246
PARTE PAR TE DOS
Prevención de fallas 1
1
R2
R2
1
R1
1
R1
a)
b)
Figura 5-33 Formas de las curvas de la gráfica R 1 versus R 2. En cada caso, el área sombreada es igual a 1 − R y y se obtiene por integración numérica. a) Curva típica de distribuciones asintóticas; b ) forma de la curva que se obtiene a partir de distribuciones inferiores truncadas como la Weibull. Para las distribuciones usuales que se encontraron, las gráficas de R1 versus R2 aparecen como se muestra en la figura 5-33. Ambos casos se pueden someter a la integració integración n numérica y a la solución por computadora. Cuando la confiabilidad es alta, la mayor parte del área de integración está bajo el pico de la derecha de la figura 5-33 a.
5-14
Ecuaciones de diseño importantes Las ecuaciones siguientes y sus ubicaciones se dan en forma de resumen.
Teoría Teo ría del cortante cor tante máximo p. 212
τ máx máx =
σ 1 − σ 3
2
=
S y
(5-3)
2n
Teoría de la energía de distorsión Esfuerzo de von Mises, p. 214 σ =
p. 215
σ =
√12
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2
1/2
(5-12)
2
2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx )
1/2
(5-14)
Esfuerzo plano, p. 214
p. 215
2 1/2 σ = ( σ A2 − σ A A σ B + σ B )
(5-13)
2 1/2 σ = ( σ x 2 − σ x σ y + σ y2 + 3τ xy )
(5-15)
Ecuación de diseño de la fluencia, p. 216 σ =
S y n
(5-19)
Resistencia a la fluencia cortante, p. 217 S sy = 0.577 S y
(5-21)
CAPÍTULO 5
Fallas resultantes de carga estática
247
Teoría de Mohr-Coulomb σ 1
p. 221
S t
−
σ 3
=
S c
1
(5-26)
n
donde S t es la resistencia a la fluencia por tensión (dúctil) o la resistencia última en tensión (frágil), y S t es la resistencia a la fluencia por compresión (dúctil) o la resistencia última en compresión (frágil).
Teoría del esfuerzo normal máximo p. 227
σ 1 =
S ut
σ 3 = −
o
n
S uc
(5-30)
n
Mohr modificado (esfuerzo plano) Use las ecuaciones del esfuerzo normal máximo, o
(S uc − S ut )σ A
p. 227
S uc S ut
−
σ B
=
S uc
1 n
σ A ≥ 0 ≥ σ B
y
σ B σ A
>1
(5-32b )
Diagrama de flujo de las teorías de falla Fig. 5-21, p. 230
Comportamiento frágil
Comportamiento dúctil
< 0.05
ε
≥ 0.05
f
No
¿Conservador?
Mohr modi�cado (MM) Ec. (5-32)
Sí
Mohr-Coulomb frágil (CMF) Ec. (5-31)
No
Sí
¿S yt =· S yc?
Mohr-Coulomb dúctil (CMD) Ec. (5-26)
No
¿Conservador?
Energía de distorsión (ED) Ecs. (5-15) y (5-19)
Sí
Esfuerzo cortante máximo (ECM) Ec. (5-3)
Mecánica de la fractura p. 234
K I = βσ
√ π a
donde β se encuentra en las figuras 5-25 a 5-30 (pp. 235 a 237)
(5-37)
248
PARTE DOS
Prevención de fallas p. 238
K I c
n =
(5-38)
K I
donde K lc se encuentra en la tabla 5-1 (p. 238)
Análisis estocástico El factor de seguridad medio se define como n = µS /µσ (µS y µσ son la resistencia media y el esfuerzo medio, respectivamente)
¯
Caso normal-normal n =
p. 241
1 ±
1 − (1 − z 2 C s2 )(1 − z 2 C σ 2 )
(5-42)
1 − z 2 C s2
donde z puede encontrarse en la tabla A-10, C S = σ S /µS y C σ = σ σ /µσ .
