Jean`S StyleS
EJERCICIOS PROGRAMACIÓN DINÁMICA
Jean`S StyleS
ASIGNATURA: METODOS ESTOCÁSTICOS Y SIMULACIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA AÑO 2013
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
PROGRAMACIÓN DINÁMICA Al utilizar la programación lineal se supone que todas las utilidades o costos las ofertas y demandas y las tasas físicas de sustitución permanecen iguales durante el periodo completo en el que se enmarca el problema. A estos modelos se les llama modelos estocásticos debido a que se supone que todos los parámetros permanecen constantes. Es por esto que ahora se procede a examinar un modelo diferente denominado modelo dinámico el cual puede dar cabida a cambios en los parámetros, en el tiempo, etc. A este modelo se le denomina programación dinámica. La programación dinámica (PD) es un modelo de optimización el cual puede aplicarse a numerosos problemas. En general la PD intenta encontrar una solución de un problema de optimización en forma secuencial. A diferencia de la programación lineal la PD no es un algoritmo de solución única sino más bien un método para resolver un problema grande y único, resuelto en una secuencia de problemas más pequeños. Este método permite resolver un problema que depende del tiempo en forma de una secuencia de problemas de un solo periodo, en donde los parámetros de cada periodo dependen del periodo que se considera. De hecho es posible que no se conozcan los parámetros de cada periodo, sino hasta que este llegue. Los parámetros que intervienen en la programación dinámica pueden ser deterministas o estocásticos. Ejemplo: La fábrica de arepas “Arepas Pues” es una compañía ubicada en la ciudad de Montería en ella se fabrica diversos productos de maíz y harina de trigo para el mercado doméstico de la ciudad. Los principales productos que se elaboran son tortillas de harina y de maíz, arepas de sal y dulce, y masa para la fabricación de diversos productos. La empresa de arepas “Arepas Pues” ha firmado un contrato con una compañía de alimentos instantáneos especializada en comida mexicana. La compañía mexicana ha decidido adquirir tortillas de harinas por un total de 200 cajas de tortilla de harinas con 1000 tortillas cada una, en cada uno de los próximos 7 meses a un precio fijo. El departamento de costos de “Arepas Pues” ha calculado la utilidad para la fabricación de 200, 400, 600, y 800 cajas de tortillas, como se muestra en el siguiente cuadro…: Tamaño de Lote 200 400 600 800
Utilidad 1000 2500 3750 4750
Debido a una combinación de factores económicos y de almacenamiento se logran ahorros al fabricar lotes más grandes, pero también se puede incurrir al posible deterioro de algunas tortillas, después de algunos meses de fabricada.
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
La empresa de arepas “Arepas Pues” desea obtener las mayores utilidades del contrato firmado. Para esto son necesarios los tamaños de los lotes para la fabricación de tortillas de harina. Dado lo anterior se procede a plantear matemáticamente el modelo anterior por programación dinámica.
Sea Wi: N° de Veces que se manda a hacer un lote para i meses…
Función Objetivo…:
Maximizar F.O. = 1000W1 + 2500W2 + 3750W3 + 4750W4
Restricción…:
1W1 + 2W2 + 3W3 + 4W4 = 7 Para todo Wi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4
Dado que PD lo que hace es tomar una serie de decisiones que conduce a la más alta utilidad, sujeta a cualquier restricción que exista en el problema, este se convierte en un caso típico de programación dinámica determinística. La forma usual para desarrollar esta clase de problemas consiste en analizar el final del periodo de planeación y trabajar hacia atrás en forma retrospectiva hasta el comienzo del periodo de planeación. En cada caso se asegura que la secuencia de decisiones sea óptima desde la primera decisión hasta la última. En este caso se comenzará en el mes 7 y se tomará una decisión respecto a cuánto debe fabricarse.
