Momenti i nercije Momenti inercije - Uvod
Momenti nti iner nercije ije preds edstavlja ljaju mjeru eru otpora poprečnog presjeka nosača prema deformacijama savijanja, uvijanja, izvijanja
Mome Moment ntii iner inerci cije je pred predst stav avlj ljaj aju u nosi nosivo vost st popr popreečnog presjeka prema odgovarajućoj vrsti opterećenja
Moment inercije je parametar površine poprečnog presjeka koji daje sumarnu informaciju o geometrijskom rasporedu pojedinih elemenata površine presjeka u odnosu na odgovarajuće ose
Pri istom utrošku materijala, odnosno pri istoj površini poprečnog pres presjek jeka, a, nos nosiv ivos ost/ t/kr krut utos ostt gred gredee se mo može znatno promjeniti promjenom geometrijskog rasporeda elementarnih površina presjeka. predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Momenti inercije – Uvod (nastavak)
Primjer promjene momenta inercije za osu uz istu površinu presjeka y F
b
x
h
I x
bh
3
12
b y
F
h
x I x
bh
3
12
isti utrošak materijala (ista površina), ali manja deformacija i veća nosivost predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Momenti inercije – Uvod (nastavak) F
F
A y y
A
y
y
l1
x
l2
x
x
z
P
P
M x P l1 P A d
M x
P x
M x
z
P
M x P l2 P l1 predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije y
A
Ai
x
y
O
x
Momenti površine drugog reda: aksijalni, centrifugalni, polarni n
2 yi Ai n
- aksijalni moment inercije za x osu
2 xi Ai n
- aksijalni moment inercije za y osu
I x lim I y lim
i 1 n
i 1 n
xi yi Ai - centrifugalni moment inercije za ose x i y n
I xy lim
i 1 n
2 r i Ai n
I O lim
- polarni moment inercije za tačku O
i 1 n
2 2 xi yi Ai - polarni m.in. izražen preko aksijalnih m.in. n
I O lim
i 1
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije y
A
Ai
x
y
O
x
Momenti površine drugog reda: integralna forma
2
- aksijalni moment inercije za x osu
2
- aksijalni moment inercije za y osu
I x y dA A
I y x dA A
I xy xydA
- centrifugalni moment inercije za ose x i y
A
2
I O r dA
- polarni moment inercije za tačku O
A
I O
x
2
y 2 dA
- polarni m.in. izražen preko aksijalnih m.in.
A predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Momenti inercije pri rotaciji koordinatnog sistema y u x cos y sin
v
v y cos x sin
u
A
x
y cos x sin
2
2
I u v dA
A
x cos y sin
2
2
I v u dA A
I u
dA
dA
A
y 2 cos2 2 xy sin cos x 2 sin 2 2 dA cos2 y 2dA sin 2 xydA sin 2 x 2dA A
A
2
2
I u I x cos I xy sin 2 I y sin I x
I u
1 cos 2 2
I xy sin 2 I y
A
A
1 cos 2 2
I x I y I x I y cos 2 I xy sin 2 1 2 2 predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Momenti inercije pri rotaciji koordinatnog sistema A
y v
u x cos y sin
dA
v y cos x sin
u
2
I v u dA A
I v
A
A
A
A
I x I y I x I y cos 2 I xy sin 2 2 2 2
se može dobiti i iz izraza za moment inercije za
dA
x 2 cos2 2 xy sin cos y 2 sin 2 2 dA cos2 x 2dA sin 2 xydA sin 2 y 2dA A
I v
2
x
I v
x cos y sin
I v I u
I x I y
2
2
u
pravac i to:
I x I y I x I y I x I y cos2 I xy sin 2 cos 2 I xy sin 2 2 2 2 predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Momenti inercije pri rotaciji koordinatnog sistema A
y v
u x cos y sin
dA
v y cos x sin
u
x cos y sin y cos x sin dA
A
A
x
xy cos
A
A
I uv uv dA
I uv uv dA
2
x 2 sin cos y 2 sin cos xy sin 2 dA
1 1 2 2 I uv uv dA cos 2 xydA sin 2 x dA sin 2 y dA 2 2
A
A
A
A
I uv
I x I y sin 2 I xy cos 2 2
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Ekstremni momenti inercije pri rotaciji koordinatnog sistema y
A
dA
v
u x cos y sin v y cos x sin
u
x
2 1
Ose za koje se dobijaju ekstremni momenti inercije (maksimalni i minimalni) nazivaju se glavne ose inercije (kratka pitanja za teoretski dio ispita).
