Id�l� , expresión que se usa en los cursos elementales para obtener el campo magnético de distribuciones de corriente sencillas. Como una aplicación muy sencilla de (4.1), consideremos el campo magnético producido por un alambre recto infinito a través del cual fluye una corriente I. Suponiendo que el hilo de corriente define al eje z tendremos d�l� = dz � eˆz , �x� = z � eˆz y con �x = ρ eˆρ +z eˆz , de (4.1) obtenemos � � Iρ ∞ dz � 2I � � B(ρ, ϕ, z) = dB = eˆϕ = eˆϕ , 2 � 2 3/2 c −∞ (ρ + (z − z ) ) cρ donde ρ es la distancia desde el hilo de corriente hasta el punto de observación, en la dirección perpendicular al hilo. La ecuación (4.1) puede reescribirse en forma muy general en terminos de la den� x) sidad de corriente J(� � � 1 � � x� ) × �x − �x , B(�x) = d3�x� J(� (4.2) c |�x − �x� |3 37

ecuación que es el analogo magnetico de la expresión que dá el campo electrico en terminos de la densidad de carga ρ(�x) � �x − �x� � E(�x) = d3�x� ρ(�x� ) , |�x − �x� |3 cuya forma diferencial hemos visto viene dada por � · E(� � x) = −4πρ(�x). ∇ Otra expresión conocida de los cursos elementales, es la que nos da la fuerza que experimenta un elemento de corriente IdI� en presencia de una campo magnetico externo � B 1 � dF� = Id�l × B, c que admite la generalización evidente dF� (�x) =

1 3 � � x). d x J(�x) × B(� c

Ahora, si nos restringimos a considerar situaciones en las que se tienen distribuciones de corriente y campos magnéticos independientes del tiempo, as´ı como distribuciones de carga y campos eléctricos independientes del tiempo, las ecuaciones de Maxwell (1.4,1.5,1.6,1.7) se reducen a � · E(� � x) = 4πρ(�x), ∇

� × E(� � x) = �0, ∇

(4.3)

� ×B � = 4π J(� � x), � · B(� � x) = 0, ∇ ∇ (4.4) � yB � se desacoplan en el caso estático. As´ı tenemos de donde se sigue que los campos E que los fenómenos electrostáticos y magnetostáticos lucen entonces independientes. Vamos a demostrar que la expresión (4.2) satisface las ecuaciones (4.4). Para ello notemos que � � � � 1 �x − �x� 1 1 3 �� 3 �� B(�x) = d �x J(�x ) × =− d �x J(�x ) × ∇ c |�x − �x� |3 c |�x − �x� | � � � � � � x� ) � � x� ) 1 1 1 J(� 1 3 �� 3 � 3 � ∇ × J(� � x)= ∇ � × d �x = d �x ∇ × J(� − d � x c |�x − �x� | c |�x − �x� | c |�x − �x� | � � x� ) 1� J(� = ∇ × d3�x� , (4.5) c |�x − �x� | de donde se sigue de inmediato que � · B(� � x) = 0. ∇

(4.6)

� = �0, calculemos ∇ � × B. � � ×E Ahora, por analog´ıa con la electrostatica, donde ∇ � Con B dado por (4.2) se tiene que � � x� ) 1� J(� � � � ∇ × B = ∇ × ∇ × d3�x� , c |�x − �x� | 38

� × (∇ � × A) � = ∇( � ∇ � · A) � − ∆A, � obtenemos y usando ∇ � � � � � � 1� 1 1 1 3 �� 3 �� − d �x J(�x )∆ . ∇ × B = ∇ d �x J(�x ) · ∇ c |�x − �x� | c |�x − �x� | A continuación, con � ∇ y

�

∆ encontramos que

1 |�x − �x� |

�

�

1 |�x − �x� |

�� = −∇

�

�

1 |�x − �x� |

�

= −4πδ(�x − �x� )

� 1 4π � � � x) · ∇ � d �x J(� + J(�x ) |�x − �x� | c �� x� ) 1� J(� 1 4π � � · � � · J(� � x� ) = − ∇ d3�x� ∇ − ∇ + J(�x) c |�x − �x� | |�x − �x� | c � � � · J(� � x� ) 4π 1� ∇ � x), = ∇ d3�x� + J(� c |�x − �x� | c

� × B(� � x) = − 1 ∇ � ∇ c

�

3 �

�

�

donde hemos usado el teorema de la divergencia y el hecho de que J� es localizada. � · J� + c−1 ∂t ρ = 0 y con ∂t ρ = 0 en el estado estacionario, finalmente Ahora bien, ∇ encontramos � × B(� � x) = 4π J(� � x). ∇ (4.7) c Hemos entonces demostrado que (4.2) satisface las ecuaciones de Maxwell de la magnetostática dadas por (4.4). Por u ´ltimo, de (4.7) se sigue que � � 4π � ×B � · d�s = ∇ J� · d�s c S S y empleando el teorema de Stokes � � 4π � � B · dl = J� · d�s, c S C expresión que se conoce como la Ley de Ampere.

4.2

� El potencial vector A

Una estrategia general para resolver el problema que involucra a las ecuaciones (4.6) � ·B � = 0 en todo el espacio, entonces y (4.7) es la de explotar el hecho de que si ∇ � x) = ∇ � × A(� � x), B(� 39

(4.8)

� recibe el nombre de potencial vector. Comparando (4.8) y (4.5) se desprende donde A � viene dado por que A � x) = 1 A(� c

�

� x� ) J(� � x), d �x + ∇χ(� |�x − �x� | 3 �

(4.9)

� reconocemos la libertad en la elección de calibre para el donde en el termino ∇χ potencial, esto es, � x) = ∇ � × A(� � x), B(� para χ(�x) arbitrario! Ahora, sustituyendo (4.8) en (4.7) tendremos � × (∇ � × A) � = 4π J� ∇ c � × (∇ � × A) � = ∇( � ∇ � · A) � − ∆A, � encontramos y usando ∇ � ∇ � · A) � − ∆A � = 4π J. � ∇( c � ecuación (4.9), podemos hacer Debido a la libertad de calibre en la elección de A, � ·A � = 0 (calibre de Coulomb) y tendremos que A � satisface entonces ∇ � x) = − ∆A(�

4π � J(�x) c

(4.10)

� A � = 0. que es claro tendrá a (4.9) como solución en R3 , con χ fijado por la condición ∇·

4.3

� y el campo B � de algunas distriEl potencial A buciones de corriente

Un hilo recto de corriente infinitamente largo Para el campo magnético producido por un hilo recto infinito a través del cual fluye una corriente I, suponiendo que el hilo de corriente define al eje z, encontramos anteriormente la expresión en coordenadas cilindricas � ϕ, z) = 2I eˆϕ . B(ρ, cρ Aqu´ı puede ser instructivo revisar la derivación de este resultado, particularmente � En este caso A � debe satisfacer (4.10) con simple, a partir del potencial vector A. � x) = Jz eˆz , J(�

Jz = I

40

δ(ρ) . 2πρ

(4.11)

Ahora, es claro que el sistema considerado es invariante bajo traslaciones a lo largo del eje z y por lo tanto el problema es efectivamente un problema bi-dimensional, esto � x) = Az eˆz con Az = Az (ρ, ϕ). As´ı, de (4.10-4.11) se sigue es, A(� ∆(2) Az = −4πJz y por lo tanto Az (ρ, ϕ) viene dado por � � � 2 ∞ � � 2π � Az (ρ, ϕ) = − dρ ρ dϕ Jz (ρ� , ϕ� ) ln (ρ cos ϕ − ρ� cos ϕ� )2 + (ρ sin ϕ − ρ� sin ϕ� )2 c 0 0 (4.12) 2 donde hemos usado el hecho de que en R se tiene ∆(2) ln |�x|−1 = −2πδ(�x), con ∆(2) el operador laplaciano en 2 dimensiones. De (4.11) y (4.12) se sigue que 2I ln ρ c

