PRORAČ UN SAVITLJIVIH TEMELJNIH NOSA Č A Pojam elasti čnog temeljnog nosa č a:
Eb - približna procjena kα = 12ES za kα
d ⋅ ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣L ⎦
3
> 0.4 ⇒ KRUTA TEMELJNA KONSTRUKCIJA (linearna raspodjela reaktivnog pritiska tla)
za kα
< 0.4 ⇒ SAVITLJIVA TEMELJNA KONSTRUKCIJA (raspodjela reaktivnog pritiska nije jednozna č no odre đ ena)
Temelj je "popustljivi ležaj" kod kojeg slijeganje ovisi o:
optere ć enju
dimenzijama temelja
raspodjeli naprezanja na dodirnoj površini temelj-tlo
deformacijskim svojstvima tla
PRETPOSTAVAKA: PRETPOSTAVAKA: slijeganje tla = progib grede
⇒ rješenje problema
Rješenje u analiti č kom (zatvorenom) obliku u ve ćini složenijih problema nije mogu ć e na ći, te se primjenjuje diskretizacija i problem se rješava: -
MKE MK E
-
MKR MK R
U rješavanju problema tlo se modelira: -
Winkler-ova teorija
-
elasti čan ili elasto-plasti čan poluprostor
OSNOVE PRORA ČUNA SAVITLJIVOG NOSAČ A Diferencijalna jednadžba ravnog savitljivog nosa č a optere ć enog u jednoj ravnini: EI ∗
d4w dx
4
= p( x )
E-
modul elasti čnosti materijala nosa ča,
I -
moment inercije presjeka nosa č a,
w - progib nosa č a, p
- vanjsko optere ć enje po jedinici duljine nosa č a u smjeru pozitivnog progiba.
p (x) x w (x)
A
B
L
x=0
⇒
w(0) = 0
x=L
⇒
Q(0) = A
Kod
w(L) = 0
Q(L) = B, (A i B su ležajne reakcije)
savitljivih temeljnih nosa č a vanjsko optere ć enje je nepoznato.
p(x) g
d
q(x) w(x) x L
Temeljni nosa č sa optere ć enjima i odgovorom podloge
p( x ) = p( x ) + g − q( x ) gdje su :
w(x) q(x) p(x) g
-
uspravni pomak (slijeganje) nosač a nepoznati reaktivni pritisak tla po jedinici duljine poznato "korisno" optere ć enje nosa č a po jedinici duljine vlastita težina nosa č a po jedinici duljine, EI ∗
x=0
d4w dx
4
+ q( x ) = p( x ) + g
⇒ M(0)=0
x=L ⇒ M(L)=0
Q(0)=0
Q(L)=0
Mogu ć e rješenje samo ako je uspostavljena veza izme đ u slijeganja i reaktivnog pritiska tla oblika q=f(w)
ili
w=f 1 (q)
Metoda obrnute grede Ova se metoda može koristiti za prora čun nosa č a manjih duljina i jednostavnih, to čkastih (stupovi), nepomi č nih optere ć enja. Reaktivni pritisak nepoznata veli čina, to je za ovaj prora č un pretpostavljeno kao kontinuirano optere ć enje koje na rubovima ima vrijednost: Pi ⎛ 6e L ⎞ ∑ q1,2 = ⎜1 ± ⎟ B ∗ L ⎝
P1
L
⎠
STATI^KA SHEMA
OKRENUTA GREDA sile u stupovima P3 P2
L L/2 q
q dodirni pritisak (reakcija podloge) L
q2
1
R1 = P1 R2 = P 2 R3 = P 3
R1
R2
Pi eL
R3
Rješenje za Winklerov prostor Winklerov prostor samo približno opisuje deformacijske osobine
temeljnog tla.
