Electricidad Fácil Pero Curso Completo - Ernesto Rodriguez

www.areatecnologia.com Electricidad básica 1. Introducción ........................................................................................... 13 1.1. Múltiplos y submúltiplos ................................................................ 13 1 2. Sistema internacional de unidades (sistema S.I.)......................... 14 2. Corriente eléctrica ................................................................................. 17 2.1. Electricidad.................................................................................... 17 2 2. Estructura del átomo..................................................................... 17 2 3. Conductores y aislantes................................................................ 19 2.4. Generador ..................................................................................... 19 2 5. Velocidad de los electrones .......................................................... 20 2.6. Generador (de energía eléctrica) .................................................. 21 2.7. Receptor (de energía eléctrica)..................................................... 22 2.8. Otros elementos de un circuito eléctrico....................................... 22 2 9. Sentido de la corriente eléctrica.................................................... 23 2.10. Conductores y aislantes................................................................ 24 3. Intensidad de una corriente y diferencia de potencial ........................... 25 3.1. Intensidad...................................................................................... 25 3 2. Unidad de cantidad de electricidad: el culombio (C)................... 26 3 3. Medida de la cantidad de electricidad .......................................... 26 3.4. Noción de intensidad (I)............................................................... 26 3 5. Medida de la intensidad ................................................................ 27 3.6. Montaje en derivación................................................................... 28 3.7. Amperio-hora ................................................................................ 29 3.8. Diferencia de potencial ................................................................. 30

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3 9. Cálculo de la energía .................................................................... 31 3.10. Circuito eléctrico............................................................................ 31 3.11. Diferencia de potencial ................................................................. 32 3.12. Medida de la diferencia de potencial ............................................ 33 3.13. Nociones de potencial................................................................... 34 3.14. Importancia de la diferencia de potencial ..................................... 35 3.15. Montaje de receptores en paralelo ............................................... 36 3.16. Montaje en serie ........................................................................... 36 4. Energía y potencia eléctricas................................................................. 39 4.1. Energía.......................................................................................... 39 4 2. Potencia ........................................................................................ 40 4 3. Medida de la potencia................................................................... 41 4.4. Efecto Joule .................................................................................. 43 4 5. Unidad de resistencia: el ohmio (W)............................................ 45 4.6. Potencia total y potencia térmica .................................................. 46 4.7. Ley de Ohm................................................................................... 47 4.8. Comprobación ex perimental de la ley .......................................... 47 4 9. Otras fórmulas............................................................................... 48 4.10. Caída de tensión en una línea de transporte ................................ 49 5. Resistividad. Acoplamiento de resistencias .......................................... 51 5.1. Ex periencias, resistencia de un hilo conductor............................. 51 5 2. Ex presión de la resistencia ........................................................... 52 5 3. Unidades de resistividad............................................................... 53 5.4. Variaciones de la resistividad ....................................................... 55 5 5. Pérdidas y calentamiento.............................................................. 56 5.6. Limitación de corriente en los conductores .................................. 57 5.7. Descripción del montaje................................................................ 58 5.8. Definición de la resistencia equivalente........................................ 59 4

5 9. Conductancia ................................................................................ 59 5.10. Descripción del montaje................................................................ 60 5.11. Casos particulares ........................................................................ 61 6. Generadores y su asociación ................................................................ 65 6.1. Definición ...................................................................................... 65 6 2. Generadores usuales.................................................................... 65 6 3. Potencias eléctricas puestas en juego en un generador.............. 65 6.4. Fuerza electromotriz ..................................................................... 66 6 5. Ley de Ohm para un generador.................................................... 67 6.6. Comprobación ex perimental ......................................................... 68 6.7. Generador que alimente una resistencia pura.............................. 69 6.8. Esquema equivalente de un generador........................................ 70 6 9. Cortocircuito de un generador ...................................................... 70 6.10. Rendimiento de un generador ...................................................... 71 6.11. Asociación de generadores .......................................................... 72 6.12. Generadores en serie ................................................................... 72 6.13. Generadores en paralelo .............................................................. 73 6.14. Elección del acoplamiento ............................................................ 74 6.15. Potencia útil de un generador ....................................................... 75 7. Receptores. Ley de Ohm para un circuito cerrado................................ 77 7.1. Definición ...................................................................................... 77 7 2. Receptores usuales ...................................................................... 77 7 3. Potencias eléctricas puestas en juego en un receptor ................. 77 7.4. Fuerza contraelectromotriz ........................................................... 78 7 5. Ley de Ohm para un receptor ....................................................... 79 7.6. Comprobación ex perimental ......................................................... 80 7.7. Esquema equivalente de un receptor ........................................... 81 7.8. Generadores en oposición............................................................ 81 5

7 9. Rendimiento de un receptor.......................................................... 82 7.10. Asociación de receptores.............................................................. 83 7.11. Ley de Ohm para un circuito cerrado ........................................... 84 7.12. Circuito que comprende un generador y un receptor ................... 84 7.13. Circuito completo más simple ....................................................... 85 7.14. Ley de Ohm generalizada............................................................. 88 8. Leyes de Kirchoff................................................................................... 89 8.1. Circuitos complejos....................................................................... 89 8 2. Primera ley de Kirchoff.................................................................. 89 8 3. Aplicación práctica de la primera ley ............................................ 90 8.4. Segunda ley de Kirchoff................................................................ 91 8 5. Aplicación práctica de la segunda ley de Kirchoff ........................ 92 9. Magnetismo-campo magnético ............................................................. 95 9.1. Campo magnético......................................................................... 95 9 2. Propiedades de las líneas de fuerza............................................. 96 9 3. Campo magnético de las corrientes ............................................. 97 9.4. Campo de una corriente rectilínea ................................................ 97 9 5. Campo de una corriente circular................................................... 99 9.6. Campo de una bobina larga (solenoide)..................................... 100 9.7 Inducción b................................................................................. 100 9.8. Unidad de inducción ................................................................... 101 9 9. Nociones de flujo ........................................................................ 102 9.10. Unidad de flujo ............................................................................ 103 9.11. Influencia de un núcleo de hierro colocado en un campo magnético.............................................................. 104 9.12. Imantación inducida .................................................................... 105

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9.13. Curva de imantación ................................................................... 106 9.14. Permeabilidad de una sustancia................................................. 109 9.15. Histéresis .................................................................................... 111 9.16. Inconvenientes y ventajas de la histéresis ................................. 112 10. Inducción electromagnética................................................................. 115 10.1. Estudio cualitativo ....................................................................... 115 10 2. Leyes cualitativas........................................................................ 116 10 3. Ex periencias cuantitativas .......................................................... 117 10.4. F.e m. inducida en un conductor rectilíneo ................................. 118 10 5. F.e m. inducida en un circuito cualquiera ................................... 120 10.6 . Inductancia propia (L).............................................................. 121 10.7. F.e m. autoinducida ................................................................... 123 10.8. Consecuencias ........................................................................... 123 10 9. Inductancia mutua....................................................................... 126 10.10. Coeficiente de acoplamiento....................................................... 127 10.11 F.e m. mutua inducida ................................................................ 128 10.12. Energía electromagnética ........................................................... 129 11.Condensadores. Carga y descarga..................................................... 131 11.1. Nociones de condensador .......................................................... 131 11.2. Capacidad de un condensador................................................... 132 11.3. Cálculo de la capacidad.............................................................. 133 11.4. Acoplamiento de condensadores ............................................... 134 11.5. Energía almacenada ................................................................... 136 11.6. Campo eléctrico .......................................................................... 136 11.7. Carga y descarga a través de un circuito puramente resistivo ........................................................ 137

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11.8. A través de un circuito resistivo e inductivo................................ 141 12. Corriente alterna. Ecuación de una corriente alterna.......................... 145 12.1. Diferentes formas de corriente. Terminología............................. 145 12 2. Período (T) de una corriente periódica ..................................... 146 12 3. Frecuencia de una corriente periódica ....................................... 147 12.4. La función sinusoidal .................................................................. 148 12 5. Representación convencional de una función sinusoidal por un vector ................................................. 149 12.6. Generación de una corriente alterna .......................................... 150 12.7. Ecuación de una corriente sinusoidal ......................................... 152 12.8. Curva de una corriente en función del tiempo ............................ 154 12 9. Desfase de dos corrientes de la misma frecuencia .................... 155 12.10. Suma de dos corrientes sinusoidales de la misma frecuencia .................................................................... 157 12.11. Tensiones.................................................................................... 160 13. Valor medio y eficaz de las magnitudes sinusoidales......................... 161 13.1. Intensidad media de una corriente sinusoidal ............................ 161 13 2. Potencia instantánea .................................................................. 162 13 3. Potencia media ........................................................................... 165 13.4. Amperímetro térmico................................................................... 166 13 5. Significado físico de la intensidad eficaz .................................... 167 13.6. Cálculo de la intensidad eficaz ................................................... 167 13.7. Importancia de la intensidad eficaz ............................................ 168 13.8. Tensión y f.e m............................................................................ 169 13 9. Representación de Fresnel......................................................... 169 8

13.10.Potencia media ........................................................................... 170 14.Impedancia de un circuito.................................................................... 173 14.1. Circuito en continua .................................................................... 173 14 2. Comportamiento en alterna ........................................................ 173 14 3. Estudio ex perimental de un circuito completo ............................ 174 14.4. Impedancia de un circuito ........................................................... 176 14 5. Factor de potencia ...................................................................... 177 14.6. Estudio ex perimental del circuito puramente resistivo................ 177 14.7. Estudio teórico ............................................................................ 178 14.8. Control de la fase de la corriente ................................................ 181 14 9. Estudio ex perimental del circuito puramente inductivo .............. 181 14.10.Estudio teórico ............................................................................ 182 14.11.Control de la fase de la corriente ................................................ 186 14.12.Estudio ex perimental del circuito puramente capacitivo............. 186 14.13.Estudio teórico ............................................................................ 187 14.14.Control de la fase de la corriente ................................................ 191 15 Acoplamiento de receptores en serie.................................................. 193 15.1. Leyes fundamentales.................................................................. 193 15 2. Resistencia e inductancias puras en serie ................................. 194 15 3. Aplicaciones ................................................................................ 197 15.4. Resistencia y capacidad puras en serie ..................................... 199 15 5. Ex perimento ................................................................................ 201 15.6. Leyes........................................................................................... 203 15.7. Fórmulas definitivas .................................................................... 204 15.8. Discusión sobre la forma de la gráfica 208................................. 205 15 9. Resonancia ................................................................................. 207 15.10.Generalización ............................................................................ 210 16 Acoplamiento de receptores en paralelo............................................. 213 9

16.1. Leyes fundamentales.................................................................. 213 16 2. Resistencia y capacidad puras en paralelo ................................ 214 16 3. Circuito tapón ideal ..................................................................... 215 16.4. Circuito tapón real ....................................................................... 216 16 5. Generalización ............................................................................ 217 17 Potencia y factor de potencia .............................................................. 219 17.1. Corrientes activa y reactiva......................................................... 219 17 2. Potencias .................................................................................... 220 17 3. Leyes relativas a las potencias ................................................... 222 17.4. Energía........................................................................................ 223 17 5. Factor de potencia ...................................................................... 224 17.6. Elevación del factor de potencia ................................................. 225 18. Tensiones trifásicas............................................................................. 229 18.1. Ex ploración del sector................................................................. 229 18 2. Estudio matemático .................................................................... 230 18 3. Ventajas de la trifásica................................................................ 232 18.4. Idea sobre la producción de trifásica .......................................... 232 18 5. Formas de acoplamiento ............................................................ 233 18.6. Montaje en estrella, equilibrado .................................................. 234 18.7. Montaje en estrella, desequilibrado ............................................ 235 18.8. Montaje en triángulo, equilibrado................................................ 237 18 9. Montaje desequilibrado en triángulo ........................................... 239 18.10.Cálculo de las potencias en trifásica .......................................... 240

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1. Introducción 1.1. Múltiplos y submúltiplos Permiten escribir números muy grandes o muy pequeños, evitando el empleo de muchos ceros o de un factor 10n . Prácticamente, en electricidad se utilizan tan sólo los prefijos que corresponden a una potencia de 10 múltiplo de 3. Obsérvese con atención que la nueva unidad obtenida se escribe sin guión. Debe escribirse: • Milímetro y no mili-metro. • Kilovoltio y no kilo-voltio. Los símbolos correspondientes se escriben sin punto. Se debe escribir: • mm y no m m. (y menos todavía m/m). • kv y no k.v.

NOTA: Si el símbolo de un múltiplo o el de un submúltiplo lleva un ex ponente, éste se refiere al conjunto del símbolo y no solamente a la unidad. Ejemplo: 1 cm2 significa (1 cm) 2 = (10 -2 m) 2 = 10-4 m 2 y no una centésima de metro cuadrado (0,01 m2 ).

MÚLTIPLOS Prefijo Símbolo Deca da hecto h kilo k mega M giga G 11

tera T Relación con la unidad 10 = 10 100 = 102 3 1000 = 10 1 millón = 106 SUBMÚLTIPLOS Relación con laPrefijo Símbolo unidad deci d 0.1 = 10-1 -2 centi c

0.01 = 10 mili m 0,001 = 10-3 micro µ 1 millonésima =

10-6 mil millones 109 nano n 1 milmillonésima = 10-9 1012 pico p = 10-12 1 2. Sistema internacional de unidades (sistema S.I.) 1. REEMPLAZA ÍNTEGRAMENTE al antiguo sistema legal MTS y a los sistemas CGS y MKpS. 2 ALGUNAS UNIDADES antiguas son toleradas aún o se constituyen en múltiplos o submúltiplos de las nuevas. 12

EJEMPLOS: • 1 caloría = 4,18 J (tolerada). • 1 dina = 10-5 N (submúltiplo). 3. OTRAS UNIDADES deben ser abandonadas: es el caso del caballo de vapor. Como pasarán todavía años antes de su desaparición efectiva, la hemos incluido en algunos problemas. 4. INCLUIMOS

UN CUADRO de las magnitudes y unidades S.I.utilizadas en este libro. Las relaciones entre unidades S.I. y las unidades antiguas se precisan en las lecciones correspondientes, cuando se considera útil.

MAGNITUDES (1) LONGITUD

Área, superficie Volumen Ángulo plano MASA

Masa por unidad de volumen TIEMPO, duración Velocidad Aceleración Fuerza Energía o trabajo Potencia 13

Presión SÍMBOLOS DE LAS MAGNITUDES l S V α, β ... m µ t v γ F W P p UNIDADES Metro Metro cuadrado Metro cúbico Radian 14

Kilogramo Kilogramo por metro cúbico Segundo Metro por segundo Metro por segundo por segundo Newton Julio Watio Pascal SÍMBOLOS DE LAS UNIDADES m m2 m3 rd kg kg/m3 s m/s m/s2 15

N J W Pa Resistividad Inducción Flujo Campo magnético Inductancia Capacidad INTENSIDAD IAmperio

A Cantidad de Q Culombio C electricidad

Diferencia potencialU Voltio V(o tensión) Resistencia R Ohmio Ω TEMPERATURA

ρ Ohmio-metro Ωm B Tesla T φ Weber Wb H Amperio por metro A/m L, M Henry H P Faradio F θ, T Grado Celsius, C, Kgrado Kelvin (1) Las magnitudes fundamentales aparecen en mayúsculas

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2. Corriente eléctrica 2.1. Electricidad Seiscientos años antes de Jesucristo, descubrieron los griegos que frotando el ámbar amarillo, adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros. Más tarde se demostró que no sólo el ámbar sino que también el vidrio, la ebonita, el lacre y otros materiales, poseían la misma propiedad al frotarlos con un trozo de paño, seda o lana. Los cuerpos que han adquirido esta propiedad se dicen que están electrizados y la causa de este fenómeno, se denomina, ELECTRICIDAD. De todo ello se dedujo que la electricidad era un fluido al que denominaron así por suponerla procedente del ámbar amarillo, cuyo nombre es electrum en griego. Los tiempos modernos nos han familiarizado con nuevas teorías, entre las cuales está la teoría electrónica, hoy en día admitida para ex plicar la naturaleza de la electricidad, suponiéndola constituida por pequeñísimas porciones de materia. 2 2. Estructura del átomo 1. SE SABE (s/teoría molecular) que un cuerpo puro está formado por moléculas, todas idénticas. Las moléculas a su vez están constituidas por uno o varios átomos según el cuerpo considerado.

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Lafigura 1 presenta algunas representaciones de átomos. 2 EL NÚCLEO.Toda la masa del átomo está prácticamente concentrada en él. Su diámetro es aprox imadamente la diezmillonésima parte del átomo. Está constituido por partículas neutras llamadas neutrones y por partículas positivas llamadas protones. El núcleo de helio, por ejemplo, posee dos neutrones y dos protones(figura 2). 3. LOS ELECTRONES. Su masa es despreciable con relación a la del núcleo. Se los puede considerar como granos indivisibles de electricidad negativa. Sus trayectorias delimitan el volumen ocupado por el átomo (volumen de ocupación). 4.

LAS CARGAS. La carga de un electrón es negativa e igual a -e con:

e = 1,6 . 10-19 C Esta cantidad de electricidad es la mas pequeña que puede obtenerse. La carga de un protón es +e;por tanto, igual en valor absoluto a la del electrón. El número de electrones de un átomo es igual al número de protones; este número, llamado número atómico, se designa con la letra z. La carga de un átomo es, pues: Para los protones +Ze Para los electrones -Ze Es decir, en total = 0 Un átomo, en su estado normal, es eléctricamente neutro.

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3. Intensidad de una corriente y diferencia de potencial 3.1. Intensidad 1. MONTAJE. Montemos varios voltámetros de dimensiones y formas cualesquiera, pero conteniendo todos ellos una solución de sosa, unos a continuación de los otros; diremos que están «en serie»(figura 14).

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4.CONSECUENCIAS.Se puede medir la cantidad de electricidad que ha pasado por un circuito por el volumen o, mejor, por la masa de hidrógeno desprendida en el cátodo de un voltámetro. De forma general, podremos medir una cantidad de electricidad por la masa de metal depositada en el cátodo de un voltámetro que contenga un electrólito cualquiera. 3 2. Unidad de cantidad de electricidad: el culombio (C) 1. ELECCIÓN. Por razones de comodidad de medida y de precisión, la referencia escogida no es el hidrógeno, sino la plata recogida en el cátodo de un voltámetro con nitrato de plata. 2. DEFINICIÓN (1).El culombio es la cantidad de electricidad que, al atravesar un voltámetro con nitrato de plata, deposita en el cátodo una masa de 1,118 mg (miligramos) de plata. 1 C → 1,118 mg Ag 3 3. Medida de la cantidad de electricidad 1. CON UN VOLTÁMETRO que contenga nitrato de plata se halla la cantidad de electricidad dividiendo la masa recogida por 1,118: Q = M (M, en miligramos)1,188 2. EXISTEN APARATOS que miden directamente la cantidad de electricidad; son los contadores de cantidad de electricidad. 3.4. Noción de intensidad (I) 1. EN

EL CURSO de las ex periencias realizadas, hemos podido comprobar 34

que la cantidad de electricidad dependía de la duración del paso de la corriente en el voltámetro. Para comparar la importancia relativa de dos corrientes, es necesario considerar la cantidad de electricidad transportada por cada uno de ellos en un mismo tiempo, cantidad que llamaremos intensidad (I). 2. DEFINICIÓN. La intensidad de una corriente tiene la misma medida que la cantidad de electricidad transportada en la unidad de tiempo. 3. FÓRMULA.Si la corriente transporta 1.200 C en 500 segundos, su intensidad es: 1 200 C/500 s = 2,4 C/s Para hallar la intensidad de una corriente es preciso dividir la cantidad de electricidad por la duración del paso de la corriente: I = Qt donde: Q en culombrios t en segundos I en amperios 4. UNIDAD. El amperio (A). El amperio es la intensidad de una corriente eléctrica que transporta 1 culombio en 1 segundo: 1A = 1C1s 5 LA FÓRMULA se escribe según las necesidades: I = Q

Q = I t t =Q t t

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intensidad es también la misma. En un montaje en serie, la intensidad es la misma a lo largo de todo el circuito. Por lo tanto, para medir la intensidad que atraviesa a un aparato, se montará el amperímetro en serie con él, en un punto cualquiera del circuito (figura 16). 1 MONTAJE.Con los tres voltámetros de la primera ex periencia realicemos el montaje de la figura 17. La parte de circuito ex terior a la parte AB se llama circuito principal. Entre A y B se encuentran dos derivaciones. Los voltámetros nº 2 y nº 3 están montados en «derivación» o en «paralelo». 2. EXPERIENCIAS.Cerremos el interruptor y esperemos unos minutos. Observemos entonces que: V2≠ V3 V1 > V2 V1 > V3

Figura 17. Montaje de derivación. Se obtiene V 1 = V 2 + V 3 Una medida correcta de los tres volúmenes nos muestra que: V1 = V2 + V3 3 INTERPRETACIÓN.Diremos que la cantidad de electricidad que ha atravesado el primer voltámetro es igual a la suma de las de los otros dos: Q1 = Q2 + Q3 Por otra parte, al ser el mismo tiempo de paso de la corriente para todo el circuito, se tendrá una relación idéntica para las corrientes: la corriente en el circuito principal es igual a la suma de las corrientes que pasan por las derivaciones: I1 = I 2 + I3 37

W=F .l F = Peso del agua en newtons l = Altura del salto o diferencia de nivel en metros W = Energía en julios Inversamente, la diferencia de nivel se calcula dividiendo la energía producida por la cantidad de agua (peso): l = WF

NOTA: Para una cantidad de agua unitaria (1 N) se tiene que F = 1, la energía y la diferencia de nivel están entonces ex presadas por el mismo número (pero con unidades diferentes). 3.10. Circuito eléctrico Hay ciertas analogías entre un circuito eléctrico y el circuito hidráulico descrito anteriormente. 1. EL MISMO NIVEL ELÉCTRICO. Si se unen por un hilo metálico (conductor) dos puntos, que no estén unidos a ningún generador eléctrico, no hay ninguna corriente eléctrica, porque entre los dos puntos no hay ninguna diferencia de nivel eléctrico (figura 21). La figura 21 representa que estando al mismo nivel eléctrico el picaporte de la puerta y la pata de la silla, no puede haber corriente. 2. NIVELES ELÉCTRICOS DIFERENTES. Si los dos puntos son uno el polo positivo de un generador y el otro el polo negativo, el hilo que los une está atravesado por una corriente, lo que es debido a que entre los dos puntos hay 40

La figura 22 representa que la diferencia de nivel eléctrico de los dos polos permite obtener una corriente. 3. MANTENIMIENTO DE LA CORRIENTE. Si el generador es capaz de mantener esta diferencia de nivel eléctrico, la corriente puede circular indefinidamente; en caso contrario, la corriente durará hasta que los dos polos estén al mismo nivel (es el caso de una pila, que se descarga al cabo de algunas horas). Esta diferencia de nivel eléctrico ha recibido el nombre de diferencia de potencial, que se escribe ddp en abreviatura y cuyo símbolo es U. De lo que precede debemos recordar: «no hay corriente, ni energía, sin diferencia de potencial». 3.11. Diferencia de potencial 1. DEFINICIÓN.La diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito se mide por la energía, ex presada en julios, que transporta cada culombio que pasa entre esos dos puntos; energía de un culombio y diferencia de potencial están, pues, ex presadas por el mismo número. Ejemplo: si 20 C proporcionan 100 J, cada culombio proporciona: 100 J/20 C = 5 J/C 2. CÁLCULO.Se calcula la diferencia de potencial dividiendo la energía por la cantidad de electricidad; de ahí la fórmula: U = WQ donde: W en julios Q en culombios U en J/C (voltios)

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3.UNIDADES

DE DIFERENCIA DE POTENCIAL

a) Unidad legal. El julio por culombio se llama voltio (V). El voltio es la diferencia de potencial, entre dos puntos de un circuito, en el que cada culombio, al pasar, proporciona una energía de 1 J. 1 V = 1 J/1 C b) Otras unidades. Múltiplos y submúltiplos decimales:

Megavoltio (MV) 1 MV 1.000.000 106 V Kilovoltio (kV) 1 (kV) 1.000 103 V Milivoltio (mV) 1 (mV) 0,001 10-3 V Microvoltio (µV) 1 (µV0,00000110-6 V La fórmula se escribe según las necesidades: U = W W = UQ Q =W Q U

NOTA: Además de las unidades dadas en 2º, se puede ex presar Q en amperios-hora y W en vatios-hora, permaneciendo la diferencia de potencial U en voltios. 3.12. Medida de la diferencia de potencial Una diferencia de potencial se mide con ayuda de un voltímetro (figuras 23 y 23 bis). Se utilizará, sin conocer su funcionamiento, que se estudiará más adelante. Un voltímetro se monta en derivación (en paralelo) con el aparato del que se quiere 43

conocer la diferencia de potencial. Dicho de otra manera, las bornas del voltímetro deben unirse a los dos puntos entre los que ex iste la diferencia de potencial que se va a medir (figura 24).