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
7
200
200
1000
0
Mayor Utilidad para la demanda Restante 0
6
400
200 400
1000 2500
200 0
1000 0
2000 2500*
5
600
200 400 600
1000 2500 3750
400 200 0
2500 1000 0
3500 3500 3750*
800
200 400 600 800
1000 2500 3750 4750
600 400 200 0
3750 2500 1000 0
4750 5000* 4750 4750
1000
200 400 600 800
1000 2500 3750 4750
800 600 400 200
5000 3750 2500 1000
6000 6250* 6250* 5750
1200
200 400 600 800
1000 2500 3750 4750
1000 800 600 400
6250 5000 3750 2500
7250 7500* 7500* 7250
1400
200 400 600 800
1000 2500 3750 4750
1200 1000 800 600
7500 6250 5000 3750
8500 8750* 8750* 8500
Alternativa Mes Demanda de Producción
4
3
2
1
Utilidad Inmediata
Demanda Restante
R/ Mes 1 400 Unidades
= 2500
; Mes 1 600 Unidades
= 3750
Mes 2 400 Unidades
= 2500
; Mes 2 400 Unidades
= 2500
Mes 5 600 Unidades
= 3750
; Mes 6 400 Unidades
= 2500
Total Meses 1000 Unidades = 8750
Jean`S StyleS
; Total Meses 1000 Unidades = 8750
Utilidad total en Peso 1000*
Jean`S StyleS
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) La empresa de computadores DELL ha firmado un contrato con un distribuidor de Sur América, para fabricar 300 computadores mensuales durante los próximos 10 meses, a un pecio fijo. La empresa DELL ha calculado la utilidad para la fabricación de 300, 600, 700, 900 y 1200 computadores, relacionada en el siguiente cuadro.
Tamaño de lote en unidades 300 600 900 1200
Utilidad en Dólares 1000 2500 3750 4750
a. La compañía DELL desea obtener las mayores utilidades del contrato firmado, para esto, por favor determine los tamaños de lote para la fabricación de los computadores requeridos.
b. Plantee el anterior problema como un modelo de P.L.
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
SOLUCIÓN EJERCICIO 1
a. Maximizando… (-_-)…:
0
Mayor utilidad para demanda restante 300
Utilidad total en peso 1000*
1000 2500
300 0
1000 0
2000 2500*
300 600 900
1000 2500 3750
600 300 0
2500 1000 0
3500 3500 3750*
1200
300 600 900 1200
1000 2500 3750 4750
900 600 300 0
3750 2500 1000 0
4750 5000* 4750 4750
1500
300 600 900 1200
1000 2500 3750 4750
1200 900 600 300
5000 3750 2500 1000
6000 6250* 6250* 5750
1800
300 600 900 1200
1000 2500 3750 4750
1500 1200 900 600
6250 5000 3750 2500
7250 7500* 7500* 7250
2100
300 600 900 1200
1000 2500 3750 4750
1800 1500 1200 900
7500 6250 5000 3750
8500 8750* 8750* 8500
2400
300 600 900 1200
1000 2500 3750 4750
2100 1800 1500 1200
8750 7500 6250 5000
9750 10000* 10000* 9750
2700
300 600 900 1200
1000 2500 3750 4750
2400 2100 1800 1500
10000 8750 7500 6250
11000 11250* 11250* 11000
3000
300 600 900 1200
1000 2500 3750 4750
2700 2400 2100 1800
11250 10000 8750 7500
12250 12500* 12500* 12250
Mes
Demanda
Alternativa de producción
Utilidad Inmediata
Demanda Restante
10
300
300
1000
9
600
300 600
8
900
7
6
5
4
3
2
1
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
Opción 1:
Opción 2:
Mes 1 600 Unidades = 2500
;
Mes 1 900 Unidades = 3750
Mes 3 600 Unidades = 2500
;
Mes 4 600 Unidades = 2500
Mes 5 900 Unidades = 3750
;
Mes 6 900 Unidades = 3750
Mes 8 900 Unidades = 3750
;
Mes 9 600 Unidades = 2500
Total meses 3000 Unid = 12500
;
Total meses 3000 Unid = 12500
b. Sea Xi: N° de veces que se manda a hacer un lote para i meses…
Maximizar F.O. = 1000X1 + 2500X2 + 3750X3 + 4750X4
Restricciones: 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 = 10 Para todo Xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
2) La empresa electrónica Sony ha firmado un contrato con un distribuidor de Europa del Este para fabricar 3000 televisores de plasma mensuales, con características regionales especiales, durante los próximos 10 meses, a un precio fijo. La empresa Sony ha calculado la utilidad para la fabricación de 3000, 6000, 9000 y 12000 televisores, relacionados en la siguiente tabla.
