Ejercicios_Resueltos_-_Optimizacion

Ejercicios Resueltos — Métodos de Optimización Jaime Carrasco Barra

Material en Elaboración, 19/04/2015

Índice general Introducción

V

I

1

Prog Progra rama maci ción ón Li Line neal al

1. Introdu Introducción cción a la Programac Programación ión Lineal 1.1. Solución Solución Grá…ca Grá…ca . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Modelación de problem problemas as simples simples . . . . 1.3. Modelación de problemas problemas más complejos complejos 1.4. Ejercicios Ejercicios Propuestos Propuestos . . . . . . . . . . .

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2 2 7 10 19

2. Conjuntos Conjuntos Convexos Convexos y Poliedros 2.1. Direcciones Direcciones In…nitas In…nitas y Extremales Extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ejercicios Ejercicios Propuestos Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 36

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3. El Método Método Simp Simplex lex 37 3.1. Simplex Simplex Analític Analíticoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Forma Tabular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3. Ejercicios Ejercicios Propuestos Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. Dualid Dualidad ad 4.1. Teorema de Holguras Holguras Complemen Complementarias tarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Método Método DualDual-Sim Simplex plex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 61 70

5. Post Post Optimizaci Optimización ón

72

6. Optimizac Optimización ión en Redes Redes 6.1. Transporte ransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Problem Problemas as de Rutas Rutas Mínimas Mínimas . . . . . . . . 6.3. Digrafos Digrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Algoritm Algoritmoo del camino camino más corto corto de Dijsktra Dijsktra ii

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76 . . . . 76 . . . . 81 . . . . 81 . . . . 82

Índice general Introducción

V

I

1

Prog Progra rama maci ción ón Li Line neal al

1. Introdu Introducción cción a la Programac Programación ión Lineal 1.1. Solución Solución Grá…ca Grá…ca . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Modelación de problem problemas as simples simples . . . . 1.3. Modelación de problemas problemas más complejos complejos 1.4. Ejercicios Ejercicios Propuestos Propuestos . . . . . . . . . . .

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2 2 7 10 19

2. Conjuntos Conjuntos Convexos Convexos y Poliedros 2.1. Direcciones Direcciones In…nitas In…nitas y Extremales Extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ejercicios Ejercicios Propuestos Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. El Método Método Simp Simplex lex 37 3.1. Simplex Simplex Analític Analíticoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Forma Tabular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3. Ejercicios Ejercicios Propuestos Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. Dualid Dualidad ad 4.1. Teorema de Holguras Holguras Complemen Complementarias tarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Método Método DualDual-Sim Simplex plex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 61 70

5. Post Post Optimizaci Optimización ón

72

6. Optimizac Optimización ión en Redes Redes 6.1. Transporte ransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Problem Problemas as de Rutas Rutas Mínimas Mínimas . . . . . . . . 6.3. Digrafos Digrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Algoritm Algoritmoo del camino camino más corto corto de Dijsktra Dijsktra ii

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ÍNDICE GENERAL

II

Prog Progra rama maci ción ón No Li Line neal al

iii

90

7. Condicio Condiciones nes de Opimalidad Opimalidad 91 7.1. Sin Restric Restriccion ciones es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2. Con Restricciones Restricciones de Igualdad Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3. Con Restricciones Restricciones de Desigualda Desigualdadd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Prefacio El presente texto contiene ejercicios resueltos de teoría de optimización básica para alumnos de pregrado.

iv

Introducción

v

vi

INTRODUCCIÓN

Parte I Programación Lineal

1

Capítulo 1

Introducción a la Programación Lineal 1.1. Solución Grá…ca Cuando el número de variables de un programa lineal es dos o tres, puede solucionarse grá…camente. Para ello se considera una curva de nivel de la función objetivo que corte el conjunto factible, dicha curva es una recta en el caso de dos variables y un plano en el caso de tres variables. Se desplaza, sobre el conjunto factible, dicha recta o plano paralelamente en la dirección del gradiente de la función objetivo o en la dirección opuesta, según se trate de un problema de maximizar o minimizar, hasta el último punto, segmento o semirecta de corte con el conjunto factible. En el caso de que existan dicho punto, segmento o semireecta, estos serán las soluciones del problema. Consideremos el problema en forma canónica:

0@

mn s:a : Ai  x

z = c x bi ; i = 1; : : : ; m x 0 t





1A

Cada desigualdad A i  x  bi representa un semi-espacio en Rn, y la intersección de todos estos semiespacios, es el conjunto factible del problema, el cual, como veremos más adelante, es un poliedro. La función z = c x representa una familia de hiperplanos paralelos en Rn, puesto que el vector c es el vector normal a cada hiperplano, y cualquier curva de nivel: t

c x = k , con k t

es sólo una traslación, según sea el valor de k . 2

2 R

1.1. SOLUCIÓN GRÁFICA

3

Ejercicio 1 Sea el siguiente problema:

0B @

opt s:a :

   

z = 4x y 2x + y 18 2x + 3y 26 x + y 16

1C A

Tenemos que c = (4; 1), el conjunto factible es el poliedro limitado por las restricciones. Igualando la función objetivo a una constante, por ejemplo a la constante cero, se obtiene la curva de nivel cero, recta 4x  y = 0, que corta al conjunto factible. Desplazando dicha recta en la dirección rz = (4; 1), el último punto de corte con el conjunto factible es el (22; 6) (ver Fig. 1 ), por tanto, en este punto se alcanza el máximo. y la función objetivo toma el valor 94 . Desplazando la rescta 4x  y = 0 en la dirección rz = (4; 1), el último punto de corte con el conjunto factible es el (2; 14), por tanto, en este punto se alcanza el mínimo y la función objetivo toma el valor 6.

Fig. 1

Ejercicio 2 Dado el problema:

0B @

opt s:a :

   

z = 4x y 2x + y 18 2x + 3y 26 x + y 16

1C A

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

4

El conjunto factible es el poliedro limitado por las restricciones, que es no acotado (ver Fig. 2):

Fig. 2 Repitiendo el mismo procedimiento se llega a que el máximo, cuyo valor es 24, se obtiene en el punto (7; 4), como lo indica la curva de nivel que se trazó (linea punteada, ver Fig. 2) en dirección rz y a que no existe mínimo, puesto que en la dirección rz , siempre podemos encontrar un punto que haga decrecer la función objetivo y pase por una curva de nivel, este es el caso en que la función objetivo no está acotada inferiormente . Ejercicio 3

0B BB @

1C  C    C  A 

max z1 = 3x1 + 2x2 mn z2 = 2x1 2x2 s:a: 2x1 x2 2 x1 + 2x2 8 x1 ; x2 0

1. Encuentre el máximo y el mínimo según corresponda. 2. Sustituya la segunda restricción por: x 1 + 2x2  8:¿Qué puede decir del máximo y del mínimo de z 1?. 3. Suponga que z 1 = 4x1 + 8x2 y resuelva. Solución.

1.1. SOLUCIÓN GRÁFICA

5

1. Rectas: R 1 : 2x1  x2 = 2; R2 : x1 + 2x2 = 8: Grá…car con las tablas: x1 x2 R1 : 0 2 ; 3 8

x1 x2 R2 : 0 4 8 0

Tenemos cuatro puntos extremales: (0; 2) ; (0; 0) ; (8; 0) ;

  4 18 ; 5 5

El último punto sale de: R1 \ R2 : Además tenemos que rz1 = (3; 2) y rz2 = (2; 2) : De aqui sale que el máximo de z 1 se alcanza en (8; 0) y el mínimo de z 2 en (4=5; 18=5) : 2. Aquí se obtiene un poliedro no acotado, la función z1 es no acotada superiormente, pero si inferiormente. El mínimo se alcanza en (4=5; 18=5) : 3. En este caso el gradiente de z1 tiene la misma dirección que el vector normal de R2 ; esto es

rz = (4; 8) = 4 (1; 2) 1

luego estamos en el caso de múltiples soluciones. La solución general es el segmento que une los puntos (4=5; 18=5) y (8; 0) :(Se puede explicar que es la combinación convexa de estos puntos). De forma análoga también se pude explicar que hay múltiples soluciones porque las curvas de nivel de la función objetivo son paralelas a la recta R 2 ...(hacer uso de la pendiente de la recta).

Ejercicio 4 Una compañía dispone de 9 camiones con capacidad de 4000 kilos y de 7 camiones con capacidad de 3000 kilos. Los camiones grandes tienen un coste de transporte de 3000 pesos/kilómetro, y los pequeños de 2500 pesos/kilómetro. En una semana la compañía debe transportar 35000 kilos en un recorrido de 1200 kilómetros. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cúal es el número de camiones de ambas clases que debe movilizarse para ese transporte de forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones? Modele y resuelva grá…camente.

Una fábrica est a desarrollando una nueva línea de galletas de avena y chocolate. Las galletas deben tener al menos 5 gramos de proteínas, pero no más de 5 gramos de carbohidratos, y 3 gramos de grasas saturadas. Construye un modelo lineal que permita determinar la cantidad de cada ingrediente que se debe utilizar para que se satisfagan

6


los requerimientos mínimos nutricionales a un costo mínimo, basándose en los siguientes datos Avena Chocolate Costo(u.m./onza) 0.10 0.18 Proteínas(gr/oz) 4.00 0.80 Carbohidratos(gr/oz) 2.50 1.00 Grasas saturadas(gr/oz) 2.00 0.50 Ejercicio 5 Transforme a forma estandar el siguiente problema:

0B BB @

max z = 10x1 + 11x2 s:a: x1 + 2x2 150 3x1 + 4x2 200 6x1 + x2 175 x1 ; x2 0

   

1C CC A

Solución. Debido a que el sentido de la desigualdad de todas las restricciones son  agragamos tres variables de holguras positivas con el …n de saturar la restricción y convertirla a igualdad. Luego el problema queda

0B BB @

max s:a:

z = 10x1 + 11x2 x1 + 2x2 + xh3 = 150 3x1 + 4x2 + xh4 = 200 6x1 + x2 + xh5 = 175 x1 ; x2 ; xh3 ; xh4 ; xh5 0



1C CC A

Ejercicio 6 Transforme a forma estandar el siguiente problema:

(P L) :

0B B@

m ax s:a :

 x + 4x 5x + 2x  3x  7 2x  2x + x  8 x  0 z = 2x1 1

2

2

1

3

2

1

3

3

1C CA

Solución. Para este caso lo primero que observamos que las variable x2 y x3 son irrestrictas, por ende hacemos el cambio de variable x2 = x+2  x2 y x3 = x+3  x3

1.2. MODELACIÓN DE PROBLEMAS SIMPLES

7

donde x +2 ; x2 ; x+3 ; x3  0 y reemplazamos en nuestro (P L) obteniendo

] (P L) :

0B B@

    1C       CA + 2

+ 3

 2

 3

 x  x + 4 x  x 5x + 2 x  x  3 x  x  x = 7 2x  2 x  x + x  x + x = 8 x ; x ; x ; x ; x ; x ; x  0

max s:a :

z = 2x1 + 2

1

1

1

+ 2 + 2

+ 3 + 3  4 3

 2

 2  + 2 3

 3  3

4

5

5

Ejercicio 7 Transforme a forma estandar el siguiente problema:

(P L) :

0B B@

max z = 3x1 + 2x2 + 4x3 + 6x4 s:a: x1 + 2x2 + x3 + x4 10 2x1 + x2 + 3x3 + 7x4 15 x1 ; x2 0; x3 0

Solución. Hacemos x+3 =  x3  0; x4 = x+4 holguras x h5 ; xh6 ; luego obtenemos

0B B@

m ax s:a:

 x

  

 4

1C CA

y agregamos nuevas variables de

  1C CA + 4

 4

 4x + 6 x  x x + 2x  x + x  x  x = 10 2x + x  3x + 7x  7x  x  15 x ; x ; x ; x ; x ; x ; x  0 z = 3x1 + 2x2

3

+ 3 + 3 + 3

+ 4 + 4 +  4 4

1

1

2

2

1

2

 4

 4 h h 5 6

h 5

h 6

Como comentario adicional, se puede decir que otra forma de pasar el (P L) a forma estandar es primero asignar variables de holguras a las dos restricciones, despues despejar x4 de una restricción; y reemplazar en la otra y en la función objetivo, con el cual el problema nos queda con menos una variable y menos una restricción.

1.2.

Modelación de problemas simples

Proponga un módelo de Optimización para cada Problema Ejercicio 8 Dos mataderos se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R; S; T : 20; 22; 14 toneladas respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q 30. Sabiendo que los costos de transporte por toneladas de carne, desde cada matadero a cada ciudad , son re‡ejados en la siguiente tabla: R S T P $1 $3 $1 Q $2 $1 $1


8

Escriba un modelo de PL que satisfaga las restricciones del problema. Solución. De…nimos las siguientes variables: xij :=cantidad de carne a enviar del matadero i 2 fP; Qg a la ciudad j 2 fR;S;T g (Ton) Observamos que el problema está equilibrado puesto que

P P P

E i =

i2fP;Qg

El modelo nos queda

0B BB BB B@

mn

z =

xij



cij xij

1C CC CC CA g

xP R + xP S + xP T = 26 xQR + xQS + xQT = 30 xP R + xQR = 20 xP S + xQS = 22 xP T + xQT = 14 0; i P; Q ; j R;S;T

2f

D j

j2fR;S;T g

i2fP;Qg j2fR;S;T g

s:a

P

g 2 f

, donde (cij ) =



1 3 1 2 1 1



Ejercicio 9 A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos, A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No debe tomar más de 150 gr. ni menos de 50 gr., la cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. Si 1000 gr. de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías; y 100 gr de B contienen 20 gr. y 150 calorías:

a. ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas?. b. ¿Y el más pobre en calorías?. Solución.

a.

0B B@

max z = 3 105 xA + 2 104 xB s:a 50 xA + xB 150 xA xB xA ; xB 0

 

   

1C CA

Aquí las función objetivo maximiza las vitaminas. Explicación: Debido a que 1000 gr contienen 30 mg de vitaminas, xA gramos (del producto A) contienen 30mg   105xA vitaminas, análogo para las vitaminas de tipo B. 1000gr xA = 3

1.2. MODELACIÓN DE PROBLEMAS SIMPLES

b.

0B B@

450 150 max z = 1000 xA + 1000 xB s:a 50 xA + xB 150 xA xB xA ; xB 0



  

9

1C CA

Aquí las función objetivo minimiza las calorías. Explicación: Debido a que 1000 gr 20mg contienen 450 mg de calorías, x A gramos (del producto A) contienen 100gr  xA = 2  104 xA vitaminas, análogo para las calorías del tipo B.

Ejercicio 10 Una Empresa fabrica dos tipos de electrodomésticos, que indicaremos por E 1 y E 2 . Cada unidad de E 1 contribuye con e300 a los ingresos de la Empresa y cada unidad de E 2 con e400. Para la producción se necesitan dos tipos de máquinas (M1 y M2), y en la siguiente tabla se dan los recursos necesarios para producir cada unidad: horas en M1 horas en M2 Kg. acero 0.8 0.6 20 E 1 1 0.7 30 E 2 Actualmente la empresa dispone de varias máquinas de tipo M2 que pueden trabajar un total de hasta 73 horas semanales y dispone de 2600 Kg de acero para la próxima semana. Las máquinas de tipo M1 deben ser alquiladas y se puede contratar hasta 98 horas semanales a un costo de e50 la hora. Consideraciones de mercado indican que hay que producir por lo menos 26 unidades de E 2 y la cantidad a producir de E 1 debe ser por lo menos 3 veces la cantidad que se produzca de E 2. Formule un modelo de programación lineal que, respetando las condiciones de producción y de mercado, permita maximizar las ganancias de la Empresa en la próxima semana. Solución. De…nimos las variables: x1 = x2 =

Cantidad de electrodomésticos E 1 a producir, Cantidad de electrodomésticos E 2 a producir.

Las restricciones se escriben en la forma siguiente: No se puede gastar más acero del que se dispone:

 2600;

20x1 + 30x2

No se pueden emplear más de 98 horas en las máquinas M1:

 98;

0;8x1 + x2


10

No se pueden emplear más de 73 horas en las máquinas M2:

 73;

0;6x1 + 0;7x2

Hay que producir al menos 26 unidades de E 2 :

 26;

x2

Hay que producir de E 1 al menos tantas unidades como 3 veces lo producido de E 2 :

 3x :

x1

2

La función objetivo es la diferencia entre el total de ingresos menos el costo de pagar las horas del alquiler de las máquinas M1: z = 300x1 + 400x2

 50(0;8x + x ) = 260x + 350x 1

2

1

2

El modelo …nal queda:

0B BB B@ 1.3.

max z = 260x1 + 350x2 s:a : 20x1 + 30x2 2600; 0;8x1 + x2 98; 0;6x1 + 0;7x2 73; x2 26; x1 3x2 ; x1 ; x2 0 opcional

 

  

 !

1C CC CA

Modelación de problemas más complejos

Ejercicio 11 Para la elaboración de un producto se necesitan 4 materias primas que contienen cierto factor F en las proporciones indicadas en la tabla siguiente, donde también aparecen los costos por K g: de cada materia prima:

mat. prima A A C D

contenido de F ( %) 61 11 14 36

costo por Kg ($) 4 2 5 3

La materia prima D está asociada a la materia prima C, lo que signi…ca que por cada Kg que se compre de C se debe adquirir 1.5 Kg de D.

1.3. MODELACIÓN DE PROBLEMAS MÁS COMPLEJOS

11

Escriba un modelo de programación lineal que permita determinar cuanta materia prima de cada clase debe comprarse de modo que se obtenga una tonelada de mezcla (1000 Kg.) con un contenido del facor F de por lo menos 18%. Solución. De…namos las siguientes variables: x j := cantidad de materia prima A (Kg), j

2 fA;B;C;Dg

Luego el modelo es:

0B BB @

mn s:a

z = 4xA + 2xB + 5xC + 3xD xA + xB + xC + xD = 1000 (Kg) 0;61xA + 0;11xB + 0;14xC + 0;36xD 0;18 1000 xD = 1;5xC x j 0; j A;B;C;D

 8 2 f

 g



1C CC A

Ejercicio 12 Una Granja dispone de 10.000 ha. para el cultivo de maíz, papas y frijoles, además de que una parte de esa super…cie puede utilizarse para la cría de cerdos. El manager de la granja debe decidir cuantas há. debe dedicar a cada cultivo y cuántas a la cría de cerdos para maximizar la ganancia. El costo de la mano de obra es de $5 la hora/hombre para cualquiera de las tareas de cultivo y $7 la hora/hombre para la crianza de cerdos. El número máximo de horas/hombre que se puede contratar es de 48.000 y las necesidades de horas/hombre por há. para cada cultivo y para los cerdos se muestran en la siguiente tabla:

horas / hombre Maíz 3 por há Papa 2 por há Frijol 2 por há Cerdo 4 por c/ 10 cerdos El costo de cada saco de semillas de maíz, papa y frijol y el rendimiento de cada saco de semillas por hectárea viene dado por: Rendimiento/ há Maíz 5 ton. Papa 8 ton. Frijol 2 ton.

Costo (saco de semilla) $10 $8 $6

Además, se sabe que para sembrar una há. de maíz, papa o frijoles se requiere de 2,5 y 3 sacos de semillas respectivamente. La disponibilidad de semillas en el mercado es

12


ilimitada. Si se decide criar cerdos, estos serán alimentados con maíz, el cual puede comprarse al precio del mercado y/o puede utilizarse parte del que se cultive en la granja. Las necesidades de maíz para alimentar a los cerdos hasta que alcancen un peso de 0,3 Ton., adecuado para la venta, es de 3 ton. por cerdo y se sabe que 10 há. es lo que se necesita para criar 20 cerdos. El Precio de venta de cada producto(por Ton.) en el mercado está dado en la tabla siguiente: Precio de Mercado / ton Maíz $25 Papa $15 Frijol $10 Cerdo $200 Plantee un modelo de programación lineal que permita resolver el problema de determinar cuántas há. dedicar a cada cultivo y a la crianza de cerdos y cuánto maíz se debe compar y/o cultivar para la crianza de estos, de modo de maximizar la ganancia total de la granja. Solución. Para el efecto de de…nir variables, debemos primero que todo ver que es lo que queremos responder: Debemos determinar cuantas há. dedicar a cada cultivo: de aquí salen 4 variables: 2 que respondan cuantas há de papa y de frijoles vamos a cultivar; y las otras 2 que respecta al maíz, se debe considerar que hay dos tipos, uno para alimentar a los chanchos y el otro para venderse. Por otro lado cuantas há vamos a dedicar a la crianza de cerdos: de aquí sale 2 variables: en este caso también hay 2 tipos (de chancho), unos que se alimentan con maíz propio y el otro con maíz comprado. y por último cuanto maíz se debe comprar y/o cultivar para la crianza de cerdos: En este caso no hay que de…nir variables ya que el maíz que se va a comprar es proporcional a la cantidad de cerdos que se alimentan con maíz comprado, y el que se va a cultivar es proporcional a la cantidad de cerdos que se alimentan con maíz propio. De…nición de variables:

1. xM 1 := cantidad de há de maíz que se van a dedicar a la alimentación de los cerdos. 2. xM 1 := cantidad de há de maíz que se van a dedicar a la alimentación de los cerdos. 3. xP := cantidad de há que se van a dedicar al cultivo de papas.


