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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

ELASTICIDAD Grado en Ingeniería Mecánica

EJERCICIOS PROPUESTOS

CURSO 2015/16

Departamento de Mecánica Mecánica de Medios Medios Continuos y Teoría de Estructuras Estructuras Grado en Ingeniería Mecánica ELASTICIDAD

Curso 2015/2016

Ejercicios propuestos Tema 1. Equilibrio del sólido deformable PROBLEMA 1.1 Dado el tensor de tensiones (referido a un sistema cartesiano de referencia) en un punto de un sólido:

12 [T ] =  4  2

2

4 −

8

−

1

  6 

−

1

MPa

Se pide: - Dibujar sobre un prisma elemental, y en las caras más alejadas del origen de coordenadas, la dirección y sentido de cada una de las componentes tensionales que sobre dichas caras actúan. -

Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actúan sobre un plano paralelo al plano x+y+z=0 que pasa por las proximidades (distancia infinitesimal) del punto considerado.

Solución: σ n=6.67 MPa ; τ =9.39 =9.39 MPa

PROBLEMA 1.2 El tensor de tensiones de un punto P del sólido referido a un sistema de referencia xyz es:

0 0 0  [T ] = 0 50 0  M Pa 0 0 10 Se pide: a) Las componentes intrínsecas del vector tensión en P para un determinado plano son y . Determinar dicho plano. r

Solución: n

=

 2 , 1 ,0    5   5

PROBLEMA 1.3 Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles valores de las constantes C 1, C 2 y C3 para que la siguiente distribución de tensiones pueda existir en un sólido en equilibrio: σ x

2 ⋅ C 1 ⋅ x ⋅ y

= −

σ y

=

C 2 ⋅ z

σ z

=

0

Solución: C1=C3=0, C2=Cte

2

C 1 ⋅ (C 2

τ xy

=

τ xz

= −C 3 ⋅ y

τ yz

=

0

− y

2

) + C x ⋅ z 3


Curso 2015/2016

Ejercicios propuestos Tema 1. Equilibrio del sólido deformable PROBLEMA 1.1 Dado el tensor de tensiones (referido a un sistema cartesiano de referencia) en un punto de un sólido:

12 [T ] =  4  2

2

4 −

8

−

1

  6 

−

1

MPa

Se pide: - Dibujar sobre un prisma elemental, y en las caras más alejadas del origen de coordenadas, la dirección y sentido de cada una de las componentes tensionales que sobre dichas caras actúan. -

Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actúan sobre un plano paralelo al plano x+y+z=0 que pasa por las proximidades (distancia infinitesimal) del punto considerado.

Solución: σ n=6.67 MPa ; τ =9.39 =9.39 MPa

PROBLEMA 1.2 El tensor de tensiones de un punto P del sólido referido a un sistema de referencia xyz es:

0 0 0  [T ] = 0 50 0  M Pa 0 0 10 Se pide: a) Las componentes intrínsecas del vector tensión en P para un determinado plano son y . Determinar dicho plano. r

Solución: n

=

 2 , 1 ,0    5   5

PROBLEMA 1.3 Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles valores de las constantes C 1, C 2 y C3 para que la siguiente distribución de tensiones pueda existir en un sólido en equilibrio: σ x

2 ⋅ C 1 ⋅ x ⋅ y

= −

σ y

=

C 2 ⋅ z

σ z

=

0

Solución: C1=C3=0, C2=Cte

2

C 1 ⋅ (C 2

τ xy

=

τ xz

= −C 3 ⋅ y

τ yz

=

0

− y

2

) + C x ⋅ z 3


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PROBLEMA 1.4 El tensor de tensiones en los puntos de un sólido elástico, cuando las coordenadas se expresan en metros, es:

 4 x + 3 y [T ] = − 6( x + y + z )  y + z

−

6( x + y + z ) y + z 

3 x  ⋅1×10 7 Pa

10( y − z )

 5 z 

3 x

Se pide: 3

a) Calcular las fuerzas de volumen en el sistema internacional (N/m ). b) Hallar las matrices esférica y desviadora en el punto P(0,1,-1). Solución: a) X=10 MN/m3 Y=-40 MN/m3 Z=-50 MN/m3; b)

σ hidrostáti ca

=

60 MPa

PROBLEMA 1.5 Dadas todas las componentes excepto una del tensor de tensiones T, referidas a un sistema de coordenadas cartesianas, correspondiente a un punto de un sólido elástico cargado, determinar el valor de σ de forma que exista un plano, que pase por las proximidades del punto considerado, sobre el que no actúe ninguna tensión. Obtener las componentes de un versor normal al citado plano.

σ 2 1 [T ] =  2 0 2 MPa  1 2 0 Solución:

n= r

1 3

⋅

( 2, −1, −2 ) o n=1/3(-2, 1, 2)

PROBLEMA 1.6 El tensor de tensiones correspondiente al plano xy de la pla ca cuadrada, delgada y de 3 metros de lado, representada en la figura es el siguiente (siendo λ una una constante expresada en GPa): y

15 − 5 x 5 y + 1 -3 [T ] =  ⋅ 1× 10 ⋅ λ  y x 5 1 13 + +  

C

D

E (0;3/2)

F (3;3/2)

x A

B

Imponiendo Imponiendo la condición condición de Cauchy Cauchy en el contorno contorno ( = [T]· ), calcular calcular las tensione tensioness a las las que está sometida la placa en sus cuatro lados. Representar su evolución en dos diagramas, uno que contenga las tensiones normales y otro las tensiones tangenciales. Solución: lado AB (-1;-(13+x)); (-1;-(13+x)); lado BC (0;5y+1); ladoCD (16;13+x); (16;13+x); lado DA (-15;-(5y+1)) (-15;-(5y+1))

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PROBLEMA 1.7 El punto elástico de la figura se encuentra sometido al estado tensional mostrado en la misma. Los ejes x y x´ son coincidentes y el eje y´ forma un ángulo de 30º con el eje y. Determinar para el punto en estudio. a) Las componentes del tensor de tensiones referidas a los ejes {x,y,z} indicados en la figura y dibujarlas sobre el punto elástico correspondiente a dichos ejes. b) Las tensiones principales, así como sus direcciones, y dibujarlas en el punto elástico correspondiente a los ejes principales.