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Figura 24. Medida de la diferencia potencial del motor M. Obsérvese el símbolo del motor 3.13. Nociones de potencial A veces, es cómodo hablar de potencial (V) en un punto; por ejemplo, se dice que la diferencia de potencial entre A y B es igual al potencial de A menos el potencial de B: U

A B =VA −VB El potencial de tierra convencionalmente se toma igual a cero. Si un generador de 110 V tiene su polo menos a tierra, su polo más tiene un potencial de +110 V (figura 25). Si es el polo más el que está a tierra, el polo menos está a -110 V (figura 26).

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Se observará la analogía que ex iste entre la altura y el potencial por una parte, y entre la diferencia de nivel y la diferencia de potencial por otra. 3.14. Importancia de la diferencia de potencial 1. GENERADOR.Un generador mantiene entre sus bornas una diferencia de potencial sensiblemente constante. Es ella la que permite al generador suministrar energía eléctrica. 2. TOMA DE CORRIENTE (figura 27).Entre las dos bornas de una toma de corriente ex iste una diferencia de potencial, ya que indirectamente esta toma se encuentra unida a un generador. 3. RECEPTOR.Un receptor está siempre previsto para funcionar a una diferencia de potencial dada. Si la diferencia de potencial que se le aplica es más elevada, corre riesgo de estropearse (quemarse). Si la diferencia de potencial que se le aplica es más débil, funciona mal y no rinde el servicio que se espera de él.

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Figura 30 es decir sumando: U1 + U2 + U3 = VA -VD = U En un montaje en serie la diferencia de potencial total es igual a la suma de las diferencias de potencial. Recordemos que la corriente es la misma a lo largo del circuito.

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4. Energía y potencia eléctricas 4.1. Energía 1 LA FÓRMULA W = U Q,del capítulo precedente, puede escribirse reemplazando la cantidad de electricidad Q por el producto t: W = U It El cuadro que sigue da los dos juegos de unidades para el empleo de esta fórmula.

UI t W VA s J VA h Wh Cuando la energía calculada es grande, es preferible emplear el watiohora y sus múltiplos. 2.UNIDADES: a) La unidad legal: el julio (J).Ahora podemos dar una definición puramente eléctrica: el julio es la energía producida entre dos puntos de un circuito entre los cuales ex iste una diferencia de potencial de 1 V cuando circula entre ellos una corriente de 1 A durante 1 segundo. b) Otras unidades (repaso) son:

Kilojulio kJ 1 kJ 1.000 J Watio-hora Wh 1 Wh 3.600 J Kilowatiohora kwh 1 kwh 1.000 Wh Gigawatio-hora Gwh 1 Gwh 109 Wh (un millón de kwh) 3.SEGÚN LAS NECESIDADES, la fórmula se escribe:

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U =W I =W t =W W = U tIt Ut UI 4 2. Potencia El precio del kilowatio-hora varía según el uso (época, hora, región, cantidad, gasto). 1 FÓRMULA.La fórmula general P =W es válida también en electricidad;t asociada a la fórmula W = U It da:

P =W =UIt =U I P = U I t t donde: U en voltios I en amperios P en watios Esta fórmula es muy importante. En corriente continua, que es la que estudiamos, se aplica sin restricción enunciándose como sigue. 2. LEY. La potencia puesta en juego entre dos puntos de un circuito es igual al producto de la diferencia de potencial que ex iste entre los dos puntos por la intensidad de la corriente que pasa por la parte de circuito entre los dos puntos. 3.OBSERVACIONES: a) Toda la parte del circuito comprendida entre dos puntos, y solamente dos, se llama dipolo. b) Si la potencia «entra» en el dipolo, el dipolo es receptor; si la potencia «sale» del dipolo, el dipolo es generador. c) La ley dice «potencia puesta en juego» sin precisar si la potencia se suministra al dipolo (receptor) o si es suministrada por el dipolo (generador); por tanto, la ley, y consecuentemente la fórmula, se aplican siempre en cualquier caso (figuras 31 y

55

diferencia de potencial y está atravesado por una corriente de 1 A. b) Otras unidades: el watio, con sus múltiplos y submúltiplos, es la única unidad de potencia empleada en electricidad.

Megawatio (Mw) 1 Mw 1.000.000 W 106 W Kilowatio (kw) 1 (kw) 1.000 W 103 W Miliwatio (mw) 1 (mw) 0,001 W 10-3 W Microwatio (µw) 1 (µw) 0,000001 W 10-6 W Recordemos que el caballo de vapor es una unidad tolerada: 1 CV = 736 W = 0,736 kw 5 LA FÓRMULA SE U =

PUEDE ESCRIBIR:

P

P = U I I =P I U 4 3. Medida de la potencia 1 PUESTO

QUE P = U I, se puede medir la potencia efectuando el producto

de las indicaciones de un voltímetro y de un amperímetro (figura 33). 2 EXISTE

UN APARATO que efectúa por sí mismo este producto; es el watímetro (figura 34). La figura 33 representa la medida de la potencia del motor M con un voltímetro y un amperímetro.

57

CUADRO B. t - 4 min T1− T0 I (A) T0 T1 T1 - T0 I2

2 17.3 19.9 2.1 2.4/4 = 0.6 4 19.2 28.7 9.3 9.5/16 ≈0.6 6 19.3 40.7 21.2 21.2/36 ≈ 0.6 4. TERCERA SERIE DE MEDIDAS.Reemplacemos el elemento calefactor por otro diferente y repitamos la primera serie de medidas (cuadro C);se comprueba: a) Que la elevación de la temperatura es siempre proporcional a la duración del paso de la corriente. b) Que las elevaciones de la temperatura, para una misma duración, son diferentes de las encontradas en 2º. La cantidad de calor desprendido por efecto Joule depende del elemento calefactor utilizado.

CUADRO C. I = 4 A, T0 = 18,7 °C I (min) T 1

T t

- T0 T1− T0 t 2 21.1 2.4 2.4/2 = 1.2 4 23.4 4.7 4.7/4 ≈ 1.2 4 5. Unidad de resistencia: el ohmio (Ω) 63

1. ELECCIÓN.Elegiremos la unidad de resistencia de tal manera que W = 1 J cuando I = 1 A y t = 1 segundo. 2. DEFINICIÓN.El ohmio es la resistencia de un receptor que transforma en calor una energía eléctrica de 1 J cuando está atravesado durante 1 segundo por una corriente de 1 A. Fórmulas: 1º. Energía: W=RI2 t donde: R en ohmios I en amperios t en segundos W en julios 2º. Potencia. Para hallar la potencia disipada por el efecto Joule, basta dividir la energía por el tiempo: P = W=R I2 t= R I 2 tt P=RI2 donde: R en ohmios I en amperios P en watios 3. CALOR.Recordemos que las cantidades de calor deben ex presarse en julios. No obstante, si se quieren obtener calorías, basta multiplicar la 1 energía hallada por 4,18 , es decir alrededor de 0,24. 4.6. Potencia total y potencia térmica

64

térmico. Se le denomina a menudo con una de estas ex presiones «resistencia muerta», «resistencia pura» o simplemente «resistencia»; emplearemos este último término cuando no sea posible ninguna confusión con la magnitud eléctrica correspondiente (figura 37). Reemplacemos las potencias por sus ex presiones y dividamos por I: Pt = Pa R I 2 = U I R I = U El caso B es un caso particular, relativo a algunos usos de la electricidad (calefacción, alumbrado por incandescencia, etc). Caso C. ¿Puede suceder que Pt < Pa? Evidentemente, es, además, el caso más frecuente, el más general, aquél en que sólo una parte de la energía eléctrica se convierte en calor. La otra parte, la más importante, se convierte en energía mecánica o química (u otra). Este caso se refiere a las aplicaciones más importantes de la electricidad: motores, electrólisis, etc. Reemplacemos las potencias por sus ex presiones y dividamos por I: Pt < Pa R I 2 < U I R I < U 4.7. Ley de Ohm 1. ENUNCIADO.La diferencia de potencial entre las bornas de un receptor puramente térmico es igual al producto de la resistencia de este receptor por la intensidad de la corriente que lo atraviesa. 2 FÓRMULA. Se ha establecido en el párrafo precedente: U=RI donde: R en ohmios I en amperios U en voltios 66

3.CONDICIONES DE APLICACIÓN DE LA LEY: a) Para establecer la ley hemos supuesto que el receptor era puramente térmico (caso B). b) Hay que comprender muy bien que escribir U = R I o escribir que toda la energía se convierte en calor es la misma cosa. c) Aplicar la ley a un motor o a un acumulador carece de sentido. 4. NOTA IMPORTANTE. En el caso de un motor o de un acumulador, el producto RI da la caída de tensión, es decir el número de voltios perdidos a causa de la resistencia; esos voltios no representan, afortunadamente, más que una pequeña parte de la diferencia de potencial U. 5. NUEVA DEFINICIÓN DEL OHMIO.El ohmio es la resistencia de un receptor puramente térmico que está atravesado por una corriente de 1 A cuando se le aplica una diferencia de potencial de un voltio (1 V). 4.8. Comprobación ex perimental de la ley Efectuemos el montaje de la figura 38en el cual el reóstato permite hacer variar la corriente. Anotemos I e U para diferentes posiciones del cursos del reóstato. Observaremos (véase el cuadro que sigue) que U e I son sensiblemente proporcionales: U =constante =R I

U (v) I (A) U/I = R (Ω) 2.3 1.14 2.3 / 1.14≈2 3.7 1.85 3.7 / 1.85 = 2 67

U , que se reemplaza en la segunda: P )2 =R P 2 R PP = R ( U U 2 , de donde1 =2U

y finalmente: U2 =PR P en watios R en ohmios U en voltios Esta fórmula, establecida en las mismas condiciones que U = R I, y suponiendo que toda la energía suministrada se transforma en calor, está sujeta a idéntica restricción; sólo se aplica a los receptores puramente térmicos. 4.10. Caída de tensión en una línea de transporte 1. CADA UNO de los dos hilos de la línea tiene una resistencia propia r; cuando la corriente I los atraviesa, entre los ex tremos de cada hilo hay una diferencia de potencial: u = r I. Esta diferencia de potencial se llama caída de tensión en el hilo. Al estar los dos hilos en serie con la utilización, las dos caídas de tensión se suman a la tensión disponible a la llegada, para dar una tensión mayor a la salida. Por tanto, es preciso prever, a la salida de las líneas, una diferencia de potencial superior a la que se desea obtener a la llegada. Ejemplo (figura 39). Se quieren tener 110 V entre B y D para una corriente de 100 A y dos hilos que tengan cada uno 0,05 de resistencia Caída de tensión en línea:

69

Figura 42 ces mayor. 3. INFLUENCIA DE LA NATURALEZA DEL CONDUCTOR. Montemos en serie(figura 42)hilos de la misma longitud y de la misma sección, pero de naturaleza diferente, cobre, hierro, ferroníquel Comprobaremos que la resistencia del hierro es seis veces la del cobre y la del ferroníquel, 50 ve La resistencia de un conductor depende, pues, de su naturaleza. 5 2. Ex presión de la resistencia 1. REGLA. La resistencia de un conductor filiforme y homogéneo: • Es proporcional a su longitud. • Inversamente proporcional a su sección. •Depende de un factor que caracteriza a su naturaleza y que llamaremos su resistividad (ρ). 2 FÓRMULA: R = ρ lS l en metros S en m2 ρ(véase tabla) R en ohmios 5 3. Unidades de resistividad 73

1. ELECCIÓN. La debemos escoger de tal modo que, estando la longitud ex presada en metros y la sección en metros cuadrados, la resistencia venga dada en ohmios. Despejamos ρ de la fórmula: ρ = RS l y reemplacemos las magnitudes por sus unidades: ρ =

Ohmios . Metros2 Ωm 2 Metros = m= Ω m es decir simplificando m. La resistividad se ex presa en ohmios-metros. 2.OTRAS

UNIDADES:

a) Múltiplo: el megohmio-metro (MΩm): 1 MΩ = 106 Ωm. b) Submúltiplo: el microohmio-metro (µΩm): 1 µΩm = 10-6 Ωm. c)Antigua unidad: se encuentran todavía tablas en las que la resistividad está ex presada en ohmios-centímetro (Ωcm).Basta saber que el número correspondiente debe multiplicarse por 1 , es decir 10-2 , para tener oh100 mios-metros.

74

y como sección la unidad de sección (1 m2 ). b) Cálculos con la fórmula. Esta fórmula se escribe según las necesidades: R = ρ l S =ρ l ρ =R Sl =R S

S R lρ Hay que poner mucha atención en el número de ceros de las diferentes magnitudes; es indispensable efectuar los cálculos con ayuda de las potencias de 10. Ejemplo: calcular R con: ρ = 1,17 . 10-8 ohmios S = 1 mm 2 1 = 1 km primeramente es necesario reducir las unidades: S = 10-6 m 2 1 = 103 m de donde: R = ρ l

= 1,7 . 10−8103

S 10−6 =17Ω

5.4. Variaciones de la resistividad 1 LA RESISTIVIDADde un material puede variar con la temperatura, la luz, 76

también de la resistividad a 0 C y de la naturaleza del conductor: a es un coeficiente llamado de temperatura que depende de la naturaleza del conductor (véase cuadro). Siendo 0 C la temperatura inicial a considerar se tiene: ∆t =t− 0 = t La resistividad at grados es:

ρt = ρ 0 + ∆ρ ρt = ρ 0 + ρ 0at ρt = ρ 0 (1 +at ) ρt = ρ 0 (1 +at ) La resistividad es, por tanto, una función lineal de la temperatura. c) Resistencia. Para calcular la resistencia se multiplica la resistividad por l la razón S ,que es constante si se desprecia la dilatación del hilo; se tiene, pues, entre las resistencias a 0 y t grados, una relación análoga a la fórmula anterior: Rt = R0 (1 + at )

NOMBRES DE LAS RESISTIVIDAD (1) COEFICIENTE

aSUSTANCIAS Metales Plata 1.5 x 10-8 4.5 x 10-3 -8

4 x 10-3 Cobre 1.6 x 10

Aluminio 2.6 x 10-8 4.5 x 10-3 -8

5 x 10-8 Tungsteno 5 x 10 78

Hierro 8.5 x 10-8 7 x 10-3 Aleaciones Latón (Cu, 60% ; Zn, 40% ) 7.5 x 10-8 1.5 x 10-3 Maillechort (Cu, 60% ; Zn, 25% ;34 x 10 -8 0.25

x 10 -3 Ni,

15% )

Manganina (Cu, 84% ; Mn, 12% ;42 x 10 -80.02 x 10 -3 Ni, 4% ) Constantana (Cu, 60% ; Ni, 40% ) 49 x 10-8 0.01 x 10-3 (2) -2 Ferroníquel (Fe,

75% ; Ni, 25% ) 80 x 10-8 0.9 x 10

5 5. Pérdidas y calentamiento 1. SIEMPRE es perjudicial.

QUE no se busca el desprendimiento de calor, el efecto Joule

Sucede así en la mayoría de las aplicaciones de la electricidad. 2 PÉRDIDAS

DE ENERGÍA por efecto Joule. Están dadas por la ley de Joule: W = RI 2t. Estas pérdidas suponen varios inconvenientes. a) Disminuyen el rendimiento de los aparatos. b) Ocasionan un calentamiento que, si fuera ex cesivo, podría deteriorar los aislantes que rodean los hilos y provocar cortocircuitos. c) La limitación de este calentamiento a un valor compatible con el buen funcionamiento de los aparatos impone una limitación de su potencia. 5.6. Limitación de corriente en los conductores

79

1. LA NECESIDADen que nos encontramos de tener en los conductores un calentamiento limitado, variable según los usos, impone no sobrepasar en los conductores una cierta densidad de corriente. 2 DEFINICIÓN.La densidad de corriente en un conductor es el cociente de la intensidad de la corriente por la sección del hilo: ∆ = I

S I en amperios S en mm2 ∆ en A/mm2 3. LA DENSIDADde corriente admisible varía con la temperatura ambiente, la elevación de temperatura tolerada, las condiciones de enfriamiento, la naturaleza del hilo y la sección del mismo, etc. Debemos recordar que la densidad de corriente varía de 1 a 5 A/mm2 y que en las máquinas giratorias es del orden de 2 A/ mm2 . 4 NOTA.La caída de tensión en un hilo de naturaleza y de longitud dadas, es proporcional a la densidad de la corriente en el hilo. En efecto: u = r I = 80

U = U1 + U2 + U3 3 RESISTENCIA.Apliquemos la ley de Ohm a cada resistencia: U1 = R1 I U2 = R2 I U3 = R3 I reemplazando en la relación: U = R1 I + R2 I + R3 I = (R1 + R2 + R3) I Se puede, pues, reemplazar el conjunto de las tres resistencias por una sola que tenga por valor: Re = R 1 + R2 + R3 aplicando la misma diferencia de potencial a esta Re tendremos la misma corriente que con las tres resistencias iniciales. Tal resistencia se llama resistencia equivalente (se sobreentiende al conjunto de las otras). 5.8. Definición de la resistencia equivalente Se llama resistencia equivalente de otras va rias la resistencia que, sometida a la misma diferencia de potencial, está atravesada por la misma corriente. Ejercicio Dos resistencias de 6 Ωy de 4 Ω están mon tadas en serie; se aplica al conjunto una dife rencia de potencial de 40 V. Calcular la inten sidad de la corriente en el circuito y la dife rencia de potencial entre las bornas de cada resistencia (figura 46).

82

5 9. Conductancia

83

Leyes 1. DIFERENCIA DE

POTENCIAL.Al ser comunes las dos bornas A y

B, la diferencia de potencial es también común; llamaremosU a su valor.U ES

COMÚN. 2. INTENSIDAD. La intensidad en el circuito principal es igual a la suma de las intensidades de las diferentes derivaciones: I = I1 + I2 + I3 3 RESISTENCIA.Apliquemos la ley de Ohm a cada resistencia: I

1 = U1I2 = UI3 = U R R2 R3 es decir reemplazando en la relación: U + U + UI = R1 R2 R3 I =U R1 R2 R3 1 + 1 + 1

y dividiendo los dos miembros por U:

I= 1+ 1+ 1 U R1 R2 R3 Pero, según la definición de la resistencia equivalente, el cociente de U por I es Re,y por consiguiente, el cociente de 1 por U es el inverso de Re; es decir: 86

1 = I Re U Se obtiene la relación:

1= 1+ 1+ 1 Re R1 R2 R3 lo que da la regla: en un montaje en paralelo, el inverso de la resistencia equivalente es igual a la suma de los inversos de las diferentes resistencias. Ge = G1 + G2 + G3 5.11. Casos particulares 1. VARIAS RESISTENCIAS IDÉNTICAS.Sean resistencias en paralelo de valor r. La diferencia de potencial es siempre común: sea U. U Todas las intensidades son iguales i = r.

Se tiene, pues, como intensidad total: I = i + i + i … +i n veces I = ni La resistencia equivalente será: 1 =1 +1 +1 + … +1

R e r r rr

n veces 1 =n R =r Re rn

2.

SOLAMENTE DOS RESISTENCIAS EN PARALELO.

Sean R1 y R2 (figura 48). La tensión es común: U;la intensidad total es: I = I1 + 87

U = R1 I1 = R2 I2 Apliquemos las propiedades de las proporciones:

I R2 R1 R2 + R1 I1 = I2 = I1 +I2 = R1 +R2 de donde: 2 1 I1 = I . R I2 = I . R

R1 + R2 R1 + R2 lo que se puede ex presar de una manera fácil de retener: la corriente en una resistencia es igual a la corriente total multiplicada por la otra resistencia y dividida por la suma de las resistencias.

89

3 POTENCIA ELÉCTRICA TOTAL (PET ).El generador proporciona, por tanto: Pu = U I al circuito ex terior: Pj = r I 2 debida a su propia resistencia. La suma de ambas potencias se denomina potencia eléctrica total PET = Pu + Pj PET= U I + r I 2 6.4. Fuerza electromotriz 1.DIVIDAMOS por I los miembros de la relación anterior: PET

= U +r I; el cociente PET se mide en voltios, puesto que es unaI I suma de voltios. Se representará por la letra E y la llamaremos fuerza electromotriz del generador (en abreviatura f.e m.): E = PET I Se puede escribir E = U + r I. 2. DEFINICIÓN.La fuerza electromotriz de un generador, es el cociente de su potencia eléctrica total por la intensidad de la corriente que proporciona. 3. OBSERVACIÓN.La fuerza electromotriz E es la suma de los voltios U que se encuentran entre las bornas del generador (voltios útiles) y de la caída de tensión interna r I del generador (voltios perdidos). E representa, pues, la totalidad de los voltios producidos por el generador. 4.

