EJERCICIO-P3.2

P 3.2. En la siguiente figura 3.2 se muestra una red de puente equilibrada. (a) Demuéstrese que las matrices A y B para este circuito son:

2 − 0 ( )  +       = 0 − (2+)   1 1 =1/( + )  −

Figura 3.2. Red 3.2. Red de puente equilibrada. Fuente: Sistemas Fuente: Sistemas de control moderno, Dorf R, 10 ed.

Resolución: Procedemos a hallar los voltajes equivalentes en la red de puente equilibrada como sigue:

 = 1 ∫() ()

De donde se observa que:

 ̇ =() ()  =  () = + ()  = + + = + + ()  ==

En cuanto al voltaje y corriente de la bobina, se puede definir matemáticamente lo siguiente:

Para el voltaje del capacitor se tiene lo siguiente:

Ahora bien, se definen las variables para formar la ecuación de estado:

 

Y sus derivadas respectivas son:

̇̇ == ̇̇       ̇ = + + = + + ()  = ( +1 )  ()  = ( +1 )  ()

Posterior a esto, es necesario despejar

y

, para lo cual se tiene lo siguiente:

Ahora se reemplaza en la ecuación 6 y se obtiene lo siguiente:

 ̇ = ( +2 )  + ( +1 )  + ( +1 )  ()  ̇ = ( +2 )  + ( +1 )  + ( +1 )  ()

Se realiza un nuevo reemplazo, pero esta vez por las variables de estado:

̇ = ( +2 )  + ( +1 )  + ( +1 )  ()

Ahora se definen las intensidades para reemplazarse en la ecuación 4:

 = (+ )  ()  =− (+ )  () ̇ = (−2 +)  + ( + )  − ( + )  ()

Definiendo la ecuación de estado se tiene que:

̇=+ () 1 1 =1/ +  − 2 1 1 − 0 ̇̇= ( 0+) − (2+) + [(( ++ )) −(( ++))]       

(b) Dibújese el diagrama de bloques. Las variables de estado son (X 1 , X 2 ) = (V C ,  i L )