(4.13)

� =∇×A � = 2I eˆϕ , B cρ

(4.14)

Az (ρ, ϕ) = − y finalmente encontramos

que es el resultado esperado. Un anillo circular de corriente Consideremos a continuación la siguiente distribución de corriente: un anillo circular de radio a que se encuentra en el plano xy, centrado en el origen y a través del cual fluye una corriente I. En este caso la densidad de corriente J� viene dada por J� = Jϕ (− sin ϕ eˆx + cos ϕ eˆy ), con Jϕ = I δ(z) δ(ρ − a) en coordenadas cil´ındricas o bien Jϕ =

I π δ(θ − ) δ(r − a), a 2

en coordenadas esfericas. Partiendo de (4.9) tenemos � � 1 ˆx + cos ϕ� eˆy ) Jϕ (�x� ) 3 � (− sin ϕ e � A(�x) = dx , c |�x − �x� | 41

(4.15)

� donde hemos ignorado el termino ∇χ. En coordenadas esfericas, con |�x − �x� | = (r2 + r�2 − 2rr� cos γ)1/2 , donde cos γ = cos θ cos θ� + sin θ sin θ� cos(ϕ − ϕ� ),

se tendrá

� θ, ϕ) = Ia A(r, c

�

0

2π

dϕ�

(− sin ϕ� eˆx + cos ϕ� eˆy ) . (r2 + a2 − 2ar sin θ cos(ϕ − ϕ� ))1/2

(4.16)

� Ahora, es claro que el sistema considerado posee simetria azimutal y evaluando A en ϕ = 0 encontramos � 2π Ia cos ϕ� � θ, 0) = A(r, dϕ� 2 eˆy (4.17) c 0 (a + r2 − 2ar sin θ cos ϕ� )1/2 � = Aϕ (− sin ϕ eˆx + cos ϕ eˆy ) con de donde se sigue que A � Ia 2π � cos ϕ� Aϕ (r, θ) = dϕ 2 . c 0 (a + r2 − 2ar sin θ cos ϕ� )1/2

(4.18)

En lugar de la expresión integral (4.18), es posible obtener Aϕ como una expansión en funciones de Legendre, resultado que muestra a su vez de manera expl´ıcita diferencias importantes entre los campos magnetostáticos y los electrostáticos. Partiendo de (4.15), sustituyendo |�x − �x� | por su expansión en armónicos esfericos, ecuación (3.3), y evaluando en ϕ = 0 encontramos ∞ l 4πI � � 1 Y m (θ, 0) × ca l=0 m=−l 2l + 1 l � ∞ � π � 2π l r< π � �2 � � dr r dθ sin θ dϕ� l+1 cos ϕ� δ(θ� − )δ(r� − a)Ylm (θ� , ϕ� )∗ 2 r> 0 0 0 ∞ l 8π 2 Ia � Yl1 (θ, 0) r< π = Yl1 ( , 0)∗ , l+1 c l=1 2l + 1 r> 2

Aϕ (r, θ) =

con r< = min(r, a), r> = max(r, a) y donde hemos usado � 2π dϕ cos ϕ� Ylm (θ� , ϕ� )∗ = 2π Yl1 (θ� , 0)∗ δm1 . 0

Ahora bien,   0, l = 2n  �    π 2l + 1 Yl1 ( , 0)∗ = Pl1 (0) = �  2 4π(l + 1) 2l + 1 (−1)n+1 Γ(n + 3/2)     4π(l + 1) Γ(n + 1)Γ( 3 ) , 2

42

l = 2n + 1

y con √ 3 1 1 1 1 π Γ(n + ) = Γ(n + + 1) = (n + )Γ(n + ) = (n + ) n (2n − 1)!! , 2 2 2 2 2 2 √ 3 π Γ(n + 1) = n! , Γ( ) = 2 2 obtenemos ∞

2n+1 πIa � (2n − 1)!! r< 1 Aϕ (r, θ) = − (−1)n n 2n+2 P2n+1 (cos θ), c n=0 2 (n + 1)! r>

(4.19)

donde (2n − 1)!! = (1)(3)(5)(· · · )(2n − 3)(2n − 1). � =∇ � ×A � podemos evaluar el campo magnetico B. � Haciendo A partir de (4.19) y B uso de d √ [ 1 − x2 Pl1 (x)] = l(l + 1)Pl (x), (4.20) dx se encuentra ∞ 2π Ia � (−1)n (2n + 1)!! r<2n+1 Br = (4.21) 2n+2 P2n+1 (cos θ), c r n=0 2n n! r> Bθ

∞ π 2 � (−1)n (2n + 1)!! Ia c 2n (n + 1)! n=0 � � � � 2n + 2 1 � r �2n 1 � a �2n 1 × Θ(a − r) − Θ(r − a) 3 P2n+1 (cos θ)(4.22) 3 2n + 1 a a r r

=

y por supuesto Bϕ = 0. Notamos aqu´ı una diferencia importante entre este problema, que obviamente tiene simetria azimutal, y la simetr´ıa azimutal en electrostatica. En la solución (4.21-4.22) aparecen los polinomios de Legendre ordinarios as´ı como los � asociados, esto debido al caracter vectorial del potencial A.

4.4

Momentos magneticos de una distribuci´ on de corrientes localizadas

Consideremos ahora propiedades de una distribución de corrientes general localizada � se tendrá en una región del espacio. Partiendo de (4.9) e ignorando el termino ∇χ, � � � � � � x� ) 1 J(� 1 1 � x · � x 3 � 3 � � � x) = � x) A(� dx = d x J(� + + ··· c |�x − �x� | c |�x| |�x|3 � � 1 1 xj 3 �� x� ) + · · · d3 x� x�j J(� = d x J(�x ) + c |�x| c|�x|3

43

(4.23)

El primer término es la contribución al potencial vector del momento monopolar de � · J� = 0. la distribución de corriente J� y puede demostrarse facilmente que es cero si ∇ Para ello, partimos de � · (xi J) � = xi ∇ � · J� + J� · ∇(x � i ), ∇ � · J� = 0 se tendrá y de aqu´ı que con ∇

� · (xi J) � = Ji . ∇ A continuación, apelando al teorema de la divergencia, encontramos � � � � � 3 � � 3 � � �� x� ) · d�s → 0 d x Ji (�x ) = d x ∇ · xi J(�x ) = x�i J(� Ω

Ω

∂Ω

para Ω → R3 y por lo tanto no hay contribución monopolar. Considérese a continuación la contribución proveniente del segundo término, para lo cual lo re-escribimos en la forma � � � � 1 3 � � � 3 � 1 � � � � � � � d x xj Ji (�x ) = d x (x Ji (x�� ) + xi Jj (�x )) + (xj Ji (�x ) − xi Jj (�x )) . 2 j 2 Ahora bien

� · (xi xj J) � = xi xj ∇ � · J� + J� · ∇(x � i xj ), ∇

� · J� = 0 se sigue del teorema de la divergencia y con ∇ � � � � � 3 � � � � 3 �� d x (xj Ji (x ) + xi Jj (�x )) = d x ∇ · xi xj J(�x ) = Ω

