11.1. Un cuerpo está vibrando con movimiento armónico simple de
amplitud 15 cm y frecuencia 4 vibr/sec. Calcular: a) Los valor valores es máimos máimos de la acelerac aceleración ión y de la veloci velocidad. dad. b) La acelerac aceleración ión y la velocidad velocidad cuand cuando o la elon!ac elon!ación ión es de de " cm. c) #l tiempo tiempo necesario necesario para despla despla$arse $arse desde desde la posición posición de e%uilib e%uilibrio rio a un punto situado a 1& cm de la misma. A = 15cm = 0.15m F= 4 vibr/sec = 4Hz 4 π
a) Acmax =
2 2
f A
Acmax = 4π 2 (4Hz)2 (0.15m) Acmax = 94,7 94,7 m/s2 Vmax = 2πf A Vmax = 2π (4Hz) (0.15m) Vmax = , 77 m/s
−1 0.09
sin 2 πft b) V= 2π 2πfA sin
V=
4 Hz sin ( 2 π ( 4 Hz ) ( 2,11 s ) ) 2 π ¿ )(0.15)
cos
t =
0.15
2 π ( 4 Hz )
!= 2,11s
V= , 01 m/s 2
Ac=
4 π
Ac=
4 π ( 4 Hz ) ( 0,15 ) cos2 π ( 4 ) ( 2,11 )
2
f A cos2 πft
2
2
Ac = 5", 9# m/s2 −1 0.12
cos c)
t =
0.15
2 π ( 4 )
!= 1,47s 11.2. Un cuerpo de masa de 1'! se mueve con movimiento armónico simple(
de amplitud &4 cm y perodo 4 se!. #lon!ación es * &4 cm +ara t , '. Calcular: a) la posición del cuerpo cuando t , '(5 se!. ,- cos&ft cos&ft
,&4 cmcos〖& 1/4s '.5〗 s ,&.""cm ,'.&.""m
b) la ma!nitud y dirección de la fuer$a %ue act0a sobre el cuerpo cuando t , '(5 se!. ,23. ,2m〖.〗&. ,21'!.〖4〗& 〖1/4s〗& &.""cm ,25"1."&dinas
c) #l tiempo mnimo necesario para %ue el cuerpo se mueva desde la posición inicial al punto en %ue , 21& cm
,- cos&ft 1&cm,&4cm cos&ft t,621&cm)/6&4cm cos〖& 1/4〗 ) t,'.5
d) la velocidad de dic7o cuerpo cuando , 21& cm.
v,- sin8 v,2&f9 sin&ft v,2& 1/4s &4cm sin〖& 1/4s '.5〗 s v,2'.4cm/s
11.3. #l movimiento del pistón de un automóvil es( aproimadamente(
armónico simple. a) ;i la carrera de un motor 6dos veces la amplitud) es de 1' cm y la velocidad an!ular de '' rpm( calcular la aceleración del pistón en el etremo de su carrera. '' rev/mm.( &.9 , 1' cm 9 , 5 cm , '('5 m f , '' 6rev/min).61 min/' s) , ' <$ a máima , 3./m a máima , 6&..f)=.9 a máima , 6&..')=.'('5
b) ;i el pistón pesa 5''!( >?u@ fuer$a resultante tiene %ue eAercerse sobre el en este puntoB m , '(5 3! , m.a , '(5.1'
c) >Cuál es la velocidad del pistón en Dm/7 en el punto medio de su carreraB
E , B en el punto medio( la velocidad es máima. E máimo , .9 , & .f E máima , 6& .f).9 E máima , 6& .').'('5 11.4. Un peso de & D! suspendido de un resorte produce en este un
alar!amiento de &' cm
a) >Cuál es la constante de ri!ide$ del resorteB , 23. m.!/ , 3 3 , &.6"(F/'(&)
b) >Cuál sera el periodo de vibración del peso de & D! suspendido de este resorteB 3 , m. = , G3/m , rad/s , &..f f , /&. , 1(11 <$ H , 1/f
c) >Cuál sera el periodo de oscilación de un peso de 4 D! pendiente del mismo resorteB m , 4 3! , 4("4 rad.s21 11. 5.2 La escala de una balan$a de resorte %ue re!istra de cero a 1 3! tiene
15 cm de lon!itud. ;e observa %ue un cuerpo suspendido de la balan$a oscila verticalmente dando 1(5 vibr/se!. >Cuál es el peso del cuerpoB , 23. 3,2/
&. ,&.f ,& . 1(5
3,615 I)/6'.15 m) ,61'4( IJm)/66".4& radJs& ) ) 3 ,1'4( IJm Kesultado: +eso , 1.1F 3!. "(F mJs& +eso , 11(5 I
,"(4& radJs
.3,m .& m,3/& m
11.6. Un cuerpo de masa 1'' ! pende de u lar!o resorte de 7@lice. Cuando se
tira del 1' cm por debaAo de su posición de e%uilibrio y se abandona a s mismo( oscila con un periodo de & se!. a) >Cuál es su velocidad al para por la posición de e%uilibrioB b) >Cuál es su aceleración cuando se encuentra 5 cm por encima de su posición de e%uilibrioB c) Cuando se está moviendo 7acia arriba( >Cuánto tiempo tarda en despla$are desde un punto situado 5 cm por debaAo de su posición de e%uilibrio a otro ubicado 5 cm por encima de ellaB d) >Cuánto se acortara el alambre si se %uita el cuerpoB
Datos:
V max =2 π . f . A . sin θ
a)
1
V max =2 π . . 0,1 . sin θ
m , '(1 3!.
