por consiguiente tanto para x como para y, la productividad marginal aumenta y luego disminuye a medida que se incremente el insumo.
z 2 + 4 x 2 + 5 y 2 − 12 xy = 0 ,
2.
Determine la productividad marginal dada la función de producción donde z es la cantidad producida, y x, y son las cantidades de los insumos.
Solución: empleando empleando la diferenciación implícita ∂ F ∂ x
∂ F
= 8 x − 12 y
∂ y
∂ F
= 10 y − 12 x
∂ z
= 2 z
∂ F
la productividad marginal de x es
∂ z
=−
∂ x
8 x − 12 y 6 y − 4 x ∂ x =− = ∂ F 2 z z ∂ z ∂ F
la productividad marginal de y es
∂ z ∂ y
=−
∂ y ∂ F
=−
10 y − 12 x 2 z
=−
6 x − 5 y z
∂ z
3. La función de producción de cierta empresa está dada por
P = 5 L + 2 L2 + 3 LK + 8 K + 3K 2 en donde L es el insumo mano de obra medido en miles de horas-hombre por semana, K es el monto de capital invertido medido en miles de dólares por semana y P es la producción semanal en miles de artículos. Determine las productividades marginales cuando cuando L=5 y K=12 e interprete el resultado.
2 Solución: las productividades marginales son ∂ P ∂ L ∂ P ∂ K
= 5 + 4 L + 3 K
= 3 L + 8 + 6 K
cuando L=5 y K=12 ∂ P ∂ L ∂ P ∂ K
= 5 + 4((5) + 3(12) = 61
= 3(5) + 8 + 6(12) = 95
es decir, si se emplean 5000 horas-hombre por semana y el monto del capital invertido es de US$12.000 a la semana, la producción se incrementa en 6100 artículos por semana por cada 1000 horas-hombre adicionales de mano de obra empleada cuando K se mantiene fija -
la producción se incrementa en 9500 artículos por semana por cada US$1000 adicionales de incremento en el monto semanal del capital invertido cuando L se mantiene fijo. -
EJERCICIOS PROPUESTOS
Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones:
1.
a.
z = 2 x 2 − 3 xy + 4 y 2
b. z = x 2 + 3 xy + y 2 c.
x 2 − 4 y 2 + 9 z 2 = 36
d. z = e. z =
x 2
+
y
y
x 2
x 2
y 2
y
+
x
2
z = e x + xy g. z 3 − 3 x 2 y + 6 xyz = 0 h. yz + xz + xy = 0 f.
i. j.
x 2 + y 2 + z 2 = 25 xy + yz + zx = 1
2. Hallar las derivadas parciales de x 2 ( 2 y + 3 z ) + y 2 (3 x − 4 z ) + z 2 ( x − 2 y ) = xyz 3. Sea x=1000 y y = 500 en la función de Producción de COBB-DOUGLAS tal que
f ( x , y ) = 100 x 0, 6 y 0, 4 .
3 Hallar: a) la productividad marginal del trabajo (x). b. la productividad marginal del capital (y). 4. En el caso de las siguientes funciones de costo conjunto, determine el costo marginal, con respecto a x y el costo marginal con respecto a y. a. C = x 2 ln( y + 10) b.
C = x 3 + 2 y 2 − xy + 20
c.
C = e x + e y + xy + 5
d.
C = x 2 y 2 − 3 xy + y + 8
5. Determine las cuatro demandas marginales, la naturaleza de la relación entre los dos artículos. x = 20 − 2 p − q y = 9 − p − 2q a.
x = 15 − 2 p + q x = 5 − 2 p + q
b.
c.
x =
d.
q
y = 16 + p − q y = 8 − 2 p − 3q y =
p
p 2 q
6. Para cada una de las funciones de producción siguientes obtenga las productividades marginales. La
producción se designa con z y los insumos mediante x e y.
1
−
1
a.
z = 25 −
b.
z = 5 xy − 2 x 2 − 2 y 2
c.
16 z 2 − z − 80 + 4( x − 5) 2 + 2( y − 4) 2 = 0
d.
6 z 3 − z 2 − 6 x − 24 y + x 2 + 4 y 2 + 50 = 0
x
y
en x = 1, y = 1 en x = 1, y = 1
7. Aplique el procedimiento indicado para diferenciación implícita : Respuestas 1.