PAPEL DE LA FUERZA ELECTROMOTRIZ.La fuerza electromotriz es la causa inicial de la producción de energía y de la circulación de la corriente. 92

La fuerza electromotriz y la resistencia interna son las dos características eléctricas principales de un generador. 5. MEDIDA DE LA FUERZA ELECTROMOTRIZ.En la fórmula E = U + r I si se le da a I el valor cero se tiene: E=U Cuando un generador no proporciona corriente, su diferencia de potencial es igual a su fuerza electromotriz. Se puede, pues, conocer la fuerza electromotriz de un generador midiendo su diferencia de potencial en vacío (cuando no suministra corriente), considerando despreciable la corriente consumida por el voltímetro (figura 51). 6 5. Ley de Ohm para un generador

93

E en voltios R y r en ohmios I en amperios 2. OBSERVACIÓN IMPORTANTE. Si se montan varias resistencias entre las bornas de un generador, reemplazándolas por su resistencia equivalente, se puede aplicar la fórmula poniendo en lugar de R: I = E

R e +r 6.8. Esquema equivalente de un generador Para resolver los problemas, es posible separar la resistencia interna de la fuerza electromotriz; un generador se representa entonces por un generador perfecto (sin resistencia interna) en serie con una resistencia pura (figura 55). No es sino una forma más cómoda de ver las cosas, y es necesario comprender bien que, en realidad, el conjunto es inseparable. En particular, el punto C de separación no ex iste en el generador, cuyas bornas son A y B. Debe observarse que el vector que representa la fuerza electromotriz tiene su ex tremo en el polo

MÁS e indica al mismo tiempo el sentido de la corriente.

Con esta representación se comprende mejor el sentido de las fórmulas 24 y 24 bis. El generador perfecto de fuerza electromotriz suministra una corriente I a su propia resistencia interna, en serie con la resistencia ex terior o con la agrupación de resistencias ex teriores (figura 56).

98

Figura 55 Esquema equivalente de un generador 6 9. Cortocircuito de un generador

100

única resistencia interna r una corriente: I

cc =

E r Evidentemente, es la máx ima corriente que puede producir: su diferencia de potencial es entonces nula, así como la potencia útil que proporciona. Por el contrario, I2 di cc es, en general, enorme, así como la potencia,rI cc sipada por efecto Joule en el generador. El cortocircuito daña siempre al generador, cuando no lo pone definitivamente fuera de servicio. 6.10. Rendimiento de un generador 1 RENDIMIENTO lecciones: η i =

INDUSTRIAL. Se ha definido en las dos primeras

Potenciaútil =Pu =U I Potenciaabsorbida Pa Pa Recordemos que la potencia absorbida es igual a la suma de la potencia útil y de las pérdidas totales.

102

2. RENDIMIENTO ELÉCTRICO.Si no se tienen en cuenta más que las perdidas por efecto Joule, se puede definir un rendimiento eléctrico: η e =

Potenciaútil = Pu Potenciaeléctrica total PET El rendimiento eléctrico es mayor que el rendimiento industrial, puesto que: PET < Pa Se puede escribir: η e = Pu =U I =Uηe =U

PET EI E E 6.11. Asociación de generadores 1 FINALIDAD.Tiene por objeto obtener una fuerza electromotriz mayor que la de un solo generador. O bien obtener en el circuito de utilización una corriente más intensa que la que podría proporcionar un sólo generador. O bien las dos cosas a la vez. 2 REALIZACIÓN. Ex isten tres tipos de acoplamiento: en serie, en paralelo o mix to (es decir una combinación de los dos precedentes). 103

resistencias internas r: R=nr d) Observación. Los generadores que tienen la misma resistencia interna y proporcionan la misma corriente tienen la misma caída de tensión, sus fuerzas electromotrices son iguales, sus diferencias de potencial u lo son también y la diferencia de potencial total es: U = n u = n (e - r I) 3. GENERADOR EQUIVALENTE. Por tanto, se puede reemplazar el conjunto de los generadores por uno solo que tenga como características: E=neR=nr y produzca una corriente I = i. 6.13. Generadores en paralelo 1. MONTAJE (figura 58) Los polos (+) se reúnen entre sí y los polos (-) también se reúnen entre sí. No se tratará aquí más que el caso de generadores idénticos. 2. LEYES. a) Fuerza electromotriz. La fuerza electromotriz E de la agrupación es igual a la de un generador e: E=e

105

serie 2. ACOPLAMIENTO MIXTO. Se reúnen en paralelo p series que comprenden cada una s generadores(figura 59). El número total de generadores es: n = p . s a) generador equivalente a una serie: E = s e R = s r I = i b) Generador equivalente a p series en paralelo: E = E R = R I = p I p Finalmente: E = s e R =sr I = p i p 3 PARA EXTRAERla máx ima potencia de una agrupación es necesario atenerse a las condiciones que se determinan en el párrafo siguiente. 6.15. Potencia útil de un generador 1.SE SABE que la potencia útil es Pu = U I. Reemplacemos U por su ex presión Pu = (E - r I) I Pu = -r I 2 + E I Siendo E y r constantes, Pu es una función de segundo grado de I, cuyo coeficiente a = -r es negativo. Esta función tiene, por tanto, un máx imo para: x = I = − b = E 2 a2 r

108

El máx imo es P

m = − r E 2EE E2 Pm =

2 +

r2r 4r La diferencia de potencial es entonces: U = E − ri = E − r EU =E 2r 2 El rendimiento eléctrico es: ηe =U =1 = 50% E 2

109

2.

CONCLUSIÓN. Un generador proporciona como máx imo una potencia

E2 igual a 4r , su rendimiento es entonces del 50% . 3. EJERCICIO.Trazar las curvas Pu = f (I) y ηe = f (I). 4.

OBSERVACIÓN. Cuando el generador proporciona su potencia máx ima

U =E la caída interna de tensión es también igual a E . Si alimenta una2 , 2 resistencia pura, se tiene : E =U = R I = r I, de donde R = r.2 Un generador proporciona su máx imo de potencia cuando alimenta una resistencia igual a su resistencia interna.

110

7 3. Potencias eléctricas puestas en juego en un receptor 1 POTENCIA ABSORBIDA ( Pa).Es la potencia absorbida por el receptor, en la red que lo alienta. Es puramente eléctrica. Sabemos calcularla; si U es la diferencia de potencial aplicada al receptor, e I la corriente que absorbe: P a = U I 2 POTENCIA PERDIDA (Pj).Es la potencia perdida por efecto joule en el interior del receptor y viene dada por la ley de Joule; si r es la resistencia interna del receptor: Pj = r I 2 3 POTENCIA ELÉCTRICA ÚTIL. El receptor recibe: Pa = U I y disipa en su propia resistencia: Pj = r I 2 Solamente la diferencia de estas dos potencias es transformada en otra forma de energía (química o mecánica), esta diferencia es la potencia eléctrica útil (1). Sea: PEU = Pa - Pj PEU = U I - r I 2 (1) La potencia realmente útil es igual a la potencia eléctrica útil, disminuida en las otras pérdidas diferentes de las caloríficas. No se tendrán en cuenta en esta lección esas otras pérdidas. 7.4. Fuerza contraelectromotriz 1 DIVIDAMOS por I los dos miembros de la relación anterior: 112

PEU = U − r I I

El cociente PEU se mide en voltios, puesto que es una diferencia de vol I tios. Se representará por la letra E y la llamaremos fuerza contraelectromotriz del receptor (en abreviatura f.c.e m.): E = PEU I Se puede escribir: E = U - r I 2 DEFINICIÓN.La fuerza contraelectromotriz de un receptor es el cociente entre su potencia eléctrica útil y la intensidad de la corriente que absorbe. 3. OBSERVACIÓN.La fuerza contraelectromotriz E es la diferencia de voltios U,que se aplican al receptor (voltios absorbidos) y la caída de tensión interna r I del receptor (voltios perdidos). E representa, pues, los voltios útiles del receptor, que van a participar efectivamente en la transformación de energía. 4. PAPEL DE LA FUERZA contraelectromotriz. La fuerza contraelectromotriz se encuentra en el origen de la transformación de la energía eléctrica en otra forma cualquiera de energía (ex cepto térmica). La fuerza contraelectromotriz y la resistencia interna son las dos características principales de un receptor. 5. MEDIDA DE LA FUERZA contraelectromotriz. Se precisará al estudiar más detalladamente los receptores. Se puede ya hacer notar que si: 113

I = 0 se tiene E = U 7 5. Ley de Ohm para un receptor 1 LA FÓRMULA E = U - r I se puede escribir: U = E + r I r en ohnmios I en amperios U y EE en voltios 2. LEY.La diferencia de potencial entre las bornas de un receptor es igual a su fuerza contraelectromotriz aumentada en el producto de su resistencia interna por la intensidad de la corriente que absorbe. 3 EFECTUADOS escribirá:

LOS CÁLCULOS convenientes, la fórmula se

U = E + r I E = U - r I I = U−E r =U−E r I 7.6. Comprobación ex perimental Efectuemos el montaje de la figura 61.Desplazando el cursor del reóstato, hagamos variar la tensión aplicada al receptor y anotemos los valores de U y de I.

114

4,8 5,7 6,6 Haciendo variar la corriente mediante el reóstato, se puede obtener la tabla de valores, que permite dibujar la curva U = f (I). Por consiguiente,U es una función lineal creciente de I (figura 62). Prolongando la recta, se obtiene b = E = 4,2 V (cuando I es nula); por otra parte, el cociente:

A =5,7 −4,8 =0,9 = 0,3 permite obtener r = 0,3 Ω. 5 − 2 3

116

separación no ex iste en el receptor, cuyas bornas son A y B. Obsérvese que el vector que representa la fuerza contraelectromotriz tiene su ex tremo en el polo más; por tanto, es de sentido opuesto al de la corriente. Así se justifica la preposición contra colocada delante de electromotriz.

118

Figura 63. En los problemas se puede separar la resistencia interna de la fuerza 7.8. Generadores en oposición 1. UN GENERADORestá montado en oposición en un circuito cuando la corriente lo atraviesa del polo (+) hacia el polo (-). Funciona entonces como un receptor, y su fuerza electromotriz debe considerarse como una fuerza contraelectromotriz. 2. APARATOS REVERSIBLES.Si un aparato puede funcionar como generador y como receptor, como sucede con los acumuladores y con las dinamos (o motores), su modo de funcionar depende de los otros elementos del circuito. No se puede, a priori, precisar si desarrolla una fuerza electromotriz o una fuerza contraelectromotriz. Por esta razón, se puede emplear el término «fuerza electromotriz» tanto para un generador como para un receptor. Sin embargo, haremos la distinción siempre que sea posible.

120

potencia útil y de las pérdidas totales. η i = Potencia útil =Pu =Pu

Potenciaabsorbida Pa UI Recordemos que la potencia absorbida es igual a la suma de la potencia útil y de las pérdidas totales. 2. RENDIMIENTO ELÉCTRICO.Si no se tienen en cuenta más que las pérdidas caloríficas, se puede definir un rendimiento eléctrico: η e = Potencia eléctrica útil =PEU

Potenciaabsorbida Pa El rendimiento eléctrico es mayor que el rendimiento industrial, puesto que: PEU > Pu Se puede escribir: η e =

PEU =E I =E ηe =E 122

Pa UIU U 7.10. Asociación de receptores 1. EN SERIE.Es un montaje bastante raro que sólo se emplea en los laboratorios y para receptores químicos. a) En el laboratorio. Frecuentemente se monta en serie un solo receptor de fuerza contraelectromotriz con resistencias puras. b) Receptores químicos. Se montan en serie los acumuladores para recargarlos y en la industria electroquímica las cubetas de electrólisis. c) Leyes. El receptor equivalente tiene como fuerza contraelectromotriz la suma de las fuerzas contraelectromotrices: E = e 1 + e 2 + e 3 … y, como resistencia interna, la suma de las resistencias internas: R = r 1 + r 2 + r 3 La ley de Ohm para un receptor se aplica luego al receptor equivalente: U = E + R I siendo I la corriente común del montaje serie. 2. EN PARALELO.La distribución de la energía se hace a tensión constante U; cada receptor está, pues, sometido a esta tensión y el cálculo de la corriente individual se efectúa como si el receptor estuviese solo. Recordemos que la corriente total es igual a la suma de las corrientes. 7.11. Ley de Ohm para un circuito cerrado 1.CONOCEMOS LAS aislados: a) resistencia pura: U=RI b) Generador:

LEYES de Ohm que se aplican a aparatos

123

Figura 65. El polo positivo del receptor debe estar unido al polo positivo del generador 2. FÓRMULA.Calculemos la diferencia de potencial entre las bornas comunes A y B, aplicando primeramente la ley de Ohm, relativa a un generador y luego la ley de Ohm relativa a un receptor: Para el generador U = E - r I Para el receptor U = E + r I Siendo común la diferencia de potencial, se tiene: E - r I = E + r I E - E = r I + r I = I (r + r ) De donde I = E− E r + r 3. ESQUEMA EQUIVALENTE. El esquema equivalente muestra inmediatamente que la diferencia: E - E da lugar a la corriente I a través de las resistencias (figura 66). 4. OBSERVACIÓN.Cuando dos generadores están montados en oposición, el que tiene mayor fuerza electromotriz impone al otro su sentido de corriente. El otro funciona como receptor y su fuerza electromotriz se comporta como una fuerza contraelectromotriz. Es aplicable la fórmula del apartado 1º, y el esquema 125

r + r + r = Rt Rt= Resistencia total del circuito. Se obtiene la fórmula: I = E− E R t 3. LA FÓRMULA se ex tiende al caso en que otras resistencias puras estén también en serie con el generador y con el receptor. La resistencia total debe entonces tener en cuenta estas nuevas resistencias. 4. CÁLCULO de las diferencias de potencial. Cuando se conoce la corriente en el circuito y, por tanto, en cada aparato, se aplica la ley de Ohm a cada uno de ellos para hallar las diferencias de potencial. 5. EJEMPLO.Un generador de fuerza electromotriz E = 130 V y de resistencia interna r = 0,5 alimenta, por intermedio de dos hilos de línea, que tienen cada uno una resistencia de 0,2 Ω, un circuito que comprende en serie una resistencia pura R = 3,5Ω y un motor de fuerza contraelectromotriz E = 100 V y de resistencia r =Ω.Calcular la intensidad de la corriente en el circuito y la diferencia de potencial en las bornas de cada elemento del circuito. Solución Resistencia total: Rt = 0,5 + 0,2 + 0,2 + 3,5 + 0,6

(r) (hilos de línea) (R) (r ) Rt = 5 Corriente: 129

I =E− E =130 − 100= 6ARt 5

Diferencias de potencial: Generador : U = E - r I = 130 - 0,5 . 6 = 127 V Cada hilo de la línea: u = 0,2 . 6 = 1,2 V Resistencia pura: U1 = R1 = 3,5 . 6 = 21 V Motor: U2 = E + r I = 100 + 0,6 . 6 =103,6 V Comprobación. La suma de las diferencias de potencial debe ser igual a la del generador: u + U1 + U2 + u = 1,2 + 21 + 103,6 + 1,2 = 127 V 7.14. Ley de Ohm generalizada 1.SE APLICA solamente en el caso de que todos los aparatos estén montados en serie. Se efectúan separadamente: a) La suma de las fuerzas electromotrices. b) La suma de las fuerzas contraelectromotrices. c) La suma de las resistencias. La corriente es entonces: I =

Suma de f.e.m. −Sumade f.c.e.m. Sumaderesistencias para simplificar la escritura se emplea la letra griegaΣ que significa entonces

130

SUMA DE, y se tiene: I = ΣE− ΣE ΣR 2.SEGÚN

LAS NECESIDADES, esta fórmula se escribirá: ΣE =ΣE

ΣR ΣR =ΣE −EE = ΣE = ΣE − I ΣRI

131

+I

8. Leyes de Kirchoff 8.1. Circuitos complejos En la lección primera se ha estudiado la composición de un circuito eléctrico en su forma más elemental, formado por un generador, un receptor y los correspondientes conductores de unión de estos dos elementos básicos. Este circuito elemental se presenta infinidad de veces en la práctica pero también es frecuente encontrar circuitos más complejos en los cuales intervienen no sólo un generador sino varios y no sólo un receptor sino varios también agrupados en las formas ya estudiadas para obtener unas determinadas condiciones de trabajo. Al encontrarnos con estos circuitos complejos ya no es posible su resolución, o por lo menos resulta embarazosa, mediante la simple aplicación de la ley de Ohm, en la totalidad o en parte del circuito; es necesario establecer nuevas condiciones haciendo uso de dos leyes fundamentales establecidas por el físico alemán,GUSTAVO ROBERTO KIRCHOFF, que llevan su nombre, enunciadas y aplicadas a los circuitos eléctricos complejos en la forma que pasamos a estudiar. 8 2. Primera ley de Kirchoff Consideramos un nudo Nde un circuito eléctrico como el representado en la figura 69en el cual concurren los conductores C1, C2 y C3 circulando por ellos corriente de valores I1, I2 e I3respectivamente. Las dos primeras acercándose al nudo y la tercera alejándose de él. Convengamos en considerar positivas las corrientes que se acercan y negativas las que se alejan. Según este convenio resultan ser

132

EN EL NUDO N3: I5 = I2 + I4 = 3 + 2 = 5 A alejándose de N3. EN EL NUDO N4: I7 = I5 + I 6 = 5 + 5 = 10 A alejándose de N4. Los valores encontrados nos permiten observar, que la corriente de entrada en el circuito por el punto E igual a 10 A es idéntica a la corriente de salida por el punto S es decir que en el interior del circuito no se pierde corriente, seguirán distintos caminos los electrones pero a la salida tienen que estar presentes todos los que estaban a la entrada. 8.4. Segunda ley de Kirchoff La segunda ley deKIRCHOFFes una ex tensión de la ley de Ohm y puede enunciarse de la siguiente forma:

EN CUALQUIER CIRCUITO ELÉCTRICO CERRADO, LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS FUERZAS ELECTROMOTRICES ES IGUAL A LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS CAÍDAS DE TENSIÓN QUE SE PRODUCEN EN TODAS LAS RESISTENCIAS DEL CIRCUITO. En forma matemática esta ley queda de manifiesto en la siguiente ex presión: ΣE = ΣrI Para poder aplicar esta ley es necesario adoptar arbitrariamente una cierta regla de signos para las fuerzas electromotrices y las intensidades que intervienen en el circuito considerado. Esta regla de los signos establece que una f.e.m. se considera positiva cuando 135

determine una corriente que tienda a circular en el sentido de giro de las agujas de un reloj y se considera negativa en el caso contrario. Con el mismo criterio la corriente cuyo sentido coincida con el sentido de giro de las agujas del reloj, será considerada positiva y negativa en caso de que su sentido fuese contrario al giro de las agujas. Consideremos el circuito representado en la figura 71en el cual se encuentran dos generadores de f.e m. E1 y E2 y resistencias interiores r1 y r2 respectivamente y dos resistencias R3 y R4. De acuerdo con lo ex puesto anteriormente podemos escribir: E1 - E2 = r 1 I1 + R3 I3 - r2 I2 - R4 I4 puesto que E1 resulta ser positiva (coincide con el sentido positivo de la flecha) y E2 resulta ser negativa (sentido contrario al sentido de la flecha), r1 I1 resulta ser positivo (coincide con el sentido positivo de la flecha).

136

cuyos puntos A, B, C y D ex isten tensiones VA , VB , VC , VD respectivamente y en valor creciente. En la rama A - B VB - VA = E1 - r 1 I1. En la rama B - C VB - VC = R3 I3o bien VC - VB = R3 I3. En la rama C - D VC - VD = E2 - r2 I2o bien VD - VC = -E2 + r2 I2. En la rama D - A VA - VD = R4 I4. Sumando ordenadamente tenemos: (VB - VA ) + (VC - VB ) + (VD - VC ) + (VA - VD) = 0 = E1 - r1 I1 - R3 I3 - E2 + r2 I2 + R4 I4 de donde E1 - E2 = r1 I1 + R3 I3 - r2 I2 - R4 I4 ex presión encontrada anteriormente al aplicar la segunda ley de Kirchoff al circuito cerrado que estamos estudiando. 8 5. Aplicación práctica de la segunda ley de Kirchoff Consideramos el circuito de la figura 72formado por dos generadores acoplados en paralelo conjuntamente con una resistencia, siendo los valores de los elementos componentes los que reseñamos a continuación: E1 = 80 V E2 = 50 V r1 = 4 r2 = 6 R3 = 1 y se desea determinar los valores de las intensidades en cada una de las ramas. En la resolución de estos circuitos, por regla general, se utilizan conjuntamente, la ley de Ohm y la ley de Kirchoff primera y segunda, empezando por la aplicación de la 1ª ley de Kirchoff y estableciendo las ecuaciones precisas en los nudos para que aparezcan las corrientes desconocidas por lo menos una vez. En el caso que

138

sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya resolución nos determinará la solución del problema. De la 2 deducimos: I

1 = E1− R3 I3 r1 de la 3 deducimos: I

2 = E2− R3 I3 r2 y sustituyendo en 1: I

3 = E1− R3 I3+E2−R3I3 r1 r2 y por transformaciones sucesivas: E1r2 + E2 r1I3 = r1 . r2 + r2. R3 + r1 . R2 y sustituyendo valores: I3 = 80.6 + 50 . 4 =20 A4 . 6 + 6 . 1 + 4 . 1

de 4 I1 =80 − 1 . 20 = 15 A4 de 5 I2 =50 − 1 . 20 = 5 A6 Comprobación: de 1 3 = 15 + 5 = 20 A 140

9. Magnetismo-campo magnético 9.1. Campo magnético 1. EXISTENCIA.Dejemos una brújula orientarse según la dirección norte-sur y acerquemos a su polo norte el polo sur de un imán, en dirección perpendicular a la de la aguja. A gran distancia, 2 metros por ejemplo, la brújula se mantiene indiferente en presencia del imán; pero a medida que se le aprox ima, se ve a su polo norte girar hacia el polo sur del imán, y al final, cuando está muy próx imo a la brújula, su eje se halla prácticamente en la prolongación del imán. Se deduce de esta ex periencia (figura 73) que:

• La influencia del imán es tanto mayor cuanto menor es su distancia a la brújula. • A gran distancia, la acción del imán no se manifiesta. 2. DEFINICIÓN.Se llama campo magnético de un imán al espacio situado alrededor suyo, en el que se deja sentir su influencia.