Stišljivo tlo zamjenjujemo sustavom elasti č nih pera, tako da je pomak to č ke na površini Winklerovog prostora linearno proporcionalan reaktivnom pritisku : w( x ) =
q(x) K
2
K = modul reakcije tla (kN/m /m’). EI
d4w dx
4
+ K ∗ w( x ) = p( x ) + g
Uz korištenje rubnih uvjeta mogu ć e riješiti u zatvorenom obliku.
c)
a) Q
w(x)
0 w
p
p
1
1
w=w(p) w=
b)
w
Q
p K
w1= 2,5 cm K=
w(x)
p
1
w1
Winklerov model (a), stvarni nosa č (b) i odre đ enje Winklerovog koeficijenta iz rezultata ispitivanja probnom plo č om (c) sa kriterijem odre đ ivanja “K “po Vesi ć u
Nedostaci ovog modela: - optere ć enje skra ć uje samo ona pera na kojima greda izravno leži - na tlo se može prenijeti kako pritisak tako i zatezanje - odre đ ivanje modula reakcije tla (K) koji ovisi o intenzitetu optere ć enja, obliku i velič ini optere ć ene plohe, krutosti grede, svojstvima materijala grede, svojstvima temeljnog tla ispod grede.
Koeficijent reakcije (odgovora) podloge
Koeficijent reakcije podloge K je odnos izme đ u dodirnog naprezanja q kojim tlo odgovara na vanjsko optere ć enje i slijeganja w , koje to isto naprezanje izazove u tlu. q
K =
[kN/m3]
w
Vrijednost koeficijenta K ovisi o elasti č nim svojstvima podloge i o veli čini optereć ene površine. Pri tom se misli na probnu plo č u kojom se prakti čno ovaj podatak nastoji izmjeriti na terenu. Izraz koji je predložio Vesi ć (1961. god.) :
0.65 E s B 4 K = B EI
∗
Es 1 − ν 2
gdje je: Es
⎯
modul elasti čnosti tla;
E
⎯
modul elasti čnosti grede;
I
⎯
moment inercije presjeka grede;
ν
⎯
Poissonov koeficijent tla;
B
⎯
širina grede (temelja).
Winklerov model se može poboljšati korištenjem "iterativnog postupka": pretpostavi se neka raspodjela reaktivnog pritiska metodama" izra č una slijeganje
⇒
⇒
na osnovu nje "to č nim
pomo ću ovog slijeganja odredi modul reakcije
tla (K) koji ć e dati upravo tu veli činu slijeganja
⇒ sa dobivenim modulom reakcije
tla izvrši se prora č un grede koji ć e dati neku novu r aspodjelu reaktivnog pritiska.
RJEŠENJE ZA WINKLEROV PROSTOR METODOM KONA ČNIH ELEMENATA Prikazati ć e
se
pojednostavljeni
prora č una linijskog elementa.
postupak
Podijelimo temeljnu gredu na "n" kona čnih elemenata, te vanjsko optere ć enje na gredu kao i utjecaj unutarnjih sila, prenesimo na č vorove izme đ u ovih elemenata. P - vanjsko optereć enje u op ć em smislu (sila i moment) F - unutrašnje (rezne) sile u opć em smislu (sila i moment) X - vanjski pomak č vora e - unutrašnja deformacija u čvoru u općem smislu (vertikalni pomak i kut zaokreta) a - duljina kona čnog elementa
P8
P2
P
GREDA SA ZADANIM OPTERE]ENJEM
P2 P8
P10
ZAMJENJUJU]I MODEL
P11
KONA^NIH ELEMENATA SA PERIMA KOJA ZAMJENJUJU TLO
L P -X
P -X 7
8
7
VANJSKE SILE (P) I POMACI ( X)
P -X 1
1
9
2
