Luis Emilio Garcia Laj 2012 13048 Transferen Transferencia cia de masa en en etapas de equilibrio equilibrio (I!4" In#$ %illiams &l'are Ejercicio 4.1 de Operaciones de transferencia de masa de Roberto E. Treybal
)e *a demostrado que la eliminaci+n del aceite de so,a que impre#na impre#na una arcilla porosa por contacto con un disol'ente del aceite- es ocasionada por difusi+n interna interna del aceite a tra'.s del s+lido s+li do /ouc*er/ouc*er- rier , sburnsburn- Trans Trans$$ I*E- 38-56 (142"7$ (142"7$ La placa de arcilla- 115 in de espesor- 1$80 in de lon#itud , 1$08 in de #rosor (1$988 mm : 49$6 mm : 26$4 mm"- con los lados estrec*os selladossellados- se impre#n+ impre#n+ con aceite de so,a *asta una concentraci+n uniforme de 0$22 ;# de aceite;# de arcilla seca$ )e sumer#i+ en una corriente en mo'imiento de tetracloroetileno puro a 120<= (4>"- en donde el contenido de aceite en la placa se redujo a 0$048 ;# aceite;# arcilla seca en 1 *$ La resistencia a la difu difusi si+n +n pued puede e cons consid ider erar arse se que que res esid ide e comp comple leta tame ment nte e en la plac placa? a? el contenido @nal de aceite en la arcilla puede considerarse como cero cuando se pone en contacto con el sol'ente puro durante un tiempo in@nito$ (a) alcule la difusi'idad difusi'idad efecti'a$ (b) An cilindro cilindro de la misma misma arcillaarcilla- 0$9 in (12$6 mm" de diBmetr diBmetroo- 1 in (29$4 (29$4
mm" de lon#itudcontie contiene ne una conce concentr ntraci aci+n +n inici inicial al unifor uniforme me de 0$16 0$16 ;# aceit aceite; e;# # arcil arcilla$ la$ uando se sumer#e en una corriente en mo'imiento de tetracloroetileno puro a 4 C- Da qu. concentraci+n concentraci+n descenderB el contenido en aceite despu.s de 10 * (c) Fuel'a a calcular (b" para los casos en que nicamente una de las puntas
del cilindro est. sellada , en que nin#una de las puntas est. sellada$ (d) En cuBnto cuBnto tiempo descend descenderB erB la concentrac concentraci+n i+n *asta *asta 0$01 ;# aceite;# aceite;#
arcilla para el caso (b" cuando nin#una de las puntas estB sellada$
Análisis: en este problema se nos pide aplicar el modelo de Tre,bal para
estado no estacionario$ Hara s+lidos de @#uras #eom.tricas comunes- eJman resumi+ los resultados de la se#unda le, de =ic; tomando en cuenta que no e:iste reacci+n quKmica- no e:iste resistencia a la difusi+n de fuera del s+lido , que el uido se estB reemplaando constantemente$ Me la misma manera- la @#ura 4$2 del libro muestra la soluci+n #rB@ca para paralelepKpedos- esferas , cilindros con distintas caracterKsticas$ Solci!n (a) En este inciso se requiere calcular la difusi'idad efecti'a del aceite de
so,a- debido a que la temperatura no cambia con el tiempo , tomando en cuenta la porosidad de la arcilla mencionada$ Hara @nes e:plicati'osse denominarB C> al aceite de so,a , C> a la arcilla seca$ )e considera entonces la difusi+n desde una barra rectan#ular con las puntas selladas$ continuaci+n- se muestra la placa de arcilla con sus respecti'as dimensiones$
"i#ra 1.