Solución: a)

0 0  − 20   0 60 30 3 MPa [T ] =  −  30 3 0   0

b) Tensiones: (30, -20, -90) MPa   I =  0; 1 ; 3  2   2 II = (1;0;0 )  III =  0; 3 



2

;− 1  2 

PROBLEMA 1.8 El tensor de tensiones en un punto de un sólido viene definido, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, por la siguiente matriz:

 50 [T ] = − 20  0

−

20

20 0

0

  0

0 MPa

Determinar de forma analítica: a) b) c) d)

Los dos primeros invariantes del tensor de tensiones. Los valores de las tres tensiones principales. Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principales. La tensión tangencial máxima que se produce en las proximidades del punto considerado.

Solución: a) I 1=70, I 2=600 b) 60, 10, 0 c) u 1=(0.8943, -0.4473, 0) y u2=(0.4473, 0.8943, 0); o u1=(-0.8943, 0.4473, 0) y u2=(-0.4473,- 0.8943, 0); u3=(0,0,1) d)30 MPa


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PROBLEMA 1.9 Un punto P de un sólido elástico está sometido a la suma de los dos estados tensionales que se indican en la figura: Estado A

Estad o B

z

Z

10

10 10 10

y

y

x

α

= 30º

x

Unidades MPa

Se pide, para el estado tensional suma de los dos anteriores: a) Dibujar el elemento diferencial en ejes principales con las tensiones principales y convenientemente orientadas respecto a los ejes { x,y,z} . Todos los cálculos se deben hacer analíticamente. b) Calcular analíticamente el vector tensión, en coordenadas { x,y,z}, que actúa sobre el plano cuya normal está contenida en el plano I-III y forma ángulos iguales con los ejes I y III. r

r

Solución: a) Dirección I:(0;0.9659;0.2588) Dirección II:(1;0;0) Dirección III:(0;0.2588;-0.9659) b)

σ = 5 j r

+

8,68k

PROBLEMA 1.10 El punto elástico representado en la figura está sometido al estado tensional indicado. 25 MPa

Z τ

100 MPa

10 MPa

25 MPa

Y

X

Calcular: a) Tensiones y direcciones principales. b) Componentes intrínsecas del vector tensión asociado al plano paralelo al eje X y cuya normal forma 60º con el eje Y en sentido antihorario. Solución: a) Tensiones: (100, 35, 15)MPa ; Dirección I:(0;1;0) Dirección II: b) σ = 43.74 Mpa τ

=

33.61 MPa

1   1 ,0, Dirección   III: 2   2

1   1 ,0,−   2   2


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Ejercicios propuestos Tema 2. Cinemática del sólido deformable PROBLEMA 2.1 En un pilar vertical de sección cuadrada hueca, tal como se indica en la figura (cotas en metros) el tensor de deformaciones viene dado por [D]

(−2 x + 3 y ) 0  3 x + 4  [ D] = (−2 x + 3 y) 0 0 ⋅ 10 - 4   0 0 2

Calcular: a) La variación de longitud del pilar, indicando si éste se alarga o se acorta, sabiendo que su altura inicial era de 5 m. b) La variación del ángulo en el plano x,y, que se produce en el vértice de la sección de coordenadas (2,2), indicando si el ángulo final en dicho vértice (que inicialmente era recto) aumenta o disminuye respecto a su valor inicial. c) El cambio de volumen que experimenta el pilar, indicando si aumenta o disminuye el volumen inicial del mismo. -3

-4

-4

3

Solución: a) 10 m (alargamiento) b) 4 10 rad (disminuye) c) aumenta 360 10 m •

•

PROBLEMA 2.2 En un sólido elástico lineal, el estado de deformaciones viene expresado en ejes {x,y,z} por el tensor:

3 ⋅ y + 1 0  2 ⋅ x [ D ] = 3 ⋅ y + 1 4 ⋅ x + 2 ⋅ y 0 ⋅10-3  0 0 0 a) Demostrar que este estado de deformaciones es compatible. b) Calcular el campo de desplazamientos (u,v), sabiendo que en el punto (0,0,0) los movimientos están restringidos y que en el punto (1,0,0) el movimiento en dirección y es nulo. El desplazamiento w=0. Solución: b) u

=

x 2

+

y 2

+

2 y ; v = 4 xy + y 2


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PROBLEMA 2.3 Sobre el bloque paralelepípedo que se muestra en la figura actúa una solicitación que lo deforma de tal manera que sus caras siguen siendo normales entre sí. Sabiendo que en todo punto las deformaciones longitudinales unitarias de las aristas son εa=0.05, εb=0.04, εc=0.03. Calcular la deformación unitaria experimentada por la diagonal.

-2

Solución: 3.68 10 •

PROBLEMA 2.4 En las proximidades de un punto P de un sólido se han medido, por medio de t res bandas extensométricas espaciadas entre sí 120º, las deformaciones longitudinales según las direcciones de las bandas (ver figura), con el siguiente resultado: εa=0.00108, εb=0.00064, εc=0.00009. Se pide a) Tensor de deformaciones en el punto P. b) Deformaciones principales y sus respectivas orientaciones. c) Longitudinal final que tendrá un segmento de longitud unitaria con origen en P que forma un ángulo de 40º antihorarios con la banda A.

