EJERCICIO 1 Determine el periodo natural del sistema representado en la fgura. No considere la masa masa de la vig viga o de los los resor esorte tess que que soportan el peso W.
K TOTAL=
K VIGA =
L3
K TOTAL TOTAL =
√
+ 2 k
L3
3 EI
K TOTAL =
W =
3 EI
+
3 EI 2 k L
3
3
L
+
3 EI 2 k L
3
3
L
K TOTAL w ( peso ) g
√ ( √ = =
3
g ( 3 EI + 2 K L ) W = w ( peso ) g
+
3 EI 2 K
f
w ( peso ) 2 π
T =2 πL
√
3
L)
w ( peso ) g ( 3 EI + 2 KL)
K RESORTE =2 K
EJERCICIO 2
En el prolema anterior considerando que la viga !ene una longitud igual a "#$ cm% el m&dulo de elas!cidad del material 2.1'1$( )p*cm2% de secci&n transversal rectangular de $.2$cm de anc+o por $."# de altura. ,dem-s% el peso W 1#2$ )p% / )2#$$ )p*cm. 0i el peso W !ene un desplaamiento inicial $ 1.# cm / una velocidad inicial 3$4# cm*s. Determine el desplaamiento% velocidad / aceleraci&n para cualquier instante 5t6. Realice la gr-fca 7 vs t% 3 vs t% a vs t. D,8O0
9"#$cm E2.171$ :(; )p*cm2
δ =0.20 cm K resorte =2500 kp / cm
X 0 =1.5 cm V 0= 45 cm / s 6
3 x 2.1 x 10
K TOTAL =
x
(
K TOTAL=11612.24 kp / cm
m=1.5494 kp
w =86.57rad / seg
f =13.778hert
T =0.0725 s
EJERCICIO "
3
20 x 30 12
3
350
)+
3
2 x 2500 x 350
Resolver el prolema N<1% teniendo en cuenta una longitud igual a "2=.2# cm% el m&dulo de elas!cidad del material 2.1'1$( )p*cm2% de secci&n transversal tal como se muestra en la fgura. ,dem-s el peso W 124#.12 )p% / )24=# )p*cm. 0i el peso W !ene un desplaamiento inicial $ 1.1# cm / una velocidad inicial 3$2$ cm*s. Considere g>.?1 m*s2. Realice la gr-fca 7 vs t% 3 vs t% a vs t. D,8O0 9"2=.=#cm E2.171$ :(; )p*cm2
I!ER"IA =
15 X 30
3
12
3
+
7 X 22 12
w ( peso )=1245.12 kp
K resorte =2475 kp / cm
δ =2 π# δ =0.314
K tota$=9877.825 kp / cm m=1.269 kp
w =88.226rad / seg
f =14.042 hert
T =0.0712 s
# =5
" =2 mw# " =2 x 1.269 x 88.226 x 0.05 " =11.195kgxs / cm
EJERCICIO 4 Resolver el prolema N<1% teniendo en cuenta una longitud igual a 4?$ cm% el m&dulo de elas!cidad del material 2.1'1$( )p*cm2% de secci&n transversal tal como se muestra en la fgura. ,dem-s el peso W 124#.12 )p% / )24=# )p*cm. 0i el peso W !ene un desplaamiento inicial $ 1.1# cm / una velocidad inicial 3$2$ cm*s. Considere g>.?1 m*s2. Realice la gr-fca 7 vs t. D,8O0 94?$cm E2.171$ :(; )p*cm2
I!ER"IA =% % w ( peso )=1245.12 kp K resorte =2475 kp / cm
,RE, 1#$cm =#cm
D $ $
(
I!ER"IA =
5 x 15 12
D/ 2$ =.#
3
)+
(
75 x 8.33
I!ER"IA =10468.75cm 4
,t 22# 22#
2
(
)+
15 x 10 12
3
)+
@g $ $
(
150 x 4.17
2
)
7g 1#.?" 1#.?"
