REALIZADO POR:
Aguayza Stalin Calle Pablo Lazo David Novillo Pamela Quito Jorge Rivera Carlos DOCENTE:
ING. JUAN DIEGO VALLADOLID QUITOISACA MATERIA:
TEORIA DE CONTROL GRUPO:
2 FECHA:
15/10/2018
Objetivos 2.1. OBJETIVOS GENERALES
Determinar una ecuación o modelo matemático que satisface a un sistema y explicar su respectiva resolución.
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Calcular la función de trasferencia de los diferentes sistemas eléctricos- mecánicos. Obtener la transformada de Laplace de las diferentes ecuaciones de los sistemas. Realizar diagramas de estados y de cuerpos libres para los diferentes sistemas de modelado matemático.
Introducción El control automático ha desempeñado un papel muy importante dentro de la Ingeniería y la ciencia. Las aplicaciones recientes de la teoría de control moderna incluyen sistemas fuera del ámbito de las ingenierías, tales como sistemas biológicos, biomédicos, económicos y socioeconómicos [1]. Para comprender y controlar sistemas complejos, se deben obtener modelos matemáticos cuantitativos de ellos. Por lo tanto, es necesario analizar las relaciones entre variables del sistema y obtener un modelo matemático. Como los sistemas tratados son de naturaleza dinámica, las ecuaciones descriptivas son por lo general ecuaciones diferenciales. Después de ciertos pasos dados se deben utilizar herramientas matemáticas tal como la Transformada de Laplace por medio de la cual se obtiene una solución que describe la operación del sistema. [2] Por lo tanto, en este documento se desarrolla diferentes modelos matemáticos de problemas que son planteados por [2]
Marco teórico DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Los sistemas de control actuales son, por lo general, no lineales. Sin embargo, si es posible aproximarlos mediante modelos matemáticos lineales, podemos usar uno o más métodos de diseño bien desarrollados. En un sentido práctico, las especificaciones de desempeño determinadas para el sistema particular sugieren cuál método usar. [1]
TRANSFORMADA DE LAPLACE El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posible convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones exponenciales, en funciones algebraicas de una variable s compleja. Las operaciones tales como la diferenciación y la integración se sustituyen mediante operaciones algebraicas en el plano complejo. [1]
MODELOS MATEMATICOS Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas. Dependiendo del sistema del que se trate y de las circunstancias específicas, un modelo matemático puede ser más conveniente que otros. Por ejemplo, en problemas de control óptimo, es provechoso usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los análisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia de sistemas lineales con una entrada y una salida invariantes con el tiempo, la representación mediante la función de transferencia puede ser más conveniente que cualquier otra. [1]
Reducción de un diagrama de bloques. Es importante señalar que los bloques pueden conectarse en serie, sólo si la entrada de un bloque no se ve afectada por el bloque siguiente. Si hay efectos de carga entre los componentes, es necesario combinarlos en un bloque único. Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes sin carga puede sustituirse con un solo bloque, cuya función de transferencia sea simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales. Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifica mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques. [1]
SISTEMAS MECANICOS El modelado matemático de los sistemas mecánicos. La ley fundamental que controla los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton, que se aplica a cualquier sistema mecánico.
SISTEMAS ELÉCTRICOS Los circuitos eléctricos que involucran los resistores, los capacitores y los inductores. Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero. (Esta ley también puede plantearse del modo siguiente: la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.) La ley de voltajes de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero. (Esta ley también se plantea del modo siguiente: la suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje alrededor de una malla.) Un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff. Esta sección trata de los circuitos eléctricos sencillos.
Desarrollo RESOLUCION DE EJERCICIOS
/
/
Determínese la función de transferencia para el sistema que se muestra en la Figura E2.25. Ambas masas deslizan sobre una superficie sin rozamiento y . E2.25.