ˆ
ˆ
Caso lognormal-lognormal p. 242
n = exp − z ln(1 + C n2 ) + ln
.
1 + C n2 = exp C n
− z +
C n
2
(5-45)
donde C n =
2 C S + C σ 2
1 + C σ 2
(Vea otras definiciones en el caso normal-normal.)
PROBLEMAS
5-1
Una barra de acero laminado en caliente tiene una re sistencia a la fluencia mínima en tensión y compresión de 50 kpsi. Usando las teorías de la e nergía de distorsión y del esfuerzo cortante máxi mo, determine los factores de seguridad de los siguientes estados de esfuerzo plano: a) σ x = 12 kpsi, σ y = 6 kpsi b) σ x = 12 kpsi, τ x y = − 8 kpsi c) σ x = − 6 kpsi, σ y = − 10 kpsi, τ x y = − 5 kpsi d ) σ x = 12 kpsi, σ y = 4 kpsi, τ x y = 1 kpsi
5-2
Repita el problema 5-1 para a) σ A = 12 kpsi, σ B = 12 kpsi b) σ A = 12 kpsi, σ B = 6 kpsi c) σ A = 12 kpsi, σ B = − 12 kpsi d ) σ A = − 6 kpsi, σ B = − 12 kpsi
5-3
Repita el problema 5-1 para una barra de acero AISI 1020 estirado en frío y: a) σ x = 180 MPa, σ y = 100 MPa b) σ x = 180 MPa, τ x y = 100 MPa c) σ x = − 160 MPa, τ x y = 100 MPa d ) τ x y = 150 MPa
5-4
Repita el problema 5-1 para una barra de acero AISI 1018 laminado en caliente y: a) σ A = 100 MPa, σ B = 80 MPa b) σ A = 100 MPa, σ B = 10 MPa c) σ A = 100 MPa, σ B = − 80 MPa d ) σ A = − 80 MPa, σ B = − 100 MPa
CAPÍTULO 5
Fallas resultantes de carga estática
249
5-5
Repita el problema 5-3, graficando primero los lugares geométricos de falla en los planos σ A, σ B a escala; después, para cada estado de esfuerzo, grafique la línea de carga y mediante la medición gráfica estime los factores de seguridad.
5-6
Repita el problema 5-4, graficando primero los lugares geométricos de falla en los planos σ A, σ B a escala; después, para cada estado de esfuerzo, grafique la línea de carga y mediante la medición gráfica estime los factores de seguridad.
5-7
Una fundición de hierro ASTM tiene resistencias últimas mínimas de 30 kpsi a tensión y 100 kpsi a compresión. Encuentre los factores de seguridad usando las teorías ENM, CMF y MM para c ada uno de los siguientes estados de esfuerzo. Grafique los diagramas de falla en el plano σ A, σ B a escala y localice las coordenadas de cada estado de esfuerzo. a) σ x = 20 kpsi, σ y = 6 kpsi b) σ x = 12 kpsi, τ x y = − 8 kpsi c) σ x = − 6 kpsi, σ y = − 10 kpsi, τ x y = − 5 kpsi d ) σ x = − 12 kpsi, τ x y = 8 kpsi
5-8
Para el problema 5-7, caso d ), estime los factores de seguridad a partir de las tres teorías, mediante mediciones gráficas de la línea de carga.
5-9
Entre las decisiones que un diseñador debe tomar está la de seleccionar el criterio de falla válido para el material y para su carga estática. Un acero 1020 laminado en caliente tiene las siguientes propiedades: S y = 42 kpsi, S ut = 66.2 kpsi y una deformación real a la fractura ε f = 0.90. Grafique el lugar geométrico de falla y, para los estados de esfuerzos estáticos en los puntos críticos que se presentan a continuación, grafique la línea de carga y calcule el factor de seguridad en forma analítica y gráfica. a) σ x = 9 kpsi, σ y = − 5 kpsi. b) σ x = 12 kpsi, τ x y = 3 kpsi s.c.r. c) σ x = − 4 kpsi, σ y = − 9 kpsi, τ x y = 5 kpsi s.r. d ) σ x = 11 kpsi, σ y = 4 kpsi, τ x y = 1 kpsi s.r.
