Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia. Departamento de Matemática y C.C .
CURSO ALGEBRA II Módulo básico para Ingeniería Segundo Semestre 2015 PROYECTO MECESUP USA 1402
Ejercicio Desafío
1. EJEMPLOS DE MODELOS LINEALES Todos los modelos matemáticos de esta aplicación son lineales, esto es, cada uno describe un problema por medio de una ecuación lineal, normalmente en forma vectorial o matricial. El primer modelo tiene que ver con nutrición, pero en realidad re alidad es representativo de una técnica general para resolver problemas usando como herramienta el algebra lineal. lineal . En el segundo modelo veremos que importantes propiedades de los sistemas lineales pueden ser descritas mediante vectores. Entonces emplearemos esta idea sencilla para realizar aplicaciones interesantes e importantes con la mayor rapidez posible.
Diseño de una dieta nutritiva para perder peso
La fórmula para la dieta Cambridge, popular en la década de 1980, se basó en años de investigación. Un equipo de científicos, encabezado por el doctor Alan H. Howard, elaboró esta dieta en Cambridge University después de más de ocho años de trabajo clínico con pacientes obesos. La dieta, que consiste en una fórmula en polvo con muy pocas calorías, combina en un equilibrio muy preciso carbohidratos, proteínas de alta calidad y grasa, además de vitaminas, minerales, elementos traza y electrolitos. Millones de personas han usado esta dieta en años recientes para lograr una pérdida de peso rápida y sustancial. Para encontrar las cantidades y proporciones de nutrimentos deseadas, el doctor Howard tuvo que incorporar una gran variedad de comestibles en la dieta. Cada comestible proporcionaba varios de los ingredientes necesarios, pero no en las proporciones correctas. Por ejemplo, la leche desgrasada era una fuente importante de proteínas, pero contenía demasiado calcio. Por ello se usó harina de soya para conseguir una parte de las proteínas, ya que esta harina contiene muy poco calcio. Sin embargo, la harina de soya aporta una proporción relativamente alta de grasa, así que se agregó suero, pues éste proporciona menos grasa para una cantidad dada de calcio. Desafortunadamente, el suero contiene demasiados carbohidratos. . . . El ejemplo siguiente ilustra como formular el problema usando un número muy limitado de ingredientes.
Ejemplo 1.
En la tabla 1, adjunta, se mencionan tres de los ingredientes de la dieta, junto con las cantidades de ciertos nutrimentos proporcionadas por 100 gramos de cada ingrediente. TABLA 1
Nutrimento
Proteínas Carbohidratos Grasas
Cantidades ( en gramos) proporcionadas por 100 gramos de ingredientes Leche Harina Suero desgrasada de soya 36 52 0
51 34 7
13 73 1.1
Cantidades totales proporcionadas por la dieta en un día 33 45 3
a) Si es posible, encuentre alguna combinación de leche desgrasada, harina de soya y suero que proporcione las cantidades exactas de proteínas, carbohidratos y grasa proporcionadas por la dieta para un día (tabla 1). Explique qué representan las variables de la ecuación. b) Resuelva la ecuación de (a) y analice su respuesta Solución a) Sean x 1, x 2 y x 3, respectivamente, los números de unidades (de 100 gramos) de
estos comestibles. Un posible enfoque para formular el problema es deducir ecuaciones para cada nutrimento por separado. Por ejemplo, la multiplicación x 1 unidades de leche desgrasada · proteínas por unidad de leche desgrasada da la cantidad total de proteína proporcionada por x 1 unidades de leche desgrasada. A esta cantidad se le agregarían entonces los productos similares para harina de soya y suero, y se igualaría la suma resultante a la cantidad total de proteínas suministrados por día. Deben hacerse cálculos análogos para cada nutrimento. Un método más eficiente, y conceptualmente más simple, es considerar un “vector de nutrimentos” para cada comestible y construir una sola ecuación vectorial. La cantidad de nutrimentos proporcionada por x 1 unidades de leche desgrasada es el múltiplo de