Tamaño de lote en unidades 3000 6000 9000 12000
Utilidad en dólares 10200 13150 35000 46500
a. La compañía Sony desea obtener las mayores utilidades posibles del contrato firmado, dado que ha especificado un bajo precio con el fin de expandir su mercado a los antiguos países de la cortina de hierro. Para esto es necesario determinar los tamaños de lote para la fabricación de los televisores requeridos. Plantee al menos dos estrategias en las que se comprueben las utilidades y los tamaños de lote a fabricar.
b. Plantee el modelo matemático definiendo todas las variables que se utilizan en el modelo.
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
SOLUCIÓN EJERCICIO 2
a. Maximizando (-_-)…
0
Mayor utilidad para la demanda restante 0
Utilidad total en peso 10200*
10200 13150
3000 0
10200 0
20400* 13150
9000
3000 6000 9000
10200 13150 35000
6000 3000 0
20400 10200 0
30600 23350 35000*
12000
3000 6000 9000 12000
10200 13150 35000 46500
9000 6000 3000 0
35000 20400 10200 0
45200 33550 45200 46500*
15000
3000 6000 9000 12000
10200 13150 35000 46500
12000 9000 6000 3000
46500 35000 20400 10200
56700* 48150 55400 56700*
18000
3000 6000 9000 12000
10200 13150 35000 46500
15000 12000 9000 6000
56700 46500 35000 20400
66900 59650 70000* 66900
21000
3000 6000 9000 12000
10200 13150 35000 46500
18000 15000 12000 9000
70000 56700 46500 35000
80200 69850 81500* 81500*
24000
3000 6000 9000 12000
10200 13150 35000 46500
21000 18000 15000 12000
81500 70000 56700 46500
91700 83150 91700 93000*
27000
3000 6000 9000 12000
10200 13150 35000 46500
24000 21000 18000 15000
93000 81500 70000 56700
103200 94650 105000* 103200
30000
3000 6000 9000 12000
10200 13150 35000 46500
27000 24000 21000 18000
105000 93000 81500 70000
115200 106150 116500* 116500*
Mes
Demanda
Alternativa de Producción
Utilidad inmediata
Demanda restante
10
3000
3000
10200
9
6000
3000 6000
8
7
6
5
4
3
2
1
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
Opción 1:
Opción 2:
Mes 1 9000 Unidades = 35000
;
Mes 1 12000 Unidades = 46500
Mes 3 12000 Unidades = 46500
;
Mes 4 9000 Unidades = 35000
Mes 5 9000 Unidades = 35000
;
Mes 8 9000 Unidades = 35000
Total meses 30000 Unid = 116500
;
Total meses 30000 Unid = 116500
b. Sea Xi: N° de veces que se manda a hacer un lote para i meses…
Maximizar F.O. = 10200X1 + 13150X2 + 35000X3 + 46500X4
Restricciones: 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 = 10 Para todo Xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
3) Un jugador tienen 2 dólares. Se le permite participar 4 veces en un juego de azar y su meta es maximizar su probabilidad de terminar al menos con 6 dólares. Si el jugador apuesta 6 dólares en una jugada, entonces gana con probabilidad 0.40 y aumenta su capital en 6 dólares. Pierde con probabilidad 0.60 y disminuye su probabilidad en 6 dólares. En cualquier jugada no puede apostar más del dinero que tiene. Determine una estrategia de apuestas que maximice la probabilidad del jugador de alcanzar un capital de al menos 6 dólares al final del 4° juego. Suponga que se aceptan apuestas de 0 dólares, esto es no apostar.