5-10
Un acero 4142 templado y revenido a 80 °F presenta S yt = 235 kpsi, S yc = 275 kpsi y ε f = 0.06. Elija y grafique el lugar geométrico de falla y, para los esfuerzos estáticos en los puntos críticos, que son 10 veces los del problema 5-9, grafique las líneas de carga y estime los factores de seguridad en forma analítica y gráfica.
5-11
Para una fundición de hierro grado 20, la tabla A-24 proporciona S ut = 22 kpsi, S uc = 83 kpsi. Elija y grafique el lugar geométrico de falla y, para las cargas estáticas que inducen los esfuerzos en los puntos críticos del problema 5-9, grafique las líneas de carga y estime los factores de seguridad en forma analítica y gráfica.
5-12
Un aluminio fundido 195-T6 tiene una resistencia última en tensión de S ut = 36 kpsi, una resistencia última en compresión de S uc = 35 kpsi y presenta una deformación real a la fractura ε f = 0.045. Elija y grafique el lugar geométrico de falla y, para las cargas estáticas que inducen los esfuerzos en los puntos críticos del problema 5-9, grafique las líneas de carga y estime los factores de seguridad en forma analítica y gráfica.
5-13
Una fundición de hierro ASTM, grado 30 (vea la tabla A-24), soporta una carga estática que provoca el estado de esfuerzos que se presenta a continuación en los puntos críticos. Elija y grafique el lugar geométrico de falla, también grafique las líneas de carga y estime los factores de seguridad en forma analítica y gráfica. a) σ A = 20 kpsi, σ B = 20 kpsi. b) τ x y = 15 kpsi. c) σ A = σ B = − 80 kpsi. d ) σ A = 15 kpsi, σ B = − 25 kpsi.
5-14
En este problema se ilustra que el factor de seguridad de un elemento de máquina depende del punto particular seleccionado para el análisis. Aquí se deben calcular los factores de seguridad, con base en la teoría de la energía de distorsión, para los elementos de esfuerzo A y B del elemento que se muestra en la figura. Esta barra está hecha de acero AISI 1006 estirado en frío y está sometida a las fuerzas F = 0.55 kN, P = 8.0 kN y T = 30 N ⋅ m.
250
PARTE DOS
Prevención de fallas y
1 0 0 m m
A B
Problema 5-14
F z
20 mm D.
P
T
x
5-15
En la figura se muestra una manivela sometida a una fuerza F = 190 lbf la cual causa torsión y flexión 3 del eje de 4 pulg de diámetro fijado a un soporte en el origen del sistema de referencia. En realidad, el soporte puede estar en una situación de inercia que se desea hacer girar, pero para los propósitos de un análisis de la resistencia se puede considerar que se trata de un problema de estática. El material del eje AB es acero AISI 1018 laminado en caliente (tabla A-20). Mediante el empleo de la teoría del esfuerzo cortante máximo, encuentre el factor de seguridad con base en el esfuerzo en el punto A.
y
1 pulg F C
A
3 4
Problema 5-15
1 2
pulg diám. 1 4
B
pulg
pulg diám.
1
1 4 pulg
z
4 pulg 5 pulg x
5-16
5-17*
5-18
Resuelva el problema 5-15 usando la teoría de la energía de distorsión. Si ya lo resolvió, compare los resultados y analice la diferencia. Diseñe el brazo de palanca CD de la figura 5-16 especificando tamaño y material adecuado. Un recipiente esférico a presión está formado con placa de acero AISI 1018 estirado en frío con un calibre 18 (0.05 pulg). Si el recipiente tiene un diámetro de 8 pulg, estime la presión necesaria para iniciar la fluencia. ¿Cuál es la presión de estallido estimada?
*El asterisco indica un problema que quizá no tenga un solo resultado, o un problema particularmente difícil.