Ω

∂Ω

� x� ) · d�s → 0 x�i x�j J(�

para Ω → R3 . Por lo tanto � � � � 1 3 � � xj d x xj Ji (�x) = xj d3 x� x�j Ji (�x� ) − x�i Jj (�x� ) 2 � 1 = − εijk xj d3 x� εklm x�l Jm (�x� ) 2 � � � 1 3 � � � � x )) . = − �x × d x (�x × J(� 2 i

(4.24)

� (�x) Definiendo la densidad de momentos magneticos o magnetización M � (�x) ≡ 1 �x × J(� � x) M 2c y al momento magnetico m � de la distribución de corriente J� como � 1 � � ), m � ≡ d3 x� �x� × J(x 2c 44

(4.25)

(4.26)

de (4.23) se desprende que el vector potencial tiene como primer termino no nulo a la cantidad � × �x � m (�x) = m A . (4.27) |�x|3 El campo magnetico asociado a (4.27) es n(ˆ n · m) � −m � � =∇ � ×A � = 3ˆ B , 3 |�x|

(4.28)

donde n ˆ ≡ �x/|�x|, expresión que deberá ser comparada con la obtenida para el campo elecrostático (3.13) producido por un dipolo eléctrico p�. As´ı, lejos de cualquier distribución de corriente localizada y estacionaria, el campo magnetico es el de un dipolo magnetico m � dado por (4.26). Por u ´ltimo se puede demostrar que, como en el caso de la electrostática, una deri� en el sentido de las distribuciones arroja como resultado vación de A n(ˆ n · m) � −m � 8π � x) = ∇ � × A(� � x) = 3ˆ B(� + m � δ(�x), 3 |�x| 3 cuestión que no abordaremos aqu´ı.

4.5

Ecuaciones de la magnetost´ atica en medios materiales

Hasta ahora hemos estudiado situaciones en las que se desea conocer el campo magnetico producido por distribuciones de corriente estacionarias en regiones en las que no hay materia. No proponemos a continuación encontrar cuales modificaciones deben hacerse a las ecuaciones de la magnetostática en el vac´ıo para incluir en la descripción la interacción de los campos magnéticos con la materia. Lo primero que notamos es que la ecuación � ·B � = 0, ∇ (4.29) al ser independiente de las fuentes, sigue siendo valida y de aqu´ı que siga siendo util � x), a partir del cual obtenemos B � via B � =∇ � × A. � el concepto de potencial vector A(� Ahora, supongase que queremos incluir en la descripción unicamente el efecto de los momentos dipolares del medio material. Entonces � � � � x� ) � (�x� ) × (�x − �x� ) 1 J(� M � x) = A(� d3 x� +c , (4.30) c |�x − �x� | |�x − �x� |3 � es la densidad de momentos magneticos por unidad de volumen del material donde M considerado. Ahora, � � � � � x� ) × (�x − �x� ) 1 3 � M (� 3 � � � � � d �x = d �x M (�x ) × ∇ |�x − �x� |3 |�x − �x� | � � � ��×M � (�x) � � (�x) ∇ M ��× = d3�x� − d3�x� ∇ |�x − �x� | |�x − �x� | 45

y dado que �

Ω

3 ��

d x∇ ×

�

� (�x) M |�x − �x� |

�

se tendrá � x) = 1 A(� c

=− �

�

∂Ω

d3 x�

� (�x) × d�s M → 0 para Ω → R3 , � |�x − �x |

� x � ) + c∇ ��×M � (�x� ) J(� . |�x − �x� |

(4.31)

Como puede verse de (4.31), la magnetización del medio contribuye con una corriente efectiva � ×M � J�M = c∇ (4.32) y de aqu´ı que

� ×B � = 4π J� + 4π ∇ � ×M �. ∇ (4.33) c � ×M � puede ser combinado con ∇ � ×B � para definir el campo magnetico El termino ∇ � H � ≡B � − 4π M � H (4.34) y las ecuaciones de Maxwell de la magnetostática en medios materiales vienen dadas por � ×M � = 4π J, � ∇ (4.35) c � ·B � = 0. ∇ (4.36) � como campo macroscopico es completamente analoga a la La introducción de H � para el campo electrostático. De nuestra derivación es claro que los introducción de D � yB � y los campos D � yH � son una definición que permite campos fundamentales son E tomar en cuenta (en promedio) las contribuciones a ρ y J� de las cargas y corrientes � y atómicas. Por otro lado, es com´ un reservar el nombre campo magnetico para H � denominar a B densidad de flujo magnetico o inducción magnetica. Por supuesto, la descripción macroscópica completa de un sistema magnetostático � y H. � En general dicha relación constiturequiere de una relación constitutiva entre B tiva puede ser sumamente complicada, del tipo � = F� (H). � B

(4.37)

La ecuación (4.37) refleja el comportamiento de algunos sistemas ferromagneticos con respuestas tan interesantes como el que ilustra la figura (fenómeno de histeresis), en � ni siquiera es una función monovaluada. Para el caso ilustrado, F� (H) � los que F� (H) depende de la historia del material. En materiales isotropos con respuesta lineal sencilla se cumple � = χm H, � M

(4.38)

donde χm es un escalar denominado suceptibilidad magnetica. Si χm es positivo el material se denomina paramagnetico, por el contrario si χm es negativo el material es 46

� no es diamagnetico. Si el material es anisotropo, entonces Mi = χij Hj y en general M � Por otro lado, es conveniente resaltar el hecho de que χm es función de paralelo a H. la temperatura. De (4.38) y (4.34) se tiene � = (1 + χm )H � ≡ µH, � B

(4.39)

donde µ se define como como la permeabilidad magnética del medio. Es claro, antes de poder resolver problemas de magnetostática en medios materiales, � yH � en la interfaz entre debemos conocer las condiciones de frontera que satisfacen B dos medios. De (4.28) se tiene � � 3 � � � · d�s ⇒ (B �1 · n �2 · n d x∇ · B = 0 = B ˆ 21 − B ˆ 21 )a = 0, Ω

esto es,

∂Ω

�1 − B � 2) · n (B ˆ 21 = 0.

(4.40)

Por otro lado, de (4.35) y del teorema de Stokes se sigue que � � � 4π � � � � · d�l J · d�s = ∇ × H · d�s = H c S S C y por lo tanto �1 − H � 2 ) · ˆl0 ∆l = 4π K � · (ˆ (H n21 × ˆl0 )∆l c 4π � = (K × n ˆ 21 ) · ˆl0 ∆l c � es la densidad de corriente superficial en la interfaz. Ahora, puesto que K � es donde K perpendicular a n ˆ 21 , tendremos que � 4π � � �1 − H � 2 )|| = 4π n � ×n � n21 , n ˆ 21 × (H ˆ 21 × K ˆ 21 = K − (ˆ n21 · K)ˆ c c esto es,

�1 − H � 2 ) = 4π K. � n ˆ 21 × (H (4.41) c Por supuesto, las ecuaciones (4.40) y (4.41) deben emplearse al resolver las ecuaciones de Maxwell en diferentes regiones para acoplar las soluciones en la interfaz entre dichas regiones.

