“Año del Buen Servicio al Ciudadano”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE
CURSO
:
ALUMNO
EC ONO MÍA
ECONOMIA MATEMATICA
:
HUALLPA TUME, Dominiz Brando Luis Alberto
JeanCarlos Nicolas Luigui JeanPier
DOCENTE
:
JORGE GONZALES CASTILLO
PIURA, FEBRERO 2017
Ejercicios resueltos Capítulo 3: Análisis de equilibrio en economía EJERCICIO 1.
3.2. Equilibrio de mercado parcial: un modelo lineal 1. Dado el modelo de mercado Qd= Qs Qd=21-3P QS=-4+8P Obtenga P* y Q* por (a) eliminación de variables y (b) por medio de las formulas (3.4) y (3.5). (Use fracción en vez de decimales.) Desarrollo:
21-3P=-4+8P
Qd=21-3p
25=11P
Qd=21-3(25/11)
P*=25/11
Q*=156/11
Por la fórmula 3.4 y 3.5 P=
+ + + + = …….…… (3.4)
Q=
− =…………..(3.5) +
2. Sean las funciones de la oferta y la demanda como sigue: a) Qd=51-3P Qs=6P-10 b) Qd=30-2P Qs=-6+5P Determine P* y Q* mediante eliminación de variables. (Use fracción en vez de decimales.) Desarrollo: a) 51-3P=6P-10
Qd=51-3P
61=9P
Q P*=61/9
d=51-3(61/9) Q*=92/3
b) 30-2P=-6+5P 36=7P P*=36/7
Qd=30-2P Qd=30-2(36/7) Q*=138/7
3. Según la ecuación (3.5) para que Q* sea positiva, es necesario que la expresión (ad-bc) tenga el mismo signo algebraico que (b+d). Compruebe que esta condición se satisface en realidad en los modelos de los problemas 1 y 2. Desarrollo:
− …………….3.5 +
Q*=
Para el ejercicio 1
− ∗−∗ + + + +
Q*=
Para el ejercicio 2
− ∗−∗=+ + + + Q*= − + ∗−∗ + + +
a) Q*= b)
4. Si (b+d)=0 en el modelo de mercado lineal, ¿se puede encontrar una solución de equilibrio al usar (3.4) y (3.5)? ¿Por qué? Desarrollo: Si (b+d)=0 entonces P* y Q* en (3.4) y (3.5) implicaría la división por cero, que no está
definido 5. Si (b+d)=0 en el mercado lineal, ¿Qué se puede concluir en relación con las posiciones de las curvas de demanda y equilibrio en la figura 3.1?¿que concluye entonces con respecto a la solución de equilibrio? Desarrollo:
Fuente: Métodos fundamentales de economía matemática-pág. 32
si b+d=0 d=-b y las curvas de oferta y demanda tendrían la misma pendiente (aunque diferentes intersecciones verticales). Las dos curvas serían paralelas, sin punto de intersección de equilibrio. EJERCICIO 2 3.3. Equilibrio de mercado parcial: un modelo no lineal 1. Determine en forma gráfica los ceros de las siguientes funciones: a) f(x)=x2-8x+15 b) g(x)=2x2=-4x-16 Desarrollo: a)
Regla de tres
x
-55x
x
-33x
x f(x)
x1=5
2 3
x2=3
3 1
4 -1
5 1
6 3
b) regla de tres x
-4-4x
x
22x
x f(x)
x1=4
-1 -10
x2=-2
0 -16
1 -18
2 -16
3 -10
2. Resuelva el problema 1 mediante la fórmula cuadrática Desarrollo:
4∗1∗15 8±8 2∗1 X=5 ^ x=3 3. a) encuentre una ecuación cubica con raíces 6,-1 y 3 b) Obtenga una ecuación cuartica con raíces 1,2,3 y 5 Desarrollo: a) 4. Para cada una de las siguientes ecuaciones polinomiales, determine si x=1 es una raíz. a)x3-2x2+3x-2=0
b)2x3- x2+x-2=0 c)3x4-x2+2x-4=0 Desarrollo:
a) Si
X=1 b) no c) si
X=1
5. Halle las raíces racionales, si existen, de las siguientes ecuaciones. a)x3-4x2+x+6=0 b)8x3+6x2-3x-1=0
d)x -6x +7 x- x-2=0 c)x3+ x2- x- =0 4
3
Desarrollo: a)
X1=-1
x2=3
x3=2
b)
X1=-1
x2=1/2
x3=-1/4
c) tiene las mismas raíces que el ítem b
d) no tiene raíces 6. Obtenga la solución de equilibrio para cada uno de los siguientes modelos: a) Qd= Qs Qd=3-p2 Qs=6p-4 b) Qd= Qs Qd=8-p2 Qs=p2-2 Desarrollo: a) 3-P2=6P-4
P2+6P-7
b) 8-P2= P2-2
P2-5P=51/2ˆP=-51/2Q=3
P=-7 ˆP=1Q=2
7. La condición de equilibrio de mercado, Q d= Qs, suele expresarse en una forma alternativa equivalente, Qd- Q s=, que tiene la interpretación económica “la demanda excedente es cero”. Representa la ecuación (3.7) esta última versión de la condición de equilibrio? Si no, provea una interpretación económica apropiada para (3.7). Desarrollo:
La ecuación 3.7 es equilibrio indicado en forma de "el exceso de oferta sea cero" EJERCICIO 4 3.4. Equilibrio general de mercado 1. Desarrolle la solución de (3.13’), paso a paso, y de este modo compruebe los resultados en (3.14) y (3.15). 2. vuelve a escribir (3.14) y (3.15) en términos de los parámetros originales del modelo en (3.12).
−−−−− −−−−− −−−−− P =−−−−− P1*= * 2
3. Las funciones de la oferta y la demanda de un modelo de mercado de dos artículos son como sigue:
a) Qd1=18-3P1+p2 Qs1=-2+4P1 b) Qd2=12+p1-2p2 Qs2=-2+3p2 Determine Pi y Qi (i=1, 2) (Use fracción en vez de decimales.) Desarrollo: c2=1
18220 1347 12214 si sigue eso 11 2235 + + − − P*1
P*2
y
Sustitución en los rendimientos de la función de oferta y demanda dada Q*1=
y
Q*2=
EJERCICIO 5 3.5. Equilibrio en el análisis de ingreso nacional de ingreso nacional 1. Dado el siguiente modelo Y= C+Io+Go C=a+b(Y-T)
(a>0, 0
T=d+tY
(d>0, 0
a) ¿Cuántas variables endógenas hay? b) Determine Y*, T* y C* Desarrollo: a) Hay tres variables endógenas: Y, y T b) Mediante la sustitución de la tercera ecuación en la segunda y luego la segunda en la primera, obtenemos:
1 (11) −++ −− 0
O
0
0
0
Esto
*
Entonces se sigue que los valores de equilibrio de las otras dos variables endógenas son
−−+++ −− *
*
Y
−+−+ −− *
*
0
0
2. Sea el modelo de ingreso nacional: Y= C+Io+G C=a+b(Y-To)
(a>0, 0
G=gY
(0
a) Identifique las variables endógenas. b) Dé el significado económico del parámetro g. c) Determine el ingreso nacional de equilibrio d) ¿Qué restricción se requiere en los parámetros para que exista una solución?
Desarrollo: a) Las variables endógenas son Y, C, y G b) G=G/Y= Proporción del ingreso nacional gastado como gasto público c) Sustituyendo las dos últimas ecuaciones por la primera, obtenemos Esto
−+ −− *
d) La restricción es la necesidad de evitar la división por cero
3. Determine Y* y C* a partir de los siguientes: Y=C+Io+Go C=25+6Y1/2 Io=16 Go=14
Desarrollo:
6 550
O
6550
(donde w=
)
Esta última es una ecuación cuadrática, con raíces W*1, W*2=
6±36220
1/2
)=11,-5
Desde la primera raíz, podemos obtener
∗
W*1=121 y C*=25+6(11)=91
Por otra parte, la segunda raíz es inadmisible porque conduce a un valor negativo para C:
∗ 256 5 5 Capítulo 4: Modelos lineales y algebra de marices EJERCICIO 6 4.1. Matrices y vectores 1. Reescriba el modelo de mercado (3.1) en el formato de (4.1), y muestre que, si se disponen las tres variables en el orden Q d, Qs y P, la matriz de coeficientes será :
¿Cómo escribiría el vector de constantes? Desarrollo: Qd -Qs=0 Qd +bP=a Qs +dP =-c
Vector de constantes Matriz de coeficientes
1 1 0 01 10
0
2. Reescriba el modelo de mercado (3.12) en el formato de (4.1) con las variables dispuestas en el siguiente orden: Qd1, Q s1, Qd2, , Qs2 y P1, P2.Escriba la matriz de coeficientes, el vector de variables y el vector de constantes. Desarrollo:
Qd1 -Qs1=0 Qd1 -a1P1- a2P2 = a0 Qs1-b1P1-b2P2= b0 Qd2 -Qs2=0 Qd2 -a1P1- a2P2 = a0
Qs2-
1P1-
2P2=
0
Matriz de coeficientes
Vector de
Vector de
variables
constantes
3. ¿Se puede reescribir el modelo de mercado (3.6) en el formato de (4.1)? ¿Por qué? Desarrollo: No, porque el sistema de ecuaciones no es lineal 4. Reescriba el modelo de ingreso nacional (3.23) en el formato de (4.1), con Y como la primera variable. Escriba la matriz de coeficientes y el vector de constantes. Desarrollo:
La matriz de coeficiente y vector de constantes es:
1 11
5. Reescriba el modelo de ingreso nacional del ejercicio 3.5.1 en el formato de (4.1), con las variables en el orden Y,T y C.(Sugerencia: tenga cuidado con la expresión multiplicativa b(Y-T) en la función de consumo) Desarrollo:
En primer lugar expandir la expresión multiplicativa (b(Y-T) en la expresión aditiva bY-bT de modo que bY y –bT puede ser colocado en columnas separadas. Entonces podemos escribir el sistema como
EJERCICIO 7 4.2. Operaciones con matrices
1. Dada A= a) A+B
, B=
b)C-A c)3A Desarrollo:
a)
79 37
Y C=
, obtenga:
d)4B+2C
10 84
b)
2. Dadas A=
c)
, B=
2118 327
d)
1624 622
y C=
a)¿Esta definido AB? Calcule AB. ¿Puede calcular BA? ¿Por qué? b)¿Esta definido BC?. C alcule BC. ¿ Esta definido CB?. En caso afirmativo, calcule CB. ¿ Es cierto que BC=CB? Desarrollo:
286 640 13 8
a)si
,No
b) Ambos estan definidos, pero BC=
1469 304 ≠2021 1624
3. Con base en las matrices dadas en el ejemplo 9, ¿ Esta definido el producto BA?. Si es asi, calcule el producto ¿En este caso se tiene AB=BA? Desarrollo: BA
0 1/5 3/10 3 1 2 10 1 2/5 1/5 1/10∗ 7/10 41 0 32 0 0 00 10 01
Si. BA=
Esto sucede que tenemos AB = BA en este caso particular
4. Obtenga las matrices producto de los siguientes casos (en cada uno, anexe debajo de cada matriz un indicador de dimesion):
a)
c)
b)
d) Desarrollo:
a)
36160 2023
35 427
494 33
b)
7 24
c)
d)
5. En el ejemplo 7, si se disponen las cantidades y precios como vectores columna en lugar de vectores renglon, ¿Esta definido Q,P? ¿Es posible expresar el costo total de compra como Q.P,Q’.P,Q.P’?
Desarrollo: Si,si 6. Desarrolle las siguientes expresiones de suma: a)
b)
c)
d)
xi-t
e)
∑= ∑= ∑= ∑= 1 ∑= 2345 a5a6x6a7x7a8x8 1234 1 2 ⋯ − 123 ⋯ − 1 2 3 Desarrollo:
a)
b) c)
d) e)
2
+
7. Reescriba lo siguiente en notacion de a) x1(x1-1)+2x2(x2-1)+3x3(x3-1) b)a2(x3+2)+a3(x4+3)+a4(x5+4)
⋯ (x≠0) d)1+ ⋯ (x≠0) c)
∑:
2
Desarrollo:
∑= 1
a)
b)
∑= +
c)
∑=
d)
∑=
8. Muestre que las siguientes expresiones son ciertas: a) b) c)
∑= + ∑+= ∑== ∑∑== ∑= Desarrollo:
∑= + ⋯ + ∑+= ∑= ⋯ ∑= = ⋯ ⋯ ∑ ⋯ ∑= ∑= a)
+
=
b) c)
+
=
EJERCICO 8 4.3. Notas sobre operaciones con vectores 1. Dado u’= , vectores columnas, u, v, w y x, encuentre
5 1 3 3 1 1, 7 5 8 1 2 3,
a) uv’
b)uw’
c)xx’
d)v’u
e)u’v
f)w’x
g)u’u
h)x’x
Desarrollo:
51 ∗3 1 1 153 51 51 3 9 3 3 51 ∗5 7 8 1 357 255 408 3 21 15 24 12 ∗1 2 3 21 1 12 13 23 2 3 31 32 3 3 1 1∗ 513
a) uv’=
=
b) uw’=
c) xx’=
d) v’u=
=|15+1-3|=13
escriba los
5 1 3∗ 131 |1513 |13 7 5 8 ∗ 123 715283 5 5 1 3∗ 13 35} 1 2 3∗ 123 ∑= 32 1 1 1 16 2 2 2
e) u’v=
f)
u’x=
g) u’u=
h) x’x=
2. Dados w=
,
x=
, y=
y z=
;
a) ¿Cuáles de los siguientes están definidos: w’x, x’y’,xy’,y’y,zz’,yw’,x.y? b) Encuentre los productos que están definidos Desarrollo:
a) Todos están definidos excepto u'x y x'y '
b)
3. Habiendo vendido n artículos de mercancía en cantidades Q1,…Qn y precios P1,…Pn,
cómo expresaría el ingreso total en a) notación de sumatoria y b) notación vectorial? Desarrollo: a) b) Sea P y Q los vectores de columna o los precios y las cantidades, respectivamente. Entonces el ingreso total es P.Q o P'Q o Q 'P
∑
¿
4 Dados dos vectores no nulos w1 y w2, el ángulo con el producto escalar w1,w2 como sigue:
e
≤≤180 (0
que forman, se relaciona
ángulo uns
Compruebe esto calculando el producto escalar de cada uno de los pares de vectores siguientes (véase las figuras 4.2 y 4.3):
231 324 10 01 22
a) w1= , w2= b)
413 322 02 01 20
w1= , W2=
c) w1= , w2= d) w1=
, w2=
e) w1=
, w2=
Desarrollo: a) w’1w2=11 b) w’1w2=-11 c) w’1w2=-13 d) w’1w2=0 e) w’1w2=5
5. Dado u= a)2v
51 03
y v= , obtenga en forma gráfica lo siguiente: b)u+v
c) u-v
d)v-u
e)2u+3v
f)4u-2v
Desarrollo:
06 20 2
a) 2v=
54
b)u+v=
25
c)u-v=
52
d)v-u=
e) 2u+3c=
1011
f) 4u-2v=
6. Puesto que los tres vectores unitarios definidos en (4.7) generan el espacio tridimensional, cualquier otro vector de tres dimensiones se debe poder expresae como una combinación lineal de e1, e2 y e3 .Muestre que los vectores de tres dimensiones siguientes se pueden expresar de este modo:
47 0
a)
2251
b)
c)
16 9
d)
20 8
Desarrollo: a) 4e1+7e2 b) 25e1-2e2+e3 c) –e1+6e2+9e3 d) 2e1+8e3
7. En el espacio euclidiano tridimensional, ¿Cuál es la distancia entre los siguientes puntos? a) (3,2,8) y (0.-1,5)
b)(9,0,4) y (2,0,-4)
Desarrollo: a) d= b) d=
√27 30 21 85 92 044 √113
≤
8. La desigualdad triangular se escribe con el signo de desigualdad débil , y no con el signo de desigualdad estricto <. ¿ En qué circunstancias aplicaría la parte “=” de la desigualdad?
Desarrollo:
Cuando u, v, y w se encuentran en una sola línea recta
9. Exprese la longitud del radio de vector v en el espacio euclidiano n-dimensional (es decir, la distancia del srcen al punto v) al usar cada uno de los siguiente conceptos: a) Escalares Desarrollo:
b) un producto escalar
c) un producto interior
EJERCICIO 9 4.4. Leyes conmutativa, asociativa y distributiva
1. Dadas A=
B= ,
C= y
compruebe , que
a) (A+B)+C=A+(B+C) b) (A+B)-C=A+(B-C) Desarrollo:
115 1717 19 19
a) (A+B)+C=A+(B+C)= b) (A+B)-C=A+(B-C)=
2. La resta de una matriz B se puede considerar como la suma de la matriz (-1)B. ¿La ley conmutativa de suma permite expresar que A-B=B-A?si no, ¿Cómo corregiría el enunciado? Desarrollo: No. La respuesta deberia ser A-B=-B+A
3. Pruebe la ley asociativa de multiplicación con las siguientes matrices:
A=
B=
,
C=
y
Desarrollo:
25075 6855
(AB)C=A(BC)=
4. Pruebe que para dos escalares cualesquiera g y k a) k(A+B)=kA+KB b) (g+k)A=gA+Ka
(Nota: para probar un resultado, no se pueden usar ejemplos específicos) Desarrollo:
( )()() () ()()() () a) K(A+B)=K( b)
5. Para a) a d) obtenga C=AB
a) A=
12204 7145 9 1 72 119 10 6 67 29 54
B=
330 829 5 267 123 46 51 1011 13 2 9
b) A=
B=
c)A=
B=
d)A=
e) Determine i) C=AB
B=
e ii)
D=BA, si
24 3 6 2 7 36 136 60 190 2629 7478 6952 117 51138 946276 461956
A=
Desarrollo:
a) AB=
b) AB=
c)
17792 5770 61221 12 2442 14 84 4
d) AB=
e) i)AB=
ii)BA=
6. Pruebe que (A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD Desarrollo:
(A+B)(C+D)=(A+B)C+(A+B)D=AC+BC+AD+BD 7.Si en la matriz A del ejemplo 5 todos sus elementos fuera cero, ¿x’Ax todavía daría una suma de cuadrados ponderada?¿Aun se aplicaría la ley asociativa? Desarrollo: No, x’ Ax contendría entonces términos de producto cruzado
12 1
x2
8.Mencione algunas situaciones o contextos donde pudiera ser relevante el concepto de suma de cuadrados ponderada o no ponderada. Desarrollo:
La suma no ponderada de cuadrados se utiliza en el método bien conocido de mínimos cuadrados para ajustar una ecuación a un conjunto de datos. Se pueden usar cuadrados de suma ponderada, en la comparación de las condiciones meteorológicas de las diferentes áreas de los centros vacacionales mediante la medición de las desviaciones de una temperatura ideal y una humedad ideal. EJERCICIO 10 4.5. Matrices identidad y matrices nulas
10 25 74
Dadas A=
1. Calcule: a) AI
b)IA
96 0
b=
c)Ix
12
y
x=
d)x’I
Indique la dimensión de la matriz identidad utilizada en cada caso. Desarrollo:
10 25 10 25 ′
a) A b) c) d)
2. Calcule: a)Ab
b)AIb
74 74
c)x’IA
d)x’A
¿La inserción de I en b) afecta el resultado en a)? ¿La eliminación de I en d) afecta el resultado en c)? Desarrollo:
90 12 30 00 1221 1 51 22 71 42
a) Ab=
=
b) AIb da el mismo resultado que en a) c) X’IA= d) X’A da el mismo resultado que en c)
3. ¿Cual es la dimensión de la matriz nula que resulta de cada de las siguientes operaciones? a) Premultiplicar A por una atriz nula 5*2 b) Posmultiplicar A por una matriz nula de 3*6 c) Premultiplicar b por una matriz nula de 2*3 d) Posmultiplicar x por una matriz nula de 1*5 Desarrollo: a)5*3
b)2*6
c)2*1
d)2*5
4. Muestre que la matriz diagonal
⋮ ⋯⋱ 0⋮ 0 ⋯
Puede ser idempotente solo si cada elemento diagonal es 1 o 0. ¿Cuánto matrices diagonales, idempotentes, numéricas, distintas de dimensión n*n se pueden construir en total de esta matriz? Desarrollo: La matriz diagonal dada, cuando se multiplica por sí misma, da otra matriz diagonal con elementos diagonales. Para idempotency, debemos tener para cada cada debe ser o1 o. Ya que cada uno puede tener dos valores posibles, y, hay en conjunto de éstos somos capaces de construir un total de alfombra idempotente del tipo diagonal. Dos ejemplos serían
EJERCICIO 11 4.6. Transpuestas e Inversas
10 43 30 81 16 01 91
1. Dada A=
, B=
y C=
, obtenga A’, B’ Y C’.
Desarrollo:
A’=
04 13
B’=
83 01
10 61 91
C’=
2. Por medio de las matrices del problema 1, compruebe que a) (A+B)´=A’+B’
b)(AC)’=C’A’
Desarrollo:
04 13
214 6173
a) (A+B)´=A’+B’=
b) (AC)’=C’A’=
3. Generalice el resultado (4..11) al caso de un producto de tres matrices al probar que, para matrices conformables cualesquiera A,B y C, se cumple la ecuación (ABC)’=C’B’A’.