141

que la corriente le entre por los pies y le salga por la cabeza, ve las líneas orientadas hacia su izquierda (figura 80). 4. REGLA NÚMERO 2, de la mano derecha. Si la mano derecha rodea el hilo, de maFigura 79. Campo de una corriente nera que el pulgar ind que el sentido derectilínea

149

Se puede reemplazar el sacacorchos por un tornillo normal (a la derecha). Retendremos la regla número 3, que es de un empleo cómodo y universal. 9 5. Campo de una corriente circular Para ex plorar el campo, se coloca una placa horizontal en el plano diametral de la espira(figura 83). 1. FORMA DEL ESPECTRO.a) Hacia el centro de la espira, las líneas de fuerza son prácticamente rectas. b) Al acercarse a los puntos en que la espira corta al plano, las líneas se curvan cada vez más. c) Alrededor de la intersección con el plano, se ven curvas cerradas, que son círculos apenas deformados.

153

b) En el ex terior, el espectro es idéntico al de un imán recto. 2.SENTIDO.Se encuentra como para una espira, en particular con la tercera regla. 3.CARAS. Se las diferencia como para una espira. 9.7. Inducciónβ 1 EN CADA PUNTO de un campo magnético, la acción del mismo marterializada por la orientación del magnetómetro tiene, por tanto: a) Una dirección. El eje del magnetómetro, que es también la tangente a la línea de fuerza. b) Un sentido. El indicado por el magnetómetro. Los efectos de un campo magnético, al estar orientados, debemos medirlos en cada punto por una magnitud vectorial; esta magnitud se llama inducción magnética o, simplemente, inducción (β). 2. ELEMENTOS

DEL VECTOR DE INDUCCIÓN EN UN PUNTO(figura 87). a) Dirección (o soporte). La tangente a la línea de fuerza, que pasa por el punto considerado (este punto es, naturalmente, el origen del vector). b) Sentido. Viene indicado por el magnetómetro; inducción y línea de fuerza están, pues, orientadas en el mismo sentido. c) Magnitud (o módulo). El valor de la inducción en un punto depende:

• De la fuente del campo magnético. • De la posición del punto con relación a esa fuente.

157

(generador o motor), es de algunas centésimas de weber. El weber es, pues, una unidad grande. 3.UNIDAD

ANTIGUA.Es el max well (Mx ),que corresponde a una

inducción de 1 G a través de 1 cm2 . 1 T = 10 4 G 1 m 2 = 10 4 cm 2 1 T . m 2 = 1 Wb = 10 4 G .10 4 cm 2 = 10 8 Mx 9.11. Influencia de un núcleo de hierro colocado en un campo magnético 1. LA INDUCCIÓN AUMENTA.Utilicemos de nuevo la bobina de 600 espiras del párrafo. Para una corriente de 0,5 A una aguja imantada, colocada en P a 20 cm de la bobina, casi no se desvía(figura 92);la inducción en P es pequeña.

164

ciclo de histérisis Conociendo las dimensiones del anillo, el número de espiras y la corriente, se puede calcular el campo interior: H=n

1 I = NI l en la que tomaremos l igual a la línea de fuerza media (circunferencia media). La elección de una anillo cerrado es imprescindible si se quiere eliminar el campo magnetizante, que se produciría por los polos en caso de utilizar una barra recta.

• Dimensiones en milímetros del anillo utilizado: • Diámetro interior Di = 180 • Diámetro ex terior De = 240 • Altura de la corona e = 40 • Diámetro medio 180 + 240 = 210 mm2 • Longitud de la circunferencia media 210 . 3,14 = 660 mm Se tiene, por tanto: H =N I =800 I = 1.210 I l 0,66 Algunas espiras, por ejemplo, se enrollarán separadamente y, servirán de bobina ex ploradora para el flux ómetro.

171

2. MEDIDAS.Demos al reóstato su valor máx imo y coloquemos el inversor K en la posición 1. La corriente pasa de 0 a 0,2 A, por ejemplo, y el flux ómetro mide la variación del flujo: ∆Φ1 = Φ0,2 - Φ2 = Φ0,2 Disminuyendo la resistencia del reóstato, pasemos de 0,2 a 0,4; el flux ómetro mide: ∆Φ2 = Φ0,4 - Φ0,2 La suma: ∆Φ1 + ∆Φ2 = Φ0,4 Procediendo de la misma forma hasta 5 A, se puede establecer el cuadro de valores de Iy deΦ. La sección S del anillo y el número de espirasn de la bobina ex ploradora, que se suponen conocidas, permiten calcular B: B = ϕns 3.CURVA B = f (h) La curva de inducción en el hierro en función del campo es la curva de imantación.

172

500 1 0,625 1.600 625 1,1 0,78 1.410 800 1,2 1 1.200 1.100 1,3 1,37 945 1.600 1,4 2 700 2.300 1,5 2,87 520 3.500 1,6 4,37 365 6.200 1,7 7,75 220 104 1,8 12,5 144 1,6.104 1,9 20 95 4. ESTUDIO DE LA CURVA. Hasta unos 500 A/m, la curva es una recta que pasa por el origen: inducción y campo son proporcionales. Luego, la inducción crece cada vez más lentamente; se dice que el hierro se satura. Para valores muy grandes de H,la curva sería de nuevo una recta, pero sin pasar por el origen: el hierro estaría completamente saturado, y las variaciones de la inducción serían proporcionales a las variaciones del campo. 9.14. Permeabilidad de una sustancia

1. CALCULEMOS LA INDUCCIÓN B 0 = n1I se produciría como conse800.000 cuencia del campo magnético de la bobina; completaremos así la tercera columna delcuadro 101.Vemos que esta inducción (téngase en cuenta que viene dada en 174

militeslas) es siempre manifiestamente inferior a la del hierro. Sabíamos ya que el hierro aumentaba la inducción que se produciría sin él. Todo ocurre como si el hierro multiplicase la inducción por un coeficiente mayor que 1; este coeficiente se llama permeabilidad relativa del hierro. Se dice que el hierro es más permeable (a las líneas de fuerza) que el vacío. 2. DEFINICIÓN.Para un campo magnético dado, la permeabilidad relativa µr de una sustancia es el cociente de la inducción que se produce en él, por lo que ex istiría en el vacío (o en el aire). 3.CÁLCULO. Para un mismo campo H, se tiene, por tanto: µ

r =

B B0 B y B0 en teslas EJEMPLO (5ª línea, figura 101). H = 1.600 A/m; B=1,4 T

B 0 =H = 1.600 = 2 . 10−3 T800.000 800.000 Calculando µr para todos los valores del cuadro 101,se completa la cuarta columna. Se ve que la permeabilidad no es constante: decrece cuando el campo aumenta (el hierro se satura).

175

Se puede trazar la curva 102: µr

= f (H). ABSOLUTA.Recordemos que B0 = µr; H y B = µr B0;se deduce B = µo . µr H. 4 PERMEABILIDAD

El producto u0 . ur de la permeabilidad del vacío por la permeabilidad relativa de la sustancia es la permeabilidad absoluta µa: µa = µo . µr = 4π. 10-7 µr se puede escribir: B = µa H

NOTAS. a) En los cuadros de valores se da siempre la permeabilidad relativa. b) µo µa son magnitudes físicas, mientras que µr es un número abstracto. 5.CLASIFICACIÓN DE clasifican en dos categorías:

LAS SUSTANCIAS.Las sustancias se

a) Las que tienen una permeabilidad relativa grande, pero variable con el campo H como consecuencia de la saturación: el hierro, el níquel, el cobalto y sus compuestos.

176

decrecer I.Se observa (figura 103) que: a) Los valores tomados por la inducción, cuando el campo ex citador disminuye, son todos ellos superiores a los adquiridos en campo creciente. Todo sucede como si hubiese un retardo en la desimantación; esto es lo que se llama histéresis. b) Cuando se anula la corriente, y por tanto el campo magnetizante, la inducción no se anula; conserva cierto valor que se denomina inducción, remanente Br. c) Para anular todo vestigio de inducción, es necesario invertir la corriente y producir, por tanto, un campo inverso llamado campo coercitivo Hc. 2. CICLO DE HISTÉRESIS.El estado magnético de una sustancia depende no solamente del campo al que está sometida, sino de todos los estados de imantación anteriores. Para poder estudiar simplemente las propiedades magnéticas es necesario: a) Borrar los estados de imantación anteriores. b) Hacer variar el campo entre dos valores opuestos +H y -H. Se dice entonces que se hace recorrer a la sustancia un ciclo de histéresis.

178

saturación lenta. b) Para fundición(figura 104b): es más ancho y la saturación más rápida. 9.16. Inconvenientes y ventajas de la histéresis 1 LA HISTÉRESIS produce un desprendimiento de calor y, por tanto una pérdida de energía. Se demuestra que esta pérdida de energía es proporcional al área del ciclo de histéresis, al volumen de la sustancia y al número de ciclos descritos. En corriente alterna, el campo se invierte constantemente y las sustancias describen numerosos ciclos (50 por segundo si la frecuencia es de 50 Hz) y por esta razón las pérdidas serán considerables. 2 EXPRESIÓN DE LAS PÉRDIDAS POR HISTÉRESIS.Las pérdidas por unidad de volumen vienen dadas aprox imadamente por la fórmula de Steinmetz: P = K

fB n

m K: Varía de 100 a 500 para las sustancias corrientes. f: Número de ciclos por segundo. Bm: Inducción máx ima en teslas.

181

n: Ex ponente de Bm igual a 1,6 para los núcleos gruesos y a 2 para las chapas delgadas. Para reducir las pérdidas por histéresis, se construyen máquinas con sustancias que tienen un ciclo estrecho: chapas de hierro con sicilio. Calculemos P para chapas de alta calidad: K = 100 para f = 50 y Bm = 1; se tiene: P = 100 . 50 . 1= 5.000 W/m3 1 m3 pesa alrededor de 8.000 kg y, por tanto, se pierde a causa de la histéresis: 5.000 = 0,62 W/kg

8.000

Ventajas de la histéresis 1. PUESTA EN MARCHA DE LAS MÁQUINAS. Se verá que gracias a la inducción remanente las máquinas pueden ponerse en marcha sin ayuda ex terior. 2. IMANES PERMANENTES. Gracias también a la histéresis subsiste una imantación remanente que permite fabricar imanes. Un imán debe tener un ciclo muy ancho (figura 105) y: a) Una gran inducción remanente. b) Un gran campo coercitivo para no perder esta inducción. Mediante las aleaciones especiales (ticonal por ejemplo) se ha podido obtener: Br = 1,3 T Hc = 31.000 A/m

182

10. Inducción electromagnética 10.1. Estudio cualitativo 1. EXPERIENCIA FUNDAMENTAL. a)Figura 106:acerquemos al polo norte de un imán una bobina conectada a un miliamperímetro de cero; el aparato se desvía hacia la derecha. Figuras 106 a 109.El desplazamiento relativo de la bobina y del imán da origen a una corriente inducida. b) Figura 107:separemos la bobina; se obtiene una desviación hacia la izquierda. c) Figura 108: acerquémosla al polo sur; desviación a la izquierda. d) Figura 109: alejémosla del polo sur; desviación a la derecha.

184

3. TERMINOLOGÍA. El fenómeno se llama inducción electromagnética. La bobina se llama inducida; la corriente y la f.e.m. también. El imán es el sistema inductor. 4. SENTIDO DE LA CORRIENTE INDUCIDA. Desde el momento en que la bobina está recorrida por una corriente produce un campo magnético propio. Anotemos el nombre de la cara que está enfrente del polo imantado: a) Se acerca al polo norte: cara norte (figura 111). b) Se aleja del polo norte: cara sur. c) Se acerca del polo sur: cara sur. d) Se aleja del polo sur: cara norte. En todos los casos, la bobina crea una cara que tiende a oponerse al desplazamiento de la bobina. 10 2. Leyes cualitativas 1 LEY DE FARADAY.Toda variación de flujo a través de un circuito eléctrico cerrado da origen a una corriente llamada inducida. La corriente aparece sólo cuando ex iste variación del flujo.

187

• A la inducción. • A la longitud activa del conductor. • A la velocidad de desplazamiento. e=b.l .v β en teslas l en metros v en metros/se en voltios

NOTA.Esta fórmula no es aplicable más que cuando las tres direcciones deβ, l y v son perpendiculares dos a dos(figura 115). Si permaneciendo perpendiculares l y v;β es oblicua, deberemos tomar Bn, es decir la componente deβ normal al plano determinado por l y v (figura 116). 2. REGLA DE

LOS TRES DEDOS DE LA MANO IZQUIERDA (figura 117) Permite determinar el sentido de la fuerza electromotriz cuando no es práctica la aplicación de la ley de Lenz. Pulgar-desplazamiento (o velocidad). Índice-intensidad (o f.e.m.). Medio-campo magnético. Para saber qué mano conviene utilizar, hagamos uso de la siguiente regla mnemotécnica. (1) Derecha: desplazamiento Izquierda: intensidad (1) Regla mnemotéctina: que ayuda a la memoria. Debe entenderse que la apliacación de la regla mnemotécnica se hace del siguiente modo: utilizaremos la mano derecha cuando el efecto buscado sea un desplazamiento (causa: campo que actúa sobre una corriente) y la mano izquierda cuando el efecto buscado sea 191

Figura 118. El conductor corta el flujo βld e = B l

d =BS=Φ t tt Si la velocidad varía, el flujo ya no es cortado uniformemente y Φ no dat más que un valor medio. Para conocer e en un momento dado, hay que hallar el límite de la relación Φ cuando t tiende hacia cero. En el curso de un pequeño intervalot de tiempo∆t, se corta un pequeño flujo∆Φ y e es: e = límite ∆Φ cuando ∆t →0∆t Se reconocerá la definición de derivada del flujo con relación al tiempo. 10 5. F.e m. inducida en un circuito cualquiera 1. GENERALIZACIÓN.La ley establecida para un caso sencillo es válida:

• Si el circuito tiene una forma cualquiera. • Si la inducción no es constante. • Si la velocidad de desplazamiento es variable. La ley es aún válida cuando el flujo varía sin que haya desplazamiento. 2 FÓRMULA FUNDAMENTAL.Valor medio de la f.e.m. inducida: 195

e

med = ∆Φ ∆t ∆Φ en webers ∆t en segundo e en voltios ∆Φ es el flujo cortado o la variación del flujo. 3.OTRAS FÓRMULAS. a) Corriente inducida. Si R es la resistencia total del circuito: i = e/R = ∆Φ R∆t b) Cantidad de electricidad inducida. Si la corriente es i durante el tiempo Dt: q = i. ∆ t = ∆Φ R ∆Φ en webers R en ohmios q en culombios La cantidad de electricidad inducida no depende del tiempo. 4. NOTA.Los fenómenos de inducción son fundamentales. Es por inducción como se produce en los generadores eléctricos giratorios la casi totalidad de la energía eléctrica. 10.6. Inductancia propia (L)

196

una bobina en forma de toro. El resultado es aprox imadamente válido para una bobina larga. Inducción a través de la bobina: B

o = µ

o n

1 I= µ oNIl Flujo a través de la sección recta S (1 espira): Φ = B

o S = µ

o NIS l Flujo total: Φ t 198

= N Φ = µ o N2 IS

l Inductancia: L = Φt= µo N 2 S N 2 S I l L = µoI S en m2 l en metros L en henrios APLICACIÓN N = 1 200 espiras S = 15 cm −7 L = 4 π. 10

2

NUMÉRICA: l = 0,8 m Recordemos que µo = 4 π. 10-7

. 1.200 . 1.200 . 15 . 10−4 −3 = 3,4 mH0,8 =3,4 . 10

Para una bobina colocada en el vacío, el henrio es una unidad grande. 10.7. F.e m. autoinducida(1) 1. EXISTENCIA.Cuando la corriente varía en un circuito eléctrico, el flujo propio varía también y en la bobina aparece una f.e.m. inducida debida a las variaciones de su propio flujo: esta f.e m. es autoinducida (figura 120). 2 EXPRESIÓN.Consideremos la fórmula general 199

3.CUANDO I es constante,∆I es nulo y la f.e m. autoinducida es nula también. Cuando I varía,∆I no es ya nulo, y la f.e m. autoinducida, de signo opuesto al de∆I, contrarresta las variaciones de I. 10.8. Consecuencias 1 BOBINA CON NÚCLEO DE HIERRO.El flujo que ex iste en el vacío está multiplicado por la permeabilidad relativa, y la inductancia también. L = µr

Lo (Lo en el vacío)

(1) En inglés AUTO es SELF; de ahí el nombre de self-induction para el fenómeno de inducción propia o de autoinducción. La inductancia propia se llama a menudo coeficiente de self-induction, lo que es admisible, pero también simplemente self, aunque esto es incorrecto. Pero µr no es constante y no se puede escribir∆Φ = L∆I, salvo si el núcleo no está saturado. Observemos que si µr es del orden de 1.000,L = 1.000 Lo y los milihenrios de las bobinas en el aire se convierten en henrios si hay hierro. La f.e m. autoinducida adquirirá valores considerables.

EJEMPLO. Si L = 10 H e I varia 5 A en 0,1 s, suponiendo que el hierro no está saturado, se tendrá:

e = L ∆I =10 . 5 =500 v∆t 0,1

201

en un circuito inductivo 2. ESTABLECIMIENTO

DE LA CORRIENTE EN UN

CIRCUITO: a) circuito puramente resistivo. La corriente se establece casi instantáneamente y toma su valor permanente I =U R b) Circuito inductivo. El establecimiento de la corriente se ve contrarrestado por la f.e m. autoinducida y no alcanza su valor I =U sino al cabo deR , un tiempo tanto mayor cuanto mayor sea la relación de la inductancia del circuito a su resistencia. La razón L

= to se llama constante de tiempoR

del circuito. El valor permanente de I se alcanza prácticamente después de un tiempo igual a 5 to (figura 121). 3. SUPRESIÓN DE LA CORRIENTE. Cuando se quiere anular la corriente al abrir el interruptor; I es negativo y la f.e m. autoinducida retarda el instante en que la corriente se anula (figura 122). Efectuemos el siguiente montaje: entre las bornas de una bobina montada sobre un núcleo de hierro, coloquemos un tubo de neón, que solamente se enciende para una tensión de 100 V. Alimentemos con una batería de 24 V; el tubo no se enciende (figura 123) Abramos K;el tubo se ilumina con un débil resplandor. La tensión entre sus bornas ha alcanzado, por tanto, un centenar de voltios, debido a la f.e m. autoinducida de la bobina. 203

= Φ1 ⁄2 =Φ2 ⁄1 I1 I2 Φ en webersI en amperiosM en henrios Φ1/2 quiere decir: flujo que atraviesa el circuito 2, procedente del circuito 1. La unidad es la misma que la de la inductancia propia: el henrio. 10.10. Coeficiente de acoplamiento 1. VARIACIÓN DE LA INDUCTANCIA MUTUA. M varía con la forma de los circuitos y con su posición relativa. Si dos circuitos están a varios metros uno de otro, M es pequeña. La inductancia mutua es máx ima cuando los dos circuitos están bobinados sobre un mismo eje y se hallan intercalados uno en el otro (figura 128). 2. INDUCTANCIA MUTUA MÁXIMA. La inductancia mutua máx ima entre dos circuitos es la media proporcional de sus inductancias propias:

Mm = √

1L 2 (L 1, L 2 y M en henrios)L

3. COEFICIENTE DE ACOPLAMIENTO. El coeficiente de acoplamiento entre dos circuitos es el cociente de su inductancia mutua por la raíz cuadrada del producto de sus inductancias.

209

corriente) producen también una f.e.m. inducida (casos c y d ). 3 FÓRMULA. Supongamos M constantes (bobinas fijas, no hay hierro): 11 Φ 2 = M I1; por tanto,Φ 2 = M∆ I1 la f.e m. inducida es siempre: e = − ∆Φ ∆t es decir: e

2 = − M ∆ I1 ∆t ∆ I1 en amperios∆t en segundos M en henrios e2 en voltios 4.CUANDO

HAY HIERRO,la fórmula sigue siendo prácticamente válida, si el circuito no está saturado; de no ser así las variaciones de permeabilidad producen variaciones de inductancia mutua. Sin embargo, se puede escribir: M = µr Mo (Mo en el vacío) La inductancia mutua es evidentemente mucho mayor en presencia del hierro. 10.12. Energía electromagnética 212

Una bobina (sobre todo con núcleo de hierro) almacena energía cuando la corriente aumenta y la devuelve cuando disminuye. Se demuestra que esta energía está dada por la fórmula: 1 2W = 2 LI

L en henrios I en amperios W en joules Esta energía no es nunca muy grande, pero si se restituye en un tiempo muy corto, ∆t, la potencia puesta en juego P =W puede ser importante.t

EJEMPLO L = 5 H I = 4 AW = 1

. 4 = 40 J2 5 . 4

Restituida en: 1= 40 10 s P 0,1 400 W

213

2. CARGA DE UN CONDENSADOR.Unamos la armadura A al polo (+) de un generador y el otro B al polo (-), intercalando un galvanómetro balístico en el circuito. El circuito está interrumpido por el aislante del condensador. Llevemos K a la posición 1; el galvanómetro se desvía hacia la derecha. Por consiguiente, aunque el circuito esté interrumpido, han circulado cargas eléctricas (figura 132).

215

4. INTERPRETACIÓN.a) Cuando el interruptor está en 1, los electrones en ex ceso en el polo (-) del generador se deslizan en parte hacia la armadura B,mientras que el generador envía la misma cantidad de electrones a la armadura A. Podemos resumir los hechos del modo siguiente:

• Ha circulado una corriente a través del circuito. • El galvanómetro ha sido atravesado por una cantidad de electricidad. • Una carga -Q ha aparecido en B y una carga +Q ha aparecido en A El condensador está cargado. b) Cuando el interruptor se halla en 2, las armaduras se encuentran unidas por una cadena de conductores y los electrones en ex ceso en B marchan hacia A hasta la neutralización completa. El condensador se ha descargado.

NOTA. Ex iste, pues, electrización de las armaduras debida a una fuente de energía eléctrica. No hay ninguna diferencia de naturaleza entre las cargas obtenidas por este procedimiento y las que se obtienen por electrización. 11.2. Capacidad de un condensador 1. INFLUENCIA DE LA TENSIÓN DE CARGA. El galvanómetro balístico permite medir la cantidad de electricidad que después de haber atravesado el circuito ha cargado el condensador. Se comprueba fácilmente que esta cantidad de electricidad es proporcional a la tensión de carga. Q es proporcional a U. 2 INFLUENCIA DEL CONDENSADOR.Tomemos condensadores

218

del comercio y comprobemos que:

• Q permanece proporcional a U. • Para una misma tensión U, la carga varía con el condensador. 3. DEFINICIÓN. Se llama capacidad (C) de un condensador la relación constante que ex iste entre la cantidad de electricidad que almacena y la tensión en las bornas: C = QU Q en culombios U en voltios C en faradios 4.UNIDAD: EL FARADIO (F).El faradio es la capacidad de un condensador, cargado con un culombio a la tensión de 1 voltio. 1F = 1C 1V 5. ÓRDENES DE MAGNITUD.El faradio es una unidad enorme. Los condensadores usuales tienen capacidades escalonadas de 100 pF (p = pico) a 100 µF. Las capacidades se ex presan por tanto con los submúltiplos: mF = 10-6 F Nanofaradio = nf = 10-9 F pF = 10-12 F 11.3. Cálculo de la capacidad 1. FACTORES DE condensador plano es:

LOS QUE DEPENDE C.La capacidad de un 219

• Proporcional a la superficie S de las armaduras. • Inversamente proporcional al espesor e del aislante. • Depende de la naturaleza del aislante. • No depende de la naturaleza de las armaduras. 2. INFLUENCIA DEL AISLANTE. Cada aislante multiplica la capacidad de un condensador, cuyo aislante fuera el vacío, por un factor llamado permitividad relativa o constante dieléctrica, representado por εr. ε vale 1 para el vacío, y es mayor que 1, para los otros aislantes. Para el aire ≅ 1(figura 134).