Ima#en para inciso (a"$
Los datos que se proporcionan en el problema se resumen como si#ueN $A%&: 0$22 ;# ;# $A%': 0$048 ;# ;# $A%: 0 ;# ;# ': 1*- o 3500 s
)e plantea entonces E=
C A, θ −C A ,∞ C A, 0−C A ,∞
= f
( )
Dθ = E a 2 a
O sustitu,endo los 'alores ,a conocidos- se obtiene
E=
0.048 kg A / kg B −0 0.229 kg A / kg B −0
= 0.210
Entonces- en la @#ura 4$2 del libro de Tre,bal se busca dic*o 'alor en la abscisa correspondiente a una losa- para e:traer el 'alor requerido- como se muestra a continuaci+n
on lo que se obser'a que el 'alor en el eje C:> es apro:imadamente 0$938$ on este 'alor- ,a es posible calcular la difusi'idad efecti'a de la si#uiente formaN 0.538 ×a Dθ = 0.538, D= 2 θ a
2
O debe recordarse que 2a P 1$988 mm se#n la =i#ura 1- por lo que a P 0$64 mm que equi'ale tambi.n a 0$064 cm$ Entonces- el cBlculo de la difusi'idad efecti'a queda de la si#uiente manera 2
D=
0.538 × ( 0.0794 cm ) 3600 s
= 9.42 × 10−7 cm2 / s
(b)En este inciso- se trata de un cilindro de una arcilla de las mismas
caracterKsticas que para la placa$ Me la misma forma- es posible determinar la concentraci+n promedio lue#o de cierto tiempo mediante las soluciones #rB@cas de eJman$ )e considera un cilindro con las puntas selladas$ continuaci+n- se muestra el cilindro con sus respecti'as dimensiones$
"i#ra .
Ima#en para el inciso (b"$
omo se obser'a- la tra,ectoria que puede se#uir el aceite de so,a es radial nicamente- ,a que las puntas del cilindro se encuentran selladas$ Los datos proporcionados se resumen como si#ue $A%&: 0$16 ;# ;# $A%': D $A%: 0 ;# ;# ': 10*- o 35-000 s
Entonces- para un cilindro con las puntas selladas- se plantea lo si#uienteN
E
=
C A ,θ
−
C A ,∞
C A , 0 C A ,∞
=
−
( )
f ' '
Dθ 2
a
E r
=
)e#n la =i#ura 2- 2a P 12$6 mm- por lo que a P 5$39 mm que tambi.n equi'ale a 0$539 cm$ on esta informaci+n- es posible sustituir 'alores conocidos en la e:presi+n anterior- quedando entonces E=
C A, θ−0 0.17 kg A / kg B−0
O dado que se trata de la misma arcilla que en el inciso anterior- se sabe que
(9.42 × 10−7 cm2 / s )( 36,000 s ) = =0.0841 2 a ( 0.635 cm )2
Dθ
Entonces- a*ora debe buscarse dic*o 'alor en la @#ura 4$2 del libro de Tre,bal
nue'amente
on lo que es posible obser'ar que el 'alor en el eje C,> correspondiente a E r es apro:imadamente 0$44$ on este 'alor encontrado- ,a es posible calcular la concentraci+n de aceite de so,a lue#o de 10 *oras$ 0.44 =
C A ,θ 0.17 kg A / kg B
$A%' * &.&+4, -# A-# / (c) En este inciso se trata con el mismo cilindro- a diferencia que se requiere
calcular la concentraci+n promedio lue#o de cierto tiempo para dos casosN cuando nicamente una de las puntas estB sellada , cuando nin#una de las placas estB sellada$ )e muestra entonces el cilindro para el primer caso$
"i#ra 0
omo se muestra en la ima#en anterior- el aceite de so,a puede difundirse tanto en direcci+n radial como en direcci+n a:ial- esto eso- el eje del cilindro$ )e plantea entonces la difusi+n desde un cilindro- como si#ue
E
C A, θ C A ,∞ −
=
C A, 0 C A ,∞ −
=
f
( ) ( ) Dθ c
2
f ' '
Dθ 2
a
E c Er
=