Desarrollo: Dejar D=AB. (ABC)’≡(DC)’=C’D’=C’(AB)’=C’(B’A’)=C’B’A’ 4. Dadas las siguientes cuatro matrices, pruebe si alguna de ellas es la inversa de la otra:
10 123 16 18 [10 1/34 ] [34 1/2 1/2 ]
D=
E=
F=
G=
Desarrollo:
10 10
DF=
EG=
01 01
D y F son inversa el uno del otro.
, E y G son inversa el uno del otro
5. Generalice el resultado (4..14) al probar que, para matrices no singulares conformables A, B y C, se cumpe la ecuación (ABC)-1=C-1B-1A-1 Desarrollo: D≡AB. Entonces (ABC)-1≡(DC)-1=C-1D-1=C-1 (AB) -1=C-1(B-1A-1)= C-1B-1A-1
6. Sea A=I-X(X’X)-1X’ a) ¿A debe ser cuadrada?¿(X’X) debe ser cuadrado?¿X debe ser cuadrada? b) Muestre que la matriz A es idempotente.(Nota: si X’ y X no son cuadradas, es inapropiada que se aplique (4.14)) Desarrollo:
a) A y X’X Debe ser cuadrado, digamos n*n; X sólo necesita ser n * m, donde m no es necesariamente igual a n. b) AA=(I-X(X’X)-1X’)(I-X(X’X)-1X’) =II-IX(X’X)-1X’-X(X’X)-1X’I+X(X’X)-1X’X(X´X)-1X’ Ver ejercicio .46 =I-X(X´X)-1X’-X(X’X)-1X’+XI(X’X)-1X’ =I-X(X’X)-1X’ =A Que A satisface la condición de idempotencia
EJERCICIO 12 4.7. Cadenas de Markov finitas 1. Considere la situación de un despido masivo (es decir, el cierre de una fábrica) donde laboraban 1200 empleados y ahora comienzan a buscar trabajo. En este caso hay dos estados: empleados (E) y desempleados (U) con un vector inicial X’0=(E U)=(0 1200)
Suponga que en un periodo determinado una persona desempleada encontrara trabajo con probabilidad 0.7 y, por lo tanto, permanecerá desempleado con una probabilidad de 0.3. Ademas, las personas que tienen empleo podrían perderlo en algún periodo con una probabilidad de 0.1 (y tendrán una probabilidad 0.9 de permanecer empleados). a) Plantee una matriz de transición de Markov para este problema. b) ¿Cuál será el número de personas desempleadas después de (i) 2 periodos; (ii) 3 periodos; (iii) 5 periodos; (iv) 10 periodos? c) ¿Cuál es el nivel de estado estable de desempleo?
Desarrollo: a) La matriz de transicion de markov es b)
Empleados Desempleados
0.0.97 0.0.13
Dos periodos
Tres periodos
1008 192
1042 158
Cinco periodos 1050 150
Diez periodos 1050 150
c) Como la matriz de transición de markov srcinal se eleva a poderes sucesivamente mayores la matriz resultante converge a Mnn
∞ -
0.0.887575 0.0.112525
Que es el estado estacionario, dándonos 1050 empleados y 150 desempleados
Capítulo 5: Modelos lineales y algebra de matrices (continuación) EJERCICIO 13 5.1. Condiciones de la no singularidad de una matriz 1. En las siguientes proposiciones por pares, sea p la primera y q la segunda proposición indique para cada caso s se aplica (5.1), (5.2) o (5.3). a) Es un día de fiesta; es el da de acción de gracias. b) Una figura geométrica tiene cuatro lados; es un rectángulo. c) Dos pares ordenados (a,b) y (b,a) son iguales; a es igual a b. d) Un numero es racional; este se puede expresar como un cociente de los enteros e) Una matriz de 4*4 es no singular; el rango de la matriz de 4*4 es 4. f) El tanque de gasolina de mi automóvil esta vacio; no puedo encender mi automóvil. g) La carta se devuelve al remitente con la leyenda “destinatario desconocido”; el remitente escribiomal la dirección en el sobre. Desarrollo: a) (5.2)
b) (5.2)
c) (5.3)
d) (5.3)
e) (5.3)
f)(5.1)
g) (5.2)
2. Sea p la proposición “una figura geométrica es un cuadrado” y sea q como sigue: a) Tiene cuatro lados b) Tiene cuatro lados iguales c) Tiene cuatro lados iguales, cada uno perpendicular al adyacente ¿Cuál es verdadero en cada caso: pq,pq? Desarrollo:
a) pq
b)pq
c)pq
3. Son linealmente independientes los renglones en cada una de las siguientes matrices?
a) b)
c) Desarrollo:
d)
a) si
b) si
c)si
d)no; v’2=-2v’1
4. Compruebe si las columnas de cada matriz del problema 3 son tambien linealmente independientes. ¿Obtuvo la misma respuesta para la independencia de los reglones?
Desarrollo: Obtenemos los mismos resultados que en el problema anterior a) Intercambie la fila 2 y la fila 3 en A para obtener una matriz A1. en A mantenga la fila 1 como está, pero agregue la fila 1 a la fila 2, obtenga A2. en A, divida la fila 2 por 5. luego multiplique la nueva fila 2 por -3, y agrega el resultado a la fila 3. la matriz de escalones resultante A3=
10 51 1/51 0 0 42
Contiene tres filas distintas de cero; por lo tanto r(A)=3
b) Cambie la fila 1 y la fila 3 en B para obtener una amtrix B 1. En B1, divida la fila 1 en 6. Luego multiplica la nueva fila 1 por -3 y agregue el resultado a la fila 2, obtenga B2. En B2, multiplique la fila 2 Por 2, luego agregue la nueva fila 2 a la fila 3. La matriz de escalones resultante B3=
10 1/61 04 0 0 0
Con dos filas no cero en B3; Por lo tanto r (B) = 2. Hay dependencia lineal en B fila 1 es igual a la fila 3 -2 (fila 2). Matrix es singular. c) Intercambie la fila 2 y la fila 3 en, C para obtener la matriz C1. En C1 divida la fila 1 a 7. Luego multiplique la nueva fila 1 por -8, y agregue el resultado a la fila 2, para obtener C2. En C2, multiplique la fila 2 por -7/48. Luego multiplique la nueva fila 2 por -1 y añada el resultado a la fila 3, para obtener C3. En C3, multiplique la fila 3 por 2/3, para obtener la matriz de escalón
1 0 10 1
C4=
d) Interchance fila 1 y fila 2 en D, para obtener la matriz D1 (Este paso es opcional, porque también podemos empezar dividiendo la fila srcinal 1 por 2 para producir el elemento unitario deseado en el extremo izquierdo de la fila. El intercambio de las filas 1 y 2 nos da números más simples para trabajar). En D1, multiplique la fila 1 por -2, y agregue el resultado a la fila 2, para obtener D2. Dado que las dos últimas filas de D2 son idénticas, la dependencia lineal es obvia. Para producir una matriz
de escalones, divida la fila 2 en D2 por 5 y luego agregue (-5) veces la nueva fila 2 a la fila 3. La matriz de escalones resultante D3=
10 11 9/50 3/51 00 0 0
Contiene dos filas distintas de cero, por lo tanto r (D) = 2. Una vez más, las preguntas no singulares no son relevantes aquí.
5. Determine el rango de cada una e las siguientes matrices a partir de su matriz escalonada, y comente acerca de la cuestion de no singularidad
A= a)
C= c)
b) B=
D=
d)
6. Por definición de la dependencia lineal entre los renglones de una matriz, uno o más reglones se pueden expresar como una combinación lineal de algunos otros reglones, En la matriz escalonada, la presencia de uno o más reglones cero indica la dependencia lineal. ¿Que proporciona el enlace entre la presencia de una combinación de reglones lineales en una determinada matriz y la presencia de reglones cero en la matriz escalonada? Desarrollo: El enlace es proporcionado por la tercera operación de fila elemental. Si, por ejemplo, la fila 1 de una matriz dada es igual a la fila 2 menos K veces la fila 3 (que muestra un patrón específico de combinación lineal), añadiendo (-1) veces la fila 2 y K la fila 3 a la fila 1. Podemos producir una fila cero. Este proceso implica la tercera operación de fila elemental. Entonces la utilidad de la transformación de la matriz del escalón está en su acercamiento sistemático para forzar hacia fuera las filas cero si existen
EJERCICIO 14 5.2. Prueba de no singularidad mediante el uso del determinante 1. Evalué los siguientes determinantes:
a)
b)
d)
e Desarrollo:
c)
)
f)
a) -6
b) 0
c)0
d)157
e)3abc-a3-b3-c3
f)8xy+2x-30
2. Determine los signos que se anexaran a los menores pertinentes a fin de obtener los siguientes cofactores de un determinante: |C 13|,| C23|,| C33|,|C 41|y| C34| Desarrollo: +,-,+,-,-.
ℎ ℎ
3. Dada |
|, obtenga los menores y cofactores de los elemtos a, b y f
Desarrollo:
[ ]
[ ℎ]
|Mo|=
|Mb|=
|Mf|=
|C0|=|Mo|
|Cb|=|Mb|
|Cf|=|Mf|
4. Evalue los siguientes determinantes:
a)
b) Desarrollo: a) 72
b) -81
5. En el primer determinante del problema 4, obtenga el valor del cofactor del elemento 9.
Desarrollo:
21 36 40 0 5 0
El cofactor del elemento 9 es -
=20
6. Determine los menores y cofactores del tercer renglón, a partir de:
A= Desarrollo: Primero encuentre a los menores
112 47 93 74 93 112
|M|31= |M|32=
=69
=51
|M|33=
=-15
Paso 4: Ya que un cofactor es simplemente el menor con un signo particular, según |Cij|=(-1)i+j |Mij|encontramos: |C31|= (-1)4 |M31|=69 |C32|=-1)5 |M32|=-51 |C33|= -1)6 M33|=-15
7. Utilice la expansión de Laplace para hallar el determinante de:
A= Desarrollo: |A|=a12 |C12|+a22|C22|+a32|C32|
29 126 5159 129 0
|A|=(7)(-1)
|A|= (7) (-30) + (5) (99)=705
EJERCICIO 15 5.3. Propiedades básicas de determinantes
42 01 17 33 9
1. Use el determinante | determinantes
| para comprobar las primeras cuatro propiedades de los
Desarrollo: 1 N/A 2. Muestre que, cuando los elementos de un determinante de n-esimo orden |A| se multiplican por un numero K, el resultado será K’’ |A|
Desarrollo: El factoraje de k en cada columna sucesiva (o fila) para un total de n columnas (o filas) dará el resultado indicado. 3. ¿Cuáles propiedades de los determinantes nos permiten escribir lo siguiente?
279 185690 182
a)
b)
94 272 1812 31
Desarrollo: a) propiedad IV
b) propiedad III
4. Pruebe si las siguientes matrices son no singulares:
a)
b)
1947 011 310 547 206 310
c)
d)
71 11 40 13 3 4 43 09 15 10 8 6
Desarrollo: a) singular
b) singular c)singular
d) no singular
5. ¿Qué se puede concluir acerca del rango de cada matriz del problema 4? Desarrollo: .En d) el rango es 3 . En a), b) y c), el rango es menor que 3 6. ¿Algunos de los siguientes conjuntos de vectores de tres dimensiones generaran el espacio tridimensional? ¿Por qué si o por qué no?
a) b)
121 231 342 8 1 3 1 2 8 7 1 5 Desarrollo:
Entonces puesto en a) puede porque cuando los tres vectores se combinan en una matriz, su determinante desaparece. Pero el conjunto en b) no puede. 7. Reescriba el modelo de ingreso nacional simple (3.23) en la forma Ax=d (con Y como la primera variable en el vector x), y luego pruebe si la matriz de coeficientes A es no singular. Desarrollo: 8. Comente acerca de la valides de las siguientes afirmaciones: a) “Dada cualquier matriz A, se puede obtener de estas siempre una transpuesta y un determinante” b) “Al multiplicar por 2 cada elem ento de un determinante de n*n se duplica el valor de ese determinante” c) ”Si se anula una matriz cuadrada A, entonces se puede tener la seguridad de que el sistema de ecuaciones Ax=d es no singular.”
Desarrollo: A es no singular porque |A|=1-b≠0 a) Tener un determinante, A tiene que ser cuadrado b) Multiplicar cada elemento de un determinante n * n aumentará el valor del determinante 2n-veces c) La matriz A, a diferencia de | A |, no puede "desaparecer". Además, un sistema de ecuación, a diferencia de una matriz, no puede ser no singular o singular
EJERCICIO 16 5.4. Obtención de la matriz inversa 1. Suponga que expandimos un determinante de cuarto orden por su tercera columna y los cofactores de los elementos de la 2da columna. ¿Cómo escribiría la suma resultante de productos en la notación de ¿Cuál será la suma de productos en la notación de la
∑?
expandimos por el segundo reglón y los cofactores de los elementos del cuarto reglón? Desarrollo: Ellos son
∑= || ∑=
, respectivamente
2. Obtenga la inversa de cada una de las siguientes matrices:
50 21
a) A=
b) B=
Desarrollo:
19 20
c) C=
33 17
d) D=
70 63
∑
Ya que adj A=
10 25 ,
tenemos A-1=
Similarmente, tenemos B-1=
− 2 9
1 2 || 0 5 10 ,− 13 73
3. a) Con base en sus respuestas del problema 2, formule una regla de 2 pasos para obtener la adjunta de una matriz A de 2*2: en el 1er paso, indique lo que se les debe hacer a los 2 elementos diagonales de A, con el fin de obtener los elementos diagonales de adj A; en el segundo paso, indique que se debe hacer a los dos elementos fuera de la diagonal de A. (Advertencia: esta regla se aplica solo a matrices de 2*2). b) Añada un tercer paso que, junto con los dos pasos previos, produzca la matriz inversa A-1 de 2*2 Desarrollo: a) Intercambiar los dos elementos diagonales de A, multiplicar los dos fuera de la diagonal de A por -1 b) Dividir el adj A por |A| 4. Obtenga la inversa de cada una de las siguientes matrices:
47 23 01 2 0 1
a) E=
b) F=
11 10 32 4 0 2
10 00 01 010
c)G=
Desarrollo: E-1=
3 7 6
G-1=
2 3 42 267 10 00 01 010
0 − 10 0
F-1=
10 01 00 001
2 3 46 11
H-1=
5. Determine la inversa de
243 113 514
A=
Desarrollo:
A-1=
13/98 1/98 16/98 11/98 31/98 1/14 1/14 6/98 1/7
6. Resuelva la matriz Ax=d por inversión de matriz, donde
10 01 00 001
d)H=
a)
4328 2542
b)
412538 2132312 312435
Desarrollo: a) X= A-1d
b) X= A-1d
5/14 3/14 [1/7 2/7 ]284218 1/98 16/98 12 13/98 8 25 11/98 31/98 6/98 × 12 3 1/14 1/14 1/7 5 1
7. ¿Es posible que una matriz sea su propia inversa? Desarrollo: Si, matrices G y H en el problema 4 por ejemplo EJERCICIO 17 5.5. Regla de Cramer 1. Use la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a)
b)
31226 21211 2 3 41212
c)
8 1729 123 519214 71324 d)
Desarrollo: a) |A|=7, |A1|=28, |A2|=21. Asi x1=4,x2=3 b) |A|=-11, |A1|=-33, |A2|=0. Asi x1=3,x2=0 c) |A|=15, |A1|=30, |A2|=15. Asi x1=2,x2=1 d) |A|= |A1|=|A2|=-78. Asi x1=x2=1.
2. Para cada uno de los sistemas de ecuaciones del problema 1, encuentre la inversa de la matriz de coeficientes y obtenga la solución por la formula X=A-1d
Desarrollo:
1 2 − 4 2 3 − 1 3 −3 3 A = 4 1 1 7 − 2 0 A = 1 8 1 − − A = 3 7 95 11
a) A-1= b) c) d)
-1
-1
-1
3. Utilice la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
812 16 2535 21 37 1322324 1 36 52 38
a)
2
b)
4321 2 6 3 4
c)
d)
Desarrollo: a) |A|=38,|A1|=76,|A2|=0,|A3|=38, Así x1=2, x2=0, x3=1 b) |A|=18,|A1|=-18,|A2|=54,|A3|=126, Así x1=-1, x2=3, x3=7 c) |A|=17,|A1|=0,|A2|=51,|A3|=68, Así x=0, y=3, z=4
, y= , z=
d) |A|=4,|A1|=2(b+c),|A2|=2(a+c),|A3|=2(a+b), Así x=
4. Muestre la regla de Cramer se puede obtener de otra manera mediante el siguiente procedimiento. Multiplique ambos lados de la primera ecuación del sistema Ax=d por el cofactor |C1j|, y después multipliquen ambos lados de la segunda ecuación por el cofactor |C 2j|, etc. Sume las ecuaciones recién obtenidad. Luego asigne los valores 1,2…n al índicej, de forma sucesiva, para obtener los valores solución x1,x2,…,xn como se muestra en (5.17)
Desarrollo: Después de la multiplicación indicada por los cofactores apropiados, las nuevas ecuaciones se suman a la siguiente ecuación
Cuando j=1, el coeficiente de x 1 se convierte |A, Mientras que los coeficientes de las otras variables desaparecen, esto la última ecuación se reduce a |A| x 1= , Conduce al
∑= ||
resultado para x1 en (5.17). Donde j=2, Obtenemos el mismo resultado para x2 EJERCICIO 18 5.6. Aplicación a modelos de mercado y de ingreso Nacional 1. Resuelva el modelo de ingreso nacional del ejercicio 3.5-1: a) Por inversión de matriz b) Por la regla de Cramer (Enumere las variables en el orden de Y,C,T) Desarrollo: El sistema se puede escribir como
1 110 01 × 1 11 1 −+ 1
a) ya que A-1=
b) |A|=1-b+bt
, la solución es
∗ ∗ A−d 1 1
1 ∗ 1 ∗ 1 1 ∗ d1bta 1
× 1 1
|A1|= |A2|= |A3|=d(1-b)+t(a+ Asi
2. Resuelva el modelo de ingreso nacional del ejercicio 3.5-2: a) Por inversión de matriz
b) Por la regla de Cramer
(Enumere las variables en el orden de Y,C,G) Desarrollo: El sistema puede escribirse así
a)
1 110 01 × 0 1 1 1 −+ × 1 ∗∗ A−d 1 1 1 × 1 ∗ ∗ 1 ∗ 1 1 ∗ gIoabTo 1 ya que A-1=
, la solución es
b) |A|=1-b-g |A1|= |A2|= |A3|=g( Así
3. Sea la ecuación para IS
− − ;
donde 1-b es la propensión marginal a ahorrar, g es la sensibilidad de inversión
en relación con las tasas de interés y A es un agregado de variables exógenas. Sea la ecuación para LM
;
donde k y l son la sensibilidad de demanda de dinero respecto al ingreso y a la tasa
de interés, respectivamente, y Mo son los saldos reales en efectivo. Si b=0.7, g=100, A=252, k=0.25, l=200 y Mo=176, entonces a) Escriba el sistema IS-LM en forma matricial b) Determina Y e i mediante la inversión de matriz
Desarrollo:
a) b) La inversa de A es
Finalmete
EJERCICIO 19 5.7. Modelo de Leontif de insumo-producto 1. Con base en el modelo en (5.24), si las demandas finales son d1=30, d2=15 y d3=10 ¿Cuáles son los niveles de producción correctos para las tres industrias?. Desarrollo:
2. Con la información en (5.23), calcule la cantidad total de insumo primario requerido para producir los niveles de producción correctos del problema 1. Desarrollo:
3. En una economía de dos industrias, se sabe que la industria la utiliza 10 centavos de su propio producto y 60 centavos de articulo II para producir una cantidad con valor de un dólar del artículo I; la industria II no utiliza su propio producto pero emplea 50 centavos del artículo I; para producir una cantidad con valor de un dólar del articulo II, y el sector abierto demanda 1000 miles de millones de dólares del artículo I y 2000 miles de millones de artículo II. a) Escriba la matriz de insumos, la matriz de Leontif y la ecuación matricial especifica de insumo-producto para esta economía b) Compruebe si los datos de este problema satisfacen la condición de Hawkins- Simon c) Determina los niveles de producción correctos mediante la regla de Cramer Desarrollo: a)
La matriz ecuación es:
b )Los principales menores de la matriz Leontief son |B1|=0.90>0, |B1|=|I-A|=0.60>0, Así la condición de hawkins-simon es una condición satisfecha
c)
4. Dados la matriz de insumos y el vector de la demanda final
0.0.03053 0.0.2150 0.0.3142 0.19 0.38 0
A=
1800 200 900
d=
a) Explique el significado económico de los elementos 0.33, 0 y 200 b) Explique el significado económico (si existe) de la suma de la tercera columna c) Explique el significado económico (si existe) de la suma de la tercera columna d) Escriba la ecuación matricial especifica de insumo-producto para este modelo. e) Compruebe si los datos de este problema satisfacen la condición de Hawkins-simon. Desarrollo: a) El elemento 0.33: 33e de la mercancía II es necesario como insumo para producir $ 1 de la mercancía I. Elemento o: La industria III no usa su propia salida como entrada Elemento 200: El sector abierto exige 200 (billones de dólares) de mercancía II. b) Tercera columna suma =0.46, lo que significa que 46ede los insumos no primarios se utilizan en la producción de $ 1 de la mercancía III c) Ningún significado económico d)
e)
La condición de hawkins-simon está satisfecha
5.a) Dada una matriz B=|bij| de 4*4, escriba lo menores principales b) Escriba los menores principales directores Desarrollo: a) 1er orden 2do orden
3er orden 4to orden b) Los primeros tres principales principales menores son los mismos que en (5.28). La cuarta es simplemente | B | 6. Muestre que, por si misma, la condición de Hawkins-simon garantiza la existencia de un vector solución único x*, aunque no necesariamente no negativa. Desarrollo: La última parte de la condición de Hawkins-Simon, | nB|> 0, es equivalente a | B |> 0. Dado que | B | Es una matriz no singular, y Bx = d tiene una solución única x * = -1Bd, no necesariamente no negativa
Capítulo 6: Estática comparativa y el concepto de derivada 6.2. La tasa de cambio y la derivada 6.4. Concepto de Límite 6.5. Digresión acerca de desigualdades y valores absolutos 6.6. Teoremas de Límites 6.7. Continuidad y diferenciabilidad de una función
Capítulo 9: Optimización: una variedad especial de análisis de equilibrio EJERCICIO 20 9.2. Máximo y mínimo relativo: criterio de primera derivada 1. Halle los valores estacionarios de las siguientes funciones (compruebe si son maximos o minimos relativos o puntos de inflecion), suponiendo que el dominio es el conjunto de los numeros reales: (a) Y=-2x2+8x+7 (b) Y= 5x2+x (c) Y=3x2+3 (d) Y=3x2-6+2 Desarrollo (a) f`(x)=-4x+8=0 si x=2; el valor estacionario f(2) =15es un maximo relativo (b) f`(x)=10x+1=0 si x=-1/10; f(-1/10)=-1/20 es un minimo relativo (c) f`(x)=6x=0 si x=0; f(o)=3 es un minimo relativo 2. Encuentre los valores estacionarios de las siguientes funciones (compruebe si son maximos o minimos relativos o puntos de inflecion), suponiendo que el dominio es el intervalo 0,∞) (a) Y=3x3-3x+5 (b) Y=1/3.x3-x2+x+10 (c) Y=-x3+4.5x2-6x+6 Desarrollo (a) Ajuste f`(x)=3x2-3=0 dar dos valores críticos, 1 y -1. Este último esta fuera del dominio; el primero conduce a f (1)=3, un mínimo relativo. (b) El único valor critico es x*=1; f (1)=10(1/3) es un punto de inflexión. (c) Ajuste f`(x)=-3x2+9x-6=0 dar dos valores críticos, 1 y 2; f (1)=3.5 es un mínimo relativo pero f (2)=4 es un máximo relativo. 3. Demuestre que la funcion y=x+1/x (con x ≠0) tiene dos etremos relativos, uno un maximo y el otro un minimo ¿”El minimo” es mayor o menor que “el maximo”? ¿Cómo es posible este resultado paradojico? Desarrollo Cuando x = 1, tenemos y = 2 (un mínimo); Cuando x = -1, tenemos y = -2 (un máximo). Estos son en la naturaleza de los extremos relativos, por lo tanto un mínimo puede exceder un máximo. 4. Sea T= (x) una funcion que representa un total (por ejemplo, producto total o costo total): (a) Escriba las expresiones para la funcion marginal M y la funcion promedio A.