13

4. xF := cantidad de há que se van a dedicar al cultivo de frijoles. 5. xC 1 := cantidad de há de que se van a dedicar a la crianza de cerdos con maíz propio. 6. xC 2 := cantidad de há de que se van a dedicar a la crianza de cerdos con maíz comprado. Con lo que respecta a las restricciones, tenemos 3 limitaciones: con las hora/hombre, el terreno disponible, y el número de 1. Terreno disponible:

 10;000

xM 1 + xM 2 + xP + xF + xC 1 + xC 2

(ha)

2. Horas / hombre disponibles 3 (xM 1 + xM 2 ) + 2xP + 2xF +

4 2 (xC 1 + xC 2 ) 10



 48;000

(h=h)

3. La cantidad de maíz x M 1 debe alcanzar para alimentar a los chanchos (xC 1 ) : 3

 20 x  5x 10 C 1

M 1

La función objetivo se divide en 3 partes, debido a que se necesita maximizar la ganancia: a. La ganancia por las ventas (GV ):

 

 

 

 

GV = 25 5 xM 2 + 15 8 xP + 10 8 xF + 200 0;3 2 (xC 1 + xC 2 )

b. El costo del cultivo (materia prima) y la mantención de los chanchos (CCMC ) :



 

 

  

CCMC = 10 2 (xM 1 + xM 2 ) + 8 5 xP + 6 3 xF + 25 3 2 xC 2

c. El costo de las horas hombre (CHH ):



CHH = 5 (3xM 1 + 3xM 2 + 2xP + 2xF ) + 7

 104  2 (x

C 1 +

xC 2 )


14

Luego con las consideraciones anteriores el modelo (P L) nos queda:

0B BB @

max s:a :

 CCMC  CHH x + x + x + x + x + x  10;000 (ha) + x ) + 2x + 2x +  2 (x + x )  48;000 (h=h) 3  x  5x (T ) x ; x ; x ; x ; x ; x  0 z = GV

M 1

3 (xM 1

M 2

M 2

P

P

M 1

F

F

M 2

P

4 10

F

C 1

C 2

C 1 20 10 C 1 C 1

C 2

M 1

C 2

1C CC A

Ejercicio 13 El dueño de una empresa tiene que ir al banco a sacar dinero para pagar el sueldo de sus empleados. El número de empleados que tiene junto con el sueldo respectivo está descrito en la siguiente tabla:

Tipo A B C

Número 25 10 25

Sueldo (miles de pesos) 555 351 225

El pago de los sueldos puede efectuarse utilizando billetes de 1.000, 5.000 y 10.000 pesos, pero el banco pone las siguientes restricciones para el uso de estas denominaciones: 1. Los billetes de 1.000 deben ser, a lo más, el doble de los billetes de 5.000. 2. Los billetes de 5.000 deben ser al menos, la cuarta parte de los de 10.000. 3. Los billetes de 10.000 no pueden ser más del 40% del total. Escriba un modelo de PL que resuelva el problema de determinar cuántos billetes de cada tipo debe pedir el dueño al banco de modo de poder pagar todos los sueldos, cumplir con las disposiciones del banco y que el número total de billetes sea el menor posible. Solución. Sin mayores detalles, de…nimos 9 variables: xij := N  de billetes de i

2 f1; 5; 10g a pagar al tipo j 2 fA;B;C g :


Modelo:

0B BB BB BB B@

mn

15

1C C  C  C  C  C  C P P   CA 2f g 2 f g

z =

P P

xij

i2f1;5;10g j2fA;B;C g

s:a

1000x1A + 5000x5A + 10000x10A = 555 25 1000x1B + 5000x5B + 10000x10 = 351 10 1000x1C + 5000x5C + 10000x10C = 225 25 x1A + x1B + x1C 2 (x5A + x5B + x5C ) x5A + X 5b + X 5c 14 (x10A + x10B + x10C ) 40 x10A + x10B + x10C 100 xij i2f1;5;10g j2fA;B;C g

xij

 0; i

1; 5; 10 ; j

A;B;C

Ejercicio 14 Un productor de whisky importa el licor madre en tres distintas graduaciones: A;B;C . Mediante la mezcla de éstos se obtienen los whiskies de calidades comerciales: Scotch, Kilt y Tartan. Las fórmulas para mezclar los licores contienen especi…caciones y se muestran en la siguiente tabla junto con los precios de venta:

Marca A B C

Precio Venta por litro

Especi…cación No menos del 60 % de A No más del 20% de C No menos del 15 % de A No más del 80% de C No más del 50% de C

$ 680 $ 570 $ 450

Se conocen asimismo las disponibilidades y precios de los licores A; B;C que se indican en el siguiente cuadro: Tipo

Litros disponibles

Precio Compra por litro

A B C

2000 2500 1200

$ 700 $ 500 $ 400

Plantee (sin resolver) un modelo de Programación Lineal que resuelva el problema de hallar el plan de compra de licores y de mezcla de los whiskies comerciales, de modo de maximizar la ganacia del productor. Suponga que todo el whisky que se produzca se venderá. De…na claramente las variables, restricciones y función objetivo. Solución. De…nimos las variables: xij = Cantidad de litros del licor i que se usan para obtener whisky j; i = A; B ; C; j = S; K; T:

16


Restricciones de mezcla: Scotch no menos del 60 % de A :

 0;6(x

xAS

AS +

xBS + xCS );

Scotch no más del 20% de C :

 0;2(x

xCS

AS +

xBS + xCS );

Kilt no menos del 15% de A :

 0;15(x

xBK + xCK );

 0;2(x

xBK + xCK );

xAK

AK +

Kilt no más del 80 % de C : xCK

AK +

Tartan no más del 50% de C :

 0;2(x

xCT

AT

+ xBT + xCT ):

Restricciones de litros disponibles: No más de 2000 lts. de A :

 2000;

xAS + xAK + xAT

No más de 2500 lts. de B :

 2500;

xBS + xBK + xBT

No más de 1200 lts. de C :

 1200:

xCS + xCK + xCT

Restricciones de positividad: xij

Función objetivo:

 0;

i = A; B; C;

j = S; K; T:


17

Total de ingresos: I = 680(xAS + xBS + xCS ) + 570(xAK + xBK + xCK ) + 450(xAT + xBT + xCT );

Total de gastos: G = 700(xAS + xAK + xAT ) + 500(xBS + xBK + xBT ) + 400(xCS + xCK + xCT );

Total de ganancia: z = I

 G:

Resumiendo, el modelo queda:

0B BB BB BB B@

max s:a :

z = I

 0;6(x  0;2(x  0;15(x  0;2(x  0;2(x

xAS xCS

G

xBS + xCS ) AS + xBS + xCS ) xAK AK + xBK + xCK ) xCK AK + xBK + xCK ) xCT AT + xBT + xCT ) xAS + xAK + xAT 2000 xBS + xBK + xBT 2500 xCS + xCK + xCT 1200 xij 0; i = A; B; C; j = S; K; T:



AS +

  

1C CC CC CC CA

Ejercicio 15 Una empresa fabricante de tostadoras eléctricas debe tomar una decisión sobre la producción de un nuevo modelo. La empresa tiene la posibilidad de emplear 3 técnicas alternativas de producción: manula, semi-automática y robotizada. Los requerimientos de cada técnica para fabricar una tostadora se resumen en el siguiente cuadro:

Mano de Obra Especializada Mano de Obra No-Especializada Tiempo de Taller de Ensamblado

TÉCNICA DE ENSAMBLADO Manual Sem-Aut. Robot. 1 min 4 min 8 min 40 min 30 min 20 min 3 min 2 min 4 min

La disponibilidad de recursos para este producto son los siguientes: 75 horas de Mano de Obra Especializada, 60 horas de Mano de Obra No-Especializada y 45 horas de tiempo disponible en el taller de ensamblado.

18


El costo total de producción es de $7 po tostadora manual, $8 por tostadora de producción semi-automática y $8.50 por tostadora de producción robotizada. El convenio con el gremio establece que el total de tiempo de Mano de Obra Especializada debe ser al menos el %10 del total de tiempo empleado en Mano de Obra (especializada + No especializada). El tiempo de Taller no utilizado (si existe ) será alquilado a una tasa de ganancia de $0.50 el minuto. Formule un modelo de programación lineal que permita determinar como producir 1000 tostadoras con un costo mínimo. De…na claramente las variables, la función objetivo y las restricciones. Ejercicio 16 Bajo las condiciones de trabajo normales una fábrica produce sobre 100 unidades de cierto producto en cada uno de los 4 periodos de tiempo consecutivos a un costo que varía de periodo en periodo de tiempo como se muestra a continuación. Unidades adicionales pueden ser producidas en horas extras de trabajo. La cantidad máxima y el costo son mostradas en la siguiente tabla, junto con el pronóstico de demanda para el producto en cada uno de los 4 periodos de tiempo

Período Demanda Costo Capacidad Costo de tiempo (un) Producción producción Producción Normal tiempo extra tiempo extra 1 130 6 60 8 2 80 4 65 6 3 125 8 70 10 4 195 9 60 11 Es posible manejar 70 unidades del producto en stock desde un periodo hasta el siguiente a un costo de $1;5 por unidad por periodo. Formule(Sin resolver) un Problema de programación lineal que permita determinar el calendario de producción y almacenamiento que satisfagan las demandas durante los cuatro períodos de tiempo a un costo mínimo, sabiendo que al comienzo del período 1 tenemos 15 unidades en stock.

Solución. Partamos de…niendo las variables: xi : Número de unidades producidas en un período de tiempo normal i , i = 1; : : : ; 4 yi : Número de unidades producidas en un período de tiempo extra i , i = 1; : : : ; 4 zi : Número de unidades en stock al …nal del período i , i = 1; : : : ; 4 La función objetivo viene dada por mn z = (6x1 +4x2 +8x3 +9x4 )+(8y1 +6y2 +10y3 +11y4 )+(1;5z1 +1;5z2 +1;5z3 +1;5z4 )

1.4. EJERCICIOS PROPUESTOS

19

y restricciones para manejar la demanda

 z = 130  z = 80 restricciones de producción:  z = 125  z = 195 x  100; i = 1; 2; 3; 4 y  60; y  65 y  70; y  60 la limitaciones de la bodega: z  70 i = 1; 2; 3; 4 …nalmente hay que considerar la positividad de las variables x ; y ; z  0; i = 1; 2; 3; 4. el modelo queda: x1 + y1 + 15 x2 + y2 + z1 x3 + y3 + z2 x4 + y4 + z3

1

2

3 4

i

1

2

3

4

i

i

0B BB BB B@

1.4.

i

i

z = (6x1 + 4x2 + 8x3 + 9x4 ) + (8y1 + 6y2 + 10y3 + 11y4 ) mn +(1;5z1 + 1;5z2 + 1;5z3 + 1;5z4 ) s:a x1 + y1 + 15 z1 = 130 x2 + y2 + z1 z2 = 80 x3 + y3 + z2 z3 = 125 x4 + y4 + z3 z4 = 195 xi 100; zi 70 i = 1; 2; 3; 4 y1 60; y2 65 y3 70; y4 60 xi ; yi ; zi 0; i = 1; 2; 3; 4

 



     





1C CC CC CA

Ejercicios Propuestos

1. Sunco Oil produce tres tipos de gasolinas (G1, G2 y G3). Cada tipo es producido combinando tres tipos de crudo (C1, C2 y C3). Las ventas en dólares por barril de gasolina son: G1 en 70, G2 en 60 y G3 en 50. Los costos en dólares por barril de crudo son: C1 en 45, C2 en 35 y C3 en 25. Sunco puede comprar hasta 5000 barriles de cada tipo de crudo al día. Los tres tipos de gasolina di…eren en octanaje y en porcentaje de azufre. Para producir G1 la combinación de crudos debe tener en promedio un octanaje al menos de 10 y contener no más de 1 % de azufre. Para producir G2, el octanaje promedio es de al menos 8 y contener no más de 2 % de azufre. Para producir G3, el octanaje promedio es de al menos de 6 y contener no más de 1% de azufre. C1 posee un octanaje de 12 y 0.5% azufre, C2 posee un octanaje de 6 y 2.0 % de azufre, y C3 posee un octanaje de 8 y 3.0 % de azufre. El costo de transformación de un barril de crudo en uno de gasolina es de 4 dólares. Sunco puede producir a lo más 14.000 barriles de gasolina al día. Los clientes de Sunco requieren 3.000 barriles de G1, 2.000 barriles de G2, y 1.000 barriles de G3 por día. Sunco considera una obligación satisfacer estos requerimientos. Es un hecho que la publicidad estimula la demanda de sus productos. Cada dólar gastado en la publicidad de uno de sus productos aumenta la demanda diaria


20

en 10 barriles. Formule un modelo de PL que permita a Sunco maximizar sus ganancias diarias. 2. Una o…cina postal requiere un cierto número mínimo de empleados de tiempo completo dependiendo del día de la semana. La siguiente tabla muestra los requisitos. La unión de trabajadores establece que un trabajador de tiempo completo debe trabajar 5 días consecutivos y descansar los siguientes 2. Formule el problema de determinar el número de empleados de tiempo completo mínimo que debe tener la o…cina postal. Día Empleados de tiempo completo requeridos Lunes 17 Martes 13 Miércoles 15 Jueves 14 Viernes 16 Sábado 16 Domingo 11

3. Una compañía fabrica dos tipos de productos, el tipo A y el tipo B. Un producto A se vende en $27 y requiere materia prima por un costo de $10. El costo de mano de obra de cada producto A es de $14. Por otro lado, un producto B se vende en $21 y requiere materia prima por un costo de $9. El costo de mano de obra de cada producto B es de $10. La manufactura de los productos A y B requiere dos tipos de labor: carpintería y acabado. Cada producto A requiere 2 horas de acabado y 1 de carpintería, mientras que un producto B requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpinter´¬a. Cada semana la campañía dispone de 100 horas para acabado y 80 horas para carpintería. Mientras que la demanda de productos B es ilimitada, se estima que la compañía vende a lo más 40 productos A por semana. La compañía desea hacer un plan de producción semanal que maximice la ganancia. 4. A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos, A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No debe tomar más de 150 gr. ni menos de 50 gr., la cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. Si 1000 gr. de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías; y 100 gr de B contienen 20 gr. y 150 calorías: a ) ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado

más rico en vitaminas?. b)

¿Y el más pobre en calorías?.


21

5. Un productor de whisky importa el licor madre en tres distintas graduaciones: A;B;C . Mediante la mezcla de éstos se obtienen los whiskies de calidades comerciales: Scotch, Kilt y Tartan. Las fórmulas para mezclar los licores contienen especi…caciones y se muestran en la siguiente tabla junto con los precios de venta: Marca A B C

Precio Venta por litro

Especi…cación No menos del 60 % de A No más del 20% de C No menos del 15 % de A No más del 80% de C No más del 50 % de C

$ 680 $ 570 $ 450

Se conocen asimismo las disponibilidades y precios de los licores A; B;C que se indican en el siguiente cuadro: Tipo

Litros disponibles

Precio Compra por litro

A B C

2000 2500 1200

$ 700 $ 500 $ 400

Plantee (sin resolver) un modelo de Programación Lineal que resuelva el problema de hallar el plan de compra de licores y de mezcla de los whiskies comerciales, de modo de maximizar la ganacia del productor. Suponga que todo el whisky que se produzca se venderá. De…na claramente las variables, restricciones y función objetivo. 6. Una Empresa fabrica dos tipos de electrodomésticos, que indicaremos por E 1 y E 2 . Cada unidad de E 1 contribuye con e300 a los ingresos de la Empresa y cada unidad de E 2 con e400. Para la producción se necesitan dos tipos de máquinas (M1 y M2), y en la siguiente tabla se dan los recursos necesarios para producir cada unidad: E 1 E 2

horas en M1 0.8 1

horas en M2 0.6 0.7

Kg. acero 20 30

Actualmente la empresa dispone de varias máquinas de tipo M2 que pueden trabajar un total de hasta 73 horas semanales y dispone de 2600Kg de acero para la próxima semana. Las máquinas de tipo M1 deben ser alquiladas y se puede contratar hasta 98 horas semanales a un costo de e50 la hora. Consideraciones de

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mercado indican que hay que producir por lo menos 26 unidades de E 2 y la cantidad a producir de E 1 debe ser por lo menos 3 veces la cantidad que se produzca de E 2 . Formule un modelo de programación lineal que, respetando las condiciones de producción y de mercado, permita maximizar las ganancias de la Empresa en la próxima semana. 7. Una empresa fabricante de tostadoras eléctricas debe tomar una decisión sobre la producción de un nuevo modelo. La empresa tiene la posibilidad de emplear 3 técnicas alternativas de producción: manula, semi-automática y robotizada. Los requerimientos de cada técnica para fabricar una tostadora se resumen en el siguiente cuadro:

Mano de Obra Especializada Mano de Obra No-Especializada Tiempo de Taller de Ensamblado

TÉCNICA DE ENSAMBLADO Manual Sem-Aut. Robot. 1 min 4 min 8 min 40 min 30 min 20 min 3 min 2 min 4 min

La disponibilidad de recursos para este producto son los siguientes: 75 horas de Mano de Obra Especializada, 60 horas de Mano de Obra No-Especializada y 45 horas de tiempo disponible en el taller de ensamblado. El costo total de producción es de $7 po tostadora manual, $8 por tostadora de producción semi-automática y $8.50 por tostadora de producción robotizada. El convenio con el gremio establece que el total de tiempo de Mano de Obra Especializada debe ser al menos el %10 del total de tiempo empleado en Mano de Obra (especializada + No especializada). El tiempo de Taller no utilizado (si existe ) será alquilado a una tasa de ganancia de $0.50 el minuto. Formule un modelo de programación lineal que permita determinar como producir 1000 tostadoras con un costo mínimo. De…na claramente las variables, la función objetivo y las restricciones. 8. Para la elaboración de un producto se necesitan 4 materias primas que contienen cierto factor F en las proporciones indicadas en la tabla siguiente, donde también aparecen los costos por K g: de cada materia prima: mat. prima A A C D

contenido de F ( %) 61 11 14 36

costo por Kg ($) 4 2 5 3


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La materia prima D está asociada a la materia prima C, lo que signi…ca que por cada Kg que se compre de C se debe adquirir 1.5 Kg de D. Escriba un modelo de programación lineal que permita determinar cuanta materia prima de cada clase debe comprarse de modo que se obtenga una tonelada de mezcla (1000 Kg.) con un contenido del facor F de por lo menos 18%. 9. Una Granja dispone de 10.000 ha. para el cultivo de maíz, papas y frijoles, además de que una parte de esa super…cie puede utilizarse para la cría de cerdos. El manager de la granja debe decidir cuantas há. debe dedicar a cada cultivo y cuántas a la cría de cerdos para maximizar la ganancia. El costo de la mano de obra es de $5 la hora/hombre para cualquiera de las tareas de cultivo y $7 la hora/hombre para la crianza de cerdos. El número máximo de horas/hombre que se puede contratar es de 48.000 y las necesidades de horas/hombre por há. para cada cultivo y para los cerdos se muestran en la siguiente tabla: horas / hombre Maíz 3 por há Papa 2 por há Frijol 2 por há Cerdo 4 por c/ 10 cerdos El costo de cada saco de semillas de maíz, papa y frijol y el rendimiento de cada saco de semillas por hectárea viene dado por: Rendimiento/ há Costo (saco de semilla) Maíz 5 ton. $10 Papa 8 ton. $8 Frijol 2 ton. $6 Además, se sabe que para sembrar una há. de maíz, papa o frijoles se requiere de 2,5 y 3 sacos de semillas respectivamente. La disponibilidad de semillas en el mercado es ilimitada. Si se decide criar cerdos, estos serán alimentados con maíz, el cual puede comprarse al precio del mercado y/o puede utilizarse parte del que se cultive en la granja. Las necesidades de maíz para alimentar a los cerdos hasta que alcancen un peso de 0,3 Ton., adecuado para la venta, es de 3 ton. por cerdo y se sabe que 10 há. es lo que se necesita para criar 20 cerdos. El Precio de venta de cada producto(por Ton.) en el mercado está dado en la tabla siguiente: Precio de Mercado / ton Maíz $25 Papa $15 Frijol $10 Cerdo $200