1
P -X
9
10
P -X
10
P -X 11
P -X 4
3 3
2
4
P -X 12
11
P -X 5
4
3
2
F -e
UNUTARNJE SILE (F) I POMACI (e)
P -X
P -X
1
1
8
12
P -X
5
6
5
6
F -e F -e F -e F -e F -e F -e F8-e8 F9-e9 F10-e10 2 a
F -e
2 3
F -e
12 12
11 11
3 4 b
4 5
5 6 c
F -e
6 7
7 d
F -e
13 13
14 14
f
F -e
15 15
F -e
16 16
a=b=c=d=const.=L/5 P7 F1 RAVNOTE@A SILA U ^VOROVIMA
1
P8
P1 F1
a
F2
P2 F2 2
F 1+ F 2 a F 1+ F 2 a
F 1 + F2 a
F3 F3
b
F4 3
F 3 + F4 b
Primjer grede pripremljene za primjenu MKE
6
Možemo uspostaviti matri č nu vezu oblika:
{ P } =[A]{ F} {P } [A] {F }
- vektor vanjskog optereć enja u čvorovima - matrica konstanti proporcionalnosti - vektor unutrašnjih sila u čvorovima
Takođ er možemo napisati i vezu oblika:
{ e }= [ B] {x } {e } {x } [B] -
vektor "unutrašnje" deformacije u čvoru - vektor "vanjskog" pomaka č vora matrica konstanti proporcionalnosti
Može se dokazati da vrijedi [B ]=[ AT] Ako uvedemo u op ćem matri č nom obliku i vezu izme đ u unutrašnjih sila i unutrašnje deformacije u čvoru:
{ F } =[S ]{ e} gdje je [ S ] tako đ er neka matrica proporcionalnosti, izme đ u ovih veli čina možemo, koristeć i prethodne izraze, uspostaviti veze oblika
{ F } =[S ][ AT ]{ x} { P } =[A][ S ][ AT ]{ x } Ovako uspostavljeni odnosi nam omogu ć uju, da ukoliko poznajemo matrice veze izme đ u pojedinih veli čina ( [ A ] ; [ B ] ; [ S ] ) možemo odrediti vektor vanjskih pomaka u č vorovima: {x} =( [ A][ S ][ AT] ) -1 {P} a time je zadani problem riješen, jer vektor P je unaprijed zadano, dakle poznato, vanjsko optere ć enje. Odredimo matrice veze izme đ u pojedinih veli č ina.
Matrica A Ako smo temeljnu gredu podijelili na "n" elemenata, tada smo zna či uspostavili "n+1" čvorova u kojima vršimo zahtijevanu analizu. Na gredu u č vorovima djeluje N=2(n+1) vanjskih sila (n+1 vertikalnih koncentriranih sila i n+1 momenata; slika 3.20), te M=3n+1 unutrašnjih sila (2n unutrašnjih momenata i n+1 unutrašnjih vertikalnih sila; slika 3.20). Za promatrani primjer n=5 ⇒ N=12; M=16. Stati čki uvjeti ravnoteže trebaju biti zadovoljeni u svakom presjeku grede, pa tako i u čvorovima promatranog sustava. Ako postavimo uvjete ravnoteže ΣV=0 i ΣM=0 u svakom čvoru dobiti ćemo sustav jednadžbi iz kojih možemo odrediti traženu matricu [A]. Č VOR 1:
Σ M=0
⇒
Σ V=0
⇒ ⇒
Č VOR 2:
⇒
P 1 -F 1 =0
P 1 =F 1
F +F P7 − 1 2 + F11 = 0 a F F P7 = 1 + 2 − F11 a a
Σ M=0
⇒
P 2 =F 2 + F 3
Σ V=0
⇒
P8 = −
F1 F2 F3 F4 − + + − F12 a a a a
Matrica B Matricu [ B ] odredit ćemo iz uvjeta da vanjski pomaci č vorova moraju biti jednaki unutrašnjoj deformaciji, pa dobijamo (promatramo samo vertikalni pomak i rotaciju): rotacija č vora
⇒ X7 − X8 a X − X8 e2 = X 2 + 7 a e1 = X 1 +
vertikalni pomak (odgovara deformaciji pera)
i td.
⇒
e 11 = - X 7 e1 2= - X8 i td.
