UNIVERSIDAD DE LA SERENA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LA SERENA-CHILE
EJERCICIOS ANALISIS NUMERICO PARA INGENIERIA
H´ ecto ec torr Andr´ An dr´ es es Torres or res Apab Ap ablaz laza a
Versi´ on on 2016, Semestre I
ii
ii
Contents 1 INTERPOLACION E INTEGRACION NUMERICA 1.1 EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3
1.2 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
2
Chapter 1 INTERPOLACION E INTEGRACION NUMERICA 1.1
EJERCICIOS RESUELTOS
on: EJEMPLO 1.1.1. Considerar la siguiente funci´ 2
f (x) = e −2x a-) Usando los puntos de interpolaci´on x0 =
−1, x
1
= 0, x2 = 1 x3 = 2 y usando la
f´ormula de Newton, determinar el valor aproximado de f (1.5). Soluci´ on: Primero determinamos la tabla para obtener las diferencia divididas, es decir, f [xi ] f [xi , xi+1 ] f [xi , xi+1 , xi+2 ] f [xi , xi+1 , xi+2 , xi+3 ] 2e−2 −2 e−8 −4e−2 +3 -1 e−2 1-e−2 2 6 e−8 −2e−2 +1 2 − 0 1 e -1
xi
2
1
e−2
2
e−8
e−8 -e−2
Entonces, N (x) = e −2 + (1
−
e−2 )(x + 1)
− (1 −
e e−2 )(x + 1)x + 3
−8
− 4e− 6
2
+3
(x + 1)x(x
− 1)
4 es decir, f (1.5)
≈
N (1.5) = e −2 + (1
−
e−2 )(2.5) =
− (1 − 2
−0.3125 + e−
e e−2 )(2.5)1.5 +
−8
− 4e−
2
+3
6
(2.5)1.5(0.5)
+ 0.3125e−8
b-) Si agregamos el punto de interpolaci´on x 4 = 0.5 con , determinar el error cometido al aproximar f (1.5).s Soluci´ on: xi
f [xi ]
f [xi , xi+1 ]
-1
e−2
1-e−2
0
1
−2
1
e−2
e−8 -e−2
2
e−8
0.5
e−0.5
− 23 e−0 5 + 32 e−8
e
-1
.
f [xi , xi+1 , xi+2 ]
f [xi , xi+1 , xi+2 , xi+3 ]
2e−2 −2 2 8 − −2e−2 +1 e 2 4 −0.5 2 −8 e + 3 e 2e−2 3
e
1 −8 e 3
−8 −4e−2 +3 6 −2
− 2e
+
1 −8 e 9
8 −0.5 e 3
−
8 −2 e 9
+
16 −0.5 e 9
−1
−1
−
Entonces, N (x) = e −2 + (1
e−8
2
− 4e− 6
2
2
− e− )(x + 1) − (1 − e− )(x + 1)x+ +3 1 8 16 (x + 1)x(x − 1) + [ e− − e− + e− − 1](x + 1)(x)(x − 1)(x − 2) 9 9 9 8
2
0.5
es decir, f (1.5) N (1.5) = e −2 + (1 e−2 )(2.5) (1 e−2 )(2.5)1.5+ 1 8 −2 16 −0.5 e−8 4e−2 + 3 (2.5)1.5(0.5) + [ e−8 1](2.5)(1.5)(0.5)( 0.5) e + e 6 9 9 9 5 5 −8 5 −0.5 = 0.3125 + 0.9375 + (1 + )e−2 + (0.3125 )e e 6 48 3 c-) Si se interpola con x0 = 0, x1 = 1 x2 = 2, determinar el error m´aximo que se puede
≈
− −
−
− − −
−
−
−
−
cometer en todo el intervalo [x0 , x2 ]. Soluci´ on: Sabemos que la cota para el error de interpolaci´on es (3)
|f (x) − N (x)| ≤
sup ξ ∈[0,2]
|f
(ξ ) x x 3!
| | || − 1||x − 2|
entonces el m´aximo error en el intervalo [0, 2] es (3)
max f (x) x∈[0,2]
|
− N (x)| ≤
sup ξ∈[0,2]
|f
(ξ ) max x x x∈[0,2] 3!
|
| || − 1||x − 2|.
5
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS
Determinamos primero el valor de (3)
(ξ ) , 3!
|f
sup ξ ∈[0,2]
|
es decir, determinaremos el valor m´aximo de la funci´on f 3 (x) dentro del intervalo cerrado 2 alculo I). Como f (3) = e −2x 48x 64x3 , calculamos los puntos cr´ıticos [0, 2] (materia de c´
con , los cuales son x =
−
2 f (4) (x) = 16e−2x (16x4 24x2 + 3) = 0 √ √ 3+ 6 3− 6 yx= , donde solo x∗ = 4 4
±
−
±
estan dentro del intervalo [0, 2]. Ahora, (3)
f
√ (x∗ ) = −8 18 + 6 6e √ ∗∗
(3)
f (x ) = 8 18
−6
6e
−3−
√
6
2
√ −3+ 6 2
=
√
3+ 6 4
y x∗∗ =
−√ 3
6
4
,
−2.9991754307143128,
= 11.0409523692859926
, f (4) (2) =
−
f (3) (0) = 0 416e−8 = 0.1395524532074449
−
Entonces (3)
|f
sup ξ∈[0,2]
Adem´as,
(ξ ) = 3!
|
max x x
√ 8 18 − 6 6e
√ −3+ 6 2
,
6
| || − 1||x − 2| = max |x(x − 1)(x − 2)| ∈ considerando g(x) = x(x − 1)(x − 2), se tiene que g (x) = 3x − 6x + 2, la cual se anula √ √ x∈[0,2]
x [0,2]
2
en x∗ = 3−3 3 y x∗∗ = 3+3 3 . Entonces, se tiene que g tiene valores extremos dados por √ √ 2 3 − 2 3 ∗ ∗∗ g(x ) = 3 y g(x ) = 3 (notar obviamente que evaluando los extremos g(0) = 0, g(2) = 0). Es decir, max x x
x∈[0,2]
√
2 3 2) = . 3
| || − 1||x − 2| = max |x(x − 1)(x − | ∈ x [0,2]
Finalmente, (3)
max f (x)
x∈[0,2]
|
− N (x)| ≤
sup ξ ∈[0,2]
|f
(ξ ) max x x x∈[0,2] 3!
|
| || − 1||x − 2| ≤
8 6
18
√
−6
6e
√
6−3 2
√
2 3 3
6 EJEMPLO 1.1.2. Considerar los siguientes valores en la tabla: -2
xi
0
1
3
f (xi ) 0.5 1.5 3 0.5 a-) Usando la f´ ormula de Newton, determinar el valor aproximado de f (2.5). Soluci´ on: Primero, debemos determinar la tabla para las diferencias divididas, es decir,
entonces
xi
f (xi )
0
1
-2
0.5
0.5
0
1.5
1.5
1
3
-1.25
3
0.5
3
1 3 11 12
−
−
1 4
1 1 (x + 2)x(x N (x) = 0.5 + 0.5(x + 2) + (x + 2)x 3 4 f (2.5) N (2.5) = 2.28125
−
− 1)
≈
as de interpolaci´ on x4 = 4 con f (x4 ) = 0.5 , entonces b-) Si agregamos un punto m´ determinar el valor aproximado de f (2.5). Soluci´ on: Agregando este punto de interpolaci´ on , se tiene que xi
f (xi )
0
-2
0.5
0.5
0
1.5
1.5
1
3
-1.25
3
0.5
0
4
0.5
1 1 3 11 12 5 12
−
3
−
1 4
7 72
1 3
entonces 1 N (x) = 0.5 + 0.5(x + 2) + (x + 2)x 3 f (2.5)
− 14 (x + 2)x(x − 1) + 727 (x + 2)x(x − 1)(x − 3)
≈ N (2.5) = 1.4609375
c-) Si se interpola por medio de un spline lineal (aunque los nodos no son equiespaciados), determinar el valor de f (2.5).