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Plantee un modelo de programación lineal que permita resolver el problema de determinar cuántas há. dedicar a cada cultivo y a la crianza de cerdos y cuánto maíz se debe compar y/o cultivar para la crianza de estos, de modo de maximizar la ganancia total de la granja. 10. Un comerciante compra azúcar a granel y vende al detalle. Para venderla tiene dos alternativas: envases de 1 kg y envases de 5 kg. El precio de venta es $300 y $250 por kg respectivamente, y en el mercado del azúcar al detalle se pueden vender 20.000 kg en envases de 1 kg y 17.000 en envases de 5 kg. Debido a un contrato anterior se deben entregar 5.000 kg en envases de 5 kg a un determinado cliente. El comerciante se puede abastecer de azúcar desde dos proveedores. El primero le puede vender hasta 15.000 kg a un precio de $90 por kg, y el segundo le ofrece la cantidad de azúcar que el comerciante desee, pero a un precio de $110 por kg y debido a requerimientos de sus distribuidores el comerciante debe vender menos del tercio del azúcar en envases de 1 kg. Además, suponga que el precio de los envases y el proceso de envasado son nulos,y que el comerciante no tiene azúcar almacenada y vende todo el azúcar que compra. Formule un problema de programación lineal que permita al comerciante decidir cual es el plan de abastecimiento y ventas de modo de obtener el mayor bene…cio en su negocio. 11. Los auxiliares de un curso de optimización de una universidad de gran prestigio, han decidido, para hacer un bien a los alumnos de su facultad, abrir una agencia de citas. La cantidad de inscritos en la agencia es de M +N siendo M la cantidad de mujeres y N la cantidad de hombres. Se tiene, dadas las características demográ…cas de la facultad, que N > M . Todos los inscritos se “ubican” entre ellos (solo de vista) y han informado con…dencialmente a la agencia que la preferencia de una mujer m por emparejarse con un hombre n es de PMmn y la preferencia de un hombre n por emparejarse con una mujer m es de PHnm. Adicionalmente a cada inscrito se le hace un test te personalidad y mediante un estudio, profundo y 100% certero, se determina si existirá compatibilidad entre cada combinación de parejas, obteniendo valores Cmn que serán 1 si la pareja del hombre n con la mujer m es compatible y 0 si la pareja no es compatible. Cada persona es compatible con al menos una pareja. La agencia debe decidir a qué actividades enviar a cada pareja durante su cita (ej: ir al cine, a comer, etc) para esto la agencia cuenta con una variedad de A actividades y con un presupuesto …jo dado por PSPTO y se sabe que en cada actividad a la mujer m gastará Gma dependiendo del nivel de gasto al que esté


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habituado la mujer y se sabe que un hombre gasta Ka si realiza la actividad a, este gasto es igual para todos los hombres. Se tiene además que cada pareja no puede realizar más de tres actividades en su cita. La preferencia de un hombre n por hacer la actividad a está dada por SHna y la preferencia de una mujer m por hacer la actividad a está dada por SMma. Se sabe que una persona solo puede ser asignada una sola vez y que todas las mujeres deben tener pareja. Los auxiliares del curso han decidido solicitar ayuda a sus alumnos pidiéndole a cada uno que formule un modelo de programación lineal entera para la primera ronda de citas, que maximice el nivel de satisfacción de preferencias. 12. Una empresa fabrica y también importa cierta mercancía (por ejemplo televisores) y la distribuye entre sus clientes. Las cantidades disponibles de la mercancía en los almacenes suministradores extranjeros y los pedidos de los clientes para los primeros 6 meses del año son conocidos y vienen dados en la tabla siguiente: Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Dispon. Almacenes 50 Demandas de Clientes 30

60 40

40 10

50 25

30 60

50 100

La empresa también puede fabricar las mercancías, pero por su tecnología el costo le sale a $200 cada una y tiene un límite de producción de 40 unidades mensuales. Los costos por unidad de la mercancía importada y el precio de venta varían según el mes de año y están dados por: Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Costo/unidad $150 Precio venta/unidad $300

$200 $400

$240 $500

$200 $450

$150 $350

$240 $250

Suponga que las mercancías fabricadas en un mes sólo pueden venderse en el mes siguiente, que las compras se realizan a principios de cada mes y las ventas a los clientes al …nal de cada mes. Entonces es posible que haya que tener mercancías almacenadas, con lo cual se incurrira en un costo de almacenamiento de $5 por unidad. A principios de Enero la empresa dispone de 10 unidades de la mercancía en almacén. Plantee un modelo de PL que resuelva el problema de cómo plani…car la producción y las compras de cada mes de modo de satisfacer las demandas de los clientes y obtener una ganancia máxima.

26


13. Una empresa que fabrica computadoras debe satisfacer las demandas de los próximos cuatro trimestres, que vienen dadas por: Trimestre Demanda 1 2 3 4

700 1500 1000 800

La empresa dispone de 500 computadoras en almacén y tiene capacidad para producir 1000 computadoras por trimestre, a un costo de $1000 cada una. Esta producción puede aumentarse si es necesario (pagando horas extras) en 250 computadoras más por trimestre, pero a un costo de $2000 cada una de las adicionales. Las computadores producidas en un trimestre pueden ser usadas en otro trimestre para satisfacer la demanda, pero entonces existe un costo de $100 por cada computador en almacén durante un trimestre. Escriba un modelo de PL que resuelva el problema de cuánto debe producir esta empresa en cada trimestre de modo de satisfacer todas las demandas con un costo de producción y almacenamiento mínimo. 14. Una compañía produce un ensamblado que consta de un bastidor, una barra y un cojinete. La compañía fabrica las barras y los bastidores, pero tiene que comprar los cojinetes a otro fabricante hasta un máximo de 20,000 cojinetes. Cada barra debe procesarse en una máquina de forja, un torno y un esmeril. Estas operaciones requieren de 0.5 horas, 0.2 horas y 0.3 horas por barra, respectivamente. Cada bastidor requiere de 0.8 horas de trabajo de forja, 0.1 horas en el taladro, 0.3 horas en la fresadora y 0.5 horas en el esmeril. La compañía tiene 5 tornos, 10 esmeriles, 20 máquinas de forja, 3 taladros y 6 fresadoras. Suponga que cada máquina opera un máximo de 2,400 horas al año. Plantee (sin resolver) un problema de programación lineal que permita encontrar el número máximo de ensamblados que es posible producir. 15. Un aserrío de la IX Región recibe de sus proveedores solamente tablas de importación de 50 cms. de ancho cada una. La administración del aserrío recibe solicitudes de sus clientes de 300 tablas de 28 cms. de ancho, 500 tablas de 20 cms. y 200 tablas de 16 cms. Plantee un modelo de PL que permita hallar cuántas tablas deberán cortarse y en que forma para que se logre un mínimo desperdicio de madera y se satisfagan las solicitudes de los clientes. 16. Una empresa dispone de 100 millones de pesos y desea invertirlos de manera óptima de forma que al cabo de un año se haya obtenido la ganancia máxima. Existen las siguientes posibilidades de inversión:


27

a )

Depositar el dinero en el banco para ganar intereses. El interés es del 12 % anual sobre el capital. b ) Comprar materias primas como madera, aluminio y accesorios para fabricar y vender cierto tipo de muebles. La madera cuesta $4,000 el m3, el aluminio viene en láminas y cuesta $3.500 cada lámina y los accesorios cuestan $350 el kg. Para hacer un mueble se necesitan 5 m3 de madera, 2 láminas de aluminio, 4 kg. de accesorios y 8 horas/hombre. Estas últimas cuestan $2.500 la hora/hombre. Cada mueble puede venderse a $60.000 en el mercado y se sabe que durante un año se venden no más de 150 muebles. c ) Comprar piezas de automóviles en el extranjero para revenderlas en el mercado nacional. Se pueden comprar llantas, radiadores y alarmas. Las llantas pueden comprarse a $15.000 y venderse a $20.000; los radiadores cuestan $50.000 y se venden a $70.000 y las alarmas valen $35.000 y su precio de venta es de $55.000. Se sabe que en un año se venden no más de 40 juegos de 4 llantas, 20 radiadores y 100 alarmas. Escriba un modelo de programación lineal que permita resolver el problema de como invertir mejor el dinero y que dé respuesta a las siguientes preguntas: ¿Qué parte del capital inicial debe invertirse en cada una de las tres posibilidades de inversión?, ¿Cuánto debe depositarse en el banco?, ¿Cuánta materia prima se debe comprar y cuántos muebles deben fabricar para vender?, ¿Cuántas piezas de auto de cada tipo se deben comprar para vender?

17. La compañía de pinturas Manchita produce tres tipos de pintura adicionando a una pintura base cuatro productos o aditivos químicos (Q1 a Q4). Se tiene abundante pintura base disponible y cuyo costo ya fue cubierto. La compañía desea determinar la cantidad de toneladas de cada tipo de pintura que debe producir de manera que maximice la ganancia total. Las únicas restricciones se deben a la disponibilidad de los aditivos químicos requeridos. Las ganancias obtenidas por las toneladas de pintura producida aparecen en la tabla siguiente. Ejercicio 17 Un empresario cuenta con tres millones de pesos para invertir en una microempresa de producción de mermelada que tiene en mente. Para empezar, fabricar a mermelada de frutilla y frambuesa, ya que son las de mayor demanda en la zona. Un estudio de mercado le indica que, para satisfacer la demanda de la localidad deber a producir las siguientes cantidades mensuales de mermelada, expresada en kilos en la siguiente tabla:

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Frutilla 500 300 250 250 200 200 Frambuesa 400 400 450 350 400 300

28


Además, ha descubierto que la calidad de la fruta var a dependiendo la época del año, lo cual hace que el kilo de fruta rinda una cierta cantidad de kilos de mermelada, cosa que se aprecia en la siguiente tabla: Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Frutilla 0.5 0.55 0.6 0.6 0.65 0.65 Frambuesa 0.6 0.55 0.45 0.4 0.4 0.3 Como la frambuesa se va deteriorando en el tiempo, el individuo ha evaluado la opción de congelar frambuesa para usar los meses siguientes, aunque cada mes que la frambuesa se mantenga congelada, pierde un 10% de e…ciencia en la generación de mermelada. El empresario ha estimado que el precio del kilo de frutilla ser a de mil pesos y el de frambuesa mil quinientos, los cuales ir a comprando mes a mes con el capital inicial más las ganancias obtenidas. Si los precios de venta que tiene contemplado son de dos mil pesos para el kilo de mermelada de frutilla y tres mil para el de frambuesa, realice un modelo de programación lineal que entregue la máxima ganancia posible a lo largo de los seis meses.

Capítulo 2

Conjuntos Convexos y Poliedros 2.1.

Direcciones In…nitas y Extremales

Ejercicio 18 Considere el siguiente poliedro:



2

P = x 2 R



 4; x  4; x  1

: x 1 + x2

2

1

1. Deermine si los siguientes puntos son extremales: T

a ) x1 = (2; 3)

T

b ) x2 = (2; 2)

T

c ) x3 = (1; 3)

T

d ) x4 = (1; 2)

2. Determine si las siguientes direcciones son extremales. T

a ) d1 = (0; 1)

T

b ) d2 = (1; 1)

T

c ) d3 = (1; 2)

T

d ) d4 = (2; 0)

3. Identi…que los puntos y direcciones obtenidas en el item 1 y 2, en un grá…co del poliedro P . Concluya que

P P

Ext ( ) = e 1

=

n n

T

T

(2; 2) ; (1; 3)

o o

(0; 1)T ; (2; 0)T .

Por último, use el teorema de Caratheodory, para expresar el punto x = (3; 4) como una combinación convexa de los puntos extremales y una combinación positiva de las direcciones extremales de P . 29

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS CONVEXOS Y POLIEDROS

30 Solución.

1. Para poder ocupar los teoremas de caracterización, debemos obligatoriamente poner el poliedro en forma estandar:

8 < Pe : 2 =

x

R5

9= ;



x1 + x2 x3 = 4 : x2 x4 = 4 x1 x5 = 1

 

aquí A =

0@

1

1 1 0 1 1 0

0 0

0 1 0



1A  Pe 0 0 1

a ) Primero busquemos las componentes que faltan, en el poliedro estandarizado,

para ellos reemplacemos las primeras componentes de x 1 = (2; 3) en , esto es: 2+3 3 2

h 3 h 4 h 5

x x x

h 3 h 4 h 5

)x )x )x

= 4= = 2= = 1=

=1 =1 = 1;

luego x1 = (2; 3)T

T

! x = (2; 3; 1; 1; 1) x no es extremal, ya que al menos n  m = 5  3 = 2 de sus componentes 1

1

deberian ser nulas. b ) x2 = (2; 2) : Análogo al caso anterior, busquemos las componentes que faltan: h 3 h 4 h 5

x x x

h 3 h 4 h 5

)x =0 )x =0 )x =1 , tenemos que x  0, tiene al menos n  m =

2+2 2 2

= 4= = 2= = 1=

luego x2 = (2; 2; 0; 0; 1)T 2 5  3 = 2 componentes nulas y la matriz B que corresponde a las columnas de la matriz A asociadas a las componentes distintas de cero es B =

y es invertible, puesto que

0@

1 1 0 1 1 0

1A  0 0 1

1 6= 0 . Se concluye que x es un punto extremal de P . det(B) =

2

2.1. DIRECCIONES INFINITAS Y EXTREMALES

31

T

c ) x3 = (1; 3)

. Procediendo de la misma forma que en el item anterior: 1+3 3 1

h 3 h 4 h 5

x x x

h 3 h 4 h 5

)x )x )x

= 4= = 2= = 1=

=0 =1 =0

luego x3 = (1; 3; 0; 1; 0)T  0 , tiene al menos 2 ceros en sus componentes y la matriz B , cuyas columnas son la 1,2 y 4, de la matriz A; es B =

0@

1A 

1 1 0 1 1 0

0 1 0

; y det(B) =

1

x 3 es un punto extremal de . T d ) x4 = (1; 2) : Este punto no es extremal por que ni siquiera es falctible, viola las restricciones: x1 + x 2 4; x2 4 de . Otra forma de obtener una )

P





P

conclusión análoga, es encontrar las componentes faltantes en el poliedro estandarizado, esto es: x 4 = (1; 2; 1; 0; 0)T  0.

2. Recordemos que :

e

2 P () Ad = 0; d  0 y B a y 9B , A = [B; N ] : d =  e d

e

e

e 1

2 P () d 2 P B a  0, a 2 N d

1

j

1

j

1



1 j

e

T

a ) d1 = (0; 1)

j



;

 0, det(B) 6= 0;

. Busquemos el equivalente en P ; esto es, debemos buscar las componentes en el poliedro homogéneo:

8< :2

R5

d



d1 + d2 d3 = 0 d2 d4 = 0 ; d : d1 d5 = 10

 

0+1 1 0

d d d

3 4 5

9=  ; 0

) d = 1 ) d = 1 ) d = 0

= 0= = 0= = 0=

3

;

4 5

luego obtenemos el punto (0; 1; 1; 1; 0)T  0; debemos veri…car que al menos tiene n  m  1 = 1 ceros, los cual es el caso, además haciendo e 4 = (1; 0) y tomando B como B = e luego el punto d 1 2 P 1 :

0@

1 1 0 1 1 0

1 0 0

1A ) =

det(B) = 1


32

e

Sin mayores detalles el equivalente a d2 en P es (1; 1; 2; 1; 1)T lo cual no contiene ningún cero, por tanto sólo es dirección in…nita. c ) Análogo al caso anterior 2 , es in…nita pero no extremal. d ) Aquí d4 = (2; 0) = 2 (1; 0) luego solo necesitamos veri…car para (1; 0) : El equivalente a esta dirección en P es (1; 0; 1; 0; 1)T ; y aquí se sigue análogo al caso 1, con b)

B =

e 0@  1A 1 1 0 1 1 0

1 0 0

y e 5 = (0; 1)T

Ejercicio 19 Sea el siguiente poliedro: 2

P = fX = (x ; x ) 2 R 1

2

 6; x + 2x  2; x 2 R; x  0g:

: 2x1 + x2

1

2

1

2

a) Determine, utilizando el teorema de caracterización, cuáles de los puntos X 1 = (2; 0); X 2 = (3; 0) y X 3 = 15 ; 12 son puntos extremales de P : 7 7

 

b) Compruebe, utilizando el teorema de caracterización, que el vector D = (2; 1) es una dirección extremal de P . Solución.

a) Para aplicar los teoremas de caracterización necesitamos escribir el poliedro en forma estándar. Para ello introducimos las variables de holgura x 3 y x4 y separamos la variable x1; irrestricta en signo, en la diferencia de dos positivas x1 = x11  x12 :

8 eP <: 2  =

X

R5

 

2x11 2x12 + x2 + x3 = 6; : x11 x12 + 2x2 x4 = 2; X = (x11 ; x12 ; x2 ; x3 ; x4 ) 0:





La matriz A y el vector b del sistema son:

9= ;

   Pe !  ! !  

A =

2 1

2 1

1 1 2 0

0 1

;

b =

6 2

:

El rango de A es m = 2 y por lo tanto, podemos aplicar el teorema de caracterización. Calculemos los vectores asociados a X 1 ; X 2 y X 3 en : X 1 = (2; 0) X 2 = (3; 0) 15 12 X 3 = ; 7 7

 1 = (2; 0; 0; 2; 0) ; X  2 = (3; 0; 0; 0; 1) ; X  3 = 15 ; 0; 12 ; 0; 25 X 7 7 7 t

t

t

:


33

1 y X  2 son puntos extremales de porque son soluciones positivas del sistema X AX = b y las matrices asociadas a las componentes > 0 son:

e   P

B1 =

2 1 1 0

y B 2 =

  2 1

0 1



respectivamente. Ambas son no singulares pues det(B1 ) = 1 y det(B2 ) = 2. Además, ambas soluciones tienen n  m = 5  2 = 3 componentes nulas. Sin  3 no es un punto extremal porque tiene sólo 2 componentes embargo, el punto X iguales a cero. En conclusión, sólo X 1 y X 2 son puntos extremales de P .

 en el poliedro P , que debe satisfacer: b) Al vector D le corresponde el vector D

 AD =



2 1

2 1

1 1 2 0

0 B  B @ 0 1

 11 D  12 D 2 D 3 D 4 D

e1 CC   A =

0 0

y tener todas sus componentes positivas. Por lo tanto:  11 2D  11 D

 2D  + D + D  D + 2D   D 12

12

2

3

2

4

= 0; = 0:

 11 = 0; D  12 = 2; D  2 = 1; obtenemos: Sustituyendo D

4 + 1 + D 2 + 2  D

3 4

= 0; = 0;

 3 = 3 y D  4 = 0. En conclusión, al vector D le corresponde el vector con lo cual D  = (0; 2; 1; 3; 0) en P . Es una solución del sistema homogéneo AD = 0 con D   05 y la submatriz asociada a las componentes que componentes positivas D escogemos como básicas f2; 4g es no singular: t

e

B =

   

2 1 1 0

; det(B) = 1:

Como tiene además, n  m  1 = 5  2  1 = 2 componentes iguales a cero y un  es vector unitario (0; 1; 0) en las componentes no básicas f1; 3; 5g, la dirección D una dirección extremal de P y por lo tanto D = (2; 1) es una dirección extremal de P .

e


34

Ejercicio 20 a) Dibuje un poliedro P en R 2 que tenga 3 puntos extremales y una única dirección extremal d = (1; 0). t

b) Halle la matriz A y el vector b que permitan escribir el poliedro P hallado en a) en la forma canónica:



2

P = x 2 R Solución.

: Ax



 b; x  0

:

a) Una posible grá…ca en R2 del poliedro se muestra en la …gura. Los puntos extremales están marcados y las rectas paralelas y = 0; y = 3 obligan a que la única dirección extremal sea d = (1; 0) : Pueden construirse multitud de ejemplos de esta forma, poniendo una recta paralela al eje X e intersectando otras dos rectas en un punto que esté entre el eje X y la recta paralela al eje. t

Fig:

b) Una recta intersecta los ejes en los puntos (0; 3); (1; 0) y la otra en los puntos (3; 0); (0; 1). Las respectivas ecuaciones se escriben: y = y =

3(x  1);  13 (x  3):

Por lo tanto, el poliedro se de…ne por las desigualdades:

8><   9 > =   P > :   >; 0@   1A 0@ 1A     P  2    =

3x + y 1 x + 3y 3 (x; y) : 0 y 3 x 0:

;

y las matrices que lo representan en forma canónica serán: A =

3 1 0

1 3 1

;

R2 : Ax

= x

b =

1 3 3

b; x

02 :

Ejercicio 21 Considere el poliedro siguiente:

P =



(x1 ; x2 )

2

2R

: 3x1



 5x  15;  5x + 2x  10; x ; x  0 2

1

2

1

2


35

a) Dibuje el grá…co de P y halle, con ayuda del grá…co, todos los puntos extremales y todas las direcciones extremales de P : b) Utilice el teorema que caracteriza los puntos extremales para veri…car que el vector (x1 ; x2 ) = (0; 5) es un punto extremal de P : t

c) Utilice el teorema que caracteriza las direcciones extremales para veri…car que el vector (d1 ; d2 ) = (2; 5) es una dirección extremal de P : t

t

Solución.

a) En el grá…co:

 GRAFICO 1

se encuentran fácilmente los puntos extremales x1 = (0; 3) y x2 = (0; 5) . Las direcciones extremales son los vectores directores de las rectas 5x1 + 2x2 = 10 y 3x1  5x2 = 15, en la dirección del cuadrante positivo. Son entonces d 1 = (2; 5) y d2 = (5; 3), o cualquier múltiplo positivo de ellas. t

t

t

b) El poliedro en forma estándar se escribe:



P ~ = x 2 R : 3x + 5x  x 4

1

h 3

2

que tiene: A =

 



= 15;

3 5 5 2

h 4

 5x + 2x + x

1 0

1

0 1

2

   ; b =



 0; i = 1; 4

= 10; xi

15 10

;

:

~ , los puntos extremales hallados tienen coordenadas: Con respecto a P x1 =

t

(0; 3; 0; 4) ;

x2 =

t

(0; 5; 10; 0) ;

las que se obtienen resolviendo el sistema A x = b . La matriz A tiene rango 2 evidentemente y por eso el teorema de caracterización puede ser aplicado. El punto x2 = (0; 5; 10; 0) satisface las condiciones de un punto extremal porque: t

1. Es solución del sistema de ecuaciones, 2. Tiene n  m = 4  2 = 2 componentes iguales a 0 , 3. La submatriz B de A , asociada a las componentes diferentes de cero: B =

es no singular, det(B) = 5 6 = 0.

