Ejercicios: Gráfico de Control por Variables 2008 Ejercicio 1 Un proceso se controla con un gráfico de control x, R, con límites 3σ . Se toman subgrupos racionales de 4 piezas cada 100 piezas. El proceso tiene una distribución normal y una desviación estándar σ = 0.16 y su valor medio es ajustable. Las especificaciones del producto son: LSE = 10.5 y LIE = 9.5. a) Calcular los límites de control del gráfico x . b) Cuál es la probabilidad de detectar un corrimiento en la media del proceso de 1.2σ en el primer subgrupo racional luego del corrimiento. c) Cuál será el número de piezas producidas antes de que se detecte una salida de control (corrimiento en la media de 1.2σ ). d) Cuál será el número promedio de piezas defectuosas producido antes de detectar una salida de control (corrimiento de 1.2σ ). Resultados: a) LSC = 10.24, LC = 10, LIC = 9.76; b) Pdet = 0.27425; c) En promedio 315 unidades; d) 8.54 defectuosos en promedio. Ejercicio 2 Un proceso de compresión se controla mediante un gráfico x , R. Se desea tener una probabilidad = 0.01 de que el cambio no sea detectado cuando la media pasa de 100 a 110. 1) Calcular el tamaño del subgrupo racional necesario si la desviación estándar del proceso es igual a 5. 2) Para detectar cambios en la media se ha propuesto : a) hacer un gráfico de control de valores individuales tomados cada 15minutos. b) Hacer un gráfico de control de promedios con muestras de n = 4 tomados cada 1hora. Si se produce un cambio en la media de 100 a 105 ¿cuál de los dos métodos tiene mayor probabilidad de detectarlo en la primera hora? Resultados: a) n=8, b) Pdetectar en 1h (n=1)= 0.088 y Pdetectar en 1h (n=4)=0.159. Ejercicio 3 Para controlar la resistencia a la tracción de un alambre metálico, cuya especificación es 200 ± 10, se utilizan gráficos de control x , R con límites de control ± 3σ y n=6. El gráfico de control de x tiene una línea central de 200 y el índice de capacidad del proceso potencial es de 1.1. a) Calcular los límites de control para x y para R. b) Si la media del proceso sufre un cambio a 202 ¿cuál es la probabilidad de detectar el cambio en el 3er. subgrupo racional luego de ocurrido? c) Si la capacidad real del proceso no puede ser inferior a 0.88, ¿en qué rango se debe mantener el valor de la media del proceso?
Resultados: a) LSC x =203.7, LC x = 200, LIC x =196.3; LSCR=15.4, LCR=7.7, LICR=0; b) Prob de detectar en 3er. Subgrupo racional = 0.071; c) 202 = µ = 198. Ejercicio 4 Para controlar un proceso de envasado se lleva un gráfico de control del peso con los siguientes límites: LSC x = 1020g ; LIC x = 980g Se sabe además que el error tipo I es del 0.6% y el intervalo de especificación es 1000 ± 50g. a) Si Cpk = 1.14 determinar el tamaño de los subgrupos racionales. Calcular los límites de control del gráfico de rangos. b) En determinado momento opera una causa asignable de variabilidad que provoca un corrimiento en el promedio del proceso a 1018g. Determinar la probabilidad de cometer error tipo II y cuantos subgrupos racionales es en promedio necesario extraer para detectar dicho corrimiento. c) Los subgrupos racionales se extraen cada 400 unidades. ¿cuál es el costo promedio en que se incurre desde que ocurre la causa asignable hasta que se detecta la misma si se sabe: Costo de inspeccionar una pieza = I =U$5 Costo de producir una pieza defectuosa = A = U$20. Resultados: a) n=4; LSCR = 65.5, LCR = 30.1, LICR = 0; b) ß=0.608, ARL=2.55; c) Costo promedio =279U$ Ejercicio 5 Se quiere utilizar un gráfico de control para controlar un proceso. Se tomaron muestras de n = 9 para la construcción del mismo obteniéndose: x =610 y R medio = 17.8 a) Calcular los límites de control ± 3σ para los gráficos x , R. b) Construir dos puntos de la curva operativa para el gráfico x , asumiendo s constante para corrimientos de la media en +1σ y +2 σ . c) Si σ aumenta en un 20 % calcular la probabilidad de que el gráfico de x no detecte ese cambio. Resultados: a) LSC x =616.0, LC x = 610.0, LIC x =604.0; LSCR=32.3, LCR=17.8, LICR=3.3; b) β1= 0.50, β2= 0.00135; c) 0.98758 Ejercicio 6 Un proceso tiene una distribución normal y una desviación estándar σ = 0.2 y su valor medio es ajustable. Las especificaciones del producto son: LSE = 7.6 y LIE = 6.4. El proceso se controla con un gráfico de control x , R , con límites 3s. Se toman subgrupos racionales de 4 piezas cada 50 piezas. a) Calcular los límites de control del gráfico x . b) Cuál es la probabilidad de detectar un corrimiento en la media del proceso de 1s en el primer subgrupo racional luego del corrimiento. c) Cuál será el número de piezas producidas antes de que se detecte una salida de control (corrimiento en la media de 1σ ).
d) Cuál será el número promedio de piezas defectuosas producido antes de detectar una salida de control (corrimiento de 1σ ). Resultados: a) LSC = 7.3, LC = 7.0, LIC = 6.7; b) Pdet = 0.159; c) En promedio 290 piezas; d) 6.6 defectuosos en promedio Ejercicio 7 Para controlar un proceso se diseñó un gráfico de control por variables con límites de control ± 3σ y tamaño de subgrupo racional de 4 unidades. Para establecer si el proceso está fuera de control estadístico se decidió utilizar dos reglas: 1) un punto fuera de los límites de control, 2) dos de tres puntos consecutivos entre µ + 2σ y µ + 3σ , o entre µ - 2σ y µ - 3σ a) Calcular el error α. b) Calcular el error ß para un corrimiento de µ de +1.5 σ . c) Calcular el número promedio de unidades fabricadas desde que se produce el cambio hasta que se detecta, si se sacan los subgrupos racionales cada 1000 unidades fabricadas. Considerar que el cambio se produce en la mitad entre dos subgrupos racionales. Resultados: a) α=0.0054: b) ß=0.445; c) 1300 Unidades fabricadas en promedio
