ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, ANÁLISIS COMBINATORIOY PROBABILIDAD
NEIDY BIBIANA ÁLVAREZ GIRALDO RUTH STELLA SIERRA GALEANO VIVIANA JAZMÍN OSPINA PÍNEDA
Profesor JOSE GUILLERMO MOLINA ESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS C IENCIAS Y LAS ARTES MEDELLÍN 2006
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA II. Los siguientes datos representan el porcentaje de algodón en un material utilizado para la fabricación de camisas de caballeros.
Nota: Los datos los organizamos de menor a mayor antes de digitarlos. 32.1, 32.5, 32.6, 32.7, 32.8, 32.9, 33.1, 33.1, 33.4, 33.5, 33.6, 33.6, 33.6, 33.6, 33.6, 33.8, 33.8, 34, 34.1, 34.1, 34.1, 34.2, 34.2, 34.3, 34.5, 34.5, 34.6, 34.6, 34.6, 34.6, 34.6, 34.7, 34.7, 34.7, 34.7, 34.7, 34.7, 34.7, 34.7, 34.9, 35.0, 35.0, 35.0, 35.1, 35.1, 35.1, 35.1, 35.2, 35.3, 35.4, 35.4, 35.5, 35.6, 35.7, 35.8, 35.9, 36.2, 36.3, 36.4, 36.6, 36.8, 36.8, 36.8, 37.1, 37.3, 37.6, 37.8, 37.9. 1.
Graficar un histograma para frecuencias absolutas. Para hallar los intervalos 1) Xmáx = 37.9 Xmín =32.1 2) R = 37.9 – 32.1= 5.8 3) K = 1 + 3.3 Log 64 = 6.96 ≈ 7 4) A =
5.8 7
= 0.9
5) Ra = 0.9 ∗ 7 = 6.3 6) C = 6.3 – 5.8 = 0.5
Intervalo (31.9- 32.8] (32.8- 33.7] (33.7- 34.6] (34.6- 35.5] (35.5- 36.4] (36.4- 37.3] (37.3- 38.2]
Frecuencia Absoluta 9 9 20 11 5 6 4
Frecuencia Relativa 0.14 0.14 0.31 0.17 0.07 0.09 0.06
2
Frecuencia Absoluta Acumulada 9 18 38 49 54 60 64
Frecuencia Relativa Acumulada 0.14 0.28 0.59 0.76 0.84 0.93 0.99
Total
64
1
64
HISTOGRAMA DE FRECUENCIA ABSOLUTA 25 a i a 20 c t n u e l o 15 u s c b 10 e r A 5 F 0
] 7 ] 6 ] 5 ] 4 ] 3 ] 2 ] 8 2 . 3 3 . 3 4 . 3 5 . 3 6 . 3 7 . 3 8 . 3 . 9 2 . 8 3 7 . 4 . 6 5 . 5 6 . 4 7 . 3 1 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3 (
Intervalos
2. Graficar Graficar un polígo polígono no para para frecuenci frecuencias as relativa relativas. s. Xi
Frecuencia Relativa
32.4 33 34.2 35.1 36 36.9 37.8
0.14 0.14 0.31 0.17 0.07 0.09 0.06
POLÍGONO PARA FRECUENCIAS RELATIVAS a 0.4 i c a v 0.3 n i e t a 0.2 u l c e e R 0.1 r F 0 32.4 32.4
33
34.2 34.2 35.1 35.1
36
36.9 36.9 37. 37.8 8
Marcas de Clase
3
1
3. Hallar me, P 15
me = P 50 =
, D 4 , Q1 . Interpretar.
(32 - 18)
×
0.9
+ 33.7= 34.3
20
El resultado significa que el 50% de las camisas de caballero tiene el
un
porcentaje de algodón menor o igual a 34.3%.
P15 =
((64
× 0.15)
- 9)
× 0.9
9
+ 32.2 = 32.3
El resultado significa que el 15% de las camisas de caballero tienen un porcentaje de algodón menor o igual a 32.3%.
D 4 = P 40 =
((64
× 0.4)
- 18)
× 0.9
20
+ 33.7= 34.0
El resultado significa que el 40% de las camisas tienen un porcentaje de algodón menor o igual a 34%.
Q1 = P 25 =
((64
× 0.25) 9
- 0)
× 0.9
+ 32.2 = 33.8
El resultado significa que el 25% de las camisas tienen un porcentaje de algodón menor o igual a 33.8%.
