El póster de la Probabilidad Departamento de Matemáticas. IES Río Verde (Marbella)
Experimentos aleatorios y sucesos Experimento aleatorio: aquel cuyo resultado no se puede predecir Ejemplo: lanzamiento de un dado
Espacio muestral (E (E): conjunto ): conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatrorio Suceso: A es un suceso de un experimento aleatorio si es subconjunto de su espacio muestral A muestral A ⊂ E Un suceso se verifica si, al realizar el experimento, el resultado es un elemento de dicho suceso = {1 2 3 4 5 6} Ejemplo: E = A = { 1 3 6} es un suceso del experimento experimento “lanzar “lanzar un dado” porque porque A ⊂ E Si al lanzar el dado sale un 3, entonces se verifica A, si sale 2 entonces no se verifica A
Suceso elemental: es un suceso formado por un único elemento del espacio muestral Suceso seguro: es el suceso que siempre se verifica, es decir, el espacio muestral Suceso imposible: es el conjunto vacio ∅ Suceso contrario: A o A es el suceso contrario de A si tiene todos los elementos de E que no están en A = {1 2 3 4 5 6} Ejemplo: E = A = { 1 3 6} es un suceso del experimento experimento “lanzar “lanzar un dado” porque porque A ⊂ E B = { 1} y C = { 5} son sucesos elementales A = {2 4 5}
Definición de probabilidad Se llama probabilidad llama probabilidad a la función que asocia a cada suceso A de un espacio muestral E un número real P ( A) que llamamos probabilidad de A y que cumple: 1) P 1) P ( A) 0 2) P 2) P (E ) = 1 3) Si 3) Si A ∩ B = ∅ entonces P entonces P ( A ∪ B) = P ( A) + P (B)
Propiedades de la probabilidad Consecuencias de la definición 1) P 1) P ( A) = 1 − P ( A) 2) P 2) P (∅) = 0 3) Si 3) Si A ∩ A = ∅ para todos los valores de i y j entonces P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A) = P ( A1) + P ( A2) + ... + P ( A)
Regla de Laplace Si todos los elementos del espacio muestral son equiprobables entonces: P ( A) =
número de elementos de A número de elementos de E
Ejemplo: Se lanza un dado, dado, el espacio espacio muestr muestral al es: E = {1 2 3 4 5 6}. Si suponemos suponemos que cada uno de los resultados resultados es igualmente igualmente probable probable (el dado no está trucado) entonces: A = { 1 3 5} es el suceso “salir número impar” y la probabilidad del suceso A será P ( A) =
Operaciones con sucesos Unión de sucesos Dados A y B sucesos de un mismo espacio muestral E:
3 = 0 5 6
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles = ∅ entonces: Sean A y B sucesos de un mismo espacio muestral tales que A ∩ B
A ∪ B = { Elementos de E que pertenecen a A o bien que pertenecen a B } P ( A ∪ B) = P ( A) + P (B) − P ( A ∩ B)
Probabilidad condicionada Se llama probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B y se llama P ( A/B ) al cociente: P ( A/B) =
Interseccón de sucesos Dados A y B sucesos de un mismo espacio muestral E: A ∩ B = { Elementos de E que pertenecen a A y también pertenecen a B }
P ( A ∩ B) P (B)
=0 Si P Si P (B)
Sucesos dependientes e independientes Dos sucesos A y B son sucesos independientes si independientes si P ( A ∩ B) = P ( A) · P (B) = P ( A) · P (B) Dos sucesos A y B son sucesos dependientes si dependientes si P ( A ∩ B)
Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes Diferencia de sucesos
Sean A Sean A 1 A2 A3 un sistema completo completo de sucesos sucesos y sea B otro suceso cualquiera cualquiera para el que se conocen las probabilidades P (B/A 1), P (B/A2) y P (B/A 3), entonces:
Dados A y B sucesos de un mismo espacio muestral E: A − B = { Elementos de E que pertenecen a A pero que no pertenecen a B } = A ∩ B
Sucesos compatibles e incompatibles = ∅ A y B son compatibles: si tienen elementos elementos comunes, es decir, si: A ∩ B A y B son incompatibles: si no tienen elementos elementos comunes, es decir, decir, si: A ∩ B = ∅
Sistema completo de sucesos A1 A2 ... A son un sistema completo de sucesos si: 1) Su 1) Su unión es el total A 1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A = E = 1 ... 2) Son 2) Son incompatibles dos a dos A dos A ∩ A = ∅ ∀ =
Propiedades 1) Leyes de Morgan: A ∪ B = A ∩ B y A ∩ B = A ∪ B 2) Si 2) Si A ⊂ B entonces se cumple: A ∪ B = B y A ∩ B = A 3) B 3) B = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) 4) B 4) B ∩ A = B − A ∩ B
P (B) = P ( A1) · P (B/A1) + P ( A2) · P (B/A 2) + P ( A3) · P (B/A3) P ( A1/B) =
P ( A1) · P (B/A 1) P ( A1) · P (B/A 1) + P ( A2) · P (B/A 2) + P ( A3) · P (B/A3)