FIGURA 134 SUSTANCIAS ε r

E MV/m Aire 1 3,4 Baquelita 6,5 10 Mica 8 100 Papel 2,5 10 Vídrio 5,5 10 Recordemos que 1 MV = 106 V. 3. CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR que tiene una ex presión sencilla: 220

PLANO.Es la única

C = Sεr e εo S en m2 e en m C en faradios εo es la constante electrostática que vale: ε

o =1 ≈ 0,885 . 10−11 9 . 4 .π . 109 por tanto, se puede escribir: C = 0,885 . 10

−11Sε r e 11.4. Acoplamiento de condensadores 1. CAPACIDAD EQUIVALENTE.La capacidad equivalente de una batería de condensadores es la capacidad que, sometida a la misma tensión que la batería, almacena la misma carga total: C

e = Qt U 2 EN PARALELO (figura 135). La tensión de carga es común: U Las cantidades de electricidad son: 221

Figura 137. Entre las armaduras de un condensador hay un campo eléctrico E 1. CAMPO ELÉCTRICO.Entre dos placas cargadas ex iste un campo eléctrico. Si las placas están paralelas, el campo es uniforme(figura 137).Una carga positiva, colocada en el campo, sigue las líneas de fuerza de éste; una carga negativa remonta el campo. El campo eléctrico E entre dos placas paralelas es igual al cociente de la tensión U entre las dos placas, por la distancia e de éstas. E = Ue U en voltios e en metrosE en V/m 2. CAMPO DISRUPTIVO Ed. Si se hace crecer la tensión entre las dos placas, el campo aumenta hasta el momento en que salta un arco de una placa a la otra. Si el aislante es sólido se quema (queda inservible). Se llama campo disruptivo (o rigidez dieléctrica) de un aislante el valor del campo eléctrico que produce la ruptura del aislante. Para un espesor dado del mismo, la tensión correspondiente Ud se llama disruptiva. Se tiene: Ud = Ed . e Cuando se utiliza un condensador, es preciso no sobrepasar, ni siquiera alcanzar, su tensión disruptiva.

225

En la figura 134 se encontrarán algunos campos disruptivos. 11.7. Carga y descarga a través de un circuito puramente resistivo 1. DESCARGA. a) Cuando las bornas de un condensador cargado están unidas a las de una resistencia, el condensador se descarga, pero no instantáneamente; nos proponemos obtener la forma de la curva q = f (t), que da las variaciones de la cantidad de electricidad del condensador, en función de la duración de la descarga. b) Notación. Capacidad del condensador C;resistencia R; tensión inicial del condensador U;carga inicial Q = C U. Valores instantaneos: de la corriente i; de la tensión del condensador u; de la carga q;del tiempo t. c) La descarga produce una corriente i de sentido conocido (figura 138); esta corriente se produce por la disminución de la cantidad de electricidad almacenada en el condensador; suponiendo el sentido real de la corriente como sentido positivo, tendremos:

226

Reemplazando en esta relación u por q e i por −dq , se obtiene:C dt q = −Rdq C dt

Esta ecuación se llama diferencial y su resolución se estudia en cursos superiores de matemáticas. Puede escribirse: dq= −dt q RC y su solución es: q = Ke-t/RC en la que K es una constante que hay que determinar. d) En el instante t = 0,el condensador no ha empezado todavía a descargarse y se tiene: q = Q = Keo = K.La constante K no es otra cosa que la carga inicial y la función se ex presará así: q = Ke-t/RC q en culombios t en segundos R en ohmios C en faradios El número e es la base de los logaritmos neperianos o naturales y vale e ≈ 2,718. El producto τ = RC se llama constante de tiempo del circuito; es el tiempo al cabo del cual la carga inicial está dividida por e; en efecto, si: T = RC se tiene q = Qe-1 = Q e La curva q = f (t) es una función ex ponencial ( en la que la variable está en el ex ponente). (Figura 139).

228

τ = 10 . 10-6 . 10 = 100 µs Damos un cuadro de los valores de q en función del tiempo para: C = 10 µF, R = 1 MΩ y Q = 100 µC Con estos valores se ha trazado la curva de la figura 140 Advirtamos que cualesquiera que sean los valores de R, C y Q,la curva tiene siempre la misma forma, y = e-x.

1 (S) 1 2 5 10 20 30 40 50 1/δ 0,1 0,2 0,5 1 2 3 4 5 e-t/τ 0,9 0,82 0,61 0,368 0,135 0,05 0,018 0,007 q (µC) 90 82 61 36,8 13,5 3 1,8 0,7 2. CARGA.a) La carga no es instantanea; si U es la tensión continua de carga, el valor de q en un instante dado es la solución de la ecuación diferencial:

231

Cuadro de valores: para C = 10 µF, R = 1 MΩ, U = 10 V o sea Q = 100 µC.

1 (S) 1 2 5 10 20 30 40 50 Q (µC) 10 18 39 63,2 86,5 95 98,2 99,3 11.8. A través de un circuito resistivo e inductivo 1. DESCARGA. a) Las notaciones son las mismas que en el párrafo 10.7. El valor de la inductancia se representa por L (figura 142). b) Ecuación de la descarga: se da para la cantidad de electricidad:

q + Rdq + L −d 2q = 0C dt dt2

233

√ LC El circuito está muy amortiguado, la descarga es aperiódica, la cantidad de electricidad del condensador decrece constantemente (figura 143a) y acaba por anularse; la corriente, nula en el instante t = 0 al cierre del interruptor, comienza por crecer, pasa por un máx imo y luego tiende hacia cero (figura 143b). Segundo caso: R

237

2−4L = 0 o sea R = 2 √ L CC el amortiguamiento del circuito se llama crítico, la descarga es aperiódica y las curvas tienen la misma forma que en el primer caso. Tercer caso: R

238

2−4L < 0 o sea R < 2 √ L CC el amortiguamiento del circuito es pequeño y la descarga es oscilante. La carga del condensador decrece, se anula, luego cambia de signo y así sucesivamente (figura 144), pero el valor máx imo alcanzado en un pseudoperíodo, disminuye poco a poco y termina por anularse. La duración de un

pseudoperíodo T es ligeramente mayor que 2π √ LC. d) Caso límite. Si la resistencia R es nula, la ecuación se reduce a q + L d 2q = 0 cuya solución es una función sinusoidal del tiempo C dt 2 La corriente es igualmente sinusoidal y puede circular indefinidamente. 2.

CARGA a) Ecuación: q + R dq + Ld 2q =U siendo U la tensión de carga.C dt dt 2 La solución de esta ecuación depende también del signo de R2 − 4 L C. Primero y segundo casos: R > 2

239

√ LC la carga es aperiódica, inicialmente nula; la cantidad de electricidad q aumenta hasta el valor Q = C U, que teóricamente no se alcanza más que al final de un tiempo infinito. Tercer caso: R < 2

240

12. Corriente alterna. Ecuación de una corriente alterna 12.1. Diferentes formas de corriente. Terminología 1. CORRIENTE CONTINUA.En la primera parte del libro, nos hemos limitado a estudiar las propiedades de la corriente continua constante. En un receptor de bornas A y B,esta corriente va siempre en el mismo sentido, de A hacia B,por ejemplo, y, además conserva una intensidad constante. Su representación matemática en función del tiempo es una recta paralela al eje de los tiempos(figura 146).

242

NOTA.Una corriente puede ser periódica sin ser alterna; por ejemplo, la corriente unidireccional de la figura 147. 5. CORRIENTE SINUSOIDAL.Es una corriente alterna cuyo valor es una función sinusoidal del tiempo (figura 152) Esta corriente es, desde luego, la más importante, ya que toda la energía producida lo es en esta forma. Es la única corriente de la que se estudiarán las propiedades en este libro; sin embargo, las definiciones que siguen, del período y de la frecuencia, se aplican a todas las corrientes periódicas. 12 2. Período (T) de una corriente periódica 1. DEFINICIÓN. El período de una corriente periódica es el tiempo constante que separa dos instantes consecutivos en los que la corriente se reproduce idénticamente a sí misma(figura 152).

248

de veces que se reproduce idénticamente a sí misma en un segundo. 2.CÁLCULO. Para hallar este número de veces, hay que dividir un segundo por la duración de un período: f = 1 T T en segundos f en hertz (hercios) 3. UNIDAD: EL HERCIO (Hz). El hercio es la frecuencia de una corriente cuyo período es un segundo.

OBSERVACIONES.a) Algunas veces se emplea la ex presión CICLOS POR SEGUNDO en lugar de hetrz. 4.

b) La frecuencia de la red es f = 50 Hz. c) Además de este valor, las corrientes industriales tienen las frecuencias siguientes:

• 25 y 16 2/3 (tracción eléctrica). • 60 (Estados Unidos y la Marina Nacional Francesa). • 400 (Aviación). d) Para las grandes frecuencias se utilizan los múltiplos del hetrz:

• El kilohetrz (kHz) = 1.000 Hz. • El megahertz (MHz) = 106 Hz. e) Las corrientes utilizadas en radiocomunicaciones tienen frecuencias muy elevadas pudiendo alcanzar varios centenares de megahertz.

250

Figura 153. Función sinusoidal 12 5. Representación convencional de una función sinusoidal por un vector 1. SEA M (figura 154) el punto del círculo trigonométrico en el que la medida del arco AM sea x : x = AM. Sea S la proyección de M sobre el eje OY;por definición, el seno del arco es la ordenada de S:

252

AM

adoptar la espira las sucesivas posiciones 1, 2, 3, etc. Si sobre un sistema cartesiano representamos los valores de la tensión leída en el voltímetro, como ordenadas y como abscisas los ángulos formado por la espira con respecto a su posición inicial, línea 0-0, obtendremos una curva según la figura 157 que corresponde a una corriente alterna senoidal, obtenida en una revolución completa de la espira, cuando se tienen dos polos, como en el caso que estamos considerando.

256

ESPIRA CONDUCTORA CON VELOCIDAD DE ROTACIÓN CONSTANTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME, SE INDUCE EN ELLA, UNA TENSIÓN ALTERNA, CUYA MAGNITUD VARÍA COMO EL SENO DEL ÁNGULO DE GIRO. 12.7. Ecuación de una corriente sinusoidal

258

ecuación: i = I m sen ωt en la que:

• La variable es el tiempo t ex presado en segundos. • El producto ωt es un ángulo ex presado en radianes: este producto se llama también fase en el instante t.

• m laAMPLITUDse llama tambiénVALOR MÁXIMO de la corriente. • La función i es el VALOR INSTANTÁNEO de la corriente. 2. PULSACIÓN (ω): a) Fórmula. Sea T el período de la corriente; siendo 2 π el del seno se debe tener : ωt = 2 π, de donde: ω = 2πT 2 π en radianes T en segundos ω en radianes/segundos ω se llama pulsación de la corriente. Puesto que, f =1 se tiene también:T ω = 2π f f en hertz ω en rd/s b) Definición. La pulsación de una corriente sinusoidal es igual al producto de su frecuencia por 2 π. c) Para la red española f = 50 Hz de donde: ω = 2 π . 50 = 100 π

260

3. GENERALIZACIÓN DE LA FÓRMULA.La corriente i = I m senωt es, como el seno, nula en el instante t = 0.Si se estudia una sola magnitud sinusoidal, se podrá elegir siempre el origen de los tiempos de tal manera que la magnitud sea nula en el instante t = 0. Por el contrario, si se estudian varias magnitudes, éstas pueden no anularse simultáneamente, y es preciso representarlas entonces por la fórmula más general: i = Im sen (ωt - ϕ) en la que la fase esωt - ϕ y en la que ϕ recibe el nombre de fase en el origen de tiempos ( t = 0 ). 4. REPRESENTACIÓN

DE UNA CORRIENTE POR UN VECTOR GIRATORIO (REPRESENTACIÓN DE FRESNEL). El módulo del vector es Im, la posición de este vector está definida por el ánguloα =ωt - ϕ que forma con OX en el instante t.Este vector da una vuelta (2πradianes) en T segundos; su velocidad es, pues: Angulo bar r ido =2π =ωDuración

debarrido T

La pulsación de una corriente no es sino la velocidad angular del vector de Fresnel, que representa a esta corriente. Como en el dibujo el vector tiene evidentemente una posición invariable, se ha escogido representarle en el momento t = 0 En ese instante forma con ángulo igual a -ϕ. Se tiene pues: -ϕ= (OX,

OM)ϕ= (OX, OM) 261

OX un

1. LA CURVA es, sin duda, una sinusoide. Es importante conocer la correspondencia entre los ángulos y los tiempos. 2.CUADRO

DE VARIACIONES:

T T T T 3T T

t 0T 12 8 6 4 2 4

ω t 0 π π π π π 3π 2 π 6 4 3 2 2 sen ω t 00,5 √ 2 √ 3 10 -1 0 2 2 m 1m√ 2 1m√ 3 Im 0 -Im 0 i = Im sen ωt01 2

22

3. CURVA.Está trazada en la figura 160 Para conocer bien la forma y las medidas es preciso trazar algunas de ellas con cuidado.

263

b) Construyamos la suma vectorial → de los vectores de Fresnel → OC

OA y

→ OB de las corrientes i 1 e i 2 (figura 167) y proyectemos sobre OY. →

Sean i = Oc, i2 = Ob e i = Oc las tres proyecciones; según el teorema: Oc = Oa + Ob es decir: i = i1 + i2

→ por tanto, el vector OC, cuya proyección es i, representa la suma de las dos corrientes i 1 e i 2.

270

se puede escribir: OC 2 = OA 2 + AC 2 - 2 . OA . AC . cos a es decir, puesto que: a = π- (ϕ2 - ϕ1) cos a = - cos (ϕ2 - ϕ1) I

2m = I 21m + I 22m + 2 . I1m . I2m . cos (ϕ2 - ϕ1)

Esta fórmula no se utiliza por ser demasiado larga. 4.CÁLCULOS. a) Corrientes del mismo valor máx imo. b) Corrientes en cuadratura: los vectores I1m e I2m son perpendiculares; el teorema de Pitágoras da su suma: I

2m = I 21m + I 22m

c) Corrientes cualesquiera: el cálculo directo de m y de su fase es pesado. Es preferible, bien descomponer las corrientes según dos ejes perpendiculares, bien utilizar el método de Boucherot. 5. GENERALIZACIÓN.a) La construcción de Fresnel puede ex tenderse a un número cualquiera de magnitudes de la misma frecuencia(figura 168). b) Se puede utilizar igualmente para hallar la diferencia de dos magnitudes. Recordemos que la diferencia de dos vectores

OBa OA (figura 169). →→→→→ OA − OB = OA + (−OB ) = OA 272

OA y OB se obtiene añadiendo

u = Um sen ωt e = Em sen ωt 2.SE 3.

LAS PUEDE representar por un vector giratorio. LA CONSTRUCCIÓN de Fresnel se efectúa como para las corrientes.

275

13. Valor medio y eficaz de las magnitudes sinusoidales 13.1. Intensidad media de una corriente sinusoidal 1. VALOR ALGEBRAICO MEDIO.Por razón de simetría, las dos alternancias de un período son rigurosamente idénticas; por tanto, es evidente que el valor algebraico medio de una corriente sinusoidal es nulo para un período o para un número entero de períodos. Ocurre lo mismo para todas las magnitudes sinusoidales, sea cualquiera su naturaleza. 2. VALOR ARITMÉTICO MEDIO. a) Utilidad. Para ciertas aplicaciones, es necesario conocer el valor medio correspondiente a una alternancia. Este valor es también la media de los valores absolutos de la corriente en un período; lo llamaremos VALOR

ARITMÉTICO MEDIO.

b) Definición. El valor aritmético medio de una corriente sinusoidal en el curso de una alternancia es el que debería tener una corriente continua (constante) para transportar en el mismo tiempo la misma cantidad de electricidad. c) Principio del cálculo. Se puede decir que la cantidad de electricidad transportada en el curso de una alternancia por una corriente constante de valor

med es igual a la cantidad de electricidad transportada por la corriente sinusoidal. Imed es el valor buscado. En continua:

276

q = I med . T 2 En sinusoidal:

TT q =∫2 i . dt =∫2 Im senωt . dt0 0 de donde igualando los dos valores: T

I med = 2 m∫2sen ωt . dtT I 0 Este cálculo se podrá terminar cuando los alumnos posean los conocimientos matemáticos necesarios. d) Resultado. El cálculo anterior da:

med = 2 Im≈ 0,637 Imπ Este es el valor que interviene en la electrólisis cuando ésta se realiza con alterna. 3. OBSERVACIÓN.Este resultado es evidentemente válido para toda magnitud sinusoidal y en particular para las diferencias de potencial y para las fuerzas electromotrices:

2

Umed = Umπ 13 2. Potencia instantánea 1. POTENCIA EN

UN DIPOLO. Consideremos un dipolo receptor

(figura 170)sometido a una tensión u = Um senωt,que consume una corriente i =

277

de 4T a 5T y positivo de T a 4T y de 5T a T.8 8 8 8 8 8

279

positivo que negativo. Solamente dos valores de ϕ son particulares. a)ϕ = 0 : en este caso u e i están en fase, y, por tanto, son siempre del mismo signo, p es siempre positivo (figura 172). Su valor medio es Um m 2

281

24424 La potencia p es, por tanto, también, tantas veces positiva como negativa y su valor medio es nulo(figura 173). Sería lo mismo si ϕ valiese −π (co2 rriente en cuadratura adelantada). La potencia instantánea es, pues, la suma algebraica de un término constante y de un término sinusoidal de pulsaciónω = 2 ω,lo cual ex plica la forma obtenida para las curvas de potencia.

283

cosϕ = 0,707, por tanto,Pmed =120 .0,707 =42,5 w aproximadamente, 2 es decir lo que se había hallado. Figura 172: las dos magnitudes están en faseϕ= 0; cosϕ= 1 así pues, se obtiene por la fórmula Pmed =12 Um

m; un resultado idéntico al resultado gráfico.

Figura 173: las magnitudes están en cuadraturaϕ =π y cosϕ= 0; la po2 tencia media es nula como ya se había establecido. 2. NOTA. Como esta fórmula será modificada más adelante, no la hemos enumerado. Sin embargo, vamos a conservarla provisionalmente y podemos observar ya desde ahora que se trata de una fórmula universal en alterna sinusoidal y que se aplica lo mismo a los dipolos generadores que a los dipolos receptores. Esta fórmula es equivalente a P = U I en continua. 13.4. Amperímetro térmico (figura 174) 1. FUNCIONAMIENTO. Cuando una corriente atraviesa el aparato, el hilo F se calienta y se dilata. El resorte R produce la rotación de la aguja, manteniendo el hilo constantemente tenso(figura 175).

285

Figura 174. Amperímetro térmico

286

Figura 175. La dilatación de F produce la rotación de la aguja 2.GRADUACIÓN. Siendo el efecto Joule R . I 2 proporcional al cuadrado de I, las divisiones no son iguales. 287

El aparato está graduado en continua por comparación con un amperímetro patrón magnetoeléctrico. 3. USO. Este aparato, poco ex acto, prácticamente ha sido abandonado hoy día, pero va a servirnos para comprender mejor el significado que hay que dar a la ex presiónINTENSIDAD

EFICAZ.

13 5. Significado físico de la intensidad eficaz 1. EXPERIMENTO.(Figura 176). Alimentemos con un manantial de alterna un circuito que lleve un receptor cualquiera, en serie con un amperímetro térmico. El amperímetro marca una corriente: 2 amperios por ejemplo. No siendo sensible el amperímetro más que al efecto Joule, se puede decir que la corriente alterna utilizada es, desde el punto de vista térmico, equivalente a la corriente continua de 2 amperios que ha servido para graduar el aparato. Se dirá que este valor 2 amperios es la intensidad eficaz de la corriente alterna utilizada. 2. DEFINICIÓN. La intensidad eficaz de una corriente alterna I es la intensidad que debería tener una corriente continua (constante), para producir, en la misma resistencia pura, el mismo desprendimiento de calor, durante el mismo tiempo de paso. 13.6. Cálculo de la intensidad eficaz

288

Figura 176. El amperímetro térmico indica la intensidad eficaz 1. PRINCIPIO

DE CÁLCULO. Hemos de tener en cuenta que el

desprendimiento de calor que produciría una corriente continua I,en el curso de un tiempo T (un período), es igual al desprendimiento de calor producido durante este mismo tiempo por la corriente alterna. En continua: W=RI2 T En alterna: en un instante dado, la potencia disipada es p = R i 2 . En el transcurso de un período,p varía de 0 a R I 2m y el cálculo de la energía requiere el uso del cálculo integral: 289

W = ∫

T R i 2dt

0 Igualando los dos valores y dividiendo por R:

I 2 = 1∫T 2dtT i

o Esta fórmula significa que el cuadrado de la intensidad eficaz es igual al valor medio del cuadrado de i. Si la corriente es alterna de cualquier clase (o unidireccional variable) solamente la integración puede dar un resultado. Si la corrientei es sinusoidal,i = Im sen ωt, el resultado es conocido, pues ha sido establecido en el capítulo precedente; el valor medio del cuadrado es: W

med =I 2m 2

2 RESULTADO. Siendo I la intensidad eficaz se tiene pues:

290

2mI 2 = Wmed =I

2 es decir: I = Im≈0,707 m√ 2 13.7. Importancia de la intensidad eficaz 1. EN

LA MAYOR PARTE de las aplicaciones de la corriente alterna, el

efecto es proporcional a i 2 ,como el efecto térmico; por tanto, debe utilizarse el valor eficaz. 2. LOS AMPERÍMETROS TÉRMICOS, de hierro móvil, electrodinámicos, indican el valor eficaz de las corrientes alternas, ya sean sinusoidales o no. 3. LOS AMPERÍMETROS MAGNETOELÉCTRICOS con rectificadores indican el valor eficaz, solamente de las corrientes sinusoidales. 13.8. Tensión y f.e m. Los resultados establecidos para las corrientes permanecen válidos y para una tensión sinusoidal se tiene: U =Um≈0,707 Um√ 2 13 9. Representación de Fresnel 1. DESDE LUEGO,siendo los valores eficaces los más importantes, son éstos los que se utilizarán en adelante en la representación de Fresnel. A partir de ahora no se pondrá la pulsación en los gráficos correspondientes. Si figuran en el mismo gráfico varias magnitudes sinusoidales, se elegirá una de ellas como origen de fases y se colocará en lugar del eje OX,que ya no se 291

trazará. π 2. EJEMPLO. Sea una tensión u = Umsen ωt y una corriente i = Imsen (ωt - 4 ); introduzcamos los valores eficaces: Um = U √ 2u = U√ 2 sen ωt

I m = I √ 2i =I√ 2 sen (ωt −π )4 Tracemos el gráfico de Fresnel, bien entendido que hay que elegir una escala tanto para las corrientes como para las tensiones. Sea: U = 120 V Escala: 1 unidad = 10 V I = 5 A Escala: 1 unidad = 1 A La figura 177 da el gráfico:

Figura 177 3. NOTA IMPORTANTE. Siempre que se de un valor numérico sin otra precisión, se tratará de un valor eficaz. Las letras correspondientes U e I se escribirán sin índice. Una tensión sinusoidal se define enteramente por U y f. 292

EJEMPLO: 120 V; 50 Hz. 13.10. Potencia media 1 FÓRMULA. ReemplacemosUm por U √ 2 e Im por I √ 2: = 12 Um Im cosϕ = U √ 2 I √ 2 cosϕ = U I cosϕP med2 P = U I cosϕ U en voltios I en amperios P en watios 2. COMO YA SE HA DICHO, esta fórmula se aplica siempre en alterna sinusoidal. Da la potencia puesta en juego en un dipolo, ya sea un receptor o un generador. 3. CUANDO SE DA una potencia en watios, sin precisar más, se trata siempre de la potencia media. Se escribe sin índice. 4. FACTOR DE POTENCIA.La potencia media es la medida directamente por un watímetro (figura 178). Obsérvese que, salvo en el caso en que cosϕ = 1, el producto U I no es igual a la potencia P. La cantidad cos ϕ por la que hay que multiplicar U I para tener p se llamaFACTOR

DE POTENCIA.