(b) Emuestre que, cuando A alcanza un extremo relativo, M y A deben tener el mismo valor. (c) ¿Qué principio general sugiere esto para el trazo de una curva marginal y una curva promedio en el mismo diagrama? (d) ¿Qué se puede concluir acerca de la elasticidad de la funcion total T en el punto donde A alcanza un valor extremo? Desarrollo (a) M = 0 (x), A = (x) / x (b) Cuando A alcanza un extremum relativo, debemos tener dA dx = 1 x2 [xφ0 (x) (X) = (x), es decir, sólo cuando 0 (x) = (x) / x, o sólo cuando M = A (c) Las curvas marginal y media deben intersecarse cuando estas últimas Alcanza un pico o un canal. (d) = M/A = 1 cuando M = A EJERCICIO 21 9.3. Derivada segunda y derivadas de orden superior 1. Encuentre as derivadas segunda y tercera de las siguientes funciones: (a) ax2+bx+c (b) 7x4-3x-a (c) 3x/1-x (x≠1) (d) 1+x/1-x (x≠1) Desarrollo (a) (b) (c) (d)
f`(x)=2 x+b; f```(x)=0 2 f`(x)=28x3-3; f```(x)084x ; f```(x)=168x f`(x)=3(1-x)2; f``(x)=6(1-x)-3; f```(x)=18(1-x)-4 f`(x)=2(1-x)-2; f``(x)=4(1-x)-3; f```(x)=12(1-x)-4
2. ¿Cuál de las siguientes funciones cuadraticas es estrictamente convexa? (a) Y=9x2-4x+8 (b) W=-3x2+39 (c) U=9-2x2 (d) V=8-5x+x2 Desarrollo (a) Y (b) 3. Dibuje (a) una urva concava que no es estrictamnte concava y (b) una curva que califica al mismo tiempo como curva concava y convexa Desarrollo (a) Un ejemplo es una versión modificada de la curva de la Fig. 9.5a, con el arco AB reemplazado por un segmento de línea AB. (b) Una línea recta 4. Dada la funcion y=a-b/c+x (a,b,c >0; x≥0), determine la forma general de su grafica al examinar (a) sus derivadas primera y segunda, (b) su interseccion con la vertical y (c) el limite de y cuando x tiene a infinito. Si esta funcion se va a usar como uncion
de consumo,¿Cómo se deben restringir los parametros a fin de que tenga sentido economico? Desarrollo Como dy / dx = b / (c + x)2> 0 y d2y / dx2 = -2b / (c + x)3<0, la curva debe mostrar y aumentando a una velocidad decreciente. La intersección vertical (donde x = 0) es a – b/c. Cuando x se acerca al infinito, y tiende al valor a, lo que da una asíntota horizontal. Así, el rango b de la función es el intervalo [a –b/c, a]. Para usarlo como una función de consumo, debemos estipular que: a> b/c [de modo que el consumo sea positivo a cero ingreso] b> c2[de modo que MPC = dy / dx es una fracción positiva a lo largo] 5. Dibuje la grafica de una funcion f(x) talque f`(x)=0, y la grafica de una funcon g(x) tal que g(3)0. Resuma en un enunciado la iferencia esencial entre f(x) y g(x) en terminos del concepto de punto estacionario. Desarrollo La función f (x) representa una línea recta y g (x) representa una curva con un pico o un fondo o un punto de inflexión en x = 3. En términos de puntos estacionarios, cada punto de f (x) Es un punto estacionario, pero el único punto estacionario de g (x) que sabemos es en x = 3. (a) La función de utilidad debe tener f`(0) - 0, f``(x)> 0, y f``(x) = 0 para todo x. Traza como una línea recta que se inclina hacia arriba que emana desde el punto de srcen. (b) En el presente caso, el segmento de línea MN coincidiría con la curva de utilidad. Así, los puntos A y B se encuentran uno encima del otro, y U (15) = UE.
6. Se dice que una persona que no es contraria ni favorable al riesgo (indiferente haca un juego justo) es “neutral al riesgo”. (a) ¿Qué clase de funcion de utiiad usaria para caracterizar a esta persona? (b) Usando el juego de lanzar un dado detallado en l texto, describa la relacion enre U($15) y UE para la persona neutral al riesgo. EJERCICO 22 9.4. Criterio de la segunda derivada 1. Halle los maximos y minimos relaativos de y mediante el criterio de la segunda derivada: (a) y=-2x2+8x+25 (b) y=x3+6x+9 (c) y= 1/3x3-3x2+5x+3 (d) y=2x/1-2x (x≠1/2) Desarrollo (a) f`(x) = -4x + 8; f``(x) = -4. El valor crítico es x* = 2; El valor estacionario f(2) = 33 es un máximo.
(b) f`(x) = 3x2 + 12x; f``(x) = 6x + 12. Los valores críticos son 0 y -4. f(0) = 9 es un mínimo, porque f``(0) = 12> 0, pero f``(-4) = 41 es un máximo, porque f``(-4) = -12 <0 (c) f`(x) = x2- 6x + 5; f``(x) = 2x - 6. Los valores críticos son 1 y 5. f (1) = 5.1/3 es un máximo porque f``(1) = -4, pero f(5) = -5. 1/3 es un mínimo Porque f``(5) = 4. (d) f`(x) = 2 / (1 - 2x)2≠0 para cualquier valor de x; No existe un extremo relativo.
2. El señor Greenthumb desea cercar n campo de flores rectangular, usando una pared de su casa como un lado del rectangulo. Los otros tres lados se encerraran con la malla de alambr, de la cual tiene solo 64 pies disponibles. ¿Cuáles con la longitud L y el ancho Wdel rectangulo con el cual obtendria el area de plantacion mas grane posile?¿como se asegua de que su respuesta sea el area as grande y no la mas pequeña? Desarrollo Excluyendo el lado de la pared, los otros tres lados deben satisfacer L + 2W = 64ft, o L = 64 2W. A=WL=W(64-2W)=64W-2W2 Para maximizar A, es necesario que dA / dW = 64 - 4W = 0, lo que sólo puede ocurrir cuando W = 16. Así: W * = 16 ft L * = 64 - 2W * = 32ft A * = WL = 512ft2 2 d A / dW2 = -4 es negativo, A * es un máximo
En la medida en que
3. Una empersa tiene las siguientes unciones de costo total y demanda:
(a) (b) (c) (d) (e)
C= 1/3 Q3-7Q2+111Q+50 Q= 100-P ¿La funcion de costo total satisface las restricciones de coeficientes de (9.5)? Escriba la funcion de ingreso total R en ermino de Q Fomule la funcion de ganancia toal en terminos de Q. Encuentre el nivel de produccion Q* de maximizacion de ganancia ¿Cuál es la ganancia maxima? Desarrollo
(a) Si (b) A partir de la función de demanda, primero obtenemos la función AR; P = 100- Q. Entonces tenemos R = PQ = (100 - Q) Q = 100Q– Q2 (c) π = R - C = - 1/3 Q3+ 6Q2 - 11Q – 50 (d) El ajuste d / dQ =-Q2 + 12Q -11 = 0 produce dos valores críticos 1 y 11. Sólo Q* = 11 da valor Máximo (e) un Ganancia máximabeneficio. = 111.1/3 4. Si el coeficiente b de (9.3) fuera cero, ¿Qué sucederia con las curvas de costo arginal y costo total? Desarrollo Si b = 0, entonces el nivel de salida de minimización de MC se convierte en Q * = - b/3a = 0. Con su mínimo en salida cero. La curva MC debe estar hacia arriba en pendiente. Puesto que
el segmento creciente de MC está asociado con el segmento convexo de la curva C, b = 0 implica que la curva C será convexa en todo.
5. Para expresar las siguientes suposiciones usaremos una funcion de ganancia cuadratica π(Q)=hQ2+jQ+k: (a) Si la produccion es nula, la ganancia sera negativa (como resultado de los costos fijos) (b) La funcion de produccion es estrctamente concava (c) La ganancia maxima ocurre en un nivel de produccion positivo Q*. ¿Qué restricciones de parametros se requieren? Desarrollo (a) La primera suposición significa (0) <0. Puesto que (0) = k, necesitamos la restricción k <0. (b) Concavidad estricta significa ``(Q) <0. Puesto que ``(Q) = 2h , Debemos tener h <0. (c) La tercera suposición significa `(Q*) = 0, o 2hQ* + j = 0. Puesto que Q* = -j / 2h, y puesto que h <0, la positividad de Q*Requiere que j> 0. 6. Una empresa en un mercado competitivo puro tiene una sola variable de insumo L (mano de obra, y la tasa de salario es W0 por periodo. Sus costos fijos le cuestan un total de F dolares por periodo. El precio del producto es P 0 (a) Escriba la funcion de produccion, la funcionn de ingreso, la funcion de costo y la funcion de ganancia de la empresa.. (b) ¿Cuál es la condicion de prmer orden para la maximizacion de ganancia? Dè a esta condicion una interpretacion economica. (c) ¿Qué circunstancias economicas asegurarian que se maximizara la ganancia en vez de minimizarse? Desarrollo (a) Q = f (L); R = P0 Q = P0 f (L); C = W0 L + F; = R- C = P0 f(L) – W0 L – F (b) d / dL = P0 f`(L) – W0 = 0, o P 0 f`(L) = W0. El valor del producto marginal debe equipararse al salario. (c) d2 / dL2 = P0 f``(L). Si f``(L) <0 (MPPL decreciente), entonces podemos estar seguros de que el beneficio es maximizado por L *
7. Use el siguiente procedimiento para comprobar que la curva AR del ejemplo 4 tiene pendiente negativa: (a) Denote la pendiente de AR mediante S. Escriba una expresion para S. (b) Encuentre el valor maximo de S, S max mediante el criterio de la segunda derivada. (c) Deduzca del valor de S max que la curva AR tiene pendiente negativa en todas partes. Desarrollo (a) S = d/dQ.AR = -23 + 2.2Q - 0,054Q2
(b) dS/dQ = 2,2 - 0,108Q = 0 en Q*= 20,37 (aproximadamente); Ya que d 2 S/dQ2 = -0.108 <0, Q * maximizará S. Smax = S|Q = Q* = -23 + 2.2 (20.37) - 0.054 (20.37) 2 = -0.59 (aproximadamente). (c) Como Smax es negativo, todos los valores de S deben ser negativos. EJERCICIO 23 9.5. Series Maclaurin y series de Taylor 9.5. 1. Encuentre el valor de las siguientes expresiones factoriales: (a) 5! (b) 8! (c) 4!/3! (d) 6!/4! (e) (n+2)!/n! Desarrollo (a) (b) (c) (d) (e)
120 40320 4 (3!) 3! = 4 (6) (5) (4!)/4! = 6 · 5 = 30 (n + 2) (n + 1) n!/n! = (n + 2) (n + 1) 2. Halle los primeros cinco términos de a serie de Maclaurin (es decir, elja n=4 y sea x0=0) para: (a) Φ(x)=1/1-x (b) Φ(x)=1-x/1+x Desarrollo (a)
(x) = (1-x) -1 de manera que
(0) = 1
`(x) = (1-x)-2 de manera que
` (0) = 1
φ``(x) = 2 (1- x)-3 de manera que φ```(x) = 6 (1- x) -4 de manera que
`` (0) = 2 ``` (0) = 6
φ (4) (x) = Así, según (9.14), los primeros cinco términos son 1 +
x + x2 + x3 + x4 (b)
(x) = (1-x)/ (1 + x) = (1 + x) de manera que φ`(x) = -2(1 + x) -2 de manera que
(0) = 1
` (0) = -2
φ``(x)=4(1+x)-3 de manera que ``(0) = 4 φ```(x) = -12 (1 + x) -4 de manera que ```(0) = -12 φ (4) (x) = 48 (1 + x) -5 de manera que φ (4) = 48
Así, por (9.14), los primeros cinco términos son 1 - 2x + 2x2 - 2x3 + 2x4 3. Determine la serie de Taylor con n=4 y x 0=-2, para las dos funciones del problema Desarrollo
(a) Φ (-2) = 1/3, φ0 ( -2) = 1/9,
``(-2) = 2/27,
```(-2) = 6/81 y
(4)
(- 2) = 24/243. Así, por
(9.14), (x) = 1/3 + 1/9 (x + 2) + 1/27 (x + 2)2 + 1 81 (x + 2)3 + R4
= 1 243 (211 + 131x + 51x2 + 11x3 + x4) + R4 (b) φ(-2) = -3,
`(-2) = -2,
``(-2) = -4,
```(-2) = -12, y φ (4) (- 2) = -48. Así, por (9.14),
φ (x) = -3 - 2 (x + 2) - 2 (x + 2)2 - 2 (x + 2)3 - 2 (x + 2)4 + R4
=-63-98x2-62x2-18x3-2x4+R4 4. Con base en la fórmula de Taylor con la forma de Lagrange del residuo (véase (9.14) y (9.15)), demuestre que en el punto de expansión (x=x0) la serie de Taylor siempre da exactamente el valor de la función en este punto,
(x), no solamente
una aproximación. Desarrollo Cuando x = x0, todos los términos a la derecha de (9.14), excepto el primero, se eliminarán (incluyendo Rn), dejando el resultado (x) = (x0). EJERCICIO 24 9.6. Criterio de la N-esima derivada para el extremo relativo de una función de una variable 1. Encuentre los valores estacionarios de las siguientes funciones: (a) Y=x3 (b) Y=-x4 (c) Y=x6+5 Determine por medio del criterio de la N-esima derivada si se representan maximos relativos, minimos relativos o puntos de inflexion. Desarrollo (a) f`(x) = 3x2 = 0 sólo cuando x = 0, así f (0) = 0 es el único valor estacionario. El primer valor derivado no nulo es f```(0) = 6; Así que f (0) es un punto de inflexión. (b) f`(x) = -4x3 = 0 solamente cuando x = 0. El valor estacionario f (0) = 0 es un máximo relativo porque el primer valor derivado no nulo es f (4) (0) = -24. (c) f`(x) = 6x5 = 0 sólo cuando x = 0. El valor estacionario f (0) = 5 es un mínimo relativo ya que el primer valor derivado no nulo es f (6) (0) = 720.
2. Determine 3los valores estacionarios de las siguientes funciones: (a) Y=(x-1) +16 (b) Y=(x-2)4 (c) Y=(3-x)6+7 (d) Y=(5-2x)4+8 Use el criterio e la N-esima derivada para determinar la naturaleza exacta de estos valores estacionarios.
Desarrollo (a) f`(x) = 3 (x - 1)2= 0 sólo cuando x = 1. El primer valor derivado no nulo es f```(1) = 6. Así, el valor estacionario f (1) = 16 se asocia con una punto de inflexión. (b) f`(x) = 4 (x - 2)3= 0 sólo cuando x = 2. Dado que el primer valor derivado no nulo es f(4)(2) = 24, el valor estacionario f (2) = 0 es Un mínimo relativo. (c) f`(x) = -6 (3 - x)5= 0 sólo cuando x = 3. Dado que el primer valor derivado no nulo es f(6)(3) = 720, el valor estacionario f (3) = 7 Es un mínimo relativo. (d) f`(x) = -8 (5 - 2x)3= 0 sólo cuando x = 2,5. Dado que el primer valor derivado no nulo es f(4)(2.5) = 384, el valor estacionario f (2.5) = 8 es un mínimo relativo.
Capítulo 10: Funciones exponenciales y logarítmicas EJERCICIO 25 10.1 Naturaleza de las funciones exponenciales 1. Trace en un solo diagrama las gráficas de las funciones y=3 t y y=32t. (a) ¿muestran las gráficas la misma relación posicional general que se observa en la figura 10.2ª? (b) ¿comparten estas curvas la misma intersección vertical? ¿Por qué? (c) Bosqueje la gráfica de la función y=3 3ten el mismo diagrama. Desarrollo (a) Si (b) Sí, porque en t = 0, el valor de y para las dos funciones son idénticos: 30 = 1 y 32(0) = 1. (a) Sí. (b) No, porque en t = 0, el valor de y para las dos funciones son desiguales: 40 = 1, pero 3(40)= 3. 2. Represente en un solo diagrama las gráficas de las funciones exponenciales y=4t y y=3(4t) (a) ¿Muestran las gráficas la relación posicional general sugerida en la figura 10.2b? (b) ¿Tienen las dos curvas la misma intersección y? ¿Por qué? t
(c) Bosqueje la gráfica de la función y=3/2(4 ) en el mismo diagrama. Desarrollo (a) Sea w = 5t (de modo que dw/dt = 5), entonces y = e w y dy / dw = e w. Así, por la regla de la cadena, dy/dt = dy/dw.dw/dt = 5e w = 5e5t. (b) Sea w = 3t, entonces y = 4e w y dy/dw = 4ew. Así, tenemos dy/dt = dy/dw.dw/dt=12e3t (c) Similarmente a (b) anterior, dy/dt = -12e -2t.