4. Determinar asimetría y curtosis de la distribución.
4
2
Intervalo
ni
xi
xi*ni
(31.9- 32.8] (32.8- 33.7] (33.7- 34.6] (34.6- 35.5] (35.5- 36.4] (36.4- 37.3] (37.3- 38.2]
9 9 20 11 5 6 4
32.4 33 34.2 35.1 36 36.9 37.8
291.6 297 684 386.1 180 221.4 151.2
4.8 2.6 0.16 0.81 3.24 5.3 12.3
2211.3
29.21
Sumatoria
(32 - 18)
me = P 50 = ˆ2=
σ
σ
=
29 .21 64 0.46
×
0.9
20
+ 33.7= 34.3
=0.46
= 0.7
Para determinar asimetría (34.6 - 34.3) Cp = 3 *
= 1.2 0.7
Como 1.2 > 0 la distribución es asimétrica a la derecha. Para determinar curtosis Q 3 = P 75 =
((64
×0.75)
- 38)
11
×0.9
+ 34.6 = 35.4
5
( xi - x )
((64
Q1 = P 25 =
P
90
=
P10 =
K=
((64
× 0.25)
- 0)
9
× 0.9)
- 54)
×0.9
6
((64
× 0.9
×0.1)
- 0)
×0.9
9
(35 .4 −33 .8)
= 32 .6)
2(36 .7 −
1. 6 8 .2
+ 32.2 = 33.8
+ 36.1 = 36.7
+ 31.9 = 32.6
= 0.195
Como 0.195 < 0.26 la distribución es platicúrtica.
5. Graficar una ojiva menor que y mayor que un mismo plano.
OJIVA MENOR O IGUAL A Porcentaje de algodón de 31.9 o menos 0 Porcentaje de algodón de 32.8 o menos 9 Porcentaje de algodón de 33.9 o menos 18 Porcentaje de algodón de 34.6 o menos OJIVAS 38 Porcentaje de algodón de 35.5 80 o menos 49 s 60 e Porcentaje de algodón de 36.4 r o l 40 o menos 54 a V 20 Porcentaje de algodón de 37.3 o menos 60 0 31.9 de 32.8 33.9 de 34.6 Porcentaje algodón 38.235.5 36. 4 o menos 38.2 64 Extremos intervalos
OJIVA MAYOR QUE Porcentaje de algodón mayor a 31.9 Porcentaje de algodón mayor a 32.8 Porcentaje de algodón mayor a 33.9 Porcentaje de algodón mayor a 34.6 Porcentaje de algodón mayor a 35.5 Porcentaje de algodón mayor a 36.4 Porcentaje de algodón mayor a 37.3 37.3 38.2 Porcentaje de algodón mayor a 38.2
6
64 60 54 49 38 18 9 0
Ojiva mayor que Ojiva menor que
VIII. la siguiente figura representa la ojiva relativa menor que, de dos muestras aleatorias A y B de 200 familias cada una, con base en esta responder:
7
INGRESOS FAMILIARES 120 100 E J A 80 T N E 60 C R O 40 P 20 0 0
100
200
300
400
500
600
MILES DE PESOS
NOTA: La línea color azul representa la muestra A y la línea color rosado representa la muestra B. a. ¿Cuántas familias de la muestra A tienen ingresos mayores de $200000 Sí 200 familias son el 100%, el 10% ¿Cuántas familias serán? 200
100%
X
10%
De donde X= 20, entonces 200-20=180 180 familias de la muestra A tienen ingresos mayores de 200000 b. ¿Cuál es el % de familias de la muestra A con ingresos menores de $ 400000 El porcentaje de familias de la muestra A con ingresos menores de $400000 es 65% c. ¿Cuántas familias de la muestra B tienen ingresos entre $250000 y $350000 55% -45% = 10%, lo cual corresponde a 20 familias d. ¿Qué muestra tiene más familias con ingresos inferiores a $ 200000.
8
La muestra que tiene más familias con ingresos inferiores a $ 200000 es la muestra B e. ¿Cuál es el
porcentaje de familias de la muestra B que tienen ingresos
superiores a $ 380000. El porcentaje de familias de la muestra B que tienen ingresos superiores a $ 380000 es 42%.