Solución: a)

 10.8 [ D] = − 3.18  0

−

3.18 0 1.3 0

0 ⋅ 10 -4

 0

b)

εI =

θ 1

-4

11.8 10 , εII = 0.33 10

=

•

16.9º ;θ 2

•

=

73.1º

-4

c) l=1.0003743


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PROBLEMA 2.5 Una placa rectangular de pequeño espesor se encuentra sometida a un estado de carga que la deforma tal como se muestra en la figura. Suponiendo que no se produce desplazamiento ni deformaciones según el eje z, y que el estado de tensiones que se produce es homogéneo. Determinar: a) Las funciones del campo de desplazamiento, considerando que:

b)

c) d) e)

Donde: a1 , b1 , c1 , d 1 , a2 , b2 , c2 y d 2 , son constantes a determinar. A partir de la figura determinar las deformaciones longitudinales y angulares. Comprobar que coinciden con las que se obtienen del campo de desplazamiento determinado en el apartado (a). El tensor de deformaciones. El valor de las deformaciones principales. Las direcciones principales. y

3 mm

6 mm

1,5 m x 1m

Solución: a ) u

0.002 ⋅ y

= −

v = −0.004 ⋅ y

c)

 0 [ D] = − 0.001  0

−

0.001 0

 0 − 0.004  0 0

d) y e) ε

=

n1 n2 n3

(0.000236,0,−0.004236 )

(0.9733,−0.2297,0 ) = (0,0,1) = (− 0.2297,−0.9733,0 )

=


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Ejercicios propuestos Tema 3. Ley de comportamiento PROBLEMA 3.1 El vector desplazamiento en un punto genérico de un sólido cargado viene dado (referido a un sistema cartesiano de referencia) por:

δ = B( x 2 + ay )i + B(ax + y 2 ) j + Bz 2 k r

r

r

r

Donde B y a son constantes desconocidas. Conociendo los valores del módulo de elasticidad a cortadura G y la constante de Lamé , se pide (justificando las hipótesis empleadas): 1.- Hallar las fuerzas volumétricas, en el sistema internacional, a las que el sólido se encuentra sometido, en función de los parámetros del problema ( a,B,G, ). 2.- Dibujar el punto elástico correspondiente al punto P(-½; ½; 0). Para dicho punto, hallar el valor de a y las direcciones principales en deformaciones sabiendo que el 2º invariante del 2 2 tensor de tensiones es I 2 = −16G B 3.- ¿Qué valor debería tener a para que el punto elástico sólo experimentara cambios en el volumen, justifique la respuesta? 4.- Hallar las tensiones principales si el punto elástico considerado girara alrededor del eje X, 60º en sentido antihorario. Solución: 1 ) X = −2 B(2G + λ ) (N/m ) 3

2) a = ± 3

n1

Y = −2 B(2G + λ ) (N/m )

n2

Z = −2 B (2G + λ ) (N/m )

n3

3

3

(0.5,0.87,0) = (0,0,1) = (− 0.87,0.5,0 )

=

3) a = 0

PROBLEMA 3.2 Una probeta cúbica de 0,10 m de lado está confinada entre dos paredes rígidas paralelas quedando una holgura total de 0,01 mm. Si se somete, en estas condiciones y tal como se representa en la figura, a un ensayo de compresión, determinar la curva tensión-deformación que se obtendría en el supuesto de que el material se comportase durante todo el ensayo como un material elástico-lineal e isótropo. (E=35 GPa, ν=0.2).


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PROBLEMA 3.3 Considérese el bloque de material de la figura, sobre el que actúan tensiones normales de compresión tanto en la dirección x cono en la y, y que se encuentra confinado entre dos paredes rígidas (indeformables) según la dirección z. La razón entre las tensiones aplicadas al bloque es constante, de manera que σy=λσx. El material del bloque, que presenta un comportamiento elástico-lineal, es bronce (E=101 GPa y ν=0.35). Si las tensiones aplicadas al bloque son σx=60 MPa y σy= 100 MPa, determinar: a) La tensión actuante en la dirección z, indicando si es de compresión o de tracción, sabiendo que el contacto bloque-pared es liso. b) Las deformaciones longitudinales según las direcciones x e y, indicando si corresponden a alargamientos o acortamientos. c) El modulo de elasticidad aparente, tanto en función de λ como su valor numérico, en la dirección x.

Solución: a) σ z = −56.01 MPa b)

−5

ε x

= −5.343 ⋅ 10 c) E´=1124 GPa

ε y

= −5.88 ⋅ 10

−4


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PROBLEMA 3.4 Un elemento mecánico de dimensiones  ×  ×  se quiere instalar en el orificio de dimensiones ( − ) × ( − ) que hay en una chapa de espesor 2a (Figura 1). Para ello se utiliza un proceso industrial que reduce el tamaño del elemento (sin permitir que plastifique) hasta que se pueda introducir en el orificio. La configuración tras la instalación se puede ver en la Figura 2. Si el coeficiente de rozamiento entre la placa y el elemento mecánico (una vez instalado) es µ, se pide conocer la carga perpendicular a la placa que permitiría extraerlo (Fext). Datos e hipótesis: - Propiedades del elemento mecánico (material elástico lineal): E, ν. - La chapa se puede considerar indeformable (E→∞) - δ<
a a

a-δ a-δ

a 2a

a/2

2a a-δ

Figura 1

Solución:

Fext?

F ext

=

4 µδ Ea 1 − ν

Figura 2


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PROBLEMA 3.5 En un punto de un sólido elástico, se conocen la tensión en el eje z es z = 0 y las deformaciones: x = -0.002, y = 0.002, z = 0. Además se conoce que los lados OA y OB presentan una variación angular que se representa en la figura 2. z

B

z

π A

0.26º

y

y

0.21º Figura 2

30º x Figura 1

Determinar: 1) Considerando el sistema representado en la figura 1, establecer el tensor de tensiones y dibujar el estado tensional. 2) Tensor de deformación. 3) Tensiones principales, sus direcciones y la tensión tangencial máxima. 4) Determinar analíticamente las componentes intrínsecas del vector tensión, correspondiente a un plano , representado en la figura 1. Datos: E = 70.2 GPa y

Solución:1)

= 0.3

0 0  − 108   [T] = 108 23.49 MPa  0  23.49 0   0

2) [D] =

0 0 − 0.002   0  0.002 0.000435    0  0.000435 0

3) σ 1 = 112.88 MPa

σ 2

= −4.88 MPa

σ 2

= −108 MPa

n1

= (0;0.971;−0.144)

n2

= (0;0.144;0.971)

n3

= (1;0;0)

4) σ n = 47.34 MPa

τ

= 58.5 MPa


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PROBLEMA 3.6 Una barra paralelepípeda de sección cuadrada de lado a y de altura total h, se encuentra embebida en dos bloques indeformables a lo largo de su contorno y en unas longitudes verticales iguales a h/4, tal como se indica en la figura. Las superficies de contacto barrabloque son perfectamente lisas. Cuando el bloque superior experimenta, lentamente y por sucesivos incrementos infinitesimales, un desplazamiento vertical hacia debajo de valor final δ, calcular: a) La expresión de las deformaciones, según el eje longitudinal, de la barra, tanto en las dos zonas embebidas en los bloques como en la zona que no lo está. b) Trabajo externo que ha sido necesario desarrollar para conseguir el desplazamiento vertical final δ.(Apartado para resolver después de ver el Tema 5) NOTA: Supóngase conocidas las constantes de Lamé, λ y G, el coeficiente de Poisson del material y que se cumple que λ =2G.