Escalar Vector x1 unidades de leche desgrasada· nutrimentos por unidad de leche desgrasada = x1 a1 (1) donde a1 es la primera columna de la tabla 1. Sean a2 y a3 los vectores correspondientes para harina de soya y suero, respectivamente, y sea b el vector cuyas componentes enlista el total de nutrimentos requerido (la última columna de la tabla). Entonces x 2a2 y x 3a3 dan los nutrimentos proporcionados por x 2 unidades de harina de soya y x 3 unidades de suero, respectivamente. Así, la
ecuación deseada, corresponde a la combinación lineal de los vectores generadores del espacio vectorial x 1a1 + x 2a2 + x 3a3 = b (2) b) Al expresar matricialmente esta ecuación, obtenemos
36 51 13 x1 33 52 34 73 x 45 2 0 7 1,1 x 3 3 donde A es la matriz de coeficientes del sistema y b matriz columna dada por 36 51 13 33 A 52 34 73 b 45 0 7 1,1 3 Usando Scilab obtenemos la matriz escalonada reducida por filas de la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones correspondiente
( A
36 51 13 b) 52 34 73 0 7 1,1
33
3
45
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0,277
0,392
0,233
Aquí hemos truncado el resultado con exactitud de tres dígitos, la dieta requiere de 0.277 unidades de leche desgrasada, 0.392 unidades de harina de soya, y 0.233 unidades de suero para proporcionar las cantidades deseadas de proteínas, carbohidratos y grasa. Obsérvese que es importante que los valores de x 1, x 2 y x 3 encontrados
anteriormente sean no negativos. Esto es necesario para que la solución sea factible físicamente. (Por ejemplo, ¿cómo podrían usarse −0.233 unidades de suero?). Con un mayor número de requisitos en cuanto a nutrimentos, podría ser necesario usar más cantidades de comestibles para producir un sistema de ecuaciones con una solución “no negativa”. Así, podría ser necesario examinar
muchísimas combinaciones diferentes de comestibles para encontrar un sistema de ecuaciones con una solución de este tipo. De hecho, el inventor de la dieta Cambridge pudo proporcionar 31 nutrimentos en cantidades precisas usando solamente 33 ingredientes. El problema de construir una dieta conduce a la ecuación lineal (2) porque la cantidad de nutrimentos proporcionada por cada comestible puede escribirse como un múltiplo escalar de un vector, como en (1). Esto es, los nutrimentos aportados por un comestible son proporcionales a la cantidad del comestible agregada a la dieta total. También, cada nutrimento de la mezcla es la suma de las cantidades de cada comestible. Los problemas consistentes en formular dietas especializadas para seres humanos y ganado son muy frecuentes. Normalmente se tratan con técnicas de programación lineal. El método para construir ecuaciones vectoriales usadas aquí simplifica con frecuencia la tarea de formular esta clase de problemas. Ejemplo 2
La dieta Cambridge proporciona 0.8 g de calcio por día, además de los nutrimentos enlistados en la tabla 1. Las cantidades de calcio que proporciona una unidad (100 g) de los tres ingredientes de la dieta de Cambridge son: 1.26 g por leche desgrasada, 0.19 g por harina de soya, y 0.8 g por suero. Otro ingrediente de la dieta es proteína de soya aislada, la cual proporciona los siguientes nutrimentos por unidad: 80 g de proteínas, 0 g de carbohidratos, 3.4 g de grasa, y 0.18 g de calcio. a) Establezca una ecuación matricial cuya solución determine las cantidades de leche desgrasada, harina de soya, suero y proteína de soya aislada necesaria para proporcionar las cantidades exactas de proteínas, carbohidratos, grasa y calcio de la dieta Cambridge. Explique qué representan las variables de la ecuación. b) Resuelva la ecuación de (a) y analice su respuesta.