4.6

Problemas de contorno en magnetost´ atica

Como ya hemos visto, las ecuaciones básicas de la magnetostática en medios materiales � y son (4.35) y (4.36), donde se debe además dar alguna relación constitutiva entre B � La gran variedad de situaciones que pueden ocurrir en la práctica hace posible el H. empleo de técnicas diferentes que en alguna medida permiten simplificar los calculos. 47

4.6.1

� Uso del potencial vector A

� =∇ � ×A � y de (4.35) se tendrá Debido a (4.36), siempre es posible proponer B � ×H � = 4π J, � ∇ c � = H( � B), � resultando una ecuación diferencial extremamente complicada. Si donde H � = µH � entonces B � × (1∇ � × A) � = 4π ⇒ ∇( � ∇ � · A) � − ∆A � = 4πµ J� ∇ µ c c

(4.42)

� ·A � = 0. Por supuesto, que puede ser resuelta fijando el calibre al calibre de Coulomb ∇ las soluciones de (4.42) deben ser acopladas en la interfaz entre los diferentes medios usando las condiciones de frontera (4.40) y (4.41).

4.6.2

Uso del potencial escalar magn´ etico ΦM (J� ≡ �0)

� ×H � = �0 y por lo tanto es posible buscar Para el caso J� = �0, de (4.35) se tiene ∇ soluciones de la forma � = −∇Φ � M. H (4.43) � = µH � y ΦM satisface Si es posible suponer respuesta lineal, entonces B ∆ΦM = 0,

(4.44)

si µ es constante a trozos.

4.6.3

� dado y J� ≡ �0) Ferromagnetos duros (M

� Uso de A

Para aquellos ferromagnetos cuya magnetización es esencialmente independiente de los campos aplicados (por supuesto estos u ´ltimos debiles), es posible hacer el tratamiento como si la magnetización fuese fija. En este caso, de (4.35) se sigue que � ×H � =∇ � × (B � − 4π M � ) = �0, ∇ � =∇ � × A, � encontramos que A � satisface en el calibre de Coulomb y con B �=− ∆A

4π � JM , c

(4.45)

donde J�M viene dado por (4.32). En ausencia de superficies frontera, la solución de (4.45) viene dada por � ��×M � (�x� ) ∇ � A(�x) = d3 x� . (4.46) |�x − �x� | R3 48

Un caso particularmente interesante es el de una magnetización que se hace cero abruptamente fuera de un volumen Ω, en cuyo caso � x) = A(�

�

Ω

��×M � (�x� )

3 �∇

dx

|�x − �x� |

+

�

∂Ω

M (�x� ) × d�s� , |�x − �x� |

(4.47)

expresión que asumiremos válida sin demostración. Uso de ΦM � = −∇Φ � m . Ahora, con Puesto que J� = �0, entonces proponemos H � =H � + 4π M �, B se tendrá que y por lo tanto

� ·B � =∇ � · (H � + 4π M �) 0=∇ � ·M �. ∆ΦM = 4π ∇

(4.48)

� es diferente de cero solo en un volumen Ω, entonces la solución de (4.48) viene Si M dada por � � � � x� ) � M � (�x� ) · d�s� 3 � ∇ · M (� ΦM (�x) = − d x + . (4.49) |�x − �x� | |�x − �x� | Ω ∂Ω

49

Cap´ıtulo 5 Campos que var´ıan en el tiempo. Leyes de conservaci´ on En las discuciones anteriores nos hemos centrado en aquellos problemas que involucran distribuciones de carga y corriente estacionarias, empleando técnicas matemáticas similares, aunque la descripción de los fenómenos eléctricos y magnéticos se hizo esencialmente independiente una de la otra. La naturaleza casi independiente de dichos fenómenos desaparece cuando consideramos problemas dependientes del tiempo. Campos magnéticos que varian en el tiempo dan lugar a campos eléctricos y viceversa.

5.1

� y la ecuaci´ Los potenciales Φ y A on de onda

Para el caso de campos y fuentes dependientes del tiempo se hace necesario emplear el conjunto de ecuaciones acopladas � ·E � = 4πρ, ∇

(5.1)

� ·B � = 0, ∇ (5.2) � ×E � + 1 ∂t B � = �0, ∇ (5.3) c � ×B � − 1 ∂t E � = 4π J, � ∇ (5.4) c c que son la ley de Gauss, la inexistencia de monopolos magneticos libres, la ley de Faraday y la ley de Ampere, respectivamente. Estas son la ecuaciones de Maxwell en el vacio y la versión apropiada en un medio material es la que resulta de cambiar � y B � en las ecuaciones no homogeneas (5.1) y (5.4) por D � y H, � respectivamente E (asumiendo que el medio material está en reposo). Por los momentos restringiremos nuestra atención al caso en que no hay medios materiales. Como hemos visto en el Cap´ıtulo 1, las ecuaciones (5.1) y (5.4) escritas en terminos � vienen dadas por de los potenciales Φ y A � � 1 1 1 � � ∆Φ − 2 ∂t ∂t Φ = −4πρ − ∂t ∇ · A + ∂t Φ , (5.5) c c c 50

� � 1 4π 1 � − ∂t ∂t A � = − J� + ∇ � ∇ � ·A � + ∂t Φ , ∆A c2 c c

(5.6)

� ·A � + 1 ∂ Φ = 0, ∇ c ∂t

(5.7)

las cuales, en el calibre de Lorentz

se reducen a ecuaciones de onda no homogeneas con ρ y J� como fuentes ∆Φ −

1 ∂2Φ = −4πρ, c2 ∂t2

(5.8)

� 1 ∂2A 4π � � ∆A − 2 2 = − J. (5.9) c ∂t c Revisemos a continuación las consecuencias de escoger otro calibre. Considérese la elección de calibre � ·A � = 0. ∇ (5.10) De (5.5) se sigue que Φ satisface la ecuación de Poisson ∆Φ(�x, t) = −4πρ(�x, t),

(5.11)

cuya solución viene dada por Φ(�x, t) =

�

d3 x�

ρ(�x� , t) . |�x − �x� |

(5.12)

Tenemos entonces que el potencial escalar Φ es el potencial ”instantaneo”de Coulomb producido por la distribución de cargas ρ(�x, t) y de aqu´ı que al calibre (5.10) se le denomine calibre de Coulomb. Por otro lado, de (5.6) se tiene que el potencial vector � satisface la ecuación de onda no-homogenea A �− ∆A

1 � = − 4π J� + 1 ∇∂ � t Φ, ∂t ∂t A 2 c c c

(5.13)

donde el u ´ltimo término del miembro derecho de (5.13) puede ser calculado a partir de (5.12). Para resolver (5.13) es conveniente considerar la descomposición

con y

J� = J�L + J�T ,

(5.14)

� × J�L = 0 ∇

(5.15)

� · J�T = 0. ∇

(5.16)

51

Las partes longitudinal J�L y transversa J�T de J� pueden ser construidas explicitamente a partir de J� (vease el teorema de Helmholtz) 1 � J�L = − ∇ 4π

�

d3 x�

1 � � × J�T = ∇×∇ 4π

�

� � · J(� � x� ) ∇ |�x − �x� |

d3 x�

A continuación, de la ecuación de continuidad

(5.17)

� x� ) J(� . |�x − �x� |

(5.18)

1 � · J� = 0 ∂t ρ + ∇ c

(5.19)

se sigue que

1 � · J�l = 0. ∂t ρ + ∇ c De este resultado y de (5.12) y (5.17) se desprende que ∇∂t Φ = 4π J�l

(5.20)

1 � = − 4π J�T . ∂t ∂t A 2 c c

(5.21)

y por lo tanto (5.13) se reduce a �− ∆A

� es solo para la parte transSe encuentra entonces que en este calibre la fuente para A versa J�T de J� y al calibre (5.10) se le denomina calibre transverso. Nótese que en este calibre, el potencial escalar Φ satisface la ecuación de Poisson (5.11), la cual es una ecuación del tipo el´ıptico donde t aparece solo como un parámetro y de aqu´ı que � su solución, (5.12), realmente no se ”propague”. Por otro lado, el potencial vector A � se propaga con velocidad satisface una ecuación de onda (5.21) lo que implica que A finita. Sin embargo, debe tenerse presente que en la descripción clásica de la interac� yB � y no los potenciales Φ y A � las cantidades ción electromagnética son los campos E f´ısicamente relevantes.