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
SOLUCIÓN EJERCICIO 3 Para el desarrollo de este problema se debe definir… Ft(d) = como la probabilidad de que al terminar el juego 4 el jugador tenga al menos 6 dólares. “d” los dólares que se van a apostar… Si se le proporciona una recompensa de 1 cuando su capital al final es de 6 dólares, y una recompensa de 0 si es menos de 6 dólares. Entonces será igual a la recompensa máxima esperada que puede ganar durante las jugadas t, t + 1, t + 2, t + 3, t + 4, entonces t es F0 al principio de la primera jugada. Si tiene “t” dólares dado lo anterior dado lo anterior se puede definir el tamaño de la jugada… Si el jugador participa por cuarta y última vez, su estrategia óptima deberá ser clara. Si tiene 6 dólares o más, no apostar, pero si tiene menos de 6 dólares entonces deberá apostar lo suficiente para asegurar, si es posible, tener 6 dólares si gana esta última jugada. Nótese si al inicio del 4 juego se tienen 0 dólares, 1 dólar, o 2 dólares, entonces no se tendría la oportunidad de ganar, es decir, no hay manera de alcanzar una recompensa de 1. Con este razonamiento, ahora se puede especificar…: Si F4(0) b4(0) = 0 F4(1) = 0.0 b4(1) = 0 o 1 dólares… F4(2) = 0.0 b4(2) = 0, 1 o 2 dólares… F4(3) = 0.4 b4(3) = 3 dólares… F4(4) = 0.4 b4(4) = 2, 3 o 4 dólares… F4(5) = 0.4 b4(5) = 1, 2, 3, 4, 5 dólares… Para d ≥ 6 F4(6) = 1 b4(d) = 0, 1, 2, 3,…, (d – 6) Para t = 3, la formula recursiva Ft(d), al observar que si el jugador tiene “t” dólares y va a hacer la tn jugada y apuesta “b” dólares entonces lo que puede suceder es lo siguiente…: Si gana la jugada con probabilidad 0.4 entonces Ft+1 = d + b. Si no gana la jugada con probabilidad 0.6 entonces Ft+1 = d – b, entonces si el jugador tiene d dólares al inicio de la jugada t y apuesta b dólares, la recompensa esperada o probabilidad esperada de alcanzar 6 dólares será (0.4)Ft+1(d + b) + (0.6)Ft+1(d – b). Esto conduce a la formula recursiva 1…:
Ft(d) = Max Valor{(0.4)Ft+1(d + b) + (0.6)Ft+1(d – b)}
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
Cálculos para la etapa 3…: Maximizado (-_-)…:
( )
( )
( ( {
( )
) )
( (
) )
( (
) )
( )
( ( (
( )
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
( )
) ) ) (
( ( ( )
) ) ) (
( ( ( )
{
( )
) ) ) ) )
( ( ( ( (
{
( ( ( ( ( (
( )
{
Jean`S StyleS
( )
) ( ) ( ) (
) ) ) ( )
) ) ) (
( ( ( )
) ) ) (
( )
( ( ( ( (
) )
( )
{
( ( (
( (
) ) ) ) )
( )
( ( ( ( (
) ) ) ) )
( ( ( ( (
( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
) ) ) ) ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
( )
) ) ) ) ) ) ( )
Jean`S StyleS
Cálculos para la etapa 2…: Maximizado (-_-)…:
( )
( )
(
)
( {
( )
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
( )
( ( )
) ( (
( ) )
) ( (
( ) )
) ( (
Mesa
8
5
7
) ( (
) )
( )
{ Jugada
( ) )
( )
( )
Otro 1 2 3
Jugador 4 3 2
Queda 3 2 1
Yo 3 2 1
Restan 1 1 1
9
1 2 3
8 7 6
3 2 1
3 2 1
5 5 5
6
13
1 2 3
12 11 10
3 2 1
3 2 1
9 9 9
5
17
1 2 3
16 15 14
3 2 1
3 2 1
13 13 13
4
21
1 2 3
20 19 18
3 2 1
3 2 1
17 17 17
3
25
1 2 3
24 23 22
3 2 1
2
29
1 2 3
28 27 26
3 2 1
25 25 25
1
30
0
30
1
29
Jean`S StyleS
21 21 21
Jean`S StyleS
4) Una empresa de componentes electrónicos tiene un contrato para entregar la siguiente cantidad de transmisores de radio durante los 3 meses siguientes, sin admitir la posibilidad de tener inventarios negativos.