Aplicando la estática de los cuerpos se puede observar el siguiente diagrama de cuerpo libre en el cual se expresan las fuerzas que actúan sobre los mismo:
Teniendo como resultado las siguientes ecuaciones para el sistema masa-resorte:
Aplicando la transformada de la place sobre las 2 ecuaciones planteadas obtenemos 2 nuevas ecuaciones que se las denotara por 3 y 4 respectivamente:
Se tiene en cuenta que el cuerpo se encuentra en reposo de tal forma que se puede utilizar las siguientes condiciones iniciales:
0 |= 0
aplicando las condiciones iniciales en la ecuación 1 tenemos:
0 0() 0() ∗
Simplificando las operaciones tenemos:
Teniendo como resultado la ecuación número 3 en función del espacio recorrido por el primer cajón.
Aplicando la transformada de la place en la segunda ecuación tenemos:
0 0() 0 0() 0 0 ∗ ∗( )
Simplificando la operación tenemos:
Finalmente tenemos la ecuación 4 en función de la primera distancia para poder simplificar la ecuación y obtener como resultado el espacio x2 que nos pide el ejercicio:
Igualando las 2 ecuaciones tenemos:
∗ ∗
∗ ∗ ∗ 1, 1, 1. 1 ∗ 1∗ 1∗ 11 2
Luego de haber despejado como datos
se procede a remplazar los datos iniciales del sistema teniendo
Luego de aplicar factor común en los términos obtenemos la siguiente función de transferencia:
P 2.13. En la figura P 2.13 se muestra un Sistema de control electromecánico en lazo abierto. El generador, que se mueve a una velocidad constante, proporciona el voltaje de una excitación para el motor. El motor tiene una inercia y una excitación . Obténgase la función de transferencia
y dibújese un diagrama de bloques del sistema. El voltaje del generador
proporcional a la corriente de excitación
Analizando la primera malla:
[ ]
puede suponerse
[ ] ( ) ∅ ∗ ∗
Analizando la segunda malla:
Según el problema propuesto el voltaje del generador corriente de excitación entonces:
Entonces:
puede suponerse proporcional a la
∅
Según el libro guía se supone que el par desarrollado está relacionado linealmente con y la corriente del inducido. También se considera que el motor controlado por la corriente de excitación, lo que proporciona una amplificación de la potencia, por lo tanto, la transformada de Laplace:
Reemplazando
∗ ∗ ∗ ( )
Pero
:
∗ ∗ ( )1 ] ( )[(∗∗) ( ∗∗)( ) ∗ 1 ∗ ( ∗∗)( )
Se tiene
El par de carga para una inercia de rotación como la que se muestra en la figura se escribe como:
En donde
es el par de carga. Desarrollando se obtiene:
Dividiendo la ecuación para
Como
es igual a n, entonces:
Al dividir la ecuación para
En donde
y multiplicando por
representa la inercia del motor,
Igualando las dos ecuaciones de
:
se obtiene:
la fricción del motor y
la inercia de rotación.
Despejado
:
∗ ∗ )( ) ( ( )( )
Usando artificios matemáticos establecemos que:
Y
Entonces:
Finalmente tenemos el siguiente diagrama de bloques de nuestro sistema:
P2.21. En la figura P2.21 se muestra un servomecanismo hidráulico con realimentación mecánica. El pistón de potencia tiene una Área igual a A. Cuando se mueve la válvula una pequeña cantidad Δz, entonces el aceite fluye a través del cilindro a una velocidad p * Δz, donde p es el coeficiente de la obstrucción. Se supone que la presión de entrada del aceite es constante. De la geometría
−
del servomecanismo se deduce que Δz=
.
A) Determínese el grafico de flujo de señal en lazo cerrado para este sistema mecánico. B) Obténgase la función de transferencia en lazo cerrado
Solución •
La ecuación es:
k − x y
Δz=
Entonces decimos que el Área del pistón es A= p * Δz, por lo tanto despejamos y usamos Laplace para hallar Y(s) •
Y pΔ
Δ
Una vez obtenido Y(s), reemplazamos Δz en la ecuación, debemos tomar en cuenta que p es constante.
Y 11 2() 21
Ahora se procede a determinar el flujo de señal.