Solución: a)

ε * z ε z

=

=

1

2δ

2 − ν h 1 −ν 2δ 2 − ν h

b)

W =

2 4Ga 2δ 2  1 − ν 

h

 1 − 2ν + 3ν 2    +   2 ν 2 ( 2 ) ν − −     


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PROBLEMA 3.7 Dos probetas, una de dimensiones 2a x 2a x 2a (la número 1) y otra de dimensiones a x 2a x 2a (la número 2) se colocan a uno y otro lado de una placa lisa rígida, que puede desplazarse libremente en dirección X, tal y como se muestra en la figura. Ambas probetas, junto con la placa, se introducen en una ranura de tal modo que no queda holgura en dirección X y donde no hay ninguna restricción al movimiento en la dirección Y. Las paredes de la ranura son planas, rígidas y perfectamente lisas. El coeficiente de Poisson y el módulo de elasticidad de la probeta 1 son ν1 = 0,3; E1 = 40 GPa. El coeficiente de Poisson y el módulo de elasticidad de la probeta 2 son ν2 = 0,2; E2 = 100 GPa. Si se aplica al bloque de la izquierda (probeta 1), en su cara superior y perpendicularmente a ella, una presión uniforme P1, se pide calcular: La presión P2 que hay que aplicar a la probeta 2 para que ambas probetas se mantengan a la misma • altura en Z. (4 puntos) Tensores de tensiones y de deformaciones en ambas probetas. (2 puntos) • Módulo de elasticidad equivalente en dirección Z de ambas probetas. (1 puntos) •

P1

¿P2? Z

1

2a

2

X

2a

Solución: a) P2

=

2 , 32 ⋅ P1

b)

a

0  0   − 0 . 33 0  − 0 . 33 0 1 2    ⋅P 0 0 ⋅ P1 ; [T ] = 0 0 [T ] =  0   0  1  0  0 0 − 1  0 − 2 . 32   − 7 . 5 ⋅ 10 −13  0 0   1 − 12 [ D ] =  0 9 . 975 ⋅ 10 0  ⋅ P1 ; − 11   0 0 − 2 . 25 ⋅ 10   − 12 1 . 5 ⋅ 10  0 0   2 − 12 0 5 . 3 ⋅ 10 0 [ D ] =   ⋅ P1 − 11   0 0 − 2 . 25 ⋅ 10  

c)

E 1

*

=

44 . 4 GPa

E 2

*

=

103 . 1 GPa


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PROBLEMA 3.8 Dos probetas, una de dimensiones 2a x 2a x 2a (la número 1) y otra de dimensiones 2a x 2a x a (la número 2) se colocan a uno y otro lado de una placa lisa rígida, que puede desplazarse libremente en dirección X, sin posibilidad de rotación, tal y como se muestra en la figura. Ambas probetas, junto con la placa, se introducen en una ranura de anchura igual a dos veces la longitud de la arista 2a más el espesor de la placa, donde no hay ninguna restricción al movimiento en la dirección Y. Las paredes de la ranura son planas, rígidas y perfectamente lisas. Se aplica al bloque de la izquierda, en su cara superior y perpendicularmente a ella, una presión uniforme de 20 MPa. Sabiendo que el coeficiente de Poisson de ambas probetas es ν = 0,25 y el módulo de elasticidad es para ambas probetas: E = 40.000 MPa, se pide calcular: • • •

Tensores de tensiones y de deformaciones en ambos bloques. Desplazamiento vertical del bloque 2. Módulo de elasticidad equivalente del bloque 1. Z

20 MPa X

1

2a

a

2

2a

Solución: a) σ x1

ε x1

= −

=

ν P

3 2ν P 3 E

σ x2

= −

ε x2

= −

1

; σ y

; ε y1

2ν P 3 2ν P 3 E

2a

=

; σ y2 ; ε y2

1

0 ; σ z

=

ν P  ν  E  3 =

=

+

0 ; σ z2 2ν 2 P 3 E

2 b) ∆ L Z

= −P

 

1  ; ε z1 =

=

P 3 E

0

; ε z2

=

2ν 2 P 3 E

(ν

2

−

3)

=

2ν 2 P a 3 E

c) E *

=

3 E 3 − ν 2


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PROBLEMA 3.9 Dos prismas de las dimensiones indicadas en la figura y de dos materiales diferentes se unen entre sí a través de una de sus caras paralelas al plano xy. En las dos caras paralelas al plano xz se unen dos placas rígidas sobre las que se aplica una tensión uniforme σ de tracción en la dirección del eje y. Las caras paralelas al plano yz tienen impedido los desplazamientos en dirección x, y las otras dos caras se encuentran libres de carga y no tienen ninguna restricción a su movimiento.