  5 0 2 1


36

4. Tiene todas sus componentes positivas. ~ , las coordenadas de las direcciones extremales halladas son: c) Con respecto a P d1 =

(2; 5; 4; 0) ;

d2 =

t

(5; 3; 0; 29) ; t

las que se obtienen resolviendo el sistema homogéneo A x =0. El vector d2 = 29  ( 295 ; 293 ; 0; 1) satisface las condiciones de dirección extremal porque: t

1. Es solución del sistema homogéneo, 2. Tiene n  m  1 = 4  2  1 = 1 componente igual a 0 , 3. La submatriz B de A; asociada a las componentes f1; 2g, diferentes de cero:

   3 5 5 2

B =

 es no singular det(B) = 6 + 25 = 19 = 6 0:

4. Tiene todas sus componentes positivas, 5. Es un múltiplo positivo  = 29 del vector ( 295 ; 293 ; 0; 1) cuyas componentes f3; 4g forman un vector unitario. t

2.2.


Ejercicio 22 Solución. 1.

2. Considere la siguiente familia de poliedros, dependiente de los parámetros  y  :

P (;  ) = a )

8< :2 x

R4

    

 

x1 x2 + x3 x4 = 6 : 2x1 x2 x3 + x 4 = 4 xi 0; i = 1; 2; 3; 4

9= ;

¿Para qué valores de  y  el vector (2; 8; 0; 0)T es un punto extremal de P (;  )?. b ) Halle todos los valores de  y  para los cuales el vector (2; 3; 1; 0)T es una dirección extremal de P (;  ). c ) Si ct = (1; 3; 2; 0), compruebe que para  =  = 1, la función z = ct x no está acotada inferiormente sobre P (;  ).

Capítulo 3

El Método Simplex 3.1. Simplex Analítico Consideremos el problema de PL en forma estandar: (P L) :

0@

mn z = c T x s:a Ax = b x 0



1A

Supongamos B una base. La SFB asociada a B de (P L) es : x =

   B 1 b 0

xB

=

0

donde A = [B; N ]: El problema en forma explícita respecto de la base B se escribe:

(P L)F E :

0B @



 1C A

1 1 mn z = c T cT cT BB b B B N N xN s:a xB = x B B 1 N xN (xB ; xN ) 0









T 1 1 llamando z = cT B B 1 b; zN = c T N nos queda B B N y Y = B

(P L)F E :

0B @

  1C A

T mn z = z zN cT N xN s:a xB = x B Y xN (xB ; xN ) 0

   

Ejercicio 23 Resuelva el siguiente (P L) por el método simplex analítico, partiendo

37

CAPÍTULO 3. EL MÉTODO SIMPLEX

38 del punto inicial (0; 0) :

(P L) :

0B BB @

    

mn z = 10x1 11x2 s:a x1 + 2x2 150 3x1 + 4x2 200 6x1 + x2 175 x1 ; x2 0

Solución. Transformemos el problema a forma estandar:

] (P L) :

0B BB @

1C CC A



mn z = 10x1 11x2 s:a R1 : x1 + 2x2 + x3 = 150 R2 : 3x1 + 4x2 + x4 = 200 R3 : 6x1 + x2 + x5 = 175 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 0



1C CC A

] El punto equivalente a (0; 0) en (P L) es x = (0; 0; 150; 200; 175)T . Los datos del problema son A =

0@

1 2 1 0 0 3 4 0 1 0 6 1 0 0 1

1A 0@ 1A 150 200 175

; b =

; c = (10; 11; 0; 0; 0)T



] La base asociada a este punto es B1 = I (que es invertible). Expresemos el (P L) en forma explícita con respecto a esta base, para ello las variables básicas (I B = f3; 4; 5g) deben quedar en función de las variables no básicas (I N = f1; 2g) ; y la función objetivo en función de las variables no básicas. Luego 1

1

] (P L)B : 1

Aquí

0B BB @

mn s:a

 11x x = 150  x  2x x = 200  3x  4x x = 175  6x  x x ; x ; x ; x ; x  0 z = 10x1

2

3

1

4

1

5

1

N 1 =

2 2

1

2

3

0@ 1A

4

5

2

1C CC A

1 2 3 4 6 1

Puesto que z2  c2 = 11 es mayor que cero, la variable básica que debe ingresar a la base es x 2 : Y la que sale, la determinamos de la siguiente manera: Introducimos la variable

3.1. SIMPLEX ANALÍTICO

39

no básica x j en la base con el valor 0

xi x j = = mn Y i j 0

0

0 0

x4 x2 = = mn Y 22

 

xi : i Y ij 0



2 I ; Y

> 0



= 50

B

150 200 175 ; ; 2 4 1

ij0

O de otra forma (equivalente), preguntarse hasta cuanto puedo aumentar x2 de tal forma de no violar las restricciones, esto es:

 2x  0 =) x  150 = 75 2 200 x = 200  4x  0 =) x  = 50 ! (Esta es la que sale) 4 175 x = 175  x  0 =) x  = 175 1 Obtenemos una nueva SFB: (0; 50; 50; 0; 125) ; donde I = f2; 3; 5g y I = f1; 4g : x3 = 150 4 5

2

2

2

2

2

2

T

B2

N2

Ahora debemos expresar nuestro problema en términos de esta SFB para veri…car si es o no solución óptima. Hagámoslo matricialmente a modo de ejemplo: B2 =

luego B21 A =

y

0@ 0@

2 1 0 4 0 0 1 0 1 0 1 0

B21 b

1 4

 

1 2 1 4

=

1A 0@ 1A 0@ 1A  )  1A 0@ 1A 0@ 1A    0@ 1A 0@ 1A 0@ 1A   0 1 0 1 @ A@ A ; N 2 =

0 0 1

=

0 1 0

1 4

1 2 1 4

0 0 1

0 1 0

1 4

 

1 2 1 4



3 4

1 2 21 4

50 50 125

=

0 0 1

1 4

0 1 0

=

=

150 200 175

3 4

1 2 21 4

1 0 0 1 0 0

0 0 1

1 4

1 2 1 4

0 0 1

;

1 4

  

=

1 2 1 4

1 2 1 4

0@ 1A 0@ 1A        

50 50 z = ( 11; 0; 0) (( 11; 0; 0) 125 73 11 = 550 + x1 + x4 4 4



B21

1 2 1 0 0 3 4 0 1 0 6 1 0 0 1

Y = B21 N 2 =

y por último z nos queda:

1 0 3 1 6 0

3 4

1 2 21 4

1 4

1 2 1 4

(10; 0))

x1 x4


40

luego nuestro sistema en forma explícita nos queda:

] (P L)B : 2

0B BB @

mn z = 550 + 73 x + 11 x 4 1 4 4 s:a x2 = 50 34 x1 14 x4 x3 = 50 + 12 x1 + 12 x4 1 x5 = 125 21 4 x 1 + 4 x4 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 0



 





1C CC A

Luego estamos en el óptimo, ya que z1  c1 =  734 y z4  c4 = 11 son menores o 4 iguales a cero. Otra forma mucho más fácil, es despejar las variables haciendo sumas y productos entre las restricciones (Escalonar). Veamos como se hace. Haciendo 2  R1  R2 obtenemos: 1 1 x3 = 50 + x1 + x4 2 2 Luego haciendo ( 3) R1 + R2 y reemplazando x 3 donde corresponda, obtenemos:

 

x2 = 50

 34 x  14 x 1

4

Ahora si despejamos x 5 de R3 y reemplazamos x 2 obtenemos x5 = 125

 214 x + 14 x 1

2

Por último reemplazando x 2 en la función objetivo obtenemos: z = 10x1

 11x = 10x  11 2

1



50



Observación 3.1 Si partimos en el punto

] (P L) :



500 225 1300 ; 7 ; 21 ; 0; 0 21

f4; 5g luego tenemos 0   0 1 

0@

1 21 2 7 11 21

4 21 1 7 2 21

así z viene dado por





1 x4 4

500 2 25 ; 7 21

con base asociada B =

1A 0@

1 2 1 0 0 3 4 0 1 0 6 1 0 0 1









=

550 + 734 x + 114 x 1

 0 1 @ A f 1A 0@  1A      

500 1 4 + x4 x5 21 21 21 2425 76 73 + x4 x5 21 21 21

z = 10 =



3 x1 4

=

11

4

obtenemos el punto equivalente en

1 2 1 3 4 0 6 1 0

luego I B = 1; 2; 3g ; I N =

1 0 0 0 1 0 0 0 1 225 7

1 21 2 7 11 21

4 21 1 7 2 21

2 1 x4 + x5 7 7

0

,

3.1. SIMPLEX ANALÍTICO

41

Luego el problema en forma explícita nos queda:

0B BB @

73 mn z = 2425 + 76 x x 21 21 4 21 5 s:a 1 4 x1 = 500 + 21 x4 21 x5 21 225 2 1 x2 = 7 7 x4 + 7 x5 1300 11 2 x3 = 21 + 21 x4 21 x5 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 0



   



1C CC A

Debemos entrar a la base x 5 con el …n de disminuir z: Luego necesitamos: 500 21 1300 21

 214 x   212 x 

) x  500 = 125 4 1300 0 =) x  = 625 2 Luego x sale de la base. Tenemos que I = f2; 3; 5g y I = f1; 4g : El PL en forma explícita nos queda: mn z = 550 + x + x s:a x = 50  x  x x = 50 + x + x x = 125  x + x x ; x ; x ; x ; x  0 5

0=

5

5

1

5

B

0B BB @

N

73 4 1

3 4 1 1 2 1 21 4 1

2

3

5

1

2

3

4

11 4 4

1 4 4 1 2 4 1 4 4

5

con SFB optimal (0; 50; 50; 0; 125) :

1C CC A

Ejercicio 24 Resuelva el siguiente problema por el método simplex analítico.

(P L) :

0B B@

Solución. Su forma estandar viene dada por:

] (P L) :

0B B@

1C    C  A 

max z = 3x1 + 2x2 s:a 2x1 x2 2 x1 + 2x2 8 x1 ; x2 0

mn s:a

z =

3x + 2x 1

2

2x + x + x = 2 x + 2x  x = 8 x ; x ; x ; x  0 1

2

1

1

2

2

3

4

3

4

1C CA


42 Aquí los datos son:

                       2 1 1 1 2 0

A =

B

1

1

2 1 1 2

=

0 1

=

1 5

2 5

2 8

; b =

1 5 2 5

1

y B b =

4 5 18 5

] luego el punto x = 45 ; 185 ; 0; 0 es una SFB de (P L): Expresemos el problema en forma explícita con respecto a esta base: 1 5

2 5

1 5 2 5

2 1 1 1 2 0

0 1

1 0 0 1

=



1 5

2 5



1 5 2 5

luego 4 2 1 + x3 + x4 5 5 5 18 1 2 = x3 + x4 5 5 5

x1 =



x2

Reemplazando en la función objetivo, obtenemos: z = =

  

  

4 2 1 3 + x3 + x4 + 2 5 5 5 4 7 48 x3 x4 5 5 5





18 5



1 2 x3 + x4 5 5





El problema es no acotado debido a que Y 4 =

    

1 5 2 5

0 y z 4

 c = 75 > 0 4

Explicar esto último con más detalles. Tenemos además una dirección extremal visible: d =

puesto que

 

           

2 1 1 1 2 0

con

B =

Y 4T ; e4 =

1 2 ; ; 0; 1 5 5 T

0 1

1 2 ; ; 0; 1 5 5

2 1 1 2

; y e 4 = (0; 1) .

=

0 0

3.2. FORMA TABULAR

3.2.

43

Forma Tabular

Ejercicio 25 Resuelva por el método Simplex Tabular el siguiente PL:

(P L)1 :

0B BB @



1C CC A

     

mn z = 2x1 + 5x2 x3 s:a: 2x1 + 3x2 x3 3 x1 + 2x2 + x3 4 x1 + 3x2 9 x1 ; x2 ; x3 0



Solución. Tomemos I B = f4; 5; 6g ; I N = f1; 2; 3g ; x0 = (0; 0; 0; 3; 4; 9)T 0

0

x1 x2 2 3 1 2 1 3 2 5

hi 

x4 x5 x6 z



x3 x4 1 1 1 0 0 0 1 0



x5 0 1 0 0

x6 0 0 1 0

b 3 4 9 0

I B = 1; 5; 6 ; I N = 4; 2; 3 ; x1 = (3=2; 0; 0; 3; 11=2; 15=2)T : 1

f

g

1

f

g

x1 1 0 0 0

x1 x5 x6 z

x2 3=2 7=2 3=2 8

x3 1=2 1=2 1=2 2

 h i



x4 x5 1=2 0 1=2 1 1=2 0 1 0

 

x6 0 0 1 0

b 3=2 11=2 15=2 3



I B = 1; 3; 6 ; I N = 4; 2; 5 ; x2 = (7; 0; 11; 0; 0; 2)T : 2

f

g

2

f

g

x1 x3 x6 z

x1 1 0 0 0

x2 5 7 2 22

 

x3 0 1 0 0

x4 x5 x6 1 1 0 1 2 0 1 1 1 3 4 0

   

b 7 11 2 25



Como los z j  c j  0; j 2 I N = f4; 2; 5g, se concluye que x 2 = (7; 0; 11; 0; 0; 2)T = x es el óptimo.


44


(P L) :

0B BB @

Solución. Tomemos I B = f3; 4; 5g ; I N 0

0

x3 x4 x5 z

  3x  6   4  15  0 = f1; 2; 3g con x

mn z = 5x1 s:a : x1 + 2x2 2x1 + x2 5x1 + 3x2 x1 ; x2

x1 1 2 5 5

0

x2 x3 2 1 1 0 3 0 3 0

 hi

2

x4 x5 0 0 1 0 0 1 0 0

1C CC A

= (0; 0; 6; 4; 15)T :

b 6 4 15 0

luego, I B = f3; 4; 1g ; I N = f2; 5g y x 1 = (3; 0; 3; 10; 0)T : 1

1

x3 x4 x1 z

x1 0 0 1 0

x2 7=5 1=5 3=5 0

h i 

x3 1 0 0 0

x4 0 1 0 0

x5 1=5 2=5 1=5 1

 

b 3 10 3 0

Puesto que los z j  c j  0; 8 j 2 I N , tenemos que x1 es un óptimo para el problema. Sin embargo existe un z j  c j = 0, a saber z2  c2 = 0. Ingresemos la variable x2 a la base, con lo que ahora tenemos la siguiente tabla: 1

x2 x4 x1 z

x1 0 0 1 0

x2 1 0 0 0

x3 5=7 1=7 3=7 0



x4 0 1 0 0

x5 b 1=7 15=7



13 35 2 7

1

73 7 12 7

0

con I B = f2; 4; 1g ; I N = f3; 5g y x2 = (12=7; 15=7; 0; 73=7; 0)T , como observamos el la tabla simplex anterior, los z j  c j  0, 8 j 2 I N = f3; 5g, luego también x2 es un óptimo para el problema. Concluimos que estamos en precencia de solución múltiple, y de hecho cualquier punto que tomemos del segmento que une x 1 con x2 es un óptimo, es decir, cualquier punto que se pueda escribir como combinación convexa de dichos puntos: x1 + (1  ) x2 ; con  2 [0; 1] : 2

2

2

3.2. FORMA TABULAR

45


(P L) :

0B B@

max s:a :

z = 3x1 + 2x2 + x3



 

2x1 3x2 + 2x3 3 x1 + x2 + x3 5 x1 ; x2 ; x3 0





Solución. Llevando el problema a forma estandar, tenemos:

(P L) :

0B B@

mn s:a :

z =

1C CA 1C CA

3x  2x  x 1

2

3

2x1 3x2 + 2x3 + xh4 = 3 x1 + x2 + x3 + xh5 = 5 x1 ; x2 ; x3 ; xh4 ; xh5 0







Tomamos I B = f4; 5g ; I N = f1; 2; 3g ; x0 = (0; 0; 0; 3; 5)T : 0

0

x4 x5 z

x1 x2 x3 2 3 2 1 1 1 3 2 1

x4 1 0 0

hi  

x5 0 1 0

b 3 5 0

I B = 1; 5 ; I N = 2; 3; 4 ; x1 = (3=2; 0; 0; 0; 13=2)T 1

f g

1

f

g

x1 x5 z

x1 1 0 0

x2 x3 x4 3=2 1 1=2 1=2 2 1=2 13=2 2 3=2

 

 

x5 0 1 0

b 3=2 13=2 9=2



Se concluye que el problema es no acotado, ya que 9 j0 = 2 2 I N : z2  c 2 > 0 y Y: 2 = (3=2; 1=2)  0: Además podemos identi…car la dirección extremal: d = e rápidamente, ya que (3=2; 1; 0; 0; 1=2)T . Se puede comprobar que d 2 P 1 A =

y Ad =



2 1





3 1

2 1



3 1

2 1 0 1 0 1

2 1 0 1 0 1

0 B B@

3=2 1 0 0 1=2

 1C   CA =

0 0

:


46

Ejercicio 28 Considere el siguiente problema de programación lineal:

(P L1 ) :

0B @

1C A



mn z = 2x1 6x2 + 3x3 s:a : x1 + x2 + x3 = 4 x1 + 3x2 4 x1 ; x2 ; x3 0



 

^ a) Escriba el problema (P L1) en la forma estándar (P L1 ): b) Compruebe que el punto X = (2; 2; 0) es una solución factible básica de (P L1 ), ^ indicando cuál es la base B asociada en (P L1 ). t

^ c) Escriba el problema (P L1 ) en forma explicita con respecto a la base obtenida en b). d) Resuelva el problema (P L1) usando el método Simplex. ¿Hay solución óptima múltiple? Solución.

a) La forma estándar del problema (P L1 ) es la siguiente:

^ (P L1 ) :

0B @



mn z = 2x1 6x2 + 3x3 s:a : x1 + x2 + x3 = 4; x1 + 3x2 xh4 = 4; x1 ; x2 ; x3 ; xh4 0:



 

1C A

b) Al punto X = (2; 2; 0) le corresponde el vector X 0 = (2; 2; 0; 0) en la forma ^ estándar. La base B asociada a X 0 en (P L1 ) está formada por las columnas de A de índices básicos I B = f1; 2g; correspondientes a las componentes estrictamente positivas: t

t

A =



 

:

     ()

;

1 1 1 1 3 0



0 1





;

B =

1 1 1 3



Como B es no singular, pues det(B) = 3 + 1 = 4 6 = 0; el vector X 0 tiene n  m = 4  2 = 2 componentes nulas y es una solución positiva del sistema: B x0B = b

1 1 1 3



2 2

=

4 4

^ se deduce que X 0 es un punto extremal de (P L1 ) y por lo tanto X es un punto extremal de (P L1):

3.2. FORMA TABULAR

47

^ c) Para obtener la forma explícita de (P L1 ) debemos calcular la inversa de B :

      )            B

1

cofactores(B)

1 = det(B) 4 3=4 1=4 B 1 = 1=4 1=4

=

=

Entonces: 1

B A = B 1 b =

3=4 1=4

1=4 1=4

3=4 1=4

1=4 1=4

t

1 1 1 1 3 0

4 4

0 1

2 2

=

3 1 1 1

t

:

1 0 3=4 0 1 1=4

=

1=4 1=4





;

;

y el sistema en forma explícita se escribe:

x1 + 34 x3 + 14 xh4 = 2; x2 + 14 x3 14 xh4 = 2:



Eliminando de z = 2x1  6x2 + 3x3 las variables básicas, tendremos: z



=

2 2

)

z =

=

  

3 1 h x3 x 6 2 4 4 4 8 + 3x3 2xh4 :









1 1 x3 + xh4 + 3x3 ; 4 4

El problema en forma explícita con respecto a la base B será:

0B @

mn z = 8 + 3x3 2xh4 s:a : x1 + 34 x3 + 14 xh4 = 2 x2 + 14 x3 14 xh4 = 2: x 0





 

1C A

] d) Resolvamos el problema (P L1) a partir de la solución factible básica X 0 : La tabla Simplex correspondiente será: x1 x2 z

x1 1 0 0

x2 0 1 0

x3 3=4 1=4 3



xh4 1=4 1=4 2

b 2 2 8





xh4 es la variable que entra a la base y x 1 es la variable que sale. Transformando,

nos queda la siguiente tabla: xh4 x2 z

x1 x2 4 0 1 1 8 0



x3 xh4 3 1 1 0 9 0



b 8 4 24




48

] La solución X 1 = (0; 4; 0; 8) es óptima para (P L1) y por tanto X opt = (0; 4; 0) es solución óptima de (P L1), con valor zopt = 24. Como no hay (z j  c j ) = 0 para los índices j no básicos, se tiene que NO hay solución múltiple. t

t

Ejercicio 29 Resuelva el siguiente problema de Programación Lineal:

(P L2 ) :

por dos métodos: 1er método:

0B B@

mn s:a :



z = 2x1 x2 + 4x3 x1 + x2 3 5x1 + 3x2 15 5x1 + 2x2 + x3 = 10 x1 ; x2 ; x3 0:



 

  