Mes 1 2 3
DMD 200 300 300
Por cada radio que se produce durante los meses 1 y 2, se incurre en un costo variable de 10 Us. Por cada radio producido en el mes 3, el costo variable es de 12 Us. El costo de almacenamiento es de 1.5 Us/unidad de inventario al final de un mes. El costo de preparar la producción durante un mes es de 250 Us. Los radios que se fabrican durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de ese mes o de alguno futuro. Suponga que la producción durante cada mes debe ser múltiplo de 100. Dado que el nivel inicial de inventario es 0, utilice programación dinámica para determinar un calendario óptimo de producción, si se desea que el inventario al final del periodo 3 sea 0 unidades.
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
SOLUCIÓN EJERCICIO 4
Sea…: Ft(i): Costo mínimo incurrido para satisfaces la demanda para los meses 1, 2 y 3
C(X): Corresponde al costo de producir X unidades durante un periodo donde…: Si X = 0 C(X) = 0; Para el mes 3 C(X) = 250 + 12X; X > 0. Para el mes 1 y 2 C(X) = 250 + 10X; X >o
Xt(i): Nivel de producción durante el mes t que minimiza el costo total si están i unidades disponibles en el almacén al inicio del mes t.
Calculos para el mes 3…:
Dado que el inventario final del mes 3 debe ser 0 unidades entonces la empresa de componentes electrónicos solo debe producir las unidades suficientes para asegurar que se cumpla la demanda de 300 unidades para el mes 3…: Si X(0)
= 300 – 0
= 300 F3(0) = C(300) = 250 + 12(300) = 3850
Si X(100) = 300 – 100 = 200 F3(100) = C(200) = 250 + 12(200) = 2650 Si X(200) = 300 – 200 = 100 F3(200) = C(100) = 250 + 12(100) = 1450 Si X(300) = 300 – 300 = 0
F3(300) = C(0)
=0
En el mes 2 es necesario determinar el costo del inventario al final del mes 3. Este costo se presenta a razón de 1.5 Us/Unidad, entonces lo que puede quedar en inventario al final del mes 2 es lo que había en inventario al principio del mes 2 es decir i mas lo que se produjo en el mes 2, es decir, (X - la demanda), entonces se puede valorizar esta ecuación a un costo de 1.5 Us/Unidad. A esta ecuación se le suma los costos de producción C(X) más lo que se tiene en almacén como posibilidad para el mes siguiente es decir Ft(i + x – DMD). Entonces la ecuación recurrente para el mes 2 será minimizadora y se puede representar en los siguientes términos…: F2(i) = Minimizar{1.5(i + x – DMD) + C(x) + F3(i + x - 300)}
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
Para el mes 2…: Minimizando (-_-)…
i
x
(1.5)(i + x – 300)
C(x)
300
(1.5)(0 + 300 – 300) = 0
400
(1.5)(0 + 400 – 300) = 150
500
(1.5)(0 + 500 – 300) = 300
600
(1.5)(0 + 600 – 300) = 450
10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 10(500) + 250 = 5250 10(600) + 250 = 6250
200
(1.5)(100 + 200 – 300) = 0
300
(1.5)(100 + 300 – 300) = 150
400
(1.5)(100 + 400 – 300) = 300
500
(1.5)(100 + 500 – 300) = 450
100
(1.5)(200 + 100 – 300) = 0
200
(1.5)(200 + 200 – 300) = 150
300
(1.5)(200 + 300 – 300) = 300
400
(1.5)(200 + 400 – 300) = 450
0
(1.5)(300 + 0 – 300) = 0
100