5.2

Funciones de Green para la ecuaci´ on de onda

Las ecuaciones (5.8), (5.9) y (5.21) tienen todas la estructura básica de una ecuación de onda. Consideraremos en lo que sigue el problema sin condiciones de contorno (∂t ∂t − ∆)Ψ(�x, t) = F (�x, t),

−∞ < t < ∞,

�x ∈ R3 ,

(5.22)

donde ∆ es el operador laplaciano 3-dimensional, con condiciones iniciales en el “pasado remoto” lim Ψ(�x, t) → Ψ0 (�x, t), (5.23) t→−∞

52

con Ψ0 la solución al problema homogéneo (F = 0) y donde hemos hecho c = 1. Supondremos además que Ψ está acotada en todas partes, esto es, |Ψ(�x, t)| < ∞ ∀�x ∈ R3 , y que F (�x, t) es de soporte acotado. Puesto que (5.22) es lineal, la solución de (5.22, 5.23) es la suma de la solución al problema homogéneo Ψ0 más la solución particular al problema no homogéneo (∂t ∂t − ∆)Ψp (�x, t) = F (�x, t),

�x ∈ R3 ,

−∞ < t < ∞,

(5.24)

que satisface las condiciones lim Ψp (�x, t) = 0,

t→−∞

lim ∂t Ψp (�x, t) = 0.

(5.25)

t→−∞

La solución de (5.24, 5.25) viene dada por � Ψp (�x, t) = d3 x� dt� Gret (�x, t; �x� , t� )F (�x� , t� ),

(5.26)

donde la función de Green Gret satisface (∂t ∂t − ∆)Gret (�x, t; �x� , t� ) = δ(�x − �x� )δ(t − t� );

�x, �x� ∈ R3 ;

−∞ < t, t� < ∞, (5.27)

y las condiciones lim Gret = 0,

lim Gret = 0.

t→−∞

(5.28)

|� x|→−∞

En ausencia de condiciones de contorno que rompan la simetr´ıa bajo traslaciones se tiene que Gret (�x, t; x�� , t� ) = Gret (�x − x�� , t − t� ), (5.29) donde (∂t ∂t − ∆)Gret (�x, t) = δ(�x)δ(t).

(5.30)

Una manera de encontrar G es empleando transformadas de Fourier 4-dimensionales � 1 � G(�x, t) = d3 k dω ei(k.�x−ωt) G(�k, ω), (5.31) 4 (2π) � � � G(k, ω) = d3 x dt e−i(k.�x−ωt) G(�x, t), (5.32) donde

1 δ(�x)δ(t) = (2π)4

�

�

d3 kdω ei(k.�x−ωt) .

(5.33)

Sustituyendo (5.31) y (5.33) en (5.30) se sigue que G(�k, ω) = y por lo tanto

1 G(�x, t) = (2π)4

�

1

�

d3 k dω ei(k.�x−ωt) 53

(5.34)

�k 2 − ω 2 1 �k 2 − ω 2

.

(5.35)

Nótese que G(�k, ω) depende de �k solo a través de |�k|. As´ı, pasando a coordenadas esféricas, rotando los ejes en el espacio �k de forma tal que �k.�x = |�k| |�x| cos θ con θ el ángulo polar e integrando en las variables angulares se tiene � ∞ � ∞ 1 1 G(�x, t) = − 3 dk k sin kr dωe−iωt , (5.36) 4π r 0 (ω − k)(ω + k) −∞ donde k = |�k| y r = |�x|. Ahora, la evaluación expl´ıcita de (5.36) requiere de alguna prescripción para manejar los polos en ω = ±|�k|, la cual viene determinada por el tipo de causalidad impuesta en (5.28). Para obtener Gret para t > 0, desplazamos los polos de forma tal que ω = −k → −k − iε y ω = k → k − iε, con ε → 0+ . Entonces � ∞ � ∞ 1 1 Gret (�x, t) = −Θ(t) 3 dk k sin kr dω e−iωt 4π r 0 (ω − (k − iε))(ω + (k + iε)) −∞ (5.37) Considerando ω como variable compleja, cerrando el contorno de integración por debajo del eje real (si se cierra por encima la integral diverge) y usando el teorema del residuo se tiene � � �� ∞ 1 exp(−iωt) Gret (�x, t) = Θ(t) 3 dk k sin kr −2πi Res 4π r 0 (ω − (k − iε))(ω + (k + iε)) � ∞ 1 = Θ(t) 2 dk sin kr sin kt, (5.38) 2π r 0 de donde se obtiene finalmente Gret (�x, t) = Θ(t)

1 δ(t − r). 4πr

(5.39)

De (5.39) se sigue que Gret (�x − x�� , t − t� ) = Θ(t − t� )

1 4π|�x − x�� |

δ(t − t� −

|�x − x�� | ) c

(5.40)

donde hemos reinsertado c para facilitar la interpretación f´ısica. Esta función de Green se denomina retardada porque propaga el efecto de una fuente en el punto (�x� , t� ) al punto (�x, t), siempre y cuando t − t� > 0, esto es, solo para t posterior a t� con t − t� = |�x − �x� |/c, lo que nos dice que dicho efecto se propaga con velocidad c. Nótese que es posible encontrar otras funciones de Green para el operador (∂t ∂t −∆) que propagan con una causalidad diferente. Por ejemplo, para t < 0, si desplazamos los polos del eje real a˜ nadiendo una peque˜ na parte imaginaria positiva y cerramos el contorno por encima del eje real, cálculos análogos a los de arriba nos proveen la función de Green avanzada Gav (�x − x�� , t − t� ) = Θ(t� − t)

1 4π|�x − x�� |

54

δ(t − t� +

|�x − x�� | ), c

(5.41)

que propaga con velocidad c para t − t� = −|�x − x�� |/c < 0. Como hemos visto, en el calibre de Lorentz (5.7) los potenciales electromagnéticos � satisfacen las ecuaciones (5.8) y (5.9), respectivamente, y empleando la función ΦyA de Green retardada (5.40) obtenemos las soluciones particulares �

ρ(�x� , t� ) |�x − x�� | � � Θ(t − t ) δ(t − t + ) |�x − �x� | c � ρ(�x� , t − |�x − �x� |/c) = d3 x� |�x − �x� |

Φ(�x, t) =

d3 x� dt�

y � x, t) = 1 A(� c

�

d3 x�

� x� , t − |�x − �x� |/c) J(� |�x − �x� |

(5.42)

(5.43)

en ausencia de condiciones de contorno. Estos potenciales se conocen comunmente con el nombre de potenciales retardados.