1C CA

a) Escriba el problema en forma estándar. b) Halle una solución factible básica inicial donde aparezca x 3 como variable básica, además de las variables de holgura y arti…ciales adecuadas. c) Resuelva el problema por el método Simplex (dos fases) a partir de la solución inicial hallada en b). 2do método: d) Elimine la variable x3 del problema utilizando la tercera ecuación de modo que el problema en dos variables que se obtenga sea equivalente al inicial. e) Resuelva el problema en dos variables grá…camente. Compare si la solución es la misma que con el 1er. método. Solución.

a) El problema escrito en forma estándar es:

0B g B@

(P L2 ) :

mn s:a :

 

z = 2x1 x2 + 4x3 x1 + x2 xh4 = 3 5x1 + 3x2 + xh5 = 15 5x1 + 2x2 + x3 = 10 x1 ; x2 ; x3 ; xh4 ; xh5 0:

  



1C CA

3.2. FORMA TABULAR

49

b) Añadimos una variable arti…cial xa6 en la primera ecuación para obtener la base inicial unitaria:

0@

1A

1 0 0 0 1 0 B = 0 0 1 correspondiente a los índices básicos I B = 6; 5; 3 , en ese orden. La SFB inicial

f

será:

g

x1 = x2 = x h4 = 0; x3 = 10; xh5 = 15; xa6 = 3:

c) La tabla inicial del Simplex, en su primera fase (minimizando z a = xa6 ) será: x1 [x2 ] x3 xh4 xh5 xa6 b [xa6 ] [ 1] [[1]] [0] [ 1] [0] [1] [3] xh5 5 [3] 0 0 1 0 15 x3 5 [2] 1 0 0 0 10 za 1 [1] 0 1 0 0 3

cB 1 0 0

   





donde los z j  c j = cB B 1 A j  c j , se han calculado por su de…nición. La varible que entra es x2 y la que sale es x a6 . Después de transformar, obtenemos la tabla siguiente: x2 xh5 x3 za

xh4 xh5 1 0 3 1 2 0 0 0

x1 [x2 ] x3 1 1 0 2 0 0 3 0 1 0 0 0

  



xa6 b 1 3 0 6 0 4 1 0



que resulta óptima de la primera fase. Eliminando la columna ariti…cial y la za auxiliar e introduciendo la z original tendremos: cB x1 [x2 ] x3 xh4 xh5 b 1 x2 1 1 0 [ 1] 0 3 h 0 x5 2 0 0 [3] 1 6 4 [x3 ] [ 3] [0] [1] [[2]] [0] [4] z 13 0 0 [9] 0 13



   



La variable que entra es x h4 y la que sale (hay empate) es la de índice menor x3 . Transformando, obtenemos la tabla: x2 xh5 xh4 z

x1 [x2 ] x3 xh4 xh5 [ 5=2] 1 1=2 0 0 [[5=2]] [0] [ 3=2] [0] [1] [ 3=2] 0 1=2 1 0 [1=2] 0 9=2 0 0

 

 

b 5 [0] 2 5




50

que todavía no es óptima. La variable que entra es x 1 y la que sale es x h5 . Transformando, obtenemos la tabla: x2 x1 xh4 z

x1 0 1 0 0

[x2 ] 1 0 0 0

x3 xh4 1 0 3=5 0 2=5 1 7=2 0

xh5 1 2=5 3=5 1=5

   



b 5 0 2 5



que es óptima. La solución, en las variables originales, es el vector (x1; x2 ; x3 ) = (0; 5; 0) con valor z  = 5. t

d) Eliminando la variable x3 utilizando la ecuación x3 = 10 + 5x1  2x2, pero respetando la restricción x 3  0, se obtiene el problema equivalente: (P L2 ) :

0B B@



mn z = 22x1 9x2 + 40 s:a : x1 + x2 3 5x1 + 3x2 15 5x1 + 2x2 10 x1 ; x2 0:

e) El problema (P L2) tiene el grá…co:

  

   

1C CA

La solución óptima (mínima) es evidentemente (x1 ; x2 ) = (0; 5) , y utilizando la ecuación para x3 = 10 + 5x1  2x2 se obtiene la solución (x1 ; x2 ; x3 ) = (0; 5; 0) , que es óptima del problema original (P L2 ) con valor z = 5, la cual coincide con la obtenida en c). t

t


3.3.

51


Ejercicio 30 Considere el siguiente problema lineal:

(P L) :

0B BB @

  



mn z = 9x2 x3 x4 2x5 x6 s:a 5x2 + 15x3 + x4 + x5 = 10 x1 15x2 + 2x3 = 2 x2 + x3 + x5 + x6 = 6 xi 0; i = 1; : : : ; 6

 

1C CC A

a) Escriba el problema en forma explícita con respecto a la base formada por los índices I B = f1; 3; 6g b) Determine si la solución obtenida en el item anterior es optimal. De no serlo calcule la solución optima del problema. c) ¿La solución obtenida en el item b) es única? De no serlo calcule todas las soluciones del problema. Ejercicio 31 Considere el siguiente Poliedro:

8><  P > 2 :    =

 1. Demuestre que d =

x

2x1 + x2 + x3 = 1 2x1 + x2 2 x1 2x2 2 xi 0; i = 1;:::; 3

R3 :

2 1 3 ; ; ; 1; 0 5 5 5

  

9>= >;

es una dirección extremal de P .

2. Exprese el problema arti…cial (P a ) en forma explícita con respecto al punto xT = (0; 0; 1; 0; 2; 2) y responda si P es factible. 3. Considere la siguiente función objetivo z = 2x1  x2 +x3 . Resuelva con el método Simplex el problema: (P L1 ) :



mn z = c T x s:a : x P

2



4. Si cambiamos la función objetivo del ítem anterior por z = x1  x2 + x3 , ¿existe solución óptima?. En caso a…rmativo, encuentre todas las soluciones optimales del problema.


52 Ejercicio 32 Sea el problema

0B @



max z = 2x1 x2 + 5x3 s:a : x1 + 2x2 + x3 = 3 x1 + 5x2 + x3 = a x1 ; x2 ; x3 0





1C A

siendo a un parámetro real. ¿Existe solución básica asociada a B=

  2 1 5 1

para algún valor de a ?¿Será factible?. Ejercicio 33 Dado el conjunto



S = (x; y)



2

2 R j x  y  4; 2x  y + 3  0, x  y  3

a) Representar grá…camente el conjunto S: b) Escribir razonadamente una función lineal que: i) alcance su valor máximo en un único punto de S: ii) alcance su valor mínimo en un segmento de S: iii) alcance su valor máximo enuna semirrecta de S . iv) no esté acotada superiormente en S . v) no esté acotada superiormente en S . Explique en cada caso. Ejercicio 34 Dado el problema:

0B @

max z = x 1 + Ax2 s:a : x1 + x2 6 x1 + 2x2 8 x1 ; x2 0

  

1C A

¿Para qué valores del parámetros A es el punto (4; 2) una solución óptima del problema anterior?


53

Ejercicio 35 Resolver el siguiente programa lineal según los valores del parámetro real a.

0B B@ 0B B@

max s:a :





Ejercicio 36 Considerar el programa lineal: mn s:a :

1C   C   A  1C  CA 

z = ax 1 + 3x2 x1 + x 2 x1 + x2 4 x1 + 2x2 1 x1 ; x2 0

z = x 1 2x2 x1 x2 + x3 = 4 2x1 + x2 + x4 = 3 x1 + 2x2 + x5 = 4 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 0

 



a) Comprobar que (0; 2; 6; 1; 0) es una solución básica factible del programa. b) Completar la siguiente tabla que corresponde a la solución (0; 2; 6; 1; 0). x1 x3 x4 x2 z

1 2

 0

3 2

x2 0 0

x3 0 0

x4

x5 1 2

b 1 0

c) Resolver el programa. Ejercicio 37 Una empresa produce mermelada de manzana y sidra, disponiendo cada día de 600 horas de máquina de embalaje y 400 horas de trabajo. En la producción de una caja de tarros de mermelada se utilizan 2 horas de máquinas de embalaje y 1 hora de trabajo y en la producción de una caja de botellas de sidra se requieren 2 horas de máquina de embalaje y 2 de trabajo. Además, por la estrategia comercial de la empresa, el número de cajas de mermelada que se produce diariamente nunca es inferior al doble del número de cajas de sidra. Supongamos que se vende todo lo que se produce, calcular cuántas cajas de mermelada y cuántas cajas de sidra deben fabricarse diariamente para que la empresa obtenga un ingreso máximo, en los siguientes casos:

a) Si el precio de una caja de mermelada es 2.000 pesetas y el de una caja de sidra es de 3.000 pesetas. b) Si el precio de venta de ambos productos es el mismo.


54

Resuelva los siguientes problemas con el Método Simplex.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

0B @ 0B B@ 0B B@ 0B B@ 0B @ 0B B@ 0B @

max s:a :

z = x 1 + 9x2 + x3 x1 + 2x2 + 3x3 9 3x1 + 2x2 + 2x3 15 x1 ; x2 ; x3 0





 

     

mn z = 2x1 + 5x2 x3 s:a : 2x1 + 3x2 x3 3 x1 + 2x2 + x3 4 x1 + 3x2 9 x1 ; x2 ; x3 0



     

mn z = x 1 + x2 4x3 s:a : x1 + x2 + 2x3 9 x1 + x2 x3 2 x1 + x2 + x3 4 x1 ; x2 ; x3 0



  3x  6   4  15  0

mn z = 5x1 s:a : x1 + 2x2 2x1 + x2 5x1 + 3x2 x1 ; x2

2

1C CA

1C CA

max z = 3x1 + 2x2 + x3 s:a : 2x1 3x2 + 2x3 3 x1 + x2 + x3 5 x1 ; x2 ; x3 0







 

 

1C A 1C CA

1C A

 18x  3  5  9  0

max z = 4x1 6x2 s:a : 2x1 + 3x3 3x2 + 2x3 x1 + 3x2 x1 ; x2 ; x3

3

1C CA

max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 s:a : x1 + 2x2 + 3x3 0 x1 x2 + x3 3x4 3 x1 ; x2 ; x3 ; x4 0



   

1C A


8.

9.

0B @ 0B B@

   

mn z = x 1 2x2 s:a : x1 + x2 2 x1 + x2 1 x1 ; x2 0





1C A

mn z = 3x1 + 4x2 s:a : x1 + x2 4 2x1 + 3x2 18 x2 3 x1 ; x2 0

   

55

1C CA

10. Considere el siguiente problema de Programación Lineal

0B BB B@

        

max z = x 1 + 2x2 + 4x3 + x4 x5 s:a : x1 + x2 + x3 + 3x4 x5 35 2x1 + x2 + 3x5 1 2x3 2x5 4 3x1 + x4 + x5 3 2x1 x2 + 3x3 x4 + x5 3 xi 0; i = 1;:::; 5





1C CC CA

a ) Compruebe si el vector x = (0; 1; 2; 3; 0) es una solución factible básica. b)

Resuelva el problema (P L) utilizando el método Simplex partiendo de la SFB del ítem anterior.

11. Considere el siguiente problema de Programación Lineal:

0B B@

max z = x 1 s:a : x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 20 2x1 + x3 = 5 7x1 + 3x2 + 4x4 = 0 xi 0; i = 1;:::; 4





1C CA

a )

Aplique la Fase I del método Simplex para hallar una solución factible básica del problema.

b)

Al …nal de la Fase I deben quedar variables arti…ciales en la base con valor 0. Determine si existen restricciones redundantes y elimínelas.

c ) Aplique la Fase II del método Simplex y resuelva el problema completamente.

Diga si existe solución única.


56

12. Considere el siguiente problema de Programación Lineal en forma estándar:

a )

0B @

    

 

mn z = x1 x2 + x3 x4 6x5 1 s:a : 2 x1 + 5x2 + x4 + 6x5 = 7 1 x x2 + x3 + 3x5 = 3 2 1 xi 0; i = 1; :::; 5

1C A

Explique por qué el vector x = (6; 0; 0; 10; 0) es una solución factible básica del problema. b ) Escriba el problema en forma explícita respecto de la base asociada a la solución x: c ) Utilice el método Simplex para hallar una solución óptima x  del problema.

13. La tabla …nal óptima del método Simplex (incluyendo los costos básicos c B ) que resolvió cierto problema de PL es el siguiente: cB x2 2 x1 8 x4 1 z

x1 x2 0 1 1 0 0 0 0 0

x3 x4 xh5 xa6 xa7 xB 2 0 1 1 2 6 1 0 0 1 12 4 2 1 0 0 1 12 2 0 2 6 9 56



 

  

donde x h5 es una variable de holgura y x a6 , x a7 son variables arti…ciales, las cuales integraban la solución básica inicial(en ese orden). a )

¿Cuál es la matriz inversa B 1 de la base …nal óptima B ? b ) Escriba en forma estándar el problema inicial cuya última tabla es la anterior.

14. La tabla inicial del simplex de un PPL de minimización es la siguiente: x1 xh4 xh5 z

x2

x3

   1 2   1 3

xh4 1 0 0

xh5 0 1 0

b 6 1 0

donde xh4 , x h5 son variables de holgura positivas. La tabla que se obtiene a partir de ella después de una iteración del método Simplex es la siguiente: x1 x1 xh5 z

x2 x3 xh4 xh5 2=3 2=3 1=3 0 1=3 1=3 1 1

      





b



3 4


57

En ambas tablas se observa que faltan números de las casillas marcadas con asterisco().Halle los números faltantes en cada tabla teniendo en cuenta las fórmulas del método Simplex.

Capítulo 4

Dualidad Recordemos la tabla de conversiones entre el Problema Dual y el Primal: Primal

mn (P L) max (P L0 ) Dual 0 Restricciones 0 Variables = R 0 Variables 0 Restricciones R =

    2

  2  

Ejercicio 38 Determine el Dual del siguiente problema.

(P L) :

0B BB @

mn s:a :

1

1

2

2

2

3

3

1

4

3

3

1

4

2

3

Solución. Usando la tabla de convesión, obtenemos que

0

(P L) :

0B BB B@

1C CC A 1C CC CA

2x + 3x + 5x 2x + x + 3x + x  5 2x + x  4 2x + x + x = 6 x  0; x ; x  0 z =

max s:a :

w = 5y1 + 4y2 + 6y3

2y + 2y  2 y + 2y  3 3y + y + y  5 y + y = 0 y  0; y  0; y 2 R 1

2

1

1

3

2

1

1

3

2

Recordemos: 58

3

3

59 1. si B es una base optimal para (P L) ; entonces y = cT B B 1 es la solución óptima de (P L0 ) : 2. Si se conservan las columnas de las columnas asociadas a la primera identidad en la tabla simplex, entonces la inversa de B se obtiene como la matriz que ocupa la posición de esa identidad en la última tabla. 3. Es de vital importancia recordar la formula de los z j  c j : Esto es z j

c

j

1 = c T B B a j

c : j

Cuando a j = e j (generalmente para las columnas asociadas a las variables de holgura) y también c j = 0, se tiene z j

c

j

1 = c T = y j , BB

es decir, podemos encontrar la solución óptima dual, en la tabla óptima del primal. Ejercicio 39 La siguiente tabla simplex muestra la solución óptima de un problema de programación lineal. Se sabe que x4 y x5 son variables de holgura en la primera y segunda restricción del problema original. Las restricciones son del tipo  : x3 x1 z

x1 0 1 0

x2 1=4 1=2 2

 

x3 1 0 0

x4 x5 b 1=2 0 5=2 1=6 1=3 5=2 3 2 35

 

 

Responda: a) ¿Cuál es el problema original?. b) ¿Cuál es el dual del problema original?. c) Obtenga la solución óptima del problema dual de la tabla anterior. Solución.

a) Tenemos I B = f3; 1g, además, puesto que A4 y A 5 son las columnas asociadas a las variables de holgura, debemos tener que B 1 =

  

1=2 0 1=6 1=3

)    =

B =

2 0 1 3

Llamemos T a la primeras dos …las de la tabla …nal: T =

0 1

1=4 1 1=2 0



1=2 0 5=2 1=6 1=3 5=2



:

CAPÍTULO 4. DUALIDAD

60 luego

  2 0 1 3

0 1

1=4 1 1=2 0





además c 4 = c5 = 0, se tiene que (c3 ; c1 ) B 1 = ( 3; 2) =

 

z2 =

) (c ; c ) = ( 3

       0B B@ 0B BB @ 8

1 4

6

          

1=2 0 5=2 1=6 1=3 5=2

1 2

1

1 2

0 3

=

5 4

2 0 1 3

3; 2)

2 1 0 5 1 0 1 10

8

=

;

6

) z  c = 2 =) c = 1 + 2 = 3

=1 =

2

2

2

luego el problema original es

6x + 3x  8x x + 2x  5 3x  x + x  10 x ; x ; x  0

mn z = s:a

b) El dual es

1

1 2 2 5 1 4 2 1

2

2

3

3

3

3

m ax w = 5y1 + 10y2 s:a : 3y2 6 1 5 11 y y 2 1 4 2 2 2y1 + y2 2 y1 ; y2 0

      

1C CA

1C CC A

c) La solución óptima la podemos obtener de dos formas: 1. Con Teorema de Daulidad: 1 yT = c T = BB

      8

1=2 0 1=6 1=3

6

     =

3

2

2. Con la tabla óptima: Puesto que como dato, nos dicen que las variables x4 y x 5 son variables de holguras, basta mirar las los z j  c j correspondientes a estas variables en la tabla óptima, esto es: yT = (z4

 c ; z  c ) = (3; 2) : 4

5

5

4.1. TEOREMA DE HOLGURAS COMPLEMENTARIAS

61

4.1. Teorema de Holguras Complementarias Aquí se usa el hecho que si x e y son soluciones factibles del problema primal y dual respectivamentes, entonces son equivalentes x e y son optimales ssi y T (Ax

  T

 b) = 0 y c  A

Ejercicio 40 Considere el problema:

(P L) :

0B B@

mn s:a :

y

T

x = 0:

1C  C   A 

z = 2x1 + 15x2 + 5x3 + 6x4



x1 + 6x2 + 3x3 + x4 2x1 + 5x2 x3 + 3x4 x1 ; x2 ; x3; x4 0



a) Determine el Problema Dual.

2

3

b) Resuelva el dual geométricamente. c) Utilice la información obtenida en b) para obtener la solución del primal. Solución. Equivalentemente, el problema lo podemos escribir:

(P L) :

0B B@

mn z = 2x1 + 15x2 + 5x3 + 6x4 s:a : x1 + 6x2 + 3x3 + x4 2 2x1 5x2 + x3 3x4 3 x1 ; x2 ; x3; x4 0

   



1C CA

a) El dual, lo obtenemos directamente de la de…cición para el problema canónico:

0B BB B@

m ax w = 2y1 + 3y2 s:a : H 1 : y1 + 2y2 2 H 2 : 6y1 5y2 15 H 3 : 3y1 + y2 5 H 4 : y1 3y2 6 y1 ; y2 0

      

1C CC CA

b) Llamemos a los semiespacios, de…nidos por las restricciones: H 1 H 2 H 3 H 4

 2   15  5   6

: y1 + 2y2 : 6y1 5y2 : 3y1 + y2 : y1 3y2


62

En este problema tenemos 3 posibles puntos óptimos, estos son: (1; 0)

 2 8 1 ; 5 5

2 H ; 1

H 1

\ H ;

(0; 5=3)

3

2 H

3

De los cuales w (1; 0) = 2; 8 1 26 w ; = ; 5 5 5 w (0; 5=3) = 5:

    )   

Es claro que el punto óptimo es y T =

8 1 5; 5

:

c) Debido a que y 2 H 1 \ H 3 =

AT y

c

 

T

T



= (0; ; 0; )

y debido a que c  AT y x = 0; necesariamente debemos tener que x2 = 0; x4 = 0: Además también y T (Ax  b) = 0 , pero y > 0 =) Ax  b = 0 esto es x1 + 6x2 + 3x3 + x4 = 2 2x1 5x2 + x3 3x4 = 3





() =)

x1 + 3x3 = 2 2x1 + x3 = 3 x3 = 1=5 y x 1 = 7=5

luego, el óptimo del primal es: xT = (7=5; 0; 1=5; 0) :

Ejercicio 41 Considere el siguiente problema de programación lineal:

(P L) :

0B B@

max s:a :

      

z = 2x1 2x2 x1 + x2 1 x1 + x2 1 x1 + 2x2 = 4 x1 0; x2 0

a) Resuelva (P L) usando el método grá…co.

1C CA

b) Escriba el problema dual (P L)0 correspondiente a (P L).


63

c) Usando la información del inciso a), encuentre la solución óptima del problema dual (P L)0 : Solución.

a) La grá…ca del poliedro (segmento) factible del problema y el punto óptimo se muestran en la …gura. ?