Ahora procedemos a encontrar Y(s)/X(s), para esto usamos directamente la formula F+LR/1+ •
+ + ++ 1K2−
∑
•
Donde: •
•
P2.24. En la Figura P2.24 (a) se muestra un amplificador de dos transistores en serie con
realimentación por voltaje. Este circuito equivalente no tiene en cuenta las resistencias de polarización y los condensadores en paralelo. En la Figura P2.24 (b) se muestra un diagrama de bloques que representa al circuito. Este diagrama de bloques no tiene en cuenta el efecto de , que es generalmente una aproximación adecuada y supone que . (a) Determínese la ganancia de voltaje,
⁄ ⁄ ⁄
(b) Determínese la ganancia de corriente
(c) Determínese la impedancia de entrada
.
.
.
≫
ℎ
Procede a aplicar la combinación de bloques en cascada para el bloque 1 y el bloque 2 obteniendo lo siguiente.
Se procede aplicar la transformada de diagrama de bloques, movimiento de un punto de separación posterior a un bloque, procediendo a resolver los bloques es cascada.
∗
Procedemos resolver mediante el método en paralelo los dos siguientes bloques.
1 1 1 1
Procedemos a aplicar la eliminación de realimentación de un lazo de realimentación.
⁄ 1 ℎ 1{[1⁄ ℎ]∗1 ⁄ } ⁄ 1 ℎ 1{1 ⁄ ℎ } ⁄ 1 ℎ ℎ 1 ⁄ ℎ ℎ 1
Como procedimiento final para determinar la ganancia de voltaje aplicamos combinación de bloques en cascada.
(b)
(c)
21)1 2 112 ℎ11 2 11(1 21)1 2 112− − ℎ11 2 1(11 E3.12. Utilícese un modelo en variables de estado para describir el circuito de la Figura E3.12. Obténgase la respuesta a una entrada escalón unitario cuando la corriente inicial es cero y el voltaje inicial del condensador es cero.
Definimos las entradas y salidas
, Ecuación del sistema
1 ∫ ∫ . . 1 . 1 . 2 ⇒ → . . . 4
Remplazando Tenemos
Definimos Variables de estado
Remplazamos en (1)
despejamos
Teniendo en cuenta los valores iniciales de nuestro grafico tenemos los siguientes valores:
0.10 0.001 Formamos la ecuación de estados
. . .
1 0 . 1 01 . Análisis de resultados y discusión Para lograr determinar la función de transferencia de un sistema se pudo determinar que el sistema se rige por varias variables las cuales están determinadas por el efecto que produce la entrada del sistema y en función de eso se determina la salida deseada, lo cual logro determinar un modelo matemático por el cual se rige el comportamiento de los sistemas, pudiendo así lograr generar una ecuaciones de estado que son una representación de espacio de estado de dichos modelo matemático compuesta por entradas, salidas y variables de estado. A través de los diagramas de bloques se logró determinar una representación gráfica de los modelos matemáticos de los problemas propuestos, a través de los cuales se pudo determinar el comportamiento de los sistemas, se pudo lograr mediante la simplificación de los bloques encontrar una representación simplificada al máximo de los sistemas
Conclusiones
Es primordial plantear el diagrama de cuerpo libre de un sistema mecánico, ya que este representa el comportamiento de las fuerzas que actúan sobre el sistema, y si no se realiza de forma correcta no se puede determinar las ecuaciones que rigen el sistema. Representar un sistema mediante diagramas de bloques ayuda a tener sistema simplificado en su máxima expresión, logrando así una mejor comprensión del sistema
Para encontrar la ecuación de transferencia de un circuito RLC es importante plantear las ecuaciones por las cuales se rige el sistema mediante la lay de Kirchhoff para así poder encontrar correctamente las variables de estado correspondientes Mediante la resolución de los ejercicios propuestos se logró desarrollar destreza para la resolución de problemas que involucran determinar las ecuaciones características de los sistemas
Bibliografía [1] K. Ogata, Ingenieria de control moderna, Madrid: Pearson Educacion, 2003. [2] R. H. B. Richard C. Dorf, Sistemas de Control Moderno, Madrid: Pearson Educacion, 2005.