Puesto que cosϕ ≤ 1 se tiene P ≤U I 5. POTENCIA APARENTE. El producto U I que no corresponde a la potencia (ex cepto si cosϕ= 1) ha recibido el nombre de POTENCIA

APARENTE. Se la representa por la letra S y se ex presa en voltiamperios (VA). 293

Figura 178. El watímetro mide la potencia media del dipolo S = U I U en voltios I en amperios S enVA

294

14. Impedancia de un circuito 14.1. Circuito en continua 1. LEY DE OHM.En continua, el comportamiento de una porción de circuito que no contenga ni generador ni receptor, que posea fuerza contraelectromotriz, no depende más que de la resistencia. Tal circuito se denomina puramente resistivo y se tiene la relación (ley de Ohm): U=RI 2. PAPEL DE UNA INDUCTANCIA.Si una bobina inductiva se encuentra situada en el circuito, la bobina manifiesta sus efectos en régimen variable (cierre del circuito, por ejemplo), pero no modifica la relación anteriormente ex presada en régimen permanente, es decir cuando la corriente ha dejado de variar. 3. PAPEL DE UN CONDENSADOR. Si un condensador se encuentra en el circuito, estará atravesado por una corriente durante el tiempo, bastante corto, de su carga y descarga, luego se comportará como un corte en el circuito y la corriente permanente en él será nula. 14 2. Comportamiento en alterna 1. EN ALTERNA, en una porción del circuito sin generador ni receptor giratorio, la ley de Ohm U = R I no se verifica en general, puesto que además de los receptores puramente térmicos, se manifestarán permanentemente los receptores inductivos y capacitivos, ya que la tensión aplicada y la tensión que de ella resulta variarán permanentemente también. 295

2. PAPEL DE

LA INDUCTANCIA. En continua, cuando la corriente

varía, la inductancia desarrolla una fuerza electromotriz autoinducida e = -L∆I que∆t se opone a las variaciones de la corriente. En alterna, al variar la corriente permanentemente, la f.e m. autoinducida ex istirá también de forma permanente. Contribuirá a disminuir la corriente que habría sin ella, y si R es la resistencia del circuito se tendrá I < U R. La corriente a través de la bobina resulta de la acción simultánea de la tensión aplicada u y de la f.e m. autoinducida e; la ley de Ohm debe escribirse: u+e=Ri El valor instantáneo de e es el límite de −L∆I cuando∆t tiende hacia 0 ∆t Este límite se escribe−Ldi si se prefiere, -Li , siendo i la derivada dei dt , con relación al tiempo t. La ley se escribe, pues: u - Li = R i es decir: u = Li + R i Esta última fórmula recuerda: U = E + R I En alterna una bobina inductiva se comporta como un receptor de fuerza contraelectromotriz Li . 3. PAPEL DE LA CAPACIDAD.En alterna, las bornas de un condensador cambian constantemente de polaridad; el condensador se encuentra siempre en una situación de carga o descarga; resulta de ello que una porción de

296

circuito está permanentemente atravesada por una corriente, aún cuando lleve un condensador. El condensador no se comporta ahora como un corte. 14 3. Estudio ex perimental de un circuito completo 1 MONTAJE (figura 179).a) Se montan en serie los tres elementos siguientes:

• Una resistencia pura de 30Ω. • Una bobina sin hierro, cuya inductancia es 0,1 H y la resistencia 10Ω. • Una capacidad pura de 40 µ F. b) Un amperímetro, un voltímetro y un watímetro miden respectivamente I, U y P. c) Un autotransformador (figura 180), cuya tensión secundaria puede variar (alternostato, reotor...) alimenta el circuito. d) Se pueden utilizar dos manantiales de fuerza: Figura 179

297

S1 (220 V; 50 Hz) S2 (220 V;100 Hz) 2. MEDIDAS. Se efectúan cuatro medidas con dos medidas de tensión para cada frecuencia. Los resultados se indican a continuación, así como tres cálculos: U

U IyCosϕI

298

Figura 180. Símbolo del alternostato que alimenta las bornas A y B MEDIDAS Uf I P 110 50 1,75 122 220 50 3,50 488 110 100 2,35 220 220 100 4,70 880 CÁLCULOS U

S = U I cos ϕ P I U I 63 192 0,64 63 770 0,64 47 258 0,85 47 1.034 0,85 3 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS. a) Para una frecuencia dada, Ies proporcional a U;por tanto, el cociente de U por I es constante. 299

b) Este mismo cociente varía con la frecuencia. c) Para una frecuencia dada, el factor de potencial cosϕ es constante. d) El factor de potencia varía con la frecuencia. e) Fijémonos en que se tiene siempre: R
14.4. Impedancia de un circuito 1. DEFINICIÓN.En alterna sinusoidal, la impedancia (z) de un circuito que no lleva ni receptor giratorio, ni generador, es igual al cociente de la tensión eficaz aplicada por la corriente eficaz que ella produce: Z =U I U en voltios I en amperios Z en ohmios

UNIDAD.La impedancia se ex presa en ohmios como la resistencia. 3. VARIACIONES DE LA IMPEDANCIA.La impedancia no depende 2.

de la tensión aplicada, pero varía con la frecuencia. 4 LEY tam

DE OHM EN ALTERNA.La fórmula Z =U que puede escribirse

300

I, bién U = Z I e I = U es la ley de Ohm aplicable en régimen sinusoidal. Z, Se enseñará en los capítulos siguientes a calcular z en función de los parámetros del circuito estudiado. 14 5. Factor de potencia 1 DEFINICIÓN. El factor de potencia (cos ϕ) de un circuito es el cociente de la potencia P que consume por el producto S = U I. cosϕ= P UI P en watios U en voltios en amperios 2.

EL FACTOR de potencia es un número abstracto; es decir sin unidades.

3. VARIACIONES. El factor de potencia de un circuito, que no lleva ni receptor giratorio, ni generador, es independiente de la tensión aplicada, pero varía con la frecuencia. 14.6. Estudio ex perimental del circuito puramente resistivo 1. DISPOSITIVO. Es idéntico al de la figura 178, pero en él sólo hay una resistencia pura de 30 ohmios. Las dos fuentes de energía S1 y S2 se utilizarán sucesivamente. El montaje se representa en la figura 181. 2. MEDIDAS. Los resultados de las cuatro medidas efectuadas y de los cálculos correspondientes se indican a continuación.

301

MEDIDAS fU I P 50 110 3,70 405 50 220 7,35 1.610 100 110 3,70 405 100 220 7,35 1.610

302

Figura 181 CÁLCULOS Z U I cos ϕ 30 407 1 30 1.617 1 30 407 1 30 1.617 1 3. RESULTADOS EXPERIMENTALES. a) La impedancia tiene el mismo valor que la resistencia; para una resistencia pura: Z =R b) La ley de Ohm se escribe como en continua: U=RI c) La potencia consumida es como en continua: P=UI d) De lo anterior se deduce que el factor de potencia de una resistencia pura es: cos ϕ = 1 e) OTRAS FÓRMULAS.Puesto que se tiene simultáneamente P = U I y U = R I se puede de nuevo escribir (como en continua): P = R I 2 y U 2 = PR 14.7. Estudio teórico

303

Figura 182. Los sentidos de u y de i se corresponden 1. SENTIDO RELATIVO DE u Y DE i.Aunque estemos en alterna, en un instante dado la corriente y la tensión tienen un sentido muy preciso, y un semiperíodo más tarde las dos magnitudes tienen sentido opuesto al que poseían en el instante anterior. Se procurará, pues, ORIENTARla tensión y escoger como sentido positivo de la corriente el que correspondería al sentido de u si se tratase de continua(figura 182). 2. CORRIENTE. a) Valor instantáneo. Cualquiera que sea la forma de la tensión, la corriente en una resistencia pura es siempre: i =uR .Si u = U√ 2 senωt la tensión sinusoidal aplicada a la resistencia, la corriente es: i =U √ 2 sen ωt=U√ 2 senωtR R b) Valor máx imo. Siendo 1 el valor máx imo del seno, el máx imo de la corriente es:

304

Im = U√ 2R c) Valor eficaz. Dividamos el máx imo por √ 2: I = U

R Se comprueba así la relación ex perimental. El valor instantáneo de la corriente se puede escribir: i = I √ 2 senωt 3 FASE.Las ex presiones i = I√ 2 sen ωt y u = U√ 2senωt demuestran que u e i tienen la misma faseωt. Por tanto, la corriente está en fase con la tensión y se tiene: ϕ= 0 es decir: cos ϕ = 1 . lo que confirma el resultado ex perimental. 4.POTENCIA. a) Potencia instantánea. Efectuemos el producto de los valores instantáneos de u y de i: P = ui = (U √ 2 senωt) (I √ 2 senωt) = 2 U I sen 2 ωt o sea siendo 2 sen 2 ωt = 1 - cos 2ωt p = U I (1- cos 2 ωt) = U I - U I cos 2 ωt Volvemos a encontrarnos en el caso de lafigura 172, en que la potencia instantánea no es nunca negativa(figura 183). b) Potencia media. Es la ordenada U I del eje o t : 305

P=UI Todos los resultados ex perimentales se encuentran así fundamentados.

306

Figura 183. Potencia instantánea 14.8. Control de la fase de la corriente 1. PRINCIPIO.Vamos a utilizar un osciloscopio de doble haz. En el canal 1 (V1), observaremos directamente la tensión U En el canal 2 (V2), observaremos la tensión V,tomada entre las bornas de un shunt S, en serie con la resistencia. 307

Admitiremos que esta tensión V está en fase con la corriente I y que es proporcional a ella. 2. MONTAJE (figura 184). Teniendo las dos vías del osciloscopio una borna común m (la masa), nos vemos obligados a conectar a esta borna el punto A común a R y aS La tensión será VISTA por el osciloscopio AL REVÉS y nosotros deberemos invertir la curva correspondiente -V para tener la imagen real de I.

308

Figura 184. Estudio del osciloscopio

309

Vemos en la pantalla que U y -V están en oposi ción y de ella resulta que U e I están perfectamenteFigura 185. Gráfico de en fase.

Fresnel 3.GRÁFICO DE FRESNEL. Los dos vectores U→ e I→ tienen la misma dirección y el mismo sentido(figura 185): ϕ = (I→, U→) = 0 14 9. Estudio ex perimental del circuito puramente inductivo 1. DIFICULTAD. Para tener una bobina suficientemente inductiva es necesario bobinar muchas espiras en una armadura aislante, o bien bobinar menos, pero colocarlas en un núcleo magnético. En el primer caso, la resistencia no puede despreciarse; en el segundo, se consumen watios en el hierro, y, a causa de la saturación y de la histéresis, la corriente no es sinusoidal. En estas condiciones, el estudio ex perimental no puede ser sino aprox imado, y hay que interpretar sus resultados para que se hallen de acuerdo con la teoría. Utilizaremos una bobina de 600 espiras, monta

310

Figura 186 da sobre un circuito magnético laminado de 50 cm de longitud y 10 cm2 de sección. La resistencia total es de 15 ohmios. La inductancia será de 1,75 henrios aprox imadamente en la zona en la que la saturación puede ser despreciada. Los efectos de la resistencia serán casi despreciables comparados con los de la inductancia. La potencia indicada por el watímetro es la suma de las pérdidas en el hierro (histéresis y corriente de Foucault) y de las pérdidas por efecto Joule. 2 DISPOSITIVO. Continúa siendo el mismo(figura 186). 3 MEDIDAS. El cuadro siguiente da las medidas y los cálculos:

311

MEDIDAS CÁLCULOS f U I P Z U I cos ϕ 50 110 0,2 2 550 22 0,09 50 220 0,4 9 550 88 0,1 100 110 0,1 1 1.100 11 0,09 100 220 0,2 3,5 1.100 44 0,08 4. RESULTADOS EXPERIMENTALES.a) La impedancia, independientemente de la tensión, es proporcional a la frecuencia: Z =k f b) Si se restan de la potencia medida las pérdidas por efecto Joule y las del hierro, no quedan watios para la inductancia propiamente dicha: la potencia consumida por una inductancia pura es nula: P=0 c) Fijándose en lo dicho en b), se puede añadir que el factor de potencia es nulo: cos ϕ= 0 14.10. Estudio teórico 1. SENTIDO RELATIVO de u y de i. Se considerará la corriente como positiva cuando tenga el sentido indicado en la figura 187; otro tanto ocurrirá con la tensión. 2.CORRIENTE.a) Valor instantáneo. La ecuación es tablecida, en el 14 2 da la relación que ex iste entrei y u:

312

u = Li + Ri

Figura 187 i y su derivada i figuran en ella; a una ecuación así se la llama diferencial. Vamos a simplificar el problema suponiendo que la inductancia es pura y, por tanto, que R es nula: u = Li o sea: i = u L y puesto que u, sinusoidal, es igual a U √ 2 senωt: i =U √ 2 senωt=U √ 2senωtL L El problema se reduce a encontrar una función i conociendo su derivada i . El resultado de este cálculo es (curso de matemáticas): i =U √ 2 (−cos ωt)L ω Para referir la fase de i con relación a la de u, es necesario encontrar un seno igual a -cos ωt (figura 188):

313

Figura 188 π sen ( ωt - 2 ) - cosωt finalmente: i =U √ 2 ωt−π )L ω sen (2 b) Valor máx imo. Siendo 1 el valor máx imo del seno, el máx imo de la corriente es: I 314

m = U√ 2Lω c) Valor eficaz. Dividamos el máx imo por √ 2: I = U Lω U en voltios L en henrios ω en radianes/s I en amperios El valor instantáneo de la corriente se puede escribir: i =I √ 2 sen ( ω −π )2 π 3 FASE.Las ex presiones i = I√ 2 sen (ωt - 2 ) y u = U√ 2 senωt mues tran que i va retrasada π con relación a u, es decir está en cuadratura2 retrasada. Se tiene pues: π ϕ= 2 cos ϕ= 0

4 REACTANCIA. Se llama reactancia de una bobina al producto Lω: X = Lω L en henrios ω en radianes/s X en ohmios En el caso ex cepcional y teórico en que la resistencia de la bobina es nula Z = X = Lω,puesto que Z =U . En los casos reales, la impedancia y I la reactancia tienen valores diferentes. 5 POTENCIAS. a) Potencia instantánea.

315

p =ui = [U √ 2 sen ωt ] [I √ 2 sen (ωt −π )] = 2 U I senωt sen (ωt −π )22 b) Potencia media. Evidentemente es nula, puesto que el eje de la sinusoide es 0t: P=0

316

Figura 189. Potencia instantánea de un circuito puramente inductivo 14.11. Control de la fase de la corriente 1. MONTAJE. Es(figura 190)análogo al de lafigura 184. Hay que hacer las mismas observaciones. Al verse Val revés es preciso invertir la curva -V para tener I.Confirmamos que I está en cuadratura retrasada con relación a U.

317

Figura 191. Gráfica de Fresnel 318

Figura 190. Estudio en el osciloscopio 2. GRÁFICA DE FRESNEL.Los dos vectores U→ e I→ están en cuadratura (figura 191). → →) =πϕ = ( I U 2

319

Figura 192 14.12. Estudio ex perimental del circuito puramente capacitivo 1. DISPOSITIVO. Es siempre el mismo (figura 192);debe señalarse que no hay dificultad alguna en encontrar una capacidad pura; los condensadores más baratos del comercio tienen una capacidad pura con el 1% de aprox imación.

320

2. MEDIDAS. Hemos considerado cero para la potencia: de hecho, puede ex istir un consumo muy pequeño, del orden del 1 al 2% de U I.

MEDIDAS CÁLCULOS f U I P Z U I cos ϕ 50 110 0,69 0 160 76 0 50 220 1,38 0 160 304 0 100 110 1,38 0 80 152 0 100 220 2,75 0 80 605 0 3. RESULTADOS EXPERIMENTALES. a) Cuando la frecuencia se duplica, la impedancia queda dividida por 2; la impedancia de una capacidad pura es inversamente proporcional a la frecuencia: z = K. 1

f b) La potencia consumida es nula: P=0 c) El factor de potencia es nulo también: cosϕ= 0 14.13. Estudio teórico 1. SENTIDO (figura 193).

RELATIVO de u y de i. Se hace siempre la misma elección

2. REPASO DE FÓRMULAS (parte 1ª). a) Cantidad de electricidad transportada por una corriente: 321

• En continua: Q =

t.

• En alterna: al variar la corriente no se puede ex presar más que la cantidad de electricidad transportada en un momento dt: dq = i . dt

Figura 193 b) Cantidad de electricidad almacenada en un condensador:

• En continua:Q = CU. • En alterna: la carga almacenada en un instante dt es dq = C. du; durepresenta la 322

variación de la tensión ex perimentada en ese corto intervalo. 3. CORRIENTE.a) Valor instantáneo. Durante el corto tiempo dt, la cantidad de electricidad dq = i . dttransportada por la corriente se almacena en el condensador y podemos escribir: dq = i . dt = c . du o sea: I = C du dt El límite de du , cuando dt tiende hacia cero, es la derivada u de udt con relación al tiempo t: i = C u En corriente sinusoidal, siendo u = ωU √ 2 senωt se tiene:

323

Figura 194 u =ωU √ 2 cosωt de donde: i = Cω U √ 2 cos ωt Para referir la fase de i a la de u, hay que buscar un seno igual a cos ωt (figura 194):

324

π sen (ωt + 2 ) = cos ωt

Finalmente: π i = C ω U √ 2 sen (ωt + 2 ) b) Valor máx imo. Siendo 1 el máx imo del seno, el máx imo de la corriente es:

m = U Cω √ 2 c) Valor eficaz. Dividamos el máx imo por √ 2: I=UCω U en voltios C en faradios ω en rd/s I en amperios el valor instantáneo de la corriente se puede ex presar así: π i = I √ 2 sen (ωt + 2 ) 4 FASE.Las ex presiones i = I √ 2sen (ωt +π ) y u = U √ 2 senωt dan a2 conocer que i va en adelanto con respecto a u,es decir que está en cuadratura adelantada. Se tiene, pues: ϕ = - π y cosϕ= 02 5. REACTANCIA.Se llama reactancia de una capacidad al inverso del producto C ω: X = 1Cω C en faradios ω en rd/s X en ohmios La fórmula se escribe entonces: I =

325

U =U 1XCω En el caso ex cepcional de que el circuito no lleve más que un condensador de capacidad C: Z = X, puesto que Z es igual a U I. 6 POTENCIAS. a) Potencia instantánea: p = ui = [U√ 2 senωt] [I √ 2 sen ( ωt +π )] =2 UI sen ωt sen ( ωt +π )2 2 y recordando que el último factor de la ex presión es cosωt: P = 2 UI sen ωt cos ωt = U I sen 2ωt La potencia es puramente sinusoidal(figura 195). b) Potencia media. Es evidentemente nula, puesto que el eje de la sinusoide es 0t: P=0

326

Figura 195. Potencia instantánea de un circuito puramente capacitivo 14.14. Control de la fase de la corriente 1. MONTAJE.Es análogo(figura 196)al de la figura 184. Hay que hacer las mismas observaciones: viéndose V al revés, es necesario invertir la curva -V para tener I.Observemos que I está perfectamente en cuadratura avanzada con relación a U. 2.GRÁFICA DE FRESNEL. Los dos vectoresU→ e I→ están en cuadratura(figura 197).