Modelos lineales en negocios Ejemplo 3 La compañía Sunrise Porcelain fabrica tazas y platos de cerámica. Para cada taza o plato un trabajador mide una cantidad fija de material y la pone en la máquina moldeadora, de donde pasa al vidriado y secado automático. En promedio, un trabajador necesita 3 minutos para iniciar el proceso de una taza y 2 minutos para el de un plato. a) El material para una taza cuesta 25 centavos y el material de un plato cuesta 20 centavos. Si se asignan $ 44 diarios para la producción de tazas y platos ¿Cuántos deben fabricarse de cada uno en un día de trabajo de 8 horas, si el trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan exactamente $44 en materiales? b) Considere que los materiales para una taza y un plato cuestan 15 centavos y 10 centavos respectivamente, y se gastan $ 25 en 8 horas de trabajo. ¿Cuántos tazas y platillos deben fabricarse en un día de trabajo de 8 horas? c) Considere ahora que los materiales para una taza y un plato cuestan 15 centavos y 10 centavos respectivamente, y se gastan $ 24 en 8 horas de trabajo. ¿Cuántos tazas y platillos deben fabricarse en un día de trabajo de 8 horas? Solución a) Sean x 1 y x 2 , respectivamente, los números unidades de tazas y platillos,
respectivamente, producidos en un día. Producción de artículos diaria Recurso Tazas Patillos Tiempo 3 min 2 min Materiales 25 cent 20 cent
Total 480 min $44 dólares diarios
Sean a1 y a2 “vector línea de producción”, que tiene los insumos para producir un artículo 3 En este caso a1 es el vector cuyas componentes son los insumos para 0,25 producir una unidad en la línea de fabricación de las tazas
2 es el vector que enlista los insumos por unidad producida 0,20 en línea de fabricación de platillos. Sea b el vector que enlista el total de insumos diarios que proporciona la compañía para producir tazas y platillos. Entonces x 1a1 y x 2a2 dan los diversos insumos que emplearan las líneas de producción para producir x1 , x 2 unidades de tazas y platillos en un día . Así, la producción de las líneas debe ser igual a al total de insumos que proporciona la compañía cuya representación corresponde a la combinación lineal de los vectores generadores del espacio vectorial
Asimismo,
a1
x 1a1 + x 2a2 = b (2)
Entonces la ecuación vectorial queda 3 2 480 x2 x 1 44 0 , 25 0 , 20 Al expresar matricialmente esta ecuación, obtenemos 2 x 3 480 0.25 0.20 x 44 1
2
donde A es la matriz de coeficientes del sistema y b matriz columna dada por 2 3 480 A b 44 0.25 0.20 Usando Scilab obtenemos la matriz escalonada reducida por filas de la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones correspondiente 480 2 3 ( A b) 0.25 0.20 44
1 0 0 1
80
120
Por tanto, la producción diaria de la compañía será de 80 tazas, y 120 platillos por operario con una inversión de 44 dólares diarios.
b) Modifiquemos la la tabla de de producción diaria
Producción artículos por unidad Recurso Tazas Patillos Total Tiempo 3 min 2 min 480 min día Materiales 15 cent 10 cent $25 dólares diarios Sean x 1 y x 2, respectivamente, los números de unidades de tazas y platillos producidos en un día.
Al expresar matricialmente esta ecuación, obtenemos 2 x 3 480 0.15 0.10 x 25 1
2
donde A es la matriz de coeficientes del sistema y b matriz columna dada por
A
3 0.25
0.20 2
b
480 25
Usando Scilab obtenemos la matriz escalonada reducida por filas de la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones correspondiente 3
( A b)
2
0.15 0.10
480
25
1 0.666 0 0
0
1
Como el rango (A) rango ((A b) entonces el sistema es inconsistente y no tiene solución. c) Del mismo modo que antes sean x 1 y x 2 , respectivamente, los números de
unidades de tazas y platillos producidos en un día. Al expresar matricialmente esta ecuación, obtenemos 2 x 3 480 0.15 0.10 x 24 1
2
donde A es la matriz de coeficientes del sistema y b matriz columna dada por 2 3 480 A b 24 0.25 0.20 Usando Scilab obtenemos la matriz escalonada reducida por filas de la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones correspondiente 3
( A b)
2
0.15 0.10
480
24
1 0.666 0 0
160
0
Como el rango (A) = rango ((A b)=1 < 2 entonces el sistema tiene infinitas soluciones. x1 + 2/3 x2 = 160 x1 = 160 2/3 x2 0 x2 240 A modo de ejemplo, si arbitrariamente se producen 30 platillos, entonces tenemos 140 tazas si se producen 60 platillos entonces tenemos 120 tazas. Etc.
Obsérvese que es importante que los valores de x 1, x 2 encontrados
anteriormente sean no negativos. Esto es necesario para que la solución sea factible físicamente. (Por ejemplo, ¿cómo podría obtenerse una producción de −20 tazas?)