5.3

Teorema de Poynting

Nos proponemos a continuación establecer la ley de conservación de la energ´ıa para los campos electromagneticos (Teorema de Poynting). El incremento en la energ´ıa de una � yB � viene dada por carga puntual q bajo la acción de campos electromagnéticos E � dt, dW = q �v · E

(5.44)

donde �v es la velocidad de la carga (los campos magneticos no hacen trabajo ya que F�mag ⊥ �v ), cuya generalización al caso de una distribución cont´ınua de carga y corriente es � dW � = d3 x J� · E. (5.45) dt Ω Ahora bien, partiendo de (5.45) y usando la versión en medios materiales de (5.4) se obtiene � � � � 1 3 � � � ·∇ � ×H � −E � · ∂t D � . d xJ · E = d3 x cE (5.46) 4π Ω Ω A continuación, empleando la identidad

� · (E � × H) � =H � ·∇ � ×E � −E � ·∇ � ×H � ∇ encontramos � � = d3 xJ� · E Ω

�

� � � · (E � × H) � + cH � ·∇ � ×E � −E � · ∂t D � d3 x −c∇ Ω� � � 1 � · (E � × H) � +H � · ∂t B � +E � · ∂t D � , = − d3 x c∇ 4π Ω 1 4π

55

(5.47)

donde hemos usado la ley de Faraday en el u ´ltimo paso. Ahora, definiendo u≡

1 � � � · H), � (E · D + B 8π

(5.48)

� ·∂t D � = 1 ∂t (E � · D) � y suponiendo que el medio material es lineal y no disipativo, esto es E 2 � · ∂t B � = 1 ∂t (H � · B), � (5.47) puede ser reescrita como yH 2 � � � � c � 3 � � × H) � . d x J · E = − d3 x ∂t u + ∇ · (E (5.49) 4π Ω Ω Finalmente, puesto que Ω es arbitrario, de (5.49) obtenemos la ley de conservación � ·S � = −J� · E, � ∂t u + ∇ donde

(5.50)

� × H) � � ≡ c (E (5.51) S 4π recibe el nombre de vector de Poynting. Más adelante veremos que u dado por (5.48) admite la interpretación de densidad de energ´ıa asociada a los campos elec� representa un tromagnéticos. Asumiendo válida esta interpretación, se sigue que S flujo de energ´ıa. As´ı, la interpretación f´ısica de (5.50) es la siguiente: la rata de cambio de la energ´ıa electromagnética en una cierta región del espacio ∂t u más el flujo de � ·S � es energ´ıa a través de la superficie frontera de esa región por unidad de tiempo ∇ igual a menos el trabajo total hecho por los campos sobre las fuentes en dicha región.

56

Cap´ıtulo 6 Ondas electromagneticas. Propagaci´ on A continuación estudiaremos algunos fenómenos relacionados a la propagación de radiación electromagnética en medios materiales.

6.1

La ecuaci´ on de onda en medios materiales

Consideremos ahora las ecuaciones de Maxwell en su versión para medios materiales � ·D � = 4πρ, ∇

(6.1)

� ·B � = 0, ∇

(6.2)

� ×E � + 1 ∂t B � = �0, ∇ c 1 � � ×H � = − 4π J� ∂t D − ∇ c c y supongamos que en la región de interes ρ ≡ 0 y que

(6.3) (6.4)

� = εE � D

(6.5)

� = µH, � B

(6.6)

donde ε y µ son constantes independientes de las coordenadas y del tiempo. Entonces de (6.3), (6.4), (6.5) y (6.6) se sigue que � × (∇ � × E) � = −1∇ � × ∂t B � ∇ c � � 1 4π � 1 � = − ∂t µJ + µε ∂t E c c c � µ � � � . = − 2 ∂t 4π J + ε ∂t E c 57

(6.7)

Por otra parte,

� × (∇ � × E) � = ∇( � ∇ � · E) � − ∆E, � ∇

(6.8)

� ·E � = 0, tendremos entonces y dado que ∇ � = ∆E

4π � + µε ∂t ∂t E. � µ ∂ J t c2 c2

(6.9)

� finalmente A continuación, suponiendo que se satisface la condición de Ohm, J� = σ E, de (6.9) se tendrá � − µε ∂t ∂t E � − 4πσµ ∂t E � = 0. ∆E (6.10) 2 c c2 La ecuación (6.10) es una ecuación de onda generalizada. Usualmente el segundo o tercer término pueden despreciarse llevando a una situación particular determinada. En un medio no conductor el tercer término es nulo (σ = 0) y se obtiene una ecuación √ de propagación de ondas que viajan con velocidad v = c/ µε. En un medio conductor el segundo término suele despreciarse y (6.10) se reduce a una ecuación de difusión. Ahora, asumiendo una dependencia temporal armónica, esto es, −iωt � x, t) = E(x)e � E(� ,

(6.11)

se tiene de (6.10)

� � 2 µω i4πσ � x) + � ∆E(� ε+ E(x) = 0. (6.12) c2 ω Con frecuencia es u ´til atribuir todas las propiedades del medio a la ”constante dieléctrica” ε(ω) definida como i4πσ ε(ω) ≡ ε + (6.13) ω y de esta manera se tiene una constante dieléctrica que es en general compleja, cuya parte imaginaria puede ser despreciada para materiales aislantes pero para materiales conductores no. � son homogeneas debido a que Nótese que la ecuación (6.12) y la análoga para B fueron derivadas suponiendo ρ = 0. Para investigar la relación entre los campos y sus fuentes es conveniente el introducir potenciales. Nos restringiremos por los momentos a considerar solo aquellos aspectos de la propagación de ondas electromagnéticas que pueden ser discutidos independientemente del origen de los campos y su relación con los potenciales.

6.2

Ondas planas en un medio no conductor

Las más simples y fundamentales de las ondas electromagneticas son las ondas planas transversas. Veamos como obtener dichas soluciones en medios simples no conductores descritos por ε y µ constantes. En este caso, de (6.10) tenemos que cada componente � satisface la ecuación cartesiana Ei , i = x, y, z, de E ∆Ei (�x) −

1 √ 2 ∂t ∂t Ei (�x) = 0 (c/ µε) 58

(6.14)

�

cuyas soluciones son las bien conocidas ondas planas eik·�x−iωt , con ω √ ω k = |�k| = = µε . v c

(6.15)

� satisfacen una ecuación Puede demostrarse que las componentes cartesianas de B análoga. Si v no es función de k, esto es, si el medio es no dispersivo y por lo tanto µε es independiente de la frecuencia,1 la solución general de (6.14) que se propaga (digamos) en la dirección x es de la forma n(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt),

(6.16)

con f y g funciones arbitrarias y donde v es la velocidad de fase de la onda. Nos restringiremos en lo que sigue a analizar la propagación de ondas electromagnéticas en un medio no dispersivo. Mas adelante, en la sección 6.5, consideraremos el caso de medios dispersivos. Con la convención de que los campos electricos y magneticos f´ısicos se obtienen de tomar partes reales de cantidades complejas, por simplicidad supondremos que los campos son de la forma � x, t) = E� ei�k·�x−iωt , E(� (6.17) � x, t) = B� ei�k·�x−iωt , B(�

(6.18)

con E� y B� vectores constantes en el espacio y en el tiempo. Ahora bien, � ·E � = 0 ⇒ �k · E� = 0, ∇ � ·B � = 0 ⇒ �k · B� = 0, ∇ � yB � deben ser perpendiculares a la dirección de propagación definida y por lo tanto E por �k. A dicha onda se le denomina transversa. De las restantes ecuaciones se desprende que �k √ � B� = µε × E. |�k| 1

(6.19)

� yE � (o entre B � y H) � puede ser no local. En general se tiene que La relaci´ on lineal entre D � � Di (�x, t) = d3 x� dt� εij (�x� , t� )Ej (�x − �x� , t − t� ),

donde se sobreentiende que hay una suma sobre j. As´ı, introduciendo transformadas de Fourier � � � 3 � f (k, ω) ≡ d x dt e−i(k·�x−ωt) f (�x, t), se tiene

Di (�k, ω) = εij (�k, ω)Ej (�k, ω)

� H. � Los tensores ε y µ son en general función de las frecuencia y del y una relaci´ on similar entre B, vector de onda. Para la luz visible y en el infrarrojo es permisible despreciar la no-localidad en el espacio, entonces µ y ε son solo funciones de la frecuencia.