327

ϕ = ( → →) = −π I, U2

328

Figura 196. Estudio en el osciloscopio 329

Figura 197. Gráfica de Fresnel

330

15. Acoplamiento de receptores en serie 15.1. Leyes fundamentales 1. CORRIENTE. En cada instante, la corriente es la misma a todo la largo del circuito (figura 198). De ello resulta:

• Que la ex presión de i es la misma para todos los receptores. • Que los valores de la corriente (I, Im, med) son idénticos para todos los receptores, en particular para el valor eficaz: I COMÚN. 2.TENSIONES.a) Valor instantáneo. La ley establecida en continua permanece válida para los valores instantáneos. Cuando varios receptores están montados en serie, la tensión instantánea total es igual a la suma algebraica de las tensiones instantáneas de cada receptor (figura 198):

331

Figura 198. Montaje en una serie →→→ U = U1 + U2 + U3 u = u1 + u2 + u3 b) Valor eficaz. Se obtiene aplicando la regla de Fresnel a la relación que sigue: U → = →+ →+ → U1 U2 U3 La tensión eficaz viene dada por la construcción de Fresnel. La corriente común se elegirá como origen de fases. 3 LEY DE OHM. Se escribe siempre U = Z I,deduciendo la ex presión de la impedancia de la construcción precedente. 4 POTENCIA. Viene siempre dada por la fórmula:

332

P = U I cos ϕ También el factor de potencia cosϕ se deduce de la construcción de Fresnel. Se estudiarán los casos más corrientes. 15 2. Resistencia e inductancias puras en serie

Figura 199. Gráfica de Fresnel y triángulo de las tensiones 1.CONSTRUCCIÓN DE FRESNEL. Tomando como origen de fases la corriente común, pongamos a UR en fase con I y a UL en cuadratura adelantada(figura 199). Estando las dos tensiones en cuadratura se tendrá: U2 =U 2 + U 2 RL 2 LEY. Reemplacemos las tensiones por sus ex presiones: UR = R I VL = LωI = X I V 2 = (RI) 2 + (XI) 2 = R 2 I 2 + X 2 I 2 = I 2 (R 2 + X 2 ) de donde: U

333

I = √2

2

U en voltios R y X en ohmios I en amperios 3. I Z =

IMPEDANCIA.Por definición, la impedancia es Z = U o sea:

√R 2

334

2 ω

2 2

335

=√

X2

Z es, pues, la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados R y X = Lω. Este triángulo se llama triángulo de las impedancias(figura 200); es semejante al triángulo de las tensiones de la gráfica de Fresnel. La fórmula I = U

336

2

2√

X

puede escribirse:

I = U Z

Figura 200. Triángulo de las 4. FASE DE I.El triángulo de las impedancias de impedancias la figura 200 permite escribir (relaciones trigo nométricas en el triángulo rectángulo):

337

tgϕ= L ω R =R R cosϕ =

√2

22Z

5 EXPRESIÓN DE i i = I √ 2 sen (ωt - ϕ) en dondeϕ viene dado en las tablas a partir del valor de tgϕ (o de cos deϕ). 6. POTENCIA.La curva de la potencia instantánea se puede trazar a partir de u y de i (figura 201).

338

Figura 201. Potencia instantánea La potencia media es siempre: P = U I cos ϕ 7. COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL.El montaje de la figura 202se ha realizado con una resistencia pura de 20 Ω, en serie con una inductancia pura de 0,11 H. La fase de I se visualiza en el osciloscopio, según el método ya ex puesto. La frecuencia es de 50 Hz. Los aparatos indican: 339

Corriente:

R = 3 A Tensión entre A y D U = 120 V Tensión entre A y B UR= 60 V

Tensión entre B y D UL = 104 V Potencia P= 180 W

340

Figura 202. Comprobación experimental Se comprueba que: Potencia: P = R I 2 = 20 . 3 . 3 = 180 Tensiones: U 341

2 = 14.400 U 2 R = 3.600 U L = 10.816

U 2 + U 2 = 14.416 ≈ 14.400R L Impedancia:

Z =U =120 =40Ω1 3 Lω= 11 π; R = 20; R 2 + L 2 ω 2 ≈400 + 1 200 = 1.600 = 40 2 = Z 2 Factor de potencia: cos ϕ =R = 20

P = 0,5 cos ρ = U I = 180 = 0,5 Z 40 120. 3 15 3. Aplicaciones 1. BOBINA A LA VEZ RESISTIVA E INDUCTIVA. Una tal bobina así se puede considerar como la agrupación en serie de una resistencia pura y de una inductancia pura. Se le pueden aplicar las fórmulas:

342

U = Z I Z =√2 2 2 y P = U I cosϕ Puede efectuarse la construcción de Fresnel, pero es evidente que las dos tensiones parciales UR y UL, son ficticias; sirven para facilitar el estudio, pero no tienen ex istencia propia. 2 MEDIDA DE

UNA INDUCTANCIA POR EL MÉTODO DE JOUBERT. Se realiza con un voltímetro y un amperímetro. a) Medida en continua. Desde el momento en que la corriente queda establecida, la inductancia ya no interviene y se tiene: R = Uc Ic b) Medida en alterna: Z = Ua Ia c) Cálculo. Siendo conocidaω = 2 πf se deduce: L =

343

Z2√

R2

ω Z y R en ohmios ω en rd/s L en henrios 3. CAÍDA DE TENSIÓN EN UNA LÍNEA.Una línea de transporte de energía posee a la vez resistencia, inductancia y capacidad. Esta última puede despreciarse en primera aprox imación, si la longitud de la línea no ex cede de los 100 km. En este caso la caída de tensión viene dada por:

344

U =I R2√

2ω2

En general, esta caída de tensión no está en fase con las tensiones a la salida y a la llegada. Si se conoce la tensión U2 a la llegada, la tensión U1 a la salida se obtendrá por la suma de Fresnel de U2 y de la caída de tensión U: → =→ +U→U1 U2

Inversamente si se conoce U1, se tendrá → U2 → = U1 −U→. La resistencia de una línea se calcula como en continua:

R = ρl

S La inductancia varía con la longitud de la línea, la separación de los hilos y su diámetro. Depende también de la permeabilidad del metal empleado. Se puede considerar que a 50 Hz la reactancia es del orden de 0,6Ω por kilómetro, para una línea bifilar de cobre. 15.4. Resistencia y capacidad puras en serie 1. CONSTRUCCIÓN DE FRESNEL. Des pués de tomar como origen de fases la corriente común, llevemos UR en

345

fase con T y UC en cuadratura re trasada(figura 203). Estando las dos tensiones en cuadratura:

U 2 = U 2 +U2

RC

Figura 203. Construcción de Fresnel 2. LEY. Reemplacemos las tensiones por sus ex presiones: UR = R I UC = Iω = X I 346

C U 2 = (RI) 2 + (XI) 2 = R 2 I 2 + X 2 I 2 = I 2 (R 2 + X 2 ) de donde: I = U

347

2 2√ U en voltios R y X en ohmios I en amperios La fórmula es, pues, la misma para una capacidad que para una inductancia, aunque X se calcule de modo diferente. 3 IMPEDANCIA. Por definición, impedancia es: Z =

348

U

=√2

X 2 =√

1

I

C 2 ω 2 Z es, pues, la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados R y X, como para la inductancia, pero para que este triángulo de las impedancias está colocado como el de las tensiones de lafigura 203,trazamos X hacia abajo(figura 204). La fórmula puede escribirse también:

Figura 204. Triángulo de las impedancias I = UZ 4. FASE

DE I.El triángulo de las impedancias de lafigura 204 permite escribir:

tg ϕ= - X = − 1 cosϕ= R R RCω Z

349

Es conveniente fijarse en que, siendo negativo ϕ = ( I→, U→ ), la tangente da el signo de y, pero el coseno no. 5.EXPRESIÓN

DE i

i =I √ 2 sen (ωt - ϕ) ϕ, negativo, viene dado en las tablas. 6.

POTENCIA.La curva de la potencia instantánea puede trazarse a partir

350

Figura 205. Potencia de u y de i (figura 205). La potencia media es siempre: P = U I cosϕ 7. COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL.El montaje de la figura 206 se realiza con una resistencia pura de 225 Ωy una capacidad de 16 µF. La fase de I se observa en el osciloscopio. La frecuencia es de 50 Hz. Los aparatos indican: Corrientes I = 0,4 A 351

Tensión entre A y D U = 120 V Tensión entre A y B UR = 90 V Tensión entre B y D UC = 80 V Potencia P = 36 W Dejamos al lector el cuidado de efectuar las comprobaciones. 8. NOTA. Para distinguir el caso en que el circuito posee efecto inductivo (ϕ > 0) de aquél en que el efecto es capacitivo (ϕ < 0),se determina el sentido del desfase de I con relación a U del modo siguiente: ϕ> 0, cosϕ en retraso ϕ< 0, cos ϕ en adelanto Todas las instalaciones industriales y domésticas tienen un cosϕ en retraso; salvo ex cepción, claramente ex presada, así sucederá en todos los problemas.

352

Figura 206. Comprobación experimental 15 5. Ex perimento 1. MONTAJE.Colocamos en serie(figura 207): una bobina con núcleo de hierro cuya inductancia es de 0,5 H y la resistencia de 14Ω:

353

Figura 207 P = 116 W UC = 170 V 3.CÁLCULOS. Reactancias: Inductancia: X L = Lω = 0,5 . 100π = 157 Ω Capacidad: XC = 1ω = C 3.200 π

106

=100 Ω Impedancia del circuito:

Z = U = 120 = 70,6 ΩI 1,7 354

• Una resistencia de 26 Ω (la resistencia total del circuito es, pues, de 40 Ω. • Un condensador de 32 µF. 2. MEDIDAS. Apliquemos una tensión total de 120 V, 50 Hz y anotemos, además de la intensidad y la potencia, la tensión UC entre las bornas del condensador: I = 1,7 A 4. OBSERVACIONES.La tensión entre las bornas del condensador (170 V) es superior a la tensión total aplicada (120 V). La impedancia del circuito es inferior a las reactancias parciales; ex pliquemos estos sorprendentes resultados. 5.GRÁFICA DE I = 40 . 1,7 = V

FRESNEL.Calculemos las tensiones UR y UL: U R = R

U L = X I = 157 . 1,7 = 268 V Tomando como origen de fases la corriente I, llevemos UR, UL y UC y construyamos su suma U (figura 208).Se vuelve a encontrar los 120 V aplicados. Basta mirar el gráfico para darse cuenta de que U puede ser más pequeña que UL y que UC : solamente la diferencia de estas dos tensiones, juntamente con UR, sirven para determinar U. 15.6. Leyes

355

356

Figura 208. Gráfica de Fresnel 1. CORRIENTE. Escribamos la relación que según el gráfico ex iste entre las tensiones: U2 = U2 + (U L U C )2 R o sea, reemplazando las tensiones por sus ex presiones: u 2 = (R I) + (Lω I − I )2

= R 2I 2 + I 2(Lω − 1 )2 = I2 [ R 2 + (Lω − 1 )2]Cω

Cω Cω

de donde: I = U

357

2 1 )√

Cω

2.

IMPEDANCIA. Por definición Z = U I o sea: Z =

358

√ 1)2 Cω

Figura 209. Triángulo de las impedancias La impedancia es, pues, la hipotenusa de un triángulo rectángulo (figura 209) que tiene por lados la resistencia y la diferencia de las reactancias inductiva y 359

capacitiva. Por otra parte, se puede escribir: XL = Lω XC = 1 Cω X = XL - XC 3 FASE

DE I. El triángulo de las impedancias da:

Lω− 1 tg ϕ = Cω R cos ϕ = R Z 4 POTENCIA.La potencia disipada es siempre: P = R I 2 = Z I 2 cosϕ= U I cosϕ ya que: R = Z cosϕ U = Z I P = U I cos ϕ 15.7. Fórmulas definitivas 1. IMPEDANCIA.No hay que retener más que una fórmula para el conjunto de los casos estudiados. Todas las demás no son más que casos particulares de ésta: Z =

360

√ 1)2 Cω 2.DESFASE. No hay que retener más que una fórmula: Lω − 1 tg ϕ = Cω R 3 FACTOR DE POTENCIA : cosϕ= R Z De hecho, estas tres fórmulas pueden obtenerse a partir del triángulo de las impedancias. 4 LEY U=Z I

DE OHM EN ALTERNA:

5 POTENCIA : P = U I cosϕ En resumen, no hay que retener más que dos fórmulas ya conocidas y un triángulo que proporciona las otras 3. 15.8. Discusión sobre la forma de la gráfica 208 1. CASO

EXPERIEMENTADO. La relación de orden de las reactancias

XL > XC condicionaba la de las tensiones UL > UC . De ello resultaba que: →

• (

361

U → + UC ) estaba en cuadratura adelantada con la corriente L

• U→ resultante estaba adelantada respecto a la corriente. • El desfaseϕ = (I→, U→ ) era positivo y tg ϕ también. En resumen: L ω −

1 Cω

Lω > 1 tgϕ = R > 0Cω 2. CASO

OPUESTO (figura 210). Si XC fuese de 200 W por ejemplo ( C =

16 µF), tendríamos XL < XC ,es decir UL < UG ; por tanto la diferencia UL - UC (negativa) vendría dada por un vector en cuadratura retrasada;U→resultante estaría en retraso y el desfase sería negativo. En resumen: L ω −

1

362

Cω

Lω < 1 tgϕ = R < 0Cω 3.CASO Cω

LÍMITE. ¿Qué sucederá si XC

= XL, es decir Lω = 1 ?

Las dos tensiones UC y UIse compensan(figura 211) y la tensión total U es igual a UR. Estando UR en fase con I, U lo está también y, por tanto:

363

364

Figura 210. Caso en que 1 > Lω Cω

365

366

Figura 211. Caso límite U L = U C ϕ= 0 tgϕ = 0 cosϕ= 1 P = U I Y finalmente, puesto que: Lω = 1 Z = R =U Cω R Aparentemente todo ocurre como si el circuito fuese puramente resistivo. Se dice que hay RESONANCIA. La condición de resonancia Lω= 1ω puede escribirse: LCω 2 = 1 C L en henrios C en faradios ωen rd/s 15 9. Resonancia 1. MONTAJE.Para estudiar la resonancia y el comportamiento de un circuito en las prox imidades de la misma, se puede hacer variar uno cualquiera de los tres factores L, C y ω. Se utilizará una self variable cuya resistencia es de 14 Ωy cuya inductancia varía de manera continua entre 0,2 y 1,1 H (figura 212).Colocaremos en serie una capacidad de 12 µ F(figura 213) La tensión de alimentación

367

Figura 212. Bobina de Self monofásica regulable Figura 213 es de 40 V, 50 Hz. Dos voltímetros de gran resistencia (20.000 Ω/V) miden las tensiones parciales UL y UC . 2 MEDIDAS

Y CÁLCULOS :

1 = 106 Cω 1 200 π = 265 Ω Las curvas están trazadas en la figura 214. 3.CONSECUENCIAS. Se ve que en la resonancia (línea recuadrada) se tiene sensiblemente I = U y que el circuito parece ser puramente resistivo. Sin 368

R embargo, la medida de las tensiones UL y UC muestra el peligro de la resonancia:

LLω IUL UC σ= U C U 0,3 94 0,23 22 61 1,50 0,4 126 0,28 36 74 1,85 0,5 157 0,37 58 98 2,45 0,6 189 0,52 97 138 3,45 0,7 220 0,85 187 223 5,60 0,8 251 2 500 530 13,20 0,84 265 2,7 715 715 17,80 0,9 283 1,8 510 475 11,80 1,0 314 0,8 250 210 5,20 1,1 345 0,5 175 132 3,30 Figura 214. Curvas • Se pueden producir tensiones elevadas entre las bornas de la inductancia y de la capacidad.

• El coeficiente de sobretensión alcanza en el ex perimento el valor 17,8. Y aún podría alcanzar valores mayores si la resistencia fuese más pequeña. 4.CASO TEÓRICO.Si se pudiera tener R = 0,la corriente en la resonancia sería I =U = ∞. Este caso, evidentemente, no puede ex istir, pero señala 369

R el peligro, si R fuese muy pequeña, de que la corriente I y, por consiguiente, las tensiones parciales UL y UC llegarían a ser enormes. 5. APLICACIONES. La resonancia debe evitarse en los circuitos industriales en los que las altas tensiones producirían sobretensiones peligrosas tanto para los usuarios como para los aparatos. Por el contrario, la resonancia se busca en la radiodifusión y en la televisión, donde las tensiones captadas por la antena de los receptores son del orden del microvoltio y no podrían producir ni sonido ni imagen. 6. INFLUENCIA DE ω. Un circuito R, L, C,sólo resuena para el valor ω o dado por la fórmula: L C ω 2 = 1.o Esta pulsación ω o es la pulsación propia del circuito. Si se aplica al circuito una tensión de valor conocido U,pero de frecuencia variable, la corriente I pasará por un máx imo para ω =ω 0.La curva correspondiente es la curva de resonancia en función deω (figura 215). Las tensiones UL y UC pasarán también por su máx imo para este valor ω 0; el circuito está en resonancia de tensión.

370

Figura 215. I = f (ω) 15.10. Generalización Si un circuito lleva a la vez varias resistencias, varias inductancias y varias capacidades en serie, la impedancia del circuito se calcula por la fórmula: Z =

371

√ 1)2 C eω en la que:

• Rees la suma de las resistencias. • Le es la suma de las inductancias. • Ce es la capacidad equivalente al conjunto de las capacidades. Recordemos que en serie:

1 = 1 + 1 + 1 …Ce C1 C2 C3 La impedancia total del circuito permite el cálculo de la corriente conociendo la tensión. Obsérvese que la impedancia total del circuito no es igual a la suma aritmética de las impedancias.

372

16. Acoplamiento de receptores en paralelo 16.1. Leyes fundamentales 1. TENSIÓN. En cada instante la tensión instantánea u es común (figura 216). Ocurre lo mismo con los valores U, Um, Umed; retengamos en particular:

U COMÚN 2. CORRIENTES. a) Valor instantáneo. La ley establecida en continua permanece válida para los valores instantáneos: cuando varios receptores están montados en paralelo, la corriente instantánea en el circuito principal es igual a la suma de las corrientes instantáneas de las diferentes derivaciones(figura 216):

373

Figura 216. Montaje en paralelo i = i1 + i2 + i3 b) Valor eficaz. El valor eficaz de la corriente principal viene dado por la construcción de Fresnel, tomando como origen de fases la tensión U. I→= →+ →+ → I1 I2 I3 3. IMPEDANCIA EQUIVALENTE.Es el cociente U de la tensión común por laI corriente total. 4 POTENCIA.Se pueden calcular las potencias consumidas por cada derivación y sumarlas para tener la potencia total. A título de ejemplos se tratarán dos casos. Los problemas no ofrecen ninguna dificultad nueva, puesto que en paralelo la corriente en una derivación no depende de las otras corrientes. 16 2. Resistencia y capacidad puras en paralelo 1. CONSTRUCCIÓN

DE FRESNEL.La tensión común se toma como

origen de fases, llevando Ren fase con U,e IC en cuadratura adelantada(figura 217). Estando las dos corrientes en cuadratura: I

2 = I 2 +I2 R

C 374

Figura 217. R y C en paralelo y gráfico correspondiente 2. IMPEDANCIA EQUIVALENTE. La calculamos sólo a título documental. La fórmula que vamos a obtener no es necesario conservarla. Ex presemos las corrientes: IR = U IC = U Cω R Se tiene: I

2 =U2 R 2 + U R2 2 2 2 1

C ω

+ C 2ω2

I2 1 = 1 +C2ω2 =1 + R 2 C 2 ω 2 U 2 = 2 R 2 R 2 Z Z

2= R2 2

C 2ω21 + R

3 FASE

DE LA CORRIENTE PRINCIPAL. Se puede medir en el 375

gráfico. A fin de evitar confusiones con el resultado establecido para el circuito serie, no se consigna la fórmula. 4. CONDENSADOR

REAL.Puede considerarse como una capacidad

pura en paralelo con una resistencia muy grande, que es su RESISTENCIA

DE FUGAS.Esta última es al menos igual a 100 veces la reactancia de la capacidad; se puede, pues, admitir que es tan desmesuradamente grande que la corriente que la atraviesa es despreciable con relación a la que atraviesa es despreciable con relación a la que atraviesa a la capacidad. Se continuará considerando a los condensadores como capacidades puras. 16 3. Circuito tapón ideal 1. CONSTITUCIÓN.Un circuito tapón ideal(figura 218)está formado por una inductancia L pura, en paralelo con una capacidad pura C. Para una pulsación ω o tal que: LC ω 2 = 1o El circuito se llama TAPÓN. 2. CORRIENTES. La condición anterior equivale a:

376

Figura 218. Circuito tapón ideal L ω o = 1 Cωo o también: XL = XC Siendo común la tensión, las dos corrientes i tendrán el mismo valor eficaz I,pero estarán en oposición (figura 219); ¡la corriente en el circuito principal será nula cual quiera que sea la tensión!

377

Este circuito constituye, pues, una ruptura para la pulsa ciónω o, de donde le viene el nombre de tapón Figura 219

I→ = IL + IC = 0

→→ Por el contrario, para otra pulsación, la igualdad de las reactancias ya no ex istiría, y la corriente del circuito principal no sería nula. Por ejemplo, para ω = 2 ω o XC está dividido por dos; por tanto,IC es el doble; en cambio,XL 378

se ha duplicado e L se ha dividido por dos. 16.4. Circuito tapón real

Figura 220. Circuito tapón real 1. CONSTITUCIÓN. Si un condensador es una capacidad casi pura, una bobina posee siempre resistencia. El circuito tapón real es entonces una inductancia resistiva, en paralelo con una capacidad (figura 220). Cuando se cumple la condición LCω o = 1, las dos corrientes tienen poco más o menos el mismo valor eficaz, pero no están completamente en oposición, su

379

resultante no es ahora nula (figura 221), pero permanece prácticamente en fase con U. Un circuito tapón real no produce la anulación de la corriente principal de pulsación ω o, pero la reduce mucho más que las corrientes de pulsación contigua.

380

381

Figura 221 2. CIRCUITO OSCILANTE.Inversamente, a la pequeña corriente impuesta al circuito principal de un circuito tapón real corresponderán corrientes relativamente importantes en L y en C,cuando la pulsación es ω o.El circuito tapón

(C.O.). Se dice que hay un fenómeno de RESONANCIA PARALELO; por ambas ramas circula una se llama entonces circuito oscilante

sobreintensidad. Esta propiedad se utiliza en los receptores de radio y de televisión. El circuito oscilante se sintoniza a la frecuencia de la emisora deseada, y permite la recepción de ésta y la eliminación de las demás. 3. FÓRMULAS. Si la resistencia R es pequeña con relación a Lω o (alrededor de una décima), para la pulsación ω o,se tienen sensiblemente las dos relaciones siguientes: a) Corriente en una rama: I

L = I

C = L ω

o IR

382

Siendo I la corriente en el circuito principal. b) Impedancia equivalente: Z

o = L CR L en henrios C en faradios R en ohmios Z en ohmios 16 5. Generalización Cuando un número cualquiera de receptores está en paralelo, se puede calcular la corriente en cada uno de ellos, y, llevando estas corrientes a un gráfico de Fresnel, obtener la corriente total. Por lo general, no es necesario calcular la impedancia equivalente.