El óptimo (máximo) corresponde a la intersección de las dos rectas: x1 + x2 = 1; x1 + 2x2 = 4:



La solución del sistema de ecuaciones lineales es X max = óptimo es z max =  43  103 =  143 :

  2 5 3; 3

t

y el valor

b) El problema dual se calcula usando la de…nición. Transformamos el problema a minimizar, cambiamos el signo de la primera desigualdad y ponemos x1 = x1 para tener todas las variables positivas:

0B B@

      

m ax z = 2x1 2x2 s:a : x1 + x2 1 x1 + x2 1 x1 + 2x2 = 4 x1 0; x2 0

El dual será entonces: (P L)0 :

0B @

1C 0B CA () B@ 0B () B @ 

         

mn z = 2x1 + 2x2 s:a : x1 x2 1 x1 + x2 1 x1 + 2x2 = 4 x1 0; x2 0 mn z = 2x1 + 2x2 s:a : x1 x2 1 x1 + x2 1 x1 + 2x2 = 4 x1 0; x2 0

     

max w = y1 + y2 + 4y3 s:a : y1 + y2 + y3 2; y1 + y2 + 2y3 2; y1 0; y2 0; y3





   2 R

1C A

1C CA 1C CA

Opcionalmente, si queremos regresar a los datos originales de (P L) ; transformamos el problema a minimizar, cambiamos el signo de la segunda desigualdad


64 y ponemos y 2 = y2 ; y3 = y3 : (P L)0

0B @

:

() () En conclusión:

(P L)

(P L)0 :

(P L)0 :

0B B@

:

1C A ()



max w = y1 + y2 + 4y3 s:a : y1 + y2 + y3 2; y1 + y2 + 2y3 2; y1 0; y2 0; y3

     2 R mn w = y  y  4y s:a : y + y + y  2; y  y  2y  2; y  0; y  0; y 2 R

0B @ 0B @

1

2

1

2

3

1

2

1

3

3

2

3

mn w = y 1 + y2 + 4y3 s:a: y1 y2 y3 2; y1 + y2 + 2y3 2; y1 0; y2 0; y3

       2 R

      

max z = 2x1 2x2 s:a : x1 + x2 1 x1 + x2 1 x1 + 2x2 = 4 x1 0; x2 0

1C A 1C A

1C CA ) =

0B 1C    ) @     2 A 0@ 1A 0@ 1A      0@  1A    (P L)0 :

=

mn w = y 1 + y2 + 4y3 s:a : y1 y2 y3 2; y1 + y2 + 2y3 2; y1 0; y2 0; y3

R

Nótese que los datos del problema (P L) son: A =

1 1 1 1 1 2

1 1 4

; b =

2 2

; c =

;

y entonces, si (P L2) se escribe:

max z = c x; s:a : Ax t



b; con x

=



0 0

;

el dual (P L2)0 se escribe con los mismos parámetros A; b; c: mn w = b y; s:a : A y t

t

   

c; con y

0@  1A  2 0 0

R

:


65

c) La solución óptima del dual puede calcularse por dos vías: c.1) Usando la solución óptima del problema (P L) correspondiente a la forma ] estándar (P L):

  !   0B    B@    2 5 ; 3 3

X max =

= X

 1C CA

2 5 4 ; ; 0; 3 3 3

t

;

donde ponemos x 1 = x1 para tener todas las variables positivas: max z = 2x1 2x2 s:a x1 + x2 + xh3 = 1 x1 + x2 xh4 = 1 x1 + 2x2 = 4 x1 0; x2 0:

] (P L) :

Debemos hallar la inversa de la base B correspondiente a las variables básicas fx1; x2; xh4 g y calcular Y  = cB B1. En efecto, la matriz B se escribe: t

0@ 

1 1 1 1 1 2

B =

y la inversa será: cof (B) =

t

0@  t

1

B

=

0@  1A 0@    2 2 0

2=3 1=3 1=3

 

0 1=3 0 1=3 1 2=3



= ( 2; 2; 0) =

1  2 = 3;

0@

1

j

t

t

; det(B) =

1 1 2=3 0 0 3 1=3 0 =) B = 1 2 1=3 1 = ( 2; 2; 0); chequeamos los (z  c ): c B Ac = 2 0 1

Como el vector c B

1A  1A 0 1 0

0@

2 2; 2; ; 0 3

1A

:

j

t

1A 0@ 

1 1 1 1 1 0 1 2 0

1A

1A 0B  1C  @ A 0 1 0

2 2 0 0

2=3 0 1=3 0  (2; 2; 0; 0) 1=3 1  (2; 2; 0; 0) = 0; 0; 23 ; 0 ;

1 0 0 1 0 0

  

1=3 1=3 2=3

 

t

=


66

es decir, todos los (z j  c j ) son  0, lo que indica la optimalidad (máximo)  max : de la solución X La solución óptima del dual será: mn = ( 2; 2; 0) Y

 

t

0@  

2=3 1=3 1=3

0 1=3 0 1=3 1 2=3



1A    2 ; 0; 3

=

4 ; 3

cuyo valor óptimo coincide con el óptimo del primal: mn = 2 + 0 + 4 b Y 3 t

  4 3

=

 143 = c X max : t

 

 max =  2 ; 5 c.2) Utilizando el Teorema de Holguras Complementarias. Como X 3 3 tiene las dos componentes diferentes de cero, ello indica que las dos restricciones del dual de (P L)0 tienen que satisfacerse en la igualdad:

 

y1 y2 y3 = 2; y1 + y2 + 2y3 = 2:



Además, de las 3 restricciones del primal (P L); la primera y la tercera se cumplen en la igualdad y la segunda en la desigualdad estricta:

 23 + 53 = 1;

2 5 7 + = > 1; 3 3 3

2 5 + 2 = 4; 3 3

y por lo tanto, la segunda componente debe ser nula, y2 = 0; en la solución óptima del dual. En resumen, tenemos (en el dual) el sistema de ecuaciones:



y1 y3 = 2; y1 + 2y3 = 2;



que tiene por solución y1 = 23 ; y2 =  43 y por lo tanto, la solución óptima mn = 2 ; 0;  4 , con valor óptimo del dual es la misma que hallamos antes: Y 3 3 . w =   14 3

 

Ejercicio 42 Considere la siguiente familia de problemas de Programación Lineal: (P L ) :

0B @

mn z = 4x1 + 3x2 + x3 + 2x4 ; s:a: 4x1 + 2x2 x4 8; 3x1 + x2 + 2x3 3; xi 0; i = 1; 2; 3; 4:



  

1C A


67

a) Escriba el problema dual (P L )0 de (P L ). b) ¿Para qué valores de  el vector X 1 = (1; 0; 0; 0) es solución óptima de (P L )?: ¿Cuál es la solución óptima del dual en este caso? t

c) ¿Para qué valores de  el vector X 2 = (0; 0; 3=2; 0) es solución óptima de (P L )?: ¿Cuál es la solución óptima del dual en este caso? t

d) ¿Existen valores de  para los cuales el problema (P L ) no está acotado inferiormente? Solución.

a) Escribimos el problema dual de (P L ) recordando que el vector c pasa a ser los términos independientes y el vector b pasa a la función objetivo. La matriz se traspone y las desigualdades de las restricciones son contrarias a los signos de las variables en el primal. Las variables del dual tienen los mismos signos de las desigualdades del primal.

0B BB @

max w = 8y1 + 3y2 + 4y3 ; s:a : 4y1 + 3y2 4; 2y1 + y2 3; 2y2 ; y1 2: y1 0; y2 0:

 

    

1C CC A

b) La primera tabla del método Simplex (primera fase), incluyendo variables arti…ciales es: xh5 xa7 za

x1 4 3 3

x2 2 1 1

x3 0 2 2

x4 xh5 1 1 0 0 0 0



xh6 xa7 0 0 1 1 1 0

 

b 8 3 3

y donde los z j  c j = c B Y  j  c j de z a fueron calculados por la de…nición. Entra la variable x1 y sale la variable arti…cial xa7 y obtenemos una tabla …nal óptima de la primera fase: t

xh5 x1 za

x1 0 1 0

x2 2=3 1=3 0

x3 8=3 2=3 0



x4 xh5 1 1 0 0 0 0



xh6 4=3 1=3 0



xa7 b 4=3 4 1=3 1 1 0

 


68

Eliminando la …la de za e incluyendo la función objetivo original z; calculando los z j  c j igual que antes, obtenemos: xh5 x1 z

x1 0 1 0

x2 x3 2=3 8=3 1=3 2=3 5=3 8=3 





x4 xh5 1 1 0 0 2 0

  

xh6 4=3 1=3 4=3

 

xa7 b 4=3 4 1=3 1 4=3 4



Hemos conservado la columna de la variable arti…cial porque ella nos servirá para hallar la segunda componente de la solución óptima del dual. Es claro que la solución factible básica que tenemos X 1 = (1; 0; 0; 0; 4; 0) es óptima si   8=3 pues en tal caso todos los z j  c j serían negativos o nulos. Por lo tanto, X 1 es óptima para todo   8=3: La solución óptima del dual será Y 1 = (0; 4=3) : El valor óptimo = 4 coincide en ambas funciones primal y dual. t

t

c) Si  < 8=3; tenemos z3  c3 > 0 y la solución X 1 no es óptima. La variable x3 entra a la base y sale la variable x 1 . La nueva tabla transformada será: x1 4

xh5

3 2

x3 z

x2 2 1=2 3 + 12 

3 2

x3 0 1 0

x4 xh5 1 1 0 0 2 0

 

xh6 xa7 0 8=3 1=2 1=2 1 1   2 2

 

b 8 3 2 3  2

4 +   que tiene todos los z  c negativos o nulos si  2 [0; 8=3]. En conclusión, X = (0; 0; 3=2; 0) es solución óptima para  2 [0; 8=3]. La solucion óptima del dual j

j

2

t

será Y 2 = (0; =2) : El valor óptimo = 32  coincide en ambas funciones primal y dual. t

d) Si  < 0 el z6  c6 se convierte en positivo y la última solución X 2 no es óptima. En este caso el problema no está acotado porque el vector Y  6 asociado a la variable x6 en la tabla tiene todas las componentes negativas o nulas. En …n, el problema no está acotado para  < 0 .

Ejercicio 43 Considere el siguiente (P L):

0@

donde 0 < a1 < a2 <  < a n:

   

mn x1 + + xn s:a a1 x1 + an xn = 1 x1 ;:::;xn 0



1A


69

a) Escriba el problema dual, y encuentre una solución para el dual en términos de a1 ;:::;an :

b) Use el Teorema de holguras complementarias para encontrar la solución del primal. c) Supongamos que aplicamos el algoritmo simplex al problema primal. Mostrar que si empezamos en una solución factible básica no optimal, el algoritmo (simplex) termina en un paso (No olvidar que entra que la variable no básica que entra a la base se escoge de tal forma que su costo reducido es el más negativo). Ejercicio 44 Usando el teorema de Dualidad. Mostrar que el problema



mn s:a : x



cT x 0; x

2R

n



tiene solución ssi c  0: Además muestre que la solución es x = 0 : Ejercicio 45 Una compañia enlatadora ha formulado un problema de programación lineal como auxiliar para la plani…cación para el proceso de enlatado de la cosecha de duraznos. Hay dos productos (mitades y rebanadas de durazno) y dos categorías, (A, B). Las mitades se obtienen de duraznos de categoría A y las rebanadas se pueden obtener de una mezcla de duraznos de categoría A y B. Las variables de decisión son: x1 : = N o de kilogramos de duraznos de categoría A que se usan en las mitades. x2 : = N o de kilogramos de duraznos de categoría A que se usan en las rebanadas. x3 : = N o de kilogramos de duraznos de categoría B que se usan en las rebanadas.

Todas las unidades se expresan en miles de kilogramos. El objetivo es maximizar la contribución al bene…cio del enlatado de la cosecha de duraznos. El problema de programación lineal se ha formulado como sigue: Función objetivo: max z = 0;15x1 + 0;12x2 + 0;12x3 Demanda de mitades: x 1  180: Demanda de Rebanadas: x 2 + x3  125: Categoría A disponible: x 1 + x2  225: Categoría B disponible: x 3  75: Mezcla de categorías para rebanadas: 4x2 + x3  0


70 Condiciones de positividad: x 1 ; x2 ; x3  0.

En base a la siguiente tabla y al problema anterior, responda las siguientes preguntas en forma independiente usando WinQSB si estima conveniente, además investigue los conceptos que desconozca y de…nalos brevemente. x1 x1 1 x5 0 x2 0 x3 0 x8 0 z 0

x2 0 0 1 0 0 0

x3 0 0 0 1 0 0

x4 1 1 1 0 4 0;03

 

x5 0 1 0 0 0 0

x6 0 1 1 0 4 0;12



x7 0 1 0 1 1 0;12

 

x8 0 0 0 0 1 0

b 180 5 45 75 105 41;4

a) ¿Cuál es el precio máximo que estaría dispuesta a pagar la enlatadora por duraznos adicionales de categoría A?, ¿Cuánto compraría a ese precio?. b) ¿Cuál es el valor marginal de los duraznos adicionales de categoría B?, ¿En qué intervalo es válido este valor marginal?. c) El gerente de mercadotecnia de la enlatadora ha modi…cado la demanda estimada de las mitades, de 180.000 a 200.000 kilogramos. ¿Afectará este cambio a la solución del problema de enlatado?¿Cuál será el incremento de bene…cio asociado con el cambio?. d) Suponga que el gerente de mercadotecnia ha modi…cado su estimación de la demanda de las rebanadas, de 125.000 a 145.000 kilogramos. ¿Afectará a la solución del problema de enlatado?¿Cuál será el incremento de bene…cio asociado con el cambio?. e) ¿Cuánto tendría que variar el precio de las mitades de duraznos para que cambiara la solución óptima?.

4.2. Método Dual-Simplex Ejercicio 46 Resuelva por el método dual-simplex

0B B@

mn s:a :

z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4

  

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 6 x1 2x2 + 2x3 + x4 x5 3 xi 0; i = 1;:::; 5

 



1C CA

4.2. MÉTODO DUAL-SIMPLEX

71

Solución. Añadiendo una variable de holgura x 6 a la 1era restricción y una x 7 a la 2 da y multiplicandola por 1; obtenemos: x6 x7 z

x1 x2 x3 1 2 3 1 2 2 2 3 5

x4 1 1 6

    "

 

x5 0 1 0

x6 1 0 0

x7 0 1 0

b 6

3 ! 0

Es tabla dual-simplex, ya que los z j  c j  0; 8 j 2 I N : 1era iteración: x6 x3 z

x1 x2 x3 5=2 1 0 1=2 1 1 9=2 8 0

 

Y estamos en el óptimo.

  

x4 x5 x6 1=2 3=2 1 1=2 1=2 0 7=2 5 0

 

 

x7 3=2 1=2 5

 

b 3=2 3=2 15=2

Capítulo 5

Post Optimización Ejercicio 47 Sea la siguiente tabla de un problema de programación lineal x1 xh5 z

x2 x3 xh4 1 1 1 3 1 1 3 1 2

x1 1 0 0

  

xh5 0 1 0

b 6 10 12



a) Encuentre el problema original (P L) sabiendo que xh4 y xh5 son la base inicial (positivas). b) Reemplazar en (P L) c2 por c2 = 5:

e e

c) Reemplazar en (P L) c1 por c1 = 0:

e

d) Cambiar b en (P L) por b = (1; 4)T : e) Agregar una nueva variable x 6  0 en (P L) con c 6 = 1 y a 6 = (1; 2)T : f) Agregar una nueva restricción a (P L) : 2x1  2x2  2x3  12: g) Agregar un nueva restricción a (P L) : x1 + 2x3  2: Solución.

a) Se tiene que B 1 =

 )    )  1 0 1 1

=

B =

1 0 1 1

Luego llamando a la tabla …nal (correspondientes a las primeras …las) T f in a T f in =



1 1 1 1 0 6 0 3 1 1 1 10

=

T ini = BT f in =

72

1 1 1 1 0 6 1 2 0 0 1 4





73 Además tenemos que c1 c1

c c

= = =

2 3

c1

3 1 2

) c = 2; c = 1; c = 1:

=

1

2

3

Luego el problema original es

0B B@



   

mn z = 2x1 + x2 x3 s:a : x1 + x2 + x3 6 x1 + 2x2 4 x1 ; x2 ; x3 0



1C CA

b) Primero, c 2 no es un costo básico luego solo cambia z 2  c2 por z 2  c2 : Tenemos que



z2 = ( 2; 0)

 1 3

=

2 =) z  c = 2  5 = 7: 2

y la tabla sique siendo óptima.

e

2

e

c) Tenemos que c1 es un costo básico. luego cambian todos los z j  c j y además cambia la z: z1 z2 z3 z4 z5

c c c c c

e

1 2 3 4 5

= (0; 0)T Y 1 c1 = 0 = c2 = 1 = c3 = 1 = c4 = 0 = 0

  





e

luego nuestra tabla nos queda x1 xh5 z

x1 1 0 0

x2 1 3 1



x3 1 1 1

xh4 1 1 2



xh5 0 1 0

b 6 10 0

se observa que perdimos optimalidad. Hay que aplicar simplex, entrando la variable x 3 y sacando x 1 de la base.

CAPÍTULO 5. POST OPTIMIZACIÓN

74

d) En este caso se modi…ca la última columna, luego tenemos que

       e   e   1 0 1 1

B 1 b =

1 4

1 3

1 cT B B b = ( 2; 0)

=

1 3

=2

y perdimos optimalidad, aplicar dual simplex.

e) Hacemos x+6 = x6  0 (con el …n de llevarlo a forma estandar) con lo que cambia c6 y a6 a c6 = 1 y a6 = (1; 2)T : Luego nuestro problema nos queda

e e e  e     e   B 1 a6 =

1 0 1 1

x1 xh5 z

1 2

x1 1 0 0

1 1

=

x2 1 3 1

x3 1 1 1

xh4 1 1 2

y z 6  c6 = 2  (1) = 1 xh5 0 1 0

x+ b 6 1 6 1 10 1 0

    f) Como el óptimo x = (6; 0; 0) satisface la restricción 2x  2x  2x  12; el 1

óptimo es el mismo.

2

3

g) El punto x = (6; 0; 0) no satisface la x1 + 2x3  2; agragamos una variables de holgura x 6 a esta restricción y la multiplicamos por 1; nos queda x1

 2x + x = 2 3

6

Luego la tabla nos queda x1 xh5 x6 z

x1 1 0 1 0

x2 x3 1 1 3 1 0 2 3 1

xh4 xh5 1 0 1 1 0 0 2 0

   

x6 0 0 1 0

b 6 10 2 12

 

Notar que la …la 3 no esta en forma explícita, luego multiplicamos la …la 1 por 1 y se la sumamos a la …la 3; con lo que nos queda x1 xh5 x6 z

x1 1 0 0 0

x2 x3 xh4 xh5 1 1 1 0 3 1 1 1 1 3 1 0 3 1 2 0

     

Y aplicamos el método dual-simplex.

x6 0 0 1 0

b 6 10 8 12

 

75

Ejercicio 48 Considere la siguiente tabla óptima de un problema de programación lineal: x1 x2 x7 z

x1 1 0 0 0

x2 0 1 0 0

x3 3 1 4 1

x4 1 2 2 1

x5 x6 x7 b 1 2 0 8 0 1 0 0 2 3 1 5 2 3 0

    

Programe una rutina en MATLAB que determine lo siguiente: a) Encuentrar el problema original, es decir, encuentre los parámetros c; A y b: b) Resolver el problema utiizando la instrucción linprog y compruebe que la solución óptima de la tabla es la misma, además encuentre la solución dual. c) Comprobar el Teorema de Holguras Complementarias. d) Cambiar el vector c por c0 = (1; 2; 3; 4)T , obtener los nuevos z j  c j . Si la solución deja de ser óptima, calcular la nueva solución. e) Cambiar el vector b por el nuevo vector b0 = (3; 2; 4), si la solución deja de ser factible, obtenga la nueva solución. e) Agregar una variable x 8  0 con costo c 8 = 8 y A 8 = (1; 3; 7)T . Compruebe sus resultados analíticamente.

Capítulo 6

Optimización en Redes 6.1. Transporte Resuelva los siguientes problemas usando el método de transporte. 1. Una compañia petrolera ha contratado el suministro de gasolina a cuatro aeropuertos A1 ; A2 ; A3 y A4 , los que necesitan 110, 235, 285, 445 miles de galones respectivamente. La gasolina debe ser trabsportada desde los almacenes O 1 ; O2; O3 los que disponen de 275, 350 y 345 miles de galones. El costo de transporte por galón de cada aeropuerto está dado por la siguiente: O1 A1 10 A2 7 A3 8

O2 O3 O4 10 9 11 11 12 13 14 4 9

a )

Escriba las ecuaciones y función objetivo del modelo de transporte asociado a este problema.

b)

Determine una solución factible básica inicial por el método del costo mínimo y aplique el algoritmo stepping-stone para hallar la solución óptima del problema y el costo total. Considerando que el aeropuerto A4 debe ser siempre satisfecho.

c )

Suponga que el administrador del almacén O3 tiene problemas personales con el administrador del aeropuerto A4, el cual se niega completamente en enviarle gasolina al aeropuerto A4 , en cambio lo único que desea el administrador del aeropuerto A 4 que su demanda sea cumplida. 76

6.1. TRANSPORTE

77

2. Considere la siguiente tabla de costos de algún problema de transporte: A1 A2 A3 A4

D1 D2 9 7 15 12 8 9 14 12

D3 D4 12 8 12 15 6 12 11 12

Y la siguiente tabla muestra una solución factible de dicho problema de transporte A1 A2 A3 A4 D j

D1

D2

4

14

D3

4 4 7 15

2 6

14

D4

Ai

18 4 6 12

5 5

a )

¿Es una solución factible básica?. b ) Demuestre que la solución es optimal y encuentre la base asociada. c ) ¿El problema tiene otra solución óptima? d ) Escriba el problema dual. e ) ¿Cuál es la solución óptima del problema dual?. 3. En un problema de transporte con 3 almacenes y 4 clientes, se tiene la siguiente tabla de datos: Costos C1 C2 C3 C4 Existencias A1 9 6 4 7 35 A2 2 4 6 3 20 A3 8 1 8 6 45 Demandas 30 40 10 20 a )

Sabiendo que los vectores columna de la base optimal B del problema equilibrado son los siguientes:

B =

0B BB B@

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1

1C CC CA

77

CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN EN REDES

78

halle los valores de las variables básicas asociadas a la base B y el costo total de transporte. b)

Compruebe que la SFB correspondiente a B es óptima, calculando los zij  cij no básicos. ¿Solución única? De no serlo calcule otra solución óptima.

