MATLAB MA TLAB 1.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
DISTRIBUCIÓN DE CALOR
Ejemplo 1.
Se tiene una placa rectangular rec tangular metálica cuyas orillas se mantienen a cierta temperatura. Se quiere encontrar la temperatura en los puntos interiores. Considera el siguiente diagrama. Se tiene que encontrar aproximaciones para los puntos p untos T1 a T9, o sea, la temperatura de los puntos intermedios. Supón que la temperatura en un punto interior es el promedio de la temperatura de los 4 puntos adyacentes, arriba, abajo a la iquierda y a la derec!a.
a. "sando esta suposición establece establece un sistema de ecuaciones, considerando primero primero el punto T1, despu#s el punto T$ , etc. %escribe el sistema de manera que todas las &ariables est#n de un lado de la ecuación. 'or ejemplo, para T1 se tiene
y
que se pueden rescribir como 4T1 ( T$ ( T4 ) $*+
y 4T* ( T$ ( T ( T- ( T4 ) +
ncuentra la matri de coe/icientes y la matri aumentada. 0escribe el patrón que obser&es o bser&es en la matri de coe/icientes. Tal matri se llama matri de b anda. 2es 2es de donde &iene su nombre 3 b. %esuel&e el sistema usando el comando rref . bser&a que se tiene una solución 5nica. "sa la notación 6:7 para asignar la solución a la la &ariable.
c. Supón que A es la matri de coe/icientes y b es el lado derec!o del sistema anterior. 0á el comando y ) A8b. la diagonal se llama diagonal in&ertida. :o es la diagonal de la di&isión.; Compara y y x.
Ejercicio 1.1 Se tiene una placa rectangular metálica cuyas orillas se mantienen a cierto &oltaje. Se quiere encontrar el &oltaje en los puntos interiores. Considera el siguiente diagrama. 'rocede como en el ejercicio anterior para encontrar la matri de coe/icientes, la matri aumentada y la solución del sistema de ecuaciones obtenido.
Ejercicio 1.2
0etermina las temperaturas interiores si la placa del ejercicio 1.1 es cortada sobre la diagonal y el &oltaje sobre este lado es de 1++2. ubica 4 puntos en cada lado y en el interior como se ilustra.
$ . AJUSTE DE POLINOMIOS A PUNTOS Si se tienen dos puntos en el plano con coordenadas x distintas, existe una recta 5nica que pasa por ambos puntos. Si se tienen tres puntos en el plano con coordenadas x distintas, existe una parábola 5nica
que pasa por los tres puntos. Si se tiene n<1 puntos en el plano con coordenadas x distintas, entonces existe un polinomio de grado n 5nico que pasa a tra&#s de los n<1 puntos=
>os coe/icientes c1,...,cn+1 se pueden encontrar resol&iendo un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo 2. '1?, 1$; Se quiere encontrar c1,c$, y c? de manera que
AsB se tiene
'$*, -;
'?@, $-; pase por los puntos '1, '$ y '?.
%esol&iendo el sistema se obtiene
,
nos dice que la parábola que pasa por cada uno de los puntos es que el polinomio obtenido se ajusta a los puntos dados.
Ejercicio 2.1
'ara '1(?, 9;, '$($, 4;,
Sea A matri de coe/icientes y dados es
'?+, +;,
. Se dice entonces
'4$, 4;, establece el sistema de ecuaciones.
b ) lado derec!o y demuestra que el polinomio ajustado a los puntos
. 0#
Ejercicio 2.2
x ) [-3 ; -2 ; 0 ; 2] y V!"#$er%x&. Compare V con A
'ara '1(?, +;, '$(1.*, .@*;,
'?+, 9;,
'41.*, .@*;,
'*?, +;, establece el
sistema de ecuaciones. Sea A matri de coe/icientes y b ) lado derec!o y demuestra que el polinomio ajustado a los puntos dados es
.
Si x ) (? D (1.* D + D 1.* D ?E y = + D .@* D 9 D .@* D +E que son las coordenadas de los puntos dados x e y respecti&amente. 0a los siguientes comandos=
V!"#$er% x & 'V( )*+#% x & :. 0., :*"x% x & ; yy/y!"/%')& ; /1%xy)yy& Se sugiere consultar tu libro texto Algebra >ineal de Frossman pag. ?- ejercicio 11;
?. !LUJO DE TR"!ICO
Ejemplo # . Considera el siguiente diagrama
de una malla de calles de un sentido con &e!Bculos que entran y salen de los nodos k E donde k ) n5mero de nodo. >as /lec!as a lo largo de las calles indican la dirección del /lujo &e!icular. Sea xi ) n5mero de &e!Bculos que circulan por la calle i. Si el trá/ico que entra a una intersección tambi#n sale, establece el sistema de ecuaciones que describe el diagrama del /lujo &e!icular. 'or ejemplo, en el nodo 1E
x4 < $++ < ?++ ) &e!Bculos que entran al nodo 1E ) x1 < x* <$++ ) &e!Bculos que salen del nodo 1E lo que da
x4 < $++ < ?++ ) x1 < x* <$++
D
x1 − x4 < x* ) ?++
"sa el comando rref y resuel&e el sistema. Gabrá un n5mero in/inito de soluciones. scribe las soluciones en t#rmino de las &ariables x4 y x* .
b.
c.
Supón que la calle que &a de 1E a ?E necesita cerrarseD es decir x* ) +. 'uede cerrarse tambi#n
la calle de 4E a 1E x4 ) +; sin cambiar los sentidos de tránsito en las demás calles 3. Si no se puede cerrar podrBa circular 1, 1+, 1++ &e!Bculos por dic!a calle3
Ejercicio #.1 si
x1 ) 4*+.
/igura ?.$ a
/igura ?.$ b
ncuentra el /lujo de trá/ico de las glorietas que se ilustran en las siguientes /iguras
Una aplicación : Distribución de calor. Se tiene una placa rectangular cuyas orillas se mantienen a cierta temperatura. Se tiene interés en encontrar la temperatura en los puntos interiores conocida la de algunos puntos en el borde. Considerar el siguiente diagrama. Se quiere encontrar una aproximación de las temperaturas en los puntos intermedios T1 a T9 suponiendo que la temperatura en un punto interior es el promedio de la de los cuatro puntos que la rodean.
Di!ididas todas las ecuaciones por " T1 # 1$% & T' & T" T' # 1%% & T1 & T( & T$ T( # 1$% & T' & T) T" # $% & T1 & T$ & T* T$ # T' & T" & T) & T+ T) # $% & T( & T$ & T9 T* # $% & T" & T+ T+ # % & T$ & T* & T9 T9 # $% & T) & T+ ,atri- de coeicientes: t#
/" 1 % 1 % % % % % 1 /" 1 % 1 % % % % % 1 /" % % 1 % % % 1 % % /" 1 % 1 % % % 1 % 1 /" 1 % 1 % % % 1 % 1 /" % % 1 % % % 1 % % /" 1 % % % % % 1 % 1 /" 1 % % % % % 1 % 1 /" ,atri- de términos independientes