383

17. Potencia y factor de potencia 17.1. Corrientes activa y reactiva 1.CONSIDEREMOS el gráfico de Fresnel de un reactor inductivo (figura 222). La corriente Ipuede descomponerse en dos vectores; uno Ia→ en fase con la tensión U, y otro Ir, en cuadratura con ella. 2. CORRIENTE ACTIVA. Se llama corriente activa la componente de la corriente en fase con la tensión: Ia = I cosϕ

Figura 222. Corrientes activa y reactiva 3.CORRIENTE REACTIVA.Se llama reactiva la componente de la corriente en cuadratura con 384

la tensión:

r = I sen ϕ 4 RECEPTORES

EN PARALELO. Como el cosϕ de un receptor es

siempre positivo (−π≤ ϕ ≤+ π ),las corrientes activas son siempre del mismo2 2 sentido que U→. La corriente reactiva es positiva para un receptor inductivo y negativa para un receptor capacitivo (figura 223). El teorema de las proyecciones permite encontrar las componentes de la corriente total I→: Ia = I a1 + Ia2 (suma aritmética)

r = Ir1 + r2(suma algebraica)

385

Figura 223. La corriente reactiva Ir2 es negativa Se puede luego calcular I cómodamente:

386

I =√a

r

2

NOTA. A la inversa, se podría descomponer U → → en dos tensiones; una Ua en fase con I →

y otra U→

r en cuadratura. 17 2. Potencias 1 POTENCIA ACTIVA (P).La conocemos ya; es la potencia media, igual al producto de la tensión por la componente activa de la corriente: P = U Ia = U I cos ϕ Se ex presa en watios o en kw y se mide con ayuda de un watímetro. 2 POTENCIA APARENTE S=UI

(S). Es el producto de Upor I:

Se ex presa en voltiamperios (VA)y se mide con ayuda de un voltímetro y de un amperímetro. 3 POTENCIA REACTIVA (Q).Es igual al producto de la tensión por la componente reactiva de la corriente: Q= U

r = UI senϕ 387

U en voltios I en amperios Q en var Se ex presa en voltiamperios reactivos (var) o en kilovar (1) (kvar). Se puede medir con un watímetro en el que la bobina de tensión está en serie con una inductancia L,en lugar de la resistencia R del watímetro normal. El signo de la potencia reactiva consumida por un receptor es el deϕ y el de sen ϕ: Circuito inductivo ϕ > 0 sen ϕ = 0 Q > 0 Circuito capacitivo ϕ< 0 senϕ< 0 Q < 0 Todas las instalaciones consumen potencia reactiva (Q > 0).Esta potencia reactiva proviene de la red que las alimenta. Las capacidades proporcionan potencia reactiva (Q < 0),pero no están nunca solas en el circuito. Se pondrán condensadores en las instalaciones, para que la potencia reactiva que proporcionan se reste de la que, sin ellos se pediría de la red. 4. TRIÁNGULO DE POTENCIAS. Las tres potencias P, Q, S son los lados de un triángulo rectángulo (figura 224)en el que se tienen las razones suplementarias: cos ϕ = P sen ϕ= QS tgϕ = Q S 2 = P 2 + Q 2 SP 5. CIRCUITO R, L, C.Si el circuito no lleva más que resistencias, inductancias y capacidades (sin motor) el triángulo de las potencias es semejante al de las impedancias en la relación I 2 y se tienen también las fórmulas: P = R I 2 Q= X I 2 388

S=Z I2

Figura 224. Triángulo de las potencias CASOS PARTICULARES. Circuitos elementales: CIRCUITOS P Q S R pura R I2 = UI2 0 U I L pura 0 X I = U I U I C pura 0 -X I2 = -U I U I 17 3. Leyes relativas a las potencias 1. POTENCIA ACTIVA. Sean tres receptores montados en paralelo y que consumen respectivamente las corrientes I1, I2 e I3. Las corrientes activas tienen todas el mismo sentido que la tensión común (figura 225); son todas positivas y su suma aritmética es:

389

I cosϕ = I1 cos ϕ1 + I2 cosϕ2 + I3 cosϕ3 Multiplicando por U se obtiene aún una suma aritmética: U I cosϕ = U I1 cosϕ1 + U I2 cos ϕ2 + U I 3 cos ϕ3 P = P1 + P2 + P3 Se obtendría el mismo resultado para receptores en serie.

LEY. La potencia activa consumida por varios receptores es igual a la suma aritmética de las potencias activas consumidas por cada uno de ellos. Esta ley no es más que un caso particular del principio general de la conservación de la energía. 2. POTENCIA REACTIVA.Las corrientes reactivas están bien en cuadratura retrasadas (positivas) o bien en cuadratura adelantadas (negativas); su suma es algebraica (figura 225). I sen ϕ= I1 senϕ1 + I2 senϕ2 + I3 senϕ3 Al multiplicar por U se obtiene todavía una suma algebraica: UI sen ϕ = U I1 senϕ1 + U I2 sen ϕ2 + U I3 senϕ3 Q = Q1 + Q2 + Q3 Se obtendría el mismo resultado para receptores en serie.

TEOREMA DE BOUCHEROT. La potencia reactiva consumida por varios receptores es igual a la suma algebraica de las potencias reactivas consumidas por cada uno de ellos.

390

Figura 225 3 POTENCIA APARENTE.Las potencias aparentes no deben sumarse nunca. La potencia aparente total se calcula por la fórmula:

391

S =√2

Q2

en la que P y Q son las sumas anteriormente definidas. 17.4. Energía 1. ENERGÍA ACTIVA. Corresponde a la potencia activa y se ex presa en kwh (raramente en julios). Se mide con un contador de energía activa que se encuentra en todos los pisos. Es la que se factura, según la lectura del contador. Continuaremos denominándola W. 2 ENERGÍA REACTIVA.Corresponde a la potencia reactiva y se ex presa en var/horas (o en kvarh). Se mide con un contador de energía reactiva. No ex iste más que en instalaciones industriales. En general, esta energía no se factura. Sin embargo, si el consumo es ex cesivo, se castiga al consumidor (véase capítulo siguiente). La designaremos con la notación Wr. 3 ENERGÍA APARENTE. Carece de interés y no se mide nunca, pero se puede calcular para hallar el factor de potencia:

392

W a =√ 2

r2 W

4 FACTOR DE POTENCIA MEDIO.Es el cociente de la energía activa por la raíz cuadrada acabada de escribir: W

393

cos = √W 2

W r2

17 5. Factor de potencia 1. SEAN

DOS instalaciones que consumen la misma potencia P= 1.000.000

W con idéntica tensión U = 5.000 V, pero con cosϕ diferentes: cosϕ1 = 1 y cos ϕ2 = 0,4. Después del mismo tiempo de funcionamiento, habrán consumido la misma energía; sin embargo, el suministrador de esta energía no los podrá tratar de la misma manera. Calculemos las corrientes: I 1 = P1 U1 cos ϕ1 =1.000.000 = 200 A5.000. 1 I 2 = P2 U2 cos ϕ2 =1.000.000 =500 A5.000. 0,4 La segunda instalación consume, para la misma potencia, una corriente igual a 2,5 veces la de la primera. 2.CONSECUENCIAS. a) En las líneas de distribución:

• Si son idénticas, las perdidas Joule se elevarán en la instalación número 2 a 394

(2,5) 2 = 6,25 veces las de la instalación número 1.

• Si se quieren disminuir estas pérdidas será necesario acortar la línea número 2. b) Los alternadores que proporcionan la energía y los transformadores de la red deberán también reducirse. El suministrador de energía ex igirá, pues, un factor de potencia compatible con la utilización correcta de su equipo y aceptable por el consumidor, cuyos motores consumen energía reactiva. Hagamos notar que, además de esta imposición, el consumidor también tiene interés en tener un buen cos ϕ, para disminuir las pérdidas en su propia instalación. 17.6. Elevación del factor de potencia 1. PROBLEMA PROPUESTO.Debiendo ser suficiente el cosϕ de una instalación (en principio, igual a 0,86), ¿qué hacer si no lo es? Conocemos ya la respuesta: en vez de pedir toda la potencia reactiva que sea necesaria al suministrador de energía, se utilizarán condensadores. 2. POTENCIA REACTIVA DE

UNA CAPACIDAD. En valor

absoluto Qc = U I. Siendo I = UC ω,se tiene, pues,Qc = U2 Cω. Al ser la tensión y la pulsación las propias del sector, si se conoce la potencia reactiva que se necesita, el cálculo de C es inmediato: 2 C = Qc U ω

Qc en var U en voltios Cen faradios 3. CÁLCULO.Al no consumir el condensador potencia activa, la potencia P es 395

la misma antes y después de la elevación. Sea cosϕ el factor de potencia antes y cos ϕel factor de potencia deseado. Las potencias reactivas correspondientes serán: Q = Ptg ϕ Q =Ptgϕ La diferencia entre Q y Q está suministrada por el condensador. Qc = Q - Q = P (tg ϕ- tg ϕ) No será ex traño encontrar capacidades de varios centenares de microfaradios. 4. EJEMPLO.Se quiere elevar de 0,7 a 0,8, el cosde una instalación, que consume 50 kw a una tensión de 380 V, 50 Hz. Calcular la capacidad del condensador necesaria. cos ϕ= 0,7 tgϕ= 1,02 cosϕ = 0,8 tgϕ = 0,75

SOLUCIÓN : Potencias reactivas: Antes Q = P tgϕ = 50 . 1,02 = 51 kvar Después Q = P tg ϕ = 50 . 0,75 = 37,5 kvar Del condensador: Qc = 51 - 37,5 = 13,5 kvar Capacidad:

C = Qc =13.500 = 298 µF U 2ω 3802 . 100 π Corrientes: Antes I =

396

P

U cos ϕ = 50.000 = 188 A380 . 0,7 Después I =P = 50.000 = 164 AU cos ϕ 380 . 0,8 Observemos que I cos ϕ= I cos ϕ de donde I = I . cos ϕ

cosϕ

OTRO MÉTODO . La corriente I es la suma vectorial de I y de la corriente Ic absorbida por el condensador. Siendo Ic puramente reactiva, las dos corrientes I e I tienen la misma componente activa: I cosϕ = I cosϕ, de donde se deduce la construcción (figura 226)después del cálculo de I = 188 A.

397

Figura 226 Tenemos que Ic = 35,5 A, de donde C = I = 35,5 = 298 µF Uω

380 . 100 π

5. MONTAJE DE LOS CONDENSADORES.Van montados en paralelo con el motor o con la instalación de la que elevan el cos ϕ,y se hallan, por tanto a la misma tensión. Estos condensadores tienen un volumen importante y un precio elevado, pero éste se amortiza rápidamente por las economías realizadas sobre las pérdidas. 398

18. Tensiones trifásicas 18.1. Ex ploración del sector 1. TRIFÁSICO 4 HILOS. a) En el cuadro de distribución encontramos cuatro bornas: la primera, a menudo conectada a tierra, se llama neutro N; las otras tres son las bornas de fase 1, 2, y 3(figura 227). b) Midamos las tensiones entre N y cada una de las bornas de fase: obtendremos tres valores iguales: U1 = U2 = U3 = 220 V

399

Figura 227. Tensiones simples Estas tres tensiones se llaman simples, y ex presaremos por U su valor común: Us = 220 V c) Tensiones compuestas (figura 228).Midamos las tensiones entre fases, es decir

400

entre dos de las bornas 1, 2, 3; encontraremos: U12 = U23 = U31 = 380 V Estas tres tensiones se llaman compuestas y ex presaremos por Uc el valor común: Uc = 380 V d) Relación. Dividamos Ucpor Us: Uc =380

= 1,73 ≈√ 3 Us 220

Figura 228. Tensiones compuestas e) Valores corrientes de las tensiones. En baja tensión ex isten actualmente dos sistemas: 127/220 V y 220/380 V, tendiendo el primero a sustituirse por el 401

segundo. Advirtamos que, si no se cita más que una tensión en trifásica, se trata siempre de la tensión compuesta. 2 FASE DE LAS TENSIONES.La tensión U12entre los hilos 1 y 2 no es ni la suma aritmética, ni la diferencia entre U

1 y U

2 , porque U → 1 y U2 no están en fase. Si se dispone de un osciloscopio de triple haz, se pueden ver las tres tensiones simples, conectando N a la masa y las tres bornas

Figura 229. Tensiones trifásicas 402

1, 2 y 3 a las tres vías del osciloscopio (figura 229). 18 2. Estudio matemático 1.VALORES INSTANTÁNEOS.Las tres tensiones simples están desplazadas un tercio de período (T y, por tanto, desfasadas en (2 π ) (120 )una

3)3 con relación a la otra, sus ecuaciones pueden escribirse: u

1 = U

s √ 2 sen ω t u

2 = U

s 403

√ 2 sen ( ω t− 2 π 3 ) 4 π u3 = Us√ 2 sen (ωt−3 ) 2.GRÁFICO DE LAS TENSIONES 230).Representemos las tres tensio

SIMPLES (figura

nes U1→ , U2→ y U3 . Se obtienen tres vectores del mismo módulo Us y simétricamente dispuestos. La suma de los vectores es nula; se comprobará después del desarrollo de sus ex presiones, que ocurre lo mismo con la suma algebraica de los tres valores instantáneos: u1 + u2 + u3 = 0 3.TENSIONES

COMPUESTAS. En cada instante:

404

Figura 230. Tensiones simples u12 = u2 - u1 u23 = u3 - u2 u31 = u1 - u3 A estas tres relaciones instantáneas corresponden las relaciones entre los vectores: U 405

→ = U→ − U→U→ = U→ + U→ 12

2 1 23 3 2

U → = U→ − U→ 31

13

De ello resulta que: a) En cada instante u12 + u23 + u31 = 0 b) Una tensión compuesta tal como la U→ es el vec 12 tor que es necesario añadir a U1→ para hallar U2 (figura 231). En el triángulo OAB: AH = OA cos 30 = OA

√ 3 2

406

Figura 231. U c = Us √ 3 AB = 2 AH = OA √ 3

407

Figura 232. Tensiones compuestas 18 3. Ventajas de la trifásica o sea: Uc = Us√ 3 Relación que confirma las medidas. c) Las tres tensiones compuestas forman también un sistema trifásico. Las tensiones simples forman un sistema en estrella. Las tensiones compuestas forman un sistema en triángulo(figura 232).

408

1.

HASTA AHORA se ha estudiado una tensión alterna disponible entre dos

bornas solamente: dicha tensión se llama MONOFÁSICA. 2 LAS VENTAJAS de la trifásica aparecen a medida que se haga el estudio de las máquinas; desde ahora retengamos que: a) Un alternador trifásico tiene una potencia superior en un 50% aprox imadamente sobre la de un alternador monofásico del mismo volumen y del mismo precio. b) La misma energía se transporta con tres hilos, mientras que hacen falta seis idénticos en monofásica (o dos de sección triple). c) El motor asíncrono trifásico, que es el motor más ex tendido, no tiene equivalente en monofásica o en continua. 18.4. Idea sobre la producción de trifásica Si se colocan tres bobinas desfasadas entre sí 120 , obtenemos el sistema de lafigura 233. Con un alternador de buena construcción, las tres fuerzas electromotrices serían:

e1 =E √ 2 senωt e2 =E √ 2 sen (ωt−2 π )3

409

Figura 233. Producción de tres f.e.m. trifásicas e3 =E √ 2 sen (ωt −4 π )3

410

Figura 234. Acoplamiento en estrella Si se reúnen las tres bobinas en estrella se obtiene un sistema que tiene a la vez tensiones simples y tensiones compuestas (figura 234). Si las tres bobinas se reúnen en triángulo, no hay ya tensiones simples ni tampoco neutro (figura 235). 18 5. Formas de acoplamientos

411

ADVERTENCIA. Suponemos que cualesquiera que sean los receptores y su montaje, las tres tensiones compuestas son rigurosamente constantes y de fase invariable. El montaje del generador puede ser indistintamente en estrella o en triángulo. El sector utilizado es 220 /380 V, 50 Hz. Lafigura 236 muestra los símbolos en estrella o en triángulo.

412

Figura 235. Acoplamiento en triángulo

Figura 236 Símbolos de los montajes 413

18.6. Montaje en estrella, equilibrado 1. CON NEUTRO.a) Ex periencia. Montemos dos lámparas de 200 W en paralelo entre el neutro y cada hilo de fase(figura 237).Anotemos las indicaciones de los aparatos: I1 = I 2 = I3 = 1,8 A

N

=0

414

Figura 237. Montaje equilibrado en estrella b) Caso general (figura 238). Sea Z la impedancia y cosϕ el factor de potencia de cada uno de los tres receptores idénticos. Cuando se los mon

415

Figura 238. Montaje equilibrado en estrella. La disposición de los receptores es eléctricamente idéntica a la de la figura 236 ta entre neutro y fase están sujetos a la misma tensión Us;las tres corrientes tienen, pues, el mismo valor eficaz Iy están igualmente desfasadas con relación a sus tensiones respectivas. El gráfico de las corrientes se deduce del de las tensiones, dividiendo por Z los vectores y haciéndoles girar un ángulo ϕ (figura 239).

416

Figura 239. Equilibrado en estrella I1→ + I2→ + I3→ = 0 La suma de las corrientes es nula como la de las tensiones: I →+ →+ →

1 I2 I3 = 0 417

c) Corriente en el neutro. Siendo nula la suma de i 1 + i 2 + i 3, i N lo es también. El hilo neutro parece, pues, inútil. 2.SIN NEUTRO.No estando recorrido el neutro por ninguna corriente, su supresión no entraña ninguna perturbación en el resto del montaje. 18.7. Montaje en estrella, desequilibrado 1.CON sigue:

NEUTRO.a) Ex periencia. El montaje (figura 240)está formado como

• Fase 1: 2 lámparas de 200 W en paralelo I1 = 1,8 A. • Fase 2: 1 lámpara de 200 W y una de 100 W en paralelo I2 = 1,35 A.

418

Figura 240. Desequilibrado, IN no es ya nula • Fase 3: 1 lámpara de 150 W, I3 = 0,7 A. El amperímetro del hilo neutro indica: N = 1 A b) Caso general. Cada fase es independiente de las otras y la corriente puede calcularse siempre en un receptor: I

1 = 419

U2 Z1 El desfase ϕ1 no depende más que del cosϕdel receptor 1. Por tanto, cada fase puede considerarse como si se tratara de monofásica. c) Corriente en el neutro. La relación entre las corrientes que atraviesan el punto N iN = i1 + i2 + i3 proporciona la construcción: IN = I1 + I2 + I3 Esta se efectúa (figura 241) con los resultados de la ex periencia.

420

Figura 241. La construcción permite encontrar de nuevo I N Cuando el montaje está desequilibrado, la corriente en el hilo neutro no es nula; su supresión produce, pues, perturbaciones en los circuitos. 2. SIN NEUTRO.Si se suprime el hilo neutro del montaje precedente se observa que: la luminosidad de las lámparas de la fase 1 disminuye, la de la fase 3 aumenta y la de la fase 2 permanece poco más o menos invariable. Hay, pues, 421

receptores con sobretensión cuando hay otros que están sujetos a una tensión inferior a la normal: los receptores funcionan mal o corren peligro de estropearse. Cuando el montaje está desequilibrado, el hilo neutro es indispensable. Así pues, no se debe suprimir el hilo neutro en un montaje estrella, aun en el caso de que el circuito está provisionalmente equilibrado, ya que entonces, si se suprime (accidentalmente o no) una fase, ex istiría un desequilibrio inadmisible de las tensiones. 18.8. Montaje en triángulo, equilibrado 1. EXPERIENCIA.Para evitar la sobretensión de las lámparas de 220 V, 200 W ponemos dos en serie en cada fase (figura 242). Anotamos. En los hilos de línea: I1 = I 2 = I3 = 1,6 A

422

Figura 242. Montaje en triángulo

423

Figura 242 Bis. Otra disposición del montaje en triángulo En los receptores: J 12 = J 23 = J 31 = 0,92 A Calculemos el cociente:

424

I = 1,6 = 1,7≈ √ 3 J 0,92

2. CASO GENERAL.Cada receptor está sujeto a una tensión compuesta y consume una corriente independiente de los otros. Si Zes la impedancia de un receptor y cosϕ su factor de potencia, cada intensidad J =U

c está desfasada ϕ con rela Z ción a su propia tensión (figura 243). Los tres vectores Jforman un sistema trifásico equilibrado(figura 244). 3.CORRIENTE EN UN sentido ya fijado (figura 242):

HILO DE LÍNEA. En A,por ejemplo, con el

i1 + j 12 = j 31 es decir: i 1 = j 31 - j 12 Construyamos la diferencia: I → =J → − J → 1

31 12

425

Figura 243

426

427

Figura 244 El ángulo entre J 31y (-J 12)es de 60 ; se tiene, por tanto: I1 = J 31√ 3 = J 12√ 3 o sea: I =J√ 3 18 9. Montaje desequilibrado en triángulo 1. EXPERIENCIA. Se montan los receptores siguientes:

• Fase 1: 2 lámparas de 200 W en serie. • Fase 2: 2 lámparas de 150 W en serie. • Fase 3: 2 lámparas de 100 W en serie. Las corrientes en los receptores son: J 23 = 0,92 A J 31 = 0,69 A J 12 = 0,46 A Las corrientes en los hilos de línea son: I1 = 1 A I2 = 1,2 A I3 = 1,4 A La relación I = J √ 3 carece ya de sentido. 2. CASO

GENERAL. Siendo conocidas las tensiones aplicadas, se

pueden calcular siempre las tres corrientes J 12, J 13y J 31. Las corrientes I1, I2, I3 se obtienen gráficamente: I →

= J → − J →I→ = J → − J →I→ = J → − J → 1 31 12 2 12 13 3 23 31

La suma miembro a miembro de estas igualdades da:

428

I→ +→ +→ = 01 I2 I3

RETENGAMOS: en un montaje en estrella con neutro, o en triángulo, los tres receptores funcionan independientemente unos de otros. 18.10. Cálculo de las potencias en trifásica 1. C ASO GENERAL. Se calcula la potencia consumida por cada fase y: a) Se suman aritméticamente las potencias activas b) Se suman algebraicamente las potencias reactivas: P = P1 + P2 + P3 Q = Q1 + Q2 + Q3 2. MONTAJE

EQUILIBRADO EN ESTRELLA (CON NEUTRO O SIN ÉL).Todos los receptores de la misma impedancia y del mismo coseno están sujetos a la misma tensión Us y se ven atravesados por la misma corriente I; las potencias activas son, pues, iguales: P1 = P2 = P3 = Us I cos ϕ la potencia total es P=3U

s I cos ϕ ; si reemplazamos U s por Uc √ 3: P =3 Uc I cosϕ = Uc I√ 3cosϕ ϕ√ 3 429

3. MONTAJE EQUILIBRADO EN TRIÁNGULO.Todos los receptores de la misma impedancia y del mismo cosϕ se hallan sujetos a la misma tensión compuesta Uc y están atravesados por la misma corriente por tanto, las potencias activas son iguales: P1 = P2 = P3 = Uc J cosϕ la potencia total es, pues, P = 3U

c cos ϕ ; reemplacemos J por I √ 3: P = 3 Uc I3 cosϕ = Uc I √ 3 cosϕ√ 4 FÓRMULA. El resultado es el mismo en estrella que en triángulo: P = Uc I √ 3 cosϕ Uc en voltios Ien amperios P en watios La potencia total consumida en trifásica equilibrada, montaje en triángulo o en estrella (con neutro o sin él), es igual al producto por 3 de los tres factores siguientes:

• La tensión compuesta. • La corriente en un hilo de línea. • El factor de potencia de un receptor.

430

Electricidad Fácil Pero Curso Completo - Ernesto Rodriguez

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