Prof. Eunices Boada A. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA "ANT ONIO JOSÉ DE SUCRE" VICE-RECT ORADO PUERT O ORDAZDEPARTAMENTO ZDEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MAT EMÁT ICA.
Integrales dobles. 1
Cambie a coordenadas rectangulares y luego evalúe: a.
4π 3 3π 4
−5 secθ
∫ ∫ π
b.
∫ ∫ −π
Evaluar
2 asenθ
∫0 ∫0 2
∫∫
x + y
R
θ dr d θ
rsen (2θ )drd θ .
x(1 + 2 y ) 2
2
r 3 cos 2 θ dr d θ
0
π
2
2 ( senθ + 2 cos θ )
3
4
c.
3
r sen
0
e x
2
2
−y
dA
siendo R la región del plano xy en el primer cuadrante
acotada por y = x 2 + 1, y = x 2 , x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 4 . y − 4 x
3
Evaluar
e
∫∫ ( y + 2 x)
3
dA
siendo
la región del plano
R
xy
acotada por
y = 4 x + 2 ,
R
y = 4 x + 5 , y = 1 − 2 x , y = 3 − 2 x .
4
Describir y graficar el sólido cuyo volumen esta dado por la siguiente integral. 1− y 2
a.
∫ ∫ 0
0
b.
1
1− x 2
0
0
c. d. e. f. 5
1
∫ ∫ 2
4
0
x 2
∫ ∫ ∫ ∫ 0
0
2
2
0
(1 − x )dzdx 2
(4 − y )dydx
1− x 2
1
∫ ∫
y dzdy .
2− y
0
0
∫ ∫
(4 − 2 y )dydx
1 2 x 2
2
(4 − x 2 − y 2 )dydx
(4 − x 2 )dxdy
Dada la integral doble iterada
1
1
0
x
∫ ∫
2
e y dydx
a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dxdy. b. Evaluar
1
1
0
x
∫ ∫
2
e y dydx .
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Hallar la masa de la lámina bidimensional que adopta la forma del conjunto del plano xy en el primer cuadrante acotado por xy = 1 , xy = 4 , y = 1 + x 2 , y y = x 2 , si la densidad en un punto
7
P ( x, y )
de la lámina es
Dada la integral doble iterada
δ ( x, y )
1
∫ ∫
1 y
0
=
xy y + 2 x 2
.
cos( x 3 )dxdy
a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dydx. b. Evaluar
1
∫ ∫
1 y
0
cos( x 3 )dxdy .
8
Hallar la masa de la lámina bidimensional que adopta la forma del conjunto del plano xy en el primer cuadrante acotado por, x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4 y = 1 + x 2 , y y = x 2 , si la densidad en un punto P( x, y ) de la lámina es δ ( x, y ) = 2 x(2 y + 1) .
9
Dada la integral doble iterada
1
1
0
y
∫ ∫
sen( x 2 )dxdy
a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dydx. b. Evaluar
1
1
0
y
∫ ∫
sen( x 2 ) dxdy .
10
Hallar la masa de la lámina bidimensional que adopta la forma del conjunto del plano xy en el primer cuadrante acotado por, x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4 y = 1 + x 2 , y y = x 2 , si la densidad en un punto P( x, y ) de la lámina es δ ( x, y ) = 2 x(2 y + 1) .
11
Dada la integral doble iterada
1
∫0 ∫
3
1 x
4 + y 3
dydx
a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dxdy. b. Evaluar
1
∫ ∫ 0
3
1 x
4 + y 3
dydx .
12
Hallar la masa de la lámina bidimensional que adopta la forma del conjunto del plano xy en el primer cuadrante acotado por, x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4 y = 1 + x 2 , y y = x 2 , si la densidad en un punto P( x, y ) de la lámina es δ ( x, y ) = 2 x(2 y + 1) .
13
Sea R la región del plano xy interior a x 2 + y 2 = 16 y exterior a x 2 + y 2 = 4 , entre las rectas y =
3 3
x y y = − x . Evaluar
∫∫ R
x 2 + y 2
e
dA .
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Calcular el volumen del sólido que está bajo la superficie z = ( x + y )e x − y y sobre la región plana R acotada por el paralelogramo de vértices (4,0), (6,6), (8,4) y (2,2).
15
Usar el cambio de variables propuesto para evaluar la integral doble
∫∫ y sen( xy)dA , R
x =
u v
, y = v .
R es la región comprendida entre las gráficas de xy = 1,
16
xy = 4, y = 1, y = 4 .
Representar gráficamente la región de integración señalada en la suma integrales dobles siguientes: 8 13
∫0
13
3 x
∫0
2
xydydx +
4
∫8 1313 ∫0
16− x2
de las
xydydx .
Evaluar ésta suma expresándola previamente en una sola integral doble. 17
18
Graficar el sólido cuyo volumen es calculado mediante la integral doble 4 2 3 4 − x ∫ 0 ∫ x −3 3 1− x9 dydx . a. Proyectar el sólido en el plano xz. b. Plantear la integral triple iterada que permite evaluar el volumen del sólido en el orden dydzdx. Sea región en el primer cuadrante acotada por R la y = 4 − x 2 , y = 2 − x 2 , y = 2 + x 2 , y = x 2 . Evaluar ∫∫ x cos( x 2 + y )dA . R
19
Calcular la masa de la lámina que adopta la forma de la región del plano xy acotada por las curvas y = 3 x, y = − x, y = 5, x 2 + y 2 = 4 , si la densidad de la lámina en un punto P ( x, y ) de ésta es δ ( x, y ) = k x 2 + y 2 .
20
Sea R la región en el primer cuadrante acotada por Evaluar
∫∫ e−
xy / 4
y = 14 x, y = 2 x, xy = 1, xy = 4 .
dA .
R
21
Calcular la masa de la lámina que adopta la forma de la región del plano xy acotada por las curvas y = 14 x 2 , y = 4, x 2 + y 2 = 94 , en el primer cuadrante, si la densidad de la lámina en un punto
22
P( x, y )
de ésta es
δ ( x, y )
=
k x + y 2
2
.
Evaluar las siguientes integrales dobles: a. ∫∫ sen( x 2 + y 2 )dA , donde R es la región del plano xy entre las circunferencias R x 2 + y 2 = 2 , y x 2 + y 2 = 5 , y las rectas y = x , y y = − x
.
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∫∫
x 2 + y 2 dA ,
donde S es la región del plano
xy
acotada por la
S
23
circunferencia x 2 + y 2 = 2 , y la parábola y = x 2 . S es la región del plano xy acotada por las curvas y = ln( x) , y = 1 + ln( x) , y = − x 2 , y y = 2 − x 2 . a. Represente gráficamente la región S . b. Halle un cambio de variables u = u ( x, y ), v = v( x, y) que transforme geométricamente la región S en una región rectangular del plano uv c. Halle el determinante Jacobiano
∂ ( x, y ) . ∂ (u, v)
1
∫∫ x dA .
d. Evalúe
S
24
y + 3 x
e
∫∫ y − 2 x dA ,
Evaluar
donde
R
está
limitada
por
las
R
y = 2 x + 1, y = 2 x + 5, y = 1 − 3 x, y = −1 − 3 x .
25
Evaluar
∫∫ R
e y − e dA , R está limitada por y = e x , y = e x + 1, y = 3 − e x , y = 5 − e x . x
rectas