3. Si se da por sentado que e t es su propia derivada, use la regla de la cadena para hallar dy/dt para las siguientes funciones: (a) Y=e5t (b) Y=4e3t (c) Y=6e-2t
Desarrollo Las dos primeras derivadas son y`(t) = y``(t) = et= (2.718)t. El valor de t puede ser positivo, cero o negativo. Si t> 0, entonces et es claramente positivo; Si t = 0, entonces et = 1, nuevamente positivo; Finalmente, si t <0, digamos t = -2, entonces et = 1 / (2.718) 2, sigue siendo positivo. Así, y0 (t) y y`` (t) son siempre positivos, y la función y=et siempre aumenta a una velocidad creciente 4. Según la explicación acerca de (10.1), ¿espera que a función y=e t sea estrictamente creciente a una tasa creciente? Compruebe su respuesta determinando los signos de las derivadas primera y segunda de esta función; recuerde que el dominio de esta función es el conjunto de los números reales, es decir, el intervalo (-∞, ∞) Desarrollo (a) La curva con a = -1 es la imagen especular de la curva con a = 1 con referencia al eje horizontal. (b) La curva con c = -1 es la imagen especular de la curva con c = 1 con referencia al eje vertical. EJERCICO 26 10.2 Funciones exponenciales naturales y el problema del crecimiento 1. Use la forma de serie infinita de ex de (10.6) para hallar el valor aproximado de: (a) e2 (=e1/2)
(b)
(Reondee el calculo de cada termino a tres decimales y continue con la serie hasta que obtega un termino 0.000.) Desarrollo (a) e2 = 1 + 2 +
√
1/2(2)2+1/6(2)3+1/24(2)4+1/120(2)5+1/720(2)6+1/5040(2)7+1/40320(2)8+1/362880(2)9+ 1/3628800(2)10= 1 + 2 + 2 + 1,333 + 0,667 + 0,267 + 0,089 + 0,025 + 0,006 + 0,001 + 0,000 = 7,388
(b) e1/2 = 1 + 1/2 + 1/2 (1/2) 2 + 1/6 (1/2)3+ 1/24 (1/2)4+ 1/120 (1/2)5 = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,021 + 0,003 + 0,000 = 1,649 56 2. Dada la funcion (x)=e2x: (a) Escriba la parte polimonial P n de su serie de Maclaurin. (b) Escriba la forma de Lagrange del residuo R n. Determine si Rn es decir, si la erie converge a
(c) Si es convergente, de tal manera que infinita, escriba esta serie. Desarrollo (a) Los derivados son:
0 cuando n
∞,
(x)
`= 2e2x, φ``= 22e2x,
(x) se pueda expresar como una serie
````= 23e2x, o en general
tenemos φ`(0) = 2, φ0``(0) = 22, o más generalmente
(k)
(k)
= 2ke2x. Así
(0) = 2k. Por consiguiente,
Pn = 1 + 2x + 1/2! 22x2 + 1/3! 23x3 + · · · + 1/n! 2 nxn = 1 + 2x + 1/2! (2x) 2 + 1/3! (2x)3+ · · · + 1/n! (2x) n (b) Rn = (n + 1) (p) (n + 1)! Xn + 1 = 2 (n + 1) e2p (n + 1)! Xn + 1 = e2p (n + 1)! (2x) n (b) Rn = φ (n + 1) (p)/ (n + 1)! Xn + 1 = 2 (n + 1) e2p /(n + 1)! X n + 1 = e2p /(n + 1)! (2x) n + 1 Se puede verificar que Rn → 0 como n → ∞. (c) Por lo tanto (x) puede expresarse como una serie infinita: (x) = 1 + 2x + 1/2! (2x) 2 + 1/3! (2x) 3 + · · · 3. Escriba una expresion exponencial para el valor futuro de: (a) $70, compuesto de forma continua a la tasa de itneres de 4% durante 3 años; (b) $690, compuesto de manera continua a la tasa de interes de 5% durante 2 años. (estas tasas de interes son tasas nominales por año) Desarrollo (a) $ 70e0,04 (3) = $ 70e0,12 (b) $ 690e0,05 (2) = $ 690e0,10 4. ¿Cuál es la tasa de crecimiento instantànea de y en cada una de las siguientes expresiones? (a) Y=e0,07t (b) Y=15e0.03t (c) Y=Ae0.4t (d) Y=0.03et Desarrollo (a) 0,07 (o 7%) (b) 0,03 (c) 0,40 (d) 1 (o 100%) 5. Muestre que las dos funciones y 1= Aet (capitalizacion de interes) y y 2= Ae-t (descuento) son imágenes especulares entre si en relacion con el eje y (cf. Ejercicio 10.1-5, inciso (b) ). Desarrollo
(a) Cuando t = 0, las dos funciones tienen el mismo valor (el mismo intercepto y). También, y1 = Aer cuando t = 1, pero y2 = Aer cuando t = -1. Generalmente, y1 = y2 cuando el valor de t en una función es el negativo del valor de t en la otra; De ahí la relación espejo-imagen.
EJERCICIO 27 10.3. Logaritmos 1. ¿Cuáles son los valores de los siguientes logaritmos? (a) Log1010 000 (b) Log100.0001 (c) Log381 (d) Log53 125 Desarrollo (a) (b) (c) (d) 2.
4 -4 4 5 Evalue lo siguiente: (a) ln e7 (b) logee-4 (c) Ln (1/ e3) (d) Loge(1/ e2)
(e) (eln3)! (f) ln ex – elnx Desarrollo (a) 7 (b) -4 (c) -3 (d) -2 (e) 6 (f) 0 3. Evalue lo siguiente mediante la aplicación de las reglas de los logaritmos (a) Log10(100)13 (b) Log101/100 (c) Ln (3/B) (d) Ln A e2 (e) lnABe-4 (f) (Log4e)( Loge64) Desarrollo (a) log10 (100) 13 = 13 log10 100 = 13 (2) = 26 (b) log10 (1/100) = log10 1 - log10 100 = 0 -2 = -2 (c) ln 3/B = ln3 - lnB
(d) ln Ae2 = lnA = lne 2 = lnA + 2 (e) lnABe-4 = lnA + lnB + lne -4 = lnA + lnB - 4 (f) (log4 e) (loge 64) = log4 64 = 3 4. De las siguientes expresiones ¿Cuáles son vaidas? (a) Ln u-2=ln u/e2 (b) 3+ln v = ln e3/v (c) Ln u + ln v – ln w = ln uv/w (d) Ln 3 + ln 5= ln 8 Desarrollo (a) y (c) sean válidas; (B) y (d) no lo son. 5. Pruebe que ln(u/v) = ln u – ln v Desarrollo
Por definición, eln (u / v) = u/v = e (ln u-ln v). Pero también podemos escribir u/v = elnu /e lnv Ecuaciones las dos expresiones para u/v, obtenemos ln u/v = lnu - ln v. EJERCICIO 28
10.4. Funciones logarítmicas 1. La forma de la funcion inversa de y = Aert de(10.17) requiere que r ssea distinta de cero. ¿Cuál es el significado de este requerimiento cuando se consideera en relacion con la funcion exponencial srcinal y= Ae rt? Desarrollo Si r = 0, entonces y = Aert = Ae0 = A, y la función degenera en una función constante. El requisito distinto de cero sirve para evitar esta contingencia. 2. (a)Bosqueje una grafica de la funcion exponencial y= Aert; indique el valor de la interseccion vertical. (b)Luego trace la grafca de la funcion logaritmica t= lny-lnA/r e indique el valor de la interseccion horizontal. Desarrollo Las gráficas son de la misma forma general que en la Fig. 10,3; Las intercepciones y serán A (es decir, y = A) para ambos ct
3. Encuentre la funcion inversa de y=ab Desarrollo Como y = abct, tenemos logb y = logb a + ct logb b = logb a + ct. Así, al resolver para t, obtenemos t = logb y-logb a /c (c ≠0) Esta es la función inversa deseada porque expresa t en términos de y. 4. Transforme las siguientes funciones a sus formas exponnenciales naturales:
(a) Y=8et (b) Y=2(7)2t (c) Y=5(5)t (d) Y=2(15)4t Desarrollo (a) a = 1, b = 8 y c = 3; Por lo tanto r = 3ln8 y= e (3 ln 8) t . También podemos escribir esto como y = e.62385t. (b) a = 2, b = 7, y c = 2; Así r = 2n7, y= 2e (2nn 7) t. También podemos escribir esto como y = 2e3.8918t. (c) a = 5, b = 5, y c = 1; Así r = ln5, y = 5e (ln 5) t. También podemos escribir esto como y = 5e1.6095t. (d) a = 2, b = 15 y c = 4; Por lo tanto r = 4ln15, y = 2e (4 ln 15) t. También podemos escribir esto como y = 2e10.8324t .
5. Transforme las funciones siguientes a sus formas logaritmicas naturales: (a) T=log7y (b) T= log8(3y) (c) T=3 log15(9y) (d) T=2 log10y Desarrollo (a) (b) (c) (d)
a = 1, b = 7, c = 1; Así, t = 1/ln 7.ln y (= 1/1,9459 ln y = 0,5139 ln y) a = 1, b = 8, c = 3; Así, t = 1/ln 8 ln 3y (= 1/2,0795 ln 3y = 0,4809 ln 3y) a = 3, b = 15, c = 9; Por lo tanto t = 3/ln 15 ln 9y (= 3/2,7081 ln 9y = 1,1078 ln 9y) a = 2, b = 10, c = 1; Así, t = 2 ln/10 ln y (= 2/2.3026 ln y = 0.8686 ln y) 6. Determine la tasa de interes nominal de capitalizacion continua por año (r) que sea equivalente a una tasa de interes de capitalizacion discreta (i) de (a) Cinco por ciento anual, capitalizado anualmente (b) Cinco por ciento anual, capitalizado cada medio año. (c) Seis por ciento anual, capitalizado cada medio año (d) Seis por ciento anual, capitalizado trimestramente Desarrollo
La conversión involucrada es Aert = A (1+ i/c) ct, donde c representa el número de compuestos por año. Similarmente a la fórmula (10.18), podemos obtener una fórmula de conversión general r = c ln (1 + i/c). (a) c = 1, e i = 0,05; Por lo tanto r = ln1,05. (b) c = 2 e i = 0,05; Por lo tanto r = 2ln1,025. (c) c = 2, e i = 0,06; Por lo tanto r = 2ln1,03. (d) C = 4 e i = 0,06; Por lo tanto r = 4ln1,015.
7. (a) Al describir la figura 10.3, en el texo se expresa que, si las dos curvas s colocan una sobre otra, presentan una relacion de imagen especular.¿donde se localiza el “espejo”?
(b)Si trazamos una funcion f(x) y su negativa , -f(x), en el mismo diagrama, ¿mostraran tambien las dos curvas una relacion de imagen especular? En caso afirmativo. ¿Dónde se localiza en este caso? (c)Si bosquejamos las graficas de Aert y Ae-rt en el mismo diagrama¿seran imágenes especulares entre si las dos curvas? Si es asi ¿ donde se localiza el “espejo”?
Desarrollo (a) La línea 450 trazada a través del srcen sirve como un espejo. (b) Sí. El eje horizontal es un espejo (c) Sí el eje horizontal es un espejo
EJERCICIO 29
10.5. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas 1. Encuentre las derivadas de : (a) Y=e2t-4 (b) Y=e1-9t (c) Y=et+1 (d) Y=5e2-t (e) Y=eαx+bx+c (f) Y=x ex (g) Y=x2 e2 (h) Y=ax ebx+c Desarrollo (a) 2e2t + 4 (b) -9e1-7t (c) 2tet2 + 1 (d) -10te2-t2 (e) (2ax + b) eax2 + bx + c (f) dy/dx = Xdy/dx.ex + ex dx/dx = xex + ex = (x + 1) ex (g) dy/dx = x2(2e2x) + 2xe2x = 2x (x + 1) e2x (h) dy/dx = a (xbebx + c + ebx + c) = a(bx + 1) ebx + c 2. (a)Compruebe la derivada del ejemplo 3 utilizando la ecuacion ln (at) =ln a + ln t. (b)Compruebe el resultado el ejemplo 4 por medio de la ecuacion ln t c = cln t. Desarrollo (a) d/dt ln at = d/dt (ln a + lnt) = 0+ d/dt ln t = 1/t.
(b) d/dt ln tc = d/dt c ln t = c.d/dt ln t = c/t. 3. Encuentra las derivadas de : (a) y= ln(7t5) (b) y= ln(atc) (c) y=ln(t+19) (d) y=5ln(t+1)2 (e) y=lnx – ln(1+x) (f) y=ln (x(1-x)8) (g) y=ln(2x/1+x) (h) y=5 x4ln x2 Desarrollo (a) Dy/dt=35t4/7t5=5/t (b) Dy/dt=aetc-1/atc=c/t (c) Dy/dt=1-7t+99 (d) Dy/dt=5.2(t+1)/(t+1)2=10/t+1 (e) Dy/dt=1/x-1/1+x=1/x(a+x) (f) Dy/dt=1/x+-8/1-x=1-9x/x(1-x) (g) Dy/dt=272x-1/1+x=1/x(1+x) (h) Dy/dt=10x3(a+2lnx2)=10x3(1+4lnx) 4. Encuentre las derivadas de: (a) y= 5t (b) y=log2(t+1) (c) y= 132t+3 (d) y=log77x2 (e) y=log2(8 x2+3) (f) y= x2log3x Desarrollo (a) (b) (c) (d) (e)
Dy/dt = 5t ln 5 Dy/dt = 1/(t + 1) ln 2 Dy/dt = 2 (13)2t + 3 ln 13 Dy/dx = 14x/7x2.1 /ln 7 = 2/x ln 7 Dy/dx = 16x/(8x2 + 3) ln 2
(f) Dy/dx = x2 d/dx log3 x + log3 Xd/dx.x2 = x2. 1/x ln 3 + (log3 x) (2x) = x/ln 3 + 2x log3 x 5. Compruebe las dos formulas de (10.21) Desarrollo (a) Sea u = f (t), de modo que du / dt = f`(t). Entonces d/dt bf (t) = dbu /dt =dbu/du.du/dt = (bu ln b) f`(t) = f`(t) b f (t) ln b
(b) Sea u = f (t). Entonces d/dt logb f (t) = d/dt logb u = d/du logb .udu/dt = 1/u lnb.f`(t) = f`(t)/f (t) .1 / lnb 6. Demuestre que a funcion V= Ae rt (con A, r >0) y la funcion A=Ve rt (con V, r >0) son estrictamente monotonas, pero en direcciones opuestas, y que son estrictamente convexas en forma. Desarrollo Para V = Aert, las dos primeras derivadas son V`= rAert> 0 y V``= r2Aert> 0 Así V es estrictamente creciente a un ritmo creciente, dando una curva estrictamente convexa. Para -rt
-rt
-rt
A = V e , las dos primeras derivadas son A`= -rV e <0 y A``= r2V e > 0 Así A está disminuyendo estrictamente a un ritmo creciente (con la pendiente negativa tomando valores numéricos más pequeños como T aumenta), produciendo también una curva estrictamente convexa. 7. Encuentre las derivadas de las siguientes funciones tomando primero el logaritmo natural de ambos lados: (a) y=3x/(x+2)(x+4) (b) y=(x2+3)ex2+1 Desarrollo (a) Dado que ln y = ln3x - ln (x + 2) - ln (x + 4), tenemos 1/y.dy/dx = 1/x – 1/x+2-1/x + 4 = 8-x2 /x (x + 2)( X + 4) y dy/dx = 8-x2 /x (x + 2) (x + 4).3x/(x+2)(x+4)= 3(8-x2) /(x + 2) 2 (x + 4) 2 (b) Dado que ln y = ln (x2 + 3) + x2 + 1, tenemos 1/y .dy/dx = 2x/x2 + 3 + 2x = 2x (x2 + 4)/ x2 + 3 y dy/Dx = 2x (x2 + 4)/ x2 + 3 (x2 + 3) ex2 + 1 = 2x (x2 + 4)/ ex2 + 1
EJERCICIO 30
10.6. Fecha optima
√
1. Si el valor del vino crece de acuerdo con la función V= ke 2
, en vez de
como en (10.22) ¿cuánto tiempo debe almacenar el vino el comerciante? Desarrollo
Puesto que A = Ke 2vt-rt, tenemos lnA = lnK + 2√t-rt. Diferenciación con respecto a los rendimientos t; 1/A.dA/dt = t -1/2 - r o dA/dt = A (t -1/2 - r) Ajustando dA/dt = 0, encontramos entonces: t* = 1 / r 2. En la segunda derivada, d 2A/dt2= A.d/dt (t-1 / 2-r) + (t-1 / 2-r) dA/dt. Así d2A/dt2=-A/2√t3 <0, que Satisface el segundo término desaparece cuando dA condición de segundo orden es un máximo 2. Compruebe la condición de segundo orden para el problema del corete de madera Desarrollo
d2A/dt2 = A.d/dt (ln 2/2 √t - r) + (ln 2/dt2√t – r)dA/dt = A d/dt (ln 2/2 t -1/2-r) + 0 = -Aln2/4√t 3
- r) <0 Puesto que A <0 y ln 2> 0. Así se satisface la condición de segundo orden.
3. Como una generalización del problema de optimización ilustrando en la presente sección, demuestre que: (a) Con cualquier función de valor V=f(t) y dada una tasa continua de descuento r, la condición de primer orden para que el valor presente A de V alcance un máximo es que la tasa de crecimiento V sea igual a r. (b) La condición suficiente de segundo orden para un máximo equivale en realidad a la estipulación de que la tasa de crecimiento de V sea estrictamente decreciente con el tiempo. Desarrollo (a) Puesto que A = V e -rt = f (t) e-rt, tenemos lnA = lnf (t) - rt, y 1/A.dA/dt = f`(t)/f(t) - r = rv - r O dA/dt = A (rv - r) En l a medida en que A es no nula, dA / dt = 0 si y sólo si rv= r. (b) La segunda derivada es d2A/dt2 = A.d/dt f`(t)/ f (t) = A.d/dt r v <0 si d/dt rv <0
4. Analice la estática comparativa del problema de almacenaje de vino. Desarrollo El valor de t* depende solamente del parámetro r. Como dt*/dr = d/dr. 1/4 r -2 = - 1/2r3 <0 una tasa de interés más alta significa un menor t* (un tiempo de venta más temprano).
EJERCICIO 31 10.7 Más aplicaciones de derivadas exponenciales y logarítmicas 1. Encuentre la tasa instantánea de crecimiento: (a) Y=5t2 (b) Y=a tc (c) Y=a bt (d) Y= 2t(t2) Desarrollo
(a) ln y = ln5 + 2lnt; Por lo tanto r y = d/dt ln y = 2 t. (b) ln y = lna + c ln t; Así r y = c / t. (c) ln y = lna + t ln b; Así r y = lnb. (d) Sea u = 2t y v = t 2. Entonces ru = ln2 y rv = 2/t. Así, r y = ru + rv = ln2 + 2/t. 2. Si la población crece de acuerdo con la función H=H 0(2)bt y el consumo mediante la función C=C0eαt, encuentre las tasas de crecimiento de población, consumo y consumo per cápita usando el log natural. Desarrollo
Similarmente, lnC = lnC0 + en ln e; Así rC = a ln e = a. Se deduce que r (C / H) = r CrH=a- bln2. 3. Si y se relaciona con x mediante y=x k, ¿Cómo se relacionaran las tasas de crecimiento ry y rx? Desarrollo
Tomando log, obtenemos ln y = k ln x. Diferenciándose con respecto a t, obtenemos entonces ry = krx. 4. Compruebe que si y=u/v, donde u=f(t) y v=g(t), entonces la tasa de crecimiento de y será ry=ru-rv, como se muestra en (10.25) Desarrollo
Y = u/v implica ln y = lnu - ln v; Se sigue que r y = d/dt ln y = d/dt ln u – d/dt ln v = ru - rv 5. El ingreso real y se define como el ingreso nominal Y deflactado por el nivel de precio P. ¿cómo se relaciona r y (para el ingreso real) con r y (para el ingreso nominal) Desarrollo Por definición, y = Y / P. Tomando el log natural, tenemos ln y = lnY - ln P. La diferenciación de lny con respecto al tiempo t produce d/dt lny = d/dt lnY – d/dt lnP. lo que significa r y = rY – rP; donde rP es La tasa de inflación.
6. Compruebe la regla de la tasa de crecimiento Desarrollo
Z = u - v implica ln z = ln (u - v); r z =d/dtlnz=d/dtln(u-v)=1/u-v.d/dtln(u-v) = 1/u-v (uruvrv) 7. Dada la función de demanda Q d=k/Pn, donde k y n son constantes positivas, encuentre la elasticidad puntual de demanda
d
por medio de
(10.28) Desarrollo
LnQd = lnk - n ln P. Así, por (10.28),
d
= -n, y |
d
| = n.