XIII. Una de las preguntas de un cuestionario esta diseñada y codificada de la siguiente
forma: 1.______ Propia sin deuda 2.______ Propia hipotecada 3.______ En amortización 4.______ Arrendada 5.______ Prestada
Al revelar los datos se obtiene los siguientes resultados: Construir una distribución de frecuencias para estos datos y responder las siguientes preguntas: xi 1 2 3 4 5
ni 3 6 15 14 2
Ni 3 9 24 38 40
fi 0,075 0,15 0,375 0,35 0,05
Fi 0,075 0,225 0,6 0,95 1
1. ¿Cuántas personas encuestadas tenían vivienda propia? Del total de 40 personas encuestadas, 3 de ellas tienen vivienda propia.
9
2. ¿Qué porcentaje de personas tenían vivienda en amortización? El 37.5 % de las personas encuestadas respondieron que tienen vivienda en amortización. 3. Graficar estos datos mediante un diagrama de barras y un diagrama circular.
Distribución de frecuencia 20 a i c 15 n e u 10 c e 5 r F 0 1
2
3
4
5
Tipo de vivienda
t 10
XXII. Una empresa textil ha mostrado los siguientes incrementos porcentuales en el capital durante los últimos años. 199 2 5%
1993
199
199
1996
10.5%
4 9%
5 6%
7.5%
Calcular el incremento porcentual promedio en el capital durante éste período σ
=
5 (0.05 * 0.105 * 0.09 * 0.06 * 0.075 )
= 0.0733 = 7.33%
El incremento porcentual promedio en estos cinco años es de 7.33%.
XXIII. Un fabricante de tarjetas de circuitos eléctricos ha producido el siguiente número de unidades en los últimos cinco años. 1992 12500
1993 13250
1994 14310
1995 15741
1996 17630
Calcular el incremento porcentual promedio en unidades producidas durante este período y con ese dato estimar la producción en 1999. Primero calculamos el incremento porcentual en la producción de un año con relación al año anterior y luego calculamos la media geométrica de estos
11
porcentajes. Al calcular el incremento porcentual obtenemos año por año obtenemos: 1992 0.06
1993 0.08
1994 0.09
1995 0.11
1996
Estos porcentajes se obtienen de la siguiente manera: primero hallamos la cantidad en que se aumentó la producción en el año siguiente y luego hallamos que porcentaje representa. (13250 - 12500) 13250
(14310 - 13250) 14310
(15741 - 14310) 15741
(17630 - 15741) 17630
= 0.06
= 0.08
= 0.09
= 0.11
Observamos que la producción de 1993 aumentó en un 6% con relación a 1992, la producción de 1994 aumentó un 9% con relación a 1993, la producción de 1995 aumentó en un 11% con relación a 1994. La media geométrica de los porcentajes anteriores está dada por: σ
=
4
( 0.06 * 0.08 * 0.09 * 0.11 )
= 0.083
12
Lo que significa que en el período de 1992 a 1996 en promedio la producción aumento en un 8.3%. Para estimar la producción en 1999 aplicamos la fórmula de valor futuro F= P (1+r) n
F: valor futuro P: valor presente r: razón de crecimiento (%) n: número de períodos F= 17630 (1+0.083)
3
≈
22394 unidades (se ha tomado la producción en 1996
como valor presente), para el año de 1999 se estima una producción de 22394 unidades.
XXXVI. La duración en años de 40 baterías son: Nota: Los datos los organizamos de menor a mayor 1.6, 1.9, 2.2, 2.5, 2.6, 2.6, 2.9, 3.0, 3.0, 3.1, 3.1, 3.1, 3.1, 3.2, 3.2, 3.2, 3.3, 3.3, 3.3, 3.4, 3.4, 3.4, 3.5, 3.5, 3.6, 3.7, 3.7, 3.7, 3.8, 3.8, 3.9, 3.9, 4.1, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7, 4.7.
1. Hallar X, Me, M0, Q
1
,Q
3
para los datos sin agrupar
13
x=
136 .5 40
Me = P
50
= 3.4125 = (0.5 * 40) = 20
La mediana es el dato que ocupa la posición número 20, es decir 3.4.