Obilježavaju se, obično, sa (1) za maksimum i (2) za minimum i ne daje im se orijentacija.
Orijentacija nije bitna jer centrifugalni momenti inercije su jednaki nuli za glavne ose inercije.
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Ekstremni momenti inercije pri rotaciji koordinatnog sistema y
A
dA
v
u x cos y sin v y cos x sin
u
2
I u v dA
x
A
y cos x sin
2
dA
A
2 1
Osa (1) je pozicionirana tako da je elementi površine su što više udaljeni od ose, s obzirom da okomita udaljenost do ose ide sa kvadratom u izrazu za računanje momenta inercije.
Osa (2) je pozicionirana tako da je elementi površine su što bli ži osi, dakle, ova osa treba da prolazi kroz površinu (kao na slici).
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Ekstremni momenti inercije pri rotaciji koordinatnog sistema y
A
dA
v
u x cos y sin v y cos x sin
u
2
I u v dA
x
A
y cos x sin
2
dA
A
2 1
Maksimum/minimum se može odrediti iz izraza u zavisnosti od ugla: I u / v
I x I y I x I y cos 2 I xy sin 2 2 2
dI u / v
I x I y sin 2 2 I xy cos 2 0
d
tan 2
2 I xy I x I y
3
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Ekstremni momenti inercije pri rotaciji koordinatnog sistema y
A
dA
v
u x cos y sin v y cos x sin
I x I y I x I y cos 2 I xy sin 2 2 2 2 I xy tan 2 I x I y
I u / v
u x
2
1 sin 2
cos 2
tan 2 2
2 I xy I x I y
1 tan 2
1 2
2 I xy I x I y
2
1
1 tan 2
(4) i (5) u (1) i (2)
2 I xy
I x I y
2
I x I y
I x I y
2
I 1 / 2
4 I xy
2
4 I xy
2
4
5
I x I y I x I y 2 2
I x I y
I x I y 2 4 I xy 2
I xy
2 I xy
I x I y 2 4 I xy 2
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Ekstremni momenti inercije pri rotaciji koordinatnog sistema y
A
dA
v
u x cos y sin v y cos x sin
I x I y I x I y cos 2 I xy sin 2 2 2 2 I xy tan 2 I x I y
I u / v
u x
2
1
I 1 / 2
I x I y 1 2 2
I 12 0
1
I x I y
2
4 I xy
2
I
x
2 I y 2 4 I xy
Dakle, centrifugalni momenti inercije su jednaki nuli za glavne ose inercije I 1 / 2
I x I y 1 2 2
tan 2
2 I xy I x I y
I x I y 2 4 I xy 2 I 12 0
.... (6) predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Izraz za ugao glavne ose ne daje informaciju u kojem kvadrantu se nalazi dvostruki ugao. Potrebno je dodatno izračunati i sinus dvostrukog ugla prema (4)
Na primjer, ako je sin2<0, onda dvostruki ugao može biti u trećem ili četvrtom kvadrantu.
Ukoliko profil ima barem jednu osu simetrije, onda centrifugalni moment za par osa gdje se pojavljuje osa simetrije je jednak nuli. To znači, da osa simetrije je ujedno i jedna od glavnih osa.
y
A d
A d
I xy hd A h(d )A 0 h
x predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije
Invarijante momenata inercije
Invarijante su veličine izražene preko momenata inercije koje ostaju nepromijenjene pri rotaciji koordinatnog sistema.