8. (a) Dada y=wz, donde w=g(x) y z =h(x), establezca que (b) Dada y=u/v, donde u=G(x) y v=H(x), establezca que Desarrollo (a) Dado que ln y = lnw + lnz, tenemos z)/d (ln x) =
wx +
yx= εwx+ εzx yx= εux+ εvx
yx
= d (ln y)/d (ln x) = d (lnw)/d (ln x) + d (ln
yx
= d (ln y)/d (ln x) = d (ln u)/d (ln x) - d (ln
εzx
(b) Dado que ln y = lnu - ln v, tenemos v)/d (ln x) = ux + εvx
9. Dada y=f(x), demuestre que la derivada d(log by)/d(logbx), log base b en vez de e, mide también la elasticidad puntual
yx
Desarrollo Sea u = logb y, y v = log b x (lo que implica que x = bv). Entonces, du/dv = du/dy. Dy/dx. Dx/dv = 1/y (logb e) dy/dx bv ln b Dado que logb e = 1/ln b, y como bv = x, tenemos du/dv = x/y.dy/dx =εyx
10. Demuestre que, si la demanda de dinero M d es una función del ingreso nacional y= y(t) y la tasa de interés i =i(t), la tasa de crecimiento de Md se puede expresar como u na suma ponderada de ry y rt Donde las ponderaciones son las elasticidades de M d respecto a y e i, respectivamente. Desarrollo
Como Md = F [Y (t), i (t)], podemos escribir la derivada total dM d/dt = fy.dy/dt + fi.di/dt. Por lo tanto, la tasa de crecimiento de Md es rMd = dMd / dt Md = fY/f. dY/dt + fi/f.di/dt = fYY/f/(1/Y.dY/dt)+ fii/f (di/dt)=
Mdyry+εMdri
Alternativamente, usando logaritmos, podemos escribir r Md = d/dt lnMd = 1/Md.d/dtMd, pero esto nos lleva de nuevo al proceso anterior. 11. Dada la función de producción Q= F(K, L), encuentre una expresión general para la tasa de crecimiento de Q en términos de las tasas de crecimiento de K y L. Desarrollo Por el mismo procedimiento utilizado en 9 anterior, podemos encontrar que r Q = εQKrK +εQLrL
Capítulo 11: El caso de más de una variables de elección EJERCICIO 32 11.1. Versión diferencial de condiciones de optimización 11.2. Valores extremos de una función de dos variables Use la tabla 11.1 para hallar el o los valores extremos de cada una de las cuatro funciones siguientes, y determine si son máximos o mínimos: 1. z=x2xy+2y2+3 Desarrollo Las derivadas son: fx = 2x + y, fy = x + 4y, fxx = 2, fyy = 4 y fxy = 1. La condición de primer orden requiere que 2x + y = 0 y x + 4y = 0. Así tenemos x* = Y* = 0 implicando z * = 3 (que es un mínimo) 2. z=- x2- y2+6x+2y
Desarrollo Las derivadas son: fx = -2x + 6, fy = -2y + 2, fxx = -2, fyy = -2 y fxy = 0. La condición de primer orden requiere que -2x = 6 y -2y = -2. Así, hallamos x* = 3 y* = 1 de manera que z* = 10 (que es un máximo) 3. z= ax2+ by2+c ; considere cada uno de los tres casos: (a) a>0, b>0 (b) a<0, b<0 (c) a y b con signos oppuestos Desarrollo Fx = 2ax, fy = 2by, fxx = 2a, fyy = 2b, y f xy = 0. La condición de primer orden requiere que 2ax = 0 y 2by = 0. Así x*= y*= 0 para que z*= c La segunda derivada nos da f xxfyy = 4ab y f2xy = 0. Así: (a) z* es un mínimo si a, b> 0. (b) z* es un máximo si a, b <0. (c) Z* da un punto de silla si a y b tienen signos opuestos. 4. z= e2x-2x+2y2+3 Desarrollo Fx = 2(e2x – 1), fy = 4y, fxx = 4e2x, fyy = 4 y fxy = 0. La condición de primer orden requiere que e2x= 1 y 4y = 0. Así x*=y*= 0 de manera que z*=4xy=0, z*=4 es un mínimo. Dado que fxxfyy=4(4) excede f2xy=0, z*=4 es un minimo 5. Considere la funcion z=(x-2)4+(y-3)4 (a) Establezca mediante razonamiento intuitivo que z alcanza un minimo (z*=0) en x*=2 y y*=3 (b) ¿Se satisface la condicion necesaria de primer orden de la 11.1? (c) ¿ Se satisface la condicion suficiente de segundo orden de la 11.1? (d) Encuentre el valor d2z. ¿satisface la condicion necesaria de segundo orden para un minimo en (11.9)? Desarrollo (a) Y el par (x, y) distinto de (2, 3) produce un valor z positivo. (b) Sí. En x*= 2 ; y y* = 3, hallamos fx = 4 (x - 2) 3 y fy = 4 (y - 3) 3 = 0 (c) Tenemos fxx=yy=fxy=fyx=0. (c) Por (11.6), d2z = 0. Así (11.9) se satisface. EJERCICIO 33 11.3. Formas cuadráticas, una incursión 1. Por multiplicacion matricial directa, exprese cada uno de los siguientes productos de matrices como una forma cuadratica: (a) (b) (c)
42 23 21 43 54 20 ) )
)
(d)
)
Desarrollo (a) q = 4u2 + 4uv + 3v2 (b) q = -2u2 + 4uv - 4v2
(c) q = 5x2 + 6xy (d) q = fxx dx2 + 2fxy dx dy + f yydy2 2.En el problema 1b y c, las matrices de coeficientes no son simetricas respecto a la diagonal principal. Compruebe que al promediar los elementos que estan fuera de la diagonal, y por consiguiente, convertirlos respectivamente en
22 42 53 30
ontenemos las mismas formas
cuadraticas que antes. Desarrollo
Para (b): q = -2u2 + 4uv - 4v2. Para (c): q = 5x2 + 6xy. Ambos son los mismos que antes. 3. Exprese cada una de las siguientes formas cuadraticas como un producto de matrices en el que interviene una matriz de coeficientes simetrica: (a) Q=3u2-4uv+7v2 (b) Q= u2+7uv+3v2 (c) Q=8uv- u2-31v2 2
2
(d) Q=6xy-5y -2x (e) Q= 3ut2-2u1u2+4u1u3+5u22+ u32- u2u3 2 (f) Q= -u +4uv-6u-4v2-7w2 Desarrollo (a) (b) (c)
42 23 22 42 53 30
: 4> 0, 4 (3)> 22 - definido positivo : -2 <0, -2 (-4) > 22 - definido negativo
: 5> 0, 5 (0) <32 - ninguno
4. De los discriminantes obtenidos de las matrices de coeficientes simetricas del problema 4, constate mediante la prueba de los determinantes cuales de las foras cuadraticas son positivas definidas y cuales negativas definidas.
Desarrollo (a) q = [uv] (b) q = [uv] (c) q = [uv] (d) q= [xy]
23.135 23.735 14 314 23 53 132 115
(e) q = [u1 u2 u3]
124
(f) q = [uvw]
12 42 30 3 0 7
5. Encuentre las raices caacteristicas de cada una de las siguientes matrices:
42 23 2 2 532 03 4
(a) D= (b) E= (c) F=
¿Qué se puede concluir acerca de los signos de las formas cuadraticas u` Du, u` Eu y u` Fu? ( compruebe sus resultados contra el problema 3) Desarrollo (a) 3> 0, 3 (7)> (-2)2 - definido positivo (b) 1> 0, 1 (3) <(3,5)2 –ninguno (c) -1<0, 1(-31)>42 - definido negativo (d) -2 <0, -2 (-5)> 32 - definido negativo (e) 3> 0,
13 15 132 115 124 12 42 = 14> 0,
(f) -1 < 0,
= 37> 0 - positivo definido
= 0 – ninguno (no es necesario comprobar | D3 |)
6. Encuentre los vectores caracteristicos de la matriz
42 12
Desarrollo (a) La ecuación característica es:
42 32
= r2-7r+8=0 Sus raíces son r1, r2 = ½(7+√17). Ambas raíces son positivas,
u`Du es definida positiva. (b) La ecuación característica es r 2 + 6r + 4 = 0, con raíces r1, r2 = -3 ± √5. Siendo negativo, u`Eu es negativo definido. (c) La ecuación característica es r 2 - 5r - 9 = 0, con raíces r1, r2 = 1/2(5 ± √61). Puesto que r1 es positivo, pero r 2 es negativo, u`Fu es indefinido.
7. Dada una forma cuadratica u` Du, donde D es2x2, la ecuacion caracteistica e D se puede escribir como
[ ] 0
Desarrolle el determinante, expresa las raices de esta ecuacion mediante el uso de la formula cuadratica y deduzca lo siguiente:
(a) Ningun numero imaginario (un numero con r1 y r2
√1
) puede ocurrir en
(b) Para tener raices repetidas, la matriz D debe ser de la forma
0 0
(c) Para tener semidefinicion positiva o negativa, se podria anular el discriminante de la forma cuadratica, es decir, =0 es posible.
||
Desarrollo
La ecuación característica puede escribirse como r 2 - (d11 + d22) r + (d11d22 - d12d21) = 0 Así r1, r2 = 1/2 ∙ (d 11 + d22) ±√ (d11 + d22) 2 - 4 (d11d22 - d12d21) ) ¸ (a) La expresión bajo el signo de la raíz cuadrada puede escribirse como E = d2 11 + 2d11d22 + d2 22 - 4d11d22 + 4d12d21 = d2 22 + 4d12d21 = (d11 - d22) 2 + 4d2 11 - 2d11d22 + d2 12 ≥ 0 Por lo tanto, ningún número imaginario puede ocurrir en r1 y r2. (b) Para tener raíces repetidas, E tiene que ser cero, lo cual puede ocurrir si y sólo si d 11 = d22 (digamos, c) y al mismo tiempo d12 = d21 = 0. Esto significaría que la matriz D toma la forma de
0 0
(c) La semidefinidad positiva o negativa permite que una raíz característica sea cero (r = 0), lo que implica la posibilidad de que la ecuación característica se reduzca a d 11d22 d12d21=0, o | D | = 0. EJERCICIO 34 11.4. Funciones objetivo con más de dos variables Encuentre los valores extremos, si los hay, de las siguientes cuatro funciones. Compruebe si son máximo, o mínimos mediante la prueba de los determinantes. 1. Z=x12+3x22-3x1x2+4x2x3+6x32 2. Z= 29-( x12+ x22+ x32) 3. Z= x1x3+ x12-x2+ x2x3+ x22+3 x32 Luego, conteste las siguientes preguntas en relación con matrices hessianas y sus raíces características. Desarrollo 1. La condición de primer orden f1 = 2x1 - 3x2 = 0 f2 = -3x1 + 6x2 + 4x3 = 0 f3 = 4x2 + 12x3 = 0 es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales en el que las tres ecuaciones son independientes. Así, la única solución es x* 1 = x*2 = x*3 = 0 de modo que z*= 0 El Hessiano es
320 346 1204
, con | H1 | = 2> 0, | H2 | = 3> 0, y | H3 | = 4> 0. Por
consiguiente, z*= 0 es un mínimo. 2. La condición de primer orden consta de las tres ecuaciones
f1 = -2x1 = 0 f 2 = -2x2 = 0 Así x*1 = x*2 = x*3 = 0 de manera que z*= 29 El Hessiano es
f3 = -2x3 = 0
20 20 00 0 0 2
, con | H1 | = -2 <0, | H2 | = 4> 0, y | H3 | = -8 <0. Por
consiguiente, z*= 29 es un máximo 3. Las tres ecuaciones en las condiciones de primer orden son 2x1 + x3 = 0 2x2 + x3 = 1 x1 + x2 + 6x3 = 0 Así x*1 = 1/20 ; x*2 = 11/20 ; x*3 = - 2 de modo que Z*= 11/40 Puesto que el arpillera es z* es un mínimo.
201 021 16
, con | H1 | = 2> 0, | H2 | = 4> 0, y | H3 | = 20> 0, el valor
4. (a) ¿Cuáles de los problemas del 1 al 4 producen matrices hessianas diagonales? En cada caso, ¿los elementos de la diagonal poseen un signo uniforme? (b)¿Qué se puede concluir acerca de las raíces característica de cada matriz hessiana diagonal hallada?¿y acerca de la definición de signo de d 2z? (c)¿Concuerdan los resultados de la prueba de las raíces características con las de la prueba de los determinantes? Desarrollo (a) Los problemas 2 y 4 producen matrices de Hessia diagonales. Los elementos diagonales son todos negativos para el problema 2 y todos positivos para los problemas 4 y 5. (b) Según (11.16), estos elementos diagonales representan las raíces características. Así, las raíces características son todas negativas (d2z negativas definidas) para el problema 2, y todas positivas (d2z positivas definidas) para el problema 4. (c) Sí. 5. (a) Encuentre las raíces características de la matriz hessiana del problema 3. (b)¿Qué puede concluir de sus resultados? (c) ¿Su respuesta en (b) es congruente con el resultado de la prueba de los determinantes del problema 3? Desarrollo (a) La ecuación característica es, por (11.14):
20 20 11 1 1 6
=0
Expandir el determinante por el De la Fig. 5.1, obtenemos (2 - r) (2 - r) (6 - r) - (2 - r) - (2 - r) = 0 ; o (2 - r) [(2 - r) Así, desde el término (2 - r), tenemos r1 = 2. Por la fórmula cuadrática, obtenemos del otro (2 - r) Término: r 2, r3 = 4 ± √6. (b) Las tres raíces son positivas. Así, d2z es positivo definido y z * es un mínimo. (c) Sí. EJERCICIO 35 11.5. Condiciones de segundo orden en relación con la concavidad y la convexidad
1. Utilice (11.20) para comprobar si las siguientes funciones son cóncavas, convexas, estrictamente cóncavas, estrictamente convexas o ninguna: (a) Z=x2 (b) Z=x12+2 x22 Desarrollo (a) Sea u y v dos puntos distintos en el dominio. Entonces, f (u) = u2 f (v) = v 2 f [θu + (1 - ) v] = [ u + (1 - θ) v] 2 Sustituyendo estos en (11.20) - y las expresiones del lado derecho en (11.20) sean θu2 + (1 - θ) v2 - θ2u2 - 2θ (1 - θ) uv - (1 - θ) 2 v2 = (1 - θ) u2 - Θ) uv + θ (1 - θ) v2 = (1 θ) (u - v) 2> 0 [puesto u6 = v] Así z = x2 es una función estrictamente convexa. (b) Sea u = (u1, u2) y v = (v1, v2) dos puntos distintos en el dominio. Entonces f (u) = u21 +
2u22 f (v) = v2 1 + 2v2 2 f [θu + (1 -
) v] = [
u1 + (1 -
) v1]
) v2] 2 La diferenci a
(1- θ) u - 2u1v1 + v2 1 + 2u 4u2v2 + 2v2 2 = θ (1 - θ) 22 21 h (u1 - v1) 2 + 2 (u2 - v2) 2 > 0 Así z = entre las expresiones del lado izquierdo y del lado derecho en (11.20) es ¡
x21 + 2x22 es una función estrictamente convexa. 2. Use (11.24) u (11.24`) para comprobar ilas siguientes funciones son cóncavas, convexas, estrictamente cóncavas, estrictamente convexas o ninguna: (a) Z=- x2 (b) Z=( x2+ x2) (c) Z=-xy Desarrollo (a) Con f`(u) = -2u, la diferencia entre las expresiones de lado izquierdo y derecho en (11.24) es -v2 + u2 + 2u (v - u) = -v2 + 2uv - u2 = - (v - u) 2 <0 Así z = -x2 es estrictamente cóncavo. (b) Dado que f1 (u1, u2) = f2 (u1, u2) = 2 (u1 + u2), la diferencia entre las expresiones del lado izquierdo y derecho en (11.24 ') es (v1 + v2) 2 - U1 + u2) 2 - 2 (u1 + u2) (v1 - u1) + (v2 - u2) 2 = [(v1 + v2) - (u1 + u2)] 2 ≥ 0 No se puede descartar un valor cero porque los dos puntos pueden ser, por ejemplo, (u 1, u2) = (5, 3) y (v1, v2) ) = (2, 6). Así, z = (x1 + x2) 2 es convexa, pero no estrictamente. (c) Dado que f1 (u1, u2) = -u2 y f2 (u1, u2) = -u1, la diferencia entre las expresiones de lado izquierdo y derecho en (11.24 ') es -v1v2 + u1u2 + u2 (v1 (V2 - u2) T 0 Así z= -xy no es convexo ni cóncavo. 3. De acuerdo con su respuesta al problema 2c, ¿se podría hacer uso del teorema III de esta sección para dividir la tarea de comprobar la función z=2 x2-xy+ y2 en el problema 1c? Explique su respuesta. Desarrollo No. Ese teorema da una condición suficiente que no se satisface. 4. ¿Constituyen las formas siguientes conjuntos convexos en el espacio tridimensional? (a) Una dona (b) Un pino de boliche
(c) Una canica perfecta Desarrollo (a) No. (b) No. (c) Sí. 5. La ecuación x2+ y2=4 representa un circulo con centro en (0,0) y con radio 2. (a) Interprete geométricamente el conjunto ((x,y)| x2+ y2≤4) (b) ¿Es convexo el conjunto? Desarrollo (a) El círculo con su interior, es decir, un disco. (b) Sí. 6. Grafique cada uno de los siguientes conjuntos e indique si es convexo: (a) ((x,y)|y=ex) (b) ((x,y)|y≥ex) (c) ((x,y)|y≤13-x2) (d) ((x,y)|xy≥1; x>0; y>0) Desarrollo (a) El conjunto de puntos en una curva exponencial, no un conjunto convexo (b) El conjunto de puntos situados sobre o por encima de una curva exponencial, un conjunto convexo. (c) El conjunto de puntos situados sobre o por debajo de una curva inversa en forma de U, un conjunto convexo (d) El conjunto de puntos sobre o sobre una hipérbola rectangular en el cuadrante positivo; Un conjunto convexo
10 4 266 8 22
7. Dado u= (a) (b) (c)
75 7 68
y v= ¿Cuáles de las siguientes son combinaciones convexas de u y v?
Desarrollo (a) Esta es una combinación convexa, conθ=0.5 (b) Esta es otra vez una combinación convexa, con =0.2 (c) Esto no es una combinación convexa 8. Dado dos vectores u y v en el espacio bidimensional, determine y bosqueje: (a) El conjunto de las combinaciones lineales de u y v (b) El conjunto de las combinaciones lineales no negativas de u y v (c) El conjunto de las combinaciones convexas de u y v Desarrollo (a) Este conjunto es todo el espacio 2 (b) Este conjunto es un cono limitado en un lado por un rayo que pasa a través del punto u, y en el otro lado por un rayo que pasa a través del punto v (c) Este conjunto es el segmento de la línea uv
Capítulo 12: Optimización con restricciones de igualdad 12.2. Como encontrar los valores estacionarios
12.3. Condiciones de segundo orden 12.4. Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad 12.5. Maximización de utilidad y demanda del consumidor 12.6. Funciones homogéneas 12.7. Combinación de insumos de costo mínimo
12.2. 1. Use el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores de Z:
a. Z= xy, sujeto a x+2y= 2 Z=xy+ (2−x−2y). Lacondición necesaria es: Z =2−x−2y=0 Zx=y− =0 Zy=x−2 =0 λ = x =1 y = z = b. Z= x(y+4), sujeto a x+y= 8 Z=xy+4x+λ(8−x−y). La condición necesaria es: Z =8−x−y=0 Zx=y+4− =0 Zy=x− =0 λ =6 x =6 y =2 z =36 c. Z= x-3-xy, sujeto a x+y= 6 Z=x−3y−xy+λ(6−x−y). La condición necesaria es: Z =6−x−y=0 Zx=1−y− =0 Zy=−3−x− =0 λ =−4 x =1 y =5 z =−19 d. Z= 7-y+x2, sujeto a x+y= 0 Z=7−y+x2+λ(−x−y). La condición necesaria es: Z =−x−y=0 Zx=2x− =0 Zy=−1− =0 λ =−1 x =-− y = z =6
∗ ∗
∗
∗ ∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
2. En el problema anterior, encuentre si una ligera relajación de la restricción aumenta
o disminuye el valor optimo de z. ¿A qué tasa)
∗ = λ∗= ∗ b. Aumento; ∗= 6 c. Disminución; =4 = 1 d. Disminución; ∗ a. Aumento; a la tasa
3. Escriba la función lagrangiana y la condición de primer orden para los valores estacionarios (sin resolver las ecuaciones) para cada una de las siguientes funciones objetivo z: a. z= x+2y+3w+xy-yw, sujeto a x+y+2w=10 Z=x+2y+3w+xy−yw+ (10−x−y−2w). Por lo tanto
Z =10−x−y−2w=0 Zy=2+x−w− =0
Zx=1+y− =0 Zw=3−y−2 =0
b. z= x2+2xy+yw2, sujeto a 2x+y+w2=24yx+w=8 Z=x2+2xy+yw2+λ(24−2x−y−w2)+µ(8−x−w). Así
Zλ=24−2x−y−w2=0 Zx=2x+2y−2 −µ=0 Zw=2yw+2λw−µ=0
Zµ=8−x−w=0 2 Zy=2x+w −λ=0
4. Si en lugar de g(x,y)= c, la restricción se escribe en la forma de G(x,y)= 0, ¿Cómo deben modificarse la función lagrangiana y, como consecuencia, la condición de primer orden?
Z =f(x,y)+ Z
[0−G(x,y)] =f(x,y)−
=−G(x,y)=0
G(x,y). La condición de primer orden se convie rte en:
Zx =fx−
Gx =0
Zy =fy−
Gy =0
5. Al estudiar el enfoque deque la diferencia señalamos dada deducir la restricción g(x,y)=c, podemos deducir dg=0; portotal, la misma razón, que, podemos además 2 que d g= d(dg)= d(0)=0. Sin embargo, en nuestro estudio anterior del extremo no restringido de una función z= f(x,y), teníamos una situación en la cual dz= 0esta acompañada por un d2z positivo definido, en lugar de d2z=0. ¿Cómo explicaría esta disparidad de tratamiento en los dos casos? Dado que la restricción g = c es prevalecer en todo momento en este problema de optimización restringida, la ecuación adquiere el sentido de una identidad, y se sigue que dg debe ser cero. Entonces eso sigue que dg debe ser cero, también. Por el contrario, la ecuación dz = 0 es de la naturaleza de condición de primer orden -dz no es idénticamente cero, sino que se establece igual a cero para localizar los valores críticos de las variables de elección. Por lo tanto d2z no tiene que ser cero como una cuestión de curso.