Mo = 3.1 Q1 = P 25 es el dato que ocupa la posición número (0.25 * 40) = 10 es decir; Q1 = 3.1 Q Q
3
= P 25 es el dato que ocupa la posición número (0.75 * 40) = 30 es decir;
3
= P 25 = 3.8
2. Construir una distribución de frecuencias y calcular X, Me, M 0, Q 1 , Q 3 . Hallar los intervalos Para hallar los intervalos 1) Xmáx = 4.7
Xmín = 1.6
2) R = 4.7 – 1.6 = 3.1 3) K = 1 + 3.3 Log 40 = 6 4) A =
3. 1 6
= 0.6
5) Ra = 0.6 * 6 = 3.6 6) C = 3.6 – 3.1 = 0.5
Intervalos
ni
xi
14
xi*ni
Ni
( 1.4 -2 ] ( 2 - 2.6 ] ( 2.6 - 3.2 ] ( 3.2 - 3.8 ] ( 3.8 - 4.4 ] ( 4.4 - 5 ]
X=
133 .4
50
Q1 = P
1.7 2.8 2.9 3.5 4.1 4.7
3.4 9.2 29 49 28.7 14.1 133.4
2 6 16 30 37 40
= 3.335
40
Me = P
2 4 10 14 7 3 40
=
25
((40
=
Q 3 = P 75 =
×0.5)
- 16)
×0.6
14 ((40
× 0.25)
- 6)
×0.6
10
((40
×0.75)
- 16)
+ 3.2 = 3.37 + 2.6 = 2.84
×0.6
14
+ 3.2 = 3.8
Comparación de las medidas de tendencia central para los datos agrupados y los no agrupados. Medida de
Datos sin agrupar
Datos agrupados
Central X
3.4125
3.335
Me
3.4
3.37
M0
3.1
3.418
3.1
2.84
3.8
3.8
Tendencia
Q1
Q
3
15
XXXIX. La resistencia a la ruptura de dos diferentes marcas de bolsas esta dada por:
Resistencia en Kgs
Marca A
Marca B
25-29.9
7
8
30-34.9
22
16
35-39.9
35
30
40-44.9
12
24
45-49.9
4
2
a. ¿Cuál de las dos marcas tiene mayor resistencia promedio?
MARCA A Xi
ni
Xi*ni
(27.45)
7
192.15
(32.45)
22
713.9
(37.45
35
1310.75 16
X
=
(42.45)
12
509.4
(47.45)
4
189.8
Xi
ni
Xi*ni
27.45
8
219.6
32.45
16
519.2
37.45
30
1123.5
42.45
24
1018.8
47.45
2
94.9
∑ Xini n
=
2916 80
= 36.45
MARCA B
Para un total de 2976 De donde: X
=
∑ Xini n
=
2976 80
= 37.25
Tiene mayor resistencia promedio la marca B b. Hallar CV y DM para cada marca
Para la marca A 17
X
∑ Xini
=
2916
=
n
= 36.45
80
∑ n i X i − µ DM =
n
Aplicando ni *
− µ se obtiene los siguientes resultados:
X i
63.35 + 89.1 + 33.25 + 71.4 + 43.8 = 300.9, entonces DM= 300.9/80 = 3.77
2
σ
=
2
∑ ni ( Xi − µ ) n
Aplicando
( Xi
−
µ )
2 •
, se obtiene los siguientes resultados:
ni
573.3+ 360.88+ 31.5875+ 424.83+ 479.61 = 1870.1825 Por lo tanto:
2 =
σ
1870 .1825 80
=
23.37
σ = 4.83
CV
=
σ
* 100
µ
CV =
4.83 36.5
* 100 = 13.23%
Para la marca B
X
=
∑ Xini n
=
2976 80
= 37.25
18
∑ n i X i − µ DM =
n
Aplicando ni *
− µ se obtiene los siguientes resultados:
X i
78.4+ 76.8+ 6+ 124.8+ 20.4 = 306.4 DM= 306.4/80 = 3.83
2 =
σ
2
∑ ni ( Xi − µ ) n
Aplicando
( Xi
−
µ )
2 •
ni
, se obtiene los siguientes resultados:
769.32+ 368.64+ 1.2+ 648.96+ 208.08 = 1995.2 Por lo tanto: σ
2
σ
=
1995 .2 80
=
24.94
4.99
=
CV
=
σ
* 100
µ
CV =
4.99 37.25
* 100
=
13.39%
c. ¿Cuál de las dos marcas es más homogénea?