(1.5)(300 + 100 – 300) = 150
200
(1.5)(300 + 200 – 300) = 300
300
(1.5)(300 + 300 – 300) = 450
0
100
200
300
Jean`S StyleS
10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 10(500) + 250 = 5250 10(100) + 250 = 1250 10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 0+0 =0 10(100) + 250 = 1250 10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250
F3(i + x – 300)
C. Total
F3(0) = 3850
7100
F3(100) = 2650
7050
F3(200) = 1450
7000
F3(300) = 0
6700*
F3(0) = 3850
6100
F3(100) = 2650
6050
F3(200) = 1450
6000
F3(300) = 0
5700*
F3(0) = 3850
5100
F3(100) = 2650
5050
F3(200) = 1450
5000
F3(300) = 0
4700*
F3(0) = 3850
3850
F3(100) = 2650
4050
F3(200) = 1450
4000
F3(300) = 0
3700*
F2(i) X2(i)
F2(0) = 6700 X2(0) = 600
F2(100) = 5700 X2(100) = 500
F2(200) = 4700 X2(200) = 400
F2(300) = 3700 X2(300) = 300
Jean`S StyleS
Para el mes 1…: Minimizando (-_-)…
x
(1.5)(i + x – 200)
C(x)
200
(1.5)(0 + 200 – 200) = 0
300
(1.5)(0 + 300 – 200) = 150
400
(1.5)(0 + 400 – 200) = 300
500
(1.5)(0 + 500 – 200) = 450
10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 10(500) + 250 = 5250
100
(1.5)(100 + 100 – 200) = 0
200
(1.5)(100 + 200 – 200) = 150
300
(1.5)(100 + 300 – 200) = 300
400
(1.5)(100 + 400 – 200) = 450
0
(1.5)(200 + 0 – 200) = 0
100
(1.5)(200 + 100 – 200) = 150
200
(1.5)(200 + 200 – 200) = 300
300
(1.5)(200 + 300 – 200) = 450
i
0
100
200
10(100) + 250 = 1250 10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 0+0 =0 10(100) + 250 = 1250 10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250
F2(i + x – 200)
C. Total
F2(0) = 6700
8950*
F2(100) = 5700
9100
F2(200) = 4700
9250
F2(300) = 3700
9400
F2(0) = 6700
7950*
F2(100) = 5700
8100
F2(200) = 4700
8250
F2(300) = 3700
8400
F2(0) = 6700
6700*
F2(100) = 5700
7100
F2(200) = 4700
7250
F2(300) = 3700
7400
F1(i) X1(i)
F1(0) = 8950 X1(0) = 200
F1(100) = 7950 X1(100) = 100
F1(200) = 6700 X1(200) = 0
Dado que el inventario inicial es 0, el costo mínimo para los 3 meses será de F1(0) = 8950
Mes
DMD
1 2 3
200 300 300
Jean`S StyleS
Producción
200 600 0 Costo total en dólares
Inventario 0 300 0
Costo de producción + Inventario 0 + 2250 = 2250 (450 + 6250) = 6700 0 8950
Jean`S StyleS
5) Un vendedor de sudaderas en los juegos de futbol con igual probabilidad puede vender 200 o 400 sudaderas en cada juego. Cada vez que el vendedor hace un pedido, paga 500 Us más 5 Us por cada sudadera perdida. Cada sudadera se vende en 8 Us. Se carga un costo de almacenamiento de 2 Us/unidad que sobra al final del juego, debido al costo de oportunidad del capital ligado a las sudaderas, y a los costos de almacenamiento, el vendedor puede almacenar hasta 400 sudaderas como máximo después de cada juego. Suponiendo que el número de sudaderas pedidas por el vendedor debe ser múltiplo de 100, determine una política de pedido que maximice las ganancias netas que obtengan durante los primeros 3 juegos de la temporada, suponiendo que cualquier sobrante tiene un valor de 6 Us/sudadera, que al inicio del periodo 1 existen 200 sudaderas en la bodega y que no se aceptan inventario negativos.