Matrica S Određ uju ći reakcije obostrano upete grede (promatra se kona č ni element), nastale zbog jedini č ne rotacije grede u č voru, možemo uspostaviti vezu izme đ u unutrašnjih deformacija (rotacije) i unutrašnjih sila (moment): F1 L F2 L − = e1 3 EI 6 EI
−
F
F1 L F2 L + = e2 6 EI 3 EI
e2
1
e1
F
2
F1 L 3EI
L
F2 L 6EI
F1 L 6EI
L
F2 L 3EI
Interpolacijske funkcije Riješimo li prethodni sustav od dvije jednadžbe dobivamo po dvije veze izme đ u sila i deformacija, koje možemo napisati za svaki kona č ni element: element br. 1.: 4 EI a 2 EI F2 = a F1 =
2 EI e2 a 4 EI e1 + e2 a
e1 +
element br. 2.: 4 EI a 2 EI F4 = a F3 =
2 EI e4 a 4 EI e3 + e4 a
e3 +
i td. za sve elemente
Po Winklerovoj teoriji za uspravne sile jednostavno pišemo: F=k e gdje je
⇒
k=a B K,
DIFERENIČNI POSTUPAK (METODA KONA Č NIH RAZLIKA) Ako temeljnu gredu (podru č je definicije funkcije) diskretiziramo, te se za svaku diskretnu to č ku diferencijalna jednadžba temeljnog nosa č a zamijeni difereni č nom, dobivamo sustav linearnih algebarskih jednadžbi rješavanjem kojeg dobivamo rješenje promatranog problem. Pi
d
1
2
i-2
i-1
i
i+1
i+2
n-1
n
b a
a
w
i
qi
Greda podijeljena na elemente d4w EI∗ 4 = p( x) dx
Za svaku diskretnu to čku možemo napisati difereni čnu jednadžbu oblika:
EI a
4
( w i − 2 − 4 w i −1 + 6w i − 4 w i +1 + w i + 2 ) + q i = pi + g
a - dužina elemenata na koje smo podijelili nosa č , pi
=
Pi a
osim za krajnje č vorove (prvi i posljednji) gdje je p i
=
Pi
0.5 ∗ a
.
Uo č imo da ako želimo napisati difereni čnu jednadžbu za čvor moramo uvesti fiktivne čvorove koje ć emo ozna č iti sa (0) i (-1).
1 i 2, onda
Da bi rješili problem sa dvije nove nepoznanice (dva pomaka č vora), potrebno je u sustav uvesti dvije dodatne jednadžbe. Ove fiktivne pomake odrediti ć emo iz rubnih uvjeta: M 1 =0
i
Q 1 =0
-1
1
0
w-1
w0
w1
fiktivna slijeganja kojima se zadovoljavaju rubni uvjeti
2
3
4
5
6
w2
w3
w4
w5
w6
Neutralna os nakon zavr{enog slijeganja
Greda sa fiktivnim čvorovima
Moment savijanja u proizvoljnom presjeku odre đ en je izrazom:
δ2 w M ( x ) = − EI δx 2
ili u difereni čnom obliku :
M1 = − EI ( w i −1 − 2 w i + w i +1 ) Za to čku 1 uz rubni uvjet slijedi:
M1 =
EI 2
1 a2
( − w 0 + 2 w1 − w 2 ) = 0
a (−w0 + 2wi − w2 ) = 0
⇒ w 0 = 2 w1 − w 2 Popre č na sila u proizvoljnom presjeku odre đ ena je izrazom :
δ 3w Q( x ) = − EI δx 3 ili u difereni čnom obliku Qi
= − EI( − wi − 2 + 2w i −1 − 2 wi +1 + w i + 2 )
Za to čku 1 uz rubni uvjet: Qi
=
EI 3
( − w −1 − 2 w 0 + 2 w 2 − w 3 ) = 0
2a ( − w −1 − 2 w 0 + 2 w 2 − w 3 ) = 0
⇒ w −1 = 2 w 0 − 2 w 2 + w 3 Iz prethodnih izraza w −1
= 4w1 − 4w 2 + w 3
1 2a 3
Koristeći izraze za w -1 i w 0 , difereni č na jednadžba za čvor 1 ima oblik :
EI a
4
∗ (w1 − 2w 2 − w 3 ) +
1 2
q1
=
1 a
P1
+
1 2
g1
analogno za čvor 2:
EI a
4
∗ ( −2w1 + 5w 2 − 4w 3 + w 4 ) + q 2 =
1 a
P2
+ g2
Ako isti postupak primijenimo za čvorove (n-1) i (n) uz korištenje rubnih uvjeta na tom kraju dobivamo sustav jednadžbi koji možemo napisati u matri č nom obliku:
EI a
4
[D] {w} + [λ] {q} = {f }
gdje je:
{ w} ⎯ vektor progiba u čvorovima [λ] ⎯ dijagonalna matrica č iji su č lanovi izvan dijagonale jednaki nuli, a na dijagonali λ 1 = λ n = 0.5, te λ i =1, { q} ⎯ vektor reaktivnog pritiska tla { f } ⎯ vektor vanjskog djelovanja P f i = i + ηi g i a
η1 = ηn = 0.5; ηi = 1 (i=2,......, n-1) te matrica [ D ] :
⎡ 1 −2 ⎢ −2 5 ⎢ ⎢ 1 −4 ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢. . [ D] = ⎢ ⎢ ⎢. . ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
1
−4 1 6 −4 1 −4 6 −4 1 1 −4 6 −4 1 .