Conociendo los módulos de elasticidad E1 y E2 y los coeficientes de Poisson 1 y 2 de los materiales de ambos prismas, se pide calcular en función de los parámetros conocidos del problema (a,b,E, σ): a) Los tensores de tensión de ambos prismas. b) Tensiones y direcciones principales en ambos prismas. c) Tensión tangencial máxima en el prisma 1 y su dirección. d) Módulo de elasticidad aparente en la dirección y del conjunto formado por los dos prismas. e) Desplazamiento relativo en dirección y entre las dos placas rígidas. DATOS:

ν 1

=

ν 2

=

b1

=

b2

=

Solución: b)

9 10 4 5 2 3 1 3

ν

E 1

3

E 4 4 E 2 = E 5 ν = 0.8784

ν

b

=

b

Prisma 1

σ 1

= 1.0752σ

Prisma 2 c) σ 1 = 0.8497σ

σ 2

=

0.85σ

σ 2

σ 2

=

0

σ 2

=

0.58σ

=

0

(0,1,0)

n1

=

(0,1,0)

n1

=

n2

=

(1,0,0)

n2

= (1,0,0)

n3

=

(0,0,1)

n3

= (0,0,1)

τ max n

=

=

0.5376 ⋅ σ d y e)

1 2

(0,1,1)

E *

= 1,8603 E

∆a =

0.5376

σ a E


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PROBLEMA 3.10 Una columna cilíndrica de hormigón de 25 m de altura y 2 m de diámetro, descansa sobre su base en el fondo de un depósito de agua de 15 m de profundidad, ver figura. El suelo del depósito es indeformable. La columna está sometida a su propio peso y a la acción del agua alrededor de ella. 2 m A

O

X

10 m

Z

B

Datos: 3 ρAgua = 1000 kg/m 3 ρHormigón = 2400 kg/m EHormigón = 21 GPa υHormigón = 0,12 g = 10 m/s

Agua 15 m

C

X

Y

Despreciando la presión atmosférica, determinar: 1) El tensor de tensiones para todos los puntos de la columna de hormigón en coordenadas (x,y,z). 2) El tensor de deformaciones para todos los puntos de la columna de hormigón en coordenadas (x,y,z). 3) Variación del diámetro en las secciones B y C indicadas en la figura. 4) Distancia z, desde el origen indicado en la figura, en la que la variación del diámetro de la sección es nula. Justificar la respuesta 5) Acortamiento total de la columna de hormigón. Solución: 3)

∆φ B =

0.00274mm

∆φ C = −5.68 ⋅10

−3

mm

4) Z=14.8 m 5) Acortamiento total=0.344 mm


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Ejercicios propuestos Temas 4 y 5. Formulación diferencial y formulación integral de la elasticidad. PROBLEMA 4.1 Considere el sólido unidimensional de la figura, que se encuentra fijo en su extremo superior y libre en el inferior. El sólido está sometido exclusivamente a su peso propio. Se asume conocida la longitud L, la densidad ρ y el módulo de elasticidad E. Determine, empleando el planteamiento local de la elasticidad, el campo de desplazamientos, deformaciones y tensiones en todos los puntos de la barra.

PROBLEMA 4.2 La pala de un aerogenerador que gira a velocidad angular ω se modeliza como un elemento unidimensional de longitud L empotrado en un extremo y libre en el otro. Despreciando el peso propio determine la tensión máxima a la que se ve sometida la pala, asumiendo conocidas las propiedades del material del que está hecha la pala (densidad ρ módulo de elasticidad E).


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PROBLEMA 5.1 Desarrolle una expresión de la densidad de energía de deformación para el sólido undimensional elástico de la figura que sigue la ecuación constitutiva: , donde E, E´ y n son constantes conocidas.

PROBLEMA 5.2 Una placa delgada de espesor unitario y dimensiones b x h está sometida a una distribución lineal de carga tal y como se observa en la figura. Suponiendo conocidos el módulo de Young, el coeficiente de poisson del material y la carga máxima q, se pide determinar la energía elástica almacenada en la placa.

Solución: a) W

b h ⋅

=

6 E ⋅

⋅

q2


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PROBLEMA 5.3 Un paralelepípedo de dimensiones 3 x 4 x 4 cm, construido de aluminio se aloja en una ranura de la misma forma y dimensiones, tal como se indica en la figura. Las paredes son de un material lo suficientemente rígido para poderlo suponer indeformable y el contacto bloque-pared es perfectamente liso. El bloque de aluminio se coloca entre las dos placas rígidas de modo que el desplazamiento según el eje y queda completamente permitido. A través de una placa rígida de peso y rozamiento despreciables se aplica, perpendicularmente a ella, una fuerza F que comprime al bloque de aluminio, sabiendo que el desplazamiento en -4 dirección del eje z es δ = - 2 •10 cm a)

Trabajo externo que ha sido necesario desarrollar para conseguir el d esplazamiento δ. (2.5 puntos) z

F z

o d i g í r l a i r e t a M

Material de aluminio


4 cm

Material de aluminio x

4 cm

y x

x



4 cm

3 cm y

Datos para el aluminio: E = 70 GPa,

Solución: a) W=0.0046 J

= 0.3

3 cm


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Ejercicios propuestos Tema 6. Criterios de plastificación PROBLEMA 6.1 El tensor de deformaciones en una pieza de aluminio es el siguiente:

 3.5 1.25 0 [ D] = 1.25 − 6 0 ⋅ 10 −4  0 0 0 Determinar si dicha pieza está en régimen plástico o elástico según Von Mises, sabiendo que E=73.5 GPa, ν=0.32 y que el límite elástico es 120 MPa. Solución: Régimen elástico

PROBLEMA 6.2 Determinar la máxima presión manométrica interna “P” que puede soportar una vasija cilíndrica de pared delgada de espesor “e” y radio “R” (R>>e) que contiene gas, sabiendo que la tensión de plastificación del material de la vasija es “σe”. Aplicar el criterio de Tresca y de Von Mises. Solución: C.Tresca: P <

σ e

⋅e

2 R

,

V.Mises: P <

σ e

⋅e

3 R

PROBLEMA 6.3 Una barra de sección rectangular a x b = 50 x 25 mm y longitud L= 1 m se encuentra sometida a compresión y confinada en una cavidad de la misma forma y dimensiones, cuyas paredes son indeformables y el contacto barra-pared es perfectamente liso. Se pide hallar la máxima fuerza de compresión que se puede aplicar para que el material no plastifique, sabiendo que la tensión a la que el material plastifica es σe= 200 MPa y que una barra de las mismas dimensiones y el mismo material experimenta un alargamiento ∆L=1mm y una contracción lateral ∆a=-0.014 mm cuando se la somete a una tracción de F=250 KN. NOTA: Suponer que el material presenta el mismo comportamiento sometido a tracción y a compresión.