Es más homogénea la marca A, porque tiene un coeficiente de variación menor. d. Determinar asimetría y curtosis de cada marca
Asimetría para la marca A
19
Me
cp
=
(80 * 0.50 − 29) * 4.9
P 50
=
3( x
−
=
35
Me )
σ
+
35 = 36.54
= 3 (36.45 – 36.54) /4.83 = -0.05
Lo cual indica asimetría a la izquierda
Q Q 2( P P ) −
K
3
=
90
P 90 =
P
10
Q
3
Q
1
=
=
=
1
−
10
(80(0.90) − 64) 4.9
+ 40 = 43.27
12 (80(0.10) − 7) 4.9
+
22 (80(0.75) − 29) 4.9 35 (80(0.25) − 7) 4.9 22
30 = 30.22
+ 35 = 39.34
+
30 = 32.89
K = 0.247 y como 0.247 <0.26 entonces es platicúrtica
Asimetría para la marca B:
Me
cp
P 50
=
3( x
−
=
=
(80 * 0.50 − 24) * 4.9 30
Me )
σ
+
35 = 37.6
= 3 (37.25– 37.6) /4.99 = -0.21
Lo cual indica asimetría a la izquierda
20
Q Q 2( P P ) −
K
=
3
90
P 90 =
P
10
Q
3
Q
1
=
=
=
1
−
10
(80(0.90) − 54) 4.9
+ 40 = 43.675
24 (80(0.10) − 8) 4.9
+
16 (80(0.75) − 54) 4.9 24 (80(0.25) − 8) 4.9 16
30 = 30
+ 40 = 41.225
+
30 = 33.675
K = 0.276 como 0.276> 0.26 entonces es leptocúrtica.
21
ANÁLISIS COMBINATORIO 8. De cuántas formas pueden colocarse 8 libros en un estante sí. a) Es posible cualquier ordenación Cómo los 8 libros pueden estar en cualquier orden en el estante, se trata de una permutación de n elementos tomados de a n P (n, n) = P (8, 8) = 8! = 40.320 b) 3 libros determinados deben estar juntos Hay 6 formas posibles de que los 6 libros siempre estén juntos. Los tres libros que deben estar juntos pueden estar en cualquier orden por lo tanto se trata de una permutación de 3 elementos tomados de a 3. P (3,3) = 3! = 6 Los otros cinco libros pueden estar en cualquier orden por lo tanto también se trata de una permutación de 5 libros tomados de a 5. P (5, 5) = 5! = 120
22
Luego se aplica el principio de multiplicación pues hay un suceso que puede ocurrir de 6 maneras y para cada una de estás 6 maneras hay 120 maneras, luego para los dos sucesos juntos hay 6*120 = 720 maneras. Como se dijo al principio hay 6 maneras de que ocurran los dos sucesos que ocurren de 720 maneras, luego el total de maneras posibles es 6*720 = 4320. c) 2 libros determinados deben ocupar los extremos Si hay 2 libros en los extremos y pueden estar en cualquier posición es decir en el extremo derecho o en el extremo izquierdo se trata de una permutación de 2 elementos tomados de a 2 P (2, 2) = 2! = 2 Los otros 6 libros pueden estar en cualquier orden, por lo tanto se trata de una permutación de 6 elementos tomados de a 6, luego P (6,6) = 6! = 720. Luego se aplica el principio de multiplicación pues hay un suceso que puede ocurrir de 2 maneras y para cada una de estás 2 maneras hay 720 maneras, luego para los dos sucesos juntos hay 2*720 = 1440 maneras de organizar los libros.
11. En cuantas formas pueden plantarse, a lo largo de la línea divisoria de una propiedad, 3 robles, 4 pinos y 2 eucaliptos, si no se distinguen entre si los árboles de las mismas especie? Cómo no se distinguen entre si los árboles de las mismas especies, aplicamos la
fórmula P (n; n1 , n2 ... nk ) =
n
n1 n2 ... nk ! 23
! donde:
P (9;3,4,2)
=
9 3!*4!*2!
! =1260
Se utiliza ésta formula porque se tienen elementos repetidos: de 9 árboles, 3 son robles, 4 son pinos y 2 son eucaliptos.