7
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS
Soluci´ on: El interpolante spline lineal en el intervalo [1, 3] es (determinando la ecuaci´ on de la recta que pasa por (x2 , f (x2 )) y (x3 , f (x3 )) ) S (x) = 3
− 1.25(x − 1)
entonces f (2.5)
≈ S (2.5) = 3 − 1.25(1.5) = 1.25
EJEMPLO 1.1.3. Considerar los siguientes valores en la tabla: xi
-1 0 1 2 3
f (xi ) 1
0
1 4
9
a-) Usando la f´ ormula de Lagrange (o Newton), determinar el grado del polinomio de interpolaci´ on. Soluci´ on: Independiente de la f´ ormula de aproximaci´ on que usemos el polinomio de interpolaci´ on es P (x) = x 2 lo cual se puede ver por el comportamiento de los datos dados. Recordemos que si aproximamos un polinomio el resultado ser´ a el mismo polinomio. b-) Si agregamos un punto m´ as de interpolaci´ on x5 = 4 con f (x4 ) = 16 , determinar el grado del nuevo polinomio de interpolaci´ on. Soluci´ on: Obviamente, si consideramos mas puntos de interpolaci´ on, el polinomio ser´ a el mismo. P (x) = x 2 on originales y se interpola por medio de c-) Si consideramos los 5 puntos de interpolaci´ un spline cuadr´ atico, entonces determinar el valor de f (0.5). Soluci´ on: Si estamos interpolando por un interpolante cuadr´ atico una funci´ on que ya es cuadr´ atica, entonces este interpolante, tambien ser´ a la misma funci´ on, entonces f (0.5) = P (0.5) = (0.5)2 = 0.25 EJEMPLO 1.1.4. Dada la siguiente tabla
8 xi
-2 -1 0
f (xi ) -6
0
3
6
7
2 -16 -70 -96
a-) Usando la f´ ormula de Newton determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´ on. SOLUCION: Para determinar el polinomio de Newton , debemos usar la siguiente tabla xi f (xi ) -2
-6
6
-2 0 0 0
-1
0
2
-2 0 0
0
2
-6
-2 0
3
-16
-18 -2
6
-70
-26
7 -96 Entonces el polinomio de Newton esta dado por N (x) =
−6 + 6 (x + 2) − 2(x +2)(x + 1 ) + 0 (x +2)(x +1)(x) + 0 (x +2)(x +1)(x)(x − 3)+ 0(x + 2)(x + 1)(x)(x − 3)(x − 6) = −6 + 6(x + 2) − 2(x + 2)(x + 1)
, es decir, N (x) =
2
−6 + 6(x + 2) − 2(x + 2)(x + 1) = −2x
+2
b-) Usando la f´ ormula de Lagrange determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´ on. SOLUCION: Se sabe de la te´ oria de interpolaci´ on, que el polinomio de Newton es el de Lagrange escrito en forma conveniente, es decir, no necesitamos hacer ningun c´ alculo y se concluye que L(x) =
2
−2x
+2
on x3 y x5 en la tabla, ahora usando la f´ ormula c-) Si quitamos los puntos de interpolaci´ de Lagrange determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´ on. SOLUCION: Como el resultado anterior es un polinomio de grado dos, se sabe de teor´ıa que al usar tres o mas puntos de interpolaci´ on el resultado sera el mismo polinomio,
9
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS
entonces al quitar dos puntos, tendremos 4 puntos de interpolaci´ on, por lo tanto sin hacer ning´ un c´ alculo, se sabe que L(x) =
2
−2x
+2
EJEMPLO 1.1.5. Considerar la siguiente funci´ on f (x) = xe−x Considerar los puntos de interpolaci´ on x0 =
−2, x = −1, x = 1 y x = 2. 1
2
3
ormula de Newton, determinar el valor aproximado de f (1.5). Determinar a-) Usando la f´ el error m´ aximo cometido al aproximar f (1.5). SOLUCION: Para determinar la f´ ormula de Newton, consideremos la siguiente tabla xi f i -2 2e2 (e−1 + 3e 4e2 )/6 (e−2 + e2 e−1 e)/6 e + 2e2
− −e
-1
−
(e−1 + e)/2 (4e−2 2e−2 e−1
e− 1 2e−2
1
−
−
1
− 3e− − e)/6
−
−
2 , entonces el polinomio de Newton esta dado por N (x) = 2
2
−2e +(2e −
(e−1 + 3e e)(x+2)+ 6
2
2
− 4e ) (x+2)(x+1)+ (e−
+ e
1
− e− − e) (x+2)(x+1)(x−1) 6
entonces f (1.5)
2
2
≈ N (1.5) = −2e +(2e −
(e−1 + 3e e)(3.5)+ 6
2
2
− 4e ) (8.75)+ (e−
+ e2
1
− e− − e) (4.375)
6
Por otro lado, para determinar el m´ aximo error cometido debemos usar la cota del error (4)
|e(x)| = |f (x) − N (x)| ≤ sup ∈ −
ξ [ 2,2]
|f
(ξ ) x + 2 x + 1 x 4!
||
||
|| − 1||x − 2|
entonces (4)
|e(1.5)| = |f (1.5) − N (1.5)| ≤ sup ∈ −
ξ [ 2,2]
|f
(ξ ) 3.5 2.5 0.5 0.5 4!
| | || || || |
10 (4)
|e(1.5)| = |f (1.5) − N (1.5)| ≤ sup ∈ −
ξ [ 2,2]
|f
(ξ ) 2.1875 4!
|
, donde queda calcular el supremo. Como f (4) = ( 4 + x)e−x
−
entonces f (5) = (5
− x)e−
x
=0
5 = x
⇐⇒
Ahora f (4) ( 2) = ( 4
2
f (4)
2
− − 2)e (2) = (−4 + 2)e− −
y f (4) (5) = ( 4 + 5)e−5 = e −5
−
Pero el punto cr´ıtico esta fuera del intervalo [ 2, 2], entonces evaluamos la funci´ on solo en los extremos del intervalo obteniendo que (4)
supξ∈[−2,2]
|f
−
(ξ ) 6e2 f (4) ( 2) = = 4! 4! 4!
| |
− |
Entonces el m´ aximo error de aprox. esta dado por (4)
|e(1.5)| = |f (1.5) − N (1.5)| ≤ sup ∈ −
ξ [ 2,2]
|f
(ξ ) 6e2 3.5 2.5 0.5 0.5 = 2.1875 4! 4!
| | || || || |
b-) Determinar el error m´ aximo cometido en todo el intervalo [ 2, 2]
−
SOLUCION:
Para determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, debemos usar la cota del error (4)
|e(x)| = |f (x) − N (x)| ≤ sup ∈ − |f 4!(ξ )| |x + 2||x + 1||x − 1||x − 2| ξ [ 2,2]
entonces el m´ aximo error en todo el intervalo esta dado por maxx∈[−2,2] e(x)
|
| ≤ max ∈ −
x [ 2,2]
supξ∈[−2,2]
(4)
|f
(ξ ) x + 2 x + 1 x 4!