Z X Solución: Fmax=409 KN usando C.Tresca o V.Mises


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PROBLEMA 6.4 Se considera un prisma de medidas a x b x c cuyo material de aluminio tiene un módulo de = 0.3. En ambas bases del prisma se elasticidad E = 70.2 GPa y un coeficiente de Poisson colocan dos placas perfectamente lisas y rígidas, de peso despreciable, unidas entre sí 2 mediante seis cables de longitud c, sección y módulo de elasticidad E1 = 200 1 = 1 cm GPa, simétricamente dispuestos, como indica la figura 1. z

c p

p

y b a Figura 1

x

Sobre las caras opuestas del prisma y paralela al plano xz, se aplica una fuerza de compresión uniforme p = 300 MPa . Determinar:

1) Tensión σ en los cables. 2) Tensiones principales en el prisma. 3) Para el estado tensional del prisma recto, determinar el factor de seguridad frente a plastificación según el criterio de Tresca y de Von Mises, conociendo e = 412 MPa. ¿Qué indica la diferencia en los resultados? 4) Variación de volumen experimentada por el prisma 5) Densidad de energía elástica almacenada en el bloque, indicando sus correspondientes unidades. Medidas del prisma: b = 0.2 m a=5b Solución: 1) σ

=

254 . 23 MPa 2)

c = 1.5 b 0 MPa

σ 1

=

σ 2

= − 0 . 726 MPa

σ 3

= − 300 MPa

3) n Tresca n VM

=

=

1 . 3733

1 . 375

4) ∆ V

= − 102

. 6 cm

3

5) U=639286.425J/m^3


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PROBLEMA 6.5 En la compactación unidireccional de materiales cerámicos se emplea una prensa formada por dos bloques de aluminio de sección transversal 4 x 3 cm y una altura de 2 cm como la que se muestra en la figura. Dichos bloques se alojan en una cavidad de las mismas dimensiones y cuyas paredes son de un material lo suficientemente rígido para poder suponerlo indeformable. Sabiendo que no existe rozamiento entre los bloques y el material a compactar, así como entre los bloques y la cavidad que los contiene. Determine para una fuerza de compactación de 50 kN: a) El tensor de tensiones en cualquier punto de los bloques de aluminio, referido al sistema representado en la figura. b) El tensor de tensiones en direcciones principales en cualquier punto de los bloques. c) Las fuerzas ejercidas por las paredes de la cavidad en los bloques de compactación. d) El cambio en las dimensiones de los bloques. e) Utilizando el criterio de Tresca, determinar si se produce la plastificación de los bloques. f)

Si para el apartado anterior no se produce la plastificación, determinar la fuerza mínima que la produciría.

Datos para el aluminio: E=70 GPa ν=0,3

Límite elástico σe= 520 MPa z 50 kN

Material rígido

Bloque de aluminio

z

Material Cerámico

Bloque de aluminio y 2 cm 4 cm

x

Material rígido

3 cm

y

Material rígido x

Bloque de aluminio

4 cm

3 cm

Solución: a y b) σ 1 σ 3

=

σ 2

= − 17 . 9 MPa

= − 41 . 7 MPa

c) F X F Y

= − 1 . 07 ⋅ 10 = − 1 . 43 ⋅ 10

4 4

N d) ∆ l z

N

= − 8 . 84 ⋅ 10

−6

m e)no plastifica f) F<-1092 kN


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PROBLEMA 6.6 Un paralelepípedo de dimensiones 3 x 4 x 4 cm, construido de aluminio se aloja en una ranura de la misma forma y dimensiones, tal como se indica en la figura. Las paredes son de un material lo suficientemente rígido para poderlo suponer indeformable y el contacto bloquepared es perfectamente liso. El bloque de aluminio se coloca entre las dos placas rígidas de modo que el desplazamiento según el eje y queda completamente permitido. A través de una placa rígida de peso y rozamiento despreciables se aplica, perpendicularmente a ella, una fuerza F que comprime al -4 bloque de aluminio, sabiendo que el desplazamiento en dirección del eje z es δ = - 2 •10 cm a) Utilizando el criterio de Tresca, determinar si para el desplazamiento experimentado se produce la plastificación del bloque considerando un factor d e seguridad de n = 2. b) Si para el apartado anterior no se produce la plastificación, determinar el desplazamiento mínimo δzmín que la produce. z

F z




4 cm

Material de aluminio x

4 cm

y

3 cm

x

x



4 cm

3 cm y

Datos para el aluminio: E = 70 GPa, Solución: a) No plastifica b) δmin = - 0.01 cm

= 0.3 y Límite elástico

e =

412 MPa


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Ejercicios propuestos Temas 7. El método de los elementos finitos PROBLEMA 7.1 Calcular la tensión, deformación y desplazamiento de la barra cargada por su propio peso mostrada en la figura, mediante el método de los elementos finitos.

a) Discretización: un elemento de dos nodos Solución: a)

PROBLEMA 7.2 Una placa triangular de 1 cm de espesor con la forma, dimensiones y condiciones de apoyo que se describen en la figura, está sometida a una carga por unidad de superficie F2 horizontal y hacia la derecha que actúa sobre el lado 1-3, y una carga por unidad de volumen F1 horizontal y hacia la derecha sobre toda la placa produciendo un desplazamiento horizontal en el nodo 1 de 0.02 cm. El material del que está constituida tiene un módulo de elasticidad de 200 GPa y un coeficiente de Poisson 0.3. El estado tensional es en tensión plana. La relación entre F1 y F2 es tal que F1*1m=F2. Se pide: a) b)

Obtener las funciones de interpolación lineales en x e y del elemento. Plantear las ecuaciones para la obtención del valor de la fuerza F1 y el desplazamiento horizontal del nodo 3.

