Campos Camp os y Ondas Elect Electromag romagn´ n´eticas etica s ´ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME-CULHUACAN Profr. Oscar Olivares Alonso.
Instrucciones: Resuelve Instrucciones: Resuelve con todo detalle y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios.
1. Determi Determine ne el flujo que cruza cruza un area a´rea de 1mm 1mm2 sobre la superficie de una concha cil´ cil´ındrica o en ρ = 10 m, z = 2 m, φ = 53, 53, 2 si D = 2xex + 2(1 − y )ey + 4z ez
2. Dado que
z b en coordenadas co ordenadas cil´ındricas, ındricas, halle el flujo saliente que cruza cruz a el cilindro circular recto rect o descrito por ρ = ρ = 2b, z = = 0, y z = 5b (m). D = 30e 30e−ρ·b eρ − 2 ez
3. Determinar Determinar el flujo del campo electrost´ electrost´ atico creado por un cubo de lado L, cuya densidad atico de carga carga es proporcio proporcional nal a la distanc distancia ia a una cualqui cualquiera era de sus caras, caras, a trav´ trav´ es es de una esfera tambi´en en de radio L, siendo el centro c entro de la esfera coincidente con el centro c entro del cubo. cub o. 4. Comproba Comprobarr si el campo existen existente te en una cierta cierta regi´ region ´ del espacio, dado por E = k = kx x2 ex + ky + ky 2ey + 10ez
siendo k una constante, representa un campo electrost´ atico y determinar, en su caso, la atico densidad de carga en dicha regi´ on. on. 5. Determinar la densidad de nsidad de d e flujo fluj o el´ectrico ectrico D y el potencial creados por un hilo rectil´ rectil´ıneo de longitud L en un punto cualquiera a la derecha del hilo y en su eje. El hilo esta cargado con una densidad densidad de carga lineal no homog´ homog´enea enea ρ = ax, ax, siendo a una constante y x la distancia de un punto cualquiera del hilo al extremo izquierdo del mismo. 6. Un deutetr deutetr´ o´n se acelera desde el reposo hasta una rapidez v on rapidez v 1 entre dos puntos que se encuentran a una d diferencia iferencia de potencial. p otencial. ¿Qu´e valor de velocidad v velocidad v a adq dquir uirir´ ir´ıa ıa un unaa part´ pa rt´ıcul ıc ulaa alfa si se acelera desde el reposo entre los mismos puntos? 7. Halle Halle el trabajo trabajo realiza realizado do al move moverr una carga puntual puntual Q = 3 µC desde (4m,φ, 0) hasta µC desde (4m,φ, φ 5 5 (2m, (2m, 2 , 2m), en el campo E = (10 /r) /r)er + 10 z ez (V/m). 8. En una cierta cierta regi´ regi´ on, on, el campo cam po el´ectric ect ricoo est´ est ´a dado d ado por po r E = 500ex − 300ey N/C. Encuentre la diferencia de potencial V si A = (0, (0, 0, 0) y B = (0, (0, 0, 5) m. 9. Encontrar Encontrar el valor num´ num´erico erico de la divergencia divergencia de D en los puntos indicados si: a) D = 2 2 (2xyz (2xyz − y )ey + (x z − 2xy 2 xy))ez en P A (2, (2, 3, −1); b) D = 2ρz 2 sen2 φeρ + ρz 2 sen2 sen2φeφ + 2 2 o ρz sen φez en P B (ρ = 2, φ = 110 , z = −1); c) D = 2Rcosφsenθ eR − Rsenφeφ + o o Rcosφcosθ eθ en P C C (R = 1,5, φ = 50 , θ = 30 ).
10. Para Para una funci´ funcion o´n vectorial A = z = z ez , a) calcule A · ds sobre la superficie de una regi´ on on semiesf´ semiesf´erica erica que es la mitad superior de una esfera de radio 3 centrada centrada en el origen, con la base plana coincidente con el plano xy plano xy,, b) b ) encuentre encuentre ∇ · A, y c) c ) verifique el teorema de la divergencia. Ejercicios
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φ 11. Un campo vectorial D = cos on comprendida entre dos capas ex existe entre la regi´ R esf´ericas definidas por R = 2 y R = 3. Calcule a) D · ds y b) ∇ · Ddv. 3
12. Por una espira circular de radio a circula una intensidad de corriente I . Calcular la densidad del flujo magn´etico B en un punto arbitrario de su eje de revoluci´ on(ver figura).