||
||
|| − 1||x − 2|
11
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS (4)
|
| ≤ sup ∈ −
maxx∈[−2,2] e(x)
ξ [ 2,2]
|f
calculemos maxx∈[−2,2]
(ξ ) maxx∈[−2,2] 4!
|
|x + 2||x + 1||x − 1||x − 2|
|x + 2||x + 1||x − 1||x − 2|
consideremos 2
h(x) = (x + 2)(x + 1)(x
2
4
2
− 1)(x − 2) = (x − 4)(x − 1) = x − 5x + 4 para obtener el m´ aximo de esta funci´ on en el intervalo [−2, 2], debemos encontrar los puntos cr´ıticos
h (x) = 4x3
x(4x2
− 10x = 0 ⇐⇒
− 10) = 0 ⇐⇒
x = 0, x =
5
±
2
donde
h(
h(0)5 = 4 2
) = 2.25
Entonces
(4)
(ξ ) 6e2 (4) = (4) maxx∈[−2,2] e(x) supξ∈[−2,2] 4! 4! on x 4 = 0, entonces determinar el valor aproxc-) Agregar un nuevo punto de interpolaci´
|
|f
|
− e−1 − e)/6
(e−2
|≤
imado de f (1.5). SOLUCION: xi
f i
-2
−2e2 −e
-1 1
e−1
2
2e−2
0
0
−e + 2 e2 −1
(e
+ e)/2
2e−2
−e
e−2
(e−1 + 3e − 4e2 )/6 −2
(4e
(e−2 + e 2
−1
−2
− 3e − e)/6 − e−1
(2e
e−2
N 1 (x) = N (x) +
(e−2
− 3e
2
− e − 2e−
entonces f (1.5)
−1
≈ N (1.5) +
1
+ e)/6
+ 2e)
12
(e−2
− e2 − 2e−1 + 2e)/12
(x + 2)(x + 1)(x
2
1
− e − 2e− 12
EJEMPLO 1.1.6. considerar la funci´ on f (x) = x 2 e−x
+ 2e)
− 1)(x − 2)
( 2.1875)
−
12 a.- Determinar el polinomio de Newton usando los puntos de interpolaci´ on x0 = x1 = 2 y x2 = 3.
−1,
b.- Determinar el valor aproximado en x ∗ = 0 y estimar el error m´ aximo cometido en x ∗ . c.- Determinar el error m´ aximo cometido en todo el intervalo. SOLUCION: Determinarmos el polinomio de Newton usando la siguiente tabla xi f (xi ) 4e−2 −e 27e−3 −16e−2 +e 1 e 3 12 , entonces − 2 − 3 − 2 2 4e 9e 4e 3 9e−3
−
−
4e−2 P N (x) = e + ( 3
3
2
− e )(x + 1) + ( 27e− − 16e−
+ e
12
Entonces,
4e−2 e ) 3 Estimamos el error en x∗ = 0, es decir, P N (0) = e + (
3
2
− − 2( 27e− − 16e− 12
)(x + 1)(x + e
− 2).
).
|P (x∗) − f (x∗)| ≤ sup ∈ − |f 3!(ξ )| |x∗ + 1||x∗ − 2||x∗ − 3| donde f (x) = (−6 + 6x − x )e− y f (x) = (12 − 8x + x )e− = 0 ⇐⇒ 12 − 8x + x = 0 ⇐⇒ x = 6, x = 2 donde solo x = 2 ∈ [−1, 3], es decir, |f (−1)| = 13e = 35, 33766377 |f (3)| = 3e− = 0, 149361205 |f (2)| = 2e− = 0, 270670566
N
ξ [ 1,3]
2
x
2
x
2
3 2
entonces
|P (0) − f (0)| ≤ sup ∈ − |f 3!(ξ )| 6 = 13e. N
ξ [ 1,3]
Finalmente para determinar el error m´ aximo cometido en todo el intervalo f (ξ ) supx∈[−1,3] P N (x) f (x) supx∈[−1,3] supξ∈[−1,3] x + 1 x 2 x 3!
|
−
|≤
|
||
|| − || − 3|
13
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS
= supξ∈[−1,3]
|f (ξ )| sup ∈ −
x + 1 x 2 x 3 x [ 1,3] 3! donde se debe calcular solo el supremo que esta mas a la derecha. Consideremos
|
|| − || − | 3
2
|x + 1||x − 2||x − 3| = |(x + 1)(x − 2)(x − 3)| = |x − 4x
+ x + 6
|
donde h(x) = x 3
2
− 4x
+ x + 6
entonces h (x) = 3x2
− 8x + 1 = 0 ⇐⇒
x1 = 4/3
−
√
13/2, x2 = 4/3 +
√
13/2
entonces h(x1 ) = 5, 69139185 h(x2 ) = 0, 639585651 , es decir, supx∈[−1,3] P N (x)
|
− f (x)| ≤ 13e × 5, 69139185
on EJEMPLO 1.1.7. Sea la funci´ f (x) = x 3 + ln(x + 1) usando los nodos x0 = 0, x1 = 1 y x2 = 2 se puede calcular el polinomio de Lagrange L(x). a-) Calcular entonces SOLUCION:
2 0
L(x) dx.
Se sabe de la te´ oria que al usar tres puntos de interpolaci´ on dados por los extremos y punto medio , lo que estamos haciendo es usar la regla Simpson para aproximar la integral de f (x), entonces sin necesidad de calcular L(x) 2
2
f (x) dx
0
≈
entonces 2
0
L(x) dx =
0
L(x) dx =
2
− 0 f (0) + 4f (1) + f (2) 6
2 ln(0 + 1) + 4(13 + ln(1 + 1)) + 2 3 + ln(2 + 1) 6
14 2 2 = 4(1 + ln(2)) + 8 + ln(3) = 4ln(2) + 12 + ln(3) 6 6
2 0
f (x) dx por medio
b-) Determinar el error m´ aximo cometido al aproximar la integral de
2 0
L(x) dx.
SOLUCION: Para determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, debemos usar la cota del error para la regla de Simpson
|
−
f (x)
(2 0)5 supξ∈[0,2] f (4) (ξ ) 2880
|≤ −
L(x)
|
|
donde
6 (x + 1)4 la cual alcanza su m´ aximo en el intervalo en x = 0, es decir , (4)
|f
(x) =
|
supξ∈[0,2] f (4) (ξ ) = f 4 (0) = 6
|
Finalmente
|
f (x)
−
| |
|
5
− 0) 6 = 0.06666666 | ≤ (22880
L(x)
EJEMPLO 1.1.8. Considerar la siguiente funci´ on f (x) = xe−x Considerar los puntos de interpolaci´ on x0 = 0, x1 = 2, x2 = 4. a-) Determinar el polinomio de Newton regresivo N R (x). b-) Calcular la integral
4 0
N (x) dx y usando la regla de Simpson determinar la aproxi-
4 0
R
x
maci´ on de la integral xe−
dx. Que se puede concluir.