Solución: a) N 1 N 2 N 3

=

=

y

1

b) F 1=7.2 MN c) u3=0.144 mm x −

x =

−

2

2 y


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Ejercicios propuestos Tema 8. Elasticidad plana PROBLEMA 8.1 El tensor de tensiones, referido a un sistema cartesiano de referencia xy, en un punto de un sólido bidimensional viene definido por:

 60

[T ] = 

 10 −

−

10

 MPa

20 

De aquellos planos que pasan por las proximidades del punto considerado, determinar (dando el ángulo que forman con el eje y): 1) Los planos para los que las tensiones tangenciales alcanzan el máximo valor posible 2) Los planos para los que el ángulo del vector tensión correspondiente forme el mayor ángulo posible con el vector normal al plano considerado. Solución: a) 31.72º y 58.29º b) 48.71º y 75.28º

PROBLEMA 8.2 Sobre un sólido bidimensional, trabajando en tensión plana, actúa un sistema de cargas cuyo estado tensional correspondiente al punto O se recoge en la figura. Se pide: a) Empleando el círculo de Mohr, obtener el tensor de tensiones en ejes X e Y, correspondiente al punto O, en función de la magnitud genérica τc. b) En el círculo de Mohr empleado, representar la posición del polo P. c) Calcular el primer invariante del tensor de tensiones e indicar si su valor depende de la magnitud que tome la tensión tangencial τc.

Solución: a) σ x=30-τ c; σ y=30+τ c; τ xy=30 MPa c)I 1=60 MPa


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PROBLEMA 8.3 La placa cuadrada de la figura está sometida en su contorno a las tensiones que se indican en la figura. En el centro de la placa se han pegado dos galgas extensométricas con las que se miden las deformaciones longitudinales εAB=1,4·10-3 y εAC= – 4,2857·10-4. a) Determinar el módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson ν del material de la placa. b) Obtener el valor de la deformación angular máxima γmax en el centro de la placa. c) Dibujar las direcciones principales de deformación, indicando claramente los ángulos que forman con los ejes x e y. NOTA: Considerar estado de Tensión Plana.


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PROBLEMA 8.4 Sobre un sólido actúan dos sistemas de cargas (I) y (II), que producen en un cierto punto P del sólido elástico dos estados tensionales diferentes. Cuando actúa el sistema de cargas I, las bandas extensométricas colocadas en las direcciones representadas en la figura 1 y que coinciden con las direcciones principales, registran los siguientes valores: εAB= -3,8*10⁻³ y εAC= 6,6*10⁻³. El estado tensional debido al sistema de cargas (II) está representado en la figura 2. 400 MPa C

100 MPa

B A

y

x

400 MPa

45° Fi ura 1

Fi ura 2

En el caso de que los sistemas de cargas I y II actúen conjuntamente, se pide: 1. Hallar el tensor de tensiones del estado resultante y dibujar el punto elástico correspondiente. (2.5 puntos) 2. El valor de las deformaciones principales y las direcciones en las que éstas se producen respecto a los ejes {x, y}. (2.5 puntos) 3. Tensión tangencial máxima y orientación con respecto al eje y. (1 punto) NOTA: Considerar estado de Tensión Plana. Datos del problema: E=50 GPa y ν= 0,3 Solución: 1) σ x

=

500 Mpa

2)

ε 1

σ y

= −

300 MPa

ε 2

τ xy

= −

100 MPa

α

=

12 . 11 ⋅ 103) 3 −

= − =

7º

9 . 31 ⋅ 10

−

τ max 6

β

=

=

412 . 31 MPa

37 . 98 º

?


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PROBLEMA 8.5 Sobre un punto perteneciente a un sólido elástico se aplica el estado de tensiones (I) indicado en la figura. Posteriormente se reduce la tensión σx hasta un valor de 10MPa en compresión, manteniendo los valores de las tensiones σy y τxy, y alcanzándose con ello un segundo estado tensional (II). Determinar: a) Variación del valor de la deformación longitudinal en la dirección AA’ que ha tenido lugar en el punto al pasar del estado (I) al estado (II). b) Variación del valor de la deformación angular máxima que ha tenido lugar en el punto al pasar del estado (I) al estado (II). c) Orientación de la pareja de direcciones que sufre la máxima deformación angular en el estado (II). Considerar Deformación Plana en ambos estados. DATOS: E=100 GPa; ν=0,25


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PROBLEMA 8.6 20 Mpa

Para el estado tensional representado en la figura, hallar utilizando el Círculo de Mohr y considerando condiciones de deformación plana:

10 Mpa 100 Mpa

Y 30º X

a.

Tensiones y direcciones principales respecto a los ejes X e Y. Representar las direcciones gráficamente.

b. Planos para los que el ángulo del vector tensión correspondiente forma el mayor ángulo

posible con el vector normal a los planos considerados. Representar gráficamente respecto a los ejes X e Y los planos solicitados. c.

Calcular los valores que medirían las bandas extensométricas a y b representadas en el estado tensional 2, sabiendo que la suma del estado tensional 1 + 2 es igual al estado tensional 3. Del estado tensional 3 se conocen los valores de las tensiones que aparecen en la figura, que

σx es

una tensión a compresión, que la tensión tangencial máxima es

70,34 Mpa y que la tensión 20 Mpa

σz es

la tensión principal intermedia. 11,287 Mpa

10 Mpa

56,95 Mpa

100 Mpa

b

Y

a

?

30º X

Estado 1

Estado 2

Datos: E = 100 GPa; ν= 0,25 Solución: a) σ 1

=

20 . 82 Mpa c)

σ 2

= −

20 MPa

σ 3

= −

100 . 82 MPa

ε a

= −

ε b

=

1 . 875 ⋅ 10

3 . 125 ⋅ 10

−

−

4

4

Estado 3


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PROBLEMA 8.7 Una chapa de pequeño espesor de un material elástico presenta una grieta lineal. A partir de dicha chapa se quiere obtener una placa más pequeña que va a estar sometida al estado tensional de la figura, ¿cuál sería el ángulo que debería formar la grieta con los lados de la placa para que su posición fuera la menos desfavorable? Representarlo en un dibujo.

Solución: a) La posición menos desfavorable es cuando la grieta tiene la dirección principal 1.