Solución: Como el problema de transporte es equilibrado se puede escribir en la tabla de transporte. Atendiendo a que los vectores columna de la matriz A (i;j) son de la forma ei + em+ j ; los vectores de la matriz B dada indican cuáles son las casillas básicas en la tabla de transporte: (1; 1); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (3; 2); (3; 4)

y por tanto: 9

6

4

7

2

4

6

3

8

1

8

6

?

 ? ? ?     ?  ? Para hallar los valores de las variables básicas utilizamos las restricciones del modelo de transporte; ellas indican que la suma por …la y por columna debe coincidir con las existencias y las demandas. Por consiguiente, tenemos una única SFB posible: C 1 C 2 C 3 C 4 E i 9

6

4

7

2

4

6

3

8

1

8

6

40

10

20

O1 10

 10 15 20     40  5

O2

O3 D j 30

35 20 45

b) Calculemos los u i ; v j y los z ij  cij : C 1 C 2 C 3 C 4 E i 9

O1 10 2

O2 20 8

O3 0 D j 30 v j 9

6

4

7

4

6

3

1

8

40 2

10 4

4 10 15 35 9 9 3 20 40 5 5 45 6

ui

0 -7 -1

20 7

y como todos son  0, ello indica que la SFB dada es óptima. La solución no es

6.1. TRANSPORTE

79

única pues z 31  c31 = 0 por lo cual C 1 9

C 2 C 3 C 4

O1 10 2

O2 20 8 0+

O3 D j 30 v j 9

6

7

4

4 10 15 9 9 3 40 5 5

+

4

6

3

1

8

6 

40 2

10 4

20 7

E i

ui

35 0 20 -7 45 -1

y la nueva solución C 1 C 2 C 3 C 4 E i 9

O1 5 2

O2 20 8

O3 5 D j 30 v j 9

6

4

7

4

6

3

1

8

40 2

10 4

ui

4 10 20 35 9 9 3 20 40 5 45

0 -7 -1

6

20 7

4. Considere las siguientes tablas asociadas a un problema de transporte entre cuatro orígenes O1-O4 y cuatro destinos D1-D4. Existencia O1 O2 O3 O4 a )

4 2 8 7

Demandas D1 D2 D3 D4

3 5 4 9

Muestre que el siguiente plan de transporte X 1 es una solución optimal del problema y calcule el costo mínimo de transporte. X 1 =

b)

Costos D1 D2 D3 D4 O1 1 6 3 8 O2 6 24 12 20 O3 9 14 9 17 O4 2 25 12 18

0B @

0 0 0 3

0 0 5 0

0 1 3 0

4 1 0 4

1C A

Partiendo desde X 1 encuentre otra solución optimal X 2 6 = X 1.

5. Resuelva el problema de transporte siguiente, con datos: E = (25; 25; 50) D = (15; 20; 30; 35) C =

0@

10 5 6 7 8 2 7 6 9 3 4 8

1A


80

6. Considere el problema de transporte correspondiente a la siguiente tabla Costos C1 C2 C3 C4 Existencias A1 4 3 6 5 20 A2 7 10 5 6 30 A3 8 9 7 7 50 Demandas 15 35 20 30 a ) Encuentre la solución óptima usando el algoritmo Simplex-Transporte. b)

Suponga que c24 se sustituye por 4. Sin resolver el problema, encuentre la nueva solución óptima. c ) ¿Cuán grande debe hacerse c 12 antes de violar alguna condición de optimalidad de la solución del ítem a)? 7. Considere los siguientes datos para un problema de transporte Costos A1 A2 A3 Demandas

C1 14 82 99 71

C2 56 35 31 35

C3 48 21 71 45

C4 Existencias 27 71 81 47 63 93 60

a ) Indique una solución básica inicial aplicando la regla de la esquina noroeste.

Trace el árbol básico. b ) Indique una solución básica inicial aplicando la regla del costo mínimo. Trace el árbol. c ) Encuentre la solución óptima primero empezando de la SFB del ítem a) y luego la del ítem b). 8. Una empresa forestal tiene cuatro bodegas, A, B, C y D. Al comenzar cada día hay ocho, seis, cuatro y siete tractores en las bodegas respectivas. Durante la noche anterior se cargaron los remolques en los predios E, F, G, H e I con las siguientes cantidades: tres, seis, cinco, seis y cinco, respectivamente. La distancia entre las bodegas y predios se indican en la tabla siguientes: Kilómetros entre las terminales y las plantas BodegasnPredios E F G H I A 20 47 17 41 62 B 74 13 52 40 32 C 60 31 51 71 68 D 39 41 37 21 38

6.2. PROBLEMAS DE RUTAS MÍNIMAS

81

a )

¿De qué bodegas a qué predios hay que enviar los tractores si debe minimizarse la distancia total que recorran todos los tractores para recoger los remolques?. Utilice el método de costo mínimo, para encontrar una SFB con WinQSB o MATLAB. Después haga lo mismo, pero encuentre una SFB con el método de la esquina noroeste. b ) Resuelva el problema, utilizando WinQSB o MATLAB, y compare el número de iteraciones que tuvo que realizar el método para calcular la solución optimal partiendo de las SFB encontradas en a). Encuentre la solución Dual, y los precios sombras (investigue). c ) Encuentre la base asociada al óptimo. d ) Haga un análisis de sensibilidad que diga cuanto puede variar los costos, de tal forma que el óptimo se mantenga. 9. Una empresa produce un producto en tres plantas ubicadas en los lugares L1 ; L2 y L3 y distribuye sus productos a los almacenes W 1 ; W 2 ; W 3 ; W 4 y W 5 . La capacidad de cada planta, las necesidades de almacén y el coste unitario de transporte se da en la siguiente tabla: W 1 W 2 W 3 W 4 W 5 Capacidad L1 6 6 4 8 4 900 L2 7 6 5 4 7 500 L3 6 6 3 5 8 800 Requerimientos 500 400 800 400 400 a ) Utilice el método de costo mínimo, para encontrar una SFB con WinQSB, y

compruebe el Teorema de Dualidad Débil en este punto utilizando MATLAB. b ) Resuelva el problema, utilizando WinQSB y MATLAB, calcule la solución Dual. c ) Encuentre la base asociada al óptimo. d ) Haga un análisis de sensibilidad que diga cuanto puede variar los costos, de tal forma que el óptimo se mantenga.

6.2. Problemas de Rutas Mínimas 6.3.

Digrafos

De…nición 6.1 Sea V un conjunto …nito no vacío, y sea A  V  V . El par (V; A) es un grafo dirigido (sobre V ), o digrafo sobre V , donde V es el conjunto de vértices o nodos y A es su conjunto de aristas. Escribimos G = (V; A) para denotar el digrafo.

CAPÍTULO CAPÍTULO 6. OPTIMIZA OPTIMIZACIÓN CIÓN EN REDES

82

Ejemplo: La siguiente …gura muestra un ejemplo de un grafo dirigido sobre V = fa;b;c;d;eg con A = f(a; a) ; (a; b) ; (a; d) ; (b; c)g : La dirección de una arista se indica al colocar una ‡echa dirigida sobre ella, como se muestra aquí. Para cualquier arista, como (b; ( b; c), decimos que la arista es incidente con con los vértices b; c; b es adyacente hacia c, mientras que c es adyacente desde b . Además el vértice c es el origen, o fuente de la arista (b; ( b; c) y el vértice c es el término, o vértice terminal. La arista (a; (a; a) es un ejemplo de un lazo, y el vértice e que no tiene aristas es un vértice aislado. Cuando no importa la dirección de las aristas, la estructura G = (V; A), donde A es ahora un conjunto de pares no ordenados sobre V , es un grafo no dirigido. La …gura siguiente muestra un grafo no dirigido sobre V = fa;b;c;dg.

6.4. 6.4.

Algor Al goritm itmo o del del camino camino más más corto corto de Dijs Dijsktr ktra a

Comenzaremos con un grafo di…gido conexo 1 sin lazos G = (V; A). A cada arista e = (a; b) de este grafo le asignamos un número real positivo llamado peso de e, que denotaremos denotaremos por p (e) o p (a; b). Si (x; 6 A; de…nimos p (x; y) = 1. ( x; y ) 2 Cualquier e = (a; b) 2 A; p (e) podría representar la longitud de la carretera de a a b; el tiempo que tarda en recorrer esta carretera de a a b, o el costo del viaje de a a b por esta carretera. Un grafo G = (V; A) con una función de peso asociada a las aristas, lo llamaremos grafo ponderado.

Resumen del Algoritmo del camino más corto de Dijsktra:

Paso 1 Hacemos el contador i = 0; S 0 = fv0g : Etiquetamos v0 con (0; (0 ; ) y cada v 6 = v 0 con ( 1; ). Si n = n = 1; entonces V = fv0 g y el problema está resuelto. Si n > 1, continuamos con el paso 2.

i , reemplazamos (cuando sea posible), la etiqueta de v por la Paso 2 Para cada v 2 S nueva etiqueta …nal (L ( L (v ) ; y) ; donde

f

g

L (v ) = mn L (v ) ; L (v) + p + p (u; v ) ; u2S i

e y es un vértice en S i que produce el L (v) mínimo. (Si efectivamente hacemos un reemplazo, esto se debe al hecho de que podemos ir de v0 a v y recorrer una distancia más corta si recorremos un camino que incluye una arista (y; ( y; v) ). 1 Un

grafo es conexo cuando no tiene vértices aislados.

6.4. ALGORITM ALGORITMO O DEL CAMINO MÁS CORTO CORTO DE DIJSKTRA DIJSKTRA

83

11 7

6 4

3

9

6 11 4

4

1

4

9

5

3

5

5

2

6

11

17

i (para algún 0  i  n  2) tiene la etiqueta (1; ), entonces Paso 3 Si cada vértice de S el grafo etiquetado contiene la información que estamos buscando. i que no está etiquetado como (1; ) y Si no, existe al menos un vértice v 2 S realizamos las siguientes tareas:

1. Seleccionamos un vértice vi+1, tal que L (vi+1 ) sea mínimo (para todo v de este tipo). Puede haber varios de estos vértices, en cuyo caso podemos elegir i cualquiera de los posibles candidatos. El vértice vi+1 es un elemento de S que es el más cercano a v 0 . 2. Asignamos S i [ fvi+1g a S i+1 . a ) Incrementamos el contador i en 1. Si i = contiene la información deseada. Si i < n  1: i = n n  1, el grafo etiquetado contiene Regresamos al paso 2. Ejercicio 49 Aplique el algoritmo Dijkstra al siguiente digrafo: Solución. Los vértices del digrafo 1, 2, 3, 4, 5 y 6 los identi…camos con las letras a; b; c; h; f; g respectivamente. Inicialización: 0 = a;b;h;f;g ; i = 0; n = 6; S 0 = c ; S

fg

f

g

también etiquetamos c con (0; (0 ; ) y todo el grafo con ( 1; ) y (0; (0 ; ).

CAPÍTULO CAPÍTULO 6. OPTIMIZA OPTIMIZACIÓN CIÓN EN REDES

84 Iteración 1: 0 S L (a) L (b) L (h) L (g ) L (f ) f )

= = = = = =

fa;b;h;g;f g ; i = 0 mn fL (a) ; L (c) + p + p (c; a)g = mn f1; 0 + 1g = 1 mn fL (b) ; L (c) + p + p (c; b)g = mn f1; 0 + 1g = 1 mn fL (h) ; L (c) + p + p (c; h)g = mn f1; 0 + 11g = 11 1 6

Así etiquetamos el vértice f con (6; (6 ; c) y el vértice h con (11; (11 ; c). Los demás vértices de  0 más es el vértice v1 en el S S 0 siguen etiquetados con (1; ). En el paso 3 vemos que f es cercano a v 0 por lo que asignamos a S 1 el conjunto S 0 [ ff g = fc; f g e incrementamos el contador i a 1. Como i = i = 1 < 5(= < 5(= 6  1); 1); regresamos al paso 2. Iteración 2: 1 = a;b;h;g , i = S 1 = c; f ; S i = 1 L (a) = mn L (a) ; L (c) + p + p (c; a) ; L (f ) f ) + p + p (f; a)

f g f g f g mn f1; 0 + 1; 6 + 11g = 17 mn fL (b) ; L (c) + p + p (c; b) ; L (f ) f ) + p + p (f; b)g mn f1; 0 + 1; 6 + 1g = 1 mn fL (g) ; L (c) + p + p (c; g) ; L (f ) f ) + p + p (f; g)g mn f1; 0 + 1; 6 + 9 g = 15 mn fL (h) ; L (c) + p + p (c; h) ; L (f ) f ) + p + p (f; h)g mn f11; 11; 0 + 11; 11; 6 + 4 g = 10 u2S 1

= L (b) =

u2S 1

= L (g ) =

u2S 1

= L (h) = =

Sin mayores detalles, tenemos que S 2 = S = S 1

Iteración 3:

[ fhg = fc;f;hg

2 = a;b;g ; i = 2 S 2 = c;f;h , S L (a) = mn L (a) ; L (c) + p + p (c; a) ; L (f ) f ) + p + p (f; a) ; L (h) + p + p (h; a)

f

L (b) = = L (g ) = =

f

g

f g mn f17; 17; 0 + 1; 6 + 1; 10 + 11g = 17 mn fL (b) ; L (c) + p + p (c; b) ; L (f ) f ) + p + p (f; b) ; L (h) + p + p (h; b)g mn f1; 0 + 1; 6 + 1; 10 + 1g mn fL (g ) ; L (c) + p + p (c; g) ; L (f ) f ) + p + p (f; g) ; L (h) + p + p (h; b)g mn f15; 15; 0 + 1; 6 + 9; 9; 10 + 4g = 14 u2S 2

=

g

u2S 2 u2S 2

u2S 2

6.4. ALGORITMO DEL CAMINO MÁS CORTO DE DIJSKTRA

85

3 = fa; bg ; i = 3 Iteración 4:S 3 = fc;f;h;gg ; S Resumiendo, quedan las siguientes etiquetas: Así, las etiquetas no cambian durante esta iteración. Hacemos v4 = a; y S 4 = S 3 [fag = fc;f;h;g;ag, en el paso 3 del algoritmo. Entonces incrementamos i a 4 (<5) y regresamos al paso 2. Iteración 5: 4 = b S 4 = c;f;h;g;b ; S

f

g

fg

En este caso, i = 4 en el paso 2, y vemos que L (b) = L (a) + p (a; b) = 17 + 5 = 22:

La etiqueta de b cambia por (22; 1). Entonces, v 5 = b en el paso 3, S 5 en fc;f;h;g;a;bg e i e incrementa a 5. Pero ahora que i = 5 = jV j  1; el proceso termina. De las etiquetas de la …gura anterior, obtenemos las siguientes distancias más cortas de c a los otros cinco vértices de G : d (c; f ) d (c; g) d (c; b) d (c; h) d (c; a)

= = = = =

L (f ) = 6 L (g) = 14 L (b) = 22 L (h) = 10 L (a) = 17

Ahora bien, para determinar una camino dirigido más corto desde c a b, partimos del vértice b, que tiene la etiqueta (22; a). El vértice que lo precede es (17; f ) y después (6; c). Así el camino es: (c; f )

! (f; a) ! (a; b) .

Ejercicio 50 Resuelva el problema anterior usando usando MATLAB. Solución. Considerando el digrafo de la f ig 1, mostraremos como calcular el camino más corto entre el nodo 3 y el nodo 5, siguiendo una serie de rutinas en el programa


86 matlab. 11

7

6 4

3

9

6 11 4

4

1

4

9

3

5

5

5

2

6

11

17

Fig. 1

Para una mejor comprensión, detallaremos el procedimiento de generar la imagen del digrafo y su posterior resolución mediante el algoítmo Dijkstra mediante los siguientes pasos:

1. Primero debemos ingresar los pesos de cada arista en un vector de Matlab: >> W=[6,5,17,4,3,7,6,11,7,11,4,9,5,11,9,4];

2. Relacionar cada arista con los pesos, cada vértice del cual sale una arista se ingresa en un vector y cada componente de este vector esta relacionada con los vertices de incidencia. Por ejemplo la arista a 12 y a 34 se relaciona a través de los vectores [1; 3] y [2; 4] donde cada componente del primer vector son los nodos de los cuales salen las aristas que inciden en 2 y 4 respectivamente. Para generar la estructura del grafo se utiliza la función sparce a continuación mostramos la rutina: >> DG=sparse([1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,4,5,6,6,6],[3,2,5,3,1,6,4,6,3,1,6,5,6,1,4,5],W);


87

De esta forma se genera la estructura: DG = (2; 1) (4; 1) (6;1) (1; 2) (1; 3) (2; 3) (4; 3) (3; 4) (6; 4) (1; 5) (4; 5) (6; 5) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6)

3 11 11 5 6 4 7 6 9 17 9 4 7 11 4 5

3. En el siguiente paso generamos el objeto "digrafo"que utilizaremos en la resolución del problema. A través de la siguiente sentencia de matlab. >>h=view(biograph(DG,[],0 ShowWeights0 ,0 on0 ))

Biograph object with 6 no desand 16 edges. En la …gura 2 mostramos el digrafo, generado por MATLAB. 4. Ahora resolveremos el problema de seleccionar el camino mas corto, partiendo del nodo 3 y llegando al nodo 5, para indicarle a matlab que utilice el algoritmo Dijkstra debemos colocar la sentencia: >>[DistanciaMin,Camino,pred]=graphshortestpath(DG,3,5, 0 Method0 ,0 Dijkstra0 );

DistanciaMin = 14 Camino = 3 4 6 5


88 pred = 4 1 0 3 6 4

Node1 5 3

6

11

Node2 4 11

Node6 9

4

Node4

17 4 4 11

5

9

7 6

Node3

Node5

Fig. 2

5. Para mostrar la solución grá…camente podemos recurrir a algunas funciones del objeto "digrafo"de matlab, que nos permiten pintar el camino mas corto entre el nodo 3 y el nodo 5, a continuación mostraremos la rutina (la variable que se utiliza es Camino). >> set(h.Nodes(Camino),’Color’,[1 0.4 0.4]); >> edges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(Camino),’ID’)); >> set(edges,’LineColor’,[1 0 0]); >> set(edges,’LineWidth’,1.5);


89

La solución grá…ca generada por la rutina anterior se muestra a continuación: Node 1

5 3 11

Node 2 6 7 11

Node 6 17

9 4 4

Node 4 4

5

11 9

7 6

Node 3

Node 5

Parte II Programación No Lineal

90

Capítulo 7

Condiciones de Opimalidad 7.1. Sin Restricciones Ejercicio 51 Encuentre los puntos críticos de f (x1 ; x2 ) = x21  x22 y analice si es un máximo o un mínimo: Ejercicio 52 Encuentre los puntos críticos de f (x) =

obtenidos cumplen condiciones para máximo o mínimo.

P n

i=1

x4i y analice si los puntos

Ejercicio 53 Consideremos la función f : R2 ! R dada por f (x) = x

T

   2 5 1 1



x + xT

3 4

+ 7:

a) Encuentre la derivada direccional de f en (0; 1) en la dirección (1; 0). b) Encontrar todos los puntos que satisfacen las CN1O para (mn f (x) ; x 2 R2). ¿f tiene un mínimo? Si tiene, encuéntrelos todos; en caso contrario explicar por qué no existen. Ejercicio 54 Considere la función: f (x1 ; x2 ) = x 41 + 2x31 + 2x21

2 2

 2x x + x 1 2

a) Halle todos los puntos estacionarios de f resolviendo el sistema rf = 0: b) Determine cuáles de los puntos estacionarios de f son de mínimo local, de máximo local y de ensilladura, utilizando las condiciones su…cientes de segundo orden. Solución.

91

CAPÍTULO 7. CONDICIONES DE OPIMALIDAD

92 1. a) Tenemos:

@ f (x1 ; x2 ) = 4x31 + 6x21 + 4x1 @x 1 @ f (x1 ; x2 ) = 2x2 2x1 @x 2

 2x ; 2



rf (x; y) = 0 ()

@ 3 2 @x 1 f (x1 ; x2 ) = 4x1 + 6x1 + 4x1 @ 2x1 = @x 2 f (x1 ; x2 ) = 2x2

(a) : (b) :



de (b) ; se tiene x 1 = x2 , luego reemplazando en (b): 4x31 + 6x21 + 2x1

 2x = 0

2 1

2

0

) x = 0 o 4x + 6x + 2 = 0 1 =) x = 0; 1 o  : 2 Tenemos 3 puntos críticos: (0; 0) ; (1; 1) y  ;  : =

0=

1

1

1

  1 2

b) La matriz hesiana es: H (x1 ; x2 ) =

2

r f (x ; x ) = 1

2



1 2

12x21 + 12x1 + 4 2



2 2



;

luego H (0; 0)

 

)

= H

1 ; 2

1 2

=

)

=





4 2 H ( 1; 1) = 2 2 det H 1 (0; 0) = 4; det H 2 (0; 0) = 4

=

   



1 2



det H 1

2 2



   1 ; 2

1 2



= 1; det H 2

   1 ; 2

1 2

=

Concluimos que los puntos (0; 0)y (1; 1) son puntos de mínimos y es un punto de silla.