SOLUCION: a) Para determinar la f´ ormula de Newton regresiva, consideremos la siguiente tabla xi f i 0
0 2 2e−2 4 4e−4
2e−2 4e−4
− 2e−
4e−4 2
2
− 4e−
15
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS
, entonces el polinomio de Newton regresivo esta dado por [4e−4 2e−2 ] (x N R (x) = 4e−4 + 1! 21
4
[4e−4 − 4 = 4e +
2
− − − 4) + [4e 2!−24e ] (x − 4)(x − 2)
−
2
2
4
2
− 2e− ] (x − 4) + [4e− − 4e− ] (x − 4)(x − 2). 2
8
b) Se tiene que 4
4
N R (x) dx =
0
[4e−4 4 − 4e +
0
= 16e−4 + [4e−4 = 8e−2 +
[8e−4
2
4
2
− 2e− ] (x − 4) + [4e− − 4e− ] (x − 4)(x − 2) dx 2
−
8
[4e−4 − 2 2e ]( 4) +
−
2
− 8e− ] = [16e− 3
2
2
− 4e− ] (2) 3
+ 8e−4 ] 8 = 2e−2 + e−4 3 3
Ahora, usando la regla de Simpson 4
0
4 8 0 + 4(2e−2 ) + 4e−4 = 2e−2 + e−4 xe−x dx = 6 3
Se concluye que los dos valores son iguales, YA QUE en este caso al calcular la integral de N R , en el intervalo [0, 4], esto no es nada m´ as que usar la f´ ormula de Simpson para la integral de la funci´ on interpolada.
EJEMPLO 1.1.9. Dada la siguiente tabla xi
-2
0
2
f (xi ) -6 2 -6 a-) Usando la f´ ormula de Newton regresiva N R (x) determinar el polinomio de interpolaci´ on. ormula de Lagrange L(x) determinar y escribir explicitamente el polinomio b-) Usando la f´ de interpolaci´ on. 2
c-) Calcular la integral −2 N R (x) dx y usando la regla de Simpson determinar la aprox2 imaci´ on de la integral −2 (2 2x2 ) dx. Que se puede concluir.
−
16 SOLUCION: a) Para determinar la f´ ormula de Newton regresiva, consideremos la siguiente tabla xi f i -2 -6
8
0
-8
2
-16
2 -6 , entonces el polinomio de Newton regresivo esta dado por
−6 + 1!−28 (x − 2) + −2! 162 (x − 2)(x) = −6 − 4(x − 2) − 2(x − 2)(x) = 2 − 2x .
N R (x) =
1
2
2
b) Usamos a) 2
P (x) = 2 c)
2
2
N R (x) dx =
−2
Usando Simpson 2
(2
−2
− 2x .
−2
2
2
− 2x
dx =
−8/3.
− 2x ) dx = 23 (−6) + 4(2) + (−6) = −8/3 2
Se concluye que los dos valores son iguales, YA QUE en este caso al calcular la integral de N R , en el intervalo [ 2, 2], esto no es nada m´ as que usar la f´ ormula de Simpson para
−
la integral de la funci´ on interpolada.
on EJEMPLO 1.1.10. Considerar la siguiente funci´ f (x) =
x + 1 2
on x0 = 2 calcular el polinomio de Newton N 1 (x). a-) Usando el punto de interpolaci´ b-) Usando los puntos de interpolaci´ on x0 = 1, x1 = 3 calcular el polinomio de Newton N 2 (x). c-) Usando los puntos de interpolaci´ on x0 = 1, x1 = 2 y x2 = 3 calcular el polinomio de
17
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS
Newton N 3 (x). d-) Calcular los valores de 3 1
3 1
3 1
3 1
N dx, N dx y N dx . Cual de las integrales se acerca 1
2
3
mas al valor f (x) dx y porque ?.
on, en este caso N 1 (x) = SOLUCION: a) Como tenemos un solo punto de interpolaci´
3 2
b) Como la funci´ on interpolada es un polinomio de grado 1 y tenemos dos puntos de interpolaci´ on, se tiene que N 2 (x) =
x+1 . 2
c) Si agregamos otro punto de interpolaci´ on el resultado sera el mismo, es decir, N 3 (x) = x+1 2
d)
3
1
3
3
3 N dx = dx = 3 2 x + 1 1
1
3
N 2 dx =
1
3
N 3 dx =
1
2
1
dx = 3
3 1
f (x) dx = 3. Ahora, Las tres integrales, tienen el mismo valor, ya que N y N son iguales a f (x). Adem´ as, N dx es el area bajo el polinomio constante 3/2 en en [1, 3], que tiene la misma area 2
3 1
3
1
del trapecio formado en [1, 3] por la funci´ on f (x).
on definida en [a, b]. Considerar los puntos de EJEMPLO 1.1.11. Sea f (x) una funci´ a+b , x2 = b. 2
interpolaci´ on x0 = a, x1 =
on f (x). a-) Determinar el polinomio de Newton N (x) de la funci´ ´ SOLUCI ON: Usando la tabla correspondiente se tiene que N (x) = f (a) + 2
f (
a+b ) 2
a+b 2
− f (a) (x − a) + 2 f (a) − 2f ( ) + f (b) (x − a)(x − a + b ) (b − a) 2 b−a 2
b
b-) Calcular el valor de a N (x) dx. Que obtuvo?. ´ SOLUCI ON: Obviamente si el alumno sabe la teor´ıa BASICA, se dar´ a cuenta que es la regla Simpson, es decir, b
a
N (x) dx =
b
− a (f (a) + 4f ( a + b ) + f (b)) 6
2
18
En este caso π(x) = (x
− a)(x −
a+b )(x 2
− b)
c-) Demostrar que π(x) cambia de signo en [a, b]. ´ ver la gr´ afica de este polinomio para darnos cuenta que cambia de SOLUCI ON: Basta signo (polinomio de grado 3 con raices en a,(a + b)/2 y b). b
d-) Calcular a π(x) dx. ´ SOLUCI ON: De la misma gr´ afica de la funci´ on se tiene que e-) Por c-) y d-) se tiene que E =
f (ξ) 4!
b a
b a
π(x) dx = 0.
π(x)(x − x ) dx. Considerar x 3
calcular el valor de esta expresi´ on. ´ SOLUCI ON: El alumno sabe que el error usando Simpson esta dado por f (ξ ) (b E = 2880
− a)
5
y como estamos usando Simpson se tiene que f (ξ ) (b E = 2880
−
f (ξ ) 5 a) = 4!
b
π(x)(x
a
− x ) dx 3
f-) Determinar una cota de error para E . ´ valor absoluto en ambos lados. SOLUCI ON: Aplicar
EJEMPLO 1.1.12. Dada la integral doble
f (x, y)dydx,
A
donde A := (x, y)
{
∈R
2
/0
≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}.
ormula del trapecio para esta integral. a-) Determinar y escribir la f´ ormula del trapecio esta dada por SOLUCION: Sabemos que la f´ b
a
g(x)dx
≈ (b −2 a) [g(a) + g(b)].