14. Cuántos números de tres dígitos diferentes mayores de 330, se pueden formar con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Formar un número de tres cifras equivale a llenar tres espacios, con tres dígitos. En este caso, el primer suceso llenar el último espacio (escoger último dígito), lo podemos hacer de ocho maneras: podemos escoger el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. El segundo suceso, llenar el espacio del medio lo podemos hacer de seis maneras, ya que no podemos volver a utilizar el dígito que se ha utilizado en la última cifra, porque nos piden números de dígitos diferentes mayores de 330, lo cuál descarta dos dígitos. El tercer suceso, llenar el primer espacio lo podemos hacer de cuatro maneras, ya que no podemos volver a utilizar el dígito que se ha utilizado en la última cifra, ni el utilizado en la cifra del medio, porque nos piden números de dígitos diferentes mayores de 330, lo cuál descarta cuatro dígitos. Nº de posibilidades 4 * 6 * 8 = 192 posibilidades para los dos sucesos. Por el principio multiplicativo. Los tres sucesos juntos (escoger el primero, el segundo y el tercer dígito) lo podemos realizar de 4 * 6 * 8 = 192 maneras. Lo que significa que podemos formar 192 números de tres cifras diferentes mayores de 330, con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
24
21. La cerradura de una caja de caudales esta compuesta de 3 anillos marcados cada uno con 15 letras diferentes. De cuántas maneras es posible hacer un intento infructuoso para abrir la caja. Tenemos tres anillos para abrir, el primer anillo puede hacerse un intento de 15 maneras diferentes, el segundo anillo puede hacerse un intento de 14 maneras diferentes y para el tercer anillo puede hacerse un intento de 13 maneras diferentes, los intentos para los tres anillos puede realizarse de 15 * 14 * 13= 2730 maneras. Nº de posibilidades: 15 * 14 * 13= 2730 posibilidades. Por principio multiplicativo.
23. Para ganar el lotín hay que acertar 6 números de 40 números en cualquier orden. ¿Cuántas posibilidades resultan en este juego? Se trata de una combinación de 40 números tomados de a 6
C=
40 ! 6!( 40
6)!
−
=
40 ! 6!(34 )!
= 3.838.380
24. Suponiendo que se venden todos los lotines, ¿Cuántos de estos lotines aciertan los 6 números?, ¿cuántos 5 números, ¿cuántos 4 números y ¿cuántos 3 números? Suponiendo que se vende todos los lotines. a. ¿Cuántos de estos lotines aciertan los 6 números?
6! 34 ! 6 * 34 = * 6 0 6!*( 6 − 6)! 0!*( 34 − 0)! =1*1
25
b. ¿Cuántos 5 números?
34 ! 6! 6 * 34 = * 5 1 5!*( 6 − 5)! 1!*( 34 −1)! =6 * 34 =204
c. ¿Cuantos 4 números?
6! 34 ! 6 * 34 = * 4 2 4!*( 6 − 4)! 2!*( 34 − 2)! = 15 * 561 =8415 d. ¿Cuántos 3 números?
34! 6 34 6! * * = 3 3 3!*( 6 − 3)! 3!*( 34 − 3)! = 20 * 5984 =119680
29. de un total de 8 matemáticos y 6 físicos se va a formar un comité de 3 matemáticos y 2 físicos, de cuantas maneras pueden formarse si: a. puede pertenecer cualquier matemático y cualquier físico a. como no se tiene en cuenta el orden en que se van a escoger los matemáticos y los físicos, entonces se trabaja con la formula de combinaciones, entonces: 8 3
6 2
26
8 3
6 2
=(
8 3
6 2
= 56* 15
8 3
6 2
= 840
8! ) * ( 6! ) 3!* 5! 4!* 2!
b. Un matemático determinado debe estar en el comité Cómo ya hay una condición que es que un matemático determinado debe de hacer parte del comité, entonces ya no se tiene en cuenta los 8 matemáticos, sino solo 7 para realizar todas las combinaciones posibles. 7 2
6 2
= 21 * 15 = 315 c. Dos físicos determinados no pueden estar en el comité Cómo ya hay una condición que es que dos físicos determinados no pueden estar en el comité, inmediatamente se deben de excluir dos físicos, entonces quedamos solo con 4 físicos para realizar las respectivas combinaciones. 8 3
4 2
8 3
6 2
= 56 * 6
= 336
27
PROBABILIDAD 8. Según el DANE el porcentaje de desempleados es el 12%, si se eligen al azar 5 personas, hallar la probabilidad a) Al menos una tenga empleo A = El evento de estar desempleados Ā = El evento de Estar empleado P (Ā) = 0.12 P (Ā) = 1 - P(A) = 1- 0.12 = 0.88 P (1 e) = P (1 e y 4 d) = P (1 e y 2, 3, 4, 5 d) = 0.88 * 0.12 * 0.12 * 0.12 * 0.12 = 0.0001824768 Para hallar el número de veces que K repite esta probabilidad n= 5
n1 = 1 (e)
n2 = 4 (d) P(5, 1, 4)
=
5! 1!*4!