6. Si la función de lagrange se escribe como Z= f(x,y) + (g(x,y) -c) en vez de como en (12.7), ¿Puede interpretarse todavía al multiplicador de lagrange como en (12.16)? Complete la nueva interpretación, si hay alguna. No, se cambiará el signo de
12.3.
*. El nuevo
* es el negativo del
* antiguo.
1. Use el hessiano orlado para determinar si el valor estacionario de z obtenido en cada parte del ejercicio 12.2-1 es un máximo o un mínimo
a. Ya que H = 0 1 2 1 0 1 = 4,z* =
es un maximo.
2 1 0 b. Ya que H = 0 1 1 1 0 1 = 2,z* =36 en un máximo 1 1 0 c. Ya que H = 0 1 1 1 0 -1 = −2,z* =−19 es un mínimo. 1 -1 0 d. Ya que H = 0 1 1
1 2 0 = −1,z* =6 es un mínimo 1 0 -1
2. Al establecer las condiciones suficientes de segundo orden para el máximo y mínimo restringidos, especificamos los signos algebraicos de H 2, H3, H4, etc., pero no de H1. Escriba una expresión apropiada para H1, y verifique que invariablemente adopta el signo negativo. H1 =
10 111
= −g12 <0
3. Recordando la propiedad II de los determinantes (sección 5.3), muestra que: a. Al intercambiar en forma apropiada dos filas o dos columnas de H 2 y al alterar apropiadamente transformarse en el signo del determinante después de cada intercambio, puede
Z11 Z21g1 Z12 Z22g2 0g2g1
b. mediante un procedimiento similar, H3 se transforma en Z11
Z12
Z13
g1
Z21
Z22
Z23
g2
Z31
Z32
Z33
g3
g1
g2
g3
0
¿Qué forma alternativa de “orlar” los menores principales del hessiano surgieron estos resultados? El cero puede ser el último (en vez del primer) elemento en la diagonal principal, con g1, g2 y g3 (en ese orden aparecen en la última columna y en la última fila). 4. Escriba el hessiano orlado para un problema de optimización restringida con cuatro variables de elección y dos restricciones. Entonces, establezca específicamente la condición suficiente de segundo orden para un máximo y para un mínimo de z, respectivamente. H = 0 0 g11 g12 g13 g14 0 0 g21 g22 g23 g24 g11 g21 z11 z12 z13 z14 g12 g22 z21 z22 z23 z24 g13 g23 z31 z32 z33 z34 g14 g24 z41 z42 z43 z44 Una condición suficiente para un máximo z es H3 <0 y H4 = H >0 Una condición suficiente para un mínimo z es H3 >0 y H >0
12.4. 1. Dibuje una curva estrictamente cuasicóncava z=f(x) que sea a. también cuasiconvexa b. no cuasiconvexa
d. no cóncava e. ni cóncava ni convexa
c. no convexa
f. tanto cóncava como convexa
a. z
z
z
z
x
x
b. z
x z
z
x
x
c. z
x
z
z
x
x
d. z
x
z
z
x
x
e. z
x
z
x
f.
x
z
z
x
x
f(x) a
u
x
v
x
2. ¿Las siguientes funciones son cuasicóncavas? ¿Lo son estrictamente? Revise primero gráficamente y luego algebraicamente mediante (12.20). Suponga que x ≥ 0 a. f(x)= a
c. f(x) = a+ cx2(c<0)
b. f(x) = a+ bx(b>0)
a. Cuasicóncava, pero noestrictamente. Esto es porque f (v) = f (u) = a, y así f [ (1- ) v] = a, que es igual a (no mayor que) f (u).
u+
b. Cuasicóncova, y estrictamente así. En el presente caso, f (v) ≥f (u) significa que a + bv≥a + bu, o v≥u. Además, para tener u y v distintos, debemos tener v> u. Ya que f[θu+(1−θ)v]=a+b[θu+(1−θ)v] = a+b[ u+(1− )v]+(bu−bu) = a+bu+b(1− )(v−u) = f(u)b(1−
)(v−u)=f(u) + algún termino positivo
Se deduce que f [ u + (1 - ) v]> f (u). Por lo tanto, f (x) = a + bx, (b> 0), estrictamente cuasicóncava
f(x)
u
v
x
Por lo tanto f(x)=a+cx2, (c<0), es estrictamente cuasicóncava
3. a. sea z= f(x) cuya grafica tiene la forma de una curva con pendiente negativa como la mitad derecha de una campana en el primer cuadrante, que pasa por los puntos (0,5), (2,4), (3,2) y(5,1). Sea z=g(x) cuya grafica es una recta con pendiente positiva a 45°. ¿son f(x) y g(x) cuasicóncavas? b. Ahora grafique la suma f(x) + g(x). ¿Es la función suma cuasicóncava? Ambos f (x) y g (x) son monótonos, y por lo tanto cuasi-cóncava. Sin embargo, f (x) + g (x) muestra tanto una colina como un valle. Si tomamos k = 51, por ejemplo, ni S≥ ni S ≤ serán un conjunto convexo. Por tanto, f (x) + g (x) no es cuasiconcavo. 4. Mediante el examen de sus graficas y el uso de (12.21), verifique si las siguientes funciones son cuasicóncavas, cuasiconvexas, ambas o ninguna de ellas:
a. f(x)= x3-2x
b. f(x1, x2)= 6x1-9x2
c. f(x
1,
x2)= x2- In x1
a. Esta función cúbica tiene un gráfico similar al de la Fig. 2.8c, con una colina en el segundo cuadrante y valle en el cuarto. Si tomamos k = 0, ni S≥ ni S ≤ es un conjunto convexo. La función no es ni cuasicóncava ni cuasiconvexa. b. Esta función es lineal, y por lo tanto es tanto cuasiconcava como cuasiconvexa. c. Ajustando x2 –Inx1 = k, y resolviendo para x2, obtenemos la ecuación isovalente x2 = lnx1 + k. En el plano x1 x2, este traza para cada valor de k como una curva de log desplazada hacia arriba verticalmente por la cantidad de k. El conjunto S ≤ = {(x1, x2) | F (x1, x2) ≤k} -el conjunto de puntos sobre o debajo de la curva isovalente es un conjunto convexo. Así, la función es cuasiconvexa (pero no cuasiconcava).
5. a. Verifique que una función cubica z= ax3+bx2+cx+d no es en general ni cuasiconcava ni cuasiconvexa Una curva cúbica contiene dos curvas, y así violaría ambas partes (de 12.21). b. ¿Se puede imponer restricciones a los parámetros de modo que la función se transforme en cuasiconcava y cuasiconvexa a la vez para x ≥ 0? De la discusión del coste total cúbico funcionan en la Sec. 9.4, sabemos que si a, c, d> 0, la b <0, y b2 <3ac, entonces la función cúbica será ascendente inclinada para x no negativo. Entonces, por (12.21), es tanto cuasicóncavo como cuasiconvexo. 6. Use (12.22) para verificar z=x2(x ≥ 0) en cuanto a cuasiconcavidad y cuasiconvexidad
Sea u y v dos valores de x, y sea f (v) = v2≥f (u) = u2, lo que implica v ≥u. Sin f0 (x) = 2x, encontramos que, f’(u)(v−u)=2u(v−u)≥0 f’(v)(v−u)=2v(v−u)≥0 Así, por (12.22), la función es tanto cuasicóncava y cuasiconvexa, confirmando la conclusión en el Ejemplo 1.
7. Muestre que z= xy(x, y≥ 0) no es cuasiconvexa El conjunto S ≤, que implica la desigualdad xy ≤ k, consiste en los puntos situ ados sobre o debajo de la hipérbola rectangular - no un conjunto convexo. Por lo tanto la función es cuasiconvexa por (12.21). Alternativamente, como fx = y, fy = x, fxx = 0, fxy = 1 y fyy = 0, tenemos | B1 | = -y2≤0 y | B2 | = 2xy≥0, lo que viola la condición necesaria (12.25 ') para la cuasiconvexidad. 8. Use determinantes orlados para verificar las siguientes funciones en cuanto a cuasiconcavidad y cuasiconvexidad: a. z= -x2-y2(x, y> 0)
b. z= -(x+1)
2
– (y+2)2 (x, y>0)
a. Dado que fx = -2x, fy = -2y, fxx = -2, fxy = 0, fyy = -2, tenemos | B1 | = -4x2 <0 | B2 | = 8¡x2 + y2 ¢> 0 Por (12.26), la función es cuasicóncava. b. Como fx = -2 (x + 1), fy = -2 (y + 2), fxx = -2, fxy = 0, fyy = -2, tenemos | B1 | = -4 (x + 1) 2 <0 | B2 | = 8 (x + 1) 2 + 8 (y + 2) 2> 0 Por (12.26), la función es cuasicóncava.
12.5. 1. Dado U=(x+2)(y+1) y P x= 4, Py=6 y B=130: a. Escriba la función lagrangiana
Z=(x+2)(y+1)+λ(130−4x−6y) b. Encuentre los niveles óptimos de compra x* y y*
La condición de primer orden requiere que
Z
=130−4x−6y=0,
Zx=y+1−4
=0,
Zy=x+2−6
=0
∗
Así tenemos λ =3,x*=16, y y*=11. c. ¿Se satisface la condición suficiente de segundo orden para un máximo? H= 0 4 6 4 0 1 = 48>0. Por lo tanto la utilidad se maximiza 6 1 0 d. ¿La respuesta de (b) da alguna información-comparativa? No 2. Suponga que U=(x+2)(y+1), pero esta vez no asigne valores numéricos específicos a los parámetros de precio e ingreso a. Escriba la función lagrangiana
Z=(x+2)(y+1)+λ(B−xPx−yPy) b. Encuentre x*, y* y
* en los términos de los parámetrosx,PPy y B
Como condición necesaria para el extremo, tenemos Z =B−xPx −yPy=0 o −Pxx −Pyy =−B
Zx=y+1−
Px=0
−Px
+y =−1
Zy=x+2−
Py=0
−Py
+x =−2
Por la Regla de Cramer, podemos encontrar que
λ∗ ++y y =
∗ −+y
∗ +−y y
x =
y =
c. Verifique la condición suficiente del orden segundo para el máximo H = 0 Px Py Px 0 1 = 2PxPy >0. La utilidad se maximiza Py 1 0
d. Tomando Px= 4, Py=6 y B=130 revise la validación de tu respuesta al problema 1 Cuando Px = 4, Py = 6, y B = 130, obtenemos con el problema anterior.
* = 3, x * = 16 e y * = 11.Este control
3. ¿Puede su solución (x* y y*) del problema 2 suministrar alguna información estaticocomparativas que pueda, evalúe sus signos, e interprete su significado económico
∗ = >0, ∗ = 2P2y <0, ∗ = >0, ∗ = >0, ∗ = >0, y B y y ∗= 2 <0 y 2P2 Si,
Un aumento en el ingreso B eleva el nivel de compras óptimas de x e y ambos; Un aumento en el precio de una mercancía reduce la compra óptima de esa mercancía en sí, pero aumenta la compra óptima de la otra mercancía. 4. De la función de utilidad U=(x+2)(y+1) y de la restricción xPx, yPy = B del problema 2, ya hemos encontrado los U ij y H, así como y* y *. Aun mas, recordemos que f= H Tenemos Uxx=Uyy=0, Uxy=Uyx=1, |J|= H= 2PxPy.
++y ∗ −+y ∗ y ,
x =
y λ =
así
a. Sustitúyalos en (12.39) y (12.40) para encontrar (dx*/dB) y (dy*/dB)
∗ = , y ∗ = y b. Sustitúyalos en (12.42) y (12.43) para encontrar (dx*/dPx) y (dy*/dPx)
∗ Px = 2P2y = y ¿Están de acuerdo estos resultados con los obtenidos en el problema 3? Estas respuestas se comprueban con el problema anterior. 5. Comente la validez de esta afirmación: “si la derivada (dx*/dPx) es negativa, entonces x no puede representar de ninguna manera a un bien inferior”
Un signo negativo para ese derivado puede significar que el efecto del ingreso (T1) y la sustitución el efecto (T2) en (12.42) es negativo (bien normal), o que el efecto del ingreso es positivo (bien inferior) pero es eclipsado por el efecto sustitución negativa. La declaración no es válida. 6. Al estudiar el defecto dPx, la primera ecuación de (12.37) se reduce a –Pxdx*Pydy*=x* dPx, y cuando compensamos la perdida del ingreso efectivo del consumidor al eliminar el termino x* dPx, la ecuación se transforma en–Pxdx*- Pydy*=0. Muestre que este resultado puede obtenerse en forma alternada a partir de un procedimiento de compensación mediante el cual tratamos de observar el nivel de utilidad U* optimo del consumidor (en vez del ingreso efectivo) sin cambio, de modo que el término 2T pueda interpretarse de manera alterna como (dx*/dPx)U*=constante- [sugerencia: usa (12.31”)] El nivel de utilidad óptimo puede expresarse como U = U (x *, y *). Así dU = Uxdx * + Uydy*, donde Ux y Uy se evalúan en el óptimo. Cuando U es constante, tenemos dU =
= en el óptimo. Así también podemos expresar dU = 0 por Pxdx * + Pydy * = 0, o -Pxdx *-Pydy* = 0. 0, o Uxdx * + Uydy * = 0. De (12.33), tenemos
7. a. ¿La hipótesis de la disminución de la utilidad marginal de los bienes x y y implica curvas de indiferencia estrictamente convexas? No; La utilidad marginal decreciente significa sólo que Uxx y Uyy son negativos, pero dice nada sobre Uxy. Por lo tanto, no podemos estar seguros de que H> 0 en (12.32) y > 0 en 12.33 b. ¿La hipótesis de convexidad estricta en las curvas de indiferencia implica la disminución de la utilidad marginal de los bienes x y y?
> 0 y por lo tanto H> 0, no se dice nada finito sobre el signo de Uxx y Uyy, porque Uxy también aparece en H No; Si
12.6 1. Determine si las siguientes funciones son homogéneas. Si lo son, ¿de que grado?
a. f(x,y)=
: Homogéneo de grado uno
=j
b. f(x,y)= (x2-y2)1/2
[(jx)2 – (jy)2]1/2 = j(x2 – y2): Homogéneo de grado uno c. f(x,y)= x3-xy+y3 No es homogéneo
d. f(x,y)= 2x+y+3 2jx+jy+3
e. f(x,y,w)=
= j (2x+y+3
y +2xw
): Homogéneo de grado uno
jjy + 2(jx)(jw)= j ( y + 2xw): Homogéneo de grado dos 2
f. f(x,y,w)= x4-5yw3 (jx)4 – 5(jy)(jw)3 = j4(x4 – 5yw3): Homogéneo de grado cuatro
2. Muestre que la función (12.45) puede expresarse de manera alterna como Q=k
L K en lugar de Q= Lϕ ( Q K L L L L Dejar j= , entonces = f ( , ) = f (1, ) = (). Así Q= Kψ ()
3. Deduzca del teorema de Euler que, con retornos constantes a escala: a. Cuando MPPk= 0, APPL es igual a MPP L Cuando MPPKk = 0, tenemos L
Q = Q, o Q = Q , o MPP = APP L
L
b. Cuando MPPL= 0, APPk es igual a MPPk
Q Q Q = Q, o = , o MPP = APP
Cuando MPPL =0, tenemos K
k
k
4. Tomando como base de (12.46) a (12.50), verifique si lo que sigue es verdad bajo condiciones de retornos constantes de escala: Si, son ciertas: a. Una curva APPL puede graficarse contra k(=K/L) como la variable independiente (sobre el eje horizontal) APPL= φ(k) ; Por lo tanto APPL ciertamente se puede trazar contra k. b. MPPK se mide con la pendiente de curva APPL MPPk= (k)= Pendiente de APPL c. APPk se mide por la pendiente del radio del vector de la curva APP L APPk=
= = = Pendiente del radio
vector a la curva APPL
d. MPPL= APPL-k(MPPk)= APPL-k (pendiente de APPL)
(
MPPL =
(k)−k
(k)=APP L−k·MPPk
5. Use (12.53) y (12.54) para verificar que las relaciones descritas en el problema 4b, c y d están de acuerdo con la función de producción de Cobb-Douglas b. APPL = Akα , Así la pendiente de APPL= A c. Pendiente de un vector de radio =
α-1
k = MPPk
= = Ak
α-1
= APPk
d. APPL−k·MPPk = Akα−kAαkα-1= Akα-Aαkα = A(1−
) = αk = MPPL
6. Dada la función de producción Q= AKα Lβ, muestre que
a.
+
>1 implica retornos crecientes a escala
Puesto que la función es homogénea de grado ( + ), si + > 1, el valor de la función aumentará más de j veces cuando K y L se incrementen j veces, lo que implica un incremento rendimientos a escala. b. .
+
<1 implica retornos decrecientes a escala
Si + <1, el valor de la función aumentará menos que j veces cuando K y L y sea aumentado j veces, lo que implica rendimientos decrecientes a escala. c. . + son, respectivamente, las elasticidades parciales del producto respecto al capital y a los productos del trabajo Tomando el registro natural de ambos lados de la función, tenemos lnQ = lnA + lnL. Así QK =
=
lnK +
=β
y QL =
a b c 7. Sea el producto una función de tres insumos: Q= AK LN
a. ¿Es homogénea esta función? A(jK)a(jL)b(jN)c =ja+b+c. AKa LbNc = ja+b+cQ:
Homogéneo de grado a+b+c
b. ¿Bajo que condición habría retornos constantes a escala? ¿Retornos crecientes a escala? a+b+c=1 Implica rendimientos constantes a escala; a+b+c>1 Implica rendimientos crecientes a escala c. Encuentre la participación del producto para el insumo N, si se paga por la cantidad de su producto marginal
Compartir para N=
= − = c
8. Sea la función de producción Q= g(K,L) homogénea de grado 2 a. Escriba una ecuación para expresar la propiedad de homogeneidad de segundo grado de esta función j2Q=g(jK,jL) b. Encuentre una expresión para Q en términos deϕ(k), de acuerdo con (12.45)
. Entonces la ecuación en (a) produce: = g( , 1)= φ( ) =φ(k). Esto implica que Q=L φ(k)
j=
2
c. Encuentre la función MPPk, ¿Es todavía MPPk una función solamente de k, como en el caso de homogeneidad lineal? MPPk=
= L φ(k) = L φ(k) = Lφ(k). Ahora MPP depende de L, así como k 2
2
K
d. ¿Es homogénea la función MPPk en K y L? si lo es, ¿de que grado? Si K y L son ambos aumentado j veces en la expresión de MPPK en (c), obtenemos (jL)φ
= jLφ
= jL
(k)=j·MPPK
Así MPPK es homogéneo de grado uno en K y L.
12.7 1. Suponga las isocuantas de la figura 12.9b se obtienen de una función de producción homogénea especifica Q= Q(a,b). Observando que OE= EE’= E’E’’, ¿Cuáles deben ser las razones entre niveles de producto representado por las tres isocuantas si la función Q es homogénea? a. De grado uno? La homogeneidad lineal implica que los niveles de producción de las isoquantes están en la proporción de 1: 2: 3 (del suroeste al noreste). b. De grado dos? Con la homogeneidad de segundo grado, los niveles de salida están en la proporción de 1:22: 33, o 1: 4: 9. 2. para el caso generalizado de Cobb-Douglas, si graficamos la relación b*/a* contra la relación Pa/Pb, ¿Qué tipo de curva va a resultar? ¿Depende este resultado de la
hipótesis de que curva?
+
=1? Interprete gráficamente la elasticidad de sustitución de esta
∗ = ( ) () se representará como una línea recta que pasa por el srcen, ∗
Dado que
con una (Positiva) igual a / Este resultado no depende de la suposición + La elasticidad de sustitución es simplemente la elasticidad de esta línea, que puede ser leída (por el método de la figura 8.2) como unidad en todos los puntos. 3. ¿Está caracterizada la función de producción CES por la disminución de los retornos de cada insumo para todos los niveles positivos de insumos? Sí, porque QLL y QKK se han encontrado para ser negativos. 4. Muestre que, para una isocuanta de la función CES, 2dK/dL2>0 Sobre la base de (12.66), tenemos
= [ ( ) ] = − (1+p) ( ) − (1+p) ( ) (L - >0K) [Porque <0 ] 1+p
p
p
5. a. Para la función CES, si a cada factor de producción se le paga de acuerdo con su producto marginal, ¿Cuál es la razón de la participación del trabajo del producto entre la participación del capital del producto? ¿Un valor mayor deɣ implicaría una mayor participación relativa del capital?
= = − ( ) . Un p
mayor implica una mayor participación
de capital en relación con la participación laboral b. Para la función Cobb-Douglas ¿la razón de participación del trabajo sobre el capital depende de la relación K/L ¿ es la misma respuesta para lafunción CES? No; no. 6. a. La función de producción CES descarta p=-1. Sin embargo, si p= -1, ¿Cuál seria la forma general de las isocuantas para K y L positivos?