3
= x1 y
19
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS
aplicando esta misma f´ ormula a la integral doble se tiene que 1
1
1
0
1 [f (x, 0) + f (x, 1)] dx f (x, y)dy dx ≈ 2 1 = f (x, 0)dx + f (x, 1)dx 2 1 1 1 = [f (0, 0) + f (1, 0)] + [f (0, 1) + f (1, 1)] 2 2 2 1 0
0
1
1
0
=
4
0
f (0, 0) + f (1, 0) + f (0, 1) + f (1, 1)
b-) Si subdividimos el ´ area de integraci´ on en 4 cuadrados iguales, entonces determinar la f´ ormula del trapecio compuesta para este caso. ormulas compuestas consisten en aplicar una SOLUCION: Se sabe de la teor´ıa que las f´ regla de integraci´ on en cada subconjunto de integraci´ on, en este caso, aplicamos las regla del trapecio a cada cuadrado, usando la regla anterior, es decir, 1
1
0
1 2
1 2
1 2
f (x, y)dydx =
0
1
1 2
1
1
1
f (x, y)dydx + f (x, y)dydx + f (x, y)dydx + f (x, y)dydx 1 1 1 1 1 1 1 0
≈ 16
0
0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
f (0, 0)+f (1, 0)+f (0, 1)+f (1, 1)+2(f ( , 0)+f (0, )+f (1, )+f ( , 1))+4f ( , ) 2 2 2 2 2 2
on para la integral usando c-) Si f (x, y) = x 2 + y2 , determinar y escribir una aproximaci´ a y b . ormulas anteriores y considerando la evaluaciones en SOLUCION: Aplicado solo las f´ la funci´ on f (x, y) f (0, 0) = 0 f (0, 1) = 1 f (1, 0) = 1 f (1, 1) = 1 + 1
20 f (0, 1/2) = 1/4 f (1/2, 0) = 1/4 f (1, 1/2) = 1 + 1/4 f (1/2, 1) = 1/4 + 1 f (1/2, 1/2) = 1/4 + 1/4 entonces, usando a 1
1
0
f (x, y)dy dx
0
Y usando b
≈
1 f (0, 0) + f (1, 0) + f (0, 1) + f (1, 1) = (1 + 1)/2 4
1
1
0
f (x, y)dy dx
0
≈ 38 (1 + 1)
EJEMPLO 1.1.13. Considerar la siguiente integral
√
−
2 2
2 e−x dx
√
2 2
a-) Determinar una aproximaci´ on de la integral usando la f´ ormula del punto medio . on de la integral usando la f´ ormula del trapecio. b-) Determinar una aproximaci´ c-) Determinar una aproximaci´ on de la integral usando la f´ ormula de Simpson. as al valor real y por que? (jusd-) Cual de las aproximaciones anteriores se aproxima m´ tifique). SOLUCION: a-)
√
−
b-)
2 2
√
2 2
e−
x2
dx = (
√
−
2 2
√
2 2
2 e−x dx = (
√
2 2
+ 2
√ 2 √ 2 2
√
2 2
+
2
0
)e =
√
1 1 )(e− 2 + e− 2 ) =
2
√
1 2e− 2
c-)
√
−
2 2
√
2 2
2 e−x dx = (
√
2 2
+ 6
√
2 2
1 2
1 2
)(e− + 4e0 + e− ) =
√ 2 6
1 2
(2e− + 4) =
√ 2 3
1 (e− 2 + 2)
21
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS 2
d-) Viendo la gr´ afica de la funci´ on e−x (figura 1), sabemos que la integral que m´ as se aproxima en este intervalo es la obtenida por la regla de Simpson, cuyo polinomio de interpolaci´ on es una par´ abola, la cual aproxima de mejor manera la funci´ on.
2
Figure 1.1: Gr´afica de e −x
EJEMPLO 1.1.14. Considerar la siguiente integral 1
1
xy + e−(x
2 +y 2 )
dydx
−1 −1
a-) Usando regla del trapecio compuesta, subdividiendo la regi´ on de integraci´ on en cuatro cuadrados, determinar la aproximaci´ on de esta integral. on compuesta, es aplicar la cada f´ ormula Soluci´ on: La idea de las reglas de integraci´ de integraci´ on en cada subintervalo de integraci´ on, en este caso los nodos en eje X son x0 =
−1,
x1 = 0, x2 = 1 y en el eje Y por x0 =
−1,
compuestas en las dos integrales se obtiene 1
1
−1 −1
(x2 +y 2 )
xy + e−
1
dydx =
1
−1
x1 = 0, x2 = 1. Usando las reglas
−1
xy + e−
(x2 +y 2 )
dy dx =
22 1
1
1
1
1
1 − − − + 2(e− ) + x + e− xy + e dy dx = x+e dx = 2 − −− − 1 − −− − − − 1 − − − − +e = 2e +4e +2 = e +2e +1 e dx = e +e +2(e +1)+e +e 1
(x2 +y 2 )
(x2 +1)
(x2 )
(x2 +1)
1
(x2 +1)
x2
2
1
1
2
1
2
2
−1
1
2
2
= 1.8710941655794973
on de integraci´ on en cuatro b-) Usando regla del Simpson compuesta, subdividiendo la regi´ cuadrados, determinar la aproximaci´ on de esta integral. Soluci´ on: De la misma maanera que es (a), se tiene 1
1
(x2 +y 2 )
xy + e−
1
dydx =
−1 −1
1
=
1 −1
1
−1
xy + e−
(x2 +y 2 )
dy dx =
−1
x −(x2+ 1 ) x −(x2+ 1 ) 2 −(x2 ) )+x+e−(x2+1) ] dx = 4 )+4( 4 )+2(e [ x+e−(x +1) +4( +e +e 6 2 2
−
−
1
1 − = [2e − 6 − 1
(x2 +1)
2 1 2 + 8(e−(x + 4 ) ) + 2(e−x )] dx =
1
1
=
=
3 −1
[e
(x2 +1)
+ 4(e−
(x2 + 14 )
x2
) + e− ] dx =
1 −2 5 5 1 1 ([e + 4(e−( 4 ) ) + e−1 ] + 4[e−( 4 ) + 4(e−( 2 ) ) + e− 4 ] 18
5 1 1 1 5 +4[e−( 4 ) + 4(e−( 2 ) ) + e− 4 ] + 2[e−1 + 4(e−( 4 ) ) + 1] + [e−2 + 4(e−( 4 ) ) + e−1 ] = 5 1 1 1 (2e−2 + 16e−( 4 ) + 4e−1 + 16e−( 4 ) + 32e−( 2 ) + 2) = 2.2331143733815990944 18 EJEMPLO 1.1.15. Considerar la siguiente integral
=
1
1
2 +y 2 )
xy + e−(x
dydx
−1 −1
a-) Usando regla del trapecio, determinar la aproximaci´ on de esta integral. Soluci´ on: 1
1
−1 −1
xy + e−
(x2 +y 2 )
1
dydx =
1
−1
−1
x2
y2
xy + e− e−
dy dx =
1
23
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS 1
2 −1
2
1
1
− x + e− e− + x + e− e− dx = 2e− e− dx = 2e− e− − − − 2 − − − − − x2
x2
1
1
x2
1
1
1
1
= 2e
2
(e
1
+ e 1 ) = 2e
1
x2
dx
