2.1 El flujo eléctrico a través de una esfera
¿Cuál es el flujo eléctrico que pasa a través de una esfera que tiene un radio de 1.00m y una carga de +1.00 ubicada en su centro?
Solución: La magnitud del campo eléctrico a 1.00m de esta carga se determina utilizando la
ecuación 1.9:
E=
= (8.99x N./ )
= 8.99x N/C
El campo apunta radialmente hacia afuera y por lo tanto es en todas partes perpendicular a la superficie de la esfera. El flujo que pasa a traves de l a esfera (cuya superficie 12.6) es entonces:
= EA = (8.99x N/C)( 12.6 = 1.13x N./C
1
=
Ejemplo 2.2 Flujo a través de un cubo
Considere un campo eléctrico uniforme E o rientado en la dirección x. Determine el flujo eléctrico neto a través de la superficie de un cubo de arista l, orientado como se ilustra en la figura 2.5.
Solución: El flujo neto es la suma de los flujos que atraviesan todas las caras del cubo. Primero
observe que el flujo a través de cuatro de las caras (3 y 4 y las no numeradas) es igual a cero, porque E es en estas caras perpendicular a dA. El flujo neto a través de las caras 1 y 2 es:
=∫ + ∫ En el caso de la cara 1, E es constante y esta dirigido hacia adentro, pero dA, esta dirigida hacia afuera (
; entonces, el flujo a través de esta cara es:
∫ = ∫ = -E∫ = -EA = -E Ya que el area de cada cara es A = . En el caso de la cara 2, E es constante, hacia afuera y en la misma dirección que (
; entonces, el flujo a través de esta cara es
∫ = ∫ = -E∫ = +EA = E Finalmente el flujo neto sobre las seis caras es
= - E + E + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Ejemplo 2.4 Campo eléctrico debido a una carga puntual
Partiendo de la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada q. Solución: Una carga única representa la distribución de carga más sencilla posible, y utilizamos
este caso familiar para demostrar como se resuelve en función del campo eléctrico utilizando la ley de Gauss. La figura 2.10 y nuestro análisis del campo eléctrico debido a una carga puntual en el capitulo 1, nos pueden ayudar a conceptualizar la situación física. Debido a que el espacio alrededor de la carga única tiene simetría esférica, podemos decir que en este problema existe suficiente simetría como para aplicar la ley de Gauss. Para analizar cualquier tipo de problema relacionado con la ley de Gauss, consideraremos los detalles del campo eléctrico y elegiremos una superficie gaussiana esférica de radio r centrada sobre la carga puntual, como se muestra en la figura 2.10. El campo eléctrico debido a una carga puntual positiva esta dirigido radialmente hacia afuera por simetría y es por lo tanto, perpendicular a la superficie en todos sus puntos.
Entonces, como la condición (2), E es paralelo a dA en cada uno de los puntos. Por lo tanto, E .dA = E dA y la ley de Gauss nos da
= ∮ = ∮ =
Por simetría, E es constante en cualquier sitio de la superficie, lo que satisface la condición (1), asi que puede ser eliminada la integral. Por lo tanto,
∮ = ∮ = E (4 ) =
Donde hemos utilizado el hecho de que el área de la superficie de la esfera es de 4 . Ahora, resolveremos en función del campo eléctrico: E=
=
Para dar fin a este problema, observe que se trata del ya familiar campo eléctrico ocasionado por una carga puntual que desarrollaremos a partir de la ley de Coulomb en el capitulo 1.