Introducción
Modelos lineales de administración de recursos
El departamento de pesca y caza de una región proporciona tres tipos de comida a tres especies de peces de un lago. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del alimento 2 y 5 del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el promedio por semana de consumo es 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se suministran en el lago 25.000 unidades del alimento 1, 20.000 unidades del alimento 2 y 55.000 unidades del 3. a) Si se supone que los peces comen todo el alimento, ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el ecosistema del lago? b) Suponga ahora que cada semana se suministran en el lago 15.000 unidades del primer alimento, 10.000 unidades del segundo y 35.000 del tercero. Considere que todo el alimento se consume, ¿qué población de las tres especies puede coexistir en el lago? ¿existe una solución única? Solución
a)
Como el departamento de pesca y caza alimenta tres especies de peces en el ecosistema de un lago , con tres tipos de alimentos diferentes, construyamos entonces tres “vectores consumo por especie ” v1, v2, v3 cuyas componentes corresponden a “unidades según tipo de alimento semanal “ de cada una de los alimentos , según muestra la siguiente tabla:
Especie Alimento 1 Alimento 2 Alimento 3
Vectores consumo por especie Pez Pez Pez 1 2 3 1 3 2 1 4 1 3 5 5
Suministro total x sem 25.000 20.000 55.000
Sea b el “vector suministro total por semana” de los alimento 1, 2 y 3, que está definido en la quinta columna de la tabla. Sean x1, x2,y x3 el número de peces de cada especie que coexisten en el ecosistema del lago. Entonces el algoritmo que modela el consumo de alimentos , corresponde a la combinación lineal de los vectores generadores del espacio vectorial x 1v1 + x 2v2 + x 3v3 = b Ecuación que produce
x
1
1 1 x 3
2
3 4 x 5
3
2 25.000 1 20.000 5 55.000
Al expresar matricialmente esta ecuación, obtenemos 1 3 2 x1 25.000 1 4 1 x 20.000 2 3 5 5 x 3 55.000 donde A es la matriz de coeficientes del sistema y b matriz columna dada por 1 3 2 25000 A 1 4 1 b 20000 3 5 5 55000 Usando Scilab obtenemos la matriz escalonada reducida por filas de la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones correspondiente
( A
1 3 2 b) 1 4 1 3 5 5
25000
20000 55000
1 0 5 0 1 1 0 0 0
40000
5000 0
Como el rango (A) = rango ((A b) =2 < 3 entonces el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones. x 40000 5 x x x 5000 x x Por supuesto, el problema es físicamente factible si x 1 0, x2 0, y x3 0 lo que significa que el número de peces de ninguna de las especies puede ser negativo. Entonces x1 = 40000 – 5 x3 0 x3 8000 x2 = x3 - 5000 0 x3 5000. 1
2
2
3
3
3
Esto significa que el número de peces de la especie 3 debe corresponder al intervalo 5000 x3 8000. Obsérvese que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, pero el
problema de administración de recursos tiene un número finito de soluciones porque x 1, x2, x3 deben ser enteros y positivos. En intervalo 5000, 8000 existen 3001 enteros de los cuales hay que eliminar los extremos para que coexistan las tres especies, en consecuencia, tenemos 2999 soluciones posibles. A modo de ejemplo , consideremos que: i) si x3 = 5000 se tiene que x 1 = 15000 y x2 = 0. La población de peces en el lago sería 20000 , coexistiendo dos especies ii) si x3 = 8000 se tiene que x 1 = 0 y x2 = 3000. La población de peces en el lago sería 11000, coexistiendo dos especies. iii) si x3 = 6000 se tiene que x 1 = 10000 y x2 = 1000. La población de peces en el lago sería 17000, coexistiendo las tres especies.
b) Modifiquemos ahora en la tabla el suministro total por semana Vectores consumo por especie Especie Pez 1 Pez 2 Pez 3 Suministro total x sem Alimento 1 1 3 2 15.000 Alimento 2 1 4 1 10.000 Alimento 3 2 5 5 35.000 Sea b el “vector suministro total por semana” de los alimento 1, 2 y 3, que está definido en la quinta columna de la tabla. Sean x1, x2,y x3 el número de peces de cada especie que coexisten en el ecosistema del lago. Entonces
x
1
1 1 x 2
2
3 4 x 5
3
2 15.000 1 10.000 5 35.000
Al expresar matricialmente esta ecuación, obtenemos 1 3 2 x1 15.000 1 4 1 x 10.000 2 2 5 5 x 3 35.000 donde A es la matriz de coeficientes del sistema y b matriz columna dada por 1 3 2 15000 A 1 4 1 b 10000 2 5 5 35000 Usando Scilab obtenemos la matriz escalonada reducida por filas de la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones correspondiente
( A
1 3 2 b) 1 4 1 2 5 5
15000
35000
10000
1 0 5 0 1 1 0 0 0
30000
5000 0
Como el rango (A) = rango ((A b) =2 < 3 entonces el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones. x x x
1
2
2