K TOTAL=5546.36 kp m=1.2692 kp w =66.105rad /S f =10.52hert T =0.095 s
EJERCICIO # Considere el sistema mostrado en la fgura% si se aplica una Auera B #$$ N% determine la Auera / deAormaci&n en cada elemento. El elemento )1 es de acero de 2$ cm. de claro / de secci&n transversal circular de 1 cm. de di-metro% el elemento )" es de aluminio de 2# cm. de claro / de secci&n transversal cuadrada de 1 cm. 'por lado. El resorte es de )2"$ )N*m. El m&dulo de elas!cidad para el acero es 2$$ a / para el aluminio es de =$ a D,8O0 E:acero;2$$, E:aluminio;=$ 9
K 1=
3 EI 3
L
3 x 200 x 10
=
K 3= 1
Ke
=
3
L
1
3 x 70 x 10
x 3
0.2 1
K 1 k 2
( )= 0.01
& = KX 500 27730.079
=18 m
4
)=
36815.539 kp
4
12
=16530.079 kp / cm
K TOTAL=27730.079 kp / cm
X =
64
X (0.1)
3
= +
(
π
0.2
9
3 EI
x
11200 kp
/ cm
/ cm
EJERCICIO ( 9a viga dolemente empotrada de la fgura es de acero% E 2 1$$ $$$ )g*cm2% I 4$$$ cm4. 9a viga sola es mu/ eile / para comodidad de los que transitan sore ella se desea que tenga una Arecuencia natural ma/or o igual a 2$ Fert. ara reducir la viraci&n se puede colocar una varilla de acero al centro de la lu. Determine el di-metro de la varilla :en los valores comerciales usados en nuestro medio; necesario para cumplir con esta condici&n. El peso colocado al centro es de 2t D,8O0 I4$$$ cm4 E2.171$ :(; )p*cm2 B2$ hrt W2$ton
K 1=
192 EI 3
L
=
192 x 2100000 x 4000 3
( 1000 )
K 2= x w=
f =
√
Kt m
' ( Kt / m) 2 π
=
2 πx 20
√
Kt m
Kt =( 2 πx 20 )2 x 2.0387 2
Kt =( 2 πx 20 ) x 2.0387 −1612.8 K 2=30581.059 =
(
30581.059 x 300 3 x 2100000
∅
=2.35 cm=1 ( (
ExA
(300 )
)
=( π ( ) ) 4
∅
2
=1612.8 kp / cm
EJERCICIO = 0e !ene un tanque elevado como el que se muestra en la fgura adGunta. 0e desea calcular su periodo natural de viraci&n para una ecitaci&n sHsmica. 0uponga que todos los espesores son de 2$cm. 9a cua / el Auste son cilHndricos. 0i se lo somete a una Auera ruscamente aplicada de 2$ t. Calcular cu-l es el m-imo desplaamiento que puede producirse. sted dee modelar la masa / la rigide a considerar% eplique sus criterios. :E 2"$ $$$ )g *cm2;. D,8O0 E2"$$$$ )p*cm2
K f)ste =
3 EI 3
L
3 x 230000 x
K f)ste =
Fallamos la masa
( =(
mf)ste
4
( 8 ) x 0.2 x 2 x 2400 =48254.86 kg 2
(
π
π
( 7.6 ) x 3.6 x 1000=163312.55 kg
m paredes= mag)a=
( ) π
4
π 4
4
)
( 8 ) −( 7.6 ) x 3.6 x 2400 =42343.64 kg 2
2
2
)
)
( 3 ) −( 2.6 ) x 7.5 x 2400=31667.25 kg 2
2
π 64
4
4
(310 −260 )) 3
(1500 )
K f)ste =3.54 kg / cm
mfo*do+ tapa=
(
K2?##=?.")g W$.11$22 B$.$1= 8#(.>=s
+max =
2 x 20 3.54
=1.13 cm
EJERCICIO ? Determine la Arecuencia natural para el movimiento +oriontal del p&r!co de acero en la fgura. Considere las vigas +oriontales infnitamente rHgidas / desprecie la masa de las columnas :E 21 Lp*cm2;. 9as columnas son de secci&n cuadrada de $.2# cm de lado / la columna central es de $.2# m de di-metro. ara la columna empotrada Mempotrada :caso columna central; L12EI*+"% donde + es la altura de la columna. ara la columna empotrada ar!culada :caso columna etrema; L" EI*+"% donde + es la altura de la columna. Elaorar la gr-fca 7 vs t.
5
2 x 3 x 21 x 10
K 1=
x (
25
12
3
( 400 )
12 x 21 x 10
K 2=
π
5
x (
64
3
( 400)
K tota$ =13958.75 kg / cm
w=
√
K tota$ =23.4 rad m
f =3.72 hert
4
) =6408.69 kg /cm
4
(25 ) ) =7550.06 kg / cm
T =0.26 s
EJERCICIO > Resolver el prolema ?% considerando las columnas son de secci&n +eagonal regular de $.2# cm de lado / la columna central es de $.2# m de di-metro. Elaorar la gr-fca 7 vs t% 3 vs t% a vs t.
EJERCICIO 1$ Resolver el prolema ?% considerando todas las columnas de secci&n rectangular de $."$ m $.#$ m de lado. Elaorar la gr-fca 7 vs t% 3 vs t% a vs t.
@g $ $ $ $ $ $
K tota$ =61523.44 kg / cm + 123046.875 kg / cm K tota$ =184570.315 kg / cm
W = 85.103 rad
f =13.54 hrt T =0.074 s
EJERCICIO 11 En el prolema ?% resolver considerando las tres columnas empotradas de secci&n rectangular de $."$ m $.#$ m de lado. Elaorar la gr-fca 7 vs t% 3 vs t% a vs t.
