Problema 1.
La potencia potencia de radiación radiación de un cuerpo cuerpo negro es de 34 kW . Hallar la temperatura temperatura de este cuerpo si el 2 área de su superficie es de 0,6m 0,6m . Datos: Rt = 34!03W A = A = 0,6 m2 σ = = ",6#!0$%W &m$2& K K $4
'olución: 'i Rt es la potencia radiada por toda la superficie del cuerpo, entonces la potencia radiada por la unidad de superficie superficie (radiancia) es igual a
'eg*n la le+ de 'tefan$oltt-man: R = R = σT 4. or consiguiente,
Problema 2.
/na lámina lámina de color negro negro se encuentra encuentra colocada colocada de manera tal tal ue los 1aces de lulu- incidente incidente caen sore ella perpendicularm perpendicularmente. ente. Hasta ue temperatura temperatura se calienta la lámina lámina si en cada minuto minuto caen 2 2 caloras por !cm de su superficie5 Datos: U = = 2 cal = = 24,!%6 J 24,!%6 J = = %,3#3% J %,3#3% J A = A = !cm !cm2 = !!0$4m2 t = !min !min = = 60 s σ = = ",6#&!0$%W & m$2& K K $4
'olución: 7onsideramos ue la lámina se comporta como un cuerpo asolutamente negro + ue se encuentra en el euilirio t8rmico. 9sto significa ue la energa ue incide sore la lámina es igual a la energa ue ella emite. La energa reciida por la lámina por unidad de superficie + de tiempo (la radiancia R) es igual a
'ustitu+endo R en la fórmula de 'tefan$olt-man R = σT 4 por su alor num8rico otenido, se calcula la temperatura.
La temperatura de la lámina en grados 7elsius es de !23; (t;7 = < $2#3 = 36 $ 2#3 = =!23;7).
Problema 3.
7alcule la temperatura de la superficie del sol, si se sae ue en el espectro de radiación del sol, lo corresponde una ma+or emisión de energa a la longitud de onda de 4,#"&!0$"cm. 7onsidere ue el sol emite como un cuerpo negro. Datos: = 4,#"!0$"cm = 4,#"!0$#m b = 2%!0$" m K
'olución: /tili-ando la le+ de despla-amiento de >ien, se calcula la temperaturaT .
?eneralmente se considera ue el alor medio de la energa ue emite ! cm2 de la superficie terrestre en un minuto es de 0,!3 caloras. 7onsiderando la
Problema 7.
'ore ! cm2 de la superficie terrestre caen !,2 caloras de energa t8rmica por minuto. 9ncuentre cuál es la temperatura de la superficie del sol, ao la suposición ue 8ste radia como un cuerpo negro. La distancia entre el sol + la tierra es !,"&!0 !!m + su radio es de 6,6!0% m. Datos: A = ! cm2= !!0$4 m2 t = ! min = 60 s U = !,2 cal = %,064 J s = !,"!0!! m
R sol = 6,6!0% m. σ = ",6#!0$% W m$2 K $4
'olución: La energa irradiada por toda la superficie del sol U S = (4πR sol 2). RS ,
(!)
donde (4πR sol 2) es el área de la superficie del sol J RS , la radiancia del sol. La energa ue incide sore la tierra por unidad de superficie + tiempo
(2) or otro lado, seg*n los datos del prolema
(3) 'ustitu+endo U S en la fórmula (2) por la e@presión (!), otenemos
(4) 'eg*n la le+ de 'tefan$olt-man para el cuerpo negro la energa emitida por el sol por unidad de superficie + tiempo ( la radiancia) es igual a : B ' = A<4 . oniendo la *ltima e@presión en la igualdad (4) + sustitu+endo U T por (3), se otiene
Problema 8.
/n cuerpo negro se encuentra a una temperatura 200 K . 7omo resultado de enfriamiento de este cuerpo, la longitud de onda correspondiente a la radiancia espectral má@ima sufrió una ariación de nm. Hasta u8 temperatura se enfrió el cuerpo5 Datos: T ! = 200 K K λ = nm = !0$ m b = 2%!0$" K m 'olución: 'eg*n la le+ de despla-amiento de >ien para el cuerpo negro λT = b = const . 9n el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminu+e (T 2 T !), por lo ue la longitud de onda máx aumenta (er la figura). ues, entonces
7omo λmáxT = const , entonces se puede escriir
(!) 'eg*n la le+ de despla-amiento de >ien
'ustitu+endo !má@ en la e@presión (!), se otiene
oniendo los alores num8ricos del prolema, se calcula la temperatura <2.
Problema 9.
/n filamento metálico cu+o diámetro es 0,2 mm se calienta con corriente el8ctrica 1asta una temperatura de 3000 K . 7alcule ue tiempo demorará en enfriarse, despu8s de apagarse (desconectarse), 1asta una temperatura de %00 K . 7onsidere ue el filamento emite como un cuerpo negro + ue no recie ninguna energa del medio ue le rodea. Desprecie cualuier efecto ue produ-ca la perdida de su energa. La densidad del filamento es ! g Mcm3 + el calor especfico es 0,03# cal M( g & K ). (! cal = 4,!%6% J ). Datos: d = 0,2mm = 2!0$4 m T ! = 3!03 K T 2 =%!02 K = ! g Mcm3 = !!03 kg Mm3 c = 0,03# cal M( g K ) = !"4, J M(kg K ) σ = ",6#!0$% W M(m 2 K 4)
'olución: 'i C es el área de la superficie del filamento + R es la energa emitida por el filamento por unidad de tiempo + superficie (la radiancia), entonces la energa U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA. 9l área de la superficie del filamento A = !πd"l , donde l es la longitud del filamento. 'eg*n la le+ de 'tefan$olt-man R = σT 4. or lo tanto, / = σT 4(πd"l .
(!)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminu+e en dT + el filamento pierde una energa Udt = $ mcdT , donde m es la masa del filamento + c es el calor especifico del material del filamento. 'ustitu+endo U por la e@presión (!), se otiene σT 4(πd "ldt = $ mcdT ,
Nntegrando la *ltima e@presión, tenemos
(2) La masa del filamento m = #, donde # es su olumen.
'ustitu+endo m en la e@presión (2), otenemos para el tiempo lo siguiente
Bectificando las unidades + poniendo los alores num8ricos del prolema, se otiene
9l filamento se enfre rápidamente +a ue la radiancia es directamente proporcional a T 4.