1
(2e 1 ) = 4e
2
= 0.5413411329464508
b-) Usando regla de Simpson, determinar la aproximaci´ on de esta integral. Soluci´ on: 1
1
− xy + e − − 2 1
(x2 +y 2 )
1
dydx =
1
−1
1
−1
−
6
1
x2
y2
xy + e− e−
dy dx =
−1
2 2 2 x + e−x e−1 + 4(e−x ) + x + e−x e−1
1
dx
1 − − − = 2e e + 4(e ) dx − 3 1 − − = 2e + 4 e dx 3 1 − 1 −− − = 2e + 4 e + 4 + e 3 3 1 − x2
x2
1
1
1
1
x2
1
1
1
1
2
=
1
2e
3
+4
= 2.4919346879655031
EJEMPLO 1.1.16. Considerar la siguiente integral 1
1
2 2 e−(x +y ) dydx
−1 −1
on de esta integral. a-) Usando regla del trapecio, determinar la aproximaci´ Soluci´ on: 1
1
e−
(x2 +y 2 )
1
dydx =
−1 −1
1
e−
(x2 )
(y 2 )
e−
1
dydx =
−1 −1
(x2 )
e−
−1
1
dx
−1
e−
(y 2 )
dy
Podemos usar la regla del trapecio para cada una de estas integrales por separado, es decir, 1
e−
(x2 )
−1
y
1
−1
e−
(y 2 )
− (−1) − dx ≈ e 2 1
1
− (−1) − dy ≈ e 2 1
1
− 1
= 2e−1
−
= 2e−1
+ e
+ e
1
24 Entonces
1
1
2 2 e−(x +y ) dydx
≈ 4e−
2
−1 −1 b-) Usando regla de Simpson, determinar la aproximaci´ on de esta integral. 1
1
e−
(x2 +y 2 )
1
dydx =
1
(x2 )
e−
1
(y 2 )
e−
dydx =
(x2 )
e−
1
dx
e−
(y 2 )
dy
−1 −1 −1 −1 −1 −1 Podemos usar la regla de Simpson para cada una de estas integrales por separado, es decir, 1
(x2 )
e−
−1
y
1
(y 2 )
e−
−1
Entonces
− (−1) − dx ≈ e 6 1
− (−1) − dy ≈ e 6 1
1
1
1
0
− 1
4 + 2e−1 = 3
0
−
4 + 2e−1 = 3
+ 4e + e
1
+ 4e + e
2 2 e−(x +y ) dydx
−1 −1
1
1
≈
4 + 2e−
2
3
ormula de cuadratura para aproximar la integral EJEMPLO 1.1.17. Recordemos que la f´ de una funci´ on f (x) esta dada por b
a
n
f (x)dx ≈
Ai f (xi )
= A0f (x0 ) + A1 f (x1 ) + ... + Anf (xn ),
(1)
i=0
Donde [a, b] es el intervalo de integraci´ on, xi
n i=0 son
{ }
los (n + 1) puntos de interpolaci´ on
dados y los Ai son los valores num´ericos a determinar. Para simplificar el c´ alculo de los valores de Ai , podemos resolver el sistema lineal de (n + 1) ecuaciones y (n+ 1) incognitas (las cuales son los Ai ) dado por n
i=0
k Ai xi
bk+1 ak+1 = , para cada k = 0, 1,...,n. k + 1
−
(Las (n + 1) ecuaciones se obtienen considerando cada valor de k. En el lado derecho de la igualdad es el lado derecho del sistema lineal y en el lado izquierdo aparecen las (n + 1) incognitas Ai )
25
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS 2
Consideremos la funci´ on f (x) = e −x y los puntos de interpolaci´ on x0 = 0, x1 = 2, x2 = 4. Entonces, a-) Determinar el sistema lineal para encontrar los valores de Ai. b-) Resolver el sistema lineal de a-) usando el m´ etodo de factorizaci´ on LU . 2 4 c-) Usando (1) determinar el valor num´ erico de e−x dx. [Si quiere comprobar
0
on usada, ya que este resultado, debe darse cuenta de la regla de integraci´ b a L (x)dx
bueno]
n i=0 Ai f (xi ).
=
e-) Calcular el espectro de la matriz de Jacobi . f-) Determinar si el m´etodo de Jacobi es convergente. g-) Calcular la matriz de Gauss-seidel del sistema lineal en a-). h-) Calcular el espectro de la matriz de Gauss-Seidel . i-) Determinar si el m´etodo de Gauss-Seidel es convergente. SOLUCIONES: a-) A0 + A1 + A2 1
1
= b 1
A0 x0 + A1 x1 + A2 x2 A0 x20 + A1 x21 + A2 x22
para cada k = 0
− a,
b2
a2
− , para cada k = 1 2 b3 −a3 = 3 , para cada k = 2 =
,es decir, A0 + A1 + A2
=4
2A1 + 4 A2
=8
4A1 + 16 A2
=
64 3
Matricialmente podemos escribir: 1 2
≈
La comprobaci´ on asegura que lo hecho en a-), b-) y c-) esta
d-) Calcular la matriz de Jacobi del sistema lineal en a-).
1 0
b a f (x)dx
1 4
0 4 16
A0 A1 A2
4 = 8 ⇐⇒ AX = B 64 3
26 b-)
1 0
1 2
1 1 4 = 0
0
LU X = B
⇐⇒
0 4 16
Entonces
AX = B
⇐⇒
1
0 1 0 0
0 2 1
1 4
1 2
0 0 8
LY = B
y U X = Y
Primero
1 0
0 y 0 y
LY = B4 ⇐⇒ y = 8 ⇐⇒ y
4 = 8
1 4
U X = Y 4 ⇐⇒ = 8 ⇐⇒
=
0
1
1
2
0 2 1
Segundo
1 0
1 2
y3
0 0 8
c-) Se tiene que
4
2 e−x dx
0
A0 A1 A2
1 2
64 3
y3
16 3
16 3
A0 A1 A2
≈ 23 f (0) + 83 f (2) + 23 f (4) = 23 + 83 e−
4
2 3 8 3 2 3
2 + e−16 . 3
Para comprobar, usamos la regla de Simpson (con la cual se esta trabajando implicitamente)
4
2 e−x dx
0
≈ 46 [f (0) + 4f (2) + f (4)] = 23 [1 + 4e−
4
+ e−16 ].
los cuales son iguales. d-) J = D −1 (E + F ) =
1 0 0
0
0
1/2
0
0
1/16
0 0 0
−1 0
−4
−1 0 −4 = 0 0
0
−1 0
−1/4
−1 −2 0
27
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS
e-) Espectro
|λI − J | =
entonces,
λ 0 0
1
1 1 λ 2 = λ − = λ(λ − ) = 0 ⇐⇒ λ = 0, λ 2 2 λ √ 2 √ 2 √ 2 ρ(J ) = max{0, − , } = . 3
λ 1/4
2
2
f-)
2,3 =
1
ρ(J ) =
√ 2 2
2
±
√ 2
2
< 1,
es decir, el m´etodo de Jacobi es convergente. g-) 1
− E )− F = −1 −1 0 −1 −1 0 −4 = 0 0 −2
Gs = (D
1 0 0
0
0
1/2
0
−1/8
1/16
0 0 0
0
0
0
0
1/2
h-) Espectro
|λI − G | = s
entonces,
λ 0 0
1 λ 0
1 = λ (λ − 1/2) = 0 ⇐⇒ λ = 0, λ = 1/2 2 λ − 1/2 1 1 1 ρ(G ) = max{0, − , } = . 2
1,2
s
i-)
2
ρ(Gs ) = es decir, el m´etodo de G-S es convergente.