13. Una espira circular est´ a recorrida por una corriente I conocida. Se quiere obtener en un punto de su eje y a una distancia z dada del plano de dicha espira, un campo B de m´odulo m´aximo. a) Calcular el radio de la espira y el B alcanzado y b) aplicarlo al caso I = 20A y z = 3 m. 14. Un campo radial
2,39 × 106 B = cos φeρ ρ
sale al espacio vac´ıo. Halle el flujo magn´etico Φ que cruza la superficie definida por −π/4 ≤ φ ≤ π/4, 0 ≤ z ≤ 1 m. 15. Encuentre la densidad de flujo magn´ etico en el centro de una espira cuadrada plana de lados a por la que circula una corriente continua I . 16. Una corriente continua I fluye por un alambre recto de longitud 2L. Calcule la densidad de flujo magn´etico B en un punto localizado a una distancia r del alambre y en el plano que lo divide en dos segmentos iguales(ver figura).
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17. Una corriente continua I fluye por un filamento conductor recto P 1 P 2 . a) Demuestre que on est´ a especificada por la distancia perpendicular r y los B en el punto P , cuya ubicaci´ ´angulos α1 y α2 mostrados en la figura, es B =
µI (senα2 − senα1 ) eφ 4πr
b) Compruebe que la anterior ecuaci´ o n se reduce a B = infinitamente largo.
µ0 I e cuando 2πr φ
el alambre es
18. Una corriente I fluye longitudinalmente por una l´ amina conductora delgada y muy larga de anchura w, como se ilustra en la figura. Suponga que la corriente hacia el interior del papel y determine la densidad de flujo magn´etico B1 en el punto P 1 (0, d).
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19. Un alambre conductor delgado de longitud 3w forma un tri´ angulo equil´atero planar. Por el alambre fluye una corriente continua I . Determine la densidad de flujo magn´etico en el centro del tri´ angulo. 20. Determine la densidad de flujo magn´etico en el punto P del eje de un solenoide de radio b y longitud L(v´ease la figura), con una corriente I en las N vueltas, enrolladas muy juntas, N de su bobina. b) Demuestre que el resultado se reduce a la ecuaci´on B = µ 2πr I = µnI cuando L se aproxima al infinito.
21. Dada la densidad de corriente
3
J =
10
R2
cos θ eθ
en coordenadas esf´ericas. Halle la corriente que cruza la franja c´ onica θ = π/4, 0,001 ≤ R ≤ 0,080 m. 22. Determine la resistencia de aislamiento en una longitud l de cable coaxial, como se muestra en la figura.
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23. Un solenoide de 5,20 cm de largo y 2,6 cm de di´ametro conduce una intensidad de corriente de 4 A, tiene 853 vueltas. Calcule la densidad de flujo magn´etico a lo largo de su eje en: a) el centro y b) en un punto cercano al extremo. 24. Un alambre tiene forma de cono circular truncado, como se ilustra en la figura. Los radios de los extremos son r 1 y r 2 y altura L. Si la abertura es peque˜ na, encontrar una expresi´ on de la resistencia entre los extremos del alambre.
25. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 5 µC desde el origen hasta(2m,π/4, π/2), en coordenadas esf´ericas, en el campo E = 5e−R/4 eR +
10 eφ . rsenθ
26. Una carga lineal de ρl = 400 pC/m yace a lo largo del eje x y la superficie de potencial cero pasa por el punto (0, 5, 12) m en coordenadas cartesianas (ver figura). Halle el potencial en (2, 3, −4) m.
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27. Hay una carga distribuida uniformemente a lo largo de una l´ınea recta de longitud finita 2L(v´ease la figura). Demuestre que para dos puntos externos, cerca del punto medio, tales que r1 y r2 sean peque˜ nos comparados con la longitud, el potencial V 12 es el mismo que para una l´ınea infinita de carga.
3/ 28. Una carga laminar finita de densidad superficial ρ s = 2x (x2 + y 2 + 4) 2 yace en el plano z = 0 para 0 ≤ x ≤ 2 m y 0 ≤ y ≤ 2 m. Determine: a) E y b) D en (0, 0, 2) m. 29. Demuestre que para el potencial en un punto situado a d metros medidos radialmente hacia afuera desde el punto medio de una carga lineal finita con L metros de longitud y densidad uniforme ρl est´a dado por ρl ln 2π 0 Ejercicios
L/2 + d + L /4 2
2
d
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Campos y Ondas Electromagn´eticas Aplique este resultado, para ρ l = 1 nC/m, en un cuadrado de 6 m de lado y en un punto situado en (0, 0, 5) m. 30. Una cierta densidad de corriente est´ a dada por J = 100e−2z (ρeρ + ez ). Encontrar la corriente total que pasa a trav´es de las superficies: a) z = 0, 0 ≤ ρ ≤ 1, en la direcci´on ez ; b) z = 1, 0 ≤ ρ ≤ 1, en la direcci´ on ez ; c cilindro cerrado definido por 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ ρ ≤ 1, en la direcci´on saliente.
Fecha de entrega: 22 de octubre del 2012.
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