Ejemplo 2.5 Una distribución de carga esféricamente simétrica
Una esfera solida aislante de radio a tiene una densidad de carga volumétrica uniforme p y una carga total positiva Q (figura 2.11) (A) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de la esfera. Solución: Debido a que la distribución de carga es esféricamente simétrica, de nuevo
escogeremos una superficie gaussiana esférica de radio r, concéntrica con la esfera, como se muestra en la figura 2.11ª. En esta selección se satisfacen las condiciones (1) y (2), como ocurrió con la carga puntual del ejemplo 2.4. Siguiendo la línea de razonamiento del ejemplo 2.4 encontramos que:
(1)
(para r >a)
Note que este resultado es idéntico al que se obtuvo para una carga puntutal. Por lo tanto, concluimos que, para una esfera uniformemente cargada, el campo en la región externa a la esfera, es equivalente a la de una carga puntual localizada en el centro de la esfera. (B) Determine la magnitud del campo eléctrico en un punto en el interior de la esfera. Solucion: En este caso seleccionaremos una superficie gaussiana esférica de radio r < a y concéntrica con la esfera aislante (figura 2.11b). Supongamos que el volumen de esta esfera más pequeña es V. Para aplicar la ley de Gauss en esta situación es importante reconocer que la carga dentro de la superficie gaussiana de volumen V es menor que Q. Para calcular aprovechamos el hecho que = pV:
= pV = p ( ) Por simetría, la magnitud del campo eléctrico es constante en toda la superficie gaussiana esférica y es perpendicular a la superficie en todos los puntos, lo que satisface las condiciones (1) y (2). Por lo tanto, la ley de Gauss para la región r
∮ = E ∮ = E (4 ) =
Resolviendo en función de E
E= == = r
Dado que por definición p = Q/
y en vista de que
= ¼ , esta expresión de E se puede
expresar de la forma (2)
E= =
=
(para r < a)
Observe que este resultado para E difiere del que obtuvimos en el i nciso (A). Demuestra que E → 0 conforme r → 0. Por lo tanto, el resultado elimina el problema que existiría en r = 0 si E
variara en 1/ en el interior de la esfera, como ocurre fuera de ella. Es decir, si E < a, el campo serie infinito en el valor r=0, lo que físicamente es imposible.
1/ para r
Ejemplo 2.6 Campo eléctrico debido a un cascaron esférico delgado
Un cascaron esférico delgado de radio a tiene una carga total Q di stribuida de manera uniforme sobre su superficie (figura 2.13ª). Encuentre el campo eléctrico en los puntos (A) Exterior y (B) Interior al cascaron Solución: (A) El calculo del campo fuera del cascaron es idéntico al de la esfera solida que se
muestra en el ejemplo 2.5ª. Si construimos una superficie gaussiana esférica de radio r > a concéntrica al cascaron (figura 2.13b), la carga dentro de esta superficie es Q. Por lo tanto, el campo en un punto fuera del cascaron es equivalente al correspondiente debido a una carga puntual Q ubicada en el centro:
E=
(Para r > a)
(C) El campo eléctrico dentro del cascaron esférico es cero. Esto se debe a la aplicación de la ley de Gauss a una superficie esférica de radio r < a concéntrica al cascaron (figura 2.13c). Dada la simetría esférica de la distribución de cargas y debido a que la carga neta dentro de la superficie es cero –de nuevo se satisfacen las condiciones (1) y (2)-, la aplicación de la ley de Gauss demuestra que E = 0 en la región r
Ejemplo 2.7 Distribución de una carga cilíndricamente simétrica
Determine el campo eléctrico a una distancia r de una línea de carga positiva de longitud infinita y de carga constante por unidad de longitud
(figura 2.14ª)
Solución: La simetría de la distribución de carga requiere que E sea perpendicular a la carga lineal y este dirigido hacia afuera, como se muestra en la figura 2.14ª y b. Para reflejar la simetría de la distribución de carga, elegimos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud l que coaxial a la carga lineal. En la parte curva de esta superficie, E es, en todos sus puntos constante en magnitud y perpendicular a la superficie –lo que satisface las condiciones (1) y (2). Además, el flujo que pasa a través de los extremos del cilindro gaussiano es cero, ya que E es paralelo a estas superficies- La primera aplicaciones que vemos de la condición (3). Tomamos la integral superficial en la ley de Gauss sobre toda la superficie de Gauss. Debido al valor cero de E.dA para las tapas del cilindro, sin embargo, podemos limitar nuestra atención solo a la superficie curva del cilindro. La carga total en el interior de nuestra superficie gaussiana es l. Aplicando la ley de Gauss y las condiciones (1) y (2), encontramos que para la superficie curva
= ∮ = E ∮ = EA =
=
El área de la superficie curva A = 2 ; por lo tanto, E(2 ) =
E=
= 2
Entonces, vemos que el campo eléctrico debido a una distribución de carga cilíndricamente simétrica varia en función de 1/r, en tanto que el campo externo a la distribución de carga esféricamente simétrica varia en función de 1/ .