=
5
P (2 e y 3 d)= P (1, 2 e y 3, 4, 5 d) = 0.88 * 0.88 * 0.12 * 0.12 * 0.12 = 0.001338
28
Para hallar el número de veces que K repite esta probabilidad n= 5
n1 = 2 (e)
n2 = 3 (d)
P(5, 2, 3)
=
5! 2!*3!
=
10
P (3 e y 2 d)= P (1, 2, 3 e y 4, 5 d) = 0.88 * 0.88 * 0.88 * 0.12 * 0.12 = 0.0009813 Para hallar el número de veces que K repite esta probabilidad n= 5
n1 = 3 (e)
n2 = 2 (d) P(5, 3, 2)
=
5! 3!*2!
=
10
P (4 e y 1 d) = P (1, 2, 3, 4 e y 5 d) = 0.88 * 0.88 * 0.88 * 0.88 * 0.12 = 0.07196 Para hallar el número de veces que K repite esta probabilidad n= 5
n1 = 4 (e)
n2 = 1 (d) P(5, 4, 1)
=
5! 4!*1!
=
P (5 e y 0 d)= P (1, 2, 3, 4, 5 e y 0 d) = 0.88 * 0.88 * 0.88 * 0.88 * 0.12 29
5
= 0.07196 Para hallar el número de veces que K repite esta probabilidad n= 5
n1 = 5 (e)
n2 = 0 (d) P(5, 5, 0)
=
5! 5!*0!
=
1
P (al menos uno tenga empleado) = 5*(0.0001824)+10*(0.001338)+10*(0.009813)+5*(0.07196)+1*(0.527713) = 0.999935 b) Dos personas estén desempleadas. P (3 e y 2 d) = 0.009813 * 10 = 0.09813
10. En una ciudad hay dos carros de bomberos
operando en forma
independiente, cada carro esta disponible un 90% de las veces. Si ocurre un incendio, cual es la probabilidad de que: a. al menos 1 esté disponible. I1, I2 son eventos independientes i=1, 2 P (Ii) = 0.90 a. P( I1 u I2) = P(I1) + P(I2) – P(I1
∩
I2)
= 0.9 + 0.9 -0.81 = 0.99 b. ninguno esté disponible P (I1
∩
I’2 ) = P (I1) * P (I’2) = 0.90*0.1 = 0.09
P (I’1
∩
I2) = P (I’1)* P (I2) = 0. 1*0.90= 0.09
P (I’1
∩
I’2) = P (I’1)* P (I’2) = 0.1* 0.1 = 0.01
30
19. En cierto juego de dados el participante lanza 2 dados y gana si obtiene más de cuatro puntos, si falla la primera vez tiene una segunda oportunidad. Cual es la probabilidad de ganar el juego. A: La suma de los puntos al lanzar los dados sea menor o igual a 4 A: La suma de los puntos sea mayor que 4 P(A) =6/36
≈
0.1666
P ( A ) = 1 – P(A) P( A )= 1 – 0.166
≈
0.833
Para poder lanzar la segunda vez, debe ocurrir que la primera vez falle, luego el segundo lanzamiento depende de que en el primer lanzamiento falle. B: La suma de los puntos al lanzar los dados la segunda vez sea menor que A. P (B) = 6/36
≈
0.1666
P (A
∧
B) = P (A) * P (B)
P (A
∧
B) = 0.166 * 0.166
≈
0.0278
B: La suma de los puntos al lanzar los dados la segunda vez sea mayor que 4 P ( B )= 1- P (B) P ( B )= 1- 0.0278
≈
0.9722
La probabilidad de ganar el juego es de 97.22 %.