1 < 1, 2
2
2
3
2
28 EJEMPLO 1.1.18. Considerar la integral 4
ln(x) dx
1
a.-Aproximar la integral, usando las reglas del trapecio y Simpson. b.-Aproximar la integral, usando la regla del trapecio compuesta, subdividiendo el intervalo en 3 subintervalos de igual longitud. c.-Determinar el n´ umero m´ınimo de intervalos necesarios para que al usar la regla del trapecio compuesta, el error sea menor a 0.3. Con ´este n´ umero m´ınimo de intervalos determinar el valor de la integral SOLUCION: Usando la reglas del trapecio 4
ln(x) dx
1
≈ 4 −2 1 (ln(1) + ln(4)) = 32 (ln(4)) = 3ln(2)
Regla de Simpson 4
ln(x) dx
1
≈ 4 −6 1 (ln(1) + 4ln(2.5) + ln(4)) = 12 (4ln(2.5) + 2ln(2))
Usando la regla del trapecio compuesta ( h = 1) 4
ln(x) dx =
1
1 h (ln(1) + 2ln(2) + 2ln(3) + ln(4)) = (4ln(2) + 2ln(3)) 2 2
Para c-) se tiene que
(b a)3 Error supξ∈[1,4] f (ξ ) 2 12n entonces, para que el error sea menor que 0.3, se debe tener que
|≤ −
|
|
|
(b a)3 supξ∈[1,4] f (ξ ) < 0.3 2 12n
−
es decir, (b
|
|
3
− a) sup ∈ |f (ξ )| < n 3, 6
2
ξ [1,4]
donde f (x) =
−1 x2
29
1.1 EJERCICIOS RESUELTOS
entonces supξ∈[1,4] f (ξ ) = 1
|
|
entonces 7.5 < n2 2.738612788 < n es decir, n = 3. Por lo tanto se necesitan 3 intervalos, los mismo que b), por lo tanto no hay nada que calcular. EJEMPLO 1.1.19. La f´ ormula del trapecio corregida se obtiene considerando 4 puntos de interpolaci´ on, tomando x0 = x 1 = a y x2 = x 3 = b, lo cual nos da b
a
2
− a f (a) − f (b) + (b − a) f (a) − f (b). f (x)dx ≈ 2 12 b
Determinar para este caso la estimaci´ on del error. Comparar esta estimaci´ on con la estimaci´ on del error para la f´ ormula del trapecio simple.
AYUDA: Recordar que la f´ ormula para el error esta determinada por π(x). En algun (x − a) − (x − momento usar la f´ ormula de integraci´ on (x − a) (x − b) dx = − b) dx b a
m
n
m n+1
b a
m 1
n+1
SOLUCION: En este caso se tiene que π(x) = (x
− a)(x − a)(x − b)(x − b) =
la cual no cambia de signo, ya es siempre positiva. Entonces el error cometido es b
|E | ≤ sup ∈
ξ [a,b]
|f (ξ )| π(x) dx. 4!
a
Usando la f´ ormula b
a
b
π(x) dx =
a
2
2
(x a) (x b) dx =
−
−
−
2 3
b
a
1 (x a)(x b)3 dx = 6
−
−
b
a
1 (x b)5 4 (x b) dx = ( ) 6 5
−
−
b
(b − = 3 a
30
1.2
Ejercicios Propuestos
1.- Encontrar el polinomio de interpolaci´ on de Lagrange usando f´ ormula original para los siguientes datos xi f (xi )
−1 0
0
1
1
−1
Adem´ as, usar la formula de Newton para determinar el polinomio de interpolaci´ on. Tambi´en usar las f´ ormulas de Newton progresivas y regresivas. on inducida por radiaci´ on, se emplea una fuente de rayos 2.- En estudios de polimerizaci´ gamma para obtener dosis medidas en radiaci´ on. Sin embargo, la dosis var´ıa con la posici´ on del aparato, seg´ un los datos que se dan a continuaci´ on. Posici´ on (centimetros)
1.0
1.5
2.0
3.0
2.71 2.98 3.20 3.20
Dosis
i)Cu´ al es la estimaci´ on para el nivel de dosis en 2.5 centrimetros? ii)Si se efect´ ua una nueva medici´ on que indica que a 3.5 cms el nivel de dosis correspondiente es de 2.98, cu´ al ser´ a ahora la estimaci´ on para el nivel de dosis en 2.5 pulgadas? 3.- Para los valores siguientes xi f i
40
60
80
100
120
0.63 1.36 2.18 3.00 3.93
donde xi son los voltios y f i los kilovatios en una curva de p´ erdida en el n´ ucleo para un motor el´ ectrico. Calcular el polinomio de interpolaci´ on con f´ ormula de Newton de segundo grado para xi = 80, 100, 120 . Utilizarlo para estimar el valor de f i correspondiente a xi = 90 voltios. 4.- Dados los datos de la siguiente tabla, xi
10.50
29.49
42.70
60.01
75.51
91.05
yi
10.421 10.939 11.321 11.794 12.242 12.668
31
1.2 Ejercicios Propuestos
Usando la f´ ormula de Newton, determinar el polinomio de interpolaci´ on. Determinar el valor para x = 90. Usando Newton progresivo y regresivo determinar el valor de aproximaci´ on en x = 90. Que se puede concluir?. 5.- Determinar el valor aproximado de P (1), donde P es un polinomio de tercer grado, tal que P (0) = 1, P (2) = 3 y
2 0
P (x) dx = 4.
6.- Un fabricante de refrigeradores desea saber la densidad del agua, dada cierta temperatura. Sin embargo, solo tiene datos sobre temperaturas distintas a las de inter´es, como la siguiente tabla: 18
T
20
22
Densidad [Kg/m3 ] 998.5 998.2 997.7 Le pide su ayuda, porque no sabe qu´ e hacer y necesita calcular la densidad cuando T = as adecuados de inter20.256. Calcule la densidad para T = 20.256 usando los m´etodos m´ polaci´ on conocidos en el curso . on f (x) = cos(x) 7.- Aproximar el valor de la funci´
∀x ∈
[0, 2π] en x =
5π 4
considerando
la partici´ on P = 0, π/2, π, 3π/2, 2π usando la f´ ormula de Newton. Determinar el error
{
cometido.
}
on f (x) = log(x) con 8.- Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´ los puntos 1, 2, 4, 6, 8 . Determinar la funci´ on del error y acotar el error cometido al
{
}
aproximar el valor de log(3). 9.- Considerar la funci´ on f (x) =
√ x
y los puntos de interpolaci´ on x0 = 1, x1 = 4, x2 = 9. a-) Desarrollar el polinomio de interpolaci´ on usando la f´ ormula de Newton para estos
32 puntos de Interpolaci´ on. ormula original ) para estos puntos de b-) Desarrollar el polinomio de Lagrange (usando f´ Interpolaci´ on.
√ c-) Estimar el error al calcular 2.5. √
10.- Como en el ejemplo anterior aproximar el valor 115 y determinar el error cometido. 11.- Considerar la funci´ on f (x) = x 1/3 y los puntos de interpolaci´ on x0 = 1, x1 = 8, x2 = 27. a-) Desarrollar el polinomio de Newton para estos puntos de interpolaci´ on. b-) Desarrollar el polinomio de Lagrange (usando f´ ormula original ) para estos puntos de interpolaci´ on. c-) Estimar el error al calcular 201/3 . 12.- Aproximar el valor de la funci´ on f (x) = sin(x)
∀
x
∈
[0, π] en x =
3π 8
con-
siderando la partici´ on P = 0, π/4, π/2, 3π/4, π . Determinar el error cometido
{
}
13.- Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´ on f (x) = xlog(x) con los puntos 1, 2, 4, 6 . Determinar la funci´ on del error y acotar el error cometido al aprox-
{
}
imar el valor de la funci´ on en x = 5. 14.- Encontrar los polinomios de Newton progresivo y regresivo para los siguientes datos xi f (xi )
−1 0
0 1
1
2
−1 −2
Ademas, para cada interpolaci´ on encontrar la estimacion en x = 1.5. Que se puede concluir?. 15.- En estudios de polimerizaci´ on inducida por radiaci´ on, se emplea una fuente de
33
1.2 Ejercicios Propuestos
rayos gamma para obtener dosis medidas en radiaci´ on. Sin embargo, la dosis var´ıa con la posici´ on del aparato, seg´ un los datos que se dan a continuaci´ on. Posici´ on (centimetros) 1.0 2.0 3.0 2.6 2.9 3.2
Dosis
i)Cu´ al es la estimaci´ on para el nivel de dosis en 2.5 cms? ii)Si se efect´ ua una nueva medici´ on que indica que a 4.5 cms el nivel de dosis correspondiente es de 4.1, cu´ al ser´ a ahora la estimaci´ on para el nivel de dosis en 2.5 cms? on x0 , x1 ,...,xn−1 y 16.- Sea A(x) un interpolante de f (x) en los puntos de interpolaci´ sea B(x) otro interpolante de f (x) en los puntos x1 , x2 ,...,xn . Demostrar que C (x) = A(x) + xxn0−−xx0 A(x) B(x) interpola a f (x) en los puntos x0 , x1 ,...,xn .