.
. 1
.
.
.
.
.
.
.
.
−4 6 −4 1 .
.
.
1 −4 1
.
.
6
−4
−4 6 1 −4 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . . ⎥ .⎥ ⎥ . . ⎥ ⎥ 1 ⎥ −4 1 ⎥ ⎥ 5 −2 ⎥ −2 1 ⎥⎦
USPOSTAVLJANJE PRITISKA TLA
VEZE
IZME Đ U
SLIJEGANJA
I
REAKTIVNOG
Prethodno je napomenuto da sustav nije mogu ć e riješiti bez uvo đ enja (n) jednadžbi funkcije veze izme đ u slijeganja i reaktivnog pritiska tla. U ovom slu čaju ć emo ih odrediti iz uvjeta jednakih pomaka (progib grede jednak je slijeganju tla) na dodirnoj površini, i to na slijede ći na čin : - slijeganje svake to čke na dodiru grede i tla je funkcija kako ukupnog optere ć enja tako i njegove raspodjele duž grede. - reaktivni pritisci q i u okolini svake diskretne to čke ( čvora) su konstantni (jednoliko raspodijeljeno kontinuirano optere ć enje).
1
q
1
2
3
4
i-1
i
i+1
n-2
n-1
n
q2
q
q4
q i-1
qi
qi+1
q
q
qn
a
a/2
3
a
a
a
1
a
2
a
a
3
a
a
a
a
a
4
a
i-1
n-2
a
a
i
a
a
i+1
n-1
a
a
a
a
n-2
d
a/2
n-1
n
b
A q A = 1,00 kN/m'
α1
1
α2
α3
2
1
3
α
α i-1
α4
4
α i+1
i
i-1
i
αn-2
i+1
αn
α n-1
n-2
n-1
n
B B
q = 1,00 kN/m' 2
β1
β2
β3
β4
βi-1
βi
β i+1
βn-2
βn-1
βn
b
Slijeganje tla u proizvoljnoj to č ki (i) sada možemo izraziti na na čin: n
wi =
∑ sij q j
j =1
s ij - slijeganje to č ke (i) uslijed jedini č nog, jednoliko raspodijeljenog optere ć enja u okolini to č ke (j) (tzv. utjecajno slijeganje), q - je stvarno specifično optere ćenje na površini oko to č ke (j).