Si =-1, (12.66) se obtiene dK/dL = - (1- )/ líneas rectas inclinadas hacia abajo. b. ¿Está definido Por (12.68),
= constante. Las isocuantas serían
-1? ¿Cuál es el límite de para p=
no se define para p = -1. Pero como
-1? cuando p=
→-1,
→ ∞.
c. Interprete económicamente los resultados para las partes a y b Las isocuantas lineales y la elasticidad infinita de la sustitución implican ambos que los dos insumos son sustitutos perfectos.
= 1.
7. Muestre que al escribir la función CES como Q=A [ᵟK-p + (1-ᵟ ) L-p]-r/p, donde r>0 en un nuevo parámetro, podemos introducir retornos crecientes a escala y retornos decrecientes a escala Si tanto K como L se cambian j veces, la salida cambiará de Q a:
A[δ(jk)-p+(1−δ)(jL)-p]-r/p = A{j-p[δK-p+(1−δ)L−ρ]}-r/p =(j−ρ)-r/p Q= jrQ Por lo tanto r denota el grado de homogeneidad. Con r> 1 (r <1), hemos aumentado (disminuyendo) rendimientos a escala. 8. Evalúe lo siguiente:
− −− − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − −
a.
=
=7
b.
=
=1
c.
=
= ln 5 – 1
d.
=
=0
9. Usando la regla de L’Hospital, muestre que a.
=0
Por sucesivas aplicaciones de la regla, encontramos que
− = −− = −− − = − ! b. =0 − Tomando m (x) = lnx, yn (x) = 1 / x, tenemos
− − =
=0
c.
−
=1
Puesto que xx = exp (ln xx) = exp (xln x), y dado que, de (b), la expresión xln x tiende a cero cuando x → 0 +, xx debe tender a e0 = 1 como x → 0+.
13. Temas Adicionales de Optimización 13.1. La programación no lineal y las condiciones de Kuhn-Tucker 1. Dibuje un conjunto de diagramas similares a los de la figura 13.1 para el caso de minimización, y deduzca un conjunto de condiciones necesarias para un minimo local correspondiente a (13.2) mediante (13.4). Condense estas condiciones en una sola aseveración similar a (13.5) Para el problema de minimización, las condiciones necesarias
(13.4’) f’(x1)=0 y x1 >0 (13.5’) f’(x1)=0 y x1=0
(13.6’) f’(x1)>0 y x1 =0 Estos pueden ser condensados en la única declaración
(13.7’) f’(x1)>0 x1 ≥0 y x1 f’(x1)=0 2. a. Muestre que, en (13.16), en lugar de escribir
λ
=0
(i=1,…,m)
como un conjunto de m condiciones separadas, es suficiente escribir una sola ecuación en forma de
∑=
=0
Dado que yi y ∂Z / ∂yi son ambos no negativos, cada uno de los m términos componentes en la expresión de suma debe ser no negativo, y no hay posibilidad de que ningún término sea anulado por otro, el camino (-3) anula (+3). En consecuencia, la expresión de suma puede ser cero si y sólo si cada término componente es cero. Esta es la razón por la cual la condición de una ecuación es equivalente a las m condiciones separadas tomadas juntas como un conjunto.
b. ¿Podemos hacer lo mismo para el siguiente conjunto de condiciones? Xj
=0
(j=1,…,n)
Podemos hacer lo mismo para las condiciones xj ∂Z / ∂xj = 0. Esto es porque,para cada j, xj ∂Z / ∂xj debe ser no positivo, por lo que no "cancelación" es posible. 3. Basándose en el razonamiento usado en el problema 2, ¿Qué conjunto(o conjuntos) de condiciones en (13.17) puede condenarse en una sola ecuación?
La condición xj ∂Z / ∂xj = 0 (j = 1,2, ···, m) puede condensarse, así como las condiciones Yi ∂Z / ∂yi = 0 (i = 1,2, ···, m). 4. Suponga que el problema es Minimizar C= f(x1, x2,…, xn)
Sujeto a
g’(x1, x2,…, xn) ≥ ri
Y
xj ≥ 0
(i= 1,2,…,m) (j= 1,2,…,n)
Escriba la función lagrangeana, obtenga las derivadas dZ/dx y escriba la j y dZ/d versión expandida de las condiciones de Kuhn-Tucker (13.17) para un valor minimo La versión expandida de (13.17) es:
=f - ∑= y g ≥0 x ≥0 y x (f - ∑= y g =0 = r −g’(x ,···,x )≤0. Y ≥0 y y[r −g (x ,···,x )] = 0 j
i
i
1
ij
j
n
i
j j
i i
i
i
1
ij
n
(i=1,2,···,m; j =1,2,···,n)
5. Transforme el problema de minimización del problema 4 en un problema de maximización, formule la función lagrangeana, obtenga las derivadas respecto aj xy λi, y aplique las condiciones de Kuhn-Tucker (13.16) para un valor máximo. ¿Los resultados son consistentes con los obtenidos en el problema 4? Maximizar
−C =−f(x1,···,xn)
Sujeto a
−g1(x1,···,xn)≤−r1 ...
−gm(x1,···,xn)≤−rm Y
x1,···,xn ≥0
Con la función lagrangiana en forma de
Z =−f(x1,···,xn)+
∑=
yi[ri−gi(x1,···,xn)]
Las condiciones de Kuhn-Tucker (13.18)
=−f + ∑= y g ≤0 x ≥0 y x =0 = −r + g (x ,···,x ) ≥0, y ≥0 y y =0 son idénticos a los resultados del problema anterior. Estos j
i
i
i
ij
1
j
n
i
j
i
13.2 1. Verifique si el punto solución (x*1, x*2) =(2,6) en el ejemplo 3 satisface la calificación de restricción Puesto que x * 1 y x * 2 son ambos no nulos, podemos despreciar (13.20), pero (13.21) requiere que: 6x1(10−x12−x2)2 dx1+3(10−x12−x2)2 dx2 ≤0
2. Maximizar Sujeto a
y
−dx1 ≤0
= x1 x21
+ x22 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
Y
Resuelva gráficamente y verifique si el punto de solución optima satisface (a) la calificación de restricción y (b) las condiciones de Kuhn-Tucker X2
0
1
x1
El límite de restricción es un círculo con un radio de 1, y con su centro en (0,0). La solución óptima está en (1,0). Por (13.20), los vectores de prueba deben satisfacer dx 2 ≥ 0. Por (13.21), debemos tener 2x*1 dx1 + 2x*2 dx2 = 2dx1 ≤ 0. Por lo tanto, los vectores de prueba solo pueden apuntar hacia el debido norte, noroeste u oeste. Existe un arco de calificación para cada vector. (Por ejemplo, el borde de restricción en sí mismo puede servir como un arco de calificación para el vector de prueba debido al norte, como se ilustra en el diagrama adjunto). La función de Lagrange y las condiciones de Kuhn-Tucker son:
Z=x1+y1 (1−x12−x22)
∂Z/∂x1=1−2y1 x1 ≤0
Además de la no negatividad y
∂Z/∂x2=1−2y1 x2 ≤0
Condiciones de holgura complementaria
∂Z/∂y1=1−x12−x22 ≥0 Puesto que x*1 = 1, ∂Z / ∂x 1 debería desaparecer; Así, y* 1 = 1/2. Este valor de y*1, junto con los valores x*1 y x*2, satisfacen todas las condiciones de Kuhn-Tucker.
3. Minimizar
C= x1
Sujeto a
x21 - x22 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
Y
Resuelva gráficamente, ¿se presenta la solución optima en un vértice? Verifique si la solución optima cumple (a) la cualificación de restricción y (b) las condiciones de Kuhn-Tucker para un mínimo X2
x2 = x12
0
x1
La región factible consta de los puntos del primer cuadrante situados sobre o debajo de la curva x2 = x21. La solución óptima está en el punto de srcen, una cúspide. Dado que x*1 = x*2 = 0, los vectores de prueba deben satisfacer dx1 ≥0 y dx2 ≥0, por (13.22). Además, (13.23) demuestra que debemos tener 2x* 1 dx1-dx2 = -dx2 ≥0, o dx2 ≤0. La doble exigencia de dx2 ≥0 y dx2 ≤0 significa que dx2 = 0. Así, los vectores de prueba deben ser horizontales y apuntando hacia el este (excepto el vector nulo que no apunta a ninguna parte). Existen claramente arcos de calificación para cada vector. La función lagrangiana y las condiciones de Kuhn-Tucker son Z=x1+y1(−x12+x2)
∂Z/∂x1 =1−2y1 x1 ≥0
Además de la no negatividad y
∂Z/∂x2 =y1 ≥0
Condiciones de holgura complementaria
∂Z/∂y1 =−x12+x2 ≤0
A (0,0), la primera y la tercera condiciones marginales están debidamente satisfechas. Siempre que elijamos cualquier valor de y * 1≥0, todas las condiciones de Kuhn Tucker se satisfacen a pesar de la cúspide.
4. Minimizar
C= x1
r1
Sujeto a
-x2 – (1- x1)3 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
Y
Muestre que (a) la solución optima (x*1, x*2)= (1,0) no satisface las condiciones KuhnTucker, pero (b) al introducir un nuevo multiplicador 0 ≥ 0, y al modificar la función lagrangeana (13.15) a la forma Z0= λ0 f(x1, x2,…, xn) +
∑=
r1- g(x1, x2,…, xn)]
Las condiciones de Kuhn-Tucker se cumplen para (1,0). (Nota: las condiciones de Kuhn-Tucker para los multiplicadores se amplían solamente a 1,…, λm, pero no a a.
x2
0
x2 = -(1-x1)
0)
3
(1, 0)
x1
Z =x1+λ1[x2+(1−x1)3] La holgura complementaria requiere que ∂Z / ∂x1 desaparezca, pero en realidad encontramos que, en la solución óptima (1,0), ∂Z / ∂x 1 = 1-3λ1 (1-x1)2 = 1.
b. Z0 =λ0 x1+λ1[x2+(1−x1)3] Las condiciones de Kuhn-Tucker son: ∂Z0/∂x1 =λ0−3λ1(1−x1)2 ≥0 ∂Z0/∂x2 =λ1 ≥0
Además de la no negatividad y
∂Z0/∂λ1 =x2+(1−x1)3 ≤0
Condiciones de holgura complementaria
Al elegir λ * 0 = 0 y λ * 1 ≥ 0, podemos satisfacer todas estas condiciones en la solución óptim a.
13.3 1. Suponga que en el ejemplo 2 una unidad de capacidad cuesta solamente 3 centavos por día. a. ¿Cuáles serian los precios y las cantidades planeadas y no planeadas que maximizan la ganancia? Q1 = 650,000, Q2 =600,000, P1 =15.5, P2 =12 b. ¿Cuáles serian los valores de los multiplicadores de lagrange? ¿Qué interpretación le da a esos valores? λ1 =3, λ2 =0. La restricción máxima del mercado es no vinculante. Por lo tanto, el mercado
máximo (Mercado uno) debe pagar por toda la capacidad. 2. Un consumidor vive en una isla donde esta produce dos bienes, x y y, de acuerdo con la frontera de posibilidades de producción x 2 + y2 ≤200, y ella misma consume todos los bienes. Su función de utilidad es U= xy 3 El consumidor también enfrenta una restricción ambiental en su producción total de ambos bienes. La restricción ambiental está dada por ambos bienes. La restricción ambiental está dada por x + y ≤20. a. Escriba las condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker El lagrangiano es Z =xy3+λ1(200−x2−y2)+λ2(20−x−y) Y las condiciones de Kuhn-Tucker son
Zx=y3−2x 1−λ2 ≤0
x≥0
xZx=0
Zx=3xy2−2yλ1−λ2 ≤0
y≥0
yZy=0
Zλ1=200−x2−y2 ≥0
1≥0
1
Zλ1=0
Zλ2=20−x−y≥0
2≥0
2
Zλ2=0
b. Encuentre el optimo x y y del consumidor. Identifique cuales restricciones son activas Las soluciones son x* = 7,07 y y* = 12,25. Obsérvese que sólo la primera restricción es vinculante ya que la segunda restricción está sobre o sobre la primera restricción y 20
14.14
0
14.14
20
x
3. Una empresa de electricidad está construyendo una planta de energía en un país extranjero y tiene que planear su capacidad. La demanda de energía del periodo planeado está dada por P1 = 400 – Q1 y la demanda no planeada está dada por P2 = 380- Q2. El costo variable es 20 por unidad (pagadero en ambos mercados) y 10 los costos de capacidad por unidad que se pagan solamente una vez y se usan en ambos periodos. a. Escriba la función lagrangeana y las condiciones de Kuhn-Tucker para este problema b. Encuentre la capacidad y la producción óptima de este problema Q1=185, Q2=180. La capacidad se establece igual a 185. c. ¿Cuánto paga cada mercado por la capacidad (es decir, cuales son los valores de
1
y λ2)?
λ1=10, λ2=0. La restricción de capacidad no es vinculante para el segundo mercado. Mercado uno paga por la capacidad ( 1 = 10)
d. Ahora, suponga que el costo de la capacidad es de 30 centavos por unidad (que se paga solamente una vez). Encuentre las cantidades, la capacidad y que proporción de la cantidad paga cada mercado (es decir, 1 y λ2) Q1= Q2=177.5. Que es la capacidad total. 1 = 25, comparten el coste de la capacidad ( 1 +
2 = 5; Por lo tanto los dos mercados
2 = 30).
13.4 1. Dado:
Minimizar
C= F(x)
Sujeto a
G’(x)≥ri
Y
(i= 1,2,…, n)
x>0
a. Conviértalo a un problema de maximización Maximizar Sujeto a Y
−C=−F(x) −Gi(x)≤ri
(i=1,2,···,m)
x≥0
b. ¿Cuáles son en este problema los equivalentes de las funciones f y g’ en el teorema de suficiencia de Kuhn-Tucker? f(x)=−F(x), y g’(x)=−G’(x).
c.
Entonces, ¿Qué condiciones de concavidad-convexidad deben imponerse a las funciones F y G’ para hacer aplicables aquí las condicione s suficientes para un
máximo? F (x) debe ser convexa, y Gi (x) debe ser cóncava, en el ortante no negativo d. Basándose en lo anterior, ¿cómo enunciaría las condiciones suficientes de Kuhn-Tucker para un mínimo? Dado el programa de minimización: Minimizar C = F (x), sujeto a Gi (x) ≥ri, yx≥0, si (a). F es diferenciable y convexa en el ortante no negativo, (b) cada Gi es diferenciable y Cóncava en el ortante no negativo, y (c) el punto x* satisface el mínimo de KuhnTucker Condiciones (13.17), entonces x* da un mínimo global de C. 2. ¿El teorema de suficiencia de Kuhn-Tucker es aplicable a: a. Maximizar
π= x1
Sujeto a
x12 + x32 ≤1
Y
x1, x2 ≥0
Aplicable: f (x) es lineal y, por tanto, cóncavo; y g’ (x) es convexa porque es una suma de funciones convexas.
b. Minimizar
C= (x1-3)2 + (x2-4)2
Sujeto a
x1 + x2 ≥4
Y
x1, x2 ≥0
Aplicable: f (x) es convexa; y g’ (x) es lineal y, por lo tanto, cóncavo.
c. Minimizar
C= 2x1 + x2
Sujeto a
x12-4x1+x2 ≥0
Y
x1, x2 ≥0
Inaplicable: f (x) es lineal y puede considerarse convexo, pero g1 (x) también es convexa, que viola la condición (b) para el problema de minimización.
3. ¿Cuál de las siguientes funciones es matemáticamente aceptable como función objetivo de un problema de maximización que califique para la aplicación del teorema de suficiencia de Arrow-Enthoven? a. f(x)= x3-2x b. f(x)= 6x1-9x2
c. f(x)= x2-ln x1
(Nota: vea el ejercicio 12.4-4)
La función en (b) es matemáticamente aceptable; Es el único que es cuasicóncavo.
4. ¿Se satisface la calificación de restricción de Arrow-Enthoven, dado que las restricciones de un problema de maximización son: a. x12+ (x2-5)2 ≤4 y 5x1+x2 <10 Sí. En primer lugar, g1 (x) y g2 (x) son ambos diferenciables y cuaisiconvexo. En segundo lugar, no existe un punto, tal como (1,4), que establece ambas restricciones como desigualdades estrictas. En tercer lugar, tanto g 1 (x) y g2 (x) son convexos. Por lo tanto, las condiciones en la prueba de cualificación de restricción son todas satisfecho b. x1+x2 ≤8 y –x1 x2 ≤ -8
(Nota: –x1 x2 no es convexa)
Sí. En primer lugar, g1 (x) y g2 (x) son ambos diferenciables y cuaisiconvexo. (La función x1 x2, como Kα Lβ, es cuasicóncava; así –x1 x2 es cuasiconvexo.) En segundo lugar, existe un punto, tales como (3,4), que establece ambas restricciones como desigualdades estrictas. En tercer lugar, aunque la condición (C-i) no está satisfecho (x1 x2 no es convexa en x1 y x2), la condición (c-ii) es (g11 = g21 = 1, y g12 = -x2 = 0, g22 = -x1 = 0 en todos los puntos de la región factible). Así, las condiciones prueba de cualificación de restricción están de nuevo satisfechos.
14. La Dinámica Económica y el Cálculo Integral 14.2. Integrales indefinidas 1. Encuentre lo siguiente
∫− ∫− − ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫−
a.
(x=0)
+ c= -8x-2 +c
= 16
b.
9
=x +c
c.
=3
=3
= x6 - x2 +c
= x6 - x2 +c
d.
si f(x)= -2x. cuando f’(x)= -2. Usando la Regla IIa, tenemos
-
∫− ∫ ∫ − =-
= −ef(x) +c =−e-2x +c
e.
si f(x)= x2+1, cuando f’(x)=2x. Usando la regla IIIa, tenemos
∫ + ∫ ∫
2
= 2ln f(x)+c = 2ln(x2+1)+c
=2
f.
Sea u= ax2+bx. Cuando du/dx= 2ax+b. así
∫
u7 dx=
∫
= u8+c = (ax2+bx)8+c
2. Encuentre:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
a.
= 13ex+c
13 b. 3
(x>0)
= 3ex+4ln x +c
+4
) (x=0) 5∫ ∫ + 3∫− = 5e - 3x +c d. ∫−+ c.
x
-1
sea u=−(2x+7). Cuando du/dx = -2. Así
∫−+ ∫ ∫ =
eudx = -
∫ = e
u
+c = -
−++c
e.
sea u= x2 +3. Cuando du/dx=2x, y
∫ ∫ =
f.
eu dx= 2
∫
= 2eu+c=
∫ ∫ ∫ ∫
+c
sea u= x2+9.Cuando du/dx=2, y =
3. Encuentre: a.
∫
(x=0)
=
=
+c =
+c
∫ ∫ ∫ − =3
b.
= 3 ln(x) + c (x=2)
sea u = x−2. Cuando du/dx=1, y c.
∫ +
∫ − ∫ ∫ =
dx =
du = ln(u)+c = ln(x-2)+c (x=2)
sea u=x2+3. Cuando du/dx=2x, y
∫ ∫ ∫ + dx=
=ln u+ c= ln(x2+3) + c
d.
sea u=3x2+5. Cuando du/dx= 6x, y
∫ ∫
= ln u+ c= ln(3x2+5)+c
=
4. Encuentre: a.
∫/
sea v =x+3, y u)= (x+1) , De modo que dv = dx y du= (x+1) dx. Entonces, por Regla VII, tenemos
∫/ ∫
b.
= (x+1) (x+3) -
+c
∫
= = (x+1) (x+3) -
(x>0)
sea v =lnx y u= x2 ln x -
∫ =
ln x -
(2ln x-1)+c
5. Dadas n constantes kj (con i=1, 2,…, n) y n funciones jf(x), deduzca de las reglas IV y V que
∫ ∑= ∑= ∫ = ∑∫ ∫ ∫ =
+…+ knfn(x)]dx =
14.3. Integrales definidas 1. Evalúe lo siguiente:
∫
a.
]13= (33-13) =
= 4
+…+ knfn dx= k1
∫
∫
+ …+ kn
=
∫ ∫ √ √ √
b. [
3x2]01 = (
-0= 3
c.
2x3/2]13 = 2
]13 = 2
-2
2x ]= [ [ ∫- - 2(4) ] – [ - 2(2) ]= (64-128]- (4-16) =-52 e. ∫− + + cx] = (+ +c) –(- + – c)= 2(+ c) f. ∫ ( ] = [( - ( ] = − = - = -242 d.
3 4 2
3
3
1 -1
2 2 4
2
2
2. Evalúe lo siguiente: a.
∫ −
− b. ∫− +
- e-2x]23 = - (e-4- e-2)= (e-2- e-4)
ln (x+2)]-1e-2 = ln e- ln 1= 1-0= 1 c.
∫( )
[ (e2x+ ex)]23 = ( e6 + e3)- ( e4+ e2)= e2( e4- e2 + e-1) d.