59

A continuación, introduciendo un conjunto ortonormal de vectores {ˆ e1 , eˆ2 , �k/|�k|, las cantidades E� y B� pueden ser escritas como √ E� = eˆ1 E0 , B� = eˆ2 µε E0 (6.20) o bien como

E� = eˆ2 E0� ,

√ B� = eˆ1 µε E0� ,

(6.21)

con E0 y E0� constantes (que pueden ser complejas). La onda descrita por (6.17), (6.18) y (6.20) es una onda transversa que se propaga en la dirección �k. La misma representa un flujo de energ´ıa por unidad de tiempo dado por la parte real del vector de Poynting complejo �≡1 c E � ×B �∗ = c S 2 4π 8π

�

ε |E0 |2 µ

�k , |�k|

(6.22)

siendo la densidad de energ´ıa 1 u= 16π

�

� ·E �∗ + 1 B � ·B �∗ εE µ

�

=

ε |E0 |2 . 8π

(6.23)

La onda (6.17), (6.18) y (6.20) es una onda con el vector campo electrico siempre en la dirección eˆ1 . Se dice que dicha onda está linealmente ploarizada en la dirección eˆ1 . Otro tanto puede decirse de (6.17), (6.18) y (6.21). Las dos ondas � 1 = eˆ1 E1 ei�k·�x−iωt , E � 2 = eˆ2 E2 ei�k·�x−iωt , E � � � j = √µε k × Ej , B |�k|

(6.24)

pueden ser combinadas para dar la onda plana más general que se propaga en la dirección �k � � x, t) = (ˆ E(� e1 E1 + eˆ2 E2 ) eik·�x−iωt . (6.25) Las amplitudes E1 y E2 , siendo en general complejas, permiten la posibilidad de elegir fases diferentes para ondas de diferentes polarizaciones. Si E1 y E2 tienen la misma fase, (6.25) representa una onda linealmente polarizada. Si E1 y E2 tienen diferentes fases, (6.25) es elipticamente polarizada.

6.3

Ondas electromagneticas en la interfaz entre dielectricos.

A continuación derivaremos una serie de propiedades cinéticas y dinámicas de la reflexión y refracción de la luz en la interfaz entre dos medios con propiedades dielectricas diferentes. Para ello convendremos en identificar 60

1. onda incidente � =E � 0 ei�k·�x−iωt ; E

� � � = √µε k × E . B k

2. onda refractada �� = E � � ei�k� ·�x−iωt ; E 0 3. onda reflejada � �� = E � �� ei�k�� ·�x−iωt ; E 0

�� = B

�

µ� ε �

�k � × E �� k�

� �� √ �k �� × E �� B = µε . k ��

(6.26)

(6.27)

(6.28)

Los vectores de onda tienen como magnitud √ ω √ ω |�k| = |�k �� | = k = µε , |�k � | = k � = µε , (6.29) c c √ y es usual definir µε = n como el ´ındice de refracción del medio. Ahora bien, la existencia de condiciones de frontera en la interfaz, que supondremos definida por la superficie z = 0, con condiciones de contorno que deben satisfacerse en todos los puntos de dicha superficie ∀ t, implica que la variación de los campos (espacial y temporal) debe ser idéntica all´ı. En consecuencia todas las fases deben ser iguales en z = 0, esto es, �k · �x|z=0 = �k � · �x|z=0 = �k” · �x|z=0 , (6.30) independientemente de las ecuaciones de contorno. La ecuación (6.30) contiene los aspectos cinematicos de la reflexión y refracción. De (6.30) se sigue que k sin i = k � sin r = k” sin r� (6.31) y con k” = k tenemos entonces que r� = i, esto es, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. As´ı mismo, � sin i k� µ� ε � n� = = = , (6.32) sin r k µε n expresión conocida como la ley de Snell y que da cuenta, entre otras cosas, del fenómeno conocido como reflexión total interna. Para n > n� se tiene que r > i y en consecuencia tendremos r = π/2 si i = i0 = arcsin(n� /n) < π/2. As´ı, para ondas incidentes a i = i0 , la onda refractada se propaga paralela a la superficie interfaz, no hay flujo de energ´ıa a través de la superficie y tendremos reflexión total. Para ángulos i > i0 , la onda refractada se propaga solo paralela a la superficie interfaz, atenuándose exponencialmente más allá de la misma. Por otro lado, las propiedades dinámicas estan contenidas en las condiciones de contorno que deben satisfacer los campos en la interfaz. Consideremos el caso en el cual el campo eléctrico es paralelo al plano de incidencia, definido este u ´ltimo como

61

el plano que contiene al vector �k y al vector normal a la superficie interfaz n ˆ . Las condiciones de contorno en z = 0 son �0 + E � 0�� ) − ε� E � 0� ) · n (ε(E ˆ = 0, �0 + E � �� − E ��) × n (E ˆ = 0, 0

0

de donde se desprende que (E0 − E0�� ) cos i − E0� cos r = 0 y

�

(6.33)

� 1 � � 1 �� (k × E0 + k × E0 ) − � (k × E0 ) × n ˆ=0 µ µ

de donde se desprende que

�

ε (E0 + E0�� ) − µ

�

ε� � E = 0. µ� 0

(6.34)

Las amplitudes relativas de los campos refractados y reflejados vienen dadas por E0� = E0 E0�� = E0

2nn� cos i � µ �2 n cos i + n n�2 − n2 sin2 i � µ

� cos i − n n�2 − n2 sin2 i � . µ �2 �2 − n2 sin2 i n cos i + n n � µ

µ �2 n µ�

(6.35)

(6.36)

De (6.35) y (6.36) podemos ver que la onda reflejada se anula si el águlo de incidencia es igual al ángulo de Brewster, definido por tan iB =

n� n

(6.37)

(donde hemos supuesto que µ� = µ, lo que en general es valido en el visible). Esto nos dice que si una onda plana de polarización mixta incide sobre un plano con ángulo de incidencia igual al ángulo de Brewster, la radiación reflejada tendrá como vector de polarización un vector perpendicular al plano de incidencia. Hasta ahora la permeabilidad y la susceptibilidad se han supuesto indenpendientes de la frecuencia. Esta ausencia de dispersión trae como consecuencia que los trenes de onda se propaguen sin distorsión. Aunque en realidad todo medio presenta alguna distorsión, es posible sobre un intervalo finito de frecuencias suponer la velocidad de propagación como constante con la frecuencia. Por u ´ltimo, es conveniente resaltar aqu´ı que la distinción entre dielectricos y conductores es un tanto artificial para frecuencias ω muy diferentes de cero. En general, si el medio posee electrones libres entonces es conductor a baja frecuencia y en caso contrario es aislante.