−
17.- Sean P (x) = 3 + 12 (x 5 3
1 3
− 1) + (x − 1)(x − 1.5) − 2(x − 1)(x − 1.5)x y Q(x) = − (x − 2) − (x − 2)x − 2(x − 2)x(x − 1.5), dos polinomios que interpolan a una funci´ on. 2 3
5 3
Obtener las tablas de las diferencias divididas de cada polinomio. on f (x) = 18.- Considerar la funci´
1 . 1+x2
Sean los puntos de interpolaci´ on 5, 4,..., 4, 5.
− −
Segun Ud. que interpolaci´ on ser´ıa mas util: ´ Lagrange o por splines cubicos.
20.- Construir un polinomio de grado 3 que pasa por los puntos (0, 10), (1, 15), (2, 5) y cuya recta tangente en (0, 10) tiene pendiente 1. 21.- Aproximar por splines c´ ubicos para los siguientes datos xi
3
4.5
f (xi ) 2.5
1
7
9
2.5 0.5
on f (x) por P (x) en un punto 22.- Sabemos que el error cometido al interpolar una funci´ especifico z esta dado porque
|E (z )| = |f (z ) − P (z )| ≤
max∈I f n+1 () (x (n + 1)!
|
| | − x )(x − x ) · · · (x − x )| 0
1
n
34 Ahora, demostrar que el m´ aximo error cometido en todo el intervalo I esta dado por max f (x) x∈I
|
− P (x)| ≤
maxx∈I f n+1 (x) max (x x∈I (n + 1)!
|
|
| − x )(x − x ) · · · (x − x )| 0
1
n
(ojo con esto, lo deben saber). Dada la funci´ on
x3 5 f (x) = 2 x +1 y los puntos de interpolaci´ on 2, 1, 1, 2, determinar el error de interpolaci´ on en x = 0
−
− −
y determinar el error m´ aximo cometido en el intervalo [ 2, 2]. Que se puede concluir?.
−
23.- Consideremos los puntos equiespaciados xi = x 0 + ih, donde h es la distancia entre puntos consecutivos. a) Determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, al construir una interpolaci´ on lineal (polinomio de interpolaci´ on de grado 1). b) Determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, al construir una interpolaci´ on cuadr´ atica (polinomio de interpolaci´ on de grado 2). c) Determinar el m´ aximo error cometido en el intervalo, al construir una interpolaci´ on c´ ubica (polinomio de interpolaci´ on de grado 3). (ojo: usar ejercicio anterior) 24.- Se desea interpolar la funci´ on f (x) = cos(x)ex en el intervalo [ π, π] con nodos
−
equiespaciados.
a) Usando splines de orden 1: Cuantos nodos se debe tomar para que el error cometido en todo el intervalo [ π, π] no sea mayor a 0.5? (usar a) ejercicio anterior)
−
b) Usando splines de orden 2: Cuantos nodos se debe tomar para que el error cometido en todo el intervalo [ π, π] no sea mayor a 0.5? (usar b) ejercicio anterior)
−
25.- Considerar
π
I =
sen(x) dx
0
on de I , usando la regla del trapecio compuesta, considerando a-) Calcular una aproximaci´ 4 subintervalos de igual longitud.
35
1.2 Ejercicios Propuestos
b-) Estimar el error cometido. al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un c-) Cu´ error menor a 0.001?. 26.- Considerar
π/2
I =
cos(x) dx
0
a-) Calcular una aproximaci´ on de I , usando la regla del trapecio compuesta, considerando 4 subintervalos de igual longitud. b-) Estimar el error cometido. c-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.0001?. 27.- Considerar
1
I =
2 e−x dx
0
a-) Calcular una aproximaci´ on de I , usando la regla del punto medio, trapecio y Simpson, estimar el error cometido. b-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.01, usando las reglas compuestas?. 28.- Considerar
1
I =
√
cos x dx
0
on de I , usando la regla del Simpson compuesta, considerando a-) Calcular una aproximaci´ 4 subintervalos de igual longitud. b-) Estimar el error cometido. c-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.0001?. 29.- Considerar
π
I =
0
sen(x) dx
36 a-) Calcular una aproximaci´ on de I , usando la regla del Simpson. on sen(x) en los puntos 0, π/2, π, obtener el valor de I . b-) Interpolando la funci´ b-) Que se deduce al comparar los resultados en a) y b). 30.- Considerar
1
I =
ex dx
0
a-) Calcular una aproximaci´ on de I , usando las reglas del trapecio y Simpson compuestas, estimar el error cometido. al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un b-) Cu´ error menor a 0.01?. 31.- Determinar la f´ omula de integraci´ on para la integral b
f (x)dx
a
si se consideran los siguientes puntos de interpolaci´ on x0 = x 1 = a,
32.- Considerar
1
I =
x2 = x 3 = b.
xe−x dx
0
a-) Usando 3 subintervalos de igual longitud calcular una aproximaci´ on de I , usando las reglas del trapecio y Simpson compuestas. b-) Estimar el error cometido en a-) para cada regla compuesta. c-) Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.01, usando las reglas compuestas?. 33.- Si f (x) es n veces diferenciable y suave en el intervalo [c, d] que contiene al intevalo [a, b], entonces f (x) se puede escribir como f (x) = N (x) + f [x0 , x1 ,...,xn , x]Φn (x)
(1)
37
1.2 Ejercicios Propuestos
, donde N (x) es el polinomio (dado por la f´ ormula de Newton) que interpola a f (x) en los n+1 puntos x0 , x1 ,...,xn , donde Φ n (x) = (x x0 )(x x1 )
{
}
−
es una funci´ on de x continua e integrable en (c, d).
− ··· (x − x ) y f [x , x ,...,x , x] n
0
1
n
El error de integraci´ on estimado esta dado b
E (f ) =
b
f (x) dx
a
−
b
N (x) dx =
a
f [x0 , x1 ,...,xn , x]Φn (x) dx
a
Si Φn no cambia de signo en (a, b) y si se considera que f (x) es n + 1 veces diferenciable en (c, d), se tiene que f n+1 () E (f ) = (n + 1)!
b
para alg´ un
Φn (x) dx,
a
Ahora, si Φn cambia de signo en (a, b) y
b a
∈ (c, d)
(2)
Φ (x) dx = 0 y si se considera que f (x) es n
n + 2 veces diferenciable en (c, d), se tiene que f n+2 () E (f ) = (n + 2)!
b
Φn+1 (x) dx,
para alg´ un
a
∈ (c, d)
(3)
Entonces, on (1) para f (x), deducir la regla del trapecio para calcular a-) Usando la representaci´ b a
f (x) dx.
ormula para acotar el error. b-) Usando (2) o (3) determinar la f´ 34.- Demostrar las siguientes propiedades de la integraci´ on num´erica: a) (Invarianza bajo traslaciones) Si b
a
n
f (x)dx ≈ A f (x ) i
i=0
y b+d
a+d
i
n
B f (x + d) f (x)dx ≈ i
i
i=0
entonces Ai = B i ,
∀i = 0, 1,...,n.