En el caso de Er se pueden tomar los 'alores calculados en el inciso anteriorpor lo que nicamente queda calcular el 'alor de E c- , debe recordarse que la difusi+n ocurre solamente en una cara- por lo que debe calcularse como si el espesor fuese el doble del 'alor real- por lo que c P 2c$ Mebe recordarse tambi.n que 2c P 29$44 mm por lo que c P 12$62 mm- que equi'ale a 1$262 cm$ −7
2
Dθ (9.42 × 10 cm / s )( 36,000 s ) = =0.0052 2 2 4c 4 ( 1.272 cm)
O se procede a buscar dic*o 'alor nue'amente en la @#ura 4$2 del libro de Tre,bal
on lo que se obser'a que el 'alor para Ec del eje C,> es apro:imadamente 0$88$ En base a esto- es posible determinar la concentraci+n promedio como si#ue
(0.88 )( 0.44 )=
C A, θ−0 0.17 kg A / kg B−0
$A%' * &.&0 -# A-# /
*ora se considera el caso en que nin#una de las placas estB sellada- mostrado en la si#uiente @#ura
"i#ra 4
Me i#ual forma- el aceite de so,a puede difundirse en direcci+n a:ial , radialcon la nica diferencia que en este caso no *a, nin#una placa sellada- por lo que puede plantearse la se#unda le, de =ic; sin realiar nin#una modi@caci+ncomo si#ue
E
C A, θ C A ,∞ −
=
C A, 0 C A ,∞
=
−
f
( ) ( ) Dθ c
2
f ' '
Dθ 2
a
E c Er
=
l i#ual que en el inciso anterior- el 'alor de E r ,a fue calculado , corresponde a 0$44- por lo que nicamente queda determinar el 'alor de E c como si#ue
(9.42 × 10−7 cm2 / s )( 36,000 s ) = =0.0210 2 c ( 1.272 cm)2
Dθ
Hor lo que se procede nue'amente a buscar dic*o 'alor en la @#ura 4$2 del libro de Tre,bal
on lo que nue'amente es posible obser'ar que el 'alor en el eje C,> equi'ale apro:imadamente a 0$89- , es el 'alor de E c$ Me esta forma- ,a es posible calcular la concentraci+n promedio a tra'.s del cilindro sin puntas selladas lue#o de 10 *oras
(0.85 )( 0.44 )=
C A, θ−0 0.17 kg A / kg B−0
$A%' * &.&02, -# A-# /
(d)Este inciso requiere calcular el tiempo transcurrido para que la
concentraci+n promedio en el mismo cilindro de arcilla disminu,a *asta un 'alor dado$ Los datos proporcionados se resumen a continuaci+n $A%&: 0$16 ;# ;# $A%': 0$01 ;# ;# $A%: 0 ;# ;# ': D
Hor lo que es posible plantear nue'amente la difusi+n desde un cilindro
E
C A, θ C A ,∞ −
=
C A, 0 C A ,∞
=
−
f
( ) ( ) Dθ c
2
f ' '
Dθ 2
a
E c Er
=
)ustitu,endo los 'alores conocidos se obtiene
E=
0.01 kg A / kg B −0 0.17 kg A / kg B−0
( ) ( )
=0.05882 = f Dθ2 f ' ' Dθ2 = E c Er c
a
O de esta forma- es posible plantear los 'alores de Ec , Er
(9.42 × 10−7 cm2 / s ) θ = =5.822 × 10−7 θ 2 2 c (1.272 cm )
Dθ
−7
2
Dθ ( 9.42 × 10 cm / s ) θ = =2.34 × 10−6 θ 2 2 a (0.635 cm )
)in embar#o- para este caso no se cuenta con un tiempo- por lo que es necesario realiar iteraciones con distintos tiempos *asta que el producto de Ec , Er sea i#ual a 0$09882$ Mic*o proceso se muestra en la si#uiente tabla$
Tabla 1.
Iteraciones para la determinaci+n del tiempo a cierta
concentraci+n promedio$ 6Er5Ec * &.&2,,7
's
3'a
Er
3'c
Ec
Ec5Er
20000
0$046
0$980
0$012
0$89
40000 80000 12000 0 14000 0 14600 0
0$03 0$186
0$459 0$360
0$023 0$046
0$83 0$69
0$43 0$389 9 0$2669
=L) =L)
0$280
0$139
0$060
0$6
0$049
=L)
0$326
0$120
0$082
0$589
=L)
0$343
0$09
0$085
0$0822 0$0988 0$512 2
=L)
FEQMMEQ "ente: Elaboraci+n propia
on lo que se obser'a que el tiempo apro:imado es de 146-000 se#undos- o 40$83 *oras ' * 4&.,0 8 9 41 8