A
y v
dA
u
x
Postoje dvije invarijante momenata inercije površine: Prva i Druga
Prva invarijanta je
zbir aksijalnih momenata inercije
I inv1 I x I y I u I v I 1 I 2 konst. predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije
Invarijante momenata inercije
Druga invarijanta je I u I inv 2 det I uv
determinanta matrice momenata inercije:
I uv
2 2 2 I u I v I uv I x I y I xy I 1 I 2 I 12 I 1 I 2 konst. I v 0
za nesimetrične profile dati su glavni momenti inercije, ali nisu dati centrifugalni momenti inercije (za simetrične, centrifugalni momenti su nula).
U tablicama:
Na primjer, za L40X50X3 standardni profil dato je: 4
4
4
I 1 8,46 cm , I 2 1,89 cm , I x 6,58 cm , I y 3,76 cm
4
Koristeći drugu invarijantu 2 2 I x I y I xy I 1 I 2 I 12 I 1 I 2 I xy I x I y I 1I 2 6,58 3,76 8,46 1,89 cm 4 2,96 cm 4
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije y
I xy 0, I xy 2,96 cm 4
xy 0
x xy 0
xy 0
Promjenom orijentacije jedne od osa centrifugalni moment mijenja znak
I xy 0, I xy 2,96 cm
xy 0
4
x xy 0
xy 0
y
Segmenti sa negativnim umnoškom koordinata su dominantni pa je centrifugalni moment uzet sa znakom minus.
xy 0 I xy 0, I xy 2,96 cm
4
x xy 0
xy 0
y
Promjenom orijentacije obje ose centrifugalni moment ne mijenja znak predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Pomjeranjem elementarnih površi paralelno sa osom, ne mijenja se aksijalni moment inercije za tu osu.
y
y
I xa
x
a)
I xa I xb
y
b)
y
I xc
c)
x
I xb
I xd
x
x
d ) predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije
I yf y
I ye y I ye I yf
x
x
f )
e)
Sabiranje momenata inercije pojedinih elementarnih površina
Momenti površine drugog reda (aksijalni, centrifugalni, polarni), kao i statički momenti površine (rađeno u Statici) se mogu sabirati i oduzimati.
y
y
x
y
x
2
y
x
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Ukoliko ose inercije prolaze kroz centar površine (težište), onda se te ose nazivaju centralne ose, a glavne ose sa ishodištem u težištu se nazivaju glavne centralne ose.
Momenti inercije za translatorno pomjeren koordinatni sistem – Štajnerova teorema
y
2
I y x dA
A
A
a
2
2
A
A
2
dA a A 2a dA dA
A
C
b
a x
A
A
2 2 2 I y a A 2a dA dA a A I
C A0
x
Slično,
I
2
I x I b A
I xy I abA
I xy I xC yC A
sopstveni moment inercije položajni moment inercije predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije
Značaj položajnog momenta inercije, ojačanje lamelama y 2
x1
x1
h1
l1
b1
1
C
l1
I x1 I x1 l12 A1 b1h13 l12b1h1 2
l1 A1 I x1
npr. l1 10 cm, h1 1cm, b1 12cm, I x1 2
2
4
l1 A1 l1 b1h1 1200 cm I x1 1cm
3
b1h1
12
1 cm4
4
Treba primijetiti da ovaj profil ima jednu osu simetrije, koliki je centrifugalni moment inercije, koje su glavne ose inercije?
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije
Otporni moment inercije y
W x
y x max
x max
I x y max
I y
, W y
x max
bh 3
y
C
x y max
C
y max
2 bh 12 dužina 3 W x h y max 6 2
I x
x
h
,
C
x
y max h / 2
b
Koriste se kod računanja maksimalnih normalnih naprezanja od momenata savijanja M M
f max
x
W x
x
I x
y max
Otporni momenti se ne mogu sabirati, dok aksijalni i polarni momenti se mogu sabirati i oduzimati .
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije Primjer: Za dati profil poprečnog presjeka nosača naći glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije i otporni aksijalni moment za x osu.
Iz tablica se očitaju podaci za L profil i to za orijentaciju profila kako je dato u zadatku
3 cm
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
Momenti i nercije
predavanje: momenti inercije, mart 2016, Elvedin Kljuno