∫ +
[ln(x) + ln(1+x)]e6 = [ln (x(1+x))]e6 = ln 42- ln[e(1+e)] = ln
+
3. En la figura 14.1ª, tome el valor más bajo de la función que se alcance en cada subintervalo como la altura del bloque rectangular, es decir, tome f(x 2) en lugar de f(x 1) como la altura del primer bloque, aunque todavía se retenga a ∆x1 como el ancho y hago lo mismo con otros bloques a. Escriba una expresión sumatoria para el área total A** de los nuevos rectángulos A**=
∑=
∆xi
b. ¿A** sobreestima o subestima el área deseada A? A**< A; subestimar c. ¿A** tendería a aproximarse o a desviarse aun mas de A si se introdujera una segmentación mas fina de [a,b]? (sugerencia: intente con un diagrama) A** Se acercaría a A
∞
d. En el limite, cuando el numero n de subintervalos se aproxima a , ¿se aproximaría el valor A** al valor verdadero A, así como sucedió con el valor de aproximación A*? si
e. ¿Qué puede concluir de (a) a (d) acerca de la integrabilidad de Riemann de la función f(x) en la figura 14.1a? f(x) Es Riemann integrable.
∫
4. se dice que en la integral definida representa un área bajo la curva. ¿Se refiere esta curva a la grafica integrando f(x) o de la función primitiva F(x)? Si trazamos la grafica de la función F(x), ¿Cómo podemos mostrar la integral definida dada en ella por un área, un segmento o linea o un punto? La curva se refiere a la gráfica del integrando f (x). Si trazamos la gráfica de F (x), la integral definida - que tiene el valor F(b) - F(a) aparecerá allí como una distancia vertical. 5. Verifique que una constante c puede expresarse en forma equivalente como una integral definida: a. c=
x]
0
b
b. c=
∫ = c – 0= c
∫
t]0c = c – 0= c 14.4. Integrales impropias 1. Verifique las integrales definidas dadas en los ejercicios 14.3-1 y 14.3-4 para determinar si alguna es impropia. Si es impropia, identifique que variedad de integral impropia es Ninguno es impropio 2. ¿Cuál de las siguientes integrales es impropia y por qué? a.
∫ −
b. c. d. e.
∫ ∫ −/ ∫− ∫ −
(a) ∫−y (d)tienen un límite infinito de integración: (c) y (e) tienen integrados infinitos, en x
f.
= 0 y x = 2, respectivamente.
3. Evalúe todas las integrales impropias del problema 2 a. c. d. e.
∫− − − − − − ∫− − ∫ −/ −+ / ∫ −/ −+ ∫− −− − ∫ − ∫ − ∫ − =
=
1 a
=
=
I1 =
]0b =
=
[
(
)=
(0-1)=
=3
]0a = (0-1)=
=
+
=
ln|x−2|]b1 +
ln(x−2)]5a = I1 + I2
ln|b−2| - ln1] = ∞−− ; y I = + −+ −− ln3−ln(a−2)] = +∞ −− 2
Esta integral es divergente. (I1 e I2 no se pueden cancelar mutuamente hacia fuera.) 4. Evalúe la integral l2 del ejemplo 5 y muestre que también es divergente I2=
∫ − = −+ −] = −+ ) = +∞ −+ 1 a
5. a. Grafique la función y= ce -t para t no negativo, (c>0), y sombree el área que es bajo la curva
c
0
t
b. Escriba una expresión matemática para esta área y determine si es finita Área=
∫ −
= limb---+∞ [
−
]0b = c (finito).
14.5. Algunas aplicaciones de las integrales a la economía 1. Dadas las siguientes funciones de ingreso marginal:
a. R’(Q)= 28Q -
.
. dQ = 14Q - . + c. La condición inicial es R (0) = 0. R (0)= - + c. Así c= . Y R(Q)= 14Q - ∫ Ajustando Q = 0 en R (Q), encontramos . + 2
R(Q) =
2
b. R’(Q)= 10(1+Q)-2 R(Q) =
∫
-2
dQ. Sea u = 1 + Q. Entonces
= 1, o du =dQ, R(Q)= -10∫−
du = 10(-u-1) + c= −10(1+Q)-1 + c. Como R (0) = 0, tenemos 0 = -10 + c, o c=10. Así R (Q)=
− −++ + + 10 = + = +
Encuentre en cada caso la función de ingreso total R(Q). ¿Qué condición inicial puede introducir para determinar la constante de integración? 2.
a. dada la propensión marginal a la importación M’(Y)=0.1, y la información de que M=20 cuando Y=0, encuentre la función de importación M(Y)
∫.
M(Y)= = 0.1Y + c. A partir de la condición inicial, tenemos 20 = 0.1 (0) + c, dándonos c = 20. Entonces M (Y) = 0.1Y +20. -1/2 b. dada la propensión marginal al consumo C’(Y)=0.8+0.1Y y la información de que C=Y cuando Y=1000, encuentre la función de consumo C(Y)
∫. . −/
. −/ . −/
C(Y)= )dY = 0.8Y + + c. De la información lateral, tenemos 100=0.8(100)+0.2(100)1/2 + c, o c=18. Así 0.8Y + + 18. 1/3 3. suponga que la tasa de inversión la describe la función l(t)=12t y que K(0)=25:
a. encuentre la trayectoria de tiempo de capital K K(t)= dt = 9t4/3 + c. Como K (0) = 25, tenemos 25 = 9 (0) + c, de modo que c = 25. Así K(t)= 9t4/3 + 25
∫ −/
b. encuentre el monto de la acumulación de capital durante los intervalos [0,1] y [1,3], respectivamente
K(1)−K(0)= 9t4/3]10 = 9[t4/3]31 = 9[3(31/3) – 1]
4. dada una corriente de ingreso continua a la tasa constante de $1000 por año:
a. ¿Cuál sera el valor presente de descuento es 0.05 por año?
si el flujo de ingreso dura 2 años y la tasa continua
[1 - −.] = 20,000 [1 - −.] = 20,000(0.0952)=1904.00 . (aproximadamente) Π=
b. ¿Cuál sera el valor presente si la corriente de ingreso termina exactamente después de 3 años y la tasa de descuento es 0.04?
[1 - −.] = 25,000 [1 - −.] =25,000(0.1131)=2827.50 . (aproximadamente) Π=
5. ¿Cuál es el valor presente de un flujo perpetuo de efectivo de: a. $1450 por año, descontado a r=5%?
Π= $
= $ 29.000 .
b. $2460 por año, descotado a r=8%?
Π= $
= $ 30.750 .
14.6 1.
Sólo el capital es considerado. Más específicamente, la función de producción es = K. La constancia de la relación capacidad -capital significa que el nivel de salida es un múltiplo específico de la cantidad de capital utilizado. Dado que el proceso de producción requiere obviamente también el factor trabajo, la ecuación anterior implica que el trabajo y el capital se combinan en una proporción fija, pues sólo entonces podemos considerar el capital solo con exclusión del trabajo. Esto también parece la implicación de una oferta de trabajo perfectamente elástica. 2. La segunda ecuación en (14.16) indica que la tasa de crecimiento de I es la constante s.Por lo tanto, la función de inversión debería ser I (t) = Aepst , Donde A puede definirse como I (0).
3. Si I <0, entonces | I | = -I. Así, la ecuación | I | = Aepst . Se convierte en -I = Aepst. Ajuste t = 0, Encontramos que -I (0) = Ae0 = A. Ahora tenemos -I = -I (0) epst , que es idéntica a (14.18).
Capítulo 13: Temas adicionales de optimización 13.1. La programación no lineal y las condiciones de Kuhn-Tucker 13.2. Calificación de la restricción 13.3. Aplicaciones económicas 13.4. Los teoremas de suficiencia en la programación no lineal 13.5. Funciones de valor máximo y el teorema de la envolvente 13.6. La dualidad y el teorema de la envolvente
EJERCICIO 14.5 3. Suponga
que la inversión la describe la función de
y K (0)=25
a) Encuentre la trayectoria de del tiempo del capital K.
Donde:
entonces
∗
Hacemos t =0 en las expresiones de extrema derecha y extrema izquierda, por lo que encontramos K (0) = C = 25 Por lo tanto la trayectoria de tiempo de K es:
b) Encuentre el monto de la acumulación de capital durante los intervalos [0,1] y [1,3], respectivamente.
Monto de acumulación de capital con intervalo [0,1]
∗ / ∗
Monto de acumulación de capital con intervalo [1,3]
∗ / ∗ .
EJERCICIO 15.2 4. Sean la oferta y la demanda
∝ ∝ ,> ( ,
a) Suponiendo que la tasa de cambio de los precios respecto al tiempo es directamente proporcional a la demanda excedente, encuentre la trayectoria de tiempo P (t) (solución general).
(*)
=
(j >0)
(*)Expresión matemática de la tasa de cambio de los precios respecto al tiempo, directamente proporcional a la demanda excedente.
= ∝
= ∝ = ∝ = ∝
= ∝+− + + = ∝+ −− −
Por lo tanto la solución general es:
∗− ∗ − ∝ − +
NOTA:
∗ ∝+ − =[
A= [
K=
]
+ ; ≠ −
b) ¿Cuál es el precio de equilibrio intertemporal? ¿Cuál es el precio de clarificación del mercado? Si
=0 ∝ entonces;
∗ ∝
Por lo tanto el precio de equilibrio toma dos sentidos, el sentido intertemporal que comprende que P es una constante en el tiempo y en el sentido de clarificación del mercado el precio de equilibrio es igual a .Es por ello que el precio de equilibrio intertemporal y clarificación de mercado son los mismos.
c) ¿Qué restricción sobre el parámetro dinámica?
aseguraría la estabilidad
≠ >
Entonces:
⁄
5. Sean la oferta y la demanda
∝
∝ , , >
( ,
a) Suponiendo que el mercado esta clarificado para cada instante de tiempo, encuentre la trayectoria de tiempo P (t) (solución general). Cuando el mercado esta clarificado el precio de equilibrio iguala a , entonces:
∝
∝ ÷
con
∝ Y como el precio de equilibrio en un mercado clarificado con respecto al tiempo es igual a cero, por lo que tenemos:
=0
∝ ∝ ∗
Por lo tanto la solución general es:
∗− ∗ −+ ∝
b) ¿Tiene este mercado un precio de equilibrio intertemporal dinámicamente estable? Si tiene este mercado un precio de equilibrio estable, ya que -
+
es negativo el término exponencial tiende a cero, como t tiende al infinito.
c) La hipótesis del presente modelo de para todo t es idéntica con la del modelo del mercado estático en la sección 3.2, sin embargo, aquí todavía tenemos un modelo dinámico. ¿Cómo puede ser esto?
EJERCICIO 17.5 3. Si el modelo (17.13) tiene la siguiente forma numérica
+ . 21- 2 -3 + 6
Encuentre la trayectoria de tiempo FORMA GENERAL
y determine si es convergente.
- +
+
Por lo que se deducen los valores de los parámetros:
. ,,,,> Por lo tanto la trayectoria del tiempo se expresa de la siguiente manera:
+ . + .++.. . .... ∗
Y su solución está dada
(-1.4
NOTA:
21- 2
-3 + 6 8
=3
EJERCICIO 18.2
1. Consulte la figura 18.2 y encuentre los subcasos a los que pertenecen los
siguientes conjuntos de valores de y de , y describe en forma cualitativa la trayectoria de tiempo de interacción.
a)
. ; . > i.
0<
< 1;
Se caracteriza por tener raíces mayores que uno, y por lo tanto produce una trayectoria de tiempo divergente. Sin embargo por lo que toca a los valores de y , el asunto de la divergencia y convergencia depende solo de si .
< >
. .>
Por lo tantode lostiempo conjuntos de valores ; trayectoria inestable tienen una trayectoria divergente, es decir una sin ciclos; como el subcaso 1D. Este es un caso de raíces complejas diferentes >0.7
b)
. ; . . . >. > . . ; . . . <. < .
Los conjuntos de valores ; tienen una trayectoria de tiempo divergente, es decir una trayectoria con fluctuación escalonada y por lo tanto ciclos de negocios endógenos; como el subcaso 3D. Este es un caso de raíces complejas <0.88 c)
Los conjuntos de valores
;
tienen
una trayectoria de tiempo convergente, decircomo una el trayectoria no oscilante y no fluctuante; es decir estable sinesciclos subcaso 1C. Este es un caso de raíces reales diferentes > 0.55
d)
. ; . . . <. < .
Los conjuntos de valores ; tienen una trayectoria de tiempo convergente, es decir una trayectoria con fluctuación escalonada; es decir una fluctuación amortiguada escalonada como el subcaso 3C. Este es un caso de raíces reales complejas <0.96 CAPÍTULO 18 EJERCICIOS 18.1 1.- Escriba la ecuación característica para cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias, y encuentre las raíces características
+ +
Solución La ecuación característica será:
Al desarrollar la ecuación obtenemos las raíces características
, , ∆ <
Su discriminante es menor que cero por lo que tendrá raíces características complejas. Usando la ecuación cuadrática se obtendrán las raíces
± ± ,
Las raíces serán:
; + + Solución La ecuación característica será:
, ∆,
Al desarrollar la ecuación obtenemos las raíces características
Su discriminante es igual a cero por lo que tendrá 2 raíces reales e iguales. Usando la ecuación cuadrática se obtendrán las raíces
, ± ± + + Las raíces serán:
Solución La ecuación característica será:
Al desarrollar la ecuación obtenemos las raíces características
, , ∆ >
Su discriminante es mayor que cero por lo que tendrá raíces características reales distintas. Usando la ecuación cuadrática se obtendrán las raíces
, ± ±
Las raíces serán:
+ +
;
Solución La ecuación característica será:
,, < ∆
Al desarrollar la ecuación obtenemos las raíces características
Su discriminante es mayor que cero por lo que tendrá raíces características complejas. Usando la ecuación cuadrática se obtendrán las raíces
, ± ±√ √ ; √
Las raíces serán:
2.- para cada una delas ecuaciones en diferencias del problema 1 enuncie, basándose en las raíces características, si la trayectoria del tiempo incluye la oscilacióno de fluctuación escalonada, y si es explosiva. Solución a)
+ + ; , ± , ±√ , ; .
Raíces complejas implican fluctuación escalonada. Ya que el valor absoluto de
√ /<, + + ; , ±
las raíces es:
b)
que es amortiguada.
, ±√ , .
Con raíces repetidas mayores que 1, el camino es no oscilatorio y explosivo.
c)
+ +
; , ± ± , ± , , ;
Las raíces son reales y distintas; -1 es la raíz dominante. Su negatividad implica la oscilación, y su valor absoluto implica que la oscilación con el tiempo se convertirá en uniforme.
d)
+ + ; , ± , ±√ , ±√ ,√ ; √ Las raíces complejas tienen un valor absoluto mayor que 1. Por lo tanto hay fluctuación intensificado explosiva.
4. Resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias: a)
+ + ; ; , /, ≠ Donde:
Dado que:
La integral particular será:
Como
> → 1
Las raíces características serán:
, ± , ±√ , ,
La función complementaria será:
Y la solución es:
Donde por condición inicial:
;
, tenemos:
∗ …..∗ ∗ ….. ∗ ó
1
Chiang, Alpha C. y Wainwright, Kevin: “Métodos fundamentales de economía matemática ”, cuarta edición, cap 18, pág 570.
Y obtenemos:
Por lo tanto nuestra solución definida por condición inicial será:
b)
+ + ; ; , , ≠ < → Donde:
Dado que:
La integral particular será:
Como
Las raíces características serán:
Por tanto:
, ±√ ± √ √ √ √
Por tanto la solución complementaria será:
La solución es:
√ ;
Donde por condición inicial:
, tenemos:
Por tanto la solución definida por condición inicial será:
√ c)
+ + ; ; , /, → / , ±√ . Como
Por tanto la solución complementaria será: Y la solución es:
,
De donde, por condición inicial obtenemos:
Y la solución definida por condición inicial es:
EJERCICIOS 18.2
1. Consulte la figura 18.2 y encuentre los subcasos a los que pertenecen los conjuntos de valores de y ; y describa en forma cualitativa la trayectoria de tiempo de interacción
. . ;
Solución. El par (3.5, 0.8) está en la sección 1D; que es la sección inestable y sin ciclos. Además , por lo que la trayectoria de tiempo de interacción será no oscilatoria y no fluctuante. Es un caso divergente.
>
. ;
Solución. El par (2, 0.7) está en la sección 3D; que es la sección con fluctuación explosiva escalonada. Además , por lo que la trayectoria de tiempo de interacción será con fluctuación escalonada. Es un caso divergente.
≥
. . ;
Solución. El par (0.2, 0.9) está en la sección 1C; que es la sección estable y sin ciclos. Además , por lo que la trayectoria de tiempo de interacción será no oscilatoria y no fluctuante. Es un caso convergente.
<
. . ;
Solución. El par (1.5, 0.6) está en la sección 3D; que es la sección con fluctuación explosiva escalonada. Además , por lo que la trayectoria de tiempo de interacción será con fluctuación escalonada. Es un caso divergente.
≥
2.- de los valores de dados en la partes (a) y (c) del problema 1, encuentre los valores numéricos de las raíces características en cada caso, y analice la naturaleza de la trayectoria del tiempo. ¿Concuerda sus resultados con los obtenidos anteriormente. Solución
(a) (b)
, ±
−∗.∗. , .+.±.+. , .± √.. , .±. , .;. La ruta debe ser divergente.
c)
, +±+− ∗.∗. , ..±. . ,,. .±±√.√.. , .. ; ..
La ruta tiende a convergir.
4.- Muestre que en el caso 3 nunca podemos encontrar ≥1
Solución
+±+− < < + < <
Sea: ; la formula general para encontrar la solución general de las raíces; en consecuencia para el caso 3 se tiene que: al despejar se obtiene se tiene si
< +
al multiplicar ambos miembros por y al desarrollar se tiene que es igual a decir pero esta desigualdad es imposible p0r que el cuadrado de un número real nunca puedeser negativo por tanto la condición necesaria es que para el caso 3.
≥
EJERCICIOS 18.3
1. realizar los pasos intermedios que llevan de 18.23 a 18.24 La ecuación 18.3 es:
+ + ………… + + + …………
Despejando
se obtiene:
Análogamente para
se tiene:
Podemos hallar una expresión parecida a (18.20) y poder usar dicha expresión restemos (1) a (2), es decir:
+ + + + De donde:
+ + + + + + …… + +………
Pero también por la expresión (18.20) se tiene:
Igualando (3) con (4)
+ + + + + +
Desarrollando las operaciones básicas de una ecuación se tendrá
+ + + + + + + + + + + + + +
Pasando a multiplicar el denominador a la otra expresión se tiene Dividiendo todo entre
se tiene
Que sería nuestra ecuación (18.24) 2.-muestre que si el modelo estudiado en esta sección se condensa en una ecuación en diferencias en la variable , el resultado será el mismo que (18.24) excepto por la sustitución de
. por
Solución Sustituyendo en y recogiendo términos, obtenemos:
+ Diferenciando este resultado:
+ + + + .
Un delantero cambio la versión (18.19) nos da . el uso de este proceso para eliminar el termino en el
+ + + + + + resultado anterior obtenemos.
Cuando se normaliza esto se convierte en una ecuación en diferencias con los mismos coeficientes contantes y términos contantes como en (18.24).
4.- Conserve las ecuaciones (18.18), (18.19), pero cambie (18.20) a Ut+1 – Ut = -k (m - pt) a) Obtenga una nueva ecuación en diferencias en la variable p b) ¿Suministra la nueva ecuación en diferencias diferente? c) Suponga que j=g=1. Encuentre las condiciones para las cuales las raíces características se sitúan en los caso 1,2y3 , respectivamente d) Sea j=g=1. Describa la trayectoria de tiempo p (incluyendo la convergencia o la divergencia) cuando Bk=3,4y5,respectivamente.
̅
A) La primera línea de (18,21) sigue siendo válida, pero su segunda línea se convierte ahora en
En consecuencia, (18,23) se convierte
Y (18,24) se convierte
B)
No, todavía tenemos
̅
= m.
C) Con j = g = 1, tenemos a1 =
y sólo sí.
El valor de
k- 2 y a2 = 1. Así
si y sólo si
k marca fuerade los tres casos de uno al otro.
D) Con k = 3, las raíces son complejas, el camino ha intensificado fluctuación y es no convergente. Con k = 4, hemos repetido las raíces, con b-1,= la trayectoria en el tiempo tiene la oscilación no convergente. Con k5,= tenemos raíces reales distintas, b1, b2 = 12 (- 3 ± √ 5) = -0.38, -2.62, la trayectoria en el tiempo tiene divergente Y oscilatoria
EJERCICIOS 18.4
∆
1. Aplique la definición del símbolo de “diferencias” , para encontrar:
∆
Solución: Usando la definición de
∆ ∆ se tiene
Haciendo una analogía con definición de diferenciación:
Donde vemos que hay una analogía
∆
Solución: Usando la definición de
∆∆∆∆∆ se tiene
Haciendo una analogía con definición de diferenciación:
Donde vemos que hay una analogía
∆ Solución: Usando la definición de
∆ ∆ ∆ se tiene
Haciendo una analogía con definición de diferenciación:
Donde vemos que solo se obtiene el primer término de la expresión en diferencias por lo que no habrá analogía esta vez. 2.- encuentre la solución particular para cada una de las siguientes ecuaciones: Solución a)
+ + ;; + +( )
b)
c)
+ + + 0 6 26+ 516 4221 66 26 21 211 6 3+ 9 34 1;4; 0; 3 + 4 44 44 4163 1944 191 191 4