Ejercicio 55 Considere el siguiente problema irrestricto:



optf (x) = 2x21

2 2

2x1 +x2

 x x + x  3x + e 1 2

1



1

   1 2;

1 2

7.1. SIN RESTRICCIONES

93

1. Encuentre los puntos críticos del problema anterior. 2. Pruebe condiciones necesarias o su…cientes en los puntos encontrados y diga cuáles son máximos o mínimos. 3. ¿El punto (0; 0)T es una solución optimal?. Si no, identi…ca una dirección d en que la función puede decrecer más. Ejercicio 56 Supongamos que c es el costo unitario por orden, co el costo por sobre stock y c u el costo por quiebres de stock, luego el costo total es:  (x; D) = cx + c0 (x

 D)

+

+ cu (D

+

 x)

donde D es la demanda aleatoria del producto cuya función de distribución la denotamos por F . Así se requiere encontrar el pedido óptimo x  que minimice los costos: mn  (x; D) x0

No obstante, minimizamos el problema determinístico siguiente: mn  (x) := ED [ (x; D)] x0

Z

x

 (x) = cx + co

1

(x

0

 y) f (y) dy + c

Recordamos la Regla de Leibniz: d dx

R

g(x) y0

Z R Z  u

 (x; y) dy =  (x; g (x)) g0 (x) +

Usando la regla de Leibniz, obtenemos: d (x) = dx = = =

Z

x

c + cu

(y

x

 x) f (y) dy:

g (x) d  (x; y) dy y0 dx

1

f (y) dy

0

co

f (y) dy

x

c + co P (D < x) cu P (D x) c + co P (D < x) cu (1 P (D < x)) c + co F (x) cu + cu F (x)



 





x es un punto de mínimo para mnx0 ED [ (x; D)], entonces satisface: d (x ) =0 dx

, P (D < x ) = cc +cc . 0



o

Luego el punto de óptimo viene dado por: x = F 1

  c0 c co + cu

.

u


94 Este punto es de óptimo porque

d2  (x ) = (c0 + cu ) f (x ) > 0; 2 dx

por lo que se satisfacen condiciones su…cientes de segundo orden. Ejercicio 57 Considere la familia de funciones siguiente, dependiente del parámetro  2 R: 1 f (x) = (x21 + x22 + x23 ) 2

 x  x + (1   )x  x + x 1

2

2

3

3

1. Determine todos los vectores X ( ) = (x( ); y( )) con  = 6 0 que satisfacen condiciones necesarias de 1er. orden. t

6 0, los vectores hallados en a) son máximos 2. Determine para cuáles valores de  = o mínimos locales de f . 3. Realice una iteración del método de Newton modi…cado con BLE a partir del punto x 0 = (0; 1; 0) considerando  = 0 . t

Ejercicio 58 Encuentre los puntos críticos del problema opt f (x1 ; x2 ) =

 

3 2 x1 + x22 + (1 + a) x1 x2 2

 (x + x ) + bx ; 1

2

2

en función de los parámetros a , b y determine qué condiciones deben cumplir para que los puntos encontrados sean mínimos o máximos. Ejercicio 59 Considere la familia de funciones siguientes, dependiente del parámetro  2 R: f (x; y) = 2x3 + y 3 + 6xy

1. Determine todos los vectores X ( ) = (x ( ) ; y ( ))T que satisfacen condiciones necesarias de 1er. orden. 2. ¿Para qué valores del parámetro  los vectores X ( ) son máximos y para cuáles son mínimos? Solución. El gradiente y la matriz hessiana de la función objetivo son:

rf (x; y) =



6x2 + 6y 3y 2 + 6x



;

2

r f (x; y) =



12x 6 6 6y




95

a) Los puntos críticos salen de

    ()      ()  ()  6 s s  ! r )  )    r s ! 6x2 + 6y 3y 2 + 6x

=

x2  2 y 2

y = x =

0 0

Reemplazando segunda ecuación en la primera se llega a: 2

 2 y 2

y =

4y +  2 y4 = 0

y 4 +  2 y3 = 0

Para el caso  = 0, el punto es (0; 0). Para  = 0, obtenemos =

y ( ) =

3

)

4 =  2

 2

x ( ) =

X ( ) =

2 ; 

3

3

3

4  2

4  2

2

2 

=

T

b) Para el punto (0; 0), la matriz hessiana es: 2

r f (0; 0) =

  0 6 6 0

que es inde…nida, puesto que H 1 = 0 y H 2 = 6, y luego este punto es punto de silla. Para  = 6 0 la matriz hessiana es: 2

r f (X ( )) = Luego H 1 = 12 H 2 = 12

0@ q   q  1A  12

3

2 

6

r  r  s !  3

3

2 

2 6 

3

4  2

6

6

4 2

3

s 

36 = 72

3

8  3

36 = 108

Por lo tanto el único menor principal que cambia de signo según  es H 1 , y se tiene que < 0 si  > 0 H 1 = > 0 si  < 0 Conclusión, X ( ) es máximo local si  > 0 y mínimo local si  < 0.



96


Ejercicio 60 Consideremos la función cuadrática f : Rn ! R dada por 1 f (x) = xT Qx 2

T

x

q

donde Q = Q T  0: Mostrar que x es un mínimo ssi x satisface las CN1O. Ejercicio 61 En estadística se emplea mucho un tipo especial de estimador, conocido como estimador de máxima verosimilitud el cuál se obtiene razonando de la siguiente forma. Sea f (x1 ; x2 ;:::;xn j ) la función de masa de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X 1 ; X 2 ;:::;X n cuando estas son variables aleatorias discretas, y sea ésta su función de densidad de probabilidad conjunta cuando éstas son variables aleatorias continuas conjuntas. Ya que suponemos que  2 R k no se conoce, también escribimos f como una función de  . Como f (x1 ; x2 ;:::;xn j ) representa la posibilidad de que se observen los valores x 1 ; x2;:::;xn, cuando  es el verdadero valor del parámetro, un estimador razonable de  parece ser aquel valor para que da la mayor probabilidad de los valores observados, es decir, es estimador de máxima verosimilitud ^ es por de…nición el valor de  que maximiza f (x1 ; x2 ;:::;xn j ) donde x1 ; x2 ;:::;xn son los valores obvervados(datos, no incógnitas, en este caso, las incognitas a determinar son  1 ; 2;:::;k ). En resumen, para encontrar ^ se debe resolver el problema de optimización irrestricto: max f (x1 ; x2 ;:::;xn j ) . k 2R

Una última nota es que si X 1 ; X 2 ;:::;X n es una muestra aleatoria, entonces las X i son iid, así f (x1 ; x2 ;:::;xn j ) = f (x1 j ) f (x2 j )  f (xn j ) . a) Pruebe que max2Rk f (x1 ; x2;:::;xn j ) se alcanza en el mismo punto ^ que en el problema max2Rk ln f (x1; x2 ;:::;xn j ). b) Encuentre el estimador de máxima verosimilitud en una población que se distribuye exponencialmente, es decir, se va a tener que

 exp() ; 8i = 1;:::;n

X i

y pruebe que se cumplen condiciones su…cientes de segundo orden para máximo en el punto. c) Suponga que se realizan n ensayos independientes, cada uno con probabilidad p de éxito. ¿Cuál es el estimador de máxima verosimilitud de p?. Pruebe condiciones su…cientes para a…rmar que el estimador que obtuvo es realmente un máximo.


97

d) Encuentre el estimador de máxima verosimilitud para  y  en una población que se distribuye normal. Recuerde que una variable aleatoria que se distribuye normal, tiene distribución: 1 p e  2

 12 ( x   )

f (x) =



2

.

Notar que en este caso  = (; ) 2 R2 . Solución. Demos respuesta a d). En efecto, como en la nota, si X 1 ; X 2 ;:::;X n es una muestra aleatoria, entonces las X i son iid, y así

j  f (x j ) . donde para nuestro caso,  = (; ) 2 R . Además, como cada X  N (; ) se tiene j

j

f (x1 ; x2 ;:::;xn ) = f (x1 ) f (x2 )

n

2

que:

i

1 f (x j (; )) = p e  2

xi  

 12 (

i

j

)

2

j j   f (x j ) 1 ) p e (  2

f (x1 ; x2 ;:::;xn ) = f (x1 ) f (x2 ) n

=

Y i=1

xi  

 12

n

2

j

g () := ln f (x1 ; x2 ;:::;xn ) n

X p X      p !   X p    0@ 1A     r  X    ) X xi  1 ln e (  )  2

g () =

2

2

i=1 n

1 2

=

i=1

)



1

1 2

g () =

xi

2



ln  2



n

xi



2

n ln  2



i=1

Busquemos los puntos que satisfacen las CN1O, es decir, los puntos tales que g ^ =

)

@g () @

n

=

=^ 

i=1

@g (^ ) @ @g (^ ) @

xi

 ^

 ^

=

=0

0 0

1 ^ = n

n

i=1

xi


98

)

@g () @

 X n

=

=^ 

(xi

2

 ^)  n = 0 ) ^ =  ^  ^ 3

i=1

X 1 n

!

1=2

n

 ^)

(xi

i=1

2

En conclusión, los estimadores de máxima verosimilitud, son

 ^ =

n

X X  ! 1  ^ = n

1 n

xi (media muestral)

i=1

1=2

n

 ^ )2

(xi

(desviación estandar muestral)

i=1

Probemos ahora, que efectivamente son máximos para max2R g (), para ello probemos que ( ^ ; ^ ) satisface CN2O. En efecto, 2

@ 2 g () = @ 2



n ; 

n

@g () = @@

X   0B  r @ P  0    B r @ P        r  @g () = @@ 2

1 2

(xi

i=1

1 2

(xi

n

(xi

)

i=1

3 4

)

i=1

@ 2 g () 3 ) ; = @ 2 4 n 

g () =

n

X   X   P  P   P  P  1 2

n

(xi

)2 +

i=1 n

1 (xi 2 i=1 n

(xi

)

)2 +

i=1

n 2

n 2

1C A 1C A

y reemplazando en ^ = (^; ^ ) la matriz hessiana anterior, queda (¿por qué?): 2

g ^

n  ^

=

=

1  ^2

n  ^

0

n

(xi

i=1

0

 ^)

3  ^4

n 1 (xi  ^2 i=1 n

(xi

i=1

 ^)

 ^ )2 +

n  ^2

2n  ^2

y claramente 2 g ^ 0 (¿por qué?), y por tanto ^ es un máximo local el problema(porque cumple CS2O). Como sólo existe un punto que satisface CN1O, este punto es además un máximo global. Ejercicio 62 Suponga que usted conoce que la cantidad de individuos que entraron en un día cualquier a un supermercado se distribuye Poisson a tasa  , es decir, e n P (X = n) = ; n = 0; 1; 2;::: n!

7.2. CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD

99

A usted le encargan estimar el parámetro  para hacer inferencia del futuro. Para ello usted toma una muestra iid fx1 ; x2 ;:::;xK g.

a) Utilice el método de máxima verosimilitud para encontrar ^ en función de la muestra.

b) Pruebe que el estimador obtenido en a) es efectivamente el máximo de la función de verosimilitud. Utilice condiciones su…cientes de segundo orden. Ejercicio 63 Otra aplicación en estadística es para ajustar una curva lineal o polinomial a un conjunto de datos extraidos de una población. Suponga que se van a observar las respuestas Y i que corresponden a los valores de entrada xi , i = 1;:::;n; y que se van a usar para estimar  y  en un modelos de regresión lineal simple, es decir se quiere ajustar una curva de la forma y =  + x al conjunto de datos (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ;:::; (xn; yn ). Para determinar los valores de  y  ^ son los estimadores de  y  , entonces el estimador de razonamos como sigue: Si ^ y  ^ i . Como la verdadera la respuesta correspondiente a la variable de entrada xi será ^ + x 2 ^ i , y de esta manera si  respuesta es Y i , el cuadrado de la diferencia es Y i  ^  x ^





^ son los estimadores de  y  respectivamente, entonces la suma de los cuadrados y  de las diferencias entre los valores de la respuesta estimada y de la respuesta verdadera, llamémosle S S , está dada por

X    n

SS =

Y i

 ^

^ i x

2

:

i=1

El método de mínimos cuadrados escoge como estimadores de  y  a los valores ^ ^ ^ son soluciones del problema de optimización y  que minimizan SS . Por tanto ^ y  irrestricto

n

mn SS =

(;)2R2

X i=1

(Y i

   x ) i

2

.

^ que minimizan S S usando las CN1O. a) Encuentre los estimadores ^ y 

b) Pruebe CNSO o CS2O en los puntos encontrados en a). ¿Puede probar que en realidad lo que se obtiene es un mínimo global?

7.2.

Con Restricciones de Igualdad

Ejercicio 64 Encuentre en forma grá…ca los máximos y mínimos del problema



mn g (x; y) = x 2 + y2 s:a : x + y = 1




100

y resuelvalo si es posible, en términos de una variable. Ejercicio 65 Encuentre en forma grá…ca los máximos y mínimos del problema



optimizar f (x; y) = x + y s:a : x2 + y2 = 1



y resuelvalo si es posible, en términos de una variable. Ejercicio 66 Dado el Problema de Programación no lineal

0@

mn f (x1 ; x2 ; x3 ) = 2ax21 + x2 x3 + bx23 ax1 x2 = a x1 x3 = a2 b

1A

con a; b 2 R ; a 6 = 0. Determine los valores de los parámetros a; b de tal forma que el punto x = (1; a ; a) cumpla condiciones necesarias y su…cientes para mínimo local. t

Ejercicio 67 Encuentre todos los puntos críticos del siguiente problema y compruebe por medio de las condiciones su…cientes de segundo orden, si es un máximo o un mínimo.





Optimizar f (x;y;z) = xyz s:a : x + y + z = 1

Solución. Despejamos x = 1  y  z y reemplazamos en la función objetivo, con lo que nos queda un problema sin restricciones, en dos variables: opt g (y; z) = (1

2

 y  z) yz = yz  y z  yz

@g (y; z) = z @y @g (y; z) = y @z

 2yz  z

2

2

=0

2

 y  2yz = 0

Aquí salen 4 puntos críticos: (0; 0) ; (1; 0) ; (0; 1) y (1=3; 1=3) : El jacobiano de la función objetivo es el siguiente: H (y; z) =

2

r g (y; z) =



2z 1  2y  2z 2y 1  2y  2z



;

7.2. CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD

101

Evaluando los puntos y calculando los menores principales de c:

                              0@ 1A      H (0; 0) =

0 1 1 0

H (1; 0) =

0 1

H (0; 1) =

1 1 H ; 3 3

=

; det H 1 (0; 0) = 0; det H 2 (0; 0) =

1 2

2 1

1 0

2 3 1 3

1 3 2 3

1

; det H 1 (1; 0) = 0; det H 2 (1; 0) =

; det H 1 (0; 1) = ; det H 1

1 1 ; 3 3

2; det H 2 (0; 1) =

=

2 ; det H 2 3

1 1 ; 3 3

1

1 =

1 3

De aquí sale que (0; 0) ; (1; 0) ; (0; 1) son puntos de ensilladura y (1=3; 1=3) es un máximo, puesto que H 13 ; 13 es de…nida negativa. Ejercicio 68 Considere el siguiente problema:

mn f (x;y;z) = x 2 y + 3z 6y + 3x s:a : h (x;y;z) = y x2 1 = 0 h2 (x;y;z) = x y + z 1 = 0

1. Compruebe que los puntos P 1 = (1; 2; 2) y P 2 = (0; 1; 2) satisfacen condiciones necesarias de primer orden. 2. ¿Cuál de estos puntos es máximo o mínimo del problema?. Ejercicio 69 Dado el programa:



mn o max f (x; y) = ax 2 + bxy ax s:a : x = y

  2by  5x



con a y b 2 R. Determinar: a) Las condiciones que deben cumplir los parámetros a y b para que el punto (1; 1) sea el punto critico del programa. b) Las condiciones que deben cumplir los parámetros a y b para que en el punto (1; 1) halla un máximo local estricto del programa. c) Análogo a a) pero para un mínimo estricto.


102

Ejercicio 70 Considere el siguiente problema de optimización no lineal:

0@

opt x1 + x22 + x2 x3 + 2x23 s:a : 1 (x21 + x22 + x23 ) = 12 2

1A

a) Pruebe que el punto x1 = 1; x2 = x3 = 0 satisface condiciones necesarias de optimalidad de primer orden. b) Use condiciones su…cientes de segundo orden para decidir si el punto es un mínimo o máximo local. Ejercicio 71 Dado el programa:

p

optimizar f (x; y) = 55x + 12y x s:a : x2 + 3y = a

con a 2 R y sabiendo que (4; y0 ) es un punto crítico del mismo: a) Calcular los valores de a y de y 0:

b) Determinar si el punto crítico obtenido en el apartado anterior es máximo, mínimo o punto de silla.

7.3.

Con Restricciones de Desigualdad

Ejercicio 72 Condidere el siguiente problema de optimización:

0@

max ln (x1 + 1) + x2 s:a : 2x1 + x2 3 x1 ; x2 0

 

1A

a) Analice si puede existir un punto factible no regular. b) Escriba las condiciones de KKT para obtener un punto estacionario del Lagrangeano. c) Use condiciones su…cientes de segundo orden para analizar si el punto obtenido en b) es o no máximo local. Ejercicio 73 Considere el siguiente problema:

0@

mn f (x) = x 21 + 2 s:a : x21 + x2 x21 x2

 (x + 2)  1   1 2

2

1A

7.3. CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD

103

a) Encuentre todos los puntos que satisfacen condiciones necesarias de 1er orden para mínimo local. b) Usando condiciones Su…cientes de 2do orden, pruebe que el o los puntos obtenidos en a) son mínimos locales. Solución. a) La función de Lagrange para este problema es: L (x; ) = x 21 + 2

 (x + 2) 2

2



+ 1 x21 + x2

1

Las condiciones de KKT para este problema son: @ L (x; ) @x 1 @ L (x; ) @x 2 @ L (x; ) @ 1 @ L (x; ) @ 1 1 x21 + x2 1 2 x21 x2 1



  



 

+ 2 x21



x 1 2

= 2x1 + 21 x1 + 22 x2 = 0 = =

2 (x + 2) +    = 0 x + x  1  0 2

2 1

= x21

1

2

2

x 10 2

= 0 = 0

De la primera igualdad se tiene que:

)

2x1 (1 + 1 + 2 ) = 0; = x1 = 0 1 2 = 2 (x1 + x2 )



Analizando los posibles valores de  1 y  2 : J ( x) = ? : 1 =  2 = 0, y se tiene x = (0; 2) y este punto no cumple la segunda



restricción, y por ende no es punto crítico.

J ( x) = 1 :  1 > 0; 2 = 0, x21 + x2 1 = 0 y así se obtiene el punto x = (0; 1) con multiplicadores  1 = 6; 2 = 0 y por lo tanto es punto crítico.

fg



J ( x) = 2 : 1 = 0; 2 > 0; puesto que x1 = 0, x2 =

f g

para mínimo.

J ( x) = 1; 2 : No existe solución.

f g

1 y  = 2 y no sirve 2


104

Conclusión el único punto estacionario del Lagrangeano es ( x;  ) = (0; 1; 6; 0) : b) La matriz hessiana del Lagrangeano es: 2

r L (x ; x ;  ;  ) = 1

2

1

2



2 + 21 + 22 0

0 2





Evaluando en el punto estacionario que obtuvimos en a), tenemos 2

r L (x; ) =

  8 0

0 2



Esta matriz no es de…nida positiva ni de…nida negativa en todo R2 . Por lo tanto, estamos obligados a calcular el subespacio tangente (en este caso, el hiperplano tangente apliado): ^ = d M

n

f 2 R : rg (x) d = 0; i = 1;:::;p;  > 0g i

i

como  1 > 0; y  2 = 0, tenemos que el hiperplano tangente ampliado es: ^ = M =

2



d R2 : g1 (0; 1) d = 0 (no se considera (; 0) :  R

r 2 g

f

(; 0)

2

r L (x; )

  0

= (; 0)

rg (0; 1) d = 0, porque  = 0) 2

2

   8 0

0 2



 0

= 82 > 0;  = 0:

6

y así el punto satisface condiciones su…cientes de segundo orden para mínimo local. Ejercicio 74 Considere el siguiente problema:

0@

opt f (x; y) = (x + 1)2 + y2 s:a : x2 + y2 = 4 3x + y 2



1A

a) Si opt = min, compruebe si se cumplen las condiciones de KKT en el punto P M = (2; 0)T : Determine si P M es un mínimo del problema utilizando condiciones su…cientes de segundo orden. b) Si opt = max compruebe si se cumplen las condiciones de KKT en el punto QM = (6=5; 8=5)T : Determine si QM es un máximo del problema utilizando condiciones su…cientes. Ejercicio 75 Considere el siguiente problema:

0@

max x2 + y 2 + z 2 + 5x s:a : x2 + y2 4 y 2

   

1

1A

Ejercicios_Resueltos_-_Optimizacion

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