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PROBLEMA 8.8 Sobre un sólido actúan dos sistemas de cargas, denominados (1) y (2), que producen en un cierto punto P del sólido elástico dos estados tensionales superpuestos, como se indica en la figura adjunta. Estado (1)

200

Estado (2)

M π

σ y( 2 )

MPa

100

Estado (3)

(2 ) τ xy

MPa

σ x(2 )

100

300

MPa

MPa

y x

Plano

30º π

y x

El estado tensional debido al sistema (1) se conoce referido al sistema coordenado Oxy. El estado tensional debido al sistema de cargas (2) es desconocido. Del estado tensional (3) –que es resultante de la superposición de los estados tensionales (1) y (2)– se sabe lo siguiente: Las componentes intrínsecas del vector tensión que produce el sistema de cargas (3) sobre un plano que forma 30º en sentido antihorario con el eje y, aparecen representadas en el punto M a la derecha de la figura, mediante el círculo de Mohr del estado tensional (3). π

Suponiendo un estado de tensión plana en que

=

σz

τxz

=

τ yz

= 0, se pide:

a) Obtener todas las componentes del tensor de tensiones correspondientes al estado desconocido (2), referidas al sistema coordenado Oxy. b)

Obtener las tensiones y direcciones principales del estado (2).

Solución: a) σ x( 2 )

σ y( 2 ) τ xy( 2 )

=

286 . 6 Mpa b)

= − = −

86 . 6 MPa

150 MPa

σ 1

=

σ 2

= −

α

=

339 . 41 Mpa 139 . 41 MPa

19 . 4 º


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Ejercicios propuestos Tema 9. Elasticidad plana (coordenadas polares) PROBLEMA 9.1

En un tubo de radio interior de radio interior R1 y radio exterior R2, se pretende alojar una barra indeformable de sección circular de radio Rb mayor que R1. Sabiendo que el material del tubo obedece el criterio de plastificación de Tresca. Cuál es el máximo diámetro de la barra que se puede alojar en dicho tubo sin que se alcance la plastificación en ningún punto del mismo?

Datos. R1 = 25 mm R2 = 50 mm E = 72 Gpa υ = 0,3 σe (limite elástico del material del tubo) = 500 MPa Solución.- Rb= 25,12 mm

PROBLEMA 9.2

El tubo de pared gruesa de radios interior a= 2 m y exterior b= 3,5 m, se encuentra sometido a una presión manométrica interna de valor p y trabaja en condiciones de deformación plana. Determinar el valor máximo de la presión interna que produce la plastificación del tubo en alguno de sus puntos. Supónganse aplicable el criterio de plastificación de Von Mises y que σy=150 MPa. Calcular, para dicho valor de la presión, la energía elástica almacenada en el tubo por unidad de longitud, en dirección perpendicular al plano del papel. Datos: E=200 GPa, ν=0,3 Solución.


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PROBLEMA 9.3

Para el diseño de una tubería de radio interior R1, radio exterior R2=2 ·R1 y longitud L>>R2, como la que se muestra en la figura, se pide: 1) ¿Cuál es la máxima variación del radio externo que se puede conseguir (expresada en función del radio interno), en régimen elástico, aplicando una presión en el interior de la tubería? Para el diseño de la tubería se debe tener en cuenta que el material obedece al criterio de plastificación de Von Misses y un coeficiente de seguridad n=1,5. 2) Demuestre la relación que debe existir entre R1 y R2 para que el incremento del radio interno sea igual al incremento del radio externo al aplicar una presión en el interior de la tubería.

DATOS del material: Límite elástico = 200 MPa, Coeficiente de Poisson= 0.3 -3

Solución.-1) ∆ R2max= 1·10 ·R1 ;2)R1=R2

Módulo de elasticidad= 70 GPa,


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PROBLEMA 9.4

Un tubo de radio interior R 1=20 cm y radio exterior R 2=30 cm se encuentra en el interior de un macizo elástico de grandes dimensiones. Por el interior del tubo circula un gas a presión P 1 desconocida. Sabiendo que el aumento del diámetro exterior del tubo es 0.02 mm, se pide (justificando las hipótesis que se realicen en la resolución del ejercicio): 1) Calcular la presión en el contacto entre el tubo y el macizo elástico. 2) Calcular la presión P1 a la que circula el gas por el interior del tubo. 3) Suponiendo que el material del tubo obedece al criterio de plastificación de Tresca, comprobar si se produce plastificación en algún punto del tubo.

DATOS: Etubo= 210 GPa; νtubo= 0.3 Emacizo= 10 GPa; νmacizo= 0.25 Límite elástico del tubo: σe= 100 MPa Solución:a) P

=

0 . 27 MPa b) P 1 = 5 . 26 MPa

c) No Plastifica


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PROBLEMA 9.5

Se tiene una placa plana de gran espesor, cuadrada, de 5 m de lado y con un taladro circular de 5 cm de radio. Sobre el contorno de la placa actúan unas tensiones, de valor σ tal y como se indica en la figura. Y σ

σ X

σ

+ B

σ

Se pide, justificando adecuadamente todas las hipótesis empleadas, determinar en el punto B (-10, 0) cm: 1. Las tensiones principales y sus direcciones, esta últimas expresadas en ejes {X,Y,Z}. 2. El mínimo valor de σ para que se produzca plastificación en el punto B utilizando el criterio de Von Mises. Datos: σe=200 MPa; E=70 GPa;

ν

Solución.- 1) σ 1

=

σ θ

n1

=

( 0 ,1, 0 )

σ 2

=

σ Z

=

n2

=

( 0 , 0 ,1)

σ 3

=

σ r

= − 0 . 1875 ⋅ σ

n3

=

(1, 0 , 0 )

=

1 . 1875 ⋅ σ 0 . 3 ⋅ σ

=0.3 2) σ

≤ ± 165

. 66 MPa

PROBLEMA 9.6

Una tubería de radio interior 10 cm y radio exterior 0.2 m conduce un gas con una presión P. La tubería está enterrada en un terreno rígido tal que se puede considerar que la superficie exterior de la tubería está empotrada en el terreno. Suponiendo condiciones de deformación plana, se pide: a) Teniendo en cuenta que el material obedece al criterio de plastificación de Tresca, determinar la mínima presión del gas que provocará la plastificación en algún punto de la tubería. b) Calcular, para la presión obtenida en el apartado anterior, cuál es la energía elástica almacenada en el tubo por unidad de longitud (en dirección perpendicular al plano del papel). DATOS del material: Límite elástico = 200 MPa, Coeficiente de Poisson= 0.3 Solución.- a) P

=

162 . 5 MPa

b)

U L

=

6223 . 12 J/m

Módulo de elasticidad= 80 GPa,

Ejercicios.propuestos-Elasticidad-2015-2016.pdf

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