62

6.4

Ondas en un medio disipativo

Hemos visto que la constante dielectrica de un medio es en general compleja. Para aislantes la parte imaginaria puede despreciarse dependiendo del caso, pero para conductores no. Veamos a continuación el comportamiento de ondas electromagnéticas que se propagan en un medio conductor. Si los campos en el conductor varian como �

eik·�x−iωt

(6.38)

entonces el n´ umero de onda k viene dado por ω2 ω2 4πσ = µε (1 + i ), (6.39) 2 2 c c ωε donde el primer término corresponde a la corriente de desplazamiento y el segundo a la corriente de conducción. Ahora, suponiendo σ, µ y ε reales, encontramos k 2 = µε(ω)

i k = β + α, 2 con √

�

�

(6.40) �2

1/2

ω 1  4πσ √ 1+ + 1 , c 2 ωε � 1/2 � �2 α √ ω 1  4πσ = µε √ 1+ − 1 . 2 c 2 ωε

β=

µε

(6.41)

� √ As´ı, para un mal conductor (4πσ/ωε � 1) tenemos k ∼ ( µε ω +i2π µ/ε σ)/c y para � un buen conductor (4πσ/ωε � 1) tenemos k ∼ (1 + i) 2πωµσ/c. � Las ondas que se propagan como eik·�x−iωt son ondas transversas amortiguadas. Los campos pueden escribrise como � =E � 0 e− α2 κˆ·�x eiβˆκ·�x−iωt , E

� =B � 0 e− α2 κˆ·�x eiβˆκ·�x−iωt , B

(6.42)

donde κ ˆ es un vector unitario en la dirección de propagación. De la ley de Faraday se sigue que � 0 = c (β + i α ) κ � 0, H ˆ×E (6.43) µω 2 � yE � no estan en fase en un conductor. Por otro lado, las ondas dadas por por lo que H (6.42) muestran un amortiguamiento con la distancia. As´ı, una onda electromagnetica que penetra en un conductor es amortiguada en un factor e−1 de su amplitud inicial al haber recorrido una distancia 2 c� δ= = 2πµωσ. (6.44) α δ se denomina profundidad de penetración. En general δ es una función decreciente con la frecuencia lo que implica a su vez que en los circuitos de corriente de alta frecuencia la corriente solo fluye sobre la superficie de los conductores. 63

6.5

Ondas en un medio dispersivo

En todo lo anterior hemos considerado solo ondas monocromaticas, idealización claramente imposible de realizar. Ahora bien, puesto que las ecuaciones son lineales, es directo en principio tomar la superposición apropiada de soluciones con frecuencias diferentes. Sin embargo, es conveniente resaltar aqu´ı algunas de las situaciones que pueden aparecer. 1. S´ı el medio es dispersivo (esto es, la constante dielectrica del medio es función de la frecuencia), la velocidad de fase no es la misma para cada componente de Fourier de la onda. En consecuencia diferentes componentes de la onda viajaran con diferentes velocidades y tenderan a desfasarse unas con respecto a las otras. 2. En un medio dispersivo la velocidad del flujo de energ´ıa puede diferir de la velocidad de fase. Para ilustrar las ideas anteriores consideraremos un modelo especifico para las dependencia con la frecuencia del n´ umero de onda y calcularemos sin aproximaciones la propagación de un pulso en este medio. Consideremos el caso unidimensional por simplicidad. Supongase que como condiciones iniciales tenemos x2

u(x, 0) = e− 2σ2 cos k0 x, Entonces

1 1 u(x, t) = √ 2 2π

donde A(k) = = = =

�

∞

∂t u(x, 0) = 0.

dk eikx−iω(k)t A(k) + c c

(6.45) (6.46)

−∞

� ∞ 1 √ dx e−ikx u(x, 0) 2π −∞ � ∞ x2 1 √ dx e−ikx e− 2σ2 cos(k0 x) 2π −∞ � ∞ � x2 1 � 1 √ dx e−ikx e− 2σ2 eik0 x + e−ik0 x 2 2π −∞ � ∞ � � 1 x 1 x 1 2 σ2 2 2 σ2 2 √ dx e− 2 ( σ +iσ(k−k0 )) − 2 (k−k0 ) + e− 2 ( σ +iσ(k+k0 )) − 2 (k+k0 ) (6.47) 2 2π −∞

Calculemos la primera de las integrales. Haciendo z = σx − iσ(k − k0 ), encontramos � ∞ � ∞+iσ(k−k0 ) 2 x 1 2 − 12 [ σ +iσ(k−k0 )] − 12 σ 2 (k−k0 )2 − 12 σ 2 (k−k0 )2 dx e e → σe dz e− 2 z . −∞

−∞+iσ(k−k0 )

1 2

Ahora bien, la función e− 2 z es holomorfa lo que nos permite cambiar el contorno de integración, �� ∞+iσ(k−k−0) � X � X+iσ(k−k0 ) � −X ⇒ = lim + + , −∞+iσ(k=k0 )

X→∞

−X+iσ(k−k0 )

64

−X

X

donde X = Re{z} = x/σ. Las integrales 1era y 3era tienden a cero para X → ∞, �� X+iλ � �� λ � � � � 1 2� 1 2 −y 2 )−2iπXy − z − (X � �=� � ≤ |λ|e− 12 X 2 2 2 (idy) dz e e � � � � X

0

y por lo tanto

− 12 σ 2 (k−k0 )2

e

�

∞+iσ(k−k0 )

− 12 z 2

dz e

=

−∞+iσ(k−k0 )

=

− 12 σ 2 (k−k0 )2

lim e

X→∞

√

− 12 σ 2 (k−k0 )2

2π e

�

X

1 2

dz e− 2 z

−X

.

Procediendo en forma análoga con la segunda integral de (6.47) encontramos que A(k) viene dado por � 1 � − 1 σ2 (k−k0 )2 − 12 σ 2 (k+k0 )2 2 A(k) = σ e +e (6.48) 2 que no es mas que la superposición de dos gausianas. Para determinar la forma de la onda para t > 0 debemos especificar ω(k). Supondremos que a2 k 2 ω(k) = ν(1 + ) (6.49) 2 la cual es una aproximación a la ecuación de dispersión de una plasma tenue y que nos permitirá evaluar u(x, t) de manera exacta (aqu´ı ω(k) y k son reales, de manera que no estamos considerando efectos disipativos). Tenemos entonces que u viene dado por �� ∞ � 1 2 �� σ ikx−iνt(1+a2 k2 /2) − 2 σ (k−k0 )2 − 12 σ 2 (k+k0 )2 u(x, t) = √ � dk e e +e , (6.50) 2 2π −∞ integral que puede resolverse completando cuadrados como antes y pasando a variable compleja. El resultado es � � 1 1 (x − νa2 k0 t)2 ik0 x−iν(1+ a2 k02 )t 2 u(x, t) = Re )e + cc (6.51) 1 exp(− 2 2 2 2σ 2 (1 + iaσ2νt ) (1 + ia 2νt ) 2 σ

Observese que aunque la envolvente sigue teniendo la forma de una gausiana, el ancho de la misma aumenta con el tiempo σ(t) =

�

σ2 +

�

a2 vt σ

�2 �1/2

y que los efectos son mayores para σ → 0. Por u ´ltimo, si A(k) tiene soporte en un entorno peque˜ no de k0 , entonces � dω �� ω(k) = ω(k0 ) + (k − k0 ) + · · · dk �k0 65

(6.52)

(6.53)

y se define la velocidad de grupo como

En el caso considerado

� dω �� vg = . dk �k0 vg = va2 k0

(6.54)

(6.55)

y los picos de los pulsos que aparecen en (6.51) viajan con esta velocidad. El problema de la propagación de un paquete de ondas en una medio disipativo y dispersivo es bastante mas complicado. En un medio disipativo, un pulso de radiación se atenuará a medida que se propaga con o sin distorsión, dependiendo de si los efectos disipativos son o no sensitivos a la frecuencia. Este tipo de situaciones no será considerado aqu´ı.

66

electromagnetismo-nelson-pantoja.pdf

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