2
m s
V max =0,31
H, & se!. 9, '(1 m b)
2
2
a =4 π . f . A . cos2. π . f . t 2. π 0,5 f .1,5 2
¿
2
a =4 π . 0,5 .0,1 . cos ¿
a =0,9836
d)
F
m seg
k .x
=−
m. g=−k . x
k =
m.g x
2
0.1 kg . 9.8
k =
0.1 m
k 0,8 =
F ∆ L = K A L L
0=
∆ L.K Sn
L0=
0,1 m. 9,8 0,98
L0=1 m
11.7. os cuerpos de i!ual masa están están suspendidos de resortes
independientes cuyas constantes son k 1
k 1
y
k 2
( siendo
k 2
mayor %ue
. 9mbos cuerpos oscilan con amplitudes tales %ue sus velocidades
máimas son i!uales. >+ara %u@ sistema es mayor la amplitudB atos: k 2 > k 1
V max A =V max B
V max A =V max B
2 π . f A =2 π . f B
A a A B
=
f B F A
√ √
k B 2 π m 1
A a = A B 1 k A 2 π m
√
A A k = B A B k A A A
A B
>
11.8. Un blo%ue suspendido de un resorte vibra con movimiento armónico
simple. #n el instante en el %ue la elon!ación del blo%ue %ue es i!ual a la mitad de la 9mplitud( >?u@ fracción de la ener!a total del sistema es cin@tica y cual es potencialB M , 9/& #. Cin@tica , 1/&mv& #. +otencial , 61D&)/& 2 #H, #c * #p 2#c,#p N #H 2#p,#H2#c
#H,'*6D9&)/& #p,6D&)/& #c,6mv&)/&
#. cin@tica #c , #p N #H #c , 6D&)/&2〖D6&)〗&/& #c, 6D&)/&2D64)/& #c ,2〖3〗&/& #c , 263〖69/&)〗&)/&
O) #. potencial #p , #H 2 #c #p , #H N 62/4 #H) #p, #H*/4 #H #p, /4 #H
#c ,263&)/F #c,2/466D9&)/&) #c, 2/4 #H 11.11 Un peso de 1' D! suspendido de un cable cuya lon!itud natural
lo
es m( lo alar!a cm. La sección transversal del cable( %ue puede suponerse constante( es de 1'
2
mm
.
a) ;i se despla$a la car!a 7acia abaAo una pe%uePa lon!itud y se abandona a s
misma( calcular la frecuencia de su vibración. b) Calcular el módulo de Qoun! del cable.
f =
a)
√
√
g 2 π l 1
m 2 s 1 f = 2 π 3,03 m
f =
1 2 π
√
9.8
3,23
s
2
f 0,29 Hz =
b)
Y =
F / A ∆ l / lo −5
Y =
1568 N / 1 x 10
0,03 m / 3 m 8
Y =
1,57 x 10 Pa 0,01 10
Y = 1,57 x 10 Pa
m
2
11.12. Calcular la lon!itud de un p@ndulo simple( cuyo periodo es eactamente
1 se!( en un punto en %ue !, ".F1 m/ seg
T =2 π
√
2
l g
l
2
2 π ¿
9,8
m s
2
(1 s )2=¿
l=
9,8 m 2
4 π
l 0,24 m =
11.13.
Un péndulo de reloj que señala tiempo exacto en un lugar en que 2
g= 980,0 cm / seg
, retrasa 10 seg por día en un punto situado sobre una montaña.
Calcular el valor de la g en dicho punto. Desarrollo 2
g= 980,0 cm / seg 9,8 m / s
2
9,8 m / s
2
!"00 segundos al día
#
g=
!$%0 segundos al día
( 9,8 m / s2 )( 86340 s ) 86400 s
g 9, =
79 m/
s
2
11.14.- Un p@ndulo simple sostenido por u 7ilo de acero de sección transversal
'('1
cm
3
tiene un periodo de & se! cuando se utili$a una lenteAa de plomo
de 1' 3!. ;e reempla$a la lenteAa de plomo por otra de aluminio de las mismas dimensiones %ue tiene una masa de & 3! y se vuelve a determinar el periodo a) >Cuál era la lon!itud el pendulo con la masa del plomoB l T = 2 π . g
√
2
T . g l= 2 π 2
l=
2 . 9,8 2 π
l 6,23 m =
b) >#n %u@ fracción 7a variado el periodo cuando se utili$a la lenteAa de aluminioB >7a aumentado o disminuidoB Io vara debido a %ue la masa es despreciable
11.15.- #l balancn de un reloA de bolsillo oscila con una amplitud an!ular
π
radianes y con un periodo de '(5 se! a) Calcular su máima velocidad an!ular Ema , 2 π . f. 9 Ema,
2 π . 2 . 59,2958
Ema , 45(1 m/s b) Rbtener su velocidad an!ular cuando la elon!ación es la mitad de la amplitud E, E,
2 π .f . A . sen ( 2 π .f . t ) 2 π . 2.29,6479 sen ( 2 π 29,6479 . 0,5 )
E , & m/s c) Calcular su aceleración an!ular cuando la elon!ación sea
45 °
9 ma , 9 ma ,
2
2
4 π . f . A 2
2
4 π . 2 . 59,2958
m
9 ma , "'4("
s
2