SOLUCIÓN EJERCICIO 5
Para obtener la solución del problema es necesario establecer las siguientes definiciones…: Ft(i): Corresponde a la utilidad neta esperada durante los periodos t (1, 2, 3), cuando el inventario de sudaderas al inicio del periodo t corresponde a i sudaderas… P(X): Corresponde al precio de venta de X sudaderas durante un periodo… Si X = 0 entonces P(0) = 0 Si X>0 P(X) = 8X C(X): Costo de hacer el pedido. Corresponde a los 500 Us base de hacer el pedido… C(x) = 500 + 5x X: Unidades pedidas… Vx(i): Corresponde al costo al almacenamiento. (2)(i + x – 200) + (2)(i + x – 400) = (4i + 4x – 1200) Kx(i): Corresponde a un costo de rembolso al final del periodo 3 por utilidades en el almacén. (6)(i ´x – 200) + (6)(i + x – 400) = (12i + 12x – 3600)
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
Dado lo anterior se puede plantear la ecuación recursiva para el periodo de la siguiente forma: F3(i) = Maximizar X3{P(x) – C(x) – V(x) + Kx(i)} F3(i) = Maximizar X3{8x – (500 + 5x) – (4i + 4x – 1200) + (12i + 12x – 3600)} i
x
0
400 500 600 700 800
P(X)
Jean`S StyleS
C(X)
Vx(i)
Kx(i)
Utilidad Venta
F3(i) X3(i)
Jean`S StyleS
6) Un inversionista petrolero tiene 4 millones de dólares para invertir en 3 campos petroleros. La utilidad que gana el campo i (1, 2, 3), depende de la cantidad invertida en el campo, como se muestra en la siguiente tabla. Cantidad invertida en millones de dólares 1 2 3 4 5
Utilidad en millones de dólares Campo 1
Campo 2
Campo 3
4 7 8 9 11
3 6 10 12 14
3 7 8 13 15
a. Defina las variables del problema, la etapa, los estados del problema y las variables de decisión. b. Determine las ecuaciones de estado para cada una de las etapas del problema. c. Si los cálculos de la etapa 3 en dólares son…
F3(0) = 3
; X3(0) = 0
F3(1) = 7
; X3(1) = 1
F3(2) = 8
; X3(2) = 2
F3(3) = 13
; X3(3) = 3
F3(4) = 15
; X3(4) = 4
Los cálculos en dólares de la etapa 2 son…: F2(0) = 6
; X2(0) = 0
F2(1) = 10
; X2(1) = 0
F2(2) = 13
; X2(2) = 1 o 2
F2(3) = 17
; X2(3) = 2
F2(4) = 19
; X2(4) = 1 o 3
Determine la forma como el inversionista debe invertir los 4 millones de dólares en los campos que dispone. Explique su respuesta basada en los resultados obtenidos.
Jean`S StyleS
Jean`S StyleS
SOLUCIÓN EJERCICIO 6
Ft(i): Mayor utilidad esperada de i cantidad de dólares i: Cantidad de dinero para invertir t: Tiempo… Vt(x): Utilidad esperada de invertir X dinero en un tiempo t… Xt(i): Nivel de inversión que maximiza la utilidad si existe i dinero para invertir en el tiempo t… F3(0) = 3
X3(0) = 0
F3(1) = 7
X3(1) = 1
F3(2) = 8
X3(2) = 2
F3(3) = 13
X3(3) = 3
F3(4) = 15
X3(4) = 4
Jean`S StyleS