29. De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica, el 40% proviene de línea I y el 60% de la línea II. El porcentaje de defectuosos de la línea I es 8%, mientras que el porcentaje de defectuosos en la línea II es 10%. Se escoge un artículo al azar de la producción diaria, calcular la probabilidad de que no sea defectuoso. Sea X: el evento de sacar un artículo defectuoso A: Producción proveniente de la línea 1 B: Producción proveniente de la línea 2 31
P(X) = P (A) P (A/X) + P (B) P (B/X) Por el teorema de probabilidad total. P (X) = (0.4)*(0.08) + (0.6) * (0.1) P (X) = 0.092 Luego la probabilidad de sacar un artículo defectuoso es de 0.092 X: el evento de sacar un artículo no defectuoso P ( X ) = 1- P( X) P ( X ) = 1- 0.092 = 0.908 = 90.8% Se utiliza el teorema de probabilidad total porque los eventos A y B son mutuamente independientes puesto que la producción de una línea no depende de la producción de la otra, son complementarios pues la producción de ambas es la producción total de la fábrica.
31. La victima de un accidente morirá a menos de que reciba en los próximos 10 minutos una cantidad de sangre tipo A, Rh positivo, que sea suministrada por un solo donante. Se tarda dos minutos en definir el tipo de sangre de un posible donante y dos minutos en realizar la transfusión. Hay una gran cantidad de donantes diferentes cuyo tipo de sangre se desconoce y 40% de ellos tienen el tipo de sangre A, Rh positivo. ¿ cual es la probabilidad de que sobreviva la victima si solamente se dispone de un equipo para determinar el tipo de sangre? P (tiene tipo de sangre A Rh positivo) = 0.4 P (no tiene tipo de sangre A Rh positivo) = 0.6 P (f, f, f, E) = 0.6 * 0.6 * 0.6 * 0.4 = 0.0864
32
Nn= 4
n1 = 1
n2 = 3
P(4, 1, 3)
=
4! 1!* 3
=4
P (f, f, E, E) = 0.0576
Nº 6
P (f, E, E, E) = 0.0384
Nº 4
P (f, f, E, E) = 0.0256
Nº 1
P (de que sobreviva la victima)= 4*(0.0864)+6*(0.0576)+4*(0.084)+1* (0.0256) = 0.8704
36. Suponga que el 2% de los rollos de la tela de algodón son defectuosos, al igual que el 3% de los rollos de tela de nylon. De los rollos utilizados por un fabricante el 70% son de algodón y el 30% son de nylon. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los rollos este sea defectuoso? A: rollo de tela de algodón B: rollo de tela de nylon D: rollo de tela defectuoso P (A) = 0.7 P ( B) = 0.3 P ( D/A) = 0.02 P ( D/B) = 0.03 P (D) =? P (D) = P(A) * P ( D/A) + P(B) * P (B/D)
Por el teorema de probabilidad total.
= 0.7 * 0.02 + 0.3 * 0.03 =0.023
33
43. Los clientes
se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios
productos G: producto con mucho éxito M: producto con éxito moderado E: producto con éxito escaso B: tener una buena evaluación del producto P (G) = 0.4 P (M) = 0.35 P (E) = 0.25 P (B/G) = 0.95 P (B/M) = 0.6 P (B/E)= 0.1 Para responder la pregunta a) primero hay que averiguar P (B). P (B) = P (B/G)* P(G) + P(B/M) * P(M) + P(B/E)* P(E) = (0.95)* (0.4) + (0.6)* (0.35) + (0.1)*(0.25) = 0.61 Ahora para responder la pregunta a) P (G/B) = P (B/G) * P (G) / P (B) = (0.95) (0.4) / 0.61 = 0.617 Para responder a la pregunta b) P (G/B’) = P (B’/G)/ P(B’) = (1- P (B/G) P (G) )/1-P (B) = (1- 0.95)* (0.4)/ 1-0.61 = 0.052
34
44. A continuación se presenta un resumen de la información obtenida de una muestra de 200 partes maquinadas Profundidad de barrenado MAYOR CONDICION
DE
DE
LA MENOR
NECESARIA
NECESARIA
15 25 60
10 20 70
DE
LA
LA
ARISTA BURDA MODERADA SUAVE
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la parte seleccionada tenga una condición
moderada en la arista y una profundidad de barrenado menor que la requerida? P(a ∩ B) = P (A)* P (B) =
45 200
*
20 45
=
900 9000
= 0.1
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la parte seleccionada tenga una condición
moderada en la arista o una profundidad de barrenado menor que la requerida? P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) = =
45 200 125 200
+
100 200
–
20 200
= 0.625
35