30000 5 x x 5000 x 3
3
3
Por supuesto, el problema es físicamente factible si x 1 0, x2 0, y x3 0 lo que significa que el número de peces de ninguna de las especies puede ser negativo. Entonces, tenemos
x1 = 30000 – 5 x3 0 x3 6000 x2 = x3 - 5000 0 x3 5000. Esto significa que el número de peces de la especie 3 debe corresponder al intervalo 5000 x3 6000. Obsérvese que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, pero el
problema de administración de recursos tiene un número finito de soluciones porque x 1, x2, x3 deben ser enteros y positivos. En intervalo 5000, 6000 existen 1001 enteros de los cuales hay que eliminar los extremos para que coexistan las tres especies, en consecuencia, tenemos 999 soluciones posibles. A modo de ejemplo, consideremos que: i) si x3 = 5000 se tiene que x 1 = 5000 y x2 = 0. La población de peces en el lago sería 10000 , coexistiendo dos especies ii) si x 3 = 6000 se tiene que x 1 = 0 y x2 = 1000. La población de peces en el lago sería 7000, coexistiendo dos especies. iii) si x 3 = 5500 se tiene que x 1 = 2500 y x2 = 500. La población de peces en el lago sería 8500, coexistiendo las tres especies Ejemplo Modelo lineales de costos
Un viajero acaba de regresar de Europa gasto 30 euros diarios en Inglaterra, 20 euros diarios en Francia y 20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gasto 200 euros diarios en Inglaterra, 300 euros diarios en Francia y 20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron 10 euros diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gasto un total de 340 euros en hospedaje, 320 euros en comida y 140 en gastos adicionales durante su viaje en estos tres países. Calcule el número de días que paso el viajero en cada país o muestre que los registros deben estar incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles una con otra. Solución
En primer lugar construyamos una tabla de distribución de costos por día para cada país en los ítems hospedaje, comida y adicionales
Items Hospedaje Comida Adicionales
Matriz de costos Inglaterra Francia 30 20 20 30 10 10
España Costos totales 20 340 20 320 10 140
A partir de la tabla, usando las columnas definamos tres “vectores de costos diario en cada país ” v1, v2 y v3 cuyas componentes corresponden a los “costos por items “de hospedaje, comida y adicionales. Sean x1, x 2,y x3 el número de días que el viajero visita Inglaterra, Francia y España respectivamente. Sea b el vector cuyas componentes resume el costo total del viaje en cada items (la última columna de la tabla).
Así, el algoritmo que modela los costos, corresponde a la combinación lineal de los vectores generadores del espacio vectorial x 1v1 + x 2v2 + x 3v3 = b Ecuación que produce
x
1
30 x 20 10
2
20 x 30 10
3
20 340 20 320 10 140
Al expresar matricialmente esta ecuación, obtenemos 30 20 20 x1 340 20 30 20 x 320 2 10 10 10 x3 140 donde A es la matriz de coeficientes del sistema y b matriz columna dada por 30 20 20 340 A 20 30 20 b 320 10 10 10 140 Usando Scilab obtenemos la matriz escalonada reducida por filas de la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones correspondiente
( A
30 20 20 b) 20 30 20 10 10 10
340
140
320
1 0 0 0 1 0 0 0 1
6
4
4
Como el rango (A) = rango ((A b) =3 entonces el sistema de ecuaciones tiene una única solución y es consistente. Por tanto, x 6 x 4 x 4 Esto significa que el monto total invertido, cubrió los costos para visitar 6 días Inglaterra, 4 días Francia y 4 días España. 1
2
3
2. Problema de Desafío para ser resuelto. Una empresa elabora 4 tipos de productos P 1, P2, P3 , y P4 . P1 P2 P3 P4
requiere 10 hrs. de diseño, 4 de armado, 5 de pulido y 2 hrs. de detalles. requiere 2 hrs. de diseño, 3 de armado, 1 de pulido y 1 hrs. de detalles. requiere 1 hrs. de diseño, 2 de armado, 0 de pulido y 1 hrs. de detalles. requiere 5 hrs. de diseño, 3 de armado, 1 de pulido y 4 hrs. de detalles.
Los recursos que se disponen son: 610 hrs. de diseño, 334 hrs. de armado, 288 hrs. de pulido y 172 hrs. para detalles. a) Determine el nivel de producción de modo, de ocupar todos los recursos. b) Los costos por hora para el diseño es de $10, los costos por hora para el armado es de $20, los costos por hora en las máquinas de pulido es de $12 y por terminar los detalles se cobra $5 la hora. Calcular usando matrices el costo por unidad para elaborar los productos: P 1 , P2, P3 , y P4.
c) Hay más demanda por el producto P4 que por el producto P1 esto obliga a cambiar el nivel de producción acostumbrado. Se impone la producción de 20 unidades de P1 , 20 unidades de P2, 5 unidades de P3 y 25 unidades de P4 Determine usando matrices, si es necesario adquirir más recursos.