Ukoliko je tlo homogeno i horizontalno uslojeno u svim to čkama ispod nosača, utjecajno slijeganje (s ij ) nije potrebno odrediti za svaki (j), tj. uslijed jedini č nog optere ć enja oko svake to čke, nego samo uslijed jedini čnog optere ć enja oko to č ke 1 i 2 budu ć i da ovim to č kama pripadaju razli č ite površine kao njihov okoliš. Ako se okolina to čke 1 (to je površina veli čine A=0.5 ∗ a ∗ b) optereti sa 2 jedini č nim jednoliko raspodijeljenim optere ć enjem (q= 1.0 kN/m ), mogu se izra č unati slijeganja svake to č ke (i). Ova slijeganja ozna č imo sa α1 , α2 ,.., αi ,.., α n . Ako se okolina to čke 2 (to je površina veli čine B = a*b) optereti sa jedini č nim jednoliko raspodjeljenim optere ć enjem mogu se ponovo izra č unati slijeganja svake to čke (i). Ova slijeganja ozna čimo sa β1 , β 2 ,.. , β i ,.., β n . Pomo ću ovih utjecajnih slijeganja mogu se izraziti slijeganja tla u svakoj od (n) to č aka na dodiru : w 1 = α1 q 1 + β3 q 2 + β 4 q3 + β 5 q 4 ...
βi q i- 1+βi+ 1q i +βi+ 2q i+ 1 ...+ βn-1 q n-2 + βnq n- 1 +αnqn
w 2 = α2 q 1 + β2 q 2 + β 3 q3 + β 4 q 3 ...
βi- 1q i- 1+ βiq i +βi+ 1q i+ 1...+ βn-2 q n- 2 +βn-1 q n- 1 +αn-1 q n
w 3 = α3 q 1 + β3 q 2 + β 2 q3 + β 3 q 4 ...
βi- 2q i- 1+ βi- 1 qi +βiq i+ 1...+ βn- 3q n-2 + βn- 2 q n-1 + αn-2q n
w i = αi q 1 + βi q 2 + β i- 1 q 3 + β i- 2 q 4 ... wn =
β3q i- 1+β2q i +β 3q i+ 1...+ βn-i q n-2 + βn-i+1 q n-1 + αn-i+1 q n
αnq 1+βn q 2 +β n-1 q3 ... βn-i+3q i- 1+ βn-i+2 q i + βn-i+1q i+1
...+
ili op ć enito : n-1
w i = α i q1 + ∑ β i − j + 2q j + α n − i +1q n j=2
u matri čnom obliku :
{ w} =[ U]{ q } [U]
matrica utjecajnih slijeganja.
β4q n- 2 +β3q n-1 +αn-1 q n
Prora č u n utjecajnih slijeganja ( α i i β i . )
Utjecajna slijeganja odre đ ujemo na na čin da okolinu svakog čvora (i) (i=1...n) opteretimo jedini č nim jednoliko raspodijeljenim optere ć enjem te prora č unamo vrijednosti vertikalnog naprezanja u svim okolnim č vorovima, uslijed tog optereć enja. Prorač un dodatnih vertikalnih naprezanja vršimo jednom od poznatih metoda, (Boussinesq, Westergaard, Newmark i sl.).
0.13L
0.37L
0.29L
0.21L
0.21B GRASSHOF (KANY)
WAN HAMME (JELINEK)
0.29B B
0.37B 0.13B L
Položaj karakteristi čne to č ke Kad su poznata dodatna vertikalna naprezanja, te geostati č ka naprezanja u karakteristič nim to č kama mogu se, poznavaju ć i deformacijska svojstva pojedinih slojeva tla ispod grede, odrediti vrijednosti utjecajnih slijeganja α i i β i . Deformacijska svojstva pojedinih slojeva tla mogu se odrediti laboratorijskim pokusima (edometarski pokus itd.) ili terenskim pokusima "in situ" (standardni penetracijski pokus itd.).
Prora č u n reaktivnih pritisaka u č v orovima
Kada su elementi matrice utjecajnih slijeganja [ U ] određ eni, možemo jednadžbu slijeganja tla:
{ w}=[U] { q} uvrstiti u difereni č nu jednadžbu grede
EI a
4
[D]{w} + [λ]{q} = {f }
te dobivamo
⎡ EI ⎤ [ ][ ] [ ] D U + λ ⎢ 4 ⎥{q}= {f } ⎣a ⎦ a to je sustav jednadžbi u kojem se kao nepoznanica javljaju pritisci tla na gredu.
samo reaktivni
